PROGETTO A TAGLIO DI TRAVI IN CALCESTRUZZO

FIBRORINFORZATO PRIVE DI ARMATURA TRASVERSALE

FAUSTO MINELLI, Università di Brescia

GIOVANNI PLIZZARI, Università di Brescia SUMMARY

The present paper deals with some crucial de-sign aspects of Fiber Reinforced Concrete (FRC) beams under shear loading, with or without con-ventional transverse reinforcement. It focuses on shear critical beams made of plain concrete or Fi-ber Reinforced Concrete (FRC). The influence of fibers on crack formation and development, failure mode, ductility and stiffness are herein investi-gated.

A recent analytical proposal of Minelli predict-ing the shear strength of FRC members without stirrups is further developed and compared against more than 60 experiments available in the literature. Special emphasis is devoted to the ac-tual resistance mechanism provided by fibers and to the development of design guidelines. A state-ment on the minimum shear reinforcement pro-vided by steel fibers is also derived and critically discussed.

Last but not least, a practical design applica-tion is proposed using the methodology derived and it is compared with the classical design ap-proach included in the European Standard.

The ongoing research at the University of Bre-scia aims to provide a simple procedure allowing engineers to become familiar with SFRC and to incorporate it in the shear-design formulations of building codes.

1. INTRODUZIONE

Il comportamento e il conseguente progetto di travi in calcestruzzo armato soggette a sollecita-zioni taglianti continua ad essere materia di vivace dibattito all’interno della comunità scientifica.

Le formulazioni sulla resistenza a taglio pre-senti nelle diverse normative vigenti sono in conti-nua evoluzione e in generale tendono a divenire più severe.

Se da un lato il comportamento flessionale è ben noto e le diverse normative offrono formula-zioni del tutto simili tra loro, considerevoli differen-ze possono essere evinte dal confronto tra le mol-

te formulazioni a taglio: uno stesso elemento strut-turale può risultare ampiamente verificato oppure non verificato a seconda della normativa conside-rata. È quindi strettamente necessario uno studio approfondito e comprensivo del taglio che possa restituire una adeguata conoscenza e compren-sione dei meccanismi resistenti, della rigidezza, resistenza e duttilità di strutture soggette ad azioni taglianti.

Park e Paulay [1] e Kani [2] furono tra i primi negli anni 60 a modellare il comportamento a ta-glio in maniera sistematica. I primi evidenziarono e descrissero i meccnismi resistenti a taglio (ag-gregate interlock - oggi più conosciuto come fric-tion-, dowel action e calcestruzzo compresso) e distinsero tra comportamento a trave e ad arco, il secondo si interessò soprattutto dell’interazione taglio-momento, definendo la ben nota “Valley of diagonal shear failure”, oggi anche conosciuta come “Valle del Kani”, in cui si calcolarono i domi-ni di rottura a taglio di travi semplicemente appog-giate prive di staffe, al variare della resistenza a compressione, delle snellezza a taglio e della per-centuale di armatura.

Questi risultati sono ancora oggi tutti validi, anche se non esaustivi.

Già all’inizio dello scorso secolo, nel 1907, molti esperimenti a taglio furono condotti dal Pro-fessor Talbot [3] della University of Illinois, che concluse la sua imponente campagna sperimenta-le asserendo che “con questo considerevole nu-mero di tests ci si sarebbe aspettata una com-prensione del problema piuttosto completa. Tutta-via questo non è il caso nostro…c’è ancora molto da apprendere prima che il problema possa con-siderarsi risolto”.

Molti sono infatti i parametri che influenzano la resistenza a taglio di un elemento in calcestruzzo armato privo di rinforzo trasversale: la snellezza a taglio, la dimensione dell’elemento (più noto come effetto scala o size effect), la presenza o meno di azione assiale (trazione o compressione), la per-centuale di armatura longitudinale, la resistenza a compressione del calcestruzzo, le condizioni di carico, le dimensioni degli aggregati, la forma del-la sezione trasversale e la distribuzione dell’armatura longitudinale all’interno della sezio-ne.

Inserire l’influenza di tutti questi parametri in una formulazione che sia applicabile dal punto di vista ingegneristico è pertanto alquanto complica-to.

Si può riaffermare con forza quanto espresso da Talbot ormai un secolo fa. Recentemente, Rei-neck et al. [4] hanno analizzato oltre 1000 tests su travi a taglio, senza alcun rinforzo trasversale, presenti in letteratura, evidenziando come molte normative vigenti siano di fatto basate su formula-

zioni empiriche tarate su campagne sperimentali molto limitate, e che la quasi totalità delle formula-zioni presenti non tenga conto in maniera adegua-ta dell’effetto scala, visto che le prove sperimentali su provini in scala reale sono molto limitate e per lo più recenti. La presenza dell’effetto scala in tra-vi senza armatura traversale è di rilevante impor-tanza, come dimostrato recentemente da Collins et al. [5].

L’aggiunta di fibre di acciaio alla matrice ce-mentizia in misura variabile è nota da tempo e ne è stata provata l’efficacia in termini di aumentata duttilità e resistenza in fase fessurata [6], in mol-teplici applicazioni strutturali e non, quali pavimen-tazioni industriali su suolo elastico [7], pannelli di tamponamento e piccoli elementi prefabbricati [8].

Il notevole interesse per il rinforzo del calce-struzzo mediante fibre di acciaio risulta giustificato non solo dalle reali o potenziali applicazioni sopra delineate, ma anche in considerazione della si-nergia derivante dall’impiego congiunto di fibre di acciaio e calcestruzzo ad alta resistenza (HSC). Infatti, le caratteristiche che il rinforzo fibroso con-ferisce al calcestruzzo sono tali da compensare la fragilità tipica del calcestruzzo, che si accentua per quello ad alta resistenza, consentendo inoltre un notevole miglioramento delle prestazioni del materiale come, ad esempio, la resistenza agli urti o alla fatica [9].

Anche nel campo della prefabbricazione pe-sante, dove si fa frequente uso di calcestruzzo ad alta resistenza, il rinforzo mediante fibre di acciaio potrebbe trovare un’interessante applicazione in sostituzione, almeno parziale, dell’armatura ordi-naria, industrializzando le attività di produzione e introducendo un miglioramento delle caratteristi-che generali dei manufatti, con particolare riguar-do alla durabilità strutturale [10].

In questo contesto si collocano numerosi studi finalizzati ad indagare la possibilità di una sostitu-zione, parziale o totale, dell’armatura a taglio con fibre in acciaio.

Casanova, Rossi e Schaller [11] hanno mo-strato come fibre in percentuale volumetrica pari all’1,25% accoppiate con un calcestruzzo ad alta resistenza possano sostituire efficacemente le staffe. Ciò è dovuto al fatto che le fibre conferi-scono al calcestruzzo una elevata tenacità; quindi limitano l’ampiezza delle fessure rispetto a quanto osservato in travi con armatura trasversale tradi-zionale.

I risultati sperimentali ottenuti da Williamson [12] hanno evidenziato che l’utilizzo di fibre rettili-nee in percentuale volumetrica superiore all’1.5%, in sostituzione della classica armatura a taglio, ha comportato un aumento della resistenza a taglio

del 45% rispetto al caso di medesimi provini sen-za alcun rinforzo. Aggiungendo invece fibre unci-nate in percentuale volumetrica pari a circa l’1%, la resistenza a taglio è risultata superiore del 45-70%, tanto da portare ad un collasso per flessione dei provini. Con fibre ondulate, tale aumento è di-ventato del 100%. In generale, al crescere del contenuto volumetrico in fibre, la resistenza per taglio aumenta considerevolmente.

Alcuni autori hanno presentato formulazioni analitiche per il calcolo della resistenza a taglio di travi in SFRC, tra i quali Li et al. [13], Narayanan et al. [14], Swamy et al. [15] e Khuntia et al. [16].

Nonostante questa estesa sperimentazione e il fatto che il fibrorinforzato possa ritenersi un ma-teriale ben conosciuto, vi è ancor oggi una pres-soché totale mancanza di riferimenti normativi che includano il fibrorinforzo e permettano che esso venga utilizzato nella pratica edilizia.

Questo lavoro ha lo scopo di presentare una vasta campagna sperimentale sul comportamento a taglio di elementi strutturali realizzati in calce-struzzo con l’aggiunta o meno di fibre di acciaio. L’analisi del comportamento in fase fessurata, dei meccanismi resistenti, dello sviluppo del quadro fessurativo e delle modalità di collasso ha per-messo di giungere a delle valutazioni circa le at-tuali formulazioni analitiche di calcolo della resi-stenza a taglio, ampiamente e criticamente di-scusse.

Sulla base di questi risultati sperimentali, è stata proposta una formulazione che adatta quella attualmente contenuta nell’ EC2 [17] al fibrorinfor-zato per la resistenza a taglio di elementi privi di armatura trasversale. Viene inoltre presentato un approccio per la determinazione del quantitativo minimo di armatura trasversale costituita da fibre.

Segue infine un esempio applicativo di proget-tazione a taglio di una trave in calcestruzzo fibro-rinforzato.

2. PROVE SPERIMENTALI La prima parte della campagna sperimentale

presentata nel presente contributo è consistita in 11 tests su travi “shear-critical”, caricate con il tipi-co schema di carico a quattro punti, con snellezza a taglio (rapporto tra luce di taglio e altezza utile) pari a 2.5, riconosciuto come il rapporto critico a taglio, in quanto conferisce la risposta strutturale minore. Tutte le travi hanno la stessa geometria e percentuale di armatura longitudinale, pari all’1,04%. Inoltre, in ogni trave non è presente al-cun rinforzo trasversale tradizionale (staffe).

Scopo principale di questa serie di tests è stato quello di verificare e studiare i meccanismi classici di resistenza al taglio e, inoltre, la loro col-laborazione e interazione in presenza di una ma-trice cementizia fibrorinforzata.

Le travi sono semplicemente appoggiate su una luce di 4.35 m ed hanno una sezione rettan-golare avente altezza totale di 0.48 m e larghezza di 0.20 m. Le travi sono armate semplicemente alle fibre inferiori con 2 barre φ24 ad aderenza mi-gliorata, come illustrato in Figura 1.

La Tabella 1 riporta le caratteristiche geome-triche salienti delle travi testate.

Per assicurare un ancoraggio ottimale e per evitare crisi locali per compressione del calce-struzzo, particolare attenzione è stata rivolta al dimensionamento di opportune piastre di acciaio per l’ancoraggio delle barre e in corrispondenza dei punti di carico e degli appoggi. Per schematiz-zare propriamente il vincolo di cerniera e di ap-poggio sono stati adottati due profili cilindrici in acciaio.

La Tabella 2 e la Tabella 3 mostrano, per gli 11 provini testati, le caratteristiche dei materiali (resistenza a compressione, a trazione e modulo elastico, misurati durante l’esecuzione delle pro-ve) e la tipologia e quantitativo di fibre. La desi-gnazione di ciascuna tipologia di fibra adottata consiste in due numeri, il primo rappresentante la lunghezza e la seconda il diametro delle fibre. Si noti inoltre che la denominazione del provino PC indica una trave senza fibre, mentre la FRC2 indi-ca un provino con un contenuto di fibre maggiore (o più resistente) del corrispondente FRC1 nella medesima serie.

2Ø24 Bars, L=4550 mm

480

mm

V Va

d

200

45

480

45

2Ø24 Deformed Bars

4350 mm

Steel Plate 200x90x30 mm

Figura 1 . Geometria delle travi.

Tutte le tipologie di fibre sono caratterizzate

da valori di resistenza normali, ad eccezione delle microfibre 12/0.18 e delle fibre 30/0.38, entrambe ad alta resistenza grazie ad un elevato tenore in carbonio. Tutte le tipologie di fibra possono essere

considerate macrofibre, ad eccezione della già ci-tata tipologia 12/0.18.

Ulteriori dettagli riguardo ai materiali, alle ca-ratteristiche dell’acciaio per armatura e alle fibre sono riportate in [18]

Caratteristiche Geometriche dei provini

Lunghezza totale 4450 mm

Distanza tra gli appoggi 4350 mm

Lunghezza a (Figura 1) 1090 mm

Larghezza 200 mm

Altezza totale 480 mm

Copriferro lordo 45 mm

Altezza utile d 435 mm

Area delle barre (2φ24) 905 mm2

Percentuale di armatura 1.04%

Tabella 1. Caratteristiche geometriche delle travi.

Per quanto concerne le modalità di carico, i tests sono stati condotti in controllo di spostamen-to per garantire, specialmente dopo la fessurazio-ne, uno sviluppo graduale del quadro fessurativo anche in presenza di rami inastabili o softening. Operativamente, si è imposto uno spostamento tramite un martinetto elettromeccanico contrastato da un telaio in acciaio agente simmetricamente su due punti sulla trave [18,19].

Specimen Designation fc

[MPa] fct

[MPa] Ec

[MPa]

NSC1-PC NSC1-FRC 1 NSC1-FRC 2

24.8 2.30 31400

NSC2-PC NSC2-FRC 1 NSC2-FRC 2

33.5 3.15 32600

NSC3-PC NSC3-FRC 1

38.6 2.60 33100

HSC-PC 60.5 3.15 34400

HSC-FRC 1 61.1 3.48 36800 HSC-FRC 2 58.3 3.20 3270.

Tabella 2. Caratteristiche geometriche delle travi. In Figura 2 sono riportati i risultati sperimen-

tali delle 3 prove condotte relative alla serie NSC1. La trave in calcestruzzo bianco (NSC1-PC) ha mostrato il tipico comportamento di elementi “shear-critical”, caratterizzato da un collasso fragi-le e improvviso per livelli di carico e fessurazione flessionale molto bassi. La sola aggiunta di 30 kg/m3 di fibre uncinate di acciaio (provino NSC1-FRC1) ha consentito il raggiungimento di un carico ultimo e di una freccia massima doppi, con un incremento significativo della rigidezza in fase fessurata. Il provino NSC1-FRC2, gettato con

45 kg/m3 di fibre, di cui 15 kg/m3 di tipologia micro, è stato in grado di raggiungere un collasso di tipo flessionale, con rottura del calcestruzzo al corren-te compresso. Il carico ultimo e la freccia massima evidenziata sono stati rispettivamente 2.7 e 8.5 volte maggiori che nel provino gettato con calce-struzzo bianco.

Specimen Designation

50/1.0 [%]vol.

30/0.6 [%]vol.

12/0.18 [%]vol.

30/0.62 [%]vol.

30/0.38 [%]vol.

Vf,tot [kg/m3]

NSC1-PC - - - - - - NSC1-FRC 1 - 0.38 - - - 30 NSC1-FRC 2 - 0.38 0.19 - - 45

NSC2-PC - - - - - - NSC2-FRC 1 0.38 - - - - 30 NSC2-FRC 2 0.38 - 0.19 - - 45

NSC3-PC - - - - - - NSC3-FRC 1 - 0.38 - - - 30

HSC-PC - - - - - -

HSC-FRC 1 - - - 0.64 - 50 HSC-FRC 2 - - - 0.64 50

Tabella 3. Caratteristiche geometriche delle travi.

L’aggiunta di un quantitativo modesto di fibre (Vftot=0.57%) tale da non influenzare in maniera significativa i costi e la lavorabilità del calcestruz-zo, può portare al superamento delle problemati-che legate ad un collasso fragile a taglio, con il raggiungimento della massima capacità (quella flessionale) dell’elemento stesso.

Normal Strength Concrete, f' c = 24.8 MPa

0

100

200

300

400

0 10 20 30 40 50 60 70 80Displacement [mm]

Load

[kN

]

NSC1-PC

NSC1-FRC1

NSC1-FRC2

30 kg/m 3, 30/0.6 + 15 kg/m 3, 12/0.18

30 kg/m 3, 30/0.6

V V

δ

Figura 2. Risultati sperimentali, serie NSC1.

Per quanto riguarda la fessurazione a taglio, la Figura 3 mostra l’andamento della fessura a ta-glio principale, misurata nella luce di taglio, in rap-porto al carico esterno applicato. Dal grafico è possibile notare che l’elemento gettato in calce-struzzo bianco non è stato in grado di resistere ad una fessura a taglio di 0.3 mm mentre i due provi-ni fibrorinforzati hanno mostrato un comportamen-to stabile fino a fessurazioni a taglio ben 10 volte superiori, grazie all’effetto ponte offerto dalle fibre tra le due superfici della fessura. La fessura critica a taglio ha raggiunto un valore di 3 mm nel provi-no NSC1-FRC2 e, nonostante ciò, tale fessura si

è sviluppata in maniera stabile e progressiva fino al raggiungimento di un collasso flessionale lato calcestruzzo compresso.

La Figura 4 mostra i risultati sperimentali dei provini realizzati con calcestruzzo ad alta resi-stenza (serie HSC). Si può facilmente notare il grande contributo a taglio offerto dalle fibre, con un passaggio da un meccanismo del tutto fragile e improvviso nel caso di trave senza fibre, ad uno meno fragile, con fessure a taglio ben visibili (HSC-FRC1) ad un meccanismo flessionale con conseguente grande duttilità e snervamento delle barre di acciaio (HSC-FRC2).

Normal Strength Concrete, f' c = 24.8 MPa

0

1

2

3

0 100 200 300 400Load [kN]

Cra

ck W

idth

[mm

]

NSC1-PC

NSC1-FRC1

NSC1-FRC2

V

TPT

Average First Cracking30 kg/m 3,

30/0.6 +

15 kg/m 3, 12/0.18

30 kg/m 3, 30/0.6

Figura 3. Curva Apertura di fessura a taglio – Ca-rico, serie NSC1.

High Strength Concrete

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40 50 60 70 80Displacement [mm]

Load

[kN

]

HSC-PC

HSC-FRC1

HSC-FRC2

50 kg/m 3, 30/0.38

50 kg/m 3, 30/0.62

V V

δ

Figura 4. Risultati sperimentali, serie HSC.

Si noti che l’incremento di carico ultimo tra il

provino in calcestruzzo bianco della serie NSC1 e HSC, nonostante il rapporto tra le resistenze a compressione fosse maggiore di 2, è stato sola-mente del 37%, a conferma delle maggior fragilità dei calcestruzzi ad alta resistenza. La fessura cri-tica a taglio, nel provino HSC-FRC1 ha raggiunto il valore di 2.2 mm, con un carico comunque vici-no a quello massimo flessionale (in altre parole, adottando un rapporto a/d meno penalizzante si sarebbe probabilmente assistito ad un collasso di tipo flessionale). La curva sperimentale relativa al provino HSC-FRC2 mostra invece il tipico collasso

flessionale con snervamento delle barre di arma-tura longitudinali.

La Figura 5 mostra i quadri fessurativo finali dei tre provini. Mentre per il provino in calcestruz-zo bianco al collasso per taglio è accompagnata una limitata fessurazione flessionale, il quadro fessurativo per il provino HSC-FRC1 risulta esse-re molto più articolato sia a flessione che a taglio, segno evidente di uno sviluppo più stabile e pro-gressivo della fessurazione e del carico. La trave HSC-FRC2, diversamente dalle aspettative, ha mostrato una ridotta fessurazione a taglio: molte piccole fessure inclinate si sono formate in en-trambe le luci di taglio, ma nessuna di esse è sta-ta in grado di organizzarsi e crescere in maniera continua verso il punto di carico, come tipicamen-te avviene per le fessure critiche a taglio. Questo fenomeno è certamente da imputare all’effetto be-nefico conferito dalle fibre ad alta resistenza. La fessurazione principale è sicuramente di tipo fles-sionale, nella zona tra i due punti di carico, con due concentrazioni locali in prossimità degli stessi, in cui evidente è stato lo snervamento dell’armatura.

Figura 5. Quadri fessurativi a collasso, serie HSC.

È possibile concludere che, per travi critiche

a taglio, l’apertura massima delle fessura critica, in assenza di staffe e fibre, non supera i valori di 0.1-0.3 mm, mentre può raggiungere valori di 1.5-3.0 mm in presenza del fibrorinforzo, a seconda della tipologia e del quantitativo di fibre. Il compor-tamento critico a taglio viene pertanto significati-vamente limitato, se non del tutto evitato, con un appropriato calcestruzzo fibrorinforzato. Inoltre, il dominio momento ultimo-momento flessionale, più noto come “Valle del Kani” viene notevolmente modificato in presenza di fibre tanto che, oltre una certa quantità di energia dissipata, la trave non risulta più critica a taglio manifestando un mecca-nismo flessionale [18].

Una seconda fase sperimentale è stata carat-terizzata da ulteriori tests su travi “shear-critical”, ponendo tuttavia l’attenzione su un aspetto sinora non affrontato approfonditamente. Si è qui voluto studiare l’effetto dell’armatura minima convenzio-nale a taglio, in accordo alle prescrizioni dell’EC2, confrontandola con la risposta di provini fibrorin-forzati e privi di staffe, per verificare le condizioni, in termini di tenacità e di dosaggio, che permetto-no di poter sostituire l’armatura minima conven-zionale con fibre di acciaio.

La Figura 6 riporta la curva carico-spostamento relativa a tre medesime prove a ta-glio, dalle caratteristiche geometriche identiche alle precedenti (a/d=2.5, ρs=1.04%), ad eccezione della modalità di carico, su tre punti in questo ca-so. Tutti i provini sono caratterizzati dalle mede-sime caratteristiche meccaniche dei materiali: re-sistenza cilindrica a compressione pari a 22.6 MPa, a trazione pari a 2.8 MPa e modulo e-lastico di 26100 MPa.

Le tre curve rappresentano la risposta struttu-rale del provino di riferimento (calcestruzzo bianco senza staffe), di quello con armatura minima cal-colata in accordo all’EC2, e con 20 kg/m3 di fibre di acciaio 50/1.0 (Tabella 3). Il confronto più signi-ficativo è tra la trave con fibrorinforzo e quella con armatura minima di calcolo: la capacità portante, la duttilità e il comportamento post-fessurativo so-no alquanto simili, con una non trascurabile sovra-resistenza del provino fibrorinforzato.

Load Displacement CurveSmall Size Specimens H = 500 mm

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12Displacement [mm]

Load

[kN

]

Plain Concrete

FRC-20 Test 2

Minimum Shear Reinf

P

d

Figura 6. Risultati sperimentali, effetto dell’armatura minima.

La Figura 7 evidenzia lo sviluppo del quadro fessurativo nella luce di taglio, confermando ulte-riormente l’abilità delle fibre nel controllo e nello sviluppo stabile della fessurazione critica a taglio. L’andamento è ancora simile tra il provino fibrorin-forzato (due misurazioni) e quello con armatura minima convenzionale, con una discreta preva-lenza del primo. È pertanto possibile concludere che un quantitativo medio basso di fibre, se suffi-

cientemente tenace, può essere utilizzato come armatura minima a taglio.

Crack Width-Load Curve

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 50 100 150 200 250 300 350 400Load [kN]

Cra

ck W

idth

[mm

]

Plain ConcreteMinimum Shear ReinfFRC-20 Test 2FRC-20 Test 1

P

TPT2TPT1

Figura 7. Curva apertura di fessura a taglio – Ca-rico, serie MSR.

3. PRESCRIZIONI NORMATIVE Molte delle formulazioni presenti in letteratura

per modellare il contributo delle fibre alla resisten-za a taglio prevedono la determinazione di fattori e/o quantità non direttamente correlate alle carat-teristiche di tenacità che il rinforzo fibroso conferi-sce al composito.

La scuola nordamericana ha in questi ultimi anni prediletto il fattore di fibra F, che è funzione del rapporto d’aspetto, della percentuale volume-trica e della forma della fibra, secondo la formula-zione seguente:

ff DVD

LF ⋅⋅

= (1)

dove: • L è la lunghezza della fibra; • D è il diametro della fibra; • L/D è il rapporto di aspetto della fibra; • Vf è la percentuale volumetrica della fibra; • Df è il bond factor della fibra, che può variare

da 0.5 a 1 a seconda della geometria della fi-bra e della matrice cementizia. Essendo di non facile interpretazione, il fattore

di aderenza Df è spesso assunto. Di fatto, questo approccio risulta essere molto semplice e imme-diato. Non tiene tuttavia conto nella dovuta manie-ra dell’interazione tra fibra e matrice cementizia. Infatti, fibre diverse possono avere un fattore F molto simile ma conferire al composito un compor-tamento post-picco del tutto differente; non è quin-di un parametro prestazionale.

È pertanto più corretto correlare la resistenza a taglio ad una quantità parente con il composito calcestruzzo fibrorinforzato. Questo è stato fatto, nella tesi di dottorato di Minelli [18], attraverso l’introduzione, nella formulazione correntemente adottata dall’Eurocodice 2, dei parametri di tenaci-

tà definiti dalla normativa italiana sul calcestruzzo fibrorinforzato UNI 11039 [20].

Tali parametri sono le resistenze equivalenti post-picco inerenti una prima fase di fessurazione (tipica per gli SLS) e una seconda, più avanzata, correlata ad una situazione agli stati limite ultimi (ULS), secondo la seguente definizione:

( ) 6.02)6.00(,

1

0

U

ahb

leq

f ⋅−

=− (2)

( ) 4.22)36.0(,

2

0

U

ahb

leq

f ⋅−

=− (3)

dove i parametri in esse contenuti sono esemplifi-cati in Figura 8.

Nella formula di progettazione proposta, è sta-ta considerata la resistenza equivalente post-picco relativa allo stato limite ultimo. Infatti, nella vasta sperimentazione su provini a taglio condotta presso l’Università degli Studi di Brescia e in parte presentata nel paragrafo precedente (per un totale di 27 prove sperimentali a taglio su elementi in scala reale), si è dimostrata la capacità del rinfor-zo fibroso di conferire agli elementi strutturali un comportamento post-fessurativo molto stabile, fino ad aperture di fessure a taglio di 3-5 mm, a se-conda della tenacità offerta dalle fibre. Si tenga conto che identici provini realizzati in calcestruzzo bianco hanno mostrato un comportamento molto fragile e il collasso si è verificato per aperture di fessure a taglio inferiori a 0.3 mm (eccezione fatta per i provini precompressi).

Figura 8. Calcolo degli indici di duttilità, Normativa Italiana Uni 11039 (2003).

Un ulteriore aspetto significativo riguarda il

modo in cui includere il contributo offerto dalle fi-bre nella formulazione corrente dell’Eurocodice.

Anche in questo caso, l’interpretazione dei ri-sultati sperimentali è risultata essenziale per una corretta procedura analitica. Le fibre possono es-sere considerata come rinforzo diffuso presente nell’intero elemento strutturale. Esse permettono

la trasmissione di significativi sforzi residui tra le facce di una fessura. In questo senso, esse pos-sono essere considerate simili ad un rinforzo lon-gitudinale secondario che, come osservato da Ku-chma et al. [21], determina un comportamento strutturale molto più duttile (Figura 9), con un quadro fessurativo nella luce di taglio più articola-to e diffuso. Ciò consente di evitare pertanto l’insorgere di un’unica macro fessura che scatena il “block mechanism” per bassi valori di apertura di fessura.

Nella campagna sperimentale condotta da Kuchma et al. [21], l’aggiunta di armatura longitu-dinale diffusa (che non ha sostanzialmente modi-ficato la percentuale d’armatura a flessione) ha permesso il raggiungimento di una duttilità pres-soché doppia e di una capacità portante maggiore del 50% rispetto al provino privo di tale armatura addizionale (Figura 9b).

(a)

(b)

Figura 9. Risultati sperimentali di Kuchma et al. [21].

L’aggiunta di fibre migliora il comportamento

post-fessurativo in maniera molto simile a quella di armatura longitudinale distribuita lungo l’altezza dell’elemento.

È per questo motivo che si è pensato di mo-dellare il contributo a taglio delle fibre con un coef-ficiente moltiplicatore dell’armatura longitudinale, che fosse strettamente relazionato alle proprietà di tenacità conferite alla matrice cementizia dal rinforzo fibroso, in una sorta di “performance-based” design.

Inoltre, la definizione di un contributo a taglio (dovuto alle fibre) separato da quello del calce-struzzo, come suggerito da molti modelli prece-dentemente citati, non sembra rispettosa del comportamento effettivo, in cui l’interazione matri-ce cemetizia-fibra risulta essere il meccanismo re-sistente fondamentale. La formulazione corrente per il progetto e verifica a taglio di elementi in calcestruzzo armato privi di armatura trasversale è la seguente:

[ ] dbfkVWCPckctRd ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= σρ 15.0)100(18.0 3

1

1, (4)

che, opportunamente modificata per includere il contributo delle fibre, diviene:

13(0.6 3)

1, ,

0.18(100 (1 ) )

0.15W

eqck

Rd ct FIBERS c ct

CP

fak f

V b dd fρ

γσ

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅

+ ⋅

(5)

dove fct è la resistenza a trazione del calcestruzzo e a/d è la luce di taglio.

Il parametro a/d risulta essere di non facile applicazione nei casi reali (per un carico unifor-memente distribuito, come dimostrato da Kani [2], la luce di taglio può essere assunta pari a l/4). Es-so, nel caso più conservativo, può essere assunto pari a 2.5.

Si ricorda che la formulazione precedente, sia per come è stata concepita nel corrente Eurocodi-ce 2, che per come è stata ampliata nel caso del calcestruzzo fibrorinforzato, è da ritenersi valida all’interno di meccanismi a taglio del tipo “shear diagonal failure”, da distinguersi da quelli “strut and tie”.

La presenza del parametro fct può essere di non facile determinazione, soprattutto a livello progettuale. In tal caso, la resistenza a trazione può essere definita in funzione di quella a com-pressione. Considerando queste due ultime os-servazioni, la formulazione proposta diviene:

( )13(0.6 3)

1 2/3

,

0.18(100 (1 2.5 ) )

0.30

0.15W

eqck

cRd ct ck

CP

fk f

V b dfρ

γ

σ

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅⋅

+ ⋅

(6)

È importante sottolineare come il modello pro-posto dia risultati accurati e includa l’effetto del rinforzo fibroso in maniera rigorosa e razionale.

La Figura 10 evidenzia come la formulazione proposta comporti dei valori di progetto a taglio (VRd,ct,FIBERS) plausibili, rispetto a quelli calcolati su un medesimo provino non fibrorinforzato (VRd,ct), in

un ampio range di valori di resistenza a trazione e sforzo equivalente feq(0.6-3).

Sono infatti questi ultimi due i parametri che vanno ad incidere sulla formulazione proposta. A tal proposito, è significativo sottolineare che gli al-tri fattori che influenzano la resistenza a taglio in-clusi nella formulazione base dell’ EC2 (percen-tuale di armatura longitudinale, resistenza a com-pressione, fattore di scala k) non risultano influen-zare il rapporto tra resistenza a taglio di un ele-mento fibrorinforzato e resistenza a taglio dello stesso elemento non fibrorinforzato. Una tale as-sunzione andrebbe verificata attentamente, spe-cialmente per quanto riguarda l’effetto scala. Primi risultati fanno pensare che, in presenza di fibre, l’effetto scala si riduca significativamente. Mante-nere pertanto la corrente formulazione del fattore k anche per gli elementi in fibrorinforzato risulta essere conservativo.

Si noti inoltre che i valori del rapporto VRd,ct,FIBERS/VRd,ct superiori a due sono ragionevoli e sono stati confermati anche dai risultati speri-mentali (Figura 2).

New model for FRC w/o stirrups

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

2.20

2.40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

feq(0.6-3) [MPa]

VR

d,ct

,FIB

ER

S/V

Rd,

ct [-

]

fctm = 2.0 MPa

fctm = 2.5 MPa

fctm = 3.0 MPa

fctm = 3.5 MPa

fctm = 4.0 MPa

fctm = 5.0 MPa

Figura 10. Il contributo aggiuntivo delle fibre come da modello proposto.

La Figura 11 riporta il grafico VRd,ct,FIBERS/VRd,ct

rispetto al rapporto feq(0.6-3)/fct. Anche in questo ca-so, considerando ampi intervalli nel rapporto tra resistenza equivalente e resistenza a trazione, si può evidenziare che il taglio resistente di progetto di un elemento fibrorinforzato assume valori ra-gionevoli e in accordo alla sperimentazione effet-tuata. Infatti, la curva analitica risulta essere con-servativa rispetto ai risultati di 11 prove sperimen-tali plottati nel grafico.

La Figura 12 e la Figura 13 mostrano l’andamento del taglio ul-

timo in funzione della percentuale d’armatura lon-gitudinale, ottenuti da una analisi numerica para-metrica condotta su travi shear-critical tramite il programma ad elementi finiti VecTor2, basato sul-la “Modified Compression Field Theory” [22]. Pro-ve sperimentali con percentuale di armatura

dell’1,04% hanno opportunamente validato il pro-gramma e i legami costitutivi adottati.

New model for FRC w/o stirrups

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

2.20

2.40

2.60

2.80

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

feq(0.6-3)/fct [-]

Vu,

FR

C/V

u,E

C2

[-]

ANALYTICAL MODEL

EXPERIMENTS

Figura 11. Curva VRd,ct,FIBERS /VRd,ct -feq(0.6-3)/fct.

HSC Series, a/d=2.5

0

100

200

300

400

500

600

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60

Reinforcement Ratio [%]

Ulti

mat

e S

hear

[kN

]

feq=0

feq=3.12

feq=5.99

Figura 12. Incremento di resistenza a taglio all’aumentare della percentuale di armatura longi-tudinale e della resistenza equivalente post-picco (serie HSC).

Si può osservare come, all’aumentare

dell’armatura longitudinale, la crescita del taglio ultimo sia più significativa per quantitativi di fibra crescenti. Tale evidenza conferma la bontà della scelta di modellare il contributo a taglio delle fibre come modificatore della percentuale di armatura longitudinale.

NSC Series, a/d=2.5

0

100

200

300

400

500

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60

Reinforcement Ratio [%]

Ulti

mat

e S

hear

[kN

]

feq=0

feq=2.55

feq=4.42

Figura 13. Incremento di resistenza a taglio all’aumentare della percentuale di armatura longi-tudinale e della resistenza equivalente post-picco (serie NSC).

La Figura 14 mostra il confronto tra il modello qui proposto e la formulazione RILEM [23], rispet-to a 60 prove sperimentali, di cui 43 facenti parte del database RILEM. È importante sottolineare come, riguardo alla natura della fibre adottate, tale database fornisca unicamente i valori di resisten-za residua propri della RILEM (feq,3). Non essen-doci alcuna indicazione sui valori di resistenza re-sidua da normativa italiana, si è assunto che feq(0,6-3)=feq,3. Nonostante tale assunzione, che va a svantaggio della formulazione italiana, il fitting dei risultati risulta del tutto soddisfacente in entrambi i casi. I risultati sono molto simili, con una leggera tendenza, per quanto concerne il modello qui pro-posto, ad essere più conservativo.

Comparison MINELLI vs RILEM

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

2.50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Test #

Vu,

exp/V

u,m

odel

MINELLI

RILEM

Conservative

Unconservative

BRESCIA DATARILEM DATA

Figura 14. Confronto tra modello RILEM e model-lo MINELLI su campagna sperimentale Bekaert.

In conclusione, gli aspetti positivi di tale formu-

lazione possono essere qui brevemente riassunti: • Modella il contributo a taglio del fibrorinforzato come contributo incluso in quello del calcestruzzo, e non definisce un contributo separato. • Considera l’incremento di duttilità che le fibre conferiscono alla matrice cementizia definendolo in funzione della resistenza equivalente post-picco relativa agli stati limite ultimi (“performnace-based design”). • Include il contributo delle fibre come armatura longitudinale integrativa. Aumentando, l’armatura longitudinale limita lo sviluppo delle fessure e per-tanto garantisce una maggior efficienza dei mec-canismi resistenti a taglio. Essendo inoltre armatu-ra distribuita, le fibre garantiscono un quadro fes-surativo più complesso e articolato, evitando la localizzazione anticipata di una macro fessura a taglio. • Dal confronto con oltre 60 prove (43 RILEM e 17 Università di Brescia), il modello proposto è in accordo con i risultati sperimentali, che sono co-munque sempre affetti da significativa incertezza legata a meccanismi strettamente dipendenti dalla resistenza a trazione del calcestruzzo.

• Il modello RILEM, pur dando altrettanto buoni risultati in termini di fitting, è puramente empirico e pertanto non modella accuratamente il reale com-portamento strutturale di travi fibrorinforzate non armate a taglio.

4. ARMATURA MINIMA A TAGLIO Il ruolo principale dell’armatura minima a taglio

è quello di limitare la crescita di fessure a taglio, di aumentare la duttilità e di assicurare che il contri-buto resistente a taglio offerto dal calcestruzzo sia mantenuto fino al raggiungimento dello snerva-mento di tale armatura. In altre parole, c’è presso-ché unanime accordo che, prima del collasso strutturale, una struttura in calcestruzzo armato debba dare opportuni segnali di cedimento, sia in termini di freccia che di fessurazione. Questo non avviene per le travi non armate a taglio, come ampiamente enfatizzato nei paragrafi precedenti, mentre viene assicurato dalla presenza di una mi-nima quantità di armatura trasversale. Tale arma-tura può essere omessa quando la probabilità di fessurazione diagonale risulta significativamente remota, oppure in elementi strutturali di seconda-ria importanza statica, o infine in strutture ampia-mente iperstatiche, nelle quali può avvenire una sostanziale redistribuzione con conseguente ade-guata duttilità.

L’Eurocodice 2 richiede che venga disposta un minimo di armatura a taglio, in modo da soddisfa-re la seguente relazione:

dbfs

dfAV wck

ykws ⋅⋅⋅≥

⋅⋅= 08.0 (7)

che, espressa in termini di percentuale di armatu-ra trasversale, diviene:

yk

ckw f

f⋅=

08.0min,ρ (8)

Il medesimo approccio può essere seguito per quanto concerne il calcestruzzo fibrorinforzato, imponendo che il minimo quantitativo di taglio da affidare alle staffe sia resistito dal solo fibrorinfor-zo. In tal modo risulta:

dbfVV wckctRdFIBERSctRd ⋅⋅⋅≥− 08.0,,, (9)

Dalla relazione precedente, opportunamente sviluppata in modo da esplicitare la resistenza e-quivalente post-picco, è possibile determinare il minimo valore di resistenza feq(0.6-3) che soddisfi la richiesta minima di armatura trasversale in accor-do all’EC2:

( )

−

+

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅≥ 1110018.0

008.0

5.2

3

3/1min,

ck

ckcteq

fk

fff

ρ (10)

L’equazione precedente può essere significa-tivamente semplificata tarando tutti i parametri presenti in modo da massimizzare la richiesta di tenacità. Si può ottenere pertanto la seguente re-lazione di progetto:

5.47.0min,

ckeq

ff ⋅≥ (11)

che risulta semplice, efficace, facilmente applica-bile nonché correttamente basata su di un ap-proccio prestazionale. Le due ultime equazioni sono plottate in Figura 15, dove la formulazione rigorosa, assieme a quella di progetto proposta, sono rappresentate rispetto ad un ampio range di resistenze a compressione.

Va ricordato inoltre che tale richiesta minima di tenacità va confrontata con un contenuto mini-mo di fibre che, nelle istruzioni CNR 2006 [24], viene imposto in termini volumetrici pari a Vf=0.3%.

Minimum FRC Transverse Reinforcement

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

20 40 60 80 100

Compressive Strength [MPa]

f eq(

0.6-

3) [M

Pa]

Calculation

Design Formulation

Best Fitting Formulation

( )

−

+

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅≥ 1110018.0

008.0

5.2

3

3/1min,

ck

ckcteq

fk

fff

ρ

5.47.0min,

ckeq

ff ⋅≥

Figura 15. Validità della formulazione analitica per l’armatura minima costituita da fibre.

5. ESEMPIO APPLICATIVO In questo paragrafo viene esposto un esempio

di progettazione di una trave, particolarmente im-pegnata a taglio, sia utilizzando l’armatura a taglio convenzionale sia impiegando il rinforzo fibroso.

Si consideri la trave in c.a. di geometria mo-strata in Figura 16, soggetta ad una carico totale, stimato agli Stati Limite Ultimi nella situazione più gravosa per carichi statici, di 35 kN/m.

2Ø24 Bars

500

mm

p = 35 kN/m

d

6 m

2Ø24 Deformed Bars

500

200

Figura 16. Geometria della trave.

Si assuma altezza utile di 460 mm, resistenza

a compressione caratteristica di 30 MPa, caratte-

ristica a trazione di 2 MPa, snervamento caratteri-stico delle barre longitudinali e trasversali di 435 MPa.

Per quanto concerne il progetto convenziona-le, si determini il contributo di resistenza a taglio del calcestruzzo:

13

, 10.12 (100 ) 56WRd ct ckV k f b d kNρ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

da cui deriva armatura minima (verificata con 2φ6@300) per una lunghezza di 3.2 m e armatura di calcolo (verificata con 2φ8@300) per i restanti 2.8 m (Figura 17).

Per quanto concerne il progetto con calce-struzzo fibrorinforzato, si assumano 30 kg/m3 di fibre di acciaio aventi resistenza equivalente post-picco feq(0.6-3)=2.7 MPa. Si determina quindi il con-tributo resistente al taglio del calcestruzzo fibrorin-forzato:

( )

13

(0.6 3), , 1 2/30.12 (100 1 2.5 ) 92

0.3 W

eqRd ct FIBERS ck

ck

fV k f b d kN

fρ −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

a cui corrisponde una zona che richiede armatura minima pari a 5.2 m, mentre in soli 0.8 m va di-sposta armatura di calcolo. Inoltre, la richiesta di armatura minima è ampiamente soddisfatta con il quantitativo di fibra supposto: infatti risulta che:

ckeq(0.6-3)

300 7 0 7 0 85

4 5 4 5

ff . . . MPa

. .≥ = =

mentre, per l’armatura di calcolo, risultano suffi-cienti staffe 2φ6@300. La Figura 17 mostra il confronto nella disposizione dell’armatura trasversale nei due casi. L’aggiunta di fibre non solo diminuisce la porzione di trave in cui è richiesta armatura di calcolo, ma consente di omettere armatura tradizionale ove il taglio solleci-tante sia minore di quello resistente lato calce-struzzo fibrorinforzato.

2Ø8@300mm 2Ø6@300mm

(a)

2Ø6@300mm

(b)

Figura 17. Detailing del rinforzo a taglio nel caso di armatura a taglio tradizionale (a) e in quello con calcestruzzo fibrorinforzato (b).

Tale soluzione tecnologica risulta di particola-re interesse in molte applicazioni, in primis quelle della prefabbricazione, in cui il posizionamento dell’armatura minima a taglio è un’operazione ag-

giuntiva e risulta difficoltoso per la complessità delle sezioni e per gli spessori ridotti.

5. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE Nel presente lavoro sono riportati i risultati di

una estesa sperimentazione effettuata su travi di dimensioni reali, realizzate in calcestruzzo armato fibrorinforzato e sottoposte a taglio.

In particolare, lo studio intende mettere a con-fronto il comportamento delle travi con e senza armatura trasversale tradizionale (staffe) con travi simili per geometria, in cui il rinforzo d’anima è co-stituito, parzialmente o totalmente, da fibre. L’obiettivo principale della ricerca riguarda la pos-sibilità di sostituire l’armatura a taglio minima, nel-le zone in cui non è richiesto il progetto dell’armatura, con fibre.

A supporto di tale obiettivo, i risultati speri-mentali hanno mostrato che le travi armate solo con fibre hanno un comportamento molto simile a quello delle travi con armatura tradizionale mini-ma.

Le fibre sono particolarmente utili anche nel controllo della fessurazione in quanto consentono uno sviluppo stabile e graduale della fessurazione a taglio, garantendo una duttilità e uno sviluppo adeguato della fessurazione prima del collasso.

Il modello analitico proposto per la determina-zione della resistenza a taglio di travi in fibrorin-forzato, basato su un approccio prestazionale, si è dimostrato efficace e affidabile in rapporto a più di 60 prove sperimentali confrontate.

Anche il modello per il calcolo della tenacità minima delle fibre da assicurare affinché esse co-stituiscano armatura minima trasversale si è veri-ficato adeguato e rispondente alla sperimentazio-ne presentata.

Il modello analitico proposto consente di aprire le frontiere a soluzioni tecnologicamente avanza-te, sinora penalizzate da prescrizioni di normativa che non tenevano in debito conto i differenti con-tributi resistenti di materiali innovativi quali il cal-cestruzzo fibrorinforzato.

6. RINGRAZIAMENTI Gli Autori desiderano esprimere il loro ringra-

ziamento al gruppo Magnetti Building, alle Offici-ne Maccaferri e all’ Alfa Acciai per aver contribuito alla realizzazione di parte dei provini o alla fornitu-ra di parte dei materiali utilizzati. Gli autori sono inoltre grati al Professor Giuriani, Università di Brescia, e ai Professori Vecchio e Collins

dell’Università di Toronto, per i numerosi consigli e le efficaci discussioni

Un sentito ringraziamento anche agli Ingegneri Bertozzi e Reggia per l’aiuto dato nella realizza-zione di alcuni tests e nell’interpretazione dei risul-tati.

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