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Procesamiento Óptico en Tiempo RealMonografía: Óptica Fotorrefractiva
Damián Gulich
2009© Dam
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THE DOCTOR: The radiation surge caused my program to mal-function, and my codes and circuits began to degrade. And yet, in-stead of detecting that threat to my program, I experienced an elab-orate delusion concerning the nature of my existence: Human orhologram, person - or projection. Why? Why would my programfocus on such an esoteric dilemma?
KES: Well... I sometimes ask those kind of questions - who amI... What am I doing here... What’s my purpose in life? Doesn’teverybody?
THE DOCTOR: Not me. I know exactly who I am and whatmy purpose is: I am the emergency medical hologram aboard thestarship Voyager!
KES: [smiling perkily] Are you sure about that?
“Star Trek: Voyager: Projections" (1995)
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Damián Gulich: [email protected]
Esta monografía fue escrita con LYX (http://www.lyx.org)¿Qué es LYX?LYX es un procesador de documentos de código abierto que sigue el
paradigma de “what you see is what you mean” (WYSIWYM -“lo que vees lo que desea”), en oposición a las ideas de WYSIWYG (“lo que ve es loque consigue”) empleadas en otros procesadores de texto. Esto significaque el usuario sólo tiene que preocuparse de la estructura y el contenidodel texto, mientras que el formato es hecho por LATEX.
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Figura 1: Holograma de SkyBox de Robert Picardo interpretando alHolograma de Emergencia Médica de Star Trek: Voyager.
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Índice general
I Fundamentos 9
1. Efecto electro-óptico 131.1. Propagación de luz en cristales anisotrópicos . . . 13
1.1.1. Ecuación general de la onda . . . . . . . . 141.1.2. Elipsoide de índices . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Análisis tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Efecto electro-óptico . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1. Cristales usuales: silenitas . . . . . . . . . 191.3.2. Niobato de litio . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Centros fotoactivos y fotoconductividad 252.1. Centros fotoactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Silenitas (cristales de Bi12TiO20 - BTO) . . 262.2. Fotoconductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Estados localizados: trampas y centros derecombinación . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Modelos teóricos . . . . . . . . . . . . . . 30
II Grabación de hologramas 37
3. Grabado de un campo eléctrico de carga espacial 393.1. Modulación del índice de refracción . . . . . . . . 433.2. Formulación general . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1. Ecuaciones de flujo . . . . . . . . . . . . . 493.2.2. Solución de estado estacionario . . . . . . 49
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8 ÍNDICE GENERAL
3.3. Aproximación de primer armónico espacial . . . . 51
4. Hologramas volumétricos con mezclado de ondas 554.1. Ondas acopladas: red fija . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Acoplamiento dinámico . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1. Redes combinadas de fase y amplitud . . . 584.3. Red de fase pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.1. Evolución temporal . . . . . . . . . . . . . 60
5. Aplicación: vibraciones y deformaciones 635.1. Arreglo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. El problema de la membrana circular . . . . . . . . 655.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6. Conclusiones generales 71
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Parte I
Fundamentos
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Introducción
Los cristales fotorrefractivos son materiales fotoconductivos yelectro-ópticos [3, 4]. Un campo eléctrico aplicado a un materi-al electro-óptico produce cambios en un índice de refracción, unfenómeno conocido como efecto Pockel. Por otro lado, la fotocon-ductividad significa que la luz de una longitud de onda adecuadaes capaz de producir portadores de carga que son libres de moversepor difusión y también por deriva de un campo eléctrico. En el casode los materiales fotorrefractivos, la luz excita portadores de car-gas de estados localizados (centros fotoactivos) en la franja de labanda prohibida a estados extendidos (banda de valencia o conduc-ción) donde se mueven, son reatrapados y excitados nuevamente, yasí sucesivamente. Durante este proceso, los portadores de carga seacumulan paulatinamente en las regiones oscuras de la muestra. Deesta manera, se acumulan cargas de un signo en la región oscura,mientras que se dejan cargas de signo opuesto en las regiones másclaras.
La modulación espacial de las cargas produce un campo eléc-trico asociado a las posiciones y las cargas. La combinación de am-bos efectos es el origen del llamado efecto fotorrefractivo: la luzproduce un campo eléctrico espacial basado en la fotoconducción(modulado), lo cual a su vez produce una variación del índice derefracción vía el efecto electro-óptico.
Este cambio puede ser revertido por la acción de la luz o por re-lajación incluso en la oscuridad. La acción de la luz en un materialfotosensible puede producir cambios en la polarizabilidad eléctricade las moléculas, y de esta forma, cambiar el índice de refracción
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complejo. Este cambio puede ser sensible o no, dependiendo dela longitud de onda. La parte imaginaria del índice (el coeficientede extinción, relacionado con la absorción) o la parte real (el pro-pio índice de refracción) pueden ser más afectados dependiendo delrango espectral empleado.
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Capítulo 1
Efecto electro-óptico
El efecto electro-óptico y la fotoconductividad son los fenó-menos subyacentes en el efecto fotorrefractivo. La mayoría de loscristales fotorrefractivos son anisotrópicos (es decir, que sus propiedadesdifieren en diferentes direcciones), o incluso los que no lo son sevuelven anisotrópicos cuando se les aplica un campo eléctrico ex-terno. Por ello, comenzaremos revisando la propagación de luz enmedio anisotrópicos.
En este capítulo veremos las propiedades fundamentales de ma-teriales anisotrópicos y veremos de qué manera un campo eléctricopuede modificar el elipsoide de índices mediante el efecto electro-óptico. Mostraremos cómo calcular estos efectos en algunos casossencillos en cristales con distintos tensores electro-ópticos.
1.1. Propagación de luz en cristales anisotrópi-cos
Comencemos con las relaciones vectoriales
D = ε0E+P (1.1)
P = ε0χE (1.2)
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14 CAPÍTULO 1. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO
donde ε0 = 8,82 · 10−12C/(mV) es la permitividad del vacío. P esel campo de polarización, E es el campo eléctrico y D es el cam-po de desplazamiento. Por tratarse de un medio anisotrópico, χ esun tensor de rango 2 que en el caso isotrópico simplemente es unnúmero, de manera que en ese caso la ecuación (1.2) simplementesería P = ε0χE.
La relación (1.2) se escribe de forma extendida como: P1P2P3
= ε0
χ11 χ12 χ13χ21 χ22 χ23χ31 χ32 χ33
E1E2E3
(1.3)
y tambiénD = ε0 (I + χ)E
También existe un sistema de referencia especial, en el cual χ
es diagonal:
χ =
χ11 0 00 χ22 00 0 χ33
(1.4)
en ese sistema, también podemos definir un tensor permitividad
ε = (I + χ) =
1+χ11 0 00 1+χ22 00 0 1+χ33
(1.5)
1.1.1. Ecuación general de la onda
La ecuación de la onda electromagnética para medios no mag-néticos y no cargados, puede ser deducida de las ecuaciones deMaxwell
∇×E = −µ0∂H∂ t
∇×H = ε0∂E∂ t
+∂P∂ t
+J
∇ ·E = − 1ε0
∇ ·P
∇ ·H = 0
(1.6)
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1.1. PROPAGACIÓN DE LUZ EN CRISTALES ANISOTRÓPICOS15
En el sistema de ejes principales se cumplen las relaciones P1P2P3
= ε0
χ11 0 00 χ22 00 0 χ33
E1E2E3
D1
D2D3
=
ε0 (1+χ11) 0 00 ε0 (1+χ22) 00 0 ε0 (1+χ33)
E1E2E3
1.1.2. Elipsoide de índices
Las densidades de energías we (eléctrica) y wm (magnética) sepueden escribir como
we =12
E ·D =12 ∑
klEkεklEl (1.7)
wm =12
B ·H =12
µH2 (1.8)
El vector de Poynting es
S = E×H (1.9)
Los ejes principales pueden hallarse como
D2x
εx+
D2y
εy+
D2z
εz= 8ε0πwe = cte (1.10)
dondeεx ≡ ε11 = 1+χ11εy ≡ ε22 = 1+χ22εz ≡ ε33 = 1+χ33
Donde se definex = Dx/
√weε0
y = Dy/√
weε0z = Dz/
√weε0
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16 CAPÍTULO 1. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO
Figura 1.1: Elipsoide de índices de refracción.
y donden2
x = εx = εx/ε0n2
y = εy = εy/ε0
n2z = εz = εz/ε0
Asíx2
n2x+
y2
n2y+
z2
n2z= 1 (1.11)
donde nx, ny y nz son los índices de refracción en las direcciones x,y, z respectivamente como se puede ver en la figura 1.1.
Para estudiar la propagación de ondas de vector de propagaciónk en este medio anisotrópico, es necesario intersectar la indicatrizcon un plano ortogonal al vector k. De ello resulta una figura elíp-tica donde los índices de refracción ne (extraordinario) y n0 (ordi-nario) para esta onda se hallan en la intersección de la correspon-diente dirección de vibración del campo eléctrico como se ve en lafigura 1.2.
1.2. Análisis tensorial
La ecuación general es
Si jxix j = 1 (1.12)
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1.2. ANÁLISIS TENSORIAL 17
Figura 1.2: Índices de refracción para una onda plana propagándosepor un medio anisotrópico.
donde i y j van de 1 a N, xi y x j son variables, y los Si j son coefi-cientes. Si Si j = S ji, la ecuación (1.12) es la representación generalde un elipsoide
S11x21+S22x2
2+S33x23+2S12x1x2+2S13x1x3+2S23x2x3 = 1 (1.13)
Esto puede a su vez llevarse a un nuevo sistema de coordenadasx′i mediante una rotación x′1
x′2x′3
=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
x1x2x3
Si los ai j = a ji , entonces en general
xi = akix′k x j = al jx′l (1.14)
lo cual en (1.13) es
Si jxix j = Si jakial jx′kx′l = S′klx′kx′l
donde S′kl = Si jakial j son los coeficientes en el nuevo sistema de co-ordenadas. Un elipsoide se puede emplear para describir cualquier
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18 CAPÍTULO 1. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO
tensor simétrico de segundo orden como S. En los ejes principales,S es diagonal, y la ecuación (1.13) se simplifica a los términoscuadráticos puros:
S11x21 +S22x2
2 +S33x23 = 1 (1.15)
1.3. Efecto electro-óptico
La ecuación (1.11) es un elipsoide en sus ejes principales. Suformulación general es
Bi jxix j = 1 (1.16)
conBi j =
1εi j
La pequeña variación en el índice de refracción producida porun campo eléctrico se puede describir con un tensor ri jk de rango3 (tensor optoeléctrico -en el rango de 10−12m/V en la mayoría delos materiales) mediante la relación
∆Bi j = ri jkEk (1.17)
Como Bi j = B ji, entonces
ri jk = r jik (1.18)
El tensor B se puede expresar como
B =
B11 B12 B13B21 B22 B23B31 B32 B33
=
B1 B6 B5B6 B2 B4B5 B4 B3
(1.19)
La relación electro-óptica entonces se reduce a
∆Bi = ri jE j (i = 1,2,3,4,5,6; j = 1,2,3) (1.20)
o, explícitamente∆B1∆B2
...∆B6
=
r11 r12 r13r21 r22 r23...
......
r61 r62 r63
∆E1
∆E2∆E3
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1.3. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO 19
Material Coeficientes no nulos[·10−12m/V]
Bi12TiO20 r41 = r52 = r63 ≈ 5GaAs r41 = r52 = r63 = 1,72InP r41 = r52 = r63 = 1,34
CdTe r41 = r52 = r63 = 5,5LiNbO3 r12 =−r22 ≈ 6,8
r13 = r23 = 10r33 = 32,2
r42 = r51 = 32
Cuadro 1.1: Coeficientes no nulos para diversos materiales.
Si se aplica un campo, la ecuación (1.16) se convierte en
(B1 + r11E1 + r12E2 + r13E3)x21
+(B2 + r21E1 + r22E2 + r23E3)x22
+(B3 + r31E1 + r32E2 + r33E3)x23
+(B4 +2r41E1 +2r42E2 +2r43E3)x2x3+(B5 +2r51E1 +2r52E2 +2r53E3)x1x3+(B6 +2r61E1 +2r62E2 +2r63E3)x1x2 = 1
(1.21)
Como estamos interesados en los crecimientos lentos de índicesde refracción producidos por la acumulación de cargas eléctricas,todos los coeficientes electro-ópticos se considerarán de frecuen-cias bajas, y veremos la forma de (1.21) en algunos materiales enparticular.
1.3.1. Cristales usuales: silenitas
Los cristales de esta familia son Bi12GeO20 (BGO), Bi12SiO20(BSO) y Bi12TiO20 (BTO) y son piezoeléctricos, electro y elasto-ópticos y ópticamente activos.
El BTO es el de menos actividad óptica y es a su vez el másdifícil de cultivar. El método de síntesis produce estrías en el cristalbruto, como se ve en la figura 1.3.
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20 CAPÍTULO 1. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO
Figura 1.3: Cristal bruto de Bi12TiO20. el cristal ha crecido a lolargo del eje [001], y las estrías son perpendiculares.
El tensor electro-óptico para esta familia de cristales tiene en lascoordenadas de ejes principales X1X2X3 los siguientes elementos:
r41 = r52 = r63 = r ≈ 5 ·10−12 mV
(1.22)
y todos los demás son cero.
Campo eléctrico nulo Si el campo eléctrico es cero, la ecuacióndel elipsoide (1.21) resulta
x21
n20+
x22
n20+
x23
n20= 1 (1.23)
mostrando que estamos tratando con un cristal isótropo.
Campo eléctrico en una dirección Supongamos que el camposea
E =1√2
E
110
de manera que (1.21) queda
x21 + x2
2 + x23
n20
+2r41E1x2x3 +2r52E2x1x3 = 1
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1.3. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO 21
Figura 1.4: Esquema de cristal cúbico de Bi12SiO20 y sus ejes prin-cipales X1, X2 y X3. Se muestra el campo E en la dirección “x”.
ox2
1 + x22 + x2
3
n20
+√
2r41E (x2x3 + x1x3) = 1 (1.24)
Si ahora introducimos una rotación de X1X2X3 → XY Z medi-ante
x = (x1 + x2)/√
2y = (−x1 + x2)/
√2
z = x3
la ecuación (1.24) se reduce a
x2 + y2 + z2
n20
+2r41Exz = 1 (1.25)
Para eliminar el término de xz, se puede hacer una nueva rotaciónen el plano xz según
x = (η +ζ )/√
2z = (η−ζ )/
√2
lo cual convierte finalmente a (1.25) en
ζ2(
1n2
0− r41E
)+η
2(
1n2
0+ r41E
)+
y2
n20= 1 (1.26)
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22 CAPÍTULO 1. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO
Comparando (1.26) con (1.23), los índices de refracción en cadadirección son
nζ =n0√
1−En20r41
nη =n0√
1+En20r41
ny = n0
Como r41 es muy pequeño (ver (1.22)), podemos hacer alrededorde r41 = 0 un desarrollo de Taylor de
n0√1±En2
0r41
= n0
(1∓ 1
2En2
0r41 + . . .
)= n0∓
12
En30r41 + . . .
de manera tal que si tomamos la aproximación hasta orden 1, losíndices de refracción ahora son
nζ = n0 +12
En30r41
nη = n0−12
En30r41
ny = n0
(1.27)
1.3.2. Niobato de litio
Los valores de los coeficientes ri j (ver tabla 1.1) hacen que laecuación tensorial (1.21) en presencia de un campo E según el ejex3 sea (ver figura 1.6)(
1n2
0+ r13E3
)x2
1 +
(1n2
0+ r13E3
)x2
2 +
(1n2
e+ r33E3
)x2
3 = 1
donde n0 = 2,286 y ne = 2,200 a λ = 633 nm.Se cumplen las siguientes relaciones:
∆
(1n2
1
)=− 2
n30
∆(n1) = r13E3 =⇒ ∆(n1) =−n3
02
r13E3
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1.3. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO 23
Figura 1.5: Dos estimaciones para el índice de refracción del nio-bato de litio [7].
Figura 1.6: Cristal de niobato de litio con un campo aplicado en eleje fotovoltáico c.
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24 CAPÍTULO 1. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO
∆
(1n2
2
)=− 2
n30
∆(n2) = r13E3 =⇒ ∆(n2) =−n3
02
r13E3
∆
(1n2
3
)=− 2
n30
∆(n3) = r33E3 =⇒ ∆(n3) =−n3
e
2r33E3
El elipsoide modificado se muestra en la figura 1.6.
Figura 1.7: Elipsoide de niobato de litio (negro) y el modificado(gris) modificado por la aplicación de un campo externo en direc-ciones opuestas en el eje c.© D
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Capítulo 2
Centros fotoactivos yfotoconductividad
Introducción
Los materiales fotorrefractivos son electro-ópticos y fotocon-ductores. Esto significa que bajo la acción de la luz, se excitaránelectrones o vacancias [5] provenientes de centros fotoactivos (donoreso aceptores) en algún lugar dentro de la banda de energía prohibidaentre la banda de valencia [VB] (vacancias) y la banda de conduc-ción [CB] (electrones), donde se acumularán y harán difusión porun gradiente de difusión o un campo eléctrico externo. Después deavanzar una cierta longitud promedio (LD si es por difusión o LE sies por un campo eléctrico), son reabsorbidos nuevamente, excita-dos, liberados y así sucesivamente.
En presencia de una intensidad de luz modulada espacialmenteen el material, los portadores de cargas se acumulan progresiva-mente en las regiones menos iluminadas, mientras que las más ilu-minadas se cargan opuestamente. Tal modulación de trampas car-gadas produce una separación de cargas eléctricas y también uncampo eléctrico que es capaz de modificar el índice de refracciónmediante el efecto electro-óptico detallado en la sección 1.3.
Al movimiento de cargas por el gradiente de difusión se leopone el creciente campo de las cargas hasta que se logra un equi-
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26CAPÍTULO 2. CENTROS FOTOACTIVOS Y FOTOCONDUCTIVIDAD
librio. La presencia de defectos que forman estados localizados enla banda intermedia es indispensable para construir el campo quees la base del efecto fotorrefractivo. Estos defectos pueden provenirdel dopado del material (Fe en el caso del LiNbO3), llamándose“extrínsicos”; mientras que los defectos estructurales por el proce-so de cultivo del cristal se llaman “intrínsecos”.
La interferencia de dos haces coherentes de luz puede producirpatrones modulados de luz visible del orden de una longitud deonda del haz de grabación. Con períodos tan cortos se produce unelevado gradiente de difusión, lo cual implica un campo opuestoelevado (del orden de los kV/cm), el cual permite grandes cambiosen el índice de refracción.
Estos efectos se pueden producir con energías fotónicas hν losuficientemente altas como para excitar a los portadores de car-ga, pero menores que la energía del salto entre bandas (Eg), demanera tal que el material es transparente a esta radiación. Así, lagrabación se produce en todo el volumen de la muestra, y los hacesde grabación también pueden notar su propio efecto: se refractan odifractan según las variaciones en el índice de refracción que ellosmismos producen casi en tiempo real.
2.1. Centros fotoactivos
2.1.1. Silenitas (cristales de Bi12TiO20 - BTO)
La energía de la banda prohibida a temperatura ambiente parael Bi12GeO20 (BGO), para el Bi12SiO20 (BSO), el Bi12GaO20 y elBTO es
Eg = 3,2 eV≡ λ = 400 nm
La igualdad de estas energías se basa en la igualdad estructuralde todos estos compuestos. En estas variantes es posible grabarhologramas con longitudes de onda que van de los 514,5 nm hastalos 780 nm.
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2.1. CENTROS FOTOACTIVOS 27
Figura 2.1: Estructura general (tentativa [3]) de los estados local-izados en el salto entre bandas de valencia y conducción para uncristal de Bi12TiO20 nominalmente sin dopado.
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28CAPÍTULO 2. CENTROS FOTOACTIVOS Y FOTOCONDUCTIVIDAD
Figura 2.2: Semiconductor intrínseco: el nivel de Fermi y su dia-grama de energía versus estados de ocupación (derecha). Los elec-trones están representados con • y las vacancias con .
2.2. Fotoconductividad
La fotoconductividad depende básicamente de la concentraciónde portadores libres de cargas (electrones o vacancias) en los es-tados extendidos (bandas de conducción o valencia). En presenciade un salto relativamente grande entre bandas (como es el caso conla mayoría de los materiales fotorrefractivos), la densidad de porta-dores libres depende en gran medida del número y tipo de estadoslocalizados (fotoactivos) en el salto entre bandas.
2.2.1. Estados localizados: trampas y centros de recom-binación
En un semiconductor intrínseco, el nivel de Fermi está justa-mente en el medio del salto entre bandas de valencia y conducción(figura 2.2), con aproximadamente el 100% de los estados debajodel nivel de Fermi ocupados con electrones, y casi el 0% por arri-ba. Sea n la densidad de electrones libres en la banda de conducción(CB) y sea h la densidad de vacancias en la banda de valencia (VB).Se cumplen las relaciones
n = NCe−(EC−EF )/(kBT )
h = NV e−(EF−EV )/(kBT ) (2.1)
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2.2. FOTOCONDUCTIVIDAD 29
Figura 2.3: Semiconductor dopado. El nivel de Fermi se corre hastala posición del dopante. A la derecha el diagrama de energía versusestados de ocupación.
donde kB es la constante de Boltzman, T es la temperatura absoluta,NC y NV son las densidades de estados (DOS) en las bandas deconducción y valencia respectivamente, EC es la energía de la bandade conducción, EV es la energía de la banda de valencia, y EF es laenergía de Fermi.
La presencia de impurezas puede correr el nivel de Fermi, comose muestra en la figura 2.3, donde todos los donores por encima delnivel de Fermi están vacíos en el equilibrio en la oscuridad, comose muestra por el diagrama de los estados de ocupación (de 0 a 1) ala derecha en la figura 2.3. En el ejemplo de la figura, la densidadde vacancias libres es mayor que la de electrones libres porque EF
está más cerca de la banda de valencia que de la de conducción, yasumimos que NC ≈ NV .
La situación puede cambiar por la acción de la luz. Cuando in-cide luz con la energía correcta, los portadores de cargas se exci-tan de forma tal que los niveles localizados inicialmente vacíos sepueblan y las densidades de portadores libres en la VB y CB au-mentan. Para seguir la cuenta de estos cambios y aún así mantenerla ecuación (2.2), se definen los estados de Fermi estacionarios (oestados cuasi-Fermi) para los electrones E f n y para los huecos E f p
como se esquematiza en la figura 2.4 con la ocupación de estados
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30CAPÍTULO 2. CENTROS FOTOACTIVOS Y FOTOCONDUCTIVIDAD
Figura 2.4: Semiconductor dopado: Se muestran los niveles cuasi-estacionarios de Fermi E f después de iluminar. A la derecha, elesquema de energía versus ocupación de estados.
modificada según lo que se muestra a la derecha de la figura.La densidad de portadores libres ahora es
n = NCe−(EC−E f n)/(kBT )
h = NV e−(E f p−EV)/(kBT ) (2.2)
En estas condiciones, los portadores de cargas en los estadoslocalizados entre E f n y E f p son estables y permanecen en estos es-tados por un largo tiempo hasta su recombinación con un portadorde carga opuesta. Estos niveles, pues, se denominan “centros derecombinación”, y se los ilustra en la figura 2.5. Los estados local-izados fuera de la banda de energía E f n−E f p fácilmente envíansus portadores de carga a los estados extendidos más cercanos y selos llama “trampas”, como se muestra en la figura 2.6. En el casode las silenitas, los centros de recombinación producidos por la luzpermanecen así (al menos parcialmente) por horas, días o semanasmanteniendo la muestra en la oscuridad.
2.2.2. Modelos teóricos
El comportamiento de las silenitas y el niobato de litio puedegeneralizarse asumiendo que hay en la muestra una especie (un ion)
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2.2. FOTOCONDUCTIVIDAD 31
Figura 2.5: Centros de recombinación
Figura 2.6: Trampas.
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32CAPÍTULO 2. CENTROS FOTOACTIVOS Y FOTOCONDUCTIVIDAD
Figura 2.7: Representación esquemática de un material con un cen-tro (una sola especie) con dos estados de valencia (donores y acep-tores de electrones) en sus dos estados correspondientes ligera-mente separados en el salto entre bandas. Los aceptores de elec-trones están representados con carga +.
con dos estados de valencia distintos (Fe2+/Fe3+ en el niobato delitio dopado con hierro, y Bi3+/Bi5+ en las silenitas). Los donoresy aceptores se incorporan y/o forman en el material durante el crec-imiento del cristal en un ambiente local eléctricamente neutro.
Bajo la acción de luz con una longitud de onda adecuada, seexcitan los electrones de sus donores en la CB (figura 2.8), hacendifusión, derivan (en caso de campo externo aplicado), y , luego dealgún tiempo (la vida del fotoelectrón) es probable que sean atra-pados en algún sitio con aceptores disponibles, para ser excitadonuevamente, y así sucesivamente.
Bajo iluminación no uniforme, como se muestra en la figura 2.9,los portadores de cargas se excitan a los estados extendidos (BC oVB) hacen difusión y/o derivan y se acumulan progresivamente enlas regiones más oscuras (menos iluminadas) donde la tasa de ex-citación por la luz es menor que en las regiones más brillantes. De-
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2.2. FOTOCONDUCTIVIDAD 33
Figura 2.8: Movimientos de cargas bajo la acción de la luz.
spués de interrumpir la iluminación, los electrones (profundamente)atrapados permanecen donde están porque la excitación térmica esmuy baja para excitarlos de nuevo a la CB en una tasa apreciable.Así, las regiones más iluminadas se cargan positivamente y las re-giones menos iluminadas se cargan negativamente.
Para el caso de las silenitas (al menos para Bi12TiO20 sin dopar)se sabe que al menos dos redes se registran bajo condiciones habit-uales. Una sola especie (o único centro) con dos estados de valenciano puede explicar tal comportamiento, y más de una especie, por lotanto, debe estar involucrada. En este caso, dos sistemas fotoactivosindependientemente modulados (dos centros) pueden ser produci-dos por la acción de la luz, y se pueden registrar dos redes, una encada uno de ellos.
En particular, las expresiones de la densidad de electrones libresen la banda de conducción dependen del modelo teórico utiliza-do para describir el comportamiento de los materiales. Aquí vamosa analizar los dos modelos más simples: un centro y dos centros,siempre con una solo portador de carga (electrones).
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34CAPÍTULO 2. CENTROS FOTOACTIVOS Y FOTOCONDUCTIVIDAD
Figura 2.9: Bajo la acción de iluminación no-uniforme las cargasnegativas se acumulan en la parte oscura (menos iluminada) dejan-do en las regiones más iluminadas cargas positivas.
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2.2. FOTOCONDUCTIVIDAD 35
Modelo con un centro
Asumimos un solo tipo de centro fotoactivo (ND1, N+D1), en este
caso las cargas y el campo eléctrico de cargas están determinadaspor la derivada temporal, la condición de continuidad y la ecuaciónde Poisson.
Escribimos conservación de la carga según
∂tN (x; t) = G−R− 1q
∇ · j (2.3)
∂tN+D1 = G−R (2.4)
La generación de fotoelectrones es
G =[ND−N+
D (x; t)][ sI
hν+β
](2.5)
La recombinación de fotoelectrones es
R = rN+D (x; t)N (x; t) (2.6)
La corriente de cargas en términos de la deriva (primer término)y la difusión (segundo) es
j = eN (x; t)µE(x; t)−q′D ∇N (x; t) (2.7)
La relación de Poisson entre la densidad de cargas y el campoeléctrico es
∇ · εε0E(x; t) =−q[N+
D (x; t)−N (x; t)−N−A]
(2.8)
donde
e = 1,602 ·10−19 C es el valor absoluto de la carga del elec-trón.
Para vacancias, q = e (y se sustituye N+D por N−D , y así suce-
sivamente).
Para electrones q =−e.
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36CAPÍTULO 2. CENTROS FOTOACTIVOS Y FOTOCONDUCTIVIDAD
N es la densidad de electrones libres en la banda de valencia.
N+D es la densidad centros vacíos ionizados (aceptores de
electrones) y ND es la densidad total de centros fotoactivos
N−A es la concentración de iones negativos no fotoactivos quecompensan las trampas positivas N+
D iniciales.
µ es la movilidad de los electrones.
D es el coeficiente de difusión.
s es la sección eficaz efectiva para la generación de fotoelec-trones.
β es el coeficiente térmico de generación de fotoelectrones
ε es la constante dieléctrica del cristal.
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Parte II
Grabación de hologramas
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Capítulo 3
Grabado de un campoeléctrico de carga espacial
El material se caracteriza generalmente por un salto de banda deenergía relativamente grande en comparación a la luz de grabaciónde modo que la última puede pasar por el volumen de muestra. Den-tro del salto de banda, hay uno o más estados localizadas (centrosfotoactivos), desde donde los electrones y/o vacancias se puedenexcitar a la banda de conducción (CB) o la banda de valencia (VB)como se ilustra en la Figura 3.1 en la página siguiente.
Para garantizar la neutralidad eléctrica en equilibrio, los donoreso aceptores de carga deben estar en las proximidades de un ion no-fotoactivo de carga opuesta. Bajo la acción de un patrón de modu-lación de luz en el cristal, los electrones (por simplicidad vamos asuponer que se tratan sólo de electrones) se excitan a la CB, dondese difunden a lo largo de la dirección de su gradiente de concen-tración con una longitud de difusión característica, se atrapan denuevo, se reexcitan, y así sucesivamente. Después de algún tiempolos electrones se acumulan preferentemente en las regiones menosiluminadas, porque ahí están excitados con menos eficiencia que encualquier otro lado. Así se logra una distribución espacial de car-ga eléctrica, con más cargas positivas que se quedan en las zonasiluminadas y las cargas negativas en las regiones menos iluminadascomo se ilustra en la Figura 3.2 en la página 41.
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40CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
Figura 3.1: Centros fotoactivos en el salto entre bandas. Hay tram-pas llenas ND −N+
D (donores de electrones), trampas vacías N+D
(aceptores de electrones) e iones no-fotoactivos (+) para dar unaneutralidad local de cargas.
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Figura 3.2: Bajo la acción de la luz, los electrones se excitan desdelas trampas hasta la banda de conducción donde hacen difusión y serecombinan en las regiones oscuras. Así resulta una modulación dela carga eléctrica con carga positiva promedio en la zona iluminaday con carga negativa en la zona menos iluminada.
Figura 3.3: La distribución de cargas produce una modulación en elcampo de cargas espaciales.
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42CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
Figura 3.4: La modulación del campo eléctrico puede producir de-formaciones en la red cristalina.
La modulación espacial de carga produce una modulación enel campo eléctrico asociado a las cargas espaciales como se ilustraen la Figura 3.3 en la página anterior, que está desfasada en π/2a la modulación espacial de carga debido a la conocida ecuaciónde Poisson sobre carga y campo eléctrico. Si el material es electro-óptico además de ser fotoconductor, entonces la modulación espa-cial de cargas produce una modulación correspondiente en el índicede refracción, en fase con el campo, como ya se ha descrito en 1.3y se ilustra en las figuras 3.4 y 3.5 en la página siguiente. Bajo laacción de un campo externo, los electrones se mueven a causa dela deriva eléctrica, además de la acción de la gradiente de difusiónde concentración. Debido a la acción no simétrica de la deriva, lamodulación espacial de carga resultante ya no está en fase con elpatrón de modulación de la luz.
Un patrón sinusoidal de luz que puede ser utilizado para lagrabación holográfica es producido con la configuración interfer-ométrica (u holográfica) de esquemáticamente representada en laFigura 3.6 en la página 44.
Vale la pena señalar una característica general de cualquier in-stalación holográfica: La desviación angular α del haz de láser deentrada produce una desviación lineal del patrón de franjas en elplano de grabación que es proporcional a
α2×∆L
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3.1. MODULACIÓN DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN 43
Figura 3.5: Si el material fotoconductor es también electro óptico(es decir, fotorrefractivo), el campo de cargas espaciales puede pro-ducir una modulación en el índice de refracción en el volumen delcristal que está en fase (o contrafase) con la modulación del campoespacial de cargas y que está corrido en π/2 respecto del patrón deluz.
∆L es la diferencia de camino óptico entre los dos haces que in-terfieren. Para reducir esa inestabilidad, es altamente recomendablereducir ∆L tanto como sea posible. La elección de ∆L también de-pende de la longitud de coherencia del láser que se emplea: estaúltima debe ser mucho más que ∆L; o de lo contrario solo se lo-grará un patrón de franjas pobres en contraste (o incluso ningunafranja).
Toda la grabación y el proceso de lectura pueden ser descritosesquemáticamente en la figura 3.7 en la página 45.
3.1. Modulación del índice de refracción
Vamos a ver la manera en que la modulación del campo espa-cial de cargas podrá actuar en el elipsoide de índices con el fin deproducir la modulación del índice de refracción necesaria para lo-grar una red volumétrica en un material fotorrefractivo. Tomemos
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44CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
Figura 3.6: Esquema de holografía. Se divide el haz en un beamsplitter (BS) y pasa a los espejos M1 y M2 que hace a las dos partesinterferir con un ángulo 2θ . En el volumen de interferencia de estosdos haces se produce un patrón de luz sinusoidal. Las irradianciasse pueden medir con los fotodetectores D1 y D2. Las pupilas Sh1 ySh2 se pueden usar para cortar alguno de los haces si es necesario.
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3.1. MODULACIÓN DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN 45
1) Generación de un patrón 2) Excitación de los electrones
de franjas de interferencia. a la CB del cristal.
3) Generación de una modulación 4) Generación de una modulación
espacial de cargas. de un campo eléctrico espacial de cargas.
5) El campo produce una modulación 6) Se puede leer la red hecha usando uno
en el índice de refracción por efecto
electro-óptico.
de los haces, que se transmite y difracta.
7) La red se borra mientras se la lee... 8) ... ¡hasta que que todo lo grabado se perdió!
Figura 3.7: Grabación y proceso de lectura.
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46CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
el ejemplo las silenitas (1.26). Es fácil entender que para cualquierdirección de polarización del haz de lectura (el rayo incidente quees difractado por la red de difracción en el volumen del cristal), elíndice de refracción va a cambiar como el campo espacial de cargastambién en valor y sentido. Sin embargo, no es tan obvio entenderpor qué la modulación del índice de refracción es invariante paracualquier dirección de polarización del haz de lectura. De hecho,cualquier haz de lectura polarizado linealmente puede ser descom-puesto en dos ondas que se propagan por los ejes principales η y ζ
. En un período de la red el campo espacial de carga va a cambiara partir de un valor máximo a lo largo de x (Fig. 3.8 en la páginasiguiente) hasta el máximo a lo largo de la otra dirección. Por lotanto, la variación del índice de refracción a lo largo de los ejes η
y ζ en un período de espacial de una red será, en valores absolutos,el mismo:∣∣∆nζ
∣∣= |∆nη |=12
n30r41E− (−) 1
2n3
0r41E = n30r41E (3.1)
En conclusión, como el índice de refracción de la modulacióna lo largo de cualquiera de los dos ejes principales es la misma, laproporción de la onda incidente de lectura que se descompone y sepropaga a lo largo de cada uno de los ejes principales no afecta ala modulación en toda la fase general de la de onda de lectura. Porlo tanto, la eficiencia de difracción medida con el haz de lectura, enlo que concierne al índice de refracción de la modulación, será in-variante con la dirección de la polarización de la onda de la lectura.Cabe señalar que esta conclusión es independiente de la actividadóptica o el efecto de cualquier otra índole en la eficiencia de difrac-ción. Este resultado ha sido reportado experimentalmente y tambiénteóricamente demostrado de forma más cuantitativa por varios au-tores [Apostolidis et al., 1985; Mallick et al., 1987; Marrakchi etal., 1986].
3.2. Formulación general
En esta sección veremos el transporte de cargas para un casoparticular de interferencia como se ve en la figura 3.9.
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3.2. FORMULACIÓN GENERAL 47
Figura 3.8: Ejes principales del efecto de un campo eléctrico E apli-cado a lo largo del “eje x” como en la Figura 1.4 en la página 21.
Figura 3.9: Patrón de franjas sinusoidal y la red el campo espacialde cargas resultante.
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48CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
La interferencia de dos ondas planas complejas de frecuenciaangular ω de la forma
S(x; t) = S0ei(kS·x+φ−ωt)
R(x; t) = R0ei(kR·x−ωt)
produce un patrón de luz de la forma
I = ‖S+R‖2 =(S2
0 +R20)[
1+2S0 ·R0
S20 +R2
0cos(Kx+φ)
](3.2)
I = I0 [1+ |m|cos(Kx+φ)] (3.3)
I = I0 + I0
(meiKx +m∗e−iKx
2
)(3.4)
dondem≡ |m|eiφ
|m| ≡ 2S0 ·R0
S20 +R2
0cos( S0,R0
)y definimos
I0S ≡ ‖S0‖2
IS ≡ ‖S‖2
I0R ≡ ‖R0‖2
IR ≡ ‖R‖2
I0 ≡ I0S + I0
R
además,
K ≡ 2π
∆= 2k sin(θ)
dondek = ‖kS‖= ‖kR‖
y 2θ es el ángulo entre haces y ∆ es el período espacial del patrónde franjas sinusoidales. El patrón se proyecta en el material paragrabar un holograma elemental. El índice “0” significa el valor enel plano de entrada. La cantidad m es la modulación compleja delpatrón de franjas.
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3.2. FORMULACIÓN GENERAL 49
3.2.1. Ecuaciones de flujo
Para el modelo de un centro con dos valencias y un portador decargas, las ecuaciones (2.3)-(2.8) son
∂tN (x; t) = G−R− 1q
∇ · j
∂tN+D (x; t) = G−R
donde
G =[ND−N+
D (x; t)][ sI
hν+β
]R = rN+
D (x; t)N (x; t)
j = eN (x; t)µE(x; t)−q′D ∇N (x; t)
∇ · εε0E(x; t) =−q[N+
D (x; t)−N (x; t)−N−A]
donde e = 1,6 · 10−19 Coul (para la lista completa de referencias,ver 2.2.2 en la página 35). Cuando los portadores de carga son loselectrones, q =−e. Para las vacancias, q = e con N−D y ND−N−D envez de N+
D y ND−N+D , y N+
A en vez de N−A .
3.2.2. Solución de estado estacionario
En este caso, todas las derivadas temporales son cero:
G−R = 0
∇ · j = 0 =⇒ j = j0 = cte
AsíN ≈N0 [1+m cos(Kx)] (3.5)
donde
N0 ≡ND−N+
D
γN+D
shν
I0
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50CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
Así, la densidad de electrones libres en la banda de conducciónN sigue exactamente el patrón espacial lumínico. Así
j0 = eN (x; t)µE (x; t)−qD ∂xN (x; t) (3.6)
Conocida N de (3.5), se la puede reemplazar en (3.6) para de-spejar E como
E =j0
eµN0
[1
1+m cos(Kx)
]+m
K D
µ
[sin(Kx)
1+m cos(Kx)
](3.7)
donde E y j0 son los valores de los campos respectivos en la direc-ción x de este arreglo geométrico en particular. Estas relaciones sepueden simplificar considerando que el voltaje externo aplicado es
V0 =
ˆ L
0E dx
En estas condiciones, el integrando del primer término entrecorchetes en (3.7) es
L√1−m2
y el del segundo es 0 si L 2π/K. Así
E0 ≡V0
L=
j0eµN0
1√1−m2
(3.8)
lo que reemplazado en (3.7) da la expresión para el campo eléctricocomo
E = E0
[ √1−m2
1+m cos(Kx)
]+mED
[sin(Kx)
1+m cos(Kx)
](3.9)
dondeED ≡
K D
µ= K
kBTe
Es decir, que ED es el campo eléctrico de difusión y E0 es elcampo eléctrico externo aplicado. Esto muestra que en general, unpatrón sinusoidal de franjas no implica necesariamente un patrónde cargas espaciales de la misma forma.
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3.3. APROXIMACIÓN DE PRIMER ARMÓNICO ESPACIAL51
Figura 3.10: Campo eléctrico de cargas espaciales sin campo eléc-trico externo aplicado para un patrón de franjas con modulaciónm = 0,99 (arriba-izquierda), m = 0,66 (arriba-derecha), m = 0,30(abajo).
Para el caso |m| 1, (3.9) se simplifica como
E ≈E0
√1−m2 [1−m cos(Kx)]+mED sin(Kx)−m2 ED
2sin(2Kx)
(3.10)
3.3. Aproximación de primer armónico espa-cial
Es posible desarrollar una expresión para la evolución tempo-ral también, incluso dentro del régimen |m| 1. Si asumimos queN, N+
D y E son funciones periódicas reales en x, es posible desar-rollarlas en series de Fourier en lo que se denomina “la primeraaproximación espacial armónica”.
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52CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
N (x; t) = N0 +N0
[a(t)eiKx +a∗ (t)e−iKx
2
](3.11)
N+D (x; t) = N+
D +N+D
[A(t)eiKx +A∗ (t)e−iKx
2
](3.12)
E (x; t) = E0 +
[ESC (t)eiKx +E∗SC (t)e−iKx
2
]N+
D = N−A +N0 ≈ N−ASustituyendo (3.4) y (3.12) en (2.5), el término de generación
se puede escribir como
G(x; t) = G0 +G′0
[g(t)eiKx +g∗ (t)e−iKx
2
]donde
G(x; t) =(ND−N+
D
) (s I0
hν+β
)×
×[1− 1
4
(N+
DND−N+
D
)(sI0/(hν)
sI0/(hν)+β
)(A(t)m∗+A∗ (t)m)
](3.13)
donde
G′0 =(ND−N+
D
)(s I0
hν+β
)=
N0
τ
g(t) =sI0/(hν)
sI0/(hν)+β− N+
D
ND−N+D
A(t)
Para el caso |mA(t)| 1, las anteriores expresiones puedensimplificarse como
G0 ≈ G′0 =N0
τ
Las ecuaciones (3.11) y (3.12) en (2.6) pueden dar una expre-sión del reatrapado como
R(x; t) = R0 +R0
[r (t)riKx + r∗ (t)r−iKx
2
]
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3.3. APROXIMACIÓN DE PRIMER ARMÓNICO ESPACIAL53
dondeR0 = γN+
D N0 =N0
τ
yr (t) = a(t)+A(t)
Después de sucesivos cálculos y empleando las aproximacionespropias del régimen de baja modulación [3, p. 60-61], el campoeléctrico de cargas espaciales es para q =−e
∂tESC (t) =−me f f (E0 + iED)+ESC
(1+K2l2
S − iKlE)
τM (1+K2LD− iKLE)(3.14)
oτSC∂tESC (t)+ESC (t) =−mEe f f (3.15)
dondeτSC ≡ τM
E0 + iED
1+K2l2S − iKlE
τM ≡εε0
eµN0
me f f ≡msI0/(hν)
sI0hν
+β
K2l2S ≡
ED
Eq=
K2εε0kBTe2 (ND)e f f
(ND)e f f ≡N+
D
(ND−N+
D
)ND
KlE ≡E0
Eq=
Kεε0E0
e(ND)e f f
Eq ≡e(ND)e f f
Kεε0
y Eq es el campo de saturación del campo de cargas espaciales, ylS es la longitud de apantallamiento de Debye. Ver ejemplo en lafigura 3.11 en la página siguiente.
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54CAPÍTULO 3. GRABADO DE UN CAMPO ELÉCTRICO DE CARGA ESPACIAL
Figura 3.11: Grabación simulada (de 0 a 20 unidades arbitrarias)y borrado (de 20 a 50 au) de un campo de cargas espaciales conE0 = 0 y τSC = 10au computado con (3.15).
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Capítulo 4
Hologramas volumétricoscon mezclado de ondas
4.1. Ondas acopladas: red fija
La ecuación de onda (Ψ) dentro del material es
∇2Ψ+ k2
Ψ = 0
donde
k2 =(
ω
c
)2[
1+χ + iσ
ωε0
]n2 =
(cv
)2= 1+χ + i
σ
ωRε0
ε ≡ 1+χ
ε y σ tienen formas complejas que permiten escribir a k2 como
k2 = β2 + i2βα +2β
[κ+eiK·r +κ−e−iK·r]
Si se ensayan soluciones de la forma
Ψ = R(z)ei~ρ·r +S (z)ei~δ ·r
donde ~ρ y ~δ son vectores de onda, y donde la condición de Bragges
K+~δ=~ρ
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56CAPÍTULO 4. HOLOGRAMAS VOLUMÉTRICOS CON MEZCLADO DE ONDAS
Figura 4.1: Grabación de un holograma de índice de refracción quetiene una diferencia de fase φ = φP con respecto del patrón de fran-jas de grabación.
Figura 4.2: Condición de Bragg donde ~ρ y ~δ son los vectores deonda incidente y difractada respectivamente (o viceversa) y K es elvector de onda de la red.
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4.2. ACOPLAMIENTO DINÁMICO 57
dondeρ = δ =
2π
λ
K =2π
∆
donde ∆ es el período espacial del patrón de franjas sinusoidales.Para el caso de acoplamiento débil:
∂ 2R∂ z2 ≈
∂ 2S∂ z2 ≈ 0 (4.1)
Cuando la polarización es TE, las ecuaciones están acopladas:
cos(θ)∂R∂ z
+αR = iκ+S (4.2)
cos(θ)∂S∂ z
+αS = iκ−S (4.3)
con
κ+ =12
[ω
cε1
2√
ε0eiφP + i
µσ1c2√
ε0eiφA
]=
12
[ω
c∆neiφP + i∆αeiφA
](4.4)
κ−=12
[ω
cε1
2√
ε0e−iφP + i
µσ1c2√
ε0e−iφA
]=
12
[ω
c∆ne−iφP + i∆αe−iφA
](4.5)
donde∆n =
ε1
2√
ε0∆α =
µσ1c2√
ε0
4.2. Acoplamiento dinámico
En medios fotorrefractivos existe un intercambio dinámico, lla-mado “auto-difracción” (o mezclado de ondas), que no existe en re-des fijas donde κ+ y κ− no son constantes. La amplitud del índicede refracción puede expresarse como
∆n = mn1 n1 ≡−n3re f f
∣∣Ee f f∣∣
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58CAPÍTULO 4. HOLOGRAMAS VOLUMÉTRICOS CON MEZCLADO DE ONDAS
4.2.1. Redes combinadas de fase y amplitud
Para el caso general de una red dinámica que tiene al mismotiempo una modulación de fase (con una amplitud de modulaciónde índice de refracción n1) desfasado en φP y una modulación deamplitud (con una amplitud α1) desplazada en φA hacia el patrónde interferencia de la luz en el cristal, es posible plantear las inten-sidades como
I = Ib + I0 [1+ |m|cos(Kx+φ)] (4.6)
I = (Ib + I0)
[1+ |m| I0
Ib + I0cos(Kx+φ)
](4.7)
Una versión de las ecuaciones diferenciales asociadas es
∂ (IR + IS)
∂ z=−4α1 cos(φA)
cos(θ)
(IRIS
IR + IS
)(4.8)
∂ (IS− IR)
∂ z=−8πn1 sin(φP)
λ cos(θ)
(IRIS
IR + IS
)(4.9)
∂ (ψS−ψR)
∂ z= 2
πn1 cos(φP)
λ cos(θ)
(IS− IR
IR + IS
)− α1 sin(φA)
cos(θ)(4.10)
∂ (ψS +ψR)
∂ z= 2
πn1 cos(φP)
λ cos(θ)+
α1 sin(φA)
cos(θ)
(IS− IR
IR + IS
)(4.11)
Propiedades fundamentales
Las propiedades fundamentales de las redes de amplitud y fasecombinadas vienen de la interpretación de las ecuaciones (4.8)-(4.11).
Conservación de la energía: sin considerar absorciones, IR+IS es constante a lo largo del eje z en la muestra. Esto semantiene para cualquier condición, haciendo cero el lado dere-cho de (4.8). La energía se conserva para un desfasaje de 90ºde la red de amplitud (cos(φA) = 0) o para la ausencia de redde amplitud α1 = 0.
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4.2. ACOPLAMIENTO DINÁMICO 59
Figura 4.3: Acoplamiento de amplitud para el mezclado de dos on-das. En este ejemplo, el haz más débil recibe energía del más inten-so, pero también existe la posibilidad de que sea al revés.
Intercambio de energía o acoplamiento de amplitud: La ecuación(4.9) describe el intercambio de energía entre haces, y es de-pendiente de la parte imaginaria de la red de fase, y se ilustraen la figura 4.3. La red de amplitud no tiene efectos. Si nohay red de fase, no existe la posibilidad de que se intercam-bie energía entre haces.
Cambio de fase o acoplamiento de fase: El cambio de losplanos de fase del patrón de interferencia es descrito por laevolución de la ψS−ψR y se esquematiza en la figura 4.4. Ladiferencia de fase (holograma de cambio de fase) entre el reg-istro de patrón de luz y el holograma que se está grabando esdeterminada por el material y los parámetros experimentales.Esto significa que el holograma seguirá el desplazamiento delpatrón de grabación de luz para mantener constante el cam-bio de fase holográfica. En consecuencia, tanto el patrón dela luz como el holograma grabado se desplazan de forma sin-crónica. Por (4.10), no hay cambio de fase del holograma enlos siguientes casos:
• amplitud en fase (o contrafase) y ±90º de desfasaje en
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60CAPÍTULO 4. HOLOGRAMAS VOLUMÉTRICOS CON MEZCLADO DE ONDAS
Figura 4.4: Acoplamiento de amplitud para el mezclado de dos on-das. El patrón de franjas y la red asociada se van corriendo pro-gresivamente. En este gráfico también se muestra cierto grado deacoplamiento de amplitud.
la red de fase• amplitud en fase (o contrafase) y red de fase en fase
(sin acoplamientos de haces) con iguales irradiancias(I0
S = I0R).
4.3. Red de fase pura
En el caso de α1 = 0, por (4.8):
IR + IS = I0R + I0
S = I0 (4.12)
4.3.1. Evolución temporal
Las ecuaciones diferenciales asociadas para S y R son
cos(θ) ∂ 2S∂ z∂ t +
cos(θ)τ∗SC
∂S∂ z + i 2|R|2S
τ∗SC(|R|2+|S|2)
(−πn3re f f E∗e f f
2λ
)= i(−πn3re f f E∗e f f
2λ
)∂R∂ t
(4.13)
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4.3. RED DE FASE PURA 61
cos(θ) ∂ 2R∂ z∂ t +
cos(θ)τSC
∂S∂ z + i 2|S|2R
τSC(|R|2+|S|2)
(−πn3re f f E∗e f f
2λ
)= i(−πn3re f f E∗e f f
2λ
)∂S∂ t
(4.14)
Aproximación
Si asumimos conservación de la energía,
I0 = I = |R|2 + |S|2
las soluciones para S∗ y R son
S∗ = A0 (t0) J0
[√i
8κztτSC cos(θ)
]e−t/τSC (4.15)
R = A0 (t0) J0
[√−i
8κztτSC cos(θ)
]e−t/τSC (4.16)
donde
κ = lımt→∞
κ (t) =πn3re f f E∗e f f
2λ(4.17)
Evolución temporal con feedback
La transferencia de energía de un haz a otro está determina-da por la dirección de propagación del haz y de los parámetrosdel cristal, es decir, por el signo de κ o κ∗ en la correspondienteecuación de ondas acoplada. La evolución de la intensidad vienedada por
|S|2 =
∣∣∣∣∣A0 (t0) J0
[√i
8κztτSC cos(θ)
]e−t/τSC
∣∣∣∣∣2
= |A0 (t0)|2∣∣∣∣∣J0
[√i
8κztτSC cos(θ)
]∣∣∣∣∣2
e−2t/τSC (4.18)
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62CAPÍTULO 4. HOLOGRAMAS VOLUMÉTRICOS CON MEZCLADO DE ONDAS
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Capítulo 5
Aplicación: vibraciones ydeformaciones
Es posible utilizar un sistema Bi12TiO20 (BTO) para hacer in-terferometría holográfica [1] con el fin de estudiar deformacionesrápidas en superficies.
5.1. Arreglo experimental
El arreglo experimental utilizado en estos experimentos se de-scribe en la figura 5.1. El haz de láser de entrada (con irradianciaI0) se divide en un haz de referencia y un haz de objeto, utilizandoun cubo divisor de polarización (PBS). La relación R de amplitudentre los dos haces de salida se controla con una placa de retrasode media longitud de onda HWP en la entrada del PBS. Las di-recciones de polarización de los haces que salen del PBS se hacenparalelas con un HWP en una de las salidas. Una lente de baja po-tencia L1 de objeto de microscopio se utiliza para expandir el hazobjeto, a fin de iluminar toda la superficie del blanco, que es un al-tavoz en este caso. Un dispositivo formado por un PBS, dos HWP,y una placa QWP se utiliza para dirigir toda la luz en la superficiedel blanco y luego permitir que el conjunto de luz dispersada pasepor el PBS directamente al cristal fotorrefractivo (BTO) con pérdi-das mínimas. Dos objetivos fotográficos de buena calidad L2 y L3
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64CAPÍTULO 5. APLICACIÓN: VIBRACIONES Y DEFORMACIONES
Figura 5.1: Esquema del arreglo experimental: PBS (cubo beam-splitter polarizador); HWP y QWP (placas retardadoras es me-dia y cuarta longitud de onda respectivamente); M (espejos deprimera superficie); PZT (espejo montado sobre piezoeléctrico);PLC (compensador de longitud de camino); EOM (moduladorelectro-óptico); SF (filtro espacial); BTO (cristal fotorrefractivo deBi12TiO20); D (fotodetector); P1 y P2 (polarizadores); CCD (detec-tor de imágenes); LA (amplificador de lock-in); INT (integrador);HV (fuente de alto voltaje para el PZT).
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5.2. EL PROBLEMA DE LA MEMBRANA CIRCULAR 65
se utilizan para reducir la imagen de destino en el BTO y luego unaimagen de tamaño adecuado en la cámara CCD para observacióny/o adquisición de imágenes y procesamiento. El haz de referenciaes también dirigido a la BTO para interferir con el haz del objetopara producir el holograma necesario para la grabación. El hologra-ma se produce en tiempo real en el cristal BTO y al mismo tiempo,es reconstruido por el mismo haz de referencia que utiliza para lagrabación: el haz de referencia difractado es en realidad el haz ob-jeto reconstruido llevando toda la información necesaria sobre lavibración o deformación del objeto.
5.2. El problema de la membrana circular
El problema de la membrana circular de radio l [6, p. 577] eshallar la función u estacionaria tal que
u|r=l = 0
que es solución de
∂ 2u∂ t2 = a2
(∂ 2u∂x2 +
∂ 2u∂y2
)(5.1)
Después de hacer el cambio a coordenadas polares, separaciónde variables y proponer soluciones en series de potencias, las solu-ciones de esta ecuación en t, r y ϕ son de la forma
unm (r;ϕ; t) = [Acos(cλnmt)+Bsin(cλnmt)]Jm (λnmr)(5.2)
× [C cos(mϕ)+Dsin(mϕ)]
donde A, B, C y D son amplitudes, c es la velocidad de la onda enla membrana, m y n son enteros positivos,
λnm =αmn
l
y αnm es la n-ésima raíz positiva de Jm.Los diferentes modos se muestran en la figura 5.2 en la página
siguiente. En la figura 5.3 en la página 67 se muestra el resultadode la interferometría holográfica para una membrana.
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66CAPÍTULO 5. APLICACIÓN: VIBRACIONES Y DEFORMACIONES
Figura 5.2: Algunos modos normales de vibración de una mem-brana circular.
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5.3. RESULTADOS 67
Figura 5.3: Membrana circular a 3 kHz analizada por interfer-ometría holográfica (λ = 633 nm de láser de He-Ne). Las áreas másbrillantes están en reposo. La primera franja oscura indica una am-plitud de oscilación de 0,12 µm, la segunda de 0,28 µm, la tercerade 0,44 µm.
5.3. Resultados
La medición de las vibraciones por medio de la interferometríaholográfica de tiempo promedio se basa en el hecho de que la efi-ciencia de difracción del holograma registrado (durante un tiempomucho mayor que el período de la vibración analizada) por la luzdispersada por una superficie que vibra con la amplitud d y de fre-cuencia Ω se puede escribir como:
η (d) = η0 |m|2 J20
(4πd
λ
)
m =2β
1+β 2
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68CAPÍTULO 5. APLICACIÓN: VIBRACIONES Y DEFORMACIONES
d Cero Máximox x J2
0 (x)[nm] [rad] [rad]
0 - 0 1120,9 2,4 - -191,4 - 3,8 0,16277,05 5,5 - -352,6 - 7,0 0,09435,7 8,65 - -511,3 - 10,15 0,062594,4 11,8 - -670,0 - 13,3 0,048750,6 14,9 - -831,2 - 16,5 0,035
Cuadro 5.1: Amplitudes de vibraciones
β2 ≡ I0
R
I0S
donde η0 es la eficiencia de difracción de la superficie en reposo(usando haces de grabación de igual intensidad), |m| es el valor dela visibilidad de las franjas de interferencia, I0
R e I0S son las inten-
sidades de los haces de referencia y objeto incidentes en el cristal,y J0 es la función de Bessel de orden cero. La imagen holográficareconstruida de la superficie es por lo tanto superpuesta con un pa-trón de franjas oscuras y brillantes que corresponden a los máximosy mínimos distintos de la función de Bessel como se muestra en latabla 5.1 (ver figura 5.3 en la página anterior).
La posición de estas franjas permite el cómputo de un mapade valores locales de la amplitud de vibración d sobre la superficieestudiada con una tabla de funciones de Bessel. Nótese que cadapunto de máxima amplitud de la vibración ende la membrana estáen el centro de un patrón de franjas aproximadamente concéntric-as. Para evaluar el rendimiento de esta técnica, en la figura 5.4 semuestra la respuesta de amplitud de vibración de algunos puntos demáximo local de una membrana de parlante en función de la tensión
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5.4. CONCLUSIONES 69
Figura 5.4: Respuesta de amplitud de vibración de algunos puntosde máximo local de una membrana de parlante en función de latensión aplicada para una señal de 4,2 kHz [2].
aplicada. Nótese que las amplitudes detectadas están en el orden defracciones de la longitud de onda empleada.
5.4. Conclusiones
Se ha podido ver que esta técnica ofrece la posibilidad de es-tudiar muy pequeñas deformaciones en objetos. Si bien el arregloexperimental es un tanto complicado de montar, una vez instaladono requiere ajustes posteriores para su empleo. También se puedeemplear un arreglo similar como medio de grabación de doble ex-posición para el estudio de deformaciones e inclinaciones [2].
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70CAPÍTULO 5. APLICACIÓN: VIBRACIONES Y DEFORMACIONES
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Capítulo 6
Conclusiones generales
En la primera parte de esta monografía hemos visto los aspec-tos teóricos fundamentales del fenómeno electro-óptico. Partimosde las ecuaciones de Maxwell y describimos la propagación de on-das en materiales anisotrópicos. En ciertos materiales cristalinos esposible inducir anisotropías con la incidencia de luz, a fin de mod-ular su índice de refracción. Este es el origen de la holografía.
En el capítulo 4 se hizo una descripción del acoplamiento dinámi-co entre ondas, fenómeno que posibilita la holografía dinámica: latransferencia de energía entre haces, la amplificación óptica porprocesos de difracción, y la materialización de la conjugación defase al reconstruir frentes de onda. Asimismo, existe la posibilidadde la corrección de aberraciones en el frente de onda, la generaciónde filtros dinámicos, correladores ópticos, etc.
Las aplicaciones de estos principios llegan hasta la generaciónde memorias volumétricas de alta densidad, el procesamiento entiempo real (acoplable a sistemas de fibras), criptografía, etc. A mo-do de ejemplo, se estudió la aplicación de un sistema que permitehallar amplitudes de vibraciones con una precisión de fraccionesde longitud de onda. Asimismo, existe la posibilidad de modificardicha técnica para hallar, en general, deformaciones e inclinacionesen sólidos.
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72 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES GENERALES
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Bibliografía
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Índice alfabético
aceptores, 25, 32, 39acoplamiento débil, 57Acoplamiento dinámico, 57anisotrópico, medio, 14auto-difracción, 57
bandas de conducción, 28bandas de valencia, 28BGO, 19Bragg, condición de, 55BSO, 19BTO, 19
campo de desplazamiento, 14campo de polarización, 14campo eléctrico, 14centro fotoactivo, 35centros fotoactivos, 25coeficiente de difusión, 36
deformaciones, 63donores, 25, 32, 39
ecuaciones de Maxwell, 14ejes principales, 18electro-óptico, efecto, 13, 18electro-óptico, material, 11electro-ópticos, coeficientes, 19Elipsoide de índices, 15
estado estacionario, 49
feedback, 61fotoconductividad, 11, 28fotoelectrones, 35fotorrefractivo, efecto, 11fotorrefractivos, cristales, 11fotorrefractivos, materiales, 25
Hologramas volumétricos, 55
impurezas, 29interferometría holográfica, 63, 65,
67
longitud de apantallamiento deDebye, 53
membrana circular, 65modulación del campo espacial,
43modulación espacial, 42movilidad de los electrones, 36
Niobato de litio, 22niobato de litio, 30nivel de Fermi, 28
ondas planas, 48
Pockel, efecto, 11
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ÍNDICE ALFABÉTICO 75
Poisson, ecuación de, 35primer armónico espacial, 51
recombinación, 30recombinación, centros de, 30Redes combinadas, 58
semiconductor intrínseco, 28silenitas, 19, 26, 30
tensor optoeléctrico, 18
vacancias, 25
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