Procesamiento Digital de

Senales

Ing. Biomedica, Ing. Electronica

e Ing. en Telecomunicaciones

Capitulo I

Introduccion

D.U. Campos-Delgado

Facultad de Ciencias

UASLP

Enero-Junio/2014

1

CONTENIDO

Conceptos Basicos

Senales Sinusoidales en Tiempo Continuo

Senales Sinusoidales en Tiempo Discreto

Conversion A/D y D/A

Teorema de Muestreo

Cuantizacion de Senales Continuas en Am-

plitud

2

Conceptos Basicos

Una senal es cualquier cantidad fısica que

varıa (funcion) con respecto del tiempo, es-

pacio, u otra o otras variables independien-

tes. Ej.:

• s1(t) = 5t,

• s2(t) = 20t2,

• s(x, y) = 3x+2xy +10y2,

• s(t) =∑N

i=1Ai(t) sen [2πFi(t)t+ θi(t)]

• Voltaje de la alimentacion electrica,

• Radiacion solar por dia en un panel so-

lar,

• Imagen satelital,

• Electrocardiograma (ECG),

• Electroencefalograma (EEG), etc.

3

Una senal analogica es aquella cuya argu-

mento varıa de forma continua en un inter-

valo dado.

Una senal discreta es aquella que esta defi-

nida en intervalos especıficos para su argumento→en general los intervalos son equidistantes.

Una senal digital es aquella que esta defi-

nida en intervalos especıficos para su ar-

gumento y con un rango de valores finito

(cuantizacion).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

tiempo (seg)

seña

l ana

lógi

ca

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

tiempo (seg)

seña

l dis

cret

a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

tiempo (seg)

seña

l dig

ital

Un sistema es un dispositivo fısico que rea-

liza una operacion o manipulacion sobre

una senal. Ej.:

• Un filtro para atenuar el ruido de la senal,

• Un amplificador de audio,

• Un calefactor,

• Un panel fotovoltaico,

• Un microfono, etc.

El procesamiento de senal son las opera-

ciones realizadas a las senales para mejorar

o resaltar ciertas caracterısticas, o extrar

informacion de ellas.

Dos tipos de procesamiento ⇒ analogico y

digital.

Ventajas del procesamiento digital

• Flexibilidad en la configuracion de los

algoritmos,

• Precision en el procesamiento,

• Almacenamiento sin deterioro,

• Costo

Desventajas del procesamiento digital

• Velocidad en la conversion A/D,

• Velocidad en los procesadores digitales.

Clasificacion de las senales

• Senales multicanal (vectores), ej. ace-

lerometro 3D, giroscopio.

• Senales multidimensional, ej. imagen de

tomografıa, EEG, ECG.

• Senales continuas o analogicas, ej. sen-

sor de presion, sensor de temperatura.

• Senales discretas, ej. temperatura me-

dia por dıa, ındice mensual de la bolsa

de valores.

• Senales valuadas en forma continua, ej.

ECG y EEG analogico, senal de un microfono.

• Senales valuadas en forma discreta, ej.

sensor de nivel en un tinaco, imagen en

tonos de gris o RGB,

• Senales deterministas, ej. sensor de tem-

peratura, sensor de presion, fotografıa

digital.

• Senales aleatorias, ej. numero de autos

en espera en un semaforo o en un ban-

co, numero de llamadas en un central

telefonica segun la hora del dıa.

Sinusoides en Tiempo Continuo

• La senal de oscilacion armonica esta dada

por

xa(t) = A cos(Ωt+ φ) −∞ < t < ∞

donde Ω = 2πF es la frecuencia angular (rad/s)

y F es la frecuencia (Hz).

• Propiedades:

(1) F ∈ (−∞,∞) y para cada valor de F , xa(t)

es una senal periodica, con periodo 1/F .

(2) Si F ↑, entonces se incrementa la tasa de

oscilacion.

4

(3) Ademas se tiene por la identidad de Euler

(ejα = cosα+ j senα) que

xa(t) =A

[

ej(Ωt+φ) + e−j(Ωt+φ)]

2

donde j ,√−1.

Sinusoides en Tiempo Discreto

• Una senal sinusoidal en tiempo discreto esta da-

da por

x[n] = A cos(ωn+ θ) n ∈ Z

donde ω = 2πf es la frecuencia angular discre-

ta (rad/muestra) y f es la frecuencia discreta

(ciclos/muestra).

• Propiedades:

(1) La senal sinusoidal es periodica si la

frecuencia f es un numero racional, ya que

si N ∈ Z y N > 0 define el periodo de x[n], i.e.

x[n] = x[n+N ], entonces

x[n+N ] = cos(2πfn+N+ φ)

= cos (2πfn+ φ+2πfN)

= cos (2πfn+ φ) cos (2πfN)

− sen (2πfn+ φ) sen (2πfN)

∴ Si 2πfN = 2πk para k ∈ Z, entonces

cos (2πfN) = 1 & sen (2πfN) = 0

5

y en consecuencia

cos(2πfn+N+ φ)︸ ︷︷ ︸

x[n+N ]

= cos (2πfn+ φ)︸ ︷︷ ︸

x[n]

,

lo que implica que

fN = k ⇒ f =k

N∈ Q.

(2) Sinusoidales en tiempo discreto cuyas

frecuencias esten separadas por un multi-

plo entero de 2π son identicas, ya que ∀k ∈ Z

cos (ω +2πkn+ φ) = cos (ωn+ φ+2πkn)

= cos (ωn+ φ) cos(2πkn)︸ ︷︷ ︸

=1

− sen (ωn+ φ) sen(2πkn)︸ ︷︷ ︸

=0

= cos (ωn+ φ) ∀n ∈ Z

(3) La tasa mas alta de oscilacion se obtie-

ne cuando ω = π, o de manera equivalente

para f = 1/2, ya que el periodo N se inter-

preta como el numero de muestras por ciclo, y

como se trata de una senal alternante, al me-

nos debe haber 2 muestras por ciclo, es decir

N = 2, por lo que f = 1/2, serıa la frecuencia

mas alta.

• Por lo tanto, dos senales sinusoidales cu-

yas frecuencias se encuentren en el rango ω ∈[−π, π] or f ∈ [−1/2,1/2] seran distintas.

• Una sinusoide que tenga una frecuencia |ω| >π, se le llama un traslape de una sinusoide con

frecuencia |ω| < π.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.5

0

0.5

1

n

x[n]

frecuencia f=1/15 o periodo N=15 (θ=π/4)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.5

0

0.5

1

n

x[n]

frecuencia f=1/4 o periodo N=4 (θ=π/4)

Conversion A/D y D/A

• Conversion Analogica-a-Digital (A/D)

Existen tres procesos basicos:

(1) Muestreo: conversion de la senal en tiem-

po continuo a tiempo discreto obtenida por

medio de “muestras” de la senal continua en

instantes discretos de tiempo, es decir

x[n] , xa(nT) T > 0

donde T se le conoce como tiempo de mues-

treo.

(2) Cuantizacion: conversion de la senal dis-

creta y valuada de forma continua, a una senal

discreta en tiempo y en valores (senal digital) y

se representa por un mapeo Q(·) (cuantizador

uniforme)

xq[n] = Q(x[n]) = ∆ · round(x[n]/∆)

donde ∆ > 0 representa el paso de cuantiza-

cion, y round(·) la funcion redondeo.

6

(3) Codificacion: conversion de la senal en

tiempo y valores discretos a una secuencia bi-

naria de b-bits. Si el rango de valores posibles

para la senal analogica xa(t) es [Vmin, Vmax],

entonces el paso de cuantizacion se define en

funcion del numero de bits b,

∆ =Vmax − Vmin

2b − 1

• Conversion Digital-a-Analogico (A/D)

El proceso de conversion de una secuencia bi-

naria a una senal analogica puede hacerse por

medio de arreglos de resistencias o escaleras

R-2R.

En general, el proceso de conversion utiliza un

retenedor de orden cero (zero-order hold)

o aproximacion de escalera, dentro de un

intervalo de voltaje [−Vref , Vref ].

La conversion A/D de forma natural invo-

lucra perdida de informacion, que depende

de la frecuencia de muestreo 1/T y el paso

de cuantizacion ∆.

El muestreo no genera perdida de informa-

cion relevante, o introduce distorsion si la

senal xa(t) tiene un ancho de banda finito

(contenido en frecuencia limitado) !

Una senal analogica puede ser reconstruida

por medio de sus muestras, si la frecuencia

de muestreo es suficientemente alta para

evitar el problema de “traslape” (aliasing).

• Muestreo de Senales Analogicas

Considerar solo un muestreo periodico o uni-

forme, es decir

x[n] = xa(nT) n ∈ Z

“cada T segundos se toma una muestra de la

senal xa(t) para crear la secuencia x[n].”

Por lo que Fs = 1/T se le conoce como fre-

cuencia de muestreo, con unidades mues-

tras/segundo.

Para una senal analogica sinusoidal con fre-

cuencia F (o Ω) es posible generar, la frecuen-

cia discreta correspondiente f (o ω), por medio

del siguiente procedimiento

xa(t) = A cos (2πFt+ θ)

⇒ x[n] = xa(nT)

= A cos (2πFnT + θ)

= A cos

2π

(F

Fs

)

︸ ︷︷ ︸

f

n+ θ

∴ f =F

Fs=

Frecuencia Continua

Frecuencia de Muestreo

o ω =Ω

Fs= ΩT

Recordando que la frecuencia discreta f esta li-

mitada, es decir

−1

2≤ f ≤ 1

2

sustituyendo la relacion entre la frecuencia en

tiempo continuo y discreta, tenemos

−1

2≤ F

Fs≤ 1

2

∴ −Fs

2≤ F ≤ Fs

2

es decir, la frecuencia de la senal analogica F

debe cumplir esta desigualdad para ser carac-

terizada de forma correcta en tiempo discreto.

⇒ “El muestreo periodico de una senal en tiem-

po continuo involucra el mapeo de un rango

infinito de frecuencias F , en una rango finito

para la variable f”.

⇒ Ya que la frecuencia mas alta en tiempo

discreto es f = 1/2 o ω = π, entonces a la fre-

cuencia de muestreo Fs, la frecuencia en tiem-

po continuo mas alta que puede ser represen-

tada de forma unica es

Fmax =Fs

2=

1

2T

Ejemplo 1: considerar 2 senales sinusoidales

x1(t) = cos2π 10︸︷︷︸

F1

t

x2(t) = cos2π 50︸︷︷︸

F2

t

que se muestrean a una frecuencia Fs = 40

muestras/seg. Obtener la frecuencias equiva-

lentes en tiempo discreto.

Solucion: las senales discretas equivalentes son

x1[n] = x1(n/Fs) = cos 2π

(10

40

)

︸ ︷︷ ︸

f1

n

x2[n] = x2(n/Fs) = cos 2π

(50

40

)

︸ ︷︷ ︸

f2

n

por lo que f1 < 1/2, pero f2 > 1/2, de forma

que existe una frecuencia equivalente para f2,

la cual puede obtenerse al observar que

x2[n] = cos 2π

(5

4

)

n

= cos2π

(

1 +1

4

)

n

= cos

(

2πn+π

2n

)

=

= cos(2πn)︸ ︷︷ ︸

1

cos

(π

2n

)

− sen(2πn)︸ ︷︷ ︸

0

sen

(π

2n

)

= cos

2π

1

4︸︷︷︸f2

n

.

De manera, que x1[n] = x2[n] ∀n, es decir la

senales discretas son identicas, por lo que “pa-

ra Fs = 40 Hz, F2 = 50 Hz, es un traslape de

la frecuencia F1 = 10 Hz”.

En general, tomar 2 senales sinusoidales en

tiempo continuo

xoa(t) = A cos (2πFot+ θ)

xka(t) = A cos (2πFkt+ θ)

donde

Fk = Fo + kFs k ∈ Z

y ademas se cumple

−Fs

2≤ Fo ≤ Fs

2

Por lo tanto, las senales muestreadas cumplen

xo[n]= xoa(nT) = A cos

(

2πFo

Fsn+ θ

)

xk[n] = xka(nT) = A cos

(

2π

Fo + kFs

Fs

n+ θ

)

= A cos

(

2πFo

Fsn+ θ +2πk n

)

= A cos

(

2πFo

Fsn+ θ

)

cos (2πk n)︸ ︷︷ ︸

=1

− A sen

(

2πFo

Fsn+ θ

)

sen (2πk n)︸ ︷︷ ︸

=0

= A cos

(

2πFo

Fsn+ θ

)

es decir, se satisface

xk[n] = xo[n] ∀n ∈ Z.

∴ Un numero infinito de sinusoides en tiempo

continuo se representan despues del muestreo

por la misma senal sinusoidal en tiempo discre-

to, es decir Fk = Fo + kFs son indistinguibles

de la frecuencia Fo cuando se muestrean a la

frecuencia Fs.

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (seg)

seña

les

anal

ógic

as y

dis

cret

aF

1=0.5 Hz, F

2=4.5 Hz, F

3=8.5 Hz con Fs=4 Hz

Ejemplo 2: considerar a la senal

xa(t) = 3cos 100πt

(a) Encontrar la frecuencia de muestreo mıni-

ma para evitar traslape; (b) Suponer que Fs =

200 Hz y obtener la senal discretizada en tiem-

po x[n]; (c) Suponer que la senal xa(t) se mues-

trea ahora a Fs = 75 Hz, encontrar x[n].

Solucion: (a) La frecuencia de la senal xa(t)

es F = 50 Hz, por lo que la frecuencia mınima

para evitar traslape es Fmins = 2F = 100 Hz.

(b) Suponer Fs = 200 Hz, y entonces

x[n] = xa(n/200) = 3cos100

200πn = 3cos

πn

2

(c) Considerar ahora Fs = 75 Hz, y entonces

x[n] = xa(n/75) = 3cos100

75πn = 3cos

4πn

3.

Teorema de Muestreo

• ¿Como seleccionar el periodo de muestreo T

de una senal continua? ⇒ De acuerdo con el

contenido en frecuencia o ancho de banda

de la senal !!!

• Suponer que la senal analogica puede re-

presentarse como una sumatoria de sinusoides

(Serie de Fourier)

xa(t) =N∑

i=1

Ai cos(2πFit+ θi)

donde N denota el numero de componentes.

• En un periodo corto de tiempo, una gran

cantidad de senales pueden tener esta repre-

sentacion.

• Suponer que existe Fmax que cumple

Fmax ≥ Fi ∀i ∈ [1, N ]

Ya que la frecuencia mas alta que puede repre-

sentarse sin ambiguedad a una frecuencia de

7

muestreo Fs serıa Fs/2, ⇒ “para evitar trasla-

pe, se debe escoger la frecuencia de muestreo

suficientemente alta, es decir Fs > 2Fmax.”.

• Despues de la conversion A/D, la senal analogi-

ca puede reconstruirse de forma unica si la fre-

cuencia de muestreo es suficientemente alta y

por medio de un proceso de interpolacion.

• Con este fin, recordar que una funcion sinc

g(t) =sen2πFmaxt

2πFmaxt

que tiene un comportamiento de tipo pasaba-

jos en el dominio de la frecuencia.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

tiempo (seg)

g(t)

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω (rad/s)

|G(j

Ω)|

Transformada de Fourier

Fmax

=1 Hz

Teorema de Muestreo: si la ancho de banda

de una senal analogica es Fmax y la senal es

muestreada a una frecuencia Fs > 2Fmax , FN

(Frecuencia de Nyquist), ⇒ xa(t) puede ser re-

cuperada exactamente por sus muestras utili-

zando la funcion de interpolacion g(t). Por lo

que xa(t) puede ser expresada por

xa(t) =∞∑

n=−∞x[n]g

(

t− n

Fs

)

⇐ No Causal !!

donde

x[n] = xa(N/Fs) n ∈ Z.

Ejemplo 3: considerar a la senal analogica

xa(t) = 3cos2000πt+5sen6000πt+10cos 12000πt

(a) ¿Cual es la frecuencia de Nyquist de la

senal? (b) Asumir que xa(t) se muestrea a una

frecuencia Fs = 5 kHz, ¿cual es la senal discre-

ta x[n]?

Solucion: (a) Las frecuencias de las senales

analogicas son F1 = 1 kHz, F2 = 3 kHz, y

F3 = 6 kHz, por lo que el ancho de banda es

Fmax = 6 kHz, y la frecuencia de Nyquist es

FN = 2Fmax = 12 kHz.

(b) Tomar Fs = 5 kHz (muestras/seg), y en

consecuencia Fs < 2Fmax por lo que existira tras-

lape

x[n] = xa(n/Fs)

= 3cos2000

5000πn+5sen

6000

5000πn

+10cos12000

5000πn

= 3cos2

5πn+5sen

6

5πn+10cos

12

5πn

= 3cos2

5πn+5sen

(

2πn− 4

5πn

)

+10cos

(

2πn+2

5πn

)

= 3cos2

5πn− 5 sen

4

5πn+10cos

2

5πn

∴ x[n]= 13 cos2

5πn− 5 sen

4

5πn

Cuantizacion

• El error que se introduce al representar una

senal de un numero de pasos discretos se le

llama error de cuantizacion eq[n]:

eq[n] = Q(x[n])− x[n]

donde este error se modela como ruido aleato-

rio.

• Existen 2 tipos basicos de quantizacion: (i)

uniforme y (ii) logarıtmica.

8

• En el curso nos enfocaremos en la cuantiza-

cion uniforme donde el paso esta dado por

∆ =Vmax − Vmin

2b − 1

donde b es el numero de bits en la senal digital,

y Vmax−Vmin se define como el rango dinamico

de la senal analogica.

• En este proceso pueden utilizarse 2 tecnica

para asignar los niveles: truncacion o redondeo.

• Considerando un asignacion por redondeo, se

puede modelar el error eq[n] como una variable

aleatoria con una distribucion uniforme en el

intervalo [−∆/2,∆/2].

Tarea # 1

Problema del Libro de Texto (Tratamiento Di-

gital de Senales, Proakis y Manolakis, 4a Edi-

cion, Prentice-Hall):

1.1 y 1.5 (pag. 33)

1.8 y 1.10 (pag. 34)

1.14, 1.15 y 1.16 (pag. 35).

9