Resolución No 1

cada uno ll .,¡: "f, i

\ .rirrr',liiAnalizando un triángulo se$$tbado.,,tr ii ,

ili:ril

¿.a.¿7.r, \ -+ Perírnetro = 3(4) = 12 m

4:r:'r" :i :ir t

Del gráfico, observarrsts'en total'11,.{iiángulos:ir L ir. n: .:: if

equiláteros sombreados {gi12 m de,,p¡i1¡q-l¡.g:

Pelmsf os v Areas Sombreadas

Resolución No 3

Del gráfico

^ 10hA6eco=-:"=5hz

. lro*20.'}n=rsnA8neco=[-o r/

:,..,.,i'ii...,,,,",i.r¡.i:.. .:.:riri¡t .tt :t:

pidnn -4it.t = 5h

= 1

Ar.¡r*io 15h 3:: r::i ,i:,

t \' '¡lr'"':''1r¡

2& [{étodo .,,iiil:rr ':.:¡

Trazadgo h r$gjiar6 del tríángulo ABD

10 10

4-s.;¡ S 1

ÁIil.=3s=5

Resolución lf 2

1er MáodoIdentificando la altura del trapecio, observamos

que es también altura del triángulo BCD

Bloc

Chve D

2Am

trul^/ == \"n20

Del gráfico DH e-s altura, luego en el N'DHB

DH2 =52 -42 -+ DH=3

Trazando AH y analizando las regiones

hiangulares

En el AAHB

Del gráfico

AQ=QD=AD=12m<ADQ=60o ¡ m{QDC=30"

Además r^^ -%{L2JQ?"\ - rn360"

Por simetría se observa que

(.q¿=eca=úRD =los =4se =lnp =f,pa=f,ea

... ( Parmeno de h 'l = 8{2n)=16n

lregión sombreada/

AAeHo 1 -+AAor¡a 5

A6nsp = k

AADHB = 5k

:: AderrÉs A\,oHe=5k=9 -+ k=*.iii' 2 IO

i il ll'..i:,1 &l.et,.AABC

' A¿leHe = AAnnc = 6k.''

Resolución N" 4

:il

Clave N.A.

;lTrazando los radios de los cuadrantes

obliene un triángulo equilátero, es decir

o AE=ED=DA=6r m{EDA = m{EAD = 600

o m{BAE = m{CDE = 30"

Entonces

Aso*b = Aúou"o -(O*.o +2A4asE)

Resolución N" 5

Aso,u = u, -l t tJlt- *zi'to=']!g=o"l llL4 [360" ))

Asomb = go-sJs -a"

,'. Aso'b = 3(12 4$ -21tt m2

R*olución N" 7En el grálico

o ABCD es un paralelogramo

o M es punto medio de BC

Resolución N" 9

Por dato

. cF=s -> AD=4cF4

Trazando GH, se obtiene regiones equivalentes

F k -¡-3k------{G

4.,5

------fEn el AABCcr*0=30o

Clar¡e D o E

aT :

t4a

I

I

DI

Tk

+

I

3kI

I

l_

hiangulares proporcionaléd..,¡b su base .¡ ,l

. Asomu _ srirrj 4. '\,ji i..At""t** - 12k -3

Chr¡¿ C

Resolución No 8 .'

Trazando las dos diagonales del cuadrddo y

traslaciando regiones eq uiva lentes, fenemos

L--- !1 -------------J.

d"tsr*j* ,,.:"'\r:i: i\ et .ii efi¡, i'= 5¡'z

t...Ai*u = 11k2

.,ur,t ',:rr.- l::r':'ir:r'

.,.i: ,.rr, .ijit.. _i::

,.: As.-1, '1,1k' 11'':'._ANosoru 5kz 5

i. '\' \ li Chve B

.. :: )i

Rescilución Nc 10

Trazando lqg:'rtiüios de la semicircunlerencia, se

obdierié un sector circular cuyo ángulo es x

2a*

( ñ"" l- Aflneco - (4a)2 ¡-2

[rcmLrada/ 4 4

Clave A

reF @ittt4!tili'ti:::,.::t:::.:t trc"emrUt@gPdfllE$¡$

En la figura 2a+28 *x= 1800

2(30")+x=1800x - l2O"

Del gráfico

Finalmente

Asomb = A4coo -AAcoo _

A - . _ xeJlf $zo"t _zlieJl) "nn

ro"Asomb = ---¡60" -- z

.'. Aso*b = (4r - 316) cmz

Chve C

Resolución N" 11

¡ir:il:l iit:i¡'i

,ii ,i 'i

Aso*u = Ail¿eco +24¡or'ro

o**o =f.9)' *rl¡u'.2121\2) "L 4 J

^2 nu2ñSomb _

?_ g

I

.'. Aso.b=}-(r+2t

Clave A

t:

Rasolución N' 13

Trazladando adecuadamnete regiones

eo titca le nte$;rqilsrrlos

WI*2+*2=(4f¡2 _>'x=r¡ ' :'

t ,- ' ,.' .r,,

... ( eaimeto an u )= 74x =14&i) = s6 u(región rcmbreada,/ j ..j

.

""n€hve D:i,,rt,ri:,

¡i:r:,

i. n\úxül

' t (' ,qrnu l- Aflneco - 122

' :. '( ,{,nu )= 1n*"o - t2' =72"^t. tsombreada) 2 2

irrrr¡ii,i:|¡'ri::iii}' Cbr¡g B

Resolución N" 12

T*al2

Ial2

Io

Resolución I''1" 14

Trazando radios auxiliares y trasladando

regiones equivalentes, observamos que se

forma un secto¡ círcular

Nl-alz---+*alz-1

r9dn9-q.l&g*rp,9Q11 " 'l.'*ffi

Realizando trazos auxiliares, observame que( ñnu ) ftG)2(60") ¡'R2

"' [**t,nua. J= 360" = 6 A5o^brnu¿u = 95

AH*asono ABCDee =245

p= 4somurea¿a "16644..' 'Hffinono

P= 95 "

100Vo=37.5Va245

Cbve E

Resolución N" 15

TA

I

8

l"

Chve A

Ht-4---+-4-1

A*o.o = 40 - 4' jit',,¡::" .,,

't...1:i

tij. Asonb = 4(10 - ¡) cm?

Resolución No 16

e4.$fÍí 1\

'Pé$nt¡o = é.rr ¡"Jg1 +BE': i'¡r': '

zneJz)$s") . 2neJl)Fao) . . 63600 360"

=8" *oJ?" *rJl66sJz" . ^ r;= _+ ¿\l¿

_ 5,{ln+12,{l6

/ Per¡meho de la \ Jt... | ^"....""_.-_.. l=#(s¡+12) cm

[región ombreada/ 6

Clave E

- 19-

Del gráfico fYlfi = Qft = a n QH =

Err el \.QTR (por relaciones métricas

hiángulo rectángulo)

QTz =QHxQR

62 =bxa -)

. m{QCR = m<QRC = 45' (A isósceles)

Deahí m{RQC = 90"

Entonc¿s

Aso.b = Aboq. -Agnqc

^ n{2)2 2Q)ASomb= 4 -

2

... Aso*b =(n-2)cmz

Clave E

. Asoru _75_7Apataldogramo 20S 20

T

.( Ánu l=uo=99=18o-'fsombreadal 2 2

Resolución No 19

Se hazan los radios auxiliares y se observa qu¿

el triángulo QRC es isósceles (QR = QC)

Ademas

o mAQ = 90" (ángulo central)

o m{QCA = 45" (ángulo inscrito)

-20 -

.

Sea'2-OS el área de la región cuadrangular

,,'.,ffD*.eotqn*: t!

b jii'

'ili:i:Rootu"tun * Uo:ili iien un

:¡ j, .:?ot dato

$ i ¡i*f'¡,,ry

so.¡,,,,¡1ntos medios de BC y CD

ii

i | !i¡\ i.':ü A¡ . D A: l. : #"*=+'$'

iq*.N'I..f,¡,r,ko,\ \ - " -l

Resolución N" 21

Recuerda

-4<-b l"\

. t-.---h f.,,:: ü}

.'=[+)'

Entonces

A{coo = I "-}I$-=e -e x=62 ,':' ..:

'i¡...," t t ':l'.- :: ¡l l'r I ii': rii:r

Además ': -,, :,:A $ eeco = A{eoe - Adcoo '

Io+ro),_ 10(3+r) _n\2 ) 2

8r=15+5r-93r=6 -) r=2

, j Asomb =(u*]o)r=tu. ,

F__ 5 _l

Tomando tangentesA*. tg{c¿} +;-a

\ ':r:::::! :j :ir

r tafc¿ + 45ql '' ,' '

4

1

^ axt.5=-2

t'\ l'ii,,.,,ir(o*+s"):- -3T+

De donde tgg + ts 45" - x + 4j ,1-'tgcr.tgp 5

'. I j..

tt. a;*1 x+4Reemplazando -e-r- =

-r-1o 5t"

,,1r,.¡,.,;¡¡'.,..,¡i:r \ 5

s=**4 -+ x=41

,,,\. \ :t:ii::r' :¡. .ill

^ x(5) 41(5).'. Ac^-r =1O2,5 cm222

R¿solución N" 23

A------_-F

Trazando PM y analizando

triangulares

Chve E

CR¿solución No 22

Recue¡da

tolo+B) _ tgcr+tgP' ' 1- tgcr .tgp

C|clve B

las regiones

1 tr,r- elff ryp,!.!ffi 8á,q#&9'l.r

. AABC (BO es mediana)

AAoeo=AAaoNa=S

. AAPM (PO es mediana)

AAsop=AAom¡=k

r ABPC (PM es med¡ana)

A^epNt = AA¡¡pc =S+k

. ABAC (AM es mediana)

AAg¡M =AAr'aec -+ 2S=S+3k

S=3k

o m{CAB = 30" (ángulo inscri{o)

r N ABC (teorema de Pitágoras)

AC2 +22 =42 -¡

Finalmente

Ac=zJl

Finalmente expresando todas las rcgiones

triangulares en función de K, tenemos j,:.,r,t'i;. .,,,,iijl

B t: "'t ii

. Asomb = 8k

=Z" AAoo 12k 3

R¿solución N" 24

'2 6V

,\a

Asomu = A\,¡ce -( A4eao * A4oec )

. z$Ql (*ef @o"t n{2)2(60"))Asomb = , -l 360. - 360.

J

iiiAs.*u =rJU-(t.+)l

.;: Ai*o =d2J3-nlmz

,i r'l: \'::' ..,::jr

ir.L

r, ::it ,ll l:*s

I ,: 'i,, ',t,..,j,.' ,Lir,

i Reso'h$ión No ¿S$' 'ii

, Sea x $do d4,'gua¡$rado ABCD

poi:,¿atáii BD --1r{" i't: lj rii iu:

. N BAD (teol¿'W-á; pilágoras)

Clave B

.,"Bh2 + ADz =BD?, -+ x2 +x2 =L2

oL22

F- 4 -----"----"--

Como el arco CO ha sido trazado tomando B

como centro, enlonces BO = BC = & = 2 es

decir forman un tríángulo equilátero

Además

. mCB = 60" (ángulo cenhal)

-22-

Trazando CR Y BS, observamos que en el

centro se forrnan cuatro cuadriláteros. siendo

uno de ellos (ONTM) h veínteava parte del

área del cuadrado ABCD, además el triángulo

OCD es la cuarta pade del área del cuadrado

ABCD.

¿Qde:C"rVs¡p.3Q11

Entonc¿s

( x." )= Ano*o

_ Atrooo

[sombreada./ 4 20

*2*21242057lL'1Elzl

(*n^)L2

\*mbreadaJ 10

Resolución I.{" 26

Resolución N" 27

Por dato

. BP-5 -) BP=rc3r A6unR =8cm2

Del gráfico

( tu* )=rnu*rnIsombreada/

l\

5a^ PC=3a

24k=ffi

o N, MDC (teorema de Piiágo. ras) '

, - ,2 l'"

[s*!] +L2 =toz '

\ 2)

t225+5L+f;-+ L" = 100

ct2"- +5L-75=0

4

i Ll*riiü" BM v".ffi nara analizat las regiones

L: hiangillare li tli,i r i *..i*'-'

e ABPC (fP es:ce.viana)I .lj: .1'a6t

"'= Sf n A75pq6 = 3k

...l. ::]'

L AMÉp (Rt\l es mediana)

,'AÁr*=Aa^nc=8cm2

. ,,r AMBC (BN es mediana)..t.,:. A4smi=AAenc=8k

i .,r.i,:*r,,¡ ii:::"''

i -En.¿t$iánsulo BMC (MP es ceviana)i.uii,.,,:"r''i'i"" 13k _ 16+3k _) 39k=g0+15k53

L2 +4L-60=A

(L*6)(L+10)=0 -+ L= 6

Chve B

- 23-

( tu." 'l=or=so*(sombreada J

Clav¿ C

=80+24 =1A4 cmz

Por dato Aflneco = 20

20k=2Q -) k=1

' ( tu* . l= 3k= 3(1)= 3 mzt.smbr€ada/

R¿soh¡ción I.,1" 3O

i-llsffi*rb,4ffi,?!fl #9ll*

Clave D

OB10 ----------{

@).99)l-zJllz)) \2)

Clave B

Trasladando regiones equivalentes observamos

que se obtiene un cr¡adrante

( ñ.u ) AO *L2

[ombreada/ 4 4

T¡azando EB y analizando

triangulares

. AAn¡c =lffz -) ¡dl|z

. ABEC (EN es nredíana)

AAee¡, = AAnc =k

. Al*laeco' AAcnv -) A466v = 5k

"' AAeENa = 3k

. ABEA (EM es mediana)

A¿eerur:A¡n¡re=3k

-24-

A & Pertmetf1É --

{# eÉ& á_z'dg á:ffi

n(r+212 -n¡2 =16n

4¡n- 4n = !6n

,gfut.-.V¡¡xto.fr\t

Deahí OB = 5 -) OP=R=sJt

(-.ffi*)=9 ffi .@

:,,, rj itEntonces sí el radio menor mide r, se deduce':que i

.. t,,

=xgJll2 -to2 +L6n

= (66n -100) u2

Rcsolución ltlo 32

Recuerda (En un triángulo equilátero)

Rcsolución N" 33

En el trapecio BEDC

AAerE =AAcro *k

r rl. ii. .,fi\,"n\ot".ioti$F..$,

ta ie&plucióri'l.ss,e¡iüuentra en el problema 14:: .

.

,: ii; r:i! Clave A\ j n..,:.,,i,,-l.'.¡$-

Como S, + So = 10 m2 -).:

",,..,. W ,.-, ,irr¡rt\..

i¡ ,i.r:¡..trr .,,1t li.ri J .r;

li,, i:,

i:)li. .¡-:lt:i,

¡-','ü

Del gráfico

Clave A

Clave E

53+k=Sr+51+kSs =Sr +Sz

Ss=10m2

Clave A o D

Trasladado los arcos MN, NP, pQ y QM según

indica la figura, se deduce que el contorno de

la región sombreada está conformada por dos

círcunferencias y un cuadrado, es decir

2e

Perímebo = 2@+ Tl\--l I I

= 2(2nR)+4(2R)

= 4ztR+8R

= 4R(¡t+21

Clave A

- 25-

Como el radio mayor mide

3r-12 -)

..( An"u )=ao..,=a[sombreada]

v

Recuerda

N-'-Zl^\ ,l I

-) S=A+B

rywn*iÉ4*¡L'r,il,r,,'.,r ',', ' r[¡cr'*qdg.s*lrqQls:m¡!-

Resoh¡ción No 36

A

Del gráfico

14

1O+L2+t4p=--_z--'| *:: dni

l= uu = 120 *2\rectángulorl

R¿sohrción No 38

Sabemos que

Reemplazando

(a+b\z =a2 +bz +2ab

232 =!72 +2ab

248 =Zab120 = ab

Chr¡e A

Clave C

P=18

Sabemos AAaec =1lnb-10Xn- tZl(p-Ml,

A6aec = {88(8X6X4)

AAo"" =24J6 ".'.. (0

AdenÉs A6aec = Pxr

A6aec = 18R

Igualando (l) y (ll)

Resolucién I.{" 37

B

Por dato

Perimetuo== 46

2b +a\ = q6

a *b =23 ......(l)

En eltriángulo ADC (leorena de Pitágoras)

x el lado del cada cuadrado

xxx

- e.7.>

at¿

x=31

T_*z =g1z =g61 cm2

Como la diagonal menor es igual a uno de sr,rs

lados, entonces el triángulo ABD es equilátero

(l+nu ) ^í.'Jd) u'Jl., I t=-l- l=-'fombreadaf

[ 4 ) 2

e;m

a2 +b2 =fiz ...,.. (lI\Clave B

,'Q&€.-.1hrp80:$1

Resolución No 4O

r09ea2r el lado del cuadrado

Pordaio An=36*'

(2r\2 =36 -> 2r--6 + t=3 .

¡i

... I .o***o \= q (A=+[¡(s)l= rz' ,n\de la figura/ . i

lL r.t

:lt :ii

j:,it¡x,t.,,,'. Cla.-v¡ C

'.i l.\Resolución No 41 .jt .,,.t' ,¡i

Del enunciando ,ii,$iiri,i,¡i .¡j f

Del gráfico

( arn \ ¡R2a n 2oI l=

\ombreadaJ 360" 360"

_ ¡ut{Rz - t2\360"

Por lo tanto, para calcular el átea de la región

sombreada es necesario conoc€r [a longitud de

los radios y el ángulo que comprenden el sector

A'OB'-Clave Bjrii rir

irltlR"ouol r.iónIt" 43

, Seá r el mdio inicial

i , t\ \l,.Á ii\ini.iut = nt2

i 9r¿*.¿" su ra¡lio d¡¡rrenta en 1 cm

I \ Arüá'fi'ñ!t- nk+r)zi li ii ,¡isrri'*

i D"l enünciar¡$q,. ..;:ii

ni ..lf*,,,.$.}!- nrz =7*

-t r=3

Chve B

En eltriángulo AED

A6oeo=A¿peq=AAqro=S

En el triángulo AMQ (AE es mediana)

AAr*=AAeao=25

Por dato

Reolrción N" 42

.'Perímetroa *.,,.¡'r

Ii,l

2(3a) = x

Er s+#@¡wít&:i*:|,t,.....:,,i.,,. : .,. i"ljq;Flmgb,.llfiEpqmqüCe.]L

En eltriángulo DNP (DE es medi^na)

AAoNe=AAEop=2S

/Ñ-- A¡asgP = 12s

Además A¡r.ABcD = 6A s2

12S=60 -) S=5

. ( Á'"u )=ut= s$t=Z|uzIsombreada J

Resolución If 46

B

T10

1D

iil. En el triángulo BAD (teorema de Piiágoras)

[ = rrf"-+W+10J2 +10

BD2 =LO2 +102

BD=1OJ'

+BD+BC

Chve C

Perímetro : f^+M+Bc+ED\_-/= ¡(10)+2¡(10)+20+10

= 302¡ + 30

= 30(¡+1) cm

Cbve N.A.

- 28-

Por dato

e.

Del gráfico

Debido a que

PQ=QB Resolución No 49

Trasladando áreas

siguiente figura

l1

DP

m<ADQ = m<ADQ: m{QDC = 30"

2r(6)(30')Ad€rnas úpq=--860.-=n

Po¡ simetría s¿ observa que

(.p¿=(qc=24pq=2x

equivalentes se obliene la

Por lo tanlo

Resolución N" ¿18

B

AG

r En eltrapecio GBCF

Aaco* = Aapoc

o En el paralelograrno ABCG

A6nec=AAecc =9+S

Por propiedad del hapecio (hapecio GBCF)

s =,',6(4) -) s = 6

!&^)=o^,=e -Aa¡ca

,rQ\2 4(2\tt

-4

..21 u2

Chve C

dePubliaciona

nuco,Z2 de matz o de 201 1

PM

Clave D