Problemas matemáticos Problemas matemáticos sin esfuerzo - … · 2019. 5. 8. · Para resolver cualquier problema matemático, la clave esenseñar a pensar matemáticamente; es

Boira Editorial

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Cómo enseñar el proceso mental en Primaria y Secundaria

Daniel Gabarró y Marta Bellmunt

Basado en una metodología deJavier López Apesteguía

Problemasmatemáticos

...paso a paso

Problemasmatemáticos

Cómo enseñar el proceso mental

en Primaria y Secundaria

...paso a paso

Boira Editorial

Redacción: Marta Bellmunt – [email protected]ón de arte: Jorge Herreros – [email protected]

© Boira [email protected]

Primera edición: Enero de 2019

Depósito legal: L 38 - 2019ISBN: 978-84-16680-65-8

1. Introducción:enseñarapensarmatemáticamente .............. 06

2. Cómo enseñar… ...................................................................... 08

2.1 Problemas de suma-resta ............................................... 09

2.2 Problemasdemultiplicación-división ............................ 19

2.3 A diferenciar problemas de suma-resta de problemas demultiplicación-división ............................................... 29

2.4 Problemas de dos operaciones ....................................... 31

2.5 Problemas de fracciones ................................................. 41

2.6 Problemas con sistema métrico decimal ...................... 55

2.7 Problemasdesuperficiesyvolúmenes .......................... 63

3. Ampliación:ciclosuperioryESO............................................. 70

3.1 Problemasdevariasoperaciones pordoscaminosdistintos ............................................... 71

3.2 Problemas de porcentajes .............................................. 85

4. Conclusión ............................................................................. 100

Índi

ce

/ 6 /

1INTRODUCCIÓN:

ENSEÑAR A PENSAR MATEMÁTICAMENTE

/ 7 /

Pararesolvercualquierproblemamatemático,laclaveesenseñar a pensar matemáticamente; esdecir,adeducircuáleslarelaciónexistenteentrelosdatos,yaplicarla.Así,podremosdecidir,deformarazonada,encadaunodeloscuatropasosdelprocesoderesolución.Estosson:

(1) Leer para identificar los datos

(2) Ordenar los datos en un diagrama de resolución

(3) Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla

(4) Escribir la respuesta y valorar si la respuesta es lógica

Siguiendoestoscuatropasos,ordenadamente,descubriremoslarelaciónexistenteentrelosdatosy,graciasaella,hallaremosdeformarazonadalasolucióndelproblema.Consecuentemente,esmuyimportanteenseñaraejecutarcorrectamentecadaunodeestospasos,anuestroalumnado,paraevitaratascoscognitivos.

Sinunmétodoclaroparaenseñararesolverlosproblemas,elalumnadocarecerádeherramientasparaenfrentarseaellosytenderáavivirlasmatemáticascomounáreaincomprensibleeinsuperable.Encambio,silesenseñamosaresolver,pasoapaso,lesayudaremosacrearunamentematemática,quelesacompañarátodasuvida.

Estametodologíaesútilparatodoelalumnadoy,especialmente,paraaquelloscondificultadespararesolverlosproblemaso,simplemente,quenolesgustanlasmatemáticasporquenolasentienden.Aplicándola,sabráscuándounalumnoestárazonandocorrectamenteycuándonoloestáhaciendo,enquéfallaycómoenseñárselocorrectamente.El alumno sabrá qué está haciendo, por qué y para qué lo está haciendo. De esta forma,elprocesoderesolucióndeproblemasmatemáticoscobrasentidoparaélyevitamosquelorechace.Alosalumnossíquelesgustaresolverproblemas,loquenolesgustaeslaincomprensión.

¿Te apetece conocer esta metodología y ayudar a tu alumnado?

/ 8 /

2CÓMO ENSEÑAR...

/ 9 /

Enelapartadoanterior,hemosafirmadoque,paraenseñararesolverlosproblemasmatemáticos,lofundamentalesenseñarapensarmatemáticamente;esdecir,verlarelaciónqueexisteentrelosdatos.

¿Ycuáleslarelaciónqueexisteentodoslosproblemasdesuma-resta?

¿Cómopodemosenseñarlospasosanteriores,aplicadosaunproblemadesuma-resta?Veámoslomedianteelsiguienteejemplo:

Mi abuelo tiene en su granja ovejas y gallinas. Si hay 25 animales y 15 son ovejas, ¿cuántas gallinas tiene mi abuelo?

Leer para identificar los datos

Enesteprimerpaso,suelencometersealgunoserrores,puessecreeque“entendiendoelproblema”yaessuficiente,peroesonoescierto;lacomprensiónlectoraesnecesaria,peronosuficiente.Loquenoseexplicaesque,“entenderelproblema”conllevaidentificarlarelaciónqueconectalosdatosydescubrirquépapeljuegacadadatoenesarelación.

2.1 PROBLEMAS DE SUMA-RESTA

Enlosproblemasdeuna operación de suma-resta, la relación entre las cifras siempre es la misma: hay dos o más Partes (P) y un Total (T). SinosdanelvalordelasPartesynospreguntanelTotal,nosencontramos con un problema de SUMA.SisabemoselTotalyunadelasPartes,esunproblemadeRESTA.

/ 10 /

Conesteobjetivo,esfundamentalidentificarlosdatosdesdetresperspectivasdiferentes:datos simbólicos, datos explicativos y datos numéricos.

• Datos simbólicos (Parte-Parte-Total= PPT):losnecesitamosporquenosindicaneltipoderelaciónqueconectalosdatos.Solamentehaydosposiblesrelaciones,ladesuma-restaylademultiplicación-división.Enlosproblemasdesuma-restasiemprehabrá:

Dosomáspartes,quesiempreseráncantidadesmenoresqueeltotal,alasquedenominaremos“P”.

UnacantidadTOTAL,quesiempreserámayorquelaspartes,alaquedenominaremos“T”.

• Datos explicativos (datos redactados con palabras): los necesitamos paraconcretaraquéserefierenlaspartes(PyP)yaquéeltotal(T),encada problema.

• Datos numéricos(cantidades):losnecesitamosparapoderrealizarlasoperaciones.

Enesteproblema,elTotal(T)eselconjuntodeanimalesquehayenlagranja;esdecir,25animales.LasPartesquelacomponenson:15ovejas(unaparte,P)yunnúmerodesconocidodegallinas(otraparte,P).

PPT

/ 11 /

Estarelaciónserepresentavisualmentedelasiguientemanera:

Dato simbólico

Dato numérico

Dato explicativo

15Ovejas Gallinas Animales en

la granja

? 25TP P

Pararesolver,razonadamente,unproblemadesuma-resta,esconvenientepracticarconnuestroalumnadoesteprimerpaso,antesdepasaralsiguientepunto.Nodebesaltarsenihacerseconprisas.Sidamoseltiemposuficienteparaquetodalaclaselodomine,elrestodelprocesoseráextremadamentesencillo.Sindominarestepunto,resultarácasiimposible.

2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:

Setratadeelaborarunplanderesolucióndeformaexplícita.Tengoquesaberquédatomepreguntanyquédatosnecesitoparaaveriguarlo.Deestaforma,vemosquérelaciónlosconectayquépapeljuegacadaunodeellos en esa relación.

Así,podremosdeducir,deformarazonada,laoperaciónquedebemosrealizarpararesolverelproblema.

/ 12/

) ¿Qué dato me preguntan? ) ¿Qué datos necesito para averiguarlo?

25

15 Ovejas

GallinasAnimales en la granja

?PP T

Comosepuedeobservar,sielprimerpuntosedomina,estepasoesmuysencillo.Eldiagramanoslleva,deformalógica,alpasosiguiente,dondedecidiremos,deformarazonada,quéoperaciónrealizar.

3 Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla

> Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar

Graciasaldiagrama,esevidentequéoperaciónescoger.¿Porqué?Porqueenlosproblemasdesuma-restasolohaydosoperaciones,dependiendodeloquebusquemos:

• ParaencontrarelTotal(T),SUMOlasPartes(P).Explicadodeformasimbólica,sería:

T = P + P

• ParaencontrarunaParte(P),RESTOlaotraParte(P)delTotal(T).Explicadodeformasimbólica,sería:

P = T - P

P = T - P

/ 13 /

ComobuscamosunadelasPartes(P)delproblema,laoperaciónquedebemosrealizaresunaresta.Enestecaso,laoperaciónqueescogemoshacereferenciaala(P)deldatoexplicativo“gallinas”:

P = T - P

T = P + PP = T - P

> Calcular la operación

Unavezelegidalaoperación,calculamosenelespacioreservadoparaesefin:

25- 15

10_______

4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica

> Escribir el resultado

Enesteúltimopunto,seescribeelresultado,dandorespuestaalapreguntaquenosformulabanenelproblema:¿cuántasgallinastienemiabuelo?

Elresultadodebecomprendersealleerlo,porloquenopuedeestarescritosoloconnúmeros.Escribirsolo“10”noseríacorrecto,comotampoco“10gallinas”,puestoquenosonunasgallinascualquiera.

Resultado:mi abuelo tiene 10 gallinas

/ 14 /

> Valorar si la respuesta es lógica

Entodoslosproblemasdesuma-resta,elTotal(T)siempreserámayorquelasPartes(P),porloquelesanimaremosacomprobarsielresultadodesuproblematienelógica,medianteunasencillapregunta.Paravalorar,primero,completamoslarelacióncontodoslosdatosy,luego,respondemoslapregunta:¿elTotalesmayorquelasPartes(P)?

15Ovejas Gallinas Animales en

la granja

10 25TP P

¿ElTotal(T)esmásgrandequelasPartes(P)?-Sí/No

Deestemodo,podrándeducirsilarespuestaquehanescritoeslógica.Cuandohacemosestepaso,nopodemossaberconcertezasielresultadodelaoperaciónescorrecto;sinembargo,sísabremossieslógico.SicadaunadelasPartes(P)esmenorqueelTotal(T)oelTotal(T)esmayorquelasdosPartes(P),sabremosquelarespuestatienesentido.

/15/

¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE SUMA-RESTA? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un solo problema de suma-resta:

1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos

a)0,1paralosdatossimbólicos

b)0,1paralosdatosnuméricos

c)0,1paralosdatosexplicativos

2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos

3. Calcular:0,2puntos

a)0,1porlaoperaciónelegida

b)0,1porelcálculo

4. Responderyvalorar:0,2puntos

a) 0,1paralarespuesta

b)0,1paralavaloración

NOTA:fallar,encualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Así,damosvaloralprocesomentalypodemosdescubrirquépasosdelprocesonodomina.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!

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ERRORES A EVITAR EN LOS PROBLEMAS DE SUMA-RESTA: 1. Deberemosevitarfrasesdeltipo:«si sale la palabra “más”, “ganar”… es un problema de suma»; «si sale la palabra “menos”, “perder” … es un problema de resta». Esoesaplicarlalógicalingüística,enlugardeaplicarlalógicamatemática,loquelespuedellevaraerror.Estoseevidenciaenelsiguientecaso:

Ejemplo: Juan tiene 40 años y su hija 16. ¿Cuántos años tiene más el padre que la hija?

Siaplicásemoslalógicalingüística,sumaríamos,ylarespuestaseríaque,aunqueelpadresolotiene40años,lahijatiene56años;y,porlotanto,seríamayorqueelpadre.¡Unabsurdo!

2. “Ve a tu sitio y vuelve a pensarlo”. Enlosproblemasdeunaoperación,esafraseimplicaqueelalumno/acambiarálaoperación,peronopensará;esmás,creeráquepensares“probar”, yesocrearáunatascocognitivo.

3. Evitemosquelosproblemasseconviertanenunaovariasoperacionesaresolver.Nolosagrupemosporlaoperaciónquelosresuelve.Sielalumnointuyequelosproblemasestánagrupadosdeestamanera,sutareasereduciráacogerlosdatosnuméricosyrealizarlaoperacióncorrespondiente.“Estamosdandoenclaselasuma,puessumo”.Deestaforma,nohayrazonamiento.Paraquesílohaya,tenemosqueidentificarquédatossonlaspartesyquédatoeseltotalyvercómoestánrelacionados.

4. Y,porúltimo,nodemosindicacionesdeltipo:“utiliza la resta para resolver estos problemas”.

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Parapracticarestetipodeproblemas,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 1 y 2”, de Boira Editorial, cuentanconvariosejerciciosqueayudanaintegrarcadaunodelospasos.Además,incluyenunaplantillafotocopiablecomoésta,enlaquesetrabajandeformaexplícitaloscuatropasosdelproceso:

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PLANTILLA FOTOCOPIABLE

/ 19 /

2.2 PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Enelprimerapartado,hemosafirmadoque,paraenseñararesolverlosproblemasmatemáticos,lofundamentalesenseñarapensarmatemáticamente;esdecir,verlarelaciónqueexisteentrelosdatos.

¿Ycuáleslarelaciónqueexisteentodoslosproblemasdemultiplicación-división?

¿Cómopodemosenseñarlospasosanteriores,aplicadosaunproblemademultiplicación-división?Veámoslomedianteelsiguienteejemplo:

Para la excursión de hoy, hemos cogido tres mochilas entre todos. Si, en cada una, hemos puesto seis bocadillos, ¿cuántos bocadillos llevamos?


Hemosvistoquelacomprensiónlectoraesnecesaria,peronosuficiente.Esfundamentalidentificarlarelaciónqueconectalosdatosydescubrirquépapeljuegacadadatoenesarelación.

Enlosproblemasdemultiplicación-división,tambiénexisteunarelacióndeducibleentrelascifras.SiemprehayunaCantidad Unitariaestable(U),queserepiteunnúmerodeVeces(V),yunaCantidad Total(T).SisabemoslaCantidadUnitariaylasVeces,encontraremoslaCantidadTotalMULTIPLICANDO; si sabemos la CantidadTotalylaCantidadUnitariaolaCantidadTotalylasVeces,encontraremosloquenosfaltaDIVIDIENDO.

/ 20/

Conesteobjetivo,esfundamentalidentificarlosdatosdesdetresperspectivasdiferentes:datos simbólicos, datos explicativos y datos numéricos.

• Datos simbólicos(CantidadUnitaria-Veces-CantidadTotal=UVT):losnecesitamos,porquenosindicaneltipoderelaciónqueconectalosdatos.Enlosproblemasdemultiplicación-división,siempreson:

U UnaCantidadUnitaria(U),queeslacantidadquesevarepitiendo

V UnnúmerodeVeces(V),queserepitelaCantidadUnitaria.

T LaCantidadTotal(T),queincluirálaCantidadUnitariaundeterminadonúmerodeveces.

•Datosexplicativos(datosredactadosconpalabras):losnecesitamosparaconcretaraquéserefierenlaCantidadUnitaria(U),lasVeces(V),ylaCantidadTotal(T),encadaproblema.

•Datosnuméricos(cantidades):losnecesitamosparapoderrealizarlasoperaciones.

Enesteproblema,sabemosquehayunaCantidadUnitariaqueserepite:elnúmerodebocadillosenUNAmochila(6);tambiénsabemosqueestacantidadserepitetresVECES,yaquellevamostresmochilas(3);porúltimo,nospreguntanporlaCantidadTotal,esdecir,porelnúmerodebocadillosentreTODASlasmochilas.

/21/

Estarelaciónsepuederepresentarvisualmentedelsiguientemodo:

Dato simbólico

Dato numérico

Dato explicativo

6Lápices de colores en un bote

Botes Lápices de colores en todos los

botes

3 ?TU V

Igualqueenlosproblemasdesuma-resta,pararesolverrazonadamenteunproblemademultiplicación-división,esconvenientepracticarconnuestroalumnadoesteprimerpaso,antesdepasaralsiguientepunto.Nodebesaltarsenihacerseconprisas.Sidamoseltiemposuficienteparaquetodalaclaselodomine,elrestodelprocesoseráextremadamentesencillo.Sindominarestepunto,resultarácasiimposible.


Setratadeelaborarunplanderesolución,deformaexplícita.Tengoquesaberquédatomepreguntanyquédatosnecesitoparaaveriguarlo.Deestaforma,vemosquérelaciónlosconectayquépapeljuegacadaunodeellos en esa relación.

Así,podremosdeducir,deformarazonada,laoperaciónquedebemosrealizarpararesolverelproblema.

/ 22/

) ¿Qué dato me preguntan? ) ¿Qué datos necesito para averiguarlo?

3


Lápices de colores en todos los botes

Botes?

UVT

3 Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla

> Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar

Enlosproblemasdemultiplicación-división:

•ParaencontrarlaCantidadTotal(T),MULTIPLICOlacantidadunitaria(U)porlasVeces(V).Estarelación,explicadadeformasimbólica,sería:

T = U × V•ParaencontrarlaCantidadUnitaria(U),DIVIDOlaCantidadTotal(T)entrelasVeces(V).Estarelación,explicadadeformasimbólica,sería:

U = T : V•ParaencontrarlasVeces(V),DIVIDOlaCantidadTotal(T)entrelaCantidadUnitaria(U).Estarelaciónexplicadadeformasimbólica,sería:

V = T : U

/23/

Enestecaso,comobuscamoslaCantidadTotal(T),marcaremosconunacruzlaoperaciónarealizar,entreestastresopciones:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

> Calcular la operación

Llegadosaestepunto,calculamoslaoperacióncorrespondiente,enelespacioparaesefin:

6x 3

18_______



Enesteúltimopunto,seescribeelresultadodandorespuestaalapreguntaquenosformulabanenelproblema:¿cuántosbocadillosllevamos?

Remarcamosqueesimportantenoescribirúnicamentelacifra,sinolarespuestacompleta;esdecir,lainformaciónnuméricadebeiracompañadadelainformaciónexplicativa.

Resultado:entre todos llevamos 18 bocadillos

/ 24/


Entodoslosproblemasdemultiplicación-división,laCantidadTotal(T)eselresultadodemultiplicarlaCantidadUnitaria(U)porlasVeces(V).Porestemotivo,sugerimoscomprobarlarespuesta,atravésdeunasimplepregunta.Paravalorar,primero,completamoslarelacióncontodoslosdatosy,luego,respondemosalapregunta:¿eslaCantidadTotal(T)elresultadoderepetirvariasVeces(V)lasUnidades(U)?


Botes Lápices de colores en

todos los botes

3 18TU V

T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No18 3 6

/25/

¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremacióndeunsoloproblemademultiplicación-división: 1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos

a)0,1paralosdatossimbólicos b)0,1paralosdatosnuméricos c)0,1paralosdatosexplicativos 2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos 3. Calcular:0,2puntos

a)0,1porlaoperaciónelegida b)0,1porelcálculo 4. Responderyvalorar:0,2puntos

a) 0,1paralarespuesta b)0,1paralavaloración NOTA:encualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!

Sielalumno/ahacecorrectamenteelprimeroyelsegundopaso,puedeobtener0,6puntos.¿Porqué?Porque,enrealidad,identificarlosdatosyorganizarlosenundiagramaeslonuclear.Apartirdeahí,esinevitablededucirlosresultados.

/ 26/

Parapracticarlosproblemasdemultiplicación-división,enloscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 3 y A1”, deBoiraEditorial,sehansecuenciadolosejercicios,detalforma,quepodrásencontrar,desdeejerciciosenlosqueseabordasolounapartedelproblema,hastaejerciciosenlosqueseabordaelproblemaensutotalidad.Deestamanera,seconsigueintegrar,pasoapaso,elprocesomentalquepermitedominarlosproblemasmatemáticos.Además,incluyenunaplantillafotocopiable,paraquepuedas,tantoacabarderesolverlosproblemasquequedaronsinrespuesta,porestartrabajandosolamenteunapartedelproceso,comolosplanteadospararesolverlosporcompleto.Éstaeslaplantilla:

/27/


/ 28/

/29/

2.3 A DIFERENCIAR PROBLEMAS DE SUMA-RESTA DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN

Existendosmanerasparadistinguirunproblemadesuma-restadeotrodemultiplicación-división:

Observando cómo se forma la CANTIDAD TOTAL (T).

Tengo2estuches.Enunohay5 rotuladoresyenelotrohay8. ¿Cuántos rotuladores tengo entre los dos?

Tengo4estuches.Encadaestuchehay9 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores tengo entre todos los estuches?

LaCANTIDAD TOTAL (T) se forma a partirdecantidadesdiferentesqueno se repiten (PyP)

LaCANTIDAD TOTAL (T) se forma repitiendolamismacantidad(U) unnúmerodeveces(V)

¿Se repite alguna cantidad en esta situación?

Sí/No

¿Se repite alguna cantidad en esta situación?

Sí/No-(se repite el 9)

PROBLEMAS DE SUMA-RESTA

PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN

5 9 9 9 98

P5

P8

T?

U9

V4

T?

/ 30 /

2 Observando si hacen referencia al MISMO concepto o a DOS CONCEPTOS DIFERENTES.

Tengo2estuches.Enunohay5 rotuladoresyenelotrohay8. ¿Cuántos rotuladores tengo entre los dos?

Tengo4estuches.Encadaestuchehay9 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores tengo entre todos los estuches?

TodoslosdatosserefierenalMISMOconcepto

(ej: ROTULADORES)

TodoslosdatosserefierenaDOSconceptos diferentes

(ej: ROTULADORES y ESTUCHES)

PROBLEMAS DE SUMA-RESTA

PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN

? ?

5 8

T T

P P

Rotuladores en los dos estuches

Rotuladores en los dos estuches

Rotuladores en un

estuche

Rotuladores en un

estuche

Rotuladores en el otro estuche

Estuches

9 4U V

/ 31 /

2.4 PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES

Enseñaralalumnadoapensarmatemáticamente,esenseñarleaverlarelaciónentrelosdatos.¿Cómosehaceenproblemasdedosoperaciones?

¿Cómoenseñarlodeformasencillayfácil?Veámosloconelsiguienteejemplo:

En un avión hay 125 maletas pequeñas y 35 maletas grandes. Si sabemos que cada pasajero lleva dos maletas, ¿cuántos pasajeros viajan en el avión?

Enunproblema de una operación, como los anteriormente explicados,siempretendremoselvalordetodoslosdatosquenecesitamos,pararesponderalapreguntadelproblema.

Encambio,enlosproblemas de dos operaciones, nosfaltaráelvalordeunodelosdatos,quedescubriremosmedianteunaoperaciónprevia.Aestedatolollamaremos“dato de enlace”, yeselqueunelasdosrelaciones.Paraidentificarlo,loseñalaremosconunasterisco(*).Unavezdescubiertosuvalor,podremoscalcularlaoperaciónquedarespuestaalapreguntadelproblema.

Porlotanto,cuandonosenfrentemosaunproblemadedosoperaciones,necesitaremosidentificardosrelaciones,unaparacadaoperación.Ycomohemosvistoenlosapartadosanteriores,estaspuedenserdedostipos:PPT (suma-resta), enlaquehaydosomásPartes(P)yunTotal(T);oUVT (multiplicación-división), enlaquesiemprehayunaCantidadUnitaria(U),queserepiteunaseriedeVeces(V),yunaCantidadTotal(T).

/ 32/


Queremosremarcarquelafinalidaddelalecturaesidentificarlasrelacionesentrelosdatos.Además,lalecturanosayudaadesecharlainformacióndelosdatosquenoesrelevante,pararesolverelproblema.Porejemplo,enestecaso,“pequeñas”y“grandes”noesrelevante,lorelevanteesquesonmaletas.

Enlosproblemasdedosoperaciones,debemosidentificarlosdatosdelasdosrelaciones,desdelastresperspectivas:datossimbólicos,datosexplicativosydatosnuméricos.

Porunlado,encontramoslarelaciónprincipal.Estarelacióncontienelapreguntadelproblema,peronopodemoscalcularlaporquenosfaltaelvalordeunodelosdatos.

Porotro,encontramoslarelacióncomplementaria.Estarelaciónnospermitedescubrirelvalordeldatodeenlacequenosfaltaba,enlarelaciónanterior.

2

35

Maletas lleva UN pasajero

Maletas pequeñas

U

P

?

125

Pasajeros

Maletas grandes

V

P

Maletas llevan entre TODOS los pasajeros

Maletas llevan entre TODOS los pasajeros

T

T

Enesteproblema,larelación complementaria,laquenospermitirádescubrirelvaloreldatodeenlace,esunarelación PPT(suma-resta),querepresentaríamosdelsiguientemodo:

Dato de enlace

/ 33 /


Setratadeelaborarunplanderesolución,deformaexplícita.Tengoquesaberquédatomepreguntanyquédatosnecesitoparaaveriguarlo.Deestamanera,vemosquérelacioneslosconectanyquépapeljuegacadaunodeellos,enesasrelaciones.Así,podremosdeducir,deformarazonada,lasdosoperacionesquedebemosrealizarpararesolverelproblema.

Setrata,entonces,deconectarlasdosrelaciones.

1. ¿Para qué la RELACIÓN PRINCIPAL?Pararesponderalapreguntadelproblema (?).

2. ¿Para qué la RELACIÓN COMPLEMENTARIA?Paraaveriguarelvalordeldatoquenecesito,enlarelaciónprincipal(*).

PP

Pasajeros

Maletas lleva UN pasajero

Maletas pequeñas

Maletas grandesMaletas llevan

TODOS los pasajeros

?

RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL

VU

T T

/ 34 /

3 Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas

Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelacióncomplementaria.ComoesunarelaciónPPT(suma-resta),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta:

T = P + P

P = T - P

P = T - P

x

Acontinuación,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.

Operación correspondiente a la relación complementaria:

125+ 35

160_______

/35/

Actoseguido,yapodemosdecidirlaoperacióndelarelación principal, con eldatoquenosfaltabapararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemos tres opciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertograciasalaoperaciónanterior,calculamoslaoperacióncorrespondientealarelación principal.

Operación de la relación complementaria:

160 280_______



Comohemoscomentadoanteriormente,escribirelresultadonoconsisteúnicamenteenescribirlacifra.Éstadebeiracompañadadesuexplicación.Enestecaso,sería:

Resultado:en el avión viajan 80 pasajeros

/ 36 /


SilarelaciónprincipalfuesePPT(suma-resta),nospreguntaríamossielTotal(T)esmayorquelasPartes(P),paracomprobarsilarespuestaeslógica.Como,enestecaso,larelaciónprincipalesUVT(multiplicación-división),nospreguntaremossilaCantidadTotal(T)esfrutodemultiplicarlaCantidadUnitaria(U)undeterminadonúmerodeveces(V).

Enesteejemplo,primero,completamoslarelaciónprincipal,escribiendolosdatosy,luego,respondemosalapregunta.

2Maletas lleva UN pasajero

Pasajeros Maletas entre TODOS los pasajeros

80 160TU V


/ 37 /

¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE DOS OPERACIONES? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un solo problema de dos operaciones: 1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos

a)0,1paralosdatossimbólicosdeambasrelaciones b)0,1paralosdatosnuméricosdeambasrelaciones c)0,1paralosdatosexplicativosdeambasrelaciones 2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos 3. Calcular:0,2puntos

a)0,1porelegirlasoperacionescorrectas b)0,1porelcálculodelasoperaciones 4. Responderyvalorar:0,2puntos

a) 0,1paralarespuesta b)0,1paralavaloración NOTA:Fallarencualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saberexactamenteenquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!

Sielalumno/ahacecorrectamenteelprimeroyelsegundopaso,puedeobtener0,6puntos.¿Porqué?Porque,enrealidad,identificarlosdatosyorganizarlosenundiagramaeslonuclear.Apartirdeahí,esinevitablededucirlosresultados.Además,lasdificultadesquepuedensurgirenlosúltimospasossonmásfácilesdesuperarqueenlosprimeros,porloquedebemosprestarles,aesosprimerospasos,lamáximaatención.

/ 38 /

Parapracticarlosproblemasdedosoperaciones,enelcuaderno“Dominar los problemas matemáticos 4”, de Boira Editorial, sehansecuenciadolosejercicios,detalforma,quepodrásencontrar,desdeejerciciosenlosqueseabordasolounapartedelproblema,hastaejerciciosenlosqueseabordaelproblemaensutotalidad.Deestaforma,seconsigueintegrar,pasoapaso,elprocesomentalquepermitedominarlosproblemasmatemáticos.Además,incluyenunaplantillafotocopiable,paraquepuedas,tantoacabarderesolverlosproblemasquequedaronsinrespuestaporestartrabajandosolamenteunapartedelproceso,comolosplanteadospararesolverlosporcompleto.Éstaeslaplantilla:

/ 39 /


/ 40 /

/ 41 /

2.5 PROBLEMA DE FRACCIONES

Paraenseñarapensarmatemáticamente,esdecir,paraquenuestroalumnadovealarelaciónentrelosdatosypuedadeducirlasoperacionesarealizar,debemosevitarexplicareltrucohabitualde,“multiplicaporeldearribaydivideporeldeabajo”.Loqueconvienehacer,encambio,esenseñarlesapensar,atravésdeunmétodoqueconduzca,deformalógica,a la resolución del problema.

Loúnicoqueconseguimosconelusodelostrucos,esgeneraratascoscognitivosennuestroalumnado.Elalumno/acreeestarresolviendoelproblemacuando,enrealidad,noloentiendey,consecuentemente,nopuedeseguiravanzando.

Veámosloconelsiguienteejemplo:

Si se han vendido las 5/7 partes de 560 entradas, ¿cuántas entradas se han vendido?

Sihacemoscasodeltruco,primeromultiplicaríamosporelnumerador;esdecir:

560 x 5 = 2.800 entradas

Peroestaoperaciónesabsurda:sisolotenía560entradas,¿dedóndehansalidoestas2.800?¿Quélesestamosenseñandomedianteestetruco?

Lolamentabledeestetrucoesquenosllevaalresultadocorrecto.Noobstante,generaunosatascoscognitivosennuestroalumnadoque,alalarga,seránmuydifícilesdesuperar.

Poreso,¿noesmejorenseñarapensaranuestroalumnadomediantelossencillospasosanteriores?

/ 42/

Veámosloenlassiguientespáginas.

Enunproblemareferentealafraccióndeunnúmero,haydosmanerasdeformularlapreguntadelproblema:

? ?______ ______

1 2

de de= =

Porunlado,veamosun ejemplo de la primera opción:

En un jardín quieren plantar 125 plantas. Si ayer plantaron 2/5, ¿cuántos árboles han plantado ya?

> Leer para identificar los datos

Estosignificavercuáleslarelaciónentrelosdatos,teniendoencuentaquénosestánpreguntando.Enestecaso,sería:

?______ de =2

5125

Deestos5grupos, 2yaestánplantados

Los125árbolesestándivididosen5 grupos

Árbolesqueyaestánplantados en eljardín

Árbolesquequierenplantareneljardín

/ 43 /

> Ordenar los datos en un diagrama de resolución:

TU

Árboles en TODOS los grupos plantados

Grupos de árboles plantados

Árboles que quieren plantar en el jardín

Grupos en los que están divididos los árboles

Árboles en UN grupo

?


TU

V V

> Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas

Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadUnitaria(U),porlotantolaopciónválidaserá:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Unavezdecidida,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.

/ 44 /


125 525_______

Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióncorrespondienteala relación principal,coneldatoquenosfaltaba,pararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.ComoestamosbuscandolaCantidadTotal(T),señalamos esta opción:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertoconlarelacióncomplementaria,calculamoslaoperacióncorrespondientealarelación principal.

Operación correspondiente a la relación principal:

25x 2

50_______

/45/

> Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica


Comoenlosejemploscomentadosanteriormente,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enestecaso,lapreguntaera,¿cuántosárboleshanplantadoya?

Resultado:han plantado 50 árboles


Porúltimo,valoramoselresultado,completandolarelaciónprincipalyrespondemosaunapreguntareferenteaella:

25Árboles en UN grupo

Grupos de árboles

plantados

Árboles en todos los grupos

2 50TU V


/ 46 /

Ahora,veamosun ejemplo de la segunda opción posible, en un problema referente a la fracción de un número:

Mario ha leído 3/5 partes de un libro. Va por la página 72. ¿Cuántas páginas tiene el libro?


Enesteprimerpaso,vemoscuálessonlasdosrelacionesentrelosdatos.Enestecaso,sería:

?______ de =3

572

Deestos5grupos, 3yaloshaleído

Gruposdepáginas quetieneellibro

Páginasquesehaleído

Páginasquetiene el libro

/ 47 /


TV

Páginas que tiene el libro

Grupos de páginas que tiene el libro

Páginas leídas

Grupos leídosPáginas en UN grupo

?


TV

U U

5

72

3


Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadUnitaria(U);porlotanto,laopciónválidaserá:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Luego,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.

/ 48 /


72 324_______

Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióncorrespondientealarelaciónprincipal,coneldatoquenosfaltabapararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT(multiplicación-división),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.ComoestamosbuscandolaCantidadTotal(T),señalamosestaopción:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertoconlaoperaciónanterior,calculamoslaoperacióncorrespondientealarelación principal.

/ 49 /

Operacióncorrespondientealarelaciónprincipal:

24x 5

120_______



Enestepunto,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuántaspáginastieneellibro?

Resultado:el libro tiene 45 páginas

/ 50/


Porúltimo,valoramoselresultadocompletandolarelaciónprincipalyrespondemosaunapreguntareferenteaella:

24Páginas en UN grupo

Grupos de páginas que tiene el libro

Páginas tiene el libro

5 120TU V


/51/

¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE FRACCIONES? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un problema de fracciones:








b)0,1porelcálculo




NOTA:fallarencualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!

/ 52/

Parapracticarlosproblemasdefraccionesdeunnúmero,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 5”, de Boira Editorial, no solo incluyenestaplantillafotocopiable,sinounagranvariedaddeejercicios,quepermitenafianzarelprocesomental.Así,elalumnadopuedeavanzarconseguridad,haciaproblemasdemayorcomplejidad.

/53/


/ 54/

/55/

2.6 PROBLEMAS CON SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

× 10

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

: 10

Enunproblemadelsistemamétricodecimal,esmuyimportanteconocerlasrespectivasunidadesysusequivalencias.

Porejemplo,cuandohablamosdemedidasdelongitud:

> Fíjateenelsiguienteejemplo:

La calle principal de mi ciudad mide 4 km de longitud. Cada 200, metros hay un tramo con un semáforo. ¿Cuántos tramos con semáforo hay?


Enesteprimerpasovemoscómoestánrelacionadoslosdatos.EnunadelasdosrelacionesestánimplicadasdosunidadesSMD.Tenemosqueverquéoperacioneshayentreellas,paraconvertirlasenlamismaunidad.

/ 56/

¿Qué dos unidades se relacionan en elproblemayquéoperacioneshayentreellas?

x 1.000

Km

M

: 1.000

Porlotanto,1mes1.000 veces más pequeñoque1km.

RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL

200 4Metros de cada tramo entre semáforos

Km mide la calleU U

? 1.000Tramos entre semáforos VecesV VMetros que mide la calle

Metros que mide la calleT T

Hayotraformaderesolveresteproblema,estableciendolarelaciónprincipal en Km: U=Kmencadatramodesemáforos(*),V=tramosentresemáforos(?)yT=Kmquemidelacalle(4).Ahora,eldatodeenlacecorrespondealosKmdecadatramoentresemáforos.Estableceremos,entonces,larelacióncomplementaria,paracalcularesevalor:U=Kmdecada tramo entre semáforos (*),V=veces(1000),T=Mdecadatramoentresemáforos. Nosotros vamos a resolverlo de la primera forma.

/57/


UV

Tramos entre semáforos

Metros en cada tramo entre semáforos

Km mide la calle

VecesMetros mide la calle

?


VU

T T

200

4

1.000


Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),porloquelaseñalamosconunacruz:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Luego,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.

/ 58/


1.000x 4

4.000_______

Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióndelarelación principal, coneldatoquenosfaltabapararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemos tresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.ComoestamosbuscandolasVeces(V),señalamosestaopción:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertoconlaoperacióndelarelacióncomplementaria,calculamoslaoperacióndelarelación principal.


4.000 20020_______

/59/



Enestepunto,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuántostramosconsemáforohay?

Resultado:hay 20 tramos con semáforo



200Metros en cada tramo que hay un semáforo

Tramos que hay un semáforo

Metros que mide la calle

20 4.000

TU V

T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No4.000 20 200

/ 60 /

¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un problema de fracciones:








b)0,1porelcálculo




NOTA:fallarencualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!

/ 61 /

Parapracticarlosproblemasconsistemamétricodecimal,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 5”, de Boira Editorial, no solo incluyenestaplantillafotocopiable,sinounagranvariedaddeejercicios,quepermitenafianzarelprocesomental.Así,elalumnadopuedeavanzarconseguridad,haciaproblemasdemayorcomplejidad.

/ 62/


/ 63 /

2.7 PROBLEMAS DE PERÍMETROS, SUPERFICIES Y VOLÚMENES

Enesteapartado,aprenderemoscómopodemosenseñaradominarproblemasdesuperficiesyvolúmenes.

Enlosproblemasdeperímetros,superficiesyáreas,esimportantetenerclaroaquéhacenreferenciaestosconceptos:

Elperímetroeslasumadelaslongitudesdelosladosdeunafigurageométricaplana.

Eláreaeslamedidadelasuperficiequeocupaunafigura.Paramedirsuperficies,seutilizacomounidadelmetrocuadrado(m2).

Mientrasqueelvolumeneslacantidaddeespacioqueocupauncuerpo.Laprincipalunidaddevolumeneselmetrocúbico(m3).

Acontinuación,veamoscómopodemosaplicarloscuatropasos,enunproblemadesuperficies.Fíjateenelsiguienteejemplo:

Vamos a cambiar las baldosas del fondo de nuestra piscina. Es de forma rectangular y mide 20 metros de largo y 12 metros de ancho. Si vamos a colocar baldosas de 25 dm2, ¿cuántas utilizaremos?


Enesteprimerpaso,vemoscómoestánrelacionadoslosdatos.

Debemostenerencuentaque,enlosproblemasdesuperficiesyvolúmenes,unadelasrelacionescorrespondealafórmuladelafigura.Porejemplo,enesteproblema,senoshabladeunapiscinaconformarectangular.

/ 64 /

Lafórmulaparaencontrareláreaseríalasiguiente:

Largo Ancho SuperficieTU V× =

LargoAnchoV

U

Ahora,yatenemostodoslosdatosparaescribirlasrelacionesdelproblema.Estasserían:

m2/baldosa

Metros de largo

Metros de ancho

M2 de superficie

m2/baldosaU

U

U) M2 y BALDOSAS ) M2 / BALDOSA

) M2 SUPERFICIE SUELO

20 12

Baldosas BaldosasV

V

V? 100

m2 en total m2 en totalT

T

T 25

× =

/65/


Ahora,yatenemoslastresrelacionesquenecesitamos,paraelaborareldiagramaderesolución.

Paraelaborarlo,pondremosenprimerlugarlarelaciónprincipal,laquecontienelapreguntadelproblema.Enestecasoes:m2 y baldosas. Enestaocasión,larelaciónprincipaltienedosdatosdeenlace,porloquenecesitaremos dos relaciones complementarias.

Fíjateencómohacerlo:

?


V

V

U

T

V

U U

T T

100

25

20

12


Enestaocasión,podemosdecidirlasoperacionesdelasrelacionescomplementarias,indistintamente,esdecir,podemosempezarporlarelación de arriba o por la de abajo.

/ 66 /

Enprimerlugar,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondea la relación complementaria de arriba. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslaCantidadUnitaria(U),porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Acontiuación,realizamoslaoperacióndeestarelacióncomplementaria.

> Operación correspondiente a la relación complementaria:

25 1000,25_______

Ensegundolugar,decidimoslaoperacióndelarelacióncomplementaria.Enestecaso,tenemosquecalcularelárea:

U × V = TLargo Ancho Superficie

x

Laoperacióndeestasegundarelacióncomplementariaseríalasiguiente:

/ 67 /


20x 12

+ 2040

60

_______

_______

Porúltimo,decidimoslaoperacióndelarelaciónprincipal.ComoesunarelaciónUVT(multiplicación-división),tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : UxY,conlosdosvaloresdeldatodeenlacequehemosdescubiertoenlasrelacionescomplementarias,calculamoslaoperaciónprincipal.

> Operación correspondiente a la relación principal:

240 0,25960_______

/ 68 /



Enestepunto,escribiremosunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema.Enestecaso,nospreguntaban,¿cuántasbaldosasutilizaremos?

Resultado:para el fondo de la piscina, utilizaremos 960 baldosas

> Valoro si la respuesta es lógica


0,25M2/baldosa Baldosas M2 en total

960 240

TU V

T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No240 960 0,25

/ 69 /

/ 70 /

3AMPLIACIÓN: CICLO SUPERIOR Y ESO

/ 71 /

3.1 PROBLEMAS DE VARIAS OPERACIONES, POR DOS CAMINOS DISTINTOS

SegúnafirmóKenRobinson,educadoryconferenciantebritánico,“laescuelamatalacreatividad”.Ensuopinión,elsistemaeducativoestábasadoenlahabilidadacadémica,pero,encambio,noseeducaenelusodelcuerponienlacapacidaddecrearniimaginar.

Siesoescierto,unabuenamaneraderevertirestasituaciónesenseñandoanuestroalumnadocómoresolverproblemas,pordoscaminosdistintos.

Enlosproblemasdevariasoperaciones,porcaminosdistintos,deberemosvertodaslasrelacionesdesdedosperspectivas:aquellasrelacionesquehablandeunmismoconcepto(seránrelaciones PPT),yaquellasquehablandedosconceptos(seránrelaciones UVT).

Unavezelaboradastodaslasrelaciones,identificaremoscuálessonlas dos relaciones principales;esdecir,aquellasquecontienenlapreguntadelproblema.

Deestaforma,elaboraremosdosplanesderesolucióndiferentes(PlanAyPlanB),cadaunoconsupropiodiagramaderesolución,quenosconducirán,deformalógica,alarespuestadelproblema.

Veámoslodeformafácil,medianteelsiguienteejemplo:

El equipo femenino y el masculino de mi colegio han comprado 55 pelotas de baloncesto. Cada pelota les ha costado 4€. Si el equipo femenino se ha gastado 104€, ¿cuánto dinero se ha gastado el equipo masculino?

/ 72/


Talcomohemosvisto,enesteprimerpaso,vemoscómoestánrelacionados los datos. Dos de las relaciones descubiertas corresponderán a las dos relaciones principales del problema.

Porunlado,identificaremoslasrelacionesPPT(suma-resta);esdecir,aquellasquehacenreferenciaaunsoloconcepto.Sitefijas,enesteproblemasehabladePELOTASyEUROS.

Acontinuación,debemosescribirestosdatosdesdelastresperspectivas.Sidesconocemoselvalordealgúndato,pondremosunasteriscoensucasillacorrespondiente(*),ytambiénescribiremosuninterroganteenlacasilladeldatoquesealapreguntadelproblema(?).Enestecaso,nospreguntan:¿cuánto dinero ha gastado el equipo masculino?

De las dos relaciones PPT, la que contenga la pregunta del problema será la relación principal deunodeloscaminos,quenospermitiránresolverelproblema.

Veámoslo:

) PPT - Pelotas ) PPT - Euros

Pelotas compradas por el equipo masculino

€ gastados por el equipo masculino

€ gastados por el equipo femenino

P PPelotas compradas por el equipo femeninoP PPelotas compradas por los dos equipos

€ gastados por los dos equiposT T

104

55

?

/ 73 /

> ¿Cuál de las dos relaciones PPT contiene a la pregunta del problema? PPT - Euros

Porotro,identificamoslasrelacionesUVT(multiplicación-división);esdecir,aquellasquehacenreferenciaadosconceptos,EUROSyPELOTAS.Enestecaso,tenemostresrelaciones.Fíjate:

) UVT - Equipo masculino ) UVT - Equipo femenino ) UVT - Los dos equipos

€ que vale UNA pelota € que vale UNA pelota € que vale UNA pelotaU U U

Pelotas que ha comprado el equipo masculino

Pelotas que ha comprado el equipo femenino

Pelotas que han comprado entre los dos equipos

V V V

€ que valen TODAS las pelotas del equipo masculino

€ que valen TODAS las pelotas del equipo femenino

€ que valen TODAS las pelotas entre los dos equipos

T T T

4 4 4

55

104?

> ¿Cuál de las tres relaciones UVT contiene la pregunta del problema? UVT – Equipo masculino

Ahora,podemosdiseñardosPlanesdeResolución:PLANAyPLANB,unocon cada una de las dos relaciones principales. Cada Plan es uno de los caminosposiblespararesolverelproblema.Veámosloacontinuación.

/ 74 /


Enprimerlugar,diseñaremoselPLAN A,utilizandolarelaciónprincipalPPT:PPT – Euros,pueseslaquecontienelapreguntadelproblema(¿cuántodinerosehagastadoelequipomasculino?).Antesdehacereldiagrama,situaremosenunladolarelaciónprincipaly,enelotro,larelacióncomplementariaquenosvaaayudaradescubrirelvalordeldatodeenlace.EstarelacióncomplementariaesUVT-LOSDOSEQUIPOS,yaqueincluyeeldatocuyovalornecesitamosenlarelaciónprincipal,paraasípodercalcularlarespuestaalapreguntadelproblema.

) PPT - Euros ) UVT - Los dos equipos

€ gastados por el equipo masculino

€ que vale UNA pelota


P U€ gastados por el equipo femeninoP V€ gastados por los dos equipos


T T55

4

104

?

RELACIÓNPRINCIPAL RELACIÓNCOMPLEMENTARIA

Plan A

/75/

Ahorayatenemoslasdosrelacionesquenecesitábamosparaelaborareldiagramaderesolución:

UV

?


PP

T T

104

4

55

Plan A

Ahora,hacemoslomismoconlaotrarelaciónprincipal.Enestecaso,será UVT – Equipo masculino, ydiseñamosnuestroPLAN Bque,comoelanterior,tambiénnosconducirá,demaneralógica,alasolucióndelproblema.

Enunlado,situaremoslarelaciónprincipal,laquecontienelapreguntadelproblema.Juntoaella,larelacióncomplementariaUVT-EQUIPOFEMENINO,quenosvaapermitirdescubrirelvalordeldatodeenlace,“Pelotasquehacompradoelequipomasculino”.Sinembargo,deestarelacióncomplementariatambiéndesconocemoselvalordeunodesusdatos,“Pelotasquehacompradoelequipofemenino”,¿quéhacemos,entonces?Elegirotrarelacióncomplementariaquenospermitadescubrirelvalordeestesegundodatodeenlace.Yesarelaciónserá:UVT-LOSDOSEQUIPOS.Fíjate:

/ 76 /

) UVT - Equipo masculino ) PPT - Equipo femenino ) UVT - Los dos equipos


Pelotas compradas por el equipo masculino


U P U

Pelotas que ha comprado el equipo masculino

Pelotas que ha comprado el equipo femenino


V P V

€ que valen TODAS las pelotas del equipo masculino

€ que valen TODAS las pelotas del equipo femenino


T T T

4 4

55 104?

RELACIÓNPRINCIPAL

RELACIÓNCOMPLEMENTARIA


Plan B

/ 77 /

Ahorayatenemoslastresrelacionesquenecesitábamosparaelaborareldiagramaderesolución:

Plan B

T

TPU

?TUV P V

4

554

104


RELACIÓNPRINCIPAL


Enprimerlugar,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLANA.

Recordemoselenunciadoyeldiagrama:


UV

?


PP

T T

104

4

55

/ 78 /

Comosiempre,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondeala relación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),“€quevalenTODASlaspelotasentrelosdosequipos”,porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Unavezdecidida,calculamoslaoperaciónenelespacioparaesefin:


55x 4

220_______

Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióndelarelación principal, coneldatoquenosfaltaba,pararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónPPT (suma-resta),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.

/ 79 /

ComobuscamosunadelasPartes(P),“€ gastados por el equipo masculino”, señalamos esa opción:

T = P + P

P = T - P

P = T - P

x

Conelvalordeldatodeenlacequehemosdescubierto,enlaoperaciónanterior,calculamoslaoperación principal:


220- 104

116_______

/ 80 /

PLAN B

Luego,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLAN B: UVT – Equipo masculino.



T

TPU

?TUV P V

4

554

104


RELACIÓNPRINCIPAL


Enprimerlugar,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria, laqueestásituadaaladerechadeldiagrama.ComoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemos tresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),“las pelotas que ha comprado el equipo femenino”, por lo tanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

/ 81 /

Unavezdecidida,calculamoslaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria.


104 426_______

Luego,yapodemosescogerlaoperacióndelaotrarelación complementaria, laqueseencuentraenelcentrodeldiagrama.Enestecaso,comoesunarelaciónPPT (suma-resta), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Necesitamosaveriguarunadelaspartes(P),“las pelotas que ha comprado el equipo masculino”, por lo tanto:

T = P + P

P = T - P

P = T - P

x


55- 26

29_______

/ 82/

Porúltimo,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación principal, laquecontienelapreguntadelproblema.ComoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscaremoslaCantidadTotal(T),“€ gastados por el equipo masculino”, por lo tanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Conelúltimovalordeldatodeenlace,calculamoslaoperaciónprincipal.


29x 4

116_______



Enestepunto,compararemoslosresultadosdeambosPlanesy,trascomprobarqueestoscoinciden,escribiremoslarespuestadelproblema.

/ 83 /

Igualqueenlosejemplosanteriores,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuántodinerosehagastadoelequipomasculino?

Resultado:el equipo masculino se ha gastado 116€


Porúltimo,valoramoselresultadorespondiendoaunapreguntayaunaafirmación,quenospermitencomprobarsilarespuestaquehemosdadoescoherente.

¿Te parece que tiene sentido? Sí/No

ElequipomasculinosehagastadoMÁS / menosdineroqueelequipofemeninoy,porlotanto,hacompradoMÁS / menospelotasqueelotroequipo.

Parapracticarestetipodeproblemas,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos”, de Boira Editorial,incluyenunaplantillafotocopiable,quepermitealalumnadointegrarcadaunodeestospasosconéxito.

Estaplantillaesespecialmenteútilcuandosedominancadaunodelospasos(leerparaidentificarlosdatos;ordenarlosdatosenundiagramaderesolución;decidir,apartirdeldiagrama,quéoperaciónrealizarycalcularla,yvalorarsilarespuestaeslógica).

Conestefin,loscuadernosacompañanalalumnado,pasoapaso,haciendoespecialhincapiéencadaunadelaspartes,hastallegaralaresolucióndelproblema.

/ 84 /


/85/

Enesteapartado,aprenderemoscómopodemosenseñaradominarproblemas de porcentajes.

Enlosproblemasdeporcentajes,podemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadoriginal,ypodemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadresultantedeaplicarelaumentoolarebajaalacantidadoriginal.

Comoenelcasoanterior,deberemosbuscarcuálessonlasrelacionesprincipales,esdecir,lasquecontienenlapreguntadelproblema.Apartirdeahí,diseñaremosunPlan AyunPlan Bquenosconduciránal mismo resultado.

Acontinuación,veamoscómopodemosaplicarloscuatropasos,enunproblemadeporcentajes.Fíjateenelsiguienteejemplo:

El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12, en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?


Enesteprimerpaso,establecemoslasrelacionesentrelosdatos.Vamosapoderencontrartresrelaciones,teniendoencuentael precio sin rebajar delasbicicletas,yotrastresrelaciones,teniendoencuentael precio rebajado de las bicicletas.

3.2 PROBLEMAS DE PORCENTAJES

/ 86 /

Luego,escribiremoscadadato,enellugarquelecorresponda.Delmismomodo,pondremosunasterisco(*)enlascasillasdeaquellosdatoscuyosvaloresnuméricosdesconozcamosyuninterroganteenlacasilladeldatoquehagareferenciaalapreguntadelproblema(?).

Veámosloacontinuación:

Primero,observaremoselproblema,teniendoencuentaelPrecioSinRebajar.Enestecaso,nosencontramoscontresrelaciones.

Recordemoselproblemaparasituartodoslosdatos:

El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12, en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?

PRECIOSIN REBAJADEUNAYDETODASLASBICICLETAS

Precio de una bicicleta sin rebajar

€ / BicicletaU 800

Bicicletasque hecomprado

BicicletasV 12

Precio de todas las bicicletas sin rebajar

€ todas las bicicletasT

1. € Y BICICLETAS

/ 87 /

GRUPOSDE100€QUEPODEMOSHACERCONELPRECIODEUNABICICLETA

20%=20/100=decada100€merebajan20€yporlotantopago80€.

Entoncesnecesitosaberlosgruposde100€quepuedohacerconelpreciode UNAbicicleta.

Los100€quehay encadagrupo

€ / GrupoU 100

Losgruposde100€ quepuedohacer

GruposV800Elpreciodeuna

bicicleta sin rebajar€ todos los gruposT

2. € Y GRUPOS DE 100 (una bicicleta)

/ 88 /

GRUPOSDE100€QUEPODEMOSHACERCONENELPRECIODE TODASLASBICICLETAS

20%=20/100=decada100€merebajan20€yporlotantopago80€.

Entoncesnecesitosaberlosgruposde100€quepuedohacerconelpreciodeTODASlasbicicletas.

Los100€quehay encadagrupo

€ / GrupoU 100


GruposVElpreciodetodaslas bicicletas sin rebajar

€ todos los gruposT

3. € Y GRUPOS DE 100 (todas las bicicletas)

Ahora,observaremoselproblema,teniendoencuentaelPrecio Rebajado. Esosignificaque,sinoshacenundescuentodel20%,de cada 100€ me descuentan 20€. Porlotanto,decada100€pagaré80€.

Enestecaso,nosencontramos,también,contresrelaciones.Recordemoselproblema,parasituartodoslosdatos:

El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12 en las rebajas, para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?

/ 89 /

PRECIOCON REBAJADEUNAYDETODASLASBICICLETAS

Precio de una bicicleta con rebaja

€ / BicicletaUBicicletasque hecomprado

BicicletasV 12

Precio de todas las bicicletas con rebaja

€ todas las bicicletasT

4. € Y BICICLETAS CON REBAJA

?

GRUPOSDE80€ENELPRECIODEUNABICICLETA

Recuerda,decada100€,solopagaremos80€.

Los80€quepago decadagrupo

€ / GrupoU 80


GruposVElpreciodeuna bicicleta con rebaja


5. € Y GRUPOS DE 80 (una bicicleta)

/ 90 /

GRUPOSDE80€ENELPRECIODETODASLASBICICLETAS

Recuerda,decada100€,solopagaremos80€.

Los80€quepago decadagrupo

€ / GrupoU 80


GruposVElpreciodetodaslas bicicletas con rebaja


6. € Y GRUPOS DE 80 (todas las bicicletas)

?

Unaveztenemostodaslasrelaciones,nospreguntamos:

Delasseisrelaciones,¿quérelacionescontienenlapreguntadelproblema?

Enestecaso,sondos:UVT - € y bicicletas con rebajas y UVT - € y Grupos de 80 (todas las bicicletas).


Enprimerlugar,diseñaremoselPLANA,utilizandolarelaciónprincipalUVT-€ybicicletasconrebajas,pueseslaquecontienelapreguntadelproblema(¿cuántodineronoshancostadolasbicicletas?).Antesdehacereldiagrama,escribiremoslarelaciónprincipaly,asulado,lasrelacionesquenosvanaayudaradescubrirelvalordelosdatosdeenlace.

/ 91 /

) UVT - €yBicicletacon rebaja

) UVT - €ygruposde 80€(unabicicleta)

) UVT - €ygruposde 100€(unabicicleta)

Plan A

€ / bicicleta € / grupo € / grupoU U U

Bicicletas Grupos BicicletasV V V

€ todas las bicicletas € todos los grupos € todos los gruposT T T

100

800

12

80

?

RELACIÓNPRINCIPAL



Plan A

U

TVU

?TVU T

12

80100

800


RELACIÓNPRINCIPAL


V

/ 92/

Ahora,hacemoslomismoconlaotrarelaciónprincipal.Enestecaso,UVT - € y Grupos de 80 (todas las bicicletas),ydiseñamosnuestroPLAN Bque,comoelanterior,tambiénnosconducirá,demaneralógica,alasolucióndel problema.

Escribiremoslarelaciónprincipaly,asulado,lasrelacionesquenosvanaayudaradescubrirelvalordelosdatosdeenlace.

) UVT - €ygruposde80€ (todas las bicicletas)

) UVT - €ygruposde100 €(todaslasbicicletas)

) UVT - €ybicicletas

Plan B

€ / grupo € / grupo € / bicicletaU U U

Grupos Grupos BicicletasV V V

€ todos los grupos € todos los grupos € todas las bicicletasT T T

80 800

12

100

?

RELACIÓNPRINCIPAL



/ 93 /

Plan B

U

VT U?T

UV V

80

100800

12


RELACIÓNPRINCIPAL


T


> PLAN A

Enprimerlugar,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLAN A: UVT - € y bicicletas con rebaja.


El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12 en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?

U

TVU

?TVU T

12

80100

800


RELACIÓNPRINCIPAL


V

/ 94 /

Enprimerlugar,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : UxUnavezdecidida,calculamoselvalordeldatodeenlace.


800 1008_______

Después,decidimoslaoperaciónquecorrespondealaotrarelación complementaria. Como también es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Conelvalordeldatodeenlacequehemosconseguido,graciasalaoperaciónanterior,calculamoslaotrarelacióncomplementaria.

/95/


80x 8

640_______

Porúltimo,decidimoslaoperacióndelarelación principal,coneldatoquenosfaltaba,pararesponderalapreguntadelproblema.TambiénesunarelaciónUVT,enlaquebuscamoslaCantidadTotal(T):

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Conelvalordeldatodeenlacedelarelacióncomplementaria,calculamosla operación principal.


640x 12

+ 6401.280

7.680

_______

_______

/ 96 /

> PLAN B

Acontinuación,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLANB:UVT-€yGruposde80(todaslasbicicletas).


El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12 en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?

U

VT U?T

UV V

80

100800

12


RELACIÓNPRINCIPAL


T

Empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria,laqueestásituadaaladerechadeldiagrama.Comoesuna relación UVT (multiplicación-división),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

/ 97 /

Unavezdecidida,calculamos:


800x 12

+ 8001.600

9.600

_______

_______

Luego,escogemoslaoperacióndelaotrarelación complementaria,laqueseencuentraenelcentrodeldiagrama.Enestecaso,comotambiénesunarelación UVT (multiplicación-división),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),porlotanto:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

Conelvalordeldatodeenlacequehemosaveriguado,graciasalaoperaciónanterior,calculamoslaotraoperacióncomplementaria:

/ 98 /


9.600 10096_______

Porúltimo,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación principal, laquecontienelapreguntadelproblema.SetratadeunarelaciónUVT (multiplicación-división)y,porlotanto,tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T):

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Conelúltimovalordeldatodeenlace,calculamoslaoperaciónprincipal.


80x 96

+ 7.2004.800

7.680

_______

_______

/ 99 /



Enestepunto,compararemoslosresultadosdeambosPlanesy,trascomprobarqueestoscoinciden,escribiremoslarespuestadelproblema.

Igualqueenlosejemplosanteriores,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema,esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuánto dinero me han costado las bicicletas?

Resultado:las bicicletas me han costado 7.680 €


Porúltimo,valoramoselresultadorespondiendoaunapreguntayaunaafirmación,quenospermitencomprobarsilarespuestaquehemosdadoescoherente.

¿Te parece que tiene sentido? Sí/No

Porquelasbicicletaslehancostadomás / MENOSdineroqueantesdehacerleeldescuento.

/ 100 /

4CONCLUSIÓN

/ 101 /

Todaestametodologíaestárecogidaenloscuadernos“Dominar los problemas matemáticos”, de Boira Editorial,queteinvitamosaconocerensupáginaweb.

Además,teanimamosaveralgunadelasbrevesconferenciasonline,enlasqueseenseñacadatipologíadeproblema,porseparado.Esunaopciónmuyútilyrecomendable,paraverlaconotrosdocentesdeciclooclaustroycomentarlo.Losencontrarásenlapáginaweb:https://boiraeditorial.com/recursos/recursos-dominar-los-problemas-matematicos/formacion-online

Siquieresseguirdescubriendomássobreloscuadernos“Dominarlosproblemasmatemáticos”,puedesbajarteunamuestragratuitaenPDF,ensupáginaweb:https://boiraeditorial.com/recursos/recursos-dominar-los-problemas-matematicos

O,siloprefieres,puedesempezaraobtenerresultadosincreíblescontualumnado,desdeestemismoinstante.¿Cómo?Solonecesitasaccederalapáginaweb(http://tienda.boiraonline.es/c210088-materiales-escolares.html)ypedirelmaterialparatuescuela.Asídesencillo.

Antesdefinalizar,terecordamosbrevementelosaspectos clave para dominarlosproblemasmatemáticos.Sitienesalgunaduda,teanimamosaconsultarelcapítulodedicadoacadaapartado.

/ 102/

PROBLEMAS ASPECTOS CLAVE1. Suma-resta Enestosproblemas,noscentraremosenenseñarque

la relación entre las cifras siempre es la misma: hay dos o más Partes (P) y un Total (T). Además,explicaremosquesinosdanelvalordelasPartesynospreguntanelTotal,nosencontramosconunproblema de SUMA.SisabemoselTotalyunadelasPartes,esunproblemadeRESTA.

2. Multiplicación- división

Enestosproblemas,haremoshincapiéenquetambiénexisteunarelacióndeducibleentrelascifras.Asímismo,expondremosquesiemprehayuna Cantidad Unitariaestable(U),queserepiteunnúmerodeVeces(V),yunaCantidad Total(T).Porotrolado,mostraremosalalumnadoquesisabemoslaCantidadUnitariaylasVeces,encontraremoslaCantidadTotalMULTIPLICANDO.Encambio,sisabemoslaCantidadTotalylaCantidadUnitariaolaCantidadTotalylasVeces,encontraremosloquenosfaltaDIVIDIENDO.

3. De dos operaciones

Enesteapartado,esmuyimportantequeexpliquemosal alumnado la diferencia entre un problema de una operaciónyunproblemadedosoperaciones.Laexplicaciónes sencilla: en un problema de una operación, siempre tendremoselvalordetodoslosdatospararesponderalapreguntadelproblema.Encambio,enlosproblemas de dos operaciones, nos faltaráelvalordeunodelosdatos,quedescubriremosmedianteunaoperaciónprevia.Aestedatolollamaremos“dato de enlace” yeselqueunelasdosrelaciones.Paraidentificarlo,debemosremarcarqueloseñalaremosconunasterisco(*).Unavezdescubiertosuvalor,podremoscalcularlaoperaciónquedarespuestaalapreguntadelproblema.Convienerecordaralalumnadoquelasrelacionessiempreserán PPT (suma-resta), enlasquehaydosomásPartes(P)yunTotal(T);oUVT (multiplicación-división),enlasquesiemprehayunaCantidadUnitaria(U),queserepiteunaseriedeVeces(V),yunaCantidadTotal(T).

PPT

T

UV

/ 103 /

PROBLEMAS ASPECTOS CLAVE4. Fracciones Enunproblemareferentealafraccióndeunnúmero,

mostraremosquesiemprehaydosmanerasdeformularlapreguntadelproblema.Laclavesebasaensaberquéopciónnosestánpreguntando,ysituarlosdatosparapoderrealizareldiagramaderesolución.1)2)

?______ de = ?______ de =

5. Sistema métrico decimal

Enunproblemadelsistemamétricodecimal,esmuyimportanteconocerlasrespectivasunidadesysusequivalencias.Porello,esimportanterepasarconnuestroalumnadotodaslasequivalencias:medidasdelongitud,capacidad,tiempoypeso.Así,podránsaberquédosunidadesserelacionanenelproblemayquéoperacioneshayentreellas.

6. Superficies y volúmenes

Enlosproblemasdeperímetros,superficiesyáreas,merecelapenarecordar,connuestroalumnado,losconceptosclave:Elperímetroeslasumadelaslongitudesdeunafigurageométricaplana.SecalculasumandotodaslasPartes(P).Eláreaeslamedidadelasuperficiequeocupaunafigura.Secalculateniendoencuentasusdosdimensiones.UserálamedidadeunadelasdimensionesyVserálaotradimensión,quecorrespondealnúmerodevecesqueserepite la primera.Mientrasqueelvolumeneslacantidaddeespacioqueocupauncuerpo.Y,porlotanto,localcularemosteniendoen cuenta sus tres dimensiones: U (será la medida de una delasdimensiones),V1(lasvecesqueserepiteU)yV2(lasvecesqueserepitelasuperficieUxV1).

/ 104 /

PROBLEMAS ASPECTOS CLAVE7. Varias

operaciones por dos caminos distintos

Enlosproblemasdevariasoperacionesporcaminosdistintos,esfundamentalrecalcarquedeberemosvertodaslasrelacionesdesdedosperspectivas:aquellasrelacionesquehablandeunmismo concepto(seránrelacionesPPT),yaquellasquehablandedos conceptos (serán relaciones UVT).Unaveztengamostodaslasrelaciones,ayudaremosanuestroalumnadoaidentificarcuálessonlasrelaciones principales, aquellasquecontienenlapreguntadelproblema.Unavezdetectadas,lesenseñaremoscómoelaborardosplanesderesolucióndiferentes(PlanAyPlanB)quenosconducirán,deformalógica,alarespuestadelproblema.CadaPlantendrásupropiodiagramaderesolución,enelquedeberemossituarunadelasdosrelacionesprincipalesysuscorrespondientesrelacionescomplementarias.

8. Porcentajes Aligualqueenelrestodeproblemasdemásdeunaoperación,enlosproblemasdeporcentajespodemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadoriginal,ypodemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadresultantedeaplicarelaumentoolarebajaalacantidadoriginal.

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Pararesolvercualquierproblemamatemático,laclaveesenseñar a pensar matemáticamente; esdecir,adeducircuáleslarelaciónexistenteentrelosdatos,yaplicarla.Así,podremosdecidir,deformarazonada,encadaunodeloscuatropasosdelprocesoderesolución.Estosson:

(1) Leer para identificar los datos

(2) Ordenar los datos en un diagrama de resolución

(3) Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla

(4) Escribir la respuesta y valorar si la respuesta es lógica

Siguiendoestoscuatropasos,ordenadamente,descubriremoslarelaciónexistenteentrelosdatosy,graciasaella,hallaremosdeformarazonadalasolucióndelproblema.Consecuentemente,esmuyimportanteenseñaraejecutarcorrectamentecadaunodeestospasos,anuestroalumnado,paraevitaratascoscognitivos.

Sinunmétodoclaroparaenseñararesolverlosproblemas,elalumnadocarecerádeherramientasparaenfrentarseaellosytenderáavivirlasmatemáticascomounáreaincomprensibleeinsuperable.Encambio,silesenseñamosaresolver,pasoapaso,lesayudaremosacrearunamentematemática,quelesacompañarátodasuvida.

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Problemas matemáticos Problemas matemáticos sin esfuerzo - … · 2019. 5. 8. · Para resolver cualquier problema matemático, la clave esenseñar a pensar matemáticamente; es