Principal 2016

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M ETODOS GEOM ETRICOS

DE LA

MEC ANICA CL ASICA,

Modesto Salgado

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Indice general

1. Mecanica Cl´ asica: Formulaci´ on Lagrangiana y Hamiltoniana 11.1. Mecanica de un sistema de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Formulaci on lagrangiana: caso conservativo, y Q abierto en R3N . . . . . . 41.3. Formulaci on hamiltoniana: caso conservativo y Q abierto en R3N . . . . . . 5

2. Mecanica lagrangiana y hamiltoniana para sistemas holon´ omicos 92.1. Formulaci on hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Fibrado cotangente y sus formas can´ onicas. . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. La aplicaci on y : morsmos musicales . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3. Campos de vectores hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Formulaci on lagrangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1. Los elementos geometricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3. Ecuaciones de Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4. Formulaci on lagrangiana sin utilizar F L, SOLO la geometrıa de T Q:

Otra construcci´ on de la forma lagrangiana ωL . . . . . . . . . . . . . 222.3. Formulaci on lagrangiana y hamiltoniana de la M´ aquina de Atwood . . . . . 24

2.3.1. Formulaci on lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2. Formulaci on hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Formulaci on lagrangiana del pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Principios variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1. Principio variacional de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.2. Principio variacional de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6. Formulaci on lagrangiana para lagrangainos no aut´ onommos L : R × T Q → R 38

3. Variedades simplecticas 41

3.1. Variedades simplecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Transformaciones simplecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Corchetes de Poisson, ( Simeon-Denis Poisson, 1781-1840 ) . . . . . . . . . . 48

3.3.1. Propiedades del corchete de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2. Ecuaciones del movimiento en terminos del parentesis de Poisson . . 50

iii

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3.4. Apendice: álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. Apendice:: Algebra simplectica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6. Campos de vectores y grupos uniparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. Simetrıas 654.1. Simetrıas y constantes del movimiento en sistemas hamiltonianos. . . . . . . 65

4.1.1. Simetrıas dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.2. Simetrıas de Noether. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Simetrıas y constantes del movimiento en sistemas lagrangianos. . . . . . . 744.2.1. Simetrıas lagrangianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.2. Simetrıas de Cartan y Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . 754.2.3. Constantes del movimiento y levantamientos completos . . . . . . . 77

4.3. Simetrıas gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.1. Lagrangianos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.2. Simetrıas lagrangianas gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4. Tabla de simetrıas y leyes de conservaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5. Acciones de grupos de Lie sobre variedades: la aplicaci on momento. 895.1. Introducción: grupos de Lie y algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2. Subgrupos uniparametricos y aplicaci´ on exponencial . . . . . . . . . . . . . 955.3. Acciones de grupos en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4. Acciones simplecticas y hamiltonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5. Acciones inducidas en el brado cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.6. La aplicaci on comomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.7. La aplicaci on momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.8. Construcción de la aplicaci on momento: ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 1185.8.1. La aplicaci on momento en T ∗Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.8.2. La aplicaci on momento en T Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.9. Ampliaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.10. Teorema de Kirillov-Konstant-Souriau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.10.1. Forma simplectica en G · µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

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Capıtulo 1

Mecanica Clasica: Formulaci´ onLagrangiana y Hamiltoniana

1.1. Mecanica de un sistema de partıculas

Considerese una partıcula que se mueve en el eje real bajo una fuerza F (x) = − kxdonde k > 0. Las ecuaciones de Newton son

F = m a = md2xdt2 o equivalentemente

d2xdt2 = −

km

x

que podemos escribir como el sistema

v = dxdt

, dv

dt = −

km

x

Si resolvemos este sistema obtenemos una curva t → (x(t), v(t)) que se denomina trayec-toria del sistema , y que nos proporciona la posición de la partıcula ası como su velocidaden cada instante.

Esta trayectoria se puede ver como curva integral del campo de vectores en R2

X (x, v) = v ∂ ∂x

− km

x ∂ ∂v

Una de las ideas de de este curso es ver las soluciones de un problema mec´ anico comocurvas integrales de ciertos campos de vectores.

Consideremos un sistema de N partıculas movıendose en R3.

Espacio de conguraci´ on del sistema Q: formado por todas posibles posicionesque pueden tomar las partıculas.

Espacio de estados del sistema S : formado por todas las posibles posiciones ytodas las posibles velocidades de las partıculas.

1

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2 1 Mecanica Cl asica: Formulación Lagrangiana y Hamiltoniana

Ejemplos :• Partıcula de masa m sujeta en un punto P por un alambre rigido: Q = S 2 y S = T S 2.• Doble pendulo plano: Q = S 1 × S 1 y S = T Q.

El espacio de conguración Q es un subconjunto de R 3N .

En este capıtulo supondremos que Q es abierto en R3N

Una posible conguraci on vendr a dada por

(x1, x2, x3, x4, x5, x6, . . . , x 3α − 2, x3α − 1, x3α , . . . , x 3N − 2, x3N − 1, x3N )

donde(x3α − 2, x3α − 1, x3α )

es la posicion de la partıcula α-esima, α = 1 , . . . , 3N .Las velocidades vendrán dadas por

(v1, v2, v3, v4, v5, v6, . . . , v3α − 2, v3α − 1, v3α , . . . , v3N − 2, v3N − 1, v3N )

donde(v3α − 2, v3α − 1, v3α )

es la velocidad de la partıcula α-esima, α = 1 , . . . , 3N .

Denici´ on 1.1 Un estado del sistema es un par (x, v) ∈Q × R3N = S .

Observaci´ on 1.2 Observese que S = T Q.

Denotaremos las masas por

(M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6, . . . , M 3α − 2, M 3α − 1, M 3α , . . . , M 3N − 2, M 3N − 1, M 3N )

dondeM 3α − 2 = M 3α − 1 = M 3α = mα

es la masa de la partıcula α-esima, α = 1 , . . . , N .Denotamos por ( F 1, . . . , F 3N ) la fuerza total, esto es

(F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6, . . . , F 3α − 2, F 3α − 1, F 3α , . . . , F 3N − 2, F 3N − 1, F 3N )donde

(F 3α − 2, F 3α − 1, F 3α )

fuerza que actua en la partıcula α-esima.

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1.1 Mecanica de un sistema de partıculas 3

Supondremos que las fuerzas dependen de la posici´ on y velocidad y que sonindependientes del tiempo , ası

F α : S = Q × R3N

→ R , α = 1 , . . . , 3N

Si(xα (t)) = ( x1(t), . . . , x 3N (t))

es una posici on del sistema en Q ⊂ R3N a tiempo t , la segunda Ley de Newton nos dice

F α (x(t), v(t)) = M αd2xα

dt2 t, vα (t) =

dxα

dt tα = 1 , . . . , 3N (1.1)

Supongamos que las fuerzas son conservativas , esto signica que existe unafuncion

V : Q →R

llamada función energıa potencial tal que

F α (x, v) = −∂V ∂x α x

α = 1 , . . . , 3N

Por lo tanto en un sistema CONSERVATIVO las fuerzas dependen de las posiciones perono de las velocidades.

En este caso las ecuaciones ( 1.1) se pueden escribir

dxα

dt t= vα (t)

dvαdt t

= − 1M α

∂V ∂x α x (t )

α = 1 , . . . , 3N .(1.2)

Las soluciones del sistema ( 1.2) de ecuaciones diferenciales, serán curvas de la forma

t → γ (t) = ( xα (t), dxα

dt t) ∈S = Q × R3N ,

es decir la curva tangente a al curva t ∈R → γ (t) = ( xα (t)) ∈Q, que nos da la curva quedescriben las partıculas.

Las curvas β (t) = ( xα (t), vα (t)) soluci on del sistema ( 1.2) son curvas integrales delcampo de vectores en S = Q × R3N dado por

X (xα , vα ) = vα ∂ ∂x α −

1M α

∂V ∂x α

∂ ∂vα ∈X(S = Q × R3N ) .

que se denomina generador innitesimal del sistema .

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Observaci´ on 1.3 Sea X es un campo de vectores en una variedad M , una curva

β : t ∈U ⊂R → β (t) ∈M

se dice curva integral de X si

X (β (t)) = β (t) = β ∗(t)( ddt t

)

for all t ∈U .

Observaci´ on 1.4 Hemos visto que las soluciones del problema de la Mec´ anica Cl´ asica en el caso de fuerzas conservativas que no dependen del tiempo son curvas integrales de un campo de vectores.

1.2. Formulaci´ on lagrangiana: caso conservativo, y Q abier-to en R3N

Escribiremos las ecuaciones de Newton ( 1.1) sin que aparezcan las fuerzas.

Denici´ on 1.5 Se dene la funci´ on energıa cinetica como la aplicaci´ on

T : S = Q × R3N → R

(x, v) → T (x, v) =3N

α =1

12

M α (vα )2(1.3)

Es la suma de la energıa cinetica de cada partıcula.

Denici´ on 1.6 Se dene la funci´ on la funci´ on lagrangiana por

L : S = Q × R3N → R

(x, v) → L(x, v) = T (x, v) − (V pr1)(x, v) = T (x, v) − V (x)(1.4)

donde pr1 : Q × R3N → Q proyecci´ on en el primer factor.

Es decir: Funci´ on lagrangiana= funci´ on energıa cinetica − funci´ on potencial

Como L = T − V p1 entonces∂L∂vα =

∂T ∂vα −

∂V ∂vα = M α vα

∂L∂x α =

∂T ∂x α −

∂V ∂x α = −

∂V ∂x α ,

(1.5)

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1.3 Formulaci on hamiltoniana: caso conservativo y Q abierto en R3N 5

la expresin M α vα no suma en α.Sea t ∈R → β (t) = ( xα (t), vα (t)) ∈Q × R3N solucion del sistema ( 1.2)

dxα

dt t= vα (t)

dvα

dt t= −

1M α

∂V ∂x α x (t )

α = 1 , . . . , 3N .

entonces

ddt t

∂L∂vα (x (t ) ,v (t ))

= M αdvα

dt t= M α −

1M α

∂V ∂x α x ( t)

= −∂V ∂x α x (t)

= ∂L∂x α (x (t ) ,v (t ))

Las ecuaciones de Newton ( 1.2) son equivalentes al sistema de ecuaciones

ddt t

∂L∂vα (x (t ) ,v (t )) −

∂L∂x α (x (t ) ,v (t )) = 0 , v

α(t) =

dxα

dt t , 1 ≤ α ≤ 3N (1.6)

con soluciont ∈R → (xα (t))

que son conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange .

Observaci´ on 1.7 Ventaja de estas ecuaciones: desparecen las fuerzas.

1.3. Formulaci´ on hamiltoniana: caso conservativo y Q abier-

to en R3N

Denotamos por S ∗= Q × (R3N )∗al conjunto (variedad) que llamaremos espacio faseo espacio de momentos .

Observaci´ on 1.8 Observese que S ∗= T ∗Q.

Si θ∈(R3N )∗ entonces podemos escribir

θ =3N

α =1θα eα

donde eα es la base canonica de R3N y eα es la base dual.Las coordenadas en S ∗= Q × (R3N )∗ son (xα , pα ) donde

xα (x, θ) = xα (x), pα (θ) = θα .

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Denici´ on 1.9 La transformaci´ on de Legendre se dene como la aplicaci´ on

F L : S = Q × R3N −→ S ∗= Q × (R3N )∗

(x, v) → F L(x, v) = ( x,3N

α =1(M α vα )eα )(1.7)

en coordenadas

F L (x1, . . . , x 3N , v1, . . . , v3N ) = ( x1, . . . , x 3N , M 1v1, . . . , M 3N v3N )

o dicho de otro modo FL(xα , vα ) = ( xα , M α vα ).

La matriz jacobiana de F L es I n 0

0 ( ∂L

∂vαObservese que la inversa de F L viene dada por

F L − 1(xα , pα ) = ( xα , pα /M α ) .

Puesto que ∂L/∂v α = M α vα podemos escribir F L como sigue

F L (x, v) = ( x,3N

α =1

∂L∂vα (x, v)eα ) eα ≡ dxα

Esta deniciónde F L se generalizar a a variedades diferenciables.

Denici´ on 1.10 La funci´ on hamiltoniana del sistema es la funci´ on H : S ∗

→ R denida como la energıa total del sistema, es decir H = energıa cinetica + energıa potencial.

H : S ∗= Q × (R3N )∗ → R

(xα , pα ) → 1

2M α (

pα

M α)2 + V (xα ) =

12

p2α

M α+ V (xα ) .

(1.8)

Calculamos las derivadas parciales de H

∂H ∂x α |(x, p)

= ∂V ∂x α x

, ∂H

∂pα |(x, p)=

pα

M α(1.9)

Seat ∈R → β (t) = ( xα (t), vα (t)) ∈S = Q × R3N vα (t) = dxα

dt t,

una solucion de (1.2). Entonces de ( 1.2) y (1.9), para la curva

β ∗: R β→ S = Q × R3N F L→ S ∗= Q × (R3N )∗

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1.3 Formulaci on hamiltoniana: caso conservativo y Q abierto en R3N 7

β ∗(t) = F L(β (t)) = ( xα (t), M α vα (t))

obtenemos

∂H ∂x α β ∗ (t )

= ∂V ∂x α x (t )

= − M αdvα

dt t= −

dpα β ∗

dt t

∂H ∂pα β ∗ ( t)

= M α vα (t)

M α= vα (t) =

dxα β ∗

dt t

(1.10)

Entonces la imagen F L(β (t)) = β ∗(t) de una trayectoria β (t) en el espacio de estadoses solucion del sistema de ecuaciones en el espacio de fases

∂H ∂x α β ∗ (t )

= −dpα

dt t

∂H ∂pα β ∗ (t ) =

dxα

dt t

(1.11)

conocidas como ecuaciones de Hamilton en el espacio de fases .La curva soluci on de las ecuaciones de Hamilton β ∗(t) es curva integral del campo de

vectores en S ∗

X H = ∂H ∂pα

∂ ∂x α −

∂H ∂x α

∂ ∂pα

esto esX H (β ∗(t)) = X H (F L (β (t))) = ˙β ∗(t) .

Denici´ on 1.11 Una integral (integral primera) o constante del movimiento en el espacio

fase de un sistema mec´ anico es una funci´ on f : Q × (R 3N

)∗

→R

que es constante en cada trayectoria.

Proposici´ on 1.12 H es una constante del movimiento

Demostraci´ on.Consecuencia de las identidades ( 1.10) y (1.11)-

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Capıtulo 2

Mecanica lagrangiana yhamiltoniana para sistemas

holonómicosEn este capıtulo recordaremos las descripciones Hamiltoniana y Lagrangiana de la

mecanica cl asica autónoma. A diferencia con el caso anterior no suponderemos Q inmersaen ningun espacio euclıdeo.

2.1. Formulaci´ on hamiltoniana

2.1.1. Fibrado cotangente y sus formas can´ onicas.

Sea Q una variedad diferenciable de dimensi´ on n y T ∗Q el brado cotangente de Q.Si (q i)1≤ i≤ n es un sistema de coordenadas en U ⊆ Q, recordemos que el sistema de

coordenadas can´ onicas inducido ( q i , pi ) en T ∗U ⊆T ∗Q es

q i (αq) = q i (q ) , pi (α q) = αq ∂ ∂q i q

, 1 ≤ i ≤ n ,(2.1)

siendo α q ∈T ∗Q. Denotaremos por πQ : T ∗Q → Q la proyeccion can onica.Recordemos que la 1 -forma de Liouville θ en T ∗Q se dene como sigue

θ (αq) X α q = αq (πQ )∗ (αq) X α q(2.2)

en donde α q ∈T ∗Q, X α q ∈T α q (T ∗Q) y (πQ )∗ (α q) : T α q (T ∗Q) → T qQ es la diferencial dela proyecci on can onica πQ : T ∗Q → Q, πQ (α q) = q en el punto α q ∈T ∗Q.

En coordenadas can´ onicas, la 1-forma de Liouville θ se escribe

θ = pi dq i .(2.3)

9

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10 2 Mecanica lagrangiana y hamiltoniana para sistemas holon´ omicos

A partir de la 1-forma de Liouville se dene

ω = − dθ(2.4)

que es una 2-forma diferencial exacta y no degenerada en el sentido de que si X es uncampo de vectores sobre T ∗Q que verica ıX ω = 0 entonces necesariamente X = 0. Esta2-forma diferencial se conoce con el nombre de forma simplectica can´ onica del bradocotangente. De ( 2.3) y (2.4) se obtiene que su expresión local es

ω = dq i ∧ dpi .(2.5)

2.1.2. La aplicaci on y : morsmos musicales

Sea V un espacio vectorial de dimensión 2n, y ω : V × V → R un forma bilineal.Denimos

: V → V ∗

v → (v) = ivω = ω(v, − )

Si ω es no degenerada ( ω(v.w) = 0 ∀w ⇒ v = 0) entonces es inyectiva, pues

(v) = 0 ⇒ ω(v, w) = 0 ∀w ∈V ⇒ v = 0 ,

y como es aplicacion lineal inyectiva entre espacios vectoriales de la misma dimensi´ on,deducimoos que es un isomorsmo. Observese que la matriz de coincide con la matriz(ωij = ω(ei , e j )) de ω.

El isomorsmo inverso se denota por

: V ∗ → V

α → α = α

Consideremos el par(T ∗Q, ω = dq i ∧ dpi )

entonces para cada punto x = αq ∈T ∗Q en el espacio vectorial ( T x (T ∗Q), ω(x)) tenemosla forma bilineal no degenerada

ω(x): T x (T ∗Q) × T x (T ∗Q) → R

puesto que su matriz 0 I n

− I n 0y por lo tanto el isomorsmo

x : T x (T ∗Q) → (T x (T ∗Q))∗= T ∗x (T ∗Q)

Z x → x (Z x ) = iZ x ω(x) = ω(x)(Z x , − )

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2.1.2 La aplicacion y : morsmos musicales 11

y su isomorsmo inverso

x : T ∗x (T ∗Q) → T α q (T ∗Q)

que podemos extender a

: T (T ∗Q) −→ T ∗(T ∗Q) , : T ∗(T ∗Q) −→ T (T ∗Q)

deniendo(Z x ) = x (Z x ) = iZ x ω(x) Z x ∈T x (T ∗Q)

(ϕx ) = x (ϕx ) ϕx ∈T ∗x (T ∗Q), .

Tanto como son difeomorsmos,

(q i , pi , q i , ˙ pi ) = ( q i , pi , − ˙ pi , q i )

esto nos permite denir los isomorsmos de m´ odulos

: X(T ∗Q) −→1

(T ∗Q) , (Z ) = Z = iZ ω

esto es

T (T ∗Q) T ∗(T ∗Q)

T ∗Q

Z

(Z )= Z

y su inverso

:1

(T ∗Q) −→ T (T ∗Q)

est a dado por

T ∗(T ∗Q)

T (T ∗Q)

T ∗Q

Ω

(Ω)= Ω

,

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Lema 2.1(

∂ ∂q i

) = dpi ( ∂ ∂p i

) = − dq i

(dq i ) = − ∂ ∂p i

(dpi ) = ∂ ∂q i

(2.6)

Es consecuencia de la siguiente proposici´ on, aunque se puede hacer un c´ alculo directo.

Proposici´ on 2.2 Sea e1, . . . , e n , u1, . . . , u n una base de V y ei , u i su base dual.

Sea ω =n

i=1ei∧u i , entonces

a) ω es uns 2-forma no degenerada.

b) (ei ) = ui , (u i ) = − ei , (ei ) = − u i , (u i) = ei

Demostraci´ on.a) Sea v = ai ei + bi u i y supongamos que ivω = 0 entonces

0 = ivω(e j ) = ω(v, e j ) = ei (v)u i (e j ) − u i (v)ei (e j ) = ai δ ji = a j

0 = ivω(u j ) = ω(v, u j ) = ei (v)u i (u j ) − u i (v)ei (u j ) = bi δ ji = a j

b) (ei ) = iei (e j∧u j ) = iei e j u j − iei u j ei = ui .

Las otras identidades se obtienen de forma an´ aloga.

2.1.3. Campos de vectores hamiltonianos

Denici´ on 2.3 Un campo de vectores Z ∈ X(T ∗Q) se dice hamiltoniano si existe H :T ∗Q → R tal que

(Z ) = iZ ω = dH (2.7)

o equivalentemente Z = (dH ).

Si escribimos Z localmente como

Z = ai ∂ ∂q i

+ bi ∂ ∂p i

tenemos

(Z ) = iZ ω = iZ (dq i ∧dpi ) = iZ (dq i )dpi − iZ (dpi )dq i = a i dpi − bi dq i

por otra parte

dH = ∂H ∂p i

dpi + ∂H ∂q i

dq i

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2.2 Formulaci on lagrangiana. 13

y por lo tanto la expresión local de Z es

Z ≡ Z H = ∂H ∂p

i

∂ ∂q i

− ∂H ∂q i

∂ ∂p

i

(2.8)

Z H se denomina el campo de vectores hamiltoniano correspondiente a H y se denota por Z H .

Proposici´ on 2.4 c : R → T ∗Q, c(t) = ( q i(t), pi (t)) es curva integral del campo de vectores Z H si y solo si satisface el sitema de ecuaciones de primer orden

dq i

dt |t =

∂H ∂p i |c(t)

, dpi

dt | t = −

∂H ∂q i |c(t)

, 1 ≤ i ≤ n(2.9)

que son las ecuaciones de Hamilton de la Mec´ anica Cl´ asica ( ?? ).

Ası, la ecuación (2.7) se puede interpretar como la versi´ on geometrica de las ecuacionesde Hamilton.

2.2. Formulaci´ on lagrangiana.

2.2.1. Los elementos geometricos.

En esta subsección recordaremos las deniciones y las principales propiedades de losobjetos geometricos del brado tangente de una variedad diferenciable que son de utilidaden la descripci on geometrica de las ecuaciones de Euler-Lagrange .

El brado tangente.

Sea Q una variedad diferenciable de dimensi´ on n y sea T Q su brado tangente .Consideremos ( q i )1≤ i≤ n un sistema de coordenadas en U ⊆ Q. Se dene el sistema decoordenadas inducido ( q i , vi )1≤ i≤ n en T U ⊆T Q como

q i (vq) = q i (q ) , vi (vq) = dq i q (vq) = vq(q i ), 1 ≤ i ≤ n(2.10)

siendo vq ∈T Q. Denotaremos por τ Q : T Q → Q la proyeccion can onica.La transformaci´ on de Legendre.

Las formulaciones Hamiltoniana y Lagrangiana de la Mec´ anica Cl asica que acabamosde ver est an relacionadas a traves de la transformaci´ on de Legendre.

Denici´ on 2.5 Si L : T Q → R es una funci´ on Lagrangiana, se dene la transforma-ci´ on de Legendre asociada a L como la aplicaci´ on

F L : T Q → T ∗Q

vq → FL(vq) : T qQ → R

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denida por

[F L (vq)] (wq) = ddt 0

L (vq + t wq)(2.11)

siendo vq, wq ∈T Q.

En coordenadas can´ onicas

R → T Q → Rt → (q i , vi + tw i ) → L(q i , vi + tw i )

entoncesddt 0

L (vq + t wq) = ∂L∂v i vq

wi

y por lo tanto

F L (vq) = ∂L

∂vi|vq

dq i (q )

lo que nos dice que la expresi on local de F L es

F L q i , vi = q i , ∂L∂v i(2.12)

Utilizando las expresiones locales ( 2.5), (2.14) y (2.12) tenemos:

Denici´ on 2.6 Si ω es la forma simplectica can´ onica del brado cotangente T ∗Q denimos la 2-forma lagrangiana ωL , correspondiente al lagrangiano L como la 2-forma diferencial denida por

F L∗ω = ωL .(2.13)

Localmente

ωL = F L∗ω = F L∗(dq i ∧dpi ) = d(q i F L ) ∧d( pi F L ) = dq i ∧d(∂L∂v i ) ,

o tambienωL = dq i ∧d(

∂L∂v i ) =

∂ 2L∂v i ∂q j

dq i ∧dq j + ∂ 2L∂v i ∂v j dq i ∧dv j .(2.14)

Denici´ on 2.7 Se dice que una funci´ on Lagrangiana L : T Q → R es regular si la matriz ∂ 2L∂v i ∂v j es no singular. En caso contrario se dice que el Lagrangiano es singular .

Proposici´ on 2.8 Las siguientes armaciones son equivalentes:

1. L : T Q → R es un Lagrangiano regular.

2. F L : T Q → T ∗Q es un difeomorsmo local.

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2.2.1 Los elementos geometricos. 15

3. ωL es una forma simplectica.

Demostraci´ on.

La matriz jacobiana de F L es I n (∗)

0 ( ∂ 2L∂v i ∂v j )

por lo tanto F L difeomorsmo local si y solo si L es regular.Recordemos que la matriz de ωL es

∂ 2 L∂q i ∂v j − ∂ 2 L

∂q j ∂v i∂ 2L

∂v i ∂v j

− ∂ 2L∂v i ∂v j 0

y por lo tanto ωL es no degenerada si y solo si L es regular.

Denici´ on 2.9 Se dice que el Lagrangiano L : T Q → R es hiperregular si la tranfor-maci´ on de Legendre asociada F L : T Q → T ∗Q es un difeomorsmo global.

Los morsmos musicales y asociadoss a la 2-forma lagrangiana ωL .

Dicha 2-forma diferencial ωL es cerrada

dωL = d((F L )∗ω) = ( FL )∗(dω) = 0

y sera no degenerada si y s olo si la matriz ∂ 2L∂v i ∂v j es no singular.

Consideremos el par(TQ,ωL )

donde L se supone regular y ası ωL es no degenerada (y cerrada, por lo tanto simplecti-ca). Para cada vq ∈T Q tenemos el par ( T vq (T Q), ω(vq)) y por lo tanto los isomorsmos

vq : T vq (T Q) → (T vq (T Q))∗= T ∗vq (T Q)

Z vq → (Z vq ) = iZ v q ωL (vq) = ωL (vq)(Z vq , − )

y el isomorsmo inverso

vq : T ∗vq (T Q) → T vq (T Q)

que podemos extender a

: T (T Q) −→ T ∗(T Q) , : T ∗(T Q) −→ T (T Q)

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deniendo(Z vq ) = vq (Z vq ) = iZ v q ωL (vq), (γ vq ) = vq (γ vq ) .

Tanto como son difeomorsmos, esto nos permite denir los ismorsmos de m´ odulos

: X(T Q) −→1

(T Q) , (Z ) = Z

esto esT (T Q) T ∗(T Q)

T Q

Z

(Z )= Z = iZ ωL

y su inverso

:1

(T Q) −→ T (T Q)

est a dado por

T ∗(T Q)

T (T Q)

T Q

Ω

(Ω)= Ω

,

2.2.2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Sea X un campo de vectores en M y α (t) curva integral de X , entonces en un entronocoordenado ( U,ϕ ≡ (x i)) tenemos

X i (α (t)) ∂ ∂x i |α(t) = X (α (t)) = α (t) = α∗(t)( ddt |t ) = dxi

αdt |t ∂ ∂x i |α(t)

o equivalentemente

X i ϕ− 1 ϕ α(t) = d(π i ϕ α)

dt |t

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2.2.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. 17

denotando F i = X i ϕ− 1 : Rn → R , α(t) podemos armar que ( x1(t), . . . , x n (t)) es curvaintegral de X si y solo si

F i (x1(t), . . . , x n (t)) = dxi

dt |t 1 ≤ i ≤ n

donde xi = πi ϕ α . Ası para obtener las curvas integrales de un campo de vectorestenemos que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en R n .

Por ultimo, un tipo importante de campos de vectores sobre el brado tangente de unavariedad diferenciable son las ecuaciones diferenciles de segundo orden, conocidos comosemisprays o tambien como sode ’s (del ingles, second order differential equation).

Denici´ on 2.10 El levantamiento tangente de una curva α : I ⊂ R → Q es la curva α : I → T Q donde α (t) es el vector tangente a la curva α. Localmente si α(t) = ( q i (t))entonces α (t) = ( q i (t), dq i /dt ).

Denici´ on 2.11 Sea Γ un campo de vectores sobre el brado tangente T Q de una variedad diferenciable Q de dimensi´ on n. Se dice que Γ es un sode si para todo punto vq ∈T Q la curva integral φvq : I → T Q de Γ con condici´ on inicial φvq (o) = vq es el levantamientotangente α (t) de una curva α : I → Q, esto es φvq (t) = α (t).

Expresi´ on local de un sode :

SeaΓ = A i (q, v)

∂ ∂q i

+ Γ i (q, v) ∂ ∂v i

Dado vq ∈T Q existe una curva integral φvq : I → T Q de Γ tal que

φvq (0) = vq, φvq (t) = α (t)

donde α : I → Q y por la tanto α (0) = φvq (0) = vq. Si φvq (t) = α (t) entonces

τ (φvq (t)) = τ ( α (t)) = α(t)

es decirτ φvq = α .

Supongamos queα(t) = ( q i α(t)) ≡ (q i (t))

entonces α : I → T Q esta dada localmente por

α (t) = ( q i α(t), d(q i α)

dt t) ≡ (q i (t),

dq i

dt t) .

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Por otra parte al ser ˙α (t) curva integral de Γ tenemos

Ai ( α (t)) ∂

∂q i + Γ i ( α (t))

∂

∂vi

= Γ( α (t)) = ˙α (t) = dq i

dt∂

∂q i |α (t)+

d2q i

dt2∂

∂v i |α (t)

entonces

Ai ( α (t)) = dq i

dt |t= vi ( α (t))

y por lo tanto A i (vq) = A i ( α (0)) = vi ( α (0)) = vi (vq), es decir A i = vi . Ademas

Γi ( α (t)) = Γ i (q j (t), dq j

dt ) =

d2q i

dt2 | t, i = 1 , . . . , n .(2.15)

Ası la expresión local de un sode Γ es

Γ = vi ∂ ∂q i

+ Γ i ∂ ∂v i(2.16)

y la curva α(t) = ( q i(t)) est a determinada por el siguiente sistema de ecuaciones diferen-ciales de segundo orden

Γi (q i (t), dq i

dt ) =

d2q i

dt2 .

Para calcular las trayectorias de un SODE hay que resolver este sistema. Si conocemosα conocemos α .

Proposici´ on 2.12 Γ ∈ X(T Q) es un sode si es una secci´ on de la aplicaci´ on (τ Q )∗

:T (T Q) → T Q, es decir,

(τ Q )∗

Γ = idT Q(2.17)

en donde idT Q es la funci´ on identidad en T Q y τ Q : T Q → Q la proyecci´ on can´ onica.

Demostraci´ on.Si Γ es un sode entonces

(τ Q )∗(vq)(Γ( vq)) = ( τ Q )∗(vi (vq) ∂ ∂q i |vq

+ Γ i (vq) ∂ ∂v i |vq

) = vq(q i ) ∂ ∂q i |q

= vq = idT Q (vq) .

SeaΓ = A i ∂

∂q i + B i ∂

∂v i ∈X(T Q)

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2.2.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. 19

tal que ( τ Q )∗(vq)Γ( vq) = idT Q (vq) = vq entonces

Ai (vq) ∂

∂q i |q = vq = vi (vq)

∂

∂q i |q

por lo tanto Ai = vi y ası

Γ = vi ∂ ∂q i

+ B i ∂ ∂v i

y por tener esta expresi´ on local uno obyiene que sus curvas integrales son levantamientostangentes de curvas en Q.

Si φ : I → T Q, es una curva integral del sode Γ, dada por φ(t) = ( φi (t), φi (t)),

entonces de ( 2.16) deducimos

vi (φ(t)) = φi (t) = dφi

dt (t) , Γi (φ(t)) = Γ i (φ j (t),

dφ j

dt t) =

dφi

dt (t) =

d2φi

dt2 t(2.18)

La curva α = τ Q φ : R φ→ T Q

τ Q→ Q esta dada localmente por α(t) = ( φi (t)) y esevidente que α = φ.

De los resultados anteriores deducimos la siguiente proposici´ on.

Proposici´ on 2.13 Sea Γ un sode entonces :

1. If φ es una curva integral de Γ entonces φ = α , donde α es la prolongaci´ on tangente de la aplicaci´ on

α = τ Q φ : R φ→ T 1k Q

τ Q→ Q

2. α es soluci´ on del sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

d2α i

dt2 (t) = Γ i (α j (t), dα j

dt (t)) 1 ≤ i ≤ n .(2.19)

Reciprocamente, si α : R

→ Q es cualquier aplicaci´ on vericando ( 2.19 ) entonces α es una curva integral de Γ.

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2.2.3. Ecuaciones de Euler-Lagrange.

Campo de vectores de Liouville.

Otro de los ob jetos geometricos importantes del brado tangente T Q de una variedaddiferenciable Q es el campo de vectores de Liouville.

Denici´ on 2.14 El campo de vectores de Liouville sobre T Q es el generador innitesimal del ujo dado por

Φ : R × T Q −→ T Q(t, vq) −→ Φ(t, vq) = et vq .(2.20)

Puesto que (vq) = (Φ vq )∗(0)( ddt |t = 0

) y Φvq (t) = ( q i , et vi ) deducimos que en coor-

denadas canónicas, el campo de vectores de Liouville se expresa como = vi ∂

∂v i .(2.21)

Si L es de tipo mec anico, esto es L = (1 / 2)M i (vi )2 − V (q ) un obtiene que E L es laenergıa total del sistems, esto es E L = (1 / 2)M i (vi )2 + V (q )

Funci´ on energıa lagrangiana E L .

Denici´ on 2.15 Asociada al lagrangiano L se dene la funci´ on enrgıa como sigue

E L = ∆( L) − L : T Q → R ,

de (2.21) deducimos que la expresión local de E L es

E L = vi ∂L∂v i − L(2.22)

Sea L : T Q → R, una funci on lagrangiana. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para Lson

d(q i φ)dt

= vi (φ(t)) , d

dt∂L∂v i |φ(t)

− ∂L∂q i |φ(t)

= 0 , 1 ≤ i ≤ n(2.23)

cuyas soluciones son curvas φ : R → T Q de la forma φ(t) = ( φi (t), φi(t)).

De la primera ecuación en (2.23) deducimos dφidt |t

= vi (φ(t)) = φi(t) y por lo tanto

φ(t) = ( φi (t), dφi

dt |t) es decir φ es el levantamiento tangente de la curva α : I → Q dada

por α (t) = ( φi (t), esto es α = τ Q φ.

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2.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange. 21

Si L : T Q → R es un Lagrangiano consideramos la ecuaci´ on

ıX L ωL = dE L ,(2.24)

si escribimos localmente X L como sigue

X L = Ai ∂ ∂q i

+ B i ∂ ∂v i ,(2.25)

entonces X L es solucion de la ecuaci on (2.24) si y solo si Ai and B i satisfacen el sistemade ecuaciones

∂ 2L∂q i ∂v j −

∂ 2L∂q j ∂v i A j −

∂ 2L∂v i ∂v j B j = v j ∂ 2L

∂q i ∂v j − ∂L∂q i

,

∂ 2L

∂v j

∂vi A

i = ∂ 2L

∂v j

∂vi v

i .

(2.26)

Si el lagrangiano es regular, las ecuaciones anteriores son equivalentes a las ecuacionessiguientes

∂ 2L∂q j ∂v i v j +

∂ 2L∂v i∂v j

BB j =

∂L∂q i

Ai = vi , 1 ≤ i ≤ n, .(2.27)

Por lo tanto, Si L es un lagrangiano regular, entonces X L es un sode .Si

φ(t) = t ∈R → (φi (t), φi (t)) ∈T Q

es curva integral de X L entonces φ(t) = α (t) con

α : t ∈R → α(t) = ( φi (t)) ∈Q

y

Γi (φ j (t), dφ j

dt t) =

d2φi

dt2 t1 ≤ i ≤ n .

Ahora evaluamos ( 2.27) en φ(t) y obtenemos

∂ 2L∂q j ∂v i φ(t )

v j (φ(t)) + ∂ 2L∂v i ∂v j

Bφ( t)

B j (φ(t) = ∂L∂q i φ(t)

es decir ∂ 2L∂q j ∂v i φ(t)

dφ j

dt t+

∂ 2L∂v i ∂v j

Bα ( t)

d2φi

dt2 t=

∂L∂q i α (t )

es decir la curva α(t) = ( φi (t), proyecci on en Q de la curva integral φ(t) de X L es solucionde las ecuaciones de Euler-Lagrange.

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Proposici´ on 2.16 Si L es un lagrangiano regular, se deduce:

Si X L es una soluci´ on de ( 2.24) entonces es un sode .

Las ecuaciones ( 2.27 ) nos permiten denir soluciones locales de ( 2.24) en un entornode cada punto de T Q y, usando una partici´ on de la unidad, soluciones globales de ( 2.24).

Puesto que X L es un sode , de la Proposici´ on 2.13 conocemos que sus curvas integra-les son prolongaciones α : I → T Q de aplicaciones α: I → Q, y de ( 2.27 ) deducimos que α es una soluci´ on de las ecuaciones de Euler-Lagrange equations ( 2.23 ).

2.2.4. Formulaci´ on lagrangiana sin utilizar F L , SOLO la geometrıa deT Q: Otra construcci´ on de la forma lagrangiana ωL

Levantamiento vertical de campos de vectores.

Teniendo en cuenta la estructura de espacio vectorial que posee cada bra del bradotangente T Q se denen los levantamientos verticales de campos de vectores en Q a camposde vectores en T Q:

Denici´ on 2.17 Sea X q ∈ T qQ un vector tangente a Q en el punto q ∈ Q. Se llama levantamiento vertical de X q a T Q en el punto vq ∈ T Q al vector tangente (X q)v

vq ∈T vq (T Q) denido por

(X q)vvq =

ddt t=0

(vq + tX q) ,(2.28)

es decir, (X q)vvq es el vector tangente, en 0∈R , a la curva α(t) = vq + tX q ∈T qQ ⊂ T Q.Si X es un campo de vectores sobre Q entonces se dene su levantamiento vertical X va T Q como el campo de vectores sobre T Q denido puntualmente por ( 2.28 ), esto es X V (vq) = ( X (q )) V

vq para cada vq ∈T Q.

Puesto que ( X q)vvq es el vector tangente, en 0 ∈R , a la curva α(t) = vq + tX q ∈T qQ ⊂

T Q, cuya expresi on local es α (t) = ( q i , vi + tX i (q )), por lo tanto

(X q)vvq = α (0) = X i (q )

∂ ∂v i vq

En coordenadas canónicas, si X es un campo de vectores en Q, con expresi on localX = X i

∂ ∂q i

, entonces su levantamiento vertical X V a T Q es el campo de vectores con

expresi on local

X v = X i ∂ ∂v i(2.29)

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2.2.4 Formulaci on lagrangiana sin utilizar F L , SOLO la geometrıa de T Q: Otra construcción de la

Observemos que

( ∂ ∂q i

)V = ∂ ∂v i

La estructura tangente can´ onica de T Q.

El levantamiento vertical de campos de vectores a T Q nos permite construir el siguientecampo de tensores de tipo (1 , 1) sobre T Q.

Denici´ on 2.18 Se dene el campo de tensores S de tipo (1, 1) sobre T Q como

S (vq) Z vq = (τ Q )∗ (vq) Z vq

v (vq)(2.30)

en donde Z vq ∈T vq (T Q) siendo vq ∈T qQ.

Este campo de tensores recibe el nombre de estructura tangente can´ onica del bradotangente T Q. En coordenadas canónicas, ( 2.29) y (2.30) se tiene

S = ∂ ∂v i ⊗ dq i .(2.31)

puesto que

S ( ∂ ∂q i

) = ( ∂ ∂q i

)V = ∂ ∂v i , S (

∂ ∂v i ) = 0

La 2-forma lagrangiana ωL .

Dada una función lagrangiana L : T Q → R , podemos considerar la 1-forma diferencial

θL = dL S (2.32)

esto esθL (vq) : T vq (T Q)

S (vq )−→ T vq (T Q)

dL (vq )−→ R ,

a partir de la cual se dene la 2-forma diferencial

ωL = − dθL .(2.33)

En coordenadas can´ onicas, de ( 2.31), tenemos

θL = ∂L∂v i dq i(2.34)

y por lo tanto ( 2.33) se verica.

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2.3. Formulaci´ on lagrangiana y hamiltoniana de la Maquinade Atwood

Q i

→ R3N

(q 1, . . . , q n ) → (x1(q 1, . . . , q n ), x2(q 1, . . . , q n ), . . . , x 3N (q 1, . . . , q n ))

Posicion de m1: (− a,q, 0), Posici on de m2: (a, l − πa − q, 0)

Q → R6

q → (x1(q ), x2(q ), x3(q ), x4(q ), x5(q ), x6(q )) = ( − a,q, 0,a , l − πa − q, 0)

Las posibles posiciones de las dos partıculas quedan determinadas por q

Q = (0 , l − πa ), dim Q = 1

2.3.1. Formulaci´ on lagrangiana

Formulaci on f ısica

Lagrangiano

L : T Q → R L(q, v) = T − V τ = 12

(m1 + m2)v2 − (m2 − m1)gq

∂L∂q

= ( m1 − m2)g ∂L

∂v = ( m1 + m2)v

Ecuaciones de Euler-Lagrange

v = dq dt

ddt (

∂L∂v ) =

∂L∂v

ddt

(∂L∂v

) = ddt

((m1 + m2)v) = ∂L∂q

= ( m1 − m2)g

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2.3.1 Formulaci on lagrangiana 25

(m1 + m2)dvdt

= ( m1 − m2)g ⇔ d2q dt2 =

(m1 − m2)g(m1 + m2)

d2q dt2 =

(m1 − m2)g(m1 + m2)

Formulaci on geom etrica

Lagrangiano

L : T Q → R L(q, v) = 12

(m1 + m2)v2 − (m2 − m1)gq

Aplicaci on de Legendre F L

F L : T Q → T ∗Q, F L (q, v) = ( q, ∂L∂v

= ( m1 + m2)v

Forma lagrangiana ωL

ωL = ( F L )∗ω = ( F L )∗(dq ∧dp) = d(q F l )∧d( p F L ) = dq ∧(m1+ m2)dv = ( m1+ m2)dq ∧dv

Ecuaci on geometricaıX ωL = dE L

Funci on energıa: E L = (L) − L

E L = v∂L∂v − L = v (m1 + m2)v − (

12(m1 + m2)v

2

− (m2 − m1)gq )

= 12

(m1 + m2)v2 + ( m2 − m1)gq

dE L = ( m2 − m1)gdq + ( m1 + m2)vdv (1)

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Sea X = a ∂ ∂q

+ b ∂ ∂v

ıX ωL = ıX ((m1 + m2)dq ∧dv) = ( m1 + m2) (dq (X )dv − dv(X )dq )

= ( m1 + m2)(adv − bdq ) = − (m1 + m2)b dq + ( m1 + m2)a dv (2)

De (1) y (2) obtenemos

(m2 − m1)g = − (m1 + m2)b , (m1 + m2)v = ( m1 + m2)a

de donde se deduce que a = v y b = ( m1 − m2/m 1 + m2)g ası

X = v ∂ ∂q

+ m1 − m2

m1 + m2g

∂ ∂v

Sea α : I ⊂R → T Q con α(t) = ( q (t), v(t) curva integral de X entonces

v(t) ∂ ∂q α ( t)

+ m1 − m2

m1 + m2g

∂ ∂v α (t )

= X (α (t)) = dq dt

∂ ∂q α ( t)

+ dvdt

∂ ∂v α ( t)

de donde deducimos que

v(t) = dq dt

, m1 − m2

m1 + m2g =

dvdt

es decirm1 − m2

m1 + m2 g = d2q dt2

2.3.2. Formulaci´ on hamiltoniana


Hamiltoniano

H : T ∗Q → R H (q, p) = T − V τ = 12

p2

m1 + m2+ ( m2 − m1)gq

∂H ∂q

= ( m1 − m2)g ∂H

∂p =

pm1 + m2

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2.3.2 Formulaci on hamiltoniana 27

Ecuaciones de Hamilton

∂H

∂q = −

dp

dt ,

∂H

∂p =

dq

dt

(m1 − m2)g = −dpdt

, pm1 + m2

= dq dt

mas sencilla que la que obtuvimos antes

d2q dt2 =

(m1 − m2)g(m1 + m2)


Lagrangiano

L : T Q → R L(q, v) = 12

(m1 + m2)v2 − (m2 − m1)gq


F L : T Q → T ∗Q, F L (q, v) = ( q, ∂L∂v

= ( m1 + m2)v)

(F L )− 1 : T ∗Q → T Q, (F L )− 1(q, p) = ( q, p

m1 + m2)

Hamiltoniano

H (q, p) = ( E L (FL )− 1)(q, p) = E L (q, p

m1 + m2)

= v(q, p

m1 + m2)∂L∂v (q,

pm1 + m2

)− L(q,

pm1 + m2

)

como∂L/∂v = ( m1 + m2)v

8/18/2019 Principal 2016



entonces

H (q, p) = pm1 + m2

(m1 + m2) p

m1 + m2−

12

(m1 + m2)( p

m1 + m2)2 + ( m2 − m1)gq

=

= 1

2 p2

m1 + m2+ ( m2 − m1)gq

Forma canónicas

ω = dq ∧dp

Ecuaci on geometricaıX ω = dH

Sea X = a ∂ ∂q

+ b ∂ ∂v

∂H ∂q

dq +∂H ∂p

dp = dH = ıX ω = ıX (dq ∧dv) = dq (X )dp− dp(X )dq = adp − bdq (3)

De (3) obtenemos

∂H ∂q

= − b , ∂H ∂p

= a

y por lo tanto

X = ∂H ∂p

∂ ∂q

− ∂H ∂q

∂ ∂p

Sea α : I ⊂R → T ∗Q con α(t) = ( q (t), p(t) curva integral de X entonces

∂H

∂p α (t)

∂

∂q α (t )

− ∂H

∂q

∂

∂v α ( t)

= X (α (t)) = α (t) = dq

dt

∂

∂q α ( t)

+ dp

dt

∂

∂p α ( t)


∂H ∂p α (t )

= dq dt

, −∂H ∂q α (t )

= dpdt

8/18/2019 Principal 2016


2.4 Formulaci on lagrangiana del pendulo simple 29

como∂H ∂p

= p

m1 + m2,

∂H ∂q

= ( m2 − m1)g

entoncesdq dt

= ∂H ∂p α (t )

= p(α(t))m1 + m2

= p(t)

m1 + m2,

dpdt

= −∂H ∂p α (t )

= ( m2 − m1)g

2.4. Formulaci´ on lagrangiana del pendulo simple

Q → R3

q → (x1

(q ), x2

(q ), x3

(q )) = ( lcosq, − lsenq, 0)Las posibles posiciones de las dos partıculas quedan determinadas por q

Q = ( − q 0, q 0), dim Q = 1

Formulación lagrangiana

La partıcula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acci´ on de dos fuerzas:su propio peso mg y la tensi on del hilo , siendo la fuerza motriz la componente tangencialdel peso mg lsenq .

F a : T Q → R , , F a (vq) = mgdx 1(q ) , γF a = − mglsenqdq

por lo tanto V = mg l cosq

i∗g = m l2 dq ⊗dq


Lagrangiano

L : T Q → R L(q, v) = T − V τ = 1

2 m l2 v2 − mglcosq

∂L∂q

= mg l senq ∂L

∂v = m l2 v

8/18/2019 Principal 2016



Ecuaciones de Euler-Lagrange

v = dq

dt

d

dt(∂L

∂v) =

∂L

∂v

ddt

(∂L∂v

) = ddt

(m l 2 v) = ∂L∂q

= mg l senq

m l 2 dvdt

= mg lsenq ⇔ d2q dt2 =

g senq l

d2q

dt2 =

g

l sen q


Lagrangiano

L : T Q → R L(q, v) = 12

m l2 v2 − mglcosq


FL : T Q → T ∗Q, F L (q, v) = ( q, ∂L∂v

= m l2 v)

Forma lagrangiana ωL

ωL = ( F L )∗ω = ( F L )∗(dq ∧dp) = d(q F l )∧d( p F L ) = dq ∧(m l 2)dv = m l2 dq ∧dv

Ecuaci on geometricaıX ωL = dE L

8/18/2019 Principal 2016


2.4 Formulaci on lagrangiana del pendulo simple 31

Funci on energıa: E L = (L) − L

E L = v∂L

∂v − L = v2 m l 2 − (

1

2 m l2 v2 − mglcosq )

= 12

m l 2 v2 + mglcosq

dE L = − mglsenqdq + m l 2 v dv (1)

Sea X = a ∂ ∂q

+ b ∂ ∂v

ıX ωL = ıX (m l 2 dq ∧dv) = m l2 (dq (X )dv − dv(X )dq )

= m l2 (adv − bdq ) = m l2 a dv − m l 2 b dq (2)

De (1) y (2) obtenemos

− mglsenq = − m l 2 b , m l2 a = m l2 v

de donde se deduce que

a = v , b = g senq

l

ası

X = v ∂ ∂q +

g senq l

∂ ∂v

Sea α : I ⊂R → T Q con α(t) = ( q (t), v(t) curva integral de X entonces

v(t) ∂ ∂q α (t)

+ g sen q

l∂

∂v α (t )= X (α (t)) =

dq dt

∂ ∂q α ( t)

+ dvdt

∂ ∂v α (t )


v(t) = dq dt

, +gsenq

l =

dvdt

es decir d2q dt2 = −

gl senq

Para la formulación hamiltoniana se procede como en el ejemplo de la m´ aquina deAtwood.

8/18/2019 Principal 2016



Ejemplo 2.19 1. Consideramos el movimiento de una partıcula de masa m libre enRn . En este caso el espacio de conguración es Q = Rn con coordenadas ( q 1, . . . , q n )y T Q ≡ R2n . Dado es Lagrangiano

L: T Q ≡ R2n → R

(q i , vi ) → 1

2m((v1)2 + . . . + ( vn )2)

por medio de un sencillo c alculo obtenemos:

ωL = dq i ∧d(∂L∂v i ) = m dq i ∧dvi y E L = L .

Ası, en este caso, la solución de la ecuaci on ıX L ωL = dE L es el campo de vectores

X L = vi ∂

∂q i .

Ademas, siα : t ∈R → α(t) = ( q i (t)) ∈Rn

, es una curva en Rn tal que su prolongación tangente

α : t ∈R → α (t) = ( q i (t), dq i

dt ) ∈Rn

es curva integral de X L , entonces, α es solucion de las ecuaciones de Euler-Lagrange(2.23), que en este caso son:

dq i

dt = vi, m

dvi

dt = 0 , 1 ≤ i ≤ n

o equivalentementeq i (t) = 0 .

Si consideramos el formalimo hamiltoniano deasrrollado en la variedad simplecticacanonica T ∗Q, podemos conectar los formalismos Hamiltoniano (desarrollado en T ∗Q) yel Lagrangiano mediante el siguiente resultado:

Proposici´ on 2.20 Sea L : T Q → R un Lagrangiano hiperregular y denamos H : T ∗Q →R por H F L = E L , en donde E L es la funci´ on energıa asociada al Lagrangiano L.Entonces

F L∗X L = X H (2.35)siendo X L el campo de vectores soluci´ on de la ecuacion ( 2.24) y X H el campo de vectores Hamiltoniano soluci´ on de la ecuaci´ on ( 3.2 ).Adem´ as, si α : R → T Q es una curva integral de X L entonces F L α es una curva integral de X H .

8/18/2019 Principal 2016


2.5 Principios variacionales 33

2.5. Principios variacionales

2.5.1. Principio variacional de Hamilton

En este apartado veremos como obtener las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange apartir de un principio variacional.

Denici´ on 2.21 Denotemos por C ∞ ([t0, t1], Q) el conjunto de curvas

α : [t0, t1]⊂ R → Q tales que α(t0) = q 0, α(t1) = q 1 .

Sea L : T Q → R un lagrangiano, se dene la acci´ on asociada a L por

J : C ∞ ([t0, t1], Q) → R

α → J (α) =

t1

t 0

(L α )( t)dt ,

en donde α : [t0, t1]⊂ R → T Q denota el levantamiento tangente de α.

Denici´ on 2.22 Una curva α : [t0, t1]⊆ R → Q, es un extremal de J si

dds s=0

J (τ s α) = 0

para cada ujo τ s : Q → Q tal que τ s (q 0) = q 0, τ s (q 1) = q 1.

Observese que los ujos τ s : Q → Q considerados en la denici on anterior est angenerados por campos de vectores en Q .

El problema variacional, asociado a un lagrangiano L, consiste en encontrar los extre-males de la acci on integral J .

En la siguiente proposición caracterizaremos los extremales de la acci´ on J asociada aun lagrangiano L.

Proposici´ on 2.23 Sean L : T Q → R una funci´ on lagrangiana. Las siguientes armacio-nes son equivalentes:

1. α : [t0, t1]⊂ R → Q es un extremal del problema variacional asociado a L.

2. Para cada campo de vectores Z en Q, que se anula en los puntos q 0 y q 1, se verica:

t1

t 0Z C (L) α (t) dt = 0 ,

donde Z C es el levantamiento completo de Z a T Q.

3. α es soluci´ on de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange ( ?? ).

8/18/2019 Principal 2016



Demostraci´ on.(1 ⇔ 2) Sea Z ∈X(Q) un campo de vectores en Q, con grupo uniparametrico τ s y que seanula en la frontera de α([t0, t1]).

Recordemos que el ujo asociado a Z C es T τ s .

Puesto que T τ s α = ˙τ s α , entonces se verica

dds s=0

J (τ s α) = dds s=0 t1

t 0

(L ( ˙τ s α)( t)dt

= lıms→0

1s t1

t 0

(L ( ˙τ s α)( t)dt − t1

t 0

(L α )( t)dt

= lıms→0

1s

t1

t 0

(L T τ s α )( t)dt −

t1

t 0

(L α )( t)dt

= t1

t 0

lıms→0

1s

L(T τ s (α(t))( α (t)) − L( α (t) dt

= t1

t 0

Z C (L) α (t)dt ,

donde hemos utilizado que de la relaci´ on

Φα (t ) (s) = Φ( s, α (t)) = T τ s (α(t))( α (t))

se deduce

Z C (L)( α (t)) = Z C ( α (t)) = (Φ α (t ))∗(0)( dds |0

)(L)

= dds |0

(L Φα ( t) ) = lıms→0

1s

L Φα ( t) (s) − L Φα ( t) (0)

= lıms→0

1s

(L(Φα (t ) (s)) − L(α(t)) = lıms→0

1s

(L(T τ s (α(t))( α (t))) − L(α(t)))

(2 ⇔ 3) Acabamos de probar que α : [t0, t1]⊂R

→ Q es un extremal de J si, y solo si,para cada campo de vectores Z ∈X(Q) que se anule en la frontera de α ([t0, t1]) se verica

t1

t 0

Z C (L) α (t)dt = 0 .(2.36)

8/18/2019 Principal 2016


2.5.2 Principio variacional de Hamilton-Jacobi 35

Entonces de la expresión local (?? ) de Z C e integrando por partes obtenemos

0 =

t1

t 0

Z i (α (t))∂L

∂q i| α (t)

dt +

t1

t 0

v j ( α (t))∂Z i

∂q j

|α (t)

∂L

∂vi|α (t)

dt

= t1

t 0

Z i (α (t))∂L∂q i |α (t)

dt + t1

t 0

dα j

dt |t∂Z i

∂q j |α (t)∂L∂v i |α (t)

dt

= t1

t 0

Z i (α (t))∂L∂q i |α (t)

dt + t1

t 0

d(Z i α)dt |t

∂L∂v i |α (t)

dt

= t1

t 0

Z i (α (t))∂L∂q i |α (t)

+ t1

t 0

d(Z i α)dt |t

∂L∂v i |α (t)

dt

= t1

t 0

Z i (α (t))∂L∂q i |α (t)

+ Z i (α (t))∂L∂v i α (t)

t 1

t 0

− t1

t 0

ddt

(∂L∂v i | α (t)

) Z i (α (t)) dt

= − t1

t 0

ddt

(∂L∂v i |α (t)

) − ∂L∂q i | α (t)

Z i(α(t)) dt

Consideremos un sistema local de coordenadas tal que Z = Z i ∂ ∂q i

, deducimos que

α(t) = ( α i(t)) es un extremal de J si, y solo si,

t1

t 0

ddt

(∂L∂v i | α (t)

) − ∂L∂q i |α (t)

Z i (α (t)) dt

para todo valor de Z i

. Ası, α sera un extremal de J si, y solo si,ddt t

∂L∂v i α (t )

= ∂L∂q i α (t)

.(2.37)

que son las ecuaciones de de Euler-Lagrange para L.

2.5.2. Principio variacional de Hamilton-Jacobi

En el desarrollo de la Mec anica hamiltoniana aut´ onoma las ecuaciones de Hamiltonse obtienen a partir de un principio variacional. El desarrollo formal de la formulaci´ onhamiltoniana de la Mecánica Cl asica puede generalizarse a la teorıa de campos cl´ asica.

En este apartado vamos a describir el principio variacional del que se obtienen formal-mente las ecuaciones de campo de Hamilton.

Denici´ on 2.24 Denotemos por C ∞ ([t0, t1], T ∗Q) el conjunto de curvas

α : [t0, t1]⊆ R → T ∗Q, α (t) = ( q i (t), pi (t))

8/18/2019 Principal 2016



tales que α(t0) = α0 y α(t1) = α1.Sea H : T ∗Q → R un hamiltoniano, se dene la acci´ on integral

H : C ∞ ([t0, t1], T ∗Q) → R

asociada a H por

H (α ) = t1

t 0

(θ( α (t)) − H (α(t))) dt = t1

t 0

pi (t) q i (t) − H (q i (t), pi (t)) dt

Denici´ on 2.25 Una curva α : [t0, t1]⊆ R → T ∗Q, del conjunto C ∞ ([t0, t1], T ∗Q), es un extremal de H si

dds s=0

H (α s ) = 0

para cada variaci´ on αs (t) vericando:1) s ∈(− ,+ ),2) α0(t) = α(t)3) αs (t0) = α0, α s (t1) = α1 .4) (πQ )∗(α s (t0))( α s (t0)) = ( πQ )∗(α s (t1))( α s (t1)) = 0

El problema variacional, asociado a un hamiltoniano H , consiste en encontrar losextremales de la acción integral H .

En la siguiente proposición caracterizaremos los extremales de la acci´ on H asociada aun hamiltoniano H .

Proposici´ on 2.26 Sea H : T ∗Q → R un hamiltoniano y α ∈ C ∞C ([t0, t1], T ∗Q). Las

siguientes armaciones son equivalentes:

1. α : [t0, t1]⊂ R → T 1k Q es un extremal del problema variacional asociado a H .

2. α es soluci´ on de las ecuaciones de campo de Hamilton , esto es, si α est´ a localmente dada por α(t) = ( q i (t), pi (t)) , entonces las funciones q i , pi satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales,

dpi

dt t = −∂H ∂q i α ( t) ,

dq i

dt t = ∂H ∂p i α (t) , i = 1 . . . , n .(2.38)

Demostraci´ on.Se verica,

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2.5.2 Principio variacional de Hamilton-Jacobi 37

d

ds s=0

t1

t 0 (( ps )i (t)( q s )i

(t) − H ((q s )i

(t), ( ps ) i (t))) dt

= t1

t 0

(( dds s=0

( ps )i (t)) q i (t) + pi (t) dds s=0

(q s )i (t))dt

− t1

t 0

(∂H ∂q i α (t )

dds s=0

(q s )i (t) + ∂H ∂p i α (t)

dds s=0

( ps )i (t))dt

= t1

t 0

(q i (t) − ∂H ∂p i α ( t)

) dds s=0

( ps )i (t)dt + t1

t 0

pi (t) dds s=0

(q s )i (t)dt

− t1

t 0

(∂H ∂q i α (t )

dds s=0

(q s )i (t)dt

= t1

t 0

(q i (t) − ∂H ∂p i α ( t)

) dds s=0

( ps )i (t)dt + pi (t) dds s=0

(q s )i (t)t 1

t 0

− t1

t 0

˙ pi (t) dds s=0

(q s )i (t)dt − t1

t 0

(∂H ∂q i α ( t)

dds s=0

(q s )i (t))dt

= t1

t 0

(q i (t) − ∂H ∂p i α ( t)

) dds s=0

( ps )i (t)dt + t1

t 0

( ˙ pi (t) − ∂H ∂q i α ( t)

) dds s=0

(q s ) i (t)dt

donde hemos utilizado integraci´ on por partes y la propiedad ( πQ )∗(α s (t0))( α s (t0)) =(πQ )∗(α s (t1))( α s (t1)) = 0.

Veamos ahora la equivalencia del enunciado1. ⇒ 2.

Supongamos que α es un extremal del problema variacional asociado a H , entoncees

la expresi on anterior se anula para todo dds s=0

( ps )i (t) y dds s=0

(q s )i (t). Por lo tanto ob-tenemos que α es solucion de las ecuaciones de Hamilton.2. ⇒ 1.

Teniendo en cuenta la cadena de igualdades anteriores obtenemos que si α es solucionde las ecuaciones de Hamilton entonces

dds s=0

H (α s ) = 0

esto es, α es un extremal del problema variacional asociado a H .

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2.6. Formulaci´ on lagrangiana para lagrangainos no aut´ onom-mos L : R × T Q → R

Endomorsmos verticales

S dt ≡ (dq i − vi dt) ⊗ ∂ ∂v i .(2.39)

Ecuaciones diferenciales en de segundo orden: sode

Denici´ on 2.27 Sea φ : U ⊂R −→ R × Q

t −→ φ(t) ≡ t, φ i (t))

una seccion de π. La primera prolongación j 1φ de φ es la aplicaci´ on

j 1φ : U ⊂Rk −→ R × T Q

t −→ j 1t φ ≡ t, φ i (t), dφi

dt t

(2.40)

Formas de contactoδq i = dq i − vi dt, i = A, . . . , n.(2.41)

Denici´ on 2.28 Un campo de vectores Γ en R × T Q se dice que es un sistema de ecua-ciones en diferenciales de segundo orden ( sode ) si

dt(Γ) = 1 , S (Γ) = 0 ,

o equivalentemente,dt(Γ) = 1 , δq i (Γ) = 0

Veamos ahora la expresi´ on local de un sode .

Γ( t, q i , vi ) = ∂ ∂t

+ vi ∂

∂q i + Γ i ∂

∂vi ,(2.42)

donde Γ i son funciones denidas localmente en R × T Q.Veremos que las secciones integrales de un sode son prolongaciones de secciones.

Proposici´ on 2.29 Las curvas integrales de un sode Γ son primeras prolongaciones

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2.6 Formulaci on lagrangiana para lagrangainos no aut´ onommos L : R × T Q → R 39

φ es una solucion de Γ si, y solo si, q i φ = φi es una soluci on del siguiente sistema deecuaciones en derivadas parciales de segundo orden

d2φi

dt2 t = Γi

t, φ j

(t), dφ j

dt .(2.43)

donde 1 ≤ i, j ≤ n.

Denici´ on 2.30 Si j 1φ es una secci´ on integral de un sode Γ, entonces φ se llama soluci´ on de Γ.

Formas de Poincare-Cartan

Sea L : R × T Q → R un lagrangiano, denimos las 1 -forma de Poincare-Cartan ΘL enR × T Q como las 1-formas

ΘL = Ldt + dL S , .

ΘL = L − ∂L∂v i vi dt +

∂L∂v i dqi,(2.44)

o equivalentemente

ΘL = ∂L∂v i (dq i − vi dt) + Ldt =

∂L∂v i δq i + Ldt .(2.45)

La 2-forma de Poincare-Cartan ΩL = − dΘL en R × T Q

ΩL = − dΘL = dt ∧d L − ∂L∂v i vi + dq i ∧d(

∂L∂v i )(2.46)

Formulación lagrangiana

Sea L un lagrangiano en R × T Q, las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a L son:

∂ 2L∂t∂v i j 1

t φ+

dφ j

∂t t

∂ 2L∂q j ∂v i j 1

t φ+

d2φ j

dt2 t

∂ 2L∂v j ∂v i j 1

t φ=

∂L∂q i j 1

t φ,(2.47)

Las ecuaciones ( 2.47) tambien se suelen escribir como sigue

ddt t

∂L∂v i j 1φ =

∂L∂q i j 1

t φ.

Teorema 2.31 Sea X un campo de vectores en R × T Q vericando

dt(X ) = 1 , iX ΩL = 0 ,(2.48)

Si L es regular entonces X es un sopde . Si φ: U 0 ⊂ Rk → Q es una soluci´ on de X ,entonces φ es soluci´ on de las ecuaciones de Euler-Lagrange ( 2.47 ).

8/18/2019 Principal 2016



8/18/2019 Principal 2016


Capıtulo 3

Variedades simplecticas

Una forma simplectica es una 2-forma vericando una condici´ on algebraica (no degene-

rada) y una condición analıtica (cerrada). En este capıtulo denimos formas simplecticas,describiendo algunas de sus propiedades b´ asicas e introducimos los primeros ejemplos devariedades simplecticas.

3.1. Variedades simplecticas

La palabra simplectico es la es la traducci on latina de la griega complejo.

El ob jetivo de este capıtulo es describir las ecuaciones de Hamilton ( 3.4)

dq i

dt | t = ∂H ∂p i |c(t) ,

dpi

dt | t = −∂H ∂q i |c(t) , 1 ≤ i ≤ n

utilizando las variedades simplecticas.

Denici´ on 3.1 Recordemos que una forma bilineal en un espacio vectorial es no degene-

rada sin su matriz es no sngular.

Una forma bilineal simplectica es una forma bilineal antisimetrica y no degenerada.

Un espacio vectorial dotado de una forma bilineal simplectica se denomina espacio

vectorial simplectico.

Ejemplo : La forma bilineal simplectica can´ onica en R2n es

ω((x1, y1), (x2, y2)) = x1 · y2 − x2 · y1.

41

8/18/2019 Principal 2016


42 3 Variedades simplecticas

Su matriz con respecto a la base standard de R2n es

J = 0 I n− I n 0

siendo I n la matriz identidad.Observese que , en R2 , la forma bilineal

ω((a, b), (c, d)) = a · d − bc.

es el area (salvo el signo) del paralelogramo de generado por los vectores ( a, b) y (c, d).Es conocido que, para cualquier forma bilineal simplectica, existe una base con respecto

a la cual la matriz de la forma es J .

Denici´ on 3.2 Una 2-forma ω ∈ Λ2M cerrada y no degenerada se denomina forma

simplectica y (M, ω) variedad simplectica.

Ejemplos

1. M = R2n , con coordenadas lineales x1, . . . , x n , y1, . . . , yn . La forma simplecticacanonica es

ω =n

i=1dx i ∧dyi .

2. M = Cn con cordenadas z1, . . . , z k . La forma

ω = i2

n

k=1

dzk ∧dzk

es simplectica. Para comprob´ arlo tengase en cuenta que esta forma coincide con elejemplo anterior con la identicaci´ on Cn R2n , zk = xk + iyk .

3. M = S 2. Los vectores tangentes a S 2 en un punto p se pueden identicar con losvectores ortogonales a p. La forma simplectica est´ andard en S 2 se dene a partir delproducto interior y exterior.

ω p(u p, v p): = < p, u p × v p >, u p, v p ∈T pS 2 = p⊥ .

Esta forma es cerrada por ser de grado m´ aximo y es no degenerada ya que < p, u p ×v p > = 0 si u p = 0.

REPASAR CRASH COURSEConsiderando coordenadas polares cilındricas ( θ, h) en S 2 sin los polos, donde

0 ≤ θ < 2π y − 1 ≤ h ≤ 1 ,

laa forma anterior se escribe como ω = dθ ∧dh.

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3.1 Variedades simplecticas 43

Teorema 3.3 (Teorema de Gaston Darboux, 1842-1917.)

Sea (M, ω) simplectica, entonces para todo punto x ∈M existe una carta local

(U x ,ϕ ≡ (q i , pi )) , 1 ≤ i ≤ n

centrada en x, es decir ϕ(x) = 0 , tal que

ω|U =n

i=1

dq i ∧dpi .(3.1)

Observaci´ on 3.4 Comparemos una forma simplectica con una metrica de Riemann.

A nivel lineal, ambas son similares. Puesto que todas las matrices simetricas son diago-

nalizables, todos los productos interiores se pueden expresar con una matriz identidad, con

respecto a alguna base; esto es an´ alogo a que todas las las formas bilineales antisimetricas

tienen un matriz J con respecto a alguna base.

Ambos son campos de tensores de tipo (0 , 2), uno es s simetrico y el otro es antisimtrico.

Pero para variedades, incluso a nivel local, las cosas son muy diferentes. En la geometrıa

simplectica, todas las variedades son (localmente ) difeomorfas entre si ( R2n , ωcan ), pero

en la geometra de Riemann, no es cierto que todas las variedades sean (localmente )

isometricas.

Consecuencias

dim M es par, dim M = 2n

ωn = ω∧ n. . . ∧ω = 0 , ası M es orientable con forma de volumen ωn .

ωn = dq 1 ∧ . . . ∧dq n ∧dp1∧ . . . ∧dpn = 0

La aplicaci onb : T M → T ∗M

X → iX ω

es un isomorsmo de brados vectoriales y la aplicaci´ onb : X(M ) → Λ1M

X → iX ω

es un isomorsmo de m odulos.

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Denici´ on 3.5 Si H : M → R es una funci´ on diferenciable (cualquiera) denida en

M , se llama campo de vectores Hamiltoniano asociado a la funci´ on H al campo de

vectores X H ∈X(M ) sobre M que es soluci´ on de la ecuaci´ on

iX H ω = dH .(3.2)

es decir X H = − 1ω (dH ).

A la funci´ on H se le llama funci´ on Hamiltoniana y a la terna (M,ω,H ) se le llama

sistema Hamiltoniano .

Si q i , pi 1≤ i≤ n es un sistema de coordenadas can´ onicas en M entonces de ( 3.1) y (3.2)

se tieneX H =

∂H ∂p i

∂ ∂q i

− ∂H ∂q i

∂ ∂p i

.(3.3)

Considerando ahora una curva integral α : R → M del campo de vectores X H dada lo-calmente por α(t) = ( q i (t), pi (t)). Entonces de ( 3.3) se obtienen las ecuaciones diferencialesordinarias

dq i

dt =

∂H ∂p i

α , dpi

dt = −

∂ ∂q i

α , 1 ≤ i ≤ n(3.4)

que son las ecuaciones de Hamilton de la Mecanica Clasica , cuando H es la funcionhamiltoniana de un sistema din´ amico.

Ası, la ecuaci on (3.2) se puede interpretar como la versi´ on geometrica de las ecuaciones

de Hamilton sobre una variedad simplectica.

Observaci´ on 3.6

1. Si X H es hamiltoniano entonces LX H ω = 0, puesto que

LX H ω = iX H dω + diX H ω = d(dH ) = 0 .

2. Si X es cualquier campo de vectores en una variedad simlectica ( M, ω) entonces

puesto que

LX ω = ix dω + diX ω y dω = 0

la condicion LX ω = 0 es equivalente a que diX ω = 0 esto es, a que iX ω sea cerrada.

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3.2 Transformaciones simplecticas 45

Por lo tanto por el lema de Poincare para cada x ∈ M existe una funci on local

hx : U x ⊂M → R tal que

iX ω|U x = dhx

es decir

X |U = X h x

y vemos que localmente X es Hamiltoniano.

Denici´ on 3.7 X se dice localmente hamiltoniano si LX ω = 0.

Ejemplo 3.8 Consideremos la esfera ( S 2, ω = dθ∧ dh). El campo de vectores ∂ ∂θ

es un

campo de vectores hamiltoniano asociado a la funci´ on altitud F (θ, h) = h. Se obtiene de(3.3).

Ejemplo 3.9 Consideramos el 2-toro T 2 con la forma simplectica can´ onica ω = dx ∧dy),

donde ( x, y) coordenadas periódicas en T2. Sean a y b constantes (no nulas) y consideramos

el campo de vectores

X = a ∂ ∂x

+ b ∂ ∂y

que no se anula en ning un punto.

Dado que iX ω = ady − bdx es cerrada X es localmente hamiltoniano, sin embargo no

es Hamiltoniano (globalmente).

Si fuese hamiltoniano existirıa una funci´ on H : T2 → R tal que iX ω = dH , pero H

est a denida en un compacto y por lo tanto tedr´ a algun punto crıtico, lo que obliga a que

X se anule en esos puntos, y X no se anula en ning un punto.

3.2. Transformaciones simplecticas

Denici´ on 3.10 Un simplectomorsmo entre dos espacios simplecticos (V 1, ω1) y (V 2, ω2)

es un isomorsmo lineal φ: V → V tal que φ∗ω = ω, i.e.,

ω2(φ(u), φ(u)) = ω1(u, v) ∀u, v ∈V

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Denici´ on 3.11 Si (M 1, ω1) y (M 2, ω2) son variedades simplecticas, una simplectomor-

smo es un difeomorsmo

φ : (M 1, ω1) → (M 2, ω2)

vericando φ∗ω2 = ω1,

Proposici´ on 3.12 Sea (M, ω) una variedad simplectica. Sea φt el ujo de X ∈X(M ):

φt es simplectomorsmo si y solo si LX ω = 0 ( X localmente hamiltoniano)

Demostraci´ on.Si φt es simplectica entonces

φ∗

t ω = ω =⇒ LX ω = ddt 0φ

∗

t ω = ddt 0ω = 0

Si LX ω = 0 entonces0 = φ∗t 0 (LX ω) =

ddt t 0

(φ∗t ω)

por lo tambo φ∗t ω = cte, y como φ∗0ω = ω ( φ0 = id) se deduce φ∗t ω = ω.

Si X H es hamiltoniano entonces LX H ω = 0, por lo que el ujo de X H es simplectico.

Proposici´ on 3.13 (Ley de conservaci´ on de la energıa)

Sea φt el ujo del campo de vectores hamiltoniano X H . Entonces

H φt = H.

M φt

H φ t

M H R

es decir H es constante a lo largo de las curvas integrales de X H , que son las trayectorias

φx (t) del sistema din´ amico.

Demostraci´ on.I ⊂R φx

H φx = H

M H R

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3.2 Transformaciones simplecticas 47

ddt t 0

(H φx ) = ( φx )∗(t0) ddt t 0

(H ) = X H (φx (t0))( H ) = [X H (H )](φx (t0)) = 0

dado queX H (H ) = dH (X H ) = iX H ω(X H ) = 0

por lo tanto H φx = cte, pero cte = H φx (0) = H (x), asi H φx (t) = H (x) equivalen-temente H φt = H .

Observaci´ on 3.14 H es constante a lo largo de las trayectorias.

Proposici´ on 3.15 φ : (M 1, ω1) → (M 2, ω2) (difeomorsmo) simplectica si y solo si

φ∗X H = X H φ para cualquier H : U ⊂M 2 → R , U abierto en M 2.

Demostraci´ on.Demostramos una implicaci´ on. Supongamos que φ∗ω2 = ω1

M 1φ

H φ

M 2H R

entoces demostraremos que

iφ∗ X H ω1 = iX H φ ω1 .

En efecto

iφ∗ X H ω1 = iφ∗ X H φ∗ω2 = φ∗(iX H ω2) = φ∗(dH ) = d(H φ) = iH φω1

donde hemos utilizado la fórmula

F ∗(iX α) = iF ∗ X F ∗α

.

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3.3. Corchetes de Poisson, ( Simeon-Denis Poisson, 1781-

1840 )

La expresi on local del corchete de Poisson es:

f, g = ∂f ∂q i

∂g∂p i

− ∂f ∂p i

∂g∂q i

,

siendo f , g : (q i , pi ) ∈R2n → R .

Denici´ on 3.16 Sea (M, ω) una variedad simplectica y f, g ∈ C ∞ (M ). Se dene el

parentesis de Poisson f, g de f y g como la funci´ on

f, g : = ω(X f , X g) : M → R .

El parentesis de Poisson tambien se puede denir como sigue:

f, g = ω(X f , X g) = iX f ω(X g) = df (X g) = X g(f )

o bien

f, g = ω(X f , X g) = − iX g ω(X f ) = − dg(X f ) = − X f (g) .

Por lo tantof, g = − X f (g) = X g(f ) .

La expresi on local del corchete de Poisson es:

f, g = ∂f ∂q i

∂g∂p i

− ∂f ∂p i

∂g∂q i

,

lo cual es una consecuencia de ( 3.3).

3.3.1. Propiedades del corchete de Poisson

1. Es antisimetrico.2. El corchete de Poisson ·, · satisface la identidad de Jacobi.

Es consecuencia de 0 = dω(X f , X g, X h ) pues ω es cerrada.

Por lo tanto ( C ∞ (M ), ·, ·) es un algebra de Lie.

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3.3.1 Propiedades del corchete de Poisson 49

3. Cada aplicaci onf, : C ∞ (M ) → C ∞ (M )

es una derivación, es decir, verica la regla de Leibniz,

f,gh = f, g h + f, h g

en efecto

f,gh = − X f (gh) = − X f (g)h − X f (h)g = f, g h + f, h g .

4. f es constante en las curvas integrales de X g ⇔ f, g = 0 ⇔ g es constante en las curvas integrales de X f .

Esto es consecuencia def, g = X

g(f ) = − X

f (g)

y de que si φt es el ujo de X g se tiene

ddt t 0

(f φx ) = ( φx )∗(t0)( ddt t 0

)(f ) = X g(φx (t0))( f ) = f, g (φx (t0))

f, g es constante ⇔ f φx es constante ⇔ f es constante en las curvas integralesde X g.

Como caso particular tenemos

Denici´ on 3.17 Una funci´ on f se dice que es una constante del movimiento (o in-

tegral primera, integral del movimiento) correspondiente a un sistema Hamiltoniano

(M,ω,H ) si f es constante a lo largo de las curvas integrales de X H , lo cual es

equivalente a que f, H =0.

5. Si f, g son constante del movimiento entonces f, g es constante del movimiento.

Utilizando la identidad de Jacobi se obtiene:

0 = f, g , H + g, H , f + H, f , g = f, g , H .

6. Ley de conservaci on de la energıa: H es constante a lo largo de las curvas integralesde X H , ya mencionado.

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7. Si φ : (M, ω) → (M, ω) es simplectica entonces

f, g = f φ, g φ

es decir deja invariante el corchete.

Primero observemos que

d(f φ) = φ∗(df ) = φ∗(iX f ω) = iφ∗ X f φ∗ω = iφ∗ X f ω ⇔ φ∗X f = X f φ

donde hemos usado que φ∗ω = ω, por lo tanto

f φ, g φ = ω(X f φ , X g φ) = ω(φ∗X f , φ∗X g) = φ∗ω(X f , X g) = f, g

3.3.2. Ecuaciones del movimiento en terminos del parentesis de Poisson

Proposici´ on 3.18 Si φt es el ujo de X H , y H : U ⊂ M → R una funci´ on arbitraria

denida en el abierto U de M entonces

ddt t

(f φx )( t) = f, H φt (x) = f φt , H (x) x ∈M

Demostraci´ on.

ddt t

(f φx )( t) = ( φx )∗(t)( ddt t

)( f ) = X H (φx (t))( f ) = f, H (φx (t)) = f φt , H (x)

donde hemos utilizado que puesto que φt es simplectica entoncesf, H = f φt , H φt = f φt , H

y que H φt = H .

Las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir como sigue

ddt

| t (q i φx )( t) = q i , H (φt (x)) , d

dt| t ( pi φx )( t) = pi , H (φt (x))

En efectoddt

| t (q i φx )( t) = q i , H (φt (x)) = ∂H ∂p i |φx (t)

ddt

| t ( pi φx )( t) = pi , H (φt (x)) = −∂H ∂q i |φx (t)

.

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3.3.2 Ecuaciones del movimiento en terminos del parentesis de Poisson 51

Proposici´ on 3.19 El espacio vectorial de funciones

(C ∞ (M ), ·, ·)

de (M, ω) es un ´ algebra de Lie con el corchete de Poisson.

El conjunto de los campos de vectores localmente hamiltonianos lo denotaremos porXLH (M, ω) y el de los campos hamiltonianos por XH (M, ω).

Corolario 3.20 XH (M ) es un sub´ algebra de X(M ) puesto que

(C ∞ (M ), ·, ·) → XH (M, ω)f → X f

es un anti-homomorsmo de ´ algebras de Lie, puesto que el conjunto de campos de vectores

hamiltonianos es un sub´ algebra de X(M ).

En efecto[X f , X g] = X f,g .

i[X f ,X g ]ω = iX f LX g ω − LX g iX f ω = − LX g iX f ω

= − (iX g d(iX f ω) + diX g (iX f ω)) = − dω(X f , X g) = − df, g

El conjunto de los campos de vectores localmente hamiltonianos lo denotaremos porXLH (M, ω) y el de los campos hamiltonianos por XH (M, ω).

Proposici´ on 3.21 XLH (M, ω) es un ´ algebra de Lie y XH (M.ω ) es un ideal en XLH (M, ω).

Demostraci´ on.Sean X, Y ∈XLH (M, ω) (o X ∈XH (M, ω) y Y ∈XLH (M, ω).

Utilizando queiX LY − LY iX = i[X,Y ] ,

y que LX ω = LY ω = 0 y que d(iX ω) = d(iY ω) = 0 obtenemos

i[X,Y ]ω = iX (LY ω) − LY (iX ω) = − (iY d(iX ω) + diY (iX ω)) = − d[ω(X, Y )]

entonces [X, Y ] es un campo de vectores hamiltoniano asociado a la funci´ on ω(X, Y ) (y

por lo tanto [ X, Y ] es localmente hamiltoniano.

Denici´ on 3.22 Sea : T M → T ∗M el isomorsmo denido por ω.∗θ y ∗(dθ) se denominana la 1-forma funcamental y la 2-forma funcamental en T M .

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Observaci´ on 3.23

1. Puesto que : T M → T ∗M es un isomorsmo, la 2-forma funcamental ∗(dθ) en T M

es simplectica

2. Sea vz ∈T z (T M ). Entonces

( ∗θ)(z)(vz ) = θ( (z))(( )∗(z)(vz ))

= bω(z) (( πM )∗( (b(z))(( bω)∗(z)vz )

= (z)(( τ M )∗(z)(vz )) = i(τ M )∗ (z )( vz )ω(z)

Ejemplo 3.24 Una partıcula en un campo magnetico

Dada A ∈Λ1(Q) dene una aplicación

tA : T ∗Q −→ T ∗Qα q → αq + A(q )

cuya expresi on local es tA (q i , pi ) = ( q i , pi + Ai π), donde π: T ∗Q → Q es la proyeccion

canonica.

Proposici´ on 3.25 tA es una transformaci´ on simplectica si y solo si A es cerrada.

Demostraci´ on.

Se verica que t∗

Aθ = θ + π∗

A, en efecto

t∗A ( pi dq i ) = ( pi tA )d(q i tA ) = ( pi + Ai π)dq i = θ + π∗A ,

y por lo tanto t∗A ω = ω − π∗(dA), ası tA es una transformación simplectica si y solo si A

es cerrada.

Denici´ on 3.26 Sea B ∈Λ2(Q) cerrada, denimos

ωB = ω − π∗B

que es simplectica por ser cerrada y no degenerada porque su matriz es

− B I − I 0

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En efecto

ωB ( ∂

∂q i ,

∂

∂q j ) = − B ij , ωB (

∂

∂q i ,

∂

∂p j) = δ ij , ωB (

∂

∂p i,

∂

∂p j) = 0 .

B se denomina termino magnetico.

Proposici´ on 3.27 Sea B, B ∈ Λ2(Q) cerradas tales que B − B = dA entonces tA :

(T ∗Q, ωB ) → (T ∗Q, ωB ) es un difeomorsmo simplectico.

Demostraci´ on.

(tA )∗ωB = ( tA )∗(ω− π∗B ) = t∗Aω− t∗A (π+ B ) = ω− π∗(dA)− (π tA )∗B = ω− π∗(dA+ B ) = ωB

Sea

B = B1∂

∂q 1 + B2

∂ ∂q 2

+ B3∂

∂q 3 ∈X(R3)

el campo magnetico (costumbre: suponer divB = 0) en R 3 con coordenadas ( q 1, q 2, q 3).

El campo de vectors B dene una unica dos forma cerrada B ∈Λ2(R 3):

B = iB (dq 1 ∧dq 2 ∧dq 3) = B1dq 2 ∧dq 3 + B2dq 3 ∧dq 1 + B3dq 1 ∧dq 2 .

La ley de la fuerza de Lorentz para una partıcula con carga e y masa m es

mdvdt

= ec

v × B(3.5)

donde

q (t) = ( q 1(t), q 2(t), q 3(t))

es la posici´ on de la partıcula,

v(t) = ( v1(t), v2(t), v3(t)) vi (t) = dq i

dt

su velocidad, e su carga, m su masa, y c la velocidad de la luz. La ecuacion (3.5) es

equivalente a las ecuaciones

8/18/2019 Principal 2016



mdv1

dt =

e

c(B3 v2 − B2 v3), m

dv2

dt =

e

c(B1 v3 − B3 v1), m

dv3

dt =

e

c(B2 v1 − B1 v2)

¿Cual es la formulaci on hamiltoniana de esta ecuaci´ on?. Hay dos , aquı veremos una.

En T ∗R3 tomamos coordenadas ( q 1, q 2, q 3, p1, p2, p3), y consideramos la forma simplecti-

ca magnetica ωB = ω − ec

π∗B

ωB = m(dq 1 ∧dp1 + dq 2 ∧dp2 + dq 3 ∧dp3) − ec

(B1dq 2 ∧dq 3 + B2dq 3 ∧dq 1 + B3dq 1 ∧dq 2)

Sea H : T ∗R3 → R dado por

H (q 1, q 2, q 3, p1, p2, p3) = 12m

|| p|| 2 = 12m

( p21 + p2

2 + p23)

y consideramos la ecuación

iX H ωB = dH (3.6)

en T ∗R3.

Sea

X H = a1 ∂

∂q 1 + a2 ∂

∂q 2 + a3 ∂

∂q 3 + b1

∂ ∂p1 + b2

∂ ∂p2 + b3

∂ ∂p3

Entonces la ecuación (3.6) es equivalente a que las siguientes dos 1-formas coincidan

dH = 1m

( p1dp1 + p2dp2 + p3dp3)

iX H ωB = ( a1dp1 − b1dq 1 + a2dp2 − b2dq 2 + a3dp3 − b3dq 3)

−ec

(B1(a2dq 3 − a3dq 2) + B2(a3dq 1 − a1dq 3) + B3(a1dq 2 − a2dq 1))

= ( a1dp1 + a2dp2 + a3dp3)

+[ec

(B3a2 − B2a3) − b1]dq 1 + [ec

(B1a3 − B3a1) − b2]dq 2

+[ec

(B2a1 − B1a2) − b3]dq 3

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a i = pi /m

y que

b1 = ec

(B3a2 − B2a3) b2 = ec

(B1a3 − B3a1) b3 = ec

(B2a1 − B1a2) .

Por lo tanto se verica

m b1 = ec

(B3 p2 − B2 p3) m b2 = ec

(B1 p3 − B3 p1) m b3 = ec

(B2 p1 − B1 p2)

Sea α (t) = ( q i (t), pi (t)) curva integral de X H entonces

a i (α (t)) = dq i

dt t, bi (α (t)) =

dpi

dt t

como a i(α(t)) = pi (t)/m

pi (t) = pi (α(t)) = m a i (α (t)) = mdq i

dt t≡ mv i (t)

y

bi (α (t)) = dpi

dt t= m

dvi

dt

por lo tanto de

m b1(α (t)) =

e

c(B3 p2(α (t)) − B2 p3(α (t)))m b2(α (t)) =

ec

(B1 p3(α (t)) − B3 p1(α (t)))

m b3(α (t)) = ec

(B2 p1(α (t)) − B1 p2(α (t)))

obtenemos

m m dv1

dt =

ec

(B3m v2(t) − B2m v 3(t))

m m dv2

dt =

ec

(B1m v3(t) − B3m v 1(t))

m m dv3

dt =

ec

(B2m v1(t) − B1m v 2(t))

las cuales son equivalentes a la ecuación (3.5) teniendo en cuenta que ( p1, p2, p3) := p :=

m ˙q2 .

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3.4. Apendice: algebras de Lie

Denici´ on 3.28 Un ´ algebra de Lie g es un espacio vectorial dotado de una operaci´ on

[ , ] : g × g → g, denominada parentesis o corchete de Lie, que satisface las siguientes

propiedades

(i) Anti-simetrıa: [X, Y ] = − [Y, X ] ;

(ii) Bilinearidad: [aX + bY,Z ] = a[X, Z ] + b[Y, Z ] ,∀a, b ∈R

(iii) Identidad de Jacobi; [X, [Y, Z ]] + [Y, [Z, X ]] + [Z.[X, Y ]] = 0.

Ejemplos

1. . Rd con el parentesis de Lie cero, [ , ] = 0 es un algebra de Lie, que se connoce conel nombre de algebra de Lie abeliana de dimensi´ on d.

2. Para cualquier variedad M , los campos de vectores X(M ) es un algebra de Lie dedimensi on innita (si dim M ≥ 1).

3. Sea V espacio vectorial, las transformaciones Lineales T : V → V forman un algebrade Lie, designada por gl(V ), su corchete de Lie es el conmutador de las transforma-ciones lineales

[T, S ] = T S − S T .

Si V = Rn , esta algebra de Lie se designa por gl(n) o gl(n, R).

4. En R3 con el corchete denido por el producto vectorial [ −→v ,−→w ] = −→v × −→w , es unalgebra de Lie.

5. Sean g y h algebras de Lie, el producto cartesiano g × h es un algebra de Lie concorchete

[(X 1, X 2), (Y 1, Y 2)] = ([X 1, X 2]g , [Y 1, Y 2]h

3.5. Apendice:: Algebra simplectica

Sea V un espacio vectorial real m-dimensional, y sea ω: V × V → R una aplicaci onbilineal. La aplicación ω es antisimetrica si ω(u, v) = − ω(v, u ), para todo u, v ∈V .

Teorema 3.29 (Forma estandar para las aplicaciones bilineales antisimetricas)

Sea ω una aplicaci´ on bilineal antisimetrica en V . Entonces existe una base u1, . . . , u k , e1,

8/18/2019 Principal 2016


3.5 Apendice:: Algebra simplectica 57

. . . , en , f 1, . . . , f n de V tal que

ω(u i , v) = 0 , para todo i y para todo v ∈V

ω(ei , e j ) = 0 = ω(f i , f j ) , para todo i, jω(ei , f j ) = δ ij , para todo i, j .

Observaci´ on 3.30

1. La base en el Teorema 3.29 no es ´ unica, aunque tradicionalmente se denomina base

“can´ onica”.

2. En notaci´ on matricial con respecto a tal base se tiene

ω(u, v) = ( − u− )0 0 00 0 Id0 − Id 0

|v|

.

Demostraci´ on.Esta demostraci´ on por inducci on es una versi on antisimetrica del proceso de Gram-Schmidt.

Sea U : = u ∈V | ω(u, v) = 0 para todo v ∈V . Elegimos una base u1, . . . , u k de U yun espacio W complementarioa a U en V ,

V = U ⊕W .

Sea e1 ∈ W cualquier vector no nulo. Entonces existe f 1 ∈ W tal que ω(e1, f 1) = 0.Suponemos que ω(e

1, f

1) = 1. Sea

W 1 = < e 1, f 1 >W ω1 = w ∈W |ω(w, v) = 0 para todo v ∈W 1

Se verica:

W 1 ∩ W ω1 = 0En efecto, supongamos que v = ae1 + bf 1 ∈W 1 ∩ W ω1 , entonces

0 = ω(v, e1) = − b0 = ω(v, f 1) = a ⇒ v = 0

W 1 ⊕W ω1 = W .

En efecto, supongamos que v ∈W verica ω(v, e1) = c y ω(v, f 1) = d entonces,

v =

∈W 1

(− cf 1 + de1) +

∈W ω1

(v + cf 1 − de1) .

8/18/2019 Principal 2016



Por tanto podemos escribir

V = U ⊕W 1 ⊕W ω1 .

Ahora repetimos el proceso anterior.Sea e2 ∈W ω1 , e2 = 0. Existe f 2 ∈ωω

1 tal que ω(e2, f 2) = 0. Suponomos que ω(e2, f 2) =1. Sea W 2: = < e 2, f 2 > . Razonando de modo similar al anterior llegamos a que

V = U ⊕W 1 ⊕W 2 ⊕W ω2 .

Este proceso naliza en un número nito de pasos por ser dim V < ∞ . Por lo tantoobtenemos

V = U ⊕W 1 ⊕W 2 ⊕ . . . ⊕W n

donde todos los sumandos son ortogonales respecto a ω y cada W i = < e i , f i > con

ω(ei , f i ) = 1.La dimensi on del subespacio U no depende de la elecci on de la base, por lo tantok: = dimU es un invariante de ( V, ω).

Puesto que k + 2 n = m = dimV tenemos que n es un invariante de ( V, ω); 2n se llamarango de ω.

Denici´ on 3.31 La aplicaci´ on

: V −→ V ∗

v → (v) = ivω

denida por (v)(u) = ivω(u) = ω(v, u ), es lineal.

El nucleo de

ker = v ∈V : (u)0 = = v ∈V : ω(v, u ) = 0 ∀u ∈V

es el subespacio U del teorema anterior.

Denici´ on 3.32 Una aplicaci´ on bilineal, antisimetrica ω se dice simplectica (o no dege-

nerada) si es biyectiva, esto es, U = 0. En este caso, ω se llama estructura simplectica

lineal en V y (V, ω) se dice espacio vectorial simplectico.

Consecuencias de la denici´ on :

1. La aplicaci on : V → V ∗ es un isomorsmo.

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3.5 Apendice:: Algebra simplectica 59

2. V tiene dimensi on par.

En efecto, por el teorema 3.29 sabemos que dimV = k + 2n y puesto que en estecaso U = 0 obtenemos que dimV = 2n, pues dim U = k = 0.

3. Un espacio vectorial simplectico ( V, ω) tiene una base e1, . . . , e n , f 1, . . . , f n verican-do que

ω(ei , f j ) = δ ij y ω(ei , e j ) = 0 = ω(f i , f j ) .

Esta base se llama base simplectica de ( V, ω). Con respecto a la base simplectica, severica:

ω(u, v) = ( − u− ) 0 Id− Id 0

|v|

,

o equivalentemente, ω se escribe localmente como sigue:

ω = e∗1 ∧ f ∗1 + . . . + e∗n ∧ f ∗n

donde e∗1, . . . , e∗n , f ∗1 , . . . , f ∗n es la base dual de la base simplectica.

Ejemplo 3.33 El prototipo de espacio vectorial simplectico es ( R2n , ω0) siendo ω0 la

forma simplectica

ω0 =n

i=1dx i∧dxn + i

cuya base simplectica es:

e1 = (1 , 0, . . . , 0), . . . , en = (0 , . . . , 0,n

1 , 0, . . . , 0),

f 1 = (0 , . . . , 0,n +1

1 , 0, . . . , 0), . . . , f n = (0 , . . . , 0, 1) .

Denici´ on 3.34 Sean (V, ω) y (V , ω ) espacios vectoriales simplecticos, y φ: V → V una

aplicaci´ on lineal. Decimos que φ es simplectica si φ∗ω = ω, i.e.,

ω (φ(u), φ(u)) = ω(u, v) ∀u, v ∈V

Si φ: V → V es simplectica entonces es inyectiva, y si adem´ as dim V = dim V entoncesφ se denomina isomorsmo simplectico. En particular, si V = V entonces φ se llamaautomorsmo simplectico, y decimos que φ preserva la forma simplectica: φ∗ω = ω, i.e.,

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3.6. Campos de vectores y grupos uniparametricos

Un difeomorsmo de M en M se denomina transformaci´ on.

Denici´ on 3.35 Un grupo uniparametrico global de transformaciones de M es una apli-

caci´ on φ: R × M → M

(t, x ) → φt (x)

tal que

1. Para cada t, φt : M → M es una transformaci´ on (difeomorsmo global)

2. Para cualesquiera s, t ∈R y x ∈M , φt+ s (x) = φt (φs (x)) , es decir

φt+ s = φt φs = φs φt .

Todo grupo uniparametrico induce un campo de vectores X en M :

X (x) = ( φx )∗(0)( ddt 0

)

Denici´ on 3.36 Un grupo uniparametrico local de transformaciones locales denido en

(− , ) × U , U abierto en M ,φ: (− , ) × U → M

(t, x ) → φt (x)

tal que

1. Para cada t, φt : x → φt (x) es un difeomorsmo de U en su imagen φt (U ).

2. Si s, t, t + s ∈(− , ) y si x, φs (x) ∈U , entonces φt+ s (x) = φt (φs (x))

Como en el caso anterior este grupo induce un campo de vectores local en U .Ahora vamos a ver el recıproco.

Sea X un campo de vectores en M y α (t) curva integral de X , entonces en un entronocoordenado ( U,ϕ ≡ (x i)) tenemos

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3.6 Campos de vectores y grupos uniparametricos 61

X i (α (t)) ∂ ∂x i α (t )

= X (α (t)) = α (t) = α∗(t)( ddt t

) = dxi α

dt t

∂ ∂x i α (t )

o equivalentementeX i ϕ− 1 ϕ α(t) =

d(π i ϕ α)dt t

denotando F i = X i ϕ− 1 : Rn → R, podemos armar que ( x1(t), . . . , x n (t)) es curvaintegral de X si y solo si

F i (x1(t), . . . , x n (t)) = dxi

dt t1 ≤ i ≤ n

donde xi = πi ϕ α . Ası para obtener las curvas integrales de un campo de vectorestenemos que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en R n .

Los resultados generales sobre existencia, unicidad e intervalo m´ aximo de denici on

de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias permiten establecer lasiguiente proposición.

Proposici´ on 3.37 Sea X ∈X(M ) un campo de vectores. Para cad punto x ∈M ,

existen n´ umeros ax , bx ∈R ∪ ±∞ y una curva αx : (ax , bx ) → M tales que

(i) 0∈(ax , bx ) y αx (0) = x,

(ii) αx (t) es curva integral de X ,

(iii) Si β : (c, d) → M es una curva integral de X que verica (i) y (ii) entonces

(c, d) ⊂ (ax , bx ) y αx |(c,d ) = β .

A α x se le llama la curva integral maximal pasando por x. La proposici on muestraque por cada punto pasa una ´ unica curva integral maximal. Ası para cada t ∈R denimos

Proposici´ on 3.38 Sea X un campo de vectores en M . Entonces para cada x ∈M

1. existe un entorno abierto U de x,

2. existe > 0

3. existe una aplicaci´ on diferenciable

φ: (− , ) × U → M

(t, y ) → φt (y) = αy(t)

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tal que

(i) Para cada t ∈(− , ), φt : U → M , dada por φt (x) = φ(t, x ) es un difeomorsmo de U

en φt (U ).

(ii) Para cada s, t ∈(− , ) tal que s + t ∈(− , ) y φs (U ) ⊂U se tiene

φt φs = φs+ t

Es decir φ es un ujo 1-parametrico local.

(iii) El grupo uniparametrico φt induce el campo de vectores X .

X (x) = ( φx )∗(0)( ddt 0

) .

3.7. Derivada de Lie

Para una función g : R → R

ddt 0

(g) = g (o) = lımt→0

1t

[g(t) − f (0)]

Denici´ on 3.39

1. Para cada f ∈C ∞ (M ) se dene LX f ∈C ∞ (M ) como sigue

(LX f )(x) = ddt 0

(f φx (t)) = lımt→0

1t

[f (φx (t)) − f (φx (0))] = lımt→0

1t

[f (φx (t)) − f (x)]

que se suele escribir ası

(LX f )(x) = ddt 0

φ∗t f (x)

Dado un difeomorsmo Φ:M → M , para cada f ∈ C ∞

(M ) recordemos que Φ∗

f =f Φ , y para campo de vectores Y ∈X(M ) el campo de vectores Φ∗Y est´ a denida

por

(Φ∗Y )(x) = (Φ − 1)∗(Φ(x))( Y (Φ(x))) .

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3.7 Derivada de Lie 63

2. Para cada Y ∈X(M ) se dene LX Y ∈X(M ) como sigue

(LX Y )(x) = lımt→0

1

t[(φ− t )∗(φt (x))( Y φ t (x ) ) − Y (x)] = lım

t→0

1

t[(φ∗t Y )(x) − Y (x)]

3. Para cada α ∈Λ(M ) se dene LX Y ∈Λ(M ) como sigue

(LX α)(x) = lımt→0

1t

[(φ∗t α)(x) − α(x)] = ddt 0

(φ∗t α)(x)

Por lo tanto podemos escribir

LX f = lım t→01t

[φ∗t f − f ] = ddt 0

φ∗t f

LX Y = lım t→01t

[φ∗t Y − Y ] = ddt 0

φ∗t Y

LX α = lım t→01t

[φ∗t α − α] = ddt 0

φ∗t α

Observaci´ on 3.40 Se demuestra que LX f = X (f ) y que LX Y = [X, Y ].

Proposici´ on 3.41 Se verica

LX (φt 0 α) = ddt t 0

(φ∗t α) = φ∗t 0 (LX α)

Consecuencia de estas identidades es el siguiente

Corolario 3.42 Se verica LX α = 0 si y s´ olo si φ∗

t α = α .

Demostraci´ on.Si LX α = 0 entonces

ddt t 0

(φ∗t α) = φ∗t 0 (LX α) = 0

por lo que φ∗t α es constante, pero como φ∗0α = α se deduce el resultado. La otra implicaci´ ones inmediata de la decición de LX α .

Formulas

LX α(Y 1, . . . , Y r ) = X (α (Y 1, . . . , Y r )) −r

i=1α(Y 1, . . . , [X, Y i ], . . . , Y r ) α ∈Λr (M )

dα (X, Y ) = 12

X (α(Y ) − Y (α(X )) − α([X, Y ]) α ∈Λ1(M )

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Capıtulo 4

Simetrıas

4.1. Simetrıas y constantes del movimiento en sistemas ha-

miltonianos.

En este capıtulo vamos hacer una introducci´ on al estudio de las simetrıas de los sistemasdin amicos. La forma m as rigurosa y completa de abordar este estudio es mediante lateorıa de las acciones de grupos de Lie sobre variedades simplecticas o presimplecticas.No obstante, en este capıtulo, s´ olo se va a dar una breve introducci´ on a este tema, yunicamente para el caso de sistemas din´ amicos regulares (aunque algunos de los resultados

pueden generalizarse al caso no regular).El interes del estudio de las simetrıas radica en que, como es bien conocido, la exis-tencia de simetrıas en sistemas din´ amicos est a relacionada con la existencia de cantidadesconservadas o constantes del movimiento de dichos sistemas, lo cual permite, a su vez,simplicar la integración de las ecuaciones din amicas aplicando metodos adecuados de re-ducci on. Es importante mencionar, a este respecto los resultados de Arnold sobre sistemas integrables [?] y tambien los de Marsden y Weinstein sobre el problema de la reducci´ onsimplectica [?] (ver tambien [ ?] y las referencias que se citan).

A lo largo de esta secci on (M,ω,H ) designar a un sistema dinámico hamiltoniano, yX H ∈XLH (M ) sera el campo din amico solucion del sistema.

4.1.1. Simetrıas din´ amicas

Al hablar de simetrıas de un sistema din´ amico, es habitual hacer alusi´ on al hecho deque “una simetrıa de un sistema din´ amico deja invariantes las soluciones del sistema deecuaciones diferenciales que describen la din´ amica del sistema”. En este sentido se dene:

65

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66 4 Simetrıas

Denici´ on 4.1 Una simetrıa din´ amica del sistema es un difeomorsmo Φ:M → M que

verica:

Φ∗X H = X H Φ

en ese caso si α(t) es curva integral de X H y por lo tanto solución de las ecuaciones deHamilton, entonces Φ( α(t)) = β (t) es curva integral de X H y por lo tanto soluci on de lasecuaciones de Hamilton. En efecto:

β (t) = (Φ α)∗(t)( ddt | t

) = (Φ ∗(α(t))[α∗(t)( ddt | t

)] = Φ∗(α(t))( X H (α(t))

= X H (Φ(α(t)) = X H (β (t)

Una simetrıa de un sistema din´ amico se puede considerar que est´ a generada localmentepor un campo vectorial, a traves del grupo local de difeomorsmos generado por su ujo.En este sentido la denición anterir conduce a establecer la siguiente:

Denici´ on 4.2 Una simetrıa dinámica innitesimal del sistema es un campo vectorial

Y ∈X(M ) tal que los difeomorsmos locales generados por su ujo son simetrıas din´ ami-

casdel sistema; esto es,

LY X H = [Y, X H ] = 0(4.1)

puesto que LY X H = 0 signica que (Φ Y t )∗X H = X H Φt .

Proposici´ on 4.3 Si Y 1, Y 2 ∈X(M ) son simetrıas din´ amicasinnitesimales, entonces [Y 1, Y 2]

es tambien una simetrıa din´ amica innitesimal.

Demostraci´ on.Usando la identidad de Jacobi, se tiene que

[[Y 1, Y 2], X H ] = [Y 2, [X H , Y 1]] + [Y 1, [Y 2, X H ]] = 0

Un primer resultado que relaciona las simetrıas de los sistemas din´ amicos con lascantidades conservadas es el siguiente:

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4.1.2 Simetrıas de Noether. Teorema de Noether 67

Proposici´ on 4.4 1. Si Φ:M → M es una simetrıa din´ amica y f ∈ C∞ (M ) es una

constante del movimiento del sistema, entonces Φ∗f es tambien constante del movi-

miento.

2. Si Y ∈ X(M ) es una simetrıa din´ amica innitesimal y f ∈ C∞ (M ) es una cons-

tante del movimiento del sistema, entonces LY f = Y (f ) es tambien constante del

movimiento.

Demostraci´ on.

1. Si Φ:M → M es una simetrıa din´ amica se tiene que Φ∗X H = X H Φ o equivalente-mente Φ∗X H = X H , por lo tanto

LX H (Φ∗f ) = LΦ∗ X H (Φ

∗f ) = Φ∗(LX H f ) = Φ∗(0) = 0

2. Primero recordemos que

i[X,Y ]α = LX LY α − LY LX α .

Si Y ∈ X(M ) es una simetrıa din´ amica innitesimal entonces 0 = [ X H , Y ] lo cualimplica que LX H LY = LY LX H y, como f es una constante del movimiento delsistema, entonces LX H f = 0, entonces

LX H LY f = LY LX H f = LY (0) = 0

4.1.2. Simetrıas de Noether. Teorema de Noether

Entre las simetrıas de un sistema, tienen especial relevancia, como generadores deconstantes de movimiento, las siguientes:

Denici´ on 4.5 Φ ∈ Dif (M ) es una simetrıa de tipo Noether (tambien denominada si-

metrıa de Cartan ) del sistema si:

1. Φ es un simplectomorsmo en M : es decir, Φ∗ω = ω.

2. Φ deja invariante la din´ amica; es decir, Φ∗H = H salvo una constante.

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68 4 Simetrıas

Denici´ on 4.6 Y ∈X(M ) es una simetrıa innitesimal de tipo Noether (tambien deno-

minada simetrıa de Cartan innitesimal ) del sistema si:

1. LY ω = 0; esto es, Y ∈XLH (M ).

2. LY H = 0

Simetrıassimetrıa din´ amica simetrıa innitesimal

Φ∗(X H ) = X H LY X H = 0simetrıa de Noether simetrıa innitesimal de NoetherΦ∗ω = ω , Φ∗H = H LY ω = 0 , LY H = 0

Comentarios : Para el caso innitesimal, dado que, por denici´ on, toda si-metrıa innitesimal de tipo Noether Y ∈ X(M ) es un campo vectorial local-mente hamiltoniano, se tiene que para todo p ∈M , existe un abierto U p p yf Y ∈C∞ (U p) (unica, salvo constantes) tal que ıY ω = df Y , en U p.

Como primer resultado de importancia se tiene que:

Proposici´ on 4.7 1. Si Φ ∈ Dif (M ) es una simetrıa de tipo Noether, entonces es

tambien una simetrıa din´ amica.

2. Si Y ∈X(M ) es una simetrıa innitesimal de tipo Noether, entonces es tambien una

simetrıa din´ amica innitesimal.

Demostraci´ on.

1. Si X H ∈ X(M ) es solucion de la din amica entonces 0 = ıX H ω − dH , y por ser unasimetrıa de tipo Noether, Φ ∗ω = ω y Φ∗H = H , por lo que:

0 = Φ∗(ıX H ω − dH ) = ıΦ∗X H Φ∗ω − Φ∗dH = ıΦ∗X H

ω − dH = ıΦ∗X H ω − dH

pero por ser el campo dinámico solucion es unica, luego Φ∗X H = X H ⇔ Φ∗X H =X H , y de ahı el resultado.

2. Por ser Y ∈ X(M ) una simetrıa de tipo Noether se tiene que Y ∈ XLH (M ) yLY ω = 0, luego

ı[Y,X H ]ω = LY ıX H ω − ıX H LY ω = LY dH = ıY ddH + dıY dH = dY (H ) = 0

puesto que LY H = Y (H ) = 0. Por o tanto dado que ω es no degenerada, se concluyeque [Y, X H ] = 0, luego Y es simetrıa dinámica innitesimal.

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Como en el caso de las simetrıas din´ amicasinnitesimales, es inmediato comprobar que:

Proposici´ on 4.8 Si Y 1, Y 2 ∈X(M ) son simetrıas innitesimales de tipo Noether, enton-

ces [Y 1, Y 2] es tambien una simetrıa innitesima de tipo Noether.

Demostraci´ on.En primer lugar se tiene que L[Y 1 ,Y 2 ]ω = 0, ya que [Y 1, Y 2] ∈ XLH (M ), por ser Y 1, Y 2 ∈XLH (M ). Adem as

ı[Y 1 ,Y 2 ]dH = LY 1 ıY 2 dH − ıY 2 LY 1 dH

= iY 1 d(iY 2 dH ) + diY 1 (iY 2 dH ) − ıY 2 (iY 1 ddH + ıY 2 dıY 1 dH ) = 0

Ademas, se tiene que:

Proposici´ on 4.9 Sea (M, ω) una variedad simplectica, supongamos que existe un poten-

cial simplectico θ tal que ω = dϑ.

Sea Y ∈X(M ) una simetrıa innitesimal de tipo Noether, entonces:

1. Para cada p∈M existe una funci´ on f Y ∈C∞ (U p), , ´ unica salvo constantes, tal que

ıY ωL = df Y , (en U p) .(4.2)

2. Para cada p∈M existe ζ Y ∈C ∞ (U p), que verica que LY ϑ = dζ Y .

Adem´ as

f Y = ζ Y − ıY ϑ (salvo adici on de funciones constantes en U p)(4.3)

Demostraci´ on.

1. Puesto que LY ω = 0 entonces

0 = LY ω = iY dω + diY ω = diY ω

es decir Y es localmente hamiltoniano, por lo tanto para cada p ∈ M existe unafuncion f Y ∈C∞ (U p), , unica salvo constantes, tal que

ıY ωL = df y(4.4)

en U P .

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70 4 Simetrıas

2. En U p, se tiene quedLY ϑ = LY dϑ = LY ω = 0

de modo que LY ϑ es una forma cerrada. Entonces, por el Lema de Poincare, existeζ Y ∈C∞ (U p), vericando que LY ϑ = dζ Y , en U p.

3. Puesto que ıY ω = df Y , en U p, se obtiene que

dζ Y = LY ϑ = dıY ϑ + ıY dϑ = dıY ϑ + ıY ω = dıY ϑ + f Y

y por lo tantof Y = ζ Y − iY ϑ = ζ Y − ϑ(Y ) .

Observaci´ on 4.10 Observese que si ω = − dθ entonce f Y = ϑ(Y ) − ζ Y .

Finalmente, como resultado fundamental relacionado con las simetrıas de tipo Noetherse tiene la siguiente versión geometrica del clásico teorema de Noether :

Teorema 4.11 (de Noether) . Si Y ∈X(M ) es una simetrıa innitesimal de tipo Noet-

her, entonces su funci´ on hamiltoniana (local o global) f Y = ζ Y − ıY ϑ es una cantidad

conservada; esto es, LX H f Y = 0 .

Demostraci´ on.En efecto, pues

LX H f Y = ıX H df Y = ıX H ıY ω = − ıY ıX H ω = − ıY dH = 0

Este resultado tiene una gran relevancia, ya que asocia a cada simetrıa de Noetheruna constante del movimiento, esto es, una integral primera del sistema de ecuacionesdiferenciales din amicas.

En general, para simetrıas que no son de tipo Noether no hay una manera directa deobtener constantes del movimiento, salvo para casos muy particulares.

Teorema 4.12 Si Y ∈ X(M ) es una simetrıa din´ amica innitesimal tal que ıY dH = 0 ,

entonces la funci´ on ıY dH es una cantidad conservada..

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Demostraci´ on.En efecto,

L(X H )ıY dH = ( ı[X H ,Y ] + ıY LX H )(dH ) = ı[X H ,Y ]dH + ıY LX H (dH )= ıY LX H dH = ıY (ıX H ddH + dıX H dH ) = ıY (dıX H ıX H ω) = 0

Ejemplo 4.13

1. Consideremos como ejemplo de sistema dinámico hamiltoniano el correspondiente a

un oscilador armónico monodimensional. En este caso:

Q = R , M = T ∗Q ≈ R2, ω = dq ∧dp, y H (q, p) = 12

(q 2 + p2) .

El campo de vectores

Y = − Y H = − p ∂ ∂q

+ q ∂ ∂p

con grupo uniparametico asociado

hs : T ∗Q → T ∗Q

(q, p) → (q cos s − psin s, q sin s + pcos s)

es una simetrıa de Noether del sistema din´ amico puesto que

LY H = Y (H ) = 0 , h∗s ω = ω ⇔ LY ω = 0 .

Calculemos la correspondiente constante del movimiento:

dζ Y = LY θ = iY dθ + diY θ = − iY ω + d(θ(Y )) = iY H ω + d(θ(Y )) = d(H + θ(Y ))

por lo tanto H + θ(Y ) = ζ Y y de como ω = − dθ deducimos que la constante del

movimiento es

f Y = θ(Y ) − ζ Y = − H .

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72 4 Simetrıas

2. Consideramos una partıcula libre en Rn , de masa m. En este caso, el sistema dinámico

hamiltoniano ( M,ω,H ) es ,vease el ejemplo 1 :

M = T Rn ≡ R2n , ω = mdq i ∧dvi , H (q, v) = L(q, v) =k

i=1

12

m(vi )2 ,

donde ( q, v) = ( q 1, . . . , q n , v1, . . . , vn ) son las coordenadas en M = R2n que repre-

sentan la posición y la velocidad de la partıcula.

Observese que ω = − dθ con θ = m v i dq i , y ası en este caso f Y = iY ϑ − ζ Y .

Sea u = ( u1, . . . , u n ) ∈Rn cualquier vector en Rn . El campo de vectores

Y = ui ∂

∂q i

con grupo uniparametrico asociado

hs : R2 → R 2

(q, v) → (q + su,v )

es una simetrıa de Noether del sistema din´ amico puesto que

LY H = Y (H ) = 0 , h∗s ω = ω ⇔ LY ω = 0 .

Ademas puesto que θ = mv i dq i obtenemos LY θ = 0,

LY θ( ∂ ∂q i

) = Y (θ( ∂ ∂q i

)) − θ([Y, ∂ ∂q i

]) = 0 , LY θ( ∂ ∂v i ) = 0(∗)

y por lo tanto ζ Y = dLY θ = 0, por lo que la cantidad conservada es

f Y = ıY ϑ = ϑ(Y ) = m v i u i .

Ası la constante del movimiento correspondiente f Y es el momento lineal en la di-

recci´ on u.

3. Sea ahora A = ( Ai j ) ∈ so(n) una matriz n × n antisimetrica. Entonces para todo

s ∈R , esA∈SO (n). El campo de vectores

Y = Ai j q j

∂ ∂q i

+ Ai j v j ∂

∂v i

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con grupo uniparametrico asociado

hs : R2 → R2

(q, v) → (esA · q, esA · v)

es una simetrıa de Noether del sistema din´ amico puesto que, por ser A antisimetrica

(Ai j = − A j

i ), se verica

LY H = Y (H ) = mA i j vi v j = 0

y

LY ω = iY dω + diY ω = md(Ai j q j dvi − Ai

j v j dq i ) = 0

puesto que iY ω = m (Ai j q j dvi − Ai j v j dq i ) = 0.

La constante del movimiento correspondiente es el momento angular en la direcci´ on

A.

Calcluamos

h∗s θ = h∗s (mv i dq i ) = m(vi hs )d(q i hs ) = m(esA · v) i d(esA · q )i

= m(esA ) i j v j d((esA ) i

kq k ) = m(esA )i j v j (esA ) i

kdq k = m(esA ) i j (esA )i

k v j dq k

= mδ jk v j dq k = mv i dq i = θ

por lo tanto LY θ = 0 y dζ Y = LY θ = 0, y por lo tanto la cantidad conservada es

f Y = ıY ϑ = mv i Ai j q j .

En el caso particular n = 3 esta cantidad constante del movimiento es mv × q , esto

es, el momento angular.

4. Consideramos ahora el ejemplo ?? de la seccion ?? . El sistema hamiltoniano corres-

pondiente ( M,ω,H ) es

M = (0 , l) × S 1 × R × R , ω = ωL , H = E L

donde

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74 4 Simetrıas

L(q, v) = T (q, v) − V (q ) = 1

2m1((v1)2 + ( q 1)2(v2)2) +

1

2m2(v1)2 + gm2(l − q 1)

y

ωL = ( m1 + m2)dq 1 ∧dv1 + m1(q 1)2dq 2 ∧dv2 + 2 m1v2dq 2 ∧dq 1

y

E L = 12

(m1 + m2)(v1)2 + 12

(q 1)2(v2)2 − gm2(l − q 1) .

El campo de vectores Y = ∂ ∂q 2 ∈X(M ) con grupo uniparametrico

hs : M → M

(q 1, q 2, v1, v2) → (q 1, q 2 + s, v 1, v2)

es una simetrıa de Cartan del sistema hamiltoniano. En efecto, un sencillo c´ alculo

permite comprobar que LY ωL = LY E L = 0.

La cantidad conservada es en este caso el momento conjugado p2 = ∂L∂v2 , puesto que

f Y = ıY θL = ∂L∂v2 = m1(q 1)2v2 .

4.2. Simetrıas y constantes del movimiento en sistemas la-

grangianos.

Cuando consideramos un lagrangiano regular, el sistema simplectico lagrangiano ( TQ,ωL , E L )puede considerarse como un sistema hamiltoniano simplectico con funci´ on hamiltonianaH = E L . Naturalmente todas las deniciones y resultados de la secci´ on anterior son apli-cables en este caso. En particular, podemos denir:

4.2.1. Simetrıas lagrangianas

Denici´ on 4.14

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4.2.2 Simetrıas de Cartan y Teorema de Noether. 75

1. Una simetrıa del sistema lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ) es un difeo-

morsmo

Φ: T Q → T Q

tal que, para cada soluci´ on α : I ⊆ R → Q de las ecuaciones de Euler-Lagrange

( 2.37 ), se verica que Φ(α), es tambien una soluci´ on de estas ecuaciones.

2. Una simetrıa innitesimal del sistema lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ) es

un campo de vectores Y ∈ X(T Q) cuyos ujos locales son simetrıas del sistema

lagrangiano simplectico.

De modo an alogo al caso hamiltoniano, se verica:

Proposici´ on 4.15 Sea L : T 1k Q → R un lagrangiano regular y Φ:T Q → T Q un difeo-

morsmo. Si Φ verica

Φ∗ωL = ωL y Φ∗E L = E L (salvo constantes).

entonces Φ es una simetrıa del sistema lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ).

Demostraci´ on.Si X l ∈X(T Q) es solucion de la din amica entonces 0 = ıX L ωL − dE L , entonces

0 = Φ∗(ıX L ω − dE L ) = ıΦ∗X L Φ∗ω − Φ∗dE L = ıΦ∗X L ω − dE L = ıΦ∗X L ωL − dE L

pero por ser el campo dinámico solucion es unica, luego Φ∗X L = X L ⇔ Φ∗X L = X L , y deahı el resultado.

Esta proposición nos proporciona un ejemplo de simetrıas del sistema lagrangianosimplectico ( TQ,ωL , E L ).

4.2.2. Simetrıas de Cartan y Teorema de Noether.

Teniendo en cuenta la ´ ultima proposición de la subsecci on anterior introducimos lasiguiente denici on.

Denici´ on 4.16 Sea L : T Q → R un lagrangiano regular.

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76 4 Simetrıas

1. Una simetrıa de Noether o del sistema lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ) es

un difeomorsmo Φ:T Q → T Q tal que,

Φ∗ωL = ωL y Φ∗E L = E L (salvo constantes).

Si una simetrıa de Noether Φ es el levantamiento can´ onico a T Q de alg´ un difeo-

morsmo f : Q → Q, esto es Φ = Tϕ, entonces Φ se dice simetrıa de Noether

natural .

2. Una simetrıa de Noether innitesimal del sistema lagrangiano simplectico

(TQ,ωL , E L ) es un campo de vectores Y ∈X(T Q) vericando:

LY ωL = 0 y LY E L = 0

.

En el caso de que una simetrıa de Noether innitesimal Y sea el levantamiento comple-

to a T Q de alg´ un campo de vectores Z en Q, esto es Y = Z C , entonces se dice simetrıa

de Noether innitesimal natural .

Observaci´ on 4.17 Las simetrıas de Noether (innitesimales) naturales ser´ an utilizadas

en la seccion ?? de este capıtulo en donde veremos que si ( T f )∗L = L (resp. Z C (L) = 0)

entonces Φ (resp. Z C ) es una simetrıa de Cartan natural (resp. simetrıa innitesimal).

La siguiente proposición es fundamental para poder asociar contantes del movimientoa las simetrıas de Noether, enunciando de este modo un teorema de tipo Noether dentrode la formulaci on lagrangiana.

Proposici´ on 4.18 Sea Y ∈X(T Q) una simetrıa de Noether innitesimal de un sistema

lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ). Entonces, para cada p ∈ T Q, existe un entorno

abierto U p del punto p en el que se verica lo siguiente:

1. Existe una funci on f Y ∈C∞ (U p),, ´ unica salvo constantes, tal que

ıY ωL = df Y , 1 ≤ A ≤ k , (en U p) .(4.5)

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4.2.3 Constantes del movimiento y levantamientos completos 77

2. Existe una funci on ζ ∈C∞ (U p),, vericando

LY θL = dζ , (en U p) .

Adem´ as

f Y = ıY θL − ζ, (salvo constantes, en U p) .(4.6)

Demostraci´ on.Es an aloga a la demostración de la Proposici on ?? .

Ahora podemos armar una versi´ on del Teorema de Noether para simetrıas de Cartanlagrangianas innitesimales.

Teorema 4.19 (Teorema de Noether): Sea Y ∈ X(T Q) una simetrıa de Noether inni-

tesimal de un sistema lagrangiano (TQ,ωL , E L ), entonces para cada p ∈ T Q, existe un

entorno abierto U p del punto p, tal que las funcione

f Y = ıY θL − ζ ,

es una constante del movimiento de las ecuaciones de Euler-Lagrange ( 2.37 ).

Demostraci´ on.

X L (f Y ) = iX L df Y + diX L f Y = iX L iY ωL = − iY iX L ωL = − iY (dE L ) = − Y (E L ) = 0

4.2.3. Constantes del movimiento y levantamientos completos

Como corolario del Teorema de Noether 4.19 se tiene la siguiente versión para lassimetrıas innitesimales de Cartan naturales:

Corolario 4.20 Si Z C ∈ X(T Q) es una simetrıa de Noether innitesimal natural de un

sistema lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ), entonces las funci´ on

f Z C = Z V (L) − ζ

dene una constante del movimiento en U p.

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4.2.3 Constantes del movimiento y levantamientos completos 79

Tenemos que probar la familia de igualdades de ( 2) Para cada A, 1 ≤ A ≤ k, de lasexpresiones locales ( ?? ), (?? ) y (?? ) de Z C , θL y ωL , obtenemos

LZ C θL = dıZ C θL − ıZ C ωL

= Z i ∂ 2L∂q i ∂vk +

∂Z j

∂q k∂L∂v j + vi ∂Z j

∂q i∂ 2L

∂v j ∂vk dq k

= ∂g∂q k

dq k = d (τ Q )∗g ,

en donde en la pen ultima igualdad hemos usado la hip´ otesis (4.9).Por otra parte,

Z C (E L ) = Z C (∆ L − L) = Z C (∆ L) − Z C (L) = Z C (∆ L) − dT g

por tanto para probar que Z C (E L ) = 0 es suciente comprobar que Z C (∆ L) = dT g. Ahora

bien, tenemosZ C (∆ L) = Z C (vi ∂L

∂v i ) = vi Z j ∂ 2L∂q j ∂v i + vi v j ∂Z k

∂q j∂ 2L

∂vkB ∂v i + vi ∂Z k

∂q i∂L∂vk

= vi Z j ∂ 2L∂q j ∂v i + v j ∂Z k

∂q j∂ 2L

∂vkB ∂v i +

∂Z k

∂q i∂L∂vk = vi ∂g

∂q i = dT g

en donde hemos usado ( 4.9).Recıprocamente, supongamos que LZ C θL = d(τ Q )∗g, 1 ≤ A ≤ k y Z C (E L ) = 0 .La condici on LZ C θL = d(τ Q )∗g, 1 ≤ A ≤ k equivale a

Z i ∂ 2L

∂q i∂v

k + ∂Z j

∂q k

∂L

∂v j + vi ∂Z j

∂q i

∂ 2L

∂v j

∂vk dq k =

∂ 2g

∂q k∂d

q k .

Por lo tanto tenemos

Z i ∂ 2L∂q i ∂vk +

∂Z j

∂q k∂L∂v j + vi ∂Z j

∂q i∂ 2L

∂v j ∂vk = ∂g∂q k

de donde se obtiene

vk Z i ∂ 2L∂q i ∂vk + vk ∂Z j

∂q k∂L∂v j + vk vi ∂Z j

∂q i∂ 2L

∂v j ∂vk = vk ∂g∂q k

o equivalentementeZ C (∆ L) = dT g .

Entonces puesto que 0 = Z C (E L ) = Z C (∆ L) − Z C (L) = dT g − Z C (L) se obtiene

Z C (L) = dT g .

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80 4 Simetrıas

Corolario 4.22 Si Z C (L) = dT g entonces

1. Z C es una simetrıa de Noether innitesimal natural del sistema lagrangiano simplecti-

co (TQ,ω,E L ).

2. La constante del movimiento asociada es

f Z C = Z V (L) − (τ Q )∗g

Demostraci´ on.

1. Teniendo en cuenta la equivalencia establecida en el Lema anterior obtenemos quela condici on Z C (L) = dT g implica que

LZ C E L = Z C (E L ) = 0 y LZ C ωL = − dLZ C θL = − d(d(τ Q )∗g) = 0 .

2. Comof Z C = Z V (L) − ζ

donde dζ = LZ C θL = d(τ Q )∗g).

4.3. Simetrıas gauge

4.3.1. Lagrangianos equivalentesDado un sitema lagrangiano ( TQ,ωL , E L ), sabemos que el levantamiento can´ onico de

difeomorsmos y campos de vectores preserva las estructuras can´ onicas de T Q.Sin embargo, la estructura simplectica dada por ωL , cuando L es regular, no es can oni-

ca, puesto que depende de la elección del lagrangiano L, y entonces no es invariante porestos levantamientos can´ onicos.

Por lo tanto, dado un difeomorsmo Φ: T Q → T Q o un campo de vectores Y ∈X(T Q),una condici on suciente para asegurar las condiciones (a) y (b) de la denici´ on ?? serıapedir que Φ o Y dejen invariantes el endomorsmo can´ onico S y el campo de vectoresde Liouville ∆ invariantes (por ejemplo, siendo Φ y Y los levantanmientos can´ onicos deun difeomorsmo o un campo de vectores en Q), y que el lagrangiano L sea tambieninvariante. De este modo, ωL , E L y por lo tanto las ecuaciones de Euler-Lagrange soninvariantes por Φ o Y .

Pedir la invarianza de L, (de la que se habla en el p arrafo anterior), es una condici´ ondemasiado fuerte, puesto hay funciones lagrangianas, que siendo diferentes, dan lugar almismo sistema simplectico lagrangiano ωL , y las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange.

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4.3.1 Lagrangianos equivalentes 81

Con la nalidad de no exigir que la función L sea invariante vamos a introducir el con-cepto de Lagrangiano equivalentes. Ası, siguiendo la terminologıa de Abraham-Marsden,podemos denir:

Denici´ on 4.23 Dos funciones lagrangianas L1, L2 ∈ C∞ (T Q) se dicen gauge equiva-

lentes si

1. ωL 1 = ωL 2 .

2. X L 1 = X L 2 .

Los lagrangianos gauge equivalentes de pueden caracterizar como sigue:

Proposici´ on 4.24 Dos lagrangianos L1, L2 ∈C∞ (T Q) son gauge equivalentes si, y solo

si, se verica:

1. ωL 1 = ωL 2 .

2. E L 1 = E L 2 , (salvo una constante).

Demostraci´ on.Demostraremos que bajo la hip´ otesis ωL 1 = ωL 2 se verica que:

X L 2 = X L 1 ⇔ E L 1 = E L 2 (salvo una constante) .

“ =⇒ ”Supongamos que X L 1 = X L 2 , entonces

iX L 1ωL 1 − dE L 1 = 0 = iX L 2

ωL 2 − dE L 2

pero como X L 1 = X L 2 y ωL 1 = ωL 2 , entonces obtenemos dE L 1 = dE L 2 , y por lo tantoE L 1 = E L 2 , salvo una constante.

“ ⇐= ”Supongamos ahora que ωL 1 = ωL 2 , y E L 1 = E L 2 (salvo una constante), entonces se

verica:0 = iX L 1

ωL 1 − dE L 1 = iX L 1ωL 2 − dE L 2 ,

por lo tanto X L 1 es el campo de vectores Lagrangiano asociado a la funci´ on lagrangianaL2, esto es, X L 1 = X L 2 .

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82 4 Simetrıas

Proposici´ on 4.25 Si las funciones Lagrangianas L1, L2 ∈ C∞ (T 1k Q) son equivalentes

gauge entonces, las ecuaciones de Euler-Lagrange ( 2.47 ) asociadas a L1 y L2 tienen las

mismas soluciones.

Demostraci´ on.Consecuencia inmediata de que X L 1 = X L 2 .

Lema 4.26 Fijado un lagrangiano L: T Q → R se verica:

ωL = 0 si y s´ olo si, existen α ∈ Λ1(Q), una 1-forma cerrada en Q y una funci´ on

f ∈ C ∞ (Q), tales que

L = α + τ ∗

f (salvo una constante) ,

donde α ∈C∞ (T Q) es la funci´ on denida por

α : T Q −→ Rvq → αq(vq) .

Demostraci´ on.Primero enunciaremos un lema que usaremos en la demostraci´ on.

Lema 4.27 Sea α una forma semib´ asica y cerrada en T Q entonces α es b´ asica.

Supongamos queωL = − dθL = 0 ,

entonces θL = dL S es una 1-forma cerrada y semi-básica en T Q, entonces dL S es unaforma b asicas, esto es, existe α ∈Λ1(Q) tal que

dL S = τ ∗α , .(4.10)

Ademas, puesto que0 = dθL = d(τ ∗α) = τ ∗(dα ),

entonces dα = 0; esto es , la forma α es una 1-forma cerrada en Q.Por otra parte, por un c´ alculo en coordenadas locales obtenemos

dα S = τ ∗α,(4.11)

y de (4.10) se obtienedα S = τ ∗α = dL S.

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4.3.1 Lagrangianos equivalentes 83

Entonces d(L − α ) S = 0. Por lo tanto, la 1-forma d(L − α ) es cerrada y semibásica.Como consecuencia d(L − α ) es un 1-forma b asica; esto es, existe f ∈C∞ (Q) tal que

d(L − α ) = τ ∗df = d(τ ∗f ).

De donde se deduce que L = α + τ ∗f (salvo una constante).Recıprocamente, supongamos que L = α + τ ∗f (salvo una constante) entonces:

θL = dL S = d(α + τ ∗f ) S = dα S = τ ∗α ,

puesto que dτ ∗f se anula en los campos de vectores verticales. Como α es cerrada, dα = 0y obtenemos

ωL = − dθL = − d(τ ∗α) = − τ ∗(dα ) = 0 .

La funci on

α que hemos denido en la proposición anterior nos permite caracterizar

los lagrangiano gauge equivalentes.

Proposici´ on 4.28 Las funciones lagrangianas L1, L2 ∈C∞ (T Q) son gauge equivalentes

si, y solo si, L1 = L2 + α (salvo una constante).

Demostraci´ on.Supongamos que L1, L2 ∈C∞ (T Q) son gauge equivalentes.

Como ωL 1 = ωL 2 , entonces ωL 1 − L 2 = 0. Por lo tanto por la Proposici´ on 4.26, existeα ∈Z 1(Q) y f ∈ C ∞ (Q) tal que

L1 − L2 = α + τ ∗f (salvo una constante) .

De la Proposici on 4.24 sabemos que E L 1 = E L 2 , (salvo una constante), o equivalente-mente, E L 1 − E L 2 = 0 (salvo una constante). Por lo tanto

0 = E L 1 − E L 2 = ∆( L1) − L1 − ∆( L2) + L2 = ∆( L1 − L2) − (L1 − L2)= ∆( ˆα + τ ∗f ) − (L1 − L2) = α − (L1 − L2) (salvo una constante).

Ası podemos armar que L1 = L2 + α (salvo una constante).Recıprocamente, supongamos que L1 = L2 + α (salvo una constante). Primero un

simple calculo nos daωL 2 − ωL 1 = d(θL 1 − θL 2 ) = d(d(L1 − L2) S ) = d(dα S ) = d(τ ∗α)

= τ ∗(dα ) = 0 .donde hemos utilizado la identidad ( 4.11). Por lo tanto ωL 1 = ωL 2 . Ademas,

E L 1 = ∆( L1) − L1 = ∆( L2 + α ) − (L2 + α ) = E L 2 + α − α = E L 2 (salvo una constante) ,puesto que ∆(ˆα ) = α .

Hemos demostrado que ωL 1 = ωL 2 y E L 1 = E L 2 (salvo una constante), lo que signicaque L1 y L2 son gauge equivalentes (vease la proposici´ on 4.24).

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84 4 Simetrıas

4.3.2. Simetrıas lagrangianas gauge

Teniendo en mente la discusi´ on hecha en la secci on anterior denimos

Denici´ on 4.29 Sea (TQ,ωL , E L ) un sitema simplectico lagragiano.

1. Una simetrıa lagrangiana gauge es un difeomorsmo Φ:T Q → T Q tal que L y Φ∗L

son lagrangianos gauge equivalentes, esto es, Φ∗L = L + α (salvo una constante),

donde α ∈C∞ (T Q) es la funci´ on denida en Proposition 4.26 .

En el caso particular en que Φ∗L = L (salvo una constante), diremos que Φ es una

simetrıa lagrangiana estricta .

Una simetrıa lagrangiana gauge se dice natural si existe un difeomorsmo ϕ : Q → Qtal que Φ = ϕ∗

2. Una simetrıa innitesimal lagrangiana gauge es un campo de vectores Y ∈ X(T Q)

cuyos ujos locales son simetrıas lagrangianas gauge.

Remark : Una simetrıa lagrangiana gauge Φ: T Q → T Q de un sistema lagran-giano simplectico no es necesariamente una simetrıa de Noether, puesto queen general Φ∗ωL = ωΦ∗ L , y Φ∗E L = E Φ∗ L , como puede probarse mediante unsimple calculo en coordenadas locales .

El siguiente resultado pone de maniesto que el levantamiento can´ onico de aplicacionesal brado tangente preserva las estructuras can´ onicas de T Q.

Lema 4.30 Sea Φ = Tϕ : T Q → T Q la prolongaci´ on can´ onica de un difeomorsmo

ϕ : Q → Q. Entonces

(a) T Φ S = S T Φ , (b) T Φ(∆) = ∆ .

Demostraci´ on.(a) Es una consecuencia directa de la expresi´ on local (?? ) de S y la expresion local de Tϕ

dada por Tϕ(q i , vi ) = ( ϕ j (q i ), vi ∂ϕj

∂q i ) donde las funciones ϕ j denotan las componentes deldifeomorsmo ϕ : Q → Q.

(b) Es una consecuencia de la conmutatividad Tϕ ψt = ψt Tϕ, donde ψt es el grupolocal 1-parametricos de difeomorsmos ( ?? ) generados por ∆.

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86 4 Simetrıas

esto es, Φ = ϕ∗ es una simetrıa lagrangiana de Cartan si y solo si L y Φ∗L son lagrangianosgauge equivalentes y por lo tanto Φ = ϕ∗ es una simetrıa lagrangiana gauge.

Proposici´ on 4.33 Sea ϕ : Q → Q un difeomorfesmo y Φ = ϕ∗ : T Q → T Q el levanta-

miento de ϕ una T Q.

Si Φ∗L = L entonces Φ = Tϕ = ϕ∗ es una simetrıa.

Demostraci´ on.Supongamos que Φ = ϕ∗ verica Φ∗L = L, entonces de la proposición 4.31 se obtiene:

Φ∗ωL = ωΦ∗ L = ωL y Φ∗E L = E Φ∗ L = E L .

Por lo tanto, la proposici´ on ?? nos permite armar que F es una simetrıa de lasecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a L.

Este resultado tambien se da para simetrıas lagrangianas innitesimales, teniendo

en cuenta los correspondientes ujos locales.Finalmente, podemos establecer una versi´ on particular del teorema de Noether para

ciertas simetrıas lagrangianas gauge estrictas:

Teorema 4.34 (Lagrangian Noether): Supongamos que Z C

∈

X(T Q) es una simetrıa

lagrangiana natural del sistema lagrangiano simplectico (TQ,ωL , E L ), con Z ∈X(Q).

Si X C (L) = 0 entonces la funci´ on

f Z C = Z V (L)

es una constante del movimiento para las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a L.

Demostraci´ on.

Esto es una consecuencia directa de la proposici´ on anterior y del corolario ?? puesto queen este caso,dζ = L(Z C )θL = θZ C (L ) = 0 .

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4.4 Tabla de simetrıas y leyes de conservaci´ on 87

4.4. Tabla de simetrıas y leyes de conservaci´ on

Las siguientes tablas recogen los distintos tipos de simetrıas que hemos introducido alo largo del capıtulo.

Nombre Denici´ onLey de conservaci´ on

f Y = ( f 1Y , . . . , f kY )

simetrıa de Noether ha-

miltoniana

Φ : T Qh → T QhΦ∗ ωA = ωA

Φ∗ H = H

Simetrıa de Cartan hamil-

toniana innitesimal

Y ∈X(T Qh)LY ωA = 0

LY H = 0

f Y = ıY θA − ζ ∈ C ∞ (T Qh)

Simetrıa de Cartan hamil-

toniana innitesimal es-

tricta

Y ∈X(T Qh)LY θA = 0LY H = 0

f Y = ıY θA∈ C ∞ (T Qh)

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88 4 Simetrıas

Nombre Denici´ onLey de conservaci´ on

f Y = ( f 1

Y , . . . , f k

Y )

simetrıa de Noether la-

grangiana

Φ : T Q → T QΦ∗ ωL = ωL

Φ∗ E L = E L

simetrıa de Noether la-

grangiana natural

Φ = Tϕ : T Q → T Q(Tϕ)∗ ωL = ωL

(Tϕ)∗ E L = E L

Simetrıa de Cartan la-

grangiana innitesimal

Y ∈X(T Q)LY ωL = 0LY E L = 0

f Y

= ıY

θL

− ζ ∈ C ∞ (T Q)

Simetrıa de Cartan la-

grangiana innitesimal

natural

Z C ∈X(T Q)

LZ C ωL = 0LZ C E L = 0

f Y = Z V (L) − ζ ∈ C ∞ (T Q)

Caso particular de si-

metrıa de Noether lagran-

giana innitesimal natural

Z C (L) = dT g ,g : Q → R ,dT g op. de Tulczyjew

f Y = Z V (L) − (τ Q )∗ g ∈ C ∞ (T Q)

Caso particular de si-

metrıa de Noether lagran-

giana innitesimal natural

Z C (L) = 0 f Y = Z V (L) ∈ C ∞ (T Q)

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Capıtulo 5

Acciones de grupos de Lie sobre

variedades: la aplicaci´ on momento.

5.1. Introducci´ on: grupos de Lie y algebras de Lie

Las algebras de Lie de dimensión nita están intimamente asociadas a lo que se llamagrupos de Lie.

Denici´ on 5.1 Un grupo de Lie G es un grupo dotado de una estructura de variedad

diferenciable para la que la aplicaci´ on producto y la aplicaci´ on inversa

µ : G × G → G, (g, h) → µ(g, h) = gh

ı : G → G, g → g− 1

son diferenciables.

Ejemplos

1. . Rd

es un grupo de Lie con la suma de vectores.2. Los numeros reales no nulos R∗y los complejos no nuloe C∗ forman un grupo de Lie

con el producto usual.

3. la circunferencia S1 = z ∈C : |z | = 1 ⊂ C∗es un grupode Lie

89

8/18/2019 Principal 2016


90 5 Acciones de grupos de Lie sobre variedades: la aplicación momento.

4. Sea V espacio vectorial (de dimensión nita), el grupo de las las transformacioneslineales T : V → V forman un grupo de Lie, designada por GL (V ) y se llama grupolienal general. Si V = Rn , este grupo se identica con las matrices n × n invertibles,

que se designa por GL(n) o GL (n, R).5. La componente coneca de un grupos de Lie es un grupos de Lie. Por ejemplo, los

reales positivos R+ , que forman la componente conexa de la identidadde r∗, es ungrupo de Lie.

6. Sean G y H son grupos de Lie, el producto cartesiano G × H es un grupo de de Lie.Por ejemplo Tn = S1 × . . . × S1 es un grupo de Lie.

Como un ejemplo concreto, GL(n; R) es un grupo de Lie, puesto que es un grupo parael que, considerado como subvariedad abierta de R2n , la ley de composicion es una funci onpolinomica de las coordenadas de cada uno de los elementos en la carta global que posee.

Si G es un grupo de Lie, entonces, para cada g ∈ G podemos denir la traslación aizquierdaLg : G → G

y la traslaci on a derechaRg : G → G

medianteLg(h) = gh; Rg(h) = hg

; y tanto Lg como Rg son aplicaciones diferenciables. Es obvio que para cada par deelementos g; h ∈G,

Lg Lh = Lgh ; Rg Rh = Rhg ;

ası como que tanto Le como Re se reducen a la transformaci´ on identidad, por lo que

Lg− 1 = ( Lg)− 1; Rg− 1 = ( Rg)− 1 ;

lo que nos muestra que Lg y Rg son difeomorsmos, para todo g ∈G.

Denici´ on 5.2 Sea X ∈X(G), X se dice invariante por la izquierda (derecha) si (Lg)∗X =

X ( (Rg)∗X = X ), es decir

(Lg)∗(h)X (h) = X (gh) = X Lg(h), ((Rg)∗(h)X (h) = X (hg) = X (Rg(h))) .

Denotaremos los campos de vectores invariante por la izquierda por XL (G).

Proposici´ on 5.3 i) T eG y XL (G) son isomorfos como espacios vectoriales.

ii) XL (G) es sub´ algebra de Lie de X(G)

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5.1 Introducción: grupos de Lie y algebras de Lie 91

Demostraci´ on.i) Denimos

ρ1 : XL (G) → T eG ρ2 : T eG → XL (G)

X → X e ξ → X ξdonde

X ξ(g) = ( Lg)∗(e)ξ

para cada g ∈G. Es evidente que X ξ es invariante por la izquierda.Las aplicaciones ρ1 y ρ2 son lineales e inversas, por lo tanto i) est´ a probado.

ii) Tenemos que probar que si X, Y ∈XL (G) entonces [X, Y ]∈XL (G).

Puesto que ( Lg)∗(h)X (h) = X (gh) y (Lg)∗(h)Y (h) = Y (gh) deducimos

(Lg)∗(h)[X, Y ](h) = [X, Y ](gh)

lo cual se sigue del siguiente resultado: sea F : M → N un difeomorsmo , si X, Y ∈X(M )y X , Y ∈X(N ) est an F -relacionados, es decir

F ∗(x)(X x ) = X (F (x)) , F ∗(x)(Y x ) = Y (F (x)) ∀x ∈M

entonces [X, Y ] esta F -relacionado con [ X , Y ].

Al ser XL (G) y T eG isomorfos podemos denir un parentesis de Lie en T eG

[ξ, η] = [X ξ , X η](e)(5.1)

es decir trasladamos la estructura de ´ algebra de Lie de XL (G) a T eG.Observemos que

[X ξ , X η] = X [ξ,η ]

lo cual se deduce de que

ρ1([X ξ , X η]) = [X ξ , X η](e) = [ξ, η] = ρ1(X [ξ,η ])

pues X [ξ,η ](e) = [ξ, η]. donde la segunda identidad se corresponde con ( 5.1).

Denici´ on 5.4 XL (G) ´ o T eG con la estructura de ´ algebra de Lie dada por el producto

corchete [, ] se denota por g, y se denomina ´ algebra de Lie de G.

Evidentemente ρ1 y ρ2 son iomorsmos de algebras.

Ejemplos

1. . Sea G = ( Rd , +). Un campo de vectores es invariante a la izquierda si y solo si esconstante: X = a i ∂/∂x i , con a i ∈R . El corchete de campos constantes es nulo, porlo que el algebra de Lie de G es un algebra de Lie abeliana de dimensi´ on d.

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2. El algebra de Lie del producto cartesiano G × H es g × h. Por ejemplo el algebrade Lie de S 1 tiene dimensi on 1, luego es abeliana. Ası el algebra de Lie del toroTn = S1 × . . . × S1 es abeliana de dimensión n .

3. T I GL(nR) se identica con gl(n, R), es decir el algebra de Lied e GL(nR) es gl(n, R).

Denici´ on 5.5

1. Una aplicaci´ on φ: g → h se dice homomorsmo de ´ algebras de Lie si es lineal y

preserva los corchetes

φ([X, Y ]) = [φ(X ), φ(X )] ∀X, Y ∈g

2. Sean G, H grupos de Lie. f : G → H es un homomorsmo de grupos de Lie si es

diferenciable y es homomorsmo de grupos, esto es f (gh− 1) = f (g)f (h)− 1 para todo

g, h ∈G.

Sea f : G → H es un homomorsmo de grupos de Lie, podemos considerar f ∗(e) : g →h. Sea X ∈g entonces f ∗(e)(X ) ∈h es el campo de vectores invariante a la izquierda cuyovalor en e es f ∗(e(X ).

Proposici´ on 5.6

1. Para todo X ∈g, f ∗(e)(X ) est´ a f relacionado con X .

2. f ∗(e) : g → h es un homomorsmo de grupos de Lie.

Demostraci´ on.

1. Se verica que f Lg = Lf (g) f pues f (gh) = f (g)f (h) = ( Lf (g) f )(h).

Entonces

[f ∗(e)(X )](f (g)) = ( Lf (g))∗(e)[f ∗(e)(X )] = ( Lf (g) f )∗(e)(X )= ( f Lg)∗(e)(X ) = f ∗(g)[(Lg)∗(e)(X )] = f ∗(g)(X (g)) .

2. es consecuencia de lo anterior puesto que el corchete de se conserva para camposf -relacionados

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5.1 Introducción: grupos de Lie y algebras de Lie 93

Ejemplos

1. . Sea T 2 = S 1 × S 1. Para cada a ∈ R tenemos el homomorsmo de grupos de LieΦa : R → T 2 dado por

Φa (t) = ( eit , eiat ).

Si a es racional la imagen de f a es una curva cerrada, si es irracional la curva Φ a esdensa en el toto.La aplicaci on entre las algebras φa : (Φa )∗(e) : R toR2 est a dada por

φa (X ) = ( X,aX ) .

2. Fijamos A ∈GL(nR), consideramos el homomorsmo de grupo de Lie

ΦA : GL(n,R

) → GL(nR

) ΦA (B ) = ABA− 1

,como esta aplicaci on es lineal, la aplicaci on (ΦA )∗(I ) : gl(n, R) → gl(n, R) es

(ΦA )∗(I )(X ) = AXA − 1 .

El caso general de este ejemplo se verá mas tarde en la representaci´ on adjunta.

Denici´ on 5.7 Un subespacio h ⊂ g se dice sub´ algebra de Lie si para todo X, Y ∈ h se

tiene [X, Y ]∈h.

Ejemplos

1. . Cualquier subespacio del álgebra de Lie abeliana Rd

es una sub algebra de Lie.2. El algebra de Lie gl(n, R) posee, por ejemplo, una subálgebra de Lie formada por las

matrices de traza cero

sl (n, R) = X ∈gl(n, R) : tr X = 0

ası como la subálgebra de Lie formada por las matrices antisimetricas.

0(n, R ) = X ∈gl(n, R) : X + X T = 0 .

3. Las matrices n × n comlejas , denotadas por gl(n, C), pueden ser vistas como unálge-bra de Lie real: Esta álgebra de Lie posee, por ejemplo, una sub´ algebra de Lie de lasmatrices anti-hermıticas

u(n) = u(n, R) = X ∈gl(n, C) : X + X T = 0

y una sub algebra de Lie de las matrices anti-hermıticas de traza nula

u(n) = u(n, R) = X ∈gl(n, C) : X + X T = 0 , tr X = 0

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5.2 Subgrupos uniparametricos y aplicaci´ on exponencial 95

5.2. Subgrupos uniparametricos y aplicaci´ on exponencial

Entre los grupos de Lie tenemos el grupo aditivo de los n´ umeros reales ( R , +).

Denici´ on 5.9 Sea G un grupo de Lie, un homomorsmo de grupos de Lie σ : R → G

se denomina subgrupo uniparametrico de G.

Proposici´ on 5.10 Sea X ∈X(M ) un campo de vectores.

Para cada x ∈ M existe un entorno abierto U x de x, existe un > 0 y una ´ unica

aplicaci´ on diferenciable

φX : (− ,+ ) × U x → M

(t, x ) → φX (t, x ) .

tal que

1. ∀t ∈(− ,+ ), (φX )t : U x → M dada por (φX )t (y) = φX (t, y ) es un difeomorsmo de

U x en su imagen (φX ) t (U x ).

2. ∀s, t ∈(− ,+ ) tal que s + t ∈(− ,+ ) y (φX )s (U x ) ⊂U x , se tiene

(φX )t+ s = ( φX ) t (φX )s

3. El grupo uniparametrico local (φX )t induce el campo de vectores X dado.

Denici´ on 5.11 Un campo de vectores se dice completo

Observaci´ on 5.12 En una variedad compacta

Proposici´ on 5.13 Cada campo de vectores X ∈ XL (G) ≡ g invariante por la izquierda

es completo. Denotemos por φX (t, g) el ujo de X .Para cada t, t1, t2 ∈R y g ∈G se verica

i)

φX (t1 + t2, e) = φX (t1, e)φX (t2, e) ,(5.2)

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ii)

φX (t, g) = g φX (t, e ) ,(5.3)

iii)

φλX (t, g) = g φX (λ t , e ) ,(5.4)

Demostraci´ on.i) Sea I el intervalo de m axima denici on de la curva integral t → φX (t, e ) del campo X que a tiempo 0 pasa por e. Dados t1, t2 ∈I consideramos la curva

γ (t) = φX (t1, e)φX (t − t1, e)

Esta curva está denida en el conjunto J formado por aquellos t tales que t − t1 ∈ I , en

particular para t1 + t2.Sea h(t) = t − t1, podemos escribir γ (t) = LφX (t 1 ,e) (φX )e h(t) entonce

γ (t) = LφX ( t 1 ,e) (φX )e∗ (h(t))( h∗(t)(

ddt |t

))

= LφX ( t 1 ,e) (φX )e∗ (t − t1)(

ddt |t − t1

)

= ( LφX (t 1 ,e) ∗ (φX (t − t1, e)) [(φX )e]∗(t − t1)( ddt |t − t1

)

= ( LφX (t 1 ,e) ∗ (φX (t − t1, e))( X (φX (t − t1, e))) = X (φX (t1, e)φX (t − t1, e)) = X (γ (t))

puesto que X es invariante por la izquierda.Ası γ (t) es curva integral de X y ademas γ (t1) = φX (t1, e), por lo tanto ambas curvas

coiciden γ (t) = φX (t, e ) e I = J , por lo tanto t1 + t2 ∈ I = J . Como t1 y t2 eran dosinstantes arbitrarios de I , deducimos que I = R , y que

φX (t1 + t2, e) = γ (t1 + t2) = φX (t1, e)φX (t2, e)

ii) de forma similar si g ∈G, denimos α(t) = gφX (t, e ) Entonces

α (t) = ( Lg (φX )e)∗( ddt |t

) = ( Lg)∗(φX (t, e )) ((φX )e)∗( ddt |t

)

= ( Lg)∗(φX (t, e ))( X (φX (t, e ))) = X (gφX (t, e )) = X (α(t))

es decir α(t) es curva integral de X y α(0) = g. Por otra parte β (t) = φX (t, g) es curvaintegral de X y β (0) = g, por lo tanto α y β coinciden, est an denidas en todo R y severica ( 5.3).

iii) Sea µ(t) = φX (λt,e ) = (( φX )e h)( t) donde h(t) = λt ). Entonces

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µ(t) = ( φX )e)∗(hλ (t)) (hλ )∗(t)( ddt |t

= ( φX )e)∗(λt ) λ ddt |λt

= λ X (φX (λt,e )) = λ X (µ(t))

por lo tanto µ(t) = φX (λt,e ) = φλX (λt,e )

Observaci´ on 5.14 La igualdad ( 5.2 ) de la proposici´ on anterior nos dice que para cada

X ∈ g la aplicaci´ on t → φX (t, e ) es un homomorsmo entre los grupos de Lie R y G, es

decir es un grupo uniparametrico de G.

Sea ϕ : R → G un subgrupo uniparametrico, le asociaremos un campo de vectoresinvariante a la izquierda X ϕ ∈XL (G) ≡ g.

Denimos el grupo uniparametrico de difeomorsmos de G como sigueF ϕ : R × G → G

(t, g) → gϕ(t) = Lgϕ(t)(5.5)

que induce el campo de vectores X ϕ en G denido por

X ϕ(g) = ( F ϕg )∗(0)( ddt |0

) = ( Lg ϕ)∗(0)( ddt |0

)

= ( Lg)∗(ϕ(0))( ϕ∗(0)( ddt |0

) = ( Lg)∗(e)(ξ )

donde ξ = ϕ∗(0)( ddt |0

). Esto nos dice que X ϕ es el campo de vectores invariante a la

izquierda denido por por ξ = ϕ∗(0)( ddt |0) ∈ g tanto X ϕ = X ξ . Observese que la curva

integral de X ϕ pasando por e a tiempo 0 es F ϕ(t, e ) = ϕ(t).Ahora el subgrupo uniparametrico inducido por X ϕ es t → φX ϕ (t, e ) donde φX ϕ es el

ujo de X ϕ, es decirφX ϕ (t, e ) = F ϕ(t, e ) = eϕ(t) = ϕ(t) .

Esto nos lleva a las siguiente proposición

Proposici´ on 5.15 Los elementos de g est´ an en correspondencia biyectiva con los subgru-

pos uniparametricos de G.

1. Cada X ∈g dene el subgrupo uniparametrico

t ∈R → φX (t, e ) ∈G(5.6)

que denotaremos tambien por expX t .

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2. Dado ϕ : R → G un subgrupo uniparametrico de G le asociaremos el elemento

X ϕ = X ξ de g donde ξ = ϕ∗(0)( ddt |0

).

Denici´ on 5.16 Denimos la aplicaci´ on exponencial de g en G como sigue

exp : g → G

X → expX = φX (1, e) = expX (1) .(5.7)

Teniendo en cuenta ( 5.4) se verica exptX = expX t , en efecto

exp tX = φtX (1, e) = φX (t, e ) = expX t .

Proposici´ on 5.17 La aplicaci´ on exp es diferenciable y se verica

i) φX (t, g) = g exp(tX ) , ii) exp((s + t)X ) = exp(sX ) exp(tX )(5.8)

Demostraci´ on.i)Consecuencia de ( 5.3) y (5.4)

φX (t, g) = gφX (t, e ) g exp(tX ) = gφtX (1, e) = gφX (t, e )

ii) Ex consecuencia de ( 5.2) y (5.4)

exp((s + t)X ) = φ(s+ t)X (1, e) = φX (s + t, e )

= φX (s, e )φX (t, e ) = φsX (1, e)φtX (1, e) = exp(sX ) exp(tX )

Observese que φX (t, e ) = exptX = expX t y por lo tanto

X (e) = [( φX )e]∗(0)( ddt |0) = ( expX )∗(0)(

ddt |0) .

Proposici´ on 5.18 La aplicaci´ on exp es un difeomorsmo de un entorno V del origen en

g en su imagen U = exp(V ), que es un abierto que contiene al elemeto neutro de G.

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Demostraci´ on.Identicando T 0g ≡ g por ser espacio vectorial se tiene exp∗(0): T 0g ≡ g → T eG ≡ g.Ahora bien

(φX )e(t) = φX (t, e ) = φtX (1, e) = exp(tX ) = ( exp hX )( t)

donde hX : R → g esta denida por hX (t) = tX . Por lo tanto

exp∗(0)( X ) = exp∗(0)(( hX )∗(0)( ddt |0

)) = ( exp hX )∗(0)(( ddt |0

))

= [( φX )e]∗(0)( ddt |0

)) = X e

por lo tanto exp∗(0) = idg es un isomorsmo, de donde se sigue el resultado.

La siguiente proposición y corolario ser an utiles m as adelante.

Proposici´ on 5.19 Sea f : G → H un homomorsmo de grupos de Lie, el siguiente dia-

grama es conmmutativo

H f

G

h T e f

exp

g

exp

Demostraci´ on.Sea ϕ: R → G el subgrupo uniparmetrico denido por ϕ(t) = f (expξ(t)) entonces

ϕ∗(0)( ddt |0

) = f ∗(e)(( ξ )

por lo tanto ϕ(t) coincide con exp f ∗ (e)( ξ)(t) y para t = 1 obtenemos

f (expξ ) = exp f ∗ (e)( ξ) (1) = exp (f ∗(e)(ξ )) .

Corolario 5.20 Sea H un subgrupo de Lie G, y sea i : H → G la inclusi´ on natural.

Entonces

X ∈h ⇔ expG (tX ) ∈H ∀t.

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Demostraci´ on.Si X ∈ h, la Proposici on (?? ) con f = i nos dice que expH (tX ) = i(expH (tX )) =expG (i∗(e)( tX )) ∈G.

Recıprocamente si expG (tX ) ∈H , entonces t ∈R → (expG )X (t) ∈H es un subgrupouniparametrico de H , por lo tanto, dada la biyecci´ on entre elementos de h y subgruposuniparametricos de H , y la Proposici on (?? ), deducimos que que esite Y ∈h tal que

expG (tX ) = i(expH (tY )) = expG (t(i∗(e)Y ))

por lo tanto i∗(e)Y = X .

EjemploConsideremos el grupo G = ( R3, +) cuya álgebra de Lie es g = T 0R3 ≡ R3. Dado

ξ ∈g = T 0R3 ≡ R3, el campo de vectores invariante a la izquierda denido por ξ es

ξ (z) = ( Lz )∗(0)( ξ i ∂ ∂x i 0

) = ξ i ∂ ∂x i z

pues Lz x = z + x. El ujo de ξ es Φξ(t, z ) = z + tξ por lo que

expξ(t) = Φ ξ(t, 0) = tξ

yexp : R3 → R3

ξ → expξ = φξ (1, 0) = expξ (1) = ξ .

es la identidad.

5.3. Acciones de grupos en variedades

Denici´ on 5.21 Sea G un grupo de Lie y M una variedad diferenciable. Una acci´ on por

la izquierda (´ o simplemente una acci´ on) de G sobre M es una aplicaci´ on diferenciable

Φ: G × M → M que verica las siguientes propiedades:

1) Φ(gh,x ) = Φ( g, Φ(h, x )) , (gh) · x = g · (h · x)

2) Φ(e, x ) = x , e · x = x

para todo g, h ∈G y para todo x ∈M .

Observaci´ on 5.22 Para todo g la aplicaci´ on Φg: x ∈ M → Φg = Φ( g, x) ∈ M es un

difeomorsmo con inversa Φg− 1 .

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5.3 Acciones de grupos en variedades 101

Cada acci on Φ: G × M → M induce un antihomomorsmo de ´ algebras de Lie

X M : g → X(M )

X → X M

denido de la manera siguiente. Para todo X ∈g denotaremos por

ΦX : R × M → M

(t, x ) → ΦX (t, x ) = Φ( expX t, x ) = (Φ x expX )( t)

que es un grupo global uniparametrico de transformaciones de M cuyo generador inni-tesimal lo denotamos por X M y lo llamamos campo de vectores fundamental denido porX , entonces X M esta denido por

X M (x) = (Φ x expX )∗(0)( ddt |0

) = (Φ x )∗(e)(expX )∗(0)( ddt |0

))

= (Φ x )∗(e)(X ) = ddt

Φ(exptX,x ) | t=0 , x ∈M .

Denici´ on 5.23 X M se denomina generador innitesimal o campo de vectores funda-

mental de la acci´ on asociado a X .

Directamente se obtiene

(X + Y )M = X M + Y M , (λX )M = λX M

lo cual es inmediato si uno utiliza X M (x) = (Φ x )∗(e)X .

En la seccion siguiente veremos que [ X, Y ]M = [X M , Y M ].

Ejemplos

(a) Sea Φ: G × G → G : (g, h) → gh = Lgh,entonces Φ es una acción diferenciable. SiX ∈g entonces

ΦX : R × G → G

(t, h ) → ΦX (t, h ) = Φ( exptX, h ) = Rh exptX .

Por lo tanto

X G

(h) = (Φ X

h )∗

(e)(X ) = ( Rh

expX

)∗

(0)( d

dt 0) = ( R

h)∗

(e)(( expX

)∗

(0)( d

dt 0)) = ( R

h)∗

(e)X e

por lo que X G (h) es invariante a la derecha

(Rg)∗(h)(X G (h)) = ( Rg)∗(h)(( Rh )∗(e)X e)= ( Rg Rh )∗(e)X e = ( Rhg )∗(e)(X e) = X G (Rg(h))

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dado que hemos visto que X G (h) = ( Rh )∗(e)X e .

(b) La acción adjunta

Sea G un grupo de Lie. Consideramos el automorsmo interior

I g G → G

h → I g(h) = ghg− 1 = ( Lg Rg− 1 )(h)

que es un difeomorsmo por ser composición de difeomorsmos. De hecho ( I g)− 1 = I g− 1 )y (I g)∗(e): T eG ≡ g → T eG ≡ g

Denici´ on 5.24 1. La aplicaci´ on

Ad :G → Aut (g)

g → Adg = ( I g)∗(e): g → g

es una representaci´ on lineal de G en g que se denomina representaci´ on adjunta de

G en g.

Esta representaci´ on induce la acci´ on adjunta denida por

Ad :G × g → g

(g, X ) → Ad(g, X ) = AdgX = ( jg)∗(e)(X )

2. La aplicaci´ on ad :g → End (g)

Z → adZ

se dene por adZ X = [Z, X ] y se denomina representaci´ on adjunta de g en g.

La relaci on entre la aplicación exponencial y la representaci´ on adjunta viene dada por

Proposici´ on 5.25 Para cualesquiera X, Y ∈g se verica

i) exp(tAd g(X )) = I g(exp(tX )) .

ii) Adexp ( tX )Y = ( Rexp (− tX ) )∗Y . M´ as concretamente AdgY = ( Rg− 1 )∗Y .iii) [X, Y ] =

ddt |t = 0

Adexp (tX )Y .

Demostraci´ on.

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i) Puesto que Adg = ( I g)∗(e), el resultado es consecuencia inmediata de la Proposici´ on5.19. De ella conocemos que el siguiente diagrama es conmutativo

G I g

G

h(I g )∗ (e)

exp

g

exp

por lo tantoI g exp(tX ) = exp(Adg(tX )) .

ii) Sea Y ∈g, como Lg Rg− 1 = Rg− 1 Lg = I g tenemos

AdgY = ( I g)∗(e)Y = ( Rg− 1 Lg)∗(e)Y = ( Rg− 1 )∗(g)(Y g) .

iii) Recordemos que en general

[X, Y ](x) = LX Y (x) = ddt t=0

(φX − t )∗(Y (φX

x (t)) = lımt→0

1t

(φX − t )∗(φX

x (t))( Y (φX x (t)) − Y (x)

t

puesto que el ujo de X es

ΦX (t, g) = φX t (g) = g exp(tX ) = Rexp (tX )(g)

entonces

[X, Y ](e) = LX Y (e) = d

dt t=0(φX

− t )∗(φX e (t))( Y (φX

e (t))

= d

dt t=0 (Rexp (− tX ) )∗(RexptX (e))( Y (RexptX ) (e)))

= d

dt t=0(Rexp (− tX ) )∗(exptX )(Y (exp tX ))

= d

dt t=0AdexptX Y

donde la ultima identidad se sigue de (ii).

Proposici´ on 5.26 Se verica ad = Ad∗(e), es decir Ad∗(e)(X ) = adX , X ∈g.

Demostraci´ on.De la Proposicion 5.19 se conoce que si f es un homomorsmo de grupos entonces

f (exp(tX )) = exp(f ∗(e)( tX )) = exp(t f ∗(e)(X e))

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ası se obtiene

ddt t=0

f (exp(tX )) = ddt t=0

exp(t f ∗(e)(X e)) = ( exp f ∗ (e)X e )∗(0)( ddt t=0

) = f ∗(e)X e

donde hemos utilizado que el vector tangente a la curva expY (t) = φY (t, e ) en t = 0 esY (e). Consideramos f = Ad se tiene

ddt t=0

Ad(exp(tX )) = Ad∗(e)X e

y utilizamos iii) de la proposición anterior

adX Y = [X, Y ] = ddt t=0

Adexp (tX )Y

= d

dt t=0((Ad exp(tX ))Y

= Ad∗(e)(X )(Y )

Observaci´ on 5.27 Consideramos la acci´ on natural inducida por la representaci´ on adjun-

ta Ad : G× g → g

(g, X ) → Ad(g, X ) = AdgX (5.9)

que llamamos acci´ on adjunta.

El tercer punto de la Proposici´ on ?? nos dice que

Corolario 5.28 Si X g es el generador innitesimal de X por la acci´ on adjunta entonces

(X g)Y = [X, Y ].

Demostraci´ on.Se verica que

X g(Y ) = ( AdY )∗(e)(X ) = AdY (X )

puesto que AdY es lineal y su diferencial en cuaquier punto coincide con ella misma

Ejemplo 5.29 Consideremos el grupo de Lie

SO (3) = A ∈Gl(3R) |At A = Id, detA = 1 .

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Su algebra de Lie so(3) es A ∈gl(3, R )|At = − A.

La aplicaci on

Λ : R3 → so(3)

x = ( x1, x2, x3) → x =0 − x3 x2x3 0 − x1

− x2 x1 0

es un isomorsmo de espacios vectoriales, pues es lineal e inyectiva. Si denotamos por x∧y

el producto vectorial en R3, entonces

x ∧y = x. y − y. x = [ x, y]

donde [ , ] es el conmutador de dos matrices y

x.

y denota el producto usual de matrices,

que a partir de ahora denotamos por x y. Por lo tanto Λ es un isomorsmo de álgebras de

Lie pues [Λ(x)Λ(y)] = Λ([x, y]).

Bajo esta identicación la accion adjunya es

Ad : SO (3)× R3 → R3

(A, x ) → Ad(A, x ) = Ax(5.10)

Si ξ ∈ R3, cponsidermaos la matriz ξ ∈ so(3). El generador innitesimal ξ R 3 , es tal que

bajo la identicación natural T x R3 = R3 se verica

(ξ R 3 )x = ξ ∧x ∈R3

.

Demostramos ahora prpiedadedes b´ asicas de de los generadores innitesimales.

Proposici´ on 5.30 Sea Φ:G × M → M una acci´ on. Si X, Y ∈g entonces

i) (AdgX )M = Φ∗g− 1 (X M ) , ii) [X M , Y M ] = − [X, Y ]M

Demostraci´ on.

(AdgX )M (x) = (Φ x )∗(e)(AdgX ) = (Φ x )∗(e)(( expAd g X )∗(0)( ddt t=0

)

= (Φ x expAd g X )∗(0)( ddt t=0

)

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Φx expAd g X (t) = Φ( expAd g X (t), x) = Φ( g exp(tX )g− 1, x) =

= Φ( g, Φ(exptX, Φ(g− 1, x)))= Φ g ΦΦ(g− 1 ,x ) expX (t)

Φ(a(bc), x) = Φ( a, Φ(bc,x)) = Φ( a, Φ(b,Φ(c, x)))

ası(AdgX )M (x) = (Φ x expAd g X )∗(0)(

ddt t=0

)

= (Φ g ΦΦ(g− 1 ,x ) expX )∗(0)( ddt t=0

)

= (Φ g ΦΦ(g− 1 ,x ) )∗(e)(X )

= (Φ g)∗(Φ(g− 1, x))(Φ Φ(g− 1 ,x ) )∗(e)(X ))

= (Φ g)∗(Φ(g− 1, x))(( X M )Φ(g− 1, x))

[Φ∗g− 1 (X M )](x) = (Φ g)∗(Φ(g− 1(x))X M (Φ(g− 1(x))

ii) De i) tomando g = exp(tY ) tenemos

(Adexp ( tY )X )M = Φ∗exp (− tY ) (X M )(5.11)

El ujo de − Y M es Φ− Y M (t, x ) = Φ( exp(− tY ), x) entonces Φ − Y M t = Φexp (− tY )

[X M , Y M ](x) = L− Y M X M (x)

= d

dt t=0(ΦY M

− t )∗

(ΦY M

t (x))X (ΦY M

t (x))

= d

dt t=0(Φexp (tY ) )∗(Φexp (− tY ) (x))X M (Φexp (− tY ) (x))

= d

dt t=0[Φ∗exp (− tY ) (X M )](x)

= d

dt t=0(AdexptY X )M (x) =??(

ddt t=0

AdexptY X )M = [X, Y ]M (x);

(5.12)

donde hemos utilizado

[(Φ∗exp ( tY ) )X M ](x) = (Φ exp (− tY ) )∗(Φexp (tY ) (x))X M (Φexp (tY ) (x))

y iii) de la Proposici on ?? .

(c) La acci´ on coadjunta

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5.4. Acciones simplecticas y hamiltonianas

Denici´ on 5.36 Sea G un grupo de Lie, (M, ω) una variedad simplectica y Φ:G × M →

M una acci´ on de G sobre M . Diremos que la acci´ on es simplectica si Φ∗gω = ω ∀g ∈G,

es decir Φg es un simplectomorsmo.

En particular las aciones de R en (M, ω) est an en correspondencia biyectiva con los camposde vectores simplecticos o localmente hamiltonianos.

Denici´ on 5.37 Una acci´ on simplectica φ de S 1 o R en (M, ω) se denomina hamilto-

niana si el campo de vectores generado por φ es hamiltoniano.

Ejemplos

1. En R2n con ω = dx i ∧dyi sea X = − ∂ ∂y1

.

Calculemos la acci on generada por X . Sea x = ( x1, y1, x2, y2, . . . , x n , yn )

− ∂ ∂y1 ϕx (t )

= ( ϕx )∗(t)( ddt t

) = ddt t

(x i ϕx ) ∂ ∂x i ϕx ( t)

+ ddt t

(yi ϕx ) ∂ ∂y i ϕx (t )

por lo tanto

ddt t

(x i ϕx ) = 0 , d

dt t(yi ϕx ) = 0 ( i = 1) ,

ddt t

(y1 ϕx ) = − 1

entonces

x i ϕx = cte. , yi ϕx = cte. , y1 ϕx (t) = − t + C

y como ϕx (0) = ϕ0(x) = x deducimos que

x i (x) = xi , yi (x) = yi , y1 = y1(x) = y1 ϕx (0) = C

con lo que y1 ϕx (t) = − t + y1

Ası el ujo de X es

F t : R2n → R2n

x → F t (x) = ( x1, y1 − t, x 2, y2, . . . , x n , yn )

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5.4 Acciones simplecticas y hamiltonianas 109

Las orbitas de la acción generada por X son las lıneas paralelas al eje y1,

(x1, y1 − t, x 2, y2, . . . , x n , yn ) t ∈R

y la accion F : R × R2n → R2n es simplectica:

F ∗t ω = F ∗t (dx i ∧dyi ) = d(x i F t ) ∧d(x i F t ) = dx i ∧dyi .

De (3.3) deducimos que

X x 1 = ∂x1

∂y i

∂ ∂q i

− ∂x1

∂x i

∂ ∂y i

= X .

es decir X es hamiltoniano con función hamiltoniana x1.

2. En el 2-toro simplectico ( T 2, dθ1 ∧ dθ2) el grupo 1-parametrico de difeomorsmosdado por la rotación alrededor de cada cırculo

ψ1 : S 1 × T 2 → T 2

(α, (θ1, θ2)) → ψ1((α, (θ1, θ2))) = ( α + θ1, θ2)

ψ2 : S 1 × T 2 → T 2

(α, (θ1, θ2)) → ψ2((α, (θ1, θ2))) = ( θ1, α + θ2)

son acciones simplecticas de S 1.

3. En la 2-esfera simplectica ( S 2, dθ ∧ dh) en coordenadas cilındricas, el grupo 1-parametrico de difeomorsmos dado por la rotaci´ on alrededor del eje vertical

ψt (θ, h) = ( θ + t, h ) t ∈R

es una acci on simplectica del grupo S 1 ∼= R/ < 2π > que deja invariante la formadθ ∧dh.

El campo de vectores X ψ correspondiente a ψ es

X ψ (x) = ( ψx )∗(0)( ddt 0

) = d(θ ψx )

dt 0

∂ ∂θ

+ d(h ψx )

dt 0

∂ ∂h

= ∂ ∂θ

y verica quei ∂ ∂θ

dθ ∧dh = dh

por lo que es hamiltoniano (con hamiltoniano H = h), ası tenemos un ejemplo deaccion hamiltonianna.

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Proposici´ on 5.38 Si Φ es simplectica entonces para cada X ∈g

1. LX M ω = 0 ( X M es localmente hamiltoniano).

2. iX M ω es una forma cerada.

Demostraci´ on.

1. Como φX M t (x) = Φ( expX t, x ) = Φ exp X t (x) entonces por lo que

φX M t = Φexp X t y (φX M

t )∗ω = (Φ exp X t )∗ω = ω

por lo tantoLX M ω = lım

t→0

1t

[(φX M t )∗ω − ω] = 0

2.0 = LX M ω = iX M dω + d(iX M ω) = d(iX M ω)

Denici´ on 5.39 Sea Φ:G × M → M una acci´ on simplectica de G sobre M . Φ se dice

fuertemente simplectica si X M es Hamiltoniano para todo X ∈g, es decir para todo X ∈g

existe f X ∈C ∞ (M ) tal que

iX M ω = df X .

LEER LO QUE SIGUE

Denici´ on 5.40 Sea G un grupo de Lie, (M, ω) una variedad simplectica exacta, es decir

ω = dθ, y Φ:G × M → M una acci´ on de G sobre M . Diremos que Φ es exacta si Φ∗gθ = θ

para todo g ∈G.

Proposici´ on 5.41 Toda acci´ on exacta es fuertemente simplectica.

Demostraci´ on.

En efecto veamos que X M es hamiltoniano

0 = LX M θ = diX M θ + iX M dθ ⇒ iX M ω = − d(θ(X M ))

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5.5 Acciones inducidas en el brado cotangente 111

5.5. Acciones inducidas en el brado cotangente

Si f : Q → Q denimos el levantamiento can´ onico de f a T ∗Q como el difeomorsmo

dado por T ∗f : T ∗Q → T ∗Q

β q → T ∗f (β q) = β q f ∗(f − 1(q ))donde β q ∈T ∗q Q.

T qβq

R

T f − 1 (q)Q

f ∗ (f − 1 (q))

T ∗ f (βq )

,

Proposici´ on 5.42 Para cualquier difeomorsmo f : Q → Q tenemos (T ∗f )∗θ = θ y

(T ∗f )∗ω = ω, donde ω = − dθ, es la estructura simplectica en T ∗Q.

Demostraci´ on.

[(T ∗f )∗θ](αq)(Z α q ) = θ((T ∗f )(αq))(( T ∗f )∗(αq)(Z α q )

= ( T ∗f )(α q) (πQ )∗((T ∗f )∗(αq)(Z α q ) = ( T ∗f )(α q) (πQ T ∗f )(α q)(Z α q )

= αq f ∗(f − 1(q )) f − 1∗ (f (q )) Z α q = αq(Zα q)

Donde hemos usado la denición de θ, de T ∗f y la conmutatividad del diagrama,

T ∗Q T ∗ f −→ T ∗Q

↓ ↓Q f − 1

←− Q

Una acci on Φ : G× Q → Q puede ser levantada a una acci´ on ΦT ∗ : G× T ∗Q → T ∗Qdeniendo

ΦT ∗ (g, α q) = T ∗Φg− 1 (α q) = αq (Φg− 1 )∗(Φg(q )) , .(5.16)

Observese que (Φ T ∗ )g = T ∗Φg− 1 , entonces de la Proposición 5.42 , obtenemos

Corolario 5.43 Si Φ es una acci´ on de G en Q entonces ΦT ∗ es una acci´ on simplectica

de G en T ∗Q.

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Demostraci´ on.Es consecuencia de la Proposición 5.42 y de que ΦT ∗

g = T ∗Φg− 1 .

5.6. La aplicaci´ on comomento

Denici´ on 5.44 Sea Φ:G × M → M una acci´ on simplectica de G sobre (M, ω). Una

aplicaci´ on comomento asociada a esta acci´ on es (si existe) una aplicaci´ on lineal J entre

las ´ algebras de Lie g y C ∞ (M )

J : g → C ∞ (M )

X → J (X )

tal que

iX M ω = d J (X ) ,

o lo que es equivalente, el siguiente diagrama es conmutativo

SILVIA mmLa obstrucción a la existencia de la aplicación comomomento viene dada por la siguiente

Proposici´ on 5.45 Sea Φ una acci´ on simplectica de G en M entonces existe una aplica-

ci´ on comomomento si y solo si la acci´ on es fuertemente simplectcia.

Demostraci´ on.Si existe J entonces

iX M ω = d J (X )

y por lo tanto la acción es fuertemente simplectcia.Si la accion es fuertemente simplectca entonces

iX M ω = df X

y denimos J (X ) = f X .

LO QUE SIGUE NOSE SI MERECE LA PENA

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5.7 La aplicaci on momento 113

5.7. La aplicaci´ on momento

Recordemos la denición de aplicaci on momento en variedades simplecticas.

Denici´ on 5.46 Sea (M, ω) una variedad simplectica con una acci´ on simplectica Φ :

G× M → M , es decir Φ∗gω = ω. La aplicaci´ on J : M → g∗ se dice que es una aplicaci´ on

momento para la acci´ on Φ si

iX M ω = d J (X ) , para todo X ∈g,(5.17)

donde

J (X ) : M → R

v → J (v)(x) = J (x)(X )esto nos dice que la aplicaci´ on J : g → C ∞ (M ) es una aplicaci´ on comomento.

Est a claro que esta aplicación existir a si y solo si existe una aplicaci on comomomento.En efecto, si existe una aplicación momento entonces por denici´ on existe tambien una

aplicaci on comomento.Recıprocamente si existe una aplicaci´ on comomento J : X ∈ g → f X ∈ C ∞ (M ) y

X 1, . . . X n es una base de g, con base dual µ1, . . . µn , denimos

J : M → g∗

m → J (x) = f X i (x)µi

Observese que J es diferenciable sus componentes f X i ∈ C ∞ (M ). Entonces si Y = ak X ktenemos

J (x)(Y ) = f X i (x)µi (ak X k) = f X i (m)a i = f a i X i (x) = f Y (x)

puesto que J es lineal, de manera que J es una aplicaci on momento y aplicación comomentoasociada J .

Denici´ on 5.47 Sea M una variedad simplectica y Φ : G× M → M una acci´ on simplecti-

ca. Una aplicaci´ on momento J : M → g∗ se denomina Coad-equivariante si el siguiente

diagrama

M Φg

J

M

J

g∗

Ad ∗

g − 1

g∗

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o equivalentemente

J (Φg(x))( X ) = ( J (x) Adg− 1 )(X ) = J (x)(Adg− 1 (X )) = θ((( Adg− 1 (X ))M ))( x)

Por una parte tenemos

J (Φg(x))( X ) = J (X )(Φg(x)) = θ(X M )(Φg(x))∗= θ (Adg− 1 X )M (x) = J (x)(Adg− 1 X ) = Ad∗g− 1 J (x)(X ) .

donde ∗= es consecuencia de lo siguiente:1) (Adg− 1 X )M = (Φ g)∗X M , X ∈g,2) y dado que cada θ es invariante bajo Φ g se tiene

θ(x) (Adg− 1 X )M (x) = [θ(Φ∗gX M )](x)

= θ(x) (Φg− 1 )∗(gx))( X M (gx))= (Φg− 1 )∗θ (gx)(X M (gx))

= θ(gx) (X M (gx)) = ( θ(X M ))(Φ g(x)) .

(5.21)

Teorema 5.50 Ley fundamental de la conservaci´ on-versi´ on hamiltoniana del Teorema de

Noether.

Sea M una variedad simplectica y Φ : G × M → M una acci´ on simplectica con

aplicaci´ on momento J : M → g∗.

Supongamos que H : M → R es invariante por la acci´ on, esto es

H (Φ(g, x)) = H (gx) = H (x)

para todo g ∈ G y todo x ∈ M . Entonces las funciones J (X ) son constantes del movi-

miento, es decir

J (X )(F t (x)) =

J (X )(x)

siendo F t (x) el ujo de X H .

Demostraci´ on.Vamos a demostrar que X H ( J (X )) = 0.

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Primero probaremos que X H ( J (X )) = − X M (H ),

X H ( J (X )) = d J (X )(X H ) = ( ıX M ω)(X H ) = ω(X M , X H ) = − ω(X H , X M )= − (ıX H ω)(X M ) = − dH (X M ) = − X M (H ) .

Como H es G-invariante se deduce que X M (H ) = 0, en efecto,

X M (H ) = LX M H = ddt 0

(Φ∗exp X t H ) = ddt 0

(H ) = 0 ,

por lo tanto X H ( J (X )) = 0, por lo tanto J (X ) es constante en las órbitas de X H .

Ejemplos de aplicación momento

1. El hamiltoniano H : M → R como aplicaci´ on momento

Sea X H campo de vectores completo hamiltoniano, tenemos la acci´ on denida porsu ujo Φ : R × M → M . La condici on LX H ω = 0 signica que esta acción essimplectica.

Veamos que H : M → R es una aplicaci on momento Coad-equivariante.

Sea s ∈R = g entonces sM ∈X(M ) esta denido como sigue

sM (x) = (Φ x )∗(0)( s ddt 0

) = s(Φx )∗(0)( ddt 0

) = sX H (x) = X sH (x)

por lo tantoisM ω = iX sH ω = d(sH )

lo que muestra que J (s) = sH .

Tenemos que probar que este diagrama es conmutativo

M Φt

H

M H

R∗= RAd ∗

− s R∗= R

H (Φs (x)) = Ad∗− s (H (x)) = H (x) , ∀s ∈R ∀x ∈M .

pues Ads = IdR pero esto es la ley de conservacion de la energıa, pues H es constanteen las curvas integrales de X H .

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2. Sea N ∈N y consideramos el espacio de conguración de N partıculas Q = R3N , R 3

actua en Q por traslaciones, i.e.,

Φ : R3 × Q → Q(x, (q 1, . . . , q N )) → (q 1 + x , . . . , x + q N )

El generador innitesimal correspondiente a u ∈R3 es

uR 3 (q 1, . . . , q N ) = (Φ (q1 ,...,q N ) )∗(0)( u) = (Φ (q1 ,...,q N ) expu )∗(0)( ddt 0

)

Pero expu (t) = tu entonces

Φ(q1 ,...,q N ) expu (t) = ( q 1 + tu , . . . , q N + tu )

por lo queuR 3 N (q 1, . . . , q N ) = ( u , . . . , u ) ∈T (q1 ,...,q

N )R3N .

La accion levantadaΦT ∗: R3 × T ∗Q → T ∗Q

admite una aplicaci´ on momento

J : T ∗R3N → (R3)∗= R 3

(q 1, . . . , q N , p1, . . . , pN ) → J (q 1, . . . , q N , p1, . . . , pN )

dada porJ (α q)(u) = αq(uQ (q )) αq ∈T ∗R3N

es decir, si α q = ( q 1, . . . , q N , p1, . . . , pN ) esto signica que

αq =3

i=1

p1i dq i +

6

i=4

p2i dq i + . . . +

3N

i=3 N − 2

pN i dq i

comouR 3 N (q 1, . . . , q N ) = ( u , . . . , u ) ∈T (q1 ,...,q N )

R3N .

podemos escribir

(u , . . . , u ) =3

i=1

u i ∂ ∂q i

+3

i=1

u i ∂ ∂q 3+ i +

3

i=1

u i ∂ ∂q 6+ i + . . . +

3

i=1

u i ∂ ∂q 3N − 3+ i

por lo tanto

J (q, p) = α (q1 ,...,q N )(u , . . . , u ) = p1i u i + p2

i u i + + . . . + pN i ui

= p1u + p2u + . . . pN u = ( p1 + . . . pN )u

que es momento lineal cl asico.

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3. Sea Φ : SO(3) × R3 → R3 la accion natural Φ( A, q ) = Aq .Conocemos que ( R3, × ) ≡ ( so(3) , [ , ]) y que uR 3 (x) = u × x (formula pag 58 delcrsh-course) u ∈R3

La aplicaci on momento equivariante de la acci´ on levantada

SO (3) × T ∗Q = R3 × R3 → T ∗Q = R3 × R3

es

J (αq)(u) = αq(uR 3 (q )) = pi dq i(u × q ) = pi (u × q )i = [ p, u, q ] = [u,q,p] = u · (q × p)

Por tanto J (αq ≡ (q, p)) = q × p que es el momento angular clásico

5.8. Construcci´ on de la aplicaci´ on momento: ejemplos

Ahora extendemos los resultados sobre la aplicaci´ on momento en T ∗Q y T Q, a lasvariedades simplecticas T ∗Q y T Q.

5.8.1. La aplicaci on momento en T ∗Q

Corolario 5.51 ΦT ∗ tiene una aplicaci´ on momento Ad∗-equivariant J : T ∗Q → g∗ dada

por

J (αq)(X ) = θ(α q) (X T ∗ Q (αq)) = αq(X Q (q )) ,(5.22)

donde α q,∈T ∗Q y X T ∗ Q es el campo de vectores fundamental denido por la acci´ on ΦT ∗ .

Demostraci´ on.ii) Es consecuencia del Teorema 5.49 y la siguiente identidad

θ(αq)(X T ∗ Q (αq)) = αq ((πQ )∗(α q)X T ∗ Q (α q)) = αq(X Q (q ))

puesto que ( πQ )∗(X T ∗ Q ) = X Q πQ . En efecto para cada X ∈g tenemos

(πQ )∗(αq)X T ∗ Q (αq) = ( πQ )∗(αq) [(ΦT ∗ )α q ]∗(e)(X )

= πQ (ΦT ∗ )α q ∗ (e)(X ) = (Φ q)∗(e)(X ) = X Q (q ) = X Q (πQ (αq))

lo cual se sigue de que πQ (ΦT ∗)α q = Φq,

πQ (ΦT ∗)α q (g) = πQ ΦT ∗(g, α q) = Φg(q ) = Φ q(g) .

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5.8.2 La aplicacion momento en T Q 119

T ∗Q (ΦT

∗

)g

π Q

T ∗Q

π Q

Q

Φg Q

Observaci´ on 5.52 Teniendo en cuenta los grupos uniparametricos del levantamiento

completo de (X Q )C de X Q ∈X(Q) y de X T ∗ Q ∈X(T ∗Q) se deduce que

(X Q )C = X T ∗ Q .

Ejemplos(i)(ii) Sea Q =

5.8.2. La aplicaci on momento en T Q

Sea Φ : G× Q → Q una acci on de G en Q, y denotemos por Φ T la accion tangenteΦT : G× T Q → T Q, denida por

ΦT (g, vq) = (Φ g)∗(q )vq

para todo ( vq,∈T Q, q ∈Q, g ∈G.

Corolario 5.53 Teorema de Noether

Sea L un lagrangiano regular en T Q . Si suponemos que L es invariante bajo la acci´ on

ΦT , esto es L ΦT g = L, para todo g ∈G, entonces tenemos:

i) (ΦT g )∗θL = θL , para todo g ∈G,

ii) La aplicaci´ on momento J : T Q → g∗ para la acci´ on ΦT est´ a denida por

J (vq)(X ) = θL (vq) (X T Q (vq)) = ( F L (vq))( X Q (q )) ,(5.23)

y es Ad∗-equivariant.

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Demostraci´ on.i) Usando la denici on de F L y la invarianza de L bajo the acci on ΦT se obtiene la

conmutatividad del diagrama

T Q (ΦT )g

F L

T Q

F L

T ∗Q(Φ T ∗ )g

T ∗Q

es decir F L ΦT g = ΦT ∗

g F L . La demostración de la conmutatividad de este diagrama seencuentra al nal de la demostraci´ on. Entonces, del Corolario 5.51 y puesto que F L ΦT

g =ΦT ∗

g F L se obtiene facilmente que (Φ T g )∗θL = θL , en efecto

(ΦT g )∗θL = (Φ T

g )∗(F L )∗θ = ( F L ΦT g )∗θ

= (ΦT ∗

g F L )∗

θ = ( F L )∗

((ΦT ∗

g )∗

θ) = ( F L )∗

θ = θL

ii) Es una consecuencia del Teorema 5.49 y de la siguiente identidad

θL (vq)(X T Q (vq)) = ( F L (vq))( X Q (τ Q (vq)) vq ∈T Q,

la cual se obtiene como sigue

(θL )(vq)(X T Q )(vq) = [( F L )∗θ](vq) (X T Q )(vq)) = θ(F L (vq))(( F L )∗(vq)(X T Q (vq))= F L(vq) (( πQ F L )∗(vq)X T Q (vq))= ( F L (vq))(( τ Q )∗(vq)(X T Q (vq))= ( F L (vq)) X Q (τ Q (vq)) ,

donde en la ultima identidad hemos usado que πQ F L = τ Q y (τ Q )∗X T Q = X Q .Veamos la la ultima identidad:

(τ Q )∗(vq) (X T Q (vq)) = ( τ Q )∗(vq) (ΦT vq )∗(e)(X e)

= τ Q ΦT vq

∗

(e)(X e) = (Φ q)∗(e)X e = ( X Q )q = X Q (τ Q (vq)) .

Por lo tanto

J (X )(vq) = θL (vq)(X T Q (vq)) = ( F L (vq))( X Q (q ))

Demostremos ahora la conmutatividad del diagrama

T Q (ΦT )g

F L

T Q

F L

T ∗Q(Φ T ∗ )g

T ∗Q

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5.9 Ampliaci on 121

[F L ΦT g (vq)]((Φg)∗(q )(wq)) = F L(ΦT

g (vq))((Φ g)∗(q )(wq))

= [F L (Φg)∗(q )(vq)]((Φg)∗(q )(vq)) = ddt 0L((Φg)∗(q )(vq) + t(Φg)∗(q )(vq))

= ddt 0

L((Φg)∗(q )(vq + twq)) = ddt 0

(L ΦT g (vq + twq))

= ddt 0

L(vq + twq) = [F L (vq)](wq)

[ΦT ∗g F L (vq)]((Φg)∗(q )(wq)) = [Φ T ∗ (g ,FL (vq)](ΦT

g (vq))((Φ g)∗(q )(wq))

= [ F L (vq) (Φg− 1 )∗(Φg(q )]((Φg)∗(q )(wq)) = [ F L (vq)](wq)

5.9. Ampliaci´ on

Establecemos un poco más de terminologıa.

Denici´ on 5.54

1. El grupo de isotropıa de x ∈M (respecto de Φ es el conju nto

Gx = g ∈G|Φg(x) = x

es un subgrupo de G.

2. La ´ orbita de x ∈M es el conjunto Ox = x ∈M | x = Φ g(x).

3. La acci on se dice libre si la aplicaci´ on

Φx G → M

g → Φx (g) = Φ( g, x)

es inyectiva para todo x ∈M . Esto quiere decir que no hay puntos josmo invariantes

bajo esta acci´ on.

4. La acci´ on se dice transitiva si para toso x1, x2 ∈M existe g ∈G tal que Φg(x1) = x2.

Entonces Ox = M ∀x ∈M , Φ tiene una sola ´ orbita y M se dice que es un espacio

homogeneo.

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Observaci´ on 5.55 Cada grupo de Lie dene una acci´ on G × G → G tal que Φg = Lg .

Ejemplo 5.56

Proposici´ on 5.57 Sea Φ:G × M → M una acci´ on y sea R = (x, Φg(x)) ∈ M ×

M | (g, x) ∈ G × M el grafo de Φg . Si R es cerrado en M × M entonces la topologıa

de M/G es Hausdorff.

El siguiente teorema nos da una condici´ on necesaaria y suciente para que M/G tengaestructura de variedad diferenciable.

Teorema 5.58 R es una subvariedad cerrada de M × M ⇔ M/G admite una estructura

de variedad diferenciable tal que π : M → M/G es una submersi´ on.

Corolario 5.59 Sea H ⊂ G un subgrupo cerrado de G. Si consideramos la acci´ on de H

en GΦ H × G → G

(h, g) → Φ(h, g) = gh

entonces G/H tiene estructura de variedad diferenciable tal y π : G → G/H es una

submersi´ on.

Demostraci´ on.Cosideremos la aplicación

ξ G × G → G

(g, k) → ξ (g, k) = g− 1k .

Tenemos

ξ ∗(g, k)( r, s ) = ( Rk ı)∗(g)(r ) + ( Li(g) )∗(k)( s) (r, s ) ∈T eG × T eG i(g) = g− 1

entonces ξ ∗(g, k)(0, s) = ( L i(g) )∗(k)( s) por lo que ξ ∗(g, k)( r, s ) es sobreyectiva, dado que(L i(g) )∗(k)( s) es un isomorsmo. Por lo tanto ξ es una submersi on.

Ahora como H es un subgrupo cerrado de G, entonces es una subvariedad cerradad deG. Por lo tanto ξ − 1(H ) es una subvariedad cerrada de G × G. Pro

(g, k) ∈ξ − 1

(H ) ⇔ g− 1

k ∈H ⇔ (g, k) ∈R = (g,hg) = ( g, Φh (g)) ∈G× G : g ∈G h ∈H pues g− 1k ∈ H ⇔ g− 1k = h ⇔ k = gh = Φh (g). Por lo tanto ξ − 1(H ) = R es unasubvariedad cerrada de G × G, lo cual implica por el Teorema 5.58 que G/H es variedaddiferenciable y π : G → G/H una submersión.

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5.9 Ampliaci on 123

Observaci´ on 5.60 Observemos que la variedad G/H construida por la acción de H sobre

G por la izquierda Cse corresponde con las clases de equivalencia En general G/H indicar a

gH | g ∈G el conjunto de clases de equivalencia por la derecha.

Lema 5.61 Sea H subgrupo cerrado de G. SEa

G/H = gH : g ∈G

que ya sabemos que tiene estructura de variedad diferencable con π : G → G/H submer-

si´ on. Entonces

T [g](G/H ) ∼= T.G/ (T eLg(h))

Demostraci´ on.La aplicaci on

(πg)∗(g) : T gG → T [g](G/H )

es sobreyectiva y por el primer teorema de isomorfıa tendrıamos

T gG/ ker π∗(g) ∼= Imπ ∗(g) = T [g](G/H )

[X g] ∼= π∗(g)(X g)

por lo que resta probar que ker π∗(g) = T eLg(h).Como π es submersi on tenemos

ker π∗(g) = T g(π− 1(π(g)) = T g(π− 1([g])) = T g(gH )

pero la subvariedad π− 1([g]) = gH es difeomorfa a H traves de Lg ası que ker π∗(g) =T g(gH ) = ( Lg)∗(T eH ).

La siguiente denición caractriza las acciones que permiten pasar al espscio de ´ orbitassin perder la estructura diferenciable

Denici´ on 5.62 Sea Φ:G × M → M una acci´ on difrenciable. Diremos que la acci´ on es

propia si la imagen inversa de una conjunto compacto bajo la aplicaci´ on

G × M → M × M

(g, x) → (Φg(x), x) .

es un compacto.

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Observaci´ on 5.63 Las acciones propias se pueden reformular como sigue:

La accion es propia ⇔ ∀xn n∈N ⊂ M y ∀gn n∈N ⊂ G sucesiones en M y G res-

pectivamente tal que xn n∈N y Φgn (xn ) convergen en M , entonces gn tiene unasubsucesi on convergente.

Esta condición se satisface trivialmente si el grupo de Lie G es compacto.

Corolario 5.64 Si Φ:G × M → M una acci´ on difrenciable entonces

Φx : G/G x → G · x ⊂M

es una inmersi´ on inyectiva. Si Φ es propia entoces l ´ orbita G ·x es una subvariedad cerrada

de M y Φx es un difeomorsmo.

Demostraci´ on.Como Gx = Φ− 1

x (x) y Φx : G → M es diferenciable (en particular contınua) deducimosque Gx es un subgrupo cerrado de G y por lo tanto un subgrupo de Lie de G. Ademas porel Corolario 5.59 G/G x es una variedad diferenciable y π: G → G/G x es una submersi onsobreyectiva.

La aplicaci on est a bien

Φx : G/G x → G · x

[g] = gGx → Φx (g)est a bien denida: si h ∈Gx , es decir, si Φ(h, x ) = x tenemos

Φx (gh) = Φ x (gh) = Φ( gh,x ) = Φ( g, Φ(h, x )) = Φ( g, x) = Φx (g) ,

y es inyectiva pues

Φx ([g]) = Φx ([g ]) ⇒ Φx (g) = Φ x (g ) ⇒ g− 1g ∈Gx .

La aplicaci on Φx : G/G x → G ·x es diferenciable puesto que Φx π = Φx es diferenciablepuesto que la composición con la submersi on π es diferenciable.

Para ver que es inmersi´ on veremos que T [g]Φx es inyectiva para todo [ g]∈G/G x .Por el lema anterior

T [g](G/G x ) ∼= T gG/ ((Lg)∗(e)(gx ))

donde gx denota el algebra de Lie de Gx .

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5.9 Ampliaci on 125

Ahora bien

(Φx )∗([g])([X g]) = ( Φx )∗([g])(π∗(g)(X g)) = ( Φx π)∗(g)(X g) = (Φ x )∗(g)(X g)

por lo tanto ( Φx )∗([g]) sera inyectiva si y s olo si

ker(Φ x )∗(g) = ( Lg)∗(e)(gx )

Primero supongamos que [ g] = [e] y despues lo demostraremos para cualquier [ g].Tenemos que probar que ( Φx )∗([g]) = ( Φx )∗([e]) es inyectiva, o equivalentemente que

ker(Φ x )∗(e) = gx = T eGx

como Gx = Φ− 1x (x) la inclusi on ⊇ es inmediata pues φx |G x : Gx = Φ− 1

x (x) → x y por lotanto

(φx )∗(e)(T eGx ) ⊂ T x x = 0 .

Veamos ahora el otro contenido, sea X ∈T eG ∼

= g tal que (Φ

x)∗

(e)X = 0. Teniendo encuenta que (Φ x Lexp X s expX )( t) = Φ x (expX (s + t)) = (Φ x expX Ls )( t) para cualquiervalor s se tiene

(Φx expX )∗(s) ddt t= s

= (Φ x expX )∗(s) (Ls )∗(0) ddt t=0

= (Φ x expX Ls )∗(0) ddt t=0

= (Φ x Lexp X s expX )∗(0) ddt t=0

= (Φ x )∗(exp X s) (Lexp X s )∗(e)(X ) = (Φ exp X s )∗(x) (Φx )∗(e)(X )

donde en la ultima igualdad hemos usado que para todo g ∈ G y para todo x ∈ M severica

Φx Lg = Φg Φx .Por lo tanto, puesto que por hip´ otesis (Φx )∗(e)X = 0 obtenemos que

(Φx expX )∗(s) ddt t= s

= 0

para todo s, esto es, Φx expX es una funci on constante y como (Φ x expX )(0) = xobtenemos que (Φ x expX )( t) = x, de manera que exp X t ∈ Gx para todo t. Ası, por elcorolario 5.20 concluimos que X ∈T eGx = gx ..

Veamos ahora el caso [ g] = [e]. En este caso la igualdad ker(Φ x )∗(g) = ( Lg)∗(e)(gx )es consecuencia de la relaci on Φx Lg = Φg Φx . En efecto, consideramos el siguientediagrama conmutativo

G Φx

L g

G · x

Φg

G Φx G · x

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y la restricci on a Gx , entonces tenemos:

gx = T eGx(Φ x |G x )∗ (e)

(L g )∗ (e)

T xx = 0

(Φg )∗ (x )

T gG

(Φx )∗ (g) T gx (G · x)

por lo tanto

(Φx )∗(g)(( Lg)∗(e)(X )) = (Φ g)∗(x)((Φ x |G x )∗(e)(X )) = 0 , ∀X ∈gx

ası obtenemos que ( Lg)∗(e)(gx ) ⊂ ker(Φ x )∗(g).Veamos ahora el otro contenido. A partir del siguiente diagrama conmutativo

T eG (Φx )∗ (e)

(L g )∗ (e)

T x (G · x)

(Φ g )∗ (x )

T gG

(Φx )∗ (g) T gx (G · x)

obtenemos: sea X ∈ ker(Φx )∗(g) esto es, X ∈ T gG tal que (Φ x )∗(g)( X ) = 0. Por ser(Lg)∗(e) un isomorsmo ( Lg es un difeomorsmo) existe un X ∈T eG tal que ( Lg)∗(e)(X ) =X . Se verica:

(Φg)∗(x)((Φ x )∗(e)(X )) = (Φ x )∗(g)(( Lg)∗(e)(X )) = (Φ x )∗(g)( ˜X ) = 0 ,

es decir, (Φ x )∗(e)(X ) ∈ Ker (Φg)∗(x) = 0 donde la ultima igualdad es consecuencia deser (Φg)∗(x) un isomorsmo. Entonces X ∈(Φx )∗(e) = gx . De este modo concluimos quesi X ∈ker(Φ x )∗(g) entonces X ∈(Lg)∗(e)(gx ). Obteniendo ası la igualdad buscada.

Falta el caso Φ propia.

Teorema 5.65 Sea Φ:G × M → M una acci´ on libre y propia, entonces M/G tiene es-

tructura de variedad diferenciable y π: M → M/G es una submersi´ on.

Demostraci´ on.Denimos

Φ: G × M → M × M (g, x) → (x, Φg(x))

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5.9 Ampliaci on 127

acontinuación veremos que Φ tiene rango constante. Denimos las siguientes acciones

Λ: G × (M × M ) → M × M X : G × (G × M ) → G × M

(g, (x, y )) → (x, Φg(y)) (g, (h, x )) → (gh,x )y resulta que Λ g : (x, y) → (x, Φh (y)) y X g: (h, x ) → (gh,x ) son difeomorsmos pues Φ g yLg lo son. Ademas

Λg Φ = Φ X g ∀g ∈G ,

en efecto

Λg Φ(h, x ) = Λ g(x, Φh (x)) = ( x, Φg(Φh (x))) = ( x, Φgh x) = Φ(gh,x ) = Φ ξ g(x, h )

Entonces(Λg Φ)∗(e, x ) = ( Φ X g)∗(e, x )

es decir (Λg)∗(x, x ) Φ∗(e, x ) = Φ∗(g, x) (X g)∗(e, x )

Como (Λg)∗(x, x ) y (ξ g)∗(e, ξ ) son isomorsmos resulta que el rango de Φ)∗(e, ξ ) coincidecon el rango de Φ∗(g, ξ ) y este rango es independiente del punto g. Veamos que tambienes independiente de ξ . Tenemos

(Φ)∗(e, ξ ): T eG × T ξM → T ξM × T ξM (ξ, v) → (v, (Φξ )∗(e)(ξ ) + v)

ası quemoecho

donde n = dim M . Pero como la acci on es propia y libre Gξ = e y Φξ : G → G · ξ esun difeomorsmo (vease corolario 5.64) y por tanto

(Φξ)∗(e)(T eG) = T ξ(G · ξ )

lo que demuestra que el rango de Φ ξ es igual a la dim G e independiente del punto ξ .Hemos demostrado quemoecho por lo que Φ es una inmersi on.Como Φ es libre entonces Φ es inyectiva. En efecto si ( ξ, Φg(ξ )) = ( y, Φh (y)) entonces

ξ = y y Φg(ξ ) = Φ h (y) = Φ h (ξ ) de donde deducimos que ξ = Φg− 1 h (ξ ) ⇒ g− 1h = e.Por ser

Φ propia es cerrada. Ası que

Φ(G × M ) = R es cerrado en M × M y

Φ es un

homeomorsmo. Como además es una inmersi on, es un difeomorsmo (consecuencia delteorema de la función inversa), lo que implica que R se una variedad cerrada en M × M .Por el Teorema 5.58 concluimos que M/G tiene estructura de variedad diferenciable yπ: M → M/G es submersi on.

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Observaci´ on 5.66 Por ser π: M → M/G submersi´ on, para cada ξ ∈M la aplicaci´ on

π∗(x): T x M → T [x ](M/G )

es sobreyectiva y puesto que π− 1([x] = G · x su n´ ucleo

ker π∗(x) = T x (π− 1([x])) = T x (G · x) ∼= (Φx )∗(e)(T eG) = (Φ x )∗(e)(g)

entonces

T x M/ (Φx )∗(e)(g) ∼= T [x ](M/G ) .

modes

La representación coadjunta

5.10. Teorema de Kirillov-Konstant-Souriau

Sea G un grupo de Lie y denotemos por Λ la acción de G en si mismo por traslacionesa la izquierda, esto es Λ g = Lg . Consideramos la acción inducida Λ T ∗ : G × T ∗G → T ∗Gdenida por

ΛT ∗(gα h ) = αh (Lg− 1 )∗(gh)(5.24)

Por el teorema de construcci´ on de la aplicaci on momento, la aplicación momento para

esta acci on esJ : T ∗G → g∗ , J (α g)(ξ ) = αg(ξ G (g)) = αg((Rg)∗(e)ξ )(5.25)

puesto que ξ G (g) = ( Rg)∗(e)ξ Cada µ∈g∗ es un valor regular de J y

J − 1(µ) = αg ∈T ∗G / µ = J (α g) = αg (Rg)∗(e) = µ (Rg− 1 )∗(g) / g ∈G

= αµ(g) = µ (Rg− 1 )∗(g) / g ∈G(5.26)

es decir J − 1(µ) es el grafo de la 1-forma invariante a la derecha α µ , cuyo valor en e es µ.Por otra parte

Gµ = g ∈G / µ = Coad(g, µ) = µ Adg− 1

ahora bien

µ = Coad(g, µ) = µ Adg− 1 = µ (Rg Lg− 1 )∗(e) = µ (Rg)∗(g− 1) (Lg− 1 )∗(e)

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1. Puesto que J − 1(µ) es el grafo de α µ entonces

T α µ (g)J − 1(µ) = (α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ) / ξ ∈g∗

2.(i∗µω)(α µ(g))(( α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ), (α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)η)

= ω(αµ(g))(( iµ αµ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ), (iµ α µ)∗(g))(( Rg)∗(e)η))= ω(αµ(g))(( αµ )∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ), (αµ)∗(g))(( Rg)∗(e)η))= ( α∗µω)(g)(( Rg)∗(e)ξ, (Rg)∗(e)η) = − dα µ(g)(( Rg)∗(e)ξ, (Rg)∗(e)η))

= − dα µ (g)(ξ ξ , ξ η)(g)

donde ξ ξ(g) = ( Rg)∗(e)ξ es el campo de vectores invariante a la derecha dnido porξ , y α∗µω = − dα µ (propiedad 3.2.11 en A-M).

Ahora

− dα µ(ξ ξ , ξ η)(g)

= − ξ ξ(α µ(ξ η)) − ξ η(αµ (ξ ξ)) − α µ([ξ ξ , ξ η])(g)

= αµ ([ξ ξ , ξ η])(g) = − αµ (g)(ξ [ξ,η ])(g) = αµ (g)(( Rg)∗(e)[ξ, η]) = − µ([ξ, η])

puesto que αµ(ξ ξ )(g) = α µ (g)(( Rg)∗(e)ξ ) = µ(ξ ) es constante en g. El signo menosviene de [ξ ξ , ξ η] = − ξ [ξ,η ].

3.(Υ∗ωµ)(αµ(g))(( α µ)∗(g)(Rg)∗(e)ξ, (α µ)∗(g)(Rg)∗(e)η))= ωµ(Υ( α µ(g)))((Υ α µ Rg)∗(e)ξ, (Υ αµ Rg)∗(e)η)= ωµ(Ad∗g− 1 µ)((Υ α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ), (Υ α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)η))

= ωµ(Ad∗g− 1 µ) (( Coad µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ), (Coad µ)∗(g)(( Rg)∗(e)η))

Calculamos ( Coad µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ )

De (1) (Φg)∗(ξ )ηM (ξ ) = (Φ ξ )∗(g)(( Lg)∗(e)η)) deducimos que

(Coad µ)∗(g)(( Lg)∗(e)η) = ( Coad g)∗(µ)(ηg∗ (µ))

y por lo tanto para η = ( Lg− 1 Rg)∗(e)ξ = Adg− 1 ξ

(Coad µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ) = ( Coad µ)∗(g)(( Lg)∗(e)(Lg− 1 Rg)∗(e)ξ ) = ( Coad g)∗(µ)(( Adg− 1 ξ )g∗ (

(Coad µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ )) (1)= ( Coad g)∗(µ)(( Adg− 1 ξ )g∗ (µ))

(2)= ( Coad g)∗(µ)(( Coad∗gξ g∗ (µ)) = ξ g∗ (gµ)

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5.10.1 Forma simplectica en G · µ 131

(1) (Φg)∗(ξ )ξ M (ξ ) = (Φ ξ )∗(g)(( Lg)∗(e)ξ )) , (2) (Adgξ )M = Φ∗g− 1 ξ M

Por lo tanto

− µ([ξ, η]) = ( i∗

µω)(α µ(g))(( α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)ξ ), (α µ)∗(g)(( Rg)∗(e)η)= (Υ ∗ωµ )(αµ (g))(( αµ)∗(g)(Rg)∗(e)ξ, (αµ )∗(g)(Rg)∗(e)η))= ωµ(g · µ)(ξ g∗ (g · µ), ξ g∗ (g · µ))

Hamiltonianos reducidos El prosito de lo que sigue es inducir sistemas Hamiltoni-nanos en el espacio reducido.

Teorema 5.67 Bajo las hip´ otesis del teorema de reducci´ on, se H : P → R invarainte bajo

la acci´ on de G. Entonces

1. El ujo F t de ξ H deja J − 1

(µ) invarante.

2. F t conmuta con la acci´ on de Gµ en J − 1(µ).

3. F t induce un ujo H t en P µ vericando πµ F t = H t πµ , por lo que induce un

campo de vectores Y en P µ .

4. Este ujo es un ujo hamiltoniano en P µ con Hamiltoniano H µ vericando H µ πµ =

H iµ . H µ se denomina Hamiltoniano reducido y verica

iY ωµ = dH µ (⇔ Y = ξ H µ ) .

Demostraci´ on.Es conocido, Ley fundamental de la conservaci´ on-versi on hamiltoniana del Teorema deNoether. , que J es una integral de ξ H , es decir J (F t (ξ )) = J (ξ ) y ası tenemos denido unujo H t : P µ → R denido por

H t ([ξ ]) = H t (πµ (ξ )) = [ F t (ξ )] = πµ (F t (ξ ))

en efectoF t (g ξ ) = F t Φg(ξ ) = Φ g F t (ξ ) = g F t (ξ )

pues F t conmuta con la acci on de Gµ en J − 1(µ).Entonces

π∗µH ∗t ωµ = F ∗t π∗µωµ = F ∗t i∗µω = i∗µω = π∗µωµ

donde la tercea identidad se sigue por ser F t simplectica y deja J − 1(µ) invariante.

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Dado que πµ es un submersion se deduce que H ∗t ωµ = ωµ , ası que el ujo H t en P µ eshamiltoniano.

Denimos H µ : P µ → R como sigue

H µ (πµ(ξ )) = H (iµ(ξ )) (⇔ H µ πµ = H iµ)

que est a bien denida puesto que H (g · ξ ) = H (ξ ), pues H es G-invariante.

(H µ)∗[v]) = ( H µ)∗((πµ)∗(v)) = ( H πµ)∗(v) = ( H iµ)∗(v) = d(i∗µH )(v) = i∗µ(dH )(v)

= i∗µ (iξH ω)(v) = ω(ξ H , (iµ)∗v)

De la construci on de H t se deduce que su generador Y satisface ( πµ)∗(ξ H ) = Y πµ ,entonces

dH µ[v] = i∗

µω(ξ H , v) = π∗

µωµ(ξ H , v) = ωµ(Y, (πµ )∗v) = ωµ(Y, [v])por lo tanto

iY ωµ = dH µ

y ası Y es el campo de vectores Hamiltoniano correspondiente a Y .

Reconstrucci´ on

(Φ p)∗(g)ξ G ( p) = (Φ g)∗( p)ξ P ( p) = (Φ g)∗( p)(( Lg− 1 )∗(g)ξ G (g)) P ( p)

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