practica1gabinete.pdf

8/17/2019 practica1gabinete.pdf

1/26

Universidad Nacional de San Juan - Facultad de IngenieríaDEPARTAMENTO DE ELECTRONICA Y AUTOMATICA

Carrera: BioingenieríaÁrea CONTROL

Asignatura: CONTROL I

PRÁCTICA DE GABINETE DE COMPUTACIÓN Nº1

“ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS LINEALES Y

AUTÓNOMOS”

Autores: Ing. Analía PérezBioing Elisa Perez


2/26

Práctica Nº 1

OBJETIVO DE LA PRÁCTICA:

El fin de la práctica en el laboratorio de computación es que el alumno aprenda a simular unsistema mediante la caja de herramienta CSAD-MATLAB y MATLAB-SIMULINK y obtenga larespuesta temporal de un sistema de control, lineal invariante en el tiempo para su posterioanálisis.Las competencias a desarrollar en la práctica son los siguientes:

- Analizar la respuesta de un sistema típico de segundo orden frente a la variación de laganancia de lazo abierto ante una entrada escalón unitaria.- Diferenciar y Clasificar las respuestas de un sistema típico de segundo orden para unaentrada escalón unitaria, ante la variación del coeficiente de amortiguamiento , manteniendola frecuencia wn = constante.- Observar y Comparar la respuesta de un sistema típico de segundo orden para una entradaescalón unitaria ante el agregado de un cero a la Función de Transferencia de la TrayectoriaDirecta G(S) y el agregado de un cero a la Función de Transferencia de realimentación aH(S).- Evaluar la respuesta de un sistema típico de segundo orden para una entrada escalón

unitaria frente al agregado de un cero a la Función de Transferencia de Lazo Cerrado.- Interpretar los efectos que causa en la respuesta temporal la variación de la posición de uncero agregado a la Función de Transferencia de Lazo Abierto en G(S) en un sistema de terceorden. - Apreciar el efecto que causa en la respuesta del sistema el agregado de polos a la Funciónde Transferencia de la Trayectoria Directa G(S) y el agregado de un polo a la Función deTransferencia de Realimentación a H(S).- Indagar el efecto que causa en la respuesta temporal de un sistema el agregado de un poloen serie a la Función de Transferencia de Lazo Cerrado.-Aprender el efecto que causa el agregado simultáneo de polos y ceros en G(S) a larespuesta del sistema.

-Concluir que los efectos particulares observados sobre la respuesta temporal de un sistemade orden n, debido al agregado de ceros y polos, dependen de la configuración exacta depolos y ceros del sistema.-Entender el comportamiento del sistema como seguidor respecto a la entrada se referencia ycomo regulador frente al ingreso de perturbaciones.

1)- VARIACIÓN DE LA GANANCIA DE LAZO ABIERTO DEL SISTEMA

Dado el siguiente sistema de control típico de segundo orden, lineal e invariante en el tiemporealimentado negativamente, se pide realizar los siguientes puntos:

K LA 1

T1S 2 +T2S+1

R(t) = 1 C(t)

-


3/26

2

)1(2)(

)(...

2

LA

LA

K S S

K

S R

S C C LT F

En este apartado se analizará la respuesta del sistema cuando la ganancia de lazo abierto desistema KLA aumenta tomando los siguientes valores: .

Para realizar este apartado, se podrá encontrar la respuesta temporal por alguno de lossiguientes metodos:

- Utilizando el comando Tftplot- Utilizando un archivo M-file denominado ‘espec’

1.1- Utilizando el comando TFTPLOT: Obtener la respuesta temporal mediante la simulacióndel sistema para los tres valores de ganancia ( ). Deberáingresarse la Función de Transferencia, luego con el comando Plot del CSAD graficarlacongelar una sola vez la grafica con el comando Hold y pedir luego las especificaciones con ecomando Attributes antes de ingresar una nueva función.

Para visualizar mejor y analizar el efecto que se produce al aumentar la ganancia delazo abierto, deben graficarse las tres curvas de respuestas superpuestas utilizando ecomando HOLD del CSAD. El comando Hold debe activarse una sola vez.

RECORDAR: Una vez que se obtuvo la respuesta temporal, para cada valor de KLA , antes depasar al nuevo valor de ganancia, se deben obtener:

Las raíces del sistema. Para esto se utiliza el comando Roots del toolbox Csad. El gráfico de la ubicación de los polos y ceros del sistema. Esto se realiza de la

siguiente manera: se coloca sin salir del comando tftplot la siguiente sentencia!figure(2), pzmap(KLA, [1 2 (1+KLA)], Hold). Esta sentencia abre otra figura que posee

la ubicación de polos y ceros del sistema. Cuando quiera graficarse la superposición de la ubicación de polos y ceros parauna nueva función, primero debe hacerse clic con el Mouse en la gráfica activaque se desea superponer y luego colocar en el cursor !pzmap(24,[1 2 1+KLA]sin pedir otra figura ni congelar nuevamente. El ! retorna el control a matlab yejecuta el comandos de matlab escrito a continuación.

Las especificaciones temporales de cada respuesta con el comando Attributes deCsad.

1.2- Utilizando el archivo M-file: Si se quiere obtener la simulación de la respuesta temporadel sistema mediante comandos de matlab, debe ejecutarse el siguiente archivo M-file de

nombre espec:

polos=roots(d)wn=sqrt(d(3))disp('wn en rad/seg')delta=d(2)/(2*wn)if delta==1wd=0


4/26

3

elseif delta>1

wd='No Existe'else

wd=wn*sqrt(1-delta^2),disp('wd en rad/seg')

endendfigure(1)pzmap(n,d)valorfinal=polyval(n,0)/polyval(d,0)figure(2)step(n,d)[y,x,t]=step(n,d);i=length(t);

while(y(i)>0.98*valorfinal)&&(y(i)


5/26


6/26

5

En la gráfica se observa que cuando aumenta kLA aumenta wn, aumenta Φ , disminuyendoδ=cosΦ, aumentando por consiguiente el Mp y aumentando la frecuencia de oscilacion Wd.

1.4)- En el informe colocar el objetivo a desarrollar en cada punto, la Función de Transferenciacon la que se está trabajando en cada caso, todos los gráficos obtenidos, con suscorrespondientes títulos indicando a que valores de ganancia corresponde cada curva. Indica

los valores de , wn, wd calculados analíticamente, las especificaciones de Mp, tr, ts, tp, td y laubicación de los polos del sistema en cada caso. Colocar las conclusiones.

Nota: Anexar a la presentación del informe el enunciado de la Práctica.Todas las gráficas deben tener tíulo referido al tema que se está analizando yreferenciar los ejes de coordenadas.Todas las curvas deben tener referencia (con flechas si la impresión es en blancoy negro o con colores diferentes si es a color) al valor del parámetro que se estávariando.Debe colocarse la Función de Transferencia con los valores correspondientes alpunto que se está analizando y en cada punto obtener conclusiones. Indicar laubicación de los polos para cada respuesta y relacionar la forma de la respuestacon la ubicación de los mismos.

2)- VARIACIÓN DEL COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO DEL SISTEMA

Dado el siguiente sistema típico de segundo orden:

252

24

)(

)(...

2

S T S S R

S C C LT F

2.1)- Mediante el comando TFTPLOT del Csad, simular el sistema y obtener la respuestatemporal para los distintos valores del coeficiente T2: T2=100; T2=10, T2=2 y T2=0. Laentrada al sistema es un escalón unitario.Para realizar la superposición de las respuestas del sistema para diferentes valores detérmino lineal se sugiere utilizar el comando final time (f ) colocando un período de simulaciónde 14 seg. De esta manera se obtienen mejores representaciones gráficas de las respuestasdel sistema. Este comando debe ser utilizado antes de realizar el gráfico, por lo tanto debeusarse antes de llamar al comando plot (p). Mediante el comando Roots del Csad encontrar la posición de los polos de lazo cerrado paracada uno de los valores del coeficiente del término lineal.

24

1

S +T2S+1

R(t) = 1 C(t)

-


7/26

6

Graficar la ubicación de polos y ceros, para esto se sugiere utilizar las siguiente línea decomandos ! figure(2), pzmap(24,[1 T2 25],Hold), esto permite utilizar comandos de matlabsin cerrar la sesión abierta de tftplot. Para la próxima función de transferencia ingresadauna vez creada y congelada la gráfica solo se coloca !pzmap(24,[1 T2 25]).

- Con Attributes encontrar las especificaciones del dominio temporal, Mp, tp, tr, ts, y ess - Con Hold congelar las gráficas y superponer las respuestas para los distintos valores de T2- Con ^ se puede cambiar el color y tipo de líneas para la respuesta.

2.2)- ¿Quécosas debem os observar cuan do varíe el térm ino lineal de nues tro s is tem a?

Comprobar que al variar el coeficiente que acompaña el término lineal de la planta, tambiénvaría el coeficiente lineal del denominador de la Función de Transferencia de lazo cerrado desistema típico de segundo orden. La variación de este término produce una variación

proporcional en el valor del coeficiente de amortiguamiento del sistema, , obteniéndoseasí los distintos tipos de respuestas según los valores de T2 y . Al variar el coeficiente de

término lineal y dejar wn fijo, las raíces de la ecuación característica o los polos del sistema delazo cerrado, se mueven en un círculo de radio wn constante.

- Para T2=0, = 0, la respuesta es Oscilatoria Pura, presenta un sobreimpulso del 100%y oscilaciones alrededor del valor final, que permanecen indefinidamente en el tiempoEsta respuesta se corresponde con un par de polos imaginarios puros.

- Para T2 = 2, 0 1, la respuesta es Subamortiguada, presenta un sobreimpulso(máxima desviación por encima del valor final) y oscilaciones amortiguadas poexponenciales. Para este tipo de respuesta, el sistema tiene un par de polos complejosconjugados.

- Para T2 = 10 = 1, la respuesta es Amortiguada Crítica. La salida no presenta

sobreimpulso ni oscilaciones, tiene un tiempo de crecimiento muy reducido, la salidalevanta rápidamente y llega muy pronto al valor de estado estacionario. Es una de lasrespuestas más rápidas que existe. La configuración de polos del sistema es una parade raíces reales y coincidentes.

- Para T2 =100 1, la salida es Sobreamortiguada. No presenta sobreimpulso, noscilaciones, tiene un elevado tiempo de crecimiento y demora en llegar al estadoestacionario. Es la respuesta más lenta de todas. Este tipo de respuesta se relaciona

con polos reales y distintos. Mientras mayor es los polos reales más se alejan entresí. Un polo se aleja hacia el - y el otro se acerca hacia el origen. Cuando 1, sepuede despreciar el polo más alejado del eje jw y la respuesta del sistema se asemejaa un sistema de primer orden.

El siguiente gráfico representa el lugar que van ocupando las raíces de la ecuacióncaracterística del sistema cuando se varía únicamente el parámetro T2 es decir cuando sevaría el coeficiente del termino lineal. El lugar es un círculo con wn constante.


8/26

7

-6 -4 -2 0 2 4 6-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Real S-plane

I m a g i n a r y

jw

Real

wn constante

2.3)- Recordar : En el informe, colocar las Funciones de Transferencia, calcular el valor del para cada caso, adjuntar las gráficas con sus títulos respectivos, indicando a que valores de

corresponde cada gráfico. Indicar los valores de , wn y wd calculados analíticamente; lasespecificaciones de Mp, tr,ts, tp, y la ubicación de los polos del sistema en cada caso. Colocalas conclusiones observadas, respecto al transitorio y estado estacionario del sistemarelacionándolo con la posición delos polos.

2.4)- Medante el comando Tftplot simular y superponer con el comando Hold en una mismagráfica las correspondientes respuestas de los siguientes pares de sistemas:

40).(258(

24

100034548

960º2

258

24)

)17

).(258(

)15,6

.(24

1758115

)5,6(85,25º2

258

24)

223

2

223

2

S S S

S S S FTLC ordentípicodeunaSemejanteSistema

conS S

FTLC orden segundodeTípicoSistemab

S S S

S

S S S

S FTLC ordendetípicounaSemejanteSistema

conS S FTLC orden segundodeTípicoSistemaa

Obtener de cada par de sistemas, la configuración de ceros y polos con el comando roots decsad, los atributos o especificaciones, y graficar las respuestas superpuestas para el punto aen una gráfica y en otra distinta superponer las respuestas del punto b) (individualizadas conalguna leyenda o colores diferentes) por cada par de sistemas dados.


9/26

En el informe, indicar por qué en cada caso se considera un sistema semejante a un típico de2º orden, relacionarlo con la ubicación de ceros y polos del sistema, obtener conclusiones acerca de lo observado en la simulación de las respuestas.

3) EFECTO DEL AGREGADO DE CEROS A LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DELAZO ABIERTO Y DE LAZO CERRADO.

3.1)- EFECTO DE UN CERO AGREGADO A LA F.T.L.A EN G(s)

Agregar un cero a la Función de Transferencia de Lazo Abierto. El cero se agregamediante un controlador derivativo PD. De esta manera el cero pasa a formar parte deG(s) del sistema dado y también aparece en el numerador de la Función de Transferenciade lazo cerrado. El controlador PD es un elemento ajeno a la planta que permite mejorar larespuesta del sistema, el mismo recibe la señal de error y emite una acción de control queingresa a la planta. La Función de Transferencia de este controlador es (Kp+Kd.S), siendoKp una constante proporcional, y Kd una constante derivativa. El cero agregado está ubicado

en Kd

KpS

3.1.1)- Simular el sistema usando la Función PIDESIGN del Csad. Esta función trabaja con laFunción de Transferencia de la Planta G(S), una vez ingresada la FT da la opción de elegir econtrolador a utilizar estos pueden ser P (proporcional), PI (proporcional-integral), PD(proporcional-derivativo) o PID (proporcional-integrativo-derivativo). Luego que se eligió e

controlador a utilizar, se deben introducir los valores de las constantes El paso siguiente esdar valores a las constantes Kp, KI, Kd dependiendo del controlador elegido. Una vezingresados los valores de las constantes del controlador se puede obtener la respuesta desistema utilizando el Time response, el mismo llama a la función tftplot para graficar.

El comando TFTPLOT también puede ser utilizado para obtener la respuesta del sistema. Sedebe tener en cuenta que en este comando la función de transferencia que se debe ingresares la FTLC, por lo tanto se debe calcular la FTLC, la cual incluye la FT del controlador y la FT

(kp+kd.S) 1

S +2S+1

R(t) = 1 C(t)

- kp = 24

)1().2(

).(...

2 KpS kd S

S Kd KpC LT F


10/26

9

de la Planta. Se sugiere utilizar la función pidesign, por lo que los puntos que siguen acontinuación se explicaran usando esta función.

El cero agregado se encontrará en la posición S=-kp/kd. Para cada posición del cero sedebe obtener la configuración de polos y ceros del sistema, utilizando el comando Poles andZeros de la función Pidesign se obtienen los valores de los mismos. Se debe obtener larespuesta del sistema para cada valor del cero, , por lo tanto se sugiere superponer lasdiferentes respuestas en una misma gráfica.

3.1.2)- Elegir un controlador proporcional derivativo, con Kp = 24, Kd = 0 obtener larespuesta temporal usando, la función PIDESIGN. Para poder superponer las gráficas de lasdiferentes respuestas se sugiere usar el comando hold y ajustar el tiempo de simulación conel comando Final Time en 7 seg.

3.1.3)- Colocar un cero agregado a G(S) en S = -4, para lo cual solo debe cambiarse losvalores de las constantes del controlador en la función pidesign, los valores de las mismasson: Kp = 24, Kd = 6.

3.1.4)- Agregar un cero en G(S) en S = -3, para lo cual el valor de Kp = 24, y Kd = 8procediendo según lo indicado en el puntos anteriores.

3.1.5)- Se debe comparar las gráficas y observar que un cero agregado a la Función deTransferencia de Lazo Abierto de un sistema típico de segundo orden, tiene el efecto demejorar la respuesta transitoria del Sistema, reduciendo el Máximo Sobreimpulso.

3.1.6)- Se deben obtener las diferentes respuestas para las distintas ubicaciones del ceroColocar la ubicación de los polos y ceros del sistema, con las respectivas funciones deTransferencias de Lazo Cerrado. Comparar las gráficas obtenidas y obtener conclusiones a

respecto.

3.1.7)- ¿Quéefec to produce el cer o cuan do se agreg a en el trayecto d irec to?

Un cero agregado a la Función de Transferencia de Lazo Abierto en el trayecto directo de estesistema típico de segundo orden, tiene el efecto de estabilizar la respuesta transitoria deSistema, mejorando o reduciendo el Máximo Sobreimpulso. El máximo sobreimpulso se

reduce debido a que aumenta el valor del amortiguamiento del sistema . Este incremento de

se produce porque la constante derivativa Kd, aparece tanto en el numerador como en edenominador de la F.T.L.C y en el denominador esta constante incrementa el coeficiente detérmino lineal.

El efecto derivador de (kp+ kdS) en el numerador, ocasiona que disminuya el tiempo decrecimiento del sistema. Un cero aumenta el ancho de banda del sistema, por lo que esistema deja pasar señales de mayor frecuencia. Como los tiempos de crecimiento, retardoetc. son inversamente proporcionales a la frecuencia, el efecto de agregar un cero, originatiempos de crecimiento, retardo, pico, etc. menores.


11/26

10

En el caso de un sistema de segundo orden, el efecto de correr el cero hacia el origenamortigua cada vez más la respuesta, pero disminuye el tiempo de crecimiento tr, el inicio dela respuesta se hace más rápido.

Cuando el sistema tiene polos reales y el cero queda a la derecha de los polos, al contrario deesperar una respuesta sobreamortiguada sucede que la respuesta es de tipo subamortiguadacon un sobreimpulso cuya magnitud depende de la cercanía del cero al origen y de laconfiguración de polos y ceros resultante. Esto se produce por el efecto derivativo.

Para casos de Sistemas de Tercer orden o superior , si la constante kd aumenta mucho, etérmino (Kp + Kd.S) en el numerador (esto se traduce que el cero se acerca al origen), sevuelve más dominante que el término Kd.S en el denominador, esto ocurre, debido a quedicha derivada, se aproxima al efecto de un derivador puro. Como la derivada de un cambioescalón es la función impulso de amplitud infinita en t = 0, la derivada de un cambio bruscoproducido en la señal de error cerca de t=0, da como resultado también una acción de controcon un sobreimpulso excesivo que podría saturar o dañar algún componente, y que a la vez setraduce en una respuesta temporal con un sobreimpulso también elevado. Esto ocasiona queel sobrepaso tras haber sido reducido por algunas posiciones más convenientes del cero, s

el mismo se sigue desplazando más cerca del origen, comienza nuevamente a aumentar y aempeorar las condiciones de estabilidad de la respuesta, por lo que existirá un valor límite dekd, por encima del cual el cero agregado a G(S), comienza a desestabilizar y a empeorar larespuesta del sistema en vez de mejorarla.

Es importante mencionar que todo lo dicho anteriormente, se circunscribe a como sereordene la configuración final de polos y ceros del sistema. Es decir, para sabecuál será la forma final de la respuesta temporal, hay que analizar la ubicación de lospolos y ceros del sistema, ver cuáles son los polos dominantes y cuál es la ubicaciónde los ceros respecto la ubicación de los polos. Muchas veces no ocurre lo esperadosegún lo explicado, porque hay cancelación entre polos y ceros, o porque la

configuración de polos y ceros toma otra distribución distinta a la analizada. Por lotanto para conocer con más presición la forma de la respuesta temporal decualquier sistema de orden n, hay que analizar siempre la configuración de polosy ceros del sistema.

3.2- EFECTO DEL AGREGADO DE UN CERO A LA F.T.L.A EN H(S).

Dado el Sistema original, se agrega un cero en el semiplano izquierdo del plano S en S = -4 enla trayectoria de realimentación obteniéndose el siguiente diagrama en bloques:


12/26

1

24 1

S 2 +2S+1

1(S+4)

4

R(S) = 1/S C(S)

3.2.1)- Simular el sistema con el cero en S = -4, agregado a la función de realimentación H(S)según el diagrama de bloque anterior, con la función TFTPLOT, antes de obtener la gráfica sesugiere colocar un tiempo de simulación de 2seg (utilizar el comando final time). La función detransferencia que debe introducirse es:

258

24

25).4

1.242(

24...

22

S S

S S

C LT F

Habilitar el comando Hold.

3.2.2)- Es interesante comparar el efecto del cero agregado a H(s) y el efecto agregado a G(s)por lo tanto ahora se simulará el sistema con un cero agregado a G(S) en S = -4. La funciónde transferencia que se debe colocar es:

25.8

).624(

)1().2(

).(...

22

S S

S

KpS kd S

S Kd KpC LT F

3.2.3)- ¿Cuáles s on l os e fec tos d el cero agreg ado en el tray ec to d e rea l imentac ión enH(S)?

Observar que el agregado de un cero a H(S), no genera un cero en la Función de LazoCerrado, como ocurre cuando el cero es agregado es a G(S). Por lo tanto solo tiene el efectode aparecer en el denominador, aumentando el coeficiente del término lineal, es deciaumentando el amortiguamiento del sistema. Un cero en H(S), tiene un comportamientosimilar al efecto de agregar un polo al sistema de lazo cerrado, amortiguando más larespuesta, y haciendo más lento su tiempo de crecimiento debido a que no tiene el efectoderivativo producido por el cero. El cero agregado a G(S), aparece tanto en el numeradocomo en el denominador, por lo tanto, comparando su respuesta con la del sistema originasin ningún cero, es mucho más amortiguada que la del sistema original, pero al compararlacon la respuesta del sistema con un cero agregado en H(S), es una respuesta más levantadacon un mayor Mp y con un arranque más rápido (tr menor) producto del cero que actúa comoderivada en el numerador.

Conclus ión General: El agregado de un c ero a la F.T.L.A, causa el efecto deestabi l izar más al sistema, es decir mejorar la respu esta transito ria del m ismo, sel cero se agr ega a G(S), la resp ues ta levan ta más rápid o, co n u n mayosob reimp ulso , y si el c ero es agregado a H(S), la respuesta es aún másamort igu ada y con un mayo r t iempo de crecimiento, porq ue el cero en H(S) noaparece com o un cero de lazo cerrado.


13/26

12

Recordar: Los ceros d e G(S) y los po los de H(S) aparecen com o ceros de laFunción de Transferencia de Lazo Cerrado, pero los ceros de H(S) no form anparte de los ceros d e la Func ión de Transferen cia de Lazo Cerrado .

3.2.4)- En el informe, colocar las Funciones de Transferencias para el cero agregado en G(S) yel cero agregado a H(S), la ubicación de los polos y ceros ( utilizando el comando roots) enambos casos. Presentar todas las gráficas obtenidas y obtener conclusiones.

3.3)- EFECTO DE LA VARIACIÓN EN LA POSICIÓN DE UN CERO AGREGADO EN G(SEN UN SISTEMA DE TERCER ORDEN.

Convertir el Sistema típico de segundo orden, en un sistema de tercer orden, mediante unelemento externo a la planta como es un controlador P.I (proporcional-integral).

Un controlador PI agrega un cero en S= –

KI /Kp y un integrador puro a la Función deTransferencia de Lazo Abierto en G(S) y agrega un polo finito en otro lugar aumentandoel orden del sistema, y agrega un cero en el mismo lugar a la Función de Transferenciade lazo cerrado.

3.3.1)- Simular el sistema y obtener la respuesta temporal, mediante el comando TFTPLOT oPIDESIGN, para este comando recordar que se debe introducir la Función de Transferenciade la Planta y posteriormente elegir un tipo de controlador, en este caso un controlador PI. Sesugiere limitar el tiempo de simulación en un valor aproximado a 30 seg, mediante el comandofinal time (f) antes de graficar, para lograr una mejor visualización de las respuestassuperpuestas para valores altos de kp. Recordar activar el comando hold, en la primer gráficapara realizar gráficas simultáneas.

Se va a considerar el valor de KI constante, KI = 1, la posición del cero agregado se modificavariando solamente el valor de la constante proporcional KP, los mismos son:

S

K K I P 1.2

12

S S

R(s)=1/s C(s)

Recordar : Los ceros de G(S) y los polos de H(S) aparecen como ceros de la Función dTransferencia de Lazo Cerrado, pero los ceros de H(S) no forman par te de los ceros de l

Función de Transferencia de Lazo Cerrado.


14/26

13

KP = 0 cero en -.KP = 0.5 cero ubicado en 2KP = 2 cero ubicado en 0.5KP= 5 cero ubicado en 0.2

Para obtener la ubicación de los polos y ceros del sistema utilizar el comando Poles andZeros del PIDESIGN.

3.3.2)- ¿Quédebem os observar en la var iac ión de la res pues ta del sis tem a cuan do varíala posic ión del cero?

Al variar la parte proporcional del controlador agregado KP, varía la ubicación del ceroagregado en S = - KI/Kp y también varía la ubicación de los polos del sistema según la

ubicación de las raíces de la ecuación característica 0)..1(.2 23

I P K S k S S , quedepende de KP y KI.El siguiente gráfico representa el lugar que van ocupando las raíces de la ecuacióncaracterística del sistema cuando se varía únicamente el parámetro KP para KI constante

2

3 1

= cos

kp

kp


15/26

10

Observar que la respuesta del sistema original sin el cero agregado es mucho más inestablecon un mayor sobreimpulso. Y que el agregado del cero a la Función de Transferencia deLazo abierto, mejora la respuesta transitoria del sistema, disminuyendo el Máximosobreimpulso del Sistema. A medida que el valor del cero disminuye o que Kp aumentadisminuye la parte imaginaria de los polos complejos, disminuyendo el ángulo aumentando

el valor del cos , es decir aumentando el del par de polos complejos conjugados (2 > 1)por lo que el máximo sobreimpulso disminuye. Otra característica que introduce es ladisminución del tiempo de crecimiento del sistema. El agregado de un cero implicamatemáticamente el agregado de una derivada, por lo que su efecto es aumentar la velocidadde arranque de la respuesta.Si el cero agregado se desplaza mucho hacia el origen, es decir KP aumenta muchonuevamente comienza a aumentar rápidamente la parte imaginaria de los polos complejos

volviendo a disminuir el valor de del par complejo (3 < 2), por lo que existe un valor límite deKP por encima del cual se vuelve a aumentar el sobreimpulso del sistema y el transitorio vuelvea empeorar.

El polo real se desplaza también hacia el origen y para un valor grande de K P (KP) se

cancela prácticamente con el cero agregado, quedando así para valores de Kp muy grandeprácticamente un sistema de segundo orden cuyos polos complejos conjugados se disparancon gran rapidez hacia arriba disminuyendo el delta y aumentando el sobreimpulso desistema.

También no se debe perder de vista que con el agregado de un polo en el origen ala F.T.L.A del sistema de segundo orden, se aumenta el tipo y el orden del sistemacon lo que el sistema actual es de tercer orden y tipo uno . Advertir que al quedar unsistema tipo uno, se ha eliminado el error de estado estacionario que anteriormenteexistía, ya que el error se hace cero para un sistema tipo uno cuando la entrada es un

escalón.

3.3.3)- En el informe, colocar las Funciones de Transferencia para cada caso, adjuntar lasgráficas obtenidas para cada valor de KP, indicar en cada caso la ubicación de los polos desistema y del cero agregado. Agregar las conclusiones obtenidas.

3.4)- EFECTO DEL AGREGADO DE UN CERO EN SERIE A LA F.T.L.C

Dado un sistema típico de segundo orden, el cual posee un >1, es decir que las raíces de laecuación característica son reales y distintas, cuya respuesta al escalón unitario es

sobreamortiguada, se pide agregar un cero en el semiplano izquierdo del plano S en S=-1, enserie a la Función de Transferencia de Lazo Cerrado del sistema dado. El diagrama desistema completo con el cero en serie queda:


16/26

1

K LA 1

T1S 2 +T2S+1

R(t) = 1 C(t)

-

(S+1)

Siendo: T1 = 1T2 = 14KLA = 24

)1(.

)1.(

)(

)(...

2

2

1 LA

LA

k S T S T

S k

S R

S C C LT F

3.4.1)- Simular el sistema original, sin el cero con el comando TFTPLOT, introduciendo la

siguiente función de transferencia:

25.14

24

)(

)(...

2

S S S R

S C C LT F

Activar el comando Hold, para congelar la gráfica y poder superponer luego ambasrespuestas.

3.4.2)- Simular el sistema agregando el cero ubicado en S = -1, en serie con el sistema dadomediante el comando TFTPLOT y obtener la respuesta temporal, introduciendo la siguientefunción de Transferencia de Lazo Cerrado del sistema completo:

25.14

)1(24...

2

S S

S C LT F

3.4.3)- ¿Quémodif icac iones se observarán en la res pues ta con el ag reg ado de un cer oen serie con el sistema de lazo cerrado?

Verificar que un cero agregado a la Función de Transferencia de Lazo Cerrado, conefecto dominante, es decir a la derecha de los polos, inestabiliza el sistemaempeorando el estado transitorio del mismo. El cero modifica el transitorio de maneraque lo hace con un arranque más rápido (menor tr) y produce un sobreimpulso debido

al efecto derivativo que posee.Para este sistema, en el cual el

del sistema es mayor a uno y las raíces son reales ydistintas, la salida del sistema sin el cero, corresponde a una respuestasobreamortiguada sin sobreimpulso. Debido a la presencia del cero agregado a laFunción de Lazo Cerrado, la salida del sistema presentará un sobreimpulso mayor, amedida que el cero agregado se aproxime más al origen. El cero finito al acercarse aorigen, tiende a convertirse en un derivador puro, derivando el salto brusco de la señade error, produciendo una respuesta con un máximo sobreimpulso no conveniente.


17/26

12

3.4.4)- Agregar en serie con la F.T.L.C un Cero de Fase no Mínima es decir un cero ubicadoen el semiplano derecho de S en S=1/2 de acuerdo al diagrama de bloques de punto 3.4.Simular el sistema usando la Función TFTPLOT introduciendo la siguiente Función de LazoCerrado.

25.14

)1(24...

2

S S

S C LT F

3.4.5 )- ¿Quése deberá obser var en la res puesta del sis tem a cuan do se agreg a un ceroen serie co n el sis tema de lazo cerr ado d e fase no mínim a?

La salida del sistema tiene un arranque vicioso, es decir comienza en sentido contrario avalor final de estado estacionario, este arranque vicioso se considera como un retardo quetiene el sistema. La cantidad de veces que la respuesta cruza por el eje del tiempo dependede la cantidad de ceros de fase no mínima presentes en la función.

3.4.6)- En el informe, colocar la F.T con la que se está trabajando, presentar una gráfica conlas tres respuestas superpuestas, presentar atributos y obtener conclusiones.

4)- EFECTO DEL AGREGADO DE POLOS A LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DELAZO ABIERTO Y DE LAZO CERRADO.

4.1)- EFECTO DE AGREGAR UN POLO EN SERIE A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIADE LAZO CERRADO.

Dado el siguiente sistema realimentado, con el agregado de un polo en serie con la Función deTransferencia de Lazo Cerrado, ubicado en S=-1/2 se pide:

4.1.1)- Simular el sistema realimentado con el comando TFTPLOT, sin el polo en serie. LaFunción de transferencia del sistema sin el agregado del polo es:

262

26...

2

S S

C LT F

-

+ 26 S +2S

1/ 2 (S+1/2)

R(S) C(S)


18/26

13

4.1.2)- Obtener la gráfica y los atributos de la respuesta. Obtener la ubicación de los polos delsistema de lazo cerrado utilizando el comando Roots. Usar el comando HOLD para luegosuperponer las respuestas.

4.1.3)-Simular el sistema con el polo agregado en serie. La Función de Lazo Cerrado que seobtiene es:

)2

1(*)262(

2

1*26

...2

S S S

C LT F

Se sugiere utilizar el comando pmake([1 2 26],[1 ½]) para introducir el denominador de laFTLC

4.1.4)- Obtener una gráfica con la configuración de polos del sistema utilizando la siguientelínea de comandoso !figure(2), pzmap(26,pmake([1 2 26],[1 1/2]))

4.1.5)- Obtener los atributos y las grafica de la respuesta.

4.1.6)- Experimentar con una nueva posición del polo no dominante y muy alejado del origenen S=-100 simular y obtener conclusiones. Para no variar el valor de estado estacionariointroducir el numerador como: n=26*100, y el denominador como pzmap(26,pmake([1 2 26],[1100])).

4.1.7)- ¿Quése deb e observar en la res pues ta del s is tem a cuan do se ag reg a un po lo en

serie co n la F.T.L.C?

Observar que según sea la posición del polo agregado en serie con la F.T.L.C se dispone deuna alternativa para mejorar la respuesta del sistema. En el primer caso, el polo agregado esreal y dominante, esto hace que la respuesta transitoria del sistema mejore, eliminando esobreimpulso y convirtiendo la respuesta del sistema en sobreamortiguada, las oscilacionessolo se ven montadas en la curva exponencial.

En general el efecto de agregar un polo en serie a la F.T.L.C es mejorar la estabilidaddel sistema, el efecto particular dependerá de donde se ubique el polo agregadorespecto la configuración del resto de polos y ceros del sistema. Si el polo agregado enserie se aleja del origen, el efecto estabilizador se va perdiendo.

4.1.8)- En el informe colocar las Funciones de transferencias obtenidas, las gráficas con lasrespuestas y la ubicación de polos y ceros de los sistemas. Obtener las respectivasconclusiones.

4.2)- EFECTO DE AGREGAR UN POLO A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCI DE LAZOABIERTO.


19/26

14

4.2.1)- EFECTO DE AGREGAR UN POLO A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZOABIERTO EN LA TRAYECTORIA DIRECTA G(S)

Dado el siguiente sistema realimentado con el agregado de un polo a la Trayectoria directa

ubicado en S=-1/Tp se pide:

20252)251(3

20

)(

)(

S S TpTpS S R

S C

4.2.1.1)- Simular el sistema en primer lugar sin el polo, es decir Tp=0 mediante la funciónPIDESIGN del CSAD, introducir la planta solamente y elegir un controlador tipo proporcionacon Kp=1, obtener la posición de los polos de lazo cerrado, los atributos y la respuesta desistema. Utilizar el comando Hold en la gráfica de las respuestas para luego poder superpone

las otras gráficas.

4.2.1.2)- Simular la respuesta del sistema con el agregado del polo en S=-1/Tp, en lassiguientes posiciones: Tp =1 con polo en S= - 1; Tp =2 con polo en S= - 0,5; y Tp=5 con poloen S = -0,2.Introducir el denominador de la planta como pmake([Tp 1],[1 25 0]). Obtener las posiciones de los polos de Lazo cerrado y los atributos en cada caso. Graficar lascuatro curvas de respuestas en forma superpuestas.

4.2.1.3)- ¿Quése deb e obser var en la res puesta del s is tem a cuando se ag reg a un po loen serie co n la F.T.L.A?

Advertir que la adición de un polo a la Función de Trayectoria Directa, tiene generalmente eefecto de empeorar la respuesta transtitoria del sistema aumentando el sobrepaso máximoy en algunos casos volviendo la respuesta totalmente inestable según sea su posición. Amedida que el polo de lazo abierto agregado se acerque al origen mayor es el efectoinestabilizador del mismo. El polo adicionado incrementa el tiempo de crecimiento de larespuesta al escalón unitario. Esto último se entiende estudiando la respuesta frecuencial desistema, ya que el polo agregado tiene el efecto de reducir el ancho de banda (BW), el efecto

1

(1+TpS)

R(S) C(S)

-

20

S(S+25) +


20/26

15

de reducir el ancho de banda se refleja porque se recortan las componentes de alta frecuenciade la señal trasmitida a través del sistema y deja pasar señales de baja frecuencia. Debido aesto, el arranque en la respuesta se hace más lento aumentando el tr.

4.2.1.4)- En el informe colocar las FTLC obtenidas para los diferentes valores de Tp, coloca

las ubicaciones de los polos del sistema y las gráficas de las respuestas obtenidas. Obteneconclusiones.

4.2.2)- EFECTO DE AGREGAR UN POLO A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZOABIERTO EN EL CAMINO DE REALIMENTACIÓN H(S).

Dado el siguiente sistema realimentado con el agregado de un polo en el camino derealimentación, ubicado en S=-1/Tp se pide:

4.2.2.1)- Simular en PIDESIGN, en primer lugar, el sistema sin el polo (Tp=0), introduciendola Función de Transferencia de la Planta, elegir un controlador tipo proporcional con kp=1obtener la posición de los polos y ceros del sistema de lazo cerrado y los atributos de larespuesta. Utilizar el comando Hold en la gráfica de las respuestas para luego podesuperponer las otras gráficas.

4.2.2.2)- A los efectos de comparar la respuesta del sistema con un polo en G(S) y un poloagregado a H(S), usando la función PIDESIGN, superponer a la respuesta del sistema sin e

polo, la simulación de la respuesta del sistema con un polo en S = -0,5 agregado a laTrayectoria Directa para Tp = 2. Para introducir el denominador de la Planta con un ceroagregado a G, se debe colocar pmake([Tp 1],[1 25 0]). Obtener posición de polos y ceros delazo cerrado y atributos.

4.2.2.3)- Sin salir de PIDESIGN, superponer a las curvas anteriores, la simulación de larespuesta del sistema con el polo agregado en H(S) en S = - 0,5 mediante el comandotftplot, colocando como numerador = [40 20] y como denominador = [2 51 25 20]. Obtener la

R(S) C(S)

-

20

S(S+25) +

1

(1+TpS)

20.25512

)21.(20

2025)251(

)1.(20

)(

)(2323

S S S

S

S S TpTpS

TpS

S R

S C


21/26

16

posición de polos y ceros del sistema de Lazo cerrado y los atributos. Editar la Figura decurvas superpuestas, indicando a que consideración corresponde cada caso.

4.2.2.4)- ¿Quése debe pres tar aten c ión en la respues ta del s is tema cuan do se agreg a unpolo en el camino directo G(S) o en el camino de realimentación H(S)?

Notar que un polo agregado a la Función de Lazo Abierto, empeora la estabilidad del sistemaSi el polo se agrega a G(S) el transitorio tiene menor sobreimpulso y levanta en earranque con un mayor tiempo de crecimiento, mientras si el polo se agrega a H(S), larespuesta del sistema es mucho más inestable con mayor sobreimpulso y menor tiempode levantamiento. Esto último se debe a que los polos de H(S) son ceros de la FTLC, y uncero tiene un efecto derivativo en la respuesta produciendo un mayor sobreimpulso y unmenor tiempo de crecimiento, en cambio la F:T con el cero en G(S), no tiene ningún cero enla F.T.L.C, por eso su respuesta es más lenta con un menor sobreimpulso.

5- EFECTO DEL AGREGADO DE POLOS Y CEROS SIMULTÁNEOS.

Si se agrega un par cero-polo a la Función de la Trayectoria directa, donde el cero esdominante, se encuentra hacia la derecha, es decir está más cerca del eje jw y el polo seencuentra por lo menos una década del cero hacia la izquierda, producirán así un efectoestabilizador al sistema. Se recuerda que el efecto de un polo agregado a G(S) es deinestabilizar la respuesta, mientras que el efecto de un cero es estabilizar, como el polo es emenos dominante, el efecto inestabilizador pierde influencia por la acción del efectoestabilizador dominante del cero. Esta configuración se usa para estabilizar la respuesta desistema.

Si se coloca un par cero-polo, donde el polo es más dominante y el cero está distanciadopor lo menos una década del polo hacia la izquierda ubicado en un valor no tan pequeñoocurre todo lo contrario y el efecto es inestabilizador . Domina en la respuesta la accióninestabilizadora del polo más que la acción estabilizadora del cero. Esta configuración no seutiliza.

Para que un polo dominante y un cero a la izquierda del polo no causen un efectoinestabilizador, hay que ubicarlos tan cerca cómo sea posible en valores pequeños, para que

Figura 1: Ubicación de polo y

cero simultáneos de lazo abiertoagregados a G(S) para lograr unefecto estabilizador

Figura 2: Ubicación de polo ycero simultáneos de lazoabierto agregados a G(S) queproducen un efecto indeseadoinestabilizador


22/26

17

el efecto del polo de lazo abierto se cancele con el cero y se anule así el efecto inestabilizadodel polo. En este caso el polo agregado debe ser siempre a G(S), porque si se agrega a H(S)un polo cerca del origen se convierte en un cero cerca del origen de la F.T.L.C y produceefectos derivativos no deseados. Esta configuración de polo dominante y cero cerca del poloen valores pequeños, se utiliza cuando se tiene un sistema con una buena respuesta estable

y se desea mejorar el error de estado estacionario. Un cero cerca de un polo separados unadécada pero lo más cerca posible del origen, aumentan una década el coeficiente de error ydisminuyen en la misma proporción el valor del error de estado estacionario. Estaconfiguración se denomina compensación de atraso.

De todo lo dicho anteriormente como conclusión final, la forma y valores definitivos de larespuesta del sistema lo determinan la ubicación del cero y/o polo agregados respecto laconfiguración restante de polos y ceros del sistema.

6).- ANALISIS DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA ACTUANDO COMO MAL SEGUIDOR Y MAL REGULADOR FRENTE A UNA ENTRADA DE PERTURBACIÓN.

6.1)- Agregar al sistema de segundo orden una segunda entrada, actuando cómo perturbaciónexterna del tipo escalón de valor 3 aplicada a partir de los 10 seg, para analizar ecomportamiento del sistema, actuando como un Regulador Imperfecto.

kp = 24

1

S2+2S+1

R(t) = 1 C(t)

-

P(t) = 3

aplicada a partir de los

10 seg

¿Quédeb emos tener en cuen ta a cerca del erro r de es tad o es tac ionar io de un sis tem apara anal izar su respuesta para analizar lo como regulador?

Figura 3: Ubicación de polo y cero simultáneosde lazo abierto agregados a G(S) que producenun aumento de una década del coeficiente deerror, disminuyendo en una décima el error deestado estacionario. Se utiliza cuando la

respuesta es estable y se necesita disminuir elerror.


23/26

1

La salida del sistema para la entrada de perturbación p(t) (considerando r(t) = 0), trata deseguir a la entrada de perturbación, generando luego de un transitorio un error de estadoestacionario distinto de cero medido desde el valor de estado estacionario que tenía lasalida antes de ser aplicada la entrada de perturbación . Es decir la referencia respecto la

cual se mide el error de estado estacionario para la salida parcial originada por la entradaperturbación, no es desde cero, sino respecto al valor de la salida en estado estacionario quetenía el sistema antes de aplicar la perturbación.Dicho de otra forma, para un sistema que actúa como regulador , el error ya no se calculacomo en el caso de un sistema seguidor con los coeficientes estáticos de error. Si no que semide como el apartamiento de la salida bajo la acción de la perturbación respecto el valor quetraía la salida en estado estacionario antes de aplicar la perturbación. Ese error para unperturbación repentina tipo escalón, coincide con el valor de estado estacionario calculadopara la salida parcial C2(t) obtenida de anular R(t) ,(R(t) = 0) y considerar solamente Q(t), esdecir de aplicar el principio de superposición. Para nuestra Sistema:

)(.)(202

S C S límt C límeS t SS

Aplicando el Principio de Superposición y anulando R(t) el diagrama de bloques queda:

1

S2+2S+1

C(t)

-

kp = 24

P(t) = 3

La Función de Transferencia parcial para la entrada P(t) es la siguiente:

25.2

1

)(

)(..

2

2

0)(

S S S P

S C T F S R

Por lo tanto:

12.025

33*

25.2

1.)(.)(

2202

S S S S S C S límt C líme

S t SS

C2(t)

S S S S P

S S C S

3*

25.2

1)(*

25.2

122)(2


24/26


25/26

20

(kp+kI) s

1

S2+2S+1

R(t) = 1 C(t)

- kp = 0.1KI = 1

P(t) = 2

aplicada a los 50 seg

Aplicando el Principio de Superposición, anulando la entrada R(t) (R(t) = 0), el diagrama deBloques queda:

I P

S S R

K S K S S S

S P C S T F

).1(.2)()(.

23

)(20)(

Procediendo igual que en el punto 7, el error de estado estacionario para la entradaperturbación quedará:

.0*22

*)1(.2

.)(.)(023202

I

S

I P

S t SS K

S límS K S K S S

S S t C S límt C líme

¿Quécons iderac iones cam bian en la Fu nc ión de Tr an sfer enc ia par a la en trad aperturbación anulada la referencia cuando se agrega un in tegrador antes del sumado

por d ond e ingresa la perturbación t ipo escalón?

Se puede concluir que si el sistema tiene un polo en el origen antes del sumadodonde entra la perturbación, al encontrar la función de transferencia parcial, apareceun cero en el origen en el numerador , que para s 0, anula la salida parcial C2(tvolviendo la salida total C(t) al valor de estado estacionario que traía antes de seaplicada la perturbación.

1

S 2 +2S+1 P(t) = 2

-

(k +kI /s)

kp = 0.1 KI = 1

C2(S)


26/26

2

¿Quéconc lus iones po dem os ab ordar de la respuesta del sis tem a actuan do comoregulador perfecto?

El sistema luego de aplicada la perturbación se aparta temporáneamente del valodeseado, pero luego de ese transitorio, el error para la entrada perturbación cae a cero

volviendo la salida total al valor de estado estacionario que tenía antes deaparecer la perturbación. Bajo este comportamiento se puede decir, que el sistema nosigue a la perturbación y reacciona como un Regulador Perfecto.

7.2)- Simular el sistema mediante la aplicación simulink , con el mismo circuito anteriorcambiando el controlador, la magnitud y el tiempo de aplicada la perturbación. Obtener larespuesta desde matlab con el comando plot (t,y,t,r) .

7.3-- Colocar las gráficas en el informe con sus respectivos títulos, valor de las constantesvalor de perturbación y obtener conclusion

Documents

practica1gabinete.pdf