PRACTICA CALFICADA 1- GRUPAL DE FUNCIONES ANALITICAS UNMSM/FIEE 2015-II

PRACTICA CALFICADA 1- GRUPAL DE FUNCIONES ANALITICAS UNMSM/FIEE 2015-II

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA1. Problema

Sol:1.2........... Restando 1 y 2.

3..........4...... Multiplicando 3 y 4.

El resultado de 3 por 4 es igual a la resta de 1 y 2Reemplazando

2. Problemas

a)

demostrar que s y solamente si Solucin

Sea: entonces.

, adems.

Y

Partimos de que: como podemos sumar a ambos miembros y no afecta a la desigualdad.

, elevamos al cuadrado ambos miembros.

, sumamos un nmero positivo a ambos miembros.

, sacando raz cuadrada a ambos miembros.

, entonces tenemos.

b)

demostrar que si e , entonces Solucin: Sea:

, Por dato

Partimos deduciendo que;

, les sumamos a ambos miembros, entonces.

, ahora elevamos al cuadrado.

Sumamos arbitrariamente un nmero positivo a ambos miembros, para nuestra conveniencia sumamos , tenemos.

, sacamos la raz cuadrada.

1Relacionando con los nmeros complejos dados notamos que:

, sacamos modulo a cada uno, entonces.

Reemplazando en 1 tenemos:

Entonces

, por lo tanto

c)

demostrar que los dados los nmeros complejos , Sabemos por teora que:

Entonces:

m

..nAhora restamos m y n

=

=

=

=

=

, entonces.

3. Problemas

PROBLEMA 3

a) Encontrar las races de i

RESOLUCION Sea z = a+bi Por comparacin z = -i = 0-i

Se observa que Re (z)= a = 0 Z es un complejo imaginario puro.

Su argumento se obtiene al graficar en el plano el punto (0, -1)

-1De la grafica se observa que:

Hallando su modulo:

Recordar el teorema

Para todo K=0, 1, 2,.., (n-1).

Entonces al reemplazar los valores se obtiene

Hallando las races:

Por lo tanto las races de i

b) Calcular los valores ms prximos de al eje imaginario.

RESOLUCION

Recordar que

En nmeros complejos:

Lo que nos piden seria:

Recordare l teorema

Para todo k=0, 1, 2,., (n-1)

Hallando el modulo y el argumento de

Y Reemplazando los valores:

Forma general

Los valores ms prximos al eje imaginario se obtienen calculando la distancia de dichos puntos hacia dicha recta.

Distancia de un punto hacia una recta

La recta imaginaria tiene por ecuacin X=0, al remplazar los valores de A y B resulta:

Las distancias de los puntos hacia el eje imaginario:

Por lo tanto los valores ms prximos son los puntos p3 y p7.

c) Si interpretar geomtricamente la transformacin

RESOLUCIN

Sean y z que pertenecen a los complejos, entonces resulta que:

Tenemos que Y al expresar en forma exponencial compleja, se tiene que:

Al multiplicar ambos nmeros complejos resulta:

El cual es un numero complejo (punto o vector) que se obtiene al hacer girar un ngulo (y centro en el origen).

Representacin geomtrica de Z=(a+bi)

Ahora

Se observa que tanto z como z tienen la misma longitud esto debido a que el modulo de es 1 y que entre ellos hay una separacin , es decir que z ha girado un ngulo = arg ()

4. Problema

a) Calcular la imagen de mediante la transformacin b) Calcular el conjunto de puntos cuya imagen mediante la misma transformacin es c) Calcular mediante la misma transformacin la imagen del semiplano superior abierto.

A) Sabemos que ... (1)...(2)

2.blemaemasado, ervido

B)

Sabemos que .... (1)...(2)

c) semiplano superior abiertoY

X

Sabemos que .... (1) ...(2)

5. Problema

Solucin:Dado que:

Esto implica:

Caso 1

Caso 2, pero

Caso 3, pero En cualquier caso:

Sean las gradientes:

El producto escalar de las gradientes ser:

La funcin debe cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann

Reemplazando en I se tiene:

Por lo tanto se comprueba que las gradientes son ortogonales entre s, lo que implica que las funciones y

6. Problema

Solucin.

Sea un polinomio de Hurwitz, podemos escribir

Con para todo k = 1,2,, n.

Hallemos el cociente :

Sea tal que y supongamos que . En este caso, y por consiguiente . Esto ce deduce del hecho que si con entonces , es decir y tienen el mismo signo.

Entonces

Es decir, si con entonces es distinta a cero y en consecuencia (z no es raz de ). Las races de tiene por tanto parte real negativa.

7. Problemas

a) Calcula la parte real e imaginaria de donde z E C / (i;i)Solucin. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos para ello z = x + iy con x; y E R. Tenemos que

Luego:Re:Ima:

b) Calcula

Como lo que nos piden es el mdulo no es preciso realizar las operaciones indicadas. Basta tener en cuenta que el mdulo de un producto es el producto de los mdulos y, por tanto, el mdulo de un cociente es el cociente de los mdulos. En consecuencia:

=

c) Calcula los nmeros complejos z tales que w = a) Es un nmero realb) Tiene mdulo 1

Por tanto, w es real si, y slo si, y = x =! 1, es decir, z est en la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero y z =! -(1+i)Es claro que I w I D=1 si, y slo si

Es decir, z est en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto.

8. Problemas

A. Calcula los nmeros complejos z tales que a) Tiene argumento principal igual a /2b) Tiene argumento principal igual a -/2Solucin:Pongamos z = x + iy con x, y IR. Como: Deducimos que arg w = /2 si, y solo si, e y < 0. Como Deducimos que arg w = /2 cuando z est en la semicircunferencia de centro (5/4,0) y radio que est contenida en el semiplano inferior. Tambin deducimos que arg w = -/2 cuando z est en la semicircunferencia de centro (5/4,0) y radio que est contenida en el semiplano superiorB. Calcular las soluciones de la ecuacin Solucin:

Si:

Entonces:

Calculando las soluciones:

= 2.6779 rad

= 5.176 rad

9. Problemas

RESOLUCIN

10. Problemas

Demostracin:|x+y |2=|(x+y)|2=(x+y)2=x2+2xy+y2

x2+2xy+y2x 2+2 |x.y|+y2=|x|2+2|x|.|y|+|y|2=(|x|+|y|)2

Por lo tanto:|x+y |2(|x|+|y|)2 |x+y ||x|+|y|A continuacin pasaremos a resolver el primer apartado de la pregunta diez con el fundamento terico dado:Pruebe la desigualdad:a. ||z|-|w|||z-w|Solucin:Sean z y w dos nmeros complejosDando forma a:Z |Z|=|W+(Z-W)| ..... (1) Por la desigualdad triangular |Z+W||Z|+|W|Se tiene que:|Z|=|W+(Z-W)||W|+|Z-W||Z|-|W||Z-W|...(1)|W|= |Z+(W-Z)||Z|+ |W-Z|Pero:|Z|+ |W-Z|= |Z|+ |Z-W||W|- |Z| |Z-Y|-(|Z|-|Y|)|Z-W|A toda la expresin resultante le multiplicamos por (-1):|Z|- |Y|-|Z-W| ...(2)

De las expresiones (1), (2) y aplicando el teorema de la desigualdad triangular, concluimos que:

-|Z-W||Z| - |Y||Z-W|

Sabemos que:|x|a-axaPor lo tanto:||Z|-|Y|| |Z-W|a. |z+w|12(|z|+|w|)|z|z|+w|w||SolucinElevamos al cuadrado la expresin inicial:(z+w)2(12(|z|+|w|)|z|z|+w|w||)2

|z+w|2- 14(|z|+|w|)2|z|z|+w|w||20 ...()La expresin () es lo que finalmente demostraremos Sea :|z+w|2- 14(|z|+|w|)2|z|z|+w|w||2=AA = |z|2+|w|2+z.w+w.z-14(|z|+|w|)2|z|z|+w|w||2

A =|z|2+|w|2+2Re(z.w)-14(|z|2+|w|2+2|z||w|)1(2+2Re(z.w)|z||w|)

A = |z|2+|w|2+2Re(z.w)-12|z|2-12|w|2-|w||z|-12(|z|2+|w|2+2|z||w|Re(z.w)|z||w|)

A= 12(|z|2+|w|2- 2|z||w|)+2Re(z.w)|z||w||z||w|- 12(|z|2+|w|2+2|z||w|Re(z.w)|z||w|)

A=12(|z|-|w|)2- 12(|z|2+|w|2- 2|z||w|)Re(z.w)|z||w|

A=12(|z|-|w|)2(1- Re(z.w)|z||w|) 0Esto se da porque:Re(z.w) |z||w|=|z||w|

La igualdad se da si, y solo si:|z|= |w| o Re(z.w)=|z||w| , lo que equivale z.w= a R+ ; es decir z y w estn en una misma semirrecta a partir del origen, o sea, que tengan los mismos argumentos.Finalmente se cumple:|z+w|2- 14(|z|+|w|)2|z|z|+w|w||20

11. Problemas

Se cumple por la frmula de Moivre lo siguiente que para toda z = a+bi y n entero positivo = (Cosn + Senn), entonces del nmero complejo 1 + i:r = ||z|| = = y = arc.tg(1) = Por lo tanto: = (Cos + iSen) = ( + i) = ( + i) = + i = + i = 4096 + 4096i

Se cumple por la frmula de Moivre lo siguiente que para todo z = a+bi y n entero positivo = (Cosn + Senn), entonces del nmero complejo + i:r = ||z|| = = 2 y = arctg() = Por lo tanto: = (Cos + iSen) = ( + i) = . + i = 11.9x + 6.87xi

(

Sea z = , le multiplicaremos por (-1-i) al numerador y al denominador.

z = =

z = - i

Se cumple por la frmula de Moivre lo siguiente que para todo y n entero positivo , entonces del nmero complejo z = - i

r = ||z|| = y de donde 4to cuadranteEs decir = 2 , donde tg = entonces: = = 2 = Por lo tanto:( = (Cos + iSen ) = (Cos38+ iSen38) = (1 + i0) = 4096i

12. Problema

Haciendo uso de la frmula de Moivre prueba que:a) -Sabemos

Adems por el binomio de newton:

Procedemos:

Desarrollando el binomio

b)

Desarrollando el binomio

c)

Desarrollando el binomio

13. Problemas

Sean n N, n 2 y , donde un numero entero m Z, calcule el valor de las experiencias. Si a)

Como:

Remplazando w en la ecuacin se tienen

Por MOIVRE:

Por EULER:

b)

Como:

Remplazando w en la ecuacin se tienen

Por MOIVRE:

Por EULER:

14. Problemas

Recordemos que por factorizacin:

De aqu obtenemos la respuesta de la letra b) :

En (*) :

Le daremos la misma forma que tiene el enunciado:

Aplicamos suma de ngulos en el coseno:

De aqu obtenemos la respuesta de la letra a) :

15. Problema

a.

Si son vrtices de un tringulo equiltero, entonces cada uno debe estar girado un ngulo de radianes respecto de otro. Sabemos que multiplicar por un complejo, de mdulo 1 es un giro de amplitud igual a . Definamos . Los tres vrtices los podemos escribir como y, por tanto:

Supongamos ahora que , y que . Para probar que dichos nmeros son vrtices de un tringulo equiltero, lo que vamos a hacer es comprobar que son las races cbicas de un nmero complejo. Es decir, se trata de probar que hay un nmero tal que son las races de la ecuacin polinmica . Para esto es necesario y suficiente que el producto puede escribirse en la forma . Tenemos:

=

Poniendo , lo que hay que probar es que . Todava no hemos usado la hiptesis de que . Vamos a usarla ahora para intentar sacar factor comn en la suma la expresin . Tenemos que:

Pues 1 + 2 + 3 = = 0.

b.

Tomamos el baricentro y circuncentro en el origen de coordenadasPor dato tenemos:

Sea:

Entonces

, por la identidad trigonomtrica sabemos.

, reemplazando.

, entonces

16. Problema

Si 0 arg w- arg z < , pruebe que el Area del tringulo de vrtice 0, z, w viene dada por dada por .

RESOLUCIN

Haremos tambin una lista de las propiedades bsicas del argumento. arg(zw) = arg z + arg w arg = arg z arg warg( ) = arg = arg z arg() = n arg z.

Siendo A el Area del tringulo, entonces decimos:

A =

Hallando el Area por medio de la propiedad trigonomtrica, ver Grafico.A= IwIIzI . por el grafico tambin tenemos , reemplazando en .

A= IwIIzIPor argumento sabemos, siendo a , b y c Se cumple que IcI= IaIIbI , arg c = arg a + arg b (1)Por el teorema arg = arg z (2)Tambin (3)Por el teorema .. Reemplazando en con los Teoremas (1) , (2) y (3)

Tenemos que:

multiplicamos x

17. Problema

a)

Por propiedad de los logaritmos:

b)

c)

d)

18. Problemas

a) Resolver la ecuacin: y clasificar los puntos de adherencia del conjunto de soluciones de dicha ecuacin.Se sabe que el coseno de un nmero complejo puede ser expresado de la siguiente manera:

Para el dato del problema: Despejando:

Si multiplicamos ambos lados por el factor , se tiene:

Si hacemos el cambio de variable , reemplazando en la ecuacin (1):

La ecuacin (1) se transforma en una ecuacin de segundo grado:

Comparando con la ecuacin (2) con la ecuacin (3), se tiene:

Recordando la formula general para obtencin de races:

Reemplazando en la formula general:

Pero :

Tomando logaritmo natural a ambos lados:

Pero z al ser un complejo, el proviene del logaritmo natural de un nmero complejo que solo consta de parte real, recordando el logaritmo natural de un complejo:

Para nuestro caso:

Donde: ; Reemplazando en la ecuacin (5):

Reemplazando en la ecuacin (4):

Si graficamos z, para valores de k, se tiene:

Los puntos de adherencia del conjunto solucin sern aislados, ya que alrededor de cada punto no existe solucin para la ecuacin.

b) Expresa en la forma el nmero complejo

Si reducimos el nmero complejo multiplicando por la conjugada del denominador, se tiene:

Recordando las formas de expresar un nmero complejo:

Donde:

Para nuestro caso:

El nmero complejo z se puede expresar de la siguiente manera:

Como se quiere:

Entonces se tiene:

c) Encuentra la parte real y la parte imaginaria de:

Recordando las formas de expresar un nmero complejo:

Donde:

Si:

Para

Reemplazando:

Para

Reemplazando:

Reemplazando los valores de y en la ecuacin , se tiene:

Multiplicando por la conjugada del denominador, se tiene:

19. Problemas

Encuentra todos los nmeros complejos z tales que . Luego expresa comoproducto de factores cuadrticos con coeficientes reales.

Sea y . Verifica que:

Si usamos la determinacin principal del logaritmo.

RESOLUCIN

Entonces para k=0, 1, 2, 3, 4,5

=>

=>

=>

=>

=>

=> Expresamos en factores cuadrticos con coeficientes reales

]

Luego nos piden demostrar: Si: y

Verifiquemos si se cumple la desigualdad:

20. Problemas

a)

Solucin:Sabemos por definicin de logaritmo de una funcin compleja.

Sea , entonces:

, donde:

En el problema sea , entonces.

3+3i

Ahora:

b)

Solucin:

Sea: Por definicin de logaritmo de un complejo tenemos.

, donde

Para k=0

, entonces.

..

Luego sea , entonces

, reemplazamos en

, por lo tanto

Determine todas las soluciones de las dos ecuaciones.1. .Solucin:

Podemos escribir de lo forma.Por diferencia de cuadrados.

, entonces.

2.

Solucin

Podemos escribir de lo forma.Entonces.

, entonces.

21. Problemas

c)

Solucin:Sabemos por definicin de logaritmo de una funcin compleja.

Sea , entonces:

, donde:

En el problema sea , entonces.

3+3i

Ahora:

d)

Solucin:

Sea: Por definicin de logaritmo de un complejo tenemos.

, donde

Para k=0

, entonces.

..

Luego sea , entonces

, reemplazamos en

, por lo tanto

Determine todas las soluciones de las dos ecuaciones.3. .Solucin:

Podemos escribir de lo forma.Por diferencia de cuadrados.

, entonces.

4.

Solucin

Podemos escribir de lo forma.Entonces.

, entonces.

22. Problemas

a) b) Resolver en C la siguiente ecuacin. c) Solucin.a)

b)

c)

23. Problema

1) Pruebe que en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben como

Sea una funcin analtica, entonces:

Luego:

Pero:

En (1), (2), (3) y (4):

De las ecuaciones de CAUCHY - RIEMANN:

Luego:

Adems:

Entonces:

2) Pruebe que en notacin compleja las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben como

Sea una funcin analtica, tal que est definido , entoncesDe las ecuaciones de CAUCHY RIEMANN:

:

Se sabe:

En el problema:

24. Problemas

RESOLUCIN

De 1 y 2:

De igual manera:

Si tomamos que: z= x+iy, entonces:

Aplicando regla de la cadena a una funcin F de dos variables, deducimos la frmula:

Luego obtenemos el siguiente operador:

Ahora definimos una funcin f(z):

Tal que reemplazndola en el operador anterior obtenemos el siguiente resultado en el que usamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann obteniendo:

25. Problemas

a) Hallar todas las races de la ecuacin , igualando sus partes reales e imaginarias.Solucin del problemaSabemos y

Ahora tenemos:

= , simplificando los denominadores

, multiplicando ambos lados por , haciendo un cambio de variable (1)

Tenemos una ecuacin de segundo grado, donde:*Primera solucin:

=

Reemplazando esta solucin en la ecuacin: =

; Por lo tanto no cumple la ecuacin, no es vlido.*Segunda solucin:

Reemplazando en (1)

Reemplazando esta solucin en la ecuacin: =

Por lo tanto si cumple la ecuacin

La solucin es

b) Demostrar que si Re (z1)>0 y Re (z2)>0,Sabemos para algn entero k.Desde Re (z1)>0 y Re (z2)>0, y Y por lo tanto , -1C son llamadas ecuaciones de cauchi rienmanDef 1.2Sea g(Z) una funcin compleja tal que g: D c C -> C si gxx +gyy=0entonces la funcin g es llamada asimtrica en D(a)sea g=uv luego veamos si es armonico en NComo F(z)=u(Z)+iv(Z) es analtica en N cumplen las condiciones de cuachi rienman en N es decir:uxx=vy y uy=-vx..(1)entonces de aqu como g=uvgx=uxv+uvx -------- gy=uyv+uvygxx=(uxv)x +(uvx)x --- gyy =(uyv)y+(uvy)ygxx=uxxv+uxvx+uxvx+uvxx --- gyy=uyyv+uyvy+uyvy+uvyyentonces::) gxx=uxxv+2uxvx+uxvx+uvxx : ) gyy=uxxv+2uyvy+uvyygxx+ gyy= uxxv+2(uxvx+ 2uyv)+ uvxx + uvyy+ uyyv (1)

Como por (1)ux=vy y uy=-vyuxvx=-uyvy uxvx+uyvy=0 .(2)Reemplazando (2) en (1) tenemos:gxx+ gyy= uxxv+uvxx+uvyy++ uyyv =(uxx+uyy)v+u(vxx+vyy)(3)Usamos aqu 1 definicion y 1 teoremaDef 1.3Sea F(Z)=u(z)+iv(z) tal que F:D c C C si F cumple:Uxx+uyy=0Vxx+vyy=0 F s armonica en D

Teorema 1.2 Si F :D c C -> C/ F(z)=u(Z)+iv(z) es analtica en D F es armnica en Ojo:Regresando al problema (a)Como F es analtica en N F es armonica en N luego por la definicin 1.3Uxx+uyy=0 y vxx+vyy=0 ..(4)

Reemplazando (3) en (4)gxx+gyy=0g es armonica y por definicin 1.2demostrar que f(z)=0 donde f(z)==ux+ivxluego como h(z)=u2 es armonico en N por definicin 1.2hxx+hyy=0 ..(1)luegohx=2uux hy=2uuyhxx=2(ux)2 +2uuxx .(2) hyy=2(uy)2+2uuyy(3)entonces reemplazamos (2) y (3) en (1)Fp 2(ux)2 +2uuxx +2(uy)2+2uuyy=0Operando

u(uxx+uyy)+ (ux)2+ (uy)2=0 ..(5)como F es analtica por teorema 1.2 F es armonico y por definicin 1.3(4) uxx+uyy=0 y vxx+vyy=0Usamos (4) en (5) tenemosU(0)+ (ux)2+ (uy)2=0(ux)2+ (uy)2=0Fp ux=0 y uy=0Como F es analtica, por 1.1y observacin 1.2Fp ux=uy y uy=-vx .. de (6)Fp vy=vx=0

30. Problema

DESARROLLO:i. a) Asumimos: y Por Cauchy-Riemann:

Se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:y

Ahora ser diferenciable en z=0

Analizamos 3 puntos: Cuando x=0, y =0, x=yCuando x=0:

Cuando y=0

Cuando x=y

Lo tres valores son diferentes

ii.

a) Asumimos: y b) Por Cauchy-Riemann:

Se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:y

Ahora ser diferenciable en z=0

Cuando x=0:

Cuando y=0

Cuando x=y

Lo tres valores son diferentes

FUNCIONES ANALITICAS 2015-II Prof. Ral P. Castro Vidal