pouzdanost

Rifat M. Ramovi

Workstation

Workstation IBM Compatible

Workstation

Satellite dish

Radio tower

Satellite dish

Satellite dish

!!!

!!!

PPOOUUZZDDAANNOOSSTT SSIISSTTEEMMAA EELLEEKKTTRROONNSSKKIIHH,, TTEELLEEKKOOMMUUNNIIKKAACCIIOONNIIHH II IINNFFOORRMMAACCIIOONNIIHH

Beograd 2005. god.

Dr Rifat M. Ramovi, prof.

POUZDANOST SISTEMA ELEKTRONSKIH, TELEKOMUNIKACIONIH I INFORMACIONIH

Recezenti: Dr Vitomir Milanovi, prof.

Dr Slavko Pokorni, pukovnik, prof. Dr Zoran Petrovi, prof.

Izdava: Katedra za Mikroelektroniku i tehniku fiziku

Tehnika obrada: Nemanja Lj. okovi, dipl. ing.

Beograd 2005. god.

PREDGOVOR

Razvoj teorije pouzdanosti rezultat je velikog tehniko-tehnolokog napretka u dvadesetom veku. Vremenom, sve sloeniji sistemi preuzimali su u automatizovanim procesima sve vei broj ljudskih obaveza. Jasno je da su ti sistemi morali da zadovolje odreene kriterijume po pitanjima ispravnog rada, eksploatacije i odravanja. Dakle, bilo je potrebno dati odgovore na pitanja kvantitativne ocene pouzdanosti jednog sistema (ili ureaja), kao i na pitanja kako pouzdanost komponenti i odravanje sistema utie na rad istog. Moe se rei da je teorija pouzdanosti svoj najvei razvoj doivela kroz elektrotehniku. Glavni razlozi za to lee u injenicama da je u elektrotehnici najlake vriti merenja pouzdanosti i uporeivati sa teorijskim predvianjima. Takoe, poto su elektronske naprave generalno sastavljene od mnogo vie komponenti nego, recimo, mehanike, jasno je da je za njih potrebniji i mnogo sloeniji proraun pouzdanosti. Korienjem matematike otkrivene su nove metode koje omoguavaju da pri projektovanju, izradi i eksploataciji elemenata sklopova se postigne zavidan nivo pouzdanosti. Nagli razvoj informatike i pojava veoma monih raunara omoguile su izvoenje izuzetno sloenih simulacija funkcionisanja sistema.

Pouzdanost kao nauna disciplina se ve dugi niz godina neguje na Elektrotehnikom fakultetu u Beogradu. Formirano je i nekoliko kurseva (predmeta) koji tretiraju problematiku pouzdanosti kao to su: Pouzdanost mikroelektronskih naprava, Pouzdanost i efektivnost tehnikih sistema, Pouzdanost i raspoloivost telekomunikacionih sistema, Pouzdanost telekomunikacionih mrea i drugi.

Autor ove knjige izvodio je i izvodi nastavu iz navedenih predmeta i ima veliko iskustvo iz analize pouzdanosti tehnikih sistema. Uraen je odreeni broj projekata i objavljeno vie naunih radova iz modelovanja pouzdanosti i raspoloivosti telekomunikacionih sistema. Izbor materijala za knjigu baziran je na steenom iskustvu, a prilagoen je nastavnom planu predmeta Pouzdanost sistema (elektronskih, telekomunikacionih i informacionih) koji e se po najnovijem nastavnom planu i programu (usvojenom 2005. god.) predavati na zavrnim godinama redovnih (dodiplomskih) studija. Meutim knjiga moe korisno posluiti irokom krugu ljudi koji se zanimaju za problematiku pouzdanosti tehnikih sistema.

Koristim priliku da se zahvalim recezentima prof. dr Vitomiru Milanoviu, prof. dr Slavku Pokornom, pukovniku i prof. dr Zoranu Petroviu na struno obavljenoj recenziji i korisnim sugestijama pri izradi knjige. Takoe se zahvaljujem dipl. ing. Nemanji okoviu za kvalitetnu tehniku i strunu obradu.

Biu zahvalan svima koji mi ukau na propuste, greke i nedostatke ove knjige.

Beograd 2005. Autor

Sadraj

i

SADRAJ

1. UVOD......................................................................................................................................................................... 1

2. POKAZATELJI POUZDANOSTI.......................................................................................................................... 5 2.1. Odreivanje pokazatelja pouzdanosti................................................................................................................. 5 2.2. Funkcije raspodele otkaza, pouzdanosti i gustine otkaza................................................................................... 7 2.3. Funkcija intenziteta otkaza................................................................................................................................. 7 2.4. Oekivano vreme bezotkaznog rada ................................................................................................................... 9 2.5. Funkcija intenziteta otkaza i vek trajanja sistema............................................................................................ 10

3. OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA................................................................................................................... 12

4. NEKI ZAKONI RASPODELE SLUAJNIH VELIINA KOJE SE KORISTE U TEORIJI POUZDANOSTI ......................................................................................................................................................... 17

4.1. Sluajni dogaaj. Verovatnoa dogaaja. Sluajne veliine i zakoni njihove raspodele................................. 17 4.1.1. Funkcija raspodele. Niz raspodele ........................................................................................................... 18 4.1.2. Gustina raspodele..................................................................................................................................... 20 4.1.3. Brojne karakteristike sluajnih veliina ................................................................................................... 21

4.2. Neki kontinualni zakoni raspodele pojvljivanja otkaza .................................................................................... 24 4.2.1. Eksponencijalna raspodela ....................................................................................................................... 24 4.2.2. Normalna raspodela ................................................................................................................................. 26 4.2.3. Lognormalna raspodela............................................................................................................................ 30 4.2.4. Vajbulova raspodela................................................................................................................................. 33 4.2.5. Gama raspodela........................................................................................................................................ 35 4.2.6. Beta raspodela.......................................................................................................................................... 38 4.2.7. Studentova raspodela ............................................................................................................................... 40 4.2.8. Fierova raspodela, Snedekorova raspodela............................................................................................ 41

4.3. Neki diskretni zakoni raspodele za proraun pouzdanosti ............................................................................... 41 4.3.1. Binomna raspodela................................................................................................................................... 41 4.3.2. Poasonova raspodela ................................................................................................................................ 44 4.3.3. Geometrijska raspodela............................................................................................................................ 45 4.3.4. Hipergeometrijska raspodela.................................................................................................................... 46

5. ODREIVANJE ZAKONA RASPODELE NA OSNOVU EMPIRIJSKIH PODATAKA.............................. 47 5.1. Odreivanje zakona raspodele grafikim metodama ....................................................................................... 47

5.1.1. Odreivanje zakona raspodele na osnovu empirijske funkcije raspodele (metodom konstrukcije histograma) ........................................................................................................................................................ 47 5.1.2. Odreivanje funkcije raspodele verovtnoe primenom papira vervoatnoe ............................................ 49

5.2. Odreivanje zakona raspodele analitikim metodama..................................................................................... 54 5.2.1. Odreivanje zakona raspodele metodom momenata................................................................................ 54 5.2.2. Odreivanje zakona raspodele metodom maksimalne verodostojnosti.................................................... 54

5.3. Odreivanje tanosti parametara raspodele .................................................................................................... 55

6. ANALIZA POUZDANOSTI DVOSTACIONARNIH SISTEMA...................................................................... 58 6.1. Metode odreivanja pouzdanosti vremenski nezavisniih sistema..................................................................... 58

6.1.1. Pouzdanost u sluaju redne veze blokova pouzdanosti............................................................................ 58 6.1.2. Pouzdanost u sluaju paralelne konfiguracije blokova pouzdanosti ........................................................ 59 6.1.3. Pouzdanost u sluaju kombinovane konfiguracije blokova pouzdanosti ................................................. 61 6.1.4. Odreivanje pouzdanosti metodom rastavljanja ...................................................................................... 63 6.1.5. Pouzdanost u sluaju modela r od n ..................................................................................................... 64 6.1.6. Pouzdanost u sluaju pripravnosti............................................................................................................ 66

Sadraj

ii

6.2. Metode odreivanja pouzdanosti vremenski zavisnih sistema.......................................................................... 67 6.2.1. Pouzdanost u sluaju redne konfiguracije elemenata............................................................................... 67 6.2.2. Pouzdanost u sluaju paralelne konfiguracije elemenata ......................................................................... 69 6.2.3. Pouzdanost u sluaju pripravnosti............................................................................................................ 71

7. ANALIZA POUZDANOSTI SISTEMA SA VIESTACIONARNIM ELEMENTIMA.................................. 77 7.1. Pouzdanost u sluaju viestacionarnih vremenski zavisnih elemenata ............................................................ 86

8. EFEKTIVNOST SISTEMA I POKAZATELJI EFEKTIVNOSTI.................................................................... 88 8.1. Koncepti efektivnosti sistema............................................................................................................................ 88 8.2. Pokazatelji efikasnosti sistema ......................................................................................................................... 90 8.3. Vremenske kategorije efektivnosti sistema ....................................................................................................... 93

9. PRORAUN POUZDANOSTI KOMPONENATA SISTEMA METODOM MIL - HDBK- 217D................ 95 9.1. Opte napomene ............................................................................................................................................... 95

9.1.1. Osnovna podela........................................................................................................................................ 95 9.1.2. Faktor kvaliteta ........................................................................................................................................ 96 9.1.3. Faktor amibijenta ..................................................................................................................................... 96 9.1.4. Ostali korekcioni faktori .......................................................................................................................... 97

9.2.Mikroelektronska kola ....................................................................................................................................... 98 9.3. Diskretni poluprovodnici................................................................................................................................ 102 9.4. Vakuumske cevi .............................................................................................................................................. 106 9.5. Laseri.............................................................................................................................................................. 107 9.6. Otpornici ........................................................................................................................................................ 108 9.7. Kondenzatori .................................................................................................................................................. 112 9.8. Induktivni elementi ......................................................................................................................................... 118 9.9. Motori............................................................................................................................................................. 121 9.10. Relea............................................................................................................................................................. 123 9.11. Prekidai ...................................................................................................................................................... 124 9.12. Konektori ...................................................................................................................................................... 125 9.13. tampane ploe............................................................................................................................................. 127 9.14. Spojevi .......................................................................................................................................................... 127 9.15. Ostali elementi.............................................................................................................................................. 128

10. PRORAUN POUZDANOSTI POMOU MARKOVLJEVIH MODELA ................................................. 129 10.1. Markovljevi modeli ....................................................................................................................................... 129

10.1.1. Poasonov proces................................................................................................................................... 129 10.2. Matrica verovatnoa prelaza........................................................................................................................ 134 10.3. Reavanje jednaina Markova...................................................................................................................... 134 10.4. Odreivanje pouzdanosti nepopravljivih sistema......................................................................................... 138

10.4.1. Oreivanje pouzdanosti nepopravljivog sistema sa jednim elementom............................................... 138 10.4.2. Odreivanje pouzdanosti nepopravljivog sistema sa dva elementa .......................................................... 141 10.5. Pouzdanost i raspoloivost popravljivih sistema.......................................................................................... 147

10.5.1. Pouzdanost i raspoloivost popravljivog sistema sa jednim elementom.............................................. 148 10.5.2. Pouzdanost i raspoloivost popravljivog sistema sa rednom vezom dva elementa.............................. 153

Sadraj

iii

10.5.3. Pouzdanost i raspoloivost popravljivog sistema sa paralelnom vezom dva elementa ili sa jednim aktivnim elementom i jednim elementom u pripravnosti................................................................................. 156 10.5.4. Proraun pouzdanosti i raspoloivosti sistema kada intenziteti otkaza i popravke nisu konstantni ..... 164

10.6. Teorija obnavljanja ...................................................................................................................................... 168

11. ALOKACIJA POUZDANOSTI......................................................................................................................... 175 11.1. Pojam alokacije pouzdanosti........................................................................................................................ 175 11.2. Metode alokacije pouzdanosti ...................................................................................................................... 176

11.2.1. Metoda jednake alokacije..................................................................................................................... 176 11.2.2. AGREE metoda alokacije .................................................................................................................... 177 11.2.3. ARINC metoda alokacije ..................................................................................................................... 179 11.2.4. Metoda alokacije uz minimalan uloen napor...................................................................................... 182

12. UGRADNJA POUZDANOSTI U KONSTRUKCIJU NOVOG UREAJA ................................................. 185 12.1. Pouzdanost u procesu konstruisanja ............................................................................................................ 185 12.2. Pogodnost odravanja u procesu konstruisanja ........................................................................................... 185 12.3. Principi konstruisanja u pogledu pouzdanosti ............................................................................................. 187 12.4. Pogodnost odravanja i pouzdanost ureaja................................................................................................ 189

13. OPTIMIZACIJA TROKOVA POUZDANOSTI........................................................................................... 190 13.1. Razliiti aspekti trokova pouzdanosti.......................................................................................................... 190 13.2. Matematiki model optimizacije trokova pouzdanosti ................................................................................ 192 13.3. Matematiki model za utvrivanje opravdanosti multipliciranja elemenata................................................ 193

14. POUZDANOST SOFTVERA ............................................................................................................................ 195 14.1. Kvalitet softvera............................................................................................................................................ 195 14.2. Pokazatelji pouzdanosti softvera .................................................................................................................. 197 14.3. Greke u softveru.......................................................................................................................................... 199 14.4. Modelovanje pouzdanosti softvera ............................................................................................................... 202

15. POUZDANOST I RASPOLOIVOST TELEKOMUNIKACIONIH SISTEMA......................................... 205 15.1. Uvod ............................................................................................................................................................. 205

15.1.1. Prstenaste i pauinaste strukture .......................................................................................................... 206 15.1.2. Metod prekrivanja prstenova................................................................................................................ 208 15.1.3. Osnovni model pauinaste strukture .................................................................................................... 209 15.1.4. Vrste pauinastih modela ..................................................................................................................... 210 15.1.5. Koncept p krugova ........................................................................................................................... 212

15.2. Mree za Internet saobraaj ......................................................................................................................... 214 15.2.1. Sposobnost brzog oporavka kod IP/MPLS modela.............................................................................. 215

15.2.1.1. Statike eme za oporavak ..................................................................................................... 215 15.2.1.2. Dinamike ION eme za oporavak ........................................................................................ 216

15.2.2. Rekonfiguracija IP topologije .............................................................................................................. 218 15.3. Projektovanje IP mrea ................................................................................................................................ 219

15.3.1. QoS (kvalitet servisa)........................................................................................................................... 219 15.3.2. Diferencirani QoS ................................................................................................................................ 219 15.3.3. Proirenje QoS-a .................................................................................................................................. 220 15.3.4. MPLS opcije za oporavak .................................................................................................................... 221 15.3.5. Veza RD-QoS-a i MPLS mehanizama oporavka ................................................................................. 223 15.3.6. Upravljanje transportom kod RD-QoS arhitekture .............................................................................. 223

15.4. Uticaj kvarova na mree sa beinim pristupom .......................................................................................... 226

Sadraj

iv

15.4.1. Uvodna razmatranja ............................................................................................................................. 226 15.4.2. Osnovni model za projektovanje preivljivih mrea sa beinim pristupom....................................... 227 15.4.3. Analiza preivljivosti GSM mrea....................................................................................................... 228

15.5. UMTS: projektovanje pouzdane mree za pristup ........................................................................................ 231 15.5.1. PTA algoritam...................................................................................................................................... 234 15.5.2. Algoritmi za poveavanje pouzdanosti ................................................................................................ 234

15.5.2.1. GRE algoritam ....................................................................................................................... 235 15.5.2.2. RRE algoritam ....................................................................................................................... 235

15.6. Pouzdanost i raspoloovost sloenih sistema komunikacija ......................................................................... 237 15.6.1. Inteziteti otkaza komponenata, modula, ureaja i kanala veza ............................................................ 237 15.6.2. Tipine vrednosti pouzdanosti za prenosne sisteme............................................................................. 237 15.6.3. Pouzdanost i raspoloivost telefonske mree....................................................................................... 237

15.6.3.1. Raspoloivost usled otkaza .................................................................................................... 237 15.6.3.2. Servis raspoloivosti .............................................................................................................. 238 15.6.3.2.1. Telefonski servisi ................................................................................................................ 239

15.6.4. Granine vrednosti za raspoloivost i pouzdanost sistema .................................................................. 241 15.6.5. Granine vrednosti za mrene elemente............................................................................................... 243

15.6.5.1. Grupa kanala i kanal .............................................................................................................. 243 15.6.5.2. Ureaji linijskih prenosnih sistema........................................................................................ 244 15.6.5.3. Multipleksni i pomoni ureaji za terminale.......................................................................... 246

15.6.6. Uputstva za raspodelu osnovnih resursa u zavisnosti od ulaganja ....................................................... 246 15.6.6.1. Napajanje ............................................................................................................................... 246 15.6.6.2. Linijski sistemi....................................................................................................................... 247 15.6.6.3. Prenosne deonice ................................................................................................................... 247 15.6.6.4. Klase kanala u zavisnosti od raspoloivosti.......................................................................... 247 15.6.6.5. Raspored mrea...................................................................................................................... 247 15.6.6.6. Centrale.................................................................................................................................. 248

LITERATURA.......................................................................................................................................................... 249

Uvod

1

1. UVOD

U svakodnevnom ivotu vrlo esto su u upotrebi pojmovi koji se odnose na pouzdanost tehnikih proizvoda i objekata. Njihovo znaenje se obino podrazumeva. Meutim, radi kvantitativnog odreivanja pojednih veliina i parametara koji karakteriu te pojmove neophodno ih je precizno definisati. Egzaktan pristup ovom problemu bazira se na teoriji pouzdanosti kao naunoj disciplini koja se bavi prouavanjem zakonitosti kojih se treba pridavati pri projektovnju, konstrukciji, ispitivanju, proizvodnji i eksploataciji tehnikih proizvoda kako bi oni imali to dui radni vek a time i maksimalni radni uinak.

U zavisnosti od preciznosti, za pouzdanost kao pojam mogu se sresti definicije koje se meusobno neznatno razlikuju.

Najjednostavnije reeno pouzdanost je sposobnost objekta (komponente, ureaja, sistema) da uspeno obavlja zadatu mu funkciju, pod odreenim uslovima, u datom vremenskom intervalu.

ta je, zapravo, pouzdanost najpotpunije objanjava sledea definicija:

Pouzdanost je vervotnoa, na odreenom nivou poverenja, da e sistem uspeno, bez otkaza, obaviti funkciju za koju je namenjen, unutar specificranih granica performansi, u toku specificiranog vremena trajanja zadataka, kada se koristi na propisani nain i u svrhu za koju je namenjen, pod specificiranim nivoima optereenja, uzimajui u obzir i prethodno vreme korienja sistema.

Pa i u standardima pojeniih zemalja postoje neke male razlike u definiciji pojma pouzdanosti. Na primer:

Prema ruskom standardu (GOST) pouzdanost se definie kao svojstvo objekta da ispunjava zadate funkcije i odrava vrednost eksploatacionih parametara tokom vremena u zadatim granicama, koje su odreene zadatim reimima i uslovima korienja, tehnikog opsluivanja, remonta, skladitenja i transporta.

Prema amerikom MIL standardu pod pouzdanou se podrazumeva verovtnoa da e neki predmet svoju namensku funkciju obavljati u datom vremenskom intervalu, pod zadatim uslovima.

Nemaki standard DIN definie pouzdanost kao sposobnost nekog proizvoda ili robe da zadovolji, u toku primene, uslovljene zahteve koji se postavljaju u pogledu ponaanja ili odravanja njihovih osobina za dui vremenski period.

Ove dfinicije ukazuju na kompleksnost pouzdanosti, koja u zavisnosti od namene objekata i uslova njegove eksploatacije moe obuhvatiti bezotkaznost, trajnost, pogodnost za opravke ili sposobnost da se sauva skup odreenih svojstava u duem vremenskom periodu, pri emu se ta svojstva mogu odnositi na celokupan objekat ili samo na neke njegove delove.

U svim navedenim definicijama prisutna su dva nezaobilazna faktora : vreme rada i uslovi rada. Podaci koji se daju za pouzdanost objekta merodavni su samo u navedenom vremenskom intervalu i specificiranim uslovima korienja.

Vidi se da je pouzdanost verovatnoa, to znai broj izmeu 0 i 1 ili 0 i 100%. Moe se predstaviti kao odnos izmeu broja uspenih zadataka sistema ( )tn1 prema ukupnom broju ovih zadataka n :

Uvod

2

( ) ( )n

tntR 1 = (1.1)

gde je t vreme trajanja zadatka. ( )tR je procena pouzdanosti jer je broj zadataka sistema ( )tn konaan broj. Stvarna pouzdanost se dobija kada broj zadataka sistema tei beskonanosti, tj.

( ) ( )tRtRn

lim= (1.2)

Zbog nepodudarnosti procene sa stvarnom vrednou, uvodi se pojam nivoa poverenja. To je verovatnoa da je neki parametar unutar datih granica ili je iznad donje granice. Statistike procene se obino predstavljaju u vidu intervala, uz verovatnou tj. poverenje da e stvarna vrednost biti u tom intervalu. Krajnje take tog intervala zovu se granice poverenja. Ako se kae, na primer, da je pouzdanost nekog sistema 0,95 na nivou poverenja 0,9 to znai da postoji rizik od 10% da je pouzdanost tog sistema manja od 0,95. Dakle, u toku konstruisanja nekog sistema, nije dovoljno samo postaviti zahtev u vezi sa vrednou pouzdanosti koju sistem mora da zadovolji, ve treba dodati i nivo poverenja tako da bude poznat rizik u vezi sa postizanjem te pouzdanosti.

Rad bez otkaza dobija se kada su sve performanse sistema u skladu sa specifikacijama. Prethodno vreme korienja sistema je veom vano i mora se uzeti u obzir prilikom izraunavanja pouzdanosti izvrenja tog zadatka. Matematiki, to se moe izraziti jednainom:

( ) ),()( tTRTRtTR =+ (1.3) Samo u sluaju konstantnih (sluajnih) otkaza pouzdanost ne zavisi od prethodnog vremena korienja tj. tada vai:

( ) ( ) )(, tRtTRtTR ==+ (1.4) Vreme trajanja zadatka je obrnuto proprcionalno nivou pouzdanosti. Ako se eli veoma

visoka pouzdanost onda vreme trajanja zadatka treba da je to krae.

Neprekidni porast sloenosti tehnikih sistema kao i znaaj funkcije koju oni obavljaju neizbeno iziskuju neophodnost korienja i razvijanja ideja i metoda teorije pouzdanosti. Takav razvitak trai dobro poznavanje svih fizikih i hemijskih procesa koji dovode do smanjenja pouzudanosti tehinkih proizvoda kao i odgovarjaui odnos proizvoaa prema tehnolokim procesima izrade, prema ispitivanju pouzdanosti i procesima uvanja i transporta.

Nema sumnje da ideje, metode i rezultate teorije pouzdanosti moraju poznavti ne smao istraivai, nego i iroki krug inenjera, ekonomista, matematiara, organizatora procesa proizvodnje te oblasti, to omoguuje izbegavanje mnogih greaka koje se pojavljuju u fazi projektovanja ali i proizvodnje. Posledice nerazumevanja pouzdanosti mogu biti ogromni materijalni gubici, izgubljeno vreme, usporvanje tehnolokog napretka u mnogim vitalnim oblastima a u odrenim sluajevima ak i ljudski gubici. U cenu nepouzdanositi nekog sistema ne uraunava se samo cena proizvodnje elementa koji je otkazao, nego se u obzir uzimaju i pratei efekti koji su nastali usled otkaza. Cena nepouzdanosti zavisi i od funkcije koju obavlja dati sistem. Na primer, otkaz tranzistora u radioprijemniku ne nosi iste trokove kao otkaz tranzistora u nekom vitalnom delu satelita. Osim toga, moraju se imati u vidu i trokovi odravanja koji

Uvod

3

podrazumevaju gubitak vremena za lociranje i opravku kvara, zatim cena rezervnog dela, trokovi odravanja tog dela na skladitu, transporta itd.

Snaan podsticaj razvoju pouzdanosti dali su i daju vojna industrija, kosmika istaivanja, primena nuklearne energije u mirnodopske svrhe, vazduhoplovna industrija, sistemi saobraaja i veza, otra konkurencija na tritu i mnogi drugi faktori.

Poetak brzog razvoja pouzdanosti kao naune discipline vezuje se za 30-te godine ovog veka, kada je poeo i nagli razvoj vazduhoplovne industrije.

Iskustva steena u drugom svetskom ratu, a kasnije i u lokalnim ratovim u Koreji, Vijetnamu, na Bliskom istoku i sl. bila su dragocena za kasnije svestrane analize pouzdanosti elemenata i sistema i akcije u cilju poveanja pouzdanosti.

Sledeih nekoliko primera, zasnovnih na stvarnim praenjima rada sistema ilustruju ogromne koristi ostvarene sagledavanjem znaaja organizovnog, planskog i detaljnog praenja pouzdanosti:

U 1958. godini amerikanci su lansirali uspeno samo 28% satelita, dok je sada ta cifra 92% i ima stalnu tendenciju porasta;

U 1959. godini, period garancije za automobil iznosio je 90 dana ili 6000 kilometara, dok danas neki proizvoai ve nude garanciju od 5 godina ili 80.000 km;

Hidraulina pumpa na avionu DC-8 prvobitno je imala vreme izmeu remonta 1200 h. Kontinualnim prikupljanjem podataka o otkazima, omoguene su konstrukcijske izmene koje su poveale pouzdanost pumpe. Kao rezultat toga poveano je srednje vreme izmeu remonta na 2 000 h, zatim 4000 h i najzad 5800 h. Znai, poveana pouzdanost rezultirala je smanjenjem trokova odravanja;

Dobro postavljenim i voenim programom, pouzdanost sistema naoruanja na avionu F-105 podignuta je sa 0,7263 na 0,8986. Trokovi pouzdanosti bili su visoki 25,5 miliona dolara, ali su zato i utede bile ogromne -54 miliona dolara godinje u trokovima odravanja.

U mnogim bogatijim zemljama sveta formirane su agencije i Komiteti za praenje i analizu pouzdanosti elektronskih komponenata i sistema. Oni su propisivali specifikacije sa preciznim zahtevima po pitanju pouzdanosti koje proizvoa mora da zadovolji. U sadanjim specifikacijama zahteva se da proizvoa bude u stanju da demonstrira postignutu pouzdanost. Danas ne samo vojna tehnika, ve i druge oblasti primene tehnike nameu konkretne zahteve razvoju pouzdanosti, to je uslovljeno sve irom primenom sloenih ureaja i sistema.

Na kraju ovog uvodnog dela korisno je dati definicije nekih pojmova koji se koriste u teoriji pouzdanosti.

Proizvod je irok pojam pod kojim se mogu podrazumevati: sistem, ureaj, sklop ili komponenata.

Komponenta - osnovna jedinica ili deo koji se ne moe rastaviti na manje delove bez njenog unitenja.

Sklop je samostalna celina, koja se sastoji od vie komponenata, a koja ima specifinu funkciju.

Ureaj predstavlja kompletnu jedinicu za upotrebu, a sastoji se od izvesnog broja sklopova smetenih u jednom zajednikom okviru.

Uvod

4

Sistem je tehnika organizaciona celina. odnosno integrisana grupa ureaja, za samostalno izvrenje neke grupe zadataka.

Pokazatelji pouzdanosti

5

2. POKAZATELJI POUZDANOSTI

2.1. Odreivanje pokazatelja pouzdanosti

Sa problemom kvantitativnog izraavanja pouzdanosti povezan je pojam pokazatelja pouzdanosti. Pod ovim pojmom podrazumeva se kvantitativna karakteristika nekog od svojstava koje odreuje pouzdanost.

Do kvantitativnih podataka o pouzdanosti moe se uglavnom doi na sledea tri naina: proraunom, laboratorijski i u toku eksploatacije.

Prvi nain je posebno interesantan za ureaje ili sisteme. Postupak se sastoji u utvrivanju stepena pouzdanosti na osnovu poznavanja pouzdanosti komponenata ili blokova, kola ureaja i predvienih reima rada. Tako utvrena pouzdanost je proraunata pouzdanost. Od znaaja je pri razvijanju novih tipova ureaja i sistema, kada se u fazi projektovanja uzima u obzir potrebna pouzdanost kao jedan od zahteva koji treba da ispuni projektovani ureaj.

Drugi nain dobijanja podataka o pouzdanosti je laboratorijski. Postoje razne normalne i ubrzane statike i dinamike metode utvrivanja pouzdanosti u laboratorijskim uslovima. Ispitivanja se vre bilo u normalnim bilo u posebnim reimima rada.

Najzad, najprirodniji nain dobijanja podataka o pouzdanosti je na osnovu eksploatacije. Specifian problem koji se pri tome javlja je organizacija dobijanja informacija i verodostojnost dobijenih informacija.

S obzirom na to kako je podatak o pouzdanosti formiran, govori se o utvrenoj, ocenjenoj, ekstrapoliranoj, prognoziranoj i stvarnoj pouzdanosti. Bilo kojoj karakteristici pouzdanosti daje se jedna od ovih verzija. Verzija utvren odnosi se na podatke dobijene na osnovu ispitivanja u kojem svi ispitni uzorci nisu prestali da rade. Verzija ocenjen odnosi se na podatke koji su odreeni sa odgovarajuim nivoom verodostojnosti i predstavljaju graninu vrednost intervala verodostojnosti. Verzija ekstrapoliran odnosi se na podatke o pouzdanosti u datim uslovima rada koji su definisani ekstrapolacijom ili interpolacijom utvrenih ili ocenjenih podataka o pouzdanosti u drugim uslovima rada. Verzija prognoziran odnosi se na podatke proraunate na osnovu utvrene, ocenjene ili ekstrapolirane pouzdanosti. Verzija stvarna odnosi se na podatak dobijen na osnovu ispitivanja u toku kojeg su svi uzorci prestali da rade.

Matematika predstava pokazatelja pouzdanosti je povezana sa teorijom verovatnoe i matematikom statistikom. Pri praktinom odreivanja pokazatelja pouzdanosti vano je da u partiji komponenata, na osnovu kojih se izvode zakljuci o pouzdanosti komponente, uzroci otkaza svake komponente budu isti. Ovakva partija komponenata je statistiki homogena. Praktino je mogue realizovati statistiki homogenu partiju. Homogenu partiju predstavljaju ureaji proizvedeni na istoj proizvodnoj traci od komponenata koje su proizvodili isti proizvoai.

Izbor pokazatelja zavisi, u osnovi, od opte namene sistema, ali na njega moe takoe uticati i znaaj funkcija, koje izvrava sistem. Pri izboru pokazatelja pouzdanosti tehnikog sistema, treba imati u vidu neke oigledne preporuke:

Broj pokazatelja pouzdanosti treba da bude to je mogue manji;


6

Treba izbegavati sloene kompleksne pokazatelje, koji se dobijaju u obliku nekih grupa kriterijuma;

Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju obezbediti mogunost provere u etapi projektovanja;

Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju imati prost fiziki smisao; Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju omoguiti statistiku (eksperimentalnu)

procenu pri specijalnim ispitivanjima ili po rezultatima eksploatacije;

Izabrani pokazatelji pouzdanosti moraju omoguiti zadavanje pouzdanosti u kvantitativnom obliku.

Treba imati na umu da podatak o pouzdanosti komponente nije dobijen matematiziranjem ve ga svi veliki proizvoai daju kao tehniki podatak se ne dobija na bazi obrade mnotva eksperimentalnih podataka i to kao funkciju mnogih faktora kao to su mehanika i termika optereenja, uticaj okoline, uslovi upotrebe, klasa kvaliteta komponenata itd. Prema tome, prognoza pouzdanosti sistema je matematika metoda bazirana na eksperimentalno utvrenim podacima o pouzdanosti komponenata. U zavisnosti od postavljenog cilja i od faze i razvoja, prognoza pouzdanosti se moe izvesti sledeim trima metodama:

metod slinosti opreme metod nabrajanja komponenata metod optereenja

Metod slinosti opeme se upotrebljava u fazi stvaranja koncepcija ureaja i daje ocenu parametara pouzdanosti koja se moe koristiti kod ugovaranja i postavljanja tehnikih zahteva. Kako u ovoj fazi procene sadraja ureaja postoji samo specifikacija funkcija, a ne stepena koji stvaraju tu funkciju, ocena pouzdanosti se zasniva na podacima o pouzdanosti slinih sklopova na slinim funkcijama. Naravno da je za ovakvu vrstu prognoze pouzdanosti potrebana datoteka podataka koja e posluiti prilikom okvirnog definisanja ureaja, kad jo stepeni nisu konstruisani, ali se zna koje funkcije ureaj mora da zadovolji. Ova procena mora biti vrlo paljivo izvedena i to sa vie alternativa i sa odreenom rezervom, jer postaje predmet tehnikog zahteva koji se u fazi konstrukcije mora i ispuniti.

Metoda prognoze pouzdanosti pomou nabrajanja komponenata (elemenata) koristi konstruktoru za komparaciju izmeu stepena sa identinim funkcijama, ali razliito izvedenim.

Meutim, ova tehnika prognoziranja ne daje informacije da li su pojedine komponente preoptereene, jer se metoda prorauna zasniva na prosenim intenzitetima otkaza za odgovarajuu klasu i tip komponente. To znai da ova metoda slui konstruktoru kao orjentacija prilikom optimiziranja i kao informacija koji kvalitet, koliko elemenata i kakvu konfiguraciju sme maksimalno da koristi za svoju konstrukciju i da ostane unutar okvira zahtevane pouzdanosti stepena.

Metoda optereenja se koristi kao nastavak metode nabrajanja komponenata i to vezana za konkretni proraun optereenja pojedinih komponenata. Prvenstvena svrha ove metode je da se otkriju preoptereene i ugroene komponente, to omoguava da se ve u fazi konstrukcije za takve sluajeve nau druga reenja, a ujedno da se realnije proceni sada ve poznat specifian uticaj okoline i radnih uslova, a u skladu sa elektrinim i termikim naprezanjem sklopa, odnosno svake komponente pojedinano.


7

2.2. Funkcije raspodele otkaza, pouzdanosti i gustine otkaza

Ako je T sluajna promenljiva veliina koja oznaava vreme pojave otkaza onda e verovatnoa otkaza u funkciji vremena biti:

0),()( = ttFtTP (2.1)

Funkcija F(t) zove se funkcija raspodele otkaza i ona pokazuje verovatnou da e sistem otkazati do vremena t. U teoriji verovatnoe ova funkcija se zove kumulativna funkcija raspodele. Ako se pouzdanost sistema oznai kao verovatnoa bezotkaznog rada u vremenskom intervalu t, moe se pisati:

)()(1)( tTPtFtR >== (2.2)

gde R(t) oznaava funkciju pouzdanosti. Funkciju gustine otkaza se obeleava sa f(t), a na osnovu osnovnih zakona iz teorije

verovatnoe moe se napisati da je:

dttdFtf )()( = (2.3)

Prema teoriji verovatnoe ova funkcija se zove funkcija gustine verovatnoe. Na osnovu gornjih definicija moe se napisati izraz za funkciju pouzdanosti:

=== tt

dttfdttftFtR0

)()(1)(1)( (2.4)

Dakle dovoljno je znati oblik funkcije f(t) pa da se dobije funkcija pouzdanosti R(t).

2.3. Funkcija intenziteta otkaza

Pretpostavlja se da se istovremeno ispituje n sistema. Posle odreenog vremena t, n1 sistema nisu otkazali, a n2 sistema su otkazali pri emu je n2 = n n1. Prema ovome i na osnovu do sada reenog o pouzdanosti, R(t) se moe izraziti kao:

)()()()()(

21

11

tntntn

ntntR +== (2.5)

Znai da ova jednaina pokazuje verovatnou bezotkaznog rada bilo kog od n sistema u toku vremena t, jer je ona kao to je reeno funkcija vremena. Po logici stvari, jasno je da kako t


8

raste, sve vie i vie sistema otkazuje to znai da e pouzdanost opadati. Prethodna jednaina se moe napisati u sledeem obliku:

ntn

ntnntR )(1)()( 22 == (2.6)

Leva i desna strana gornje jednaine se mogu diferencirati pa se dobija sledee:

dt

tdnndt

ntnd

dttdR )(1

)(1)( 2

2

=

= (2.7)

gde je n konstantno. Na osnovu ovog se dobija izraz za frekvenciju sa kojom sistem otkazuje:

dttdRn

dttdn )()(2 = (2.8)

Sada je mogue obe strane gornje jednaine podeliti sa n1(t):

dttdR

tnn

dttdn

tn)(

)()(

)(1

1

2

1

= (2.9)

Iz gornje jednaine se moe definisati funkcija intenziteta otkaza (t):

dttdR

tRdttdn

tnt )(

)(1)(

)(1)( 2

1

== (2.10)

Odavde se moe dobiti opta formula za funkciju pouzdanosti R(t). Moe se napisati da je:

dttdt

tdR )()( = (2.11)

odnosno:

=tR

dtttRtdR

01

)()()( (2.12)

odnosno:

=t

dtttR0

)()(ln (2.13)


9

i konano:

=

t

dtt

etR 0)(

)(

(2.14)

Formula (2.14) matematiki opisuje pouzdanost na najoptiji nain i moe se primeniti za bilo koju funkciju gustine otkaza. Iz jednaine (2.2) moe se napisati da je:

)(1)( tRtF = (2.15)

pa se zamenom u jednaini (2.3) dobija:

dttdRtf )()( = (2.16)

Imajui u vidu izraz (2.16), funkcija intenziteta otkaza kako je definisano izrazom (2.10) moe se napisati i u sledeem obliku:

)()()(

tRtft = (2.17)

Znaaj ove funkcije je u tome to pokazuje kako se u toku vremena menja intenzitet otkaza nekog sistema.

2.4. Oekivano vreme bezotkaznog rada

Oekivano vreme bezotkaznog rada definie se na osnovu sledee jednaine:

=0

)( dttftTSR (2.18)

Izraz za TSR moe se dobiti i u drugom obliku. Ako se jednaina (2.16) zameni u jednainu (2.18) dobija se sledee:

+==0

00

)()()( dttRttRtRdtTSR (2.19)

Jasno je da prvi deo zbira tei nuli za obe granice na osnovu definicije R(t) preko (t) jer je u pitanju eksponencijalna funkcija a xe-x kada x tei tei nuli. Na osnovu ovoga, drugi oblik za oekivano vreme bezotkaznog rada sistema je dat sledeim izrazom:


10

=0

)( dttRTSR (2.20)

Ako se sistem koji se ispituje obnavlja odravanjem ili popravkama, tj. u sluaju takozvanih popravljivih sistema, oekivano vreme bezotkaznog rada je poznato pod nazivom srednje vreme izmeu otkaza (MTBF Mean Time Between Failure). Pri tome je jasno da se polazi od pretpostavke da je ponaanje popravljenog sistema u pogledu intenziteta otkaza isto kao kod novog sistema. Kod takozvanih nepopravljivih sistema govori se o srednjem vremenu do prvog otkaza, ili jednostavno o srednjem vremenu do otkaza (MTTF Mean Time To Failure). Veliine MTBF tj. MTTF treba uvek koristiti kada je specificirana funkcija gustine otkaza, jer nivo pouzdanosti koji se moe pripisati odreenoj vrednosti MTBF tj. MTTF zavisi od oblika te funkcije. Ako se posmatra n sistema koji se ispituju, pri emu se belee vremena rada izmeu otkaza t1, t2, ... ,tn onda e MTBF biti:

=

=n

iitn

MTBF1

1 (2.21)

2.5. Funkcija intenziteta otkaza i vek trajanja sistema

U poetku korienja nekog sistema obino se javlja vei broj otkaza koji se mogu pripisati poetnim slabostima ili proputenim defektima u toku proizvodnje. Kasnije, ovi takozvani rani otkazi ustupaju mesto otkazima za koje je teko utvrditi uzrok nastajanja. To su takozvani sluajni otkazi ije se vreme pojavljivanja ne moe predvideti ali zato se zna frekvencija pojavljivanja otkaza. Starenjem sistema poinju da se javljaju otkazi usled istroenosti. Na sledeoj slici 2.1.a su prikazani periodi promene (t) za sva tri intervala, a na slici 2.1.b oblici funkcije gustine raspodele otkaza f(t).


11

t

tt2

t1

(t)

f(t)

a)

b)

Slika 2.1 Opti oblik funkcija (t) i f(t)

U periodu ranih otkaza (0 do t1) (t) i f(t) su opadajue funkcije. Za karakteristiku sluajnih otkaza (t1 do t2) priblino je konstantna vrednost (t) i priblino eksponencijalna funkcija f(t). U periodu starenja (t2 do ) (t) je rastua funkcija, dok f(t) ima jedan vrh oko koga se deava najvei broj otkaza. Iz ovog razmatranja moe se videti da je funkcija (t) pogodnija od f(t) kada se eli napraviti razlika izmeu raznih oblika otkaza.

Iskustvo je pokazalo da mnogi sistemi imaju krivu intenziteta otkaza kako je ve pokazano na slici 2.1.a. Mnogi proizvoai opreme visoke pouzdanosti putaju tu opremu da radi kako bi je doveli na poetak intervala konstantnih otkaza. Tek onda je ugrauju u neki sistem.

Na alost, mnogi sistemi imaju kontinualno opadajuu i kontinualno rastuu funkciju intenziteta otkaza, pa se na njih ne moe primeniti oblik krive (t) sa slike 2.1.a.

Otkazi elemenata i sistema

12

3. OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA

Pod otkazom u smislu pouzdanosti podrzumeva se prestanak sposobnosti ureaja da vri zahtevanu funkciju. U toku eksploatacije ureaji i sistemi i njihovi sastavni delovi (elementi) mogu se nai u jednom od dva mogua stanja: ispravnom ili neispravnom. U ispravnom stnju sistema (elemenata) njegove karakteristike zadovoljavaju propisane zahteve, kako radne, tako i sporedne kao to su izgled, pogodnost za eksploataciju i sl. Svako odstupanje od propisanih radnih zahteva moe se smatrati otkazom ili neispravnou.

Otkaz je dogaaj koji dovodi do prelaza iz isprvnog stanja (stanja radne sposobnosti) u neisprano stanje. Dakle, otkaz predstavlja potpuni ili delimini gubitak radne sposobnosti sistema.

Kod sistema se mogu sresti i tzv. drugostepene neispravnosti defekti, koje ne naruavaju njihov ispravan rad i sistemi se mogu koristiti i posle te vrste neispravnosti bez bojazni za ispravno obavljanje zadataka. Takve neispravnosti su, na primer, greka na uzemljenju (pri emu ureaj i dalje radi) ili, pregrevanje signalnih sijalica i sl.

Osim toga, mogue je govoriti o relevantnim i irelevantnim otkazima (tj. oni koji se uzimaju odnosno ne uzimaju u proraunu). Pod relevantnim se podrazumevaju greke u aplikaciji, greke konstrukcije, greke izrade kao i promena karakteristika izvan onih utvrenih specifikacijom. Pod irelevantnim otkazima podrazumevaju se grke instaliranja i postavljanja, grke rukovanja, sva sluajna oteenja kao i greke izazvane nepravilnom primnom opremem za ispitivanje.

Pod dejstvom razliitih faktora, u toku eksploatacije elemenata (sistema) menja se velina nekog od parametara elemenata ( )nxxxx ,.....,, 21 u toku vremena u okviru doputenih granica a i b. Pod parametrom se podrazumeva bilo koja karakteristika elemenata (sistema). U toku te promene parametar 1x dostie jednu od granica a ili b, a izlazak izvan okvira doputenih granica kvalifikauje se kao otkaz. Na taj nain, pod otkazom se podrazumeva dogaaj koji se deava u trenutku kada je vrednost parametra 1x dostigla jednu od granica ili je izala izvan njih.

Meutim promena parametra 1x van odrenih granica ne mora uvek oznaavati i gubljenje radne sposobnosti elemenata. Na primer, kod radioprijemnika, moe se desiti da mu osetljivost bude manja od dozvoljene granice koja je odrena tehnikim uslovima. To se smatra otkazom, bez obzira to prijemni moe i dalje da radi. Zbog toga je nuno da se za svaki sistem unapred formuliu obeleja stanja radne sposobnosti i neispravnog stanja, zavisno od namene sistema, uslova eksploatacije, zahteva prema kvalitetu funkcionisanja it., i da ona budu usklaena izmeu naruioca i proizvoaa.


13

x b 1 2 2 a t1 t2 t3 t

Slika 3.1 Grafiko predstavljanje iznenadnog (1) i postepenog (2) otkaza

Da bi se lake analizirli, otkazi se klasifikuju. Kriterijuma klasifikacije ima vie, pa je u tabeli 3.1 dat pregled vrsta otkaza prema raznim kriterijumima klasifikacije. Jedan otkaz moe odgovarati raznim kriterijumima pa e na taj nain biti razvrstan u vie vrsta.

1. Neoekivani (iznenadni) otkaz

Otkaz koji je nastao kao rezulatat nagle promene jednog ili vie parametara elemenata

zove se neoekivani otkaz. Javlja se usled nagomilavanja neispravnosti i oteenja. Naziv potie otuda to obino izostaju vidni znaci njihovog pribliavanja, tj. pre nastupanja takvog otkaza obino se ispoljavaju kvntitativne promene karakteristika elemenata. Uzorci neoekivanog otkaz u veini sluajeva su skriveni defekti materijala i delova elemenata, ali i nepravilna upotreba elemenata. Ovi otkazi se obino ispoljavaju u mehanikim i elektinim oteenjima elemenata (lomovi, pukotine, prekidi, proboji izolacije itd.), zbog ega se esto zovu i grubi otkazi. Ovaj otkaz je konaan i dovodi komponentu do potpunog gubljenja radne sposobnost.

2. Postepeni otkaz

On se karakterie postepenom izmenom jednog ili vie parametara elemenata. Postepeni

otkazi se javljaju kao posledica istroenosti materijala, starenja materijala, promena napona napajanja itd. Karakteristino je da se promena parametra x moe registrovati pomou mernih instrimenata. Parametri proizvoda mogu u toku rada dostii kritine vrednosti, pri kojim je stanje nezadovoljavajue, tj. dolazi do njegovog otkaza. Poto trenutak u kome parametar x naputa svoje granice nije tano odreen, teko je ustanoviti da li je otkaz nastao usled neoekivane ili postepene promene. U tom smislu, podela na neoekivane i postepene otkaze je uslovna i meu njima nema principijelne razlike. Neoekivani otkazi, u velikom broju sluajeva, nastaju kao rezultat postepene ali skrivene promene paramera x. Na primer, lomljenje elemenata e se klasificirati kao neoekivani otkaz, i ako je do toga dolo usled postepenog habanja. Sa druge strane, postepeni otkaz moe biti posledica nagomilavanja malih promena, koje izazivaju neoekivane otkaze u elementima


14

Tabela 3.1 Podela otkaza po raznim kriterijumima klasifikacije

KRITERIJUM KLASIFIKACIJE VRSTA OTKAZA

Neoekivani (iznenadni ) otkaz Vrsta izmene stanja

Postepeni (degradacioni) otkaz

Nezavisni otkaz Veza sa drugim otkazima

Zavisni otkaz

Potpuni otkaz Mogunost korienja posle otkaza Delimini otkaz

Permanentni otkaz Prolazni otkaz

Peroda eliminisanja

Otkaza

Otkaz koji se sam otklanja Povratni otkaz

Oigledan otkaz Spoljna manifestacija

Prikriven otkaz

Konstrukcioni otkaz (greka konstruktora, nesavren metod konstrukcije)

Tehnoloki otkaz (greka pri proizvodnji, nesavrena tehnologija)

Uzrok nastajanja Otkaza

Eksploatacioni otkaz (greka u eksploataciji, nepredvieni spoljanji uslovi)

Prirodni otkaz

Prirode nastajanja Otkaza

Vetaki otkaz

Otkazi pri ispitivanju

Otkazi u periodu priprema

Otkazi pri normalnoj eksploataciji

Vreme nastajanja

Otkaza

Otkazi pri kraju perioda eksploatacije

Sluajni otkaz Po intenzitetu otkaza

Sistematski otkaz


15

drugorazrednog znaaja za rad sistema. Sa metodama koje se danas primnjuju za merenje parametra x, nije mogue, dok se elemenat nalazi u ispranom stanju, uoiti takva odstupanja parametra x koja bi blagovremeno ukazivala na bliskost grnice ispravnog stanja.

3. Zavisni i nezavisni otkaz

Otkazi su sluajni dogaaji, koji mogu biti zuavisni i nezavisni. Otkaz je zavisan, ako se pri pojavi jednog orkaza menja verovatnoa pojavljivanja drugog otkaza. Kod nezavisnih otkaza verovtnoa pojavljivanja jednog otkaza ne zavisi od injenice da li su se desili drugi otkazi ili ne.

Nezavisan je otkaz elementa, koji nije uslovnljen kvarovima i otkazima drugih lemanata sistema. Najee nastaje u jednom elementu.

Zavisan otkaz je otkaz elementa, koji je uslovljen kvarovima i otkazima drugih elemenata.

4. Potpun i delimian otkaz

Po osnovu kriterijuma mogunosti korienja posle nastajanja otkaza, otkazi se dele na

potpune i delimione. Otkaz, posle ijeg se nastanka sistem ne moe koristiti do popravke je potpuni otkaz. Mnogi elementi se posle potpunog otkaza ne mogu opraviti (proboj kondenzatora, pregrevanje ianog otpornika i sl.).

Posle nastajanja deliminog otkaza, postoji mogunost deliminog korienja elementa. On ima za posledicu samo pogoranje neke karakteristike sistema.

5. Permanentni otkaz i otkaz koji se sam otklanja

Po prirodi eleiminisanja otkaza razlikuju se permanentne otkazi i otkazi koji se sami

otklanjaju.

Pri permanentnim otkazima radi uspostavljanja radne sposobnosti elementa neophodno je izvriti njegovu opravku (regulisanje). Na primer, otkaz rada televizora usled pregrevanja inog otpornika.

Otkaz koji se sam otklanja i ije je trajanje malo u poreenju sa vremenom roka do sledeeg otkaza je prolazni otkaz. Na primer, ako u kondenzatou sa metalizovanom hartijom doe do neeljenog spoja, pri ukljuenju napona metalni sloj u neposrednoj blizini provodnog spoja ispari i kondezator se regenerie.

Ukoliko se prolazni otkazi pojavljuju u nizu, jedan za drugim, onda su to povratni otkazi. Otkazi takvog tipa se mogu pojaviti u elektronskim impulsnim sistemima i radio ureajima pri delovnju raznih vrsta smetnji.

6. Sluajni otkazi

Otkazi kod kojih je intenzitet otkaza konstantan zovu se sluajni otkazi. Tada su otkazi

uslovnljeni mnogim statistikim uticajima koji potiu od meusobno nezavsnih faktora.

7. Sistematski otkazi


16

Intenzitet otkaza kod ove vrste otkaza je promenjljiv u toku vremena, i uslovnljeni su odreenim uticajem nekog od mehanizama otkaza. U ovu grupu spadaju rani otkazi i otkazi usled starenja. U poetku korienja nekog sistema obino se javlja vei broj otkaza koji se mogu pripisati poetnim slabostima ili proputenim efektima u toku proizvoidnje. To su tzv. rani otkazi. Kod njih se intenzitet otkaza naglo smanjuje u toku vremena a plajvljuju se u relativno kartatkom periodu vremena.

Slika 3.2 Intenzitet otkaza u funkciji vremena rada

U poetnom periodu rada, koji se u praksi obino zove trenaa (burnin), odmah posle

ukljuivanja ureaja nepouzdani elementi brzo otkazuju. Statistiki podaci o eksploataciji razliitih ureaja pokazuju da se 50% svih otkaza otkriva u prvih mekokiko minuta rada posle ukljuivanja. Period trenae traje nekoliko destina, pa i nekoliko stotina sati, zavisno od sloenosti, namene i komplikovnosti ureaja. Ispitivanja pokazuju da se posle trenae intenzitet otkaza znaajno smanjuje. Meutim, treba napomenuti i da vreme trenae utie na poveanje cene proizvodnje.

Otkazi kao posledica dotrajalosti i strenja pojavljuju se kao posledica procesa istroenosti i mehanikog habanja elemenata i njihov intenzitet otkaza raste sa vremenom.

Neki zakoni raspodele sluajnih veliina koje se koriste u teoriji pouzdanosti

17

4. NEKI ZAKONI RASPODELE SLUAJNIH VELIINA KOJE SE KORISTE U TEORIJI POUZDANOSTI

4.1. Sluajni dogaaj. Verovatnoa dogaaja. Sluajne veliine i zakoni njihove raspodele

Osnovni pojam u teoriji verovatnoe je pojam dogaaja. Pod pojmom dogaaj u nekom eksperimentu podrazumeva se svaka injenica koja moe da proizae ili ne iz tog eksperimenta. Karakteristino za dogaaje raznih vrsta je da oni imaju neku meru (stepen) mogunosti da se ostvare. Da bi se omoguilo da se dogaaji uporeuju po stepenu mogunosti da se ostvare, neophodno je da se sa dogaajem povee odreeni broj, koji je utoliko vei, ukoliko je vea mogunost ostvarenja tog dogaaja. Za poreenje raznih dogaaja po verovatnoi, usvojena je jedinica merenja: verovatnoa izvesnog dogaaja, tj. dogaaja koji e sigurno proizii. Za verovatnou takvog dogaaja usvojen je broj 1, a svi ostali dogaaji koji su mogui, ali ne i izvesni, imaju verovatnou manju od 1. Dogaaju koji u datom eksperimentu uopte ne moe da se ostvari, pridodeljena je verovatnoa jednaka nuli, to je sasvim prirodno u odnosu na verovatnou izvesnog dogaaja.

Izraunavanje verovatnoe sluajnog dogaaja bazira se na zakonu velikih brojeva, prema kome se, pri neogranienom poveavanju broja opita, moe tvrditi sa praktinom sigurnou da se uestalost dogaaja malo razlikuje od njegove verovatnoe pojavljivanja u jednom opitu. Uestalost dogaaja (ili statistika verovatnoa) definisana je na osnovu rezultata opita i izraunava se iz izraza:

nmPS =

gde je m - broj pojavljivanja dogaaja A, n - ukupan broj izvrenih opita. Ne odreuje se verovatnoa svakog dogaaja preko rezultata opita. U teoriji verovatnoe

postoje mnoge metode za posredno odreivanje verovatnoe jednih dogaaja preko verovatnoe drugih, ali i u takvom postupku u krajnoj liniji se dolazi do korienja rezultata opita.

Pored osnovnog pojma dogaaj, u teoriji verovatnoe jedan od najvanijih osnovnih pojmova je pojam sluajne veliine.

Sluajna veliina je veliina, koja kao rezultat opita moe da dobije neku vrednost koja se unapred ne moe predvideti.

Sluajne veliine, koje mogu da dobiju vrednost iz prebrojivog skupa vrednosti nazivaju se prekidnim ili diskretnim sluajnim veliinama.

Postoji i druga vrsta sluajne veliine, tzv. neprekidna sluajna veliina, koja moe da dobije vrednost iz skupa vrednosti koje neprekidno popunjavaju neki odseak.

U klasinoj teoriji verovatnoe operisalo se sa dogaajima, dok se u savremenoj radi sa sluajnim veliinama, to je u reavanju mnogobrojnih zadataka iz prakse pogodnije. Najee se


18

izraunavanje verovatnoe nekog dogaaja vezuje za neku sluajnu veliinu ili sistem sluajnih veliina, na osnovu ijih osobina se izraava i verovatnoa sluajnog dogaaja.

U teoriji pouzdanosti izvode se operacije sa sluajnim veliinama da bi se dobili pokazatelji pouzdanosti.

4.1.1. Funkcija raspodele. Niz raspodele

Da bi se moglo operisati sa sluajnim veliinama, daju se naini, pomou kojih se sluajna veliina moe opisati i okarakterisati.

Sluajna veliina X (prekidna i neprekidna) potpuno je okarakterisana, s take gledita verovatnoe, funkcijom raspodele, koja izraava verovatnou dogaaja da se ostvari nejednakost

X < x

gde je x - tekua promenljiva. Verovatnoa P ovoga dogaaja je funkcija promenljive x i oznaava se sa F(x).

F(x) = P(X < x)

Funkcija raspodele F(x) naziva se esto jo i integralnom funkcijom raspodele ili integralnim zakonom raspodele.

Za diskretne sluajne veliine postoji jo jedan specijalni oblik zakona raspodele, koji daje vezu izmeu moguih vrednosti sluajne veliine i odgovarajuih verovatnoa. Forma zadavanja zakona raspodele diskretne sluajne veliine moe da bude dvojaka:

u vidu tablice u kojoj su date vrednosti sluajne veliine i odgovarajue verovatnoe (niz raspodele sluajne veliine X),

mnogougaonik raspodele, koji predstavlja grafiki prikaz zakona raspodele, gde se na osi apscise predstavljaju mogue vrednosti sluajne promenljive(xi) a na ordinati odgovarajue verovatnoe.

Za neprekidne sluajne promenljive oblik zakona raspodele, kao to je niz raspodele, ne postoji. Meutim funkcija raspodele F(x) je univerzalna i potpuna karakteristika svih sluajnih veliina (prekidnih i neprekidnih).

Opte osobine funkcije raspodele su sledee:

1. F(x) je neopadajua funkcija argumenta x, F(x2) > F(x1), ako je x2 > x1;

2. F() = 0 3. F(+) = 1

Ako se zna niz raspodele diskretne sluajne promenljive, lako se moe formirati funkcija raspodele:


19

= tetf t (4.12)

gde je parametar a t vreme otkaza. Oblik eksponencijalne raspodele dat je na slici (4.1)

tt

f(t)

0

F(t)f(t)

R(t) = 1 - F(t)

Slika 4.1 Eksponencijalna raspodela


25

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.2 Funkcija pouzdanosti u sluaju eksponencijalne raspodele

Korienjem jednaine (3.8) moe se dobiti funkcija pouzdanosti:

== t tdtetFtR0

1)(1)( (4.13)

odnosno:

tetR =)( (4.14)

Oblik funkcije pouzdanosti prikazan je na slici 4.2.

Funkcija intenziteta otkaza je po definiciji (jednainu 3.17) jednaka:

===

t

t

ee

tRtft)()()( (4.15)

Prema tome, u sluaju eksponencijalne raspodele intenzitet otkaza ne zavisi od vremena i uvek ima konstantnu vrednost. To je veoma povoljna okolnost koja mnogo uproava izraunavanje u sluajevima kada se moe primeniti eksponencijalna raspodela, a to je sluaj kod elektronskih sistema. Proizilazi da se odreivanjem parametra eksponencijalne raspodele, u isto vreme dobija i vrednost intenziteta otkaza. Intenzitet otkaza se moe predstaviti pravom linijom kao na slici 4.3.


26

t

(t)

0

= const.

Slika 4.3 Funkcija intenziteta otkaza u sluaju eksponencijalne raspodele

Oekivano vreme bezotkaznog rada dobija se iz jednaine (3.18) ili (3.20):

===00

1)( dtedttRT tSR (4.16)

Znai, oekivano vreme bezotkaznog rada je jednako recipronoj vrednosti intenziteta otkaza . Ta vrednost se esto obeleava sa MTTF, pa je znai:

1=MTTF (4.17)

Ovo je jo jedna povoljna okolnost kada je u pitanju eksponencijalna raspodela, jer se odreivanjem intenziteta otkaza vrlo lako moe dobiti vrednost MTTF, i obrnuto.

Slika 4.1. moe da poslui za grafiko predstavljanje veza datih jednaina (3.1), (3.2) i (3.4). Poznato je iz teorije verovatnoe da je povrina ispod krive f(t) jednaka jedinici. Povrina od 0 do vremena t jednaka je verovatnoi pojave otkaza F(t) (jednaina 3.1) dok je povrina od vremena t do jednaka verovatnoi bezotkaznog rada R(t), tj. 1 F(t) (jednaine 3.2 i 3.3). Isto tumaenje moe se primeniti bez obzira na oblik raspodele, to znai da su navedeni odnosi opte primenljivi.

4.2.2. Normalna raspodela

Jednaina za funkciju gustine otkaza u sluaju normalne raspodele je:


27

0,0,0,2

1)(2

21

>>=

tetf

t

(4.18)

gde je - srednja vrednost, - standardna devijacija i t - vreme otkaza. To je dvoparametarska raspodela sa parametrima i , koja predstavlja dobar model u

sluajevima kada dolazi do postepenog starenja sistema u toku upotrebe tj. kada se javlja istroenost. Pri odreivanju pouzdanosti retko se koristi oblik normalne raspodele dat jednainom (4.18), jer se integral te jednaine ne moe izraunati u konanoj formi. Zbog toga se koristi tzv. standardizovana normalna raspodela (z), za koju postoje tabele iz kojih se mogu nai povrine ispod funkcije gustine otkaza za bilo koju normalnu raspodelu. Jednaina (4.18) moe se prevesti u standardizovani oblik uvoenjem smene:

= tz (4.19)

Poto povrine ispod f(t) i (z) moraju biti jednake vai odnos:

dzzdttf )()( = (4.20)

Iz jednaine (4.20) sledi:

dzdttfz )()( = (4.21)

dok se diferenciranjem jednaine (4.19) dobija:

dtdz = (4.22)

Zamenom u jednainu (4.21) dobija se:

)()( tfz = (4.23)

Uzimajui u obzir jednainu (4.18) moe se napisati konaan oblik standardizovane normalne raspodele:


28

==z z z

dzedzzzF2

21

21)()( (4.25)

Na slici 4.4 dat je izgled normalne raspodele.

t

f(t) (z)

0

0 z= t - -

Slika 4.4 Normalna raspodela

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.5 Funkcija pouzdanosti u sluaju normalne raspodele

Korienjem jednaine (3.4) i uvoenjem standardizovane normalne raspodele, funkcija pouzdanosti se moe dobiti u obliku:


29

==zt

dzzdttftR )()()( (4.26)

odnosno:

)(1)(1)( zFdzztRz

== (4.27)

Na slici 4.5 dat je oblik funkcije pouzdanosti.

Funkcija intenziteta otkaza (t) dobija se iz jednaina (3.17) i (4.23):

)()(

)()()(

tRz

tRtft

== (4.28)

To je monotono rastua funkcija vremena, a njen izgled dat je na slici 4.6.

t

(t)

0 Slika 4.6 Funkcija intenziteta otkaza u sluaju normalne raspodele

Korienjem jednaina (3.18) i (4.18) moe se dobiti oekivano vreme bezotkaznog rada E(T). Posle odreenih operacija, dobija se da je:

=SRT (4.29)

tj. oekivano vreme bezotkaznog rada jednako je srednjoj vrednosti . Ovde treba dati napomenu koja se odnosi na povrinu ispod funkcije f(t) tj. (z). Ova

funkcija je definisana za vrednosti t, tj. z, od do +, i onda je povrina ispod nje jednaka 1. Meutim, kako vreme ne moe da bude negativno, u teoriji pouzdanosti se normalna raspodela


30

definie za vrednosti t od 0 do . To je sasvim prihvatljivo, jer na primer, kada je t = 4,5 = 0, tj. z = 4,5 (slika 4.7), povrina za t 0 je svega 0,0000034 to se moe zanemariti. Kad je t = 3,5 = 0, tj. z = 3,5 povrina za t 0 je 0,00023 to je takoe malo, itd.

U praksi, otkazi u zoni tzv. negativnih vremena oznaavali bi otkaze koji su se desili pre nego to je sistem puten u korienje. Tada se uzima da su ovakvi otkazi desili u vremenu t = 0, a njihovi uzroci su u grekama koje nije otkrila kontrola kvaliteta. Verovatnoa deavanja ovakve vrste otkaza moe se izraunati ako se zna koeficijent varijacije, tj. odnos izmeu standardne devijacije i srednje vrednosti . Reciprona vrednost koeficijenta varijacije je / , a vrednosti t = 0 odgovara vrednost z = / (sliku 4.4 i jednaina 4.19). Prema tome, ostaje da se iz tablica proita vrednost povrine ispod normalne raspodele levo od / , to e dati verovatnou deavanja ovakve vrste otkaza.

Isto tako, u teoriji pouzdanosti vrednost za uvek je pozitivna jer je to vremenska kategorija, dok u ostalim primenama ova vrednost moe biti od do .

t

f(t) (z)

0 4 3 2 1 +1 +2 +3 +4

0-1-2-3-4 1 2 3 4 z

4,5

0.0000034

Slika 4.7 Ilustracija definisanosti normalne raspodele za sluaj t = 4,5 = 0, tj. z = 4,5

4.2.3. Lognormalna raspodela

Lognormalna funkcija gustine otkaza ima oblik:

0,0,0,2

1)(2ln

21

>>>=

te

ttf

t

(4.30)

gde su i parametri, a t sluajna promenljiva veliina koja oznaava vreme otkaza. Na slici 4.8 dat je izgled jedne lognormalne raspodele.


31

t

f(t)

0 Slika 4.8 Lognormalna raspodela

Ako se definie nova sluajna promenljiva x kao x = ln t, onda e x imati normalnu raspodelu sa srednjom vrednou i standardnom devijacijom . Funkcija pouzdanosti bie:

==t t

dtet

tFtR0

ln21 2

211)(1)(

(4.31)

Ako se ima na umu jednaina (4.19), moe se napisati:

== txz ln (4.32)

pa se izraz za funkciju pouzdanosti moe napisati u obliku:

=z

dzztR )(1)( (4.33)

gde je z dato jednainom (4.32). Oblik funkcije pouzdanosti dat je na slici 4.9. Diferenciranjem jednaine (4.32) dobija se:

tdtdz = (4.34)

pa se zamenom u jednainu (4.20) dobija:

)()( tftz = (4.35)


32

gde je z odreeno jednainom (4.32). Sada e funkcija intenziteta otkaza biti:

)()(

)()()(

tRtz

tRtft ==

(4.36)

njen oblik dat je na slici 4.10.

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.9 Funkcija pouzdanosti za sluaj lognormalne raspodele

Izraz za oekivano vreme bezotkaznog rada TSR dobija se iz jednaina (3.18) i (4.30). Posle odreenih matematikih operacija dobija se:

2

21+= eTSR (4.37)

t

(t)

0 Slika 4.10 Funkcija intenziteta otkaza u sluaju lognormalne raspodele


33

Lognormalna raspodela ima veliku primenu u odravanju sistema. Isto tako, to je veoma dobar model za prouavanje otkaza iji je uzrok zamor materijala.

4.2.4. Vajbulova raspodela

Funkcija gustine otkaza za Vajbulovu raspodelu glasi:

0,0,,)(1

>>

=

tettft

(4.38)

gde je t vreme otkaza, parametar poloaja, parametar oblika i parametar razmere. Negativna vrednost parametra bi znaila da sistem moe da otkae pre poetka korienja. U momentu putanja sistema u rad parametar jednak je 0, a vreme otkaza t uvek je vee ili jednako .

Korienjem veze date jednainom (3.4), funkcija pouzdanosti se moe dobiti u sledeem obliku:

=

t

etR )( (4.39)

t

f(t)

0

=0,5=1

=2=3

1

Slika 4.11 Vajbulova raspodela za = 0, = const. i razne vrednosti parametra


34

t

R(t)

0

1,0

=0,5=1

=2=4

Slika 4.10 Funkcija pouzdanosti u sluaju Vajbulove raspodele za = 0, = const. i razne

vrednosti parametra

Funkcija intenziteta otkaza bie:

1

)()()(

==

t

tRtft (4.40)

Oblik funkcija f(t), R(t) i (t) veoma zavisi od parametra , i . Na slici 4.11 prikazani su razni oblici funkcije gustine otkaza zavisno od vrednosti parametra , pri emu je = 0 i = const.

Vajbulova raspodela je veoma sloenog oblika, a zavisno od svojih parametara moe prei u neku jednostavniju raspodelu. Tako za = 0 i = 1 ona prelazi u eksponencijalnu raspodelu iji je parametar u tom sluaju jednak 1 / , a kada je = 0 i = z dobija se tzv. Rajlijeva raspodela.

Na slici 4.12 dat je izgled funkcije pouzdanosti zavisno od parametra Na oblik funkcije intenziteta otkaza najvei uticaj ima parametar (slika 4.13). Kada je 0 < < 1 funkcija intenziteta otkaza opada sa vremenom, kada je = 1 intenzitet

otkaza ne zavisi od vremena (eksponencijalna raspodela), a kada je > 1 funkcija intenziteta otkaza je rastua.

Izraz za oekivano vreme bezotkaznog rada glasi:

++= 11SRT (4.41)

gde je

+ 11 tzv. gama funkcija od

+11 .


35

t

(t)

0

=0,5=1

=2=4

1

Slika 4.13 Funkcija intenziteta otkaza u sluaju Vajbulove raspodele za = 0, = const. i razne

vrednosti parametra

Vajbulova raspodela se uprkos svoje sloenosti veoma esto koristi u praktinim primenama. Razlog je u tome to se mnogi oblici otkaza mogu njome veoma dobro aproksimirati. Dok je primena eksponencijalne raspodele ograniena zbog pretpostavke o konstantnoj vrednosti intenziteta otkaza, dotle Vajbulova raspodela moe da ukljui opadajue, konstantne i rastue funkcije intenziteta otkaza. Kako mnogi otkazi u praktinim situacijama, naroito u sluajevima neelektronskih sistema, pokazuju rastuu tendenciju u toku vremena, primena Vajbulove raspodele, omoguuje razmatranje oblika ovakvih otkaza.

4.2.5. Gama raspodela

Gama raspodela ima sledeu funkciju gustine otkaza:

0,0,,)(

1)(1

>>

=

tettft

(4.42)

gde je t vreme otkaza, parametar poloaja, parametar oblika, parametar razmere i () gama funkcija. Ono to je reeno kod Vajbulove raspodele vai i za gama raspodelu.

Funkcija pouzdanosti bie:

==t t

dtettFtR

1

)(11)(1)( (4.43)


36

Vrednost povrine ispod gama funkcije gustine otkaza moe se odrediti iz tabela koje su u tu svrhu napravljene. Kada je parametar ceo broj, moe se pokazati da se integral u jednaini (4.43) moe izraunati preko redova, tako da je:

=

=

=

=

1

0 !1

!11)(

k

tk

k

tk

etk

etk

tR (4.44)

Funkcija intenziteta otkaza data je optom jednainom (3.17), a kada je ceo broj moe se izraunati iz izraza:

=

==1

0

1

!1

)(1

)()()(

k

tk

t

etk

et

tRtft (4.45)

U sluaju kada je ceo broj, gama funkcija () dobija se iz obrasca:

)!1()( = (4.46)

Oblik funkcija f(t), R(t) i (t) zavisi od vrednosti , i .Na slici (4.14) dati su razni oblici funkcije gustine otkaza f(t) zavisno od parametra , pri emu je = 0 i = const.

Slika 4.15 prikazuje razne oblike funkcije pouzdanosti R(t) zavisno od parametra , pri emu je = 0 i = const.

Razni oblici funkcije intenziteta otkaza (t) zavisno od parametra , pri emu je = 0 i = const. prikazani su na slici 4.16.

t

f(t)

0

=0,5=1

=2=3

1

Slika 4.14 Gama raspodela za = 0, = const. i razne vrednosti parametra


37

Kao kod Vajbulove raspodele, funkcija intenziteta otkaza (t) opada sa vremenom kada je 0 < 1.

Oekivano vreme bezotkaznog rada u sluaju gama raspodele izraunava se iz obrasca:

+=SRT (4.47)

=1

=3

=2

t

R(t)

0

1,0

Slika 4.15 Funkcija pouzdanosti u sluaju gama raspodele za = 0, = const. i razne vrednosti

parametra

t

(t)

0

=0,5

=1=2=3

1

Slika 4.16 Funkcija intenziteta otkaza u sluaju gama raspodele za = 0, = const. i razne

vrednosti parametra


38

Gama raspodela je fleksibilan model koji moe da se primeni u pouzdanosti za opisivanje raznih vrsta otkaza. Za vrednosti parametra = 0 i = 1 gama raspodela prelazi u eksponencijalnu sa parametrom = 1 / . Gama raspodela moe da se koristi i za vreme do n-tog otkaza sistema, ako je raspodela vremena otkaza eksponencijalna. U tom sluaju, ako su t1, t2, ... tn, nezavisne sluajne promenljive veliine koje imaju eksponencijalnu raspodelu sa parametrom , onda je T = t1+ t2+ ... + tn sluajna promenljiva veliina koja ima gama raspodelu sa parametrima = 1 / i = n (pri emu je = 0).

4.2.6. Beta raspodela

Ova raspodela koristi se za opis sluajne veliine koja moe da uzima vrednosti iz zatvorenog intervala. Ova vrsta raspodele ima veliku ulogu u statistikoj kontroli kvaliteta i teoriji pouzdanosti.

Funkcija gustine raspodele otkaza data je izrazom:

>>


39

Neke krive za funkciju B(, ) date su na slici 4.17.

t

B( , )

0 0,5 1

(6, 2)

(1/2,1/2)

(8, 8)(1, 3)

1

2

3

Slika 4.17 Gustine beta raspodele

Specijalni sluajevi beta raspodele su:

1) Ravnomerna raspodela

Dobija se za = = 1. Gustina raspodele je:

= )1,0(1)1,0(0

)( tzatza

tf (4.53)

Funkcija raspodele je:

>

0) koji oznaava najverovatniji broj otkaza. Kada je kod binomne raspodele date jednainom (4.69) n > 20 i q 0,05 ona se moe zadovoljavajue aproksimirati Poasonovom raspodelom, pri emu je = nq.

Oblik funkcije gustine verovatnoe za Poasonovu raspodelu dat je na slici 4.20.

Kumulativna funkcija raspodele data je izrazom:

...2,1,0,!

)()(0

=== =

x

xexXPxF

x

i

i (4.75)

x

f(t)

0 Slika 4.20 Poasonova raspodela

Funkcija gustine verovatnoe za Poasonovu raspodelu moe se napisati u obliku:

,...2,1,0,!

)()()( ====

xi

etxXPxftx (4.76)


45

gde je konstanta koja oznaava frekvenciju odigravanja odreenih dogaaja u jedinici vremena, a t je fiksirani vremenski interval. To znai, ako je frekvencija deavanja otkaza u jedinici vremena, u vremenskom intervalu t moe se oekivati ukupno t otkaza. Prema tome, u ovom sluaju parametar Poasonove raspodele jednak je t. Kada je broj otkaza x jednak nuli, jednaina (4.74) direktno daje izraz za pouzdanost identian sa obrascem za pouzdanost u sluaju eksponencijalne raspodele.

Srednja vrednost Poasonove raspodele data je jednainom:

=)(XTSR (4.77)

a predstavlja oekivani broj otkaza.

4.3.3. Geometrijska raspodela

Neka se izvodi niz eksperimenata pri emu je verovatnoa uspeha svakog od njih p, a verovatnoa neuspeha q = 1 p. Ovo su tzv. Bernoullijevi eksperimenti. Sluajna veliina X predstavlja dogaaj da je potrebno izvriti tano n eksperimenata do prvog neuspeha (na primer otkaza) ima geometrijsku raspodelu. Ova raspodela data je izrazom:

...,2,1)1()()( 1 ==== xqqxXPxf x (4.78)

Matematiko oekivanje je jednako:

qxTSR

1)( = (4.79)

Izgled raspodele za q = 0,5 dat je na slici 4.21.


46

x

f t( )

0 Slika 4.21 Izgled geometrijske raspodele za q = 0,5

4.3.4. Hipergeometrijska raspodela

Neka je od n elemenata nekog skupa njih m posebno oznaeno. Bira se sluajan uzorak od r elemenata. Neka je X sluajna promenljiva koja oznaava broj posebno oznaenih elemenata u uzorku. Ova sluajna promenljiva ima hipergeometrijsku raspodelu. Ovaj zakon raspodele lako se izvodi poznavanjem kombinatorike i glasi:

...,2,1,)()( =

=== xrn

xrmn

xm

xXPxf (4.80)

Na slici 4.22 dat je izgled hipergeometrijske raspodele za n = 10, m = 5 i r = 5.

x

f t( )

0 Slika 4.22 Hipergeometrijska raspodela za n = 10, m = 5 i r = 5

Odreivanje zakona raspodele na osnovu empirijskih podataka

47

5. ODREIVANJE ZAKONA RASPODELE NA OSNOVU EMPIRIJSKIH PODATAKA

Ispitivanjem veka trajanja nekog sistema ili njegvim korienjem, odnosno posmatranjem

sluajnih pojava u tom sistemu, koje nastaju u praktinim situacijama, kao to je npr. posmatranje vremena do otkaza nekog ureaja, dobija se skup statistikih podataka, koji karakteriu ovu sluajnu pojavu i koji se naziva statistiki materijal. Sreivanjem i obraivanjem ovog materijala primenom raznih statistikih metoda, moe se nai odgovarajua funkcija raspodele kao i njeni parametri, a tom funkcijom najjednostavnije se moe aproksimirati posmatrani statistiiki materijal.

Jasno se mogu izdvojiti tri zadatka vezana za pronalaenje karakteristika sluajne veliine na bazi eksperimentalnih podataka. To su:

postavljanje hipoteze o klasi funkcije raspodele kojoj pripada sluajna veliina na osnovu posmatranja statistikog materijala,

provera ispravnosti postavljene hipoteze odreivanje nepoznatih parametara raspodele i ocena njihove tanosti.

U nastavku e biti izloene metode za odreivanje funkcije raspodele i njenih parametara .

5.1. Odreivanje zakona raspodele grafikim metodama

Grafike metode prestavljaju jednostavne postupke za pronalaenje klase funkcije raspodele i njenih parametara, tako da se najvernije moe aproksimirati odreeni skup statistikih podataka. Upravo ova jednostavnost ini ovu metodu najzastupljenijom u ininjerskoj praksi.

5.1.1. Odreivanje zakona raspodele na osnovu empirijske funkcije raspodele (metodom konstrukcije histograma)

Odreivanje zakona raspodele na osnovu epmirijske funkcije raspodele daje dobre rezultate, kada se raspolae skupom statistikih podataka velkog obima. Kao rezultat dobija se histogram, odnosno izlomljena kriva koja predstavlja aproksimaciju grafika funkcije gustine raspodele. Na taj nain mogu se dobiti statistiko matematiko oekivanje xm i statistika

disperzija xD .

Neka je na raspodlaganju skup eksperimentalno dobijenih podataka: .,..., 21 nttt Postupak odreivanja zakona raspodele sprovodi se u vie sledeih koraka:

1. Normalizuje se skup elemenata nttt ,..., 21 i na taj nain dobija novi skup sa elementima nxxx ,..., 21 , koji se raunaju po formuli:


48

o

ii T

tx = (5.1)

pri emu je:

=

=n

iio tn

T1

1 (5.2)

2. Deli se celokupni interval vrednosti elemenata skupa ,,..., 21 nxxx na intervale. Optimalan broj intervala dobija se po formuli:

nl log3,31 += (5.3)

3. Svi intervali imaju istu irinu x koja se dobija na sledei nain:

nxxxlog3,31

minmax

+= (5.4)

gde su maxx i minx maksimalna i minimalna vrednost iz skupa ,,..., 21 nxxx respektivno.

4. Prebrojavaju se elementi ix , koji pripadaju svakom od intervala, u oznaci id . Na

osnovu id mogu se odreivati jo neke veliine. Uestanosti i-tog intervala

ip se rauna po formuli:

ndp ii = (5.5)

Suma uestanosti svih intervala jednaka je jedinici odnosno:

11

==

l

iip (5.6)

Ako se *ip podeli sa irinom intervala x dobija se veliina if koja odgovara vrednosti funkcije raspodele na i-tom intervalu.

5. Na osnovu prethodnih taaka, pristupa se crtanju histograma. Na apscisu se nanosi opseg minmax xx i ucrtavaju se intervali. Nad svakim intervalom crta se pravougaonik, ija visina odgovara vrdnosti f i . Ukupna povrina ispod histograma jednaka je jedinici. Oblik histograma govori o kojoj se raspodeli radi, na osnovu slinosti sa graficima funkcije gustine raspodele ( )xf nekih vanijih raspodela.


49

6. Kada se izvre svi prethodni koraci, mogu da se izraunaju statistiko matematiko oekivanje xm i statistika disperzija

xD po formulama:

=

=l

iiix pxm

1

(5.7)

( )=

=l

iixix pmxD

1

2 (5.8)

gde je ix predstavlja srednju vrednost sluajne promenljive na i-tom intervalu.

Takoe se moe izraunati i k-ti centralni momenat, km po formuli:

=

= ili

kik pxm

1

(5.9)

fi*

0 1 2 3 4 5 6 7 interval Slika 5.1 Histogram sluajne promenljive (aproksimacija gustine raspodele sluajne promenljive)

Glavni nedostatak ovog metoda je nemogunost razlikovanja uzroka greke, tanije dali je greka poslednica fluktuacije skupa statistikih podataka ili teoriskog modeliranja.

5.1.2. Odreivanje funkcije raspodele verovtnoe primenom papira vervoatnoe


50

Ova metoda se moe primeniti u sluaju odrivanja funkcije raspodele kada se radi o jednoparametarskim i dvoparametarskim zakonima raspodele. U sluaju da se ima vieparametarska raspodela sa N parametara ( )2>N , svodi se na sluaj dvoparametarske raspodele.

Dvoparametarska funkcija raspodele se predstavlja u obliku r =F(t,a,b) gde su a i b parametri raspodele, a t sluajni parametar vremena. Cilj je da se izvre sledee transformacije:

( )( )trtt

==

* (5.10)

tako da svaka funkcija raspodele iz posmatrane klase raspodela predstavlja

Documents

pouzdanost