EIE 267: ElectromagnetismoClase 4 – Potencial eléctrico

Profesor: Francisco Pizarro T.

Bibliografía sugerida

Introducción

Trabajo y energía potencial

Campo eléctrico

• A Student’s Guide to Maxwell’s Equations (Daniel Fleisch)

• Electromagnetics with applications (John Krauss)

• Engineering Electromagnetics (William Hayt)

Bibliografía recomendada

3

• De la Clase 1 (última vez que vemos esto): Campo eléctrico y gravitacional

• Fuerza gravitacional en 𝑚 generada por 𝑀

4

Introducción

Masa 𝑀 Carga ±𝑞

Crea 𝑔 = 𝐺

𝑀

𝑟2 𝑟 𝐸 = 𝑘𝑒

𝑞

𝑟2 𝑟

Siente 𝐹𝑔 = 𝑚 𝑔 𝐹𝐸 = 𝑞𝐸

𝐹𝑔 = −𝐺𝑀𝑚

𝑟2 𝑟

Trabajo realizado por la gravedad

para mover m de un punto A hasta B

𝑊𝑔 = 𝐴

𝐵

𝐹𝑔 ⋅ 𝑑 𝑠

• Trabajo realizado por la tierra para mover m de un punto A a un punto B

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Trabajo y energía potencial

𝑊𝑔 = 𝐴

𝐵

𝐹𝑔 ⋅ 𝑑 𝑠 𝑊𝑔 = 𝐴

𝐵

−𝐺𝑀𝑚

𝑟2 𝑟 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟 + 𝑟𝑑𝜃 𝜃

𝑊𝑔 = 𝑟𝐴

𝑟𝐵

−𝐺𝑀𝑚

𝑟2𝑑𝑟 = 𝐺𝑀𝑚

1

𝑟𝐵+

1

𝑟𝐴

𝜃

𝑟𝑑𝑙

𝑑𝑟

𝐴

𝐵

𝐹𝑔

𝑟𝐴

𝑟𝐵

• Aterricemos un poco el asunto: gravedad cerca de la superficie de la Tierra

> G casi constante:

> Trabajo realizado por la gravedad para mover 𝑚 de 𝐴 a 𝐵

• 𝑊𝑔 depende sólo del punto inicial y final, no de la trayectoria

• Es una fuerza conservativa

6

Trabajo y energía potencial

𝑊𝑔 = 𝐴

𝐵

𝐹𝑔 ⋅ 𝑑 𝑠 𝑊𝑔 = 𝐴

𝐵

−𝑚𝑔 𝑦 ⋅ 𝑑 𝑠

𝑊𝑔 = 𝑦𝐴

𝑦𝐵

−𝑚𝑔𝑑𝑦 = −𝑚𝑔 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴

𝑔 = −𝐺𝑀

𝑟𝐸2 𝑦 = −𝑔 y

𝑚𝑔

𝑑𝑠𝑑𝑦

𝑦𝐵

𝑦𝐴

𝑥

𝑦

𝐹 ⋅ 𝑑 𝑠 =0

• Energía potencial (Joules): existe en varias formas

> Identifique las energías potenciales en el siguiente video

> En la superficie de la Tierra

• Potencial gravitatorio (Joules/kg):

7

Trabajo y energía potencial

Δ𝑈𝑔 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = − 𝐴

𝐵

𝐹g ⋅ 𝑑 𝑠 = −𝑊𝑔

Δ𝑈𝑔 = 𝑚𝑔ℎ

Energía potencial

𝑊𝑔 = −𝑚𝑔ℎ

Trabajo realizado

Δ𝑉𝑔 =Δ𝑈𝑔

𝑚= −

𝐴

𝐵

𝐹g/m ⋅ 𝑑 𝑠 = − 𝐴

𝐵

𝑔 ⋅ 𝑑 𝑠Trabajo por unidad de masa

para mover una partícula de

un punto A hacia un punto B

𝐹𝑔 → 𝑔 Δ𝑈𝑔 → Δ𝑉𝑔

Fuerza Campo Energía Potencial

• Volvamos a la electroestática

• Ambas fuerzas son conservativas:

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Trabajo y energía potencial

Masa 𝑀 Carga ±𝑞

𝑔 = 𝐺𝑀

𝑟2 𝑟 𝐸 = 𝑘𝑒

𝑞

𝑟2 𝑟

𝐹𝑔 = 𝑚 𝑔 𝐹𝐸 = 𝑞𝐸

Δ𝑉𝑔 = − 𝐴

𝐵

𝑔 ⋅ 𝑑 𝑠

Δ𝑈𝑔 = − 𝐴

𝐵

𝐹g ⋅ 𝑑 𝑠

Δ𝑉 = − 𝐴

𝐵

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠

Δ𝑈 = − 𝐴

𝐵

𝐹e ⋅ 𝑑 𝑠

Veamos entonces que sucede en electroestática…

• Potencial eléctrico: cantidad de trabajo realizado por unidad de carga para mover una carga de prueba 𝑞 desde un punto 𝐴 hacia un punto 𝐵

• Energía potencial eléctrica: capacidad de hacer un trabajo para mover de un punto 𝐴 hacia un punto 𝐵

• Las cargas crean curvas de potencial (veremos en detalle luego…)

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Potencial y energía

Δ𝑉 = − 𝐴

𝐵

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠 Joules/Coulomb = Volts

Δ𝑈 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = 𝑞Δ𝑉 Joules

V 𝑟 = 𝑉0 + Δ𝑉 = 𝑉0 − 0

𝑟

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠

• Pongamos una carga positiva que se mueve en un campo uniforme 𝐸 = 𝐸0(− 𝑗):

> Las líneas de campo eléctrico apuntan siempre desde un potencial alto hacia uno más bajo

> Energía potencial: Δ𝑈 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = −𝑞𝐸0𝑑 ; 𝑞 > 0 ∴ Δ𝑈 < 0

> La energía potencial de una carga positiva disminuye mientras se mueve en la dirección del campo eléctrico

10

Potencial y energía

+

+

d

𝐸

Camino paralelo a 𝐸

Δ𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐴

𝐵

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠 = −𝐸0 𝐴

𝐵

𝑑𝑠 = −𝐸0𝑑 < 0

A

BPunto 𝐵 está a un menor potencial que 𝐴

• Pregunta: (grupos de 4-5 personas) que pasa si la carga se mueve con un ángulo 𝜃:

11

Potencial y energía

+

+

𝑠

𝐸

A

BC

𝜃

• Pregunta: (grupos de 4-5 personas) que pasa si la carga se mueve con un ángulo 𝜃:

> Si la dirección del movimiento es 𝐴 → 𝐶 → 𝐵: ΔV = Δ𝑉𝐶𝐴 + Δ𝑉𝐵𝐶

> Los puntos 𝐵 y C están en el mismo potencial eléctrico: 𝑉𝐵 = 𝑉𝐶

> ΔU = 𝑞Δ𝑉 no se requiere trabajo para mover una carga de 𝐵 a 𝐶: Línea equipotencial

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Potencial y energía

+

+

𝑠

𝐸

A

BC

𝜃Δ𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −

𝐴

𝐵

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠 =− −𝐸 ⋅ 𝑠 = −𝐸0𝑠 cos 𝜃 = −𝐸0𝑦

0

• Si movemos de un punto A hacia un punto B

> Si 𝑉 = 0 en 𝑟 = ∞

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Potencial y energía: potencial creado por una carga puntual

𝜃

𝑑𝑟

𝐴

𝐵

𝑑 𝑠

𝑟𝐴

𝑟𝐵 𝑟

𝑄

𝑟

Δ𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐴

𝐵

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠 𝐸 = 𝑘𝑄 𝑟

𝑟2

Δ𝑉 = − 𝐴

𝐵

𝑘𝑄 𝑟

𝑟2⋅ 𝑑 𝑠 = −𝑘𝑄

𝐴

𝐵 𝑑𝑟

𝑟2

Δ𝑉 = 𝑘𝑄1

𝑟𝐵−

1

𝑟𝐴

𝑟 ⋅ d s = 𝑑𝑠 cos 𝜃 = 𝑑r

𝑉(𝑟) =𝑘𝑄

𝑟

Si existen más cargas se puede aplicar superposición

𝑉(𝑟) = 𝑘

𝑖

𝑞𝑖

𝑟𝑖

• Encontrar el potencial eléctrico en un punto arbitrario en el eje 𝑥 y graficar

• Solución: aplicando superposición

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Potencial y energía: potencial eléctrico en un sistema con dos cargas

𝑥

𝑦

−𝑞 𝑞

𝑉0 =𝑞

4𝜋𝜖0𝑎

𝑉 𝑥 =1

4𝜋𝜖0

𝑞

𝑥 − 𝑎+

1

4𝜋𝜖0

−𝑞

𝑥 + 𝑎=

𝑞

4𝜋𝜖0

1

|𝑥 − 𝑎|−

1

|𝑥 + 𝑎

𝑎 𝑎

𝑉 𝑥

𝑉0=

1

|𝑥/𝑎 − 1|−

1

𝑥/𝑎 + 1

• Encontrar el potencial eléctrico en un punto arbitrario en el eje 𝑥 y graficar

• Gráficamente

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Potencial y energía: potencial eléctrico en un sistema con dos cargas

𝑥

𝑦

−𝑞 𝑞

𝑎 𝑎

𝑉 𝑥

𝑉0=

1

|𝑥/𝑎 − 1|−

1

𝑥/𝑎 + 1

𝑥/𝑎

𝑉 𝑥

𝑉0

En ayudantía verán otras distribuciones…

• Ahora si, resumen comparativo gravedad/electroestática

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Potencial y energía

Gravedad Electroestática

Unidad básica Masa 𝑚 Carga 𝑞

Fuerza 𝐹𝑔 = −𝐺𝑀𝑚

𝑟2 𝑟 𝐹𝐸 =𝑘𝑒𝑄𝑞

𝑟2 𝑟

Campo 𝑔 = 𝐹𝑔/𝑚 𝐸 = 𝐹𝑒/𝑞

Cambio energía potencialΔU = −

𝐴

𝐵

𝐹g ⋅ 𝑑 𝑠 ΔU = − 𝐴

𝐵

𝐹𝑒 ⋅ 𝑑 𝑠

Potencial𝑉𝑔 = −

𝐴

𝐵

𝐹g ⋅ 𝑑 𝑠 𝑉 = − 𝐴

𝐵

𝐹𝑒 ⋅ 𝑑 𝑠

Potencial unidad básica𝑉𝑔 = −

𝐺𝑀

𝑟𝑉 =

𝑘𝑒𝑄

𝑟

Cambio energía potencial

(campo constante)ΔU𝑔 = 𝑚𝑔𝑑 ΔU𝑔 = 𝑞𝐸𝑑

• Sistema con dos cargas: potencial debido a 𝑞1 en P es igual a 𝑉1> Trabajo realizado por un agente para traer 𝑞2 desde el infinito a 𝑃: 𝑊2 = 𝑞2𝑉1

> No se requiere trabajo para posicionar la carga 𝑞1

> Si 𝑞1 y 𝑞2 tienen el mismo signo:

> Se debe realizar un trabajo positivo para contrarrestar fuerza de repulsión

> Energía potencial positiva 𝑈12 > 0

> Si 𝑞1 y 𝑞2 tienen signos opuestos:

> Fuerza de atracción entre las cargas

> Energía potencial positiva 𝑈12 < 0

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Energía potencial en un sistema de cargas

𝑉1 =𝑞1

4𝜋𝜖0𝑟12𝑈12 = 𝑊2 =

1

4𝜋𝜖0

𝑞1𝑞2

𝑟12

𝑃

𝑞1

𝑞2

𝑟12

• Tarea 1: ¿qué pasa si agregamos una carga más?

18

Energía potencial en un sistema de cargas

𝑞1

𝑞2

𝑟12

𝑞3𝑟13

𝑟23

• Se deben sumar contribuciones del diferencial de carga 𝑑𝑞

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Distribución de cargas continua

𝑟

Δ𝑞

𝑟

𝑃

Δ𝐸

𝑉

𝑑𝑉 =1

4𝜋𝜖0

𝑑𝑞

𝑟𝑉 =

1

4𝜋𝜖0

𝑑𝑞

𝑟

• Obteniendo campo eléctrico a partir de la diferencia de potencial

> Si hacemos todas las coordenadas

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Gradientes y equipotenciales

Δ𝑉 = − 𝐴

𝐵

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠𝐴 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝐵 = 𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧

Δ 𝑠 = Δ𝑥 𝑖

Δ𝑉 = − 𝑥,𝑦,𝑧

𝑥+Δ𝑥,𝑦,𝑧

𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠 = −𝐸 ⋅ Δ 𝑠 = −𝐸 ⋅ Δ𝑥 𝑖 = −𝐸𝑥Δ𝑥

𝐸𝑥 = −ΔV

Δ𝑥→ −

𝜕𝑉

𝜕𝑥

𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧𝑥, 𝑦, 𝑧 Δ𝑠

𝑥

𝑦

𝐸 = −𝜕𝑉

𝜕x 𝑖 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧 𝑘 𝐸 = −𝛻𝑉

¿En qué

unidad está?

• Sistema en dos dimensiones con un potencial eléctrico 𝑉(𝑥, 𝑦)> Curvas con 𝑉(𝑥, 𝑦) constante: equipotenciales

• En tres dimensiones: superficies equipotenciales 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐𝑡𝑒

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Gradientes y equipotenciales

𝑥

𝑦

𝑉 = 𝐶1

𝑉 = 𝐶2

𝑉 = 𝐶3

𝐸 = −𝛻𝑉𝐸 es siempre perpendicular al equipotencial en el

punto

• ¿Cómo cambiaría 𝑉 en la vecindad del punto 𝑃(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦)?

> Si el vector de desplazamiento 𝑑 𝑠 = 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑 𝑦

22

Gradientes y equipotenciales

𝑥

𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑃(𝑥, 𝑦)𝑃(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦)

𝑥

𝑦𝑃(𝑥, 𝑦)

𝛻𝑉

𝑑𝑉 = 𝑉 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦 − 𝑉 𝑥, 𝑦

𝑑 𝑠

𝑑𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦 +𝜕V

𝜕𝑥+

𝜕V

𝜕𝑦+ ⋯ − 𝑉 𝑥, 𝑦 ≈

𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦 𝑗 ⋅ 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛻𝑉 ⋅ 𝑑𝑠 = −𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠

• ¿Cómo cambiaría 𝑉 en la vecindad del punto 𝑃(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦)?

> Si 𝑑 𝑠 se mueve sobre la tangente de la curva equipotencial por 𝑃(𝑥, 𝑦): 𝑑𝑉 = 0

> 𝑉 es constante en toda la curva

> Implica entonces que 𝐸 ⊥ d s a través de la curva equipotencial

> De forma análoga obtenemos la variación máxima de potencias 𝑑𝑉 cuanto 𝛻𝑉 es paralelo a 𝑑 𝑠

23

Gradientes y equipotenciales

𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦 𝑗 ⋅ 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛻𝑉 ⋅ 𝑑𝑠 = −𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠

max𝑑𝑉

𝑑𝑠= 𝛻𝑉

• Propiedades de las superficies equipotenciales:

> Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las equipotenciales y apuntan de potenciales altos hacia potenciales bajos

> Por simetría, las superficies equipotenciales producidas por una carga puntual forma una familia de esferas concéntricas, y para un campo eléctrico constante, una familia de planos perpendiculares a las líneas de campo.

> La componente tangencial del campo eléctrico a través de la superficie equipotencial es cero.

> No se requiere trabajo para mover una partícula en una superficie equipotencial

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Gradientes y equipotenciales

• Una fuerza 𝐹 es conservativa si su integral de línea en un lazo cerrado es cero

> 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑠 = 0

• El cambio de energía potencial asociado a una fuerza conservativa 𝐹 actuando sobre un objeto desplazándolo de 𝐴 hacia 𝐵

> Δ𝑈 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = − 𝐴𝐵 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑠

• La diferencia de potencial eléctrico ΔV entre un punto 𝐴 y un punto 𝐵, en un campo eléctrico

𝐸

> Δ𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =Δ𝑈

𝑞0− 𝐴

𝐵𝐸 ⋅ 𝑑 𝑠

> Cantidad de trabajo por unidad de carga para mover una carga de prueba 𝑞0 de 𝐴 hacia 𝐵, sin cambiar su energía cinética

• Potencia eléctrico carga puntual 𝑄 a una distancia 𝑟 de la carga:

> 𝑉 =1

4𝜋𝜖0

𝑄

𝑟

> Por principio de superposición, para múltiples cargas 𝑉(𝑟) =1

4𝜋𝜖0 𝑖

𝑄𝑖

𝑟𝑖

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Resumen

• La energía potencia asociada a dos cargas puntuales separadas por una distancia 𝑟12> 𝑈12 =

1

4𝜋𝜖0

𝑞1𝑞2

𝑟12

• A partir del potencial eléctrico, podemos obtener el campo eléctrico

> 𝐸 = −𝛻𝑉

> 𝐸𝑥 = −𝜕𝑉

𝜕𝑥; 𝐸𝑦 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑦; 𝐸𝑧 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑧

• Potencial eléctrico dado a una distribución de cargas continua:

> 𝑉 =1

4𝜋𝜖0

𝑑𝑞

𝑟

• Una tarea

• Próxima clase: Ley de Gauss

26

Resumen