PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Ejercicios de Calculo Diferencial

Fabio German Molina Focazzio

molinaf@javeriana.edu.co

Indice

1. Inecuaciones 2

1.1. Inecuaciones lineales . . . . . . 2

1.2. Inecuaciones de orden superiory fraccionarias . . . . . . . . . 2

1.3. Ecuaciones e inecuaciones convalor absoluto . . . . . . . . . . 2

1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . 2

2. Funciones 3

2.1. Dominio de una funcion y pro-blemas . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Transformaciones con funciones 4

2.3. Algebra de funciones y funciona trozos . . . . . . . . . . . . . 4

2.4. Funcion inversa . . . . . . . . . 5

3. Lımites 6

3.1. Concepto intuitivo de lımite . . 6

3.2. Algebra de lımites . . . . . . . 6

3.3. Asıntotas verticales y horizontales 7

4. Continuidad 7

4.1. Continuidad puntual . . . . . . 7

4.2. Continuidad en un intervalo . . 8

4.3. Teorema del valor intermedio . 8

5. Derivadas 8

5.1. Definicion de derivada . . . . . 8

5.2. Algebra de derivadas . . . . . . 9

5.3. Derivacion implıcita . . . . . . 10

5.4. Derivada de la funcion inversa . 10

5.5. Derivadas de las funciones trigo-nometricas inversas . . . . . . . 10

6. Razon de cambio 10

6.1. Problemas de razon de cambio 10

7. Trazado de curvas 12

7.1. Teoremas del valor medio y deRolle . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.2. Funciones crecientes y decre-cientes . . . . . . . . . . . . . . 12

7.3. Crecimiento, decrecimiento,puntos crıticos, concavidad ypuntos de inflexion. . . . . . . . 12

8. Maximos y mınimos 138.1. Problemas de optimizacion. . . 13

9. Regla de L’Hopital 149.1. Formas indeterminadas . . . . . 14

1. Inecuaciones

Halle el conjunto solucion de las siguientesinecuaciones:

1.1. Inecuaciones lineales

1. 2x+ 5 < 8

2. 4x− 2 > 9

3. 4− 5x ≤ 10

4. 2x+ 7 ≥ 4x− 2

5. −1 < 2x− 3 < 7

6. 2x+ 4 ≥ −1,∧, 1− 4x < 10

7. 0 ≤ 1− x < 1

8. x+43 ≤

3x−24

1.2. Inecuaciones de orden supe-rior y fraccionarias

9. x2 + 5x− 6 > 0

10. x3 ≥ 25x

11. 2x+4x−1 ≤

16x

12. 3x+2 ≤ 2x− 1

13. (x− 1)(x− 2) > 0

14. 2x2 + x ≤ 1

15. x2 < 3

16. x3 > x

17. x2 + 4x− 5 ≤ 0

18. x3 + 3x2 − 4x ≤ 0

19. 1x < 4

1.3. Ecuaciones e inecuacionescon valor absoluto

20. |2x| = 3

21. |x+ 3| = |2x+ 1|

22. |x− 4| < 1

23. |x+ 5| ≥ 2

1.4. Problemas

24. La relacion entre las escalas de tempera-tura Celsius y Fahrenheit esta dada porC = 5

9(F − 32), donde C es la temperatu-ra en grados Celsius y F es la temperatu-ra en grados Fahrenheit. Que intervalo enla escala Celsius corresponde al intervalo70 ≤ F ≤ 100?

25. Use la relacion entre las escalas Celsius yFahrenheit para hallar el intervalo en laescala Fahrenheit correspondiente a 40 ≤C ≤ 80

26. El costo total C de producir x unida-des de cierto artıculo esta dado por C =200x+ 3000. Determine un intervalo parael numero de unidades que se deben pro-ducir para que el costo total sea por lomenos 5000 y como maximo 7000, es de-cir, 5000 ≤ C ≤ 7000.

27. Un balon se lanza verticalmente hacia arri-ba desde la parte superior de un edificio de40m de altura, con una velocidad inicialde 10ms ; la altura h desde la parte inferiordel edificio t segundos despues del lanza-miento esta dada por h = 40 + 10t − 5t2.Determine el intervalo de tiempo para elcual el balon se encuentra a una altura depor lo menos 25m sobre el suelo.

28. Determine un intervalo para la longituddel lado de un cuadrado de tal forma que

2

su area este comprendida entre 10m2 y400m2.

2. Funciones

2.1. Dominio de una funcion yproblemas

Halle el dominio de las funciones definidaspor:

29. g(x) = 6√x3 − 4x

30. v(x) = x3−24−5x

31. f(x) =√

2x+ 3

32. f(x) = 2x−13x+2

33. f(x) = x3 + 5x2 + 3x+ 4

34. f(x) = x+4x3−9x

35. f(x) = 2x−36√x2+9x−10

36. f(x) = 2x−1x2−4

37. f(x) = 4√

4− x2

38. f(x) = x−1x2−5x +

√5x+ 4

39. f(x) = 3x|2x|−4

40. Si f(x) = 4x2 − 2x, y, g(x) =√

2x− 3halle:

a) f(3)

b) g(x2 − 1)

c) f(x+h)−f(x)h

d) g(x+h)−g(x)h

41. La altura de un cilindro circular recto esel doble del radio de la base

a) Determine el volumen V del cilindroen funcion del radio r de la base.

b) Determine el volumen V del cilindroen funcion de su altura h.

c) Determine el area total A de la super-ficie del cilindro en funcion del radior de la base.

d) Determine el area total A de la su-perficie del cilindro en funcion de sualtura h.

42. Con una hoja rectangular de 20cm delargo por 15cm de ancho se desea cons-truır una caja (paralelepıpedo rectangu-lar), cortando cuadrados de lado x en lasesquinas de la hoja.

a) Determine el volumen V de la cajaen funcion de x.

b) Determine el area total A de la su-perficie de la caja en funcion de x.

43. Se desea construır ina caja de base cuadra-da sin tapa con una altura igual al tripledel lado de la base. Si el costo por me-tro cuadrado de material para la base esde $1000 y el metro cuadrado de materialpara las caras laterales es de $1500, deter-mine el costo total de la caja como unafuncin del lado de la base.

44. Dos autos parten simultaneamente desdeel mismo punto en direcciones perpendicu-lares y con velocidades de 80kmh y 100kmh .determine una formula que describa la dis-tancia d entre los autos como una funciodel tiempo transcurrido t en segundos.

45. El costo de mano de obra para construıruna mesa es de $80000 y los costos fijosmensuales son de $500000.

a) Determine el costo total C en fun-ciıon del numero de mesas produci-das x.

b) Si cada silla se vende en $200000, de-termine el ingreso mensual I en fun-cion del numero de sillas vendidas x.

3

c) Halle la utilidad total mensual (bene-ficio) en funcion del numero de sillasproducidas y vendidas x.

46. Si el precio de una hamburguesa es de$20000 se demandan 50 hamburguesas,pero si se baja el precio a $15000 se de-mandan 80 hamburguesas. Determine lademanda (funcion precio) en funcion delnumero de unidades demandadas q, supo-niendo que es lineal.

2.2. Transformaciones con fun-ciones

47. Partiendo de las graficas de las funcionesdefinidas por: f(x) = x2, g(x) = 1

x , h(x) =|x|, utilice traslaciones y reflexiones pararepresentar las graficas de:

a) r(x) = −x2 + 3

b) s(x) = 1x+2 − 1

c) t(x) = − |x− 3| − 1

48. Partiendo de las graficas de las funcio-nes definidas por: f(x) = sen(x), g(x) =cos(x), utilice traslaciones, reflexiones, di-lataciones y contracciones, para represen-tar las graficas de las funciones definidaspor:

a) h(x) = 3 sen(x) + 2

b) r(x) = 13 cos(x)− 1

c) s(x) = sen(2x)

d) t(x) = 3 cos(12x) + 2

2.3. Algebra de funciones y fun-cion a trozos

49. Si f(x) = 2x2 − 3x y g(x) = x2

3x−1 halle:

a) (f ◦ g)(x)

b) (g ◦ f)(x)

c) (f ◦ f)(x)

d) (g ◦ g)(x)

50. Dada la tabla

x −5 −1 3 7

f(x) 3 −5 7 −1

g(x) −1 3 −5 7

Determine los siguientes valores:

a) 2f(−5) + 3g(7)

b) (f(−1))2 − (g(3))2

c) (f ◦ g)(3)

d) (g ◦ f)(3)

e) (f ◦ f)(−5)

f ) (g ◦ g)(−1)

51. Determine la ecuacion se la funcion a tro-zos cuya grafica se presenta a continua-cion:

52. Dada la siguiente grafica:

4

Determine:

a) (f + g)(3)

b) (fg )(4)

c) (f ◦ g)(3)

d) (g ◦ f)(2)

e) 4g(0)− 5g(3)

53. Represente la funcion a trozos definidapor:

f(x) =

−2x− 3 si x ≤ −2

−x2 + 5 si −2 < x < 1

x+ 1 si x ≥ 1

54. Represente la funcion a trozos definidapor:

f(x) =

−2 si x ≤ −1

√x+ 1 + 2 si −1 < x < 3

4 si x ≥ 3

55. Halle la ecuacion de la recta que contienelos puntos (2,−4) y (−2, 1)

56. Halle la ecuacion de la recta que tiene pen-diente -2 y contiene al punto (2,−3)

57. Determine la ecuacion de la recta que con-tiene al punto (3,−1) y es paralela a larecta de ecuacion 6x+ 3y = −2

58. Determine la ecuacion de la recta que con-tiene al punto (−3,−2) y es perpendiculara la recta de ecuacion 2x+ 10y = −5

59. Determine el vertice y los cortes con losejes de la parabola de ecuacion y = x2 −3x+ 2. Repesente la parabola.

60. Una parabola tiene una ecuacion de la for-ma y = ax2+bx+c. Determine los valoresde a, b y c de tal forma que la par’abolacontenga los puntos (−1, 2), (0,−1) y(2, 4)

61. Utilizando traslaciones y reflexiones sobrelas graficas de las funciones definidas pory = ex, y = ln(x) y y = 2x, represente:

a) y = ex−1 + 2

b) y = − ln(x+ 2) + 3

c) y = −2−x + 1

d) y = ln(−x) + 3

2.4. Funcion inversa

62. Grafique la inversa de la funcion que se re-presenta a continuacion. Indique el domi-nio y el rango de la funcion y de su inversa.

5

63. Grafique la inversa de la funcion que se re-presenta a continuacion. Indique el domi-nio y el rango de la funcion y de su inversa.

Para cada una de las funciones definidaspor las ecuaciones siguientes, halle f−1(x).Represente la funcion y su inversa.

64. f(x) = 2x+ 3

65. f(x) =√x− 2, con x ≥ 2

66. f(x) = 3√x+ 2

67. f(x) = −x2 + 1, con x ≥ 0

68. f(x) = sen(x) + 2, con −π2 ≤ x ≤

π2

69. f(x) = cos(x)− 1, donde 0 ≤ x ≤ π

3. Lımites

3.1. Concepto intuitivo de lımite

70. Dada la grafica de una funcion:

Evalue los siguientes lımites:

a) lımx→−2+

f(x), lımx→0−

f(x), lımx→0+

f(x)

b) lımx→0

f(x), lımx→2

f(x), lımx→4−

f(x)

c) lımx→3−

f(x), lımx→3+

f(x), lımx→3

f(x)

71. Considere la funcion definida por:

f(x) =

5 si x ≤ 2

x2 − 6x+ 10 si 2 < x < 5

4x− 15 si x ≥ 5Evalue los siguientes lımites:

a) lımx→2−

f(x), lımx→2+

f(x), lımx→2

f(x)

b) lımx→5−

f(x), lımx→5+

f(x), lımx→5

f(x)

3.2. Algebra de lımites

72. Si lımx→3

f(x) = 3, lımx→3

g(x) = 4, aplique

propiedades de los lımites y evalue:

6

a) lımx→3

(2f(x)− 3g(x))

b) lımx→3

√f(x))2 + (g(x))2

c) lımx→3

f(x)2f(x)−g(x)

Evalue los siguientes lımites:

73. lımx→2

2x+13x−2

74. lımx→3

x2−9x−3

75. lımx→1

x2+4x−5x2−x

76. lımx→−1

√2x+3−1x+1

77. lımx→−2

x3+8x2−4

78. lımx→0

2xx2−3

79. lımx→−1

x3−3x2+4x4−9

80. lımx→2

x−2√2x−2

81. lımx→5

xx−5

82. lımx→a

x2−a2x3−a3

83. lımh→0

1x+h− 1

x

h

84. lımx→3

x2−7x+123−x

85. lımx→∞

x2+83x2−4x+2

86. lımx→∞

2x2−2x+13x2−2

87. lımx→∞

3x3−5x+64x2−2x+1

88. lımx→∞

(√

4x− 1−√

9x)

3.3. Asıntotas verticales y hori-zontales

89. Determine las asıntotas horizontales y ver-ticales de la grafica de f(x) = 2x−1

x+3 .evaue los lımites lım

x→−3−f(x), lım

x→−3+f(x),

lımx→∞

f(x), represente las asıntotas y haga

un bosquejo de la grafica.

90. Determine las asıntotas horizontales y ver-ticales de la grafica de f(x) = x2−4

x2−9 .evaue los lımites lım

x→3−f(x), lım

x→3+f(x)

lımx→−3−

f(x), lımx→−3+

f(x), lımx→∞

f(x), repre-

sente las asıntotas y haga un bosquejo dela grafica.

Determine las asıntotas horizontales y ver-ticales de las funciones definidas por lasecuaciones siguientes. (Evalue los lımitescorrespondientes como en los dos ejerci-cios anteriores)

91. f(x) = 3x+2x+4

92. f(x) = 5x−2

93. f(x) = x2+1x2−1

94. f(x) = x3

x3−4x

4. Continuidad

4.1. Continuidad puntual

Determine si la funcion dada es contınuaen los valores de x indicados. En cada casoanalice todas las condiciones de la defini-cion de continuidad

95. f(x) = x+1x−1 ; En x = 1

7

96. f(x) =

−2x− 3 si x ≤ −2

−x2 + 5 si −2 < x < 1

x+ 1 si x ≥ 1

;

En x = −2; x = 1

97. f(x) =

−x3 + 3 si x ≤ 0

2x+ 3 si x > 0; En x = 0

98. f(x) =

x2−4x−2 si x 6= 2

3 si x = 2

; En x = 2

99. f(x) =

x2+3x−4x−1 si x 6= 1

5 si x = 1

; En x = 1

100. f(x) =

√3− 2x si x ≤ −3

|2x+ 3| si −3 < x < 2

−x+ 4 si x ≥ 2

;

En x = −3; x = 2

101. f(x) =

sen(x)+2cos(x)−1 si x < π

−2 si x = π

x−2ππ si x > π

;

En x = π

4.2. Continuidad en un intervalo

Indique los intervalos donde la funcion da-da es contınua.

102. g(t) = 4t2−1

103. h(u) = u−3u3−4u

104. r(s) = s2−2s2−3

105. f(t) = t−1t2−2t+1

106. p(x) = 2x2+x+1

107. f(x) =

x2+5x−6x2−1 si x 6= 1

72 si x = 1

;

4.3. Teorema del valor interme-dio

Utilice el Teorema del Valor intermedio,para demostrar que las siguientes ecuacio-nes tienen por lo menos una solucion en elintervalo dado

108. x3 − 5x− 3 = 0. En [−2,−1]

109. x4 − x3 + 2x = 3. En [1, 2]

110. sen(x) + cos(x) = x. En [0, π2 ]

111. x+ e2x = 0. En [−1, 0]

112. ln(x) = x2 − 2. En [1, e]

5. Derivadas

5.1. Definicion de derivada

Utilizando la definicion halle la derivadade:

113. f(x) = 4x− 3

114. f(x) = 1x2

115. f(x) = x2 + 3x− 2

116. f(x) =√

3x+ 2

117. f(x) = 2x3x+3

8

5.2. Algebra de derivadas

Utilizando las propiedades de las deriva-das, halle la derivada de:

118. y = x3 + 5x2 − 8x+ 2

119. y = x2(x3 − 1)2

120. y =√x− 3√x

121. y = 1x2

+ 3x3

122. y =√x(2x− 1)

123. y = x3

x2+4

124. y = x2 sen(x)

125. y = (x3 + x)ex

126. y = (2x2 − 3) sin(x)

127. y = ln(x)x2

128. y = ex sen(x)

129. y = x4 tan(x)

130. y = x2 sec(x)

131. y = (x2 + 3)15

132. y =√

4x4 − 1

133. y = sen(x2 + 4)

134. y = 3 sen(2x)4x+3

135. y = cos(√

4x+ 8)

136. y = tan((5x− 3)3)

137. y = sen2(4x)

138. y = x cos3(x2 + 2)

139. y = ex2+3 sen(2x− 1)

140. y = ln(x2+3)x+3

141. y =

√x+

√x+√x

142. y = sec2(e√x)

143. y = sen5(cos(5x))

144. y = x2e2x

x+3

Halle la segunda derivada de las funcionesdefinidas por:

145. y = x3 + 3x2 + 4x− 5

146. y = x sen(x3)

147. y = e3x3

148. y =√x3 + 4

Halle la ecuacion de la recta tangente a lacurva definida por la ecuacion dada en elpunto dado:

149. y = x2 + 2x− 1 en (1, 2)

150. y =√x+ 1 en (3, 2)

151. y = 23x−1 en (1, 1)

152. y = x sen(x) en (π2 ,π2 )

Halle los puntos de la curva definida porla ecuacion dada, donde la recta tangentees horizontal.

153. y = x2 + 4x+ 4

154. y = 2x3 − 5x2 + 4x− 5

155. y = sen(x) cos(x) en [0, π]

156. y = x ln(x)

157. Halle los puntos de la curva definida pory = x3 + 3x − 2 donde la recta tangentees es paralela a la recta de ecuacion y =12x+ 4

9

5.3. Derivacion implıcita

Utilizando derivacion implıcita halle dydx :

158. x3 + y3 = 2

159. x2 + xy = 1

160. x2

xy+1 = y

161. y cosx+ x cos y = 1

162. x√y + y

√x = 8

Halle la pendiente de la recta tangente ala curva definida por la ecuacion dada enel punto dado:

163. x2 + y2 = 13 en (2, 3)

164. x3y + xy3 = 2 en (1, 1)

165. x2

sen(y)+1 + 2x = x3 + 2 en (1, π)

166. xy + sen(πy) = 2 en (2, 1)

Utilizando derivacion logarıtmica halle dydx

en:

167. y = x3(x2+1)4

(2x−1)5

168. y = x3ex

sen5(x)

169. y = x√x

170. y = xsen(x)

171. y = (sen(x2 + 3))x3+x

172. y = (ln(3x4 + 2))x3

5.4. Derivada de la funcion in-versa

173. Dada la tabla:

x 0 1 2 3

f(x) 4 2,5 −2 1

f ′(x) −6 −3 −1 5

Halle:

a) (f−1)′(4)

b) (f−1)′(1)

c) (f−1)′(2,5)

Para las funciones f definidas por las si-guientes ecuaciones, halle la derivada def−1.

174. f(x) = 3x− 2

175. f(x) =√x− 2, x ≥ 2

176. f(x) = x3 + 2

177. f(x) = e2x+3

178. f(x) = ln(2x− 8), x ≥ 4

5.5. Derivadas de las funcionestrigonometricas inversas

Halle la derivada de:

179. y = sen−1(x2 + 4)

180. y = tan−1(ln(10x+ 3))

181. y = x7 cos−1(2x3 − 2)

182. y = 5(sec−1(4x))4

183. y = sen−1(x4)x5

6. Razon de cambio

6.1. Problemas de razon de cam-bio

184. Los lados de un cuadrado aumentan arazon de 10cm/s. Determine la razon a laque cambia el area cuando el lado mide20cm

185. El radio de un cırculo disminuye a unarazon de 5cm/s. Determine la razon a laque cambia el area del circulo cuando elradio mide 40cm.

10

186. La hipotenusa de un triangulo rectanguloisosceles decrece a una razon de 4ms

a) A que razon estan cambiando los la-dos iguales del triangulo cuando estostienen 5m de longitud?

b) Con que rapidez esta cambiando elarea del triangulo cuando los ladosiguales miden 5m ?

187. Los lados de un rectangulo estan aumen-tando de tal forma que su base crece arazon de 5 cms y su altura crece a razon de3 cms

a) Determine la rapidez con que creceel area del rectangulo cuando su basemide 8cm y su altura 10cm

b) Determine la rapidez con que crecela diagonal del rectangulo cuando subase mide 8cm y su altura 10cm

188. Una cometa que esta a 30m del suelo semueve horizontalmente a una velocidad de3ms . Con que razon disminuye el anguloentre el cordel y la horizontal cuando sehan soltado 60m de cordel?

189. Desde un tubo se deja caer arena a razonde 20 m3

min formando un monton de formaconica. Si la altura del monton es cuatroveces el radio de la base, con que rapidezaumenta la altura, cuando el monton tiene16m de alto?

190. Un nino de 1 metro de estatura se acercaa un poste de alumbrado publico de 4 me-tros de altura a una razon de 3ms , A querazon disminuye la sombra del nino cuan-do este se encuentra a 5 metros del poste?

191. Una escalera de 15 metros de largo estaapoyada contra una pared. Si la parte in-ferior de la escalera se desliza alejandosede la pared a una razon de 1

3ms . Que tan

rapido resbala la parte superior de la es-calera cuando esta se encuentra a 5 m delsuelo?

192. Al arrojar una piedra a un estanque deagua tranquila se forman ondas circula-res concentricas cuyos radios aumentan delongitud al paso del tiempo. Cuando laonda exterior tiene un radio de 3m, esteaumenta a una velocidad de 50 cms . A quevelocidad aumenta el area del cırculo for-mado por dicha onda?

193. A un deposito cilındrico de base circulary 50dm de radio, le esta entrando agua arazon de 25dm

3

s . Calcular la rapidez a laque sube la superficie del agua.

194. Dos barcos salen simultaneamente de unpuerto; uno viaja hacia el sur a una velo-cidad de 30kmh y el otro hacia el este a una

velocidad de 40kmh . Despues de 2h, cual esla velocidad con la que se separan los dosbarcos?

195. Un hombre esta parado en un muelle y jalauna lancha por medio de una cuerda. Susmanos estan a 3m por encima del ama-rre de la lancha. Cuando la lancha estaa 4m del muelle, el hombre esta jalandola cuerda a una velocidad de 80 cms . A quevelocidad se aproxima la lancha al muelle?

196. Un recipiente tiene la forma de un conocircular recto con el vertice hacia abajo yla longitud de su altura es el doble de la desu diametro. Al recipiente le esta entran-do agua con una rapidez constante, por loque la profundidad del agua va en aumen-to. Cuando la profundidad es de 1m, lasuperficie sube a razon de 1cm por minu-to. Con que rapidez le esta entrando aguaal recipiente?

197. Un incendio forestal se propaga en la for-ma de un cırculo cuyo radio cambia a

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razon de 14mmin . A que razon esta creciendo

el area de la region incendiada cuando elradio alcanza 60m?

198. Dos automoviles parten del mismo punto,uno viaja hacia el sur a 60kmh y el otro

hacia al oeste a 25kmh Con qu’e razon au-menta la distancia entre los dos automovi-les 2h mas tarde?

7. Trazado de curvas

7.1. Teoremas del valor medio yde Rolle

Determine si el Teorema del Valor Medioes aplicable a la funcion definida por laecuacion dada en el intervalo dado. En ca-so afirmativo determine un valor de x queverifique el teorema.

199. f(x) = x2 + 5x− 6, [0, 1]

200. f(x) = x3 − 12x, [1, 3]

201. f(x) = 5√x, [1, 25]

Determine si el Teorema de Rolle es apli-cable a la funcion definida por la ecuaciondada en el intervalo dado. En caso afirma-tivo determine un valor de x que verifiqueel teorema.

202. f(x) = x2 + 3x− 4, [0, 3]

203. f(x) = x3 − 4x, [−2, 2]

204. f(x) = cos(5x), [ π10 ,3π10 ]

7.2. Funciones crecientes y de-crecientes

Determine los intervalos donde la funciones creciente y los intervalos donde la fun-cion es decreciente. Represente en el mis-mo plano la funcion y su derivada.

205. f(x) = x2 + 3x− 4

206. f(x) = x3 − 12x

Determine los intervalos donde la funciones creciente y los intervalos donde la fun-cion es decreciente.

207. f(x) = x+2x2+5

208. f(x) = sen(2x) en [0, π]

209. Trace la grafica de una funcion contınuaque tenga un mınimo absoluto en x = −1,f ′(x) = 0 en x = 2, x = 3 y un maximoabsoluto en x = 5

7.3. Crecimiento, decrecimiento,puntos crıticos, concavidad y pun-tos de inflexion.

Trace la grafica de las funciones definidaspor las ecuaciones dadas indicando:

a) Intervalos donde la funcion es cre-ciente.

b) Intervalos donde la funcion es decre-ciente.

c) Puntos maximos y mınimos.

d) Intervalos donde la funcion es conca-va hacia arriba.

e) Intervalos donde la funcion es conca-va hacia abajo.

f ) Puntos de inflexion .

210. f(x) = −3x2 + 6x− 3

211. ff(x) = x5 − 5x4

212. f(x) = x3 − 12x+ 11

213. f(x) = x4 − 8x3 + 7

214. f(x) = x3 − x2 − 8x+ 8

215. f(x) = (x− 9)(x+ 9)2

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216. f(x) = x+ sen(x) en el intervalo [0, 2π]

217. f(x) = x− cos(x) en el intervalo [0, 2π]

218. f(x) = 5x25 − 2x

219. f(x) = 1x2+4

220. f(x) = xx2+9

221. f(x) = xx2−1

222. f(x) = x2

x2−1

8. Maximos y mınimos

8.1. Problemas de optimizacion.

223. Halle dos numeros reales positivos cuyasuma sea 80 y su producto sea maximo.

224. Un agricultor tiene 1000m de alambre pa-ra cercar un terreno rectangular, el cualesta limitado por un rıo en uno de sus la-dos. Si el lado que esta en el borde del rıono necesita alambre, determine las dimen-siones de los lados del rectangulo de mayorarea que puede cercar.

225. Se va a construır una caja sin tapa (pa-ralelepıpedo rectangular) a partir de unalamina rectangular de carton de 60 cm delargo por 40 cm de ancho cortando cua-drados en las esquinas. Determine las di-mensiones de la caja de maximo volumen.

226. Se va a fabricar un recipiente con la for-ma de un cilindro circular recto, teniendoen cuenta que el material de la base y eltecho tiene un costo de $2 por cm2 y elmaterial de la parte lateral tiene un costode $4 por cm2. Determine las dimensio-nes del cilindro de mayor volumen que sepuede fabricar si se dispone de $1000 paracomprar el material.

227. Determine las dimensiones del rectangulode menor perımetro cuya area es de 25 m2.

228. Un rectangulo tiene sus dos vertices infe-riores en el eje X y los dos vertices superio-res en la parabola y = 36−x2. Cuales sonlas dimensiones del rectangulo de mayorarea?

229. Determine las dimensiones de un cilindrocircular recto que tiene un volumen de1000cm3 de tal forma que el material uti-lizado en su fabricacion sea mınimo.

230. Un pescador esta en el mar en un bote a3km de la orilla y desea viajar a un muelleque se encuentra en la orilla a 7km delbote. El pescador rema a una velocidad de2km/h y corre en tierra a una velocidadde 3km/h. En que punto de la orilla debedejar el bote para llegar al muelle en elmenor tiempo posible?

231. Los margenes superior e inferior de un car-tel son de 8cm y los margenes laterales sonde 5cm. Si el area de impresion del carteldebe ser de 400cm2. Encuentre las dimen-siones del cartel con menor area.

232. Un alambre de 80cm debe cortarse en dospartes, una para formar un cuadrado y laotra para una cırculo. Como debe cortarseel alambre para que la suma de las areasdel cuadrado y el cırculo sea mınima?

233. Determine las dimensiones y el area maxi-ma de un rectangulo inscrito en untriangulo equilatero con lados de longitud1m. (Ver figura)

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9. Regla de L’Hopital

9.1. Formas indeterminadas

Utilizando la regla de L’Hopital, evalue lossiguientes lımites:

234. lımx→2

x2−4x3−8

235. lımx→1

√x+8−3x−1

236. lımx→π

cos(2x)−1x−π

237. lımx→0

sin(4x)8x

238. lımx→∞

x2−4x+42x2+5x−2

239. lımx→1

cos(πx)+1√x−1

240. lımx→1

sin(πx)cos(πx)+x

241. lımx→0

1−cos(5x)3x2

242. lımx→∞

(x−√x2 + 3

)243. lım

x→∞ln(x)+2x3x+3

244. lımx→0

ex−e−x

sen(2x)

245. lımx→0

√x2+1−1x2

246. lımx→3

√x2−5−2x−3

247. lımx→0

ln(cos(5x))ln(cos(7x))

248. lımx→0

ex−e−x−2xx−sen(x)

249. lımx→0

x sin(x))1−cos(x)

250. lımx→0

(1

ln(1+x) −1x

)251. lım

x→0(sin(x))x

252. lımx→∞

(1− 1

x2

)x253. lım

x→∞(2x − 1)

2x+1

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