POLYCOPIE DE MATHEMATIQUES Module M3201 …fonseca/enseignement/poly.pdf · 1.2 Exercices corrig´es Exercice 1.12 Une population est composee de 42% d’italiens, 30% d’espagnols

Universite Paris-Sud 2016-2017

IUT ORSAY S3

Departement Informatique

POLYCOPIE DE MATHEMATIQUES

Module M3201

TD de PROBABILITES-STATISTIQUES

Table des matieres

Table des matieres

1 Vocabulaire, calculs de base, probabilites conditionnelles, Independance 4

1.1 TD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Exercices supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Variables aleatoires 11

2.1 TD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11



3 Loi usuelles 19

3.1 TD3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19



4 Couples de variables aleatoires discretes 27

4.1 TD 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27



5 Approximations, theoreme de limite centrale 33

5.1 TD5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


2

Table des matieres


6 Estimateurs et Estimations 36

6.1 TD6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36



7 Graphes de probabilites 41

7.1 TD 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 DS 2015 42

3

1. Vocabulaire, calculs de base, probabilites conditionnelles, Independance

1 Vocabulaire, calculs de base, probabilites conditionnelles, Independance

1.1 TD1

Exercice 1.1

1. On lance deux des non pipes a 6 faces numerotees de 1 a 6.

(a) Decrire ⌦.

(b) Calculer la probabilite d’obtenir un total different de 5.

2. On lance un de pipe de sorte que les numeros pairs sont deux fois plus probables que lesnumeros impairs.

(a) Decrire ⌦.

(b) Calculer la probabilite de chaque evenement elementaire.

Exercice 1.2

Montrer que l’union de deux evenements negligeables est negligeable et que l’intersection de deuxevenements presques certains est presque certaine.

Exercice 1.3

Soient A, B et C trois evenements d’un espace probabilisable verifiant :

P (A) =1

2, P (B) =

7

10, P (C) =

1

2,

P (A [ B) =9

10, P (A \ C) =

1

5, P (B \ C) =

3

10, P (A \ B \ C) =

1

10Exprimer en fonction de A, B et C et des operations ensemblistes les evenements suivants puis calculerleur probabilite :

1. A et B se realisent.

2. Les trois evenements se realisent.

3. A et B se realisent mais non C.

4. A seul se realise.

5. L’un au moins des trois evenements se realise.

6. Aucun des trois evenements ne se realise.

7. Pas plus de deux evenements ne se realisent.

4

1.1 TD1

Exercice 1.4

Un voyageur arrive a un carrefour d’ou partent deux routes : une voie sans issue et la bonne route. Lespanneaux de signalisation etant effaces, on ne peut deviner quelle est la bonne direction. Il y a troispersonnes P1, P2 et P3 postees a ce carrefour.

• P1 dit la verite une fois sur cinq ;

• P2 dit la verite trois fois sur cinq ;

• P3 dit la verite quatre fois sur cinq.

Le voyageur s’adresse a l’une des trois personnes au hasard et lui demande la bonne direction.

1. Calculer la probabilite qu’on lui indique la bonne direction.

2. Le voyageur va dans la direction indiquee et s’apercoit que c’est la bonne route. Calculer laprobabilite qu’il se soit adresse a P3.

Exercice 1.5

On dispose d’un lot constitue de 30% de composants de marque A et 70% de composants de marqueB.

La probabilite que la duree de vie d’un composant de marque A soit inferieure a 3 ans est egale a0,2 ; la probabilite que la duree de vie d’un composant de marque A soit superieure a 5 ans est egalea 0,25.

La probabilite que la duree de vie d’un composant de marque B soit superieure a 3 ans est egale a0,75 ; la probabilite que la duree de vie d’un composant de marque B soit superieure a 5 ans est egalea 0,15.

On tire au hasard un composant du lot.

1. Ecrire les hypotheses sous forme probabiliste.

2. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant de marque A soit comprise entre 3et 5 ans.

3. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant choisi au hasard dans le lot soitcomprise entre 3 et 5 ans, sachant qu’il est de marque B.

4. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant choisi au hasard dans le lot soitsuperieure a 5 ans et de marque B.

5. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant choisi au hasard dans le lot soitsuperieure a 5 ans.

6. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant choisi au hasard dans le lot soitsuperieure a 3 ans.

7. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant choisi au hasard dans le lot soit demarque A, sachant que sa duree de vie est comprise entre 3 et 5 ans.

8. Calculer la probabilite que la duree de vie d’un composant choisi au hasard dans le lot soit demarque B, sachant que sa duree de vie est comprise entre 3 et 5 ans.

5

1.2 Exercices corriges

Exercice 1.6

Soient A et B deux evenements d’un espace probabilise ⌦, verifiant P (A) = 0.75, P (B) = 0.40 etP (A |B) = 0.25 .

A et B sont-ils independants ?

Exercice 1.7

Cet exercice fait suite a l’exercice 1.1 question 2). On lance deux des pipes de sorte que les numerospairs sont deux fois plus probables que les numeros impairs.

1. Decrire ⌦.

2. Calculer la probabilite d’obtenir un total de 4.

Exercice 1.8

On lance un de et on note le resultat obtenu.

On considere les deux evenements A : ⌧ le resultat est 1 ou 2 �et B : ⌧ le resultat est 2 ou 3 �.

1. Verifier que les evenements A et B ne sont pas independants si le de est parfait.

2. Verifier que A et B sont independants si le de est pipe et tel que :

i 1 2 3 4 5 6

P({i})1

6

1

6

1

3

1

9

1

9

1

9

Exercice 1.9

Montrer que si A et B sont deux evenements independants, alors A et B sont independants.


Exercice 1.10

A et B sont deux evenements d’un espace probabilisable verifiant

P (A) = 0, 6 P (B) = 0, 7 P (A \B) = 0, 55

1. Calculer P (A [B) et P (A \ B) .

2. Calculer la probabilite que A se realise mais pas B.

3. Calculer la probabilite que A se realise ou que B ne se realise pas.

correction :

1. On a d’une part P (A [ B) = 1� P (A [ B) = 1� P (A \ B) = 1� 0.55 = 0.45;et d’autre part P (A \ B) = P (A) + P (B)� P (A [ B) = 0.4 + 0.3� 0.45 = 0.25

6


2. Comme A\B et A\B forment une partition de A, on ecrit que P (A\B) = P (A)�P (A\B) =0.4� 0.25 = 0.15.

3. On cherche la probabilite de l’evenement A[B. On a P (A[B) = P (A)+P (B)�P (A\B) =0.4 + 0.7� 0.15 = 0.95 .

Exercice 1.11

Un systeme est forme de deux composants a et b. On note A l’evenement ⌧ a fonctionne �et Bl’evenement ⌧ b fonctionne �.

A la suite de tests statistiques, on sait que :

• la probabilite que a fonctionne est egale a 0,7

• la probabilite que a et b soient en panne est egale a 0,2

• la probabilite que seul b soit en panne est egale a 0,3.

1. Traduire les hypotheses sous forme ensembliste.

2. Calculer la probabilite que a et b fonctionnent.

3. Calculer la probabilite que a ou b fonctionnent.

4. Calculer la probabilite que b fonctionne.

5. Calculer la probabilite que seul a soit en panne.

correction :

1. L’evenement ⌧ a est en panne �est le complementaire de ⌧ a fonctionne �. Ainsi⌧ a et b sont en panne �= A \ B

et⌧ seul b est en panne �= B \ A.

Les hypotheses s’ecrivent P (A) = 0.7, P (A \ B) = 0.2 et P (B \ A) = 0.3.

2. On cherche P (A \ B). Comme A \B et A \ B realisent une partition de A, on aP (A) = P (A \ B) + P (A \ B) donc

P (A \ B) = 0.7� 0.3 = 0.4.

3. On cherche P (A [ B). On ecrit A [ B = A \ B donc

P (A [ B) = 1� P (A \ B) = 1� 0.2 = 0.8.

4. On peut utiliser la formule P (A [ B) = P (A) + P (B)� P (A \ B) ce qui donne

P (B) = 0.8� 0.7 + 0.4 = 0.5.

5. On cherche P (A \ B). Comme A \ B et A \ B realisent une partition de B, on a P (B) =P (A \ B) + P (A \ B) d’ou

P (A \ B) = 0.5� 0.4 = 0.1.

7


Exercice 1.12

Une population est composee de 42% d’italiens, 30% d’espagnols et 28% d’allemands.

40% des italiens parlent francais et 35% des espagnols parlent francais.

Parmi ceux qui parlent francais, 25% sont allemands.


2. On note x la proportion d’allemands qui parlent francais. Calculer en fonction de x la proportiond’individus qui parlent francais dans la population.

3. Calculer x.

correction : On note pour un individu donne I = ⌧ etre italien �, A =⌧ etre allemand �et E = ⌧ etreespagnol �et F =⌧ parler francais �.

1. On a P (I) = 0.42, P (A) = 0.28 et P (E) = 0.3. Les autres hypotheses s’ecrivent sous formede probabilites conditionnelles : P (F |I) = 0.4 et P (F |E) = 0.35 et enfin P (A|F ) = 0.25.

2. On a x = P (F |A). D’apres la formule des probabilites totales, la proportion des individus quiparlent francais est

P (F ) = P (F |A)P (A) + P (F |E)P (E) + P (F |I)P (I)= 0.28x+ 0.35⇥ 0.3 + 0.4⇥ 0.42= 0.28x+ 0.273.

(1)

3. Par ailleurs, P (A|F )P (F ) = P (F |A)P (A) soit P (F ) =0.28

0.25x.

En substituant dans (1), on obtient

x = 0.325

Exercice 1.13

Une boıte contient des des dont 10% sont pipes. Pour chacun des des pipes, la probabilite d’apparitiondu 6 est egale a 1/3.

On tire au hasard un de du lot et on obtient un 6 ; calculer la probabilite qu’il soit pipe.

correction : On utilise la formule de Bayes.

On note I=⌧ le de tire dans la boıte est pipe �et A = ⌧ On obtient un 6 �.

On cherche P (I|A).

D’apres l’enonce, P (I) =1

10et P (A|I) = 1

3.

Par ailleurs, d’apres la formule des probabilites totales,

P (A) = P (A|I)P (I) + P (A|I)P (I)

8

1.3 Exercices supplementaires

ce qui donne

P (A) =1

3⇥ 0.1 +

1

6⇥ 0.9 =

1.1

6= 0.183

A comparer avec1

6= 0.166 dans le cas ou aucun des des ne serait pipe.

On a par la formule de Bayes P (I|A) = P (A|I)P (I)

P (A).

On deduit P (I|A) = 2

11.

Exercice 1.14

Montrer que A et B sont deux evenements independants si et seulement si A et B sont independants.

correction : Montrons que si A et B sont deux evenements independants alors A et B sont independants.

On suppose donc que P (A \ B) = P (A)P (B) et on calcule P (A \ B).

Comme A \ B = A [ B, on a

P (A \ B) = 1� P (A [B). (2)

Par ailleurs, P (A[B) = P (A) +P (B)�P (A\B), et comme A et B sont independants, ceci peuts’ecrire

P (A [ B) = P (A) + P (B)� P (A)P (B).

En reportant cette expression dans (2), on obtient

P (A \ B) = 1� P (A)� P (B) + P (A)P (B)= 1� P (A)� P (B)[1� P (A)]= [1� P (A)][1� P (B)]= P (A)P (B)

ce qui prouve bien que A et B sont independants.

On a demonte l’implication (T est la tribu sous-jacente) :8A,B 2 T , [A et B independants ) A et B sont independants].

Il suffit d’appliquer ce que l’on vient de montrer aux ensembles A et B pour obtenir la reciproque(puisque A = A) et ainsi, obtenir l’equivalence.


9


Exercice 1.15

Un lot de pieces contient 20% de pieces de type A, 30% de pieces de type B et 50% de pieces de typeC.

La proportion de pieces de type A defectueuses est egale a 1 %.

La proportion de pieces de type B defectueuses est egale a 2 %.

La proportion de pieces de type C defectueuses est egale a 3 %.

On tire une piece au hasard dans ce lot.

1. Ecrire les hypotheses sous forme mathematique.

2. Calculer la probabilite de tirer une piece defectueuse.

3. Calculer la probabilite de tirer une piece de type A sachant qu’elle est defectueuse.

4. Calculer la probabilite de tirer une piece qui soit defectueuse et de type B ou C.

5. On remplace les pieces de type C par des pieces de type E. La proportion de pieces defectueusesdans le lot est alors egale a 1,6%. En deduire la proportion de pieces defectueuses parmi lespieces de type E.

Exercice 1.16

Dans une population, on note p la proportion d’individus atteints d’une maladie M.

Un test permettant de detecter cette maladie donne des resultats qui peuvent etre positifs ou negatifs :chez les individus malades, 99% des resultats des tests sont positifs, chez les individus sains, 0.1%des resultats sont positifs (c’est a dire 1 pour 1000).

Un individu est tire au hasard dans cette population et on lui fait passer le test de detection de lamaladie.


2. Calculer en fonction de p la probabilite que l’individu soit sain et donne un resultat positif autest.

3. Calculer en fonction de p la probabilite que le resultat du test soit positif.

4. Calculer en fonction de p la probabilite que l’individu soit malade, sachant que le test a donneun resultat positif. Verifier que c’est une fonction croissante de p et la calculer pour les valeursde p suivantes : 0,001 ; 0,01 ; 0,1 ; 0,5.

Exercice 1.17

On lance trois fois une piece equilibree et on note le resultat obtenu.

On considere les deux evenements A : ⌧ le premier jet amene pile �et B : ⌧ pile apparait au moinsdeux fois �.

Verifier que les evenements A et B ne sont pas independants.

10

2. Variables aleatoires

2 Variables aleatoires

2.1 TD2

Exercice 2.1

On lance un de parfait a six faces numerotees de 1 a 6.

1. On note X1 la variable aleatoire egale au numero sortant.Determiner la loi de X1. Calculer son esperance et sa variance.

2. On note X2 la variable aleatoire egale a -2 si le numero sortant est 1, 0 si le numero sortant est2 ou 4, 1 si le numero sortant est 3 ou 5, 6 si le numero sortant est 6.Determiner la loi de X2. Determiner sa fonction de repartition et tracer son graphe. Calculerson esperance et sa variance.

3. On note X3 la v.a. egale au double du numero sortant, moins 6.Determiner la loi de X3. Determiner sa fonction de repartition et tracer son graphe. Calculerson esperance et sa variance.

Exercice 2.2

Un sac contient dix boules indiscernables au toucher, une noire et neuf blanches. On tire successive-ment et sans remise deux boules de ce sac, puis on lance un de parfait six faces (numerotees de 1 6).Si la boule noire est tiree, il faut obtenir un nombre pair avec le de pour gagner. Si la boule noire n’estpas tiree, il faut obtenir un 6 avec le de pour gagner.On appelle N l’evenement ⌧ la boule noire figure parmi les deux boules tirees �et G l’evenement ⌧ lejoueur gagne �.

1. Montrer que la probabilite de l’evenement N vaut 1/5.

2. Determiner la probabilite de l’evenement G.

3. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilite qu’il ait tire la boule noire ?

4. Pour jouer ce jeu, une mise de depart de m euros est demandee, o m est un reel strictementpositif. Si le joueur gagne, il reoit 4 euros et recupre sa mise (gain total : 4 euros). S’il ne gagnepas mais s’il a tire la boule noire, le joueur recupre sa mise (gain total : 0 euro). S’il ne gagnepas et s’il n’a pas tire la boule noire, le joueur perd la mise de m euros (gain total : �m euros).On appelle X la variable aleatoire donnant le gain (positif ou negatif) du joueur.

(a) Determiner X(⌦) et calculer la loi de probabilite de X .

(b) Determiner la fonction de repartition F de X et representer son graphe.

(c) Calculer l’esperance de X en fonction de m.

(d) On dit que le jeu est equitable si l’esperance mathematique de X est nulle. Determiner mpour que le jeu soit equitable.

11


Exercice 2.3

Soit f la fonction definie par

f(x) = a(x+ 2) 1[�2,1](x) + 3a 1]1,3](x)

et X la variable aleatoire de densite de probabilite f .

1. Tracer le graphe de f et calculer a.

2. Determiner la fonction de repartition de X et tracer son graphe.

3. Calculer P (X 0), P (X � 5), P (X � 2), P (|X| < 1), P (|X � 1| < 1).

4. Calculer E(X) et V (X).


Exercice 2.4

Un concierge a un trousseau de 5 cles dont une seule ouvre une porte. Il les essaie l’une apres l’autreen eliminant apres chaque essai la cle qui n’a pas convenu.

1. Determiner la loi de la variable associee au nombre d’essais necessaires pour trouver la bonnecle.

2. Calculer l’esperance du nombre d’essais necessaires pour trouver la bonne cle.

correction : 1) Soit X la variable aleatoire correspondant au nombre d’essais necessaires pourtrouver la bonne cle.

X(⌦) = {1; 2; 3; 4; 5}

P (X = 1) =1

5(Il a trouve la bonne cle des le premier essai)

P (X = 2) =4

5⇥ 1

4=

1

5(Au premier essai, sur les 5 cles, il n’a pas trouve la bonne et ensuite sur

les 4 cles restantes il a trouve la bonne cle).

P (X = 3) =4

5⇥ 3

4⇥ 1

3=

1

5

On a 8k 2 X(⌦), P (X = k) =1

5. X suit la loi uniforme sur {1; 2; 3; 4; 5} .

2) D’apres l’esperance d’une loi uniforme, E(X) =5 + 1

2= 3

12


Exercice 2.5

La duree de fonctionnement d’un composant electronique, exprimee en jours, est une variable aleatoireX dont la densite de probabilite est definie par :

f(t) = at

2e

�bt 1[0,+1[(t)

ou b est un reel strictement positif.

Calculer a et b sachant que l’esperance de X est egale a 100 jours.

correction : Le but de cet exercice est de trouver les reels a et b qui sont caracteristiques de lafonction densite de probabilite associee a X . Pour les trouver, on va donc utiliser nos connaissancessur les lois a densite afin de pouvoir etablir des equations sur a et b.

• On sait que pour etre une loi de probabilite, une fonction f doit verifier :Z +1

�1f(t) dt = 1.

• De plus, on a dans l’enonce une hypothese sur l’esperance de X , dont le calcul est donne par :E(X) =

R +1�1 t f(t) dt = 100.

On utilise donc ces deux equations pour trouver a et b. On a deux equations et deux inconnues doncon va pouvoir trouver une solution. On va devoir utiliser l’integration par parties, dont on redonnela formule : Z

b

a

u

0(t) v(t) dt = [u(t)v(t)]ba

�Z

b

a

u(t) v0(t) dt.

Calculons maintenant ces deux integrales. On remarque d’abord que :Z +1

�1f(t) dt = lim

M!+1

ZM

0

a t

2e

�bt

dt.

On etudie donc d’abord l’integrale de droite pour M > 0. Posons :

I =

ZM

0

a t

2e

�bt

dt.

On pose u

0(t) = e

�bt et v(t) = t

2 et on a, par une premiere integration par parties :

I = a

�t

2

b

e

�bt

�M

0

� a

ZM

0

�2t

b

e

�bt

dt,

= �a

M

2

b

e

�bM +2a

b

ZM

0

t e

�bt

dt.

On fait une nouvelle integration par parties de l’integrale qui reste avec u

0(t) = e

�bt et v(t) = t :

I = �a

M

2

b

e

�bM +2a

b

� t

b

e

�bt

�M

0

� 2a

b

ZM

0

�1

b

e

�bt

dt,

= �a

M

2

b

e

�bM +2a

b

✓�M

b

e

�bM

◆+

2a

b

2

ZM

0

e

�bt

dt,

13


Finalement, il reste a calculer une derniere integrale :

I = �a

M

2

b

e

�bM +2a

b

✓�M

b

e

�bM

◆+

2a

b

2

�1

b

e

�bt

�M

0

= �a

M

2

b

e

�bM +2a

b

✓�M

b

e

�bM

◆+

2a

b

2

✓�1

b

e

�bM � �1

b

◆

On passe ensuite a la limite quand M tend vers +1, terme a terme. On va utiliser deux limitesconnues de la fonction exponentielle, d’abord lim

t!+1te

�t = 0, que l’on utilise pour calculer la limite

des deux premiers termes, en remarquant que b est positif :

limM!+1

�a

M

2

b

e

�bM = 0 et limM!+1

�M

b

e

�bM = 0.

Puis on utilise limt!+1

e

�t = 0 pour montrer que :

limM!+1

�1

b

e

�bM = 0.

Les trois premiers termes s’annulent donc a la limite. Il reste donc :Z +1

�1f(t) dt = lim

M!+1

ZM

0

a t

2e

�bt

dt =2a

b

3.

On deduit donc de ce premier calcul l’equation suivante :

2a

b

3= 1.

On calcule ensuite l’esperance de X . On sait que :

E[X] =

Z +1

�1t f(t) dt =

Z +1

0

a t

3e

�bt

dt.

On va reutiliser les calculs precedents, et pour s’y ramener, on fait une premiere integration parparties avec u

0(t) = e

�bt et v(t) = t

3, en ayant au prealable pose :

J =

ZM

0

a t

3e

�bt

dt, pour M > 0.

J = a

�t

3

b

e

�bt

�M

0

� a

ZM

0

�3t2

b

e

�bt

dt,

= �a

M

3

b

e

�bM +3

b

ZM

0

at

2e

�bt

dt,

On passe a la limite lorsque M tend vers +1, et on remarque de la meme maniere que precedemmentque :

limM!+1

�M

3

b

e

�bM = 0.

14


On en deduit que :

limM!+1

J =3

b

⇥ limM!+1

I.

Donc on a :

E[X] =3

b

Z +1

0

f(t) dt

=3

b

⇥ 2a

b

3,

=6a

b

4.

On a donc montre une seconde equation :

6a

b

4= 100.

On resout le systeme suivant : 8>><

>>:

2a

b

3= 1

6a

b

4= 100

La premiere equation entraıne : a =b

3

2, donc on remplace a dans la seconde equation :

6

b

4

b

3

2= 100 , 3

b

= 100,

donc b = 0, 03.

Puis

a =1

2

33

1003=

27

2.106.

donc a = 1, 35.10�5.

Exercice 2.6

Soit X une variable aleatoire a densite, de loi exponentielle de parametre 1.

Soit I

n

la variable aleatoire definie par : In

= inf(X1, X2, · · · , Xn

) ou les X

i

sont des variablesaleatoires toutes de meme loi que X et independantes.

1. Montrer que I

n

suit la loi exponentielle de parametre n (on determinera d’abord P (In

� x) etla fonction de repartition de I

n

puis on en deduira sa densite de probabilite).

2. En deduire l’esperance et la variance de I

n

.

3. Calculer P (n < I

n

< n+ 1).

15


correction :

1. Montrons que I

n

suit une loi exponentielle de parametre n :Pour savoir si I

n

suit une loi exponentielle, il faut trouver sa loi de densite. On suit les indica-tions de l’enonce et on determine d’abord P (I

n

> x) = P (inf(X1, ..., Xn

) > x). On sait quesi inf(X1, ..., Xn

) > x, alors cela veut dire que tous les X

i

sont superieurs a x. Soit x > 0.Alors :

P (In

> x) = P (inf(X1, ..., Xn

) > x) = P

n\

i=1

(Xi

> x)

!.

Or, il est dit dans l’enonce que tous les Xi

sont independants, donc on en deduit :

P (In

> x) =nY

i=1

P (Xi

> x)

=nY

i=1

⇣1� P (X

i

6 x)⌘

=nY

i=1

⇣1� F (X

i

)⌘

On a besoin de la fonction de repartition de X

i

:

F (Xi

) = P ({Xi

6 x}) =Z

x

0

e

�t

dt =he

�t

ix

0= 1� e

�x

,

On en deduit :

P (In

> x) =nY

i=1

⇣1� (1� e

�x)⌘=

nY

i=1

e

�x

= e

�x ⇥ e

�x ⇥ ... ⇥ e

�x

= e

�nx

On a donc calcule, pour x > 0, P (In

> x) = e

�nx

. Si x < 0, P (In

> x) = 0.Ensuite, soit F

In la fonction de repartition de I

n

. On a, d’apres les calculs precedents :

F

In(x) = P (In

< x) = 1� P (In

> x) = 1� e

�nx

.

Donc, pour obtenir la densite de probabilite, il s’agit de deriver cette fonction :

f

In(x) = n e

�nx si x > 0, et 0 sinon.

On reconnaıt la loi a densite de la loi exponentielle de parametre n.

2. L’esperance et la variance de la loi exponentielle de parametre n sont E(In

) =1

n

et V (In

) =

1

n

2.

16


3. Calcul de P (n < I

n

< n+ 1) :

P (n < I

n

< n+ 1) = P (In

< n+ 1)� P (In

< n)

= F (n+ 1)� F (n)

= 1� e

�n (n+1) ��1� e

�n

2�

= e

�n

2 � e

�n (n+1).

Donc on a montre que :

P (n < I

n

< n+ 1) = e

�n

2(1� e

�n)


Exercice 2.7

On lance successivement trois pieces et on note les resultats obtenus.

On gagne 1 euro si on obtient pile au premier lancer, 0 euro si on obtient 3 fois face et a euros dansles autres cas.

1. Determiner la loi du gain.2. Pour quelle valeur de a l’esperance du gain est-elle nulle ?

Exercice 2.8

1. Soit a un reel strictement positif et f la fonction definie par

f(t) = a te

�at2

2 1[0,+1[(t)

On rappelle queR +10 e

� t2

2dt =

p⇡

2

(a) Demontrer que f est une densite de probabilite. Soit X la v.a. de densite de probabilite f.

On dit que X suit la loi de Rayleigh de parametre a.(b) Determiner la fonction de repartition de X.

2. On suppose que la duree de vie (exprimee en heures) d’un composant suit la loi de Rayleigh deparametre a = 1.

(a) Calculer la probabilite que la duree de vie du composant soit inferieure a 2 heures.(b) Calculer la probabilite que la duree de vie du composant soit comprise entre 1 et 3 heures.(c) Calculer la fiabilite d’un composant en fonction du temps.(d) En deduire l’esperance de la duree de vie d’un composant.

3. Un systeme est constitue de deux composants montes en parallele, dont les durees de vie sontdes lois de Rayleigh de parametre a = 1 et independantes.

(a) Calculer la fonction de repartition de la duree de vie du systeme.(b) Calculer la fiabilite du systeme en fonction du temps.(c) En deduire l’esperance de la duree de vie du systeme. Comparer l’esperance de la duree

de vie du systeme et l’esperance de la duree de vie d’un composant.

17


Exercice 2.9 (Loi exponentielle)

1. Soit � un reel strictement positif et f la fonction definie par

f(t) = � e

��t 1[0,+1[(t)

Demontrer que f est une densite de probabilite.

2. Soit X la v.a. de densite de probabilite f. On dit que X suit la loi exponentielle de parametre �.

(a) Determiner la fonction de repartition de X.

(b) Calculer l’esperance et la variance de X.

(c) Demontrer que la loi exponentielle est sans memoire, c’est a dire que

8x � 0, 8h � 0, P (X > x+ h|X > x) = P (X > h)

18

3. Loi usuelles

3 Loi usuelles

3.1 TD3

Exercice 3.1

On lance un de parfait n fois de suite ( n � 1) et on note X la variable aleatoire associee au nombred’apparitions du six.

1. Determiner X(⌦) et la loi de X.

2. Calculer l’esperance et la variance de X en fonction de n.

3. Calculer la probabilite d’obtenir un six au premier lancer.

4. Calculer la probabilite d’obtenir exactement une fois un six.

5. Calculer la probabilite d’obtenir au moins une fois un six.

6. Pour quelles valeurs de n la probabilite d’obtenir au moins une fois un six est-elle superieure a0,95 ?

Exercice 3.2

Soient X et Y deux lois de Bernoulli de parametres respectifs 0.1 et 0.2. On suppose que X et Ymesurent la presence de deux composants toxiques dans un herbicide. On les suppose independantes.

1. Que represente la loi produit P = XY en fonction de X et de Y ? Donner P (⌦) et faire la tablede P . Calculer ses moments. Est -ce une loi discrete usuelle ?

2. Que represente la loi produit S = X + Y en fonction de X et de Y ? Donner S(⌦) et faire latable de S. Calculer ses moments. Est -ce une loi discrete usuelle ?

Exercice 3.3

Le but de cet exercice est de montrer qu’une loi discrete sans memoire est une loi geometrique.

Soit X une variable aleatoire discrete definie sur N⇤ sans memoire c’est a dire que pour tout n,m 2N⇤, on a

P (X > n+m|X > n) = P (X > m).

On pose p0 = P (X > 1).

1. Calculer P (X > n) en fonction de p0.

2. En deduire P (X = n) en fonction de p0.

3. Montrer que la loi de X est une loi geometrique et donner son parametre.

19

3.1 TD3

Exercice 3.4

Bob cree un jeu dont la probabilite de gain est p 2]0, 1[ a chaque partie.

Jean vient jouer avec Bob et ils font n parties (n 2 IN) independantes. On note G l’evenement ⌧ gagnerau moins une partie sur n faites �et on note X la variable aleatoire egale au nombre de parties gagnees(toujours sur n faites ).

1. Calculer la probabilite que Jean perde toutes les parties. Que vaut P (G)?

2. Montrer qu’en un nombre infini de parties, G est presque certain.

3. Bob n’est pas satisfait de son jeu et decide de le truquer de facon a ce que la probabilite degain d’une partie decroisse au fur et a mesure des parties, les parties restant independantes lesunes des autres. Pour la partie numero n, la probabilite de gain est maintenant de la formep

n

= 1� 4�qn ou q

n

> 0 est une suite decroissante.

(a) Justifier ce choix pour pn

, n 2 IN.

(b) Calculer la probabilite de gagner au moins une partie en fonction des nombres q1, · · · , qn(c) La variable aleatoire X est-elle une variable usuelle ?

(d) On suppose dans toute la suite que q

i

=1

2ipour i = 1, · · · , n. Calculer la probabilite que

Jean perde toutes les parties.

(e) En un nombre infini de parties, le gain est-il presque sur ? A-t-il 80% de chances de ga-gner ? Quelle est la probabilite de gain d’au moins une partie ?

(f) Pour quelles valeurs de p vaut-il mieux que Jean joue le jeu non truque pour gagner aumoins une partie sur 5 ?

Exercice 3.5

Vous avez donne rendez-vous a un ami entre 17h et 18h et vous arrivez au lieu du rendez-vous a17h15. On suppose que l’heure d’arrivee de votre ami est une variable aleatoire X , uniformementrepartie entre 17h et 18h.

1. Determiner la loi de X.

2. Determiner la fonction de repartition de X.

3. Calculer la probabilite que vous soyez en retard.

4. Calculer la probabilite que votre ami soit en retard.

5. Calculer la probabilite que vous attendiez votre ami plus de 40 minutes.

6. Calculer la probabilite que vous attendiez votre ami entre 10 et 20 minutes.

7. Calculer l’esperance et la variance de X.

Exercice 3.6

Soit X la variable aleatoire uniforme continue sur [0; 1]. Demontrer que la variable Y definie parY = � ln(1�X) suit la loi exponentielle de parametre 1.

20

3.1 TD3

Exercice 3.7

Soit X une variable aleatoire de loi exponentielle de parametre � > 0 mesurant la duree de vie (enannee) d’un instrument de mesure. On note Y la variable discrete definie sur N⇤ par

(Y = n) =⌧ la duree de vie de l’instrument de mesure est comprise entre n� 1 et n annees �.

Calculer la probabilite de l’evenement (Y = n). En deduire la loi de Y et donner ses parametres.

Exercice 3.8

1. Soit X la variable aleatoire de loi normale centrale reduite N(0, 1).

(a) Calculer P (�1 X < 1.5), P (|X| > 1.27) et P (X < 0.756).

(b) Determiner t tel que P (X < t) = 0, 1075.

2. Soit Y la variable aleatoire qui suit la loi normale d’esperance 5 et d’ecart type 0,5.Determiner les nombres a, b, c, d qui verifientP (Y < a) = 0.9 P (Y < b) = P (Y > c) = 0.1 P (|Y � 5| < d) = 0.95.

3. Determiner la densite de probabilite de la variable 5� 3Y.

4. Soit Z la variable aleatoire qui suit la loi normale d’esperance µ et d’ecart type �.

Calculer µ et � sachant que P (Z > 3) = 0.1 et P (Z < 1) = 0.025.

Exercice 3.9

Soit X⇤ une variable aleatoire de loi normale centree reduite. Soit Y de loi de Bernoulli B(0.5). Onsuppose que Y et X⇤ sont independantes.

1. Donner la table de Z = 2Y � 1 et sa fonction de repartition dont on fera le graphe.

2. Montrer que Z et X⇤ sont independantes.

3. On pose T = ZX

⇤. Soit x 2 R. Montrer que

P ((T x) et (Z = 1)) =�(x)

2.

4. Calculer la fonction de repartition de T . En deduire que la loi de T est une loi normale dont ondonnera les parametres.

5. Determiner le reel a verifiant P (|T | a) = 0.99.

21


Exercice 3.10

On suppose que dans une promotion d’etudiants, la note de mathematique suit une loi normaled’esperance µ = 11 et d’ecart type � = 2.

1. Determiner un intervalle centre en µ dans lequel la note de mathematiques a 90% de chancesde se trouver.

2. Tous les groupes sont constitues de 16 etudiants, on note X la moyenne des notes de mathematiquesd’un groupe choisi au hasard. Quelle est la loi de X ?

3. Calculer la probabilite que la moyenne d’un groupe soit inferieure a 10.4. Calculer la probabilite que la moyenne d’un groupe s’ecarte de µ de plus de un point.5. Calculer la probabilite que l’ecart entre les moyennes de deux groupes depasse un point.6. Si on tire au hasard 10 etudiants dans la promotion, calculer la probabilite de selectionner au

moins deux etudiants dont la note depasse 13.


Exercice 3.11

Une agence de voyage organise un voyage pour 15 personnes. La probabilite pour qu’une personne,ayant reserve, se desiste au dernier moment est de 0,2.

L’agence a enregistre 18 reservations . Calculer le risque pour l’agence d’etre en surnombre.

On supposera les reservations independantes entre elles.

correction : Soit X la variable aleatoire correspondant au nombre de personnes qui se desistent audernier moment, X ⇠ B(18, 0.2) .

Le risque d’etre en surnombre correspond a P (X 2) = 0.0180 + 0.0811 + 0.1723 = 0.2714(lecture de table) .

Exercice 3.12

Soit X la variable aleatoire uniforme continue sur [0 ; 1] et � un reel strictement positif. Demontrer

que la variable Y definie par Y = � ln (X)

�

suit la loi exponentielle de parametre �.

correction :

On calcule la fonction de repartition de Y . Soit x 2 R,

F (x) = P (Y x)

= P (� ln(X)

�

x)

= P (X � e

��x)

=

⇢1� e

��x si x � 00 si x < 0

22


La fonction F est derivable en tout point de R⇤ et pour tout x 2 R⇤, on a

f(x) = F

0(x) =

⇢�e

��x si x > 00 si x < 0

.

Donc Y suit une loi exponentielle de parametre �.

Exercice 3.13

1. Soit X la variable aleatoire de loi normale centrale reduite N(0, 1).

(a) Calculer P (X > 1.56), P (X 0.75), P (X �0.3), P (|X| < 1.5)

(b) Determiner dans chaque cas le nombre t qui verifieP (X < t) = 0.5 P (X < t) = 0.9664 P (X < t) = 0.8

P (X > t) = 0.1 P (|X| t) = 0.95 P (|X| � t) = 0.01

2. Soit Y la variable aleatoire qui suit la loi normale d’esperance 5 et d’ecart type 0,5.Calculer P (X < 6), P (X > 5), P (X < 3.5), P (4 < X < 6), P (|X � 5| > 0.5).

correction :

1. P (X > 1, 56) = 1� P (X 1, 56). Alors, d’apres la table de la loi N(0, 1), on a

P (X > 1, 56) = 1� 0, 9406 = 0, 0594.

D’apres la table de la loi N(0, 1), P (X 0, 75) = 0, 7734.X suit une loi normale N(0, 1). Alors par les proprietes de symetrie de cette loi, on a

P (X �0, 3) = 1� P (X < 0, 3) = 1� P (X 0, 3).

D’ou en utilisant la table de la loi N(0, 1), P (X �0, 3) = 1� 0.6179 = 0, 3821.

P (|X| < 1, 5) = P (�1, 5 < X < 1, 5) = 2P (X 1, 5)� 1.

Alors, en utilisant la table de la loi N(0, 1), on a

P (|X| < 1, 5) = 2.0, 9332� 1 = 0, 8664.

2. P (X < t) = P (X t) donc par la table de la loi N(0, 1), t = 0.P (X < t) = P (X t) donc par la table de la loi N(0, 1), t = 1.83.P (X < t) = P (X t). La table de la loi de la loi normale N(0, 1) donneP (X 0, 84) = 0, 7995 et P (X 0, 85) = 0, 8023. Donc 0, 84 < t < 0.85. Pour donnerune valeur plus precise d et on procede par interpolation. En approchant la densite de la loinormale N(0, 1) par une droite entre les points A = (0, 84; 0, 7995) et B = (0, 85; 0, 8023) onobtient la configuration suivante :

23


A

B

CD

E

Avec C = (0, 85; 0, 7995), D = (t; 0, 7995) et E = (t; 0, 8).Donc par le theoreme de Thales, on a AD

AC

= ED

BC

, c’est-a-dire t�0,840,85�0,84 = 0,8�0,7995

0,8023�0,7995 . Finale-ment, t = 0, 842.P (X > t) = 1 � P (X t) donc finalement, on cherche t tel que P (X t) = 0, 9. La tablede loi loi normale N(0, 1) donne t = 1, 282.P (|X| t) = P (�t X t) = 2P (X t) � 1 donc finalement on cherche t tel queP (X t) = 0, 975. La table de la loi normale N(0, 1) donne t = 1, 96.P (|X| � t) = 1 � P (|X| < t) = 1 � (2P (X t) � 1) = 2(1 � P (X t)). Finalement oncherche t tel que P (X t) = 0, 995. La table de la loi normale N(0, 1) donne t = 2, 576.

3. On se ramene a une loi normale N(0, 1) par le changement de variable suivant :

X = 0.5X⇤ + 5

ou X

⇤ est une variable aleatoire de loi N(0, 1).P (X < 6) = P (X⇤

< 2) donc la table de la loi normale N(0, 1) donne

P (X < 6) = 0.9772.

P (X > 5) = P (X⇤> 0) = 1� P (X⇤

< 0) = 0, 5.P (X < 3, 5) = P (X⇤

< �3) = 1� P (X⇤ 3). Donc par la table de la loi normale N(0, 1),on a P (X < 3, 5) = 0, 00135.P (4 < X < 6) = P (�2 < X

⇤< 2) = 2P (X⇤ 2)� 1. Donc par la table de la loi N(0, 1),

on a P (4 < X < 6) = 0, 9544.P (|X � 5| > 0, 5) = P (|X⇤| > 1) = 1� P (�1 < X

⇤< 1) = 2(1 � P (X⇤ 1)). Donc par

la table de la loi N(0, 1), P (|X � 5| > 0, 5) = 0, 3174.


Exercice 3.14

Un lot de 100 pieces contient 3% de pieces defectueuses.

1. On tire sans remise un echantillon de deux pieces et on note X la variable aleatoire nombre depieces defectueuses dans l’echantillon.

(a) Determiner la loi de X.

(b) Calculer son esperance et sa variance.

24


(c) Calculer la probabilite de tirer un echantillon d’au moins une piece defectueuse.

2. On tire avec remise deux pieces et on note Y la variable aleatoire nombre de pieces defectueuses.

(a) Determiner la loi de Y.


(c) Calculer la probabilite de tirer au moins une piece defectueuse.

3. On tire avec remise une piece du lot jusqu’a obtenir une piece defectueuse. On note T lavariable aleatoire nombre de tirages effectues.

(a) Determiner la loi de T.


(c) Calculer la probabilite d’effectuer au moins dix tirages.

Exercice 3.15

Une boıte contient 10 jetons rouges et 20 jetons noirs.

1. Soit E l’experience consistant a tirer simultanement et sans remise deux jetons de la boıte. Onnote X la variable aleatoire egale au nombre de jetons rouges tires.

(a) Determiner la loi de X. Calculer son esperance et sa variance.

(b) Demontrer que la probabilite de tirer deux jetons rouges est egale a 329 .

2. On repete l’experience E cinq fois de suite (apres chaque experience, on remet dans la boıte lesdeux jetons tires). On note N le nombre de fois ou on obtient deux jetons rouges.

(a) Determiner la loi de N. Calculer son esperance et sa variance.

(b) Calculer la probabilite d’obtenir toutes les fois deux jetons rouges.

Exercice 3.16

On considere la variable aleatoire X dont la densite de probabilite est definie par :

f(t) =

⇢k(1� t

2) si � 1 t 10 sinon

1. Calculer k. Tracer le graphe de f .

2. Determiner la fonction de repartition de X et tracer son graphe.

3. Calculer P (X < 0), P (X � 0, 5), P (|X| 0, 5).

4. Calculer l’esperance et la variance de X .

25


Exercice 3.17

1. Le poids Y des garcons de 6 ans suit une loi normale d’esperance µY

= 20 kg et d’ecart type �

Y

= 2 kg.

(a) Quelle est la probabilite qu’un garcon de 6 ans pese plus de 24 kg ? moins de 19 kg ? Entre19 et 24 kg ?

(b) Donner un intervalle centre en µ

Y

dans lequel le poids d’un garcon de 6 ans a 99% dechances de se trouver.

2. On etudie maintenant le poids X des filles de 6 ans. On suppose qu’il suit une loi normaled’esperance µ

X

et de variance �

2X

a determiner.Determiner l’esperance et l’ecart type grace aux deux probabilites suivantes qu’on a pu evaluer :P(X<15,84)=0,1841 et P(X>19,56)=0,2578.

3. On considere un echantillon de 5 filles et 4 garcons de 6 ans.

(a) Quelle est la loi du poids total des enfants de cet echantillon ?

(b) Calculer la probabilite que le poids total de 5 filles et 4 garcons de 6 ans soit inferieur a160 kg.

Exercice 3.18

Un individu achete 2 billets de loterie, parmi les 1000 billets emis, 20 sont gagnants. Soit X lavariable aleatoire associee au nombre de billets gagnants achetes par l’individu.

1. Determiner X(⌦) et la loi de X .

2. Calculer l’esperance et la variance de X .

26

4. Couples de variables aleatoires discretes

4 Couples de variables aleatoires discretes

4.1 TD 4

Exercice 4.1

Soit a un reel fixe. On considere le couple de variables aleatoires discretes (X, Y ) dont la loi estdefinie par X(⌦) = {1, 2}, Y (⌦) = {3, 4} et le tableau suivant :

x # y ! 3 41 a 2a2 3a 4a

1. Calculer a et determiner les lois marginales de X et de Y.

2. Les variables X et Y sont-elles independantes ?

3. Calculer la covariance du couple (X, Y ). Les variables X et Y sont-elles correlees ?

Exercice 4.2

On donne la loi de couple de deux variables aleatoires X et Y par le tableau suivant

x

i

# y

j

! 0 1 21 3/24 2/24 1/244 9/24 6/24 3/24

1. Determiner les lois marginales de X et de Y.


3. Les variables X et Y sont-elles correlees ? Calculer la covariance du couple (X, Y ).

Exercice 4.3

Trois jeeps partent pour un periple dans le desert. Soit X la variable aleatoire nombre de jeeps termi-nant le periple sans panne. On donne la loi de X :

x

i

0 1 2 3P (X = x

i

) 0, 1 0, 1 0, 6 0, 2

1. Calculer l’esperance, la variance et l’ecart type de X.

2. Soit Y le nombre de jeeps qui tombent en panne au cours du periple.Determiner Y (⌦) et la loi de probabilite de Y. Calculer l’esperance, la variance et l’ecart typede Y.

3. Determiner la loi du couple (X, Y ).

4. Donner, sans aucun calcul, le coefficient de correlation du couple (X, Y ).

5. Les variables X et Y sont elles correlees ? independantes ?

27

4.1 TD 4

Exercice 4.4

Soient X et Y deux variables aleatoires definies sur un univers ⌦ telles que :

X(⌦) = {�1, 0, 1} et Y (⌦) = {0, 1}P (Y = 0) = 0.3

P (X = �1|Y = 0) = 0.2, P (X = 0|Y = 0) = 0.5

P (X = �1|Y = 1) = 0.4, P (X = 0|Y = 1) = 0.2

1. Determiner la loi de X sachant Y = 0 et la loi de X sachant Y = 1.

2. En deduire la loi du couple (X, Y ) puis la loi marginale de X .


4. Calculer la covariance du couple (X, Y ). Les variables X et Y sont-elles correlees ?

Exercice 4.5

Soient deux variables aleatoires X et Y verifiant :

E(X) = �2, V (X) = 4, E(Y ) = 4, V (Y ) = 9, ⇢(X, Y ) = �0, 5

1. Les variables X et Y sont-elles correlees ? independantes ?

2. Calculer la covariance du couple (X, Y ) puis en deduire E(XY ).

3. Soit Z = �X

2 + 2XY + Y

2 � 3. Calculer l’esperance de Z.

Exercice 4.6 (Partiel 2015)

Un nombre binaire est une suite finie quelconque de chiffres 0 ou 1. On note ⌦ l’ensemble desnombres binaires de 3 chiffres comprenant exactement deux chiffres 1 et un chiffre 0. Pour i 2{1, 2, 3}, X

i

est la variable aleatoire qui associe un nombre binaire de ⌦ son i-eme chiffre en partantde la gauche. Par exemple, X1(110) = 1, X2(110) = 1 et X3(110) = 0.

Les questions 3 et 4 sont independantes.

1. Determiner ⌦. En deduire la loi de X1 (faire un tableau) et reconnaitre une loi de Bernoulli donton donnera le parametre.

2. Determiner les lois des Xi

(i 2 {2, 3}). La variable Xi

suit-elle une loi usuelle (i 2 {2, 3}) ? Sioui, indiquer la loi et son (ou ses) parametre(s).

3. (a) Determiner la loi du couple (X1, X2).

(b) Determiner la loi de X1 sachant X2 (c’est a dire les lois de X1 sachant (X2 = 0) et de X1

sachant (X2 = 1)).

(c) X1 et X2 sont-elles independantes ?

(d) Calculer le coefficient de correlation entre X1 et X2. Sont-elles correlees ?

(e) Calculer l’esperance de la variable aleatoire 4X1 + 2X2 +X3.

28


4. Soit n 2 N⇤. Un instituteur cree le jeu suivant pour apprendre a un enfant a compter. Il ecrit

chaque mot de ⌦ sur une carte, les dos des cartes etant identiques (et donc les cartes indiscer-nables). L’enfant doit tirer successivement n cartes en remettant la carte tiree a chaque fois. SoitY la variable aleatoire egale au nombre de mots tires commencant par le chiffre 1 (en partantde la gauche). L’enfant gagne Y bonbon(s).

(a) On suppose que n = 5.

i. Quelle est la loi de Y ?

ii. Determiner la probabilite que l’enfant ait gagne 3 bonbons.(b) On considere maintenant n tirages avec remise. Pour quelle valeur de n l’enfant a-t-il 0.99

% de chances de gagner au moins un bonbon ?


Exercice 4.7

Un sac contient trois boules numerotees 1, 2 et 3. On extrait successivement et sans remise deuxboules du sac. On note X (respectivement Y) la variable aleatoire associee au resultat du premier(resp. deuxieme) tirage.

1. Decrire ⌦. Determiner X(⌦) et Y (⌦).

2. Determiner la loi du couple (X, Y).

3. En deduire les lois marginales de X et Y.


5. Les variables X et Y sont-elles correlees ? Calculer leur coefficient de correlation.

6. Determiner la loi de S = X+Y ; Calculer son esperance et sa variance.

correction :

1. ⌦ = {(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); (3, 2)}X(⌦) = Y (⌦) = {1; 2; 3}

2. Il y a equiprobabilite sur ⌦ donc la loi du couple (X, Y ) est donnee par le tableau :

# x

i

\ y

i

! 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/63 1/6 1/6 0

3. Par somme sur les lignes et les colonnes on trouve les lois marginales de X et de Y donneespar :

x

i

1 2 3P (X = x

i

) 1/3 1/3 1/3

y

i

1 2 3P (Y = y

i

) 1/3 1/3 1/3

29


4. On constate que P (X = 1 \ Y = 1) = 0 alors que P (X = 1) ⇥ P (Y = 1) =1

9, les deux

variables aleatoires ne sont donc pas independantes.

5. Pour determiner si les V.A X et Y sont correlees, on calcule

cov(X, Y ) = E(XY )� E(X)E(Y ).

Pour cela, on definit une nouvelle V.A Z = XY .

On a par exemple P (Z = 2) = P (X = 1 \ Y = 2) + P (X = 2 \ Y = 1) =1

6+

1

6=

1

3. En

examinant tous les cas, on determine la loi de Z resumee dans le tableau :

z

i

2 3 6P (Z = z

i

) 1/3 1/3 1/3

E(Z) =1

3⇥ 2 +

1

3⇥ 3 +

1

3⇥ 6 =

11

3.

A partir des lois de X et de Y on peut calculer leur esperance et leur variance :

E(X) = E(Y ) =1

3⇥ 1 +

1

3⇥ 2 +

1

3⇥ 3 = 2.

D’ou cov(X, Y ) = E(XY )� E(X)E(Y ) =11

3� 4 =

�1

36= 0, les variables sont correlees.

Par definition

⇢(X, Y ) =cov(X, Y )

�(X)�(Y ).

Or V (X) = V (Y ) =1

3⇥ 1 +

1

3⇥ 4 +

1

3⇥ 9 � 22 =

2

3, donc �(X) = �(Y ) =

r2

3et

⇢(X, Y ) =

�1

3r2

3⇥r

2

3

=�1

2.

6. On definit la nouvelle V.A S = X + Y .

On a par exemple P (S = 4) = P (X = 1 \ Y = 3) + P (X = 3 \ Y = 1) =1

6+

1

6=

1

3. En

examinant tous les cas, on determine la loi de S resumee dans le tableau :

s

i

3 4 5P (S = s

i

) 1/3 1/3 1/3

E(S) =1

3⇥ 3 +

1

3⇥ 4 +

1

3⇥ 5 = 4.

V (S) =1

3⇥ 9 +

1

3⇥ 16 +

1

3⇥ 25� 42 =

2

3.

30


Exercice 4.8

X et Y sont deux variables aleatoires definies sur le meme espace probabilise, independantes, d’esperance :E(X) = �5, E(Y ) = 3 et de variance V (X) = 4, V (Y ) = 1.

1. Calculer E(�3X + 2) ; V (�3X + 2).

2. Calculer E((X + 5)2) ; E(X2) ; E((X � 1)2).

3. Calculer E(X + Y ) ; V (X + Y ) ; E(XY ) et la covariance du couple (X, Y ). Preciser quandl’independance de X et Y est utilisee.

correction :

1. On sait que pour a et b deux reels, E(aX + b) = aE(X) + b et V (aX + b) = a

2V (X).

On en deduit : E(�3X + 2) = �3E(X) + 2 = �3 ⇥ (�5) + 2 = 17 et V (�3X + 2) =(�3)2V (X) = 9⇥ 4 = 36

2. D’apres la definition de la variance V (X) = E((X � E(X))2).Donc ici V (X) = E((X + 5)2) et E((X + 5)2) = 4.Une des proprietes de l’esperance et de la variance (si elles existent) est que :V (X) = E(X2)� (E(X))2 ce qui donne E(X2) = V (X) + (E(X))2 = 4 + (�5)2 = 29

E((X�1)2) = E(X2�2X+1) = E(X2)+E(�2X+1) (pour deux V.A X et Y : E(X+Y ) =E(X) + E(Y )

D’ou E((X � 1)2) = E(X2) +�2⇥ E(X) + 1 = 29� 2⇥ (�5) + 1 = 40

3. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = �5 + 3 = �2

X et Y sont independantes donc V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) = 4 + 1 = 5 et E(XY ) =E(X)⇥ E(Y ) = �5⇥ 3 = �15

Par definition cov(X, Y ) = E(XY )� E(X)E(Y ) = 0 puisque X et Y sont independantes.

Exercice 4.9

Soit X la variable aleatoire de loi uniforme donnee par :

x

i

�1 0 1P (X = x

i

) 13

13

13

1. Determiner la loi de Y = X

2.

2. Determiner la loi du couple (X, Y ).

3. Verifier que X et Y sont non independantes et non correlees.


Exercice 4.10

Reprendre le premier exercice corrige avec un tirage avec remise.

31


Exercice 4.11

Un sac contient trois boules numerotees 1, 2 et 3. On tire au hasard une boule du sac puis on lanceune piece equilibree un nombre de fois egal au numero de la boule tiree.

On note X la v.a. numero de la boule tiree du sac et Y la v.a. nombre de fois ou pile apparait.


2. Determiner Y (⌦).

3. Determiner les lois de Y sachant X = x

i

pour xi

2 X(⌦).

4. En deduire la loi du couple (X, Y ).

5. En deduire la loi marginale de Y.

6. X et Y sont-elles independantes ?

7. Calculer le coefficient de correlation du couple (X, Y ). X et Y sont-elles correlees ?

Exercice 4.12

La probabilite qu’un chaton soit noir est p = 0.1. Dans un centre de la SPA (societe protectrice desanimaux), il y a des chatons disponibles a la vente. Les chatons sont dans des enclos par groupes decinq, les groupes ayant ete constitues au hasard.

Jean cherche a acheter deux chatons et, superstitieux, il a un peu peur des chats noirs.

1. Jean arrive dans un enclos ou il y a 5 chatons. Soit Y le nombre de chats noirs dans l’enclos.

(a) Determiner Y (⌦) et la loi de Y en dressant un tableau et en y incluant les valeurs numeriques(on pourra s’aider des tables)

(b) Calculer l’esperance et l’ecart type de Y.

2. Jean prend 2 chatons au hasard dans un enclos de 5. Soit Z la variable aleatoire egale au nombrede chatons noirs pris parmi les 2.

(a) Determiner Z(⌦).

(b) Determiner les lois de Z sachant Y = y

i

pour yi

2 Y (⌦).

(c) En deduire la loi du couple (Y, Z) (donner les valeurs approchees avec 4 decimales).

(d) En deduire la loi de Z a 10�4 pres, son esperance et son ecart type.

3. Les variables Y et Z sont-elles independantes ?

4. Les variables Y et Z sont-elles correlees ?

5. Comparer la loi de Z avec la loi de la variable aleatoire T egale au nombre de chatons noirslorsque Jean rencontre deux chatons.

32

5. Approximations, theoreme de limite centrale

5 Approximations, theoreme de limite centrale

5.1 TD5

Exercice 5.1

1. Soit X la variable aleatoire associee au nombre de pannes qui se produisent sur une chaıne demontage durant le mois de janvier. On suppose que X suit la loi de Poisson de parametre 1.

(a) Calculer l’esperance et la variance de X.(b) Calculer la probabilite qu’il n’y ait aucune panne durant le mois de janvier.

2. On suppose que la v.a. Y egale au nombre de pannes au cours du mois de fevrier suit la memeloi que X ; X et Y sont supposees independantes.Calculer la probabilite pour qu’il y ait exactement deux pannes au total durant les mois dejanvier et fevrier.

3. Soient deux v.a. X et Y independantes et de loi de Poisson : X ⇠ P(�), Y ⇠ P(µ). Demontrerque X + Y ⇠ P(�+ µ).

Exercice 5.2

Soient Xi

(i = 1 · · · , 100) des variables aleatoires a valeurs dans N, i.i.d. d’esperance 0.4 et d’ecarttype 1. Soit S = 100X.

En utilisant le T.L.C, expliquer comment trouver une valeur approchee de

P (S a);P (a < S b);P (a S b);P (S � a);P (S > a); ....

en fonction de �.

Exercice 5.3

On suppose que 1% des pieces produites par une machine sont defectueuses.

1. Calculer la probabilite qu’il y ait au plus deux pieces defectueuses dans un lot de 100 pieces (fairele calcul exact puis approcher la loi par une loi de Poisson).

2. Calculer la probabilite qu’il y ait 10 pieces defectueuses dans un lot de 2000 pieces (faire lecalcul exact puis approcher la loi par une loi normale).

3. Calculer la probabilite qu’il y ait entre 10 et 25 pieces defectueuses dans un lot de 2000 pieces.

Exercice 5.4

Pour se rendre a l’IUT, un etudiant effectue deux fois par jour, 5 jours par semaine et pendant 32semaines, les trajets domicile-IUT et IUT-domicile par les transports en commun.

On suppose que la duree d’un trajet est une variable aleatoire X, d’esperance 40 minutes et d’ecart-type 8 minutes. On suppose que les durees des trajets sont independantes entre elles.

1. Calculer la probabilite que cet etudiant passe plus de 220 heures par an dans les transports.2. Calculer la probabilite que la duree moyenne des trajets soit comprise entre 39 et 41 minutes.

33


Exercice 5.5

A un carrefour donne et sur une journee, il y a une chance sur 130 qu’il y ait un accident de voiture.

1. Soit Xi

la variable aleatoire egale au nombre d’accidents au carrefour pendant la i

eme semainede l’annee (1 i 52).

(a) Quelle est la loi de X

i

? Calculer son esperance.

(b) Calculer la probabilite qu’il y ait entre 2 et 3 accidents pendant la premiere semaine dejuillet au carrefour.

2. On note N la variable aleatoire egale au nombre d’accidents au carrefour sur une annee (365jours).

(a) Quelle est la loi de N ? Calculer son esperance, sa variance et son ecart type.

(b) On souhaite approcher la loi de N par une loi de Poisson. Justifier cette demarche etdonner le parametre � de la loi de Poisson a considerer.

(c) Montrer que l’on peut choisir une loi de Poisson d’esperance 2.8 comme approximation.

(d) En deduire la probabilite qu’il y ait entre 5 et 10 accidents sur une annee au carrefour(utiliser la table).


Exercice 5.6

Le nombre d’appels arrivant en une minute a un standard telephonique suit une loi de Poisson deparametre � = 1,5.

Calculer la probabilite de recevoir plus de 100 appels en une heure.

correction : Pour 1 i 60, la variable aleatoire X

i

egale au nombre d’appels a la i-eme minutesuit une loi de Poisson de parametre � = 1, 5. On note X la variable aleatoire egale au nombre

d’appels en une heure. Alors X =60X

i=1

X

i

.

On cherche a calculer la probabilite P (X � 100). Les X

i

sont independantes et identiquementdistribuees de loi de Poisson de parametre �. L’esperance et la variance d’une loi de Poisson de pa-rametre � sont egales a �. Donc, d’apres le Theoreme de limite centrale, on peut faire l’approximationsuivante :

X60 � �

p�p60

⇠ X

⇤

ou X

⇤ suit une loi normale centree reduite.

On a

P (X � 100) = P (X60 �5

3) = P (

p60

X60 � �p�

�p60

5/3� �p�

)

donc P (X � 60) ⇠ P (X⇤ �p103 ).

34


Orp103 ' 1, 05, donc en utilisant la table de la loi N(0, 1), on obtient que

P (X � 100) = 1� P (X⇤< 1, 05) = 0.1469.


Exercice 5.7

Un avion long courrier pesant 120 tonnes a vide comporte 100 places. Toutes les places sont occupees.

L’avion n’a l’autorisation de decoller que si son poids total (avion + bagages + passagers) ne depassepas 129,5 tonnes.

On suppose que le poids d’un passager est une variable aleatoire de loi inconnue, d’esperance 72 kget d’ecart type 10 kg et qu’il n’y a pas de dependance entre les passagers.

On suppose que le poids des bagages d’un passager suit une variable aleatoire de loi inconnue,d’esperance 20 kg et d’ecart type 10 kg et qu’il n’y a pas de dependance entre les passagers et leursbagages.

1. Quels sont les moments du poids total de l’avion ?

2. Calculer la probabilite que l’avion n’ait pas l’autorisation de decoller.

3. Sur 100 vols de 100 passagers, combien de fois en moyenne l’autorisation de decoller aura-t-elle ete donnee ?

4. Sur 100 vols de 100 passagers, quelle est la probabilite d’avoir 3 vols ou plus refuses ?

35

6. Estimateurs et Estimations

6 Estimateurs et Estimations

6.1 TD6

Exercice 6.1

Pour le lancement d’un nouveau journal dans une population d’un million de personnes, le directeurse pose la question suivante : a combien d’exemplaires faut-il tirer le premier numero pour pouvoirsatisfaire la demande ? Il a donc realise un sondage pour estimer p, la proportion d’acheteurs dupremier numero. Sur 500 personnes interrogees, 75 ont annonce leur intention d’acheter le premiernumero.

1. Determiner une estimation ponctuelle de p en utilisant l’estimateur Xn

(justifier).

2. A votre avis, l’estimateur Xn

, en moyenne, sous-estime p ? surestime p ? ou bien peut-on espererque plusieurs echantillons differents donnent des valeurs estimees de p qui sont centrees en p

(toujours en moyenne) ?

3. On note N le nombre d’exemplaires a tirer pour satisfaire la demande avec une probabilitede 0.95. Soit Z la variable aleatoire egale au nombre d’acheteurs du premier numero dans lapopulation totale.

(a) Quelle est la loi de Z ?

(b) Calculer N en fonction de p.

(c) En deduire une estimation de N.

Exercice 6.2

Dans un centre de calcul, on suppose que le nombre de pannes enregistrees pour une semaine suitune loi de Poisson de parametre inconnu. Pour une periode de 100 semaines, on a note les resultatssuivants :

Valeurs 0 1 2 3 4 5 ou plusEffectifs 43 36 16 4 1 0

1. Calculer la moyenne et la variance de cet echantillon.

2. En deduire deux estimations ponctuelles de � en precisant les estimateurs utilises.

3. Calculer la probabilite qu’il y ait au moins une panne par semaine en fonction de �. En deduiredeux estimations de cette probabilite.

Exercice 6.3

On note X la variable aleatoire associee a la note de maths d’un etudiant d’une promotion donnee.On suppose que X est d’esperance µ et d’ecart type � inconnus. On dispose de trois echantillons denotes.

Premier echantillon de 10 notes : 10, 11, 8, 14, 12, 6, 11, 15, 10, 13.

Deuxieme echantillon de 40 notes :

36

6.1 TD6

Valeurs 7 9 10 11 12 13 14 15 16Effectifs 2 4 7 10 6 3 6 1 1

Troisieme echantillon de 30 notes pour lequel on connait

30X

i=1

x

i

= 336 et30X

i=1

x

2i

= 3924.

1. Calculer la moyenne et la variance de ces trois echantillons.

2. En deduire la moyenne et la variance de l’echantillon forme des trois echantillons donnes.

3. Avec 7 classes (justifier) sur [7; 16], tracer l’histogramme et le polygone de frequence associepour l’echantillon 2.

4. Construire un estimateur sans biais et convergent de µ.

5. Donner deux estimations ponctuelles de µ : l’une a partir du premier echantillon et l’autre apartir de l’echantillon de 80 notes.

6. Construire un estimateur sans biais et convergent de �

2.

7. Donner deux estimations ponctuelles de �

2 a partir des deux memes echantillons que pour µ.

Exercice 6.4

On considere la densite de probabilite f

f(x) =cx

c�1

✓

c

1]0,✓](x), ou ✓ > 0, c > 0

On suppose donne un n-echantillon x1, · · · , xn

de v.a. iid de loi puissance de densite f.

1. On suppose que ✓ = 1 est connu.Trouver un estimateur de maximum de vraisemblance c pour c. En deduire une estimation c4 dec et comparer a l’exercice precedent. Que pensez-vous de la qualite des estimateurs c1, c2 et c3?En deduire une estimation de la probabilite qu’il y ait un tremblement de terre de magnitudecomprise entre 8.386 et 8.783.

2. On suppose que c est connu mais que ✓ est inconnu. En utilisant ✓ = c+1c

E(X), donner unestimateur sans biais et convergent de ✓.

3. On suppose toujours que c est connu et que ✓ est inconnu dans ]0,+1[. Donner un e.m.v pour✓.

Exercice 6.5 Soit X une v.a suivant une loi normale N(µ, �) dont on suppose connu un n-echantillonX1, · · · , Xn

. On suppose que µ est connue. Montrer que S

2n

est un e.m.v de la variance de X.

37


Exercice 6.6

Une urne contient 10 boules de couleur blanches ou noires. On effectue 1000 tirages successifs avecremise. Soit N le nombre de boules noires contenues dans l’urne et soit X la v.a egale au nombre deboules noires tirees en 1000 tirages ?


2. En deduire un estimateur sans biais de N.

3. L’experience donne 450 fois une boule noire. Montrer que N 2 {4, 5}.4. Parmi, 4 et 5, quelle est la valeur la plus vraisemblable ?

Exercice 6.7

Soit X une v.a de loi uniforme sur [✓, 1] ou ✓ < 1. On suppose connu un n-echantillon X1, · · · , Xn

de X .

1. Ecrire la fonction de vraisemblance de l’echantillon et en deduire l’estimateur de e.m.v de ✓.

2. Soit Yn

= Min(X1, · · · , Xn

). Determiner la loi de Y

n

.

3. Montrer que Y

n

est un estimateur de ✓. Est-il biaise ? Est-il convergent ?4. En deduire un estimateur ✓⇤ sans biais et convergent de ✓.


Exercice 6.8

On note X la v.a. associee au taux de glycemie d’un individu tire au hasard dans une populationdonnee. On veut estimer l’esperance et la variance de X. On tire au hasard un echantillon de 100sujets de cette population et on mesure le taux de glycemie (mg/100ml)de chaque individu de cetechantillon. On obtient la distribution suivante :

Taux [75 ;80[ [80 ;85[ [85 ;90[ [90 ;95[ [95 ;100[ [100 ;105[ [105 ;110[Effectifs 5 10 20 36 15 8 6

1. Calculer la moyenne de l’echantillon.2. On donne

P100i=1 x

2i

= 855225. Calculer la variance de l’echantillon.3. Determiner une estimation ponctuelle de l’esperance de X et deux estimations ponctuelles de

la variance de X a 10�4 pres. Preciser les estimateurs utilises.

correction :

1. Dans chaque classe, on considere que l’on a une loi uniforme donc l’esperance est la demi-somme des bornes de l’intervalle. Dans chaque classe [a, b[, on prend comme moyenne la va-

leura+ b

2. Il faut faire attention a ne pas faire la moyenne des moyennes..... La moyenne de

l’echantillon est

m =5 ⇤ 77.5 + 10 ⇤ 82.5 + 20 ⇤ 87.5 + 36 ⇤ 92.5 + 15 ⇤ 97.5 + 8 ⇤ 102.5 + 6 ⇤ 107.5

100= 92.2

38


2. La variance de l’echantillon est v =855225

100�m

2 = 51.41

3. Une estimation ponctuelle de l’esperance de X est Xn

donc une estimation ponctuelle de µ estµ = 92.2. Une estimation ponctuelle de la variance est obtenue avec s

2n

= v = 51.41. Onsait qu’elle est biaise et qu’elle surestime (en moyenne) la valeur de la variance. Une autre

estimation, non biaisee, est obtenue avec s

02n

=1

n� 1

100X

i=1

(xi

�m)2 = 100 ⇤ v/99 = 51.9293.

Exercice 6.9

Soit X une v. a de fonction de repartition F. Soit x 2 R. Montrer que la v.a ⌧ fonction de repartitionempirique d’un echantillon �est un estimateur non biaise et convergent du reel F (x) (cf theoremefondamental de la statistique). Reconnaitre le lien avec la fonction de repartition empirique F

n

(x) ducours.

correction : x est fixe. Soit la v. a. Zn

=1

n

X

i

Y

i

(notation du cours). On a vu que S =P

i

Y

i

suit

une loi B(n, F (x)). Donc E(S) = nF (x) et V (S) = nF (x)(1�F (x)). On en deduit E(Zn

) = F (x)et V (Z

n

) = F (x)(1� F (x))/n ce qui tend vers 0 avec n.

On en deduit que Z

n

est un estimateur sans biais et convergent de F (x). La fonction de repartitionF

n

(x) est une estimation de Z

n

.


Exercice 6.10

Soit n un entier superieur a 1000. On considere un echantillon de n nouveaux-nes. Pour i = 1, · · · , non note X

i

la variable aleatoire suivante

X

i

=

⇢1 si le i eme nouveau ne est un garcon0 si le i eme nouveau ne est une fille

On suppose dans tout l’exercice que les variables aleatoires Xi

sont independantes et identiquementdistribuees (i.i.d.). On note T la variable aleatoire egale au nombre de garcons dans l’echantillon desn nouveaux nes.

En 2014, il y eut 781167 nouveaux nes en France metropolitaine dont 399284 garcons.

1. On suppose dans toute cette question que X1 suit une loi de Bernoulli de parametre1

2.

(a) Calculer l’esperance et l’ecart type de la variable X

i

pour i = 1, · · · , n.

(b) Dterminer l’esperance et la variance de X

n

=1

n

nX

i=1

X

i

.

(c) Soit X⇤ une variable aleatoire de loi normale centree reduite. Determiner le reel a > 0 telque P (|X⇤| a) = 0.99.

39


(d) Justifier et ecrire le resultat de l’application du Theoreme Central Limite a la variablealeatoire X

n

. Calculer a l’aide de cette approximation

P (1

2� 1.288p

n

X

n

1

2+

1.288pn

).

(e) En deduire qu’il y a 99% de chances pour que le nombre de garcons nouveaux nes dansl’echantillon de n enfants soit dans l’intervalle

I

n

= [n

2� 1.288

pn,

n

2+ 1.288

pn].

Dans toute la suite de l’exercice, n = 781167.

2. (a) Donner une estimation de T.

(b) Cette estimation de T est-elle dans I781167 ?Vous parait-il raisonnable de supposer, en ac-ceptant une marge d’erreur de 1%, qu’un enfant ne en France metropolitaine a autant dechance d’etre une fille qu’un garcon ?

3. Dans cette question, on suppose que les variables Xi

suivent une loi de Bernoulli de parametrep 2]0, 1[.

(a) Justifier que X

n

est un estimateur de p.

(b) Demontrer soigneusement que X

n

est un estimateur sans biais et convergent de p.

(c) En deduire une estimation de p pour l’annee 2014.

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7. Graphes de probabilites

7 Graphes de probabilites

7.1 TD 7

Exercice 7.1

Dans une rue passante de Paris, on a mesure le niveau de bruit en decibels emis par 20 vehicules prisau hasard. Les donnees ordonnees sont les suivantes : 54.8; 55.4; 57.7; 59.6; 60.1; 61.2; 62.0; 63.1;63.5; 64.2; 65.2; 65.4; 65.9; 66.0; 67.6; 68.1; 69.5; 70.6; 71.5; 73.4.

1. Donner les moyenne, mediane, variance, ecart-type empiriques de cet echantillon.2. Construire un histogramme a classes de meme largeur egale a 4 (justifier). En deduire que la loi

normale est une loi de probabilite vraisemblable pour le niveau de bruit des vehicules passantdans cette rue. Confirmer ce resultat a l’aide d’un graphe de probabilites.

3. On suppose que cet echantillon est issu d’une loi normale.

(a) Estimer la moyenne et la variance de cette loi.(b) Estimer la probabilite que le niveau de bruit depasse 70 db, puis 74 db.(c) La municipalite a decide de taxer les 10 % de vehicules les plus bruyants. Comment

determiner le niveau de bruit limite au dela duquel les vehicules concernes seront mis al’amende ?

Exercice 7.2 On a releve les magnitudes sur l’echelle de Richter de 15 tremblements de terre impor-tants, dans l’ordre chronologique que l’on note y1, · · · , yn.

8.516 8.887 8.783 8.613 8.697 8.459 8.724 8.7558.867 8.893 8.835 8.718 8.851 8.386 8.855

On note x

i

= y

i

� 8 pour i = 1, · · · , 15.

1. Construire un histogramme a classes de meme largeur pour ces donnees xi

.2. Un expert A affirme que ces donnees semblent etre distribuees selon une loi uniforme. Un

expert B pretend quelles proviennent plutot d’une loi puissance P

c,✓

definie par sa densite :

f(x) =cx

c�1

✓

c

1]0,✓](x), ou ✓ > 0, c > 0

(a) Justifier que f est bien une densite de probabilite.(b) Au vu de l’histogramme, que pensez-vous des affirmations de A et B ?(c) A l’aide de deux graphes de probabilite, montrer qu’il est vraisemblable que c’est l’expert

B qui ait raison.(d) A l’aide d’une methode graphique simple, donner une estimation (✓1, c1) des parametres

✓ et c.(e) A l’aide d’une regression lineaire, donner une estimation (✓2, c2) des parametres ✓ et c.

3. Calculer l’esperance et la variance de la loi puissance.4. En deduire une estimation (✓3, c3) des parametres c et ✓. Preciser les estimateurs utilises.

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8. DS 2015

8 DS 2015

DS DU JEUDI 17 DECEMBRE 2015

Les exercices sont independants. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction. Seul le polycopiede cours est autorise (de couleur verte).

Exercice 8.1

Soit f une fonction numerique definie sur R.

1. (a) Ecrire soigneusement les conditions pour que la fonction f soit une densite de probabilite.(b) Soit c 2 R. On suppose que

f(t) =

8<

:

c si t 2 [0, 1]t� 1 si t 2]1, 2]0 sinon

En reprenant point par point les conditions enoncees en (a), determiner la constante c pourque f soit une densite de probabilite. Faire alors le graphe de f .

(c) Soit X une variable aleatoire de densite la fonction f calculee en (b). Calculer la fonctionde repartition de X et faire son graphe.

(d) En deduire P (�1 < X 1.5), P (X = 1) et P (|X � 1| � 1

2).

(e) Calculer E(X).

Exercice 8.2

On considere des variables aleatoires X

i

(i 2 {1, · · · , 10}) independantes et identiquement dis-tribuees d’esperance µ = 1.1 et d’ecart type � = 1.26.

1. On note

Z =10X

i=1

X

i

.

Demontrer queP (|Z � 11| � 5) 0.64.

2. On considere maintenant des variables aleatoires Xi

(i 2 {1, · · · , 50}) independantes et identi-quement distribuees d’esperance µ = 1.1 et d’ecart type � = 1.26. On note

S =50X

i=1

X

i

.

Donner une valeur approchee de P (|S � 55| � 5).

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8. DS 2015

Exercice 8.3

Soit n un entier superieur a 1000. On considere un echantillon de n nouveaux-nes. Pour i = 1, · · · , non note X

i

la variable aleatoire suivante

X

i

=

⇢1 si le i eme nouveau ne est un garcon0 si le i eme nouveau ne est une fille

On suppose dans tout l’exercice que les variables aleatoires Xi

sont independantes et identiquementdistribuees. On note T la variable aleatoire egale au nombre de garcons dans l’echantillon des n

nouveaux nes.

En 2014, il y eut 781167 nouveaux nes en France metropolitaine dont 399284 garcons.

1. On suppose dans toute cette question que X1 suit une loi de Bernoulli de parametre1

2.

(a) Calculer l’esperance et l’ecart type de la variable X

i

pour i = 1, · · · , n.

(b) Dterminer l’esperance et la variance de X

n

=1

n

nX

i=1

X

i

.

(c) Soit X⇤ une variable aleatoire de loi normale centree reduite. Determiner le reel a > 0 telque P (|X⇤| a) = 0.99.

(d) Justifier et ecrire le resultat de l’application du Theoreme Central Limite a la variablealeatoire X

n

. Calculer a l’aide de cette approximation

P (1

2� 1.288p

n

X

n

1

2+

1.288pn

).

(e) En deduire qu’il y a 99% de chances pour que le nombre de garcons nouveaux nes dansl’echantillon de n enfants soit dans l’intervalle

I

n

= [n

2� 1.288

pn,

n

2+ 1.288

pn].

Dans toute la suite de l’exercice, n = 781167. On rappelle qu’une realisation d’une variablealeatoire T est une valeur prise par T .

2. (a) Donner une realisation de T.

(b) Cette realisation de T est-elle dans I781167 ?Vous parait-il raisonnable de supposer, en ac-ceptant une marge d’erreur de 1%, qu’un enfant ne en France metropolitaine a autant dechance d’etre une fille qu’un garcon ?

3. Dans cette question, on suppose que les variables Xi

suivent une loi de Bernoulli de parametrep 2]0, 1[.

(a) Justifier que X

n

est un estimateur de p.

(b) Demontrer soigneusement que X

n

est un estimateur sans biais et convergent de p.

(c) En deduire une estimation de p pour l’annee 2014.

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POLYCOPIE DE MATHEMATIQUES Module M3201 …fonseca/enseignement/poly.pdf · 1.2 Exercices corrig´es Exercice 1.12 Une population est composee de 42% d’italiens, 30% d’espagnols