Pocket Pc Manual

Proyectista: Joan Martnez Serra. Director/a: Amparo Nuez Andrs.

Codirector: Gustavo Gispert Irigoyen. Convocatoria: Febrero 2009.

Resumen Parte de los clculos aqu tratados, han sido programados por los estudiantes de Ingeniera Tcnica Topogrfica en calculadoras programables durante su paso por la escuela. Se convertan en herramientas indispensables para la resolucin de ejercicios. Un ejemplo de estos clculos, es la calculadora geodsica, con conocimientos asimilados en las asignaturas de Geodesia y Proyecciones Cartogrficas. Si bien, la calculadora geodsica expuesta en esta aplicacin, como veremos ms adelante, aparte de su atractiva interfaz grfica e intuicin de uso, incorpora un valor aadido, como es el clculo de la altura ortomtrica a partir de la altura elipsoidal y viceversa. La calculadora geodsica que forma parte de la aplicacin es prcticamente idntica a la calculadora geodsica disponible en la web del ICC (Institut Cartogrfic de Catalunya), con la ventaja que puede ser usada en cualquier parte sin depender de una conexin a internet. Lo mismo podramos decir, de las funciones COGO, una herramienta indispensable para cualquier topgrafo. Se ha decidido, de esta manera, reconvertir y unificar todos los programas de topografa de calculadora a un slo programa apto para dispositivos mviles, ya que stos presentan claras ventajas frente a las calculadoras y en un futuro no muy lejano ser su sustituto. No obstante, la parte central del programa es la compensacin de itinerarios mediante ajuste mnimo-cuadrtico, algo inusual de encontrar en aplicaciones topogrficas para dispositivos mviles. Se cumple, de esta forma, todos los puntos citados en la propuesta de este proyecto.

APLICACIN TOPOGRFICA PARA DISPOSITIVOS POCKET PC

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ndice

1. General. 1.1 Introduccin ...5 1.2 Objetivos 7

2. Clculos Topogrficos. 2.1 Introduccin ...9 2.2 Compensacin de itinerarios.

2.2.1 Mtodo topogrfico del itinerario.

2.2.1.1 Introduccin .......9 2.2.1.2 Clasificacin de los itinerarios .....10

2.2.2 Errores accidentales o aleatorios en la medida de ngulos. Error total.

2.2.2.1 Introduccin .11 2.2.2.2 Error Total Acimutal 11 2.2.2.3 Error Total Cenital ...13

2.2.3 Tolerancia en Planimetra.

2.2.3.1 Cierre de coordenadas ..14 2.2.3.2 Cierre angular ......16

2.2.4 Tolerancia en Altimetra.

2.2.4.1 Error de cierre altimtrico ....17 2.2.4.2 Tolerancia error de cierre altimtrico .....18

2.2.5 Errores sistemticos. Regla de Bessel ..19 2.2.6 Compensacin de los errores. Mtodo de los Mnimos Cuadrados.

2.2.6.1 Introduccin .............20 2.2.6.2 Mtodo de los Mnimos Cuadrados .20

2.2.7 Compensacin del itinerario en planimetra 22 2.2.8 Compensacin del itinerario en altimetra ...31

2.2.8.1 Correccin de esfericidad y refraccin ....33

2.2.9 Proyeccin UTM (Universal Transverse Mercator).

2.2.9.1 Reduccin de distancias al elipsoide .......34


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2.2.9.2 Paso del elipsoide a la proyeccin UTM .37 2.3 Calculadora geodsica.

2.3.1 Introduccin:

2.3.1.1 Elipsoide de Revolucin ..39 2.3.1.2 La proyeccin cartogrfica UTM 42 2.3.1.3 Transformaciones de datum .43 2.3.1.4 Ondulacin del geoide .44

2.3.2 Procedimientos:

2.3.2.1 Paso de coord. Geodsicas a coord. Geocntricas ...46 2.3.2.2 Paso de coord. Geocntricas a coord. Geodsicas ...46 2.3.2.3 Paso de coord. Geogrficas a coord. UTM ..47 2.3.2.4 Paso de coord. UTM a coord. Geogrficas ..49

2.3.2.5 Paso de coord. Geodsicas en WGS84 a coord. ED50 en proyeccin UTM y cota ortomtrica (H) 53 2.3.2.6 Paso de coord. ED50 en proyeccin UTM y cota ortomtrica (H) a coord. Geodsicas en WGS84 .54

3. Funcionamiento del programa POCKET-TOPO. 3.1 Caractersticas generales ..55 3.2 Instalacin de programas en un dispositivo mvil ...55 3.3 Apartados del programa.

3.3.1 Bases 59 3.3.2 Compensar itinerario 61 3.3.3 Funciones COGO .85 3.3.4 Calculadora Geodsica .92 3.3.5 Conversor angular 98 3.3.6 Ayuda .100

4. Programacin. 4.1 Introduccin ...101 4.2 Antecedentes en la programacin ..102 4.3 Creacin de aplicaciones para dispositivos mviles ..102 4.4 Dificultades durante la programacin 105 4.5 Estructura del programa .108

4.5.1 Caractersticas generales 108 4.5.2 E/S Entrada y salida de datos. Tipos de ficheros de texto .111 4.5.3 Clase Matriu . 114 4.5.4 Arrays y Datatables 114


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4.5.5 Mdulos 117 4.6 Dispositivos y software utilizados .121

Conclusiones / Recomendaciones .123

Bibliografa ....125


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Captulo 1: General.

1.1: Introduccin. En la actualidad existen muchos programas topogrficos comerciales (Inroads de Bentley, Autodesk Civil 3D, Clip de Toolsa, Istram-Ispol de Buhodra Ingeniera, Protopo de Microgesa, MDT de Aplitop, Cartomap de Aneba Geoinformtica, Sierrasoft Geomatics, Topcal21 de Digi21, NovaPoint de Vianova y otros muchos ms que no citaremos sin desmerecer su importancia, para no extendernos). Todos son de pago, aunque podemos conseguir versiones demo (freeware) que nos permiten usarlos con la limitacin en sus funciones y de forma temporal. Algunos de ellos estn ms enfocados a topografa, otros ms enfocados a trazado lineal y otros que se dedican a ambas cosas. Tambin muchos de estos programas son programas independientes y unos pocos funcionan como mdulos instalndose en Autocad. Existen por la red, programas gratuitos, aunque muy pocos, realizado por particulares pero como en todos los casos son de dudosa confianza. Un programa gratuito de bastante calidad es el llamado Topocal. Estos programas topogrficos empezaron siendo desarrollados para plataformas de PC de escritorio (MS-dos, Microsoft Windows 95, 98, 2000, XP y el reciente Windows Vista, etc) y dadas las nuevas tecnologas de hoy en da, muchos de estos programas se han destinado tambin para dispositivos mviles, sase el claro ejemplo de programas como TCP (ET, Tnel, GPS) de Aplitop, Pocket Cartomap, Procad de Protopo , convirtindose en un complemento ideal para el programa de escritorio. Otros desarrolladores tambin han hecho aplicaciones para estos dispositivos: Topview (antiguo Betop), Pocket Data, entre los ms destacados. Adems, estos programas para dispositivos mviles permiten comunicarse con cualquier Estacin Total o receptor G.P.S de los fabricantes de instrumental de topografa existentes en el mercado pero en muchos casos se venden en mdulos de programa por separado. Cabe destacar tambin que la inclusin de estos programas destinados para dispositivos mviles ha contribuido en gran parte el fuerte desarrollo tecnolgico en esta ltima dcada, tanto a nivel de comunicaciones (comunicaciones inalmbricas por Bluetooth (BT), Infrarrojos (IR), Wifi,) como a la fabricacin de microprocesadores muy potentes que permiten realizar gran cantidad de clculos en el menor tiempo posible, as como dispositivos reducidos y compactos (de bolsillo) con pantalla tctil. Otro aspecto fundamental es que los propios controladores actuales de los fabricantes de instrumental topogrfico, que aos atrs eran meramente recolectores de datos y permitan alguna que otra operacin de clculo, han sido pioneros en este sentido, citar por ejemplo los controladores ACU y TSC (Trimble Survey Controller) que operan bajo plataformas Windows CE y Windows Mobile respectivamente y disponen de su propio software. Otros fabricantes como Topcon tambin desarrollan controladores con sistema operativo Windows y recientemente Leica Geosystems ha hecho lo mismo. Una vez probados algunos de estos programas comerciales para dispositivos mviles (gracias a sus versiones demo como se deca anteriormente) he podido constatar que cada uno de ellos ofrece lo mejor de s en el apartado al cual se le ha dado mayor relevancia (la gran mayora


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estn enfocados para solventar las dificultades que puedan surgir en trazado de obra lineal as como solucionar los problemas de obra as-built sin necesidad de regresar al despacho). Por consiguiente, he realizado este programa con las carencias o aspectos que otros programas han dejado de lado, ofreciendo de esta manera un valor aadido. No se ha buscado bajo ningn concepto crear un programa comercial, justamente el caso opuesto, un programa al alcance de todos y de distribucin totalmente gratuita. Cabe recalcar que no se ha tratado de hacer una copia de un programa ya existente en el mercado sin de crear algo diferente que tambin sea por supuesto til. Este programa, aunque podra ser utilizado por cualquier profesional de la topografa, se le ha dado un enfoque que sirva de herramienta de apoyo para el propio estudiante de esta Ingeniera. Con ella, el estudiante podr corroborar si sus clculos realizados en los ejercicios son correctos y podr entender la mecnica de muchos de los procedimientos de clculo que se imparten en las asignaturas de Ingeniera Tcnica Topogrfica. Y dicho sea de paso, podr comprender que la programacin puede hacernos el trabajo pesado y reiterativo y decida estudiar algn lenguaje de programacin, aparte de las nociones de iniciacin a la programacin que se imparte en la asignatura de Informtica Aplicada a la Topografade primer curso. Otro aspecto destacado, es que el usuario tendr acceso inmediato de la precisin de su trabajo, una vez realizadas las observaciones en campo y si el itinerario no cumple la tolerancia o un tramo no es tolerable podr repetir al instante las observaciones que considere oportunas si ste se encuentra todava en el campo. De esta forma, el trabajo de gabinete, donde se desarrollan y calculan los datos obtenidos en la fase de campo, podr ser in situ, sin la consiguiente prdida de tiempo de desplazarse al despacho y regresar a campo. Es cierto que podra utilizarse un PC porttil con un programa especfico que realice los mismos clculos, pero el hecho de tratarse de una aplicacin para un dispositivo de bolsillo hace ms llevadero su transporte.


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1.2 Objetivos.

El objetivo de este proyecto ha sido elaborar un programa topogrfico de fcil uso para dispositivos Pocket PC, que contenga las siguientes funciones: - Compensacin de itinerarios:

Clculo y compensacin de itinerarios mediante ajuste mnimo cuadrtico en planimetra.

Clculo y compensacin de itinerarios mediante ajuste mnimo cuadrtico en

altimetra. Lo cual conlleva la siguiente serie de clculos:

Clculo de tolerancia planimtrica. Clculo de tolerancia altimtrica. Establecimiento del criterio de ponderacin. Reducciones de distancias (en el caso de emplear la proyeccin UTM).

Una vez realizada la compensacin del itinerario, mostrar todos los resultados y obtener un fichero de reporte. - Funciones COGO:

Clculo de coordenadas polares. Clculo de coordenadas rectangulares. Distancia punto-recta. Interseccin de rectas desplazadas. Lnea de referencia. Tringulos. Superficies.

- Calculadora geodsica: Una calculadora geodsica atractiva y configurable con los mismos apartados de conversiones que la calculadora geodsica del ICC (Institut Cartogrfic de Catalunya) figurando de esta forma aspectos destacados como:

Obtencin de la altura ortomtrica (H) a partir de la altura elipsoidal (h) mediante la ondulacin del geoide UB-91.

Introduccin de los parmetros de las transformaciones de datum.


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Captulo 2: Clculos Topogrficos.

2.1 Introduccin. Los clculos y formulaciones aplicadas en el programa POCKET-TOPO sern desarrollados a continuacin en tres apartados:

Captulo de Compensacin de itinerarios que recoge parte de los clculos asimilados en las asignaturas de Instrumentos Topogrficos I y II, as como en Mtodos Topogrficos I y II y la asignatura PFCD (Proyecto Final de Carrera Dirigido) en Ingeniera Tcnica Topogrfica.

Captulo de Calculadora Geodsica que recoge parte de los clculos asimilados en las

asignaturas de Geodesia y Proyecciones Cartogrficas.

Captulo de Funciones COGO (geometra de coordenadas) que recoge parte de los clculos de trigonometra asimilados en las asignaturas de Topografa Aplicada a la Ingeniera I y II no sern expuestos ya que se han tratado en muchos de los programas para las calculadoras programables.

2.2 Compensacin de itinerarios. 2.2.1 Mtodo Topogrfico del itinerario: 2.2.1.1 Introduccin: El mtodo consiste en unir una serie de puntos que han de levantarse, formando un contorno poligonal midiendo sucesivamente sus lados que se denominan ejes y los ngulos formados

por cada dos ejes consecutivos; esta medida de los ngulos puede hacerse de diversos modos,

dando origen a distintas especies de itinerarios. (Domnguez Garca-Tejero, 1974). Normalmente se pretende situar una serie de puntos, cuyas coordenadas en principio son desconocidas, partiendo de un punto de coordenadas conocidas materializado en el terreno, con una direccin tambin conocida, que permite situar el itinerario en una posicin correcta. Esto se hace mediante la medicin del ngulo que forman las visuales a los puntos anterior (visado anterior) y posterior (visado posterior), as como las distancias a ambos. El enlace entre estaciones ser el enlace directo o conocido como enlace de Moinot, en el cual se realiza un itinerario planimtrico y altimtrico de tal modo que obtenemos comprobacin de todas las medidas, tanto angulares como de distancias. En el programa, se tomar la medida de distancias en sentido directo y recproco (atrs-adelante y adelante-atrs), para mayor comprobacin y evitar posibles equivocaciones y se obtendr la media.


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Lo mismo suceder con la medida de desniveles, en sentido directo y recproco. Por tanto, emplearemos el mtodo de nivelacin trigonomtrica con estaciones recprocas. Los datos almacenados sern ngulos horizontales, verticales y distancias geomtricas, altura del aparato y altura del prisma. Este mtodo es ms preciso que la radiacin, ya que para corregir posibles errores sistemticos de las estaciones totales se realiza la Regla de Bessel en los itinerarios. Como en muchas ocasiones, mientras se realiza el itinerario, se realiza la radiacin desde cada base, tomando los puntos ms representativos que se visen, es importante medir un par de veces una referencia lejana desde cada estacionamiento durante el transcurso y al final de la radiacin para comprobar que el aparato no se ha movido. 2.2.1.2 Clasificacin de los itinerarios: Podemos clasificar los itinerarios (poligonales) en dos grupos (cerrados o abiertos) y (orientados o desorientados):

Itinerario cerrado: cuando empieza y acaba en el mismo punto.

Itinerario abierto: cuando empieza en un punto y acaba en otro distinto. A su vez los itinerarios abiertos podrn ser de dos tipos:

Itinerario abierto encuadrado: son aquellos itinerarios que empiezan y acaban en puntos de coordenadas y referencias conocidas.

Itinerario abierto colgado: el itinerario no acaba en un punto conocido.

Este tipo de itinerario no permite obtener una comprobacin de los resultados y por tanto este tipo de itinerario no se contempla en el programa.

El itinerario cerrado y el itinerario abierto encuadrado permiten evaluar el error cometido y por tanto permiten la compensacin de los errores, ya sea mediante compensacin expdita o ajuste mnimo cuadrtico. Dadas las ventajas del ajuste mnimo cuadrtico, ser este mtodo el que se emplee en el programa implementado. As mismo, los itinerarios se pueden clasificar en:

Itinerarios orientados: las observaciones angulares son acimutes.

Itinerarios no orientados: las observaciones angulares son lecturas horizontales, el caso ms habitual.

El hecho de orientar acimutalmente observando a otro punto de coordenadas conocidas, no se realiza, puesto que esta operacin puede inducir a errores y lo que se realiza es anotar la lectura a ese punto y trabajar con el aparato desorientado, corrigiendo el desfase de ngulos en el clculo posterior.


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2.2.2 Errores accidentales o aleatorios en la medida de ngulos. Error Total. 2.2.2.1 Introduccin: Los errores accidentales son impredecibles y atienden a la forma de la campana de Gauss. Para mitigarlos se recurre al clculo de probabilidades y a la estadstica. Las siguientes expresiones de los errores accidentales corresponden al empleo de Estacin Total, descartando el empleo de gonimetros como el Teodolito como instrumental en el programa. Se calcular el error total acimutal y el error total cenital para cada visual, empleando la distancia de cada visual, as como los errores de estacin y seal calculados para esa visual, obteniendo de esta forma las tolerancias del itinerario con mayor precisin. Una manera generalizada de hacerlo, que se descarta en el programa, hubiera sido calcular el error total acimutal y el error total cenital del aparato (considerando semejantes las distancias de los tramos) empleando una distancia media de los tramos del itinerario, as como los errores de estacin y seal igual para todos los tramos. Dicha generalizacin, como veremos ms adelante, tambin se descarta para el clculo de la tolerancia angular y de la tolerancia en distancia del itinerario. En ambos casos, aplicando la ley de propagacin de errores aleatorios a la Regla de

Bessel, el error de lectura y puntera se divide entre .2 2.2.2.2 Error Total acimutal: Error de Verticalidad (ev) : Al poner en estacin el instrumento el eje principal no quedar estrictamente vertical.

cc

vS e

12

1=

Siendo S la sensibilidad del nivel. Si el equipo dispone de compensador de doble eje y est activado, el error de verticalidad se anular. Error de Direccin (ed) : Es el error debido, por una parte, a la no coincidencia exacta entre el punto donde se desea estacionar el aparato y en el que en realidad est situado, y por otra parte, donde se coloca el jaln y el punto que se desea observar.


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Este error slo afecta a ngulos acimutales y su expresin es:

ccse

dr

D

ee e

+=

El error de direccin es ms acusado en los tramos ms cortos. En un aparato con plomada ptica, empricamente se establece una cota mxima de 2,5 cm para ee+es sabiendo que la incorporacin de plomadas lser y jalones bien afilados permitirn reducir el efecto de esta componente. No obstante, calcularemos el error de estacionamiento (ee) y el error de seal (es) cometido en cada visual con un instrumento con plomada ptica, siendo el caso ms general, mediante las siguientes expresiones:

aei e sin=

i = altura del aparato. a = sensibilidad nivel esfrico del instrumento.

psm e sin=

m = altura de jaln. p = sensibilidad nivel esfrico del jaln. Por este motivo, en la configuracin de instrumentos del programa, la sensibilidad de los niveles esfricos respectivos debern ser aadidos. Error de Puntera (ep) : Es debido a la falta de coincidencia exacta entre la imagen del objeto que se quiere visar y el centro del retculo del anteojo.

+=100

41

30 A

A e

cc

p

A = aumentos del anteojo. Se considera un enrase horizontal de 30cc 10 considerando la puntera a un prisma. Error de Lectura (el) :

napreciaci el

=

Siendo la apreciacin, la mnima divisin de la graduacin del aparato en lectura directa. El Error Total Acimutal cometido en una visual ser entonces:

2222a )(e Acimutal TotalError lpdv eeee +++=


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2.2.2.3 Error Total Cenital: Error de Verticalidad (ev) :

ccv

S e3

1=

Siendo S la sensibilidad del nivel. Si el equipo dispone de compensador de eclmetro y est activado, el error de verticalidad se anular. Error de Puntera (ep) :

+=100

41

61 A

A e

cc

p

A = aumentos del anteojo. Se considera un enrase horizontal (de coincidencia) de 61cc 20. Error de Lectura (el) :

napreciaci el

=

El Error Total Cenital cometido en una visual ser entonces:

222a )(e Cenital TotalError lpv eee ++=


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2.2.3 Tolerancia en planimetra: Llamaremos tolerancia o error mximo a aquel que nos permite desechar las medidas que lo sobrepasen, considerndolas mal efectuadas. Por una parte tendremos el error de cierre en coordenadas con su correspondiente tolerancia en el error de cierre en coordenadas y por otra parte tendremos el error de cierre angular (acimutes) junto a su correspondiente tolerancia en el error de cierre angular. 2.2.3.1 Cierre en coordenadas: 2.2.3.1.1 Error de cierre en coordenadas: El error de cierre en coordenadas se calcula en funcin del error angular de cierre y del error lineal de cierre. El primero est compuesto por la acumulacin de errores accidentales en la observacin de ngulos que forman los ejes (o tramos) y el segundo lo componen los errores producidos al medir las longitudes de los ejes. El error de cierre en coordenadas de la componente x ser:

(obs.)(calc.)x

-x x =

Lo mismo suceder con la componente y de las coordenadas. En un itinerario abierto ser la discrepancia que existe entre las coordenadas del punto conocido (coordenadas observadas) en el que acaba el itinerario y las coordenadas calculadas por el itinerario. En el caso de itinerario cerrado, es la discrepancia de coordenadas sobre el punto de salida. El error de cierre en coordenadas, por tanto, ser la raz cuadrada del sumatorio de los cuadrados de los errores de los componentes de las coordenadas.

22scoordenadaen cierre deError yx +=

2.2.3.1.2 Tolerancia error de cierre en coordenadas: La teora de errores dice que si en una determinada operacin de medida existen varias causas independientes de error accidental, el error mximo resultante de la conjuncin de dichos errores ser la componente cuadrtica de stos.

22

LaT E EE +=


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Error angular de cierre (Error Transversal). Tolerancia angular. Llamaremos ea al Error Total Acimutal. En el apartado de errores accidentales se ha visto como calcular el Error Total Acimutal para cada visual. Error angular cometido en cada uno de los tramos:

22

1 aBAaAB a eee +=

22

2 aCBaBCa eee +=

.. Tolerancia angular del itinerario

22

2

2

2

2

2

1

2

1

11

11annccaccaccaeL

r...e)(nL

r enL

r E

++

+

=

Error en la medida de distancias (Error Longitudinal). Tolerancia en distancia. La medida de distancias por medio de distancimetros electrnicos est afectada de errores. Existen unos errores proporcionales a la distancia (y) y otros no proporcionales (x). Normalmente los fabricantes de instrumentos acostumbran a dar la siguiente expresin para la precisin del distancimetro: yx + ( ppm). Error Longitudinal cometido en una visual:

( ) 2222 sel eexDe +++= En caso de obtener dicho error en metros tendramos; D = Longitud del tramo (metros). = y / 1000000 siendo y del distancimetro en ppm (ejemplo: mm por km) x = x distancimetro (metros). ee y es en metros. El Error Longitudinal en cada tramo ser entonces:

2

2

2

2

1 2

1

2

1lBAlAB leee

+

=

2

2

2

2

2 2

1

2

1lCBlBC leee

+

=

.......


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Tolerancia en distancia del itinerario ser pues:

2

ln

2

3

2

2

2

1 ... eeee E lllL ++++=

Por tanto, para que sea tolerable debe cumplir: 2222yxLa

E E ++ 2.2.3.2 Cierre angular: 2.2.3.2.1 Error de cierre angular: Consideramos el error de cierre angular como la discrepancia que existe entre el acimut obtenido y el acimut previsto.

(obs.)(calc.) - angular cierre derror =E 2.2.3.2.2 Tolerancia error de cierre angular: En cualquier caso, el itinerario debe ser tolerable para proceder a su compensacin.

2222 ...*2 angular cierre deerror ToleranciaanaCDaBCaABeeee ++++=


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2.2.4 Tolerancia en altimetra: 2.2.4.1 Error de cierre altimtrico: Llamaremos ea al Error Total Cenital. En el apartado de errores accidentales se ha visto como calcular el Error Total Cenital para cada visual. Calcularemos el error altimtrico para cada visual: El error en t es funcin de la distancia (D) y del ngulo cenital (V):

ctgV Dt =

El error en t como funcin de D:

( ) ctgVDctgVeDeLtD

+=

El error en t debido a la influencia del error en la medida de V:

ctgVDeVDctgeatV

+= )(

Error por falta de verticalidad del prisma (em):

( )cos1= mem

Error en la medida de altura de instrumento (ei):

cmei

5.0

El error altimtrico (ez) ser pues:

2222

imtVtDzeeeee +++=

A continuacin calcularemos el error altimtrico cometido en cada tramo considerando que se dispone de medidas recprocas y que si la discrepancia entre desniveles recprocos entra en tolerancia aceptaremos el promedio de ellos.

2

22

1

zBAzAB

z

eee

+=

2

22

2

zCBzBC

z

eee

+=

..


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Compararemos los desniveles recprocos de modo que se cumpla:

BAABzzzT +1

CBBCzzzT +2

Siendo la tolerancia:

22 zBAzABeeT +=

El error de cierre altimtrico del itinerario ser:

(obs.)(calc.)z

-z z =

En un itinerario abierto ser la discrepancia que existe entre la cota del punto conocido en el que acaba el itinerario y la cota calculada por el itinerario. En el caso de itinerario cerrado, es la discrepancia de cota sobre el punto de salida. 2.2.4.2 Tolerancia error de cierre altimtrico: La Tolerancia del error de cierre altimtrico del itinerario ser la raz cuadrada del sumatorio de los cuadrados de cada uno de los errores altimtricos de los tramos que componen el itinerario:

2222 ... oaltimtric cierre deerror ToleranciaznzCDzBCzABeeee ++++=

Para que un itinerario sea tolerable en altimetra, una vez todos los desniveles recprocos sean tolerables, deber cumplir que Tolerancia error de cierre altimtrico z.


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2.2.5 Errores Sistemticos. Regla de Bessel: Los errores sistemticos son aquellos errores que se producen siempre de la misma forma mientras que permanecen las causas que los originan. Los errores sistemticos son errores acumulativos, del mismo sentido y magnitud, y por tanto se debe intentar reducirlos al mximo. Para compensar y neutralizar estos errores sistemticos es importante aplicar la Regla de Bessel, que consiste en visar dos veces cada punto, primero con el anteojo normal (Crculo Directo) y despus con el anteojo invertido (Crculo Inverso), previa vuelta de campana del anteojo y giro de 200g del instrumento.

Con la aplicacin de la regla de Bessel se eliminan todos los errores sistemticos de ajuste y construccin producidos por el instrumento; el de excentricidad del anteojo en los teodolitos excntricos, los de excentricidad de la alidada y desviacin de ndices, e igualmente el de irregularidad del movimiento del tubo ocular, etc.

Los errores sistemticos, al ser conocidos, pueden ser corregidos en los procesos de clculo de la siguiente forma; El ngulo horizontal promedio aplicando la Regla de Bessel ser: Si HCD > 200

g : ( )2

200

g

CICD

Bessel

HHH

++=

Si HCD < 200

g :

( )2

200

g

CICD

Bessel

HHH

+=

El ngulo vertical promedio aplicando la Regla de Bessel ser:

( )2

400 CI

g

CD

Bessel

VVV

+=


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2.2.6 Compensacin de los errores. Mtodo de los Mnimos Cuadrados. 2.2.6.1 Introduccin: En los trabajos de topografa es muy frecuente que los errores se repartan de forma simple dividindolos por el nmero de observaciones o, de forma ms compleja, realizando una ponderacin proporcional a las magnitudes medidas. Por ejemplo, en planimetra, el error de cierre angular, en la compensacin clsica, puede hacerse a partes iguales entre todos los tramos o bien a los tramos ms cortos. A su vez, el error de cierre en coordenadas, en compensacin clsica, se puede clasificar en funcin del tipo de precisin que disponga el instrumento para medicin angular y medicin de distancias. No obstante, en todos los mtodos de compensacin clsica, ocurre una circunstancia que los hace definirlos como no exactos, y es el hecho que al compensar las coordenadas parciales y obtener las generales, definimos tambin los acimutes de los diversos tramos que tendrn una pequea discrepancia con los acimutes compensados en la fase inicial del clculo del itinerario. Estos mtodos, en general, no son rigurosos en el anlisis de la transmisin del error de las observaciones a los resultados calculados a partir de estas observaciones. El mejor mtodo de reparto de errores es el basado en el ajuste por mnimos cuadrados, es decir, el mtodo que hace mnima la suma de los residuos al cuadrado. De esta forma se consideran las observaciones como variables aleatorias y se aplica el anlisis estadstico a la propagacin del error, permitiendo un anlisis riguroso de la precisin obtenida. 2.2.6.2 Mtodo de los Mnimos Cuadrados: Las ventajas del mtodo de mnimos cuadrados son las siguientes:

o Determinan la solucin ms probable y su precisin. o Permite validar la hiptesis inicial de errores en la medicin. o Determina una solucin estadsticamente correcta y permite un exhaustivo control del

trabajo en su conjunto. Cada observacin efectuada en campo da lugar a una expresin matemtica que relaciona los valores aproximados, las correcciones buscadas y los valores medidos. Esta expresin se llama Relacin de observacin y tiene la forma general siguiente: VALOR COMPENSADO = valor aproximado calculado +correccin a los valores calculados = valor observado + residuo

Siendo: Valor aproximado calculado: cualquier valor cercano al valor final. Correccin: Valor que debe aplicarse al valor inicial aproximado para que se aproxime a la verdadera magnitud. Valor observado: es el que se obtiene en la lectura del instrumental. Residuo: Correccin al observable.


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El problema ser encontrar las correcciones que aplicadas a las coordenadas aproximadas permitan calcular las coordenadas definitivas:

XCOMPENSADA = XAPROXIMADA + XCORRECCIN El ajuste de observaciones con el mtodo de Mnimos Cuadrados aqu tratado, ser con observaciones indirectas (compensacin de itinerarios entre otros) dado que en las observaciones se miden ngulos (acimutes) y distancias para la obtencin de las coordenadas. Lo mismo sucede para la obtencin de la cota (z) de los puntos, las observaciones sern indirectas (observacin de desniveles). Por otra parte, para la compensacin del itinerario en altimetra se tratar de un modelo lineal (la relacin entre el vector de observaciones y el vector de incgnitas se expresa mediante un sistema de ecuaciones lineales), mientras que en el caso de la compensacin del itinerario en planimetra se tratar de un modelo no lineal, donde se deber linealizar el sistema mediante desarrollo en Taylor hasta primer orden en el entorno de un punto. As mismo, al no estar hechas todas las observaciones bajo las mismas circunstancias, se ha de ponderar, empleando por lo tanto la matriz de pesos (P). En este mtodo se generan muchas operaciones matriciales, pero gracias a los modernos sistemas de clculo automatizado de hoy en da esto no supone ningn inconveniente.


- 22 -

2.2.7 Compensacin del itinerario en planimetra: Como veremos ms adelante, para aplicar el mtodo de ajuste de mnimos cuadrados, ser necesario conocer de forma aproximada, las coordenadas de todos los puntos para los cuales se quieren ajustar las observaciones. Se realizar el clculo de la poligonal sin compensar ni acimutes ni coordenadas. En la tabla de clculo que entrega el programa con el fichero de reporte de los resultados, se puede observar que las dos primeras columnas corresponden a las lecturas horizontales de cada tramo en sentido directo y recproco, respectivamente. En la tercera columna de la tabla, se realizar lo que se llama, Referir Lecturas al Origen, situando en la cuarta columna, las lecturas referidas al origen recprocas. Se considera L como la lectura observada en campo y L como la lectura referida al origen. ( ) B

A

R

A

R

A

B

A

B

ALLLLL =+= '' (Esta igualdad slo es para la primera estacin)

200'' = BA

A

BLL (Lectura referida al origen recproca)

( )AB

A

B

C

B

C

BLLLL += ''

200'' = CB

B

CLL

Una vez tenemos todas las lecturas referidas al origen, procedemos a la corrida de acimutes, aplicando la desorientacin a cada una de las lecturas referidas al origen, obteniendo de esta forma los acimutes de cada tramo. En el primer estacionamiento (A) al tomar la lectura a la Referencia (R) y conocer el acimut de la visual A-R, podremos calcular la desorientacin inicial, entendindose por desorientacin () la diferencia entre el acimut a un punto visado y la lectura tomada a ese punto visado o el acimut del 0 del instrumento.

R

A

R

AL =

Cuando disponemos de los acimutes y distancias de cada tramo (columnas 5 y 6 de la tabla de clculo), estamos en disposicin de calcular las coordenadas parciales respecto el eje de abcisas y el eje de ordenadas (x, y). Mostradas en las columnas 7 y 8 de la tabla de clculo.

B

A

B

A

B

AsenDx =

B

A

B

A

B

ADy cos=

As para cada tramo Finalmente, obtenemos las coordenadas aproximadas de cada punto, mostradas en las columnas (9, 10) de la tabla de clculo, respectivamente.

B

AABxxx +=

B

AAByyy +=


- 23 -

En la tabla de clculo, se mostrarn los acimutes observados, las distancias observadas y las coordenadas aproximadas observadas. En caso de emplear la Proyeccin UTM (Universal Transverse Mercator), el siguiente paso ser una serie de clculos con las correcciones necesarias para reducir las distancias al elipsoide y posteriormente el paso del elipsoide a la proyeccin UTM. Ms adelante, veremos con detalle estos clculos efectuados. A continuacin, se constituye la tabla tabla de coordenadas aproximadas. En el caso de no emplear la Proyeccin UTM, esta tabla ser idntica a la tabla tabla de clculo en lo que concierne a los acimutes, distancias, incrementos parciales y coordenadas aproximadas de cada tramo. Esta tabla se ha incorporado, porque en el caso de trabajar con la proyeccin UTM, se obtienen las distancias UTM (mostrndose esta distancia en la tabla), los acimutes no varan puesto que la deformacin angular en este tipo de proyeccin es insignificante, y se recalcula los nuevos incrementos parciales, obteniendo as las coordenadas aproximadas UTM. A partir de entonces, se obtienen una serie de tablas que detallamos a continuacin: -Tabla de coordenadas calculadas: Se mostrar las coordenadas de cada base. Estas coordenadas sern idnticas a las coordenadas aproximadas de la tabla tabla de coordenadas aproximadas exceptuando el ltimo punto, que en caso de ser itinerario cerrado mostrar las coordenadas conocidas (reales) de la base de partida, y en caso de itinerario abierto mostrar las coordenadas conocidas de la base de llegada. -Tabla de coordenadas observadas: Se mostrar las coordenadas de cada base. Estas coordenadas sern idnticas a las coordenadas aproximadas de la tabla tabla de coordenadas aproximadas. -Tabla de datos calculados: Se obtendr los acimutes, distancias as como los incrementos parciales de cada tramo mediante las coordenadas calculadas de la tabla tabla coordenadas calculadas. Los incrementos parciales se muestran en esta tabla porque son empleados en los clculos de las ecuaciones de observacin. -Tabla de datos observados: Se obtendr los acimutes y distancias de cada tramo mediante los datos de campo. Existen tres tipos de relaciones de observacin:

A) Forma general de una observacin de una visual o acimut. B) Forma general de una observacin angular. C) Forma general de una observacin distanciomtrica.

La compensacin de itinerarios en planimetra se puede realizar, por tanto, empleando acimutes y distancias (caso A y C) o bien empleando ngulos y distancias (caso B y C). En nuestro caso, se ha optado por utilizar la primera opcin (acimutes y distancias). Dicho esto, todas las ecuaciones de observacin estarn referidas a stas, as como los resultados matriciales mostrados en los resultados del programa. Se emplearn las coordenadas aproximadas calculadas en las ecuaciones de observacin.


- 24 -

La ecuacin general de una observacin acimutal es la siguiente:

( ) .RURddybdybdxadxardL calcobsiiiiiiiiiccii +=+=+++= +++++ .11111 Se generan tantas ecuaciones como tramos del itinerario existan, de forma directa y recproca. La ecuacin general se obtiene mediante la expresin que define el acimut, una vez ha sido linealizada mediante desarrollo de Taylor, aplicando las derivadas parciales y simplificaciones correspondientes.

i

ii

ii

i

i

i

i

iyy

xxArctgL

==+

+++

1

111

Siendo (ai, ai+1, bi, bi+1) en la ecuacin general:

=+

+

21

1

)( ii

ii

iD

yya

=+

++ 21

11 )( i

i

ii

iD

yya

=+

+

21

1

)( ii

ii

iD

xxb

=+

++ 21

11 )( i

i

ii

iD

xxb

La ecuacin general de una observacin distanciomtrica es la siguiente:

RURlldxbdxbdyadyaj

idl

calc.obsijjiijji+=+=+++= .

l = distancia reducida medida en la visual. Se genera una ecuacin de este tipo para cada uno de los tramos del itinerario. La ecuacin general distanciomtrica, se obtiene a partir de la expresin que define la distancia (Teorema de Pitgoras), una vez ha sido linealizada mediante desarrollo de Taylor, con sus correspondientes derivadas parciales y simplificaciones.

( ) ( )22ijij

j

iyyxxl +=

Siendo (ai, aj, bi, bj) en la ecuacin general:

j

ij

i

ij

iD

yya cos=

=

j

ij

i

ij

jD

yya cos=

=


- 25 -

j

ij

i

ij

isen

D

xxb =

=

j

ij

i

ij

jsen

D

xxb =

=

Al final, se formar un sistema de m ecuaciones y n incgnitas que resolveremos por el Mtodo de los Mnimos Cuadrados. Para la resolucin del sistema utilizaremos la notacin matricial. Entendindose por: A = matriz de Diseo. AT = matriz de Diseo transpuesta. U = vector de Trminos Independientes. P = matriz de Pesos. X = vector de Incgnitas. R = vector de Residuos o Correcciones. (Debindose cumplir que la suma de los residuos al cuadrado sea mnima). N-1 = matriz inversa. Ser a su vez la matriz Cofactor de las incgnitas a posteriori (Qxx). Cumplindose de esta forma:

AX = U ATPAX = AT PU

En el siguiente ejemplo, se muestra la estructura de las matrices formadas iniciales (matriz A, vector U y matriz P) as como las matrices resultantes, para un itinerario abierto de 4 tramos: Matriz de diseo (A): Dimensin: m x n.

DE Dist.0000000

CD Dist.00000

BC Dist.00000

AB Dist.0000000

ED Visual0000000

DE Visual1000000

DC Visual10000

CD Visual01000

CB Visual01000

BC Visual00100

BA Visual0010000

AB Visual0000000

EE

CCDD

BBCC

AA

DD

DD

DDCC

DDCC

CCBB

CCBB

BB

BB

DCBDDCCBB

ab

abab

abab

ab

ba

ba

baba

baba

baba

baba

ba

ba

ddddydxdydxdydx


- 26 -

Los coeficientes que pertenecen a ecuaciones de observacin de acimutes los multiplicaremos por rcc ( rcc = factor de conversin de radianes a segundos centesimales, aproximadamente de 636620cc). Vector de Trminos Independientes (U): Dimensin: m x 1.

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

calcE

Dobs

E

D

calcD

Cobs

D

C

calcC

Bobs

C

B

calcB

Aobs

B

A

calcD

Eobs

D

E

calcE

Dobs

E

D

calcC

Dobs

C

D

calcD

Cobs

D

C

calcB

Cobs

B

C

calcC

Bobs

C

B

calcA

Bobs

A

B

calcB

Aobs

B

A

DD

DD

DD

DD

Se multiplicar por 10.000 todos los trminos independientes de acimutes para expresarlos en segundos centesimales. Matriz de Pesos (P): Dimensin: m x m. Como la confianza en las medidas no es la misma para todas ellas, se introduce un valor de ponderacin o peso que permite primar a aquellas medidas que merezcan mayor confianza.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

/100000000000

0/10000000000

00/1000000000

000/100000000

0000/10000000

00000/1000000

000000/100000

0000000/10000

00000000/1000

000000000/100

0000000000/10

00000000000/1

)()()()()()()()()()()()(

DEL

CDL

BCL

ABL

DEa

DEa

CDa

CDa

CBa

BCa

BAa

ABa

E

D

D

C

C

B

B

A

D

E

E

D

C

D

D

C

B

C

C

B

A

B

B

A

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

DPDPDPDPPPPPPPPP

El error angular deber estar expresado en segundos centesimales y el error longitudinal en metros.


- 27 -

La matriz de Pesos ser la inversa de la matriz Cofactor. La Matriz Cofactor (Qxx) ser igual a la matriz inversa N

-1 = (ATPA)-1

Tambin podra definirse como la matriz de varianza-covarianza con la varianza de referencia unidad. Continuando con el ejemplo, el vector de Incgnitas (X) lo obtendremos a partir de:

( ) PUANPUAPAAX TTT 11 == Vector (X) : Dimensin: n x 1.

D

C

B

D

D

C

C

B

B

y

x

y

x

y

x

El vector de Residuos (R) se obtendr a partir de:

UAXR = Vector (R): Dimensin: m x 1.

DE

CD

BC

AB

ED

DE

DC

CD

CB

BC

BA

AB

Rdist

Rdist

Rdist

Rdist

Racimut

Racimut

Racimut

Racimut

Racimut

Racimut

Racimut

Racimut


- 28 -

En el caso de que alguno de los residuos, ya sea angular o distanciomtrico, superara en gran medida el error a priori estimado, podemos suponer que existe un error grosero en alguno de los observables, que no tiene porque ser el que presenta el mayor residuo. En este caso se debera recurrir a los diferentes test estadsticos existentes que nos permitiran determinar qu observables son los afectados por el error. La varianza de referencia (2) a posteriori se obtendr a partir de la siguiente expresin:

)(2

nm

PRRT

=

La magnitud (m-n) es el nmero de grados de libertad o redundancia del sistema, siendo m el nmero de ecuaciones y n el nmero de incgnitas. La varianza de referencia es un factor de escala, estimador de la varianza de las observaciones de peso unidad. As pues, la desviacin tipo () ser la raz cuadrada de la varianza de referencia:

2 = La desviacin tipo ser el error medio cuadrtico, es decir, el estimador del observable de peso unidad. La desviacin tpica o estndar () permite conocer el grado de dispersin de las medidas. Cuanto menor sea este estimador, mejor ser el ajuste realizado puesto que mayor es la calidad de los observables. El valor ptimo para el mismo es el de la unidad. En este caso es adimensional, porque combinamos observables de ngulos (acimutes) y distancias. Si este valor discrepa mucho de la unidad puede ser debido a que se ha producido un error grosero o bien la ponderacin no se ha realizado de forma correcta. Existen test estadsticos que nos permiten comprobar la igualdad entre el valor a priori (1) y el obtenido despus del ajuste. La varianza o la desviacin tpica, cuanto menor sean mayor precisin tendr la medida. Cuanto mayor sea el peso de una medida menor ser su desviacin estndar y menor dispersin, por lo que mayor ser la precisin. Mayor peso implica mayor precisin. La matriz de varianza-covarianza ser el resultado de multiplicar la varianza de referencia por la matriz Cofactor (Qxx).

xxxx

Q= 2

En el ejemplo, se mostrara de esta forma:


- 29 -

Matriz Varianza-Covarianza (xx): Dimensin: n x n.

2

2

2

2

Y

2

X

2

Y

2

X

2

Y

2

X

D

C

B

D

D

C

C

B

B

CDBDDDDDCDCDBDBD

DCBCDCDCCCCCBCBC

DBCBDBDBCBCBBBBB

DDCDBDDDCDCDBDBD

DDCDBDDDCDCDBDBD

DCCCBCDCDCCCBCBC

DCCCBCDCDCCCBCBC

DBCBBBDBDBCBCBBB

DBCBBBDBDBCBCBBB

YXYXYX

YXYXYX

YXYXYX

YYYXYYYXYYYXY

XXXYXYXXXYXXX

YYYYYXYXYYYXY

XXXYXXXYXYXXX

YYYYYXYYYXYXY

XXXYXXXYXXXYX

En la diagonal principal se contiene la informacin de la varianza de la variable, as la celda (1,1) contendr la varianza de la primera variable estudiada, en la celda (2,2) la varianza de la segunda y en la celda (3,3) la de la tercera y as respectivamente. En el resto de las celdas se reflejar el estadstico de covarianza para cada par de variables. Por tanto, tendremos que hacer la raz cuadrada de cada coeficiente de la diagonal, para obtener la desviacin tipo () de cada incgnita. Expresaremos la desviacin tipo de cada componente de las coordenadas compensadas con el signo () indicando de esta forma, la precisin de estas coordenadas compensadas:

BXBVALORCOMPENSADAX =

Para la obtencin de las coordenadas compensadas (finales) tenemos dos caminos de realizar los clculos, que pueden servir a su vez de comprobacin el uno con el otro. -Opcin 1: Coordenadas compensadas = coordenadas aproximadas + correccin. -Opcin 2: Observables compensados = valor observado + residuo. En este caso tendremos que calcular los nuevos acimuts y distancias de cada tramo de la siguiente forma: Acimut = acimut observado + residuo de los acimutes + correccin a la desorientacin. Distancia = distancia + residuo de las distancias. Conocidas las coordenadas de partida, iremos radiando (empleando el acimut y la distancia de cada tramo), obteniendo las coordenadas compensadas de cada punto.

Elipse de error. Los parmetros de la elipse de error (semi-ejes y orientacin) no se muestran en los resultados del programa, pero s en el fichero de resultados. En ste se muestra el ngulo de giro en radianes y grados centesimales (gon.).


- 30 -

Las desviaciones tipo mxima y mnima son los semi-ejes de la llamada elipse de error y corresponden a un cierto ngulo de giro (0). Por ejemplo, para el punto B, los semi-ejes y su ngulo de giro sern (Rodrguez Jordana, 2005):

( )42

222

2

22

maxBB

BB

BB YX

YX

YXa

+++

==

( )42

222

2

22

minBB

BB

BB YX

YX

YXb

++

==

Siendo a y b los semi-ejes mayor y menor respectivamente. El ngulo de orientacin (0) en el punto B ser:

2

222

0

=BB

BB

xy

YXarctg


- 31 -

2.2.8 Compensacin del itinerario en altimetra: La nivelacin trigonomtrica es aquella que se lleva a cabo empleando un taqumetro o estacin total siendo necesaria la medicin de ngulos verticales y distancias. Al emplear nivelacin trigonomtrica, el desnivel se obtendr como muestra la siguiente expresin:

miVDz BAG

B

A BA

+= cos Tambin podra expresarse de esta otra forma, a partir de la distancia reducida (DR), calculada a partir de la distancia geomtrica:

migVDz BAR

B

A BA+= cot

Al emplear el mtodo de nivelacin trigonomtrica con estaciones recprocas (es la doble aplicacin del mtodo del punto extremo), obtenemos el desnivel de cada tramo en sentido directo y recproco. De este modo tenemos comprobacin de los desniveles parciales. Si estos tienen una diferencia tolerable se promedian, obteniendo as el desnivel medio de cada tramo. Como veremos, si realizamos una nivelacin trigonomtrica a largas distancias, ser necesario aplicar la correccin de esfericidad y refraccin corrigiendo de esta forma los desniveles. Una vez disponemos de todos los desniveles medios de los tramos, calcularemos la cota aproximada de cada punto de la siguiente forma:

B

AABzzz +=

.. Como suceda con la compensacin del itinerario en planimetra, la compensacin del itinerario en altimetra (compensacin de los desniveles de los tramos) podra hacerse tambin por compensacin clsica ya sea ponderando en funcin del valor absoluto de los desniveles o bien a las longitudes de los tramos. No obstante, y como suceda en la compensacin del itinerario en planimetra, realizaremos el ajuste de las observaciones en altimetra por el mtodo de los mnimos cuadrados, siendo este mtodo, el mtodo ms riguroso para el reparto de errores. En el siguiente ejemplo mostramos como realizar la compensacin de los desniveles mediante mnimos cuadrados. Suponemos un itinerario abierto encuadrado de tres tramos donde conocemos la cota de los puntos extremos A y D, 101,201 m y 105,505 m respectivamente. Los desniveles obtenidos han sido:

m202,0

m605,1

m505,2

===

D

C

C

B

B

A

z

z

z


- 32 -

Las ecuaciones que definen el problema son:

505,105202,0

605,1

505,2201,101

33

22

11

=++=++=++=++=

++=++=

rzrzzz

rzrzzz

rrzzz

C

D

CCD

B

C

BBC

B

AAB

Operando se obtienen tres ecuaciones de observacin:

3

2

1

303,105

605,1

706,103

rz

rzz

rz

C

BC

B

+=

++=

+=

As pues tendremos las siguientes matrices formadas. Matriz A (matriz de diseo):

10

11

01

Vector U (vector de trminos independientes):

+

D

CD

C

B

B

AA

zz

z

zz

=

303,105

605,1

706,103

Matriz P (matriz de pesos):

2

2

2

100

01

0

001

CD

BC

AB

z

z

z

e

e

e

Finalmente operando, resolvemos el vector X que ser la cota de cada punto.

( ) PUANPUAPAAX TTT 11 ==

C

B

z

z =

305,105

703,103


- 33 -

2.2.8.1 Correccin de refraccin y esfericidad. Esta correccin corrige los errores introducidos en las lecturas por los efectos pticos de esfericidad y refraccin. Esta correccin es sumada al desnivel obteniendo as el desnivel corregido. A partir de determinadas distancias no se puede desestimar el error producido por la esfericidad terrestre y la refraccin atmosfrica. Esta distancia depende de la precisin que exija el trabajo que se est realizando pero se puede dar un valor aproximado de unos 400 metros. Error de esfericidad: La correccin de esfericidad (ce) ser:

R

D

R

D c

e

22 50.0

2==

Error de refraccin: Otra fuente de error es la desviacin del rayo ptico por la variacin de la densidad de la atmsfera en funcin de la altura. La correccin de refraccin (cr) ser:

R

DK c

r

2

=

Generalmente se considera un coeficiente de refraccin para circunstancias normales de K= 0.08 en condiciones diurnas. No obstante, en el programa se ha aplicado una correccin conjunta de esfericidad y refraccin, ya que sus efectos son contrarios.

R

D

R

D c

re

22 42.0)08.05.0(=

=

Esta correccin se ha aplicado en todos los desniveles (directos y recprocos) de la tabla de Datos de Campo en caso de activar dicha correccin, mostrando as los desniveles ya corregidos de cada visual.


- 34 -

2.2.9 Proyeccin UTM (Universal Transverse Mercator) Se ha tomado como referencia en este apartado (Martn Asn, 1987). Cuando aplicamos la Proyeccin UTM se siguen dos pasos:

Reduccin de distancias al elipsoide. Paso del elipsoide a la proyeccin UTM.

2.2.9.1 Reduccin de distancias al elipsoide. Al ser el elipsoide la superficie de referencia sobre la que se realizan los clculos de coordenadas geodsicas, es necesario reducir al mismo las mediciones realizadas sobre el terreno. Las correcciones que vamos a aplicar sucesivamente son las siguientes:

1. Reduccin del ngulo de pendiente al terreno. 2. Reduccin al horizonte medio. 3. Reduccin al nivel del mar. 4. Paso de la cuerda al arco.

La primera correccin que habra que hacer, antes de todo, debera ser la correccin metereolgica, haremos un pequeo inciso sobre esta correccin. Correccin metereolgica: En todos los distancimetros, tanto los que utilizan ondas luminosas (infrarrojo), como los que utilizan ondas de radio o microondas, la distancia medida es funcin de la velocidad de las citadas ondas a travs de la atmsfera. La distancia que da el distancimetro viene determinada por una serie de valores: Internos: ndice standard y longitud de onda (calibrados por el fabricante). Externos: Temperatura y presin atmosfrica. En algunos distancimetros, la correccin metereolgica la realiza el propio instrumento una vez introducidos los valores atmosfricos. Por tanto, sern necesarios los instrumentos adecuados para registrar la temperatura y presin atmosfrica en cada estacionamiento, aunque, en los ltimos modelos de estaciones totales de alta gama, ya van incorporados. La correccin metereolgica no se aplica en el programa, por tanto, corre a cargo del usuario aplicar dicha correccin en la estacin total.


- 35 -

1. Reduccin del ngulo de pendiente al terreno (distancia corregida de cabeza de mira). Es preciso considerar la altura del aparato (i) y la altura del prisma (m). Calcularemos la correccin cenital, que expresamos a continuacin en segundos centesimales.

cc

G

cc rD

senVimc

=

)(

Esta correccin ser incrementada al ngulo cenital (V) obteniendo as, el ngulo cenital corregido, que llamaremos (V).

cVV +='

Finalmente, la distancia obtenida ser d0:

'0 senV

senVDd G

=

2. Reduccin al horizonte medio. Suponiendo la distancia que une dos puntos de diferente altitud, la correccin a realizar para obtener una distancia horizontal sobre el horizonte medio de ambos puntos es:

3

0

4

0

2

82 d

h

d

hcH

=

Siendo h el incremento de altitud entre ambos puntos. La frmula corresponde para distancias largas (lados de segundo y primer orden) de distancias mayores de 5000 metros. La distancia resultante, as pues, ser:

Hcdd += 01

Es evidente, que la correccin es negativa (la distancia reducida es siempre inferior a la medida) 3. Reduccin al nivel del mar. Estrictamente, tendra que hacerse al elipsoide, pero las altitudes estarn referidas normalmente al nivel medio del mar y no al elipsoide (la diferencia es la ondulacin del geoide). Sin embargo, la ondulacin del geoide en Espaa con respecto al elipsoide de Hayford es de unos 40 metros, lo cual no introduce variacin sustancial en la reduccin. Esta reduccin requiere conocer el radio de curvatura medio en la seccin normal (Rz) correspondiente a la base medida. Su valor se obtiene con la frmula de Euler en funcin del acimut (z) de dicha seccin normal.


- 36 -

zNzsen

NR

Z 22 cos+

=

Siendo y los radios de curvatura principales.

Con los parmetros correspondientes al elipsoide de Hayford: a = 6378388 m e2 = 0.00672267 Estrictamente se tendra que emplear la latitud () del punto medio de la base medida. En el programa, emplearemos la latitud media de la zona de actuacin que se le solicita al usuario. La correccin vendr dada por:

2

2

11

z

m

z

m

mR

hd

R

hdc +=

*Se considera hm la altitud media de los dos extremos de la base. Finalmente, la distancia reducida al nivel del mar ser:

mcdd += 12

No se ha aplicado una correccin especial (que sustituye las correcciones 2 y 3) para mostrar los clculos de ambas correcciones as como su magnitud. 4. Paso de la cuerda al arco. La distancia, para el clculo de coordenadas, tiene que estar sobre el arco del elipsoide. La correccin del paso de la cuerda al arco ser:

2

3

2

24z

cR

dc =

Como se puede intuir, la correccin es positiva (la distancia sobre el arco es mayor que la distancia sobre la cuerda). Para distancias pequeas esta correccin apenas tiene influencia (en una distancia de 10 km esta correccin es de 1mm).

a

bae

222

= 2/322

2

)1(

)1(

sene

ea

= 2/122 )1( senea

N

=


- 37 -

Por ltimo, la distancia reducida de la cuerda al arco ser:

ccdd += 23

As pues, se habr obtenido la distancia elipsoidal una vez hemos aplicado todas las correcciones a la distancia. Como se ha dicho con anterioridad, la distancia obtenida realmente ser la distancia geoidal que tomaremos, a efectos prcticos, como si fuera la distancia elipsoidal. Anotaciones: Estas reducciones se han aplicado para cada una de las visuales observadas en campo. Empleando as la altura de instrumento o del prisma de cada visual, se ha calculado Rz de cada visual (empleando as las altitudes de los puntos extremos y punto medio de la visual y el acimut de cada visual). Se considera la base de llegada de coordenadas conocidas, para el clculo de acimut. En este caso no se ha empleado una altura elipsoidal media (hm) entre los puntos extremos del itinerario. Se ha promediado las distancias elipsoidales en sentido directo y recproco de cada visual para obtener la distancia elipsoidal de cada tramo y obtener las coordenadas UTM aproximadas. 2.2.9.2 Paso del elipsoide a la proyeccin UTM. Partiendo de las distancias reducidas al elipsoide y de un vrtice de coordenadas conocidas (base de partida), se calculan unas coordenadas aproximadas UTM para todos los vrtices del itinerario. Obtenidas las coordenadas UTM aproximadas procedemos a calcular la correccin (KUTM) que hay que aplicar a las distancias reducidas al elipsoide para encontrar las distancias UTM A continuacin, se procede al clculo de los coeficientes para el punto estacin, el punto visado y el punto medio de cada visual obteniendo la K de cada punto.

3200000= YA

500000= XB

01234.01700000

000042.0+

=

AC

2)000001.0( = BD

)00003.0(1(9996.0 2DDCK ++=


- 38 -

Una vez conocida la anamorfosis (K) de cada punto, a partir de la expresin de Simpson se obtiene la KUTM de cada visual.

++=

6

4BmA

UTM

KKKK

Siendo: KA (K del punto estacin) Km (K del punto medio de la visual) KB (K del punto visado) Finalmente se obtiene la distancia UTM de cada visual:

elipsoidalUTMUTMDKD =

Anotaciones: Para el clculo de los coeficientes, la base de llegada ser de coordenadas conocidas. Una vez obtenidas las distancias UTM de cada visual se ha calculado la distancia UTM de cada tramo promediando sus respectivas distancias UTM en sentido directo y recproco. A partir de estas distancias UTM se volver a recalcular las coordenadas aproximadas UTM de los vrtices emplendose stas como coordenadas aproximadas para el ajuste mnimo-cuadrtico.


- 39 -

2.3 Calculadora geodsica. 2.3.1 Introduccin Antes de dar paso a los procedimientos seguidos en los distintos apartados de la calculadora geodsica, es importante hacer un repaso previo a ciertos temas relevantes que sern nombrados durante el transcurso de la explicacin. As pues hablaremos de:

Elipsoide de revolucin. La proyeccin cartogrfica UTM (Universal Transverse Mercator). Transformaciones de dtum. Ondulacin del geoide.

2.3.1.1 Elipsoide de Revolucin: En una primera aproximacin se puede considerar la Tierra como esfrica aunque es ms apropiado hablar de un elipsoide de revolucin. En realidad la Tierra no tiene forma de ninguna figura geomtrica y la superficie que la define es el Geoide, definido antiguamente por el nivel medio de los mares y ocanos en calma prolongado bajo las zonas terrestres y ms fsicamente como una superficie equipotencial que relaciona la forma con la gravedad. Para representar esta superficie se suele considerar un elipsoide de revolucin. Ya que la forma de la Tierra es distinta de un rea geogrfica a otra, para obtener el mejor ajuste, se usan distintos elipsoides para describir reas particulares. Un elipsoide de revolucin se genera al hacer girar una elipse sobre uno de sus ejes y se define mediante una serie de parmetros que pueden ser: (a, f), (a, e2) (a, b). Llamaremos a y b a los semiejes mayor y menor del elipsoide respectivamente. Llamaremos f al aplanamiento elipticidad y viene definido por:

a

b

a

baf =

= 1

Conocido a y f podemos obtener el semieje menor (b):

faab =


- 40 -

Llamaremos e a la primera excentricidad y e a la segunda excentricidad y vienen dados por:

2

2

2

222 1

a

b

a

bae =

=

2

222'

b

bae

=

Radios de curvatura del elipsoide de revolucin: El radio de curvatura de la seccin normal perpendicular al meridiano en un punto de latitud () ser:

221 senea

N

=

El radio de curvatura del meridiano en un punto de latitud () ser:

322

2

)1(

)1(

sene

ea

=

El radio de curvatura de una seccin arbitraria, por tanto, siempre estar comprendido entres estos dos valores extremos N y , siendo N el mximo valor. En el programa, se introduce un fichero llamado elipsoides.txt con los elipsoides ms comunes, junto a los parmetros a y f-1 de cada elipsoide. Es evidente pues, que la conversin de coordenadas geodsicas a geocntricas y viceversa, as como la conversin de coordenadas geogrficas a coordenadas UTM y viceversa estarn siempre referidas a un tipo de elipsoide. A su vez, la formulacin UTM es vlida para cualquier tipo de elipsoide Como veremos, en el tercer apartado de la calculadora geodsica, slo se emplean dos tipos de elipsoide (los ms utilizados), por los motivos expuestos a continuacin. -El elipsoide de Hayford o Internacional 1924: a = 6378388 m b = 6356911.946 m Su aplanamiento es f =1/297 Espaa se encuentra comprendida en el dtum correspondiente a Europa Occidental, situado en las proximidades de Potsdam (Alemania), este dtum se denomina ED50 (European Datum 1950) y lleva asociado como elipsoide de referencia, el elipsoide Internacional de Hayford. As pues, la cartografa espaola tiene como sistema de referencia actual el ED50. -El elipsoide WGS-84 (Word Geodetic System 1984): a = 6378137 m b = 6 356 752.3142 m Su aplanamiento es f =1/298.257223563 El dtum WGS84 lleva asociado este elipsoide.


- 41 -

Este dtum es el empleado a nivel mundial, la base para sistemas de posicionamiento globales como el GPS, as pues los receptores G.P.S ofrecen su posicin en este sistema de referencia. El "European Terrestrial Reference System de 1989", ETRS89, es el actual sistema de referencia geodsico para actuaciones cartogrficas, geodsicas y de posicionamiento, en general, para toda Europa. Lleva asociado, entre otros parmetros, un elipsoide de referencia que es el GRS80 completamente equivalente a nivel usuario con el WGS84. De hecho, el WGS84 deriva del GRS80. Los semiejes mayores de los dos elipsoides son iguales, y la diferencia entre semiejes menores es de alguna dcima de milmetro. La gran ventaja para el usuario, ser que podr utilizar las coordenadas que directamente le da su GPS para posicionarse sobre la nueva cartografa sin necesidad de andar utilizando cambios de dtum ni transformacin alguna, y sin ms error alguno que el que tenga su receptor y/o su mtodo de posicionamiento con GPS. Esta mejora permite, como se ha dicho, que en un futuro no sea necesario realizar este tipo de transformaciones de dtum si bien existe mucha cartografa anterior (aunque se est reconvirtiendo a este nuevo sistema de referencia) que puede ser empleada en cualquier momento y precisemos realizar la transformacin de dtums.


- 42 -

2.3.1.2 La proyeccin cartogrfica UTM (Universal Transverse Mercator) Para poder representar en un plano la figura del elipsoide hay que recurrir a las proyecciones cartogrficas, como por ejemplo la Cilndrica de Mercator. La proyeccin UTM fu ideada por Gerhard Kremer, denominada Mercator al latinizar su apellido. La proyeccin Universal Transversal Mercator (UTM) es la proyeccin ms utilizada por la cartografa oficial de todos los pases, dada la gran importancia militar, y sobre todo, debido a que el Servicio de Defensa de Estados Unidos lo estandariza para su empleo mundial en la dcada de 1940. La proyeccin UTM, que est dentro del grupo de las llamadas proyecciones cilndricas, toma como base la proyeccin Mercator, sin embargo la posicin del cilindro de proyeccin es transversal respecto del eje de la tierra. Se considera la Tierra como un elipsoide de revolucin tangente a un cilindro cuyo eje est situado en el plano del Ecuador. La Tierra se divide en husos de 6 de amplitud en longitud, de tal forma que existen 60 husos, numerndose del 1 al 60 empezando por el antimeridiano de Greenwich. El fundamento matemtico es relativamente complejo, pero las condiciones y propiedades fundamentales de la proyeccin son:

La proyeccin es conforme (conserva los ngulos) pero distorsiona todas las superficies sobre los objetos originales as como las distancias existentes.

El meridiano central de cada huso es automecoico.

El Ecuador y el meridiano central sern lneas rectas.

El origen de coordenadas en la proyeccin ser la interseccin del meridiano central

del huso con el Ecuador. Para evitar coordenadas negativas en cada huso se realiza una translacin de forma que la coordenada X de este origen es 500.000 metros. Para el hemisferio Norte, el origen de la Y es el Ecuador, mientras que en el hemisferio Sur, la Y del ecuador es 10.000.000 metros.

Con el fin de evitar grandes deformaciones a grandes altitudes la proyeccin UTM se

limita hasta los 84 de latitud Norte y 80 de latitud Sur. (En estas zonas se utilizan proyecciones estereogrficas). Dicho esto, el programa no opera si el punto se encuentra fuera de este rango de latitudes.

La transformada del meridiano origen o de tangencia del huso es automecoica (no

existe deformacin lineal). No obstante, y con el fin de reducir las deformaciones a escala general de representacin, se multiplican los elementos por un factor (k0=0,9996) llamado Coeficiente de Reduccin de Escala. Esta reduccin se refuerza al sustituir la proyeccin cilndrica tangente por otra secante con dos lneas automecoicas simtricas al meridiano central.

Finalmente y con el fin de disminuir an ms las deformaciones lineales se aplica otro

factor (k) llamado Coeficiente de Alteracin Reducido.


- 43 -

2.3.1.3 Transformaciones de dtum: La tcnica consiste en establecer una relacin entre puntos con coordenadas en ambos sistemas a travs de un conjunto de ecuaciones de las cuales se determinan los parmetros de transformacin (translaciones, giros y factor de escala entre ambos sistemas). A continuacin, con estos parmetros conocidos, se establece nuevamente la relacin aplicndola a las coordenadas de los puntos que se tienen en un sistema para calcular sus coordenadas en el otro. Si se considera la relacin de semejanza espacial (Helmert), es decir, tres componentes de translacin, tres de rotacin y un factor de escala, se llega al modelo conocido como Bursa-Wolf o Molodensky-Badekas. Ambos juegos de coordenadas se relacionan por la siguiente expresin:

89501

1

1

)1(

ETRSEDZ

Y

X

ExEy

ExEz

EyEz

sc

Tz

Ty

Tx

Z

Y

X

++

=

Este modelo (Bursa-Wolf) es adecuado para la transformacin entre sistemas globales en un mbito geogrfico amplio. Llamaremos en adelante a (1+sc) como el factor de escala. El resultado matricial puede expresarse en las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) TxZescalaYExescalaXEyescalaYTyZExescalaYescalaXEZescalaY

TxZEyescalaYEzescalaXescalaX

ZETRSETRSETRSED

ZETRSETRSETRSED

ZETRSETRSETRSED

+++=

+++=

+++=

89898950

89898950

89898950 )(

En el ltimo apartado de la calculadora geodsica, es necesario realizar una transformacin de dtums en el problema directo e inverso, partiremos que conocemos de antemano los parmetros de transformacin, facilitados por el usuario. En el primero de ellos, se sigue una transformacin de las coordenadas geocntricas del dtum ETRS89 (similar a WGS84) a coordenadas geocntricas en el dtum ED50.


- 44 -

2.3.1.4 Ondulacin del geoide: La ondulacin del geoide en un punto (N) se define como la distancia entre la superficie del geoide y el elipsoide de referencia. En el tercer apartado de la calculadora, est disponible la opcin de obtener la altura ortomtrica (H) a partir de la altura elipsoidal (h) y viceversa mediante la ondulacin del geoide (N) respectiva.

Hh =N Para ello se ha utilizado el modelo del geoide UB91 modificado, distribuido por el ICC (Institut Cartogrfic de Catalunya) en dos ficheros:

cat70260.dat cat100.60.dat

Estos ficheros pueden descargarse de la web del ICC desde el siguiente enlace: http://www.icc.es/web/content/ca/prof/geodesia/eines_geodesiques.html El primero de ellos contiene la ondulacin del geoide (N) respecto el elipsoide GRS80 y nos permitir calcular la altura ortomtrica (H) del punto conociendo la altura elipsoidal (h) y la posicin geogrfica del punto en el elipsoide GRS80 (similar a WGS84).

N= hH El segundo contiene la ondulacin del geoide (N) respecto al elipsoide de Hayford, y nos permite calcular la altura elipsoidal (h) del punto en el elipsoide de Hayford-1924 conociendo la altura ortomtrica (H) y la posicin geogrfica en el dtum ED50.

N+= Hh Ambos ficheros representan una rejilla (cuadrcula) con una rea estimada cubierta que representa la totalidad del territorio de Catalua:

E

NN

5.30

4340

Esta cuadrcula est graduada, con un espaciado de rejilla de 0.05 x 0.05. (0.05 = 3 minutos sexagesimales). Para el clculo de la ondulacin del geoide de un punto determinado se sigue el procedimiento siguiente: Si se cumple que (latitud/0.05) y (longitud/0.05) son nmeros enteros, quiere decir que dicho punto corresponde a una de las esquinas de las celdas de la cuadrcula, con lo que obtendremos su ondulacin del geoide de inmediato. En el caso que no se cumpla la condicin anterior, es evidente que el punto no corresponder a una de las esquinas de la celda y tendremos que realizar una interpolacin.


- 45 -

As pues haremos una INTERPOLACIN BILINEAL. Para aplicar esta interpolacin ser necesario conocer los cuatro puntos que definen las esquinas de la celda de la cuadrcula donde se encuentra el punto que disponemos. Calcularemos el punto que corresponde a la esquina superior derecha de esta celda, que llamaremos punto 1(P1) y obtendremos el resto de puntos que definen las esquinas de la celda. Las cuatro esquinas de la celda las expresaremos como P1(1,1, N1), P2(2,2, N2), P3(3,3, N3), P4(4,4, N4). P1 ser el punto extremo superior derecho, P2 el punto extremo inferior derecho, P3 el punto extremo inferior izquierdo y P4 el punto extremo superior izquierdo. Calcularemos t y u con las siguientes expresiones:

)(

)(

31

3

=t

)(

)(

34

3

=u

La ondulacin del geoide en dicho punto concreto aplicando la interpolacin bilineal ser:

4123 )1()1()1)(1(N NutNutNutNut +++=


- 46 -

2.3.2 Procedimientos. 2.3.2.1 Paso de coordenadas geodsicas a coordenadas geocntricas: Se denominan coordenadas cartesianas geocntricas a las definidas en un sistema en el que el origen O coincide con el centro de la Tierra, el eje Z determinado por el eje de rotacin y un plano XY perpendicular a Z coincidente con el plano ecuatorial y con el eje X pasando por un meridiano origen (Greenwich). El problema planteado es pasar de coordenadas geodsicas (, , h) al sistema cartesiano elipsoidal, donde h es la altura del punto, medida sobre la normal al elipsoide (altura elipsoidal). es la latitud y la longitud. As pues, tendremos que:

22 sin1 = ew

( )

senhew

aZ

senhw

aY

hw

aX

P

P

P

+

=

+

=

+

=

21

cos

coscos

En estas expresiones podramos reemplazar (a/w) por N, siendo N uno de los radios de curvatura principales del elipsoide. 2.3.2.2 Paso de coordenadas geocntricas a coordenadas geodsicas: Es el problema inverso al caso anterior, a partir de coordenadas geocntricas (X, Y, Z) obtenemos las coordenadas geodsicas (, , h)

( )

=

+

+

+=

+=

X

Yarctg

heN

hN

YX

Zarctg

NYX

h

222

22

1

cos

Para obtener la () y la (h) definitivas se opera iterativamente. El proceso iterativo empezara considerando la altura igual a 0 (h=0).


- 47 -

-Clculo de con h=0 Tendramos pues que la latitud con h=0 sera:

( )

+=

222 1

1

eYX

Zarctg

-Clculo de N -Clculo de h -Clculo nuevo de En el programa, el bucle reiterativo no finaliza hasta que la diferencia entre la altura nueva y la calculada con anterioridad es inferior a 0.0001 metros. Es evidente que un punto en los polos, producir un error matemtico en el programa. 2.3.2.3 Paso de coordenadas geogrficas a coordenadas UTM: Los datos de entrada sern las coordenadas geogrficas (, ) y se pretende obtener las coordenadas de dicho punto en la proyeccin UTM que es definido mediante las coordenadas XUTM, YUTM, el hemisferio y su huso. Los algoritmos de la proyeccin UTM son los siguientes: 1) Longitud del arco de meridiano desde el ecuador hasta un punto de latitud geodsica ():

++

++

= 6

3072

354

4

3

256

152

128

15

4

1

8

3

256

5

64

3

4

11 664642642 seneseneeseneeeeeeam

2) Huso (H) UTM:

+=

6

31

EH

E se refiere a que debemos tomar la parte entera del clculo. 3) Longitud geodsica del meridiano central del Huso donde estamos:

H6183 0 += 5) Magnitudes auxiliares:

0 =

cos'= e

tgt =

cos=L


- 48 -

6) Factor de reduccin de escala:

9996.00 =k

7) Coeficientes de las soluciones anidadas de Meade para Este y Norte:

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )22222222226

22222222

5

222

4

22

3

2

1

192886003246804453302705861360

1

24464135814185120

1

49512

1

16

12

ttttttA

tttttA

tA

tA

NtA

NA

++++=

+++=

++=

+=

=

=

N = Radio de curvatura de la seccin normal. 8) Coordenadas cartesianas para la proyeccin conforme de Gauss:

( )( )( )( )264222

2

53

2

1

1

1

LAALLAmy

LAALLAx

+++=

++=

9) Este y Norte para la proyeccin UTM: El origen de longitudes se toma en el meridiano central de cada huso y como valor de la abcisa referida a dicho meridiano se adopta el valor convencional de 500000 metros. El origen de altitudes se encuentra referido al Ecuador. Para el hemisferio Norte el valor de la ordenada en el Ecuador es de 0 metros y para el hemisferio Sur se el asigna el valor de 10.000.000 metros con el fin de evitar valores negativos

ykY

xkX

0

0 500000

=

+=

Si estamos al Hemisferio Sur ( < 0) entonces:

( ) 100000000 += ykY Clculo de la convergencia de meridianos: La convergencia de meridianos es el ngulo entre el norte geogrfico y el norte de la cuadrcula en cada punto.


- 49 -

- Coeficientes de Meade para la convergencia de meridianos:

tC =1

( )( )223 23131 ++=C

( )25 2151

tC =

- Convergencia de meridianos:

( )( )25321 1 LCCLLC ++= Clculo del Factor de escala local: -Coeficientes de Meade para el factor de escala local:

( )22 121 +=F

( )( )2224 24945121

ttF +=

-Factor de escala (K= k0*k): ( )( )243220 1 LFCLFkk ++= En el territorio nacional, los valores oscilan desde 0,99960 hasta 1,00093. K es un coeficiente de anamorfosis lineal calculado para la representacin plana. 2.3.2.4 Paso de coordenadas UTM a coordenadas geogrficas: Este es el problema inverso al caso anterior, se conocen las coordenadas UTM y se quiere calcular las coordenadas geogrficas. Los algoritmos que calcularemos sern los siguientes: Se considera X e Y las coordenadas XUTM e YUTM respectivamente. 1) Factor de reduccin de escala:

9996.00 =k


- 50 -

2) Coordenadas cartesianas de la proyeccin conforme de Gauss:

0

0

500000

k

Yy

k

Xx

=

=

Si el punto se encuentra en el hemisferio sur:

0

10000000

k

Yy

=

3) Latitud del punto del meridiano central con ordenada y:

=

642

256

5

64

3

4

11 eeea

y

( ) 66144

1514

256

212

2048

213

16

3

8

3 6646420 seneseneeseneee +++

+++=

4) Radio de curvatura de la seccin normal perpendicular al meridiano en el punto de latitud 0.

0

220 1 senea

N

=

5) Magnitudes auxiliares:

00 cos' = e

00 tgt =

0N

xQ =


- 51 -

6) Coeficientes de las soluciones anidadas de Meade para la latitud y la longitud:

( )

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )4020207

4

0

2

0

2

0

2

0

2

06

2

0

2

0

2

0

2

05

2

0

2

0

2

0

2

04

2

0

2

03

2

002

7201320662615040

1

9025246459061360

1

8624285120

1

4913512

1

216

12

1

tttB

ttttB

tttB

ttB

tB

tB

+++=

+++=

++++=

++=

++=

+=

7) Diferencia de longitud respecto el meridiano central:

( )( )( )0

2

75

2

3

2

cos

1

QBBQBQQ +++=

8) Longitud geodsica del meridiano central del huso UTM:

H6183 0 += 9) Longitud geodsica:

+= 0 10) Latitud geodsica:

( )( )2642220 1 QBBQQB +++= Clculo de la convergencia de meridianos: -Coeficientes de Meade para la convergencia de meridianos:

01 tD =

( )( )2020203 21131 ++= tD

( )( )20205 352151

ttD ++=


- 52 -

-Convergencia de meridianos: ( )( )25321 1 QDDQQD ++=

Clculo del Factor de escala local: -Coeficientes de Meade para el factor de escala local:

( )202 121 +=G

( )204 51121 +=G

-Factor de escala local:

( )( )24220 11 QGQGkk ++=


- 53 -

2.3.2.5 Paso de coordenadas geodsicas en WGS84 a coordenadas ED50 en proyeccin UTM y cota ortomtrica (H): Explicaremos de forma esquemtica los pasos seguidos en este procedimiento, que se han ido desarrollando a lo largo de este captulo. Coordenadas geodsicas (, , h) en el dtum WGS84. (ELIPSOIDE WGS-84) Clculo de N (Ondulacin geoide) Coordenadas geocntricas (X, Y, Z) en el dtum WGS84. (TRASFORMACIN DE DATUMS) (WGS84ED50) Coordenadas geocntricas (X, Y, Z) en el ED50. (ELIPSOIDE HAYFORD-1924) Coordenadas geodsicas (, , h) en el dtum ED50. (ELIPSOIDE HAYFORD-1924) Coordenadas en proyeccin UTM en el dtum ED50.

NOTA: - En caso que el punto est fuera del territorio de Catalua, el usuario puede obtener las coordenadas UTM en el dtum ED50 (siempre y cuando aada y emplee los parmetros de transformacin de su zona) pero no obtendr la cota ortomtrica (H) que slo est disponible para el territorio de Catalua.

hemisferioHusoYXUTMUTM

,,, (H) altura ortomtrica


- 54 -

2.3.2.6 Paso de coordenadas ED50 en proyeccin UTM y cota ortomtrica (H) a

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