I

ÖâpdQêÖâ ¹dtâX ~kó¿kKÖâ ¿xªÁkyª (î)×âª.4,100 ´vâygâyÈ îªgÒ p¨vâGy, ±×âµâªÖâî 3Àâ ¿ö¦Ê

±rªgâÔâÃépây - 560 085

g⧰âª8

U¾Æy{âÀâ °âpâgâ»°rÈygây ÀâÃé|âXÀâyª

2013

ÖâpJdêÖâ Z~kÅây°â]Àâyy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

II

PrefaceThe Textbook Society, Karnataka has been engaged in producing new textbooks

according to the new syllabi prepared which in turn are designed based on NCF – 2005 since June 2010. Textbooks are prepared in 11 languages; seven of them serve as the media of instruction. From standard 1 to 4 there is the EVS and 5th to 10th there are three core subjects namely mathematics, science and social science.

NCF – 2005 has a number of special features and they are:

• Connectingknowledgetolifeactivities

• Learningtoshiftfromrotemethods

• Enrichingthecurriculumbeyondtextbooks

• Learningexperiencesfortheconstructionofknowledge

• Making examinations flexible and integrating themwith classroom experiences

• Caringconcernswithinthedemocraticpolicyofthecountry

• Makeeducationrelevanttothepresentandfutureneeds.

• Softening the subject boundaries integratedknowledge and the joy of learning.

• ThechildistheconstructorofknowledgeThe new books are produced based on three fundamental approaches namely.Constructive approach, Spiral Approach and Integrated approach

The learner is encouraged to think, engage in activities, masters skills and com-petencies. The materials presented in these books are integrated with values. The new books are not examination oriented in their nature. On the other hand they help the learner in the total development of his/her personality, thus help him/her become a healthy member of a healthy society and a productive citizen of this great country India.Mathematicsisessentialinthestudyofvarioussubjectsandinreallife.NCF2005 proposes moving away from complete calculations, construction of a framework ofconcepts,relatemathematicstoreallifeexperiencesandcooperativelearning.Manystudents have a maths phobia and in order to help them overcome this phobia, jokes, puzzles, riddles, stories and games have been included in textbooks. Each concept is introduced through an activity or an interesting story at the primary level. The contributions of great Indian mathematicians are mentioned at appropriate places.

The Textbook Society expresses grateful thanks to the chairpersons, writers, scrutinisers, artists, staff of DIETs and CTEs and the members of the Editorial Board and printers in helping the Text Book Society in producing these textbooks.

Date: 1.3.2012

ManagingDirectorKarnataka Textbook Society® Bangalore,

Karnataka Bangalore, Karnataka

Coordinator Curriculum Revision and Textbook Preparation

Karnataka Textbook Society® Bangalore, Karnataka

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

III

The Government of India through NCERT have brought out NCF-2005 to revise the curriculum of schools and suggested all the states to introduce revised textbooks in the schools based on the new curriculum. Accordingly state Governments took up the work and requested respective DSERTs to start introducing new curriculum and texts. Karnataka Government has suggested to its DSERT to take up the challengetofulfilthevisionofNCF-2005.DSERT,Karnatakastartedtheprocess:constitutedcommitteestorevisethesyllabi,identifiedthewriters and requested these people to write texts books based on the new syllabi incorporating the expectations of NCF-2005. Karnataka Text Book Society took the initiative and coordinated the whole programme of writing these text books.

The current work, a text book in mathematics for 8-th standard, is a step taken in this direction. An effort has been made here to look at the mathematics needed at 8-th standard through a different lens. At firstglance,thismaylookatotallyunconventionalapproach.Somemayfeel that it is hard on the part of 8-th standard students. On the other hand that is the correct age for the students to learn new concepts and ideas. Students are receptive to new intellectual challenges. It is the onus of the teachers to teach new things to the students and prepare them to the challenges of the ever changing world. This text book is also an effort to integrate our students with the national mainstream where CBSE has surged forward and parents think that their wards will be better off by learning CBSE texts.

We have tried here to tell something new about numbers and number system. Similarly, some thing new about graphs, postulates of geometry and congruency of triangles are also introduced with more expectations. Quadrilaterals have been introduced now itself. There are optional problems at the end to challenge the students. It is my earnest request to all my teacher friends to take up the new challenge. Lettheparentsofourstudentsnotfeelthattheirwardsarealwaysinthe back seats.

Foreword

B. J. VenkatachalaHomi Bhabha Centre for

ScienceEducation,TIFR,Mumbai

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

IV

TEXT BOOK COMMITTEEChairman Dr. B.J.Venkatachala , Professor,H.B.C.S.E(T.I.F.R,Mumbai),Department

ofMathematics,IndianInstituteofScience,Bangalore.Members 1. Dr. G.Sheela , Asst.Professor,DepartmentofEducation,Manasagangotri, MysoreUniversity,Mysore. 2. Sri T.K. Raghavendra , Lecturer,D.I.E.T.,Chickballapur. 3. Sri A.Ramaswamy , Asst.Master,Govt.EmpressHighSchool,Tumkur. 4. Sri Vinay A Joseph ,Asst.MasterandP.R.O.,St.Xavier’sHighSchool, Shivajinagar,Bangalore. 5. Sri Vasanti Rao , Retired Teacher, Rajajinagar, Bangalore. 6. Sri G.M.Jangi , Artist, D.S.E.R.T, Bangalore

Transilation Committee 1. Bhaskara Usha devi A. M. G. T. H. School,D.B. Pura.Bangalore.Rural(Dist) 2. Subhashini A.M. G.T.H. School, O.P.H. Road, Shivajinagar Bangalore. 3. R. Ramachandra setty. Retired Teacher Gangavathi Koppal

Scrutinisers 1. Dr. Ashok M. Limkar , Subject Inspector ofMathematics, D.D.P.I., Office,Bijapura. 2. Sri A.S.Hanuman , Subject Inspector ofMathematics,D.D.P.I., Office, Shivamogga.

Editorial Committee Members 1. Dr. Sameera Simha, Joint Secretary, Vijaya Educational Institutions, Jayanagar,Bangalore.

2. Dr. S Shiva kumar, Professor, R V Engineering College, Bangalore.

Chief advisors 1. Sri H. S. Rama Rao ManagingDirector,KarnatakaTextBookSociety, Bangalore. 2. Sri Nagendra kumar, Deputy Direcor, Karnataka Text Book Society, Bangalore.

Chief Co-ordinatorProf. G. S. Mudambadithaya, Curriculum review and Text book preparation, Kanataka Text Book Society, Bangalore.

Programme Co-ordinators Smt. R.N.Shashikala , AssistantDirector,Karnataka TextBookSociety(R) Bangalore. Smt. N Parvathi, Technical assistant, Karnataka Text Book Society,Bangalore.

# 808, 14th Main, 50th Cross, 3rd Block, Rajajinagar, Bangalore - 560 010. Ph : 080 - 231 00 666. Email : info@paramountcolor.com

DTP by :

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

V

‹½ÌñŒðú Æñýóƒ°ð½•„øà Æñ®±æ

¿ÎòÁð‡÷Œðú ²ð{ºð® Æñ®€É½ñÞ ½ñ\´ðŒðú®¡®°ð ²ð{ºð®

¡»ÎòæŒðú® 1 ¿Îò²ð®-1 Æñ®±æú™ ¢· 1-25¿Îò²ð®-2 ÀðÁòÒÃú, ÀðÁðÒÀðúýóÃòÃú, ½ñÎú¼òÃú, ½ñÎú¼ð ÀðúýóÃòÃú

26-51

¿Îò²ð®-3 ¡°ðÁð{÷Œðú Æñ®±æÃú 52-78¿Îò²ð®-4 Àòæ¾òÁð ²ð{ºð® 79-102¿Îò²ð®-5 Çò®±æ°ð ÅòçÆñÞ® 103-126¡®°ð ²ð{ºð® µÀò¿úÃú 127-138

Š÷µ ²ð{ºð®

¡»ÎòæŒðú® 2 ¿Îò²ð®-1 Š÷µ ÆñÀðýóÇòÃú 139-158¿Îò²ð®-2 °òÁð¹ò®°ð ‹¿Îðµ¼ð 159-168¿Îò²ð®-3 «°ð ´ðÁð Áò_²ðà Æñ‹÷ý°ðÁð¹òÃú 169-188¿Îò²ð®-4 ½ñÎúºò®°òÃú 189-211¿Îò²ð®-5 Á”±ò ½ñ·®Ã ½ñ\´ðŒðú® (Graphs) 212-237Š÷µ ²ð{ºð® µÀò¿úÃú 237-244

Á”±ò ²ð{ºð®¡»ÎòæŒðú® 3 ¿Îò²ð®-1 ÆñëŒðú® Æõ»òàÃú Æöë°ð§ºð Æõ»ò஺òÃú

Àðú\Œðúú Æõ»òᮺòÃú245-277

¿Îò²ð®-2 燿Îðúµòà ‹÷ý»ð Æõ»òᮺòÃú 278-295¿Îò²ð®-3 燿Îðúµòà ÆñÁðëÆñÀðýó¼ðºðë® 296-325

¿Îò²ð®-4 燿Îðúµòà ‰Áòå¹® 326-342

¿Îò²ð®-5 ´ðºðúÁðúä͵òÃú 343-367Á”±ò ²ð{ºð® µÀò¿úÃú 367-370

¡»ÎòæŒðú® 4 ¿Îò²ð®-1 °”Éçºð²ð{ºð® 371-383£¾ÌòÙ‰€ £Àðë¿}¼ð ÆñÀðúÆñæÃú 384-387

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Ådp⻥Îây g⧰⪠- ¿xªÑí~kK ~kîßâÎâyª:

Ådp⻥Îây g⧰⪠Àá{â ÖdÈé¾Ñ ¿xª±ªºªn×â¬. Àryy{âê gâyîKª~k±Ú×â Àá{âÖdȪ ×ds g⧰â Z~k°âyÈy ‘ ¿xyÈÅâ ¿xÃéZ°dÈy’. EÆ ÎâymC Ä¥tâÀâyyÈ ¾pdWÇÀâyy×âæ ¿xª±ªºªn×â ~kòîK ÆÀâpdÈ×ây Öâ¶Ð I×dQÌy. o Z¹dn¥×â Z~k°âyÈȨ 2g 3g Àryy{âÈrô×â ÖâpâÇyÈ gâyîªn ~kîßâÎâyª ÖâÈ{ây. (¾mé¾Ñ ÎâymCéÈy, ÎâÃégdÈy, fg¨Ôâ µdçÉKdÈ Æ¥y{â ÀâyæýÀâ°¨ Z¹dn¥×â g⧰⪠́ «Àâ½{âMð ßáÎây±Úª¬) Åñ{MdÎây×â ¿xÃéZ°âª, ́ ~k¿kKªÅâ ¿xÃéZ°âª

. .1

31

3 41

3 4341+ + -

pâÃé~kªÈ¨ 2g æ 5 {âµdªµâÉLd×dÈ Àâpâæ ´ª{dmä ÆÈyÀâ×ây Eßd+Ìy.

o ¿xÃéZ°dȨ[ ÉdªZ~k{dÎâyÖâ ~õôzdgâpâ¿Ï û{Mdª°âª ZÐ¥æÈy Öâ×âyg³×âvd¾Ñ Àâyyª{á ¾pâ]nªßâ±Ú×â¬. Àâyp³Öâ Z¹dn¥×â Éd|â×â Èá×âêyÀâªs Àâ½°âKÀâyy×ây Àâî¥$Öâîªßây ¿xÀây¿kX æévd o ¿xÃéZ°dȨ[ ÉLd×⪠Öâ¶Ð Iª¬. En+×â Àâ½°âK ÀrôµdÈéX¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀrôµdÈXª ÖâÈ ßâ°âypâZÉd¾Q ¾îWªßâvd¾Ñ UÀâîÖrô×d ֳȱ{âM, Àâ½°âKÈáؾ ÖdÀd¶. Öd¾¥ o Æ|âªgd ßâ°âypâZÉd¾Q ¾îWªßâvd¾Ñ ´ª{dmä ~k{âM°âyÈy o ¿xyÈÅâ¿xÃéZ°dȨ[ ÖâÈ{ây. E¬ ¿xyÀâÃépây 2ÀáÈ ¿xªÀâ°âbpdÈygd Édºª~k±vâ¾ ¿xÀây¿kXgd Æyж¹èÌyª¬. 18 Àâ µâ°d±MªÈ¨ EêyÀâªs ¾pdWǪ ´Éd|âXÀây¾ ¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬.

Z~kzâÀâyªgd π æ ́ ª{dmä ÆÈyÀâ×ây En+×â Áky×â°â Ådp⻥Îây g⧰âmäCÈÖá {âæý°âyª¬ ApâXÅâê I (ZÑ.µâ. 476) π ÆÈyÀâ ¿xyÀâÃépây 3.1416´¾ °r¶Îây máÉdvây. ´°âvây 20000ÎâyÃé¾êÒÈy ÀdX¿xªgd gâÈ Àâ½°âKª ßâyê¦yֳȰâ 62832 ÎâyÃé¾ê[¾ °r¶Îây máÉdvây. 5Àâ µâ°d±MªÈ¨×á ApâXÅâê I π ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÖd{ây ́ ¾ ¿kRÍk¦ªgd °r¶Îâyßáû {d¾ ¿xyÀâÃépây ÆÈyÀâ×ây I~kÎrÃéЪßdvây 1761 Ȩ È骱pÒ¦, π ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfX ´¾ ¾pâÃéĪßdvây. 1882 Ȩ ¶ªváÀâÃé×Ò, ¾mé¾Ñ π ´×ᬠaÖâ Zêé×Òb vrªêÈÒ ¿xªfX ´¾ ¾pâÃéĪßdvây.

¿xy×âQ ÀâyîÎâyy ´×⪰âª×ây ~kîßâÎâyª ßáû {âµdªµâ ~k{âM»¾ Öâ×âyg³×âQ Ådp⻥ÎâyyÈæ Àryy°âKª Z~k~kªß⪠×âÀây¿kýîªßd¶. {âµdªµâ ~k{âM» ßdÈé ¿xyÈÅâ Àryô×â¬. ¬¥¾¾ n×âQ ÄÈ[Èy æévd Àdî ÈrÖdýßdpdȨ[ I~kÎrÃéÐÉKdpây. Æ¥ypây ¾mªgd ¿xpâÔâÀryô×â {âµdªµâ ~k{âP»¾, ÉLd×âÆÈyÀâ ÅdÀâ×âÈ×ây Àryßây+Ö¨ÀdȪêá Æ¥ypây ´ª°âæ Àâyyª{ây I×âQ p¨Àây×Ò ¿xªfdX

VI

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

~k{âM»¾ ´|âXÎây×⪠ßáÎâÃé¶. Z~kÀâyyf ßâîZ°â Ödpâyvây. £è[îÎây×Ò Ödm¨î Z~kÖdp⪠´¾Q g⧰â AÆÍkýpâÇÈ×âyßâÃé¿öK UÀâpâÃé ‘¿xy×âQ’ mCé×⪠Öâªêá UæýÀâ Éd|dpâÇ ´«À⽬M¾ ±dg⪠~kªßâyÖ¨Èá{ây. A|dp⪠10 ~k{âP» ¾ I~kÎrÃéЪn Ådp⻥ÎâyyÈy ́ ×áÖâ ~õ{âM ¿xªfXÈ×ây pdÎâygâ¶gdpây. (´|dXÎâyª 2) Ådg⪠4 Ȩ ÁkÃé°dªÖdÈy ßâÃévâªÚ).

Ådp⻥Îây g⧰â ßâîZ°âȨ Z¹dn¥×â mrô×âÈ Ö⽸ Àâyp³Öâ ÀâyyfXÀryô×â ÀryôÈypdÌy Àâªs¬. Àdî AÆÍkýpâÇÈy Z~kû{âM mrô×Ò ~kó¿kKÖdÈȨ ×âÀryd{âyßáÎây±vGdÌy. (ZÖ¡. ~kò500 ×âyªÚ ZÖ¡. ~kò200) EÖâývâ ÀâypâÈé π ÎryyÖâý ¿xyÀâÃéprô×â ÆÈyÀâ 10g gd 13 {âµdªµâ ÉLd×dÈÀâpâæ ÈrÑýªßâ±Úª¬.

Z¹dn¥×â Ådp⻥ÎâyyÈy ´×áÖâ pâªgdȨ[ AÆÍkýpâÇÈy ßáµdpây. ´ªÖâg⧰â ~k{âM°âyÈ×ây ÀâXÖâKKg⧰âgd ÄÈyÉKdpây. ²©mg⧰â ~k{âP°âyÈ×ây ́ ÀâXÎâyÖâKg⧰âªgd ÄÈyÉKdpây. Z¹dn¥×â Ådpâ°â g⧰âmäCÈy ×dÈygây ÀâyÃéÈ Z~kZÑÎâyÈrô×â ¿xªÖâÈ×âª, gâyÇÖdpâª, ÀâXÀâÖâÈ×âª, ÅdgâÝkëpdÈ×ây ~kîßâÎâyª ßáû×dpây. ÀdîÑ «×dQÈ×ây I~kÎrÃéЪßâv⪠¿xpâÔâ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈ×ây Édºªßâvâª, Àâpâ$ª - Àâpâ$ÀâyÃéȪ Öâ×âyg³×âvâª, Áky×âª, Áky×â ÀâyÃéȪ Öâ×âyg³×âvâª, Z~kÉKdpdÈy ¿xªÎrÃém×dÈy æévd°rÈy¿xy.

ÖâpJdêÖâæ ßrª¬×â Z~kÀâyyf mrô×Ò g⧰â Àá°âK ÀâyÝkéÆ¥pâ g⧰â ßâîZ°âȨ×áÀryy{âsÉdîgd (ZÖ¡. µâ 9 Àâ µâ°d±Mª) °â×â g⧰â Édpâ ¿xªZgâÝkéªÈ¨

! !!

n r rn

r

nc =-^ h ´×á Z~kÀâyyf

¿xÃéZ°d¾Q Eßd+vây.

´¾Q ÖdÈéȨ[×ây Z~kÀâyyf g⧰â ÀâyîÎâyy fg¨Ôâµdç¿xKmCyÈȨ Àây×â ApâXÅâê I aÖâpây. E°âvây g⧰d¾QZÖâÀây ±{âMªgd ́ «À⽬M ~kpâßdvây. E°â¾¾ «©mg⧰â Ä°dÀâyÝkéyvây ́ ªêépây. ¿xª¿ký½°âªÈ¨ méXgd ÄÈÀâ±vá Z»Ö¨ÇÆy» ¾ÍkR»K ¿õô×Ò æ 3

43 ÚZÐ¥ ´ª°âpâªÈ¨ 0

×âyªÚ 900 È Àâpâæ ~ks¦ÖâÈy °âÎâÃépây ßáµdvây. E°âvây ÅâÃéÆy~õô ûLpâªgd I×âQ ~kîú¥ÈæÚÑ ×âÖâíZ°dÈy °âÃépâyR ×âyªÚ ~kvâÀâypâæ Öâ{âyÈy°âÃé Öâ¾RÉKdÌy¾, ÅâÃéÆy gâyªZvâªgd Iª{â¾ ßrÄR×â Z~kzâÀây Ådp⻥Îâyyvây.

VII

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Åd¿kýpâ I (ZÖ¡. µâ 6Àâ µâ°d±Mª) ´×áÖâ páfdg⧰⠿xÃéZ°dÈ×ây ¿xÀâyæéî+×dvây E°âvây ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xyÀâÃépây ÆÈyÀâ×ây Eßd+×ây. (±ÝkéWgây~kóKvây ZÖ¡.µâ628) ( )( )( ) ( )s s a s b s c s d- - - -g a, b, c, d, Èy ÅâyméÈy, s ´pâLßâyê¦yֳȰâ gâÈ ßâZÖ¡Îây ßâ°âypâyVméÈ ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×á ¿xÃéZ°d¾Q Z~k» ¹d¬ªßdvây. ́ ÖâpâÇ¡Îây ÅâyméÈ°¨ ßâZÖ¡Îây ßâ°âypâyVméÈ×ây ¹åª¬×â Àryy{âs g⧰⠵dç¿xKÀá°âK.

Ådp⻥ÎâyyÈ Àâyp³Öâ ÀâyyfXÀryô×â gâypâKyªßâyÖ¨{âÐ×â Öd×âyÖâ a,b ,c,N Èy ~kòpâJ¿xªfXÈy ax+by=c,x2-Ny2=1 pâÃé~kªÈ¨¾ ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈæ Éd|â×â. EêyÀâªs ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈ×ây vâÎrÃé£dªêrô×Ò (Diophanline)¿xÆ¥yÖâpâÇéÈy ´ªêépây. prªvâÀâ ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q Àâyp³Öâ ÀâyÝkë×âyÅdÀâóvây ~õÈÒb. ¿xÆ¥yÖâpâǪgd Ķßr×ây E~kRsÖ¡ ́ ¬ ́ {á Æ|âªgd Ö³×âÉdgây°ây×âQ¬. o p¨mäȨ[ ßdÈé Àâyª¬ pâßâÌy°âÈy x2-Ny2=1 ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q Z±ÝkéWgây~kK - ~õÈÒb ¿xÆ¥yÖâpâǪ ´¾ ÄÈy¿kKy×dQpây. Z±ÝkéWgây~kóKvây En+×â Öd×âyÖâ×ây ´pâLª ßá¿xyæ×âQ °âpd]°â ApâXÅâê I ax+by=c ¾ ßâî+ªßr×ây. °âpd]°â Åd¿kýpâ II (E°â¾¾ Åd¿kýpdßdpâX ´¾ ÄÈyÉKdpây ) x2-Ny2=1 ~kòpâJ¿xªfXȨ[ Édºªßâvd¾Ñ Æ|d×d¾Q ´«À⽬M ~kîßr×ây ¬¥¾¾ ßâZÖâÀdÈ ~k{âM» (Chakravala method) ́ ªêépây. x2-Ny2=1¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Ñ ¿xª±ªºªn EÖâývâ aÖâ A¿xÑKÖâpâ ÆÍkÎâyª ÖâÈ{ây. 1657Ȩ ÁõpdWêÒ (¿xªfdX û{Mdª°d¾Ñ ÀâyyfXÀryô×â Öd×âyÖâ ¾ßr+×ây), ÎâyÃép¨ÄÎây×Ò g⧰⠵dç¿xKmCÈæ x2-61Y2=1¿xÆ¥yÖâpâǪ Édºªßâvd¾Ñ Z~kÎây°âQª ßá¿ö×ây. x,y Èy ~kòpâJ¿xªfXÈy. Öd¾¥ UÀâpâÃé ¬¥¾¾ ÉdºªßâÈáÖâ ¹èÌyî. 1732 Ȩ ÎâyÃéÈpÒ o ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Ñ ~kòîK Éd|â×â×ây Eßr+×ây. Öd¾¥ Aµâ+pâXÖâpâªgd ÖdÖâ°dù¥Îâyª gd 5 µâ°d±MdÈæ ~kòpâ]Àáy Åd¿kýpâ II (ZÖ¡. µâ. 1150) ´°â¾ ²©mg⧰âªÈ¨ ßâZÖâÀdÈ ~k{âM»È¨ x2-61y2=1×ây Édºªßr×ây. Åd¿kýpâ II ßá x2-61y2=1 ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Ñ EÀâ]±Ú×â Éd|â×â x=226153980 ÀâyîÎâyy y=1766319049. Åd¿kýpâ II ÖâÈ×âg⧰âªÈ¨ ́ ÀâÖâÈ×â ÅdÀâ×â Z~kÀáµâ~õêr¦×ây. d(six)= cosxdx ´¾ ´°âvây ¿kRÍk¦ªgd °r¶Îâymá¿õ×ây.

VIII

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Åd¿kýpâ II ÀâyîÎâyy ÀâyÝkëÆ¥pâ pdû×â ¿xÀây¿kXÈy ßdÈé ´ª{âªgd A¿xÑKgd, ~k{dXÈ°¨ æéÚ I×âQ¬. Åd¿kýpâ II ÖâpJdêÖâȨ¾ Z~k¿kKy°â ²mé~kòpÒ È¨ m¾Wªn E~kRs ÀâyÝkëpdçÍk¦æ ÀrÔr\×ây EÖâývâ prªvây ´×âyÀd{â ¿xÀây¿kXÈy EÀâ]±Ú×âÆ.

1. (Åd¿kýpdßdpâX ¶¥ÈéÀâ» ×âyªn)

aÖâ ́ ª{âÀryô×â Öâ×âX ×â×âyQ ́ ÚÐ×â {áÀâyªêá O ¿xªfX×ây 3ßá gây§ªn {d¾¾ 3/4 gâyÇ È±Md¾Ñ ~õªn, {d¾¾ 7 ßá ÅdЪn, 1/3, Àâ À⪰ây ÅdgâÁkÈé¾Q °âÐ$ªn, Àân+×â {d¾¾ {d¾ßá°â×ágây§ªn 52 °âÐ$ªn×â Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Öâð 8 æéÚ 10 ßá ÅdЪßâgd 2 Àâßây+×ây ?

2. (ÀâyÝkëÆ¥pâ g⧰â Édpâ ¿xªZgâÝkéª ×âyªÚ)

Àâyygâ$ypây ÀdX¹dpâ¿kLyÈy p¨vâGy~õô ~kÚ×â ~kpâyb×ây Öâ×âyg³×dQpây. Àryy{âs ÀdX¹dî ‘‘×á×ây ~kpâyb×ây »¥¿xyæªêá Æ¥y E{âMî Àâ{âM I×âQ ÉåÀâyyWæ prªvâðª°âÈy ×dÀâ{âM ´gây×ây’’. ́ ×r×ây ~kpâyb×dæ E¿öK ‘‘×d Àâ{âM Æ¥y E{âMî Àâ{âM I×âQ {d¾Ñ ÀâyÃéÚª°âÈy ´gây×ây’’ ́ ¾ prªvâÀâ ÀdX¹dî ́ ×r×ây. ÀâyÃévâÀâ ÀdX¹dî ‘‘~kpâyb ×d Àâ{âM Iªêá Æ¥y E{âMî Àâ{âM I×âQ {d¾Ñ Y¬ª°âÈy ´gây×ây’’ ´×r×ây ~kpâybȨ I×âQ ÉåÀâyyW Uª°â? aÖ³ýÖâý ÀdX¹dî Àâ{âM I×âQ ÉåÀâyyW Uª°â?

´ªÖâgâÇð°âª, ¿xÆ¥yÖâpâÇ û{Mdª°âª, g¨ÔéÖdpâ Z»Ö¨Ç¿xÆy», fg¨Ôâµdç¿xKª, ²©mÎây ¿xÀâÃéÉdÈy, ¿xÀây°âÈ Z»Ö¨ÇÆy», ÀâyîÎâyy ãáZ°âg⧰âªÈȨ Ådp⻥Îây g⧰âµdç¿xKmäCÈ gâypâKyªßâyÖ¨{âÐ×â AÆÍkýpâÇÈy ßáÉdpây. {âypâ{â½Ík¦Àâµd°âKy Åd¿kýpâ II °âpd]°â ±Îâys {âªvâÎâÃéZ°âÈÀâÈ[ Ådp⻥Îây g⧰âµdç¿xKmäCÈy mvâ°â]ªÈ¨¾Ñ Àrù\¹èÎâÃépây. Ö³¬M ÖdȪ ÀâÃéZ°âª ÖápâÔâ ¿kÃéýÈy ßrª¬×â ¾¥ÈÖâªtâ, ÀâÃé|âÀâ Z~kÀáyÎâÃé¾Ñ Ö³¾Q ÀâyyfXÀryô×â ¿xyÀâÃépây

IX

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

ZµáÇyÈ×ây Öâ×âyg³×dQpây. 19 Àâ µâ°d±Mª nÀâpâȨ ÀâÃéZ°âÀáy »îÐ Àây×â Z~kfdX»¾ pdÀâÃé×âym×Ò ÀâÈ×â ¿xª¹d¬ªßâyæ×dQª. pdÀâÃé×âym×Ò ¾mªgd gâî]ªßâ{âgâ$ g⧰⠵dç¿xK Àá°âK. ´°â×ây ÊËƪn×â ´» °âæýÀâ 32 OÔâ\ ÊËÆ°â ÖdȪȨ ¿xªfdXÀd{âª, ´ÈágâyÇÒ °âKpâZµñ§, ́ Àâpâ¿xÇZµá§, ¬¥pâ&Àâ½°âK Z~kÀáyÎâÃéÈy ÀâyîÎâyy ¿xÀâÃéÖâÈ×âyÈy, ÀâÃéÖâLêé Z~kÀáyÎâÃéÈæ ´{âyV°âÀryô×â °¨vdRêy×⪬ªßdvây. E~kRsÖ¡ Z~k~kªßâ ÀdX~kKªgd g⧰⠵dç¿xK Àá°âKÈy ¿xª{âgâM ÀâyÎâyÀâyÌy×â ´°â¾ g⧰d¾Q ´pâLª ßá¿xyÖ³¾ Édºªßâvd¾Ñ Z~kÎây°âQª ßá¿kKy×dQpây. 19Àâ µd°d±Mª nÀâpâȨ aîÉdbæ ßrª¬×â ßâªZ{âµáfpâ ¿xÀây°â fg¨Ôâ µdç¿xKªÈ¨ Ö³¾Q ÀâyyfXÀryô×â AÆÍkýpâÇÈy ßá¿õ×ây.

(Ådp⻥Îây g⧰⠵dç¿xKmäCÈ gâyîªn UæýÀâ ÆÀâpdÈæ vd||. U¿Ï. ±dÈßâªZ{âpdÀâó gdî Indian Mathematics and Astronomy some land mark ~kó¿kKÖd¾Q ßâ{âÀâªÚ)

l l l l l

X

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

1

´|dXÎâyª-1Ådgâª-1

¿xªfXÈ°¨ Aê

o Ådgâª×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æ¥ypây Ѫ¬ ÆÍkÎâÃéÈy °rÈy¿xyæªêépây• En+×â ¿xÝkém ¿xªfX×ây {d¾ Éd|dpâÇpâÃé~kªÈ¨ pdÎâyv⪠(A|dp⪠10)• ¿xªfXÈ°¨ O Æ|âªgd AêÈy, ~kÊÈÒb ßáÎâyÀâßây+?• prªvây ~kòpâJ ¿xªfXÈy En+×â~kóvây aÖâ {d¾¾ Àâyp³Öâ {d¾°¨ ÅdЪn ÅdgâÁkȪ,

µáÍkª ¹åª{âvâª.• 3 3 ÀâÃéXÊÖÒ ßâ{âpâªgd¾Q ¾îWªßâvâª.• 3, 4, 5, 9, 11 Èæ ÅdgâÝkëpâ ~kî¥ÖâíÈy• ¿xªfXÈȨ æéÚ×â Ö³¾Q ÉdºªßâÈá¾ ¿xÀây¿kXÈy

1.1.1 ~kîßâÎâyª

ÀâÃé×âÀâ Àâyר ÆÖd¿xªÈ¨ ¿xªfXÈy ÀâyyfX ¹dZ°â ÀâþéªßdÌy. E¬ ÄÈ[È ßâypâyæ {d×d¾Ñ AêÀryô{d×⪠́ Ìyª¬. Àry{âyvâyæ Àáy°â ¾ßá+ næýÈrÖâýÈy (Puzzles)¿x½ ¦̧ªßâÀâßây+. Æ¥s¾ ÄÈ[È ÀâÃé×âûÖâ ÆÖdÉd¾Ñ AêÈygd I~kÎrÃéЪßâÀâßây+. ÄÈ[Ȩ[ I°dbÝkë¾Q ~õª¹åª¬ªßá næýÈrÖâýÈæ I~kÎrÃégâ~kvá ¿xªfXÈ |âpdWÈ×ây ~kº{Mdª. Àâyp³Öâ Àrô~kó ¿xªfXÈy ÄÈ[È×ây Eª°â Àâpâæ NÝkéæ pd¾ ¿xªfdX Z~k~kªßd¾Q µ¨ºªßâvd¾Ñ I~kÎrÃégâ ~kvây°dÌy.

Æ¥ypây 76 Èá{d 315 ×ây pdû ´Æ ¿xÝkém¿xªfXÈy ´¾ ßr~kRªÚ. I{dÝképâÇæ 6 ´×á ´ªÖr 76 Ȩ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ Iª¬ ´¾, 7 ~k{âyÈ ÉLd×âªÈ¨ Iª¬ ´¾ ßr~kRªÚ ´{á Æ|âªgd 315 Ȩ 5 aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ 1 ~k{âyÈ ÉLd×âªÈ¨ 3 Àâª{âÈ ÉLd×âªÈ¨ Iª¬ ´¾ ßr~kRªÚ. Æ¥ypây En+×â ¿xªfXȨ Z~k» ´ªÖr ÎryyÖâý ÉLd×â ÆÈyÀâ×ây ´pâLª ßá¿xyæªêépây Æ¥s¾ I~kÎrÃéЪn Ö³¾Q næýÈrÖâýÈ×ây ¿x½¸¦ªßâÀâßây+,

2, 24, 46, 88 Èá{d 122 ¿xªfXÈ×ây ßâÃén×â Àrªê×á Æ¥ypây EÆ ¿xî¿xªfXÈy EÀâ¾¥Q 2 ßá ÅdЪßâ ±vây°dÌy ´Æ ßr~kó°dpây. Æ¥ypây aÖâ ¿xªfX×ây ßâÃén×â Àrªê×á ´¬ 3 ßá ÅdЪ~k ±vây°âyª{d? ´¾ ßr~kRgâÈpd? aÖâ ¿xªfX×ây ßâÃén×â Àrªê×á ´¬ 4, 5, 9 Èá{d

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

2

11 ßá ÅdЪ~k ±vây°âyª{d? ´¾ ßr~kRgâÈpd? O{rô×d aÖâ ¿xªfX 3, 4, 5, 9, 11 ÈȨ ÅdЪ~k±vâyêæ ¿xpâÔâ ¾ÎâyÀâÃéÈy OÀrô×d ÖâÈÀd?1.1.2 Éd|dpâÇ pâÃé~kªÈ¨ ¿xªfXÈy

45×ây »¥¿xyæª{dª45 = 40 + 5 = (4 x 10) + (5 x 1)

E{á Æ|âªgd 34 = (3 x 10) + (4 x 1). 354 Ȩ Àây×⪠OÆy ßáÎâyÀâßây+ gâÀây¾ªßâªÚ.354 = 300 + 50 + 4 = (3 x 100) + (5 x 10) + (4 x 1).

ÖdpdXßâpâǪ 1.1. ´ : Ѫ¬ ¿xªfXÈ×ây ~õô×â ¿xÃénªn×â Æ|âªgd pdÎâyªÚ.

75, 88, 121, 361, 1024, 2011, 4444, 2345.

O ¿xÝkém ¿xªfX×rô×d o Æ|âªgd pdÎâyÀâßây+×d? aÖâ ÀáÔâ 123456789 ¿xªfX×ây »¥¿xyæªêá E¬ 9 ´ªÖrÈ ¿xªfX ¬¥¾¾ o Æ|âªgd pdÎâyÀâßây+×ây.

123456789 = 100000000 + 20000000 + 3000000 + 400000 + 50000 + 6000 + 700 + 80 + 9

= (1 × 100000000) + (2 × 10000000) + (3 × 1000000) + (4 × 100000) +

(5× 10000) + (6 × 1000) + (7 × 100) + (8 × 10) + (9 × 1)

Æ¥ypây ¬¥¾¾ o Ѫ¬ Æ|âªgd pdÎâyÀâßây+×â¾ °âpd]°â °rÈy¿xyæªêépây.

123456789 = (1 × 108) + (2 × 107) + (3 × 106) + (4 × 105) + (5 × 104) +

(6 × 103) + (7 × 102) + (8 × 10) + (9 × 100)

¬¥¾¾ A|dp⪠10 gd ¿xÝkém¿xªfXÈy pdÎâyv⪠́ ªêépây. E¬ ¿xªfXÈ Éd|dpâÇpâÃé~kª A|dp⪠10gd ¿xªfXÈ×ây ¿xÃénªßá o Æ|d×d¾Q Ådp⻥Îây g⧰⠵dç¿xKmCÈy Öâ×âyg³×dQpây.

I{dÝképâÇæ 136×ây Éd|dpâÇ pâÃé~kªÈ¨ pdÎâyªÚ.

136 = (1 × 100) + (3 × 10) + (6 × 1).

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3

EÖâývâ 6, 1 Ñ ¿xÝkéßâpâªgd 3, 10 Ñ ¿xÝkéßâpâªgd 1, 100 Ñ ¿xÝkéßâpâªgd Iª¬. 6 aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨, 3 ~k{âyÈ ÉLd×âªÈ¨ 1 Àâª{âÈ ÉLd×âªÈ¨ gâÈ{ây.

O{rô×d aÖâ ¿xªfX abcd »¥¿xyæªêá aÖâê[ ÉLd×âª, ~k{âyÈ ÉLd×âª, Àâª{âÈÉLd×âª, ÀáÈÉLd×âªÈ¨ Àâpây¿xgd d,c,b,a Èy I×dQÌy. ¬¥¾ ÎryyÖâý Éd|dpâÇ pâÃé~kª

abcd = (a × 1000) + (b × 100) + (c × 10) + (d × 1).

abcd gâyÇȱMd¾Q gd ¿xªfX×ây gd pd¿öK ´ÎrÃéÀâyÎâyª Iªvâ{ây.

Ådpâ°â I~kfªvâªÈ¨ Ådp⻥Îây g⧰⠵dç¿xKª 1200 ZÖ¡.~kò ×âyªÚ 18Àâ µâ°d±Mª nÀâî Àâpâæ aÖâ ÀrÈygây Àr¶Ðª¬ °âpd]°â A|ây¾Öâ Îâyyg⪠Z¹dpâªÅâÀryôª¬. Ådp⻥Îây g⧰⠵dç¿xKmCÈrô×â ApâX±ê, Z±ÝkéWgây~kK, Åd¿kýpâ II (400 AD ×âyªÚ 1200 AD) Àâpâæ ÀâyyfXÀryô×â Öd×âyÖâȪ¬ªßdpây. Z~k¿kKy°âª ÀdvâyÖâȨ×ây×âQ {âµdªµâ ¿xªfdX ~k{âM» ÀâyîÎâyy ¬]¿xªfdXÀâÃé×â ~k{âM» Àryy{âê Ådp⻥Îây g⧰⠵dç¿xKmCÈßá ×âÀrÃ骬ªßâ±vGdÌy. ¿xªfXgd '¿xy×âQ' ÅdÀâ×â×ây, ±yyÇ¿xªfXÈy, ́ ªÖâg⧰âª, ²©mg⧰⪠Àryy{âÈrô×âÆ Ådp⻥Îây Öd×âyÖâÈá ́ ª°á Ödæªvd Z»Ö¨ÇÆy»È¨ ¿õô×Ò (sine), Ö³¿õô×Ò (cosine) ¾pâ]ßâ×dÈy Ådpâ°â {áµâªÈ¨×á ´«À⽬M ßáÎây±vGdÌy. o g⧰â ÅdÀâ×âÈy °âpd]°â Àây{âXZ¹dßâXª, ßrô×d, ÎâyÃépâÁÏÈæ ÀdXĪn ´Öâývâ Àâyâgd ´«À⽬M ßrª¬ ÆÆ|â g⧰⠵dfȨ[ ~kó×d{âyÈy OpâRpâyßâyæ×dQÌy.

´¾Q g⧰â ÖdpdXÈy ¿xyÀâÃépây ZÖ¡ ~kò 500 Àâpâæ ÀâyñØÖâªgd °âpd]°â pd°â Z~k°âyÈ {d]pd ÀdXÕK ßrª{dÌy. Ådpâ°â I~kfªvâªÈ¨ ́ » Z¹dn¥×â g⧰â {âÉKdÀámäÈy (documents) Z~k¿kKy°âª ¹dÑÉLd×Ò È¨¾ ~õ¤dÀâpÒ {âgâ$pá ÅâÖídù ZgdÀâyªÈ¨ ZÖ¡. µâ. 1881Ȩ È«ªßdÌy.

A|dp⪠10gd ¿xªfXÈ×ây °r¶Îây máÎâyyê ÀâÃéZ°âÀáy ´×âyæéÈ ~k{âM». ÆÆ|â A|dpdÈ×ây~kÎrÃéЪn ¿xªfXÈ×ây Z~k»¾ºªßâÀâßây+. I{dÝképâÇæ gâÇÖâ ÎâyªZ°âªÈ¨ A|dp⪠2 (¬]¿xªfX ÀâÃé×â ~k{âM») ÀâyîÎâyy A|dp⪠16È×ây Z~k»¾ºÉKdpây. Ådp⻥ÎâyyÈy ´ª¬ªn×â {âµdªµâ ~k{âM» ¾mÊËÆ°âªÈ¨ Uª°¨ ´×âyæéÈÀryô×â¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

4

´ÅdX¿xª1.1.21. Ѫ¬ ¿xªfXÈ×ây Æ¿kKîªn×â (ÉdÀâÃé×âX) pâÃé~kªÈ¨ pdÎâyªÚ, 39, 52, 106,

359, 628, 3458, 9502, 7000.2. Ѫ¬ Àds¾ Éd|dpâÇ pâÃé~kªÈ¨ pdÎâyªÚ. i) (5 × 10) + (6 × 1); ii) (7 × 100) + (5 × 10) + (8 × 1);

iii) (6 × 1000) + (5 × 10) + (8 × 1);

iv) (7 × 1000) + (6 × 1); v) (1 × 1000) + (1 × 10).

3. Æ¥y ~kòpâ] mCé×d×âyQ~kÎrÃéЪn 555×ây A|dp⪠5gd ¿xÃénªßâªÚ.4. 1024×ây A|dp⪠2gd ¿xÃénªßâªÚ.

1.1.3. ´ªÖrÈ°¨ Ö³¾Q AêÈy, ~kÊÈÒb

Æ¥ypây Ö³¾Q AêÈ×ây ¿x½¸¦ªn Æ¥y ¿öQþé°âyÈ×ây Aµâ+pâX ~kpâßâvd¾Ñ EÖâývâ ¿xªfXÈ Ö³¾Q |âpdWÈy ÆÀâîªßâ ±vGdÌy.

Aê1.

Æ¥ypây Æ¥y ¿öQþé°âyÈ Àâ{âM Ѫ¬ ÎâyyÑK ¾ Z~k{âîWªßâÀâßây+×ây. o {âµâÈ×ây ´×ây¿xîßâªÚ.Àryê¦y 1: Æ¥y ¿öQþé°ây¾Q aÖâ prªvâªÖrÈ ¿xªfX×ây Àây×â¿xyȨ ´×âyÖ¨Àây×âªÚ. 2: A ¿xªfXȨ¾ ´ªÖrÈ×ây °dpâyÀâÃépây ßáû Ö³°âK¿xªfX×ây U×âyQÖ¨Àây×âªÚ 3: prªvây ¿xªfXÈ×ây æéÚ Àryy°Kd¾Q 11 ßá ÅdЪßâÀây×âªÚ. 4: µáÍkª '0' ´¾ ßrÄR Æ¥y¿öQþé°ây¾Q Aµâ+pâX ~kpâßâªÚ.O {âµâȨ æévd ´°âvây/AÀry Æ¥yæ ¿xªfX×ây Öd¾ {d¾ °dpâyÀâÃépây ¿xªfX×ây Öd¾,

Àryy°Kd¾Q Öd¾ ßr~kRÈá{ây ´Ìy×d æévd Æ¥ypây Àryy°Kd¾Q 11 ßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª '0' ´×á ¾pMdpâÇæ Àâßd+pây. Æ¥yæ E¬ A¿xÑKgd Èá{d?

aÖ â À áÔ â p rªv âªÖ rÈ ¿ xªfX ab ´× â yÖ³× âªÚ ( ) ( )ab a b10 1# #= + ´¾ Æ¥yæ °rÈy¿xy. {d¾ °dpây ÀâÃépây ¿xªfX ( ) ( )ba b a10 1# #= + . ´~kóvây ¿xªfX ÀâyîÎâyy {d¾ °dpây ÀâÃépây ¿xªfX Àryy°âKª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

5

) ( ) (b ) ( )( b aab ba a 10 1 10 1# # ## + + ++ = Uª{ây ÀâÈ[ 11 ßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª '¿xy×âQ' ´Àâó°âyª{¨ ßâÃévâªÚ.

ÖdpdXßâpâǪ 1.1.A: Æ¥ypây É媰âªgd aÖâ Aê×ây ¿x½¸¦ªßâÀâßây+. prªvâªÖrÈ ¿xªfX ÀâyîÎâyy {d¾ °dpây ÀâÃépây ¿xªfX »¥¿xyÖ¨Àâvd¾Ñ ±{âyÈygd Àds ÀâX°dXÉd¾Q »¥¿xyÖ¨ªÚ. ßdÈé I{dÝképâÇÈy 21, 34, 86, 79, 95, EÆ »¥¿xy æªêá Æ¥s ÀâX°dXÉdÈ 21-12, 43-34, 86-68, 97-79, 95-59 ÉdÀâÃé×âX ÅdmÖ⪠O¬? O Aê×ây Æ¥ypây °âÎâÃépây ßáÎâyÀâßây+?Aê 2.

o Édî Æ¥y ¿öQþé°ây¾Q 3 ´ªÖrÈ ¿xªfX×ây Àây×â¿xyȨ ´×âyÖ¨Àây×âªÚ. ´ªÖrÈ×ây »p¨gâÀây×⪠ßáû Àân+×â ¿xªfXæ Àryy{âÈy ́ ×âyÖ³×âQ ¿xªfXæ Àây|âX Åá{d¾Q Öâ×âyg³×âÀây×âªÚ. o Åá{d¾Q99ßá ÅdЪßâÀây×âªÚ. µáÍkª ¿xy×âQ ´¾ ßrÄR ´°â¾Q Aµâ+pâX~kpâßâªÚ. (Æ¥yæ OÆy °r¶Îây×â~kRsÖ¡) I{dÝképâÇæ Æ¥y ¿öQþé°âyvây U×âyQÖ³×âQ ¿xªfX 891, {d¾ »p¨gâÀây×â ZÖâÀây¿xªfX 198, Àds Àây|âX Åá{⪠891-198=693=99 × 7 ´ª{âyÀâÈ[ Åá{d¾Q 99°¨ ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª ¿xy×âQ E¬ Éd|dpâǪgd Uê[y ~k¾ ßá¿kKyª¬? U×âyQÖ³×âQ ¿xªfX abc ´Ìy°á {d¾ »p¨gdÆy ZÖâÀây¿xªfX cba ´ª{âyÀâÈ[

[( 100) ( 10) ( 1)] [( 100) ( ) ( )]abc cbc a b c c b a10 1# # # # # #- = + + - - -

= (99 × a) – (99 × c) = 99 (a-c)

´ª{âyÀâÈ[ Åá{⪠UÈ[~kRvây 99ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª¬.Aê 3 : Æ¥ypây E~kóvây aÖâ ÀâyÃévâªÖrÈ ¿xªfX 132°¨ Z¹dp⪫ªßâªÚ. Æ¥yæ 132°¨

ßâZÖ¡Îây Z~kÉKdp⪠{d]pd Àâyî prªvây ¿xªfXÈy 213, 321 È«ÉKdÌy. Æ¥s¾ æéÚ°á

132 + 213 + 321 = 666 = 18 × 37 Àâßây+×ây.

196, 225, 308, 446, 589, 678, 846 ¿xªfXÈ°¨ ~kó×âpdÀ⽰⪠ßáÎâyªÚ? Z~k» Édî Ák¶°âª 37 ßá ÅdЪ~k ±vâyê×ây gâÀây¾ªn»pd? o |âpdW×âyQ~kÎrÃéЪn aÖâ Aê×ây °âÎâÃépâyßáÎâygâÈpd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

6

¾pâ]ßâ×⪠1: En+×â 3 ´ªÖrÈ ¿xªfXæ abc prªvây ßâZÖ¡Îây Z~kkÉKdpdÈy ,ca cabb È×ây »¥¿xyæªêá Àds Àryy°âKª bc bca caba + + , 37 ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª¬.

¬¥¾ Éd|â×â OÆy Öâï×⪠Öd{ây. 132æ E¬ OÆ|âªgd ~k¾ ßá¿kKyª{¨ ßâÃé{Mdª132 = (1 × 100) + (3 × 10) + (2 × 1)

213 = (2 × 100) + (1 × 10) + (3 × 1)

321 = (3 × 1 00) + (2 × 10) + (1 × 1)

132 + 213 +321 = 1 × (100+10+1)+3 × (10+1+100)+2 × (1+100+10)

= (1+3+2) × 111

= 6 × 3 × 37

abc = (a × 100) + (b x 10) + (c × 1)

bca = (b × 100) + (c x 10) + (a × 1)

cab = (c × 100) + (a x 10) + (b × 1) ´¾ Àâßây+×ây ´ª{âyÈ[abc bca cab+ + = (a × 100) + (b × 10) + (c ×1) + (b × 100) + (c × 10) +

(a × 1) + (c × 100) + (a × 10) + (b ×1)

= 111 (a+b+c)

Öd¾¥ 111=37×3 ́ ª{âyÀâÈ[ æÚÀrô~kó ¿xªfX abc bca cab+ + 37ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ´×á ¾pLdpâÇæ Æ¥ypây pdÀâßây+×ây.AÈéS¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy ~kÊÈÒb :

Æ¥ypây ~kÊÈÒb ÀâyîÎâyy ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy ́ ÖâípdÈ×ây~kÎrÃéЪn ~kÊÈÒb×ây ÀáÎâyÀâßây+×ây. Ѫ¬ I{dÝképâÇÈ×ây gâÀây¾ªßâªÚ

I{dÝképâÇ 1: Ѫ¬ ¿xªÖâÈ×âªÈ¨ p ×ây ¿xÃénªßá ´ªÖr×ây Öâ×âyg³×âªÚ. 4 1 P+Q 1 5________ 5 2 6 ________

P ´×á ´ªÖr 9 Öâªêá n×âQ¬ ´¾ ßâÃéû×dpây 5 æ 1¾ æéÚ×â~kóvây ÀâÃéZ°âÀáy 6 Àâßây+×ây ´ª{âyÀâÈ[ P=1. ´{á Æ|âªgd Q=1, 411 + 115 = 526 ´¾ Æ¥ypây ¿xîßâÃévâÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

7

I{dÝképâÇ 2 : Ѫ¬ gâyÇÖdpâªÈ¨ A ÀâyîÎâyy C ´ªÖrÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ 3 A× 1 2C 8 4

EÖâývâ nÀâî ´ªÖr 2 × A = 4. ´ª{âyÀâÈ[ A = 2 Èá{d A = 7 ´×ᬠU×âyQÖ¨Àd¶? aÖâ ÀáÔâ A=2 ´~kóvây gâyÇȱMª 32 × 12 = 384 E¬ C=3 ´¾ ¿xÃén¿kKyª¬. A =7 ́ Ìy°á gâyÇȱMª 37 × 12 = 544 Öd¾¥ ~k{âyÈÉLd×âªÈ¨ ´ªÖr 8 Iªvd¶ Öd¾¥ 4 Öd{ây. ́ ª{âyÀâÈ[ A=7 Öd{ây A=2 A=3 ́ ¾ ¾pLdÇæ pdÀâßây+.

I{dÝképâÇ 3 : Ѫ¬ ¿xªÖâÈ×âªÈ¨ A, B Èy C Æ«×âQ ´ªÖrÈ×ây ¿xÃénÉKdÌy Àds¾ Öâ×âyg³¾ æévâªÚ.

A A+ B B+ C C B A C

EÖâývâ A + B + C = C ´¾ Æ¥ypây gâÀây¾ªßâÀâßây+ ´ª{âyÀâÈ[ A + B=0 Éd|âXªÖd{ây Uª{âyæ? ́ ª{âyÀâÈ[ 9 ́ Ìy°á aÖâê[ ÉLd×⪠×âyªÚ ~k{âyÈ ÉLd×d¾Ñ 1¾ ßápd+¶ (carry) B=1 Èá{d 2 ´¾ æévd Æ¥ypây gâÀây¾ªßâÀâßây+. E¬ 2 Öâªêá UæýÀâ Ödæévâ{ây. ~k{âyÈ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈ×ây æéÚ°á (carry ßáû×â 1¾ æévd Öâ¶Ä) A + B + C = 10 + C +1 ¬¥¾¾ 10ßá ÅdпöK A µáÍkª

ÖdÀd¶. B=1 ´Ìy°á A=9 ´~kóvây C+1=9, C=8 ´¾ Àâßây+×ây. 99+11+88=198 E¬ ¿xî ¹èÀâó×ây B=2 . ´Ìy°á A =8 C+1=8 C=7 ´~kóvây 88+22+77=187 E¬ Àâª{âÈ ÉLd×âªÈ¨ ¿xî¹è{ây Àryy°âKªÈ¨ Àâª{âÈÉLd×âªÈ¨ 1 Iªvd¶ Öd¾¥ 2 Öd{ây.

´ÅdX¿xª 1.1.31. Ѫ¬ ÀdsȨ ´ÖâípdÈy ¿xÃénªßá ´ªÖrÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. i) 3+ B 7

ii) 1 6+ 2 A B 1

v) 1 A× 1 A 1 B A

iii) 2 A × A 12 A

vi) 3 A × A 2B A

iv) 1 A A + 1 A A 2 A A

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

8

2. Z~kÖâý Àryy°âKªÈ¨ A , B, C Àâpây¿x (ZÖâÀây) ´ªÖrÈy. A B C+ C B A+ - - - 1 2 4 2

ÀâyÃévâÀâ Àâpây¿xȨ A , B, C Èy aÖâ ZÖâÀâyªÈ¨ Öâ¾Äªßây×ây A , B, C È×ây Öâ×âyg³×âªÚ

3. Z~kÖâý gâyÇÖdpâªÈ¨ A, B, C È×ây Öâ×âyg³×âªÚ A B C × A A A C 6 C

4. o gâyÇÖdp⪠Éd|âXÀâÃé? ÖdpâÇÆyÀâ]ªÚ A A× B BC C C1.1.4 Ådm¾¥Îây°â ÀâyîÎâyy µá¤dÈy.

~kòpâJ¿xªfX aÖâ ÀâyyfXÀryô×â |âpâWª Ådm¾¥Îây°â gâÀây¾ªn»pd? o |âpdW×âyQ~kÎrÃéЪn Æ¥ypây aÖâ Aê×ây Z¹dp⪫ªßâgâÈpd?

aÖâ ¿xÝkém ¿xªfX×ây Àâyp³Öâ ¿xÝkém ¿xªfX°¨ ÅdЪn×â~kóvây ÅdgâÁkȪ, µáÍkª×ây ¹åª{âyê×ây Ѫ¬ °âpâgâ°âyÈ [̈ ×ápây+æ×dQpây 91¾ 13ßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª ÆygâÈ{ây. 85×ây 15ßá 15x5=75, 15x6=90 ´ª{âyÀâÈ[ ÅdЪßâÈ᪠85= 75+10=(15x5)+10 ÅdgâÁkȪ 5 µáÍkª10 Àâßây+×ây 10<15.

13) 91(7 91 00

15) 85(5 75 10

aÖâ ÀáÔâ 304×ây 12 ßá ÅdпöK. ÅdgâÁkȪ 25ÀâyîÎâyy µáÍkª 4. 887×ây 17ßá ÅdпöK ÅdgâÁkȪ 52, µáÍkª 3 Àâßây+×ây.

12 ) 304 ( 25 24 64 60 4

17 ) 887 ( 52 85 37 34 3

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

9

ÅdgâÝképdÈ×ây Ѫ¬ Æ|âªgd pdÎâyÀâßây+×ây.91 = (13 × 7) + 0,85 = (15 × 5) + 10,304 = (12 × 25) + 4,887 = (17 × 52) + 3.

0 < 13, 10 < 15, 4 < 12, 3 < 17? ´×ᬠgâÀây¾ªn»pd? µáÍkª U~kóRvâÃé ÅdЪßáá ¿xªfX×ây Æyªßâ{ây ´×á »¥pdW×d¾Ñ pdÀâßây+.ÖdpdXßâpâǪ 1.1. o: ÅdgâÁkȪ, µáÍkªÈ×ây Öâ¾~õꦪÚ.

i) 100×ây 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29 ÀâyîÎâyy 31. È ßá ÅdЪn×â~kóvâyii) 300×ây 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67. È ßá ÅdЪn×â~kóvây.

EÀâ]±Ú×â ~kòpJdªÖdÈy a, ÀâyîÎâyy b > 0 Èæ OÖrôÖâ ~kòpJdªÖdÈy q ,r ́ Ìy×â~kóvây a = bq + r, 0 ≤ r < b. µáÍkª 0 ´Ìy°á b, a ×ây ÅdпkKyª¬. ´~kóvây r=0

aÖâ ÀáÔâ Æ¥ypây 96×ây -10ßá ÅdпöK ÅdgâÁkȪ, µáÍkª Uª°â?EÀâ]±Ú×â aÖâ ~kòpJdÖ⪠a, Àâyp³Öâ ~kòpJdªÖ⪠b ≠ o, a=bq+r ´ÎáyXêê[y OÖrôÖâ

~kòpJdªÖdÈy q,r Èy o ≤ r< b IªêéÌy, r=o ´Ìy×â~kóvây b, 'a' ×ây ÅdЪßây×ây

Æ¥ypây ¬¥¾ gâyîªn ´ºÖâªgd Àâyyª{ây °âpâgâ°âyȨ[ ×ápây+æªêépây. E¬ Æ¥ypây Æ¥y ¿öQþé°âyÈȨ aÖâ Aê×ây Avâvd¾Ñ ~kó×d¬gd I~kÎrÃégâ~kvây°âyª¬.Aê 4.

1. 1000Ȩ~kÈ aÖâ ¿xªfX×ây Àây×â¿xyȨ ´×âyÖ³×âÀây¾ Æ¥y ¿öQþé°ây¾Ñ ßr~kRªÚ.2. A ¿xªfX×ây 7, 11, 13 ÈȨ ÅdЪn×â~kóvây Àâßá+ µáÍkª×ây ßr~kRÀây×âªÚ.3. A µáÍkªÈ×ây I~kÎrÃéЪn Æ¥ypây A ¿xªfX×ây ¾îWªßâÀâßây+. (7ßá ÅdЪn×â~kóvây Àân+×â

µáÍkª) r1 ×ây 715, r2 ×ây 364, r3 ¾ 924ßá gây§ªßâÀây×âªÚ. A ~ks¦Öâ ¿xªfXÈy ÀâyÃéÚªs¾ æéÚ {d¾¾ 1001ßá ÅdЪßâÀây×âªÚ. A Àân+×â µáÍkÀáy Æ¥y ¿öQþé°âyvây ´×ây Ö³×âQ ¿xªfX Æ¥yæ E¬ A¿xÑKgd Èá{d?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

10

aÖâ ÀáÔâ Æ¥y ¿öQþé°âyvây U×âyQÖ³×âQ ¿xªfX 128 ́ ×âyÖ¨ªÚ ́ ~kóvây 7ßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª 2, ´ª{âyÀâÈ[ r1 = 2. ´{á Æ|âªgd r2 = 2 r3 = 11. EÆ Æ¥y ¿öQþé°âyvây Æ¥yæ ßrÄR×â ¿xªfXÈy, Æ¥ypây Öâ×âyg³×âQ Àryy°âKª (2 × 715) + (7 × 364) + (11 × 924) =14142 ¬¥¾¾ 1001ßá ÅdпöK, 14142 = (1001 × 14) + 128 ´ª{âyÀâÈ[ µáÍkª 128 E{á Æ¥y ¿öQþé°âyvây ´×âyÖ³×âQ ¿xªfX.

Àâyp³Öâ ¿xªfX×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. I{dÝképâÇæ 212212=(7×30)+2;212 = (11×19) +3; 212 = (13×16)+ 4. r1 = 2, r2 = 3 r3 = 4. (r1 × 715) + (r2 ×364) + (r3× 924)

=(2 ×715) + (3× 364) + (4 × 924) = 6218.

6218 = (1001 × 6) + 212 µáÍkª 212 E¬ ´×âyÖ³×âQ ¿xªfX E¬ O Æ|âªgd Àâ¿kKyª¬ ´¾ Æ¥yæ Aµâ+pâXª ÖâÈygây°âyª¬. I{dÝképâÇæ Æ¥ypây aÖâ ¿xªfX a < 1000 »¥¿xyæ×dQpây ´×âyÖ¨ªÚ r1, r2, r3 Èy ÀâyÃévây µá¤dÈy a ×ây 7, 11, 13 ßá ÅdЪn×â~kóvây Àân+×âÆ.

a = 7 q1 + r1, a = 11 q2 + r2, a = 13 q3 + r3 Èy ÀâyÃévây ~kòpJdªÖdÈy.r1 = a –7 q1, r2 = a –11 q2, r3 = a –13 q3

715 r1 + 364 r2 + 924 r3

= 715(a –7q1) + 364(a –11q2) + 924(a –13q3)

= a(715 + 364 + 924) – (7 × 715) q1 – (11×364) q2 - (13 × 924) q3.

7 × 715 = 7 × 11 × 13 × 5

11 × 364 = 11 × 7 × 13 × 4

13 × 924 = 13 × 7 × 11 × 12 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.1001 = 7 × 11 × 13 ´ª{âyÀâÈ[ 715 r1 + 364 r2 + 924 r3 = a × 2003 – 1001(5 q1+4 q2+12 q3)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

11

a×2003 = (a × 1001×2)+a ́ ¾ gâÀây¾ªßâªÚ. 715 r1 + 364 r2 + 924 r3 ×ây 1001ßá ÅdЪn×â~kóvây a<1001 ÖdÀâó×â a Æyж ¹è°âyª¬ ´{á Æ¥ypây Àryy{âÈy U×âyQÖ³×âQ ¿xªfX ÖdpdXßâpâǪ 1.1. I: 804, 515, 676, 938, 97, 181 ¿xªfXÈæ Aê 4×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ.

´ÅdX¿xª1.1.41. Ѫ¬ ¿xªfXÈ×ây 13ßá ÅdЪn×â~kóvây Àân+×â ÅdgâÁkȪ µáÍkªÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ

8, 31, 44, 85, 1220, 2011,2. Ѫ¬ ¿xªfXÈ×ây 304ßá ÅdЪn×â~kóvây Àâßá+ ÅdgâÁkȪ µáÍkªÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. 128,636,785,1038,2236,8858,13765,58876,123456,76542313. 19ßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª 12 Àâßá+ 100 Öâªêá ~õ{âM{rô×â Öâ¾ÍkF ¿xÝkém ¿xªfX×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.4. 181 gây§mé¾Q ¹åª{âvd¾Ñ 1024æ ÖâÈ~kÀâÈû×â ´» n×âQ ¿xªfX O¬?5. 1234 gây§mé¾Q ¹åª{âvd¾Ñ 100000æ ÖâÈ~kÀâÈû×â ́ » n×âQ ¿xªfX O¬?

1.1.5 ÀâÃéÎâÃé ßâ{âpdÈy

1. ×âyªÚ 9 Àâpâæ gâÈ ´ªÖrÈ×ây 3 ´vâGy Àâpây¿xÈy 3 ¾ÈyÀâó Àâpâ¿xȨ[ ´vâGªgd, ¾ÈyÀâógd O Æ|âªgd æéÚ×â Àryy°âKª aÖâêá Iªváêê[y ´Àâypâ+gâÈpd? Ѫ¬ ´ÀâyîÖâ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.

(~kêª 1) (~kêª 2)8 1 63 5 74 9 2

6 1 87 5 32 9 4

´vâGªgd, ¾ÈyÀâógd, ÀâyÃéÈgd O Æ|âªgd æéÚ×â~kRsÑ Àryy°âKª 15gd Iªvâyê×ây gâÀây¾ªßâªÚ. Æ¥ypây ~kêª 2Ȩ ßâÃéÄ×âê[y æévd ́ ªÖrÈy ́ Àâypâ+Àâßây+. o prªvây ßâ{âpdÈæ ¹è¶Öâ Iª¬ ßâÃéû×dpd? prªÚªsȨ×ây prªvâÀâ ¾ÈyÀâó Àâpây¿x (1, 5, 9) aÖâêá Àryy{âs

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

12

{d¾È¨¾ Àryy{âs ¾ÈyÀâó Àâpây¿x (8, 3, 4) prªvâÀâ {d¾È¨¾ nÀâî ¾ÈyÀâó Àâpây¿x aÖâêá ́ {á Æ|âªgd Àryy{âs ßâ{âpâªÈ¨¾ nÀâî ¾ÈyÀâó Àâpây¿x (6, 7, 2) prªvâÀâ ßâ{âpâªÈ¨¾ Àryy{âs ¾ÈyÀâó Àâpây¿x aÖâêá Àryy{âê ßâ{âpâªÈ¨ Àryy{âs nÀâî ¾ÈyÀâó Àâpây¿xÈ ÉLd×⪠ÀâÃépâ+v⪠ÀâÈ[ prªvâÀâ ßâ{âp⪠Àâßây+×ây Àryy°âKª 15×ây ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°âKª ´ªêépây.

EÈdªs ÀâÃéÎâÃé ßâ{âpdÈ×ây ¾îWªßâvd¾Ñ O{rô×d ÀâÃépâ$ª I×âQ{d? Àryy{âs Àâpây¿xȨ¾ Àây|âXgâ¬È¨ 1¾ IªßâªÚ °âpd]°â Ѫ¬ ¾ÎâyÀâÃéÈ×ây ¹dsªßâªÚ.

1

¾ÎâyÀâyª 1 : ÖâpâJªgd UvâÀây ×âyªÚ æÚÑ O{rô×d fdù¥g⬠Iªêá {d¾¾ °âpd]°â ¿xªfX°¨ ¾ª~kªÚ. 4

→ 54

¾ÎâyÀâyª 2 : ÖâpâJªgd O g⬠fdù¥ Èáæªêá °âpd]» ¾ÈyÀâó Àâpây¿xȨ nÀâî g⬾ °âpd]» ¿xªfX°¨ ¾ª~kªÚ.

1

→1

2

¾ÎâyÀâyª 3 : ÖâpâJªgd O g⬠ÀâyîÎâyy O ¾ÈyÀâó Àâpây¿x fdù¥ Èáæªêá ~õô ´vâGy Àâpây¿x UvâÀây Àrô~kónÀâî g⬾ °âpd]» ¿xªfX°¨ ¾ª¹d¶ ¾ÎâyÀâyª 1¾ ¹dsªßâªÚ.

1

2→

13

2

¾ÎâyÀâyª 4 : O {âµâȨ×rô×d aÖâ g⬠¾ª~k±Ú°á {d¾ °âpd]» gâ¬È¨ ¾ÎâyÀâyª 1 Z~kÖdp⪠¿xªfX×ây ¾ª¹d¶.

13 →

1 63 54

¾ÎâyÀâyª 5 : Æ¥ypây Àryy{âs ÖâpâJª nÀâpâȨ Iªêá Öâpâ Jª nÀâî g⬾ °âpd]» ¿xªfX°¨ ¾ª~kªÚ E{á Æ|âªgd Ö³×âÉdЪßâªÚ.

1 63 54

→1 6

3 5 74

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

13

E¬ 3 × 3 ÀâÃéXÊÖÒ ßâ{âpd¾Ñ O Æ|âªgd ~k¾ ßá¿kKyª{¨ ßâÃé{Mdª. Àây×⪠Àryy{âs ´vâGyÀâpây¿xȨ Àây|âXg⬠×âyªÚ Z¹dpâªÅâªn ´Öâývâ 1¾ Iªßây{dª. E~kóvây ¾ÎâyÀâyª 2×ây ´×â¿xî{Mdª Àây×⪠ÖâpâJªgd ¹èÀâv⪠Èá{ây Àây×⪠°âpd]» ¾ÈyÀâó Àâpây¿xȨ nÀâîg⬾ 2°¨ ¾ª~kó{dª »îÐÀây×⪠ÖâpâJªgd ÀrÔâ\vd¾Ñ °âpd]» ¾ÈyÀâó Àâpây¿x Èá{ây ¾ÎâyÀâyª 3 Z~kÖdp⪠°âpd]» ´vâGyÀâpây¿xȨ UvâÀây Àrô~kó nÀâî g⬾ 3Ȩ ¾ª~kó{dª ¾ÎâyÀâyª 4Z~kÖdp⪠Àây×⪠¿xªfX×ây ¾ªÄ×â °âpd]» ´vâGyÀâpây¿xȨ UvâÀây nÀâpâgâ¬È¨ 4×ây ¾ª~kvd¾Ñ ÖâpâJªgd 5 ÀâyîÎâyy 6È×ây ¾ª~kó{dª. E~kóvây Àây×⪠ÖâpâJª Àryy{âsȨ I×dQª Àâyyª{âyæ ÀrÔâ\È᪠¾ÎâyÀâyª 5 Z~kÖdp⪠ÖâpâJª °âpd]» nÀâîg⬾ 7 Ȩ ¾ª~kó°dª ¾ÎâyÀâyª 3 Z~kÖdp⪠UvâÀây Àrô~kó Àryy{âs ́ vâGyÀâpây¿xȨ nÀâî g⬾ 8Ȩ ¾ª~kó{dª. ¾ÎâyÀâyª 2 Z~kÖdp⪠°âpd]» ¾ÈyÀâó Àâpây¿xȨ nÀâî g⬾ 9Ȩ ¾ª~kó{dª. E~kóvây Æ¥yæ ÀâÃéÎâÃéßâ{âp⪠°âÎâÃépây ´Ìy×â¬. ÀâÃéÎâÃé ßâ{âpd¾Q °âÎâÃépâyßáû Æ¥y I¹d|dXÎâyyÈæ ßâÃé~kªÚ.ÖdpdXßâpâǪ 1.1.N : Àryy{âs ¾ÈyÀâó Àâpây¿xȨ Àây{âXg⬰¨ Z¹dp⪫ªn 3×3 ÀâÃéÎâÃéßâ{âpd¾Q 1×âyªÚ 9 ´ªÖrÈȨ ¾îWªßâªÚ. E¬ O Æ|âªgd ~kêª 1Ȩ ßâÃéÄ×â ÀâÃéÎâÃéßâ{âpd¾Ñ ¹è¶ Iª¬? ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°Kd¾Ñ ÀâÃéXÊÖÒ ßâ{ââp⪠Àây|âXgâ¬È¨ ¿xªfXæ O Æ|âÀryô×â ¿xª±ª|⪠Iª¬? ÀâÃéÎâÃé ßâ{âpd¾Q °âÎâÃépâyßáû Æ¥y I¹d|dXÎâyyÈæ ßâÃé~kªÚ.ÖdpdXßâpâǪ1.1. ±yy : 1 ×âyªÚ 25 Àâpâæ ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn~õô×â °r¶Ä×â ¾ÎâyÀâÃéÈ×â×ây¿xîªn 5×5ÀâÃéXÊÖÒ ßâ{âpd¾Q ¾îWªßâªÚ ÀâÃéÎâÃéßâ{âpâªÈ¨ ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°Kd¾Ñ Àây|âX gâ¬È¨¾ ¿xªfXægâÈ ¿xª±ª|âÀáyÆy?O ±áû ¿xÝkém ¿xªfX m>1 Örô×d 1 ×âyªÚ m2Àâpâæ ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn m×m ÀâÃéÎâÃéßâ{âpdÈ×ây Y{ây ¾ÎâyÀâÃéÈ×ây~kÎrÃéЪn ¾îWªßâÀâßây+×ây.

´ÅdX¿xª 1.1.51. 5 ×âyªÚ 13 ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn 3 × 3 ÀâÃéÎâÃéßâ{âpd¾Q ¾îWªßâªÚ

¬¥¾È¨ ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°âKª Uª°â? Àây{âXgâ¬È¨¾ ¿xªfXæ ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°Kd¾Ñ gâÈ ¿xª±ª|âÀáyÆy?

2. 9 ×âyªÚ 17 ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn 3 ÀâÃéXÊÖÒ ßâ{âpd¾Q ¾îWªßâªÚ. ¬¥¾È¨ ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°âKª Uª°â? Àây{âXgâ¬È¨¾ ¿xªfXæ ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°Kd¾Ñ gâÈ ¿xª±ª|âÀáyÆy?

3. 1 ×âyªÚ 9 ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn nÀâî ´vâGyÀâpây¿xȨ Àây|âX g⬰¨ Z¹dp⪫ªn 3 × 3 ÀâÃéXÊÖÒßâ{âpd¾Q ¾îWªßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

14

4. 1 ×âyªÚ 17 Àâpâæ gâÈ ±áû ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn 3 × 3 ÀâÃéXÊÖÒßâ{âpd¾Q ¾îWªßâªÚ.

5. 1 ×âyªÚ 50 Àâpâæ gâÈ ́ ¾Q ¿xî ¿xªfXÈ×ây~kÎrÃéЪn 5 × 5 ÀâÃéXÊÖÒßâ{âpd¾Q ¾îWªßâªÚ.

1.1.6 Ådm¾¥Îây°â ~kî¥ÖâíÈy

O{rô×d ¿xªfX 0, 2, 4, 6 Èá{d 8Ȩ ́ ª°âÀâyÌy°á ́ ¬ 2ßá ÅdЪ~k±vây×ây ́ ¾ Æ¥ypây Àrªê×á ßr~kRgâÈpây. Æ¥y ÖdpâǪOÆy? a = 10 k + r ́ ÎáyXêê[y O{rô×d ¿xªfX×ây pdÎâyªÚ. {d¾¾ 10ßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª r Àâßây+×ây r 0, 2, 4, 6, 8ÈȨ O{rô×d aÖâs 10 '2' ßá ÅdЪßâ±vây×ây ´ª{âyÀâÈ[ r æévd 2 ßá ÅdЪßâ±vây×ây. 'a' 2ßá ÅdЪ~k±vây×ây ´×á ¾pLdpâÇæ Æ¥ypây pdÀâßây+×ây.

EÈéªs Ådm¾¥Îây°â ~kî¥ÖâíÈy E°âpâ ¿xªfXÈæ æévd I×dQÎâÃé ́ ¾ Æ¥ypây AȨnªßâv⪠¿xÝkémª, ´ÈéªsÆ Ö³¾Q EÖâývâ ßâÃé{Mdª.1. 4 ßá Ådm¾¥Îây°â

aÖâ ¿xªfX 4ßá ÅdЪßâ±Ú°á ́ ¬ 2ßá ÅdЪßâ ±vây×ây. (Uª{âyæ)? aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ ´ªÖr 0, 2, 4, 6, 8 ÈȨ °â~kRæªvd aÖâs ÖdÀd¶ Öd¾¥ 10, 22, 34, 46, 58 È×ây ßâÃévâªÚ Öd¾¥ Æ¥sȨ O aÖâýê¡ 4ßá ÅdЪßâ±vâ{ây ´ª{âyÀâÈ[ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ ´ªÖr×ây ±s¦ ´¬ 4ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª{d Èá{d ´×á ¾pLdpâÇæ pdÈáª. nÀâî prªvây ´ªÖrÈ×ây ~kîú¥¶ªßd¶.

aÖâ ¿xªfX prªvây ´ªÖrÈ×ây Öâ¶Ð Iªêá {d¾¾ ¾mªgd 4ßá ÅdЪn Ådm¾¥Îây°â×ây ¾pLdpâÇ ßáÎâÃé¶. ¬¥×⪰âsÖ¡ Æ¥yæ 4Àâ UÖâýª mCé~kÖ⪠Iªvd¶ aÖâÀáÔâ En+×â ¿xªfX ~õ{âM¬ ´Ìy°á ´×âgd prªvâªÖrÈ Öâªêá UæýÀâgd Iªêá. I{dÝképâÇæ 112 ÀâyîÎâyy 122 ×ây »¥¿xyæªêá 112=100+12, 100, 12 prªvâÃé æévd 4ßá ÅdЪ~k ±vây°dÌy ÖdÀâó×â 112 æévd 4ßá ÅdЪ~k±vây×ây ´×á ¾pLdpâÇæ Æ¥ypây pdÀâßây+×ây. Öd¾¥ 122=100+22 EÖâývâ 100 '4'ßá ÅdЪßâ±vây×ây. Öd¾¥ 22 Öd{ây ÖdÀâó×â 122 '4'ßá ÅdЪßâ±vây×ây Àây×⪠Ѫ¬ Z¹dzâÆyÖâ ¾ÎâyÀâÃé¾Ñ pdÀâßây+×ây.a, b Èy m ≠ 0 ßá ÅdЪ~k ±vá prªvây ~kòpJdªÖdÈy ´Ìy°á a+b, a-b, ab È×ây m ÅdЪßây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

15

~õ{âM¿xªfXæ 4ßá Ådm¾¥Îây°âæ E¬ OÆ|âªgd ¿xÝkëÎây~kvây×ây? a ´×ᬠ2 ´ªÖrÈ Öâªêá UæýÀâ gâÈ ¿xªfX ´×âyæªêá {d¾¾ 100 ÅdЪn×â~kóvây ÅdgâÁkȪ q µáÍkª Àâßây+×ây a = 100 q + r, 0 ≤ r < 100. 4, 100 ßá ÅdЪ~k±vây×ây. Öd¾¥ r, a Ȩ¾ nÀâî prªvâªÖrÈȨ OpâRÚ×â¬. ´ª{âyÀâÈ[ Æ¥ypây o Ѫ¬ ~kî¥Öâíæ pdÀâßây+×ây. ÆÀâpâÇ 2 : O{rô×â ¿xªfX a (prªvây Öâªêá UæýÀâ ´ªÖrÈy Öâ¶Ð×â) 4ßá ÅdЪ~k±Ú°á a ¿xªfXȨ¾ nÀâî prªvâªÖrÈy 4ßá ÅdЪ~k±vây×ây.

I{dÝképâÇ 4 : 12456, 4ßá ÅdЪ~k±vây×d? ~kîú¥¶ªßâªÚ.Éd|â×â : EÖâývâ nÀâî prªvâªÖrÈȨ OpâRÚ×â ¿xªfX 56 E¬ 4ßá ÅdЪ~k±vây×ây

ÖdÀâó×â 12456, 4ßá ÅdЪ~k±vây×âyI{dÝképâÇ 5 : 12345678, 4ßá ÅdЪ~k±vây×d?Éd|â×â : nÀâî prªvâªÖrÈȨ OpâRÚ×â ¿xªfX 78 E¬ 4ßá ÅdЪ~k±vây{ây ÖdÀâó×â

En+×â ¿xªfX 4ßá ÅdЪ~k±vâ{ây.ÖdpdXßâpâǪ :1.1. U Æ¥y ¿öQþé°ây¾Q (¿öQþé°âypdÈy) 4, 5, 6 ´ªÖrÈȨ ¿xªfXÈ×ây ßr~kRÀây×âªÚ ´Æ 4ßá ÅdЪ~k±vây×d Èá{d ~kî¥ÖâíªßâªÚ.ÖdpdXßâpâǪ :1.1. O4 ÀâyîÎâyy 5 ´ªÖrÈ ´×áÖâ ¿xªfXÈ×ây 8°á ÅdЪn ßâÃén Ådm¾¥Îây°â 8Ñ ¾ÎâyÀâÃé¾Q °âÎâÃépây ßáÎâyªÚ.

2. 3 ÀâyîÎâyy 9 Èßá Ådm¾¥Îây°â

2, 23, 234, 2345, 23456, 234567 ¿xªfXÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ o 6 ¿xªfXȨ[ 234, 234567 ́ ×á ¿xªfXÈy ÀâÃéZ°âÀáy 3ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy. EÖâývâ o ¿xªfXÈ nÀâî prªvâªÖrÈy Öd¾¥ Èá{d ÀâyÃévâªÖrÈ gâyîªn Öd¾¥ Àây×⪠AȨnªßâ°dª. 234×ây 3 ÅdпkKyª¬ Öd¾¥ 34 Öd{ây gâyîKªßâªÚ. ´{á Æ|âªgd 456×ây 3 ÅdЪ¿kKyª¬ Öd¾¥ 23456×ây Öd{ây.ÖdpdXßâpâǪ : 1.1.Y 1, 11, 21, 31, 41, . . . . . 141, 151 ¿xªfXÈ×ây pdÎâyªÚ (´¾Q ¿xªfXȨ[ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ 1 Iª¬) Z~k» ¿xªfXȨ¾ ´ªÖrÈ Àryy°Kd¾Q Öâ×âyg³¾ ~ks¦ ßáÎâyªÚ. ÀdsȨ O ´ªÖrÈ Àryy°âKª 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ O ¿xªfX ÀâyÃévâyßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ~kîú¥¶ªßâªÚ. OÆy gâÀây¾ªßdpây?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

16

234, 234567 ¿xªfXÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. Àryy{âs ¿xªfXȨ ´ªÖrÈ Àryy°âKª 9 prªvâÀâ {d¾È¨ 27 o prªvâÃé æévd 3ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy (9ßá æévd) E~kóvây 2- ´ªÖrÈ 3-´ªÖrÈ, 4-´ªÖrÈ ¿xªfXÈæ Éd|dpâÇ pâÃé¹d¾Ñ Àâ{Mdª n ab= ´×ᬠ2-´ªÖrÈ ¿xªfX ´Ìy°á

n = ba = (10 × a) + b = 9a + (a + b).

E¬ n ´×ᬠ3 ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ÖdÀâó×â (a + b) æévd 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ´¾ ¿xÃénªßây×ây. E{á Æ|âªgd m = pqr , m = pqr = 100 p + 10q + r = (99p+9q) + (p + q + r),m 3 ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ÖdÀâó×â (p + q + r) æévd 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ´¾ Æ¥ypây gâÆy¾ÉKdpây ¬¥¾ ×âyªÚ 9æ æévd Ådm¾¥Îây°â ~kî¥ÖâíÈy Æ¥ypây pd±ê¦Àâßây+×ây. m×ây 9 ÅdпöK (p + q + r) ×ây æévd ÅdпkKyª{d? E~kóvây Æ¥yæ 4 Èá{d ´ª°âÖâªêá UæýÀâ ´ªÖrÈy gâÈ ¿xªfXæ æévd ¬¥¾¾ Æ¿kKîªßâv⪠¿xÀây¿kXÖd{ây.234567×ây 9 ÅdпkKyª¬ ´¾ ~kî¥ÑíªßâªÚ.ÆÀâpâÇ 3 : aÖâ ¿xªfX a Ȩ¾ ́ ªÖrÈ Àryy°âKª 3ßá ÅdЪßâ±Ú°á A ¿xªfX a, æévd 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ aÖâ ¿xªfX b Ȩ¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª 9ßá ÅdЪßâ±Ú°á A ¿xªfX b, æévd 9ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬.

I{dÝképâÇ 6 : 12345321 ´×á ¿xªfX 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª{d? E¬ 9ßá æévd ÅdЪßâ±vây°âyª{d?

Éd|â×â : ´ªÖrÈ Àryy°âKª 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 + 1 = 21. E¬ 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬. Öd¾¥ 9ßá ÅdЪßâ±vâ{ây. ¾mé¾Ñ 12345321 = (9×1371702) + 3.

I{dÝképâÇ 7 : 444445 ´×á ¿xªfX 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª{d?Éd|â×â : ´ªÖrÈ Àryy°âKª 25 E¬ 3ßá ÅdЪßâ±vây{ây ´ª{âyÀâÈ[ 444445 æévd 3ßá

ÅdЪßâ±vâ{ây EÖâývâ µáÍkª 13. 5 ÀâyîÎâyy 10Èßá Ådm¾¥Îây°âÖdpdXßâpâǪ : 1.1. Y 51 ×âyªÚ 100 Àâpâæ gâÈ 5 ÎryyÖâý gây§méÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ nÀâî 2-´ªÖrÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

17

aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ 0 Èá{d 5 Iªvâyê×ây Æ¥ypây ßâÃéû×dpd? o ~kîú¥È×â ×âyªÚ 5Èá{d 10 Èßá Ådm¾¥Îây°âæ ¿xÃéZ°âª ßr~kRÀâßây+×d? ÆÀâpâÇ 4 :

aÖâ ~kòpJdªÖ⪠a 5 ßá ÅdЪßâ±Ú°á {d¾ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ o Èá{d 5 Iªvây×ây. aÖâ ¿xªfX 10 ßá ÅdЪßâ ±vdȪêá {d¾ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ 'o' Iªvd¶.

I{dÝképâÇ 8 : 101 ×âyªÚ 200 Àâpâæ U¾Q ¿xªfXÈy 5ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy?

Éd|â×â : 0 Èá{d 5ßá ´ª°âÀâyÎáyX101 ×âyªÚ 200 Àâpâæ gâÈ ´¾Q ¿xªfXÈ×ây pdÎâyªÚ. 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200. EÆ 20 ÖâÈÀâó

I{dÝképâÇ 9 : 12345 ´×á ¿xªfX 15ßá ÅdЪßâ±vây°âyª{d?

Éd|â×â : 15 = 3 x 5 ÖdÀâó×â En+×â ¿xªfX 3 ÀâyîÎâyy 5 prªÚªs°á ÅdЪßâ±vd¶ (En+×â ¿xªfX 15ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª{d ́ ¾ ¾pâÃéĪßâvd¾Ñ E¬ßdÈy) Éd|dpâÇ ¾ÎâyÀâyª °â~kóR I{dÝképâÇæ 4, 12×ây ÅdЪßây×ây, 6, 12×ây ÅdЪßây×ây Öd¾¥ Æ¥s gâyÇȱMª 24, 12×ây ÅdЪßâ{ây. Æ¥ypây O{rô×d ¾ÎâyÀâÃé¾Q OpâRpâßâgâÈpd?) nÀâî ´ªÖr 5 Iªêá ´¬ °â~kRæªvd 5ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª¬. ´ªÖrÈ Àryy°âKª 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 E¬ 3ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬. ´ª{âyÀâÈ[ 12345 '3'ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬. 12345 15ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ´×á ¾pLdpâÇæ pdÀâßây+×ây.

I{dÝképâÇ 10 : 201 ×âyªÚ 250 Àâpâæ gâÈ ¿xªfXÈ [̈ U¾Q 5ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy? Öd¾¥ 3ßá ÅdЪßâ±vâÀâó?

Éd|â×â : 5ßá ÅdЪ~k±vá ¿xªfXÈy 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250. o ¿xªfXÈ ́ ªÖrÈ Àryy°âKª 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 6, 11, 7 ÀâypâÈé Æ¥sȨ 3, 6, 9. ÀâÃéZ°âª 3ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy Àryy°âKª 10 ¿xªfXÈy 5ßá ÅdЪßâ±Ú°á ÀdsȨ 3 ¿xªfXÈy 3ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy Æyж×â 7 ¿xªfXÈy 3ßá ÅdЪßâ±vâÀâó.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

18

3. 11 ßá Ådm¾¥Îây°â 4587×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. 11ßá Ådm¾¥Îây°â×ây Æ¥ypây ~kî¥ÑíªßâÀâßây+ (4587 = 11 × 417)4587 = (4 × 1000) + (5 × 100) + (8 × 10) + 7 = (4 × 1001) + (5 × 99) (8 × 11) + (- 4 +5 -8 +7)

= (11 × 91 × 4) + (11 × 9 × 5) + (11 × 8) – (4 -5 +8 -7).

Àryy{âs ÀâyÃévây æªvⶥÖâpâÇÀâyyÈȨ¾ (Z±dÖrê[y) ¿xªfXÈy 11ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy ´ª{âyÀâÈ[ 4587 Ådm¾¥Îây°â 11ßá (4 – 5 + 8 -7) æ ¿xª±ª|⪠Öâ¶Ð Iª¬ ́ ¬ En+×â ¿xªfXȨ¾ ´ªÖrÈȨ ÀâÃéZ°âÀáy ¬¥¾È¨ ÀâyyfXªgd gâyîKªßd¶bª¬ +, – gâypâKyÈ×ây. 4 – 5 + 8 -7 = 0, ´¾, E¬ 11ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª{â¾ Àây×⪠gâÀây¾ªßâÀâßây+.

ÀâyÃévâªÖrÈ ¿xªfX 429 »¥¿xyÖ¨ªÚ. E¬ 11ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª{d Èá{d ́ ×ᬠƥypây ¿xyÈÅâªgd ~kîú¥¶ªßâÀâßây+×ây.

429 = (4 ×100) + (2 ×10)+9429 = 11 × 39.429 = (4 × 99) + (2 × 11) + (4 – 2 + 9).4 – 2 + 9 = 11, 11 ́ ×ᬠ11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ 429 ́ ×ᬠ11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬

´×á ¾pLdpâÇæ Æ¥ypây pdÀâßây+×ây.ÉdÀâÃé×âXªgd 3, 4 _ ´ªÖrÈ ¿xªfXÈ×ây O Æ|âªgd ~kî¥ÑíªßâÀâßây+? n = abc 3- ´ªÖrÈ ¿xªfX ´Ìy°á n = 100 a + 10 b + c = 99 a + 11 b + (a _ b + c). (a _ b + c), ´×ᬠ11ßá ÅdЪßâ±Ú°á abc 11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬. 4 ´ªÖrÈ

¿xªfXæ.n = pqrs n = 1000 p + 100 q + 10 r + s = 1001 p + 99 q+ 11 r – (p – q + r - s) (p – q + r - s) ´×ᬠ11ßá ÅdЪßâ±Ú°á æévd 11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

19

ÆÀâpâÇ 5 : En+×â ¿xªfX n Ȩ¾ ́ ªÖrÈ Àây{âX aÖâ +, – {d¾¾ (attervatively)-,+ ÆÚn Àâyp³Öâ {d¾Ñ gâypâKyÈyªn Àryy°âKª ÈrÑýªßd¶. ´¬ 11ßá ÅdЪßâ±Ú°á A ¿xªfX æévd 11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ aÖâ ¿xªfX 11ßá ÅdЪßâ ±vdȪêá A ¿xªfXȨ¾ ¿xî ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª, ±áû ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈ Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×⪠ÖdÀd¶.

I{dÝképâÇ 11 : 23456 ´×á ¿xªfX 11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª{d?Éd|â×â : 2 – 3 + 4 – 5 + 6 = 4, E¬ 11ßá ÅdЪßâ±vâ{ ây 23456

´ × á ¬ æ é v d 1 1 ß á Å d Ð ª ß â ± v â { â y ´ × á { d ¾ ¾ ¿ x à é n ª ß â y × â y 23456 = (11 × 2123) + 4.

¹d¶Zv¨ÀÒy ´×ᬠUvâÀây ×âyªÚ æÚÑ, æÚ×âyªÚ UvâÀâyæ ßâ¬Æ×d aÖá Æ|âªgd Iªvá ¿xªfX n ´×ᬠaÖâ ¹d¶×âZv¨ÀÒy ¿xªfX ´Ìy°á {d¾È¨¾ ´ªÖrÈ×ây Àr×âyÖâ×âyªÚ pdû×â~kóvây æévd ´{á ¿xªfX Àâßây+×ây I{d: 232 aÖâ 3- ´ªÖrÈ ¹d¶×âZv¨ÀÒy 5445 aÖâ 4- ´ªÖrÈ ¹d¶×âZv¨ÀÒy

I{dÝképâÇ 12 : 11ßá ÅdЪßâ±vá ´¾Q 3- ´ªÖrÈ ¹d¶×âZv¨ÀÒy×ây Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : 3 ´ªÖrÈ ¹d¶×âZv¨ÀÒy °â~kRæªvd aba pâÃé~kªÈ¨ Iªêyª¬. a≠ 0 b Èy

c ´ªÖrÈy o ¿xªfX 11ßá ÅdЪßâ±vdȪêá 2a - b, 11 ßá ÅdЪßâ±vd¶ E¬ 2a - b = 0 Èá{d 2a - b = 11´Ìy×â~kóvây Èá{d 2a - b = -11 ´Ìy×â~kóvây ÀâÃéZ°âÀáy Éd|âXª. a ≥ 1 ÀâyîÎâyy b ≤ 9, 2a - b ≥ 2 – 9 = -7 > -11 2 a - b= -11´×ᬠÉd|âXª Öd{ây. aÖâ ÀáÔâ 2a - b = 0 ´Ìy°á ´~kóvây 2a= b ´~kóvây a=1 b = 2; a = 2, b = 4; a = 3, b = 6; a = 4, b = 8Èy Éd|âXª 121, 242, 363, 484 ¿xªfXÈy ÀâÉKdÌy a = 6, b =1 ´Ìy°á 2a – b = 12 – 1 = 11 E¬ 11 ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ´{á Æ|âªgd a = 7, b = 3; a = 8, b = 5; ÀâyîÎâyy a = 9, b = 7 È×ây 2a – b, æ En+×â ´¬ 11 ßá ÅdЪßâ±vây{ây. 616, 737, 858, 979 ´×á Àâyî 4 ¿xªfXÈ×ây ¹åª{âÀâßây+×ây.

´ª{âyÀâÈ[ ÖdÀâ¶b×â ¿xªfXÈy 121, 242, 363, 616, 737, 858, 979.I{dÝképâÇ 13 : 12456×ây 36ßá ÅdЪßâæªvd×á ´¬ ÅdЪ~k±vây°âyª{d Èá{d

´×ᬠ°rÈ~kªÚ.Éd|â×â : 36 = 4 × 9 ÖdÀâó×â En+×â ¿xªfX ÆÚÆÚgd 4 ÀâyîÎâyy 9ßá ÅdЪßâ±Ú°á

ßdÈy (´~kóvây ́ ¬ Àds Öâ.Éd.gây 36ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª¬) ¿xªfXȨ¾ nÀâî prªvâªÖrÈy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

20

56 E¬ 4ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª¬. ÖdÀâó×â 12456 '4' ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬. ¿xªfXȨ¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª 18 E¬ 9 ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬ ÖdÀâó×â 12456, 9 ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬. prªÚªs ×âyªÚ ÖdÀâÈû×â Ák¶°âª Àâßây+×ây.

´ÅdX¿xª 1.1.61. 1001 ×âyªÚ 2000 Àâpâæ U¾Q ¿xªfXÈy 4ßá ÅdЪßâ±vây°dÌy2. aÖâ 3- ´ªÖrÈ ¿xªfX abc 3ßá ÅdЪßâ±Ú°á. abc bca cab+ + , 9ßá

ÅdЪßâ±vây°âyª{â¾ ßâÃé~kªÚ.3. a b4 3 11ßá ÅdЪßâ±Ú°á a + b æ ¿xî¹èÎáy ´¾Q ÆÈyÀâÈy Öâ×âyÖ¨ýªÚ.4. 4- ´ªÖrÈ ¹d¶Zv¨ÀÒy UÈ[~kRvây 11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª{â¾ ßâÃé~kªÚ.5. 4, 5, 6, 7, 8 ´ªÖrÈ×ây~kÎrÃéЪn 264 ßá ÅdЪ~k±vá 5- ´ªÖrÈ ¿xªfX×ây

¾îWªßâªÚ.Æ¥ypây ßâÃéû×â Àryy{âs Ö³¾Q Z~k|d×â ¿xªfXÈy 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73.......´~kîÆy°â Z~k|d×â ¿xªfXÈy ÖâÈÀâó. ÀdsȨ Ö³¾Q m°âÈy (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73) o Z~k|d×â ¿xªfXÈy Àây|âXÅá{⪠2 EêyÀâªs Z~k|d×â ¿xªfXÈ×ây ÖâÀâÈ Z~k|d×â ¿xªfXÈy ´ªêépây. ´~kîÆy°â ÖâÀâÈ Z~k|d×â ¿xªfXÈy×dQÎâÃé? ´×ᬠE~kRê¡Ö¡ Édºª~k±vâ¾ ¿xÀây¿kX.

E~kRsÑ ÉdªZ~k{dÎâyÖâªgd Édºª~k±vâ¾ ¿xªfXÈ°¨ æéÚ×â ¿xÀây¿kX g¨ÈÒG±dßÒ ÅdÀâ×â (NÝké) (Goldbach’s conjecture). E¬ 1742 ×ds¬. 2 Öâªêá ~õ{âM{rô×â ¿xî ¿xªfXÈ×ây »¥¿xyæªêá 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 16 = 5 +11 Àryy{âÈgây×âÆ

2 Öâªêá ~õ{âM{rô×â Z~k» ¿xî ¿xªfX prªvây Z~k|d×â ¿xªfXÈ Àryy°âKª ´¾ mrpâW×Ò g⧰âµdç¿xKmCvrô×â g¨ÈÒG±dßÒ (Goldbach) ßá Nþéª~k±Ú×⬠g⧰â ÎâyªZ°dÈ×ây(Computers) I~kÎrÃéЪn ~kîú¥¶ªn×â~kRsÑ o NÝkë~õô ±ÈÀryô×â ´×âyÀâÃé×⪠ÖâÈ{ây Öd¾¥ o ×dsÑ ¬¥¾Ö¡ g⧰⠿xª±ª|âÀryô×â ¾pLdpâÇÈá{ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

21

aÖâ ¿xÝkém ¿xªfX n, ¿xª~kòpâJ ¿xªfX(Perfect number) ´Ìy°á A ¿xªfX×ây {d¾ |â×â ÅdmÖdÈ Àryy°âKªgd pdÎâyÀâßây+×ây. (´ªêá A ¿xªfX×ây À⬶ Æygâ°d |â×â ÀâyÃéÈÖdÈ Àryy°âKªgd pdÎâyÀâßây+×ây) Àryy{âs ¿xª~kòpâJ ¿xªfX 6 ¬¥¾Ñ °âÐ×â |â×â ÅdmÖdÈy 1,2,3 1 + 2 + 3 = 6 E{á Æ|âªgd 28Ñ, gâÈ ÅdmÖdÈy 1, 2, 4, 7, 14 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. °âpd]» ¿xªfXÈy 496, 8128 EÀâ¾¥Q æévd ÎâyÃéÑ[vÒßá Öâ×âyg³×â ±Ú×âÆ. p aÖâ Z~k|d×â ¿xªfX ´Ìy°á, 2p- 1 Z~k|d×â ¿xªfX ´Ìy°á ´¬ aÖâ ¿xª~kòpâJ ¿xªfX ´Ìy×â~kóvây 2p-1 (2p-1) ×ây æévd ¿xª~kòpâJ ¿xªfX ´¾ ÎâyÃéÑ[vÒ ¾pâÃéĪßd×dvây 2p-1 pâÃé~kªÈ¨¾ Z~k|d×â ¿xªfXÈ×ây Àryprb×rQ Z~k|d×â ¿xªfXÈy ´ªêépây. (OvâÀâ µâ°d±Mª °âpd]°â g⧰⠵dç¿xKmCvây ÀâÃéî×Ò Àryprb×rQ) n Z~k|d×â ¿xªfX ´Ìy°á 2n – 1 æévd Z~k|d×â ¿xªfX ´¾ ¾pâÃéĪßâv⪠¿xyÈÅ⪠Öd¾¥ p Z~k|d×â ¿xªfX ´Ìy×â~kóvây 2p-1 pâÃé~kªÈ¨¾ ¿xªfXȾ¥Q Z~k|d×â ¿xªfXÈy ÖdÀâó I{dÝképâÇæ 211

– 1 = 2047 = 23×89 Z~k|d×â ¿xªfX Öd{ây

o ´«Z¹dÎâÃé¾Q g⧰â ÎâyªZ°dÈ×ây~kÎrÃéЪn Ö³¾Q ¿xª~kòpâJ¿xªfXÈ×ây I°âR»K ßáÎâyÀâßây+×ây, p, 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107,607, 1279, 2203, 2281 æ ¿xÀâÃé×âÀryô×â 2p-1 (2p-1) Èy Ö³¾Q ¿xª~kòpâJ ¿xªfXÈy

¿xª~kòpâJ ¿xªfXÈæ ¿xª±ªºªn Ö³¾Q Édºªßâ¾ ¿xÀây¿kXÈy×dQÌy

1. ́ ~kîÆy°âÀryô×â ¿xª~kòpâJ ¿xªfXÈy×dQÎâÃé? (¿xÀâÃé×âªgd ́ ~kîÆy°âÀryô×â Àryprb×rQ Z~k|d×â ¿xªfXÈy×dQÎâÃé?)

2. Eª°âÀâpâæ ¿xª~kòpâJ ¿xªfXȾ¥Q ¿xî ¿xªfXÈy E¬ ¿xÝkémªgd o ¿xª{áÝkë¾Q Àr¶±yßây+°âyª¬. O{á×d ±áû ¿xª~kòpâJ ¿xªfX Iª{d?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

22

¿xªfXÈ°¨ Aê ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. ¿xîÎryô×â {d¾¾ U×âyQÖ¨ªÚ.

(a) 456 Æ¿kKîªn×â(ÉdÀâÃé×âX) pâÃé~kª A. (4 ×100)+(5 ×10) + (6 ×1) B. (4 ×100) +(6 ×10) +(5 × 1)

C. (5 ×100)+(4×10) +(6×1) D. (6×100)+(5 ×10)+(4× 1).

(b) gâÇÖâÎâyªZ°dÈy I~kÎrÃéЪßᬠA. {âµdªµâ ~k{âM» B. ¬]ÀâÃé×â ~k{âM» C. A|dp⪠5~k{âM» D. A|dp⪠6 ~k{âM»(c) abc aÖâ 3- ´ªÖrÈ ¿xªfX ´Ìy°á n = abc + acb + bac + bca + cab +

cba ´×á ¿xªfX UÈ[~kRvây ¬¥¾ßá ÅdЪßâ±vây×ây. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

(d) abc aÖâ 3- ́ ªÖrÈ ¿xªfX ́ Ìy°á n = abc - acb + bac - bca + cab - cba ´×á ¿xªfX UÈ[~kRvây ¬¥¾ßá ÅdЪßâ±vây×ây.

A. 12 B. 15 C. 18 D. 21

(e) 1K × K1 = K2K ´Ìy°á ‘K’ ¿xÃénªßá ´ªÖr A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

(f) 345111 ´×á ¿xªfX ¬¥¾ßá ÅdЪßâ ±vây°âyª¬. A. 15 B. 12 C. 9 D. 3

g) aÖâ ¿xªfXȨ¾ ~kòpJdªÖdÈy 3A B4 pâÃé~kªÈ¨ Iªêá, A,B Èy OÀrô×d ́ ªÖrÈ×ây ¿xÃén¿öK, ´Æ 11ßá ÅdЪßâ±Ú°á.

A. 0 B. 4 C. 7 D. 9

2. 2, 3, 4, 5, 6 ´ªÖrÈy Öâ¶Ð×â 11 ßá ÅdЪ~k±vá Öâ¾ÍkF 5- ´ªÖrÈ ¿xªfX O¬?

3. 2, 3, 4, 5, 6 ´ªÖrÈy Öâ¶Ð×â 11 ßá ÅdЪ~k±vá 5- ´ªÖrÈ ¿xªfXÈr¾Q?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

23

4. A >O, 49A ÀâyîÎâyy A49Èæ ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖ⪠Iªêá A ÎryyÖâý ´¾Q Éd|âXÀryô×â ÆÈyÀâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

5. 3, 5 Èæ Öâ¾¥¿xª aÖâÉdprô×d I~kÎrÃéпkÃKé ¿xªÖâÈ×â, ÀâXÀâÖâÈ×âªÈ×ây ~kÎrÃéпkÃKé 1 ×âyªÚ 10 Àâpâæ pdÎâyªÚ.

6. ´ªÖrÈ Àryy°âKªßá ÅdЪ~k±vá ´¾Q 2-´ªÖrÈ ¿xªfXÈ×ây pdÎâyªÚ.

7. aÖâ ~kó¿kKÖâªÈ¨¾ ~öÊËÈ×ây pdû×â~kóvây {d¾ ´vâGyÀâpây¿x 216 ´ªÖr ¿xªfX×ây Eßây+×ây. ´Ìy°á ~kó¿kKÖâªÈ¨¾ ~öÊËÈr¾Q?

8. ¬¥¾¾ ¹d¿kýÈÒ Z»Åâymª ´ªêépây. 9Àâ ´vâGy Àâpây¿xȨ Àây|âX ¿xªfX Uª°â?

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1 • • • • • •

• • • • • • •

9. Z~kÖâý×â EÀâ]±Ú×â ÀâÃéÎâÃé ßâ{âpd¾Q ~kòîªßâªÚ. (¿xÃéßâ×â: 3×3 ÀâÃéÎâÃéßâ{âpâªgâªÈ¨ÀâÃéXÊÖÒ Àryy°âKª Àây|âX ¿xªfXæ ÀâyÃévây prê[yªvây×ây.)

8

3 7

10. ¿xªfXȨ¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª 12 prê[y Iªváêê[y ´¾Q ÀâyÃévâªÖrÈ ¿xÝkém ¿xªfXÈ×ây pdÎâyªÚ.

11. 36 ßá ÅdЪ~k±vá x y34 5 Ȩ¾ x,y ´ªÖrÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

12. ¿xªfXÈ È±Mª, ¿xªfXȨ¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKªßá ÅdЪ~k±váêê[y 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 prªvây gâyª~kóÈ ¿xªfXÈygd pdÎâygâÈpd? ÅdgâÁkȪ Öâ¾ÍkFª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

24

13. 11 ÀâyîÎâyy 25 Èßá ÅdЪ~k±vá 273A49B5, 8-´ªÖrÈ ¿xªfXÈ×ây pdÎâyªÚ.

14. a,bÈy ~kòpâJ¿xªfXÈy 2 + a ÀâyîÎâyy 35-b Èy 11 ßá ÅdЪßâ ±vây×ây. a + b æévd 11ßá ÅdЪßâ±vây°dÎây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

15. Z~kÖâý~kêªÈ¨ ¿xªfXÈy, ÀdsÑ ¿xª±ªºªn×â Ö¨vÒÈy EÀâ]±vGdÌy. ´Ìy°á L ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

589 724 1306 L524 386 9701 2011

16. gâyÇÖdpâ ~ks¦ÖâȨ A8×3B = 2730, A, B Èy 'O' Ödæªvd Æ«×âQ ´ªÖrÈ×ây ¿xÃénÉKdÌy. A+B ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

17. 7ÀâyîÎâyy 9Èßá ÅdЪn×â~kóvây 6ÀâyîÎâyy 8È×ây µá¤dÈygd Àâßá+ Öâ¾ÍkF ¿xÝkém ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

18. ÀâyÃévây Àâpây¿x ¿xÝkém ¿xªfXÈ Áky×dÈ Àryy°âKª UÈ[~kRvây 3ßá ÅdЪßâ±vây×â¾ ßâÃé~kªÚ.

Ö¡ÈÖâ ÅdÀâ×âÈy/¹dîÅdÍkÖâ ~k{dÈy/¾Ákyªêy ~k{dÈyÅdm¾¥Îây°â : O{rô×â ~kòpâJ¿xªfX q æ a = qb ́ Ìy°á ~kòpâJ ¿xªfX a Àáp³Öâ ~kòpâJ¿xªfX

b ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬.ÅdgâÁkȪ : a = qb, a,b ≠ 0, ´Ìy°á a×ây bßá ÅdЪn×â~kóvây q×ây ÅdgâÁkȪ

´ªêépây.µáÍkª : a = bq + r , 0 ≤ r < | b| ´Ìy°á. a×ây bßá ÅdЪn×â~kóvây Àâßá+ µáÍkª r.

¹d¶×ÒZv¨ÀÒy : UvâÀây×âyªÚ æÚÑ Èá{d æÚ×âyªÚ UvâÀâyæ ßâ¬Æ×â~kRsÖ¡ aÖá Æ|âªgd Iªvá ¿xªfX.

~kÊÈÒ: O{rô×d Àry{âvâyæ Àáy°âAÈéR×âÃéXÀâypâÈÒ : O{rô×d ¿xÆ¥yÖâpâǪȨ Öâ¾Rªßá aÖâ ́ Öâíp⪠E¬ O{rô×d aÖâ ¿xªfdX°âWÖâ

ÆÈyÀâ »¥¿xyÖ³×ây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

25

NÝké(ÅdÀâ×â) : OÆ|âÀryô×â g⧰â |â½Æ¥ÖâpâÇ ÈáÖâ¹èÌy×â~kRsÑ ¾mÀây¾ ×âÀáyW aÖâ ÆÀâpâÇ

ÀâÃéXÊÖÒ ßâ{âp⪠: ¾ÈyÀâógd, ´vâGªgd, ZÖd¿Ï (ZÖâpâJªgd) UêyæéÚ×â Àâßá+ Àryy°âKª ¿xÀâÃé×âªgd Iªvá ¿xªfXÈ°¨ ´Àâypâ+±Ú×â ßâ{âpâª.

~kpâÀây ÀâyÃéÈX ÆÈyÀâ : aÖâ ¿xªfdXpáf~õô ÖáªZ{⪠×âyªÚ {âÃépâª, ~kîÀâÃéǪ gâyîKª~k±Ú×â ¿xªfX.

~kî~kòpâJ ¿xªfX : O ¿xÝkém¿xªfX Öâªêá n×âQÀrô×â ÅdmÖdÈ×ây æéÚ×â~kóvây A ¿xªfXÀâßây+ר {d¾¾ ~kî~kòpâJ ¿xªfX ´ªêépây

ÖâÀâÈ Z~k|d×â ¿xªfXÈy (Twin-primes): O prªvây Z~k|d×â ¿xªfXÈ Àây{âX Åá{⪠2gd Iªvâyר Àds¾ ÖâÀâÈ Z~k|d×â ¿xªfXÈy ´ªêépây.

Àryprb×rQ Z~k|d×â ¿xªfXÈy : 2p-1 pâÃé~kªÈ¨¾ Z~k|d×â ¿xªfXÈy (2p-1 Z~k|d×â ¿xªfX ´Ìy°á, p æévd Z~k|d×â ¿xªfX)

gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ÆÍkÎâÃéÈy• O ¿xÝkém¿xªfX×rô×d A|dp⪠10 gd pdÎâyÀâßây+×ây.• En+×â OÀrô×d prªvây ~kòpâJ¿xªfXÈy a ÀâyîÎâyy b≠0 Èæ a = bq + r, 0 < r <

| b| ´ÎáyXêê[y OÖrôÖâ ~kòpâJ¿xªfXÈy q, r Èy ÖâÈÀâó.• O{r ô×â ¿xªfXȨ nÀâî 2-´ªÖrÈy 4ßá ÅdЪ~k±Ú°á A ¿xªfX 4ßá

ÅdЪ~k±vây°âyª¬. • aÖâ ¿xªfX 3Èá{d 9ßá ÅdЪ~k±vdȪêá {d¾È¨¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª 3Èá{d 9ßá

ÅdЪ~k±vd¶.• O{rô×d ¿xªfX 0 Èá{d 5ßá ´ª°âÀâyÌy°á A ¿xªfX 5ßá ÅdЪ~k±vây°âyª¬.• aÖâ ¿xªfXȨ ¿xî ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª, ±áû ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈ Àryy°Kd¾Ñ

¿xÀâÃé×âÀryô×â ´¬ 11ßá ÅdЪßâ±vây°âyª¬.

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

26

Ådgâª-2

Àâp$dÈy, Àâpâ$ÀâyÃéÈéÈy, Áky×dÈy, Áky×âÀâyÃéÈéÈyo Ådgâª×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æ¥ypây Ѫ¬ ÆÍkÎâÃéÈ×ây °rÈy¿xyæªêépây.

• ~kòpâJÀâp$dÈy.• ~kòpâJÀâpâ$ª aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈy.• aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q 3 Èá{d 4 ßá ÅdЪßâgd Àâßây+ µá¤dÈy.• ~kòpâJÀâp$dÈæ ¿xª±ªºªn×â ÆÆ|â ¿xª{âpdVÈy• ~kòpâJÀâp$dÈy, Àâpâ$ÀâyÃéÈéÈy Öâ×âyg³×á Ö³¾Q ~k{âM°âyÈy.• ~kòpâJÁky×âªÈy, Áky×âÀâyÃéÈéÈy.

1.2.1 ~kîßâÎâyª :

1, 4, 9, 16, 25 Àryy{âÈrô×â ¿xªfXÈ×ây gâÀây¾ªßâªÚ. OÆy gâyîKªßdpây? I{dÝképâÇæ 4 = 2 × 2, 25 = 5 × 5. Z~k» ¿xªfX prªvây aÖá ¿xªfXÈ gâyÇȱPª. E{á Æ|âªgd

8 = 2 × 2 × 2, 64 = 4 × 4 × 4. Z~k» ¿xªfX ÀâyÃévây ¿xÀâÃé×â ¿xªfXÈ gâyÇȱPª. o ¿xªfXÈæ Ö³¾Q Z~k°áXÖâ ~öpâ[y EÀâ]±vGdÌy. o ́ |dXÎâyªÈ¨ ́ êyÀâªs Ö³¾Q ¿xªfXÈ |âpdWÈy ×ápây+æª{dª. »p¨gâÀây×â Æ|d×d¾Q æévd ×ápây+æª{dª. U~kóvrô°á aÖâ ¿xªfX×ây prªvây Èá{d ÀâyÃévây ¿xÀâÃé×â ¿xªfXÈ gâyÇȱMªgd pdÉKdÀrÃé ´~kóvây A ¿xÀâÃé×â ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âgâÈÀâÃé?1.2.2 ~kòpâJÀâpâ$ªÈy

Ѫ¬ ×âÀâyÃé×d×ây gâÀây¾ªßâªÚ.

Z~k» nZ°âªÈ¨ U¾Q ßâyÖâýÈy×dQÌy? ´Æ 1, 4, 9, 16 gd gâÀây¾ªßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

27

10 ÎâyÃé¾ê[ ֳȰâg âÈ ABCD ´×á ßâ°âypâZÉd¾Q »¥¿xyÖ³¾ {d¾¾ 1 ÎâyÃé¾êÒ ßâ{âpdÈygd (Z~kÖâý~kêªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd) ÆÅâʪn Àds¾ ÈrÑý¿öK ́ Æ 100 ÎâyÃé¾êÒ ßâ{âpdÈy×âQÀd?

ÖdpdXßâpâǪ: 1.2.´¬¥¾¾ 8, 12, 15 ÎâyÃé¾êÒ Ö³È°â gâÈ ßâ°âypâZÉdÈ×ây pdû Àds¾ ÎâyÃé¾êÒ ßâ{âpdÈygd pdû ÈrÑýªßâªÚ.

aÖâ ~kòpâJ ¿xªfX ~kòpâJÀâpâ$ª ÖdÀdȪêá A ~kòpâJ¿xªfX×ây ´{á ¿xªfXßá gây§ªßd¶.

1 = 1 × 1, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3, 16 = 4 × 4, 100 = 10 × 10 ~kîú¥¶ªßâªÚ. ́ ª{âyÀâÈ[, 1, 4, 9, 16, 100 ´×áÆ ~kòpâJÀâp$dÈy. ´ª{âyÀâÈ[. 0 = 0 × 0, 0 æévd ~kòpâJÀâpâ$ª.

a ~kòpâJ ¿xªfX ´Ìy°á, a × a= a2 ßá ¿xÃénÉKdª. (¬¥¾¾ a Àâpâ$ª Èá{d a-¿ö]pÒ ´¾ ßâ{âyÀâó°dpây.) E{á Æ|âªgd, 36 = 62, 81 = 92. o Æ|âªgd m2, aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª ´Ìy°á m aÖâ ~kòpâJ¿xªfX.

EÖâývâ Æ¥ypây EªÖd UæýÀâ ÆÍkÎâÃé¾Q gâÀây¾ªßâÀâßây+. 4= 2 × 2 , 4=(-2)× (-2); prªvâÀâ {d¾È¨ ¿xÀâÃé×â ~kòpâJ¿xªfXÈy I×dQ ́ Æ ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfXÈy. {d¾È¨ ƵáÍkª OÆ¥yÈá{ây. o ~k{âM» ¿xªfdX ~k{âM»È¨ ÅdgâÀáy. prªvây ±yyÇ~kòpJdªÖdÈ×ây gây§¿öK |â×â ~kòpJdªÖ⪠Àâßây+×ây. o Æ|âªgd O ¿xÝkém ¿xªfX m æ ́ Ìy×d m2 = m × m = (-m) × (-m). E¬ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈ ¿k]ÅdÀd¾Q gâyîªn Ö³¾Q ́ ªµdÈ×ây °r¶ÎâymáÎâyy×ây. m aÖâ ¿xÝkém¿xªfX ́ Ìy°á , m2 = m × m æévd aÖâ ¿xÝkém ¿xªfX (¿xªÀâ½°â |âpâWª) ´ª{âyÀâÈ[ m2 |â×â¿xªfX. m=0 ´Ìy°á, m2= 0 × 0=0. m ±yyÇ ~kòpJdªÖ⪠´Ìy°á ´~kóvây aÖâ ¿xÝkém ¿xªfX m æ, m =- n., m2 =(-n) × (-n) = n2, ÀâypâÈé aÖâ |â×â¿xªfX.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

28

o Æ|âªgd aÖâ ~kòpâJ Àâpâ$ª 0 æ ¿xÀâÃé×⪠ÖdÀd¶ Èá{d |â×â ~kòpJdªÖ⪠ÖdÀd¶. Öd¾ ±yyÇ~kòpJdªÖ⪠ÖdÀâvd¾Ñ Æ¥ÈyÈá{ây.

1 = 12, 4= 22 ~kòpâJÀâp$dÈy ´¾ °rÈy¿xyæ×dQª. 2 ÀâyîÎâyy 3 Æ¥s¾ prªvây ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ È±Pªgd pdÎâyÀâßây+×d? m ÀâyîÎâyy n Èy m < n Iªvây×âê[y prªvây ¿xÝkém ¿xªfX Èrô°á m2 < n2 ´¾ ¿xyÈÅâªgd gâÀây¾ªßâÀâßây+.( OÆ|âªgd?).

aÖâ ÀáÔâ, 2 aÖâ ~kòpâJ¿xªfX ´Ìy°á, ´~kóvây aÖâ ¿xÝkém ¿xªfX n æ, 2 = n2 ´gây×ây. ´~kóvây. 1 < 2 < 3, 1=12, < n2 < 22 = 4 E¬. 1 < n < 2 ×ây ¿xÃénªßây×ây. (Uª{âyæ?) o Æ|âªgd n fn+°âªgd 1 ÀâyîÎâyy 2 Àây|âX Iªvây×ây. ´Ìy°á aÖâ {â°âK ¿xÝkém ¿xªfX k æ ÀâyîÎâyy {d¾Ñ °âãâǪ Àâyyª{ây×âQ ¿xªfX k + 1 Àây|âX O ¿xÝkém ¿xªfX Èá{ây. ´ª{âyÀâÈ[ 2 ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX Öd{ây ´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+. E{á Æ|âªgd 3 ~kòpâJÀâpâ$ª Öd{ây ´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+.

¬¥¾¾ O ¿xÝkém ¿xªfX m Örô×d, m2 ÀâyîÎâyy (m +1)2 È Àây|âX ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX Iªvâ{ây ´¾ Édºªßâvd¾Ñ ´×â]ÌyªßâÀâßây+×ây.o ~ks¦Öâ×ây gâÀây¾ªßâªÚ :

a 1 2 3 8 -7 -12 20 -15a2 1 4 9 64 49 144 400 225

2, 8, -12 20 Àâp$dȾ¥Q ¿xî ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy 1, 3, -7, -15 È Àâp$dȾ¥Q ±áû¿xªfXÈy ´×ᬠgâÀây¾ªn»pd? ¬¥¾×âyªÚ Æ¥ypây OÆy °rÈy¿xy æªêépây.?ÆÀâpâÇ 1. ¿xî ~kòpJdªÖdÈ Àâpâ$ª ¿xî¿xªfX ÀâyîÎâyy ±áû ~kòpJdªÖâªÈ Àâpâ$ª ±áû¿xªfX.

¬¥¾¾ ¾pâÃéĪßâv⪠ÖâÍk¦ª Öd{ây. m ¿xî¿xªfX ́ Ìy°á O{rô×d aÖâ ~kòpJdªÖ⪠n æ m = 2n ÀâyîÎâyy m2 = (2 n) × (2 n) = 4n2 ´×ᬠaÖâ ¿xî¿xªfX. m ±áû¿xªfX ´Ìy°á O{rô×â aÖâ ~kòpJdªÖâ k æ m = 2 k + 1, o Æ|âªgd

m2 = (2k+1) (2k+1)

= [(2k+1) × (2k)] + (2k+1) × 1 (ÆÅdgâ |âpâWª) = (2 k) × (2 k) + (1 × 2k) + (2k ×1) + (1 × 1) (ÆÅdgâ |âpâWª) = 4k2 + 4k +1. E¬ aÖâ ±áû¿xªfX.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

29

12 = 122 = 432 = 942 =1652 = 2562 = 3672 = 4982 = 6492 = 81102 = 100

o ~ks¦ÖâȨ Àryy{âs ~k¬ ~kòpâJÀâpâ$¿xªfXÈ×ây ~kîgâÇȨ¾Ñ »¥¿xyæªêá Àâpâ$ªÈ¨¾ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖrÈ×ây gâÀây¾ªßâªÚ. ´Æ ZÖâÀâyªgd 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 ÖâÈÀâó o Æ|âªgd ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ ´ªÖrÈy 0, 1, 4, 5, 6, 9. O ¿xªfX×ây »¥¿xyæ×dQ {d¾ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Æ¥sȨ O{rô×d aÖâs ´gây×ây. ´ª{âyÀâÈ[ A ¿xªfX Àâpâ$ª (Àây×â¿xyȨ aÖâ ¿xªfX×ây ´{á ¿xªfXßá gây§ªn, aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ Iªvá ́ ªÖr »¥¿xyÖ³ªÚ)0, 1, 4, 5, 6, 9 Æ¥sȨ aÖâs ́ ÌyIªvây×ây. aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX nÀâî ÉLd×âªÈ¨ 2, 3, 7, 8 Iªvâ{ây ́ ×ᬠgâÀây¾ªn»pd ? ¬¥¾×âyªÚ aÖâ ÆÀâpâÇ EÀâ]Àâßây+×ây..

ÆÀâpâÇ 2. aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª UÈ[~kóRvây 0, 1, 4, 5, 6, 9 ´ªÖrÈ°¨ ´ª°âÀâygây×ây. aÖâ ¿xªfX nÀâî ÉLd×âªÈ¨ 2, 3, 7,8 Iªêá ´¬ ~kòpâJÀâpâ$ª Öd{ây.

AȨnªßâªÚ : aÖâ ¿xªfX 0, 1, 4, 5, 6, 9 °¨ ´ª°âÀâyÌy×⪰â ÀâÃéZ°d×â ´¬ ~kòpâJÀâpâ$ª Öd×âÀâ¿xp⪠Èá{ây.

g⧰â ÅdÍkȨ aÖâ ¿xªfX ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX ÖdÀdȪêá {d¾Ñ ÖdÀâÈû×â ¾ÎâyÀâyª A ¿xªfX 0, 1, 4, 5, 6 Èá{d 9 °¨ ´ª°âª ÖdÀd¶. ´Ìy°á En+×â ¿xªfX ~kòpâJÀâpâ$ª ´¾ ßr~kRvd¾Ñ o ¾ÎâyÀâyª ÀâÃéZ°âÀáy ¿xî¹è{ây, E¬ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈ×ây gâyîKªßâvd¾Ñ ¿xÝkëÎây~kvây×ây.

´ÅdX¿xª 1.2.21. Ѫ¬ Àds¾ g⧰â ÀdÖâXªÈ¨ ÀâXÖâK~kpâßâªÚ. (i) 4 Àâpâ$ª 16; (ii) 8 Àâpâ$ª 64; (iii) 15 Àâpâ$ª 225.2. Ѫ¬ ¿xªfXȨ[ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈ×ây gâyîKªßâªÚ. 1, 2, 3, 8, 36, 49, 65, 67, 71, 81, 169, 625, 125, 900, 1000, 100000.3. 1 ×âyªÚ 500 Àâpâæ gâÈ ´¾Q ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ. 4. 0, 1, 4, 5, 6, 9 È°¨ ´ª°âÀâyÎáyX 3-´ªÖrÈ ¿xªfXÈ×ây aÖ³ýÖâýs pdÎâyªÚ..5. 100 ×âyªÚ 400 Àâpâæ ¿xªfXÈȨ 0, 1, 4, 5, 6, 9 È°¨ ´ª°âÀâyÎáyX ~kòpâJÀâpâ$

¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

30

1.2.3 ~kòpâJ Àâpâ$ ¿xªfXÈæ ¿xª±ªºªn×â Ö³¾Q ´ªµdÈy.

~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈæ ¿xª±ªºªn×â Ö³¾Q I°âKÀây |âpdWÈy ÖâÈÀâó Àds¾ ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª.o ~ks¦Öâ×ây gâÀây¾ªßâªÚ :

a 4 10 20 25 100 300 1000a2 16 100 400 625 10000 90000 1000000

a2 nÀâpâȨIªvá ¿xy×dQÈy 0 2 2 0 4 4 6

¬¥¾È¨ OÆy gâÀây¾ªßdpây? aÖâ Àâpâ$ª nÀâpâȨ Iªvá ¿xy×dQÈy UÈ[~kóRvây ¿xî ¿xªfXÈy ´Ìy IªêéÌy. (´¬ ¿xy×dQæ ¿xÀâÃé×⪠ÖdÀâßây+×ây Öd¾¥ ¿xî¿xªfX) O ¿xªfX Àâp$d¾Q »¥ûÖ³ªêéÀrÃé A ¿xªfXȨ Iªvá ¿xy×dQÈæ prªvây prê[y {d¾ Àâpâ$ªÈ¨ Iªvây×ây. ¬¥¾ ×âyªÚ aÖâ ÆÀâpâÇ×ây pâÃé¹åª¬ªßâÀâßây+×d? ÆÀâpâÇ 3. aÖâ ¿xªfX k ¿xªfXȨ ¿xy×dQÈ×ây Öâ¶Ð Iªêá {d¾ Àâpâ$ª 2k ¿xy×dQÈæ Öâ¶Ð Iªvây×ây.

o Æ|âªgd aÖâ ¿xªfXȨ ±áû¿xªfX ¿xy×dQÈyªêá ´¬ ~kòpâJÀâpâ$ª Öd{ây. E¬ Àây×âæ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfXÈ ~kꡦ ×âyªÚ Ö³¾Q ¿xªfXÈ×ây °³ÈЪßâyêæ ¿xÝkëÎây~kvây×ây.b) o ~ks¦Öâ×ây gâÀây¾ªßâªÚ:

a a23 ßá a2 ×ây ÅdЪßâgd Àâßây+ µáÍkª 4 ßá a2 ×ây ÅdЪßâgd Àâßây+ µáÍkª

1 1 1 12 4 1 03 9 0 15 25 1 18 64 1 011 121 1 1-6 36 0 0

~kòpâJÀâp$d¾Q 3 ßá ÅdпöK Àâßây+ µáÍkª 0 Èá{d 1 ´gây×ây. ´×âyê×ây gâÀây¾ªn»pd? ´{á Æ|âªgd aÖâ ~kòpâJ Àâp$d¾Q 4 ßá ÅdпöK Àâßây+ µáÍkª0 Èá{d1 ´gây×ây. aÖâ ¿xªfX×ây 3

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

31

ßá ÅdпöK Àâßây+ µáÍkª 0, 1, 2. ´Ìy°á aÖâ ¿xªfX×ây 4 ßá ÅdпöK Àâßây+ µáÍkª 0, 1, 2, 3. ́ Ìy°á aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q 4 ßá ÅdпöK µáÍkª 0 Èá{d 1, Àâ{ⶠ2 ÀâyîÎâyy 3 Éd|âXª Öd{ây.ÆÀâpâÇ 4 : ~kòpâJÀâp$d¾Q 3 ßá ÅdпöK Àâßây+ µáÍkª 0 Èá{d 1, Àâ{ⶠ2 Éd|âXª Öd{ây. aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q 4 ßá ÅdпöK µáÍkª 0 Èá{d 1, Àâ{ⶠ2 ÀâyîÎâyy 3 Éd|âXª Öd{ây.

AȨnªßâªÚ : ! aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q 8 ßá ÅdпöK µáÍkª 0 Èá{d 1, Èá{d 4 Àâ{ⶠ2,3,5,6,7 Éd|âXª Öd{ây.

c) ÖdpdXßâpâǪ:1.2.AOÀrô×d ×dÈygây ZÖâÀây ¿xÝkém ¿xªfXÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ gâyÇȱMd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ. o gâyÇȱPd¾Ñ 1¾ æévâªÚ. ´¬ ~kòpâJÀâpâ$ª ´gây×d? ~kîú¥¶ªßâªÚ. ¬¥¾×á EªÖd Ö³¾Q ×dÈygây ZÖâÀây ¿xÝkém ¿xªfXÈ ¿xÆy»Ñ ~kó×âpdÀâpâK×â ßáÎâyªÚ. ¬¥¾×á ZÖâÀây ±yyÇ~kòpâJ¿xªfXÈæ Æ¿kKîªßâªÚ. aÖâ ~kòpJdªÖ⪠0 ´Ìy°á Æ¥y ~kîú¥È×â O¬?

I{dÝképâÇ : (1 × 2 × 3 × 4) + 1 = 24 + 1 = 25 = 52

(8 × 9 × 10 × 11) + 1 = 7920 + 1 = 7921 = 892

ÆÀâpâÇ 5. ×dÈygây ZÖâÀây ~kòpJdªÖdÈ È±Pd¾Ñ 1 æéÚ°á Àâßá+ ¿xªfX aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª ´gây×ây.

d) Ѫ¬ ~ks¦Öâ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.:

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

Àr×âyÖâs Àryy°Kd¾Ñ °âpd]» ±áû ¿xªfX×ây æévây°âÃé o Z~kZÑÎây×ây Ö³×âÉdЪßâªÚ. ~kòpâJÀâp$dÈy pdÀâv⪠gâÀây¾ÉKdpây. ¿xÃéãâWªgd gâÀây¾¿öK EªÖd Ö³¾Q ́ ªµdÈy Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây. Àryy{âs ×dÈygây ±áû ¿xÝkém ¿xªfXÈ Àryy°âKª 42 Àryy{âs 5 ±áû ¿xÝkém ¿xªfXÈ Àryy°âKª

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

32

52 ¬¥¾¾ Àryy{âs 8 ÀâyîÎâyy 12 ±áû ¿xÝkém ¿xªfXÈæ ~kîú¥¶ªßâªÚ. ¬¥¾ ×âyªÚ Ö³°âK ÆÀâpâÇ×âypdÎâyÀâßây+×d?ÆÀâpâÇ 6. Z~k» ¿xÝkém ¿xªfX n æ, Àryy{âs n ±áû ¿xÝkém ¿xªfXÈ Àryy°âKª n2 æ ¿xÀâÃé×âª.

e) ÖdpdXßâpâǪ:1.2.E11, 101, 1001, 10001 o ¿xªfXÈ×ây gâÀây¾ªßdpd? Àds Àâp$dÈ×ây ÈrÑýªßâªÚ. ¬¥¾×á EªÖd Ö³¾Q I{dÝképâÇ : 112 = 121,

1012 = 10201, 10012 = 1002001, Àryy{âÈrô×âÆ.Àâpâ$ªÈ¨ Àây|âX ¿xªfX UÈ[~kóRvây 2 Iªvâyê×ây gâÀây¾ªßâªÚ. 2 æ prªvây Àrô~kóÈé

´ªÖrÈy 0 ´Ìy IªêéÌy, nÀâî ´ªÖrÈy 1 ´Ìy IªêéÌy. ¬¥¾ÀâÈ[ aÖâ ÆÀâpâÇ×ây Ѫ¬ Æ|âªgd ¾pâÃéĪßâÀâßây+×ây.

ÆÀâpâÇ 7. ¿xªfX N = 1000 . . . 01, ¿xy×dQÈy k Édpâ[y Iªvây×âê[y ~kîg⧪ßâªÚ.I{dÝképâÇæ, k = 6 ´Ìy°á, N = 10000001 ´gây×ây, Àây|âXÅdgâªÈ¨ 6 ¿xy×dQÈy×dQÌy. ´~kóvây N2 = 1000 . . .02000 . . .01, ¬¥¾È¨ 2æ prªvây Àrô~kóÈé ¿xy×dQÈ ¿xªfX k ´gây×ây.

f) o Æ×dXÉd¾Q gâÀây¾ªßâªÚ. :

o  Æ×dX¿xª OpâRvd¾Ñ 1Àâ ´vâGyÀâpây¿xȨ aÖâs, 2Àâ ´vâGy Àâpâ¿xyȨ 2, 3Àâ ´vâGyÀâpây¿xȨ 3, o Æ|âªgd nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×âê[y ßâyÖâýÈ ×âyªßâªÚ. o ßâyÖâýÈ×ây Z»ÅâympâÃé~kªÈ¨ ~öî+×âê[ygây×ây. Z~k» Z»ÅâymªÈ¨ ßâyÖâýÈ ¿xªfX×ây ÈrÑýªßâªÚ. ( Z~k» ßâyÖâý aÖâ Z»Åâymé¾Q ¿xÃén¿kKyª¬) ́ Æ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 EÈéªsÆ IªêéÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

33

Æ¥s¾ Z»Åâym ¿xªfXÈy ´ªêépây. Z»Åâym ¿xªfXÈy O Æ|âªgd OpâRvây°dÌy ´×ᬠƥypây ßâÃévâÀâßây+×ây. n-Àâ Z»Åâym ¿xªfXæ n ´vâGy Àâpây¿x Z»Åâymé¾Q OpâRpâßâÀâßây+. Z~k» ´vâGy Àâpây¿x A ´vâGyÀâpây¿xȨ ¿xÃénªn×â¾Q ²ª{âyÀâóÈy ¹åª¬ Iªvây×ây. 8 Àâ Z»Åâym ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×dȪêá 8Àâ Z»ÅâymªÈ¨¾ ²ª{âyÀâóÈ ¿xªfX.1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 ´gây×ây. Àryy{âs Ö³¾Q Z»Åâym¿xªfXÈy EÖâývâ gâÈÀâó.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91.OÀrô×d prªvây ZÖâÀây Z»Åâym ¿xªfXÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Àds Àryy°Kd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.

I{dÝképâÇæ : 10 + 15 = 25 = 52; 28 + 36 = 64 = 82; 55 + 66 = 121 = 112; 36 + 45 = 81 = 92. OÀrô×d prªvây ZÖâÀây Z»Åâym ¿xªfXÈ Àryy°âKª aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª ´×âyê×ây gâÀây¾ªßâÀâßây+.7 Àâ Z»Åâym ¿xªfX 28 , 8 Àâ Z»Åâym ¿xªfX 36, Àds Àryy°âKª 64 = 82

´{áÆ|âªgd 11Àâ Z»Åâym ¿xªfX 77, 12Àâ Z»Åâym ¿xªfX 78. Æ¥s Àryy°âKª144 = 122. o |âpdW¾Q EªÖd Ö³¾Q m°âÈ ¿xªfXÈæ ~kîú¥¶ªßâªÚ.ÆÀâpâÇ 8. n Àâ ÀâyîÎâyy (n+1) Àâ Z»Åâym ¿xªfXÈ Àryy°âKª (n+1)2 ´gây×ây.

´ÅdX¿xª 1.2.3

1. 1 + 3 + 5+ . . . . +51 (1 ×âyªÚ 51 ÀâpâægâÈ ´¾Q ±áû ¿xªfX Àryy°âKª)×ây æévâæªvd Öâ×âyg³×âªÚ.

2. 144 ×ây 12 ±áû ¿xªfXÈ Àryy°âKªgd ÀâXÖâK~kpâßâªÚ.

3. 14 ÀâyîÎâyy 15Z»Åâym ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³¾ Àds Àryy°âKª×ây Öâ×âyg³×âªÚ. 8Àâ ÆÀâpâÇ×ây o Àryy°Kd¾Ñ ~kîú¥¶ªßâªÚ.

4. aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q 5 ßá ÅdЪßâgd Àâßá+ µáÍkªÈy OÆ?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

34

1.2.4 aÖâ ¿xªfX×ây Àâpâ$ªgd pdÎâyy Ö³¾Q Æ|d×dÈy

ßdÈé ¿xª{âpdVȨ[ aÖâ ¿xªfX×ây Àâyp³Öâ ¿xªfX ßá gây§ªßâæªvd×á ¿xyÈÅâªgd Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây. 422×ây ~kîgâÇȨ¾Ñ »¥¿xyæªêá 42 = 40 + 2 ´¾ pdÎâyÀâßây+×ây. E{á Æ|âªgd,

422 = (40+2)(40+2)

= 402 + (40 × 2) + (2 × 40) + 22

= 402 + (2 × 40 × 2) + 22.

EÖâývâ ~kòpJdªÖdÈ ÆÅdgâ |âpdW¾Q I~kÎrÃéЪn×dª E~kóvây 402 = 1600; 4 × 40 = 160 ÀâyîÎâyy 22 = 4. ´ª{âyÀâÈ[, 422 = 1600 + 160 + 4 = 1764. (402 ×ây, 2 × 40 , 22 ×ây Àây×â¿xyȨ×á Öâ×âyg³×âªÚ)gâÀây¾Öâ: o Æ|d×d¾Ñ ÀâyÃéÈ¿xÃéZ°âª (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ¬¥¾¾ Æ¥ypây °âpd]°â ×ápây+æªêépây.ÖdpdXßâpâǪ:1.2.o~õô Æ|d×d¾Q I~kÎrÃéЪßâyÖ³¾ 89, 68, 96 Æ¥s Àâp$d¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.

5 °¨ ´ª°âÀâyÎáyX ¿xªfX Àâp$d¾Q Öâ×âyg³×âvd¾Ñ aÖâ ¿xyÈÅâÆ|d×⪠ÖâÈ{ây. I{dÝképâÇæ, 352 ×ây ~kîg⧪ßâªÚ. aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 5×ây »¥¿xyÖ³ªÚ. 25(=52) ×ây Àryy{âê pdÎâyªÚ. En+×â ¿xªfXȨ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ ´ªÖr×ây ÆÚn, Æyж×â ´ªÖrÈ°¨ OpâRvá ¿xªfX×ây ~kîg⧪ßâªÚ. (EÖâývâ ´¬ 3) 3 ÀâyîÎâyy {d¾ °âpd]°â ¿xªfX 4È gâyÇȱPd¾Q ~kîg⧿öK 3 × 4 = 12. 12 ×ây 25Àâyyª{ây pdÎâyªÚ. ´~kóvây 1225 ´gây×ây. E~kóvây 352 = 1225 ´×âyê×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ.

Àâyp³Öâ I{dÝképâÇ, 1052 ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ, EÖâývâ aÖâê[ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr×ây °³ÈпöK Æyж×â ´ªÖrÈ°¨ OpâRvá ¿xªfX 10 ÀâyîÎâyy 11. {d¾ Àâyyª{ây×âQ ¿xªfX 11 Àds gâyÇȱPª 10× 11=110, 1052 = 11025 ´×âyê×ây ~kî¥ãðªßâÀâßây+.

ÆÀâpâÇ 9. (A|dpâ ¿xªfX 10 gd pdÎâÃé¶) ´Ìy°á n2, 25 æ ¿xÀâÃé×⪠{d¾ Àr×âyÖâs ¿xªfX ´gây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

35

´ÅdX¿xª 1.2.41. Àâp$dÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ: i) 31 ii) 72 iii) 37 iv) 166

2. Æ¥s Àâp$d¾Q Öâ×âyg³×âªÚ: i) 85 ii) 115 iii) 165

3. 1468 Àâp$d¾Q 1465+3 ´¾ pd¿xyÖ³¾ Öâ×âyg³×âªÚ.1.2.5 Àâpâ$ÀâyÃéȪÈy

aÖâ ßâ°âypâZ¿xª ABCD Åâymª l ́ Ìy°á {d¾ ÀrôµdÈXª l2 ́ gây×ây ́ ¾ Æ¥yæ °rÈy¿xy. o Æ|d×d¾Q »p¨gâÀây×⪠ßáÎâyÀâßây+×d? aÖâ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈéX¾Q En+×â~kóvây {d¾ Åâymª ¹åvâÀâó×ây Öâ×âyg³×â Àâßây+×d?

aÖâ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª 16 ¿õª.Æ¥y2 ́ ×âyÖ³×âyÀâyy {d¾ Åâymª ¹åvâÀâó×ây Öâ×âyg³×âvd¾Ñ, l2 = 16 = 42 ´¾pdû, l = 4 ¿õª.Æ¥y. ´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+, EÖâývâ aÖâ ¿xªfX Àâp$d¾Q En+×dpây. Àây×⪠A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×d¶. Àây×⪠»p¨gâÀây×â Æ|d×d¾Q ´×ây¿xî¿kKy×dQª ´×ᬠgâÀây¾ªn»pd?

Ѫ¬ ~kòpâJÀâp$dÈ×ây ~kîgâÇȨ¾Ñ »¥¿xyÖ¨ªÚ. 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 72, 81 = 92, 196 = 142 Z~k» ¿xª{âpâVªÈ¨ ¿xªfX prªvây ¿xÀâÃé×â ¿xªfXÈ gâyÇȱPªgd Iª¬. EÖâývâ 1 ¾ 1 ÎryyÖâý Àâpâ$ÀâyÃéȪ, 2×ây 4ÎryyÖâý Àâpâ$ÀâyÃéȪ, 7×ây 49ÎryyÖâý Àâpâ$ÀâyÃéȪ o Æ|âªgd ´ªêépây.N aÖâ ¿xÝkém ¿xªfX ´×âyæªêá , N = M2 ´gây×ây. N ×ây Àâpâ$ÀâyÃéȪ ´ªêépây.

E¬ ÀâpâÖá , m2 = m × m = (-m) × (-m)´×ᬠ°rÈy¿xyæ×dQpây. o Æ|âªgd m2 prªvây ÀâyÃéÈéÈ×ây Öâ¶Ð Iª¬. : m ÀâyîÎâyy -m. Æ¥sȨ {á¾¾ ~kîg⧪ßd¶? I{dÝképâÇæ 162 = 42 = (-4)2. o Æ|âªgd 4 ÀâyîÎâyy -4 prªvâÃé 16 Àâpâ$ ÀâyÃéÈéÈy Æ¥sȨ {á¾¾ »¥¿xyÖ¨Àd¶ ́ ×ᬠ¿kRÍk¦°â Èá{ây. ́ ×áÖâ ¿xª{âpdVÈy ¬¥¾¾ ¿kRÍk¦ª ßáÉKdÌy. ~õô I{dÝképâÇȨ aÖâ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª 16 ÎâyÃé¾êÒÈy ´Ìy°á {d¾ Åâymª ¹åvâÀâó 4 ÎâyÃé¾êÒÈy (-4 ¹åvâÀâó Öd{ây. ´ª{âyÀâÈ[ ¬¥¾¾ ~kîg⧪ßâpd{ây) ´Ìy°á ÈrÖâýæ 4 ÀâyîÎâyy -4 prªÚªs¾ 16 Àâpâ$ ÀâyÃéȪgd a~kóRÖ¨Àd¶.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

36

Àâpâ$ÀâyÃéȪ ´×á ~k{d¾Q I~kÎrÃéЪn×â ´¾Q ¿xª{âpdVÈȨ×ây {d¾¾ |â×d°âWÖâ Àâpâ$ÀâyÃéȪ ´¾ ~kîg⧪ßd¶. N Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Q N °¨ ¿xÃénÉKdª.

ÖdpdXßâpâǪ:1.2.IÆÀâpâÇȨ ¹è¶Öâ×ây gâÀây¾ªn fdù¥È×ây ~kòîªßâªÚ.

12 = 1⇒ 1 = 1;

22 = 4⇒ 4 = 2;

52 = 25⇒ 25 = 5;

112 = 121⇒----- = 11;

- - - = 225⇒---- = 15.

ÖdpdXßâpâǪ:1.2.N ÆÀâpâÇȨ ¹è¶Öâ×ây gâÀây¾ªn fdù¥¾ ¿xªfX Èá{d ~k{⪰¨ ~kòîK ßáÎâyªÚ.

Àâp$dÈy ÀâyîÎâyy Áky×âªÈy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

37

Eª°âæ Àâyyª{á Æ¥yæ °r¶û×âê[y µâÃé×âXªÖd¾ aÖâ ~kòpJdªÖâ Àâpâ$ÀâyÃéȪ UÈ[~kóRvây |â×d°âWÖâªgd Iªêyª¬. ´ª{âyÀâÈ[ Àâpâ$ÀâyÃéȪ ´×ᬠ|â×d°âWÖâ ~kòpJdªÖ⪠Èá{d 0 (O{rô×â Àâpâ$ÀâyÃéȪ ¿xy×âQ ´Àâó°âyª{¨)æ ÀâÃéZ°âª E¬ ´pâLÀ⪰âª.ÖdpâÇéªÖâ ~k{âM»È¨ ~kòpâJÀâpâ$ª Àâpâ$ÀâyÃéȪ

3 = 9 ÀâyîÎâyy 4 = 16 . ´Ìy×â×ây , 9 = 3× 3 ÀâyîÎâyy 16 = 4 × 4. o Æ|âªgd En+×â aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q {d¾ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈygd pdû Æ¥s¾ prªvây ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMªgd ÀâXÖâK~kpâßâÀâßây+. E¬ En+×â ~kòpâJÀâpâ$ª Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Q °rÈy¿xyÖ¨Àâvd¾Ñ ¿xÝkëÎây ~kvây×ây.

I{dÝképâÇ 1: 5929 Àâpâ$ ÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×âªÚ. ¬¥¥¾¾ Àây×⪠ֳ¾Q Éè¹d×dȨ[ Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây. Éè¹d×⪠1. 5929 ×ây Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ gâyÇȱMªgd ÀâXÖâK~kpâßâªÚ.

5929 = 7× 7 × 11 × 11 Éè¹d×⪠2. o Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ×ây ZÖâÀâyªgd ´Àâyî+ 5929

= (7 × 11) (7 × 11) = 77 × 77 o Æ|âªgd pdÉKdª.Éè¹d×⪠3. 5929 = 77 × 77, ´ª{âyÀâÈ[, 5929 = 77 ´¾ »¥pdW¾ÉKdª.I{dÝképâÇ 2: 6724 Àâpâ$ ÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : 6724 aÖâ ¿xî¿xªfX ´Ìy×âª{âyÀâÈ[ 2 aÖâ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖ⪠´Àâó°âyª¬. 6724 = 2 × 3362. ÀâypâÈé 3362 aÖâ ¿xî¿xªfX ´ª{âyÀâÈ[, 3362 = 2 × 1681.

E~kóRvây 1681 Ñ ÖdpâÇéªÖdÈ×ây Öâ×âyg³×âyê ¿xyÈÅ⪠Öd{ây. 1681 Z~k|d×â ¿xªfXÈ°¨ ÅdЪ~k±vây°âyª¬ ´×ᬠ3 °¨ Z¹dp⪫ªn Ap¨ÝkéÇ ZÖâÀâyªÈ¨ ~kîú¥¶¿kÃKé ¹èÀd¶. E¬ 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37 ÅdЪ~k±vâ{ây. 41 °¨ ÅdЪ~k±vây°âyª¬. 1681 = 41 × 41. o Æ|âªgd 6724 = 2 × 2 × 41 × 41 = (2 × 41)(2 × 41)= 82× 82 ¹åª{ây°dª. ¬¥¾ ×âyªÚ, 6724 = 82 ´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+.

7 5929 7 84711 121 11

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

38

En+×â ¿xªfXæ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ×ây Öâ×âyg³×á ¿xyÈÅâ ~k{âP» Èá{ây. Ö³¾Q ÖâÈ×â ~k{âP°âyÈy (algorithm) gâÇÖâÎâyªZ°âªÈ¨ I~kÎrÃéЪn En+×â ~õ{âM ¿xªfXæ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ×ây Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây. o Æ|âªgd æévd o ÖâÈ×â ~k{âM°âyÈy gâÇÖâ ÎâyªZ°âªÈ¨ ´» UæýÀâ ¿xÀâyÎâÃé¾Q »¥¿xyæªêéÌy. Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ×ây Öâ×âyg³×á ¿xyÈÅâ Æ|d×⪠Èá{ây ´×ᬠ±dXªæȨ[ Àd§mX ¿xª¿kLȨ[ ¿xypâãâ°d ~k{âM°âyÈ×ây I~kÎrÃéЪßâvd¾Ñ A|dpâ Àryô×â¬.

Ö³¾Q ¿xªfXÈy Uª{âyÀâÈ[ ~kòpâJ Àâp$dÈy ÖdÀâó?

aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×áê~kóvây A ¿xªfX Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈy ¿xî¿xªfXȨ IªêéÌy. ´×ᬠƥypây gâÀây¾ªßâÀâßây+. I{dÝképâÇæ, 1296 ×ây »¥¿xyÖ³ªêá {d¾¾ 1296 = 2×2×2×2×3×3×3×3 o Æ|âªgd ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâÀâßây+. E¬ prªvây Æ«×âQ ÖdpâÇéªÖdÈy 2 ÀâyîÎâyy 3 ×ây ¹åª¬ I×âQ¬. EÖâývâ 2 ×dÈ$y Édpâ[y, 3 ×dÈ$y Édpâ[y Àân+×dÌy. 1296 ×ây 1269 = (2×2×3×3) (2×2×3×3) = 36×36 ´¾ prªvây ¿xÀây ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMªgd pdÎâyvd¾Ñ I~kÎrÃégâª. {d¾ ÀâÈ[, 1269 = 36 ´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+. o ~k{âM»È¨ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ×ây prªvây ¿xÀây ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMªgd pdÎâyvd¾Ñ Éd|âXÀâygây×âê[y m°â ßáÎâyÀâßây+×ây ́ ×á ́ ªµd¾Q ́ ÀâȪ«ªnª¬. Z~k» Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖâÀâyy ¿xÀây ¿xªfXȨ×á Àân+×âª{âyÀâÈ[ E¬ Éd|âXÀryôª¬.ÖdpdXßâpâǪ:1.2.±yy1000 ÀâyîÎâyy 1500 È Àây|âX ´¾Q ~kòpJdªÖdÈ×ây pdÎâyªÚ. Z~k» ¿xª{âpâVªÈ¨ Z~k|d×â ¿xªfXÈ gâyÇȱPªgd ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ. gâyÇȱMªÈ¨ Z~k» Z~k|d×â ¿xªfX ¿xÀâÃé×â ¿xªfXȨ Àâ¿kKyª{â¾ ~kîú¥¶ªßâªÚ.

E~kóvây aÖâ ¿xªfX ~kòpâJÀâpâ$ª ÖdÖâ¹èÀâvd¾Ñ ÖdpâǪ OÆy? ´×ᬠ°rÈy¿xyÖ¨Àâßây+. aÖâ ¿xªfX ÖdpâÇéªÖdȨ[ Z~k|d×â ¿xªfX ¿xÀâÃé×â ¿xªfXȨ pdÖâ¹èÀâßây+×ây. ´~kóvây En+×â ¿xªfX ÖdpâÇéªÖdÈy prªvây ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMªgd pdÎâyvd¾Ñ Æ¥Èy Èá{ây. ´Ìy×d aÖâ ¿xªfX×ây ¿xîÎryô×â ÖdpâÇéªÖ⪰¨ gây§ªßâv⪰¨ Èá{d ÅdЪßâv⪰¨ ~kòpâJÀâpâ$ªgd ßáÎâyÀâßây+×ây.

aÖâ ¿xªfX×ây ~kòpâJÀâpâ$ª Öd{ây ́ ×âyæª{dª. I{dÝképâÇæ 48¾ »¥¿xyæª{dª. 48 = 2 ×2 × 2 × 2 × 3 ´×ᬠgâÀây¾ªßâªÚ. EÖâývâ 2 ×dÈygâyÉdpâ[y Àân+×â¬. Öd¾¥ 3 aÖâ Édî ÀâÃéZ°âÀáy Àân+ª¬. ´ª{âyÀâÈ[ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ×ây ¿xîgd m°âßáÎâyvd¾Ñ Æ¥Èy Öd{ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

39

´Ìy°á 48 ¾ 3 ßá gây§ªßâv⪠ÀâÈ[ 48 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2 × 3) × (2 × 2 × 3) = 12 × 12 ´Æ °rÈyÎâyy×ây. aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª Àâßây+×ây. 48 ¾ 3 × 2 × 2 ßá gây§ªn 48 × 12 = (2 × 2 × 3 × 2) (2 × 2 × 3 × 2) = 24 × 24 ×ây ¹åª{âÀâßây+×ây. E¬ aÖâ ~kòpâJ Àâpâ$Àâygây×ây. aÖâ ÀâyyfX ́ ªµâÀáyÀâyªêá, 48¾ 48k2 ßá, EÖâývâ k aÖâ |â×â~kòpJdªÖâªßá gây§ªn Àâyyª{ây ÀâÃé¬îgd 48 × k2 = (12k) × (12k) ~kòpâJÀâpâ$ª×ây ¹åª{âÀâßây+×ây. O Æ|âªgd ´Ìy×d 48¾ gây§ªn ~kòpâJ Àâpâ$ª×ây ¹åª{âvd¾Ñ ´» Öâ¾Ík¦ ¿xªfX 3.

I{dÝképâÇ 3 : 9408 ¾ ~kòpâJÀâpâ$ªgd ßáÎâyvd¾Ñ {d¾¾ gây§ªßâÀâÈû×â ´» Öâ¾ÍkF ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

9408 ×ây 2 °¨ Z¹dp⪫ªn ÅdпkÃKé ±áû ¿xªfX Àâßá+Àâpâæ Ö³×âÉdЪßd¶. 9408= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7 gd pdÉKdª. EÖâývâ 2 ÀâyîÎâyy 7 ¿xÀâÃé×â ¿xªfXȨ Àân+×dÌy. ´Ìy°á 3 aÖâ Édî ÀâÃéZ°âª Àân+ª¬. ´ª{âyÀâÈ[ 9408 ¾ ~kòpâJÀâpâ$ªgd ßáÎâyvd¾Ñ 3 ßá gây§ªßd¶. 9408= (168)2 Àâßây+×ây)

Àr×âyÖâs I{dÝképâÇ 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ×ây »¥¿xyæª{dª. 3 ßá gây§ªßá ±{âyÈy 3 ßá ÅdÐ{Mdª.

348

32 2 2 2 3 4 4# # # # #= =

¬¥¾ ×âyªÚ. æévd ~kòpâJ Àâp$d¾Q ¹åª{ây°dª. {d¾Q ÀâypâÈé 3 × 2 × 2 ßá ÅdЪßâªÚ.

3 2 3 2248

22 2 2 2 3 2 2

# # # ## # # # #= =

×ây ~kòpâJ Àâpâ$ªgd ¹åª{âÀâßây+×ây. ´Ìy×â×ây 48 ¾ ÅdЪn ~kòpâJÀâpâ$ªgd ßáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â Öâ¾ÍkF ¿xªfX 3.

I{dÝképâÇ 4 : 336 ×ây ÅdЪßây ~kòpâJ Àâpâ$ªgd ßáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â Öâ¾ÍkF ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 ́ ¾ gâÀây¾ÉKdª. EÖâývâ 3 ÀâyîÎâyy 7 aÖâÉdî Àân+×dÌy. ´ª{âyÀâÈ[ ~kòpâJÀâp$d¾Q ¹åª{âvd¾Ñ Àds¾ °³ÈЪßd¶. 336 ×ây 3 × 7=21 ßá ÅdЪn ~kòpâJ Àâp$d¾Q ¹åª{ây°dª.

21336 16 42

= = ÖdÀâÈû×â Öâ¾ÍkF ¿xªfX 21.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

40

´ÅdX¿xª 1.2.51. En+×â ¿xªfXÈ Àâpâ$ ÀâyÃéÈé¾Q ÖdpâÇéªÖâ ~k{âM»È¨ Öâ×âyg³×âªÚ. i) 196 ii) 256 iii) 10404 iv) 1156 v) 13225

2. ¿xÃéÖ¡íWÖâîªßâªÚ: i) 100 36+ ii) 1360 9+ iii) 2704 144 289+ + iv) 225 25- v) 1764 1444- vi) .169 361# 3. aÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ Àryô{d×⪠ÀrôµdÈXª 1764 Æ¥y2 ÖâÈ{ây.o Àryô{d×⪠aÖâ

ÀâyÃéÈ×âyªÚ 784 Æ¥y2 ÀrôµdÈXªgâÈ Ådg⪠Z~km¨~kÎrÃégd¾Ñ ÖáêéÌyªßâ±Úª¬. Æyж×â Ådgd¾Q 5 ¿xÀâyÅdgdÈygd ßáÎây±Ú×â¬. Z~k» Ådg⪠ßâyê¦y ֳȰâ Uª°â?

4. En+×â ¿xªfXÈ×ây ~kòpâJÀâpâ$ªgd ßáÎâyvd¾Ñ Àds¾ gây§ªßâÀâÈû×â Öâ¾ÍkF ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ:

i) 847 ii) 450 iii) 1445 iv) 1352

5. En+×â ¿xªfXÈæ ´» ~õ{âM ~kòpâJÀâpâ$ ÖdpâÇéªÖd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ. i) 48 ii) 11280 iii) 729 iv) 1352

6. 48 Ñ aÖâ |â×â ÖdpâÇéªÖd¾Q ÀâyîÎâyy aÖâ |â×â gây§mé¾Q æéÚ°á Àâßá+ aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q Öâ×âyg³×âªÚ. o Æ|âÀryô×â ´×áÖâ m°âÈy ÖâÈÀâ¾ ÉdºªßâgâÈpd?

1.2.6. {â°âK ¿xªfXæ ¿xÆ¥y~kªgd gâÈ ~kòpâJ Àâp$dÈy :

aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª Öd¾ ¿xªfX I{dÝképâÇæ 72.72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, ×ây gâÀây¾ªßâªÚ. 2 ±áû ¿xªfXȨ ÖâÈ{ây. (3 Édpâ[y).

72×ây 2 ßá gây§ªn =72 × 2 =144 = 122 ×ây ¹åª{âÀâßây+×ây. Èá{d72 ×ây 2 ßá ÅdЪn

272 = 36 = 62 ×ây ¹åª{âÀâßây+×ây. ´Ìy°á 62 ÀâyîÎâyy122. ÀâyîÎâyy ÀâyîÖ³¾Q

~kòpâJ Àâpâ$ ¿xªfXÈy ÖâÈÀâó. ´Æ 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81, 102 = 100 ÀâyîÎâyy 112 = 121. ÀdsȨ O¬ 72 Ñ ´» ¿xÆ¥y~kªgd Iª¬? 82 = 64 < 72 < 81 = 92 ÀâyîÎâyy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

41

72 – 64 = 8 < 9 = 81 – 72 ́ ×ᬠgâÀây¾ªßâªÚ o Æ|âªgd 72 æ 64 ́ °âXª°â ¿xÆ¥y~kªgd gâÈ ~kòpâJÀâpâ$ª.

aÖâ ~kòpâJ Àâpâ$ª Öd¾ ¿xªfXæ ́ °âXª°â ¿xÆ¥y~kªgd aÖâ OÖrôÖâ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX Iªêyª¬.. N aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª Öd¾ ¿xªfX ´Ìy°á {d¾¾ prªvây ZÖâÀâyÀâpâ$¿xªfXÈ Àây{âX ßápâ+Àâßây+×ây. ´~kóvây n2 < N < (n+1)2 (n+1) prªvây ZÖâÀây ¿xªfXÈrô×âª{ây ÀâÈ[ aÖâs ¿xî ÀâyîÎâyy Àâyp³Öâs ±áû ¿xªfX ´gây×ây. {d¾ÀâÈ[ N ×ây fnà°âªgd n2, ÀâyîÎâyy (n+1)2 È Àây{âX Iªvâ{ây. N- n2 = (n+1)2 – N ´Ìy°á ´~kóRvây 2N = n2 + (n+1)2 = n2 + n2 +2n +1 = 2n2 + 2n + 1 ´gây×ây. E¬ ´Éd|âXª Uª{âyÖâªêá 2N ¿xî ÀâyîÎâyy 2n2 + 2 n + 1 ±áû ¿xªfX. ´ª{âyÀâÈ[ n2, N æ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~kªgd Iªvá aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª ´Àâó°âyª¬. Èá{d (n+1)2 ´°âXª°â ¿xÆ¥y~kªgd Iªvá ~kòpâJÀâpâ$ª ´Àâó°âyª¬. n2, N æ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~kªgd Iªvá ~kòpâJÀâpâ$ª ́ Ìy°á n ¿xyÀâÃépây N ́ ¾ ßr~kó°dª. (n+1)2N æ ́ °âXª°â ¿xÆ¥y~kªgd Iªvá (n+1) ¿xyÀâÃépây N ´¾ ßr~kó°dª. o Æ|âªgd N aÖâ ~kòpâJ Àâpâ$ª Ödæ×âQ×ây N æ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖd¾Q Öâ×âyg³×â Àâßây+×ây. ÀâyîÎâyy N æ ¿xyÀâÃépây aÖâ ~kòpJdªÖd¾Q ¹åª{âÀâßây+×ây.I{dÝképâÇ 5: aÖâ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª 90 ¿õª.Æ¥y2 ́ Ìy°á {d¾ Åâymª ¹åvâÀâó×ây ¿xyÀâÃépây ~kòpJdªÖâªgd Öâ×âyg³×âªÚ.

A = l2 ́ Ìy×âª{âyÀâÈ[, l2 = 90. ́ Ìy°á 81 < 90 < 100 ÀâyîÎâyy 81, 90 Ñ, 100Öâªêá ¿xÆ¥y~kªgd Iª¬. ´ª{âyÀâÈ[ 90 Ñ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖ⪠81 = 9.I{dÝképâÇ 6 : ßâ°âypâZÉdÖdpâ aÖâ ¿kLȪ ÀrôµdÈXª 112 Æ¥y2 gâÈ{ây. {d¾ ßâyê¦yֳȰâ×ây ¿xyÀâÃépây ~kòpJdªÖâªgd Öâ×âyg³×âªÚ.

ßâ°âypâZ¿x Åâymª ¹åvâÀâó l ´Ìy°á ßâyê¦yֳȰâ 4 l. l2 = 112. ´ª{âyÀâÈ[ (4l)2 = 16 l2 = (16) × (112) = 1792.

´Ìy°á, 422 = 1764 < 1792 < 1849 = 432 ÀâyîÎâyy 1764, 1849 Öâªêá1792Ñ ¿xÆ¥y~kªgd Iª¬ ´ª{âyÀâÈ[ 1792 Ñ ´ª{dmä ~kòpJdªÖ⪠42. ßâyê¦y ֳȰ⠿xyÀâÃépây 42 ¿õª.Æ¥y. ÖâÈ{ây.Ýõéßâ+îÖâ : 112 ×ây ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖd¾Ñ ~kîg⧿öK ´¬11 ´gây×ây. ÀâyîÎâyy Æ¥ypây ßâyê¦y ֳȰâ×ây ¿xyÀâÃépây 44 (=4 × 11) ´¾ pdÎâyvd¾Ñ Z~öî°âÀâyÀâó°dpây. 112×ây 11 ×âyªÚ ÀâÃéî+×âª{âyÀâÈ[ {¨ÍkÀâygây×ây. ÀâypâÈé {d¾¾ 4 ßá gây§¿öK ´¬ 4 prê[y {¨ÍkÀâygây×ây. o ÖdpâǪgd 112 ×ây Àryy{âê 16 ßá gây§ªßdª. Àâpâ$ÀâyÃéȪ×ây ´» ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖd¾Ñ »¥¿xyæ×dQª. ¬¥¾È¨ Aµâ+pâXª OÆyÈá{ây. r = ¼ æ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖ⪠´Ìy°á 3r = ¾ æ ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖ⪠1 °â~kR 3 × 0 = 0 Öd{ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

42

E~kóvây Æ¥ypây ~kòpâJ¿xªfXÈ Æy»¾ gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây. 90 ×ây Öâ×âyg³×dȪêá {d¾¾ 9 ´¾ »¥¿xyÖ¨Àd¶. 94 ÖdÀdȪêá 10 ´¾ »¥¿xyÖ¨Àd¶. ´Ìy°á o prªÚªêȨ O¬ ~kòpâJÀâpâ$ª Öd¾ ¿xªfX ¾mpâÃé¹d¾Q EÀâ]Àâó. o Æy»Ñ ÖdpâÇÀáyÀâyªêá n ÀâyîÎâyy n+1 Àây{âX O ~kòpJdªÖ⪠Èá{ây. ́ Ìy°á o ÈãâǪ ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈæ ́ ×â]Ìyªßâ{ây. OÀrô×d prªvây ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈ Àây{âX Àâyp³Öâ ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây. E¬ ~kòpâJ Àâpâ$ª Öd¾ ¿xªfX Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Ñ ´» ¿xÆ¥y~k Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×âvd¾Ñ ¿xÝkëÎây~kvây×ây. ¬¥¾ gâyîªn UæýÀâ ÆÍkÎâÃé¾Q Æ¥ypây Àâyyª{ây °âpâgâ°âyȨ[ °rÈy¿xyæªêépây.

´ÅdX¿xª 1.2.6

1. En+×â ¿xªfXÈ Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Ñ ¿xÆ¥y~kªgd gâÈ ~kòpJdªÖdÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ: i) 232 ii) 600 iii) 728 iv) 824 v) 1729

2. aÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¿kLȪ ÀrôµdÈXª 1000 Æ¥y ¬¥¾ ßâyêæé ÀâyyÔâ\»¥gâ×ây~kÎrÃéЪn Öâªßr ÀáÎâÃé¶. ÀâyyÔâ\ °âª» ¹åvâÀâó ~kòpJdªÖdȨ[ ÀâÃéZ°âª ÈÅâXÀâygây×ây. o I{áMµdX¾Ñ ÖdÀâÈû×â ÀâyyÔâ\»¥gâ Öâ¾ÍkF ¹åvâÀâó Uª°â?

3. aÖâ Æ{dXîL¾ 961 Öâ×âyg³×âÀây¾ ßr~kR±Úª¬. {d¾¾ ́ °âvây °â~kóRgd Zgâþéªn 691×ây ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖd¾Ñ Öâ×âyg³×r×ây. ¿xîÎryô×â ¿xÀâÃé|d×⪠×âyªÚ ́ °âvây Öâ×âyg³×âQ

¿xªfX Uª°â °âæýÀâ?1.2.7 ~kòpâJÁky×dÈy.

o ~ks¦Öâ×ây ßâ{âÀâªÚ : 1 = 1 × 1 × 1

8 = 2 × 2 × 2

27 = 3 × 3 × 3

125 = 5 × 5 × 5

Z~k» ¿xªfX×ây 3 ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMªgd pdÎâyvd¾Q gâÀây¾ÉKdpây.aÖâ ~kòpJdªÖxª N ×ây, ÀâyÃévây ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱPªgd pdÎâyvd¾Ñ Éd|âXÀâyÌy°á ~kòpJdªÖ⪠N ×ây aÖâ ~kòpâJÁky×⪠´ªêépây. N = m × m × m ´Ìy°á, m Áky×⪠N ´ªêépây. ÀâyîÎâyy N = m3 ´¾pdÉKdª. (m Áky×⪠Èá{d ÁkÃé°âª 3 ´¾ßâ{âyÀâó°dª.)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

43

EªÖd Ö³¾Q I{dÝképâÇÈ×âygâÀây¾ÉKdª :(-4) × (-4) × (-4) = -64 = (-4)3

(-5) × (-5) × (-5) = -125 = (-5)3

(-8) × (-8) × (-8) = -512 = (-8)3

±yyÇ ¿xªfXÈy ~kòpâJÁky×dÈy ´×âyê×ây gâÀây¾ªn»pd? ¬¥¾¾ ~kòpâJÀâp$dÈæ ¹èÈ+ªÚ. (Con-strast) µâÃé×âXª Öd¾ aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª °â~kRÖâ |â×d°âWÖâ ~kòpJdªÖâÀáy ÖdÀd¶ ´Ìy°á ~kòpâJÁky×dÈy |â×d°âWÖâ Èá{d ±yyÇé°âWÖ⪠ÖdÀâßây+×ây.I{dÝképâÇ 7 : 6 Áky×âª×ây Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : 63 = 6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216

I{dÝképâÇ 8: 20 Áky×⪠Uª°â?Éd|â×â : (20)3 = 20 × 20 × 20 = (400) × 20 = 8000.

Áky×⪠´×á Áky×dÖâ½» gâyîªn Æ¥ypây ×ápây+ æ×dQpây. ´¬ ¿xÀâÃé×â ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR U°âKyÈ×ây Öâ¶Ð×â aÖâ Áky×âª. Áky×⪠aÖâ ́ ªßây l ́ Ìy°á Áky×â~kîÀâÃéǪ V = l3q Áky.ÎâyÃé.I{dÝképâÇ 9: aÖâ Áky×⪠´ªßây 10 ¿õª.Æ¥y ´Ìy°á {d¾ Áky×â~kîÀâÃéǪ Uª°â?Éd|â×â : V = 10 × 10 × 10 = 1000 (¿õª.Æ¥y)3

I{dÝképâÇ 10: 1 Öâªêá ~õ{âM{rô×â ~kòpâJÀâpâ$ª, Áky×⪠́ Ìy°á ́ °âXª°â n×âQ ~kòpJdªÖd¾Q pdÎâyªÚ.

Éd|â×â : O{rô×â ¿xªfX n °¨ Z¹dp⪫ªn {d¾¾ 6 Édpâ[y gây§¿öK Àâßá+ ¿xªfX N.N = n × n × n × n × n × n = ( n × n) × (n × n) × (n × n)

= (n2) × (n2) × (n2) = (n2)3 o Æ|âªgd N ´×ây×⬠n2 Áky×⪠´{áÆ|âªgd N = n × n × n × n × n × n = (n × n × n) × (n × n × n)

= (n3) × (n3) = (n3)2.

EÖâývâ N ́ ×ây×⬠n2 Àâpâ$ª. o Æ|âªgd N aÖâ ~kòpâJÁky×⪠ÀâyîÎâyy ~kòpâJÀâpâ$ª æévd. »¥¿xyæªêá Öâ¾ÍkF ¿xªfX×ây ¹åª{âÀâßây+×ây. N = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64. 64 = 43 ÀâyîÎâyy 64 = 82 ´¾ ~kîú¥¶ªßâ Àâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

44

I{dÝképâÇ 11: 6 aÖâ Áky×â~kòpâJª Öd{ây ´¾ßâÃé~kªÚ.

Éd|â×â : 1 < 6 < 8 ´×âyê×ây gâÀây¾ÉKdª ´ª{âyÀâÈ[ 13 < 6 < 23. 1 ÀâyîÎâyy 2 È Àây{âX O ~kòpJdªÖ⪠Èá×âª{âyÀâÈ[ 6 ×ây ÀâyÃévây ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMªgd pdÎâyÈáª.

´ÅdX¿xª 1.2.71. ×âÀâyÃé×d×ây gâÀây¾ªn, fdù¥¾ ~kòîªßâªÚ.

2 3 4 -5 ___ 8 ___

23 = 8 33 = __ ___ = 64 ___ = ___ 63 = ___ ___ = ___ ___=-729

2. Àryy{âs Y{ây ±áû ¿xªfXÈ Áky×dÈ×ây ÀâyîÎâyy Àryy{âs Y{ây ¿xî ¿xªfXÈ Áky×âÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. ±áû Áky×dÈ ÀâyîÎâyy ¿xîÁky×dÈ ¿xÀâÃé×â°â]ª gâyîªn °rÈy~kó°dpd?

3. 1 ×âyªÚ 100 Àâpâæ U¾Q Áky×dÈ×ây Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây? -100 ×âyªÚ 100 Àâpâæ U¾Q Áky×dÈy×dQÌy?

4. 1 ×âyªÚ 500 Àâpâæ U¾Q ~kòpâJÁky×dÈy×dQÌy?o Áky×dȨ[ U¾Q ~kòpâJ Àâp$dÈy×dQÌy?

5. 10, 30, 100, 1000 Æ¥s Áky×dÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. nÀâîȨ I×âQ ¿xy×dQÈ gâyîªn OÆy ßr~kó°dpây?

6. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 È Áky×âªÈ¨ aÖâê[y ÉLd×âªÈ¨ gâÈ ´ªÖrÈy OÆ? En+×â ¿xªfX aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ ´ªÖr×ây gâÀây¾ªn, Àâpâ$ ¿xªfXÈ×ây ßrÄR×âê[y aÖâ ¿xªfX ~kòpâJÁky×⪠Öd{â×âyê×ây °rÈy~kóê Éd|âXÀâÃé?

ÖdpdXßâpâǪ 1.2.U : (ÝkéXî¥G-pdÀâÃé×âym×Ò ¿xªfX gâyîªn UæýÀâ ¿xÀâÃéßdp⪠֨¿xª) : 4104 ÀâyîÎâyy 13832 È×ây prªvây ~kòpâJÁky×âªÈ Àryy°âKªgd Æ«×âQâyȨ[ ÀâXÖâK~kpâßâªÚ. o ÆÀâpd¾Q gâyîªn UæýÀâ ÆÍkÎâÃé¾Q °rÈy¿xyÖ¨ªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

45

1.2.8 Áky×âÀâyÃéȪ :

aÖâ Áky×⪠ÎryyÖâý aÖâ ´ªßây ¹åvâÀâó En+×â~kóvây {d¾ Áky×â~kîÀâÃéǪ OÆ|âªgd Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây ́ ×á ÆÍkÎâyª Æ¥yæ °rÈy¿xy. ¬¥¾¾ »p¨gâÀây×⪠ßáÎâyÀâßây+×d? aÖâ Áky×⪠Áky×â~kîÀâÃéǪ En+×â~kóvây {d¾ ´ªßây¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âÀâßây+×d?

aÖâ Áky×⪠Áky×â~kîÀâÃéǪ 125 ¿õª.Æ¥y3 ́ ×âyÖ³×âyÀâyy l {d¾ ́ ªßây ¹åvâÀâó l ́ Ìy°ál3 = 125 ÀâyîÎâyy l = 5 ¿õª.Æ¥y. ´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+×ây. 5×ây 125 Áky×âÀâyÃéȪ

´¾ ßr~kó{dª ÀâyîÎâyy ¬¥¾¾ 5 = 1253 ´¾ pdÉKdª. N aÖâ ¿xªfX ÀâyîÎâyy n ´×á¬, N = n3 ´Ìy°á , n ×ây N Áky×âÀâyÃéȪ ´ªêépây. ¬¥¾¾ n = N3 ´¾ pdÉKdª.

Íkpd: Àâpâ$ ÀâyÃéȪ, Áky×âÀâyÃéÈéÈy ~kòpJdªÖ⪠Öd¾ ¿xªfXÈæ ´×â]Ìyªßây×ây. (Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Ñ ¿xªfX pâyÇé°âWÖâªgd Iªvâæévâ{ây) o {âµâȨ ¬¥¾¾ ~kòpJdªÖdÈæ ÀâÃéZ°âª ~kîÆy°âª ßáÉKdª. ¬¥¾¾ ´¾Q ¿xªfXÈæ ÉdÀâÃé¾¥XÖâpâǪ ßáÎâyª.

Àâpâ$ÀâyÃéȪ m°âæ Áky×âÀâyÃéȪ ÆÀâpâÇ×ây ~kîg⧪ßâªÚ. aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q E¿öK, {d¾Ñ prªvây Àâpâ$ÀâyÃéÈéÈyªêéÌy. |â×d°âWÖâ ÀâyîÎâyy ±yyÇé°âWÖâ. Uª{ây Öâªêá µâÃé×áX°âpâ aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª UÈ[~kRvây |â×d°âWÖ⪠ÀâyîÎâyy O{rô×d ~kòpJdªÖ⪠n æ (-n)2 = n2, Áky×dÈæ ¿xª±ªºªn E¬ Éd|âXª Öd{ây n |â×d°âWÖ⪠´Ìy°á n3 æévd|â×d°âWÖ⪠n ±yyÇé°âWÖâ Àryô°á n3 æévd ±yyÇé°âWÖâª. ´ª{âyÀâÈ[ En+×â ¿xªfX |â×d°âWÖ⪠Èá{d ±yyÇé°âWÖ⪠´×ᬠA|dpâªgd aÖâ ~kòpâJÁky×⪠Áky×âÀâyÃéȪ °rÈy¿xyÖ¨Àâvd¾Ñ ¿xÝkëÎây~kvây°âyª¬ Àâpâ$ÀâyÃéÈéÈ ÀâÈr Áky×âÀâyÃéÈéÈæ aÖâ ¿xªZ~k{dÎâÃé¾Q ´×ây¿xîªßá ´Àâ¿xp⪠Èá{ây.

Àâpâ$ ÀâyÃéÈéÈ ÀâÈr, aÖâ ~kòpâJÁky×⪠Áky×âÀâyÃéÈé¾Q Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ°¨ Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây.

Þ¾Àd¿x pdÀâÃé×âym×Ò (1887-1920) ¾¿kbª{áÝkéªgd ´¾Q ÖdÈéÈæ ßrª¬×â g³~kR g⧰⠵dç¿xKmCvây ´°âvây ¿k]Îâyª úãâÖâvây. ´Ìy×â~kRsÖ¡ ´¹dpâ g⧰â Z~k»Åâ×ây Öâ¶Ð Îâyyªvr×ây. Ådpâ°â {áµâªÈ¨ ́ °âvây ¹dtâµdÈ ~kî¥ãâȨ I»¥KpâJyvây ÖdÈá{ây, ´ª{âyÀâÈ[ ÀâyZ{d¿xy £èpâ¦y Zê¿Ï¦È¨ gâyÀâÃéÉKd I{³Xg⪰¨ °â½ÄK ¹åª{d¶b Àâßr+×ây. ´Ìy×â~kRsÑ ´°âvây °â×â{á ´Ìy×â g⧰d¾Q ¿x½¸¦¿kÃKé UרQ °r¶Îây¾ Ák¶°dÈ×ây Öâ¾~õêr¦×ây. o Ák¶°dȾ¥Q Ê. ÝõéßÒ. ÝkéXî¥GÑ ~kª~õ×ây. pdÀâÃé×âym×ÒȨ¾ ´ª°âpâ$°â g⧰â Z~k»Åâ×ây gâyîKªn×â

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

46

ÝkéXî¥G, ́ °â¾¾ ÖáªZ²vÒ@æ pdÀâvd¾Ñ ́ ÀâÖdµâª Öâ¶Rªn×dpây. ÉdªZ~k{dÎâyÖâ úãâÇ Ö³pâ°âÀâÈ[ pdÀâÃé×âym×Òæ Ö³¾Q ÉdªZ~k{dÎây Éd|â×âÈæ Z~k°âXãâ ¿x°dXÈæ Àây|âX ÀâX°dXÉdÈ×ây Öâ×âyg³×âÈáÖâ ¹èÎáy×ây. ´°â¾ ´ª°âpâ {⽸¦ ÀâyîÎâyy ÈrÖdýßdpâ ÉdÀâypLdXÈ ÀâÈ[ ÉdªZ~k{dÎâyÖâªgd E~kRs Àâpâæ Édºªßâvd¾Ñ Æ¥ÈyÖd¾ ´¿xªZ~k{dÎâyÖâ Ák¶°dªµdÈ×ây ¾pâÃéĪßâvd¾Ñ, Édºªßâvd¾Ñ Éd|âXÀâyÌy×â¬. pdÀâÃé×âym×Òæ ¿xªfXÈ gâyîªn npâ~kîßâÎâyª ÀâyîÎâyy ƵáÍkªgd ¿xªfdX û{Mdª°âª gâyîªn ´~kîÆy°â mCé×⪠Iªvr×ây.

mr. ¶êÒ[ÀâóvÒ (Ê. ÝõéßÒ. ÝkéXî¥G ¿xÝké¨{¨XÐ) Z~k» ~kòpJdªÖ⪠pdÀâÃé×âym×Ò ¿öQþé°âyvây ´¾ I{&dsªßr×ây. ¿xªfXÈ°¨ ´°â¾ ~kîßâÎâê o Ákyê×âÀâÈ[ °r¶Îâyy×ây. Eªg[dªvâyȨ pdÀâÃé×âym×Ò ´×dp¨gâXª°¨ I×âQ~kóRvây ´°â¾¾ ÝkéXî¥G A¿kRZ»È¨ Öâ¶û×dpây. Àd-pây Z~kÎâÃ駪n×â Ödpây ¿xªfX 1729 E¬ aÖâ Z~k°áXÖâ ¿xªfX ´¾ ßrÄR×dpây. ¬¥¾¾ prªvây Æ«×âQ ¿xªfXÈ Áky×âªÈ Àryy°âKªgd ÀâXÖâK~kpâßâÀâßây+×â¾ ßr~õR×ây. . 1729 = 13 + 123 = 93 + 103 (ÝkéXî¥G-pdÀâÃé×âym×Ò ¿xªfX).

{âypâ{â½Ík¦Àâµd°âKy pdÀâÃé×âym×Ò Ap¨gâXª Ȫvâ×ÒȨ »¥ZÀâªgd 㡧ªnª¬. ´~kîn°â Àd°dÀâpâǪ, AÝkëp⪠ÀâyîÎâyy OÖdª°âªÀâÈ[ Àdî Ap¨gâXª ßrÚ¹èÌyª¬. ´ÖâýÚ Æ{áú¥ Àd°dÀâpâǪ Àdî Ådp⻥Îây ¿xªZ~k{dÎâÃéÈ Öâªêá Æ«×âQªgd IªvâêÀáy ¬¥¾Ñ ÖdpâÇÀây¾ ßr~kRÀâßây+. ́ °âvây »îÐ Ö¨ÈyÖ¨Àd¶ ́ ¾ 1919 Ȩ Ådpâ°â {áµd¾Ñ ~kª~k ±Úî ́ Ìy×â~kRsÑ {âypâ{â½Ík¦Àâµd°âKy °âpd]» ¿xªÀâ°âbp⪠°â×â 32 Àâ Oê Àâyp⧪ßdpây.

I{dÝképâÇ 12: 216 Áky×âÀâyÃéÈé¾Q ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâv⪠{d]pd Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â: 216 = 2 × (108) = 2 × 2 × (54) = 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3) (2 × 3) (2 × 3) = 6 × 6 × 6

´ª{âyÀâÈ[ , 2163 = 6

I{dÝképâÇ 13: -17576 Áky×âÀâyÃéÈé¾Q ÖdpâÇéªÖâ ~k{âM»È¨ Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : Àryy{âê17576 Áky×âÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³ª{dª,

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

47

17576 = 2 × (87880) = 2 × 2 × (4394) = 2 × 2 × 2 × (2197) = 2 × 2 × 2 × 13 × (169) = 2 × 2 × 2 × 13 × 13 × 13 = (2 × 13) × (2 × 13) × (2 × 13) = 26 × 26 × 26E¬ -17576 = (-26) × (-26) × (-26) ´×âyê×ây ¿xÃén¿kKyª¬.o Æ|âªgd , 175763

- = -26.I{dÝképâÇ 14 : ~kòpâJÀâp$d¾Q ¹åª{âvd¾Ñ 243 ×ây O Öâ¾ÍkF ¿xªfXßá gây§ªßd¶?

Éd|â×â : 243 ×ây ÖdpâÇéªÖâ ~kpâyÉKdª. 243 = 3 × (81) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3

243 ×ây 3 ßá gây§¿öK243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 × 9 ~kòpâJ Áky×d¾Q ¹åª{ây°dª ´ª{âyÀâÈ[ mÀd±y 3.aÖâ |â×d°âWÖâ ~kòpâJ Áky×d¾Q ÖdpâÇéªÖâ ~kî¿öK Z~k»Édî Àâßá+ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖâª

UÈ[~kóRvây 3 gây§mªgd Iªvây×ây. ´×ᬠgâÀây¾ªßâÀâßây+. (~kòpâJÀâp$dÈæ 2 gây§méÈy ÖdpâÇéªÖdÈyªÚ×âê[y) aÖâ {â°âK ~kòpJdªÖâ gâyÇÖ⪠~kòpâJÁky×⪠ÖdÀâvd¾Ñ gây§ªßâÀâÈû×â Öâ¾ÍkF ~kòpJdªÖd¾Q Öâ×ây g³×âvd¾Ñ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdȨ[ U¾Q Z~k|d×â ÖdpâÇéÈy °âæýÀâ I×dQÌy. ´×ᬠgâÀây¾ªn Àds¾ ~kòpâJÁky×⪠×âyªÚ Z~kÖâý×âyªßd¶.

Ö³¾Q Édpâ[y ~kòpâJ Áky×⪠Áky×âÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×âvd¾Ñ UæýÀâ ¿xÀâyÎâyª ~kvây°âyª¬ ´ª{âyÀâÈ[ ¿xpâÔâ ~k{âP»¾ Öâ×âyg³×âv⪠gâÃéî+ AȨnÉKdª. Áky×âÀâyÃéÈé¾Q ¾pPdîªßâvd¾Ñ aÖâ Áky×⪠aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr Z~kÀâpâK×â×ây~kÎrÃéÐÉKdª. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 o ¿xªfXÈ Áky×âªÈ¨ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨ Àâßá+ ´ªÖrÈ×ây ´¬]»¥Îâyªgd ¾pPdîªßâÀâßây+. o ~ks¦Öâ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.

n Ȩ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

n3 Ȩ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

48

Àryy{âs 9 ¿xªfXÈ Áky×âªÈ×ây ~kꡦ ßá{Mdª.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729

E¬ O Æ|âªgd I~kÎrÃég⪠´×ᬠßâÃé{Mdª.I{dÝképâÇ 15 : 103283 Áky×âÀâyÃéȪ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : 103283 Ȩ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 3 .

n3 = 103283 ×ây 103 ÀâyîÎâyy 283 gd ÆÅâʪßd¶ , 43 = 64 < 103 < 125 = 53 ´×ᬠgâÀây¾ÉKdª. ´ª{âyÀâÈ[403 = 64000 < 103283 < 125000 = 503.

´ª{âyÀâÈ[ n, 40 ÀâyîÎâyy 50È Àây{âX Iªvd¶. n Ȩ aÖââê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 7 ´Ìy×âª{âyÀâÈ[ ´Èéªs aÖâ OÖrôÖâ ¿xªfX 47, 473 = 103283 ´×âyê×ây ~kîú¥¶ªßâÀâßây+. gâÀây¾ªßâªÚ: En+×â ¿xªfX ~kòpâJ Áky×⪠´¾ °r¶û×â~kóvây ÀâÃéZ°âª o Æ|d×d¾Q I~kÎrÃéЪßâÀâßây+.

I{dÝképâÇ 16: 12345 Áky×âÀâyÃéÈé¾Ñ ¿xÆ¥y~kªgdgâÈ ~kòpJdªÖd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â :

203 = 8000 < 12345 <27000 = 303 ´×âyê×ây gâÀây¾ÉKdª. ´ª{âyÀâÈ[ 123453 ´×ᬠ20 ÀâyîÎâyy 30È Àây{âX Iªvd¶. 12345 aÖâ ~kòpâJÁky×âÀâÃé Öd{d ´×ᬠ°r¶Îây{ây. 233 = 12167 ÀâyîÎâyy 243 = 13824, ´ª{âyÀâÈ[ 123453 23 ÀâyîÎâyy 24È Àây|âX Iªvd¶. 12167, 13824 Öâªêr 12345 æ ¿xÆ¥y~kªgd Iª¬. ´ª{âyÀâÈ[ 123453 æ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖ⪠23.

´ÅdX¿xª 1.2.8

1. Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖdÈ°¨ ZѪ¬ Àds Àâpâ$ÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.: i) 10648 ii) 46656 iii) 15625

2. nÀâî ´ªÖr×ây gâÀây¾ªn ÀâyîÎâyy ¿xyÀâÃépây ZÖâÀâÃé¾Q I~kÎrÃéЪn Æ¥s Áky×âÀâyÃéÈé¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.:

i) 91125 ii) 166375 iii) 704969

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

49

3. Æ¥s Áky×âÀâyÃéÈé¾Ñ ´°âXª°â ¿xÆ¥y~k ~kòpJdªÖd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.: i) 331776 ii) 46656 iii) 373248

Àâp$dÈy, Àâpâ$ÀâyÃéÈéÈy, Áky×dÈy, Áky×âÀâyÃéÈéÈy Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿kÀây¿kXÈy

1. A Ȩ¾ ¿xªfXÈ×ây B Ȩ¾ Àâp$dÈ°¨ m°â~kpâßâªÚ. A B mÀd±yÈy- - 1)

1) 5 a) 25 2)2) 8 b) 144 3)3) 2 c) 36 4)4) -6 d) 484 5)5)-22 e) 64 6)6)12 f) 4 7)

g) 121

2. ¿xîÎryô×â {d¾¾ U×âyQÖ¨ªÚ.a) 1 ×âyªÚ 500 Àâpâæ gâÈ ~kòpâJÀâp$dÈ ¿xªfX A. 1 B. 16 C. 22 D. 25b) ~kòpâJÀâpâ$ªÈ¨¾ nÀâî ´ªÖr Öd¾¬ A. 1 B. 3 C. 5 D. 9c) aÖâ ¿xªfX 5 ¿xy×dQÈ°¨ ´ª°âÀâyÌy°á {d¾ Àâpâ$ª A. 5 ¿xy×dQÈy B. 8 ¿xy×dQÈy C. 10 ¿xy×dQÈy D. 12 ¿xy×dQÈyd) aÖâ ~kòpâJÀâp$d¾Q 8ßá ÅdЪn×â~kóvây Ѫ¬ ÀdsȨ µáÍkª O{rô Iªêyª¬. A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

e) 6 Àâ Z»Åâym ¿xªfX A. 6 B. 10 C. 21 D. 28

3. -10 ×âyªÚ 5 Àâpâæ gâÈ ~kòpâJ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy Àds Àâp$dÈy »¥¿xyæªêá U¾Q Æ«×âQ ¿xªfXÈy ÀâÉKdÌy?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

50

4. Ѫ¬ ¿xªfXÈ Àâp$dÈ aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr×ây pdÎâyªÚ. 4, 5, 9, 24, 17, 76, 34, 52, 33, 2319, 18, 3458, 3453.

5. 400 ×âyªÚ 425 Àây|âX 2, 3, 7, 8 °¨ ´ª°âÀâyÎáyX ´¾Q ¿xªfXÈ×ây pdÎâyªÚ. Æ¥sȨ OÆ ~kòpâJÀâp$dÈgâyר ~kîú¥¶ªßâªÚ.

6. (111111111)2 Ȩ¾ ´ªÖrÈ Àryy°âKª Uª°â?

7. x2 + y 2= z2 ´Ìy°á

i) x = 4 ÀâyîÎâyy y = 3´Ìy°á z ×ây Öâ×âyÖ¨ýªÚ.

ii) x = 5 ÀâyîÎâyy z = 13 ´Ìy°á y ×ây Öâ×âyÖ¨ýªÚ.

iii) y = 15 ÀâyîÎâyy z = 17 ´Ìy°á x ×ây Öâ×âyÖ¨ýªÚ.

8. ` 2304×ây Ö³ª°âÀâyª¬ ÀâXæKÈæ ~kªßâ±Úª¬. Z~k» aÖâýpây Uª°âÀâyª¬ ÀâXæKÈy I×dQp¨ ´ª°â vâ±yT×ây ¹åª¬×dpây. ´Ìy°á Z~k» aÖâýpây ¹åª¬×⬠Uª°â?

9. m ∗ n = m2 + n2 ¿xÝkém ¿xªfdX¿xÆy» ~õô ∗ Ö³°âK ¿xªÖâÈ×⪠×ây ¾pâ]nªßâªÚ.

∗ Ѫ{â N ¿xªÀâ½°âÀâÃé?

N ~õô ∗ ûL°âXª°âpâÀâÃé?

N ~õô ∗ ¿xÝkéßâpâÀâÃé?

∗ æ ¿xª±ªºªn N Ȩ °â°âbÀây ÀâyÃéÈÖ⪠ÖâÈ{d?

10. 1 ×âyªÚ 500 Àâpâæ gâÈ ~kòpâJÀâp$dÈ×ây, Z~k» aÖâýs prªvây ~kòpâJÀâp$dÈ Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀâyÎáyXêê[y Öâ×âyg³×âªÚ.

11. aÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¹åȪ ÀrôµdÈXª 7396 Æ¥y2. {d¾ ßâyê¦y ֳȰâ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

12. 1010¾ prªvây ~kòpâJÀâp$dÈ Åá{âªgd pdÎâyÀâßây+×d? (¿xÃéßâ×â1010æ 2 ÖdpâÇéªÖâªgd U¾QÉdpâ[y Àâßây+×ây)?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

51

13. aÖâ ~kòpâJÁky×d¾Q 7ßá ÅdЪn×â~kóvây Àâßá+ µá¤dÈáÆ?

14. 7 ÀâyîÎâyy 11 Èßá ÅdЪn×â~kóvây µáÍkª 1 Àâßá+ ´» n×âQ ~kòpâJÀâpâ$ª O¬?

15. prªvây ~kòpâJÀâp$dÈ gâyÇȱPª aÖâ ~kòpâJÁky×⪠´ÎáyXêêyÀâªÖ¡ÈÖâ ÅdÀâ×âÈy / ¹dîÅd¸Öâ ~k{dÈy.

~kòpâJÀâpâ$ª : prªvây ¿xÀây ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMª×ây ¹åª¬×â aÖâ ~kòpJdªÖâª.Z»Åâym ¿xªfXÈy : Àryy{âs n ¿xÝkém ¿xªfXÈ Àryy°âKª×ây n- Àâ Z»Åâym ¿xªfX ́ ªêépây.Àâpâ$ÀâyÃéȪ : Àâpâ$ª b ×ây Öâ¶Ð×â O{rô×â ¿xªfX a, b æ Àâpâ$ÀâyÃéȪ ~kòpâJÁky×⪠: ÀâyÃévây ¿xÀây ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMd¾Q Öâ¶Ð×â ~kòpJdªÖâª.Áky×âÀâyÃéȪ : aÖâ ¿xªfX c , ¬¥¾ Áky×⪠d ´Ìy°rô {d¾¾ c Áky×âÀâyÃéȪ ´ªêépây.Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖ⪠: aÖâ ~kòpJdªÖ⪠a ×ây ÅdЪßá aÖâ Z~k|d×â ¿xªfXÎáy a ÎryyÖâý

Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖâª.ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfX : ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfX Öd¾ O{rô×â aÖâ Àd¿kKÀâ ¿xªfX.

gâypâKyªßây Ö¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy.• aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª prªvây ¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMª. aÖâ ~kòpâJÁky×⪠ÀâyÃévây

¿xÀâÃé×â ~kòpJdªÖdÈ gâyÇȱMª.• aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª UÈ[~kóRvây ±yyÇé°âWÖ⪠Öd¾ ¿xªfX (0 æévd aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ª)

aÖâ ~kòpâJÁky×⪠±yyÇé°âWÖ⪠æévd ÖdÀâßây+×ây. 0 ÖdÀâßây+×ây Èá{d |â×d°âWÖ⪠ÖdÀâßây+×ây.

• aÖâ ¿xªfXæ prªvây Àâpâ$ÀâyÃéÈéÈyªêéÌy. aÖâs |â×d°âWÖ⪠Àâyp³Öâs ±yyÇé°âWÖ⪠´Ìy°á aÖâ ¿xªfXæ aÖá Áky×âÀâyÃéȪ Iªêyª¬.

• O{rô×d |â×d°âWÖâ ¿xªfX×ây prªvây Àâpây¿x ~kòpâJ Àâp$dÈ Àây{âX ßápâ+Àâßây+×ây.

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

296

Ådgâª-3

Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ªo ÅdgâÀâyy×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬ ´ªµdÈy ×ápây+æªêépây.

• ¿xpâ] ¿xÀây nZ°dÈ×ây gâyîKªßâêª.• ¿xpâ] ¿xÀây Z»ÅâyméÈ×ây gâyîKªßâêª.• ¿xpâ] ¿xÀây Z»ÅâyméÈ ́ ×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ×ây gâyîKªßâêª.• Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây ßr~kRêª.• Ö³¾Q Z~k°áXÖâÀry ô×â ÀâyÃéÈÖdÈ Z°âÎâÃéÈy Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°d]¾Q

¾pâJÌyÉKdÎây¾ ´pâLª ßá¿xyÖ¨Àâêª.• û{Pdª°dÈ×ây ¾pâÃéĪßâêé¾Ñ Ö³¾Q ¾gâÀây×â, °âpâý ±{âP Àryô×â ~k{âP°âyÈ×ây

×ápây+Ö¨Àâêª.• ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª ÎryyÖâý ÆÆ|â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ Æyd{â A|dpâ~kÚ×â ¿xÀây¿kXÈ×ây

Édºªßâêª.• ¬×â ¾°âX Z¹dÎrÃéÐÖâ ¿xÀây¿kXÈ×ây ÉdºªßâyêȨ Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀây°â]Àâyy ÎryyÖâý

I~kÎrÃégâÀâyy×ây Àryßây+Ö¨Àâêª.

3.3.1 ~kîßâÎâyª:

1¿õª. Æyd ÅâymÀâyy ¹åvâÀâógâÈ prªvây ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈy×dQÎây×âyÖ¨ªÚ. ́ ¾Q ÅâyméÈy OÖ¡Åâƪßây×âê[y Àds¾ aÖâ{d¾Æyd{â aÖâs IªßâgâÈpd? ́ ªêá aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈ Æ¥y{â ¿xîgd, ¿xÀâyªgd æépây+ªêéÎâÃé? 1¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 2¿õª.Æyd ÅâymÀâyy ֳȰâgâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. aÖâ Z»ÅâymÀâyy Àâyp³Öâ{d¾Ñ ¿xîgd EÀâyyvây×âê[y aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs IªßâgâÈÀd? ¾¥Àâó Uª°â¿xî ßáû×d Àds¾ aÖâ{d¾Æyd{â aÖâs EÀâyvâ+êª ́ Éd|âXª. Æ¥s¾ ́ pâLª ßá¿xyÖ¨Àâêé¾Ñ ́ Àâ¿xpâÀryô×â ¿xîÎryô×â páfdg⧰â ÅdÀâ×âÎáy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª.

¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª ´×ᬠpáfdg⧰âªÈ¨¾ Z¹dzâÆyÖâ ~kîÖâÈR×âÈȨ aÖâs. páfdg⧰â nZ°dÈ×ây Àds AÖdpdÈ ×d|dpâªgd Àâî¥$ÖâîªßâyêȨ o ~kîÖâÈR×â¾ I~kÎrÃéÐÉKdpây. prªvây páfdg⧰â nZ°dÈy aÖá AÖdp⪠ÀâyîÎâyy ~kîÀâÃéǪ Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â ÀâyªêéÀâyy. I{dÝképâÇÑ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

297

1) prªvây páfdfªvdÈy aÖá ¹åvâÀâó Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

2) prªvây Ö¨ÇéÈy aÖá ֳȰâ Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

3) prªvây Àâ½°KdÈy aÖá ÀdXÉdpâLª Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

4) prªvây ßâ°âypâZÉdÈ ÅâyméÈ Ö³È°âÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀââyÀâó°dÌy.

gâÀây¾Öâ:

1. prªvây páfdg⧰⠿xpâ]¿xÀâynZ°dÈ×ây aÖâs Àâyp³Öâ {d¾Q ~kòîKgd ÀâyÃéÎâyy×âê[y aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs ´{dXp¨ÝkéÇ (Super Pose) ßáÎâyÀâßây+.

2. prªvây ¿xpâ]¿xÀây páfdg⧰â nZ°dÈy ¿xÀâÃé×â ßâyê¦y ֳȰâÈy Öâ¶Ð IªêéÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

298

Z»ÅâymdÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ª

prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ ´¾Q ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy Àâyp³Öâ {d¾ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀâyªêéÀâyy.

ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈȨAB = DE, AC = DF ÀâyîÎâyy BC = EF

∠A=∠D,∠B=∠E, ÀâyîÎâyy ∠C =∠F ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

∴ ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈy. ¬¥¾¾∆ ABC ≅∆ DEF gd ZÀdÉKdÀâyy.o gâypâKy gâyîªn Ö³¾Q ÀâÃéêÈy. Àây×âÀâyy ∆ ABC≅∆ DEF ´¾ ZÀdû×â~kóvây

ÀâyyfXÀryô×â ÆÍkÎâyÀáyÀâyªêá A, B ÀâyîÎâyy C ú¥pd_Èy ZÖâÀâyªgd D, E ÀâyîÎâyy F ú¥pd_Èæ ´×âypâÃé~kªgd IªêéÌy. ∆ABC≅∆EFD ´¾ ZÀd¿öK E¬ Àápá ´pLd¾Q¿kKyª¬. ¬¥¾ ´pâLª ∠A=∠E, ∠B=∠F ÀâyîÎâyy ∠C=∠D ÀâyîÎâyy AB = EF, BC = FD ÀâyîÎâyy CA = DE. ÀâX°dX¿xª ßâÃévâgâÈÀd? Öd±s¦ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠gâypâKy I~kÎrÃéªÐªßáê~kóvây ú¥pâ_ÀâyyÈ ZÖâÀâyÀâyy×ây ¿xîgd pdÎâÃé¶.

aÖâ Z»Åâymé¾Ñ ¿xª±ªºªn Apây ÀâyÃéÈÖdÈyªêéÎây¾ gâypâKy °rßây+Ö¨ªÚ. o Apây ÀâyÃéÈÖdÈy ¿xÃéÖâKÀryô×â {⽸¦°¨ m°â~kÚ°á×á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ×ây ́ pâLª ßá¿xyÖ¨Àâêª {d]pd ¬¥¾¾ ¿kRÍk¦ª ßáÎâyÀâßây+.´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy

´{dXp¨~kÇ Æyd{â Z»ÅâymÀâyy ABC, Z»ÅâymÀâyy DEF ×ây ~kòîKgd ÖâÄR

1) ∠A=∠D, ∠B=∠E ÀâyîÎâyy ∠C =∠F;

2) AB = DE, BC = EF, AC = DF ´Ìy°á ∆ ABC ≅∆DEF ´Àâó°âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

299

´{dXp¨~kÇ (Super Pose) Æyd{â OÖ¡ Åâƪn×â Ö¨ÇéÈ×ây ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy ́ ªêépây. ´{dXp¨~kÇ Æyd{â OÖ¡ Åâƪn×â ÅâyméÈ×ây ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ´ªêépây. OÆ ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy, OÆ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy °rÈy¿xyÖ¨êé¾Ñ aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy Æyd{â ´{dXp¨~kÇ ßáÎâyyê ´¾Q Édpâ[y Éd|âXÀâyyÖd{ây. prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀryô°á ÀdsÑ ´×âypâÃé~k ú¥pd_Èy æévâ IªêéÎây¾ °rÈyÉd? O¬ OÀryô×d ú¥pd_È×áÆ ²ª{âyÀâóÈy. ÀdsÑ ÉdªfXÖâ pd¿xyÈáÆyd IªvâÀâó ( ֳȰâ, ~kîÀâÃéǪ) Öd±s¦ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°d]¾Q ¾pâJÌyªßâêé¾Ñ ÅâyméÈy, Ö¨ÇéÈy ÀâÃéZ°âÀáy I~kÎrÃéÐÉKdÀâyy.

páfdg⧰â ~kpâªgd ABC ÀâyîÎâyy DEF ´×ây prªvây ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈȨ ¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy ´Æ ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. Öd±s¦ BC=EF ÀâÈ×â BC Ñ U{âypây֨Ǫ=EF Ñ U{âypây֨Ǫ. ÉdªÖá°â~kpâªgd BC = EF, ⇒∠A = ∠D E{á Æ|âªgd AC = DF ⇒∠B = ∠E ÀâyîÎâyy AB = DE ⇒∠C = ∠F.

´ÅdX¿xª 3.3.11. ZѪ¬ ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈȨ ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ×ây

gâyîKªßâªÚ:a) b)

2. ¿xpâ] ¿xÀây Z»ÅâyméÈ m°â ÀâyîÎâyy ÀdsÑ ¿xª±ªºªn×â ¿xª~kòpâJ ÆÀâpâÇÈy ZѪ{â EÀâ]±vGdÌy. nZ°dÈ×ây méZgâ°âKgd ~kîú¥¶ªn fdù¥È×ây ¾ª~kªÚ.

(a) Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ∠C= ∠F ´Ìy°á AB =.................. ÀâyîÎâyy BC = ............

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

300

(b) Z~kÖâýnZ°âªÈ¨ BC=EF,

´Ìy°á ∠C= .................... ÀâyîÎâyy ∠A=..................

(c) Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AC = CE, ÀâyîÎâyy ∆ABC ≅∆DEC, ́ Ìy°á∠D =.....................

ÀâyîÎâyy ∠A =......................

3.3.2 Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Åây. Ö¨. Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Öâ¾Ík¦ ¾ÎâyÀâÃéÈy.

prªvây Z»ÅâyméÈ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy, ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy (Apây ÀâyÃéÈÖdÈy) ¿xÀâÃé×âÀryô°á×á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÎây¾ Àây×âÑ °rÈy¿xy. Apây ÀâyÃéÈÖdÈy ´ªêá ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy ÀâyÃévây ÀâyîÎâyy ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyÃévây. E~kóvây ¿xÝkémÀryô×â Z~kµâQ OÀâyªêá; prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×â Àây×âêé¾Ñ ´Àâ¿xpâÀryô×â Öâ¾Ík¦ ¾ÎâyÀâÃéÈ ¿xªfX Uª°â? prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â Àây×âêé¾Ñ Apây ´×âypâÃé~k ÀâyÃéÈÖdÈ ¿xÀâÃé×â°â]ª ´Àâ¿xpâÀâÃé ÈáÖâ °âæýÀâ ¿xªfXȨ ¾ÎâyÀâÃéÈy ¿xî¹è°dÎâÃé? o ÅdgâÀâyy ÀâyîÎâyy pd±¨Àâó ÅdgdÈȨ aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Apây ÀâyÃéÈÖdÈȨ ¿xîgd U×âyQÖ³×âQ ÀâyÃévây ÀâyÃéÈÖdÈy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ́ ×âypâÃé~k ÀâyÃéÈ ÖdÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á, A prªvây Z»ÅâyméÈ ÎryyÖâý Æyж×â ÀâyÃévây ÀâyÃéÈÖdÈy ZÖâÀâyªgd OÖ¡ÅâÆÉKdÌy ÀâyîÎâyy A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. prªvây Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Q {â½Û¥Öâîªßây A ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâÃéÈ gâyîªn ßâî+{Mdª. ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâÃéÈ×ây U×âyQÖ³×âyêȨ ßdÈ méZgâ°âKgd Iªvd¶. I{dÝképâÇÑ ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy ¿xî¹èÀâó. ( aÖápâÖâÀryô×â Ö¨ÇéÈ°¨ prªvây ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy Öd¾ Z»ÅâyméÈ×ây Ð¥ÎâyªÚ)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

301

ÅâymÀâyy - Ö¨ÇÀâyy - ÅâymÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Àds Àây|âX Ö¨ÇÀâyy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Àds Àây|âXÖ¨ÇÀâyy×âæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÌy.

ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈȨ AB=DE, AC=DF ÀâyîÎâyy ∠A=∠D ´¾ gâÀây¾ÉKdÀâó. Öd±s¦ ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª

∆ABC ≅ ∆DEF Z~kÖâý×â EÀâ] ±Ú×â PQR ÀâyîÎâyy XYZ Z»Å âyméÈ×ây ß âÃéªv âªÚ. PQ = XY, QR = YZ ÀâyîÎâyy ∠P =600 =∠Y ´Ìy×â~kRsÖ¡ PQR ÀâyîÎâyy XYZ Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×⪠Öd×âÀâ¿xp⪠Èá{ây Uª{âyÖâ×âgd ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈrô×â Àây|âX Ö¨ÇéÈy ∠Q, ∠Y Ñ ¿xÀâÃé×⪠Öd×âÀâ¿xpâªÈá{ây.

I{dÝképâÇ 1: nZ°âÀâyyȨ AB ÀâyîÎâyy CD È Àây|âX ²ª{âyÀâó 'O' ´Ìy×â ZѪ¬ Àds¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

(i) ∆AOC ≅∆BOD (ii) AC = BDÉd|â×â: AOC ÀâyîÎâyy BOD Z»ÅâyméÈȨ AO=BO ('O' ´×ᬠAB Àây|âX ²ª{âyÀâó)∠AOC =∠BOD(ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy)CO = OD, ('O' ´×ᬠCD Àây|âX²ª{âyÀâó)Öd±s¦ ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª

∆AOC ≅∆BOD

Öd±s¦ AC = BD Uª{âyÖâ×âgd ´Æ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ ´×âypâÃé~kÅâyméÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

302

I{dÝképâÇ 2 : nZ°âªÈ¨ AE = AD ÀâyîÎâyy BD = CE. ́ ¾ EÀâ]±Ú×â¬. ∆ AEB ÀâyîÎâyy ∆ADC ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : AE = AD ÀâyîÎâyy CE = BD æévâgdAE + CE = AD + BD ⇒AC = AB.

Z»ÅâymÀâyy AEB ÀâyîÎâyy Z»ÅâymÀâyy ADC ÈȨAE=AD (EÀâ]±Ú×â¬)AB=AC (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)

∠EAB = ∠DAC (ÉdÀâÃé×âX ֨Ǫ) Åây.Ö¨.Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∆AEB ≅∆ADC

I{dÝképâÇ 3 : ACBD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AC = AD ÀâyîÎâyy ∠A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf AB. ∆ABC,∆ABD Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ßâÃé~kªÚ.

Éd|â×â : ABC ÀâyîÎâyy ABD Z»ÅâyméÈȨ AC = AD (EÀâ] ±Ú×â¬)∠CAB =∠DAB (∠A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×âpáf A B)

AB = AB (IÀâyWÚ Åâymª)Öd±s¦ ∆ABC ≅∆ABD (Åây. Ö¨.Åây.)

(∠CBD ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf BA ´Àâó°âyª{d?)´ÅdX¿x 3.3.2

1. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨PQRS aÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª. ÖâpâJÀâyyÈ ÀâÈ×â OpâRÚ×â ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

303

2. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ABCD aÖâ ßâ°âypâZ¿xª M,N,O ÀâyîÎâyy P Èy ZÖâÀâyªgd AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈy. ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

3. Z»Åâymª ABC Ȩ AB=AC. AB Æyd{â E ²ª{âyÀâó, AC Æyd{â D ²ª{âyÀâó AE=AD ́ gây×âê[y I×dQÌy. BCD ÀâyîÎâyy CBE Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

4. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ BA ÀâyîÎâyy CA ÅâyméÈy BA=AD ÀâyîÎâyy CA=AE ́ gây×âê[y ¹åÚЪßâ ±vGdÌy. DE||BC ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

( ¿xÃéßâ×â : OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ ~kîÖâÈR×â×ây I~kÎrÃéЪßâªÚ)

3.3.3 Åây.Ö¨.Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý Ák¶°dÈy (~kpâXÀâÉd×dÈy)

Æydpây ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy ×ây~kÎrÃéЪn prªvây Z»ÅâyméÈ×ây UÈé ¹èÈé+Ȩ ×ápây+æ×dQpây. o ¹è¶Öâ Z»ÅâyméÈ |âpdWÈæ ¿xª±ªºªn×â Ö³¾Q I°dbÝkéÖâpâÀryô×â ~kîÇéÀâÃéÈæ {d¿kKyª¬. ÀdsȨ Ö³¾Qs gâyîªn ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

304

û{Pdª°âª 1 : Z»ÅâymªÈ¨ ¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª.{â°Kdªµâª : Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ AB = AC ́ ×âyÖ¨ªÚ. AB Åâymé¾Ñ U{âypâyÖ¨ÇÀâyy ∠C ÀâyîÎâyy AC Ñ U{âypây֨Ǫ∠B ¾pâÃéĪßâÀâÈû×â¬: ∠C = ∠B. ¾pdWǪ : ∠A ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf¾ Ð¥ÎâyªÚ. ´¬ BC ¾ D Àâ{âM fªÚªßâ¾Àâ]ªÚ. Z»ÅâymÀâyy ABD ÀâyîÎâyy Z»ÅâymÀâyy ACD È×ây ¹èÈ+ªÚ.

I~k~k»K : ÆÀâpâÇ ÖdpâÇéª AB = AC; EÀâ]±Ú×â¬; AD = AD; IÀâyWÚÅâymª; ∠BAD = ∠CAD ; ¾pdWǪ Z~kÖdpâª.ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∆ADB ≅∆ADCÖd±s¦ ∠ABC = ∠ACB Uª{ây

Öâ×âgd EÆ ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy Eª°âs°¨ û{Pdª°âÀâyy ¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬.I~kû{Pdª°âª1: ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy (apexangle) ÎryyÖâý ¿xÀây¬]

fªvâ×â páf ¹d{âÀâyy ÎryyÖâý Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â páf ´Àâó°âyª¬.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC aÖâ Z»ÅâymÀâyy. AB = AC ÀâyîÎâyy ú¥pâ_֨Ǫ ∠A

A×âyªÚ BC Ñ ∠A ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf Ð¥ÎâyªÚ. ZѪ{âs û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý nZ°âÀâyy×ây ßâÃévâªÚ.)

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AD ´×ᬠBC ÎryyÖâý Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â páf. ´ª°áÖdÖâ BD = DC ÀâyîÎâyy ∠ADB = ∠ADC=900 ´¾ ßâÃé¹d¶.

I~k~k»K: ∆ADB ≅∆ ADC (û{Pdª°âª 1 Z~kÖdpâª)⇒DB = DC ÀâyîÎâyy ∠ADB = ∠ADC

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

305

Öd¾ ∠ADB + ∠ADC=1800 (¿xpâÔâ ÎâyygâWª)⇒∠ADB + ∠ADB=1800

2∠ADB =1800

⇒∠ADB=2

180 =900

⇒∠ADC=1800 - ∠ADB = 900.¬¥¾°¨ ¾pâÃé~kÇ ~kòpâKÌy×â¬

E~kóRvây o û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý ÆȨÀâyÀâyy æévâ ¾mÀáyÀrÃé×â¾ Aµâ+pâX ~kvâÀâßây+. O{rô×d Z»Åâymª Ȩ ¿xÀâÃé×â Ö¨ÇéÈæ U{âypâygd Iªvá ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª. ´¬ æévâ ¾mÀáy Öd¾ {d¾ ¾pâÃé~kÇæ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â ÎryyÖâý Àápá ¾ÎâyÀâyª ´Àâ¿xpâÀâyÀâó°âyª¬. {d¾¾ gâyîªn ¾¥Àâó °âpd]°â ´|âXÎây×⪠ßáÉKdÀâó.

I{dÝképâÇ 4 : nZ°âªÈ¨ AB = AC ÀâyîÎâyy DB = DC, ∠ABD = ∠ACD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ∆Z»Åâymª ABC Ȩ AB = AC

⇒ ∠ABC=∠ACB (¿xÀâÃé×âÅâyméÈæ U{âypâygdI×âQ Ö¨ÇéÈy) Z»Åâymª DBC Ȩ DB = BC ( EÀâ] ±Ú×â¬) ⇒ ∠DBC = ∠DCB (¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygdI×âQ Ö¨ÇéÈy)

{d¾×âyªÚ ∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB

{d¾×âyªÚ. ∠ABD = ∠ACD

´ÅdX¿xª 3.3.3 1. Z»Åâymª ABC Ȩ AB = AC ÀâyîÎâyy ∠A=500. ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.2. Z»Åâymª ABC Ȩ AB=BC ÀâyîÎâyy ∠B = 640, ∠C ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

306

3. ZѪ¬ nZ°dÈȨ 'x' ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

4. ABC aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ´×âyÖ¨ªÚ. BC=CD ´gây×âê[y{d¾ ¹d{âÀâyy BC,D Àâpâæ ¹åÚЪßâ±Ú×â¬.

(i) ∠ACD ÀâyîÎâyy (ii) ∠ADC ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

5. ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈ×âyªÚ U{âys ÅâymÀâyyÈæ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±ÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âÀâyy ´¾ ßâÃé~kªÚ.

6. ABC Z»ÅâymÀâyyȨ A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy BC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×âßá¿öK ´ Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ´Àâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

7. ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ¿xÀâyÖ¨Ç Z»ÅâymÀâyÀâó °âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ́ ¾Q ÅâyméÈ ¹åvâÀâó ¿xÀâÃé×âÀryô°á {d¾ Ö¨ÇÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âªgd IªêéÌy ÀâyîÎâyy aÖ³ýÖâýs 600 Iªêyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

307

3.3.4 ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Ö¨.Åây.Ö¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª :

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvâyÖ¨ÇéÈy Àds IÀâyWÚ ÅâymÀâyy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy Àds IÀâyWÚ ÅâymÀâyy×âæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª.

ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈȨ ∠B=∠E.∠C=∠F, À â yîÎ â y y BC=EF ´Ìy×â Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª. ∆ABC≅∆DEF

aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ Àâyyª{á ßâÃéµdÀâyy. E~kRvây ¬¥¾ ÆȨÀâyÀâyy×ây ¾pâÃéÄ{MdÀâyy.

û{Pdª°âª 2 : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á ÀdsÑ U{âypâygd Iªvá ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠( û{Pdª°âª 1 ÎryyÖâý ÆȨÀâyª)

EÀâ]±Ú×â¬: Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ ∠B = ∠C

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AC=AB

¾pdWÇÀâyy : AD⊥BC Ð¥ÎâyªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

308

I~k~k»K: ÆÀâpâÇ∠ADB=∠ADC = 900 (i)∠DBA = ∠DCA (ii)∆ADB ÀâyîÎâyy ∆ADC È ×âyªÚ∠ADB + ∠DBA + ∠BAD = ∠ADC + ∠DCA + ∠CAD

⇒∠BAD = ∠CADE~kóvây ∆ADB ÀâyîÎâyy ∆ADC ÈȨ∠BAD = ∠CAD∠ADB = ∠ADCAD=AD⇒∆ADB ≅∆ADC∴AB = AC

ÖdpâǪ¾pdWǪ Z~kÖdp⪠{â°Kdªµâª Z~kÖdpâª

Z»ÅâymªÈ¨¾ ÀâyÃévây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 (i) ÀâyîÎâyy (ii) È ×âyªÚ

¾pâÃéĪßâ±Ú×⬾pdWǪ Z~kÖdpâªIÀâyWÚÅâymªÖ¨. Åây. Ö¨. ¾ÎâyÀâyª ¿xpâ]¿xÀây|âpâWª Z~kÖdpâª

{d¾°¨ û{Pdª°âª ¾pâÃéĪßâêª ~kòîK ´Ìy×â¬. I{dÝképâÇ 5 : Z»Åâymª ABC Ȩ AB=AC ÀâyîÎâyy ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È Ö¨Ç

¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy 'O' Àâ{âM fªÚªn×âÆ. BO = CO ÀâyîÎâyy ∠BAC ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf AO ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|d×â: ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd±s¦ AB = AC ⇒∠C = ∠B

⇒ C2+ = B

2+

BO ÀâyîÎâyy COÈy∠BÀâyîÎâyy C È ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy Öd±s¦

∠ABO = B2+ ÀâyîÎâyy ∠ACO = C

2+

Öd±s¦ ∠ABO = B2+ = C

2+ =∠ACO

∆BCO ¾ »¥¿xy Ö¨ªÚ.∠OBC = ∠OCB (Uª{âyæ?)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

309

⇒ BO = CO (û{Pdª°âÀâyy 2)nÀâîgd, ABO ÀâyîÎâyy ACO Z»ÅâyméÈ×ây »¥¿xy Ö¨ªÚ. BA = CA (EÀâ]±Ú×â¬) BO = CO (¾pâÃéĪßâ ±Ú×â¬). ∠ABO = ∠ACO (¾pâÃéĪßâ ±Ú×â¬.)Åây. Ö¨.Åây. û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª∆ABO ≅∆ACO ⇒∠BAO = ∠CAD ⇒ ∠A ¾ AO, ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬.

I{dÝképâÇ 6: ABCD ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyy AC, ∠A ÀâyîÎâyy ∠C È×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ AB = AD ÀâyîÎâyy CB = CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : AC ÖâpâJÀâyy ∠A ÀâyîÎâyy ∠C È×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬. ÖdÀâó×â ∠BAC = ∠DAC ÀâyîÎâyy ∠BCA = ∠DCA

ABC ÀâyîÎâyy ADC Z»ÅâyméÈȨ

∠BAC = ∠DAC (EÀâ]±Ú×â¬);

∠BCA = ∠DCA (EÀâ]±Ú×â¬); AC = AC (IÀâyWÚÅâymª).Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª∆BAC ≅∆DAC ⇒BA = AD ÀâyîÎâyy CB = CD (¿xpâ]¿xÀâyZ»ÅâyméÈ ´×âypâÃé~k

ÅâyméÈy)I{dÝképâÇ 7 : prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy l ÀâyîÎâyy m È×ây Àâyp³Öâ m°â ¿xÀâÃ骰âpâ

páfÈy p ÀâyîÎâyy q Èy ~kêÀâyyȨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd fªÚªßâyßây×âQÆ. Z»ÅâyméÈy ABC ÀâyîÎâyy CDA ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméȾ ßâÃé~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

310

Éd|â×â : l Àâ yîÎâyy m ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy AC »pâXZgáf, ∠1=∠4 E{áÆ|âªgd AC »pâXZgáf p ÀâyîÎâyy q ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây fªÚªßâgd ∠2=∠3 ́ Àâó°âyª¬.ABC À â yîÎ â y y CDA Z»Å â yméÈȨ ∠1=∠4 (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)

∠2=∠3 (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)AC = AC (IÀâyWÚÅâymª)Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∆ABC ≅ ∆CDA

I{dÝképâÇ 8 : nZ°âÀâyyȨ ∠BCD = ∠ADC ÀâyîÎâyy ∠ACB = ∠BDA. AD = BC ÀâyîÎâyy ∠A = ∠B ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ∠1 = ∠2 ÀâyîÎâyy ∠3=∠4⇒∠1+∠3=∠2+∠4⇒∠ACD=∠BDC

Öd±s¦ ACD ÀâyîÎâyy BDC Z»ÅâyméÈȨ∠ADC = ∠BCD (EÀâ]±Ú×â¬)

CD = CD (IÀâyWÚÅâymª)∠ACD = ∠BDC (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)Ö¨.Åây. Ö¨ ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdpâª∆ACD ≅ ∆BDC∴AD = BCÀâyîÎâyy ∠A = ∠B

AȨnªßâªÚ !Ö¨ Åây Ö¨ ¾ÎâyÀâÃé¾Q û©]Öâ½°â û{Pdª°âªgd »¥¿xyæ×dQÀâyy Öd¾ ¾mé¾Ñ Ö¨ÅâyÖ¨ û©]

Öâ½°â û{Pdª°âª A|dpâªgd ¬¥¾¾ aÖâ û{Pdª°âªgd ¾pâÃéĪßâÀâßây+. I~k~k»K¾ ¾îWªßâêé¾Ñ Z~kÎây»QªßâªÚ. ¾gâÀây×â páfdg⧰âªÈ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây Öâ¾Ík¦ ¿xªfXȨ »¥¿xyÖ³¾ ÀdsȨ ´×áÖâ Ák¶°dÈ×ây ¾îWªßâêé¾Ñ Z~kÎây»QÉKdpây. Ö¨.Åây.Ö¨.¾ û©]Öâ½°â û{Pdª°âªgd »¥¿xyÖ³¾ Åây.Ö¨.Åây ¾ÎâyÀâÃé¾Q û{Pdª°âªgd ¹åª{âÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

311

´ÅdX¿xª 3.3.4

1. EÀâ] ±Ú×â nZ°âªÈ¨ AB||DC ÀâyîÎâyy B D ÎryyÖâý Àây|âX²ª{âyÀâó P ´Ìy×â AC ÎryyÖâý Àây|âX²ª{âyÀâó æévâ P ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

2. ZѪ¬ nZ°âªÈ¨ CD ÀâyîÎâyy BE Èy ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ÎryyÖâý Ȫ±dÈy ÀâyîÎâyy AC=AB ´Ìy×â AE = AD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3. ~kêªÈ¨ AB páfdfªvd¾Ñ AP ÀâyîÎâyy BQ Èy Ȫ±páfÈy ÀâyîÎâyy AP = BQ ´Ìy×âAB ÀâyîÎâyy PQ páfdfªvdÈæ 'O' Àây|âX ²ª{âyÀâ¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

312

4. ABC aÖâ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ÀâyîÎâyy AB = AC ´×âyÖ¨ªÚ. BD ÀâyîÎâyy CE Èy ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È ¿xÀây¬]fªvâ×âpáfÈy BD = CE ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

5. ABC aÖâ ¿xÀâyÖ¨Ç Z»Åâymª ´×âyÖ¨ªÚ. ´¬ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. (¿xÀây ±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª{â¾ Æydpây Àâyyª{á ßâÃéµdpây. Öd±s¦ Z»ÅâyméÈæ ¿xÀây֨ǰâ]Àâyy ¿xÀây±dÝkéy°â]ª Àâªs¬)

3.3.5 ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Åây Åây Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.

prªvây Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Àâyp³Öâ ¾ÎâyÀâÃé¾Q ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª. ´¬ ÅâyméÈ Æyd{â×á A|dpâ ~kvây°âyª¬.

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy.ÖdpdXßâpâǪ : 3.3 ´

ÀâyÃévây ÖdаdÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. aÖâs ßâ°âypâZÉdÖdpâª, Àâyp³Öâs ¬¥pâ&ßâ°âypâZÉdÖdp⪠ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀ⬠¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÖdp⪠(¬¥¾Ñ Ödа⪠Æyd{â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Q Ð¥n {d¾ ¿xîÝké{âMy Àrô~kó Öâ»KîªßâªÚ). nZ°âÀâyyȨ ßâÃéÄ×â Æ|dªgd ÖâpâJÀâyyÈy Ð¥ÎâyªÚ. ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú ÖdаdÈ×ây Öâ»KîªßâªÚ.

aÖ³ýÖâý Ödа⪠×âyªÚ prªvây Z»ÅâyméÈyÀâÉKdÌy. o prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâs Àâyp³Öâ {d¾¾ ~kòîKgd ÀâyÃéû Iªßây×âê[y aÖâ{d¾ Æ¥y{â aÖâs IªßâªÚ. ´¾Q Z»ÅâyméÈ m°âÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾, Z~k» m°âȨ aÖâ Z»ÅâydÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀây¾ gâÀây¾ÉKdpây.

E~kóvây ¬¥¾ ÆȨÀâyª gâyîªn ßâÃé{Mdª. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á aÖâs Àâyp³Öâ {d¾¾ ~kòîKgd ÀâyÃéÎâyy×âê[y Àds¾ ´Àâypâ+gâÈÀâÃé? ÅâyÅâyÅây ¿xpâ]¿xÀây¾ÎâyÀâyÀâyy ´¬ ¾mÀây¾ ßr~kóKª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

313

AȨnªßâªÚ !ÅâyÅâyÅây ¿xpâ]¿xÀâyû©]Öâ½°â û{Pdª°âª I×âQª{âyÀâÈ×â Ö¨Ö¨Ö¨ ÀâyîÎâyy ÅâyÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â

û{Pdª°dÈy IªêéÎâÃé?I{dÝképâÇ 9 : nZ°âªÈ¨ AB = CD ÀâyîÎâyy AD = BC ´¾ EÀâ]±Ú×â¬. ADC

ÀâyîÎâyy CBA Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.Éd|â× â: ADC ÀâyîÎâyy CBA Z»ÅâyméÈȨ

AB = CD (EÀâ]±Ú×â¬) AD = BC (EÀâ]±Ú×â¬) AC = AC (IÀâyWÚÅâymª)

ÅâyÅâyÅây ¿xpâ]¿xÀây ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdpâª∆AD C ≅ ∆CBA

I{dÝképâÇ 10 : nZ° âªÈ¨ AD = BC À âyîÎâyy BD = CA ´Ìy×â ∠ADB = ∠BCA ÀâyîÎâyy ∠DAB = ∠CBA ´¾ ßâÃé~kªÚ.

Éd|â×â: ABD ÀâyîÎâyy BAC Z»ÅâyméÈȨ AD = BC (EÀâ]±Ú×â¬)AB = AB (IÀâyWÚÅâymª)AC = BD (EÀâ]±Ú×â¬)

ÅâyÅâyÅây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª∆ABD ≅∆BAC ¬¥¾×âyªÚ ∠ADB = ∠BCA ÀâyîÎâyy ∠DAB = ∠CBA ´¾ ¾pLdîÉKdÀâyy. I{dÝképâÇ 11 : ZѪ¬ nZ°âªÈ¨ AB = CD ÀâyîÎâyy AD = BC. ∠1=∠2 ´¾

ßâÃé~kªÚ.Éd|â×â : ABD ÀâyîÎâyy CDB Z»ÅâyméÈȨ

AB = CD (EÀâ]±Ú×â¬)AD = BC (EÀâ]±Ú×â¬)BD = DB (IÀâyWÚÅâymª)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

314

Öd±s¦ ∆ABD ≅∆CDB (ÅâyÅâyÅây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª) Ö¨ÇéÈ×ây ¹èÈ+gd ∠1=∠2 ´Àâó°âyª¬

(EÀâ] ±Ú×â ¾ÎâyÀâÃéÈ°¨ ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyÀâó °âyª{â¾ AD || BC ÀâyîÎâyy ∠1 ÀâyîÎâyy ∠2 Èy BD »pâXZgáf ÀâÈ×â OpâRÚ×â OÖdª°âpâ Ö¨ÇéȾ °âpd]°â ßâÃéÉKdÀâyy).

AȨnªßâªÚÅâyÅâyÅây ¾ÎâyÀâÃé¾Q û©]Öâ½°â û{Pdª°âªgd »¥¿xyæ×dQÀâyy. Öd¾ E¬ æévâ ÅâyÖ¨Åây

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ÎryyÖâý Ák¶°âÀáy. Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ×âyªÚ ÅâyÅâyÅây ¾ û{Pdª°âªgd ßr~kRÀâßây+.

´ÅdX¿xª 3.3.51. ABC Z»ÅâymªÈ¨ AC = AB ÀâyîÎâyy AD Ȫ±Àâyy BC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â

ßá¿kKyª¬. ∆ADC ≅ ∆ADB ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

2. PQRS ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ÖâpJdÈy aÖâ{d¾ ׳Öâs 'O' Àâ{âM ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây×ây. ∆POQ ≅∆QOR ≅∆ROS≅ ∆SOP ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3. nZ°âªÈ¨ ∆ABC ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy AB, BC ÀâyîÎâyy Àây|âXgâ°âpáf AD Èy ZÖâÀâyªgd ∆PQR ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy PQ, QR ÀâyîÎâyy Àây|âX gâ°âpáf PS æ ¿xÀâÃé×âÀâyy ´Ìy×â i) ∆ADB ≅ ∆PSQ, ii) ∆ADC ≅ ∆PSR ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. {d¾ ×âyªÚ Z»Åâymª ABC ÀâyîÎâyy Z»Åâymª PQR Èy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy ´Àâó°dÎâÃé?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

315

4. ∆PQR Ȩ PQ = QR; L, M ÀâyîÎâyy N Èy ZÖâÀâyªgd PQ, QR ÀâyîÎâyy RP È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈy LN = MN ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3.3.6 Ȫ±Ö¨ÇÀâyy, ÖâpâJÀâyy, ÅâymÀâyy û{Pdª°âª :ÖdpdXßâpâǪ : 3.3. A

Ödа⪠Æyd{â ABC ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª Ð¥ÎâyªÚ. A ú¥pâ_Àâyy ×âyªÚ BC ¹d{d¾Ñ AD Ȫ±Àâyy Ð¥ÎâyªÚ. A Z»ÅâyméÖdpâªÈ¨ Ödаd¾Q Öâ»KîªßâªÚ. E~kRvây Ȫ±páfÆyd{âgd ÀâyvâÀâªÚ. prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈy aÖâ{d¾Æyd{â Àâyp³Öâs ´{dXp¨~kÇ ´Àâó°dÌy. Öd±s¦ prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

ÖdpdXßâpâǪ : 3.3. EaÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ Ödа⪠»¥¿xyÖ¨ªÚ. ¬¥¾¾ aÖâ ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú ÀâyvâÀâªÚ. E~kRvây OpâRÚ×â prªvây Z»ÅâyméÈy Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméȾ gâÀây¾ÉKdpây. ´Æ aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs ´{dXp¨~kÇ ßrª{ây°dÌy.

ÖdpdXßâpâǪ: 3.3. oaÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâ ZÉdÖdpâ Ödа⪠»¥¿xyÖ¨ªÚ. {d¾ÎryyÖâý aÖâ ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó ZѪ{âs ÖdpdXßâpâǪȨ¾ ßâ°âypâ Z¿xÀâyyÅâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âªgd×ây Àâyp³Öâ ÅâymÀâyy {d¾Ñ «×âQªgd×ây IªêáÈé ßâÃévâªÚ. aÖâ ÖâpâJÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈy Àâßây+×âê[ygd Ödаd¾Q ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú Öâ»KîªßâªÚ. aÖâ Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây Àâyp³Öâ{d¾Æyd{â ´{dXp¨~kÇ

ßrª¬ªßâÀâßây+ ×â¾ gâÀây¾ªßdÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

316

E~kóvây ßâ°âypâZ¿xÀâyy ×âyªÚ aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xÀâyy×âyªÚ Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy×ây »¥¿xyÖ³¾ aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs IªßâªÚ. prªvây Z»ÅâyméÈy Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈrô aÖâm°â ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ¿xÀâÃé×â Àryô×â~kRsÑ ´Æ aÖâ{d¾ Æyd{â Àâyp³Öâs ´{dXp¨~kÇ ßrª{âÀâ¾ ¾¥Àâó gâÀây¾ÉKdÀâó.

ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âªÈ¨ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ prªvây m°âÈ ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Àds Àây|âX Ö¨ÇÀâyy ¿xÀâÃé×âªgd IªvdȾ °rÈy¿xyæ×dQÀâyy. O¬ OÀryô×d Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymé¾Ñ Ö³ª°â¿xvⶪ~kó°¨ Èª±Ö¨ÇÀâyy ÖâpâJÀâyy ÅâymÀâyy ¾ÎâyÀâyÀâyy Àâ¿kKyª¬.

Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈæ ZѪ¬ û{Pdª°âª Iª¬.

û{Pdª°âª 3 : prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ aÖâZ»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ ÅâymÀâyy prªvâÀâ {d¾ ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyy ÀâyîÎâyy {d¾ ´×âypâÃé~k Åâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. (Ȫ. Öâ . Åây û{Pdª°âª)

EÀâ]±Ú×⬠: ABC ÀâyîÎâyy DEF Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ(i) ∠B =∠E = 900

(ii) ÖâpâJÀâyy AC = ÖâpâJÀâyy DF ÀâyîÎâyy(iii) AB = DE

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∆AB C ≅ ∆DEF ¾pdWÇÀâyy : EG = BC ´gây×âê[y FE ¾, G Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ. DG ¾ ÖâÈ~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

317

I~k~k»K: ÆÀâpâÇ ∆ABC ÀâyîÎâyy ∆DEG ÈȨ

AB = DE BC = EG ∠ABC =∠DEG = 900

∴∆ABC≅ ∆DEG (i)⇒ ∠ACB =∠DGE , AC = DGÖd¾ AC = DF∴DG = DF (ii)∆DGF Ȩ ∠G =∠F∠DEG = ∠DEF = 900

∠GDE = ∠FDE (iii)

∆DEG, ∆DEF ÈȨDG = DFDE = DE∠GDE = ∠FDE∴∆DEG≅ ∆DEF∴∆ABC≅ ∆DEF

ÖdpâǪ

{â°Kdªµâª¾pdWǪ{â°Kdªµâª.Åây. Ö¨. Åây. ¾ÎâyÀâyª ¿xpâ]¿xÀây|âpâWª.{â°Kdªµâª¿k]Îâyª û{âPª 1¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇéÈy.{â°KdªµâªZ»ÅâymªÈ¨¾ ÀâyÃévây ́ ª°âpâ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800

(ii) ×âyªÚ IÀâyWÚ Åâymª.(iii) ×âyªÚ Åây. Ö¨. Åây ¾ÎâyÀâyª(i) ×âyªÚ

gâÀây¾Öâ :

Àây×âÀâyy aÖâ ÀâyyfXÀryô×â Ák¶°d¾Q I~kÎrÃéЪßdÀâyy ABC, DEF ÀâyîÎâyy JKL ́ ×ây ÀâyÃévây Z»ÅâyméÈȨ ABC, DEF Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy DEF, JKL Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠´Ìy°á ABC, JKL Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°âyª¬. E¬ 3Àâ ´|dXÎâyª, Ådg⪠1 Ȩ 3Àâ ¿k]Îâyª û{âPª.AȨnªßâªÚ !

aÖâ Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy ZÖâÀâyªgd Àâyp³Öâ Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª ÎryyÖâý ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pLdîªßâ gâÈÀd? (ÖâpâJÀâyy×ây gâs¦gd ßr~kRvâªÈá{ây).

I{dÝképâÇ 12 : ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ AB = AC ÀâyîÎâyy AD, A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

318

(i) AD, ∠A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf(ii) AD, BC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ∠BAD =∠CAD ÀâyîÎâyy BD = DC ´¾ ¾pâÃéĪßd¶.

ADB ÀâyîÎâyy ADC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨAB = AC (EÀâ]±Ú×â¬) AD = AD (IÀâyWÚ Åâymª)Ȫ. Öâ. Åây Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀây°â]ª Z~kÖdpâª∆ABD ≅∆ACD ;

Öd±s¦ ∠BAD =∠CAD ÀâyîÎâyy BD = DC I{dÝképâÇ 13 : Z»Åâymª ABC ÎryyÖâý Ȫ±dÈy AD, BE ÀâyîÎâyy CF ¿xÀâÃé×âª

´×âyÖ¨ªÚ. ABC aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. Éd|â×â : BCE ÀâyîÎâyy CBF Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ

BC = BC (ÉdÀâÃé×âX ÖâpâJª)BE = CF (EÀâ]±Ú×â¬)Ȫ. Öâ. Åây û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠BCE ÀâyîÎâyy CBF Èy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.Z»ÅâyméÈ×ây ¹èÈ+gd ∠B = ∠C

¬¥¾ ×âyªÚ AC = AB ( ¿xÀâÃé×â Ö¨ÇÀâyyÈæ U{âypâygd×ây×âQ ÅâyméÈy)E{á Æ|âªgd AD = BE⇒∠B =∠A

⇒AC = BC {d¾ ×âyªÚ AB = BC = AC ´Àâó°âyª¬ ÈáÖâ ABC ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

319

´ÅdX¿xª 3.3.6

1. ABCD aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª. Ȫ. Öâ. Åây û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠Z»ÅâyméÈy ABC ÀâyîÎâyy ADC Èy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

2. ABC aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy D, BC ÎryyÖâý Àây|âX²ª{âyÀâó ´×âyÖ¨ªÚ. D

×âyªÚ AB ÀâyîÎâyy AC Èæ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±dÈy ¿xÀâÃé×âÀây×âyÖ¨ªÚ. ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3. ABC Z»ÅâymªÈ¨ BE ÀâyîÎâyyCF Èy ZÖâÀâyªgd AC ÀâyîÎâyy AB Èæ Ȫ±dÈy ´×âyÖ¨ªÚ. BE = CF ´Ìy×â ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀây×âyÖ¨ªÚ.

3.3.7 Ö³¾Q Ák¶°dÈy:

aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygdIªvá Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ Àây×âæ Àâyyª{á °rÈy¿xy. {d¾Ñ Æ~kpâXªgd ¿xÀâÃé×â Ö¨ÇéÈæ U{âypâygd Iªvây ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ æévâ °rÈy¿xy. ¿xÝkémªgd Àâßá+ Z~kµâQ OÀâyªêá Ö¨ÇéÈy Æ«×âQªgd Iªêá ÀdsÑ U{âypâygd Iªvây ÅâyméÈ×ây ¹èÈ+gâÈÀâÃé? ÅâyméÈ Ö³È°âÈy Æ«×âQªgd Iªêá Ö¨ÇéÈ×ây ¹èÈ+gâÈÀâÃé?

Z~k»¹d{â×â 1: aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd{â×âyÖ¨ªÚ. ~õ{âMÅâymé¾Ñ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇÀâyy n×âQ Åâymé¾Ñ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇÀâyy Öâªêá ~õ{âM¬.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC Z»ÅâymªÈ¨ AC > AB

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∠B>∠C

¾pdWǪ : AB = AD ´gây×âê[y AC Æyd{â D ²ª{âyÀâó¾ gâyîKªßâªÚ.( AC>AB ÖdÀâó×â E¬Éd|âXÀâyÀâó°âyª¬)BD ¾ ÖâÈ~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

320

I~k~k»K :

∆ABD Ȩ AB=AD (¾pdWǪ Z~kÖdpâª)⇒ ∠ABD =∠ADB (¿xÀâÃé×âÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy)BCD Z»Åâymé¾Ñ ∠BDC ±dÝkéXÖ¨ÇÀâyyÖd±s¦ ´¬ ´ª°âpd«ÀâyyfÖ¨ÇÀâyy ∠BCD Öâªêá ~õ{âM¬.Öd±s¦ ∠C<∠BDA = ∠ABD < ∠ABC = ∠B

¬¥¾°¨ ¾pâÃéĪßâv⪠~kòpâKÌy×â¬.Z~k»¹d{â×â 2 : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây Ö¨ÇéÈy ́ ¿xÀâÃé×âÀryô°á ~õ{âM Ö¨Çé¾Ñ U{âypâygd

Iªvá ÅâymÀâyy n×âQ Ö¨Çé¾Ñ U{âypâygd Iªvá ÅâymÀâyy Öâªêá ~õ{âM¬.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B >∠C

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AC>AB

I~k~k»K : ∠B >∠C ⇒ AC ≠AB ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.AC=AB ÖdÀâ ó× â ∠B =∠C (¿xÀ âÃé× âÅ âymÀâyyÈæ

U{âypâygdIªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª).Öd±s¦ AC<AB Y×d ÖdÀd¶ ÈáÖâ AC>AB ÖdÀd¶.

AC<AB ´Ìy°á ZѪ{âs Z~k» ¹d{â×â Z~kÖdpâª∠B < ∠C Öd¾ E¬ {â°KdªµâÀâyy×ây ÀâX»páÑ¿kKyª¬.Öd±s¦ °â~kR¾¿xîgd AC>AB ´Àâó°âyª¬.

gâÀây¾Öâ: EÖâývâ Z»|d ÆÅdgâ ¿xÃéZ°âÀâyy (law of trichotomy) I~kÎrÃéÐÉKdÀâyy a ÀâyîÎâyy b Èy prªvây Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈÌy°á ZѪ¬ Àd¾È¨ O{¨ aÖâs ÀâÃéZ°âÀáy Éd|âXÀâyÀâó°âyª¬.a < b ; a = b ; a > b

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

321

Z~k» ¹d{â×â 3: aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ O prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀryô×â ÀâyÃévâÀâ Åâymª Öâªêá UæýÀâ.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC Z»Åâymª¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AB + AC > BC

¾pdWǪ : AD = AC ´gây×âê[y BA ¾D Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ. DC ¾ ÖâÈ~kªÚ.

I~k~k»K : BD = BA + AD = BA + AC

AD = AC ÖdÀâó×â ∠ADC = ∠ACD(¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy)

Öd±s¦ ∠BCD > ∠ACD = ∠ADC = ∠BDC

Z»Åâymª BCD Ȩ∠BCD > ∠BDC ⇒BD > BC. (Z~k»¹d{â×â 2 Z~kÖdpâª)Öd¾ BD = BA + AC (Àâyyª{á gâÀây¾ªßdÀâyy)Öd±s¦ BA + AC > BC

E{áªÆ|âªgd CA < AB + BC ÀâyîÎâyy AB < BC + CA ´¾ ¾pâÃéĪßâÀâßây+.gâÀây¾Öâ : BC < CA + AB, CA < AB + BC ÀâyîÎâyy AB < BC + CA ´×ây

´¿xÀâÃé×â°d]È×ây Z»Åâym ́ ¿xÀâÃé×â°d]Èy ́ ªêépây. EÆ AB, BC ÀâyîÎâyy CA ÅâyméÈ°¨ ABC Z»ÅâymÀâyy OpâRvâêé¾Ñ ́ Àâ¿xpâÀryô×â ¾ÎâyÀâÃéÈy. ¬¥¾¾ ±s¦ O prªvây ²ª{âyÀâóÈ Àây|âX×rô×d ¿xpâÔâpáf n×âQ ÀâÃépâ$Àâyy×ây ¿xÃén¿kKyª¬. a, b, c Èy ÀâyÃévây ¿xªfXÈrô°á a, b, c ÅâyméÈ°¨ aÖâ Z»ÅâymÀâyy OpâRvâêé¾Ñ ´Àâ¿xpâÀryô×â ¾ÎâyÀâÃéÈy a < b + c, b < c + a ÀâyîÎâyy c < a + b. En+×â ÀâyÃévây ÅâyméÈ Ö³È°âÈ°¨ Z»ÅâymÀâyy ¾îWªßdȪêá o ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâydÈy ßdÈy.

I{dÝképâÇ 14 : aÖâ Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ÖâpâJÀâyy Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Öâªêá ~õ{âM{â¾ ßâÃé~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

322

Éd|â×â : ABC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ∠B = 900 ́ ¾ ́ ×âyÖ³×âyÀâyy. ́ ~kóvây AC ÖâpâJÀâyy ∠BAC < ∠ B ÀâyîÎâyy ∠BCA < ∠ B´¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ∠BAC Ñ U{âypâygd

Iªvây ÅâymÀâyy BC ÀâyîÎâyy ∠BCA Ñ U{âypâygd Iªvây ÅâymÀâyy AB. Z~k»¹d{â×â 2 Z~kÖdp⪠BC<AC ÀâyîÎâyy AB<AC.

I{dÝképâÇ 15 : ZѪ¬nZ°âªÈ¨ ∠B = 700 ∠C = 500 ÀâyîÎâyy AD, A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf. AB > AD > CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â: ∠A= 1800 -(∠B +∠C)= 1800-(700+500)=600

´¾gâÀây¾ªßâªÚ.´~kóvây ∠BAD = ∠DAC = 300

Z»Åâymª BAD ¾ »¥¿xyÖ¨ªÚ. ∠ADB ¾ ÈrÑýªßâÀâßây+.∠ADB = 1800 - (700 + 300) = 800 > ∠ABD

Öd±s¦ AB > AD, (Z~k» ¹d{â×â 2 Z~kÖdpâª)Z»Åâymª ADC Ȩ ∠DAC =300 < 500 = ∠ACDZ~k»¹d{â×â 2 Z~kÖdp⪠CD <AD.

´ÅdX¿xª 3.3.71. Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ ∠B =280 ÀâyîÎâyy ∠C = 560 ~õ{âMÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy n×âQ

ÅâymÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.2. Z»Åâymª ABC Ȩ AB = 4 ¿õª. Æyd, BC = 5.6 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy CA=

7.6 ¿õª.Æyd Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ×ây Àds ÎryyÖâý Ap¨ÝkéÇ ZÖâÀâyªÈ¨ pdÎâyªÚ.

3. ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B = 700 ÀâyîÎâyy ∠C = 400 AB = AD ´gây×âê[y BC Æyd{â D ²ª{âyÀâó×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. AB > CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

4. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AD ~õ{âM ÅâymÀâyy, BD n×âQ ÅâymÀâyy ´×âyÖ¨ªÚ. ∠A < ∠C ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. (¿xÃéßâ×â: AC ¾ ÖâÈ~kªÚ)

5. ABC Z»ÅâymªÈ¨ P aÖâ ´ª°âpâ ²ª{âyÀâó ´×âyÖ¨ªÚ. AB + BC + CA < 2(PA + PB + PC) ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

323

Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. ZѪ¬ ÆÀâpâî¥Èy ¾mÀâygây×âê[y fdù¥È×ây ~kòîªßâªÚ.(a) Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ÖâpâJÀâyy --------- ÅâymÀâyy.(b) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ ÀâyÃévây Ȫ±ÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy {d¾ ßâyê¦yֳȰâ Öâªêá

--------- (c) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ O prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀryô×â ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Öâªêá

--------- (d) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ prªvây Ö¨ÇéÈy ´¿xÀâÃé×âÀryô×â n×âQ Ö¨ÇÀâyy {d¾ Ör{âypâygd

--------- ÅâymÀâyy×ây Öâ¶Ð Iªêyª¬(e) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâymÀâyyÈ Åá{âÀâyy, ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Öâªêá ----(f) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâymÀâyyÈy ´¿xÀâÃé×âÀryô×â, ~õ{âM ÅâymÀâyy {d¾

Ör{âypâygd --------- Ö¨ÇÀâyy×ây Öâ¶Ð Iªêyª¬2. ZѪ¬ ÀdÖdXÈ×ây ¿xîÎryô×â ÖdpâÇéÈ°¨ ¾pâÃéĪßâªÚ.

(a) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈ Àryy°âKÀâyy {d¾ Ȫ±ÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy Öâªêá UæýÀâ

(b) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý O prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀryô×â ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy×âæ Ð¥Îây±Ú×â Àây|âX gâ°â páf ÎryyÖâý prs¦ª~kó Öâªêá UæýÀâ

(c) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý O prªvây ÅâymÀâyyÈ Åá{âÀryô×â ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Öâªêá °âæýÀâ

3. ABC ÀâyîÎâyy DBC ´×ây prªvây Z»ÅâyméÈ IÀâyWÚ ÅâymÀâyy BC.AB=DC ÀâyîÎâyy ∠ABC=∠BCD ´Ìy×â AC=BD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

4. AB ÀâyîÎâyy CD ´×ây prªvây páfd fªvâÀâyyÈy AD ÀâyîÎâyy BCÈy '0' Àâ{âM fªÚªßây×âê[y×âQÆ AO=OC ÀâyîÎâyy BO=OD ´Ìy×â AB=CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

5. ABC aÖâ Z»ÅâymÀryô×â, BC Æ¥y{â ÀrÈy~kÈgd BDC Z»ÅâymÀâyy×ây AB =BD ÀâyîÎâyy AC=CD ´gây×âê[y Ð¥ÎâyªÚ ABC DBC3 3, ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

324

6. ABCD aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy AB Æ¥y{â P ²ª{âyÀâó, DC Æ¥y{â Q ²ª{âyÀâó, DP=AQ ´gây×âê[y I×âQ¬ BP=CQ ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

7. ABC Z»ÅâymªÈ¨ AB=AC. P ´×ây×⬠AB Æ¥y{â aÖâ ²ª{âyÀâó, AC Æ¥y{â Q ²ª{âyÀâó AP=AQ ´gây×âê[y I×âQÆ. APC AQB3 , ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

8. aÖâ ¿xÀây¬] ±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy {d¾ ¹d{â Ö¨ÇéÈ Àryy°Kd¾Ñ prªvây prê[y I×âQ Z»Åâym Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ

9. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf, ¹d{âÀâyy×ây ¿xÀây¬] fªvâ×â ßáû×â A Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

10. ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨AB=AC. AB=AD ´gây×âê[y AB ¾ D Àâpâæ ¹åÚЪn×â ∠BCD Ȫ±Ö¨ÇÀâygây×â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

12. AB ÀâyîÎâyy CD páfdfªvâÀâyyÈy AB||CD ÀâyîÎâyy AD||BC ´gây×âê[y I×âQÆ.BC Àây|âX ²ª{âyÀâó E ÀâyîÎâyy DE, AB ¾ F Àâ{âM fªÚªßây×âê[y ¹åÚЪßâ ±Ú×⬠AB=BF ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

Ö¡ÈÖâ ~k{dÈy :¿xpâ]¿xÀây°â]ª : AÖdpâÀâyy ÀâyîÎâyy ~kîÀâÃéÇÀâyyÈȨ aÖáÆ|âªgd I×âQprªvây páfdg⧰â

nZ°dÈy.´{dXp¨~kÇ : aÖâ nZ°âª Àâyp³Öâ nZ°âª Æyd{â ¿xîg$d æép³+×âyê.´×âypâÃé~kÅâyméÈy : prªvây Z»ÅâyméÈ×ây ¹èÈy+×â~kóvây Z»Åâym ÅâyméÈ×ây ZÖâÀâyÀryô×â

~k{âP»È¨ ¿xÃénÉKdÀâyy.´×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈy : Ö¨ÇéÈ×ây ZÖâÀâyÀryô×â ~k{âP»È¨ ¿xÃénªßâyê.ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : ÅâymÀâyy−Ö¨ÇÀâyy−ÅâymÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : Ö¨ÇÀâyy−ÅâymÀâyy−Ö¨ÇÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.ÅâyÅâyÅây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : ÅâymÀâyy −ÅâymÀâyy−ÅâymÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

325

Ȫ. Öâ. Åây û{Pdª°âª : Ȫ±Ö¨ÇÀâyy−ÖâpâJÀâyy−Åâymª û{Pdª°âª.Z»Åâym ´¿xÀâÃé×â°â]ª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ O{rô×d aÖâ Åâymª Æyж×â prªvây ÅâyméÈ

Àryy°âKª Öâªêá °âæýÀâ Iªêyª¬.gâypâKyªßây Ö¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy :

• aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây ÀâyîÎryyÖâ Z»ÅâymÀâyy Æyd{â ́ {dXp¨~kÇ ßáÎây gâ¶$°á ́ Æ prªvây ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª.

• prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ prªvây ÅâyméÈy, Àds Àây|âXÖ¨ÇÀâyy ZÖâÀâyªgd prªvâÀâ{d¾ ́ ×âypâÃé~kÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ́ ×âypâÃé~k Ö¨Çé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª( Åây Ö¨Åây)

• prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ prªvây Ö¨ÇéÈy, Àds IÀâyWÚÅâymª ZÖâÀâyªgd prªvâÀâ {d¾ ´×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈy, ´×âypâÃé~k Åâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª( Ö¨ Åây Ö¨)

• prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy ZÖâÀâyªgd prªvâÀâ {d¾ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠( Åây Åây Åây)

• prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ ÖâpâJÀâyy, ÅâymÀâyy prªvâÀâ {d¾ ÖâpâJÀâyy Åâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy.

• aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý O{rô×d aÖâ Åâymª Æyж×â prªÚs Àryy°âKª Öâªêá °âæýÀâ (Z»Åâym ´¿xÀâÃé×â°â]ª)

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Ådgâª-4

Z»ÅâyméÈ ¾pdWǪo ´|dXÎâyÀâyy×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬Æ °rÈy¿xyÖ³¾ Iªvd¶. ZѪ¬ ¿xª{âpdVÈȨ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêª

• ÀâyÃévây ÅâyméÈy En+×â~kóvây.• prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy aÖâ ֨Ǫ En+×â~kóvây.• prªvây Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy Àds IÀâyWÚ Åâymª En+×â~kóvây.• prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀâ Åâymª Æyd¬Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±ª En+×â~kóvây.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy ÖâpâJÀâyy En+×â~kóvây.• ¹d{âÀâyy ÀâyîÎâyy U°âKy En+×â~kóvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦y ֳȰâ ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K En+×â ~kóvây.• ßâyê¦yֳȰâ ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇéÈy En+×â~kóvây.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Àryy°âKÀâyy ÀâyîÎâyy

aÖâ ¹d{âÖ¨ÇÀâyy En+×â~kóvây.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâyméÈ ÀâX°dX¿xª ÀâyîÎâyy

aÖâ ¹d{â֨Ǫ En+×â~kóvây.

3.4.1~kîßâÎâyª :

ZѪ{âs °âpâgâ°âyÈȨ Æydpây aÖâ Z»Åâymé¾Ñ ÀâyÃévây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy ßáî Apây ´ªµdÈyªêéÎây¾ ×ápây+ æ×dQpây. aÖâ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêé¾Ñ EÀâ¾¥Q °r¶ûIªvdȾ Aµâ+pâX ~kvây°ây×dQpáÀryd. ́ ¾¥Q °r¶¿öKÀâyªn{á Öd¾ Ö³¾Q Z¹dÎrÃéÐÖâ ¿xª{âpdVÈȨ Æydæ EÀâ¾¥Q °r¶ÎâyÖâ¹èÀâßây+. prªvá ֳȰâÈy °r¶¿öK Z»Åâym ¾pdWÇé¾Q A úªßâÈáÀâyy. ÀâyÃévây ֳȰâÈy °r¶û×d æévâ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâÈáÖâ ¹èÀâßây+. I{dÝképâÇ Ñ prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy aÖâ ֨Ǫ (prªvây ÅâyméÈ Àây|âX¬ Öd¾¬) En+×â~kóvây Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêª Éd|âXª Öd{ây. Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêé¾Ñ ÆÆ|â ¿xª{âpdVÈy ßâÃé{Mdª o Apây Z¹dzâÆyÖâ ́ ªµdÈ°¨ ¹dêy Àây|âXgâ°â páfÈy, Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy, Ȫ±ÀâyyÈy Àâªs E°âpâ ´ªµdÈy æévâ ßápây+Ö¨Àâßây+. Æydæ ´×áÖâ E°âpâ ¿xªÎrÃém×dÈy IªêéÌy. o ´{â×â~kó ´ªµdÈ°¨ Öâ¾Ík¦ ¿xªfXȨ {â°Kdªµâª°¨ Z»ÅâyméÈy ¾îWªßâêª I°dbÝkéª gd×ây ÀâyîÎâyy ¿xÀdÈy gd×ây Iªêyª¬. ¿xªZ~k{dÎâyÖâÀryô×â ¾pdWÇéÈá Àây×âÀâyy ßáÉKdÀâyy.

326

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.2 ÀâyÃévây ÅâyméÈy En+×â~kóvâyI{dÝképâÇ - 1 : AB =5 ¿õª.Æyd BC = 4.3 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy AC = 4

¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â : ¾pdWǪȨ Àây×âÀâyy ´×áÖâ Éè¹d×dÈy ´×ây¿xîÉKdª.1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. AB = 5 ¿õª.Æyd Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â A ÀâyîÎâyy B ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. 'A'ÖáªZ{âÀâyygd 4¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ.4. 'B' ÖáªZ{âªgd 4.3 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPª°¨ ZѪ{âs ßd~kÀâyy×ây 'C' Àâ{âM fªÚ¿kÃKé

Àâyp³Öâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ.5. AC ÀâyîÎâyy BCÈ×ây ÖâÈ~kªÚ. ABCÀây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymÀâyy.

AȨnªßâªÚ! AB = 5 ¿õª.Æyd.´Ìy×â~kóvây B ÖáªZ{âªgd 4.3 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâLª°¨ Ð¥n×â ßd~kÀâyy A ÖáªZ{âªgd 4 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ Ð¥n×â ßd~kÀâyy×ây fªÚ¿kKyª¬. ¬¥¾¾ Z»Åâym ´¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ ´×â]ÌyªßâgâÈpd?

´ÅdX¿xª 3.4.21. AB = 5 ¿õª.Æyd., BC = 4.6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy AC = 3.7 ¿õª.Æyd.

ֳȰâÈ°¨ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. 4.8 ¿õª.Æyd ÅâymÀâyygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. PQ = 5.6 ¿õª.Æyd, PR = 7 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy QR = 4.5 ¿õª.Æyd. ́ Ìy×â

PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.4. XY = 7.8 ¿õª.Æyd, YZ = 4.5 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy XZ = 9.5 ¿õª.Æyd.

gâÈ XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.5. ßâyêæֳȰâ 12 ¿õª.Æ¥y, ÅâyméÈ ¾ÍkR»K 3:4:5 gd gâÈ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâªÚ.

327

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.3 prªvây ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy aÖâ ֨Ǫ En+×â~kóvây.

I{dÝképâÇ - 2 : PQ = 4 ¿õª.Æyd, QR = 5.2 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ∠Q = 600 ´Ìy×â PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâógâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. QR = 5.2 ¿õª.Æyd. Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â Q ÀâyîÎâyy R ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠MQR=600 ´gây×âê[y'Q'Àâ{âM ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âMpáfd fªvâÀâyy QM×ây

¾îWªßâªÚ;600 Ö³ÈÀâêé¾Ñ Ö¨ÇÀâÃé¾¾ I~kÎrÃéЪßâªÚ.4. 'Q' 'ÖáªZ{âÀâyygd 4 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ QM¾ P Àâ{âM fªÚ¿kÃKé aÖâ ßd~kpáf

Ð¥ÎâyªÚ; PR ¾ ÖâÈ~kªÚ.PQR Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª

AȨnªßâªÚ!Ö¨ÇÀâÃé¾¾¾ I~kÎrÃéЪßâæªvd∠MQR=600 Iªvây×âê[y Q Àâ{âM QM páfd

fªvâÀâyy ¾îWªßâgâÈpd?

´ÅdX¿xª 3.4.31. AB = 4.5 ¿õª.Æyd., AC = 5.5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ∠BAC=750 ֳȰâÈy

gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. 2. PQ = 5.4 ¿õª.Æyd., QR = 5.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠PQR=550 ֳȰâÈy

gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.328

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3. XY = 5 ¿õª.Æyd, YZ = 5.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠XYZ=1000 ֳȰâÈy gâÈ XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

4. LM = 7.8 ¿õª.Æyd, MN = 6.3 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ∠LMN = 450 ֳȰâÈy gâÈ LMN Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

3.4.4 prªvây Ö¨ÇÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Àds IÀâyWÚÅâymª En+×â~kóvây. I{dÝképâÇ-3 : XY = 4.5 ¿õª.Æyd, ∠X = 1000 ÀâyîÎâyy ∠Y=500 ֳȰâÈy gâÈ

XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY = 4.5 ¿õª.Æyd. ¹åvâÀâó Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â X ÀâyîÎâyy Y ²ª{âyÀâóÈ×ây

gâyîKªßâªÚ.3. ∠PXY = 1000 Iªvây×âê[y XP páfdfªvâÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ; ∠X QY =500

Iªvây×âê[y YQ, páfdfªvâÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.4. XP ÀâyîÎâyy YQ È×ây'Z' Àâ{âM fªÚªßây×âê[y ¹åÚ ÐªßâªÚ. XYZ Àây×âæ

ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ: XY = 4.5 ¿õª.Æyd, ∠X=1000 ÀâyîÎâyy ∠Y = 800 ´¾ En+×âê[Ìy°á XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâgâÈÀd? ¾pdWÇÀâyy UÖâývâ Aйè°âyª¬ ÀâyîÎâyy Uª{âyæ?

329

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.41. AB = 6.5 ¿õª.Æyd, ∠A = 450 ÀâyîÎâyy ∠B = 600 ֳȰâÈygâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. QR = 4.8 ¿õª.Æyd, ∠Q = 450 ÀâyîÎâyy ∠R = 550 ֳȰâÈygâÈ PQR

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. BC = 5.2 ¿õª.Æyd, ∠B = 350 ÀâyîÎâyy ∠C = 800 ֳȰâÈygâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.4. BC = 6 ¿õª.Æyd, ∠B = 300 ÀâyîÎâyy ∠C=1250 ֳȰâÈygâÈABC Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ.

3.4.5 EÀâ]±Ú×â U°âKy°¨ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ - 4 : 3.2 ¿õª.Æyd. U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â : aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈ ×âyªÚ U{âys ÅâymÀâyyÈæ

Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±ÀâyyÈy ¿xÀâÃé×â ֳȰâ Öâ¶Ð IªêéÎây¾ gâÀây¾ªßâªÚ. (o ÆÀâpâÇ×ây ¾pâÃéĪßâªÚ) Öd±s¦ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý U°âKy×ây o ÀâyÃévây Ȫ±ÀâyyÈֳȰâgd »¥¿xyæªêéÀâyy.

¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy :

1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ XY ́ ×ây páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY Æyd{â M ´×ây ²ª{âyÀâó×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ ZM ⊥XY ¾ Ð¥ÎâyªÚ.3. M ÖáªZ{âÀâyygd 3.2 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ MZ ¾ A Àâ{âM fªÚ¿kÃKé aÖâ ßd~k

páf Ð¥ÎâyªÚ.4. B ÀâyîÎâyy C Èy XY Æyd{â Iªvây×âê[y ∠MAB = 300 ÀâyîÎâyy

∠MAC = 300 Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¾îWªßâªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª

330

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

AȨnªßâªÚ: E~kóvây ¾îWªn×â ABC Z»Åâymª Uª{âyæ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª¬? ¾pâÃé~kÇ

gâyîªn AȨnªßâgâÈÀd?

´ÅdX¿xª 3.4.51. 4.5 ¿õª.Æyd U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. {d¾ ÅâymÀâyy ÎryyÖâý

¿xyÀâÃéprô×â ¹åvâÀâó×ây Ö³ÈÀâªÚ.2. 5.2 ¿õª.Æyd U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. {d¾ ÅâymÀâyy ÎryyÖâý

¿xyÀâÃéprô×â ¹åvâÀâó×ây Ö³ÈÀâªÚ.3. 6 ¿õª.Æyd U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. {d¾ ÅâymÀâyy ÎryyÖâý

¿xyÀâÃéprô×â ¹åvâÀâó×ây Ö³ÈÀâªÚ.3.4.6 prªvây ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Æyd¬Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy

En+×â~kóvây.

I{dÝképâÇ - 5 : AB = 4.5 ¿õª.Æyd, AC = 5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy ¹åvâÀâó 3.6 ¿õª.Æyd gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyª1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâógâÈ XY páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY Æyd{â M ´×ây ²ª{âyÀâó×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ.3. ZM ⊥XY ´gây×âê[y ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âM¬gd MZ ×ây Ð¥ÎâyªÚ.

331

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

4. M ÖáªZ{âÀâyygd 3.6 ¿õªÆyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ MZ ¾ A Àâ{âM fªÚªßây×âê[y aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ.

5. A ÖáªZ{âÀâyygd 4.5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 5 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyyÈ°¨ XY ¾ fªÚ¿kÃKé ZÖâÀâyÀâyygd B ÀâyîÎâyy C È Àâ{âM ßd~kpáfÈy Ð¥ÎâyªÚ; AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ.

ABC ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ ! 1. A ÖáªZ{âÀâyygd 4.5 ¿õª. Æyd ÀâyîÎâyy 5 ¿õª. Æyd ÀdXÉdpâPÀâyyÈ°¨ Ð¥Îây±Ú×â

ßd~kÀâyyÈy XY páfd fªvâÀâyy×ây Uª{âyæ fªÚÉKdÌy? {â°KdªµâÀâyyȨ O ÅdgâÀâyy ¬¥¾¾ ¾pPdî¿kKyª¬?

2. En+×â Z»ÅâymÀâyy Öâªêá Àâyîprªvây Z»ÅâyméÈ×ây Ð¥ÎâyÀâßây+. Àds¾ ¾îWªßâªÚ .

´ÅdX¿xª 3.4.6

1. PQ = 5.5 ¿õª. Æyd, PR = 6.2 ¿õª. Æyd, ÀâyîÎâyy P ×âyªÚ QR Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy ¹åvâÀâó 4 ¿õª. Æyd gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

2. MN = 4.5 ¿õª. Æyd, MP = 5.2 ¿õª. Æyd, ÀâyîÎâyy M ×âyªÚ NPÑ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy ¹åvâÀâó 3.8 ¿õª. Æyd gâÈ MNP Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

332

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.7aÖâ ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy ÖâpâJÀâyy En+×â~kóvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê

I{dÝképâÇ - 6 : ∠M = 900 , MN = 4 ¿õª. Æyd ÀâyîÎâyy LN = 6.2 ¿õª. Æyd ֳȰâÈy gâÈ LMN Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â : ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy.1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. MN = 4 ¿õª.Æyd, Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â M ÀâyîÎâyy N ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠NMP = 900 Iªvây×âê[y ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âM páfd fªvâÀâyy MP ¾ Ð¥ÎâyªÚ.

4. N ÖááªZ{âÀâyygd 6.2 ¿õª. Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ MP¾ LÀâ{âM fªÚªßây×âê[y aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ. NL ¾ ÖâÈ~kªÚ. LMN ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ : N ÖáªZ{âÀâyygd 6.2 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ Ð¥Îây±Ú×â ßd~kÀâyy MP páfdfªvâÀâyy×ây Uª{âyæ fªÚ¿kKyª¬? {â°KdªµâÀâyy ÎryyÖâý O ÅdgâÀâyy ¬¥¾¾ ¾pPdî¿kKyª¬?

´ÅdX¿xª 3.4.71. ∠B = 900 AB = 5 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy AC = 7 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ

ABC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ∠R = 900 PQ = 4 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy QR = 3 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ

PQR Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ∠B = 900 BC = 4 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy AC = 5 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ

ABC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.8 ¹d{âÀâyy ÀâyîÎâyy ´×âypâÃé~kȪ±Àâyy En+×â~kóvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ - 7 : ¹d{âÀâyy BC = 5.8 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy 4.8 ¿õª. Æyd ֳȰâÈygâÈ ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

333

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâógâÈ XY páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. BC= 5.8¿õª.Æyd Iªvây×âê[y {d¾ Æyd{â B ÀâyîÎâyy C ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. BC ÎryyÖâý Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â páf Ð¥ÎâyªÚ. BC Æyd{â M Iªvây×âê[y {d¾Ñ MP´¾ gâyîKªßâªÚ. 4. 'M' ÖáªZ{âªgd 4.8 ¿õª. Æyª, ÀdXÉdpâLª°¨ MP

¾ fªÚ¿kÃKé A Àâ{âM ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ. AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ.ABC ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymªAȨnªßâªÚ! ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymÀây¾ ¾pâJÌyªßâyêæ Z»ÅâyméÈÆyd{â O

Ák¶°âÀâyy I~kÎrÃéЪßâ±Ú×â¬?

´ÅdX¿xª 3.4.81. ¹d{âÀâyy BC = 6.5 ¿õª. Æyª, A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy

4 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC ¿xÀây¬] ±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ¹d{âÀâyy YZ = 5.8 ¿õª. Æyª, ÀâyîÎâyy X ×âyªÚ YZ Ñ Ð¥Îây ±Ú×â Ȫ±Àâyy

3.8 ¿õª.Æyd gâÈ XYZ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ¹d{âÀâyy PQ = 7.2 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy R ×âyªÚ PQ Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy 5

¿õª.Æyd gâÈ PQR ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.9 Ȫ±Àâyy ÀâyîÎâyy úpâ_Ö¨ÇÀâyy En+×â~kóvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâyê.I{dÝképâÇ - 8 : Ȫ±Àâyy 4 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 800 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy.1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ XY páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.

334

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

2. XY Æyd{â M ´×ây ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªn MP ⊥XY Ð¥ÎâyªÚ.3. M ÖáªZ{âÀâyygd 4 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyyÈ°¨ MP ¾A Àâ{âM fªÚ¿kÃKé aÖâ ßd~kpáf

Ð¥ÎâyªÚ.4. 40MAB MAC

280c c= = = Iªvây×âê[y XY Æyd{â B ÀâyîÎâyy C È×ây

gâyîKªßâªÚ.ABC ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª. AȨnªßâªÚ : ABC Uª{âyæ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª¬? ABC ÖdÀâÈû×â

Z»ÅâymÀây×âêé¾Ñ Z»ÅâyméÈÆyd{â O Ák¶°dÈy I~kÎrÃéЪßâ ±vGdÌy?

´ÅdX¿xª 3.4.91. Ȫ±Àâyy 4.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 700 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ. 2. Ȫ±Àâyy 6.6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 600 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ.3. Ȫ±Àâyy 5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 900 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ.3.4.10 aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K En+×â~kóvây

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ 9 : ABC Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 2:3:4 ´Ìy×â ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

335

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy:

1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY = 12 ¿õª.Æyd Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â X ÀâyîÎâyy Y²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. XY °¨ ́ ÈRÖ¨ÇÀâyy×ây OpâRpây¿kÃKé ZѪ¬ ÀrôÀâó Ñ XZ ́ ×ây ÑpâÇÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.4. X ×âyªÚ ¿xÀâÃé×â {âÃépâÀâyyÈȨ Iªvây×âê[y 2 + 3 + 4 = 9© ²ª{âyÀâóÈ×ây

XZ Æyd{â gâyîKªßâªÚ.5. XL = 2 ÅdgdÈy, LM = 3 ÅdgdÈy ÀâyîÎâyy MN = 4 ÅdgdÈy Iªvây×âê[y

XZ Æyd{â L, M,N ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.6. NY ×ây ÖâÈ~kªÚ. L ÀâyîÎâyy M È gâyªvd XY ¾ ZÖâÀâyªgd B ÀâyîÎâyy C

È Àâ{âM fªÚ¿kÃKé LB||NY ÀâyîÎâyy MC||NY Ð¥ÎâyªÚ.7. B ÖáªZ{âÀâyygd BX ÀdX¿xpâPÀâyy°¨ aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ; C ÖáªZ{âªgd CY

ÀdXÉdpâPª°¨ ZѪ{âs ßd~kÀâyy×ây A Àâ{âM fªÚªßây×âê[y Àâyp³Öâ ßd~kÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. 8. AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.AȨnªßâªÚ! ABCZ»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈy Uª{âyæ ÖdÀâÈû×â ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy?

Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈy 2:3:5 ¾ÍkR»KȨ Iªêá Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê Éd|âXÀáy×d?

´ÅdX¿xª 3.4.101. ßâyê¦yֳȰâ 13 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 3:4:5 gâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ßâyê¦yֳȰâ 14 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 2:4:5 gâÈ PQR

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ßâyê¦yֳȰâ 15 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 2:3:4 gâÈ MNP

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

336

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.11 ßâyê¦y ֳȰâ ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy En+×â Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ -10 : ßâyê¦yֳȰâ 12.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 60° ÀâyîÎâyy 750 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â : ¾pdWÇ ZÖâÀâyª

1. PQ = 12.5 ¿õª.Æyd páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. ∠QPR = 600 Iªvây×âê[y PR ÑpâÇÀâyy×ây ÀâyîÎâyy ∠PQS = 750 Iªvây×âê[y

QS ÑpâÇÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ∠QPR ÀâyîÎâyy ∠PQS ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy ZÖâÀâyÀâyygd PL ÀâyîÎâyy

QMÈ×ây Ð¥ÎâyªÚ. o prªvây páfÈ×ây 'A' Àâ{âM fªÚªßâ ¾Àâ]ªÚ.4. AP ÀâyîÎâyy AQ È Èª±¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy Ð¥ÎâyªÚ ÀâyîÎâyy EÆ PQ ¾

ZÖâÀâyÀâyygd B ÀâyîÎâyy C È Àâ{âM fªÚªßâ ¾Àâ]ªÚ.5. AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ.ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ ! Àây×âÑ ÖdÀâÈû×â ¹d{âÖ¨ÇéÈy Àân+×âê[y Z»ÅâyméÈ ÎryyÖâý O |âpdWÈy ¾pPdîÉKdÌy? Àây×âæ ÖdÀâÈû×â ßâyê¦yֳȰâ UÈé Àân+ª¬?

337

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.111. ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 50° ÀâyîÎâyy 800 gâÈ

ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ßâyê¦yֳȰâ 15 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 60° ÀâyîÎâyy 700 gâÈ

XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 65° ÀâyîÎâyy 850 gâÈ

ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.12¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ¹d{âÖ¨ÇÀâyy En+×â

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ 11 : AB = 5.8 ¿õª.Æyd, BC + CA = 8.4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 600 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

8.4 ¿õª

.Æyd

5.8 ¿õª.Æyd.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. AB =5.8 ¿õª.Æyd. Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â A ÀâyîÎâyy B ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠ABX = 60 0 I ª v â y × â ê [ y ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âM páfd fªvâÀâyy BX ×ây Ð¥ÎâyªÚ.

4. BX ×âyªÚ 8.4 ¿õª. Æyd ¹åvâÀâógâÈ BD páfdfªvâÀâyy×ây fªÚªßâªÚ.5. AD ¾ ÖâÈ~kªÚ.6. AD ÎryyÖâý Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÐ¥n, ´¬ BD ¾ C Àâ{âM fªÚªßâ ¾Àâ]ªÚ. 7. AC ¾ ÖâÈ~kªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymÀâyy.AȨnªßâªÚ! CA ÀâyîÎâyy CB È Àryy°âKÀâyy En+×â Àryy°Kd¾Ñ UÈé ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó

°âyª¬?338

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.121. BC = 3.6 ¿õª. Æyd, AB + AC = 4.8 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 600

gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. AB + AC = 5.6 ¿õª. Æyd, BC = 4.5 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎây∠B = 450

gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. PQ + PR = 6.5 ¿õª. Æyd, QR = 5.4 ¿õª. Æyd ÀâyîÎâyy∠Q = 400

gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.13 ¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâymÀâyyÈ ÀâX°dX¿xÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ ¹d{âÖ¨ÇÀâyy

En+×â Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ 12 : ¹d{âÀâyy AB = 5 ¿õª.Æyd, ∠A = 300 ÀâyîÎâyy AC – BC = 2.5 ¿õª.Æyd gâÈABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy:1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. AB =5 ¿õª.Æyd. Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â A ÀâyîÎâyy B ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠BAX = 300 Iªvây×âê[y ÖdÀâÈû×⪰â páfd fªvâÀâyy AX ¾ Ð¥ÎâyªÚ.

4. AX páfd fªvâÀâyy ×âyªÚ AC – BC Ñ ¿xÀâÃé×âÀây gây×âê[y AD=2.5 ¿õª.Æyd. ¹åvâÀâó gâÈ páfd fªvâÀâyy×ây fªÚªßâªÚ.

5. BD ¾ ÖâÈ~kªÚ.6. BD ÎryyÖâý Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â páf×ây Ð¥n ´¬ AX ¾ C Àâ{âM fªÚªßâ

¾Àâ]ªÚ.7. BC ¾ ÖâÈ~kªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.AȨnªßâªÚ : AC – BCÀâX°dX¿xÀâyy AD Ñ O Æ|âªgd ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°âyª¬?

AC – BC > AB ´gây×âê[y »¥¿xyÖ³¾ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâgâÈÀd?

339

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.131. BC = 3.4 ¿õª. Æyd, AB – AC = 1.5 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 450 gâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

2. BC = 5 ¿õª. Æyd, AB – AC = 2.8 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 400 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

3. BC = 6 ¿õª. Æyd, AB – AC = 3.1 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 300 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Z»ÅâyméÈ ¾pdWǪ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. AB = 5 ¿õª.Æyd, BC = 1.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy AC = 4.3 ¿õª.Æyd. ֳȰâÈy gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

2. AB = 5 ¿õª.Æyd, BC = 5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy AC = 4.3 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

3. PQ = 4 ¿õª.Æyd, QR = 4.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠Q = 600 ֳȰâÈy gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

4. PQ = 4 ¿õª.Æyd, ∠P = 600 ÀâyîÎâyy ∠Q = 600 ֳȰâÈy gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

5. AB = 3.5 ¿õª.Æyd, AC = 4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±páf ¹åvâÀâó 3 ¿õª.Æyd gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

6. BC = 4.5 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±páf ¹åvâÀâó 3.8 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

7. ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 700 ÀâyîÎâyy Ȫ±Àâyy 5 ¿õª.Æyd. gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

8. ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 800 ÀâyîÎâyy Ȫ±Àâyy 5 ¿õª.Æyd. gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀây×ây ¾îWªßâªÚ.

340

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

9. 3.5 ¿õª.Æyd. U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

10. 4.3 ¿õª.Æyd. U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

11. MN = 4.5 ¿õª.Æyd., LN = 5.6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠M = 900 ֳȰâÈy gâÈ LMN Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

12. QR = 4.5 ¿õª.Æyd., ∠Q = 900 ÀâyîÎâyy ∠R = 500 ֳȰâÈy gâÈ PQR Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

13. ÅâymÀâyyÈy 2 : 3 : 4 ¾ÍkR»KȨ IªÚ ßâyê¦yֳȰâ 13 ¿õª.Æyd. gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

14. ÅâymÀâyyÈy 3 : 4 : 6 ¾ÍkR»KȨ IªÚ ßâyê¦yֳȰâ 15 ¿õª.Æyd. gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

15. ¹d{âÖ¨ÇéÈy 600, 750 ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ 13.5 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

16. ¹d{âÖ¨ÇéÈy 500, 800 ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ 12.5 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

17. YZ = 4.5 ¿õª.Æyd., ÀâyîÎâyy ∠Y = 600 ÀâyîÎâyy Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Àryy°âKÀâyy 7.5 ¿õª.Æyd. gâÈ XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

18. ßâyê¦yֳȰâ 9 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy 3 : 4 : 5 ¾ÍkR»KȨ I×âQ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

19. ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy 2 : 3 : 5 ¾ÍkR»KȨ I×âQ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

20. BC = 4.5 ¿õª.Æyd., ∠B = 350 ÀâyîÎâyy Æyж×â prªvây ÅâymÀâyyÈ Àây|âX Åá{âÀâyy 2.8 ¿õª.Æyd. ´Ìy×â ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

341

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

¹dîÅdÍkÖâ ~k{dÈyȪ±¿xÀây¬]fªvâ×â páf : En+×â páf Ñ Èª±Àâyygd IªÚ ¿xÀây¬] fªvâ×â ßáÎâyy páf.֨ǿxÀây¬]fªvâ×â páf : En+×â Ö¨ÇÀâyy×ây ¿xÀây¬] fªvâ×â ßáÎâyy páf.ßâyê¦y ֳȰâ : O{rô×d ¿xÀây°âÈ nZ°âÀâyy ÎryyÖâý ¿xîÝké{âMy ¹åvâÀâó.Ȫ±Àâyy : aÖâ ²ª{âyÀâó ×âyªÚ aÖâ páfÑ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±páf; Ȫ±Àâyy ÎryyÖâý

¹åvâÀâóÑ æévâ ¬¥¾¾ I~kÎrÃéÐÉKdpây.ßd~kÀâyy : Àâ½°âK ÅdgâÀâyy.¹d{âÖ¨ÇÀâyy : Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy E°âpâ ÅâymÀâyyÈ°¨ OpâRpâßâyÖ¨ÇÀâyyÈȨ

O{rô×d.ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy : ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈy Öâ¶Îâyy ú¥pâ_Àâyy

Àâ{âM OpâRvây Ö¨ÇÀâyy.gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ÆÍkÎâÃéÈy:

• aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâêé¾Ñ Öâ¾¥¿xª ÀâyÃévây ֳȰâÈy ÖdÀd¶.• O ÀâyÃévây ֳȰâÈrô×d »¥¿xyÖ³¾ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâÈáÀâyy.

lllll

Purity, patience, and perseverance are three essentials to sucess and

above all, love.

– Swamy Vivekananda

342

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

343

Ådgâª-5

ßâ°âypâyVméÈy o Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬Æ °rÈy¿xyÖ³¾ Iªvd¶

• En+×â nZ°dÈ ~ks¦ ×âyªÚ ßâ°âypâyVméÈ×ây gâyîKªßâêª.• ßâ°âypâyVméÈ ÉdÀâÃé×âX |âpdWÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyêª.• ßâ°âypâyVméÈæ ¿xª±ªºªn×â ¿xÀây¿kXÈ×ây Édºªßâêª.• ÆÆ|â pâÖdÈ ßâ°âypâyVméÈ×ây Àâî¥$Öâîªßâêª ÀâyîÎâyy Àds ÆÆ|â |âpdWÈ×ây

gâyîKªßâêª.• ¾°âX ÊËÆ°âªÈ¨ ¿xªÅâƪßây ßâ°âypâyVméÈæ ¿xª±ªºªn×â ¿xÀây¿kXÈ×ây ÉdªfXÖâ

¿xÀây¿kXÈygd ÀâÃéî+ Àds¾ Édºªßâêª.

3.5.1~kîßâÎâyª:

aÖâ Z»ÅâymÀâyªêá ÀâyÃévây ÅâymÀâyyÈ°¨ AÀâîªßâ±Ú×â nZ°âÀây¾ Æydpây Àâyyª{á ×ápây+æ×dQpây. Z»ÅâyméÈ×ây (i) ÅâymÀâyyÈ ÀâyîÎâyy (ii) Ö¨ÇÀâyyÈ ×d|dpâªgd Àâî¥$Öâîªßdpây.ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. ´

Z»ÅâyméÈ×ây ÅâyméÈ ×d|dpâªgd ~öp³ý×âªÚ. Ö¨ÇéÈ×d|dpâªgd Z»ÅâyméÈ×ây ~öp³ý×âªÚ. aÖâ ¿xÀây°âȪȨ ×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Àds¾ aÖâ ZÖâÀâyÀâyyȨ m°âÈygd Öâ¶Ä°á OÆy Àâ¿kKyª{¨ ßâÃé{Mdª.

´¾Q ²ª{âyÀâóÈy OÖâpáfd ûL°âÀâyyÈrô°á, ´ªêá ´Æ ´¾Q aÖá ¿xpâÔâpáf Æyd{â Iªêá Àây×âÑ aÖâ páfd fªvâÀâyy Àâ¿kKyª¬. (nZ°âª 1)

×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ [̈ ÀâyÃévây OÖâpáfd ûL°âÀâyyÈrô°á Àây×âæ aÖâ Z»Åâymª Àâ¿kKyª¬ (nZ°âª 2)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

344

×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ [̈ O ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy OÖâpáfd ûL°âÀâyyÈy ÖdÖâ ¹è°á Àây×âÑ ×dÈygây ÅâymÀâyyÈ°¨ AÀâîªßâ ±Ú×â aÖâ AÀâ½°â nZ°âª Àâ¿kKyª¬. (nZ°âª 3 ÀâyîÎâyy nZ°âª 4) O ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy OÖâ páfd ûL°âÀâyyÈy Öd¾ ×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ×ây aÖâ ZÖâÀây ~k{âP»È¨ ÖâÈy~kóêÀâÈ×â OpâRÚ×â ×dÈygây ÅâymÀâyyÈy gâÈ AÀâ½°â nZ°âÀâyy×ây ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. ZѪ¬ nZ°âÀâyyÈ×ây ßâÃévâªÚ :

´Æ AÀâ½°â nZ°dÈy. Àds ¿xîÝké{âMyȨ ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈyªêéÌy. ~õô×â EÀâ] ±Ú×â ´¾Q ¿xÀây°âÈ nZ°dÈæ Öâ¶Ä aÖá ~öpây ßâ°âypâyVmª.

aÖâ ¾îMÍk¦Àryô×â ZÖâÀâyÀâyyȨ ú¥pâ_ÀâyyÈÖâ×ây gâyǪgd ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ~öp³ýªêépây. Z~kÖâý nZ°âÀâyy×ây ABCD ÈáÖâ ADCB´¾ ßâ{âÀâ Àâßây+ Öd¾ ADBC °âpâÝkëȨ ßâ{âÀâ æévâ{ây. ~öpâyȨ A¿x×âQ ´ãâpdÈ×ây Öâ¶Ä°á Àds Àây|âX Ȩ ×âyªÚ Àâyp³Öâ páf ¹èæévâ{ây. ú¥pd_È×ây AÆ|âªgd ßâ{âÀdȾ °rÈy¿xyÖ¨ªÚ. I{dÝképâÇÑ ADBC, ~öpâyȨ AC ÀâyîÎâyy BD Èy ~kpâ¿kRp⪠́ vâGy æªêéÌy.

ZѪ¬ nZ°dÈ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ:o prªvây nZ°dÈy ßâ°âypâyVméÈÀâó°dÎâÃé? ´Æ ßâ°âypâyVméÈy Öd{ây; Àryy{âs{d¾È¨ ÅâyméÈy ́ vâGyæªêéÌy; prªvâÀâ{d¾È¨ ´¾Q ÅâyméÈy páfd fªvdÈy ÖdÀâó aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây »îÐ o Æ|âªgd ¾pâ]nªßâÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

345

O ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy OÖâ páfdûL°âÀâyyÈy Öd¾ ×dÈygây ¿xÀây°âÈ ²ª{âyÀâóÈ×ây ÖâÈy~kgd OpâRÚ×â ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈȨ Z~k»¬¥ Æyж×â ÀdsȨ prªÚs¾ ÀâÃéZ°âÀáy Àds nÀâî ²ª{âyÀâóÈ Àâ{âM Öâ¶Îâyy×âê[y Iªêá ´êyÀâªs páfd fªvâÀâyyÈ ¿xÀáyWÔâ×âÀâyy×ây ßâ°âypâyVmª ´ªêépây.

EÖâývâ Àây×âÀâyy ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈ ¿xÀáyWÔâ×âÀryô×â AÀâ½°â ÀâZÖd¾Ñ ÀâyîÎâyy o ×dÈygây páfdfªvâÀâyyÈßá AÀâîªßâ±Ú×â ¿xÀây°âÈ nZ°âÀâyy×âæ Àây|âXÅá{âÀâyy×ây °rÈy~kÈá{ây. ¿xª{âpdV¾Q ±s¦ {d¾¾ ´pâLª ßá¿xyÖ¨Àâßây+.

aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ×dÈygây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ×dÈygây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈy IªêéÎây¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈ×d|dpâªgd o ßâ°âypâyVméÈ×ây prªvây pâÖdÈygd Àâî¥$ÖâîªßâÀâßây+: æªÅdÖdpâ ÀâyîÎâyy ~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVméÈy.

aÖâßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ´¾Q ´ª°âpâÖ¨ÇéÈy 1800 Öâªêá °âæýÀâ Iªêá {d¾¾ æªÅdÖdpâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. Èá¾ ÎryvâÈ {d¾¾ ~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. æªÅdÖdpâ ßâ°âypâyVmª ~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVmª

AȨnªßâªÚ!Æ¥yæ Æ«×âQ ¹åvâÀâóÈy gâÈ ×dÈygây ~kóÈ[Èy EÀâ] ±vGdÎây×ây Ö¨ªÚ. Àds¾ ßáî+

ßâ°âypâyVmª ßáÎâygâÈÀd?

Z»ÅâyméÈÀâÈr ßâ°âypâyVméÈæ æévâ Ö³¾Q |âpdWÈy I×dQÌy. ÀdsȨ Ö³¾Qs¾ Àây×âÀâyy ×ápây+æªêéÀâyy.3.5.2 ßâ°âypâyVméÈ |âpdWÈy

ABCD aÖâ ßâ°âypâyVmª ´×âyÖ¨ªÚ.1. A, B, C ÀâyîÎâyy D ²ª{âyÀâóÈ×ây ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈy ´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

346

2. AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA páfdfªvâÀâyyÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyyÈy ´ªêépây.

3. ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD ÀâyîÎâyy ∠CDA Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ×dÈygây Ö¨ÇÀâyyÈy ´ªêépây.

4. AC ÀâyîÎâyy BD páfdfªvâÀâyyÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ´ªêépây.

gâÀây¾Öâ : aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ×dÈygây ÅâymÀây-yÈy, ×dÈygây Ö¨ÇÀâyyÈy ÀâyîÎâyy prªvây ÖâpâJÀâyyÈy IªêéÌy. Àryy°âKª Æyd{â {d¾Ñ ~k¬ ´ªµdÈyªêéÌy.

A¿x×âQ ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ´«Àâyyf ÅâyméÈy 1. aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈæ aÖâ

ÉdÀâÃé×âX nÀâî ²ª{âyÀâó Iªêá Àds¾ A¿x×âQ ÅâyméÈy ÈáÖâ ¹dpâ^] ÅâyméÈy ´ªêépây. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AB ÀâyîÎâyy AD Èy A¿x×âQ ÈáÖâ ¹dpâ̂ ] ÅâyméÈy. E°âpâ A¿x×âQ ÅâymÀâyyÈ m°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

2. prªvây ÅâyméÈæ ÉdÀâÃé×âX nÀâî ²ª{âyÀâó ÈáÖâ ¹è°á Àds¾ ´«Àâyyf ÅâyméÈy ´ªêépây. ~õô nZ°âªÈ¨ AB ÀâyîÎâyy DC Èy ́ «Àâyyf ÅâyméÈy. E°âpâ ́ «Àâyyf ÅâyméÈ m°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy ´«Àâyyf Ö¨ÇéÈy :3. aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý prªvây Ö¨ÇéÈæ aÖâ IÀâyWÚÅâymÀâyy Iªêá Àds¾

A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ÈáÖâ ¹dpâ^] Ö¨ÇéÈy ´ªêépây. ∠ DAB ÀâyîÎâyy ∠ ABC A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ÈáÖâ ¹dpâ^] Ö¨ÇéÈÀâó°dÌy. E°âpâ A¿x×âQ Ö¨ÇéÈ m°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

4. ÉdÀâÃé×âX ÅâymÀâyy Èá¾ prªvây Ö¨ÇéÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ´«ÀâyyfÖ¨ÇéÈy ´ªêépây. ∠DAB ÀâyîÎâyy ∠BCD Èy ́ «ÀâyyfÖ¨ÇéÈy. E°âpâ ́ «ÀâyyfÖ¨ÇéÈm°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

347

ÖâpâJÀâyyÈ|âpâWÀâyy :

AC ÖâpâJÀâyy ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ABC ÀâyîÎâyy ADC ´×ây prªvây Z»ÅâyméÈygd ÆÅâÊ¿kKyª¬. BD ÖâpâJÀâyy×ây Ð¥n×â~kóvây OpâRvây prªvây Z»ÅâyméÈ×ây ~öp³ý×âªÚ.Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy |âpâWÀâyy :ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. A

´ê¦ÀâyyÖâý Æyd{âÐ¥Îây±Ú×â ßâ°âypâyVmÀâyy×ây Öâ»Kîªn »¥¿xyÖ¨ªÚ. ZѪ{â EÀâ]±Ú×â nZ°âÀâyyȨ I×âQê[y ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Z~k» Ö¨ÇÀâyy×ây OpâRpâßây ÅâymÀâyyÈ Àrª±Ú {d¾¾ Öâ»KîªßâªÚ. o Æ|âªgd OpâRÚ×â ×dÈygây ÀâyyÖâýÈ×ây 1,2,3 ÀâyîÎâyy 4 ´¾ gâyîKªßdÀâyy. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd A ÀâyyÖâýÈ×ây ́ Àâypâ+ªÚ. ́ Àâ¾¥Q aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÖâÈy¿xyæªêy×dQÎâÃé? o ×dÈygây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy gâyîªn ¾¥Àâó OÆy ßr±y°dÀâó? ×dÈygây Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈ Àryy°âKÀâyy 3600.

gâÀây¾Öâ : aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM OpâRvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 3600 ´¾ gâypâKyªßâyÖ¨ªÚ.û{Pdª°âª 1 : aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 3600.

En+×⬠: ABCD aÖâ ßâ°âypâyVmª.¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 3600

¾pdWÇÀâyy : AC ÖâpâJÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.I~k~k»K : ADC Z»ÅâymªÈ¨ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 1800 (Ö¨ÇéÈÀryy°âKÀâyy |âpâWÀâyy). ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠4 + ∠5 + ∠6 = 1800 (ÀâypâÈÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy |âpâWÀâyy) Æ¥s¾ æévâgd ∠1 + ∠4 + ∠2 + ∠5 + ∠3 + ∠6 = 3600 Öd±s¦ ∠A + ∠D + ∠B + ∠C =

3600 Öd±s¦ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 3600.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

348

I{dÝképâÇ 1 :

aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ×dÈygây Ö¨ÇéÈy 2:3:4:6 ¾ÍkR»KȨ I×âQÌy. aÖ³ýÖâý Ö¨ÇÀâyy ÎryyÖâý ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : Ö¨ÇéÈ ¾ÍkR»K 2:3:4:62 + 3 + 4 + 6 = 15 (¾ÍkR»KȨ¾ ~k{dÈ Àryy°âKÀâyy) ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.Öd±s¦ 15 ÅdgdÈy 3600 Ñ ¿xÀâÃé×âª15 ÅdgdÈy - 3600 ;2 ÅdgdÈy - 2 48

15360

# c=

3 ÅdgdÈy - 3 72153600

# c=

4 ÅdgdÈy - 4 96153600

# c=

6 ÅdgdÈy - 6 144153600

# c=

Öd±s¦ ×dÈygâyÖ¨ÇéÈy 480, 720, 960 ÀâyîÎâyy 1440 Àds Àryy°âKÀâyy 3600 ´¾ gâÀây¾ªßdÀd?

I{dÝképâÇ 2 : ABCD ßâ°âypâyVmÀâyyȨ ∠A ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×âª; ∠B, ∠D Ñ ~kî~kòpâÖâª. ∠A ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ∠B + ∠D = 1800 ́ ¾ EÀâ]±Ú×â¬. ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àry°âKÀâyy |âpâWÀâyy×ây~kÎrÃéЪn ∠A + ∠C = 3600 - 1800 = 1800

∠A ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd±s¦.A C

2180 90c c= = =

∠A = ∠C = 900 ÀâyîÎâyy ∠B, ∠D Ñ ~kòpâÖâ Àâygây×âê[y ßâ°âypâyVmÀâyy×ây Ð¥ÎâygâÈÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

349

I{dÝképâÇ 3 : ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â ßâ°âypâyVmÀâyyȨ¾ ´¾Q Ö¨ÇÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ∠P + ∠Q + ∠R +∠S = 3600 (Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy |âpâWª) ´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy Öd±s¦

x + 2x + 3 + x + 3x – 7 = 360° ¬¥¾ ×âyªÚ 7x – 4 = 360° ÈáÖâ 7x = 364°

´ª{âyÀâÈ×â x = 527

364 c= . Àây×âæ ∠P = 520, ∠R = 520, ∠Q = 2x + 3 = 2(52) + 3 = 104+3=1070.

∠S = 3 × 520 - 7 = 1560 - 70 = 1490 ´¾ Àâ¿kKyª¬.∠P + ∠Q + ∠R +∠S = 3600 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

´ÅdX¿xª 3.5.11. aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý prªvây Ö¨ÇéÈy 700 ÀâyîÎâyy 1300 ÀâyîÎâyy Æyж×â

prªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª. A prªvây Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.2. nZ°âÀâyyȨ ∠P ÀâyîÎâyy ∠Q Èy ~kî~kòpâÖdÈy ÀâyîÎâyy

∠R = 1200 ´Ìy×â ∠S ֳȰâ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

3. ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy 2:3:5 ¾ÍkR»K Ȩ I×dQÌy ÀâyîÎâyy ×dÈ$Àâ Ö¨ÇÀâyy 900 ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

4. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ABCD ßâ°âypâyVmª ÀâyîÎâyy ∠D+ ∠C=1000. ∠A ÀâyîÎâyy ∠B ÎryyÖâý¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy P Àâ{â MfªÚªn×â ∠APB ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

350

3.5.3 ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀâyy.ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ ¿k]ÅdÀâÀâyy ×d|dpâªgd ßâ°âypâyVmé¾Ñ Z~k°áXÖâÀryô×â ~öpây

Iªêyª¬.

¿xÀâyy{dÎâyª I ¿xÀâyy{dÎâyª II

prªvây ¿xÆy°âyÈȨ EÀâ]±Ú×â ~õô nZ°dÈ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ. ßâ°âypâyVméÈ ÎryyÖâý Àryy{âs ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ ÀâyîÎâyy prªvâÀââ ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ ¾¥Àâó OÆy °ávd gâÀây¾ªßdÀ¨ ¾¥ ¿öQþé°âyÈ°¨ ßâî+ªßâªÚ. [gâÀây¾Öâ: ±dÇ~kó gâypâKy ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây ¿xÃén¿kKyª¬]

ßâ°âypâyVméÈ Àryy{âs ¿xÆy»È¨ aÖâ ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd IªêéÌy. ´êyÀâªs ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. Àryy{âs ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ Z~k» ßâ°âypâyVmª ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀáy. prªvâ×â ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ O ßâ°âypâyVmÀâyy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀâyy Öd{ây.ÖdpdXßâpâǪ :3.5. E

3 ¿õª.Æyd, 4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy 5 ¿õª.Æyd.ÅâymÀâyyÈy gâÈ ÀâyÃévây ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ ´ê¦ ÀâyyÖâýÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. nZ°âÀâyyȨ ßâÃéÄ×âê[y Àds¾ ´Àâypâ+ªÚ. ¾¥æ OÆy nZ°âÀâyy Àâ¿kKyª¬? ́ ¬ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª. OÆ ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈy? ¿xÀâÃ骰âpâªÖd¾ ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª Àâ¿kKyª{d?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

351

ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. o ÀâyÃévây ¿xpâ]¿xÀây ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây Öâ»Kîªn

nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ́ Àâypâ+ªÚ. AD ÀâyîÎâyy BCÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? ∠A ÀâyîÎâyy ∠BÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. ́ Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? ∠D ÀâyîÎâyy ∠C È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? AC ÀâyîÎâyy BD È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé?

~õô ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmé¾Ñ EÀâ] ±Ú×â Z~k°áXÖâÀryô×â ~öpây ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª. ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ ZѪ¬ Àds¾ gâÀây¾ÉKdpây.

1. ¿xÀâÃ骰âp⪠Öd¾ ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª;2. ¹d{âÖ¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª;3. ¿xÀâÃ骰âpâÅâyméÈæ ´×âypâÃé~kªgd Iªvá A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy;4. ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âª.

AȨnªßâªÚ ! ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âªgdgâÈ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª Iªêyª{d?

I{dÝképâÇ - 4 :ABCD ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB||CD; ∠A = 650 ÀâyîÎâyy ∠B = 750 ́ ×âyÖ¨ªÚ.

∠D ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ?Éd|â×â: ∠A + ∠D = 1800 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

(¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý aÖâ m°â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy)

´ª{âyÀâÈ×â 650 + ∠D = 1800

¬¥¾ ×âyªÚ ∠D = 180 - 650 = 1150

E{á Æ|âªgd ∠B + ∠C = 1800

750 + ∠C = 1800

Öd±s¦ ∠C = 1800 - 750 = 1050

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

352

I{dÝképâÇ - 5 :

PQRS ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠P ÀâyîÎâyy ∠S Èy 1:2 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. ´¾Q Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ ¹d{âÖ¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠∠P = ∠Q . ∠P = x0 ÀâyîÎâyy ∠S = 2 x0´×âyÖ¨ªÚ ∠P + ∠S = 1800 Öâ×âyÖâ(¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý aÖâ m°â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy).x° + 2x° = 180 ´Àâó°âyª¬. ´ª{âyÀâÈ×â

3x° = 180° ÈáÖâ3

180x 600 0

= = Öd±s¦ ∠P = 600 ÀâyîÎâyy ∠S = 2 × 600 = 1200

∠P = ∠Q ÖdÀâó×â ∠Q = 600 Öd¾ ∠Q + ∠R = 1800

(aÖâ m°â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy)Öd±s¦ ∠R = 1800 - 600 = 1200

´ÅdX¿xª 3.5.21. PQRS ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ PQ||RS ÀâyîÎâyy ∠P =700 ÀâyîÎâyy

∠Q = 800 . ∠S ÀâyîÎâyy ∠R ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.2. ABCD ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB||CD ÀâyîÎâyy AD ÅâymÀâyy BC Ñ

¿xÀâÃ骰âpâªgd Èá{ây. ∆ABC ≅ ∆ADC ´Àâó°âyª{d? ÖdpâÇé¶Àâ]ªÚ.3. nZ°âÀâyyȨ PQRS ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ±

ßâ°âypâyVmª ∠SRP = 300 ÀâyîÎâyy∠PQS = 400 ´Ìy×â ∠RPQ ÀâyîÎâyy ∠RSQ Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ¹d{â Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

5. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AC = BD ÀâyîÎâyy AD = BC ´×âyÖ¨ªÚ. ABCD¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

353

3.5.4 ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈy :

ZѪ¬ ßâ°âypâyVméÈ ¿xÀâyy{dÎâÃéÈ×ây ßâÃévâªÚ.

¿xÀâyy{dÎâyª I ¿xÀâyy{dÎâyª II

I Àâ ¿xÀâyy{dÎâyÀâyyȨ¾ ßâ°âypâyVméÈȨ U¾Q m°âÈ ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈy I×âQÌy? II Àâ ¿xÀâyy{dÎâyª Ȩ¾ ßâ°âypâyVméÈȨ U¾Q m°âÈ ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈy I×âQÌy? ¾¥Àâó OÀây¾ ¾pPdîÉKdÀâó?

prªvây m°âÈ ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd gâÈ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. ¿xÀâyy{dÎâyª II Ȩ¾ ßâ°âypâyVméÈy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈy Öd{ây Öd¾ ¿xÀâyy{dÎâyª I Ȩ¾ ßâ°âypâyVméȾ¥Q ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈá. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý aÖâ Z~k°áXÖâÀryô×â pâÖâÀây¾ gâÀây¾ªßdÀd?

Öd±s¦ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVm |âpdWÈy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ IªêéÌy Àâypâ³Öâ m°â ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈÖdpâǪgd ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ Ö³¾Q ´{â×â~kó|âpdWÈy æévâ IªêéÌy. ÖdpdXßâpâǪ :3.5. I

¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ~kó ´ê¦ ÀâyyÖâý ABCD ¾ »¥¿xyÖ³¾ AB Æyd{â E ²ª{âyÀâó ¾

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

354

gâyîKªßâªÚ. (nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd). CE ¾ ßâyÖâýÈ páf°¨ Öâ¶Ä CE Àrª±Ú ´ê¦ÀâyyÖâý×ây Öâ»KîªßâªÚ.EBC Z»Åâym Ådgd¾Q ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª U{âÀâyÀrô~kó BC , AD °¨ OÖ¡Åâƪßây×âê[y aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy OpâRvây×âê[y IªßâªÚ. E¬ OpâÖ⪠ßâ°âypâyVmª? ´¬ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª.

~õô×â Öâ»Kîªn×â ́ ê¦ÀâyyÖâý AÖdpâÀâyy×ây ¾¥ ~kó¿kKÖ⪠Æyd{â »¥¿xyÖ³¾ ´«Àâyyf ÅâyméÈy, ´«ÀâyyfÖ¨ÇéÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. E{á ÖdpdXßâpâÇÀâyy×ây Àâyî prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyyÈ°¨ ÀâypâÈ ßáû Àds¾ PQRS ÀâyîÎâyy KLMN gd gâyîKªn Ák¶°dÈ×ây ZѪ¬ Æ|âªgd ~kꡦÖâîªßâªÚ.

¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª i ii iii iv v vi vii viii

ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = AB= BC= CD= DA=

PQRS ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = PQ= QR= RS= SP=

KLMN ∠K = ∠L = ∠M = ∠N = KL= LM= MN= NK=Ö¨ÇdÈ Àây|âX OÆy ¿xª±ª|âÀâyyª¬? ÅâyméÈ Àây|âX OÆy ¿xª±ª|â Àâyyª¬? ´«Àâyyf Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ́ «Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ gâÀây¾ªßdpd? o ~kîú¥È×âÈ×ây °âpâý ±{âPªgd ¾pâÃéĪßâÀâßây+.

Z~k»¹d{â×â 1 : ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ U{âys ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy U{âys Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª.I~k~k»K : ABCD aÖâ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây×ây Ö¨ªÚ. BD ¾ ÖâÈ~kªÚ.´~kóvây ∠1 = ∠2 ÀâyîÎâyy ∠4 = ∠3 (Uª{âyæ? nZ°âÀâyy ßâÃévâªÚ)ABD ÀâyîÎâyy CBD Z»ÅâyméÈȨ

∠1 = ∠2, ∠4 = ∠3, BD(IÀâyWÚÅâymª) Öd±s¦ ∆ABD ≅ ∆CDB (Ö¨.Åây.Ö¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª).¬¥¾×âyªÚ AB = DC, AD = BC ÀâyîÎâyy ∠A = ∠C E{áÆ|âªgd AC ¾ ÖâÈÄ ∆ADC ≅ ∆CBA ´¾ ¾pâÃéĪßâÀâßây+. Öd±s¦ ∠D = ∠B

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

355

ÖdpdXßâpâǪ : 3.5.N ZѪ{âs Æ|âªgd ´ê¦ÀâyyÖâý Æyd{â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyTmÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ; ÖâpâJÀâyyÈ×ây Ð¥n

fªvâ×â ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâªÚ. fªvâ×â ²ª{âyÀâóÀâÈ×â OpâRÚ×â ÅdgâÀâyyÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. o ÖdpdXßâpâÇÀâyy ×âyªÚ ¾¥Àâó OÆy ÅdÆÉKdÀâó?

ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây×ây. Öd±s¦ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý |âpdWÈ×ây ZѪ¬ Æ|âªgd ÆÀâîªßâÀâßây+ :

1. ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ¿xÀâÃ骰âpâª.2. ´«Àâyyf Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª.3. A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy.4. ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÌy.5. Z~k»ÖâpâJÀâyy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây prªvây ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈygd ÆÅâÊ¿kKyª¬.I{dÝképâÇ 6 : aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 3:4

ÀâyîÎâyy {d¾ ßâyê¦y ֳȰâ 42 ¿õª.Æyd. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ́ ¾Q ÅâymÀâyyÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ÅâymÀâyyÈy 3x ÀâyîÎâyy 4x ´×âyÖ³×âªÚ. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ

=2(3x+ 4x) = 2(7x) =14x Öd¾ ÈrÖâý Z~kÖdp⪠14x = 42 ¬¥¾ ×âyªÚ. x =

1442 = 3

´ª{âyÀâÈ×â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVm ÅâyméÈy 3x3 = 9 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 3x4=12 ¿õª.ÆydI{dÝképâÇ - 7 : Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ PQRS ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª x ÀâyîÎâyy y È×ây

¿õª.Æyd ÈȨ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

356

Éd|â×â : aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÎây¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. ´ª{âyÖ â¾ SO = OQ ¬¥¾×âyªÚ16 =x+ y E{á Æ|âªgd PO = OR ÖdÀâó×â 20 = y + 7

¬¥¾×âyªÚ y = 20 – 7 = 13 ¿õª.Æyd Àryy{âs ¿xÆydÖâpâǪȨ y ÆÈyÀâ×ây Z~k»ãáĪßâgd 16 = x + 13 Öd±s¦ x = 3 ¿õª.Æyd

´ÅdX¿xª 3.5.3

1. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý A¿x×âQ Ö¨ÇÀâyyÈy 2:1 ¾ÍkR»KȨ I×âQÌy. ´¾Q Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

2. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÖdpâÀâyyȨ ×ây×âQ ¹åÈÀâyyßâyê¦yֳȰâ 450 Æyd. ÀâyîÎâyy {d¾ aÖâ ÅâymÀâyy Àâyp³Öâ ÅâymÀâyyÖâªêá 75 Æyd UæýÀâ I×âQ¬. ́ ¾Q ÅâymÀâyyÈ ¹åvâÀâóÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

3. nZ°âÀâyyȨABCD aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª AC ÀâyîÎâyy BD ÖâpâJÀâyyÈy 'O' Àâ{âM fªÚªßây×ây. ∠DAC = 400, ∠CAB = 350 À â y îÎ â y y ∠DOC = 1100. ∠ABO, ∠ADC, ∠ACB ÀâyîÎâyy ∠CBD È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ DC,E Àâpâæ ¹åÚЪßâ ±Ú×⬠ÀâyîÎâyy ∠BCE = 1050. ∠A, ∠B, ∠C ÀâyîÎâyy ∠DÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây×â¾ °âpâý±{âPªgd ¾pâÃéĪßâªÚ. {d¾Ñ ÆȨÀâyªgd aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêá ́ ¬ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyÀâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

6. KLMN ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠K=600 ´Ìy×â Æyж×â ´¾Q Ö¨ÇÀâyyÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

357

7. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠A=∠C ÀâyîÎâyy ∠B =∠D ´×âyÖ¨ªÚ. ABCD aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

8. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB = CD ÀâyîÎâyy AD = BC ́ ×âyÖ¨ªÚ. ABCDaÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3.5.5 ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈ Z~k°áXÖâpâÖdÈy :

¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈ Z~k°áXÖâÀryô×â pâÖdÈæ ÆÆ|â pâÖdÈ |âpdWÈy×dQÌy. Àây×âÀâyy Àds¾ ´|âXÎây×⪠ßáÉKdÀâyy.¬¥pâ&ßâ°âypâZÉdÈy :ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. ±yy

Æyd רêy ~kó¿kKÖ⪠×âyªÚ aÖâ Ödа⪠»¥¿xyÖ³¾ {d¾¾ ´ê¦ÀâyyÖâý Æyd{â ´ªsªßâªÚ. ´ê¦ ÀâyyÖâý×ây Ödа⪠¿xîÝké{âMy Àrª±Ú Öâ»Kîªn ´¾Q ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ´¾Q Ö¨ÇÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. ÖdpdXßâpâÇÀâyy×ây ÆÆ|â ֳȰâÈ ÖdаdÈ°¨ ÀâypâÈ ßáû Æyd ~kîú¥È×âÈ×ây ZѪ¬ ~ks¦ÖâȨpdÎâyªÚ.

¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª i ii iii iv v vi vii viii

ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = AB= BC= CD= DA=

PQRS ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = PQ= QR= RS= SP=

~õô ÖdpdXßâpâÇÀâyy ×âyªÚ Æydpây o ZѪ¬ Àds¾ ÅdƪßâÀâßây+:• ´¾Q Ö¨ÇéÈy 900 Ñ ¿xÀâÃé×âª.• ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª.• ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâª.

´êyÀâªs ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy×âæ EÀâ] ±Ú×â Z~k°áXÖâÀryô×â ~öpây ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª. aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ´¾Q Ö¨ÇéÈy Ȫ±Ö¨ÇéÈrô°á {d¾¾ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª ´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

358

ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. U¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ ÖdаâÀâyy×ây »¥¿xyÖ³¾ {d¾Ñ ABCD ´¾ ~öpây ~õꦪÚ. ÖâpâJÀâyyÈ

Àrª±Ú {d¾¾ ÀâyvâÀâªÚ. fªvâ×â ²ª{âyÀâó×ây 'O'gd gâyîKªßâªÚ. ZѪ¬ Z~kµâQÈæ ¿xÀâÃé|d×dÈy pdÎâyªÚ. O ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú Àâyvân×d æévâ OpâRÚ×â prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? ÖâpâJÀâyyÈ ¹åvâÀâó Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? OA, OB, OC ÀâyîÎâyyOD páfdfªvâÀâyyÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. o páfdfªvâÀâyyÈ ¹åvâÀâóÈ Àây|âX OÀryô×d ¿xª±ª|âÀâyyª{d?

¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈ |âpâWª :

(i) ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âª.(ii) ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÌy.I{dÝképâÇ - 8 : XYWZ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈ ÎryyÖâý fªvâ×â ²ª{âyÀâó

'O'´×âyÖ¨ªÚ. ∠ZOW=1100 ´Ìy°á ∠OYW ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â: ∠ZOW = 1100 ´¾Àây×âæ °rÈy¿xy. ´ª{âyÀâÈ×â ∠WOY = 1800 - 1100 = 700 (~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy) OY = OW ÖdÀâó×â OYWaÖâ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª. Öd±s¦ OYW OWY

2180 70

2110 55

0 0 00

= = - = =

(¾¥Àâó Àâyp³Öâ~k{âP»¾ ¿xÃénªßâgâÈÀd?)I{dÝképâÇ - 9 : RENT ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈy

'O'Àâ{âM fªÚªßây×ây OR = 2x + 4 ÀâyîÎâyy OT = 3x + 1 ´Ìy°á 'x' ¾ Öâ×âyg³×âªÚ?Éd|â×â : OR = OT ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.(ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â

ßá¿xyæªêéÌy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ´Æ ¿xÀâÃé×âª) ´ª{âÀâÈ×â 2x + 4 = 3x+ 1. ¬¥¾×âyªÚ

4 – 1 = 3x – 2x

3 = xÖd±s¦, x = 3.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

359

¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ( ÀâZméÖâ½») :ÖdpdXßâpâǪ :3.5.O

aÖâ ´ê¦ ÀâyyÖâý°¨ 3 ¿õª.Æyd, 4 ¿õª.Æyd, 5 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ aÖá pâÖâÀryô×â ×dÈygây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈ×ây ¾îWªßâªÚ. aÖâ Ödа⪠Æyd{â Àds¾ nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ´Àâypâ+ªÚ. nZ°âÀâyy ÎryyÖâý ¿xîÝké{âMy×ây Ð¥ÎâyªÚ. nZ°âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇÀâyyÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. Àds¾ ~kꡦßáÎâyªÚ. ¬¥¾¾Èª± Ö¨Ç Z»ÅâyméÈ ÎryyÖâý ÆÆ|â ֳȰâÈ°¨ ÀâypâÈ ßáÎâêÚ. ¾¥Àâó OÆy gâÀây¾ªßdÀâó?

∠A = ∠C, ∠B = ∠D AB = BC = CD = DA´¾ ¾¥Àâó ¾pPdîªßâgâÈÀd? ́ êyÀâªs nZ°âÀâyy×ây ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. ´¾Q ÅâymÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âÀâyy gdgâÈ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ́ ªêépây. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀryô×âª{âyæ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmé¾Ñ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVm|âpdWÈy ÀâyîÎâyy EªÖdÖ³¾Q |âpdWÈy IªêéÌy.

i) ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª.ii) U{âys ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâª.iii) ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÌy.iv) prªvây ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ×dÈygây ¿xpâ]¿xÀây Ȫ±Ö¨ÇZ»ÅâyméÈygd ÆÅâÊÉKdÌy.v) Ö¨ÇÀâyyÈy æévâ ÖâpâJÀâyyÈ ßá°â ¿xÀây¬]fªvâ×â ßáÎây ±vâ°dÌy.

I{dÝképâÇ - 10 : aÖâ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy 24 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 10¿õª.Æyd. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â: AC = 24 ¿õª.Æyd, BD = 10 ¿õª.Æyd. ´¾ EÀâ] ±Ú×â¬. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy~kpâ¿kRp⪠Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÎây¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. o ÖâpâJÀâyyÈ ÎryyÖâý fªvâ×â ²ª{âyÀâó 'O' ´×âyÖ¨ªÚ. ´~kóvây AO = CO = 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy BO = DO = 5 ¿õª.Æyd AOD Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀây¾ æévâ Àây×âæ °rÈy¿xy. ´ª{âyÀâÈ×â AOD Z»ÅâymÀrôµdÈXª= ½ × OA × OD = ½ × 12 × 5 = 30 ¿õª.Æyd2

aÖâ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ×dÈygây ¿xpâ]¿xÀây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈyªêéÌy Öd±s¦ {d¾ ÀrôµdÈXª = 4 × 30 = 120 ¿õª.Æyd2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

360

I{dÝképâÇ - 11 : ABCD ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠BAC = 380

(i) ∠ACD (ii) ∠DAC ÀâyîÎâyy ∠ADC È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : ∠BAC = 380 ´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. ABCD ¿xÀâyÅâymßâ°âypâyVmªÈ¨

ABCaÖâ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª Öd±s¦ ∠BAC = ∠ACB = 380 ´ª°á Ödæªvd ∠A ¾ AC ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ Öd±s¦ ∠DAC = 38° ADC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª Öd±s¦.

∠ACD = ∠DAC = 380

´ª{âyÀâÈ×â ∠ADC = 1800 - (∠DAC + ∠DCA)

= 1800 – (380 + 380) = 1800 – 76 = 1040.ßâ°âypâZ¿xª : aÖâ pâÖâÀryô×â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy, ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy ¿xÀâyÅâym

ßâ°âypâyVmÀâyy prªvâÃé ́ Àâó°âyª¬. {d¾ ÎryyÖâý ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª. ´{á Z»ÅâyméÈrô°á OÆy ×ápây+æ×dQp¨ gâypâKy°rßây+Ö¨ªÚ. ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ Z»ÅâyméÈy ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈy. Z»ÅâyméÈ ÆÍkÎâyªÈ¨ ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀryô×â~kóvây ´¾Q ÅâyméÈy æévâ ¿xÀâÃé×â Àâyñ°dÌy ´¾ ßâÃéµdpây. {d¾Ñ ÆȨÀâyªgd aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy æévâ ¿xÀâÃé×â Àâyñ°dÌy. Öd¾ ßâ°âypâyVméÈy ßâÃé¿öK ÀdsÑ ́ êyÀâªs ~k¿xª{rô×â |âpâWª Èá{ây. ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd¾ ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÖdÀdȾ Èá{ây. Àâyp³Öâ Àrô~kó ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVªmªÈ¨ ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd¾ ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd{ây ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª, ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠gdgâÈ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ßâ°âypâZ¿xª ´¾ aÖâ Ö³°âK ~öpây EÀâ]±Ú×â¬. Öd±s¦ ßâ°âypâZ¿xÀây×ᬠ´¾Q ~k¿xª{rô×â |âpdWÈy Öâ¶Ð×â ßâ°âypâyVmª.

aÖâ ßâ°âypâZ¿x Àây×á ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨,(i) ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª.(ii) Z~k» Ö¨ÇÀâyy Ȫ±Ö¨Çª (iii) ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âª.(iv) ÖâpâJÀâyyÈy Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×dÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

361

AȨnªßâªÚ : (iii) ÀâyîÎâyy (iv)Èy (i) ÀâyîÎâyy (ii)È Ák¶°dÈy. Àds¾ ¾pâÃéĪßâgâÈÀd?

aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy×ây ZѪ¬ Æ|âªgd æévd ¾pâ]nªßâÀâßây+.(a)A¿x×âQ ÅâymÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âªgdgâÈ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª.(b) Z~k»Ö¨ÇÀâyy 90° gdgâÈ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª.AȨnªßâªÚ ! aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦y ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×â

Àây×ây Ö¨ªÚ. Àds ÀrôµdÈéXÈy ¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÎâÃé?I{dÝképâÇ - 12 : aÖâ ¹åÈÀâyy 20 Æyd. ÅâymÀâyy gâÈ ßâ°âypâZÉdÖdpâÀâyyȨ Iª¬.

{d¾ ßâyê¦y 2 Æyd. Àr{âÈyRgâÈ aÖâ ±dê Iª¬. A ±dê ÎryyÖâý ±Îâys ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â: ÀâÃépâ$Àâyy ÀrvâÈyR 2 Æyd. ±Îâys ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó = 20 + 2 + 2 = 24 Æyd

´ª{âyÀâÈ×â ßâyê¦y ֳȰâ = 4 × 24 = 96 Æyd.I{dÝképâÇ - 13 : aÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¹åÈÀâyy ÀrôµdÈXª 196 Æyd2 {d¾ ßâyê¦y 3

Àâpây¿xÈy ÖâªßrÀáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â »¥gâ ¹åvâÀâóÖâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â: aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó 'S' ÎâyÃé¾ê[y ´×âyÖ¨ªÚ {d¾

ÀrôµdÈXÀâyy S2 ßâ.ÎâyÃé.S2 = 196Æyd.2 ´¾ EÀâ] ±Ú×⬠Öd±êð S = 14 Æyd.ßâyê¦y ֳȰâ = 4 × S = 4 × 14 = 56 Æyd.{d¾ ßâyê¦y 3 Édpâ[y ÖâªßrÀáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â »¥gâ ¹åvâÀâó = 56 × 3 = 168 Æyd.

~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª : ¿xÀâyÅâymßâ°âypâyVmÀâyyȨ aÖââ ÖâpâJÀâyy ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVÀâyy×ây prªvây ¿xpâ]¿xÀây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈygd ÆÅâÊ¿kKyª{â¾ Æydæ °rÈy¿xy. ¹d{dÈ Ö³È°â ¿xÀâÃé×⪠gdgâÈ prªvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Àds¾ ¹d{dÈ Àrª±Ú ́ ªs¿öK aÖâ ßâ°âypâyVmª Àâ¿kKyª¬. o Æ|âªgd OpâRÚ×â aÖâ Z~k°áXÖâ Àryô×â ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

362

prªvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây ÉdÀâÃé×âX ¹d{âÀâyy Àrª±Ú Öâ¶Ä°á OpâRvây ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AB = AD, BC = CDÀâyîÎâyy BDIÀâyWÚ¹d{âª. ABC ÀâyîÎâyy ADCZ»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âªgdIªvd¶ Öd¾ ABD ÀâyîÎâyy CBD Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠Öd×âÀâ¿xpâªÈá{â×ᬠÀâyyfXªgd gâÀây¾ªßâÀâÈû×â ÆÍkÎâyª. ABC ÀâyîÎâyy ADC È ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ª°¨ ¹dêy ABD

ÀâyîÎâyy CBD Èy æévâ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀryô°á ABCD ßâ°âypâyVmª ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVm Àâyñ°âyª{â¾ gâÀây¾ªßdÀd? ~k°âªgâßâ°âypâyVm |âpdWÈy :

¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÀâÈr~k°âªgâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ æévâ Ö³¾Q |âpdWÈy×dQÌy.1) Àâyyª{ây EÀâ] ±Ú×â nZ°âªÈ¨ prªvây m°âÈ ¿xÀâÃé×â ÅâyméÈy×dQÌy. AB = AD

ÀâyîÎâyy CB = CD .2)ÖâpâJÀâyyÈȨ aÖâs Àâyp³Öâ{d¾¾ Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬. ~õônZ°âªÈ¨AC ÖâpâJÀâyy

BD ÖâpâJÀâyy×ây Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬.3) ÖâpâJÀâyyÈȨ aÖâs ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ AC ÖâpâJÀâyy ∠AÀâyîÎâyy

∠C ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬.

I{dÝképâÇ - 14: nZ°âÀâyyȨ PQRS aÖâ ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª PQ = 3 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy QR = 6 ¿õª.Æyd. PQRS ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ?

S

Q

P RO

PQ = PS = 3 ¿õª.Æyd, QR = SR = 6 ¿õª.Æyd Öd±s¦ ßâyê¦yֳȰâPQ + QR + RS + PS = 3 + 6 + 6 + 3 = 18 ¿õª.Æyd

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

363

´ÅdX¿xª 3.5.41, ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈy 2:1 ¾ÍkR»K Ȩ I×dQÌy. ßâyê¦yֳȰâ

30 ¿õª.Æyd ´¾Q ÅâymÀâyyÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.2, Z~kÖâý ×ây×âQ ABCD¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª Ȩ

∠OCD = 300 ∠BOC ¾ Öâ×âyg³×âªÚ BOC O pâÖ⪠Z»Åâymª?

3, ´¾Q ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÈy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈÀâó°dÌy Öd¾ ´¾Q ¿xÀ âÃ骰âp â ß â° â yp â yVméÈy ¬¥p â & ßâ°âypâZÉdÈy ÖdÀâó. o ÆÀâpâÇ×ây ßâî+ªßâªÚ.

4, ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×â Àây¾ °âpâý ±{âPªgd ¾pâÃéĪßâªÚ.5, aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ~kó ¹dpâyý ÅâymÀâyyÈy 4:3 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. {d¾

ÀrôµdÈXÀâyy 1728 m2. ´Ìy×â {d¾ ßâyê¦y Öâªßr ÀáÎâyyêæ pây. 2.50/Æyd.Z~kÖdpâÀâyy Uª°â fpâ+gây×ây?

6, aÖâ ¬¥pâ & ßâ°âypâZÉdÖdpâ ~õpâê¨[ [ ¿xÀây¬]±dÝkéyȪ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÖdpâ ÀâyyȨ¿xpâ] ¿xÀâyªgd I×âQ prªvây ~kòÈ ÀâyvâyÈy I×dQÌy. Æyж×â ÅdgâÀâyy 15 Æyd ÀâyîÎâyy 25 Æyd ¿ xÀ â à 骰 âp â Å â ymÀ â y yÈy g âÈ ¿xÀâyȪ±ßâ°âypâyVméÖdpâÀâyyȨ I×âQ¬. ~õpâvây ÎryyÖâý Uª°âÅdgâÀâyy ~kòÈ°¨ AZÖâÆyªßâ±Ú×â¬?

7. ABCD ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠C = 700. A ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Æyж×â Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

8. PQRS ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠SQR = 400 ÀâyîÎâyy PQ = 3 ¿õª.Æyd. ∠SPQ , ∠QSR ÀâyîÎâyy ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

364

9. PQRS ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyyȨ PQ = 3x – 7 ÀâyîÎâyy QR = x + 3 ́ Ìy×â PS×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

10. ABCD ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠ABC = 1240 ´×âyÖ¨ªÚ. ∠A, ∠D, ÀâyîÎâyy ∠C È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

11. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyÀâó °âyª¬. ßâî+ªßâªÚ.12. ABCD ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ABD Z»Åâym ÀrôµdÈXÀâyy 36 ¿õª.Æyd2 ´Ìy×â (i) BCD Z»Åâym ÀrôµdÈXÀâyy (ii) ABCD ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.13. ABCD ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy 5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy Àâyp³Öâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy

PQRS ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ 40 ¿õª. Æyd. ABCD ßâyê¦yֳȰâæ, PQRS ßâyê¦yֳȰâæ gâÈ ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ. ABCD ÀrôµdÈéX¾Ñ, PQRSÀrôµdÈéX¾Ñ gâÈ ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ.

14. aÖââ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¹åÈÀâyy ÅâymÀâyy ֳȰâ 20 Æyd. {d¾ ßâyê¦y ×dÈygâyÉdpâ[y Öâªßr ÀáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â »¥gâ ¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âªÚ?

15. ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy ¿xÀâyÅâymßâ°âypâyVmÀâyyÈ Àây|âX Åá{âÀâyyÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ?16. ×dÈygây ¿xpâ]¿xÀây ¬¥pâ&â ßâ°âypâZÉdÈ×ây nZ°âÀâyyȨ

ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ́ Àâypd+pây. ±Îâys ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyy Ȩ~k¶ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyy×âæ 4 prê[y Iª¬. ¿xpâ]¿xÀây ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÈ ¹åvâÀâó ÀâyîÎâyy Àr{âÈyRÈ ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ.

ßâ°âypâyVméÈ Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. ZѪ¬ Àds¾ ~kòîªßâªÚ. (a) aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ÅâyméÈy IªêéÌy.(b) aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ÖâpJdÈy IªêéÌy.(c) aÖâ m°â ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd gâÈ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ´ªêépây.(d) ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨, ¹d{â Ö¨ÇéÈy .

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

365

(e) ÀâZméÖ⽻Ȩ ÖâpJdÈy ¿xÀây¬] fªvâ×dÈy.(f) ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ´¾Q ÅâyméÈy .

2. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ZѪ¬ ¿xª{âpdVÈȨ O ~öpây EÉKdÀâó?(a) AB = BC ´Ìy×â(b) ∠BAD = 900 ´Ìy×â(c) AB = AD ÀâyîÎâyy ∠BAD = 900 ´Ìy×â

3. aÖâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ÀâyÃévây ´ÈRÖ¨ÇéÈy aÖ³ýÖâýs 700 I×dQÌy. ×dÈ$Àâ Ö¨ÇÀâyy ֳȰâ Uª°â?

4. aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý prªvây ¹dpâ^] Ö¨ÇÀâyyÈ Àây|âX Åá|âÀâyy 200 ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ´¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5. aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈy 1 : 2 : 3 : 4 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ´¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

6. PQ = 6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy QR = 6 ¿õª.Æyd. gâÈ PQRS ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Ö³È°âÈy ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

7. aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ 60 ¿õª.Æyd {d¾ ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âªÚ.

8. ABCD ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ AC = BD = 10 ¿õª.Æyd. AC ÀâyîÎâyy BD Èy 'O' Àâ{âM fªÚªn×â OC ÀâyîÎâyy OD È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

9. PR = 15 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy QS = 8 ¿õª.Æyd. gâÈ PQRS ÀâZméÖâ½» ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ.

10. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠A ÀâyîÎâyy ∠B È ¿xÀây¬] fªvâ×â páfÈy P Àâ{âM fªÚªn×â ∠APB = 900 ´¾ ßâÃé~kªÚ.

11. ABCD ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA È Æyd{â ZÖâÀâyªgd P, Q, R ÀâyîÎâyy S ²ª{âyÀâóÈ×ây AP = BQ = CR = DS ´gây×âê[y gâyîKªn PQRS aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

366

12. ABCD ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ P, Q, R ÀâyîÎâyy S Èy ZÖâÀâyªgd AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈrô×â PQRS aÖâ ÀâZméÖâ½» ´Àâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

13. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈy 'O' Àâ{âM Ȫ±ªgd fªÚªn×â AB+BC+CD+DA > AC+BD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

14. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AC ÀâyîÎâyy BD ÖâpâJÀâyyÈrô×â ZѪ¬ ÀdÖdXÈ×ây ¾pâÃéĪßâªÚ. (a) AB+BC+CD > AD

(b) AB+BC+CD+DA > 2 AC

(c) AB+BC+CD+DA > 2 BD

(d) AB+BC+CD+DA > AC+BD

(¬¥¾¾ ZѪ{âs ¿xÀây¿kX°¨ ¹èÈ+ªÚ).15. PQRS ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ PQ > PS ´Ìy×â ∠PQR > ∠PSR ´¾

¾pâÃéĪßâªÚ. (¿xÃéßâ×â : QS ¾ ÖâÈ~kªÚ)16. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB ´» n×âQ ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy CD ´» ~õ{âM ÅâymÀâyy

´Ìy×â ∠A > ∠C ÀâyîÎâyy ∠B > ∠D ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.17. ABC Z»ÅâymªÈ¨ D ´×ây×⬠BC ÎryyÖâý Àây|âX ²ª{âyÀrô×â AB+AC > 2AD ´¾

¾pâÃéĪßâªÚ. (EÖâývâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý O |âpâWª ´Àâ¿xpâÀâyy?)18. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ P, Q, R ÀâyîÎâyy S Èy ZÖâÀâyªgd AB, BC, CD ÀâyîÎâyy

DA È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈrô×â PQRS aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. (¬¥¾¾ ¾pâÃéĪßâêé¾Ñ ´{â×âªgd O ~k¶°âª ´Àâ¿xpâª?)

Ö¡ÈÖâ ~k{dÈy.ßâ°âypâyVmª: aÖâ ¿xÀây°âȪȨ A¿x×âQ páfd fªvdÈy ZÖâÀây ~k{â P»È¨

´Àâypâ+±Ú×â ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈ×ây Öâ¶ÐÎâyy×âQ páØ¥Îây nZ°âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

367

æªÅdÖdpâ ßâ°âypâyVmª: aÖ³ýÖâý ́ ª°âpâ֨Ǫ 1800 Öâªêá °âæýÀâ gâÈ ßâ°âypâyVmª.~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVmª - O{rô×d aÖâ ֨Ǫ 1800 Öâªêá UæýÀâ I×âQ ßâ°âypâyVmª.ÖâpâJª - aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý U{âys ú¥pâ_ÀâyyÈ×ây ÖâÈyÀâó páfd fªvâª. ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª - aÖâ m°â ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd I×âQ ßâ°âypâyVmª.¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª - prªvây m°âÈ ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd I×âQ ßâ°âypâyVmª.¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª - ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ ßâ°âypâyVmª.

ßâ°âypâZ¿xª - ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy Z~k» ֨Ǫ 900 gâÈ ßâ°âypâyVmª.

¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª - ´¾Q Ö¨ÇéÈy 900 Ñ ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ ßâ°âypâyVmª.~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª - prªvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây Àds IÀâyWÚ¹d{âª

Àrª±Ú ´ªsªßâgd OpâRÚ×â ßâ°âypâyVmª.gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy :

• ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ×dÈygây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 360°.• Z»ÅâymdÈÀâÈr ÖdÖâ ßâ°âypâyVméÈȨ ¿xÀây֨ǰâ]ª, ¿xÀây±dÝkéy°d]¾Q OpâRpâßâ{ây.• ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÀâyîÎâyy ~k°âªgâ ßâ°âypâyVméÈȨ ÖâpâJÀâyyÈy Ȫ±¿xÀây¬]

fªvâ×dÈy.• ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây O{rô×d ßâ°âypâyVmÀâyy ¿xÀâÃ骰âpâ

ßâ°âypâyVm Àâyñ°âyª¬. Ȩ¾ ´ÅdXÉdÈæ mÀd±yÈy

´ÅdX¿xª 3.1.3

3. i) 300 ii) 180 iii) 1350 iv) 900 v) 300 vi) 650

´ÅdX¿xª 3.1.41. ∠DML = 450, ∠BLQ = 450, ∠MLB = 1350, ∠CMP = 450,

∠CML = 1350, ∠MLA = 450, ∠QLA = 1350, 2. 40°

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

368

¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy ÀâyîÎâyy û{Pdª°dÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. i) A ii) D iii) B iv) B v) D, 3) 3

8. 400, 9. i) 1900 ii) 220 301 10. 1440

´ÅdX¿xª 3.2.11. i)→(A); ii)→(D); iii)→(A); iv)→(B)

2. i) ÆÍkÀây ±dÝkéy ii) ÆÍkÀây ±dÝkéy iii) ÆÍkÀây ±dÝkéy iv) ¿xÀây¬]±dÝkéy v) ÆÍkÀây ±dÝkéy vi) ÆÍkÀây ±dÝkéy vii) ÆÍkÀây ±dÝkéy viii) ¿xÀây±dÝkéy ix) ¿xÀây¬]±dÝkéy x) ¿xÀây¬]±dÝkéy.

´ÅdX¿xª 3.2.21) 850 (2) 550 3) 650 ¥Z~k»¬¥ 4) 300, 600 ÀâyîÎâyy 900

5) ∠A = 650 ∠x = 500, ∠B = 350, ∠C = 800,

6) 500, 600 ÀâyîÎâyy 700.´ÅdX¿xª 3.2.3

1. ±dÝkéX ∠B = 1360 ÀâyîÎâyy ±dÝkéX ∠C = 1040 ´Ìy×â ∠A = 600 , ∠B = 440, ÀâyîÎâyy∠C = 760 .

3. (i) 1300 (ii) 560 (iii) 350 (iv) 520 (v) 400.

4. ∠TRS = 500, ∠PSQ = 800.5. Àâyp³Öâ ´ª°âpd«Àâyyf ֨Ǫ 900 ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀâ ֨Ǫ 600.6. 1800.

Z»ÅâyméÈ Æ¥y{â û{Pdª°dÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.1. a) 1800 b) Ȩ~kÈ c) ~õ{âM d) aÖâs e) aÖâs2. a) A b) B c) A d) C e) D, 3. 1100,

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

369

4. Z~k»¬ 350, 5. 360, 540, 900

6. 450, 600, 750, 7. 900

8. ∠C = 300, ∠B = 600, ∠A = 900 9. x = 900, 10. ∠800, ∠B = 650, ∠C = 350 11. 300,500,1000

12. 1100 13. 450,450,900 14. 360,780,720

15. 1100 16. 300,300,1200

´ÅdX¿xª 3.3.31. ∠B = ∠C = 650 2. 580 3. i) 1100 ii) 550 iii) 200 iv) 400 4. ∠ACD = 1200, ∠ADC = 300

´ÅdX¿xª 3.3.71. BC ´» ~õ{âM¬ ÀâyîÎâyy CA ´» n×âQ¬.2. ∠C < ∠A < ∠B

Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ª Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

I a) ´» ~õ{âM b) °âæýÀâ c) UæýÀâ d) n×âQ e) °âæýÀâ f) ~õ{âM 8) 300;300;1200

´ÅdX¿xª 3.5.11. aÖ³ýÖâýs 800 2. 550 3. 540, 810 ÀâyîÎâyy 1080 4. 500

´ÅdX¿xª 3.5.21. ∠S = 1100ÀâyîÎâyy ∠R = 1000 .3. ∠RPQ = 300 ÀâyîÎâyy ∠RSQ = 400

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

370

´ÅdX¿xª 3.5.31. 120°, 60°, 120°, 60° 2. 150 Æyd. ÀâyîÎâyy 75 Æyd.3. ∠ABO = 350,∠ADC = 1050, ∠ACB = 400 ÀâyîÎâyy ∠CBD = 700 .4. ∠A = ∠C = 750, ∠B = ∠D = 1050 .6. 60°, 120°, 60°, 120°

´ÅdX¿xª 3.5.41. 10 ¿õª.Æyd, 5 ¿õª.Æyd, 10 ¿õª.Æyd, 5 ¿õª.Æyd, 2. ∠BOC = 60° ∆ BOC ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª 5. pây 420 6.

51

7. 110°, 70° ,1100

8. ∠SPQ = 100°, ∠QSR = 400 ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ = 12 ¿õª.Æyd,9. 8 (10) 56°, 124°, 56°

12. (i) 36 ¿õª.Æyd2 (ii) 72 ¿õª.Æyd2 13. (i) 1:2, (ii) 1:4 14. 320 Æyd. 16. 3 : 1.

ßâ°âypâyVméÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.1. a) ×dÈygây b) prªvây c) ZêrÄ¥ÊÎâyª d) ¿xÀâÃé×⪠e) Ȫ± f) ¿xÀâÃé×âª2. a) ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª b) ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª c) ßâ°âypâZ¿xª3. 1500

4. 800, 1000, 800, 1000

5. 360, 720, 1080, 1440

6. RS = 10 ¿õª.Æyd., SP = 6 ¿õª.Æyd. ßâyê¦y ֳȰâ 32 ¿õª.Æyd.7. 15 ¿õª.Æyd. 8. OC = OD = 5 ¿õª.Æyd.9. 120 ¿õª.Æyd2.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

139

´|dXÎâyÀâyy 2 Ådg⪠1

²©m¿xÀâÃéÉdÈyo Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpâyÀd°â Æ¥ypây, o ZѪ¬ ÆÍkÎâÃéÈ×ây °rÈy¿xy Ö³ªêépây

• ±Ýkéy~k{dÈ pâÖdÈy ÀâyîÎâyy ´pLdÈy • ±Ýkéy~k{dÈ ¿xªÖâÈ×⪠ÀâyîÎâyy ÀâXÀâÖâÈ×⪕ ±Ýkéy~k{dÈ gâyÇéÖdpâª, OÖâ~k{d¶Q OÖâ~k{âªßá, ¬]~k{d¶Q OÖâ~k{âªßá, ¬]~k{d¶Q ¬]~k{âªßá gây§ªßâyê. (x + a) (x + b), (a + b)2 ; (a - b)2 ÀâyîÎâyy (a + b) (a - b) Àryy{âÈgây×âÆ.

2.1.1 ~kîßâÎâyª

Eª°âæ Àâyyª{ây °rÈy¿xy Ö³×âQ ÆÍkÎâÃéÈ×ây mCd~kÖ⪠°rßây+ Ö³ªêéª.aÖâ ¾îMÍk¦ ÆÈyÀâ Öâ¶Ð×â ÉdªÖááá»Öd¾Q ûLpdªÖâ Àâyªêépây.I{d1: 5, – 7, 2 , ,

53 5 2 + 3 Àryy{âÈgây×âÆ

¾îMÍk¦ ÆÈyÀâ Èá¾, ¿xª{âpdV¾Q ´×ây¿xîªn Z~k»¹d¬ªn×â ÆÈyÀâ gâÈ ÉdªÖá»Öd¾Q ßâpâpdú ÈáÖâ ´ãâpâ ¿xÝkégâyÇÖ⪠´ªêépây. I{d: p, q, x, y, z Àryy{âÈgây×âÆ¿xÃéßâ×âÈy :

1. ûLpâ ~k{⪠ÀâyîÎâyy ßâpâ~k{âªÈ ¿xÀáyWÔâ×d¾Q ßâpâpdú ´ªêépây. I{d2 : 3x, (4 + p), ,

xx67

, x - 4, 9x Àryy{âÈgây×âÆ2. prªvây ÈáÖâ ´ª°â Öâ×âQ UæýÀâ ßâpâ~k{âªÈ ¿xÀáyWÔâ ×d¾Q aÖâ ûLpdªÖ⪠ÈáÖâßâpâpdú ´gây×ây. I{d 3: xy,

yx , (x - y), (y -x), -x, (x + y), xyz,

zxy , 13 + x - y,

14x-y,10-xy, ,yx

yx7 8 Àryy{âÈgây×âÆ

(4 + x) + (4 - x) = 8 ×ây gâÀây¾ªn×â E¬ aÖâ ûLpdªÖâÀâyy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

140

O{âÌy×â ûLpdªÖâÀâyy, O{âÌy×â ßâpâpdú ÈáÖâ ÀdsgâyÇȱMª ÀâyîÎâyy Àds Ådgâ ȱMdÈ aÖá ~k{d¾Q ²©m~k{⪠´ªêépây.

I{d 4 : 9, x, 3x, 4xy,yx

157 ,

xy21 ,

xyz Àryy{âÈgây×âÆ.

prªvây ÈáÖ â ´ª°âÖ â× âQ UæýÀâ ~k{dÈ ¿xªÖâÈ×⪠ÀâyîÎâyy ÀâXÀâÖ âÈ×⪠(‘+’ÈáÖâ‘–’ ) ÀâyîÎâyy gâyÇéÖdp⪠ÀâyîÎâyy ÅdgâÝkëp⪠(‘x’ ÈáÖâ ‘÷’) ÉdªÖá»Öâ ¿xÀáyWÔâ×â ~k{d¶Q ²©m¿xÀâÃé¿xª ´ªêépây.

I{d 5 : 7 – y, 3x2– 4y, 6xy, 6 +x2 – 3x, x y z97 4 6+ -` j Àryy{âÈgây×âÆ.

¿xÃéßâ×â : gâyÇéÖdpâ ÀâyîÎâyy ÅdgâÝkëpâ ÉdªÖá»ÖâªÈy ÀápâyÀápây ~k{dÈyÖdÀâó.I{d 6 : 9x2× 4y ÈáÖâ

yx74 2 ´×ây×â¾ aÖá~k{dÈy aÖá aÖâ~k{âªgâÈ ²©m¿xÀâÃéÉd¾QOÖâ~k{âª

´ªêépây.I{d 7 : 4

115 , x, 6x, 8xy, 7

yx2 ,

xyz ,

zx y75 2 Àryy{âÈgây×âÆ.

prªvây ~k{âªÈy gâÈ ¿xÀâÃéÉd¾Q ¬]~k{â¿xÀâÃé¿xª ´ªêépây.I{d 8 : 7 + x, xy – 7,

yx x5 3- , x3 2 – 6xy, yz2 + 2z.

ÀâyÃévây ~k{âªÈygâÈ ¿xÀâÃéÉd¾Q Z»~k{â¿xÀâÃé¿xª ´ªêépây.I{d 9 : 4 + x + y, 6x + 15 – y 2, ax 2+ bx + c, ax + by + z

Z~k»~k{⪠±yyÇÁkÃé°âª Èá¾ ßâpâpdµâyÈ×ây ¹åª¬Iªvây ¿xÀâÃéÉd¾Q ±Ýkéy~k{â¿xÀâÃé¿xª ´ªêépây.

I{d 10 : x2 – 4x, x – 4xy + y 2, 6 – 5y + xy + x2y

¿xÃéßâ×â :yx + 2 ´×ây×⬠aÖâ ±Ýkéy~k{⪠Öd{ây, E¬ aÖâ ²©m¿xÀâÃé¿xª

´ÅdX¿xª 2.1.11. Ѫ¬Àds¾ ûLpâÀâyîÎâyy ßâpâ ~k{âªÈygd Àápây~kpâßâªÚ 12 + z, 15, x

5- ,

73- , x , 3 , xy

32` j , ( )xy

25 ,7, 7 – x, 6x + 4y, –7z, ( )

xyz38 ,

y+4, y4ÀâyîÎâyy

( )( )yzx

82 .

2. OÖâ~k{âª, ¬]~k{⪠ÀâyîÎâyy Z»~k{âªÈygd ZѪ¬ Àds¾ Àápây~kpâßâªÚ. 7xyz, 9 – 4y, y4 2 – xz, x – 2y + 3z, 7x + x2,

yx8 ,

58` j, x2 y2 , 4 + 5y – 6z.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

141

2.1.2 ²©ÊËÎây ¿xÀâÃé¿xÀâyyÈy

9x »¥¿xyÖ³¾×â 9x ~k{⪠ÀâyyfXÖdpâÇéª ÖâªÈy 9' ÀâyîÎâyy x EÖâývâ 9 ¾ x ÎryyÖâý ¿xªfdX ¿xÝkégâyÇÖ⪠ÀâyîÎâyy x ¾ 9 ÎryyÖâý ßâpâpdú ¿xÝkégâyÇÖ⪠´ªêéª. (ÈáÖâ) 9x y ¾ »¥¿xyÖ³¾×â 9x y ×âª{ây x ÀâyîÎâyy y Èy prªvây ßâpâpd¿xyÈy 9 x ¾ y ¿xÝkégâyÇÖ⪠ÀâyîÎâyy9y ¾'x' ¿xÝkégâyÇÖ⪠´ªêépây.

ZѪ¬ ~kꡦȨ¾ ´ªµâÀâyyÈ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.

gâyÇȱMª ¿xÝkégâyÇÖ⪠¿xªfdX ¿xÝkégâyÇÖ⪠(ûLpâ ~k{âª)

´ãâpâ ¿xÝkégâyÇÖ⪠(ßâpâ ~k{âª)

–8xy –8x, 'y'ÎryyÖâý ¿xÝkégâyÇÖ⪠–8 x

–8y, 'x' ÎryyÖâý¿xÝkégâyÇÖ⪠–8 y

xy, '–8'ÎryyÖâý ¿xÝkégâyÇÖ⪠– xy

–8, xyÎryyÖâý ¿xÝkégâyÇÖ⪠–8 –

¿xÃéßâ×âÈy : 1. ßâpâpdú (´ãâpâ ¿xÝkégâyÇÖâª) ×âæ ÉdªÖá»Ö⪠Èá{ây Öd¾ ¬¥¾¾ |â×â¿xªfXgd

~kîg⧪ßr{âpây.2. ßâpâpdúÑ ÁkÃé°âª ÈáæªÚ×â {d¾ ÁkÃé°âª 1 gd ~kîg⧪ßr{âpây.3. ßâpâpdúÑ ¿xªfdX ¿xÝkégâyÇÖ⪠ÈáæªÚ×â {d¾ ¿xÝkégâyÇÖ⪠1 gd ~kîg⧪ßr{âpây. I{d: : x = 1x.

4. ±Ýkéy~k{âª×âª{ây ßâpâpdú ÎryyÖâý aÖâ~k{⪠~õ{âM ÁkÃé°d¾Q ±Ýkéy~k{⪠ÎryyÖâý ÁkÃé°âª ´ªêépây.

¿xmé» ÀâyîÎâyy Æmé» ~k{âªÈy :

aÖá ßâpâpdú ÖdpâÇéªÖdÈy ÀâyîÎâyy aÖá pâÖ⪠ÁkÃé°dÈy Öâ¶Ð×â ~k{dÈ×ây ¿xmé»~k{⪠´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

142

I{d : 5x, 2x, 7x, – 9x,31` j x Àryy{âÈgây×âÆ.

x2, 2x2, 6x2, 9x2, 71 x2 Àryy{âÈgây×âÆ.

x3, 3x3, 7x3, –9x3,91 x3 Àryy{âÈgây×âÆ.

Àápây, Àápây ÈáÖâ aÖá ßâpâpdú ÖdpâÇéªÖdÈy ¹åª¬ Àápây Àápây ÁkÃé°dÈy ¹åª¬×â ~k{dÈ×ây Æmé» ~k{⪠Ȫêépây

I{d : x, x2, x3, x4, x5 Àryy{âÈgây×âÆ. x, m, n, p Àryy{âÈgây×âÆ. –x, xy, xy2 Àryy{âÈgây×âÆ.

2.1.3 ±Ýkéy~k{âªÈ ¿xªÖâÈ×⪠ÀâyîÎâyy ÀâXÀâÖâÈ×âª

~kòpâJ ¿xªfXÈ ¿xÆy» Îâyª{ây ¿xªÖâÈ×⪠ÀâyîÎâyy ÀâXÀâÖâÈ×⪠ÈãâǪÈ×ây Àryy{âê mCd~kÖ⪠°rßây+Ö³¾×â

1. prªvây |â×â ~kòpâJ ¿xªfXÈ Àryy°âKª aÖâ |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây. (+7) + (+5) = +7 + 5 = +12

2. prªvây ±yyÇ ~kòpâJ¿xªfXÈ Àryy°âKª aÖâ ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây. (–7) + (–5) = –7 – 5 = –12

3. aÖâ |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ÀâyîÎryyÖâs ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX Àryy°âKª ~õ{âM ~kòpâJ ¿xªfXgâypâKy |â×âgâypâKy IªÚ×â |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây.

(+7) + (–5) = +7 – 5 = +2

4. aÖâ |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ÀâyîÎryyÖâs ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX Àryy°âKª ~õ{âM ~kòpâJ ¿xªfXgâypâKy ±yyÇ gâypâKyIªÚ×â ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây.

(–7) + (5) = – 7 + 5 = –2 ±Ýkéy~k{âªÈ gâyÇéÖdpâ ÀâyîÎâyy ÅdgâÝkëpâªÈy5. prªvây |â×â ~kòpâJ ¿xªfXÈ gâyÇȱPª aÖâ |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây. (+7) × (+5) = +35

6. prªvây ±yyÇ ~kòpâJ¿xªfXÈ gâyÇȱPª aÖâ |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây. (–5) × (–7) = +35

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

143

7. aÖâ |â×â ~kòpâJ ¿xªfX ÀâyîÎryyÖâs ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX gâyÇȱPª aÖâ ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây.

(+7) × (–5) = –35

8. aÖâ ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX ÀâyîÎryyÖâs |â×â ~kòpâJ ¿xªfX gâyÇȱPª aÖâ ±yyÇ ~kòpâJ ¿xªfX ´gây×ây.

(–7) × (+5) = –35

prªvây ±Ýkéy~k{âªÈy ¿xªÖâÈ×⪠ÀâyîÎâyy ÀâXÀâÖâÈ×⪠ßáÎâyyêæ ZѪ¬ ¾ÎâyÀâÃéÈy ¹dsªßd¶

1. ¿xmé» ~k{âªÈ×ây æévâÀâßây+×ây ÈáÖâ »¥û ÀáÎâyÀâßây+×ây 2. Æmé» ~k{âªÈ×ây æévâyê ÈáÖâ »¥ûÀáÎâyyê Éd|âXªÖd{ây.3. ¿xmé» ~k{âªÈ×ây æévây×â~kóvây ÈáÖâ »¥ûÀáÎâyy×â~kóvây Àds ¿xÝkégâyÇÖâªÈ×ây

æévâÀâÈr×ây. ÈáÖâ »¥ûÀáÎâyÀâÈÎâyy×ây.I{d : 5x2y, – 7x2y ÀâyîÎâyy 9x2y È×ây æévâªÚÉd|â×â : 1 Àâ ¾ÎâyÀâyÀâyy Z~kÖdpâª, Àây×âæ (5x2y) + (–7x2y) + (9x2y)

= [5 + (–7) + 9]x2y

= (5 – 7 + 9)x2y

= 7x2y

E¬ ãð»m ¿xªÖâÈ×⪠. ¬¥¾¾ Ȫ± ¿xªÖâÈ×⪠Z~kÖdp⪠ßáÎâyÀâßây+×ây.+5 x2 y

–7 x2 y

+9 x2 y

7 x2 y ¿xªfdX ¿xÝkégâyÇÖâªÈ×ây æéÚ ßâpâpd¿xyÈ×ây ´Èégá ZÀdÎâyÀâßây+×ây ´¾Àây×âª

gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

144

I{d 2 : 7x2 – 4x + 5 ÀâyîÎâyy 9x – 10È×ây æévâªÚÉd|â×â : EÖâývâ ¿xmé» ÀâyîÎâyy Æmé» ~k{âÀâyyÈy I×âQÆ. ¿xmé» ~k{âªÈ×ây aÖâ{d¾

ZѪ{â aÖâs pdû æévâyê ¿xyÈÅâÀâygây×ây.7x2 – 4x + 5

+ 9x – 10

7x2 + 5x – 5

I{d 3 : 8xy + 4yz – 7zx, 6yz + 11zx – 6y ÀâyîÎâyy –5xz + 6x – 2xy È×ây æévâªÚ +8xy + 4yz – 7zx

+ 6yz + 11zx – 6y

–2xy – 5zx + 6x +6xy + 10yz – xz + 6x – 6y

Éd|â×â : EÖâývâ UæýÀâ Æmé» ~k{âªÈy×âQÆ. ¿xmé» ~k{âªÈ×ây aÖâ {d¾ ZѪ{â aÖâs pdû æéÚ×â ¿xyÈÅâÀâygây×ây. ûL°âXª°âpâ ×dXÎâyª ¹dsªßâÀâÈr×ây.xy = yx ÀâyîÎâyy xz = zx.

I{d4 : x3 + 5x2 – 4x + 6 ×âyªÚ 2x3 – x2 + 4x – 6×ây »¥ûÀáÎâyªÚ. x3 + 5x2 – 4x + 6 → ÆÎrÃémXª (Minuend) 2x3 – x2 + 4x – 6 → ÀâXÀâÖⶰ⪠(Subtrahend)(-2) (+1) (-4) (+6) –x3 + 6x2 – 8x + 12

¿xmé» ~k{âªÈ×ây aÖâ{d¾ ZѪ{â aÖâs pdû{d¾ ́ ×ây±ª{â ¿xÝkégâyÇÖâªÈ×ây »¥û ÀáÎâyyê ¿xyÈÅâª. ±yyÇ ¿xªfX×ây »¥û ÀáÎâyÀâÈÎâyy×â×âQ ÀâXÀâÖⶰ⪠¿xÝkégâyÇÖ⪠gâypâKy×ây ÀâÃépâyR ßáû ÆÎrÃémXª ¿xÝkégâyÇÖâªÈ×ây æévâªÚ.

ÀâXÀâÖâÈ×⪠ZÑÎây ́ pâLª °r¶ûÖ³¾ ́ ×⪰âp⪠o ZѪ¬ Æ|âªgd °â]pâgd ßáÎâyÀâßây+×ây. (x3+5x2–4x+6)–(2x3–x2+4x – 6)

= x3+5x2–4x+6–2x3+x2–4x+6

=(1–2)x3+(5+1)x2+(–4–4)x+(6+6)

= –x3 + 6x2 – 8x + 12

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

145

´ÅdX¿xª 2.1.31. ¿xmé» ~k{dÈygd Àâî¥$ÖâîªßâªÚ

4x2, x31 , –8x3, xy, 6x3, 4y, –74x3, 8xy, 7xyz, 3x2

2. ¿xÃéÖâí¡WÖâîªßâªÚ :

(i) 7x – 9y + 3 – 3x – 5y + 8

(ii) 3x2 + 5xy – 4y2 + x2 – 8xy – 5y2

3. æévâªÚ :

(i) 5a + 3b, a – 2b, 3a + 5b

(ii) x3 – x2y + 5xy2 + y3, –x3 – 9xy2 + y3, ÀâyîÎâyy 3x2y + 9xy2

4. »¥ûÀáÎâyªÚ : (i) –2x2y + 3xy2×ây 8x2y ×âyªÚ

(ii) a – b – 2c ×ây 4a + 6b – 2c ×âyªÚ.2.1.4 ±Ýkéy~k{dÈ gâyÇȱMª

o ZѪ¬ gâyÇȱMd¶Q gâÀây¾ªßâªÚ. (i) 5x × 6x2 = (5 × 6) (x × x2) = 30x3

(ii) 2x × 6y × 8z = [(2 × 6) × (x × y)] × (8z)

= (12xy) × (8z)

= (12 × 8 ) × (xy × z) = 96xyz

Àây×⪠{d¾¾ aÖá Ýk骰âª×âª{ây ZÀdÎâyÀâßây+×ây.2x × 6y × 8z = (2 × 6 × 8) × (x × y × z) = 96xyz

¿xÃéßâ×â :¿xÝkégâyÇÖâªÈgâyÇȱPª = ²©m¿xÀâÃé¿xªÈ ¿xÝkégâyÇÖâªÈ gâyÇȱMªßâpdãâpâªÈgâyÇȱPª = EÀâ]±Ú×â ´¾Q ßâpdãâpâ gâyÇÖâªÈgâyÇȱMª

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

146

I{d 5 : 6x ÀâyîÎâyy –7x2y gâyÇȱMd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ Éd|â×â : (6x) × (–7x2y) = [6 × (–7)] × (x × x2y) = 42x3y

¿xÃéßâ×â : x × x2y = (x × x2)y = x3y

aÖá Æ|âÀâyÌy×â ßâpâpd¿xyÈy Àds ¿xªfXÈy×âQ~kóRvây ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª xm + xn

= xm + n I~kÎrÃéЪn×â ¿xyÈÅâÀâygây×ây. EÖâývâ 'm' ÀâyîÎâyy 'n' ~kòpâJ¿xªfXÈy, Àds¾ gâyîªn °âpâyÀd°â °rÈy¿xyÖ³ª{dª.

OÖâ~k{âª×ây OÖâ~k{âªßá gây§ªßâyê :

I{d 6 : 4x × 5y × 7z ȱPd¾Q Öâ×âyg³×âªÚÉd|â×â : 4x × 5y × 7z = (4 × 5 × 7) (x × y × z) = 140 xyz

I{d 7 : 2l2m × 3lm2 gâyÇȱPª OÆy?Éd|â×â : 2l2m × 3lm2 = (2 × 3) × (l2 × l) × (m × m2) = 6l3m3

EÖâývâ ak × al = aK + l ÁkÃé°dªÖâ¾ÎâyÀâyª I~kÎrÃéЪn×dÀâyy.

OÖâ~k{âª×ây ¬]~k{⪠ßá gây§ªßâyê :

9 × 103 = 927 ȱPd¾Q gâÀây¾ªßâªÚ9 × 103 = 9(100 + 3) = (9 × 100 + 9 × 3)

= 900 + 27 = 927

¿xªÖâÈ×⪠ƥy{â gâyÇÖdpâ ÆÅdmÖâ ¾ÎâyÀâyª I~kÎrÃéЪßâ×⬠gâÀây¾ªn»pd? E{á Æ|âªgd OÖâ~k{âª×ây ¬]~k{⪠ßá gây§ªßâÀâßây+×ây.

2x(3x + 5xy) = [(2x) × (3x) + (2x) × (5xy)]

= [6x2 + 10x2y]

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

147

I{d 8 : (8y + 3) × 4x gâyÇȱMd¾Q ¾pPdîªßâªÚ.Éd|â×â : (8y + 3) × (4x) = 4x × (8y + 3)

= (4x × 8y) + (4x × 3)

= 32xy + 12x

EÖâývâ ûL°âXª°âpâ ×dXÎâyª I~kÎrÃéЪn×dpây. UvâÀây ÆÅdgâ ×dXÎâyª æévâ I~kÎrÃéЪn gâyÇȱPd¾Q Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây.

(8y + 3) × (4x) = [(8y) × (4x)] + (3 × 4x)

= 32yx + 12x

= 32xy + 12x (xy=yx gâyÇéÖdpâ ûL°âXª°âpâ ×dXÎâyª ÖdpâÇÀâygây×ây.)ÀâyyfdXªµâÀâyyÈy :¿xªfXÈ×ây ́ ×â]Ìyªn×âê[y ûL°âXª°âpâ, ¿xÝkéßâpâX, ÆÅdgâ, ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâÃéÈy ßâpâ pdµâyÈæ æévâ ´×â]Îây Àâygây×â¾ I~kÎrÃéЪßr{âª. ßâpâ pdµâyÈæ O{âÌy×â ¿xªfX A{áúªn×â ~õô ¾ÎâyÀâÃéÈy ¿xî¹åª{ây×ây ´¾ ~kî¥ãðªßâÀâßây+×ây.

¬]~k{⪠×ây ¬]~k{⪠ßá gây§ªßâyê

(4a + 6b) ÀâyîÎâyy (5a + 7b) prªvây ¬]~k{âªÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ gâyÇȱPd¾Q gâÀây¾ªn×â, (4a + 6b) (5a + 7b) = 4a (5a + 7b) + 6b(5a + 7b)

= [(4a) (5a) + (4a) (7b)] + [(6b) (5a) + (6b) (7b)]

= 20a2 + 28ab + 30ab + 42b2

= 20a2 + 42b2 + 58ab ( Öd¾ ab = ba)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

148

´ÅdX¿xª 2.1.41.prªvây OÖâ~k{âªÈ gâyÇÖdp⪠Z~kÖdp⪠ZѪ¬ ~kꡦ¾¥ ~kòîªßâªÚ.Z~kzâÀây →¬]»¥Îây↓

3x –6y 4x2 –8xy 9x2y –11x3y2

3x–6y

4x2

–8xy

9x2y

–11x3y2

2. gâyÇȱPd¶Q Öâ×âyg³×âªÚ(i) (5x + 8)3x, (ii) (–3pq) (–15p3q2 – q3),

(iii) x56 (a3-b3) (iv) –x(x2 – 15)

3. ZѪ¬ Àds¾ ¿xÃã¡WÖâîªßâªÚ(i) (2x2y – xy) (3xy – 5), (ii) (3x2y2 + 1) (4xy – 6xy2);

(iii)( 3x2 + 2x)(2x2+3) (iv) ( 2m2 +3m) (5m-1)

2.1.5 ƵáÍk gâyÇȱPdÈyÀây×âÀâyy E~kóRvây ƵáÍk gâyÇȱPd¶Q gâyîªn °rÈy¿xyÖ³×r{âÀâyy.(x + a) (x + b) gâyÇȱPd¾Q gâÀây¾ªn×â,(x +a) (x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x2 + bx + ax + ab

= x2 + ax + bx + ab

= x(x + a) + b(x + a)

= (x + a) (x + b)

= x2+(a+b) x+ab

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

149

EÖâývâ ûL°âXª°âpâ ÀâyîÎâyy ÆÅdgâ ×dXÎâyªÈ×ây I~kÎrÃéЪßdpây.

xb = bx ÀâyîÎâyy (ax + bx) = (a + b)x

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab ´×ây×⬠°â°âbÀâyª (¾°âX¿xÆ¥yÖâpâǪ) ´ªêéª (x + 2) (x + 1) = x2 + (2 + 1)x + (2 × 1)

= x2 + 3x + 2. (x + 2) (x + 1) = x2 + 3x + 2 °â°âbÀâyª×ây nZ°âª {d]pd °rÈy~kÀâßây+×ây.

¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xK ÀrôÔéÈXª (x + 2) (x + 1) gâyÇȱPd¾Ñ ¿xÀâÃé×⪠́ ¾ Zgâþéªßâ Àâßây+×ây. ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉd¾Q n×âQ ßâ°âypâZ¿xª ÀâyîÎâyy n×âQ ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÈygd ÆÅâʪßâÀâßây+×ây. AEKJ, KLHI ÀâyîÎâyy LGCH ßâ°âypâZÉdÈ ÀrôµdÈXªÈy ZÖâÀâyªgd x2, 1,ÀâyîÎâyy 1 Iªvây×âê[y ÀâyîÎâyy EFLK, FBGL, ÀâyîÎâyy JKID¬¥pâ&ßâ°âypâZÉdÈ ÀrôµdÈXªÈy ZÖâÀâyªgd x, x, ÀâyîÎâyy x Iªvây×âê[y ÆÅdЪßâ±Ú×â¬.

ÖdÀâó×â ABCD ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª = x2 + 1 + 1 + x + x + x = x2 + 3x + 2 ´gây×ây.I{d : (x + 2) (x + 1) = x2 + 3x + 2

(a + x ) (b + x )ÆÈyÀâ OÆy? ‘x’ ±{âÈy y ÀâÃéî+×â Àây×âæ ¾°âX¿xÆ¥yÖâpâǪ (x +

a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab OÀâygây×ây? ÀâyîÎryyÖâ ¾°âX¿xÆ¥yÖâpâǪ Àâßây+×d?I{d 9 : (x + 6) (x + 7) gâyÇȱPd¾Q Öâ×âyg³×âªÚÉd|â×â : (x + 6) (x + 7) = x2 + (6 + 7)x + (6 × 7)

= x2 + 13x + 42 ´¾Àây×⪠ZgâþéªßâÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

150

I{d 10 : (x + 8) ÀâyîÎâyy (x – 4)ȱPª ÆÈyÀâ Uª°â?Éd|â×â : °â°âbÀâyª×ây~kÎrÃéЪn×â,

(x + a) (x + b) = x2 + x(a + b) + ab

(x + 8) (x – 4) = x2 + (8 – 4)x + [(8) ×(-4)]

= x2 + 4x – 32 Àây×âæ Àâßây+×ây.I{d 11 : (2x + 5) (2x + 3) ×ây gây§ªßâªÚÉd|â×â : (x + a) (x + b) = x2 + x (a + b) + ab ´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy (2x + 5) (2x + 3) = (2x)2 + 2x(5 + 3) + (5 × 3)

= 4x2 + 16x + 15 ´gây×ây.I{d 12 : ¾°âX¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q I~kÎrÃéЪn 103 × 98 gâyÇȱPd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : 103 × 98 = (100 + 3) (100 – 2)

= (100)2 + 100 (3 – 2) + ((3 × (–2))

= 10000 + 100 – 6

= 10000 + 94

= 10,094

EÖâývâ (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

°â°âbÀâyª×âª{ây x = 100, a = 3, ÀâyîÎâyy b = –2 ´¾»¥¿xyÖ³¾ Æ¿kKîªßâ ±Ú×â¬.I{d 13 : (P2 – 5) (P2 – 3) gâyÇȱPd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : (P2 – 5) (P2 – 3) = (P2)2 + ((–5) + (–3)) (P)2 + (–5) × (–3)

= P4 – 8P2 + 15¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈy (°â°âbÀâÃéÈy)

¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ aÖâ ¿xÀâÃé×â°â]ª ́ ÌyIªÚ ßâpâpdú ÎryyÖâý ́ ¾QÀðÈyÀâÈy Àd¿kKÀâÀâyygd ¿x°âXÀâyy ´gây×ây.

I{dÝképâǪ OÀây×âgd, (x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6 aÖâ °â°âbÀâyª.ßâpâpdú ‘x’ æ O{âÌy×â ÆÈyÀâ EÀâ]±Ú×â U.ßá.Z~k ÀâyîÎâyy æ.ßá.Z~k ÆÈyÀâÈy ¿xÀâÃé×â

Àâygây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

151

Ö³¾Q ÈrÖâýÈy Édºªßâyêæ Z~k°áXÖâ ÀâyÌy×â °â°âbÀâÃéÈy I~kÎrÃégâ ~kvây×ây. (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b)

= a2 + ba + ba + b2

= a2 + b2 + 2abab = ba ûL°âXª°âpâ ×dXÎâyª I~kÎrÃéЪßâ ±Ú×⬠´¾gâÀây¾ªßâ Àâßây+×ây.o ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây páfdg⧰â ßâ°âypâç¿x nZ°âª {d]pd ¾pâÃéĪßâÀâßây+×ây.

ABCD ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª (a + b)2 æ ¿xÀâÃé×âª. (a + b) ´×ây×⬠ßâ°âypâZ¿x aÖâ Åâymª¹d{âÀâyy ´gây×ây. Àây×⪠o ßâ°âypâZÉd¾Q prªvây n×âQ ßâ°âypâZ¿xªÈy ÀâyîÎâyy prªvây n×âQ ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xªÈygd ÆÅâÊyªßâ ±Ú×â¬. HKGD ÀâyîÎâyy EBFK ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyyÈy a2

ÀâyîÎâyy b2 ÀâyîÎâyy KFCH, AEKH ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXªÈy ab ÀâyîÎâyy ab Èygd IªvâÀâÈr×ây.

ABCD ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª a2 + b2 + ab + ab = a2 + b2 + 2ab ´gây×ây. ´{áÆ|âªgd (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab Àây×âæ OpâRvây×ây.

ZѪ¬ nZ°âª {d]pd ¬¥¾¾ ÉdºªßâÀâßây+×ây :

ABCD ßâ°âypâZ¿x Åâymª 'a' ´×âyÖ³¾×â {d¾ ÀrôµdÈXª a2 ́ gây×ây. o ßâ°âypâZÉd¾Q prªvây n×âQ ßâ°âypâZ¿xªÈy ÀâyîÎâyy prªvây n×âQ ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xªÈygd ÆÅâmðªßâ±Ú×âÆ. HKGD ÀâyîÎâyy EBFK ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXªÈy (a – b)2 ÀâyîÎâyy b2. KFCG ÀâyîÎâyy AEKH ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXªÈy b(a – b) ÀâyîÎâyy b(a – b) Èygd IªvâÀâÈr×ây. (a ´×ây×⬠b Öâªêá ~õ{âM¬. a > b).HKGD ÀrôµdÈXª ÖdÀâÈÎâyy×â×âQ,

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

152

EBFK , KFCG ÀâyîÎâyy AEKH ÀrôµdÈXÀâyyÈ×ây ABCD ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª ×âyªÚ »¥ûÀáÎâyÀâÈÎâyy×ây.

(a – b)2 = a2 – b2 – b(a – b) – b(a – b)

= a2 – b2 – ba + b2 – ba + b2

= a2 – 2ab + b2 Àây×âæ OpâRvây×ây. (a + b) (a – b)= a2– ab+ ab– b2= a2 – b2

¬¥¾¾ Z~kÀâÃé§Öâ ¾°âX¿xÆ¥yÖâpâǪ ´ªêépây.I{d 14 : (2x + 3y)2 ×ây Öâ×âyg³×âªÚ Éd|â×â : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×ây~kÎrÃéЪn×â, (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2 EÖâývâ a = 2x , b = 3y

= 4x2 + 12xy + 9y2

I{d15 : (4p – 3q)2 ÎryyÖâý ÆÉKdpâ ÀáyÆy?Éd|â×â : (a – b)2 = a2 – 2ab+ b2 ×ây I~kÎrÃéЪn×â, (4p – 3q)2 = (4p)2 – 2(4p) (3q) + (3q)2 EÖâývâ a = 4p, b = 3q

= 16p2 – 24pq + 9q2

I{d 16 : (4.9)2 ×ây gây§ªßâªÚÉd|â×â : ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây~kÎrÃéЪn ¿xÀây¿kX×ây ~kîú¥¶ªn×â, (4.9)2 = (5 – 0.1)2 = (5)2 – 2(5)(0.1)2 + (0.1)2

= 25 – 1 + 0.01

= 24.01

(4.9)2 ×ây ×ápâygd gây§ªn ¿xîßâÃévâÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

153

I{d 17 : 54 × 46 ×ây gây§ªßâªÚÉd|â×â : EÖâývâ ÀâypâÈ ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ I~kkÎrÃégâ~kvây×ây. (a + b)(a – b) = a2 – b2I~kkÎrÃéЪn×â, 54 × 46 = (50 + 4)(50 – 4) EÖâývâ a =50 ÀâyîÎâyy b= 4, = (50)2 – (4)2

= 2500 – 16

= 2484

ÖdpdXßâpâǪ : 2.1. ´

(a + b)(a – b) = a2 – b2 ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây nZ°âª {d]pâ ÉdºªßâÀâßây+×ây.

´ÅdX¿xª 2.1.5

1. ȱPd¶Q Öâ×âyg³×âªÚ

i) (a + 3)(a + 5) ii) (3t+ 1)(3t + 4)

iii) (a – 8)(a + 2) iv) (a – 6)(a – 2)

2. ÆÈyÀâÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

i) 53 × 55 ii) 102 × 106

iii) 34 × 36 iv) 103 × 96 v) 102 × 106

3. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab ¾°âX ¿ xÆ ¥yÖ âp âǪ ×â× ây¿ xîªn (x + a)(x + b)(x+c) gâyÇ È±Pd¾Q ¾¥Àâó Öâ×âyg³×r{âÀd?

4. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 °â°âbÀâyª×ây~kÎrÃéЪn ZѪ¬ Àds¾ ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ.

i) (a + 6)2 ii) (3x + 2y)2

iii) (2p + 3q)2 iv) (x2 + 5)2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

154

5. ¿xî ´Ìy×â ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây~kÎrÃéЪn ÆÈyÀâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

i) (34)2 ii) (10.2)2 iii) (53)2 iv) (41)2

6. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×ây~kÎrÃéЪn Öâ×âyg³×âªÚ

(i) (x – 6)2 (ii) (3x – 5y)2 (iii) (5a – 4b)2 (iv) (p2 - q2)2

7. ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×ây~kÎrÃéЪn Öâ×âyg³×âªÚ.

i) (49)2 ii) (9.8)2 iii) (59)2 iv) (198)2

8. (a + b)(a – b) = a2 – b2 °â°âbÀâyª ×ây~kÎrÃéЪn gâyÇȱPd¶Q Öâ×âyg³×âªÚ.

i) (x + 6)(x – 6) ii) (3x + 5)(3x – 5)

iii) (2a + 4b)(2a – 4b) iv) x x32 1

32 1+ -` `j j

9. ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪÈ×ây~kÎrÃéЪn Öâ×âyg³×âªÚ.

i) 55 × 45 ii) 33 × 27 iii) 8.5 × 9.5 iv) 102 × 98

10. gâyÇȱPd¶Q Öâ×âyg³×âªÚ. i) (x – 3)(x + 3)(x2 + 9) ii) (2a + 3)(2a – 3)(4a2 + 9)

iii) (p + 2)(p – 2)(p2 + 4) iv) m m m21

31

21

31

41

912

- + +` ` `j j j

v) (2x-y)(2x+y)(4x2+y2) vi) (2x – 3y)(2x + 3y)(4x2 + 9y2)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

155

²©m¿xÀâÃéÉdÈy ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy1. ¿xî´Ìy×â I°âKp⪠U×âyQÖ³×âªÚ.

a. aÖá ßâpâpdú ÖdpâÇéªÖdÈy ÀâyîÎâyy aÖá pâÖ⪠ÁkÃé°dÈy Öâ¶Ð×â ~k{âªÈ×ây A. ÁkÃé°dªÖâªÈy B. ¿xmé» ~k{âªÈy C. ÖdpâÇéªÖdÈy D. Æmé» ~k{âªÈyb. 2ab ×âª{ây ab ¿xÝkégâyÇÖâª. A. ab B. 2 C. 2a D. 2b

c. a × a × a ÀryyÖâý ÁkÃé°âpâÃé~kª. A. 3a B. 3+a C. a3 D. 3 - a

d. prªvây ±yÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖdÈ Àryy°âKª A. ±yyÇé°âWÖ⪠B. |â×d°âWÖ⪠C.¿xy×âQ D. ́ ×⪰âªe. a2 + 2ab æ {á¾¾ æéÚ×â aÖâ ~kòpâJ Àâpâ$Àâygây×ây. A. b2 B. 2ab C. ab D. 2a

f. (x+2) (x-3)gâyÇȱPª OÆy? A. 2x-6 B. 3x-2 C. x2-x-6 D. x2-6x

g. (7.2)2 ÎryyÖâý ÆÈyÀâ (°â°âbÀâyª ×ây~kÎrÃéЪn Æ¿kKîªn×â) A. 49.4 B. 14.4 C. 51.84 D. 49.04

h. (2x-3y)2 ×ây Æ¿kKîªn×â A. 2x2 + 3y2 + 6xy B. 4x2 + 9y2 -12xy

C. 2x2+ 3y2 - 6xy D. 4x2 +9y2 + 12xy

i. 58 x 62 ȱPª (°â°âbÀâyª ×ây~kÎrÃéЪn×â) A. 4596 B. 2596 C. 3596 D. 6596

2. 8x-7y-8p + 10 q ×ây 10x + 10y-7p+9q ×âyªÚ »¥û ÀáÎâyªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

156

3. Æ¿kKîªßâªÚ

(i) (4x + 3)2 (ii) (x + 2y)2 (iii) (x +x1 )2 (iv) (x -

x1 )2

4. Æ¿kKîªßâªÚ(i) (2t + 5) (2t - 5) (ii) (xy + 8) (xy - 8) (iii) (2x +3y) (2x -3y)

5. Æ¿kKîªßâªÚ(i) (n-1) (n + 1) (n2 +1) (ii) n

n1-` j n

n1+` j n

n12

2+c m

(iii) (x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1) (iv) (2x - y) (2x + y) (4x2 + y2)

6. Æ¿kKîªßâªÚ ¿xî ´Ìy×â ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây~kÎrÃéЪn g⧪ßâªÚ.i) (103)2 ii) (96)2 iii) 107x 93 iv) 1008x 992 v) 1852 _ 1152

7. x + y = 7 ÀâyîÎâyy xy = 12 ´Ìy×â x2+ y2 Öâ×âyg³×âªÚ.

8. x + y = 12 ÀâyîÎâyy xy = 32 ´Ìy×â x2+ y2 Öâ×âyg³×âªÚ.

9. 4x2 + y2 = 40 ÀâyîÎâyy xy = 6 ´Ìy×â 2x+ y Öâ×âyg³×âªÚ.

10. x - y = 3 ÀâyîÎâyy xy = 10 ´Ìy×â x2+ y2 Öâ×âyg³×âªÚ.

11. x + x1 = 3 ´Ìy×â x2+

x12 ÀâyîÎâyy x3+

x13 È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

12. x + x1 = 6 ´Ìy×â x2+

x12 ÀâyîÎâyy x4+

x14 È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

13. ¿xÃéÖ¡íÖâîªßâªÚ.

(i) (x + y)2 + (x - y)2 (ii) (x + y)2 × (x - y)2

14. prªvây ~k{dÈ Àâpâ$ªÈ Åá{âªgd °r¶Îây ßáÎâyªÚ.

(i) (x + 2z) (2x + z) (ii) 4(x + 2y) (2x + y) (iii) (x + 98) (x + 102)

(iv) 505 × 495 [¿xÃéßâ×â: ab= ( ) ( ) ]ab a b a b4 2 2= + - -

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

157

15. a= 3x-5y; b= 6x + 3y ÀâyîÎâyy c= 2y - 4x ´Ìy×â (i) a+b-c (ii) 2a - 3b + 4c È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

16. aÖâ Z»Åâymª ßâyê¦y ֳȰâ 15x 2 + 23x + 9. prªvây ÅâymªÈy 5x 2 + 8x - 1. ÀâyîÎâyy 6x 2 + 9x + 4. ÀâyÃévâÀâ Åâymª×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

17. aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âpâZ¿x A¿x×âQ ÅâymªÈy 2x 2 - 5xy + 3z2. ÀâyîÎâyy 4xy + x2 + z2 ´Ìy×â ßâyê¦y ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

18. aÖâ Z»Åâymª ÅâÃéÆy ÀâyîÎâyy U°âKyÈyÀâpây ¿xgd (3x - 4y) ÀâyîÎâyy (6x + 5y) ´Ìy×â Z»Åâymª ÀrôµdÈéX¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.

19. ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ÅâymªÈy 2x + 3y ÀâyîÎâyy 3x + 2y. ¬¥¾È¨ ×âyªÚ x + y Åâymª Öâ¶Ð×â ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª×ây »¥ûÀáû×â Æyж×â Ådg⪠ÀrôµdÈXª×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

20. a2 + b2 +c2 - ab - bc - ca = 0 ´Ìy×â a = b = c ´¾ ßâÃé~kªÚ. ( a, b, c Èy ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈy)

Édpdªµâª (¹dî±d¸Öâ ~k{dÈy) (GLOSSARY)

1. ûLpdªÖ⪠: fn+°âÆÈyÀâ ßâÃéĪßây ÉdªÖá»Öâª.2. ßâpâpdú : O{âÌy×â ÆÈyÀâ×ây ¿xÃénªßây ÉdªÖá»Öâª3. ²©m ¿xÀâÃé¿xª : ²©ÊËÎây Z~kZÑÎây×ây Öâ¶ÐIªÚ×â ûLpâ pdú ÀâyîÎâyy ßâpâpdµâyÈ

¿xÀáyWÔâ×âª4. ±Ýkéy~k{⪠: ßâpâpdú ±yyÇé°âWÖâ ÁkÃé°âªÈy Èá¾ ¿xÀâÃé¿xª 5. ~k{⪠: ¿xªÖâÈ×⪠ÀâyîÎâyy ÀâXÀâÖâÈ×⪠¹åª{âÖâ gâyÇéÖdp⪠ÈáÖâ ÅdgâÝkëp⪠¹dª¬Iªvây ²©m¿xÀâÃé¿xª ÎryyÖâý aÖâ Ådgâª6. ¿xÝkégâyÇÖ⪠: ßâpâpdú ÎryyÖâý ¿xÝké~k{⪠7. OÖâ~k{⪠: aÖá aÖâ ~k{âªgâÈ ²©m ¿xÀâyd¿xª8. ¬]~k{⪠: prªvây ~k{âªÈygâÈ ²©m ¿xÀâÃé¿xª

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

158

9. Z»~k{⪠: ÀâyÃévây ~k{âªÈygâÈ ²©m¿xÀâÃé¿xª10. ÚZÐ : ±Ýkéy~k{⪠Ȩ¾ ßâpâpdú ~õ{âM ÁkÃé°âª(aÖâ ÀáÔâ UæýÀâ ßâpâ pdµâyÈy I×âQ ±Ýkéy~k{⪠×âª{ây Z~k» ~k{âªÈ¨¾ ßâpâpdµâyÈ

ÎryyÖâý ÁkÃé°dÈ Îâyª{ây gâîÍk¦ ßâpâpdú ÁkÃé°âª)°â°âbÀâyª : ßâpâpdµâyÈ ´¾QÆÈyÀâÈy ¿xÀâÃé×⪠Öâ¶$Iªvây prªvây ²©m¿xÀâÃé¿xªÈy.

gâyîKªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy

• ßâpâpdµâyÈy ÀâyîÎâyy ûLpâpdµâyÈy Öâ¶$Iªvây g⧰â Z~kZÑÎây ÈÌy×â ´¾Q ¿xªÖâÈ×â, ÀâXÀâÖâÈ×â, gâyÇÖdpâ ÀâyîÎâyy ÅdgâÝkëp⪠¹åª¬Iªvây ~k{âÀâyyÈ ¿xÀâÃéÉd¾Q ²©ÊËÎây ¿xÀâÃé¿xª ´ªêépây.• ²©m¿xÀâÃé¿xªÈy æévây×â~kóvây ¿xm黥 ~k{âªÈ×ây ÀâÃéZ°âª æévâÀâÈr×ây.• prªvây ¿xÀâÃé¿xªÈy gây§ªßây ×â~kóvây ÁkÃé°âªÖâ ¾ÎâyÀâyª I~kÎrÃéЪn aÖ³ýÖâý

~k{⪠{d]pd gây§ªn×â ¿xyÈÅâÀâygây×ây.• aÖâ ±Ýkéy~k{âªÈ¨¾ ßâpâpdµâyÈ ÁkÃé°âªÈy |â×d°âWÖâªÈygd IªêéÌy.• ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¹åª¬ Iªvây prªvây ²©m¿xÀâÃé¿xªÈ ßâpâpdµâyÈy ´¾QÆÈyÀâÈæ ´¬ Àd¿kKÀâ Àâygây×ây.

lllll

All the religions of the world, while they may differ in other respects,unitedly proclaim that nothing lives in this world but Truth.

-Gandhiji

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

159

Ådg⪠- 2

ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×âo Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpâyÀd°â Æ¥ypây o ZѪ¬ ÆÍkÎâÃéÈy °rÈ¿xyÖ³ªêépây.

• ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖâªÈy ²©m ¿xÀâÃé¿xª ×âyªÚ OÆ|âªgd »¥û ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßây{âypây?

• ~k{âªÈ×ây gâyª~kó ßáû OÆ|âªgd ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßây{âypây?• prªvây Àâpâ$ ¿xªfXÈ ÀâX°dX¿xªgâȲ©m ¿xÀâÃé¿xª×ây OÆ|âªgd ÖdpâÇéªÖâ

~kpâßây{âypây?• Z»~k{â ¿xÀâÃé¿xª×ây OÆ|âªgd ÖdpâÇéªÖâ ~kpâ ßr{âÀâó?• ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×ây~kÎrÃéЪn Àâpâ$ Z»~k{¨æKÈ×ây OÆ|âªgd ÖdpâÇéªÖâ

~kpâßr{âÀâó?

2.2.1 ~kîßâÎâyª

EÀâ] ±Ú×â ²©m¿xÀâÃd¿xª×ây prªvây ÈáÖâ UæýÀâ ÖdpâÇéªÖâªÈ gâyÇȱMªgd ZÀdÎâyy Æ|d×âª×ây ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â ´ªêépây. gâyÇ È±Pª×ây OpâRvây×âê[y ßáÎâyy Z~k» aÖâ ¿xÀâÃé¿xª×ây (ûLpdªÖ⪠ÀâyîÎâyy ßâpâpdú) ²©m ¿xÀâÃé¿xª ÎryyÖâý ÖdpâÇéªÖâÀâyªêépây.

I{dÝképâÇÖ³pâæ :

(i) 7xy ×ây »¥¿xyÖ³¾×â, 7, x, y, 7x, 7y ´×ây×âÆ ¬¥¾ ÖdpâÇéªÖâªÈy

(ii) (x + 3) ÀâyîÎâyy (x+ 2), ́ ×ây×âÆ x2 + 5x + 6 ÎryyÖâý ÖdpâÇéªÖâªÈy

ÖdpâÇéªÖâ ¿xªfdXÆÅâm×â ¾ÎâyÀâyª jCÄKÑ °rßây+ Ö³¾×â. aÖâ ~kòpâJ ¿xªfX EÀâ] ±Ú×â{d¾ ÖdpâÇéªÖâ gâyÇȱMªgd ZÀdÎâyy {d¾¾ Àr×âyÖâs °âpâgâ°âyÈÎâyª{ây ×ápây+ Ö³×dQpây. ´¬ Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖâªÈ gâyÇȱMªgd IªêéÌy. E{áÆ|âªgd ²©m ¿xÀâÃé¿xªÈ ÖdpâÇéªÖâªÈ×ây Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây ÀâyîÎâyy aÖâ ²©m ¿xÀâÃé¿xª EÀâ] ±Ú×â Àds ÖdpâÇéªÖâ gâyÇȱMªgd ZÀdÎâyÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

160

¿xÃéßâ×â : (1) ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â ÀâyîÎâyy gâyÇéÖdpâªÈy ÆȨÀây Z~kZÑÎâyÈy. gâyÇéÖdpâª×âª{ây

ÀápâyÀápây ~k{âªÈ×ây gâyǪn Ö³°âKgâÃÇ È±Md¾Q ¹åª{r{âÀâyy. ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â Îâyª{ây ²©m¿xÀâÃé¿xª×ây ÉdÀâÃé×âX ~k{âªÈygd ÆÅâʪn Àds gâyÇȱMª ²©m ¿xÀâÃé¿xªæ ¿xÀâÃé×âªgd Iªvây×âê[y ZÀdÎâyy{âypây.

(2) ¿xªfX ‘1’ ¾ O{âÌy×â ¿xªfXÎryyÖâý ÖdpâÇéªÖâªgd I~kÎrÃéЪßâÀâßây+×ây. (x+5) = 1 x (x+5), Öd¾ ¬¥¾ Îâyª{ây Ö³°âKgd OÆÍkÎâyª×ây °rÈy~k{ây. ¬¥¾¾ Z¹dÀâyyfXª Öd¾ ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â ´ªêépây. ¿xªfX ‘1’¾ ÀâÃéÀâyÃéÈygd UæýÀâ Édpâ[y ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â Îâyª{ây ÈrÑýªßr{âpây.

2.2.2 ÆÆ|â ~k{âP°âyÈygâÈ ÖdpâÇéªÖâÆÅâm×â

ÆÆ|â ~k{âP°âyÈy×ây~k ÎrÃéЪn EÀâ]±Ú×â ¿xÀâÃé¿xª ÎryyÖâý ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â gâyîªn EÖâývâ Àây×⪠°rÈy¿xyÖ³×r{âª. 1. ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖâªÈ°¨ ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â

o ZѪ¬ I{dÝképâǪÈ×ây gâÀây¾ªßâªÚ. I{d 1 : 5x2 – 10x

EÖâývâ 5x ´×ây×⬠5x2 ÀâyîÎâyy 10x ÈgâÉdZ~k ´Ìy×â¬. prªvây ~k{âªÈ×ây 5x ÉdÀâÃd×âXª »¥ÎâyyêÀâÈ×â Àây×âæ 5x2 – 10x = (5x) (x) – (5x) (2)

= (5x) (x – 2) = 5x(x – 2) OpâRvây×ây.I{d 2 : 4a + 12b = 4 (a + 3b)

I{d 3 : 3x2y – 6xy2 + 9xy = 3xy (x – 2y + 3)I{d 4 : a3 – a2 + a = a (a2 – a + 1)

~õô×â I×âQ I{dÝképâǪȾQªs Îâyª{ây gâ.Éd.Z~k ÉdÀây×âXª ßáÎâyyê ÀâÈ×â ÖdpâÇéªÖâªÈy Öâ×âyg³×dQª.

2. gâyª~kóÈy ßáÎâyyê ÀâÈ×â ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â. EÖâývâ ÆÆ|â Ýk骰âÀâyyÈ×ây ́ ×ây¿xîªßr{âª. Àryê¦y 1 : ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖ⪠Iªvây×âê[y ²©m ¿xÀâÃé¿xª×ây ¿xî ´Ìy×â gâyª~kóÈy

ßáÎâyyê.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Àryê¦y 2 : Z~k» gâyª~kó×ây ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâyê.Àryê¦ 3 : Z~k»gâyª~kó ×âª{âygâÈ ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖ⪠±Îâyê滥Îâyyê.I{d 5 : ax – bx + ay – by ÖdpâÇéªÖâ~kpâßâªÚÉd|â×â : (ax – bx) + (ay – by) gâyª~kóÈygd ÀâÃéî+×â = x(a – b) + y(a – b) = (a – b) (x + y)

EÖâývâ ÆȨÀây ÆÅdgâ×dXÎâyª I~kÎáyЪn×dÀâÃé? ¬¥¾¾ ZѪ¬ Æ|âªgd æévâ ßáÎâyÀâßây+×ây.

ax – bx + ay – by = (ax + ay) – (bx + by) = a(x + y) – b(x + y) = (a - b) (x + y)I{d 6 : y3 – 3y2 + 2y – 6 – xy + 3x ÖdpdÇéªÖdÈy Öâ×âyg³×âªÚ. Éd|â×â : ¿xÀâÃé¿xª×ây gâyª~kó~k{âªÈygd ßáû ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâyê. (y3 – 3y2) + (2y – 6) – (xy – 3x) = y2(y – 3) + 2(y – 3) – x(y – 3)

= (y2 + 2 – x) (y – 3)

3. ÀâX°dX¿xª I×âQ Àâpâ$ ¿xªfXÈ ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â

´¾Q a ÀâyîÎâyy b ÆÈyÀâÈæ (a + b) (a - b) = a2 - b2 Àryy{âs Ådgâª×âª{ây °rÈy¿xyÖ³×dQª. ¬¥¾ ¿xÝkëÎâyÀâyy×â prªvây Àâpâ$ ¿xªfXÈ Åá{⪰¨ ÖdpâÇéªÖ⪠ßáÎâyÀâßây+×ây.

I{d 7: 36a2 – 49b2 ÖdpâÇéªÖâ~kpâßâªÚ :Éd|â×â : 36a2 = (6a)2 ÀâyîÎâyy 49b2 =(7b)2 ´¾ Àây×âªgâÀây¾ªn×â,36a2 – 49b2 = (6a)2 – (7b)2

= (6a + 7b) (6a – 7b) Àâßây+×ây.I{d 8 :

yx

169

2

2

- ÖdpâÇéªÖâ~kpâßâªÚÉd|â×â : ÀâypâÈ Àây×⪠o Æ|âªgd ZÀdû×â.

yx

yx

yx

yx

169

43

43

43

2

22 2

- = - = + -` ` c cj j m m

161

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

I{d 9 : (4.5)2 – (1.5)2 g⧪ßâªÚÉd|â×â : – (4.5)2 – (1.5)2 = (4.5 + 1.5) (4.5 - 1.5)

= (6) × (3) = 18´ÅdX¿xª 2.2.2

1. ÖdpâÇéªÖâªÈygd Æv⬥ÎâyªÚ: (i) x2 + xy (ii) 3x2 – 6x

(iii) (1.6)a2 – (0.8)a (iv) 5 – 10m – 20n

2. ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ:

(i) a2 + ax + ab + bx (ii) 3ac + 7bc – 3ad – 7bd

(iii) 3xy – 6zy – 3xt + 6zt (iv) y3 – 3y2 + 2y – 6 – xy + 3x.

3. ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ:

(i) 4a2 – 25 (ii) x2 – 169

(iii) x4 – y4 (iv) 7103 2

1012 2

-` `j j

(v) (0.7)2 – (0.3)2 (vi) (5a – 2b)2 – (2a – b)2

2.2.3 Z»~k{âªÈ ÖdpâÇéªÖâÆÅâm×â

(x + a) (x + b) pâÃé~kªÈ¨gâÈ prªvây ¬]~k{âªÈygâÈ gâyÇȱMª×ây Öâ×âyg³×âyê °rÈy¿xy.(x + a) (x + b) = (x2 + (a + b)x + ab)

¬¥¾×âyªÚ (x2 + (a + b)x + ab) pâÃé~kªgâÈ ²©m ¿xÀâÃé¿xª EÀâ]±Ú×â Æ¥s¾ (x + a) ÀâyîÎâyy (x + b) ÖdpâÇéªÖâªÈygd pdÎâyÀâßây+×ây. ÉdÀâÃé×âXªgd Z»~k{âª×ây o pâÃé~kªÈ¨ En+Iªvâpây.x2 + mx + n o pâÃé~kªÈ¨ En+ Iªêépây. EÖâývâ m, n Ö³¾Q ¿xªfXÈy

162

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

m = (a + b) ÀâyîÎâyy n = (a × b) pâÃé~kªÈ¨ ÀâXÖâK~kpân ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâ Àâßây+×ây. Ö³¾Q ¿xªfXÈ Z~kZÑÎâyÈy EÖâývâ I~kÎrÃégâ ~kvây×â¾ °rÈy¿xyÖ³×r{âª.

prªvây |â×â ¿xªfXÈÀryy°âKª ÀâyîÎâyy gâyÇ È±Mª æévâ |â×â¿xªfX ´gây×ây.a ÀâyîÎâyy b Èy|â×â ¿xªfX ´Ìy×â a + b ÀâyîÎâyy ab |â×â ¿xªfXÈygd IªêéÌy. ¬¥¾ ÆȨÀâyÀâyy æévâ ¿xî ´gây×ây. 6 ÀâyîÎâyy 5 |â×â ¿xªfXÈÌy×â 5 = 3 + 2 ÀâyîÎâyy 6 = 3 × 2 ´gây×ây. 3 ÀâyîÎâyy 2 |â×â ¿xªfXÈy.

prªvây ±yyÇ ¿xªfXÈ Àryy°âKª ±yyÇ¿xªfX ÀâyîÎâyy Æ¥s gâyÇȱPª |â×â¿xªfX ́ gây×ây.a ÀâyîÎâyy b Èy ±yyÇ¿xªfXÈÌy×â a + b ±yyÇ ¿xªfX ÀâyîÎâyy ab |â×â ¿xªfX ´gây×ây. EÀâ] ±Ú×â ¿xªfXÈy 21 ÀâyîÎâyy –10 ́ Ìy×â –10 = (–7) + (–3) ÀâyîÎâyy 21 = (–7) (–3) ´gây×ây.

prªvây ¿xªfXÈ Îâyª{ây ~õ{âM ¿xªfX |â×⪠ÀâyîÎâyy n×âQ ¿xªfX ±yyǪ ´Ìy×â Æ¥s Àryy°âKª |â×â ¿xªfX ÀâyîÎâyy gâyÇȱPª ±yyÇ ¿xªfX ´gây×ây.

¬¥¾ ´pâLª OÀây×âgd, a ÀâyîÎâyy b ÈȨ a ~õ{âM¬ |â×â ¿xªfX b n×âQ¬, ±yyÇ¿xªfX ´Ìy×â a + b |â×â ¿xªfX ÀâyîÎâyy ab ±yyÇ ¿xªfX ´gây×ây.

ÀâyîÎâyy |a| > |b| ´gây×ây.a ±yyÇ ¿xªfX ÀâyîÎâyy b |â×â ¿xªfX ´Ìy×â |a| < |b| ´gây×ây.

I{dÝképâǪ ~kîú¥¶ªn×â, : a + b = 7ÀâyîÎâyy ab = –18 ´Ìy×â a = 9 ÀâyîÎâyy b = –2 ÈáÖâ a = –2 ÀâyîÎâyy b = 9 ZÀdÎâyÀâßây+×ây.prªvây ¿xªfXÈ Îâyª{ây ~õ{âM ¿xªfX ±yyǪ ÀâyîÎâyy n×âQ ¿xªfX |â×⪠´Ìy×â Æ¥s Àryy°âKª ±yyÇ ¿xªfX ÀâyîÎâyy gâyÇȱMª ±yyÇ ¿xªfX ´gây×ây.

a ÀâyîÎâyy bÈȨ a n×âQ¬, |â×â ¿xªfX ÀâyîÎâyy b ~õ{âM¬, ±yyÇ ¿xªfX ´Ìy×â. a + b ±yyÇ ¿xªfX ab ±yyÇ ¿xªfX ´gây×ây ÀâyîÎâyy.

163

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

I{dÝképâǪ ~kîú¥¶ªn×â,a + b = –12 ÀâyîÎâyy ab = –28 ´Ìy×â a = –14 ÀâyîÎâyy b = 2 ÈáÖâ a = 2 ÀâyîÎâyy b = –14 ´¾ ZÀdÎâyÀâßây+×ây. EÖâývâ ¿xªfXÈ ¿xÝkémgâyǪ×ây gâyîKªßâyêæÆ¥Èy Öd{ây. ~kòpâJ¿xªfXÈy, ́ Öâî¥JÎây ¿xªfXÈy ÈáÖâ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈygd Iªvây×ây. Æ¥s¾ gâyîªn Àâyyª{ây Àâßây+ °âpâgâ°âyÈÎâyª{ây ×ápây+ Ö³×r{âª.I{d 10 : 6x2 + 11x + 3 ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚÉd|â×â : EÖâývâ Àây|âX ~k{âÀâyy×ây Æv⬥û gâyª~kó ßáÎâyy Z~kÀâÃé§Öâ ~k{âP»¾ I~kÎrÃéЪßâÀâÈr×ây. 6x2 + 11x + 3 = 6x2 + 9x + 2x + 3

= (6x2 + 9x) + (2x+ 3) = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3)

= (3x + 1) (2x + 3)

ÆÅâʪßâyê {d]pd ×dXÎây ¿xª±ª|â ¿xÀây¿kX OÆ{âªgd OpâRvây×ây. Àây×⪠ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â {d]pd 6x2 + 11x + 3 = (ax + b) (cx + d) pâÃé~kªÈ¨ I×âQÀâ×âyÖ³¾×â 6x2 + 11x + 3 = acx2 + (ad + bc)x + bd Æ¿kKîªn×â OpâRvây×ây.{â°âK ¿xÀâÃé¿xª Ȩ¾ ~k{âªÈ×ây ¹è¶+×â. ac = 6, ad + bc = 11, bd = 3 ´Ìy×â ac bd= 18 ÈáÖâ (ad) (bc) = 18 ÀâyîÎâyy ad + bc = 11 ´gây×ây.gâyÇȱPª18 ÀâyîÎâyy Àryy°âKÀâyy 11 ´×âyprªvây ¿xªfXÈy×âQÆ. ad = 9, bc = 2 ÈáÖâ ad = 2, bc = 9 ´¾ Àrªê×á Àây×⪠¾pPdîªßâÀâßây+×ây.6x2 + 11x + 3 = acx2+(ad+bc)x+bd

= 6x2 + 9x + 2x + 3 ´¾ZÀdû Àây×⪠ÆÅâʪßâ Àâßây+×ây. (ad,bc) ~kîú¥¶ªn ad =2, bc =9 m°â ÆÈyÀâÈy I~kÎrÃéЪn×â6x2 + 11x + 3 = (6x2 + 2x) + (9x + 3)

= 2x(3x + 1) + 3(3x + 1)

= (2x + 3) (3x + 1) Àây×âæ OpâRvây×ây. E¬ ÀâÃéÀâyÃéÈygd

164

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

¿xÝkém ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â.¾ÎâyÀâyÀâyy : x2+ px + q ÀâÃé¬îgâÈ Z»~k{âª×ây ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâÀâÈÎâyy×â×âQab = qr ÀâyîÎâyy a + b = p {d]pd a ÀâyîÎâyy b ÆÈyÀâÈy Öâ×âyg³×âÀâßây+×ây.x2 + px + q= (x+a) (x+b) ´gây×ây.ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â ¾ÎâyÀâyª ×âª{ây ¬]»¥Îây ~kîÀâÃéǪgâÈ ±Ýkéy~k{⪠×âª{ây Z~k»

aÖâs Z~kzâÀây ~kîÀâÃéǪ ×âª{âygâÈ prªvây ±Ýkéy~k{âªÈ gâyÇȱMª ´¾gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây. E¬¬]»¥Îây ~kîÀâÃéǪ gâÈ ±Ýkéy~k{â ¾pdWǪ×ây °rÈy¿xy Ö³×âyêæ I~kÎrÃégâ ~kvây×ây. °âpâyÀd°â °âpâgâ°âyÈÎâyª{ây ±Ýkéy~k{â ¿xÆ¥yÖâpâǪÈy Édºªßâyê ¿xyÈÅâÀâygây×ây.

I{d 11 : x2 – 9x + 20 ÖdpâÇéªÖâ~kpâßâªÚ.Éd|â×â : a × b = 1 × 20 (x2¿xÝkégâyÇÖ⪠ÀâyîÎâyy ûLpdªÖâªÈgâyÇȱMª)ÀâyîÎâyy

a + b = –9 Iªvây×âê[y a ÀâyîÎâyy b ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âÀâÈÎâyy×ây. EÖâývâ gâyÇȱPª |â×âªÀâyîÎâyy Àryy°âKª ±yyǪIªvâyêÀâÈ×â prªvây ¿xªfXÈy æévâ ±yyǪgd Iª{âÀâÈr×ây prªvây ¿xªfXÈy æévâ ±yyǪgd IªvâÀâÈr×ây. a = – 5 ÀâyîÎâyy b = – 4 ´Ìy×â.

x2 – 9x + 20 = (x2 – 5x) + (– 4x + 20)

= x (x – 5) – 4 (x – 5)

= (x – 4) (x – 5) ´gây×ây.Àâpâ$ Z»~k{âªÈ ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â :

a2 + 2ab + b2 ÀâyîÎâyy a2 – 2ab + b2 pâÃé~kª ×âª{ây ZÀdÎâyy ²©m ¿xÀâÃé¿xª×ây Àâpâ$ Z»~k{⪠´ªêépây.

x2 + 2x + 1 ´×ây×⬠Àâpâ$ Z»~k{âª×âæ I{dÝképâÇa2 + 2ab + b2 = (a + b) (a + b) ÈáÖâ a2 – 2ab + b2 = (a – b) (a – b) ×ây~kÎrÃéЪn

Àrªê×á Àây×⪠ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâ Àâßây+×ây.I{d 12 : 4x2 + 12xy + 9y2 ÖdpâÇéªÖâ~kpâßâªÚ Éd|â×â : 4x2 + 12xy + 9y2

= (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2

= (2x + 3y)2

165

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Àây×⪠~kîú¥¶ªn×â (2x + 3y) ÀâyîÎâyy (2x + 3y) ´×ây×âÆ prªvây ¿xÀâÃé×â ÖdpâÇéªÖâªÈgây×ây.

I{d 13 : x2 – 6xy + 36y2 Àâpâ$ Z»~k{⪠´gây×d?Éd|â×â : ~kîú¥¶ªßâ×â x2 – 6xy + 36y2 = (x2) – (x)(6y) + (6y2) E¬ ¾îMÍk¦pâÃé~kª×âª{ây

Èá{ây ÖdÀâó×â x2 – 6xy + 36y2 Àâpâ$ Z»~k{⪠Öd{ây.AȨnªßâªÚ!

x2+1 ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâyê Éd|âXÀâÃé? ÀâyîÎryyÖâ Æ|âªgd prªvây ¿xªfXÈ Àryy°âKª (0) ÀâyîÎâyy Æ¥sgâyÇȱMª (1) Iªvây×âê[y Öâ×âyg³×âyê Éd|âXÀâÃé?

´ÅdX¿xª 2.2.3

1. ZѪ¬ Àd¾Îâyª{ây ȱPª pq ÀâyîÎâyy Àryy°âKª p + q EÀâ]±Ú×â¬. p ÀâyîÎâyy q È×ây ¾pPdîªßâªÚ: i) pq = 18 ÀâyîÎâyy p + q = 11

ii) pq = 32 ÀâyîÎâyy p+q= –12

iii) pq = –24 ÀâyîÎâyy p + q = 2

iv) pq = –12 ÀâyîÎâyy p + q = 11

v) pq = –6 ÀâyîÎâyy p + q = –5

vi) pq = – 44 ÀâyîÎâyy p + q = –7

2. ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ:i) x2 + 6x + 8 ii) x2 + 4x + 3 iii) a2 + 5a + 6

iv) a2 – 5a + 6 v) a2 – 3a – 40 vi) x2 – x – 72

3. ÖdpâÇéªÖâªÈy Öâ×âyg³×âªÚ :

i) x2 + 14x + 49 ii) 4x2 + 4x + 1 iii) a2 – 10a + 25

iv) 2x2 – 24x + 72 v) p2 – 24p + 144 vi) x3– 12x2 + 36x

166

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. ¿xî ´Ìy×â I°âKp⪠U×âyQÖ³×âªÚ:a) 4a + 12b æ ¿xÀâÃé×âª. A. 4a B. 12b C. 4(a+3b) D. 3ab) prªvây ¿xªfXÈ gâyÇȱMª |â×d°âWÖ⪠ÀâyîÎâyy Æ¥s Àryy°âKÀâyy ±yyÇé°âWÖ⪠ÀâÃéZ°âª

´Ìy×â A. prªvây×ây |â×d°âWÖ⪠B. prªvây×ây ±yyÇé°âWÖ⪠C. aÖâs |â×d°âWÖ⪠Àâyp³Öâs ±yyÇé°âWÖ⪠D. O{âÌy×â aÖâs ¿xy×âQæ ¿xÀâÃé×âªc) x2 +6x+8 ÖdpâÇéªÖâ ~kpân×â Àây×âæ È«ªßây×⬠A. (x+1) (x +8) B. (x+6) (x +2)

C. (x+10) (x-2) D. (x+4) (x +2)d) ²©méÎây «×âQpdú Îâyª{ây Ýkëp⪠UÈ[~kóRvây - Iªvâæévâ{ây A. 1 B. 0 C. 4 D. 7e) prªvây ~kòpâJ¿xªfXÈ Àryy°âKª -2 ÀâyîÎâyy Æ¥sgâyÇ È±Mª -24 ́ Ìy×â A¿xªfXÈy

OÀâ×âgd ? A. 6 ÀâyîÎâyy 4 B. -6 ÀâyîÎâyy 4 C. -6 ÀâyîÎâyy -4 D. 6 ÀâyîÎâyy -4f) (0.7)2 - (0.3)2 ¿xÃéÖ¡íWÖâîªn×â ¿xÃéÖâíW pâÃé~kª. A. 0.4 B. 0.04 C. 0.49 D. 0.56

2. ZѪ¬ Àds¾ ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ.

i) x2 + 6x + 9; ii) 1 - 8x + 16x2;

iii) 4x2 - 81y2; iv) 4a2 + 4ab + b2 ;

v) a2b2 + c2d2 - a2c2 - b2d2

167

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3. ZѪ¬ Àds¾ ÖdpâǪÖâ ~kpâßâªÚ.

i) x2 + 7x + 12; ii) x2 + x - 12;

iii) x2 - 3x - 18; iv) x2 + 4x - 21;

v) x2 - 4x - 192; vi) x4 + 5x2 + 4;

vii) x4 - 13 x2 y2 + 36 y4 4. ZѪ¬ Àds¾ ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ.

i) 2x2 + 7x + 6; ii) 3x2 - 17x + 20;

iii) 6x2 - 5x - 14; iv) 4x2 + 12 x y + 5 y2;

v) 4x4 - 5x2 + 1. 5. ZѪ¬ Àds¾ ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ.

i) x8 - y8; ii) a12x4 - a4x12;

iii) x4 + x2 + 1; iv) x4 - 5x2 + 9.6. x4 + 4y4 ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâªÚ ¬¥¾¾ I~kÎrÃéЪn (2011)4 + 64 ×ây ¿xªÎâyyÖâK

¿xªfX ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Édpdªµâª (¹dî ±d¸Öâ ~k{dÈy) (GLOSSARY)

ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖ⪠: prªvây ÈáÖâ UæýÀâ ¿xÀâÃé¿xªÈy EÀâ]±Ú×â Z~k» ¿xÀâÃé¿xª ÖdpâÇéªÖ⪠́ ¾Q ¿xÀâÃé¿xªÈæ ûLpâªgd Iªvây×ây.

ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â : En+×â ²©m ¿xÀâÃéÉdÈ×ây prªvây ÈáÖâ UæýÀâ ÖdpâÇéªÖdÈ gâyÇ È±Pªgd ZÀdÎâyyÆ|d×âª.

gâyîKªßây Ö¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy • gâyÇȱPdÈy OpâRvá Æ|d×d¾Ñ »p¨gâÀây×â Æ|d×âÀáy ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â.• ²©m ¿xÀâÃé¿xªÈ×ây ¿xî ´Ìy×â gâyª~kóÈy ßáÎâyyê ×âyªÚ ÀâyîÎâyy ~k{âªÈ×ây

ÆÅâʪßâyê {d]pd ÖdpâÇéªÖâ ~kpâßâ Àâßây+×ây.

168

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

169

Ådgâª-3

aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈyo Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpâyÀd°â o ZѪ¬ ÆÍkÎâÃéÈy °rÈy¿xy Ö³ªêépây

• aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÎryyÖâý ´pâLª• aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây Édºªßây Æ|d×⪕ ÀdÖâX pâÃé~k ¿xÀây¿kXÈ×ây ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇ pâÃé~kªÈ¨ ÀâXÖâK ~kpâßâvâª.• Édºªn×â ¿xÀây¿kXÈ×ây ¿xîßâÃéßâyê

2.3.1 ~kîßâÎâyª

o ´|dXÎâyªÈ¨ ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈ ¿xÝkégâyÇÖ⪠Iªvây aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇÀâyy×ây ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfdX ~k{âP»È¨ Édºªßâyê×ây °rÈy¿xy Ö³ª{dª.

aÖâ ¾îP~k¦ pâÃé~kªgâÈ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¾pâÃé~kÇ OÀây×âgd aÖâ ´ûLpâ ²©m g⧰⠿xÀâÃé¿xª ¿xy×âQæ ¿xÀâÃé¿xª ́ ¾ ßâpâpdú O{âÌy×â ÆÈyÀâæ ¾pâÃé~kÇ ¿x°âXª ÖdÀâÈû×â ́ Àâ¿xpâªÈá{ây. ÈáÖâ ßâpâpdµâyÈ ¾îMÍk¦ ÆÈyÀâÈy ¿xîÖdÀâÈÎâyy×ây.

I{dÝképâÇæ : 3x – 5 = 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ »¥¿xyÖ³×âªÚ. o ¿xÆ¥yÖâpâǪ x ~kòpJdªÖâ ÀâyÃéÈÀâyyÈ×ây Öâ¶Ð I×âQ¬. o ¿xÀâÃé¿xªÈ¨ ²©m~k{⪠xæ ~kòpJdªÖâ ÀâyÃéȪÈy I×dQÎâÃé ́ ¾ ßâÃéû×â O ~kòpJdªÖ⪠{d¾Ñ ¿xîÖd{ây.

±{âyÈygd aÖâ ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfX×ây ßâÃéû×â ,x 35= , ́ ×ây×⬠3x- 5 = 0 ÀdÖâXÀâyy×ây

¿xî ßâÃé¿kÃKé aÖâ ÀdÖâXª×ây °â½ÄK ~kpâßây ßâpâpdú ÆÈyÀâÈ×ây aÖâ ¿xÆ¥yÖâpâÇ ÀâyÃéÈÀâyyȪêépây.2x – 5 = x + 6 EêyÀâªs ÀdÖdXÈ×ây Ö³¾Q ¿xÀâyÎâyªÈª{ây gâÀây¾ªn Iªvâ

Àâßây+×ây. EÆ æévâ ¿xÆ¥yÖâpâÇ ¾îMÍk¦ pâÃé~kª ×âª{ây ÈáÀâó. Öd¾Àds¾ x-11=0 ¾îLÍk¦ pâÃé~kª Ȩ¾Ñ »¥¿xyÖ³¾ pdÀâßây+×ây.

aÖâ ÀdÖdX¾Q »¥¿xyÖ³¾×â ́ ¬ Ö³¾Q ~k{âP°âyÈÎâyª{ây O ÀâyÃéÈÀâyyÈ×ây ¹åª¬ Iªvâ{ây, Öd¾ E°âpâ ~k{âM°âyÈ Îâyª{ây {d¾Ñ ÀâyÃéÈÀâyyÈy Öâ¶Ð Iªvây×ây. ¬¥¾¾ Eª°âæ Àâyyª{á gâÀây¾ªn×dpây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

170

x2 -2 = 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfdX ÀâyÃéÈÀâyyÈy ¹åª{âÈáÀâó. Öd¾ Àd¿kKÀâ ¿xªfdX ~k{âP»È¨{d¾¾ ÉdºªßâÀâßây+×ây. Ö³°âK ~k{âM»¾ ~kîßâÎâyª ßáÎâyyê ÀâyyfX I{áMµâXª OÀây×âgd o ¿xÆ¥yÖâpâÇÀâyy×ây Édºªßâyê.

x2 + 1 = 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây Àd¿kKÀâ ¿xªfdX ~k{âM»È¨ Édºªßâyê ´Éd{âXª. ÀâyîÎâyy ´«À⽬P ßrª¬×â ¿xªfdX ~k{âM» ´Ìy×â ¿xªÖ¡pâJ ¿xªfdX ~k{âM» (ÆyZµâÀây ~k{âM») Ȩ ¬¥¾¾ ÉdºªßâÀâßây+×ây. ́ ¾ Àâyyª{ây °rÈy¿xy Ö³×r{âª. ÖdÀâó×â ÀâyÃéÈÀâyyÈy UÖâývâ ¹dª{â ÀâÈÎâyy×ây ´×ây×⬠aÖâ g³~kR Z¹dÀâyyfX ÆÍkÎâyª.

aÖâ ßâpâpdú ²©m¿xÀâÃé¿xª ¿xy×âQæ ¿xÀâÃé¿xª ´×ây×⬠aÖâ ßâpâpdú ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÎryyÖâý ¾pâÃé~kÇ. aÖâ ²©m ~k{⪠ÁkÃé°âª aÖâs ´Ìy×â {d¾¾ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ´×âÀâßây+×ây. aÖâ ßâpâpdú I×âQ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇ ÉdÀâÃé×âX pâÃé~kª ax + b = 0, (a ≠ 0) ´gây×ây.

EÖâývâ x ßâpâpdú , a ÀâyîÎâyy b Èy ûLpâ pdµâyÈy.I{dÝképâÇæ : x – 9 = 0;

5x – 30 = 0

x53

31 0+ =

aÖâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ Édºªßâyê ´ªêr OÆys? aÖâ ÀdÖâXª ×âª{ây Ö³¾Q ²©m ¿xÀâÃéÉdÈy ¿xy×âQæ ¿xÀâÃé¿xª ´×ây×⬠ßâpâpdú ÎryyÖâý

´¾Q ÆÈyÀâÈy ¿xî ´¾ ßr~kRÀâßây+×ây. Ö³¾Q ßâpâpdú ÆÈyÀâ ÈáÖâ ÆÈyÀâÈy ÀdÖâXÀâyy×ây ¿x°âXÀây¾ Àr~kRÀâßây+×ây. ßâpâpdú OÆÈyÀâÈy ÀdÖâXª×ây °â½ÄK~kpâßâyר Àds¾ ¿xÆ¥yÖâpâÇ ÀâyÃéÈÀâyyȾ ßr~kRÀâßây+×ây.

aÖâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÀâyÃéȪ ÈáÖâ ÀâyÃéÈÀâyyÈy ¹åª{ây ¾ÎâyÀâyÀâyy×ây ¿xÆ¥yÖâpâǪ Édºªßâyê ´ªêépây.

ax + b = 0. ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇÀâyy×âæ Àây×âæ ÖdÀâÈû×â ¿xªfdX~k{âP»È¨ ÀâyÃéÈÀâyyÈ×ây ¹åª{âyê

Àây×âæ °r¶Îây×ây. a ÀâyîÎâyy b ~kòpJdªÖ⪠Ȫ{ây b ´×ây×⬠a ×âyªÚ ÅdЪßâ ±vây×ây ´×âQ~kóRvây ÀdsÀâyÃéÈÀâyyÈy ~kòpJdªÖâ ÀâyÃéȪÈgâyêæ Éd|âXªÖd{ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

171

´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfdX ~k{âM°âyÈ×ây~k ÎrÃéЪn×â Àây×âæ fn+°âªgd AÀâyÃéÈÀâyyÈy ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈá ´gây×ây. ~kòpâJ¿xªfXÈ×âyªÚ ´Öâî¥JÎây ¿xªfXÈæ ¹èÌy×â Àâßây+ Ák¶°âª E¬. ÖdÀâó×â ¬¥¾¾ A|dpâªgd IªßâyÖ³¾ ÀdÖâXª×ây ßr~kR Àâßây+×ây.

aÖâ ´Öâî¥JÎây ¿xªfX ¿xÝkégâyÇÖâÀâyyÈy Öâ¶$I×âQ aÖâ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ax + b = 0, a ≠ 0 ´Ìy×â ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfdX ~k{âM» Îâyª{á aÖá aÖâ ÀâyÃéȪ ¹åª{â Àâßây+×ây.

x = ba-1 EÖâývâ a-1 ´×ây×⬠a gâyÇÖdpâ ÆȨÀâyª ´¾ Édºªßâyê Îâyª{ây Àây×âÀâyy ZÀdÎây Àâßây+×ây. ¿xy×âQæ ¿xÀâÃé×⪠Öd¾ aÖâ ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈ gâyÇÖdpâ ÆȨÀâyª ́ ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfX ´¾ Eª°âæ Àâyyª{ây ´Öâî¥JÎây ¿xªfdX ZÖâÀâyª ×âª{ây Zgâþéªn×dpây.

Àd¿kKÀâ ¿xªfdX ~k{âM» Îâyª{ây ÀâyÃéÈÀâyyÈy Àây×âæ ÖdÀâÈû×â~kóvây Àd¿kKÀâ ¿xªfdX ~k{âM» Îâyª{ây æévâ ¿x°âXª ´¾ °âpâyÀd°â °rÈy¿xy Ö³ªêépây. (¿xy×âQ Èá¾ gâyÇÖdpâ ÆȨÀâyÀâyyÈæ E¬ ¿x°âXª ´¾ O ¿xªfdX ~k{âM»È¨×âÌy×â Öâ×â ±vây×ây) 2.3.2 aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪÈy Édºªßâyê.

5x – 15 = 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây »¥¿xyÖ³¾×â x ÎryyÖâý ÆÈyÀâ ÈáÖâ ÆÈyÀâÈ×ây Àây×⪠Öâ×ây g³×r{âª. EÖâývâ Àây×⪠ÀâyyfX ÀâyÌy×â ¿k]Îâyª û{âPª È×ây I~kÎrÃéЪßr{âª. Àds¾ ÀâypâÈ páfdg⧰⪠×âª{ây ßâ¬Àr{âª

1. ¿xÀâÃé¿x ~k{âªæ ¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈ×ây æéÚ×â ÀâypâÈ Àây×⪠¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈy ¹åª{r{âª.

a = b Àây×⪠´×âyÖ³¾×â O{âÌy×â c æ, a + c = b + c Àây×âæ È«ªßây×ây. I{dÝképâǪæ : x - 5 = 0 EÀâ] ±Ú×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×âª{ây EpâyÀrô~kóÈ 5×ây æéÚ×â

¿xÆ¥yÖâpâÇ ¿xÀây°âXª×ây Öd¹dvây×â¾ ¿k]Îâyª û{âMª ßr~kóR×ây, ÖdÀâó×â (x - 5) + 5 = 0 + 5;

´gây×ây.{d¾Îâyª{ây a, b, c ²©m ¿xÀâÃé¿xª×âª{ây ~k{âªÈy Z~kÀâyyfª ÀâyîÎâyy gâÀây¾ªnÀâÈû×â ´ªµâÀâyy.

3x + 2 = 5 - x ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây; (3x + 2) + (x - 5) = (5 - x)+(x-5)= 0 ÈáÖâ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

172

4x - 3 = 0 ¿k]Îâyª û{âMªÈy ÀâyîÎâyy E°âpâ ÀdÖâXªÈy gâÈ ²©m ¿xÀâÃé¿xªÈy Æv⬥Îâyyê Îâyª{ây Z~kÀâyyf ¹dZ°â Àâþéªßây×ây.

2. ¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈæ ¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈy »¥û Àáû×â ÀâypâÈ Àây×⪠¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈy ¹åª{r{âª.

a = b ´Ìy×â a – c = b – c ´gây×ây. x + 5= 2x - 6 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây EpâyÀrô~kóÈ,x - 6 ¿xÆ¥yÖâpâǪ »¥ûÀáû×â (x +5) - (x-6) = (2x-6)-(x-6) ÈáÖâ 11=x ¹åª{r{âª.

ÀâXÀâÖâÈ×âª×ây ¿xªÖâÈ×â ÆȨÀâyªgd æévâyê ´¾ gâÀây¾ªn×â. ÀdÖâXª 1 ÀâyîÎâyy 2 ×âª{ây UæýÀâ ÀâX°dX¿xª Öâ×â±vâ{ây. ¿xªfXÈæ ¿xªÖâÈ×â ÆȨÀâyª×ây ÀdXfdX ¾ªßây×âêá[ ±Ýkéy~k{âªÈ ÆȨÀâyÀâyyÈ×ây ¹åª{âÀâßây+×ây. OgâyÇ |âpâWÀâyyÈy ~kòpâJ ¿xªfXÈæ ¿xî ́ gâyר ´{áÆ|âªgd ±Ýkéy~k{âªÈæ æévâ ¿xî ´gây×ây.

I{d 1 : x - 15 = 0 ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q ÉdºªßâªÚ.

Éd|â×â : ¿k]Îâyª û{âLª 1 Z~kÖdpâÀâyy ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q, 15×ây æéÚ×â

x - 15 + 15 = 0 + 15 = 15;

x - 15 + 15 = 15;

x = 15

I{d 2 : x + 9 = 20 ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q ÉdºªßâªÚ.

Éd|â×â : E¬ ÉdÀâÃé×âX pâÃé~kªÈ¨ Èá{â¾ Àây×⪠gâÀây¾ªßâ Àâßây+×ây. Epây Àrô~kóÈ 20¾ »¥û Àáû×â ÉdÀâÃé×âX pâÃé~kª×âª{ây o ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây ¹åª{r{âª. (x + 9) - 20 = 20 - 20 x + 9 - 20 = 0; x - 11 = 0 .E~kóRvây ÉdÀâÃé×âX pâÃé~kª¿xª{ây×âQ¬ EpâyÀrô~kóÈ 11 ×ây æéÚ×â x - 11 + 11 = 0 + 11 ÈáÖâ x = 11 o prªvây Æ|d×âªÈ×ây ÖâÈÄ ÀâypâÈ °âÖâýÀâ Ýk骰âªÈæ °âÐ$ªßââ Àâßây+×ây. E¬ UÈégâªêr, EpâyÀrô~kóÈ 9×ây »¥ûÀáû×â

, (x + 9) – 9 = 20 – 9; ÈáÖâ x = 11 ´gây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

173

I{d 3 : 2x – 3 = (x + 8) ÉdºªßâªÚ.Éd|â×â : EÖâývâ EpâyÀrô~kóÈ ²©m ¿xÀâÃé¿xª I×âQÆ ´¾gâÀây¾ªßâÀâÈÎâyy×ây. aÖâÀáÔâ

EpâyÀrô~kóÈ (x – 3) »¥ûÀáû×â

(2x – 3) – (x – 3) = (x + 8) – (x – 3)

x = 11 æ ¿xÀâÃé×âÀâygây×ây3. ¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈæ ¿xÀâÃé×â ~k{âªÈy gâyǪn×â Àây×âÀâyy ÀâypâÈ ¿xÀâÃé×â ~k{âªÈy

¹åª{r{âª.

a = b ´Ìy×â O{âÌy×â c æ ac = bc ´gây×ây.

I{dÝképâǪæ : x2

1= ´×âyÖ³¾×â Epây Àrô~kóÈ 2 ßá gây§ªßâgd

x2

2 1 2# #= ; x = 2´gây×ây.4. ¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈæ EpâyÀrô~kóÈ ¿xy×âQÈá¾ ¿xÀâÃé¿x ~k{âªÈ×ây ÅdЪn×â ÀâypâÈ Àây×âª

¿xÀâÃé×â ~k{âªÈ×ây ¹åª{r{âª.

a = b ÀâyîÎâyy c ≠ 0 ´Ìy×â,ca

cb

= ÅdgâÝkëpâª, gâyÇÖdpâ ÆȨÀâyª ×âæ ¿xÀâÃé¿xª

´¾ ÀdÖâXª 3, °r¶Ä×â ÀdÖâXª 4 æ ¿xÀâÃé×â Àâygây×ây.

I{d 4 : x3

9= ÉdºªßâªÚ.

Éd|â×â : EpâyÀrô~kóÈ 3 ßágây§ªßâgd, x3

3 9 3# #=

x = 27 ´gây×ây.

I{d 5: x92 5= ÉdºªßâªÚ.

Éd|â×â : EpâyÀrô~kóÈ29 ßágây§ªßâgdÈáÖâ Àryy{âê 9ßágây§ªn °âpd]°â 2 ßáÅdЪßâgd,

x92

29 5

29

# #= x245= ´gây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

174

I{d 6 : 15x = 120 ÉdºªßâªÚ.

Éd|â×â : 15x = 120 EpâyÀrô~kóÈ15 ßá ÅdЪßâgd x1515

15120

= ⇒ x= 8 ´gây×ây

Éd|â×â : EpâyÀrô~kóÈ 13 ßáÅdЪßâgd

y1313

13100= Àây×âæ È«ªßây×ây

y13100=

aÖâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ Édºªßây×â~kóRvây Z~kÀâyyfÀryô×â Ýk骰âÀâyyÈy ÆÈyÀâ ~kîú¥¶ªßâÀâÈr×ây ÆÈyÀâ pd±ê¦yêæ ÀdÖâXÀâyy ´{áúªn×â ¿xî ´gây×d ÈáÖâ Öd{â ´×ây×d¬ ~kîÑíªßâÀâÈr×ây. ²©m ¿xÀâÃé¿xª ÆÈyÀâ En+×â ¿xÆ¥yÖâpâÇÀâyy×âª{ây ´{áúªn ¿xîßâÃévâÀâÈr×ây m°âæ ÀdÖâXª ¿x°âX ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âæ ¿xî ßâÃévâÀâÈr×ây.

I{d 8 : 2 ´×ây×⬠3x – 5 = 19 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÆÈyÀâ ´gây×d?

Éd|â×â : En+×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×âª{ây x= 2 ×ây Z~k»ÖáíĪßâgd EpâyÀrô~kóÈ ÆÈyÀâ È«ªßây×ây 3x – 5 = 3(2) – 5 = 6 – 5 = 1 E¬ ÆÈyÀâ. Öd¾ ¿xÆ¥yÖâpâǪæ æ.ßá.Z~k ÆÈyÀâ 19 ́ Ìy×⬠1 ≠ 19 ÖdÀâó×â. x = 2 U.ßá.Z~k ÆÈyÀâæ ¿xÀâÃé¿xª Öd{ây. ÖdÀâó×â x = 2 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÆÈyÀâ Öd{ây.

I{d 9 : 7 ´×ây×⬠2x – 4 = 10 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÆÈyÀâ ´gây×d?

Éd|â×â: x = 7 ×ây EÀâ]±Ú×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây Iªßâgd.

æ.ßr.Z~k = 2x – 4 = 2 × 7 – 4 = 14 – 4 = 10 ÀâyîÎâyy æ.ßr.Z~k = 10 ÖdÀâó×â U.ßr.Z~k ÆÈyÀâ = æ.ßr.Z~k ÆÈyÀâ. x= 7 ´×ây×⬠2x – 4 = 10 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÆÈyÀâ ´gây×ây.

I{d 10 : 2x – 3 = 7 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây ÉdºªßâªÚ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

175

Éd|â×â: EpâyÀrô~kóÈ 3×ây æéÚ×â. 2x – 3 + 3 = 7 + 3, 2x = 10 Àây×âæ È«ªßây×ây. EpâyÀrô~kóÈ 2ßá ÅdЪßâgd. x

22

210= ⇒ x = 5 È«ªßây×ây.

Àây×âæ Ák¶°âª Àân+×⬠´¾ ¿xîßâÃévâÀâÈr×ây x = 5 ÆÈyÀâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ UvâÀây Àrô~kó ×âª{ây A{áúªn×â 2x – 3 = 2(5) – 3 = 10 – 3 = 7 æÚ Àrô~kó ¿xÀâÃé×â ÆÈyÀâ È«ªßây×ây.

ÖdÀâó×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¿xî ́ Ìy×â¬. ¿xÆ¥yÖâpâǪ Édºªßây×â~kóvây ́ ×áÖâ Ýk骰âªÈy °âæýÀâ ßá¿xy Ö³×â Àâßây+×ây. 2x – 3=7 ¿xÆ¥yÖâpâǪ »¥¿xyÖ³¾×â. 2x = 3+7 ÀâÃéÀâyÃéÈygd Àây×⪠ZÀdÎâyÀâßây+×ây. ¾mªgd EpâyÀrô~kóÈ 3×ây æéÚ×âê[y ´gây×ây o Ýk骰âª×ây ÆÅâʪßâgd Àây×â¿kyb ×âª{ây NÝkéªßâyÖ³¾ ZÀdÎây Àâßây+×ây.

2x – 3 + 3 = 2x. – 3×ây Àápá ߨêyæ ¿kLÔ骰âp⪠ßáÎâyy×â{á o Ýk骰âª. E¬ ´» ú¥ZÁkyªgd ~k¾ßáÎâyy ¿xyÈÅâ Æ|d×⪠EpâyÀrô~kóÈ 2 ßá ÅdЪßây×âê[y Àây×â¿kyb×âª{ây ´×âyÖ³¾ x=5 ´¾ ZÀdÎâyÀâßây+×ây. ²©m¿xÀâÃé¿xªÈ×ây æévâ ¿kLÔ骰âp⪠ßrª¬ªßâ Àâßây+×ây.

I{d : 4x – 3 = 3x + 2 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ´Ìy×â, 3x×ây UvâÀây Àrô~kó×âæ ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â ÀâyîÎâyy – 3×ây æÚÀrô~kó×âæ ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â Àây×âæ 4x – 3x = 3 + 2, x = 5 ´gây×ây.

I{d 11 : 5x – 12 = 10 – 6x ÉdºªßâªÚ.Éd|â×â: –6x ×ây æÚÀrô~kó ÀâyîÎâyy –12 ×ây UvâÀây Àrô~kó×âæ ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â Àây×âæ ⇒5x + 6x = 10 +12 È«ªßây×ây. ⇒11x = 22 x = 2

¿kLÔ骰âpâ ¾ÎâyÀâyª:- aÖâ~k{⪠ÈáÖâ ÆÈyÀâ×ây ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÎryyÖâý aÖâ Àrô~kó×âyªÚ ÀâyîÎryyÖâ Àrô~kó×âæ ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â ́ ~k{⪠ÈáÖâ ÆÈyÀâ gâypâKyÈ×ây ÀâÃépâyR ßáÎây ÀâÈÎâyy×ây.

´ª{âyÀâÈ×â Eª°âæ Àâyyª{ây I{d (10) ×âª{ây –6x ×ây +6x gd×ây ÀâyîÎâyy –12

ÆÈyÀâ×ây +12 ÆÈy×â ´gây×ây.I{d 12 : 8x – 3 = 9 – 2x ÉdºªßâªÚ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

176

Éd|â×â: ßâpâpdµâyÈy aÖâ Àrô~kó ÀâyîÎâyy ûLpâpdµâyÈy ÀâyîÎryyÖâ Àrô~kó ¿kLÔ骰âp⪠ßáÎâyÀâÈÎâyy×ây, 8x + 2x = 9 + 3 Àây×âæ È«ªßây×ây.

⇒ 10x = 12 ÈáÖâ x1010

1012=

x1012

56& = =

x56` =

I{d 13 : 8x + 9 = 3(x – 1) + 7 ÉdºªßâªÚ.Éd|â×â : 8x + 9 = 3x – 3 + 7 = 3x + 4 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây 8x + 9 = 3x+ 4 ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â 8x – 3x = 4 – 9, 5x = –5, x

55

55& = - x = –1 ´gây×ây. {d¾¾ ¿xîßâÃéû×â, 8x + 9

= 8(–1) + 9 = –8 + 9 = 1 ÀâyîÎâyy 3(x – 1) + 7 = 3(–1–1) + 7

= 3(–2) + 7

= –6 + 7 = 1

∴ x = –1Ák¶°âª ´gây×âyI{d 14 : x x

32

83

127= + ÉdºªßâªÚ.

Éd|â×â: EÖâývâ ÝkëpâªÈÖâ Édgâyßá EpâyÀrô~kóÈ gây§ªßâÀâÈÎâyy×ây 3, 18, 12È Öâ.Éd.gây= 24

(EÖâývâ O ¿k]Îâyª û{âMª×ây I~kÎrÃéЪßdpây?) x x32 24

83

127 24= +` `j j

16x = 9x + 14 ¿xÃéÖâíW pâÃé~kªÈ¨ ÀâÃéî+×â. 16x - 9x = 14 7x = 14 x = 2 x = 2 ´×ây×⬠Ák¶°âª ¿xî ´¾ fn+°âª ßáÎâyyêæ {d¾¾ ¿xî ßâÃévâ Àâßây+×ây.ÝkëpâªÈ Öâ.Éd.gây ßá Epây Àrô~kóÈ gây§ªßâyê I~kÎrÃég⪠´gây×d? ¿xÆ¥yÖâpâÇ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

177

~kòpJdª ÖâÀâyyÈy ZÖ³°âK ¿xÀâÃé¿xª ÎryyÖâý ¿xÝkégâyÇÖâªÈÀâó°dÌy. ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¿xyÈÅâªgd Éd|âªßâÀâßây+×ây. ¿k]Îâyª û{âMªÈ¨ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ÀâÃépâyR ßáÎâyyêæ ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈ ¿xÝkégâyÇÖâªÈy ~kòpâJ ¿xªfXÈ ¿xÝkégâyÇÖâªÈæ I~kÎrÃégâ ~kvây×ây.

I{d15 : x x x5

2 72

3 113

2 8 5+ = + = + - ÉdºªßâªÚ Éd|â×â : ´¾Q «×âQªÈ ÝkëpâªÈy 2, 3, 5 ´¾ °r¶Îâyy×ây Àds Öâ.Éd.gây=30

¿xÆ¥yÖâpâǪ ´ª°âs¾ 30 ßágây§ªßâgd. x x x

52 7 30

23 1 30

32 8 30 5 30# # # #+ - + = + -` ` ` ^j j j h

6(2x + 7) – 15(3x + 1) = 10(2x + 8) – 5(30)

12x + 42 – 45x – 15 = 20x + 80 – 150

12x – 45x – 20x = 80 – 150 – 42 + 15

–53x = 53

x = –1 ´gây×ây.En+×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×âª{ây x = –1 Z~k» ãáĪßâgd U.ßá.Z~k ÆÈyÀâ æ.ßá.Z~k ÆÈyÀâæ

¿xÀâÃé¿xª ´¾ ¿xî ßâÃévâÀâßây+×ây. I{â 16 : (x+ 4)2 – (x –5)2 = 9 ÉdºªßâªÚÉd|â×â : ¬¥¾¾ gâÀây¾ªn×â ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ Öd{â¾ ´×âyÖ³×âÀâßây+×ây. {d¾¾ ¿x°âX

¿xÆ¥yÖâpâǪ ×ây~kÎrÃéЪn Æ¿kKîªn×â.x2 + 8x + 16 – x2 + 10x – 25 = 9

⇒18x – 9 = 9 ´gây×ây ⇒18x = 18 ⇒ x = 1 ´×ây×⬠Ák¶°âª ´¾ ¿xyÈÅâªgd ¿xî ßâÃévâÀâßây+×ây.AȨnªßâªÚ!

1. ax + b = 0, a ≠ 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây Édºªßâyê °rÈy¿xy Ö³×dQpây. xab= - ́ ×ây×â¬

OÖrôôÖâ I°âKp⪠ax + by +c=0, a ≠ 0,≠ b ≠ 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ́ Ìy×⬠Öd¾ x ÀâyîÎâyy y´×ây×âÆ prªvây ßâpâpdµâyÈy. EêyÀâªs ¿xÆ¥yÖâpâǪÈy Édºªßâyê Éd|âXÀâÃé?

a, b, cÈy ~kòpJdÖâªÈÌy×â, x ÀâyîÎâyy y?ÆÈyÀâÈy ~kòpJdªÖâªÈy ´gâyê Éd|âXÀâÃé?2. (x +1)2 = x 2+2x+1 ÉdºªßâÀâßây+×d?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

178

´ÅdX¿xª 2.3.2

1. ZѪ¬ Àds¾ ÉdºªßâªÚ : i) x + 3 = 11 ii) y – 9 = 21 iii) 10 = z + 3 iv) x

113

119+ =

v) 10x = 30 vi) 4s7=

vii) x63 10= viii) 1.6 =

.x1 5

ix) 8x – 8 = 48 x) x3

1157+ =

xi) x5

= 12 xii) x53 15=

xiii) 3(x + 6) = 24 xiv) x4

8 1- =

xv) 3(x + 2) – 2(x –1) = 7

2. ¿xÆ¥yÖâpâÇé¶Q ÉdºªßâªÚ.i) 5x = 3x + 24 ii) 8t + 5 = 2t – 31

iii) 7x – 10 = 4x + 11 iv) 4z + 3 = 6 + 2z

v) 2x – 1 = 14 – x vi) 6x + 1 = 3(x – 1) + 7

vii) x x52

23

21- = + viii) x x

53 2

52- - =

ix) 3(x + 1) = 12 + 4(x – 1) x) 2x – 5 = 3(x – 5)

xi) 6(1 – 4x) + 7(2 + 5x) = 53 xii) 3(x + 6) + 2(x + 3) = 64

xiii) m m32 8

21+ = - xiv) x x

43 1 3- = -^ h

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

179

2.3.3 ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Ñ ¿xª±ªºªn×â ¿xÀây¿kXÈy

aÖâ ßâpâpdú I×âQ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪÈæ ´×â]Ìyªßây×âê[y Ö³¾Q Z~kÎrÃégd°âWÖâ ÆÍkÎâyÀâyyÈ×ây ßâî+ªßr{âª

I{d 17 :aÖâ ¿xªfX 7 prê[æ 11 æéÚ×â~kóvây 81 ´gây×ây. A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â :Ö³¾Q Ýk骰âÀâyyÈ×ây ~kÎrÃéЪn Öâ×âyg³×r{âª.

Àryê¦y1 : aÖâ ¿xî ´Ìy×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âæ {â°Kdªµâª×ây ~kîÀâîKªßâªÚ. A ¿xªfX x ´×âyÖ³×âªÚ. x ÆÈyÀâ Àây×âæ °r¶Îây{ây. En+×â {â°KdªµâªÈ×ây I~kÎrÃéЪn ́ ÀâXÖâK ÆÈyÀâ x Iªvây ×âê[y aÖâ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q pânªßâªÚ. A ¿xªfX 7 prê[y ´×âgd {d¾ ÆÈyÀâ 7x ´gây×ây {d¾Ñ 11 æéÚ×â 7x + 11 ´gây×ây. ´~kóRvây o ¿xÀây¿kX 7x + 11 = 81´gây×ây.

E¬ ´ÀâXÖâK ~k{⪠x Öâ¶Ð×â ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ Öâ{d?

Àryê¦y 2 : 7x + 11 = 81 ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q ÉdºªßâÀâÈr×ây. o ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây Édºªßây E°âpâ Æ|d×âªÈy Æ¥ypây Eª°âæ Àâyyª{ây °rÈy¿xy Ö³×dQpây. 11×ây ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â 7x = 81 – 11

⇒ 7x = 81 – 11⇒ 7x = 70 ⇒ x = 10 (7ßá ÅdЪßâgd)

Àryê¦y 3 : o ¿xÀây¿kXÎâyª{ây x = 10 ÀdÖâXª ¿xî ´gây×d ´¾ ¿xîßâÃévâÀâÈr×ây.

o ¿xªfX 10 ´Ìy×â ¬¥¾ 7prê[y 7 × 10 = 70 ´gây×ây. 70 Ñ 11 æéÚ×â 81 ´gây×ây {d¾×á {â°Kdªµâª ´¾ ßr~õR{âª.

ÖdÀâó×â x = 10 ¿xî ´Ìy×â I°âKpâª

I{d 18 : ûî °â¶[ Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb ûî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb Öâ×âQ3prê[y×âQ¬. 5 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â Àdî ÀâÎây¿kybÈ Àryy°âKª 66 ¿xªÀâ°âbpâªÈy. ́ Ìy×â Àdî{âMî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kybÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ?

Éd|â×â : o ¿xÀây¿kX×ây ´×áÖâ Ýk骰âªÈ×ây~kÎrÃéЪn I°âKpâÀâyy×ây Öâ×âyg³×â Àâßây+×ây. ûî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb x ´×ây Ö³×âªÚ. ´~kRvây ûî °â¶[ Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb 3x ´gây×ây. 5

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

180

¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â, ûî ÀâÎây¿kyb ÀâyîÎâyy ûî °â¶[ ÀâÎây¿kybÈy ZÖâÀâyªgd x +5 ÀâyîÎâyy 3x +5 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ´gây×ây ÈrÖâýZ~kÖdpâª, E{âMî ÀâÎây¿kybÈ Àryy°âKª 66 ÖdÀâÈÎâyy×ây

ÖdÀâó×â, (x + 5) + (3x + 5) = 66 aÖâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ´gây×ây. E~kóRvây {d¾Îâyª{ây x

ÆÈyÀâ×ây¿xyÈÅâªgd Öâ×âyg³×â Àâßây+×ây. 4x + 10 = 66 ¾ ¿kLÔ骰âp⪠ßáû×â4x = –10 + 66; 4x = 56

ÈáÖâ x = 14 {d¾ ´pâLª OÀây×âgd. 14 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ûî °â¶[ Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb 14 × 3 = 42 ¿xªÀâ°âbpâªÈy

o ¿xªfXÈy Àây×â ¿xÀây¿kX ÀdÖâXª×âª{ây ¿xî ´gây×d ´¾ ~kîú¶ªßâ ÀâÈÎâyy×ây.5 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â, ûîÀâÎây¿kyb 14 + 5 = 19 ¿xªÀâ°âbpâªÈgây×ây. ûî °â¶[ ÀâÎây¿kyb 42 + 5 = 47 ¿xªÀâ°âbpâªÈgây×ây. E~kóRvây Àdî{âMî Àryy°âKª19 + 47 = 66 ¿xªÀâ°âbpâªÈgây×ây E¬ En+×â ÀdÖâXª ÆÈyÀâæ ¿xÀâÃé¿x Àâygây×ây. ÖdÀâó×â ûî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb 14 ¿xª°âbpâªÈy ûî °â¶[ Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb 42 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ´¾ ¾pPdîªßâ Àâßây+×ây.

I{d 19 : 3 ZÖâÀây ¿xî ¿xªfXÈ Àryy°âKÀâyy 252 ´Ìy×â A ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ?Éd|â×â : ÀâyÃévây ¿xî ¿xªfXÈ Îâyª{ây ´» n×âQ ¿xî ¿xªfX x ´×âyÖ³×âªÚ.

°âpâyÀd°â Æyж×â ¿xªfXÈy x + 2 ÀâyîÎâyy x + 4 ´gây×ây. Uª{âyÖâ×âgd OÀâÌy×â 2 ZÖâÀây ¿xî ¿xªfXÈ Àây|âXÅá{⪠2 ´gây×ây. En+×â ÈrÖâý Z~kÖdp⪠x + (x + 2) + (x + 4) = 252

⇒ 3x + 6 = 252

⇒ 3x = 252 – 6

⇒ 3x = 246

⇒ x = 82

x = 82

x+ 2 = 82 + 2 = 84

x + 4 = 82 + 4 = 86

82 + 84 + 86 = 252 ¿xî ßâÃéû×â Àân+×â Ák¶°âª ¿xî ´Ìy×⬠´¾ ßr~kRÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

181

I{d 20 : aÖâ Z»Åâymª ßâyê¦y ֳȰâ 14 ¿õª.Æ¥y ÀâyîÎâyy Àds ÅâymªÈy x+ 4, 3x + 1 ÀâyîÎâyy 4x + 1 ´Ìy×â x ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

»Åâymª ÀâyÃévây ÅâymªÈ Àryy°âKª Z»Åâymª ßâyê¦yֳȰâ. ÖdÀâó×â x+ 4, 3x + 1 4x + 1 Å â ymªÈÌy× â , {d¾ ß â yê ¦ yֳȰ â (x + 4) + (3x + 1) + (4x + 1) = 8x + 6 {â°Kdªµâª Z~kÖdp⪠8x + 6 = 14 ´gây×ây. 8x Édºªn×â °âpâyÀd°â , x = 1 Àây×âæ È«ªßây×ây.

ÖdÀâó×â ÅâymªÈy x + 4 = 1 + 4 = 5 ¿õª. Æ¥y. 3x + 1 = 3 × 1 + 1 = 4 ¿õª. Æ¥y. 4x + 1 = 4 × 1 + 1 = 5 ¿õª. Æ¥y.∴ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÅâyméÈy 5, 4, 5 ¿õª. Æ¥y. ´gây×ây.g⧰⠿xÃéZ»¥ÖâpâÇ~kó Z~k» ¿xÀây¿kXÈæ ´¾Q ÀáÔâÈÎâyª{ây ¿xÀâyªm¿xª Öd{ây ´¾

´ª{âî Àây×â¿kybÈ×ây ßâªßâÈ ~kpâßâÀâßây+×ây. Z»Åâymª ÎryyÖâý ÅâymªÈy ZÖâÀâyªgd x , x + 1 ÀâyîÎâyy x + 3 ´¾ EÀâ] ±Ú×â {d¾ ßâyê¦y ֳȰâ 10 ÎâyÃé¾ê¦yÈy ´¾ Z»Åâym ÅâymªÈ×ây °rÈy¿xy Ö³×âyÀâyy ́ ¾ ́ ÚÐ×â x + (x + 1) + (x + 3) = 10 ́ ¾ ¿xÆ¥yÖâpâǪ ZÀdû Édºªn×â x = 2 Àây×âæ Àâßây+×ây. ´~kóRvây ÅâymªÈy ZÖâÀâyªgd

2, 3, 5 ´Ìy IªvâÀâ Èr×ây Öd¾ Àd¿kKÀâªgd 2, 3, 5 ÎâyÃé¾ê¦yÈ Z»Åâymª Iªvâ{ây Uª{ây Öâªêá Z»ÅâymÅâymªÈy Z»Åâymª A¿xÀây°â]ª×ây ¹åª¬ Iªvâ ÀâÈr×ây. A Z»Åâymª ´¿xÀây°â]ª "O{âÌy×â prªvây ÅâymªÈ Àryy°âKª ÀâyÃévâÀâ Åâymª Öâ×dQ ~õ{âMî" A¾ °rÈy¿xy×ây. ÖdÀâó×â Àân+×â Ák¶°âª æéȪæµâªgd gâÀây¾ªn ´¬ Z~kÎrÃégd°âWÖâªgd ¿xÀâyªm¿xª ´¾ ~kîãðíªßâ ÀâÈr×ây. aÖâ ¿xÀây¿kXæ I°âKp⪠°rÈy~kó×â~kóvây E¬ ßdÈ Z~kÀâyyfÀâyÌy×â¬. EêyÀâªs ¿xª|âpâTªÈª{ây Æ¿k^Îây Ödî Öd{ây Uª{ây Öâ×âgd g⧰⠵dç¿xKÀáy Ö³¾Q ¾ÎâyÀâyªÈ×ây ¹åª¬ Iªvây aÖâ Aê. g⧰⠾ÎâyÀâyªÈ×ây ZÖâÀây ±{âMªgd U~kRsÀâpâæ I~kÎrÃéЪßâIÀrÃé ´~kRsÀâpâæ ¿xî ´Ìy×â Ák¶°dªµâª Àâßây+êæ Éd|âXª ´gây×ây. Ák¶°dªµâª ¿xî ÈáÖâ °â~kóR ́ ¾ g⧰⠵dç¿xKª ÎryyÖâý O ¾ÎâyÀâyª °rÈy~k{ây. ~kó×âÿ ÀâyîÎryyÖâ Édî AȨnªn×â Z~kÎrÃégd°âWÖâ ¿xª{âpâVª×âæ ´×âygâyǪgd Àân+×â I°âKp⪠A~öÑí°â I°âKpâÀâÃé Èá{d ´×ây×⬠gâÀây¾ªßâÀâÈÎâyy×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

182

I{d 21 : P ´×ây×⬠AB páf Æ¥y{âgâÈ aÖâ ²ª{âyÀâó ÀâyîÎâyy AP = 3PB ´Ìy×â¬AB = 10 ¿õª. Æ¥y AP¹åvâÀâó×ây Öâ×ây g³×âªÚ.

Éd|â×â : P ́ ×ây×⬠A ÀâyîÎâyy BÈ Æ¥y{â I×âQ¬. ÖdÀâó×â AB = AP + PB

ÖdÀâó×â , 3PB + PB = 4PB = 10

∴PB = 410

25= ´~kóRvây

AP = 3PB = 3 25

215

# = ¿õª. Æ¥y

(EÖâývâ, PB = x ´¾ ¿xÆ¥yÖâpâǪ »¥¿xyÖ³×r{âª, PB¾ ßâpâpdú ´¾ ×ápâygd »¥¿xyÖ³¾ PB ßâpâpdúgâÈ ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây »¥¿xyÖ³×â ±Ú×â¬.)ÖdpâXßâpâǪ : 3.1´ Eª°âæ Àâyyª{ây ¿xÀây¿kXÎâyª{ây P ²ª{âyÀâó A ÀâyîÎâyy B È Æ¥y{â I×âQ¬. ´¾ »¥¿xyÖ³×r{âª. ´Ìy°á P ²ª{âyÀâó A æ UvâÀâyÀrô~kó ÈáÖâ B æÚÀrô~kó Iªvâ Àâßây+×ây. o prªvây ¿xÀâyÎâyªÈª{ây ¿xî ´Ìy×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây pânªn ÀâyîÎâyy Àds¾ Édºªßâ Àâßây+×ây. aÖâ ¿xª{âpâTª×âª{ây ±yyÇé°âWÖâ ÆÈyÀâ IªvâÀâßây+×ây. Öd¾ ¹åvâÀâó |â×â ¿xªfXgd I×âQª{ây×â Àâßây+ I°âKp⪠Z~kÎrÃégd°âWÖâªgd A ~öãðªßây Ák¶°âª Öd{ây.

I{d 22 : prªvây ´ªÖrÈygâÈ aÖâ ¿xªfXÎâyª{ây ´ªÖrÈ Àryy°âKª 12. ´ªÖrÈy °dpây ÀâÃépâyßáû ¿x~kóvây Àâßây+ ¿xªfX ÀâyÃéÈ ¿xªfX Öâ×dQ 54 ~õ{âM¬gd IªÚ×â A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ́ ªÖr x ́ ×âyÖ³×âyÀâyy. ́ ~kóvây 12 - x ~k{âyÈ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr. ´~kóvây ¿xªfX

(12-x) × 10+ x = 120 - 9 x¿xªfXȨ¾ ́ ªÖrÈ×ây °dpâyÀâÃépây ßáÎâygd Àâßá+ ¿xªfX 10 × x+12 - x = 12+ 9 x En+×â ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdpâª120 - 9 x + 54 = 12 + 9 x18 x = 120 + 54 - 12 = 162. ´ª{âyÀâÈ[ ´ª{âyÀâÈ[ x = 9 aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾

´ªÖr 9. ~k{âyÈ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖr 12 - 9 = 3. ´ª{âyÀâÈ[ ¿xªfX 39. ~kpdXÎây Æ|d×⪠: aÖâê[ÉLd×âªÈ¨ I×âQ ¿xªfX x ́ ×âyÖ³×âªÚ ÀâyîÎâyy ~k{âyÈÉLd×âªÈ¨

I×âQ ¿xªfX y ´×âyÖ³×âªÚ ´~kóRvây A ¿xªfX 10y + x ´gây×ây, x + y = 12 ´¾

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

183

°r¶Îâyy×ây. ´ªÖrÈ×ây °dpâyÀâÃépây ßáû×â Àâßây+ ¿xªfX10x + y ´gây×ây {â°Kdªµâª Z~kÖdp⪠10x + y = 10y + x + 54

⇒ 10x + y - 10y - x = 54⇒ 9x - 9y = 54⇒ 9 (x - y) = 54⇒ x - y = 6 gâÀây¾ªn×â. E~kóRvây Àây×ââ {âgâ $pâ prªvây ¿xÆ¥yÖâpâǪÈy×âQÆ.

x + y = 12 ÀâyîÎâyy x - y = 6 Àds¾ æéÚ×â (x + y) + (x - y) = 12 + 6

⇒ 2 x = 18, x = 9 ¾ A{áúªßâgd, y=12- x, y=12-9, y =3 ÖdÀâó×â A ÀâyÃéÈ ¿xªfX 39 ´gây×ây. ¿xîßâÃéû×â, °dpâyÀâÃépây ßáû×â A ¿xªfX 93

´gây×ây. 93 = 39 + 54 ¿xyÈÅâªgd ¿xî ßâÃévâÀâßây+×ây. I{d 23: 3:2 ´×ây¹d°âªÈ¨ Iªvây prªvây ¿xªfXÈ Àryy°âKÀâyy 75 AÌy×â¬. A

¿xªfXÈy Öâ×âyg³×âªÚ. Éd|â×â :3:2 ́ ×ây¹d°âªÈ¨ Iªvây prªvây ¿xªfXÈy 3x ÀâyîÎâyy 2x ́ ×âyÖ³×âyÀâyy.3 x+2 x=75 {â°KdªµâÀâyy×âª{ây Iªn×â 5 x=75⇒ x=15ÖdÀâó×â 2 ¿xªfXÈy 3 x=45 ÀâyîÎâyy 2x= 30 AÌy×â¬.¿xî ßâÃéû×â

3045

23= ÀâyîÎâyy 45+ 30 =75

´ÅdX¿xª 2.3.31. aÖâ ¿xªfXæ 4×ây æéÚ Àân+×â Àryy°Kd¾Ñ 3ßá gây§ªn×â 30 ´gây×ây ´Ìy°á ´

¿xªfX O¬? 2. ÀâyÃévây ZÖâÀây ±ááû ¿xªfXÈ Àryy°âKª 219 ´Ìy×â A ÀâyÃévây ¿xªfXÈ×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.3. aÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâç¿xª ¹åvâÀâó, ÀrvâÈy] Öâ×âQ prªÚª°âÈæ 5 ¿õª.Æ¥y °âæýÀâ I×âQ¬.

¹åvâÀâó×ây 5 ¿õª.Æ¥y °âæýÀâ ßáû, ÀrvâÈyR×ây 2 ¿õª. Æ¥y UæýÀâ ßáû×â OpâRvây ¬¥ápâ& ßâ°âypâZ¿xª ßâyê¦y ֳȰâ 74 ¿õª.Æ¥y I×âQ¬. ´Ìy×â ÀâyÃéÈ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª ¹åvâÀâó ÀâyîÎâyy ÀrvâÈyRÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. 30 °âæýÀâ ßáû×â ¿xªfX, 3 prê[æ 14 »¥ûÀáû×â ¿xªfXæ ¿xÀâÃé¿xª ´Ìy×â A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

184

5. ¿x½¸¦ Àá°â×⪠´mépÒ Àá°â×âªæ 4 prê[y. aÖâ ×rÈÎâyª{ây Àdî{âMî Àá°â×⪠pâÃé 3750/- ´Ìy×â Z~k» aÖâýî Àá°â×âªÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ?

6. prªvây ¿xªfXÈ Åá{⪠3 ÀâyîÎâyy Àds Àâpâ$ªÈ Åá{⪠69 ´Ìy×â A ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ?

7. nZ°âª×âª{ây AB ´×ây×⬠aÖâ ¿xpâÔâ páf ´Ìy×â x ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

8. aÖâ ¿xªfX 3 prê[×âyªÚ 5×ây »¥ûÀáû×âÀâßây+ Ák¶°âª 16 A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

9. aÖâ ¿xªfX ÀâyîÎryyÖâ ¿xªfXÖâ×âQ 9 UæýÀâ ÀâyîÎâyy Àds Àryy°âKª 81 ´Ìy×â A ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

10 aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ Àryô{d×⪠¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR×âæ prªvây prê[y. A Àryô{d×⪠ßâyêy ¦Ö³È°â 288 Æ¥yêpâ[y. Àryô{d×⪠ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

11. ´ÝkéÀâyW{Ò °âªZÚ ÀâÎây¿kyb ´ÝkéÀâyW{Ò ÀâÎây¿kyb×âæ 3 prê[y×âQ¬. 12 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â °âªZÚ ÀâÎây¿kyb æÀâÃépây¾ ÀâÎây¿kyb×âæ 2 prê[y ´Ìy×â Àdî{âMî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kybÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

12. ¿xªmä °â×â Éè{âpâyvây ¾µâÃéÖâ×âQ 6 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ~õ{âMÀdvây. Àdî{âMî ÀâÎây¿kybÈ Àryy°âKª 28 ¿xªÀâ°âbpâªÈÌy×â Àdî{âMî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kybÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

13. ÆÊ °â×â Éè{âpâyvây ¬¥~kóÖâ×âQ 4 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ~õ{âMÀdvây. Àdî{âMî ÀâÎây¿kybÈ ÀâX°dX¿xª 11 ¿xªÀâ°âbpâªÈÌy×â Àdî{âMî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kybÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

14. ÞÀây» m¨¿xÁÏ °â×â æé°âypây ²ª{âÃé Öâ×âQ 27 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ~õ{âM¬. 8 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â AÀryÀâÎây¿kyb æé°âypây ÀâÎây¿kyb×âæ prªvây prê[y ~õ{âM¬. ´Ìy×â Àdî{âMî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kybÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

15. 16 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â ¶¥×dZ~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb Öâ×âQ 3 prê[y ~õ{âM¬ ´Ìy×â ¶¥×d Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kyb Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

185

aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈy ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy 1. ¿xî ´Ìy×â I°âKp⪠U×âyQÖ³×âªÚ.

a) 5x - 35 = 0 ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây ‘x’ ÆÈyÀâ. A. 2 B. 7 C. 8 D. 11

b) aÖâ ¿xªfX 5Àâ Ådg⪠×âyªÚ 14×ây »¥ûÀáû×â Àâßây+ Ák¶°âª 20. ¬¥¾¾ aÖâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây °r¶R×â

A. x5

14 20- =` j B. x514

520

- =` `j j

C. x 14520

- = ` j D. x514 20+ =` j

c) aÖâ ¿xªfX 5 prê[æ 8 ¾ ~õªn×â Àâßây+ Ák¶°âª 53 ´Ìy×â A ¿xªfX

A. 12 B. 9 C. 11 D. 2

d) 5(x - 2) = 3 (x - 3) ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây ‘x’ ÆÈyÀâ

A. 2 B. 1/2 C. 3/4 D. 0

e) prªvây ¿xªfXÈ Àryy°âKª 84 ÀâyîÎâyy Æ¥s Åá{⪠30 ´Ìy×â A ¿xªfXÈy

A. -57 ÀâyîÎâyy 27 B. 57 ÀâyîÎâyy27

C. 57 ÀâyîÎâyy-27 D. -57 ÀâyîÎâyy -27

f) ¬¥pâ& ßâ°âypâç¿xKª ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR×âæ prªvây prê[y ÀâyîÎâyy ÀrôµdÈXª 800 ßâ.Æ¥yêpâ[y ´Ìy×â ¬¥pâ& ßâ°âypâç¿xª ¹åvâÀâó ÀâyîÎâyy ÀrvâÈyRÈy.

A. 60 Æ¥y ÀâyîÎâyy 20 Æ¥y B. 40 Æ¥y ÀâyîÎâyy 20 Æ¥y

C. 80 Æ¥y ÀâyîÎâyy 10 Æ¥y D. 100 Æ¥y ÀâyîÎâyy 8 Æ¥y

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

186

g) ÀâyÃévây ZÖâÀây ßáû ¿xªfXÈ Àryy°âKª 249 ´Ìy×â A ¿xªfXÈy

A. 81, 83, 85 B. 79, 81, 83

C. 103, 105, 107 D. 95, 97, 99

h) . 0.85x x20 7+ =

^ h , ´Ìy×â ‘x’ ÆÈyÀâ

A. 2 B. 1 C. -1 D. 0

i) 2x - (3x - 4) = 3x - 5, ´Ìy×â x =

A. 4/9 B. 9/4 C. 3/2 D. 2/32. ÉdºªßâªÚ. i)

( )2

xx2 73 24

++ =

^ h ; ii) ( )y

y11 3

1 985

-

-=

` j .

3. prªvây ¿xªfXÈ Àryy°âKª 45 ÀâyîÎâyy Àds ¾ÍkR»K 7 : 8 ´Ìy×â A ¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. Éè×d ÀâÎây¿kyb, °â¶[ ÀâÎây¿kyb×âæ 4 prê[y °âæýÀâ. 5 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â Éè×d ÀâÎây¿kyb, °â¶[ ÀâÎây¿kyb×âæ 3 prê[y °âæýÀâ. (A ¿xÀâyÎâyª×âª{ây) Àdî Z~k¿kKy°â ÀâÎây¿kybÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5. ÀâyÃévây ZÖâÀây ¿xî ¿xªfXÈ Àryy°âKª 336. Æ¥s¾ Öâ×âyg³×âªÚ.6. A ÀâyîÎâyy B ´×ây E{âMpây ¿öQþé°âyÈy pâÃé.60000 ~õê¦yaÚ°¨ E{âMpây ÀdX¹dpâª

Z¹dp⪫ªnî. A Íöpây, B Íöpâyæ prªvây prê[y. ´Ìy×â Z~k» aÖâýî ~õê¦y ±vâyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

7. O ¿xªfXæ 40 »¥ûÀáû×â ÀâyÃéÈ ¿xªfX ÎryyÖâý 3Àâ Ådg⪠Àâßây+×ây ?8. ¿xªfX 6Àâ Ådgâª, 8Àâ Ådgâª×âæ 3 UæýÀâ ´Ìy×â A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.9. EÈ[y ÀâyîÎâyy I{dX×âÀâ×⪠ÖâÈû pâÃé 8,40,000 ÆÈyÀâ ÖâÈ{ây. I{dX×âÀâ×⪠ÀrÈ,

Eªs ÀrÈæ 125 prê[y×âQ¬. EÈ[y ÀâyîÎâyy I{dX×âÀâ×⪠ÀrÈÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

187

10. A ÀâyîÎâyy B E{âMpây prô°âyÈy ÖâÈû ÀâyÔâÐÎâyª{ây ¿xpâæÈy Iªnî. Àds ÆÈyÀâÈy Z~kÖdp⪠~kªßâyÖ³×âyêæ a~kRª{⪠ßá¿xyÖ³¾î. A prô°ây 72 ±ÉKdÈy »¥¿xyÖ³×r×ây, B prô°ây 92 ±ÉKdÈy »¥¿xyÖ³¾ ÀâyîÎâyy pâÃé 8000 A prô°âyæ Eßr+×ây. Z~k» ±ÉKd ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

11. °âªZÚ ÀâÎây¿kyb, æÀâÃépây¾ ÀâÎây¿kyb×âæ ×dÈ$y prê[y. 5 ¿xªÀâ°âbpâªÈ °âpâyÀd°â æÀâÃépây¾ ÀâÎây¿kyb×âæ ÀâyÃévây prê[y ´gây×ây. °âªZÚ ÀâÎây¿kyb, æÀâÃépây¾ ÀâÎây¿kyb×âæ prªvây prê[y ´gâyêæ U¾Q ¿xªÀâ°âbp⪠UæýÀâ ÖdÀâÈû Iªvây×ây.

12. aÖâ ¿xªfX×ây 7 ßá gây§ªn×â 132 Öâªêr UæýÀâ ÀâyÃéÈ ¿xªfXæ Ȩ~kÈ IªÚ×â A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

13. ¿xÀâÃé×â ÆÈyÀâ gâÈ 25 ~õ×âyQÈ×ây aÖâ Àây¾¸ pây 250 Èæ Ö³×r×ây. °â×â Ö¨¿xª 5 ~õ×âyQÈ×ây IªßâyÖ³¾ Æyж×â ~õ×âyQÈ×ây ~õôÖ⪠Àd~k¿xy ¹åª{âyêæ ´ÀryW×ây. Z~k» ~õ×âyQ ´ÆyW×â ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

14. prªvây ´ªÖrÈy gâÈ aÖâ ¿xªfXÎâyª{ây ´ªÖrÈ Àryy°âKª 12. ´ªÖrÈy °dpâyÀâÃépây ßáû×â~kóvây Àâßây+ ZÖ³°âK ¿xªfX ÀâyÃéÈ ¿xªfX Öâ×âQ 18 ~õ{âM¬gd IªÚ×â AÀâyÃéÈ ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

15. prªvây ¾Èyßây ߨê[ Àây|âX{âÃép⪠340 Ñ.Æ¥y. prªvây prôÔây\ ¿xÀâÃé°âpâ Z°¨ÀâȨ OÖâ ÖdȪȨ o ¾Èyßây ߨê[×âyªÚ Z~kÎâÃ駪n U{âypâgây×ây. aÖâ {d¾ Àág⪠ÀâyîÎryyÖâ {d¾ Àágâª×âæ Z~k» gâªêæ 5 Ñ.Æ¥y UæýÀâ. 2 gâªêÈ °âpâyÀd°â prªvây prôÔây\ Àây|âX {âÃép⪠30 Ñ.Æ¥y Z~kÎâÃ駪ßr×ây. Z~k» prôÈy Àágâª×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

16 aÖâ evâ Z~kÀdÝkéª ¬æýȨ aÖâ avâGy×âyªÚ ÀâyîÎryyÖâ avâGy×âæ ßápâyêæ 4 gâªêÈy ~kê¦y×ây. ´ªêá {âÃépâª×ây Z~kÀdÝkë¾Ñ U{âypâygd Z~kÎâÃ駪ßâyêæ 5 gâªêÈy ~kê¦y×ây. Z~kÀdÝké Àág⪠gâªêæ 2 Ñ.Æ¥y ´Ìy×â evâ ÎryyÖâý Àágd¾Q Öâ×âyg³×âªÚ.

17. aÖâ «×âQª ×âª{ây ÈÀâÀâyy, Ýkëp⪠Öâ×âQ 3 °âæýÀâ. ÈÀâÀâyy 3 prê[y IªÚ×â Ýkëp⪠20 UæýÀâgây×ây. Àâßây+ Ö³°âK ¿xªfX

81 ´gây×ây. ÀâyÃéÈ ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

18. 2 ´ªÖrÈy Öâ¶Ð×â aÖâ ¿xªfXÎâyª{ây ~k{âyÈ ÉLd×⪠×âª{âyªvây ´ªÖr aÖâê[ ÉLd×âªÈ¨¾ ´ªÖræ ÀâyÃéÚª°âÈy ÖâÈ{ây. A ¿xªfX ÀâyîÎâyy ´ªÖr×ây °dpâyÀâÃépây ßáû×â ¿xªfX ÎryyÖâý Àryy°âKª 88 ´Ìy×â A ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

188

19. aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý U°âKy, ÅâÃéÆyÑ 53 Ådgâª. U°âKy×ây 4 ¿õª.Æ¥y ~õªn×â ÅâÃéÆy

2 ¿õª.Æ¥y °âæýÀâgây×ây. Öd¾ Z»Åâymª ÀrôµdÈXª ûLpâª. ´Ìy×â Z»Åâymª ÎryyÖâý ÅâÃéÆy ÀâyîÎâyy U°âKyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

20. aÖâ Z»ÅâymªÈ¨¾ aÖâ ֨Ǫ, Æyж×â prªvây Ö¨ÇªÈ Àryy°âKª×âæ ¿xÀâÃé×âª. Z»ÅâymªÈ¨¾ Æyж×â 2 Ö¨ÇªÈ ¾ÍkR»K 4 : 5. Z»ÅâymªÈ¨¾ Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Édpdªµâª (¹dî Åd¸Öâ ~k{dÈy)(GLOSSARY)

¿xÆ¥yÖâpâǪ:- ûLpdªÖ⪠Öd¾ ²©mg⧰⠿xÀâÃé¿xª ÀdÖâXª ÆÈyÀâ '0'æ ¿xÀâÃé¿xªÉd|â×â :- EÀâ]±Ú×â ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¿xª{ây ßâpâpdúÑ O{âÌy×â ÆÈyÀâ Iªn×â ÀdÖâXª

¿xî´gây×ây.¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâǪ :- ßâpâpdú ÁkÃé°âªZ~kzâÀây ~kî ÀâÃéǪȨ Iªvây ¿xÆ¥yÖâpâǪ.¿kLÔ骰âp⪠:- ¿xÆ¥yÖâpâǪ ¿xÀâÃé×â°â]ª~k{âM aÖâ Àrô~kó×âyªÚ ÀâyîÎryyÖâÀrô~kó×âæ

ÀâÃépâyRßáû×â gâypâKyÈy ÀâÃépâyR ßrª{ây×ây.¿xîßâÃéßâyê :- OpâRÚ×â Ák¶°âª ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây °â½ÄK ~kpân×⬠´¾ ¿xî ßâÃévâ

ÀâÈÎâyy×âygâyîKªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy

• ßâpâpd¿xyÈ ¾îPÍk¦ ÆÈyÀâÈygâÈ ¿xÆy°âyÈy ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âæ ¿xî ́ gây×ây. ¾°âX ¿xÆ¥yÖâpâÇ ßâpâ pd¿xyÈ ´¾QÆÈyÀâÈy ¿xî ´gây×ây.

• {â°KdªµâÀâyyÈ×ây Öâ¶Ð Iªvây ¿xÆ¥yÖâpâǪ pânªßâyê aÖâ ¿xÀây¿kX×ây Édºªßây Ýk骰âÀâyyÈy Z~kÀâyyfªÈÌy Iªvây×ây.

• g⧰⠵dZ¿xªæ ´×âyÉdpâªgd ´¾Q ÀâyÃéȪÈyÈáÖâ I°âKpâªÈy UÈ[~kóRvây ¿xîIªvâÖâ ¹èÀâßây+×ây. ́ ¾Q ÀâyÃéȪÈy ¿xª{âpâVª×âæ ́ ×âyæéȪgd ÀâyîÎâyy Z~kÎrÃégd°âWÖâªgd ¿xÀâyªm¿xªgd ¿xî Iªvâyר ´¾ ~kîú¥¶ªn ßâÃévâÀâÈr×ây.

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

189

Ådg⪠- 4

ÁkÃé°dªÖdÈy

o Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpâyÀd°â Æ¥ypây o ZѪ¬ ÆÍkÎâÃéÈy °rÈy¿xyÖ³ªêépây.• ¿xy×âQ Èá¾ A|dpâ ¿xªfX (¹d{âª) ~kòpJdªÖâªÈ ÁkÃé°âªÈy °rÈy~kó ~kîmCd×âª.• ~õ{âM ¿xªfXÈ×ây ÁkÃé°dªÖâ pâÃé~kªÈ¨ ZÀdÎâyyê.• ÁkÃé°dªÖdÈ ¾ÎâyÀâyªÈy ÀâyîÎâyy ¿xªÖ¡pâJ ²©m ¿xÀâÃé¿xªÈ×ây Édºªßây×â~kóvây

I~kÎrÃéЪßây mCd×âª. • ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyªÈy ßâpâpd¿xyÈy gâÈ ²©m¿xÀâÃé¿xªÈ Îâyª{ây OÆ|âªgd

´×â]Ìyªßây ~kîmCd×âª.

2.4.1 ~kîßâÎâyª

ÅâÃéÆy×âyªÚ ¿xÃépâyXvây Uª°â {âÃépâªÈ¨ I×dQvâ¾ UÀâpâÌy×â ´Úаá Æ¥y ¿xÀâÃé|d×⪠OÆy? Ö³¾Q ~kó¿kKÖâÀâyyÈy ßâ¬Æ °rÈy¿xyÖ³×ây mCd×⪰¨ I°âKp⪠pd±ê¦ Àâßây+×ây. aÖâ Ödª» ÑpâǪ ¿xyÀâÃépây aÖâ ¿õÖr×âyæ 2,99,792 Ñ.Æ¥y. Àágâª×âª{ây ßⶪßây×ây. ¿xÃépâyX¾ ×âyªÚ ±ÎâyÈy {ápây aÖâ Ödª» ÑpâǪ ÅâÃéÆy¾ ßápâyêæ 8½ ¾ÆyÍkªÈy »¥¿xyÖ³×ây×ây. ÖdÀâó×â ÅâÃéÆy×âyªÚ ¿xÃépâyX¾Ñ I×âQ ´ª°âpâ {âÃép⪠¿xyÀâÃépây 15,29,00,000 Ñ.Æ¥y. ¿xÃépâyX¾ Æy×âÝkëÌyªn O×âãâZ°âª Àây×âæ ´» {âgâ$pâ I×âQ¬ ´¾ °r¶Îâyy×d? Z¹dÑbÀâÃé ¿õªêéî (PROXIMA CENTAURI) ́ ×ây ×âãâZ°âª Àây×âæ ́ » {âgâ$pâgd I×âQ¬ ÀâyîÎâyy {d¾{âÃép⪠Àây×â ×âyªÚ 4.3 Ödª» ¿xªÀâ°âbpâªÈy. ´ªêá aÖâ Ödª» ÑpâǪ aÖâ ¿õÖrªvâyæ 2,99,792 Ñ.Æ¥y Àág⪰¨ 4.3 ¿xªÀâ°âbpâªÈ ßⶪn×â {âÃép⪠´ªêá 4.3 × 365 × 24 × 60 × 60 × 299792 Ñ.Æ¥y. E¬ ßâÃéßâyêæ Uª°â ~õ{âM ¿xªfX ´gây×d?

ÀâyîÎryyÖâ Àrô~kó aÖâ ´ÇyÀâó Áky×â~kîÀâÃéǪ Uª°â? E¬ ßdÈé n×âQ{â¾ Ådƪßâ Àâßây+×ây. aÖâ ´ÇyÀâó ¿xyÀâÃépây ÀdX¿xª 100000000000

1 Æ¥yêpâ[y. I~k ´ÇyÀâó ´ªµâª Áky×â~kîÀâÃéǪ EªÖd n×âQ¬gd Iªvây×ây. ÖdÀâó×â EêyÀâªs ´» ~õ{âM ÈáÖâ ´» n×âQ ¿xªfXÈ×ây ¿xÃénªßâyêæ aÖâ Ñ[Ík¦pâÃé~k ~k{âM» Àây×âæ ́ Àâ¿xpâ Àâyy×âQ¬. ÁkÃé°dªÖâ |âpâWªÈy UæýÀâ I~kÎâyyÖâKª ÀâyîÎâyy ́ » ¿xyÈÅâªgd Àây×â¿kyb ×âª{ây mCd~kÖ⪠IªßâyÖ³×ây ¾ÎâyÀâyª o ÁkÃé°dªÖâªÈ×ây ¾ÎâyÀây ±{âPªgd I~kÎrÃéЪßây Ö³¾Q Æ|d×âÀâyyÈy×âQ¬.

128 ¿xªfX »¥¿xyÖ³¾×â, ¬¥¾¾ ÖdpâÇéªÖâ ~kpân×â128= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

190

2×ây ´{á ¿xªfX ßá 7 Édpâ[y gây§ªn×â 128 Àâßây+×ây. ¬¥¾¾ 27 gd ZÀdÎâyÀâßây+×ây. EÖâývâ 2 A|dpâ¿xÃén 7 ÁkÃé°â¿xÃén. ¬¥¾¾ 2 ÁkÃé°âª 7 ´¾ ßâ{âyÀâÀâßây+×ây. 128 ÁkÃé°âpâÃé~kª=27. ´{á Æ|âªgd, 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 ´¾ gâÀây¾ªßâ Àâßây+×ây. EÖâývâ 3 A|dpâª, 5 ÁkÃé°âª ¬¥¾¾ 3 ÁkÃé°âª 5 ´¾ ßâ{âyÀâÀâßây+×ây. ÀâyîÎryyÖâ Àrô~kó 72 = 2×2×2 × 3 × 3 ´×ây Ö³¾×â, 128 ¾ »¥¿xyÖ³¾×â 2 Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖ⪠ÀâÃéZ°âª I×âQ¬. 128 =27 ´¾ ZÀdÎâyÀâßây+×ây. ´{á Æ|âªgd, 343 = 35 ¬¥¾Îâyª{ây æévâ 3Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖ⪠Öd¾ 72 ×âª{ây 2 ÀâyîÎâyy 3´×ây prªvây Z~k|d×â ÖdpâÇéªÖâªÈy×âQ¬. ÖdÀâó×â ¬¥¾¾ 72 = 23.32 ´¾ ZÀdÎâyy{âyÀâyy.

72 ×âª{ây 2 ´×ây×⬠3 Édpâ[y ÀâyîÎâyy 3´×ây×⬠2 Édpâ[y I×âQ¬. 72 = 23.32 ¬¥¾¾ 2 ÁkÃé°âª 3 gây§ªßây 3 ÁkÃé°âª 2 ´¾ ßâ¬Àr{âª.

81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34 ´¾ »¥¿xyÖ³¾×â, 81 = 9 × 9 = 92 ´¾æévâ Zgâþéªßâ Àâßây+×ây.aÖá ~k{⪠81 ¾ prªvây Æ|âªÈygd ZÀdÎâyÀâßây+×ây. Àryy{âs ~k{âª×âª{ây 3 A|dpâ¿xÃén,

4 ÁkÃé°â¿xÃén prªvâÀâ ~k{âª×âª{ây 9 A|dpâ¿xÃén, 2 ÁkÃé°â¿xÃén ÖdÀâó×â aÖá ¿xªfX×ây Àáápây Àápây A|dpâ¿xÃén ÀâyîÎâyy ÁkÃé°â¿xÃénÈ×ây~kÎrÃéЪn ZÀdÎâyÀâßây+×ây.gâÀây¾ªßâªÚ :

9 = 3 × 3 = 32 ÖdÀâó×â 92 = (32)2 (32)2 = 92 = 81 = 34 ¬¥¾×âyªÚ Æ¥ypây O{âÌy×â Zgâþéªn»pd?

ÖáÀâÈÀâyy ¿xªfXÈ×ây ÀâÃéZ°âª I~kÎrÃéЪn ÀâÈÎâyy×â¾ ÖâvGdÎâyª Èá{ây. I{dÝképâǪ Ö³pâæ ²©ÊËÎây ßâpâpdú a ´Ìy×â, a × a × a ×a = a4 ´¾ ZÀdÎâyy{âypây. ¬¥¾¾ a ÁkÃé°âª 4 ´¾ ßâ¬Àr{âª. ab4 ¿xÀâÃé¿xª×âª{ây a gây§ªn b ÁkÃé°âª 4 ´¾ ßâ¬Àr{âª.gâÀây¾ªßâªÚ :

ab4 = a × b × b × b × b = a(b4) Öd¾ ab × ab × ab × ab = a4 b4 ´gây×ây.

EêyÀâªs ¿xª{áÎâyª gâÈ ~k{âÀâyyÈ×ây æªvⶥÖâpâǪÈ×ây (Z±dÖrê[y) I~kÎrÃéЪn ZÀdÎâyyê Àâyªn¬. ab4 ZÀdÎâyyêæ ±{âyÈy a(b4) ´¾ ZÀdÎâyÀâßây+×ây.

529 = 23 × 23 = (23)2 ´¾æévâ ZÀdÎâyÀâßây+×ây. 232 Ö³¾QÉdpâ[y 2 × 32 = 18 ´¾ Ådƪn×â ¬¥¾ ÆÈyÀâ ÀâX°dX¿xª ´gây×ây. 529 ¾ ¿xÃénªßâyêæ (23)2 ´¾ Z±dÖrê¦y I~kÎrÃéЪn ZÀdÎâyÀâÈÎâyy×ây. EªÖ³Öâ ÆÍkÎâyª Àây×â¿kyb×âª{ây Iªßây Ö³×â ÀâÈÎâyy×ây

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

191

A|dpâ¿xÃén UÈ[~kóRvây ~kòpâJ ¿xªfX Iªvâyê ´Àâ¿xp⪠Èá{ây. Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈ×ây A|dpâ ¿xÃénÖâgd I~kÎrÃéЪßâ Àâßây+×ây.

(0.1)5 = 0.1 × 0.1 × 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.00001

(–1.2)3 = (–1.2) × (–1.2) × (–1.2) = –1.728

51

51

51

51

51

62514

# # #= =` j

2 22=^ hg

AȨnªßâªÚ!

ÁkÃé°âªæ ~kòpâJ ¿xªfX Öd¾ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy I~kÎrÃéЪßâyê Éd|âXÀâÃé?ÉdÀâÃé×âXªgd, a ´×ây×⬠EÀâ]±Ú×â ¿xªfX ÈáÖâ ²©mÎây¿xÀâÃé¿xª ßâî¥pdú æévd a

ÀâyîÎâyy ¿xÝkém¿xªfX n ´¾ ¾pâÃéĪßâ Àâßây+×ây. ¬¥¾¾ a ÁkÃé°âª n ´¾

ßâ¬Àr{âª. a ×ây A|dpâ¿xÃén n ×ây ÁkÃé°â¿xÃén ´¾ ßr~õR{âª.gâÀây¾ªßâªÚ :

0n = 0 n O{âÌy×â ¿xÝkém¿xªfX ÀâyîÎâyy a1 = a; a O{âÌy×â aÖâ ¿xªfX am = an Öd¾ m = n ×âª{ây , a ≠ 0, a ≠ 1 ÈáÖâ a ≠ -1

UæýÀâ I{dÝképâǪÈ×ây EÖâývâ ßâÃéßr{⪠:

¿xªfX Æ¿kKîªn×â pâÃé~kª ÁkÃé°dªÖâ pâÃé~kª A|dp⪠ÀâyîÎâyy ÁkÃé°âª

1000 10 × 10 × 10 103 A|dp⪠10 ÁkÃé°âª 3m6 m × m × m × m × m × m m6 A|dp⪠m ÁkÃé°âª 6

10241

21

21

# #............10 Édpâ[y21 10

` j A|dp⪠21 ÁkÃé°âª10

625 5 × 5 × 5 × 5 54 A|dp⪠5 ÁkÃé°âª 4625 –5 × –5 × –5 × –5 (–5)4 A|dp⪠–5 ÁkÃé°âª 4

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

192

nÀâî 2 I{dÝképâǪÈ×ây ßâÃévâªÚ.625 = 54 ´¾ ZÀdû×â A|dp⪠5 ÁkÃé°âª 4 625 = (–5)4 ´¾ ZÀdû×â A|dp⪠-5 ÁkÃé°âª 4.

o Æ|âªgd aÖá ¿xªfX×ây A|dp⪠5 ÀâyîÎâyy A|dp⪠-5 pâÃé~kªÈ¨ ZÀdÎâyÀâßây+×ây. a≠o ÀâyîÎâyy n ¿xÝkém ¿xªfX ´Ìy×â, a

a a1 1n

n

n= =- ` j ´¾ Àây×⪠¾pâ]nªßâ Àâßây+×ây.¬¥¾×âyªÚ ±yyÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖâ ÁkÃé°âª×ây ~kîú¥¶ªßâ Àâßây+×ây. Àâyî Ö³¾Q

I{dÝképâǪÈy EÖâývâ I×âQ¬.

331

31

31

314

# # #=- ` ` ` `j j j j (3ÁkÃé°âª - 4)

..

0 10 11 10 1000005

55- =

-= - =--^ ` ^h j h [(0.1 ÁkÃé°âª-5)

54

45

45

45

45

45

45

45

456 6

6

6

# # # # #= = =-

` `j j

a = bn, n≠o 1, ÀâyîÎâyy n ~kòpJdªÖâªÈy. ÀâyîÎâyy b≠o, a ÁkÃé°dªÖâ pâÃé~kªÈ¨ I×âQ¬ ´¾ ßr~õR{âª.

b A|dpâ¿xÃén ÀâyîÎâyy n ÁkÃé°âª ´Ìy×â¬. Eª°âæ Àâyyª{ây gâÀây¾ªn×â Z~kÖdp⪠81 = 34 = 92

o Æ|âªgd aÖá ¿xÀâÃé×âÀâyÌy×â A|dpâªÈy Àápây Àápây ÁkÃé°â pâÃé~kªÈ¨ IªêéÎây¾ ßr~kRÀâßây+×ây.

Ýõéßâ+îÖâbn ¾pâ]nªßâ ÈáÀâyy. b = o, n = o ÈáÖâ n∠o

I{d 1 :- A|dpâ¿xÃén 10¾ I~kÎrÃéЪn 1024 ÀâyîÎâyy 0.1024 È×ây ÁkÃé°âpâÃé~kª×âª{ây °rÈRªÚ.

Éd|â×â :- 1024 = 210 ́ ×âyÖ³¾×â EÖâývâ A|dp⪠2 ÀâyîÎâyy ÁkÃé°âª 10 ́ Ìy×â¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

193

1024 ×âª{ây 4 aÖâê[ÉLd×âª, 2 ~k{âyÈÉLd×âª, 0 Àâª{âÈÉLd×âª, 1 ÀáÈÉLd×⪠Ȫ{ây I×âQÆ.

1024 = (1×1000)+(0×100)+(2×10)+(4×1)

= 1×103 + 0×102 +2×101 +4×10°

{âµâÀâÃé×â ZÖâÀâyªÈ¨ I×âQÆ. b°=1, b≠o ´×âyÖ³×âÀâÈÎâyy×ây. 1024 = 1.103 + 2.101 + 4.100

´{á Æ|âªgd 0.1024 »¥¿xyÖ³¾×â {âµâÀâÃé×â ZÖâÀâyª×ây gâÀây¾ªn×â,0.1024 = 0.1 + 0.002 + 0.0004

101

10002

100004

101

102

104

3 4

= + +

= + +

= 1 × 10–1 + 2 × 10–3 + 4 × 10–4

I{d 2 : A|dpâ ¿xªfX 2 ×ây~kÎrÃéЪn 1000 ¾ ÁkÃé°â pâÃé~kªÈ¨ °rÈRªÚ.Édzâ×â :- 1000 ¾ »¥¿xyÖ³¾ A|dp⪠2 ÀâyîÎâyy ÁkÃé°âpâÃé~kªÈ¨ O Æ|âªgd

°rÈyR{âypây? 512 = 29, 256 = 28, 128 = 27 ÀâyîÎâyy 64 = 26 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.512 + 256 + 128 + 64 = 960

1000 Ñ EªÖâ×ây 40 °âæýÀâ I×âQ¬. Öd¾ 40 = 32 + 8 = 25 + 23 1000 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23

= 1.29 + 1.28 + 1.27 + 1.26 + 1.25 + 0.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 0.20

E¬ 1000 ÆÈyÀâ ¬]ÀâÃé×â ZÖâÀâyÀâyÌy×â ¬¥¾ gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây 1000 = (1111101000)2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

194

¾°âX ÊËÆ°âª×âª{ây ÁkÃé°dªÖâªÈ I~kÎrÃégâªÈy :

Z~k»¬×⪠ÊËÀâ×â Æ|d×âª×âª{ây ÁkÃé°dªÖdÈ ¹dZ°â O Æ|âªgd Iªvây×â¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ßâ{âpâ~kó ´vâgâyÈy, ßâ{âpâ~kó Æ¥yêpâ[y ´×ây×⬠ÀrôµdÈXª ÎâyÃé¾ê[y ÀâyîÎâyy Áky×â ´vâgâyÈy, Áky×âÆ¥yêpâ[y ´×ây×⬠Áky×â ~kîÀâÃéÇªÈ ÎâyÃé¾ê[y ´¾ gâÀây¾ªßr{âª.

aÖâ ßâ{âpâ~kó ¿õª.Æ¥y ´ªêá 1 ¿õª.Æ¥y × 1 ¿õª.Æ¥y = 1 ¿õª.Æ¥y2 ´{á Æ|âªgd aÖâ Áky×â ¿õª.Æ¥y ´ªêá 1 ¿õª.Æ¥y × 1 ¿õª.Æ¥y × 1 ¿õª.Æ¥y = 1 ¿õª.Æ¥y3 ÆyÑý¶ n×âQ ÀâyîÎâyy ÆyÑý¶ ~õ{âM ÎâyÃé¾ê[y (ÀâÃé×âªÈy) gâÈ I{dÝképâǪÈ×ây ́ Z~k°áýÖâªgd »¥¿xyÖ³×âÀâßây+×ây. I{dÝképâÇæ ×dר Æ¥yêpây ~k{⪠»¥¿xyÖ³¾×â ¬¥¾ ÆÈyÀâ 10–9 Æ¥yêpâ[y. ×dר ´ªêá ´» n×âX¿xªfX ´¾ ´pâLª. gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âª{ây Àây×⪠Àrygd ßrêyÈ×ây I~kÎrÃéЪßr{⪠Êgd±rôêy, êrpdßrôêyÈ×ây (megabytes, gigabytes, terabytes)ßâÃé¿õ{âª. Àrygd ´ªêá 106

ÈáÖâ 1 Æy¶Îây×ây, Êgd ´ªêá 109, ÀâyîÎâyy êrpd ´ªêá 1012, ´¾ ´pâPª. aÖâ ¶¥êpây pâÉdÎây¾Öâ ÉdªZ{â°â 0.00042 ZgdÀâyyÈy I×âQ ÈáÖâ aÖâ ×âãâZ°â Z{âÀâpdú

8,290,000,000,000,000,000,000 ÑȨ ZgdÀâyyÈgây×ây o ¿xy×âQÈy UæýÀâ ¿kLȪ×ây AZÖâÆyªßây×ây. ÀrômCd¾Öâ pâÃé~kªÈ¨ ¬¥¾¾ ¿xyÈÅâ pâÃé~kªÈ¨ ZÀdÎâyÀâßây+×ây. I{dÝképâÇæ 829×1019 ÑȨ ZgdÀâyyÈy. ¬¥¾ ´pâLª 829 °¨ ±dêy19 ¿xy×âQÈy ÖâÈû I×âQ¬. Öd¾ pâÉdÌy¾Öâ ÉdªZ{â°â×ây ±yyÇé°âWÖâ ÁkÃé°âª×ây~kÎrÃéЪn aÖâ ¶¥êpâyæ 4.42 × 10–4ZgdÀâyyȾ ZÀdÎâyÀâßây+×ây.

aÖâ Z¹èêé×Ò Z{âÀâXpdú 0.000000000000000000000001653 ZgdÀâyyÈy. ¬¥¾¾ ZÀdÎâyyêæ UæýÀâ ¿kLȪ ÖdÀâÈÀâyy×ây, ÁkÃé°dªÖâªÈ×ây~kÎrÃéЪn 1.673×10–24

ZgdÀâyyȾ ¿xyÈÅâªgd ZÀdÎâyÀâßây+×ây. ÁkÃé°dªÖâªÈ I~kÎrÃég⪠gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âª{ây ÖâÈ{ây. gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âª{ây Ö³¾Q ¾îPÍk¦ ¿xªfXÈæ ÀâÃéZ°âª ¿kLȪ I×âQ¬ o ¾îPÍk¦ ¿xªfXÈy ~kîÀâÃéǪ×ây ±s¦ aÖâ gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âyªÚ ÀâyîÎryyÖâ gâÇÖâÎâyªZ°âª×âæ ±{âÈéÀ⧠́ gây×ây. ÀrômCd¾Öâ gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âª{ây ÁkÃé°dªÖâªÈ×ây~kÎrÃéЪn ´» n×âQ ÀâyîÎâyy ´» ~õ{âM ¿xªfXÈ×ây ÈrÖâýßáÎâyÀâßây+×ây.

I{dÝképâÇæ aÖâ gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âª{ây ÖáÀâȪ U¾Æy¬ ÀâyÝkéÉLd×âªÈy Öâ×â±vây×ây, Æ¥s×âyªÚ, 234587643214878 ́ ×ây ~õ{âM ¿xªfX ¿xyÀâÃépây ÆÈyÀâ 234587640000000 ´Ìy×â ¬¥¾¾ gâÇÖâÎâyªZ°âª ×âª{ây 23458764 × 107 (ÈáÖâ Ö³¾Q gâÇÖâÎâyªZ°âªÈª{ây.0.23458764 × 1015 gâyîKªßây Ö³ªêyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

195

ÖdpdXßâpâǪ: 2.4. ´ ¾°âX ÊËÀâ×â ~kîûL°âyÈ Îâyª{ây ÁkÃé°dªÖâªÈy I~kÎrÃégâ~kvây ¿xª|âpâTªÈ×ây ¿xªZgâþéªßâªÚ.

ZµáÍk¦ ¿xªfXÈy Öâ×âyg³×âvâªÈ¨ Ådpâ°â{áµâª.

Ådp⻥ÎâyyÈy Æ¥î |dîWÖâ nª°â×âÈæ ´×âygâyǪgd ZµáÍk¦ ¿xªfXÈ×ây Öâ¾~õê¦épây, I{dÝképâÇæ 1200 BC ×âyªÚ 500 BC Àâpâæ Àá{â Édþé°âXª×âæ ¿xª±ªºªn×â ~kó¿kKÖâªÈª{ây Zs¶[Îây×Ò×ây 10 ÎryyÖâý ÁkÃé°dªÖâª×âª{ây ZÀdÎâyyêæ Z~k°áXÖâÀâyÌy×â ¿xª¿ký½°â ~öpâ[y ÖâÈÀâó ÀâyîÎâyy ¿xî. 1062. Îâymäpá]{⪠(1200 – 900 BC) |dîWÖâ ~kó¿kKÖâªÈ aÖâs (~kòpâJ "¿xª~kòpâJ") O Æ|âªgd '~kòpâJª×âyªÚ ~kòpâJª×ây »¥ûÀáû×â EªÖâ×ây ~kòpâJÀáy ÆygâyÈy×ây.'

ÀâyÝkëÎâÃé×â Åñ{âMyvây ZÑÎâyú¥È°â ÆÉKdpâ ¿xÃéZ°âª ZÀdÎâyyê, ÈrÖâýµdç¿xKª, æû©K ÀâyîÎâyy ÆÈ[y±dǪ ¿kRpâPÈy Öâ¶Ð I×âQ ÆÍkÎâyÀâyyÈy mCÄKÑ °rÈy~kó×ây. ¬¥¾Îâyª{ây ±y{âPyvây g⧰âµdç¿xKmCyvây, ´pâ@y×ây×âyªÚ eÚ¹èÌy×â¬, ´°â¾ ÉdªfdXÖâ ÖâÔâÈæ °¨vâRvây×â¬, 1053æ ¿xÀâÃé×âÀâyÌy×â "°âÈãâǪ"×âª{ây 10 ÁkÃé°dªÖâ ~öpâ[×ây ¿kRpâPæ I~kÎrÃéЪßâyê, ´¬ÖdÖâ páfdg⧰âª×âª{ây ÆÉKdpâªgd gây§ªßây ~k{âM°âyÈ ZµávâyÈ ÆÀâpâÇÈy o ´¾Q ÆÍkÎâyªÈy o ~kó¿kKÖâª×âª{ây Öâ¾Äªßây×ây.

´» n×âQ ÀâyîÎâyy ´» ~õ{âM ¿xªfXÈ×ây I~kÎrÃéЪn {âµdªµâ ¿xªfXÈæ ¿xª¿ký½°â ~k{âªÈÎryyÖâý ßdÈé ÆÍkÎâyªÈy o ~kó¿kKÖâª×âª{ây×âQÆ.

´Àâ°âÉdÖâ ¿xÃéZ°âÎâyª{ây Ũ¬¿x°d]¿Ï g⧰âª×âª{ây ±y{âMyvây ÈrÑýªßây ~õ{â M ¿xªfXgâÈ107x2122 ÈáÖâ. 1037218383881977644441306597657849648128 ÎryyÖâý ÆÆ|â ÆÍkÎâyÀâyyÈy×âQ¬..

5Àâ µâ°âÀâÃé×⪠×âª{ây Ådpâ°âª×âª{ây I~kÎrÃégâªn×â Ö³¾Q ZµáÍk¦ ¿xªfXÈy I×âQÆ. (GEORGES IFRAH ßâÃéû×â PP 422-423´×ây×⬠Ƶâ]ßâîZ°â ¿xªfXÈy)

Ö¨s - 107, ´ÎâyÃé°â - 109, ¾Îây°â - 1011, ÖâªÖâpâ - 1013, ~kÖ¨s - 1014, ÆÀâpâ - 1015, ÉèßâX - 1017, ÆÀdÝké - 1019, Ö¨s~kRÖ¨s - 1021, ±ÝkéyÔâ - 1023, ×dgâ±dÈ - 1025 o Æ|âªgd Àryy{âÈgây×âÆ. 10421¾ {â]mgdpâ ¾ÍkÀây¾ ´¾ ´ªêépây. (Æ¥ÑÄ¥ÚÎâÃé ´×ây×⬠ßâîZ°âȨ¾ ZµáÍk¦ ¿xªfXÈy)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

196

ZµáÍk¦ ¿xªfXÈ prªvây Ådp⻥Îây ÖâÈR×âÈy

1. ßr¿Ï Aê×ây Öâ¾~õs¦×â °â×â ÀâyyfXÀâyªZ»¥ ×âyªÚ °â½ÄK¹åª¬×â Ådpâ°â{áµâª pdmä úpâÝkéª ´°â¾Ñ ±ÝkéyÀây» Eßây+êæ Àâyyª{âyæ Àâßr+×ây. ÀâyyfXÀâyªZ» Àây¾Æ ßdÈ ¿xpâÔâÀâyÌy¾¬. ´°âvây o Æ|âªgd "ÀâyÝkém×ÒÈépd ßr¿Ï Ä¥êÆ¥y{â Àryy{âs ßâ°âypâZ¿xªÆ¥y{â aÖâ g¨|âyÀây Ъm Iªßâyê×ây, prªvâÀâ ßâ°âypâZ¿xªÆ¥y{â prªvây g¨|âyÀây ЪmÈy Iªßâyê×ây, ÀâyÃévâÀâ ßâ°âypâZ¿xªÆ¥y{â ×dÈ$y g¨|âyÀây ЪmÈy, ×dÈ$Àâ ßâ°âypâZ¿xªÆ¥y{â U¾Æy¬ g¨|âyÀây ЪmÈy Iªßâyê×ây, Z~k»Édî 2 prê[y g¨{âyÀây ЪmäÈy Iªßâyêæ 64 ßâ°âypâZ¿xªÈy ¾ª~kóêæ ßdÈé g¨|âyÀây ЪmÈy EÀâ]ªÚ.’’ °â×â ÀâyyfX ÀâyªZ» Àây×âÆ. ßdÈé n×âQ¬ ´¾ Ådƪn pdmä °â×â ¿õô¾æÈ×ây ÄÈn Àrªê×á °â×â ÀâyyfXÀâyªZ» Aµâ×ây »¥pây+êæ, Àây×âƾ ~kòîªßâyêæ AmC ßá¿õ×ây. Öd¾ pdmä Àrªê×á °â×â ÀâyÃépâý°â]ª×ây °rÈy¿xyÖ³×r×ây. ÀâyyfXÀâyªZ» Àây×âƾ ~kòîªßâyêæ U¾Q g¨|âyÀây ЪmÈy ÖdÀâÈÎâyy×â¾ Àây×âæ °r¶Îâyy×d?

´Æ 264 – 1 g¨|âyÀây Ъm Àryy°âKª Z~k~kªßâª×âæ 2000 ¿xªÀâ°âbpâªÈæ ÖdÀâÈû×â g¨|âyÀây I°âR»K¾ ¿xÀâÃé×⪠(E~kóRvây Àây×âƾ ~kòîªßâyê °âgâ$ªêy)

2. E~kóRvây×âQ Ödú¥ aÖâ ÀâyÝkë{áÀâÉLd×⪠±×dpâ¿Ï ×âª{ây ÀâyÃévây ÀâZmª ¿xÃé{âyÈyZgâyn+×â aÖâ Öâªßây ~kÔr\ª I×âQ¬. aÖâ¿xÃé¬ aÖâ Ådgâª×âª{ây ¿x½¸¦Îây ¿xÀâyÎâyª×âª{ây 64 ±ªgdpây ~kÔr\ªÈy ZÖâÀâypâÃé~kª ×âª{âygâÈ ÀdX¿xª I×âQ ~kÔr\ªÈy aÖâ{d¾È¨ aÖâs Iªvây×âê[y Z±ÝkéW{áÀâóvây Iªn×dvây Z±ÝkéW{áÀâó¾ AmC Z~kÖdp⪠pdZ»~kgâÈy A ~kòméî ~k¾ ßáÎâyy×â~kóvây aÖâ ÀâZmª ¿xÃ鬾 ~kÔr\ª ×âyªÚ ~kÔr\ª×âæ ÉLd×â ~kÈ[êª ßáÉKdvây A ~kòméî prªvây¾ÎâyÀâyªÈy Àây×â¿kyb ×âª{ây IªßâyÖ³¾, aÖâ ~kÔr\ª×ây ÀâÃéZ°âª aÖâ Édî mpây~kó°dvây, ÀâyîÎâyy n×âQ ~kÔr\ª Æ¥y{â ~õ{âM ~kÔr\ª Iªvâ æªvd ßâÃéßâyÖ³×â ÀâÈÎâyy×ây. o ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdp⪠64 ~kÔr\ÀâyyÈy Àápá ¿xÃé{âyÈæ ÉLd×â ~kÈ[êª ßrª¬×â °âpâyÀd°â o Z~k~kªß⪠´ª°âÀâygây×ây, ¬¥¾Ñ ÖdÀâÈû×â ¿xÀâyÎâyª Éd|âXÀâÃé? aÖâ ~kÔr\ªæ aÖâ ¿õÖrªvây ´×âyÖ³¾×â, 264 –1 ¿õÖrªvâ[y ÖdÀâÈû Iªvây×ây. ¬¥¾¾ ¿xªÀâ°âbpâªÈæ ~kîÀâîKªn×â 58 × 1012 ¿xªÀâ°âbpâªÈy. E¬, Àryy°âKª Ƶâ]ª E~kRs ÀâÎây¿kyb×âæ 5 prê[y UæýÀâÌy×â¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

197

´ÅdX¿xª 2.4.1

1. ZѪ¬ ¿xªfXÈ×ây ÁkÃé°â pâÃé~kªÈ¨ ZÀdÎâyªÚ. i) 1728 ii)

5121 iii) 0.000169

2. A|dpâ¿xÃén 10 ×ây~kÎrÃéЪn ÀâyîÎâyy ÁkÃé°dªÖâ pâÃé~kªÈ¨ o ZѪ¬ ¿xªfXÈ×ây ZÀdÎâyªÚ. i) 12345 ii) 1010.0101 iii) 0.1020304

3. A|dpâª-5 ×ây~kÎrÃéЪn 2010 ¾ ÁkÃé°â pâÃé~kªÈ¨ °rÈRªÚ.

4. (1234)5 {âµâÀâÃé×â pâÃé~kªÈ¨ ~kîÀâîKªßâªÚ.

5. (–0.2)–4 ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

2.4.2 Àryy{âs ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª

1024 = 210´×âyÖ³¾ ZѪ¬ Àds¾ gâÀây¾ªßâªÚ.210 = 1024 = 2 × 512 = 21 × 29 : 1 + 9 = 10 ÀâyîÎâyy 210 = 21+9

210 = 1024 = 4 × 256 = 22 × 28 : 2 + 8 = 10 ÀâyîÎâyy 210 = 22+8

210 = 1024 = 8 × 128 = 23 × 27 : 3 + 7 = 10 ÀâyîÎâyy 210 = 23+7

210 = 1024 = 16 × 64 = 24 × 26 : 4 + 6 = 10 ÀâyîÎâyy 210 = 24+6

210 = 1024 = 16 × 64 = 25 × 25 : 5 + 5 = 10 ÀâyîÎâyy 210 = 25+5

Æ¥ypây OÀây¾ gâÀây¾ªn »î? ÀâyîÖ³¾Q I{dÝképâǪÈy »¥¿xyÖ³¾×â,1) 54 = 625 = 25 × 25 = 52 × 52 : 2 + 2 = 42) a7 = (a × a × a × a)=(a × a × a)=a4 × a3 : 4 + 3 = 7

~õô I{dÝképâǪÈ×ây ßâÃéû, aÖâ ¾ÎâyÀâyª×ây ¿xÃéã¡WÖâîªßâyê Éd|âXÀâÃé?a O{âÌy×â ¿xªfX ÀâyîÎâyy m ÀâyîÎâyy n |â×â ~kòpJdªÖâªÈÌy×â am × an = am + n

´¾Q ßâpâpdµâyÈygâÈ ²©m¿xÀâÃé¿xª x æ E¬ ¿xî ´gây×ây. xm.xn = xm + n ¬¥¾¾ Àryy{âs ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª ´ªêépây. ~õ{âM ¿xÀâÃé¿xªÈ×ây

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

198

¿xÃéã¡WÖâîªßâyêæ UæýÀâ I~kÎrÃégâ~kvây×ây.3) 25×26=25+6 = 211

4) 33×36×37=(33×36)×37=33+6 × 37= 39+7 = 316

5) 25×52×23×5=(25×23)×(52×51= 28 × 53

´ÅdX¿xª 2.4.2

1. ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ

i) 31 × 32 × 33 × 34 × 35 × 36

ii) 22 × 33 × 24 × 35 × 36

2. Æ¥sȨ U¾Q ¿xy×âQÈy×âQÆ? 104 × 103 × 102 × 10?

3. Æ¥sȨ O¬ ~õ{âM¬? (53 × 54 × 55 × 56) ÈáÖâ (57 × 58)

2.4.3 prªvâÀâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª :

29 = 512 = 2

102422

1

10

= : 9 = 10 – 1 ÀâyîÎâyy 29 = 210-1

28 = 256 = 4

102422

2

10

= : 8 = 10 – 2 ÀâyîÎâyy 28 = 210-2

27 = 128 = 8

102422

3

10

= : 7 = 10 – 3 ÀâyîÎâyy 27 = 210-3

26 = 64 = 16

102422

4

10

= : 6 = 10 – 4 ÀâyîÎâyy 26 = 210-4

26 = 64 = 4

25622

2

8

= : 6 = 8 – 2 ÀâyîÎâyy 26 = 28-2

ÀâyîÎryyÖâs gâÀây¾ªn×â, 33 = 27 = 9

24333

2

5

= : 3 = 5 – 2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

199

EÖâývâ Ö³¾Q ÀâÃé¬îÈy ßâÃévâÀâßây+×ây?EÖâývâ Ö³¾Q ¾ÎâyÀâÃéÈy ~kó×âÿ I~kÎrÃégâ~kvây×d?a, O{âÌy×â ¿xªfX, m ÀâyîÎâyy n |â×d°âWÖâ ~kòpâJªÖ⪠m°âÈÌy×â (m > n)

aa a

n

mm n

= -

¿xÝkémªgd aÖâZ~kµâQ : m = n ÈáÖâ m > n ´Ìy×â OÀâygây×ây?.o ~kîûL»¾ ¿xy|dîªßâyêæ Ö³¾Q I{dÝképâǪÈy×âQÆ.

21

22

22

642

5 6 6

1

= = =

mCÄKÑ °rßây+Ö³¾×â,: , ,aa

a n1 0 0>n

n!=- ¾pâÃéĪn×â,

´{á Æ|âªgd, 2 5 1 6225

6

1

= - = --

331

811

7299

334

4 6

2

= = = =- : – 4 = 2 – 6 ÀâyîÎâyy 3-4 = 32-6

;10101

100001000

10101

4

3

= = =- : –1 = 3 – 4 ÀâyîÎâyy 10-1 =103-4

~õô ÆÍkÎâÃéÈ×ây ZѪ¬ pâÃé~kªÈ¨ ZÀdÎâyÀâßây+×ây.a ≠ o O{âÌy×â ¿xªfX ÀâyîÎâyy m ÀâyîÎâyy n |â×d°âWÖâªÈÌy×â m ≠ n

aa a

n

mm n

= - ÀâypâÈmCÄKÑ °rßây+Ö³¾×â,

a0=1´¾Q a ≠ o ¾pâÃéĪn gâÀây¾ªn×â,

22 1

5

5

= =20: 5 – 5 = 0 ÀâyîÎâyy 25-5 = 20

1 3 :4 4 033

4

40

= = - = ÀâyîÎâyy 34-4 = 30

E¬, aa a1

m

m0

= = ´¾ a ≠ 0 ´¾ ßâÃéĪßây×ây.E~kóRvây ~kó×âÿ ¿xÃéZ»¥Öâîªn×â ¾ÎâyÀâyªa ≠ 0 , O{âÌy×â ¿xªfX, m ÀâyîÎâyy n |â×d°âWÖâ ~kòpâJªÖâªÈy. m, n Èy ¿xÀâÃé×âª

ÈáÖâ ´¿xÀâÃé×âª. aa a

n

mm n

= -

m, n È Æ¥y{â ÖáÀâȪ aÖâ a~kRª{⪠Uª{âyÖâªêá ´Æ |â×â ~kòpJdªÖâªÈy ÖdÀâÈÎâyy×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

200

m < n, m = n ÈáÖâ m > n gd IªvâÀâßây+×ây. o ´¾Q ¿xÀâyÎâyªÈª{ây ~õô ¾ÎâyÀâyª ¿xî ´gây×ây.

prªvâÀâ ¾ÎâyÀâyª ÀâyîÎryÖâ gd ßâÃévâÀâßây+×ây. a ≠ o O{âÌy×â ¿xªfX ÀâyîÎâyy . m, n |â×â ~kòpâJªÖâªÈÌy×â,a

aa a

aa a1m n

n

mm

n

m n# #= = =- -

EÖâývâ, aa1n

n=- ´¾ I~kÎrÃéЪßâ ±Ú×â¬.. am–n = am × a–n.E¬ Àryy{âs ¾ÎâyÀâyª×ây ¹è¶ I×âQ¬. Öd¾ –n ´×ây×⬠±yyÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖâª

¬¥¾ ´pâLª Àryy{âs ¾ÎâyÀâyª Æ¿kK½°â pâÃé~kÀáy prªvâÀâ ¾ÎâyÀâyª. ÀâypâÈ gâÀây¾ªn×â m, n ¿xÝkém¿xªfXÈÌy×â,

a–(m + n) a a a1 1m n m n

#= =+ (Àryy{âs¾ÎâyÀâyª)

= a a1 1m n# («×âQpdú)

= a–m × a–n

Àryy{âs ¾ÎâyÀâyª ±yyÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖâªÈy m ÀâyîÎâyy nÈæ ́ ×â]ÎâyÀâygây×ây. Àryy{âs ÀâyîÎâyy prªvâÀâ ¾ÎâyÀâyªÈ×ây prªÚªs¾ ßáî+ ZÀdÎâyÀâßây+×ây

a ≠ 0 ÀâyîÎâyy m, n ~kòpJdªÖâªÈÌy×â am × an = am+n

I{d 6 :- ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ

7 3 23 2 7

2 3 4

2 2 3

# ## #

- -

-

Éd|â×â :- ¿xyÈÅâ pâÃé~kªÈ¨ ÀâÃéî+×â,

33

22

77

3

5

4

2

2

3

& # #- -

-

c c cm m m

= 35–(–3) × 22–4 × 7–3–(–2)

= 35-3 × 2–2 × 7–3+2

= 38 × 2–2 × 7–1

= 2 73

286561

2 1

8

&#

=

I{d 7 :- 3l+2 = 35 ´Ìy×â l ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

201

Éd|â×â :- ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª 2×ây~kÎrÃéЪn×â,3l+2 = 35 Öd¾ a≠o, 1, –1 ´Ìy×â am = an

m = n ÖdÀâó×â l + 2 =5 ÈáÖâ l= 3.´ÅdX¿xª 2.4.3

1. ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ :

(i) 10–1 × 102 × 10–3 × 104 × 10–5 × 106

(ii) 3 5 22 3 54

3 2 4

3 2

# ## #

2. Æ¥sȨ O¬ ~õ{âM¬?

(34 × 23) ÈáÖâ (25 × 32)3. m ÀâyîÎâyy n Èy ÆÆ|â ~kòpJdªÖâªÈy.

2 33 2

m n

m n

## E¬ ~kòpJdªÖ⪠´gây×d? ÖdpâǪ¶Àâ]ªÚ.

4. b ´×ây×⬠|â×â ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â b2

2

4

´×ây×⬠æévd aÖâ ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â b ÎryyÖâý ´×âyæéÈÀâyÌy×â ÆÈyÀâÈy OÆ?

2.4.4 ÀâyÃévâÀâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª

ZѪ¬ I{dÝképâǪÈ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.210 = 22+2+2+2+2 = 22 × 22 ×22 ×22 ×22= (22)5 : 2 × 5 = 10 ÀâyîÎâyy (22)5 = 210

210 = 25+5 = 25 × 25 = (25)2 ; 5 × 2 = 10 ÀâyîÎâyy (25)2 = 210 = 25×2

312 = 32+2+2+2+2+2 = 32 × 32 × 32 × 32 × 32 × 32 = (32)6 : 2 × 6 = 12 ÀâyîÎâyy (32)6 =312 = 32×6

312 = 33+3+3+3 = 33 × 33 × 33 × 33 = (33)4 : 3 × 4 = 12 ÀâyîÎâyy (33)4 = 312 =33×4

312 = 36+6 = 36 × 36 = (36)2 ; 6 × 2 = 12 ÀâyîÎâyy (36)2 = 312 = 36×2

¬¥¾Îâyª{ây {á¾¾ ßâÃéû»î? ¾¥Àâó gâÀây¾ªn×â {d¾¾ aÖâ ¾ÎâyÀâyª ×âª{ây Iþéªßr{âÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

202

a ≠ 0, m ÀâyîÎây n Èy |â×â ~kòpJdªÖâªÈÌy×â (am)n = amn Àâyî Ö³¾Q I{dÝképâǪÈy gâÀây¾ªßâªÚ.

2 2×(-4) = 2–8 = 21

21

8 2 4= ^ h = (22)–4

3(-5) × 2 = 31

31

10 5 2= ^ h = (3–5)2

±yyÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖâ ÁkÃé°dªÖâªÈy æévâ EêyÀâªs ¾ÎâyÀâÃéÈ×ây ´×ây¿xîªßây×â¾ Zgâþéªn×dpd?

a ≠0, m ÀâyîÎâyy n |â×â ~kòpJdªÖâªÈÌy×â (am)–n = a–mn = (a–m)n ´gây×ây.Öd¾ ÁkÃé°dªÖâªÈy ±yyÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖâªÈÌy×â ¾¥Àâó OÀây¾ Zgâþéªßr{âÀâó?I{dÝképâǪ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.5(-4)×(-3)=512 = 5

151

12 4 3=- -^ h = (5–4)3

±yyÇé°âWÖâ ÁkÃé°dªÖâªÈy æévd o ¾ÎâyÀâyª×ây ¿xî¹åª{ây×ây ́ ¾ ¾¥Àâó a~kóRæªêéÀd?(a–m)–n = amn ∀ a≠o, m ÀâyîÎâyy n Èy |â×d°âWÖâ ¿xªfXÈy.´Ìy°á, m, nÈ Îâyª{ây O{âÌy×â aÖâs ¿xy×âQ ´Ìy×â OÀâygây×ây?a≠o, a0 = 1 ÀâyîÎâyy (a0)n = 1n = 1 = a0

ÀâyîÎâyy 0 × n = 0 ´×ây×⬠gâÀây¾ªßâªÚ o Æ|âªgd ÀâyÃévâÀâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª{ây ¿xÃéZ»¥Öâîªßâ Àâßây+×ây.

a≠0, O{âÌy×â aÖâ ¿xªfX ÀâyîÎâyy m,n Èy ~kòpJdªÖâªÈÌy×â (am)n = amn ´gây×ây.

I{d 8 :- ( ) ( )( ) ( )243 1281024 81

2 4

3 4

#

# ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ.Éd|â×â:- 1024 =210,81=34,243=35 ÀâyîÎâyy128=27 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

( ) ( )( ) ( )243 1281024 81

2 4

3 4

#

# = ( ) ( )( ) ( )3 22 3

3 22 3

5 2 7 4

10 3 4 4

10 28

30 16

#

#

##=

= 230-28×316-10= 22×36

= 4×729=2916

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

203

´ÅdX¿xª 2.4.4

1. ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ : (i)

2 3

2 36 5 2 3

5 6 3 2

#

#

^ ^^ ^

h hh h (ii)

3 5

5 32 3 3 2

3 2 4

#

#- - -

-

^ ^^h hh

2. m, n prªvây ~kòpJdªÖâªÈy OÆÈyÀâÈæ 2m+n = 2mn ´gây×ây?3. (2m)4 = 46 ´Ìy×â m ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

2.4.5 ×dÈ$Àâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª.

ZѪ¬ I{dÝképâǪÈy gâÀây¾ªßâªÚ.(1) 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10

= 2×5 × 2×5 × 2×5 × 2×5 × 2×5

= (2×2×2×2×2) × (5×5×5×5×5)

= 25 × 55

EÖâývâ, 10 = 2 × 5 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.(2) 34 × 24 = (3×3×3×3) × (2×2×2×2)

= (3×2) × (3×2) × (3×2) × (3×2)

= 6 × 6 × 6 × 6

= 64

EÖâývâ 3 × 2 = 6 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ÀâyîÎryyÖâ I{dÝképâǪ×ây gâÀây¾ªßâªÚ.(3) (–2)4×(4)4 = (–2)×(–2)×(–2)×(–2)×4×4×4×4

= (–2 × 4) × (–2 × 4) × (–2 × 4) × (–2 × 4)

= (–8) × (–8) × (–8) × (–8)

= (–8)4

EÖâývâ (–2) × 4 = (–8) ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ. prªvây ¿xªfXÈy ±yyÇé°âWÖâªÈÌy×â OÀâygây×ây ´¾ °rÈy¿xyÖ³×r{âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

204

(4) (–3)3 × (–5)3 = (–3) × (–3) × (–3) × (–5) × (–5) × (–5)

= {(–3) × (–5)} × {(–3) × (–5)} × {(–3) × (–5)}

= 15 × 15 × 15

= 153

(–3) × (–5) = 15

Àây×⪠ÈrÖâý ßáû×⬠¿xî ´Ìy×â {â¾ Àâyù¥\ gâÀây¾ªn»Æy.o Æ|âªgd ZÖ³°âK ¾ÎâyÀâyª×ây ¾pâÃéĪßâ Àâßây+×ây.a ÀâyîÎâyy bÈy ¿xy×âQ Èá¾ ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy m |â×â ~kòpâJ¿xªfX ´Ìy×â (a × b)m = am × bm ´gây×ây.m = 0 ´Ìy×â E¬ ¿xî ´gây×ây ´¾ gâÀây¾ªßâ Àâßây+×ây. Öd¾ a≠0 ÀâyîÎâyy

b≠o ´Ìy×â a×b≠0, ´¾ ¾pâJÎâyª×âæ pdÀâßây+×ây.(a × b)0 = 1 Öd¾ a0 = 1 ÀâyîÎâyy b0 = 1 ÖdÀâó×âa0 × b0 = 1 ¬¥¾¾ ±s¦ (a × b)0 = a0 × b0

m ±yyÇé°âWÖâ ÀâyÌy×â OÀâygây×ây?a, b Èy ¿xy×âQ Èá¾ ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy n ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â,a b

a b a b a ba b1 1 1 1n

n n n n n

n n#

# ## #= = = =- - -^ ^h h ´gây×ây

±yyÇé°âWÖâ ÁkÃé°dªÖâªÈy æévâ o ¾ÎâyÀâyª ~kî¹dsªßây×ây. Àây×⪠ZÖ³°âK ¾ÎâyÀâyª×ây ¿xÃéZ»¥Öâîªßâ Àâßây+×ây.a≠o ÀâyîÎâyy b≠o O{âÌy×â prªvây ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy m ~kòpJdªÖâÀâyÌy×â (a × b)m = am × bm ´gây×ây

EªÖâ×ây UæýÀâ I{dÝképâǪÈy×âQÆ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

205

I{d 9:- 21 1015 14

3

4 3

3

## ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ.

Éd|â×â :- ÈÀ⪠= 154 × 142 = (3 × 5)4 × (2 × 7)2

= 34 × 54 × 22 × 72

´{á Æ|âªgd Ýkëpâª= 213 × 103 = (7 × 3)3 × (5 × 2)3

= 73 × 33 × 53 × 23

EÀâ]±Ú×â ¿xÀây¿kXÎâyª{ây,

7 3 5 23 5 2 7

3 3 3 3

4 4 2 2

# # ## # # = 34–3 × 54–3 × 22–3 × 72–3

= 2 73 5

1415

## =

I{d 10 :- Æ¥sȨ O¬ ~õ{âM¬? (0.25)4 ÈáÖâ (0.35)3

Éd|â×â : .0 2541= ÀâyîÎâyy .0 35

10035

207= = prªÚªs×â ¹è¶+×â

414 ÀâyîÎâyy

207

3

3 Öd¾, 203 = (4 × 5)3 = 43 × 53

.

.

0 35

0 25

4 74 5

4 75 1<

3

4

4 3

3 3

3

3

##

#= =^

^hh

Öd¾ 5 < 7 ÖdÀâó×â (0.25)4 < (0.35)3.

´ÅdX¿xª 2.4.5

1. ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ..

(i) 10 36 5

3 4

8 3

## (ii)

5 36

15 126 2

3 4

#

#-

-

^^ ^

hh h (iii)

. .

. .

0 2 0 2222

0 22 0 2225 2

4 3

#

#

^ ^^ ^

h hh h

2. 5

1013

4 3^ h E¬ aÖâ ~kòpJdªÖâÀâÃé? Ák¶°âª×ây ¿xî ßâÃévâªÚ.

3. Æ¥sȨ O¬ ~õ{âM¬? (100)4 ÈáÖâ (125)3

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

206

2.4.6 Y{âÀâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª

4 4 4 4 43 3 3 3 3

43

43

43

43

43

43

43

5

5

5

# # # #

# # # ## # # #

=

= =

` j

´{á Æ|âªgd

5 5 554

54

54

54 4 4 4

5

43

3

3

# ## #

# #- = - - - =- - -

=-` ` ` ` ^ ^ ^ ^j j j j h h h h

o prªvây I{dÝképâǪÈy OÀây¾ ¿xÃénªßây×ây?ÀâyîÎryyÖâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª I×âQ{⾠ƥypây ßâÃéßr{âpd?

a, b ¿xy×âQ Èá¾ ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy m |â×â ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â ba

bam

m

m

=` j ´gây×ây.m=0 ´Ìy×â ¿xî ´gây×ây ´¾ gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây.ba

ba1

110

0

0

= = =` j m ´×ây×⬠±yyÇé°âWÖâ ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â Æ¥ypây OÀây¾ gâÀây¾ªßr{âpây?m < 0 ́ Ìy×â n = –m aÖâ |â×d°âWÖâ ~kòpJdªÖ⪠ÖdÀâó×â o ¾ÎâyÀâyª |â×d°âWÖâ ~kî~kòpâJ

ÁkÃé°dªÖâªÈæ æévâ I~kÎrÃéЪßâÀâßây+×ây.

ba

ban

n

n

=` j

aa a1 1n

n m= =- ´¾ °r¶Îâyy×ây..

´{á Æ|âªgd, bn = b b1 1

n m=- ÈáÖâ

bb1

n

m=

o Æ|âªgd, ba

ba a

b ab

ab1 1n

n

nn

n m

m

m

m

# # #= = =` j ´¾ ´gây×ây.

Öd¾, ba b

aab1

m

n

m

m

= =`

`j

j ´¾ °r¶Îâyy×ây.

ba

ba

m

mm

& = ` j

Àây×âæ ±yyÇé°âWÖâ ÁkÃé°âªÈæ aÖâ ¾ÎâyÀâyª {³îÑ×â¬. o Æ|âªgd Y{âÀâ ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª×ây ZÀdÎâyÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

207

a≠0 ÀâyîÎâyy b≠0 ÀâyîÎâyy m aÖâ ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â ba

bam

m

m

=` j ´gây×ây.I{d 11 : .

.50 2

0 524 3

=-

` `j j ¿xÃéã¡WÖâpâªßâªÚ. Éd|â×â :- prªvây «×âQªÈ×ây Àápây Àápâygd ¿xÃéãðWÖâîªßâÀâÈr×ây,

. ;.

2 2 250 2

51

0 52

2

2#= = =` `j j

{â°Kdªµâª Z~kÖdpâª,.50 2 2

42 3

#-` ^j h

.51 2

5 21

5 101 0 0000004

2

42 3

8 6 2 6## #

= = =-c ^m h

I{d 12 : Æ¥sȨ O¬ ~õ{âM¬?(2.5)6 ÈáÖâ (1.25)12

Éd|â×â : (2.5)6 = 25

256

6

6

=` j

´{á Æ|âªgd, (1.25)12 = 45

45

2512

12

12

24

12

= =` j

25

6

6 ÀâyîÎâyy 25

24

12 o prªÚªsȨ O¬ ~õ{âMî ´¾ ~kî¥Ñíªßâ ÀâÈÎâyy×ây. 56 ÀâyîÎâyy 218 Æ¥sȨ O¬ ~õ{âM¬ ´¾ ¾pâJÌyªßâÀâÈÎâyy×ây?

52 = 25 < 32 = 25

ÖdÀâó×â 56 = (52)3 < (25)3 2656

24

12

18

6

6

6

25

25

25# 1=

= 215 < 218

(1.25)12 < (2.5)6 ´¾ ¾pPdîªßâÀâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

208

´ÅdX¿xª 2.4.61. ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ : (i)

32

468 3

#` `j j (ii) (1.8)6 × (4.2)–3, (iii).

.

0 015

0 00064

9

-^^

hh

2. ( )( )3530

2

3 n aÖâ ~kòpJdªÖâ Àâygâyêæ n æ OÖâ¾Ík¦ ÆÈyÀâ IªvâÀâÈÎâyy×ây?

3. 254

52m m2

=` `j j ×âª{ây m≠0 ´Ìy×â m O ÆÈyÀâ Öâ¶Ð Iªêyª¬?4. (3m)n = 3m × 3n ́ Ìy×â m,n ́ ¾Q |â×d°âWÖâ ~kòpJdªÖâªÈy ¿xî ́ gâyר Öâ×âyg³×âªÚ.×dÈ$Àâ ¾ÎâyÀâyª ×âyªÚ Y{âÀâ ¾ÎâyÀâyª Édºªßâ Àâßây+×â¾ ßâÃévâÀâßây+×ây.

ba a b 1

#= -

´¾ Àây×⪠ZÀdÎâyÀâßây+×ây.´{á Æ|âªgd,

ba m` j =(a × b–1)m = am × (b–1)m = am × b–m =

ba

m

m

ÀâyÃévâÀâ ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdpâª,

(b–1)m = b–m ´¾ gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây, o Æ|âªgd Y{âÀâ ¾ÎâyÀâyª, ×dÈ$y ÀâyîÎâyy ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâÃéÈ Æ¿kK½°â pâÃé¹dÈy. Z~kÀâyyf ´ªµâªÈy

o ¾ÎâyÀâÃéÈy ²©mg⧰⠿xÀâÃé¿xª ×âª{ây ßâpâpdµâyÈæ æévâ ¿xî ´gây×ây. Eª°âÀâpâæ o ¾ÎâyÀâÃéÈy ¿xªfXÈæ ¿xî Agây×ây ´¾ ßâÃén×dpây.

x aÖâ ßâpâpdú ÀâyîÎâyy ´¾Q m, n ~kòpJdªÖâªÈÌy×â xm.xn = xm+n ´gây×ây.EÖâývâ x0=1´¾ ¾pâ]nªßr{âª.a–n =

a1n , 0a ! ´×ây×⬠¿xªfXÈæ ¿xî ´gây×ây. Öd¾

x1 æ Öd{ây.

ÖdÀâó×â x–n, naÖâ ¿xÝkém ¿xªfX ´Ìy×â, xn.x–n = 1 ¿xî ´gây×ây.E~kóRvây Àây×⪠x–n ×ây

x1n ´¾ ZÀdÉKdª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

209

o Æ|âªgd, xn.x1n = 1 ´¾Q ¿xÝkém ¿xªfXÈy n.

xx1n

n= - ´¾Q ¿xÝkém ¿xªfXÈ n æ ¿xî ´gây×ây ´¾ gâÀây¾ªßâ ÀâÈÎâyy×ây.

¬¥¾×âyªÚ, xm.xn = xm+n Àryy{âs ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdp⪠¿xî ´gây×ây.

´{á Æ|âªgd, (xm)n = xmn ´¾Q m, n ~kòpJdªÖâªÈy.(x.y)m = xm.ym ´¾Q ~kòpJdªÖ⪠m ÀâyîÎâyy ´¾Q ßâpâpdµâyÈy x ÀâyîÎâyy y.

ÁkÃé°dªÖdÈy ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy 1. ¿xî ´Ìy×â I°âKpâª×âæ gâypâKy IªßâªÚ.

a) m, n ~kòpJdªÖâªÈÌy×â (3m)n ÆÈyÀâ

A. 3m+n B. 3mn C. 3mn D. 3m + 3n

(b) x, y, 2x + y2 Èy ¿xy×âQ Öd¾ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈÌy×â x

yx

y2

22

2

1 1 1

+ + =- - -` ^ `j h j$ .

A.1 B. x.y–1 C. x–1.y D. x–1.y–1

(c) 2x – 2x–2 = 192 ´Ìy×â x ÆÈyÀâ ............

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

(d) 6 6 616^ ^ hh ÆÈyÀâ OÆÈyÀâæ ¿xÀâÃé×âª..........

A. 66 B. 6 166

- C.6 65^ h D. 6 56^ h

(e) mn = 25 ´Ìy×â (m, n) ÆÈyÀâ O¬?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 Öâ×âQ UæýÀâ2. ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyªÈ×ây~kÎáydЪn ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ. i) ( )

16212 6 ; ii) 3 10 (625)

5 63 4

4 5

#

# #- -

- - ; iii) ( )223 2

32 .

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

210

3. ¿xÃépâyXvây ÀâyîÎâyy ÅâÃéÆy ÀdX¿xªÈy ZÖâÀâyªgd ¿xyÀâÃépây 1.4×109 Æ¥yêpâ[y ÀâyîÎâyy 1.2768 × 107 Æ¥yêpâ[y I×âQÆ. ´Ìy×â ¿xÃépâyXvây ÀâyîÎâyy ÅâÃéÆy ÀdX¿xªÈ ´ª{dmä ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ.

4. 10

10 102

3 2 4# -^ h ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ ?

5. ¿xÃéã¡WÖâîªßâªÚ ( ) . ( )

. .

b b

b b b2 2 3

3 7 1 2 2

-

- - -^c h m .6. ZѪ¬ Àd¾È¨ Z~k»{d¾ ÆÈyÀâÈy Öâ×âyg³×âªÚ. a) (3 ) ( 2) ( )52 3 22 2 2

- - - -^ ^h h ;

b) ( . ) ( . )0 6 4 52 00 2

--^ ^h h ; .

c) ( ) ( ) ( )4 2161 8 6421 4 5

35 2 3

# # # #- -` j ;

d) ( . ) ( . )0 75 0 3233 3

3

- + - ---

` j ;

e) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

24 6 2 144 2 9 4

8 4 3 27 9 6 4 32

2 4 4 2 3 4 2 2 2

2 4 3 2 3 7 3

# # # # #

# # # # # #

+

+

^ ^^ ^

h hh h ;

f) ( )

( ) ( )6 2 12

2 27 15 4 99 10 10

19 3 9 4

#

# # #

++ .

7. 23 × 54 × 205 ÆÈyÀâÎâyª{ây O¾Q ´ªÖrÈy×âQÆ ?

8. a7 = 3, ´Ìy×â a

a a a7

2 3 173 4 1

# #- -- -^ ^ ^h h h ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.9. 2m × a2 = 28, ÀâyîÎâyy a, m Èy |â×â~kòpâJ ¿xªfXÈy ´Ìy×â Éd|âXÀâyÌy×â, a+m ÆÈyÀâÈy Öâ×âyg³×âªÚ. 10. 3k × b2 = 64, ¾Ådƪn×â, k, b Èy |â×â ~kòpâJ ¿xªfXÈy ´Ìy×â Éd|âXÀâyÌy×â k +b ÆÈyÀâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

11. ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ. ( ) ( )( ) ( )625 5625 25

. .

. .

7 25 1 20

6 25 2 60

#

# .

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

211

12. aÖâ Àây¾¸ Àâ{âM 5 ÁkÃé°âªÈ¨ Iªvây ~õôÖ⪠I×âQ¬. ¬¥¾È¨×âyªÚ Ö³ª°â Ådg⪠°â×â ¿öQþé°ây¾Ñ Eßr+×ây. ´¬ æévâ 5 ÁkÃé°âªÈ¨ I×âQ¬. ´°â¾ {âgâ$pâ ` 500, Æyж×â ´°â¾ {âgâ$pâ Uª°â ~õôÖ⪠Àryy{âê Iªvâ Àâßây+×ây ?

GLOSSARY: (¹dîÅd¸Öâ ~k{dÈ Édpdªµâª)Ödª» ¿xªÀâ°âbp⪠:-aÖâ Ödª» ÑpâǪ aÖâ ¿xªÀâ°âbp⪠×âª{ây ~kÎây¾ªßây {âÃépâª

E¬ 4.3×365×24×60×60×299792 Ñ.Æ¥y Èæ ¿xÀâÃé×âª.ÁkÃé°dªÖdÈ Èáf×⪠:- a×a×a×.............×a ......'n' ~k{dÈÀâpâæ=an.A|dp⪠:- an ~k{âª×âª{ây a ´×ây×⬠A|dpâª.ÁkÃé°dªÖ⪠:- an ~k{âª×âª{ây n ´×ây×⬠ÁkÃé°âª.ÁkÃé°dªÖâ ¾ÎâyÀâyªÈy :- ¿xy×âQ Èá¾ ¿xªfXÈy ÀâyîÎâyy m,n ́ ¾Q ~kòpJdªÖâªÈÌy×â,

am×an = am+n ; ( am )n = amn ; (ab)m = am × bn ¿xî ´gây×ây.(a,b Èy ²©mg⧰â ßâpâpd¿xyÈy ÀâyîÎâyy m,n Èy Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy)

gâyîKªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy• n > 0 ´Ìy×â 0n = 0, n ≤ 0 ´Ìy×â 0n ¾pâ]nªßâ ÈáÀâyy.

• m = n ÀâyîÎâyy a≠0, 1, ÈáÖâ –1 ´Ìy×â am = an

• a≠0 , n ¿xÝkém¿xªfX ´Ìy×â aa1n

n=

• a≠0 ÀâyîÎâyy m, n ~kòpJdªÖâªÈÌy×â am × an = am+n ´gây×ây.

• a≠0 ÀâyîÎâyy m, n ~kòpJdªÖâªÈÌy×â (am)n = amn ´gây×ây.

• a≠0 , b≠0 ÀâyîÎâyy m ~kòpJdªÖ⪠´Ìy×â (ab)m = am × bm ´gây×ây.

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

212

Ådgâª-5páfd~kêªÈ ~kîßâÎâyª (GRAPHS)

o Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpâyÀd°â Æ¥ypây o ZѪ¬ ÆÍkÎâÃéÈy °rÈy¿xyÖ³ªêépây.• aÖâ º¥pâ$ ßâ°âypâZ¿x ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây, aÖâ ¿xÀây°âȪ ×âª{ây I×âQ

aÖâ ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâyê °rÈy¿xyÖ³×r{âpây.• aÖâ ´ãâ¾pâÃé~k ÖdÈ ÀâXÀâ¿kL ÎryyÖâý pâßâ×â ÀâyîÎâyy {d¾Îâyª{ây ¿xpâÔâpáfÈyÐ¥

Îâyyê °rÈy¿xyÖ³ªêépây.• prªvây Æ«×âQ º¥pâ$ßâ°âypâZ¿x ´ãâ¾pâÃé~k ÖdÈ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây ¿xÀâÃ骰âpâ ¿xpâÔâ

páfÈyªÚ×â aÖâ ²ª{âyÀâó×ây ¹èÈy+ê °rÈy¿xyÖ³ªêépây.• Zgd~kó ~kêª×âª{ây ¿xpâÔâ páf×ây ßâÃén {d¾ ¿xÆ¥yÖâpâÇé¾Q pânªßâyê

°rÈy¿xyÖ³ªêépây.2.5.1 ~kîßâÎâyª

Àáy ×rÈ UªvâÖdȪ×âª{ây ~kpâX°âúfpâªÈª{ây Ö³¾Q ¬×âªÈy ÀáÚ Öâ¶Ð IªvâÀâßây+×ây ÀâyîÎâyy Ö³¾Q ¬×âÀâyyÈy Àâyî¥ UÖâýÀâ ÀáÚ Öâ¶Ð Iªvây×ây ´¾ °rÈy¿xy Ö³×âÀâßây+×ây. gâîÍk¦ I¤Jdªµâª×ây Z~k»¬×⪠ֳÈyÀâ Àâßây+×ây. (£dî×Ò ÝöéêÒ ÈáÖâ ¿õ¶bÎây¿Ï I~kÎrÃéЪßâÀâßây+×ây) Àryy°âKª ×rÈæ {â°Kdªµâª×ây ¹åª{âÀâßây+×ây {d¾¾ ×ápâygd ~kꡦ ßáÎâyÀâßây+×ây.

¬×⪠1 2 3 4 5 6 7 8 .... 30 31gâîÍk¦ I¤Jdªµâª 330 320 340 350 370 320 350 380 .... 36 360

´{áÆ|âªgd aÖâ ¿xªÀâ°âbp⪠×âª{ây Z~k»×rÈ Àâpâ_ª×ây ́ ªgâyÔéÈy ÈáÖâ ¿õª. Æ¥y. È Îâyª{ây °rÈy¿xyÖ³×â Àâßây+×ây. o ´ªµâªÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyyê ÅâÆÍkX°âKy ×âª{ây UæýÀâ I~kÎrÃégâ ~kvây×ây I{dÝképâÇæ, Àâpâ_ª×ây ÆÆ|â ¿xªÀâ°âbp⪠Ȫ{ây ~kꡦ ßáû, ÀâXÀâÉdÎâyª×âª{ây ~kªê×ây ÎrÃénª~kÀâßây+×ây. o Æ|âªgd EªÖâ×ây ´×áÖâ Z~kÀâyyf ÆÍkÎâyªÈy, ¾°âX ÊËÀâ×⪠×âª{ây ¿xÃénªßây ÀâyyfX ´ªµâªÈy I°âKÀây ÅâÆÍkX°âKy Ö³pâæ ¿xÃénªßây êæ ÖdÀâÈû Iªvây×ây. ~õô Æ|âªgd ~ks¦ ßáÎâyyê ßdÈ ¿xyÈÅâ ÀâyÌy×â ÆÍkÎâyª. Öd¾ E¬ ßdÈ ÖâÍk¦ÀâyÌy×â Æ|d×⪠~kꡦ ßáÎâyyê ~kîÇéÀây ÖdîÆ|d×⪠Z~kmÈy ÖdÀâÈÎâyy×â¾ ´ªêépây. ÀâyîÎâyy o Æ|d×⪠Ƶá[¸ªßâyêæ ´×âyæéȪ o ~kîÇéÀây Æ|d×âª×ây páfd~kêª I~kÎrÃégâ Àâyªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

213

páfd~kêª ´ªêá OÆys?

aÖâ Z~kÎrÃég⪠mpâygây×â~kóvây ÖâÔâ\æ Öâ×â ±vây ¿xªfdX¿xÃéßâÖâªÈ ÆÀâpâÇ ~kꡦ ÎryyÖâý nZ»¥ÖâpâÇ×ây páfd~kêª ´ªêépây. páfd~kêª×ây ßâÃén ¿xyÈÅâªgd ´pâMªßá¿xyÖ³×âÀâßây+×ây. o páfd~kêªÈ {â°KdªµâªÈ×ây ´»°â]°âpâgd Ƶá[¸ªßâyêæ ¿xÝkéÎâyª ßáÎâyy páfd~kêªÈy Àápây Àápây Æ|âªÈygd I×âQÆ.

ÖâÆ¥yW nZ°âª (BAR CHART), ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈ ~kêª (CARTESTIAN GRAPH), ~õô nZ°âª (PIE CHART), þéÉè¦Zgdª (CARTESIAN GRAPHS), aÖ³ýÖâý pâÖâªgd {â°KdªµâªÈ×ây ÆÀâîªßâyêæ EÀâ¾QÎâyy I~kÎrÃégâ ~kvây×ây. o páfd~kêªÈy I~kÎrÃéЪßâyê Àr×âyÖâ ´ÚÐ I×âQ °â°â]ª aÖâêá ´{á ¿xªZgâþéªn×â ÆÍkÎâÃéÈ×ây nZ°âª {d]pd¿xyÈÅâªgd ´pâLª ßá¿xyÖ³×âyê.

2.5.2 ÖâÆ¥yW nZ°âªÈy (BAR CHART)

2006×âª{ây aÖâ ÀâpâKÖâ ¿xªÁkyªæ pâÃé 36 ÈãâÈ ÈéÅâª, 2007 ×âª{ây pâÃé 48 ÈãâÈy, 2008 ×âª{ây pâÃé 70 ÈãâÈy, 2009 ×âª{ây pâÃé 85 ÈãâÈy ÀâyîÎâyy 2010 ×âª{ây pâÃé 75 ÈãâÈy ÈéÅâªÈ×ây ¹èª¬×⬠´¾ Ådƪn×dpây Àây×⪠º¥pâ$ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¿kKªÅâªÈ×ây ~kÎrÃéЪn 5 ¿xªÀâ°âbpâªÈ ´ÀâºÎâyª{ây A ÀâpâKÖâ ¿xª¿kL ßáû×â ÈéÅ⪠nZ°âªÈy o ZѪ¬ Æ|âªgd I×dQÆ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

214

~õô ~kêªÈ¨ Z~k» ¿xªÀâ°âbp⪠gâÚªn×â ÈéÅâªÈ×ây ~õôÆ|âªgd ßâÃéĪßâÀâßây+×ây. o ÀâpâKÖâ ¿xª¿kLæ ÈéÅ⪠UæýÀâgây nÀâÑ. Öd¾ Àr×âyÖâs ¿xªÀâ°âbpâª×âª{ây °âæýÀâgd I×âQ¬.

o ÖâÀáyW nZ°âªÈ×ây Z~k°áXÖâªgd ÆÚgd ZÀdÎâyy ´ÀâµâXÖâ°â Èá{ây. úÈRæ 8 Àâ °âpâgâ»Îâyª{ây Àân+×â ÀâÃépâyýÈy o Æ|âªgd páfd~kêªÈª{ây ßâÃéûªßâÀâßây+×ây. Z~k°áXÖâ ÆÍkÎâyªÈÎâyª{ây Z¹dÆ¥ÇX°â×ây ¿xyÈÅâªgd ¹èÈy+Ö³×â Àâßây+×ây.

2.5.3 ~õô ×âãâ (PIE CHART)pâþ©éª aÖâ ~kîZµâÀây Îâyª{ây aÖâ Eªm¾ÎâypÒ ÀâyîÎâyy ´°âvây ×rÈæ pâÃé 36000

Àá°â×âª×ây ¹èª{ây×ây. ´°â¾ ×rÈfpây+Èy o Æ|âªgd I×âQ¬. Eªs ´{rM - ` 6000AÝkëp⪠- ` 6000 ÄÈ[È úãâÇ - ` 3,600E°âpâ ÆÍkÎâyªÈy - ` 6000°â¶[{âªZvâyÈ ¹èÍkÇ - ` 6000¹å{ây~kó - ` 8,400.

~õô{â°KdªµâªÈ×ây OÆ|âªgd páfd~kêª {d]pd ßâÃéÄÉKdpây?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

215

°â×â Àá°â×⪠×âª{ây Uª°â ´ªµâª {á¾Ñ fpâ+gây×ây ´¾ pâþ©éª °rÈy¿xyÖ¨ÀâÈÎâyy ×â¾ ´×ây Ö³ªêévây. °âãâÇÀáy ´°â¾ Àryy°âKª ×rÈ ÊË°âª×âª{ây Uª°â fpây+ ´gâyר páfd~kêª {d]pd °rÈy¿kKyª¬.

`3600 È×ây aÖâ ~õ{âMÀâ½°âK ¿xÝkëÎâyª ×âyªÚ Àây×⪠ßâÃéĪßâ Àâßây+×ây. pâþ©éª Àryy°âKª A{dÎâyª×âª{ây fpây+ aÖâ Ådg⪠ÖdÀâó×â, Àâ½°âK Ådgâª×âyªÚ A fpây+È×ây ßâÃéĪßâÀâßây+×ây. Àryy°âKª A{dÎâyª×âª{ây fpây+È ́ ×ây¹d°âª Z~k»²ª±ª ÖdÀâÈÎâyy×ây, I{dÝképâÇæ ̀ 6000 ±dvâygâæ fpây+ßáû×â, ´°â¾ ±dvâygâ fpây+ ¾ÍkR»K ¾ A{dÎâyª ×âyªÚ ¹èª{âÀâÈÎâyy×ây ´¬

360006000

61=

o Æ|âªgd ´°â¾ Eªs ´{rM fpây+ ´{dÎâyªÈ¨ 61 Ådgâ ÀâyÌy×⬠ÖdÀâó×â ~kòîK

Àâ½°âKª×âª{ây 61 Ådg⪠Eªs ´{rM ßâÃéĪßâÀâÈÎâyy×ây.

~kòîKÀâ½°âKª 3600 ֨Ǫ I×âQ AÀâ½°âKª ÖáªZ{â ²ª{âyÀâó×âyªÚ »¥¿xy Ö³¾ 600 Iªvây Z»méXª°âpâ fªvâª×ây (SECTOR) pânªßâªÚ. Uª{ây Öâªêá 3600 ÀryyÖâý

61 Ådg⪠600

´Ìy×â¬. o Æ|âªgd Z»méXª°âpâ fªv⪠Àâ½°âKª 61 Ådgâª×ây ßâÃéĪßây×ây. E{á Æ|âªgd

Z~k» aÖâ ´ªµâªÈ×ây ßâÃéĪßâ Àâßây+×ây. Z»méXª°âpâ fªv⪠(SECTOR) ֨ǪÈ×ây Z~k» ´ªµâª fpây+æ ´×âygâyǪgd Öâ×âyg³×âÀâÈÎâyy×ây.

Eªs ´{rM - 360006000

61= ÀâyîÎâyy

61 360 600 0# =

AÝkëp⪠- 360006000

61= ÀâyîÎâyy

61 360 600 0# =

ÄÈ[ÈúãâÇ - 360003600

101= ÀâyîÎâyy

101 360 360 0

# =

E°âpâÀâyyÈy- 360006000

61= ÀâyîÎâyy

61 360 600 0# =

°â¶[{âªZvâyȹèÍkÇ -360006000

61= ÀâyîÎâyy

61 360 600 0# =

¹å{ây~kó - 3600008400

307= ÀâyîÎâyy

307 360 840 0

# =

¬¥¾Ñ ´×âygâyǪgd páfd ~kêª ZѪ¬ ƺªgd I×âQ¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

216

gâÀây¾ªßâªÚ : 161

61

101

61

61

307+ + + + + =

2.5.4 ´ãâ¾pâÃé~kÖâ Æ|d×⪠(COORDINATE SYSTEM)

{â°KdªµâªÈ×ây ßâÃéĪßây ÈáÖâ Z~k» ¹d¬ªßây ÀâyîÎryyÖâ I~kÎâyyÖâKª ÀâyîÎâyy Z~kÀâyyf Æ|d×âÀáy Àáy ´ãâ¾pâÃé~kÖâ Æ|d×â ~kêªÈy. Àds¾ Öd¸Îây×Ò ~kêªÈ¾ æévâ ´ªêépây. Uª{ây Öâªêá Àds ÀâyÃéÈ °â°â]ª Ödî_¸Îây×Ò ÀâXÀâ¿kL Æ¥y{â A|dpâ ~kÚ I×âQ¬. ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL aÖâ ¿xÀây°âȪ×âª{ⶠ²ª{âyÀâóÈ×ây ßâÃéĪßây×ây. aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây »¥¿xyÖ³¾×â A¿xpâÔâ páf Æ¥y{â I×âQ ²ª{âyÀâóÈy Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈÀâó °dÌy. aÖâ ¿xÀây°âȪ ×âª{ⶠ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây prªvây ¿xpâÔâ páfÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs Ȫêªgd I~kÎrÃéЪßâ ±vây×ây. EÆ ¿xÀây°âȪ×âª{ⶠ²ª{âyÀâóÈ×ây ¾îPÍk¦î¥»È¨ gâyîKªßâyêæ ¿xÝkëÎâyª ßáÉKdÌy. ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL aÖââ ÖâÈR×â Æ¥y{â O Æ|âªgd ´×â]Ìyªn ±Ú×â¬. aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉd Ödpâ ~kn+Öâ Àryô{d×⪠×âª{ây ¾¥Àâó aÖâ ÀâyÃéÈÎâyª{ây ¾ÈyßâyÖ³×dQÀââ¾ ´×âyÖ³¿xyÀâyy. aÖâ AÀâó ´ Àryô{d×⪠×âª{ây aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÀáyÎâyy ßây×âQ¬. A AÀâó O ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÀáyÎâyy ßây×âQ¬ ´¾ ÉdªfdXÖâªgd gâyîKªßâÀâÈÎâyy×ây. OÀây¾ ßr~õR{âpây? ¿xyÈÅâÀâÃépâ$ª OÀây×âgd ¾¥Àâó ¾Èyßây×âQ ¿kLȪ ×âyªÚ AÀâó I×âQ ¬æýÀrô~kó ×âvâyÀâ ÀâÈr×ây. Uª°â{âÃép⪠×âvân×⬠ֳÈÀâªÚ. ¿xî ́ Ìy×â ÀâyîÎâyy ́ ×âyæéÈ ÀâyÌy×â Z~kÀâÃéÇ Ö³È°â×ây~k ÎrÃéЪn A{âÃépâª×ây Ö³ÈÀâªÚ. {d¾¾ Àâyî ÎryyÖâîÑ ÆÀâîªßây ×â~kóvây, Æ¥ypây ÀdîÑ O¬æý×âyªÚ ×âvân ×⬠ÀâyîÎâyy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

217

Uª°â{âÃép⪠×âvân×⬠´¾ °rÈy~kÀâÈÎâyy×ây. ¬æý×ây ÀâîJª ßâyê ´ª°â¿xyÈÅ⪠Öd{ây. ÖdÀâó×â Àâyî ÀryyÖâ Æ|d×⪠I~kÎrÃéЪßâ ÀâÈÎâyy×ây.

¾¥Àâó A~kn+ÖâÀryô{d×⪠ßâyê¦y I×âQ Z~k{áµâª×ây Àryy{âê gâyîKªßâÀâÈÎâyy×ây. A ²ª{âyÀâó{âgâ$pâ ¾¥Àâó ÀâyîÎâyy E ²ª{âyÀâóÀâ{âM AÀâóI×ââQê[y nZ°âªÈ¨ ßâÃé Ä×â gd I×âQ{â×ây Ö³×âyÀâyy ¾¥Àâó AB Àrô~kó ×âvân F Àâ{âMæ ÀrÔâ[yÀâyy. EF ´×ây×⬠AD æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd I×âQ¬. gâÚÎâÃép⪠ßⶪßây Æpây{âM ¬æý ×âyªÚ 900 ßⶪn AÀâó Àâ{âMæ ÀrÔâ\ªÚ. EÖâývâ EF//AD ́ ¾ ́ ×âyÖ³ªÚ AF=300 Æ¥yêpâ[y. EF=100 Æ¥yêpâ[y E~kRvây Æ¥ypây o Æ|âªgd ßr~kRÀâßây+×ây. AB ¬æý Àrô~kó 300 Æ¥yêpâ[y ÀâyîÎâyy AD ¬æýÀrô~kó 100 Æ¥yêpâ[y {âÃépâªÈ¨ AÀâó I×âQ{â¾ ßr~kRÀâßây+×ây.

ÖdÀâó×â E ²ª{ây ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy (300,100) A ×âyªÚ I×âQÆ. ÖdÀâó×â o ÀâXÀâ¿kL(AB, AD) AÌyI×âQ¬. ¿xÃéãâWªgd ßr~kRÀâßây+×ây AB ¹åvâÀâó 300 Æ¥yêpâ[y, AD ¹åvâÀâó 100 Æ¥yêpâ[y ´¾gâÀây¾ªßâªÚ.

AD ¹åvâÀâó Àrô~kó×âvân G ²ª{âyÀâó AG=100 Æ¥yêpâ[y ÀâyîÎâyy AB æ¿xÀâÃ骰âpâªgd GB ¹åvâÀâó Àrô~kó×âvân E ²ª{âyÀâó GE=300 Æ¥yêpâ[y ´gây×ây o Æ|âªgd ²ª{âyÀâó×âæ I~kÎrÃéЪn×â ÀâXÀâ¿kL A ×âyªÚ (AD, AB) IªÚ×â E ´ãâ¾pâÃé~k ÖdÈy (100,300) ´gây×ây.

gâÀây¾ªßâªÚ!A ×âyªÚ (AB, AD) ÀâXÀâ¿kL IªÚ×â E ²ª{âyÀâó ¿xª±ªºªßây×âê[y ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy

(300,100) gâyîKªßâ ±Ú×âÆ. ´{á ²ª{âyÀâó E æ ¿xª±ªºªßây×âê[y. A ×âyªÚ (AD, AC) ÀâXÀâ¿kL IªÚ×â E ²ª{âyÀâó ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy (100,300) gâyîKªßâ ±Ú×âÆ ÖdÀâó×â ´{á ²ª{âyÀâó E Àápây Àápây ÀâXÀâ¿kLÈæ ´×âygâyǪgd Àápây Àápây ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy Öâ¶Ð IªêéÌy.

Ýõéßâ+îÖâ !ÀâXÀâ¿kL (AB, AD) A ²ª{âyÀâó ZÖâÀây ÎâyygdWÈy (300,100) ÀâyîÎâyy (100,300)

´×ây×ââÆ Àryy°âKª Æ¥y{â «×âQªgd IªêéÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

218

nZ°âª ×âª{ây A I×âQ ²ª{âyÀâóæ ±{âyÈy P ²ª{âyÀâó IªÚ×â AÀâóÀryyÖâý ÉLd×âª×ây ZÖ³°âK ÉLd×⪠Öâ×ây Édpâªgd OÆ|âªgd gâyîKªßr{âpây?

PQ ÀâyÃéȪgd Q ²ª{âyÀâó×âæ Æ¥ypây ×âvân(PQ || AB) ÀâyîÎâyyPQ, ABæ QE, AD æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd Iªêá QE ÀâyÃéÈÖâªgd E¾ °âÈ~kó×ây. o Æ|âªgd E ÀâyîÎâyy P æ ́ ×âyÉdpâªgd (AB, AD) ÀâXÀ â¿ k L× â y ÆÀâîªßâ Àâßây+×ây, PQ, AB æ QE, AD æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd ÀâXÀâ¿kL×ây, Öd¾ P Àápá ²ª{âyÀâó E¬ ApâªÅâ ²ª{âyÀâó ́ gây×ây. PQ ÀâyîÎâyy QE °r¶û×â E¾

¿xyÈÅâªgd ÆÀâîªßâ Àâßây+×ây. AD æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd PR ÀâyîÎâyyAB Æ¥y{â R×ây Ð¥ÎâyªÚ. AB=100 Æ¥yêpâ[y IªÚ×â PQ = RF = 200 Æ¥yêpâ[y ´gây×ây ´{á Æ|âªgd. PR = 50 Æ¥yêpâ[y IªÚ×â, QE = FE – FQ = FE – RP = 100 – 50 = 50 Æ¥yêpâ[y ´gây×ây. o Æ|âªgd E ́ ãâ¾pâÃé~k ÖdÈy (200, 50), (AB, AD) ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ²ª{âyÀâó Öâ×âyÉdpâªgd Iªêyª¬.gâÀây¾ªßâªÚ!

AR = 100 ÀâyîÎâyy RP = 50 ÎâyÃé¾êÒ ÈÌy×â Aæ ´×âyÉdpâªgd P ²ª{âyÀâó (100, 50) ´¾ (AB, AD) ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây ZÀdÎâyÀâßây+×ây. ´{á Æ|âªgd E{á ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây E ²ª{âyÀâó (200, 50) ´¾ (AB, AD) P æ ´×âyÉdpâªgd ZÀdÎâyÀâßây+×ây Öd¾ E = (300, 100) ´¾ (AB, AD) ÀâXÀâ¿kL ´gây×ây, 300 = 100 + 200 ÀâyîÎâyy 100 = 50 + 50 ´¾ ßr~kóRê Éd|âXÀâÃé? Æ¥ypây OÀây¾ »¥pdW¾ªßr{âpây?

aÖâ Ö³×âÈá¾ ÀâyîÎâyy ßâyê¦y ´ªßâyÈy Èá¾ aÖâ ~õ{âM ~kn+×â ±ÎâyÈy×ây »¥¿xyÖ³×âªÚ. ÀâypâÈ aÖâ AÀâó×ây A ~kn+Öâ Àryô{d×⪠aÖâ ²ª{âyÀâó×âª{ây ÀâyîÎâyy EªÖ³Öâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM Æ¥ypây¾¶n×âê[y ÎrÃénªßâªÚ. E~kóRvây AÀâó I×âQ ÉLd×âª×ây OÆ|âªgd ÆÀâîªßr{âÀâó? Eª°âæ Àâyyª{ây aÖ⺥pâ$ ßâ°âypâ ZÉdÖdpâ ±ÎâyÈy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ& ßâ°âypâ ZÉdÖdpâ ´ªßâyÈ×ây aÖâ ¾pdWǪ I×âQ¬. E~kóRvây Æ¥ypây O¾pdWǪ ×âª{ây Èápâ¾ ÅdƪßâªÚ. prªvây ~kpâ¿kRpâª

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

219

Ȫ± páfÈ×ây »¥¿xyÖ³¾, Öd¾ Aprªvây Æ¥ypây ¾Èy+×âQ ߨê lᬪßâªÚ. Æ¥ypây ¾È¨+×âQ ¿kLȪ×ây 'O' ´¾ XlOX ÀâyîÎâyy YlOY È prªvây ~kpâ¿kRpâ Ȫ±páfÈ aÖâ ¾pdWǪ ÀâyîÎâyy o prªvây×ây 'O' ²ª{âyÀâó ÀâyÃéÈÖâªgd ¹èÀâó×ây. AÀâó E ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÀáyÎâyy ßây×âQ¬ (nZ°âª×ây gâÀây¾ªßâªÚ)

YlOY æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd EF×âª{ây F ²ª{âyÀâ óæ OX ÀâyÃéÈÖâªgd ßⶪßâ Àâßây+×ây. (XlOX, YlOY) ÀâXÀâ¿kL×ây O ²ª{âyÀâó×âª{ây OF, OG

= FE ¹åvâÀâóÈ×ây, G, YlOY páfÆ¥y{â GE ÀâyîÎâyy XlOX æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd Iªvây×âê[y E ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâªÚ. Öd¾ ́ ¬ ÖâÍk¦ª ́ Ìy×â×ây E²ª{âyÀâó

XlOX páfZѪ¬ I×âQ (nZ°âª Z~kÖdpâª)F´×ây ²ª{âyÀâó OX páf ¬æý ×âª{ây ßⶪßâ ÀâÈû×⪰âp⪠OYl páf ¬µâ Îâyª{ây F×âyªÚ E²ª{âyÀâó×âæ ßⶪßâÀâÈr×ây. K ²ª{âyÀâó {âgâ$pâ Àâyî ÎryyÖâ AÀâó I×âQ páf ¬µâÎâyª{ây O×âyªÚ L æ, OYl páf ¬µâÌyª{ây L ×âyªÚ K æ ßⶪßâÀâÈÎâyy×ây. Àryy{âs OXl Àrô~kóßⶪn O×âyªÚ P Àrô~kó ßⶪn O×âyªÚ Pæ °âÈ~kó×ây.

E~kóRvây ApâªÅâ ²ª{âyÀâó ×âyªÚ ×dÈ$yÆ «×âQ ¬æýÈ×ây ßâÃévâÀâßây+×ây. OX ; OXl;

OY ; OYl XlOX páf×ây Àd¿kKÀâ ¿xªfdXpáf ÀâyîÎâyy O ×ây ¿xy×âQ ´¾ ÎrÃénªßâÈÎâyy×ây o Æ|âªgd OXl ¹åvâÀâóæ O ²ª{âyÀâó UvâÀây Àrô~kó ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy ±yyÇé°âWÖâ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈygd IªêéÌy. ÀâyîÎâyy ON ¹åvâÀâóæ O ²ª{âyÀâó æÚ Àrô~kó ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy |â×d°âWÖâ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈygd IªêéÌy. o Æ|âªgd YlOY páf×ây Àd¿kKxÀâ ¿xªfXpáfæ ±{âyÈygd ßâÃévâ Àâßây+×ây. EÖâývâ O ¿xy×âQgd Iªvây×ây. O ~õô×â |â×d°âWÖâÀâyîÎâyy O ZѪ{â ±yyÇé°âWÖâ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈyªêéÌy. O ÀâÃéZ°âª prªvây ¿xª{âpâVªÈª{ây O gd×á Iªvây×ây. Öd¾ 'O' ´ãâ¾pâÃé~k ÖdÈy (0, 0)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

220

E ²ª{ â yÀ â ó× â y ß áp â yêæ OX ¬æý×âª{ây Fæ 5 ÎâyÃé¾ê[y, F ×âyªÚ E æ OYl ¬æý×âª{ây 4 ÎâyÃé¾ê[y ¿xîgd IªvâÀâÈÎâyy×ây, ¿xªfdXpáf ±yyÇé°âWÖâ Ådg⪠Àrô~kó OYl Iªvâyê ÀâÈ×â E ¾ (5,-4) ´¾ ZÀdÎâyÀâßâ+×ây. E ́ ãâ¾pâÃé~kÖdÈy (5,-4) E¬ XlOX -YlOYº¥pâ $ ßâ° âyp â Z¿ x ´ãâ¾pâÃé~kÖ â ÀâXÀ â¿ k L

ÎryyÖâýÀâyÃéÈ ²ª{âyÀâó ´¾ßr~kRÀâßây+×ây. OX páf×ây |â×d°âWÖâ X-´ã⪠ÀâyîÎâyy OXl páf×ây ±yyÇé°âWÖâ X- ´ã⪠´¾ ´ªêépây.OY páf×ây |â×d°âWÖâ Y-´ã⪠ÀâyîÎâyy OYl

páf×ây ±yyÇé°âWÖâ Y-´ã⪠´¾ ´ªêépây. o Àâ]Àâ¿kLÎâyª{ây E ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy (5,-4), 5 ×ây ÎryyÖâý X ́ ãâ¾pâÃé~kÖ⪠ÀâyîÎâyy -4 ×ây E ÎryyÖâý Y ́ ãâ¾pâÃé~kÖâªÈy ́ ¾ ́ ªêépây. EÖâývâ Àryy{âs ¿xªfX ´vâG ´ã⪠( ¿xÀâÃ骰âpâ ´ãâª) prªvâÀâ ¿xªfX Ȫ± ´ã⪠×âª{ây gâyîKªßâ ±vâ×ây.

´{á Æ|âªgd, Kæ -6, X-´ãâ¾pâÃé~kÖ⪠ÀâyîÎâyy -3, Y-´ãâ¾pâÃé~kÖ⪠́ gây×ây. ÖdÀâó×â K²ª{âyÀâó (-6,-3) ´gây×ây. o Æ|âªgd P ²ª{âyÀâó (-4, 4) ´Ìy×â¬.

nZ°âª×âª{ây XlOX ÀâyîÎâyy YlOY páfÈy ¿xÀây°âȪ×ây 4ÅdgâªÈygd ÆÅâʪßây×ây. OX ÀâyîÎâyy OY ´ªßâyÈy×âQ Z~k{áµâª×ây Àryy{âs ¹d{⪠´¾, OY ÀâyîÎâyy OXl ´ªßây Èy×âQ Z~k{áµd¾Q prªvâÀâ ¹d{⪠´¾Îâyy, OXl

ÀâyîÎâyyª OYl ́ ªßâyÈy×âQ Z~k{áµd¾Q ÀâyÃévâÀâ ¹d{⪠́ ¾Îâyy OXÀâyîÎâyy OYl ́ ªßâyÈy×âQ Z~k{áµd¾Q ×dÈ$Àâ ¹d{⪠´¾ ßr~kRÀâßây+×ây. Àryy{âs ÖdÈy Ådg⪠×âª{ây O ²ª{âyÀâÌy×â×ây

»¥¿xyÖ³¾×â Àryy{âê OX¬æý ×âª{ây ÀâyîÎâyy OY¬æý ×âª{ây ×âvân ´ ²ª{âyÀâó×ây ßápâÀâßây+×ây. o Æ|âªgd X|â×d°âWÖ⪠ÀâyîÎâyy Y |â×d°âWÖâ ´ãâªÈ×ây I~kÎrÃéЪßr{âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

221

Àryy{âs ¹d{⪠×âª{ây I×âQ ́ ¾Q ²ª{âyÀâóÈy x ÀâyîÎâyy Y ́ ãâ¾pâÃé~kÖdÈy |â×d°âWÖâªÈygd Iªvây×ây. OX Æ¥y{â I×âQ O{âÌy×â ²ª{âyÀâó Y ´ãâ¾pâÃé~kÖ⪠¿xy×dQgd Iªvây×ây. ´{á Æ|âªgd OY Æ¥y{â I×âQ O{âÌy×â ²ª{âyÀâó x ´ãâ¾pâÃé~kÖ⪠¿xy×âQgd×á Iªvây×ây.

prªvâÀâ ¹d{⪠×âª{ây OXl ÀâyîÎâyy OY ´ªßâyÈy Z~k» ²ª{âyÀâó×âª{ây x ´ãâ¾pâÃé~kÖ⪠±yyÇé°âWÖ⪠ÀâyîÎâyy Y ´ãâ¾pâÃé~kÖ⪠|â×d°âWÖâªgd Iªvây×ây. ´{á Æ|âªgd ÀâyÃévâÀâ ¹d{âª×âª{ây x ≤ o ÀâyîÎâyy y ≤ o gdIªvây×ây. ×dÈ$Àâ ¹d{⪠×âª{ây ´ãâ¾pâÃé~kÖâªÈy(x, y) ×âª{ây x ≥ o ÀâyîÎâyy y ≤ o Èygd Iªvây×ây.

aÖâ ²ª{âyÀâó ÀryyÖâý X- ´ãâ¾pâÃé~kÖâª×ây abscissa ´¾ ÀâyîÎâyy Y-´ãâ¾pâÃé~kÖâª×ây (ordinate) ´¾ æévâ ÄÈyÉKdpây.gâÀây¾ªßâªÚ !

XlOX ÀâyîÎâyy YlOY páfÈ×ây OÆ|âªgd ×rô×â×ây »¥¿xyÖ³×â Àâßây+×ây. Öd¾ aÖâ¾ÎâyÀâyª OÀây×âgd A prªvây×ây aÖâÖâ{d¾ Ö³Öâs Ȫ±ªgd IªvâÀâÈÎâyy×ây. o Æ|âªgd ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈ ÀâXÀâ¿kL×ây ¹åª{âÀâßây+×ây.

o ´{dXÎâyª ×âª{ây ÖáÀâȪ ¬¥pâ&â$ßâ°âypâZ¿x ¾pâÃé~kÖdÈ ÀâXÀâ¿kL I~kÎrÃéЪßr{âª. Ö³¾Q ¿xÀâyÎâyªÈª{ây Ȫ± ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL×ây I~kÎrÃéЪßâ ÀâÈÎâyy×â¾ O ¾pâTª|⪠Èá{ây. ´¬ aÖâ {d¾Ö³Öâs Ȫ±ªgd IªvâÀâÈÎâyy×â¾ ¾pâTª|⪠Èá{ây. o ÀâXÀâ¿kL ×ây OêÀdÈy ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL ´¾ æévd ´ªêépây. E¬ æévâ ´×áÖâ Z~kÎrÃégd°âWÖâ ¿xÀây¿kXÈy Édºªßâyêæ I~kÎrÃégâ ~kvây×ây.

aÖâ ¿xÀây°âȪ ×âª{ây I×âQ ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy gâyîKªßâyêæ I~kÎrÃégâª×ây ßrÄR×â Àdvá pr¾¥ vrÉdýpÒ¦¿Ï (RANE DESCARTES) E°âvây ZÁõªßÒ gâÇ°âµdç¿xKmCvây ÀâyîÎâyy °â°â] µdç¿xK Àá°âK. páfdgâÇ°â ¿xÀây¿kXÈ×ây ²©mg⧰⠿xÀây¿kXÈygd ~kîÀâîKªn ÎrÃéßâ×âÈ×ây Æ~k[Àd°âWÖâªgd ×áîRªßâ×â Àdvá E°â×ây. ´°â¾ ÆÈyÀâ×ây mCé~k ÖdpâLªgd Ödî¥_¸Îây×Ò ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL×ây °rÈy¿xyÖ³ªêy×dQª. E¬ ´×â¶sÖâÈÒ páfd gâǰ⪠(ANALYTIC GEOMETRY) ´¾ ZÖ³°âK µdf×ây g⧰⪠×âª{ây Öâ×ây g³×dQpây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

222

pr¾¥ vrÉdýpÒ¦¿Ï ́ ×âyÀdvây 1596 ÀâÃéî+ ×âª{ây Z£d×Òb {âãðÇ Ådgâª×â Èé AÌy ×âgâp⪠×âª{ây m¾Wªßr×ây. 1606 ×âª{ây A°â×ây 8 ¿xªÀâ°âbpâªÈy×âQ~kóRvây Édþé°âXª, ÆmCé×⪠ÀâyîÎâyy g⧰âµdç¿x KªÈ×ây ßâ{âyÀâóêæ Ap⪫ªßr×ây. 1616 ×âª{ây ×dXÎâyµdç¿xKª ×âª{ây ́ °âyX×âQ°â ~k{âÆ ¹åª{r×ây. ́ °âvây °â°â]µdç¿xKª, |âpâWµdç¿xKª ÀâyîÎâyy Àrô{âXµdç¿xKª ÆÍkÎâÃéÈ×ây °â×â ×dXÎâyµdç¿xK ~k{âÆ°¨ ±dêy ßâ{âyÀâó ßâyªvr×ây.

Æy¶êî¥ ×âª{ây Ö³¾Q ¬×âªÈy ¿öÀâ ßáû×â °âpâyÀd°â pá¾ vrÉdýpÒ¦ Z~kµdª°â ÀâyÌy×â ÊËÆ°âª×ây gâÚ~õ×ây. ´~kóRvây ±y¬P æµâÈ°â×ây UæýÀâ ßáÎâyyê

Ö³pâæ °â°â]µdç¿xK ÆÀâpâªÈ×ây ZgâªzâªÈygd ZÀdÎâyyßây ÀrômCé¾Ö⪠ÀâyîÎâyy g⧰⠵dç¿xK Z~k~kªßâª×âª{ây Eªæ×ây UæýÀâmCé×⪠¹åª{âyßây °â×â ÖdȪ×ây gâvây~kó ßâyªvr×ây 1637 ´°â×ây ²©m g⧰⪠ÀâyîÎâyy páfdg⧰â ÆyZµâÀâyÌy×â páfd°âWÖâ ´|dXÎâyª×ây ZÀdû páfdg⧰⪠~kó¿kKÖâª×ây Z~kÖâsªßr×ây. {d¾¾ Ödî_¸Îây×Ò páfdg⧰â ~kó¿kKÖ⪠´¾ æévâ ´ªêépây.

ÖdpdXßâpâǪ: 2.5.´ZgdÁkó ~kêªÆ¥y{â aÖâ ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâyê

aÖâ ZgdÁkó ~kêª EÀâX±Ú×â {d¾Îâyª{ây aÖâ ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL×ây ¾îMÍk¦ªgd XlOX ÀâyîÎâyy YlOY aÖâ{d¾ Ö³Öâs Ȫ±ªgd ÉLdĪßâ ÀâÈÎâyy×ây. aÖâ ²ª{âyÀâó ÎryyÖâý ´ãâ ¾pâÃé~kÖdÈy (-4, 5) ×ây OÆ|âªgd gâyîKªßr{âÀâó?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

223

ÀâyÃéÈ ²ª{âyÀâó 'O' ×âyªÚ OXl páf ¬µâ Îâyª{ây 4 ÎâyÃé¾ê [ y ß â¶ªß âªÚ. ±yyÇé° âWÖ â X- ´ãâª×ây ¿xÃénªßâyê ÀâÈ×â x ́ ãâ¾pâÃé~kÖ⪠-4´¾ Eßâ+×âê[y ¬µâȨ OXl4 ÎâyÃé¾ê[y ßⶪßâ ÀâÈÎâyy×ây. O²ª{âyÀâó OXl ×âª{ây Æ¥y{â¾ÈyÉKdª OXl ¬µâæ ¿xÀâÃ骰âpâªgd 6 ÎâyÃé¾ê[y Y- ́ ã⪠×âª{ây gâyîKªßâªÚ. ́ ~kóRvây ÎâyÃé¾ê[y E~kóRvây ßⶪn×â ²ª{âyÀâó æ ¿xÀâÃ骰âpâªgd ~õô×â 6 ÎâyÃé¾ê[y ßⶪßâÀâÈÎâyy×ây ´~kóRvây (-4, 6) ´×ây P ²ª{âyÀâó×ây ßápây×ây.

ÖdpdXßâpâǪ: 2.5. AaÖâ ZgdÁkó ~kêª×ây »¥¿xy Ö³×âªÚ.

XlOX -YlOY ÀâyîÎâyy 111 XOX′ - 111 YOY′ ´×âyprªvây ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿x ´ãâ¾pâÃé~kÖâªÈ×ây gâyîKªßâªÚ. EÖâývâ XlOX // 111 XOX′ ´gây×ây.

P ²ª{ây ´ãâ¾pâÃé~kÖâªÈy (10, 5) Iªvây×âê[y gâyîKªßâªÚ. ´¬ 111 XOX′ - 111 YOY′ ÀâXÀâ¿kLæ ´×ây gâyǪgd P ²ª{âyÀâóÈy O ÀáÆ? XlOX-YlOY ÀâXÀâ¿kLæ ´×âygâyǪgd

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

224

o1²ª{âyÀâóÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. XlOX -YlOY ÀâXÀâ¿kLæ ¿xî¹åª{ây P , XlOX -YlOY

æ o1¿xî ́ gây×ây. ÀâyîÎâyy 111 XOX′ - 111 YOY′ ÀâXÀâ¿kLæ ́ ×âygâyǪgd P ²ª{âyÀâó×ây ¹åª¬ Æ¥s æ×âQ ¿xª±ª|âª×ây ¹åª{âyê Éd|âXÀâÃé?

Z~kÖâý ~kêª ×âª{ây XlOX -YlOY æ¿xî ´gây o1²ª{âyÀâó ÎryyÖâý ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy (11,11) ´gây×ây. ¿xî ´gây P ²ª{âyÀâó ÀryyÖâý ¾pâÃé~kÖdÈy (21, 16) ´gây×ây XlOX -YlOY ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ²ª{âyÀâó (10, 5) ́ gây×âªêá 21=11+10,16=11+5 ́ gây×â¾ gâÀây¾ªßâªÚ.(21, 16)= (11, 11)+(10, 5) ´gây×â¾ ZÀdÎây Àâßây+×ây. ¬¥¾¾ P ÎryyÖâý Àápây, Àápây ²ª{âyÀâóÈæ ÀápâyÀápây ÀâXÀâ¿kLÈÎâyª{ây ~kó×âî¥ÖâîªßâªÚ, o ÖdpdXßâpâǪÈ×âyªÚ O »¥pdW×⪠¹åª{r{âpây?gâÀây¾ªßâªÚ!

XlOX -YlOY ÀâyîÎâyy 111 XOX′ - 111 YOY′ ´×âygâÆ prªvây ´ãâ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÈy ´×âyÖ³¾×â ¬¥¾Îâyª{ây XlOX // 111 XOX′ ´Ìy IªvâÀâÈÎâyy×ây. o ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ÀryyÖâý ¾pâÃé~kÖdÈy (x,y) ́ ×ây Ö³×âyÀâyy P æévâ XlOX -YlOY ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây IªvâÀâÈr×ây ÀâyîÎâyy (xl,yl) ²ª{âyÀâó 111 XOX′ - 111 YOY′ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây IªvâÀâÈÎâyy×ây. o1²ª{âyÀâó ´ãâ¾pâÃé~kÖdÈy(a,b) ´Ìy×â XlOX -YlOY ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây IªÚ×â x=a+ xl ÀâyîÎâyy y=b+ yl´gây×ây.

ÖdpdXßâpâǪ: 2.5. EaÖâ Zgd~kó ~kêª×ây »¥¿xyÖ³¾ A ~kêª ×âª{ây XlOX -YlOY ÀâXÀâ¿kL×ây ¾îWªßâªÚ

P (-5, 8) ²ª{ây×ây gâyîKªßâªÚ. (8, -5) ²ª{âyÀâó×ây Àr{âÖâªÚ. ´¬ ´{á ²ª{âyÀâó P ´gây×d gâÀây¾ªßâªÚ?I{d 1:- aÖâ ¿xªfX 3 ×ây »¥¿xy Ö³×âªÚ. 3 ÀryyÖâý gây§méÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ. Ö³¾Q ±yyÇé°âWÖ⪠ÀâyîÎâyy Ö³¾Q |â×d°âWÖâªÈygd IªvâÀâÈÎâyy×ây.

x -3 -2 -1 0 1 2 33×(-3) 3×(-2) 3×(-1) 3×0 3×1 3×2 3×3

y -9 -6 -3 0 3 6 9

x1Y (-3, -9) (-2, -6) (-1, -3) (0, 0) (1, 3) (2, 6) (3, 9)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

225

aÖâ ZgdÁkó ~kêª×ây »¥¿xyÖ³¾ ÀâyîÎâyy Æ¥yæ ÖdÀâÈû×â ¾pâÃé~kÖdÈy »¥¿xyÖ³¾ XlOX-YlOY ÀâXÀâ¿kL×ây ßáÎâyªÚ. (x,y) ¿xª±ªºªn×â ²ª{âyÀâóÈ×ây nÀâî ~kªÑK ×âyªÚ ZgdÁkó~kêª×âª{ây gâyîKªßâªÚ. ´Æ aÖâ ¿xpâÔâ páfÆ¥y{â I×âQÀd? ´¾ °rÈ¿xyÖ³×âªÚ.

I{d2: (aÖâ ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý ÀrôµdÈXª °¨ ±dêy ßâyê¦y ֳȰâ)1 ÎâyÃé¾êÒ Åâymª¹dvâÀâó Iªvây ßâ°âypâZ¿xª×ây »¥¿xyÖ³×âªÚ. {d¾ ÀrôµdÈXª Uª°â?Àây×âæ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª l2 ´¾ °r¶Îâyy×ây. EÖâývâ ßâ°âypâZ¿xª ¹åvâÀâó l ÎâyÃé¾ê[y {d¾ ßâyê¦y ֳȰâ l+l+l +l = 4l (l ́ ×ây×⬠ßâ°âypâZ¿xª aÖâ Åâymª¹åvâÀâó) ÖdÀâó×â aÖâ ÎâyÃé¾êÒ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª 1 ßâ{âpâ~kó ÎâyÃé¾êÒ ÀâyîÎâyy ßâyê¦y ֳȰâ 4 ÎâyÃé¾ê[y. ´Ìy×â 2 ÎâyÃé¾ê[y¹åvâÀâó I×âQ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXª ÀâyîÎây ßâyê¦y ֳȰâÈy Uª°â? ÀrôµdÈXª 4 ßâ{âpâ~kó ÎâyÃé¾ê[y ÀâyîÎâyy ßâyê¦y ֳȰâ 8 ÎâyÃé¾ê[y. Àápây Àápây Åâymª ¹åvâÀâóÈy gâÈ ßâ°âypâZ¿xªÈ ßâyê¦y ֳȰâÈy ÀâyîÎâyy ÀrôµdÈXªÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ.

l 1 2 3 4 5 6x=4 l 4 8 12 16 20 24

y= l2 1 4 9 16 25 36x,y (4,1) (8,4) (12,9) (16,16) (20,25) (24,36)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

226

~õô×â I×âQ ~kꡦ×âª{ây gâÈ ´¾Q ÆÈyÀâÈ×ây Æ¥yæ ÖdÀâÈû×â ´×âyæéÈ ÀâyÌy×â ¿öýÈy×ây I~kÎrÃéЪn. aÖâ Zgd~kó ~kêªÆ¥y{â ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ. gâyîKªn×â ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy aÖâ ¿xpâÔâ páfÆ¥y{â I×âQÀd? ´¾ °rÈRªÚ.

I{d3: (ÖdȪ°¨ ±dêy ¿xpâÔâÀâÚGG)

úÀâ ´×âyÀdvây aÖâ ±dXªæ ×âª{ây pâÃé 1000È×ây 5 ¿xªÀâ°âbpâªÈæ 8% ¿xpâÔâ ÀâÚG páêy Z~kÖdp⪠¾È]Iªßr×ây. úÀâæ È«ªßây ÀâÚ¥G¾ Àápây Àápây ¿xªÀâ°âbpâªÈæ ~kꡦ¾¥ °âÎâÃépây ßáÎâyªÚ.

~õô×â I×âQ ´¾Q ²ª{âyÀâóÈ×ây Zgd~kó ~kêª×âª{ây gâyîKªßâ ÀâÈÎâyy×ây. EÖâývâ aÖâ ¿xÀây¿kX×ây Öâ×ây g³ªêéª. úÀâæ ¿xªÀâ°âbpâªÈy °â¹dR ÀâÚ¥G ~õ{âM ~õ{âM ¿xªfXÈy ÀâÉKdÌy. 240, 320, 400 ¿xªfXÈ×ây Zgd~kó ~kêª×âª{ây gâyîKªßâyêæ ~õ{âM Zgd~kó~kêª ÖdÀâÈû Iªvây×ây. ÖdÀâó×â Àápây, Àápây Z~kÀâÃéǪ (¿öýÈy)×ây I~kÎrÃéЪn ¬¥¾¾ ZgdÁkó ~kêª ×âª{ây gâyîKªßâ ÀâÈÎâyy×ây.¿xªÀâ°âbpâªÈy (x) 1 2 3 4 5ÀâÚ¥G (y) 80 160 240 320 400(x,y) (1, 80) (2, 160) (3, 240) (4, 320) (5, 400)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

227

I{dÝképâÇæ, 1 Îâyyd¾êÒ= 40 ´¾ y ´Öâíª×âª{ây I~kÎrÃéЪßâÀâßây+×ây. EÖâývâ æévâ ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy aÖâ ¿xpâÔâ páf Æ¥y{â I×âQÀâ¾ gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây.

ÖdpdXßâpâǪ: 2.5. oaÖâ Ödpây aÖâ gâªêæ 40 Ñ.Æ¥y.ûLpâ Àág⪰¨ ßⶪßâyßây×âQ¬ ´¾ ´×ây Ö³×âyÀâyy AÖdpây

1,2,3,4,5,6,7, ÀâyîÎâyy 8 gâªêÈ nÀâpâæ ßⶪn×â {âÃépâªÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ. x- ´Öâíª×âª{ây ÖdȪ×ây Y- ´Ök_ª×âª{ây ßⶪn×â {âÃépâªÈ×ây ¿xÃénªßây×âê[y ZgdÁkó~kêª ×âª{ây gâyîKªßâªÚ.

´ÅdX¿xª 2.5.41) Æ¥yæ ×ân+×â ¿xî´Ìy×â ¿öýÈy×ây~kÎrÃéЪn o ZѪ¬ ²ª{âyÀâóÈ×ây ZgdÁkóÖdаâª~õô

gâyîKªßâªÚ. i) P(–3, 5) ii) Q(0, –8) iii) R(4, 0) iv) S(–4, –9)

2) aÖâ ¾îPÍk¦ ÀâyÌy×â ÀâXÀâ¿kL EÀâ]±Ú×⬠O¹d{âª×âª{ây oZѪ¬ ²ª{âyÀâóÈy Öâ¶Ð I×âQÆ?

i) A(4, 5) ii) B(–4, –5) iii) C(4, –5)

3) xlox – yloy ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P(–8, 3) ¾pâÃé~kÖâªgâÈ P ²ª{âyÀâó ´×âyÖ³×âªÚ. x1lo1x1 – y1lo1y1 ÀâyîÎryyÖâý ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây xlox // xl1o1x gd Iªvây×ây ÀâyîÎâyy (9,5) ¾pâÃé~kÖâªgâÈ, o1²ª{âyÀâó Iªêá x1lo1x1– y1lo1y1´Öâí¾pâÃé~kÖ⪠ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ²ª{âyÀâó ´Öâí¾pâÃé~kÖ⪠ÈáÆ?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

228

4) xlox – yloy ́ Öâí¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây(10, 2) ¾pâÃé~kÖâªgâÈ P ²ª{âyÀâó ÀâyîÎâyy x1lo1x1 – y1lo1yl

´Öâí¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây(-3, -6) ¾pâÃé~kÖâªgâÈ ²ª{âyÀâó xlox // xl1o1x Öâ¶Ð IªÚ×â x1lo1x1 – y1lo1y1

´Öâí¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây o ²ª{âyÀâó ´Öâí ¾pâÃé~kÖâªÈ×âygâyîKªn Öâ×âyg³×âªÚ.

2.5.5. ÉdÀâÃé×âX ZgdÁkó ~kêªÈy

I{dÝkép âÇ 1¾ Àâyp âÈ ´ÀâȨѪn×â {d¾Îâyª{ây 3ÎryyÖ âý gây§mÀâyyÈ×ây I~kÎrÃéЪn×dpây.3ÎryyÖâý gây§mªÈ×ây ~kòpâJ ¿xªfXÈÎâyª{ây Àâ{ⶠÀd¿kKÀâ ¿xªfXÈ Îâyª{ây 3 ÎryyÖâý gây§mªÈ×ây »¥¿xyÖ³¾×â OÀâygây×ây? x ´×ây×⬠²©m¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈygd »¥¿xyÖ³×â ÀâÈÎâyy×ây. E~kóRvây 3x ´¾ »¥¿xyÖ³×âªÚ. Z~k» x æ Àd¿kKÀâ ÆÈyÀâÈy Z~â°áXÖâªgd Y=3x ´gây×ây. o gd ZÖâÀâyÎâyygâWª (Y1 3x) {³pâyæ°âyª¬. ´Öâí¾pâÃé~âÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây (Y1 3x) È×ây ZgdÁkó~kêª×âª{ây gâyîKªßâÀâßây+×ây.

x 0 1 2 3 -1 -2 ½ -½ ⅓y 0 3 6 9 -3 -6

23

23-

1

x æ Àápây Àápây Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy »¥¿xyÖ³¾×â y=3x ×âª{ây Àápây Àápây Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈ ÆÈyÀâÈy Àâßây+×ây. Z~k» x æ Àd¿kKÀâ ¿xªfX »¥¿xyÖ³¾×â (x1 3x) ´Öâí ¾pâÃé~kÖâªÈy æévâ Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy Àâßây+×ây. ´ãâ ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL×ây~kÎrÃéЪn Zgd~kó~kêª×âª{ây Æ¥s¾ gâyîKªßâÀâßây+×ây.

x æ EªÖâ×ây UæýÀâ ÆÈyÀâÈy »¥¿xyÖ³¾×â (x, 3x) ́ Öâí ¾pâÃé~kÖâªÈæ æévâ UæýÀâ ÆÈyÀâÈy ¹åª{â Àâßây+×ây. Àds¾ Zgd~kó ~kêª ×âª{ây gâyîKªn×â ´~kóRvây Uæý ÀræýÀâ ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyª~kó,gâyª~kó Ègâyê ßâydvâÀâßây+×ây. ÖdÀâó×â UÖâýÀâ ´ÀâÖdµâª I×âQ Zgd~kó~kêªÈy o ²ª{âyÀâ óÈy gâyîKªßâyêæ ´Àâ¿xp⪠´gây×ây. o ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy aÖâ ¿xpâÔâ páf Æ¥y{â I×âQÀâ¾ °rÈy¿xyÖ³×âÀâßây+×ây, Éd|âXÀâyÌy×â x æ ´¾Q Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy »¥¿xyÖ³×âQ~kRvây

(x, 3x) ́ Ök_¾pâÃé~kÖâªÈy aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây ßáÉKdÌy. ́ ªêá y=3x ¿xÆ¥yÖâpâÇ ́ Öâí¾pâÃé~kÖâªÈy ¿xÀây°âȪ×âª{ây ¿xpâÔâ párf×ây ßâydĪßây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

229

ÖdpdXßâpâǪ: 2.5.I¿öýÈy 1 Îâyyd¾êÒ = ́ ¾ x - ́ Öâíª Æ¥y{â »¥¿xyÖ³×âªÚ. x ÀâÃépây ×âê[y y=3x ÆÈyÀâÈ×ây

Àd¿kKÀâ ¿xªfX ~k{âM»Îâyª{ây ¹åª¬ (x, y) ²ª{âyÀâóÈ ´¾Q ÆÈyÀâÈy ¿öýÈy×ây~kÎrÃéЪn ZgdÁkó ~kêª×âª{ây gâyîKªßâªÚ. y=3x ´×ây¿xª±ª|⪠Z~kzâÀây ~kîÀâÃéǪ×âª{ây I×âQ¬. EêyÀâªs ¿xª±ª|âªÈy UÈ[~kóRvây ¿xpâÔâ páf×ây ¿xÃénªßây×ây. aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây ¿xÃénªßây ÉdÀâÃé×âX pâÃé~kª y=ax + b ({d¾Îâyª{ây a , b Èy Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy). a = 0 ´Ìy×â y = b ´×ây ¿xpâÔâ páf y - ´Öâíª×âæ ¿xÀâÃ骰âpâªgd Iªêyª¬. I{d4: aÖâ ÀâXÑK pâÃé 1000 È×ây 7% ¿xpâÔâ ÀâÚ¥G Z~kÖdp⪠aÖâ ±dXªæ ×âª{ây ¾È] Iªßr×ây. Àâßây+ÀâÚ¥G ¿xªÀâ°âbpâªÈ ÖdȪ pâÃé~kªÈ¨ {³pâæ ×âê[y ¿xª±ª|âªÈ×ây ¿xÃéZ»¥Öâîªn {d¾Ñ ¿xª±ªºªn×â ZgdÁkó ~kêª×ây pânªßâªÚ. 10 ¿xªÀâ°âbp⪠°âpâyÀd°â Àâßây+ ÀâÚ¥G¾ Öâ×ây g³×âyêæ ¿xÃéZ°âª×ây I~kÎrÃéЪßâªÚ. Éd|â×â : y ´×ây×⬠x ¿xªÀâ°âbpâªÈ Îâyª{ây ¹åª{ây ÀâÚ¥GG ´×âyÖ³×âªÚ. x ¿xªÀâ°âbpâªÈ ÀâÚ¥G= 10000 700x x

1007

# # = o Æ|âªgd y= 700 x ¿xª±ª|â ¿xÆ¥yÖâpâǪ È«ªßây×ây. EÖâývâ 1 ÎâyÃé¾êÒ = 700 ´¾ ¿öýÈy×ây Y ´Öâíª Æ¥y{â ´×âyÖ³×âªÚ. x = 1´Ìy×â y= 700 È«ªßây×ây (x, y) = (1, 700) x = 2 ´Ìy×â y= 1400 È«ªßây×ây (x, y) = (2, 1400) ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

XlOX – YlOY ́ Öâí ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL Îâyª{ây Zgd~kó ~kêª×ây »¥¿xyÖ³¾ pâÃéĪßâªÚ. P ( 1, 700) ÀâyîÎâyy Q ( 2, 1400) ´¾gâyîKªßâªÚ.1ÎâyÃé¾êÒ = 700 ¿öýÈy×ây Y- ´Öâíª Æ¥y{â gâyîKªßâyê gâyîKªßây Ö³×â ÀâÈÎâyy×ây ÖdÀâó×â P, Q Èy aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây ¾pLdîªßây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

230

gâÀây¾ªßâªÚ.!

aÖâ ¿xÀây°âȪƥy{â aÖâ ¿xpâÔâ párf×ây Ð¥Îâyyêæ Öâ¾¥¿xª prªvây ²ª{âyÀâóÈy I×âQ ßdÈy. OÀâÌy×â prªvây Z~k°áXÖâ ²ª{âyÀâóÈ×ây aÖâ ¿xÀây°âȪƥy{â »¥¿xyÖ³¾×â ֳȰâ~kꡦÎâyª{ây aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây A ²ª{âyÀâóÈ ÀâyydÈÖâªgd ¹åÀâó×âê[y Ð¥ÎâyÀâßây+×ây. P, Q ¾ ÖâÈy~kó páf×ây EªÖâ×ây UæýÀâ ¹åvâЪßâÀâßây+×ây. o ¿xpâÔâ páfÆ¥y{â Z~k°áXÖâ ¿xªÀâ°âbpâªÈª{ây Àâßây+ ÀâÚ¥GÈ ¿xÀây¿kX×ây ¹åª{ây ¿xpâÔâ páf×ây (CURVE) ¿xÃénªßây×ây. x- ́ ÖâíªÆ¥y{â T=10 ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ. T ×âyª{ây x- ́ Öâíª×âæ Ȫ±ª×ây Ð¥ÎâyªÚ. ´Æ R ²ª{âyÀâó×âª{ây y=700x ¿xpâÔâ páf×ây lᬪßây×ây R ²ª{âyÀâó ×âyªÚ y - ´Öâíª×âæ Ȫ±ª×âyÐ¥ÎâyªÚ. y - ´Öâíª×ây fªÚªßây ²ª{âyÀâó×ây ZÀdÎâyªÚ. ´¬ 10 ¿xªÀâ°âbpâªÈ ´×⪰âp⪠Àâßây+ÀâÚ¥G ´gây×ây.´¬ ` 7000 Èæ ¿xÀâÃé×âª. I{d 5: y=3x + 5 páfd~kêª×ây Ð¥ÎâyªÚ.Éd|â×â: x æ ÆÆ|â ÆÈyÀâÈy Iªn×â y ÆÈyÀâÈy ÆÆ|â ÆÈyÀâÈy ¹åª{âÀâßây+×ây.~kꡦ¾ °âÎâÃépây ßáÎâyªÚ.

x 0 1 2 3 -1 -2y 5 8 11 14 2 -1

Zgd~kó ÖdаâÀâyy Æ¥y{â x ÀâyîÎâyy y ´Öâíª ÈÆ¥y{â gâyîKßâªÚ.(x, y) = ( 0.5), (1, 8), (2, 11), (3, 14), (-1, 2) (-2, -1)

Àây×âÀâyy ßâÃén×â ´¾Q²ª{âyÀâóÈy ¿xpâÔâpáfÆ¥y{â I×âQÀd? ¿öýÈy×ây »¥¿xyÖ³¾ ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy Öâ¶Ä×â ¿xpâÔâpáf Àâßây+×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

231

ÖdpâXßâpâǪ: 2.5 N Zgd~kó ~kêª×âª{ây y = x+4, y=2 x - 3, y = 3, x = 2y + 1, x = 2 Æ¥s¾ pânªßâªÚ. Z~k»

aÖâs ¿xpâÔâpáf ́ gây×ây. y = ax+b ~kêªÈy UÈ[~kóRvây ¿xpâÔâpáfÈy ́ gây×ây ́ ¾ gâÀây¾ªßâÀâßây+×ây.I{d6: aÖâ ¿xpâÔâ páf ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây EÀâ] ±Ú×â ZgdÁkó ~kêª×âª{ây ¾pPdîªßâªÚ. Éd|â×â: aÖâ ¿xpâÔâ páf ÉdÀâÃé×âXpâÃé~kª y= ax + b ¾mCÄKÑ °rßâ+Ö³¾×â a, b ÈyÀd¿kKÀâ ûLpdªÖdÈy En+×â ZgdÁkó~kêª a≠0 ¾ ßâÃéĪßây×ây. (a=0 ´Ìy×â y=b ¿xpâÔâ páf y- ´ÖâíªÈy ¿xÀâÃ骰âp⪠´¾ ßâÃéĪßây×ây) x=0 ´Ìy×â y=b ´×ây×⬠(0, b) ¿xpâÔâ páf Æ¥y{â ²ª{âyÀâó ´{á Æ|âªgd y=0 ´Ìy×â ax + b=0 ´gây×ây ÈáÖâ x

ab=-

o Æ|âªgd ,ab 0-` j ´×ây×⬠æévâ ¿xpâÔâ páf Æ¥y¬ aÖâ ²ª{âyÀâó.

ZgdÁkó~kêª×ây ßâydn×â, A ¿xpâÔâ páf y- ´Öâíª×ây (0, 4) Àâ{âM fªÚªßây×ây ÀâyîÎâyy x- ´Öâíª×ây (3, 0) Àâ{âM fªÚªßây×â¾ ßâydvâÀâßâ+×ây. o Æ|âªgd, (0, b) = (0, 4), ,

ab 0-` j = (3, 0)

´¾ »¥pdW¾ªßâÀâßây+×ây, b = 4 ÀâyîÎâyy ab 3- = È×âyªÚ a

34=- ´¾ °r¶Îâyy×ây.

o gd EÀâ] ±Ú×â ZgdÁkó ÎryyÖâý ¿xÆ¥yÖâpâǪ 4Y x34= - + ´gây×ây .

¬¥¾¾ 3y + 4x = 12 ´¾æévâ ZÀdÎây Àâßây+×ây. Uª{âyæ?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

232

I{d7: EÀâ] ±Ú×â ZgdÁkó~kêª×âª{ây ¿xpâÔâ páfd ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây pânªßâªÚ.

Éd|â×â: y = ax + b pâÃé~kªÈ¨ ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây »¥¿xy Ö³×âªÚ o ¿xpâÔâ páf (0, 0) gâyªvd ¹èÀâó×â¾ gâÀây¾ªnªÚ. ´×âgd x=0 ´Ìy×â y=0 ´gây×ây x=0 ÆÈyÀâ×ây ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âª{ây Iªn×â 0=y=b Àâßây+×ây ÀâyyîÎâyy b=0 ´Ìy×â Y=ax ¿xpâÔâ páf(1, -3) gâyªvd ¹èÀâó×â¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ´ªêá, EÖâývâ x=1 ´Ìy×â ÀâÃéZ°âª y=-3 ´gây×ây {d¾×âyªÚ -3= ax1 ÈáÖâ a= -3 È«ªßây×ây. ÖdÀâó×â ¿xpâÔâ páf ¿xÆ¥yÖâpâǪ y=-3x ´gây×ây.

´ÅdX¿xª 2.5.5.

1. ZѪ¬ ¿xpâÔâ páf ¿xÆ¥yÖâpâǪÈ×ây ZgdÁkó ~kêªÈÎâyª{ây gâyîKßâªÚ.

i) y = 3 – x; ii) y = x – 3; iii) y = 3x – 2; iv) y =5–3x

v) 4y = -x + 3; vi) 3y = 4x + 1; vii) x = 4; viii) 3y = 1.

2. XY

xy

21

=++ ¿xÆ¥yÖâpâǪ×âæ ZgdÁkó~kêª×ây Ð¥ÎâyªÚ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

233

3. Z~k» ZgdÁkó ~kêª×âª{ây ¿xpâÔâ páf ¿xÆ¥yÖâpâǪ È×ây ¾pPdîªßâªÚ.

4. aÖâ ×â¬Îâyª{ây aÖâ ~kvâÀâ ÉdÈy Z~kÀdþéª Àrô~kó ßⶪßây ßây×âQ¬, ×ds Z~kÀdÝké Àág⪠gâªêæ 8 Ñ.Æ¥y. ~kvâÀâ Àág⪠gâªêæ 22Ñ.Æ¥y ~kvâÀâ Z~kÎâÃ駪n×â {âÃépd¾Q Zgd~kó ~kêª×âª{ây gâyîKßâªÚ (¿xÀâyÎâyª×âX» gâypâKyIªßâªÚ).5. 3y + 4x = 7 ÀâyîÎâyy 4y + 3x = 7 ¿xpâÔâ páfÈ fªvâ×â ²ª{âyÀâó×ây Öâ×âyg³×âªÚ ¬¥¾¾ Zgd~kó ~kêª×âª{ây gâyîKªn ÀâyîÎâyy fªÚªßây ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªn Öâ×âyg³×âªÚ.

páfd~kêªÈ ~kîßâÎâyª ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy ´ÅdX¿xª 2.5.6

1. ¿xî ´Ìy×â I°âKpâªÈ×ây U×âyQ Ö³×âªÚ.a) (4,0) ²ª{âyÀâó O ¿xpâÔâ páf Æ¥y{â I×âQ{ð? A. y - x = 0 B. y = 0 C. x = 0 D. y + x = 0

b) (-5, 4)²ª{âyÀâó I×âQ ¹d{⪠A. Àryy{âs ¹d{⪠B. prªvâÀâ ¹d{⪠C. ÀâyÃévâÀâ ¹d{⪠D. ×dÈ$Àâ ¹d{âª

c) (0, 0) ÀâyîÎâyy (1, 5) ²ª{âyÀâóÈ gâyªvd ¹èÀâó ¿xpâÔâpáf ¿xÆ¥yÖâpâǪ. A. y = x B. y = 5x C. 5y = x D. y = x + 5

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

234

d) XlOX - YlOY ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿k LÎâyª{ây P(3.4) ²ª{âyÀâó I×âQ XlOlX - YlOlY, ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây XlOlO//XlOlX æ ́ ×âyæéȪgd Q (4, 3) IªÚ×â XlOlXl- YlOlY, ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ²ª{âyÀâó- ´gây×ây.

A. (3, 4) B. (1, -1) C. (7, 7) D. (-1, 1)

e) XlOX - YlOY ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ²ª{ây ´Öâí ¾pâÃé~k ÖdÈy (5, 8) ÀâyîÎâyy YlOY - XOXl ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây P ²ª{ây ´Öâí ¾pâÃé~kÖdÈy ´gây×ây.

A. (-8, 5) B. (8, 5) C. (8, -5) D. (-8, -5)

f) ÀâyÃévâÀâ ¹d{⪠×âª{ây ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ nÝkéQª. A. (+, -) B. (-, +) C. (+, +) D. (-, -)

g) aÖâ Àây¾¸ 1 ÎâyÃé¾êÒ Z~kÖdpâÀâyy |â×dÖâWÖâ x - ́ Öâíª Àrô~kó ÈáÖâ 1 ÎâyÃé¾êÒ Z~kÖdp⪠|â×d°âWÖâ y - ´Öâíª Àrô~kó 1 Àryê¦y ×âvâßr×ây. ÀâyÃéÈ ²ª{âyÀâó (0, 0) ×âyªÚ Z¹dp⪫ªn (10, 12) ßápâyêæ U¾Q Àryê[y ´Àâ¿xpâª.

A. 10 B. 12 C. 22 D. 120

h) x = 3 A×ây×⬠y= 3 x + 4 ¿xpâÔâ páf×ây fªÚªn×â y ¾pâÃé~kÖâª. A. 4 B. 7 C. 10 D. 13

i) (0, 0) ÀâyîÎâyy (1, 1) ²ª{âyÀâóÈ gâyªvd ¹èÀâó ¿xpâÔâ páf ¿xÆ¥yÖâpâǪ. A. y = x B. y = -x C. y = 1 D. x = 1

2. ZѪ¬ ²ª{âyÀâóÈy O ¹d{âªÈª{ây Iªvây×ây.i) (5, 10); ii) (-8, 9); iii) (-800, -3000); iv) (8, - 100).

3. ZѪ¬ Àds¾ m°â~kpâßâªÚ.

A. x ´Öâíª Æ¥y{â A. x ´Öâí¾pâÃé~kª ±yyÇd°âWÖâªB. prªvâÀâ ¹d{⪠×âª{ây B. y ´Öâíª×ây (0, 4) Àâ{âM fªÚªßây×ây.C. y = 3x+4 ¿xpâÔâ páf C. ²ª{ây ´Öâí ¾pâÃé~kÖdÈy(a, 0)pâÃé~kªÈ¨ Iªvây×ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

235

4. fdù¥È×ây ~kòîªßâªÚ.

a. x - ´Öâíª Æ¥y{â aÖâ ²ª{ây y ¾pâÃé~kÖ⪠. b. x - ´Öâíª ¾pâÃé~kÖâª×ây ´ªêépây.c. x - ´ÖâíÀâyy ÀâyîÎâyy y -´Öâíª fªÚªßây ²ª{âyÀâó .d. aÖâ ²ª{âyÀâó 3Àâ ¹d{âª×âª{ây (x, y) ≠ ( 0, 0)´Ìy×â x + y ́ ×ây×â¬

gâypâKyÖâ¶Ð Iªvây×ây.e. (x, y) ²ª{âyÀâó ¿xÀâÃ骰âpâ ´Öâíª Æ¥y{â I×âQ y UÈ[~kóRvây .f. x = y ÀâyîÎâyy x =- y È fªÚªßây ²ª{âyÀâó .g. y - ´Öâíª, y =4x + 5 ¿xpâÔâ páf×ây fªÚªßây ²ª{âyÀâó .

5. ¿xî ÈáÖâ °â¹dR?

a. x -´Öâí ¿xÆ¥yÖâpâǪ ×âª{ây x = 0

b. x = 4 ¿xpâÔâpáf - y ´Öâíª×âæ ¿xÀâÃ骰âpâª.c. y=8 ¿xpâÔâ páf x - ´Öâíª×âæ Ȫ±ª.d. x =y ÀâyîÎâyy x =- y ¿xpâÔâ páfÈy aÖâ {d¾ Ö³Öâs Ȫ±ª.e. x = 9 ÀâyîÎâyy y = 9 ¿xpâÔâ páfÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs Ȫ±ª.f. y = x2 ZgdÁkó ~kêª aÖâ ¿xpâÔâ páf.g. y =3x + 4 ¿xpâÔâ páf x- ´Öâíª×ây fªÚªßâ{ây.h. ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ¾pâÃé~kÖâ ~k{âM»Îâyª{ây ´Öâí ¾pâÃé~kÖdÈy »¥¿xyÖ³¾×â ´ÆȪ±páfÈ

m°âÈ×ây OpâRpâßây×ây.6. (0, -8) ÀâyîÎâyy (7, 0) ²ª{âyÀâóÈ gâyªvd ¹èÀâó ¿xpâÔâ páfd ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

236

7. ZѪ¬ Z~k» Zgd~kó ~kêª×âª{ây ¿xpâÔâ páf ¿xÆ¥yÖâpâǪ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

8. XlOX - YlOY ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây aÖâ ²ª{âyÀâó P ÎryyÖâý ¾pâÃé~kÖdÈy (10, 7) Xl

1O1X1 - Y1

1O1Y1 ÀâyîÎryyÖâ ÀâXÀâ¿kL ÀâyîÎâyy XlOX || Xl1O1X Îâyª{ây ²ª{ây ¾pâÃé~kÖdÈy (10, 7). XlOX - YlOY ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây ‘O’ ÎryyÖâý ¾pâÃé~kÖdÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

9. { (x,y) : x > 0, y > 0, x + 2y < 4} Z~k{áµâÀâyy ÎryyÖâý ¾pâÃé~kÖdÈ ÀâXÀâ¿kL ×ây~kÎrÃéЪn Æ¥ypây nZ»¥ÖâîªßâªÚ.

10. 3y = 4x - 4 ÀâyîÎâyy 2x =3y + 4 ¿xpâÔâ páfÈ×ây ZgdÁkó ~kêª×âª{ây Ð¥n ÀâyîÎâyy o ¿xpâÔâ páfÈy fªÚªßây ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâªÚ.

11. a *b = ab + a + b ´Ìy×â y = 3*x + 1* 2 ÎryyÖâý ZgdÁkó ~kêª×ây Ð¥ÎâyªÚ.

Édpdªµâª(¹dî±d¸Öâ ~k{dÈy) GLOSSARY

páfd~kêª(GRAPH) : ¿xªfdX ¿xÃéßâÖâªÈ {â°Kdªµâª°¨ ßâÃé~kó~kêéÈy.ÖâÆ¥yWnZ°dÈy : En+×â {â°KdªµâªÈ ×âyªÚ º¥pâ$ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ÖâÆ¥yWpâÃé~kªÈ¨

Z~k{ââî^ªßây ~kêéÈy. ~õô×âÖâí (¿õÖ¦dpÒ Zgd~kó) : {â°KdªµâªÈ ×âyªÚ Àâ½°âKª×âª{ây ¿õÖ¦dpây pâÃé~kªÈ¨ Z~k{âî^ªßây

~kêéÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

237

¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¾pdWǪ: ¿xÀây°âȪ×âª{ây ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâyê ¿xÀây°âȪ×âª{ⶠprªvây Ȫ± páfÈy I~kÎrÃégâ~kvây×ây.

¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ~k{âM»: ZÖâÀây ÎâyygâW Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy ¬¥pâ& ßâ°âyZÉdÖdpâ ¾pdWǪ×âª{ây ²ª{âyÀâóÈy gâyîKªßâyêæ I~kÎrÃégâ~kvây×ây.

x- ´Öâíª: ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ~k{âM»È¨ Iªvây Ñí»m páf. Y- ´Öâíª: ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ~k{âM»È¨ Iªvây Ȫ± páf.¹d{âª: ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿x ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ~â{âM»È¨ °âȪ×ây ×dÈ$y ÅdgâªÈygd ÆÅâʪßây×â¬. ´²©bÉd (ABSCISSA) : x- ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ ²ª{âyÀâó. AîG×ráêÒ (ORDINATE) : Y- ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ ²ª{âyÀâó.Ödî¥R¸Îây×Ò ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL: ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kLÎâyª{ây aÖâ ¿xÀây°âȪ×âª{â¶

²ª{âyÀâóÈ×ây ßâydĪßây ²ª{âyÀâóÈy Àd¿kKÀâ¿xªfXÈ m°âÈygd Iªvây×ây. ´×â¶sÖÒ páfdg⧰âª: páfdg⧰â ÅdÀâ×âÈ×ây ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ~k{âM»È¨ I~kÎrÃégâ ~kvây

páfdg⧰⠴|âXÎây×âª.gâyîKªßây Ö¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy:

• ´Öâí ¾pâÃé~kÖâ ~k{âM»¾ Àây×âÀáy pânªßâyÖ³×â Àâßây+×ây. O{âÌy×â EªÖ³Öâ {d¾ ÀâXÀâ¿kLæ °âÖâýÀâ Öd{ây. • aÖâ ²ª{ây ́ Öâí¾pâÃé~kÖdÈy O ́ Öâí ¾pâÃé~kÖâ ~k{âM» Æ¥ypâyZgâÄdªn×â {d¾ Æ¥y{â A|dpâ ~kÚ Iªvây×ây.• aÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿x ´Öâí¾pâÃé~kÖdÈ ÀâXÀâ¿kL Àây×âæ ´×âyæéȪ °âgâ$êygd Iªêyª¬. Z~k» aÖâpây UÈ[~kRvây O{âÌy×â ´Öâí¾pâÃé~kÖâ ÀâXÀâ¿kL×ây I~kÎrÃéЪßâÀâßây+×ây. • ¿xªfdX¿xÃéßâÖâªÈygâÈ nZ°âÀáy Zgd~kó ~kêª.

mÀd±yÈy

´ÅdX¿xª 2.1.1 (mÀd±yÈy)1. ûLpâ~k{âªÈy : , , ,15

73 3 7-

ßâpâ~k{âªÈy : 12 , , , , 7 ,6 4 , 7 , , 4, ,x x xyxy

x x y zxyz

yy

yzx

5 32

25

38

4 82F+ - - + - +

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

238

2. OÖâ~k{âªÈy : , ,xyzyx x y7 8

58 2 2

¬]~k{âªÈy : , ,y y xz x z9 4 4 72 2- - +

Z»~k{âªÈy : 3 ,4 5 6x y z y z2- + + -

´ÅdX¿xª 2.1.3 (mÀd±yÈy)

1. , , , , , , , , [ ]x x xy xy x x x xyz x4 3 8 8 6 74 7312 2 3 3 3

- -6 6 6 6@ @ @ @

2. (i) 4x -14y+11, (ii) 4x2 - 3xy-9y2

3. (i) 9a +6b (ii) 2x2y+5xy2+2y3

4. (i) 10x2y-3xy2 (ii)3a+7b

´ÅdX¿xª 2.1.4 (mÀd±yÈy)

Z~kzâÀây →¬]»¥Îây↓

3x –6y 4x2 –8xy 9x2y –11x3y2

3x 4x2 –18xy 12x2 -24x2y 27x3y –33x4y2

–6y –18xy 36y2 -24x2y 48xy2 –54x2y2 66x3y3

4x2 12x3 –24x2y 16x4 –32x3y 36x4y –44x5y2

–8xy –24x2y 48xy2 –32x3y 64x2y2 –72x3y2 88x4y3

9x2y 27x3y –54x2y2 36x4y –72x3y2 81x4y2 –99x5y3

–11x3y2 –33x4y2 66x3y3 –44x5y2 88x4y2 –99x5y3 121x6y4

2. i)15x2+24x ii)45p4q3 +-3pq4 iii) a x b x56

563 3- iv) -x3 +15x.

3. i) 6x3y2–10x2y–3x2y2 +5xy ii) 12x3y3–18x3y4+4xy–6xy2

iii) 6x4+4x3+9x2+6x iv) 10m3+12m2–3m

´ÅdX¿xª 2.1.5 (mÀd±yÈy)1. i) a2 + 8a + 15 ii) 9t2 + 15t + 4

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

239

iii) a2 – 6a – 16 iv) a2 – 8a + 12.

2. i) 2915 ii) 10812 iii) 1224 iv) 9888.

3. x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.

4. i) a2 + 12a + 36 ii) 9x2 + 12xy + 4y2; iii) 4p2 + 12pq + 9q2 iv) x4 + 10x2 + 25;

5. i) 1156 ii) 104.04 iii) 2809 iv) 1681.

6. i) x2 – 12x + 36 ii) 9x2 – 30xy + 25y2 iii) 25a2 – 40ab + 16b2 iv) p4 – 2p2q2 + q4

7. i) 2401 ii) 96.04 iii) 3481 iv) 39204.

8. i) x2 – 36 ii) 9x2 – 25 iii) 4a2 – 16b2 iv) x94 1

2

-c m.

9. i) 2475 ii) 851 iii) 80.75 iv) 9996.

10. i) x4 – 81 ii) 16a4 – 81 iii) p4 – 16 iv) m161

8184

-` j

v) 16x4 – y4 vi) 16x4 – 81y4.

²©m¿xÀâÃéÉdÈy ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy1. a. B b.B c.C d. A e. A f. C g. C h. B i. C

2. 2x + 17y + p - Q 3. (i) 16x2 + 24x + 9 (ii) x2 + 4xy + 4y2

(iii) x2 + x12

+ 2 (iv) x2 + x12

+ 2

4. (i) 4t2 - 2.5 (ii) x2y2 - 25 (iii) 4x2 - 9y2

5. (i) n4-1 (ii) n4-n14

(iii) x8 -1 (iv) 16x4-y4 6. (i) 10609 (ii) 9216 (iii) 9951 (iv) 999936 (v) 21000

7. 25 8. 80 9. ±8 10. 29 11. 7 ÀâyîÎâyy 18 12. 34 ÀâyîÎâyy1154

13. (i) 2(x2 +y2) (ii) x4-2x2y2+y4 14. (i) ( z) ( )x z x

2

3

2

2 2+-

-c `m j (ii)( x +2y)2 - (2x + y)2

(iii) ( x +100)2 - (1)2 (iv) (500)2 - (5)2

15. (i) 13x - 4y (ii) - 28x - 11y 16. 4x2 - 22x + 6 17. 2x2 - 2xy + 4z2

18. ( )x xy y2

18 9 202 2- + 19. 5x2 + 11xy + 5y2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

240

´ÅdX¿xª 2.2.2 (mÀd±yÈy)

1. (i) x(x+y) (ii) 3x(x-2) (iii) (0.8) a (2a-1) (iv) 5(1-2m-4n)

2. (i) (a+x)(a+b) (ii) (3a+7b)(c-d)

(iii)(x-2z((3y-3z) (iv) (y-3)y2+2-x)

3. (i) (2a+5) (2a-5) (ii) ( ) ( )x x43

43

+ - (iii) (x2+y2)(x+y)(x-y)

(iv) 25

1222 (v) 0.4 (vi) (7a-3b) (3a-b)

´ÅdX¿xª 2.2.3 (mÀd±yÈy)1. (i) p=q;Q=2 (ii) p=-8;9=-4 (iii) p=6; p=-4

(iv) p=12;Q=-1 (v) p=-6;Q=1 (vi) p=-11;Q=4

2. (i) (x+4)(x+2) (ii) (x+3)(x+1) (iii) (a+3)(a+2)

(iv) (a-3)(a-2) (v) (a-8) (a+5) (vi)(x-9)(x+8)

3. (i) (x+7)(x+7) (ii) (2x+1)(2x+1) (iii)(a-5)(a-5)

(iv) 2(x-6)(x-6) (v) (p-12) (p-12) (vi) x(x-6)(x-6)

ÖdpâÇéªÖâ ÆÅâm×â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. (a) C (b) B (c) D (d) B (e) D (f) A

2. (i) (x + 3)2 (ii) (1 - 4x )2 (iii) (2x + 9y) (2x - 9y)

(iv) (2a + b)2 (v) (a2 - d2) (b2 - c2)

3. (i) (x + 3) (x + 4) (ii) (x + 4) (x - 3)

(iii) (x - 6) (x + 3) (iv) (x + 7) (x - 3) (v) (x - 16) (x + 12) (vi) (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)

(vii) (x -2y) (x + 2y) (x - 3y) (x + 3y)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

241

4. (i) (2x - 3) (x + 2) (ii) (x - 4) (3x - 5)

(iii) (x - 2) (6x + 7) (iv) (2x + y) (2x + 5y)

(v) (2x - 1) (2x + 1) (x - 1) (x + 1)

5. (i) (x - 4) (x + 4) (x2 +y2) (x4 + y4)

(ii) a4 x4 (a - x) (a + x) (a2 + x2) (a4 + x4)

(iii) (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) (iv) (x2 + x + 3) (x2 - x + 3)

6. (i) (x2 + 2xy + 2y2) (x2 - 2xy + 2y2)

´ÅdX¿xª 2.3.2 (mÀd±yÈy)

1. i) x = 8 ii) y = 30 iii) z = 7 iv) x = 116

v) x = 3 vi) s = 28 vii) x = 20 viii) x = 24

ix) x = 7 x) x = 58-

xi) x = 60 xii) x = 25

xiii) x = -2 xiv) x = -36 xv) x = -1

2. i) x = 12 ii) t = -6 iii) x = 7 iv) z = 23 v) x = 5

vi) x = 1 vii) x = -25 viii) x = - 13 ix) x = -5 x) x = 10

xi) x = 3 xii) x = 8 xiii) x = - 54 xiv) x = 9

´ÅdX¿xª 2.3.3. (mÀd±yÈy)

1. 40 ÀâyîÎâyy 20 2. 71, 73, 75 3. 25 ÀâyîÎâyy 15

4. 11 5. pâÃé 3000 ÀâyîÎâyy pâÃé 750 6. 13 ÀâyîÎâyy 10

7. x = 40 8. 7 9. 45 ÀâyîÎâyy 36 10. 96Æ¥y ÀâyîÎâyy 48Æ¥y

11. ´ÝkéÀâyW{Ò 12 ¿xªÀâ°âbpâªÈy ÀâyîÎâyy °âªZÚ ÀâÎây¿kyb 36 ¿xªÀâ°âbpâªÈy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

242

12. ¾µâÃé 11 ¿xªÀâ°âbpâªÈy, ¿xªm® 17 ¿xªÀâ°âbpâªÈy

13. ¬¥~kó 11 ¿xªÀâ°âbpâªÈy, ÆÊË 22 ¿xªÀâ°âbpâªÈy

14. ²ª{âÃé 19 ¿xªÀâ°âbpâªÈy , ÞÀây m¨¿xÁÏ 46 ¿xªÀâ°âbpâªÈy.

15. 8 ¿xªÀâ°âbpâªÈy. aÖâ ßâpâpdúgâÈ ¿xpâÔâ ¿xÆ¥yÖâpâÇéÈy ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. a) B, b) A, c) B, d) B, e) B, f) B, g) A, h) B

2. i) 10 ii) 5747- ,

3. 21 ÀâyîÎâyy 24

4. 10 ÀâyîÎâyy 40, 5. 110, 112, 114

6. A Íöpây pâÃé 40,000 ÀâyîÎâyy B Íöpây pâÃé 20,000

7. 60, 8. 72

9. I{dX×âÀâ×⪠pâÃé 35,000 ÀâyîÎâyy Eê[y pâÃé 49,000

10. pâÃé 800

11. 15 ¿xªÀâ°âbpâªÈy, 12. 33, 13. pâÃé 12.50

14. 57 , 15. 90 Ñ.Æ¥y. ÀâyîÎâyy 95 Ñ.Æ¥y. 16. 2.25 Ñ.Æ¥y., 17.

41 , 18. 62

19. U°âKy 20 ¿õª.Æ¥y ÀâyîÎâyy ÅâÃéÆy 12 ¿õª.Æ¥y. 20. 400, 500, ÀâyîÎâyy 900

´ÅdX¿xª 2.4.1 (mÀd±yÈy)

1. (i) 123 (ii) 2-9 (iii) (0.013)2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

243

2. (i) 104 + 2.103 + 3.102 + 4.10 + 5

(ii) 103 + 101 + 2 4

101

101+ (iii) 2 5 7

101

102

103

104+ + +

3. 3.54 + 1.53 + 2.5 4. 194 5. 625

´ÅdX¿xª 2.4.2 (mÀd±yÈy)1. (i) 321 (ii) 26 314 2. 10 ¿xy×âQÈy 3. 53 × 54 × 55 × 56 > 57 × 58

´ÅdX¿xª 2.4.3 (mÀd±yÈy)1. (i) 103 (ii)

625 2. 34 × 23 > 25 × 32 3. b = 1.2 ÈáÖâ 4

´ÅdX¿xª 2.4.4 (mÀd±yÈy)1. (i) 1 (ii)

21 2. m = 2; n = 2 3. m = 3

´ÅdX¿xª 2.4.5 (mÀd±yÈy)

1. (i) 2592 (ii) 27

2000 (iii) 2

3

1012 3 37

3

# # 2. Öd{ây

3. 1004 > 1253

´ÅdX¿xª 2.4.6 (mÀd±yÈy)

1. (i) 24332 (ii)

4287519683 (iii)

44

13

2 53

39

#2. n = 49 3. m = 2 I×âQ ¿xªÅâƪßây×ây.

ÁkÃé°dªÖdÈy ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy1. (i) B (ii) D (iii) D (iv) C (v) B

2. (i) 1152 (ii) 225 (iii) 8 3. 109.65

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

244

4. 1 5. b12

6. (a) 642 (b) 0 (c) 2-9 (d)27944 (e)

21

7.11 8. 81 9. a + m = 8

10. k + 2 = 8 ÈáÖâ 14 11. 1 12. 625

´ÅdX¿xª 2.5.4 (mÀd±yÈy)

2. i)Àryy{âs¹d{⪠ii) ÀâyÃévâÀâ ¹d{⪠iii) ×dÈ$Àâ ¹dª{⪠3. ii) (–17, –2) 4. (–13, –8)

´ÅdX¿xª 2.5.5 (mÀd±yÈy)

3. i) 3 x - 2y = 6 ii) x+y=5

5. (1,1)

´ÅdX¿xª 2.5.6 (mÀd±yÈy)

1. a) B b) B c) C d) C e) C f) D g) C h) B i) A

2. a) Àryy{âs b) prªvâÀâ c) ÀâyÃévâÀâ d) ×dÈ$Àâ

3. (A) (C); (B) A; (C) (B)

4. (a) ¿xy×âQ (b) ´²©bÉd (c) (0, 0) (d) ±yyÇé°âWÖâ

(e) |â×d°âWÖ⪠(f) (0, 0) (g) (0, 5)

5. (a) °â~kóR (b)¿xî (c) °â~kóR (d)¿xî (e) ¿xî (f) °â~kóR (g) °â~kóR (h)¿xî

6. 7y = 8 (x -7) ; 7y = 8x

7. (i) 6y = 11x + 15 (ii) 16y = -5x + 12 8. (-3, 3)

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

245

páfdg⧰⪴|dXÎâyª-3 Ådgâª-1

¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy ÀâyîÎâyy û{Pdª°dÈyo ÅdgâÀâyy×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬ Àds¾ ×ápây+æªêépây.

• ´¾pâ]n°â Àâ¿kKyÀâóÈy, ¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy ÀâyîÎâyy {â°KdªµâÀâyyÈ´pâLÀâyy.

• ÎâyydÑ[ÚÎây×Ò páfdg⧰âªÈ¨ páfÈy, ²ª{âyÀâóÈy, ¿xÀây°âȪ, ´ª°âpdÔéÈy ´¾pâ]n°â Àâ¿kKyÀâóÈy.

• ´¾Q pâÖdÈ Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy AÖ¨ÇéÈ Àây|âX ¿xª±ª|âª.• ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ |âpdWÈy ÀâyîÎâyy ÎâyydÑ[vÒ Y{âÀâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.

3.1.1 ~kîßâÎâyª

ZѪ{âs °âpâgâ°âyÈȨ ¿xpâÔâpáfÈy, Z»ÅâyméÈy, ßâ°âypâyVméÈy, Àâ½°KdÈy Àâªs ´×áÖâ páfdg⧰⠴ªµdÈ×ây ´|âXÎây×⪠ßáµdpây. Ö¨ÇéÈy, Ö¨ÇéÈ ÆÆ|â pâÖdÈy, Z»ÅâyméÈ ´¿xÀâÃé×â°â]ª (aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈ Àryy°âKª ÀâyÃévâÀâ Åâymª Öâªêá UæýÀâ), Àây|âXgâ°â páfÈy, Ȫ±páfÈy, Z»Åâym ÀrôµdÈXª, Àâ½°âKÀrôµdÈXª Àryy{âÈgây ´ªµdÈy æévâ ´|âXÎây×⪠ßáµdpây. Æ¥sȨ ßdÈ Àâpâæ ~kîú¥È×â {d]pd ±¨ºªßâ±vGdÌy. EÀâ¾¥Q 2000 ¿xªÀâ°âbpdÈ ZѪ{âê Æyd ~kòî¥]æÈ ßá°â pâÃé¹åª¬ªßâ ±vGdÎâyªêá Æydæ Aµâ+pâXª ÀáÎâyÀâßây+.

¾mé¾Ñ páfdg⧰⪠ÎryyÖâý ~kîÖâÈR×â ßdÈé ¹d°â¬. ~kópd°â×â páfdg⧰â ~k{âP°âyÈy ÀâyîÎâyy ֳȰâÈ×ây oÊ~kó¦ ×dgâîÖâ°â ~õª¹åª¬ªnª¬. ¾mé¾Ñ páfdg⧰⪠´×á~k{⪠prªvây ZÐ¥æ ~k{dÈy Geo ´×âgd ÅâÃéÆy ÀâyîÎâyy metron ´×âgd ֳȰâ ×âyªÚ Àân+ª¬. ×rôÈy×⬠A Z~k{áµâÀâyª°d I¹åRªÐ×â~kóvây ÀâXÀâÉdÎây ÅâÃéÆy ´ª°d ¾¥sȨ ÖâÈû Ýké{âMyÈy ßrîйèÎâÃéÌy. ́ ~kóvây oÊ~kó¦Àdpây A Ýké{âMyÈ×ây OpâRpâßâêé¾Ñ Ö³¾Q páfdg⧰â ~k{âP°âyÈ×ây ~õª¹åª¬ªßdpây. |d×âX~kó ´ªgâÔâ[ygd I~kÎrÃéЪßâ±vâG Ö³¾Q Z»~kîÀâÃéÇé°âWÖâ Àâ¿kKyÀâóÈ Áky×â~kîÀâÃéǪ, ¿xÀây°âÈ Àâ¿kKyÀâóÈ ÀrôµdÈéXÈy ~kîßâÎâyª ßáµdpây. ±Ýkéyµâ Z~k~kªßâªÈ¨¾ Ovâyƪ°âÈ [̈ aÖâêrô×â ÄpâÆyvâ[ ¾pdWǪ ÀâÃé×âÀâóvây Édºªn×â Áky×â°â. ¬¥¾¾ ±s¦ oÊ~kó¦Àdpây páfdg⧰âÀâyy×ây I~kÎrÃéЪßâyêȨ Uª°âÀâyyª{ây×dQp¨ °rÈy¿kKyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

246

Öd±s¦ ÅâÃéÆy¾ Ö³¶ßá ́ Àâ¿xpdÈÀâÈ×â ~kópd°â×â páfd g⧰⪠́ «À⽬P ßrª¬ª¬. O¬ OÀryô×d 2500 ¿xªÀâ°âbpdÈ ZѪ{âê Z¹dn¥×â ZХ氨 páfdg⧰⪠ÎryyÖâý ~kîÖâÈR×âÈ×ây pâÃé¹åª¬ªßd¶b×â ´Àâ¿xpdÈ×ây °rÈy¿xyæ×âQ Àryy{âsÀdpây ZÐ¥æÈá, ²ª{âyÀâó, páf, ¿xÀây°âȪ ´ªêá OÆyê¨ UæýÀâ °rÈy¿xyÖ¨æªvd×á páfdg⧰âªÈ¨ Àds¾ I~kÎrÃéЪßdpây. Öd¾ ÆÀâpâÇÈ×ây ¾gâÀây×â~k{âP»È¨ ¾pâÃéĪßâyêȨ ZÐ¥æ °â°â] µdç¿xK Àá°âKÈy ÀâyîÎâyy g⧰⠵dç¿xK Àá°âKÈy UæýÀâ I°dbÝkéª ßâÃé¹dpây. ±Ýkéyµâ záÈÒb (640BC-546BC) ´×ây µdç¿xKÀá°âK I~k~k»K ÎryyÖâý ~kîÖâÈR×â×ây Àryy{âsÉdîgd ~kîßâÎâyªßáû IªvâÀâßây+. ́ °âvây aÖâ ÆÀâpâǾ °âpâý ±{âPªgd ¾pâÃéĪßâÀâÈû×â ́ Àâ¿xpâÀâyy×ây gâyîKªßdvây. ́ ~kȨ¾Îây¿Ï, ¹[dê¨, ~õôzdgâpâ¿Ï, vâÎryd¹dªê¿Ï, êéÈrÆyd Àryy{âÈgây ZÐ¥æÈy páfdg⧰âÀâyy ÀâyîÎâyy g⧰âÀâyy ÎryyÖâý E°âpâ ãáZ°dÈy aÖâ ZÖâÀây ~k{âP»È¨ ´«À⽬Pßrª{âyêæ Ö⽸ ßáµdpây. Àdpây g⧰âÀâyy×âæ °âpâý ±{âPÀryô×â ÆmCé×âªgd ûLpâÀryô×â ~kó×d¬ Àáµdpây. O¬ OÀryô×d Æ¥pâª{âpâÃé páfdg⧰âÀâyy ÀâyîÎâyy E°âpâ ãáZ°dÈæ ßáû×â Ö⽸¾ ÎâyÃéÑ[vÒ ¿öÖâîªn °â×â¿k]ª°â AȨßâ×âÈ×ây ßáî+ ~k{âÀâyÃévây ÅdgdÈy gâÈ ÀâyÃéÈÖdÈy (Elements) ~kó¿kKÖâÀâyy×ây pâÃé¹åª¬ªßdvây.

ÎâyÃéÑ[vÒ

ZÐ¥æ g⧰⠵dç¿xK Àá°âK ´Ìy×â ÎâyÃéÑ[vÒ (¿xyÀâÃépây 300BC) ¾ °âpâßâygd páfdg⧰â Ä°dÀâyÝkéyvây ´ªêépây. ~kópd°â×â ÖdȪȨ Z~kû{âP ZÐ¥æ g⧰⠵dç¿xK Àá°âK ´Ìy×â êéÈrÆyd (323BC-283BC) ÑoÎây×â ¿xÀâyÖd¶¥ævây. ÎâyÃéÑ[vÒ ßáû×â ÀâyÃéÈÖdÈy (Elements) ´×á ~k¾, Àryy°âKª g⧰â ßâîZ°â¾¥ Z~kÅdư⪠ßáûª¬. ´¬ g⧰⪠ÎryyÖâý pâÃé~kópáfÈy ÀâÃéî+ ÅâÆÍkX°âKyȨ {d¾ ́ «À⽬PÑ ~kó×d¬ Àáûª¬. ÎâyÃéÑ[vÒ ¿k]Îâyª û{PdÈy ÀâyîÎâyy páfdg⧰â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy ́ ×ây ÀâyîÖ³¾Q ¿xÃéZ°dÈ ×d|dpâªgd ÎâyÃéÑ[ÚÎây×Ò páfdg⧰⪠pâÃé~kªÈ¨ °â×â

Ák¶°dÈ×ây pâÃé¹åª¬ªßdvây. g⧰⪠ÎryyÖâý E°âpâ µdfÈæ æévâ AÎây×â ~k¾ ßáµdvây. ÎâyÃéÑ[vÒ ¾gâÀây×â ~k{âP»È¨ Z~k|d×â ¿xªfXÈy ´×áÖâÀây¾ ¾pâÃéĪßâêª aÖâ g³~kR I{dÝképâÇ.

ÎâyÃéÑ[vÒ ÊËư⪠gâyîªn EªÖáÆyd ´ª°âgd °r¶ÎâyÀâó. ´°âvây O ~kîûL°âyÈȨ, O °á¬×â Àâyp⧪n×⬠æévâ °r¶Îây{ây. ´°âÚ gâyîªn °r¶û×âÀâ¾Q E°âpâyÈy ßáû×â ~k¾×d|dpâªgd °rÈy¿xyæ×âQÀá. o p¨mä Àây×âæ×âQ ´°â¾ nZ°âª æévâ aÖâ ÖâÔéÖdpây¾ NÝkë m¾°âÀáy.

Z¹dn¥×â Ådpâ°â {áµâªÈ¨ g⧰â ÆmCé×âªÈ¨ Z~k°áXѪn páfdg⧰âªÈ¨ ±Ýkéyµâ ¿xyÈÅâ ¿xÃéZ°dÈ×ây Z~k|âÀâyªgd ×âÀryd{ây ßáû IªvâÀâßây+ (600BC-300BC) EÆ Àá{âÖdȪȨ ÀâyîÎâyy °âpd]°âÖdȪȨ ~õª¹åª¬ªn×â g⧰⠿xÃéZ°dÈ îÖdpâGyÈy. ¿xyÈÅâ¿xÃéZ°dÈȨ ´×áÖâ g⧰⠿xÃéZ°dÈy I×dQÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

247

{áÀâóÔâ[×ây Z~k¿x×âQª ßá¿xyÖ¨êé¾Ñ ±¶Ä¥tdÈ×ây ¾îWªßâêª Àâªs Àây°â~kpâÀryô×â ́ Àâ¿xpdÈ ×âyªÚ Ådpâ°â páfdg⧰⪠~õª¹åª¬ªßâ ±Úª¬. °âpd]°â ZgâÝkéÇéÈ×ây ́ |âXÎây×⪠ßáÎâyêé¾Ñ æévâ Ådp⻥Îây páfdg⧰⪠́ «À⽬P ßrª¬ª¬. ¿xyÈÅâ ¿xÃéZ°dÈȨ Z¹dn¥×âÀryô×â ±ñ{PdÎây×â ¿xÃéZ°âª ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÎây¾ ßr~kó°âyª¬. Eª{âyȨ Z~kfdX» ßrª¬×â ~õôzdgâpâ¿Ï û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý I{áMµâXÀâyy æévâ Iª¬. Öd¾ {âypâ{â½Ík¦ Àâµd°âKy ´¬ ¾pâÃéĪßâ±vâÈá{ây.

aÖâ Àâ½°âK ÀrôµdÈéX¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â ÀrôµdÈXªgâÈ ßâ°âypâZ¿xÀâyy×ây ¾îWªßây ~k{âP» æévâ ¿xyÈÅâ ¿xÃéZ°dÈȨ EÀâ]±Úª¬. π ¿xyÀâÃéprô×â ÆÈyÀâ×ây 3.088 gd I~kÎrÃéЪßdpây. ´¬ E~kóRvây Àây×âÀâyy π Ñ I~kÎrÃéЪßá ÆÈyÀâÑ {âgâ$pâgd Iª¬.

ÖdÈé×âygâyǪgd E°âpâyÈy æévâ ßdÈé Ö⽸ ßáµdpây. ApâX Åâê¦ I, Åd¿kýpâ I, ÀâpdÝké Æyþépâ, Z±ÝkéWgây~kK, ÀâyÝkëÆ¥pdßdpâX Åd¿kýpd ßdpâX II, ÀâÃé|âÀâ, ¾¥ÈÖâªtâ ÉèÀâyÎâÃéÊ Àryy{âÈgây Àdpây g⧰âÀâyy×ây ´«À⽬P ßrªßâyêæ ßdÈéÖ⽸ ßáµdpây.3.1.2 ¿k]Îâyª û{PdÈy ÀâyîÎâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy :

1800 Ö¨ÇÀâyy×ây ¿xpâÔâ֨Ǫgd ¾pâ]nªßdpâ¾ Æydæ °rÈy¿xy. Ö¨ÇÀâyy×ây Ö³ÈÀâêé¾Ñ Æydpây Ö¨ÇÀâÃé¾¾¾ I~kÎrÃéÐÉKdpây. O¬ OÀryô×d Ö¨ÇÀâÃé¾¾ ¿xpâÔâ páf Æyd{â Iªn°á {d¾¾ 1800 gd ßâ{âyÀâó°dpây. aÖâ ¿xpâÔâ֨Ǫ En+×â~kóvây 1800 Ö³ÈÀâêé¾Ñ Ö¨ÇÀâÃé¾¾¾ pâÃé¹åª¬ªßdpây. ¿xpâÔâÖ¨Çé¾Ñ Ö¨Ç ÀâÃé¾¾ ßâyê¦y ÀrÔ[éȾ gâÀây¾ªßdÀd ?

ZÐ¥æ g⧰⠵dç¿x K Àá°â KÈæ páfdg⧰âÀâyy×ây ~kòîKgd ¾gâÀây×âÆmCé×⪠gd ´«À⽬P ßrª¬ªßâyê ßdÈé ÖâÍk¦Àryô×â¬. Àdpây ²ª{âyÀâóÈy, ¿xpâÔâpáfÈy, ¿xÀây°âÈÀâyy, ´ª°âpdÔâÀâyyÀâªsÖ³¾Q Z¹dzâÆyÖâ ÅdÀdÈÆyd{â A|dpâ~kvâÀâÈû Àân+ª¬. Öd¾ Z~k» ÆÍkÎâÃé¾Q Ådƪßâêé¾Ñ E¬ ¿xî¹èÈá{ây. Àdpây ÀâypâyZ~kµâQÀáÎâyæªvd páfdg⧰d¾Ñ ÀâÃéZ°âÀáy I~kÎrÃéЪßâyÖ¨ °âgâ$ê[y Ö³¾Q ÆÀâpâÇÈ×ây OpâRpân ́ ªÐ¥ÖâîªßâÀâÈû Àân+ª¬. Àdpây Àâyî Ö³¾Q ÆÀâpâÇÈ Æyd{â A|dpâ~kvâÀâÈû Àân+ª¬. ́ Æ g⧰⪠Àryy°Kd¾Ñ Z~k°áXѪn páfdg⧰d¾Ñ ÀâîKÉKdÌy. Z~kúQªßâæªvd ´ªÐ¥Öâîªßâ±Ú×â ÀâyîÎâyy ÆmCd×âÀâyy ÎryyÖâý ́ ¾Q µdfÈæ ́ ×â]Ìyªßâ °âgâ$ Éd|dpâÇ ÆÀâpâÇÈ×ây ¿k]Îâyª û{PdÈygd ßr±y°dpây. Z~k°áXÖâªgd páfdg⧰âÀâyy×âª{ây Z~kúQªßâæªvd ́ ªÐ¥Öâîªßâ ±Ú×â ÆÀâpâÇÈ×ây páfdg⧰â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy ´ªêépây. EÖâÀâyyª{ây ¾pâÃéĪßⱨÀâó OÁk¶°âÀryô×d o ¿k]Îâyª û{PdÈy ÀâyîÎâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ Æ¥y{â A|dpâ ~kvây°âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

248

¾gâÀây×â~k{â P» ÎryyÖâý Àâyp³Öâ ¿xÀây¿kXOÆyêªêá Ö³¾Q páfdg⧰â ~k{dÈ×ây UÈé ¾pâ]nªßd¶. I{dÝképâÇæ Æyd Öâª{âîÖ¡ ²ª{âyÀâó gâyîªn ¿xÝkémÀry ô×â ´«Z¹dÎâyª Iª¬. Öd¾ ¾¥Àâó aÖâ ²ª{âyÀâó¾ ¾pâ]nªßâgâÈÀd? ¾¥Àâó O{r ô×d ¾pâ]nªßdȪêá ¾¥æ Àâyyª{á °r¶û×â {d¾¾ I~kÎrÃéЪßd¶ Öd±s¦ ¾¥ÀâóÖ³¾Q ´¾pâ]n°â~k{dÈ Æ¥y{â A|dpâ~kvd¶.

ÎâyÃéÑ[vÒ páfd g⧰âªÈ¨ ²ª{âyÀâó, páf, °âÈÀâyy ´×áÆ ¾pâ]nªßâ±vâ¾ ~k{dÈy. ´Æ ÖáÀâȪ ´pâÃé~k ÅdÀâ×âÈy ÀâÃéZ°âÀáy. Öd±s¦ ¾¥Àâó ²ª{âyÀâó¾ ßâÃévâÈáÀâó ¾¥Àâó aÖâ ~k{ây×rô×â ~õ¾bÈy¾ »¥¿xyÖ³¾ ÖdаâªÆyd{â aÖâ ßâyÖâý ~õÚ°á ´¬ ÍkyÀâÃépâygd aÖâ ²ª{âyÀâó¾ ¿xÃén¿kKyª¬. ´{á Æ|âªgd ¾¥Àâó aÖâ páf¾ ßâÃévâÈáÀâó. aÖâ ²ª{âyÀâó prªvây ¬µâÈȨ ß⶿öK ´¬ aÖâ ¿xpâÔâpáf¾ OpâRpây¿kKyª¬. aÖâ ¿xpâÔâpáfÑ ´ª°âªÈá{ây.

A ÀâyîÎâyy B Èy aÖâ ¿xpâÔâpáfÆyd{â ²ª{âyÀâó Èrô°á Àây×âÀâyy ¿xpâÔâpáf¾ AB °¨ ¿xÃénÉKdÀâyy. aÖâ ¿xpâÔâpáf¾ Öâ»Kî¿öK prªvây ÅdgdÈÀâó °âyª¬. aÖ³ýÖâý Ådgd¾Q ÑpâǪ ´ªêépây. Öd±s¦ aÖâ ÑpâÇé¾Ñ A¬ ²ª{âyÀâó IªÚ aÖá ¬µâȨ ´¾îMÍk¦ªgd ÀdXÄ¿kKyª¬. aÖâ ÑpâÇé¾Ñ A aÖâ A¬ ²ª{âyÀâó, B A ÑpâǪ Æyd{â O{rô×d aÖâ ²ª{âyÀâó ´Ìy°á A ÑpâÇé¾Q AB °¨ ¿xÃénÉKdÀâyy. aÖâ ¿xpâÔâpáf Æyd{â OÀrô×d prª{ây ²ª{âyÀâóÈy A ÀâyîÎâyy B È×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ A ÀâyîÎâyy B È Àây|âXgâÈ ¿xpâÔâpáf Ådgd¾Q páfdfªvâÀâyy ´ªêépây. ¬¥¾¾ AB °¨ ¿xÃénÉKdpây.

´{áÆ|âªgd aÖâ ¿xÀây°âÈé¾Q ¾¥Àâó ¾pâ]nªßâÈáÀâó. Àây×âæ×âQ ¿xÝkém mCé×d¾Q ±s¦ ¿xÀây°âȪ ×âÈ[ ±È[ ÈáÖâ aÖâ ßrpâyÀâóȨ¾ ûLpâÀryô×â ¾¥s ÎryyÖâý I~kî°âȪ ¿xÀây°âȪ ÎryyÖâý Ö³ª°â Ådgd¾Q ¿xÃénÉKdÌy. Öd±s¦ ÎâyÃéÑ[vÒ páfdg⧰âªÈ¨ ¾pâ]nªßâ±vâ¾ ~k{dÈy×dQÌy, °âÐ×âêyÀâªs ¿k]Îâyª û{PdÈy, páfdg⧰â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ°¨ ÎâyÃéÑ[vÒ páfdg⧰âª

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

249

O Öâê¦vâÀâyy ¾îWªßâ Àâßây+ר ßr±y°âyª¬. o ¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª.

I. ¿k]Îâyª û{PdÈy :

Z~kúQªßâæª{d ´ªÐ¥Öâîªßâ±Ú×â ¿k]°âûb{âPÀryô×âÖ³¾Q ¾îMÍk¦ ÆÀâpâÇÈy I×dQÌy. Àds×á ¿k]Îâyª û{PdÈy ´ªêépây. o ÆÀâpâÇÈy g⧰⪠ÎryyÖâý E°âpâ ãáZ°dÈȨ æévâ I~kÎrÃégâ ~kvâ°dÌy. ÎâyÃéÑ[vÒ Éd|dpâÇ ÅdÀdÈy (Common Notions) gd ÄÈyÀâ ±vá ZѪ¬ ÆÀâpâÇÈ×ây I~kÎrÃéЪßdvây.

A

C

B

DAB = 10 ¿õª.Æ¥y CD = AB

´Ìy×â CD = 10 ¿õª.Æ¥y

¿k]Îâyª û{âPª 1 :aÖá ´ªµd¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â ´ªµdÈy aÖâ{d¾Ö³Öâs ¿xÀâÃé×âª.

aÖâ Ödаd¾Q »¥¿xyÖ¨ªÚ. 10 ¿õª. Æyd ¹åvâÀâógâÈ AB páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. Àâ½°âKÈáؾ°¨ AB ¹åvâÀâóÑ ¿xÀâÃé×âÀryô×â ¹åvâÀâógâÈ CD ´×ây Àâyp³Öâ páf×ây Ð¥ÎâyªÚ. CD ¹åvâÀâó Ö³ÈÀâªÚ. CD ¹åvâÀâó 10 ¿õª.Æyd. ´¾ ~kîú¥¶ªßdÀd? ¬¥¾¾ o Æ|âªgd pdÎâyÀâßây+: CD = AB ÀâyîÎâyy AB= 10 ¿õª.Æyd. ´Ìy×â CD=10 ¿õª.Æyd.

¾¥Àâ{âM ÀâÃéÆyÚ ~kªvâ[y, ÖâÀâyÈé vâªvâ[y, ´ps~ kªv â [°¨ A, B À â yîÎ â y y C ´× â y ÀâyÃévây ±yê¦Èy×dQÎây×âyÖ¨ªÚ. A, B Èy ¿xÀâÃé×â ¿xªfXȨ ~kªvâ[×ây Öâ¶Ð I×dQÌy. ÀâyîÎâyy B, C Èy ¿xÀâÃé×â ¿xªfXȨ ~kªvâ[×ây Öâ¶Ð I×dQÌy ´×âyÖ¨ªÚ. A ÀâyîÎâyy CÈy ¿xÀâÃé×â ¿xªfXȨ ~kªvâ[×ây Öâ¶Ð I×dQÎây¾ ¾pPdîªßâgâÈÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

250

¿k]Îâyª û{âPª 2 : ¿xÀâÃé×â ´ªµdÈæ ¿xÀâÃé×â ´ªµdÈ×ây æéÚ×â~kóvây Àds Àryy°KdÈy ¿xÀâÃé×âª.

A

D

CB

FE

AB = DE ÀâyîÎâyy BC = EF ´Ìy°á AC = DF ´Àâó°âyª¬

AB À âyîÎâyy DE ´×ây p rªv â y ¿xÀâÃé×â ¹åvâÀâógâÈ páf fªvâÀâyyÈy I×dQÎây×âyÖ¨ªÚ. AB Ñ CB ¾, DE Ñ EF ¾ æévâªÚ B C = EF ´Ìy°á AC = DF ´Àâó°âyª¬.A ±yê¦È¨ 10 ÀâÃéÆyÚ ~kªvâ[y ÀâyîÎâyy B ±yê¦È¨ 10 ÖâÀâyÈé~kªvâ[y »¥¿xyÖ¨ªÚ. prªvây ±yê¦Èæ 5 ÎâÃéÄÈÒ ~kªvâ[y ßápâ+ªÚ. prªvây±yê¦ÈȨ¾ ~kªvâ[y ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? (15Ñ ¿xÀâÃé×âª)

¿k]Îâyª û{âPª 3 :

¿xÀâÃé×â ´ªµdÈ×âyªÚ ¿xÀâÃé×â ´ªµdÈ×ây »¥û Àáû×â~kóvây µá¤dÈy ¿xÀâÃé×âª.

A

D

CB

FE

AC = DF ÀâyîÎâyy BC = EF ´Ìy°áAB = DE

AC ÀâyîÎâyy DF ´×âyprªvây ¿xÀâÃé×â ¹åvâÀâógâÈ páfdfªvâÀâyyÈy I×dQÎây×âyÖ¨ªÚ. AC ×âyªÚ CB ¾ ÀâyîÎâyy DF ×âyªÚ EF ×ây ° ³ È Ð ª ß â ª Ú . BC = EF ´Ì y ° á AB = DE ´Àâó°âyª¬.

A ±yê¦È¨ 10 ÀâÃéÆyÚ~kªvâ [y ÀâyîÎâyy B ±yê¦È¨ 10 ÖâÀâyÈé~kªvâ[y »¥¿xyÖ¨ªÚ. Z~k»±yê¦È¨×âyªÚ 2 ~kªvâ[×ây °³ÈЪßâªÚ. ´~kóvây A ÀâyîÎâyy B ±yê¦Èy ¿xÀâÃé×â ~kªvâ[×ây Öâ¶Ð IªêéÌy.

¿k]Îâyª û{âPª 4 :

aÖâ {d¾°¨ aÖâs OÖ¡Åâƪßây ´ªµâÀâyyÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃé×â ÀâyÀâó°dÌy. ¬¥¾ ´pâLÀáyÀâyªêá prªvây páfdg⧰â nZ°dÈy aÖâ{d¾È¨ aÖâs EÆyÚ×âê[Ìy°á ´Æ

°â~kRæªvd ¿xÀâÃé×â Àâyñ°dÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

251

¿k]Îâyª û{âPª 5 : ~kòpâJpdû {d¾ Ådg⪠Öâªêá ~õ{âM¬.¾¥pây I×âQ aÖâ ¹dZ°â×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. {d¾È¨ ×âyªÚ Ö³ª°â¾¥pây °³ÈЪßâªÚ. Æyж×â

¾¥s Áky×â~kîÀâÃéǪ Àryy{âs¾¥s Áky×â~kîÀâÃéÇé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀâyñ°âyª{d?Àryy{âs Y{ây ÎâyydÑ[üvÒ ÎryyÖâý Éd|dpâÇ ÅdÀdÈy. Àryy{âs ÀâyÃévây ¿xÀâÃé×âÀâyy,

¿xÀâÃé×âÀâ¿kKyÀâóÈy ´×ây {d¾Ñ ¿xª±ªºªn×âÆ. ×dÈ$Àâ{d¾ ´pâLª: páfdfªvdÈy Ö¨ÇéÈy, Z»ÅâyméÈy ÈáÖâ Àâ½°KdÈy Àâªs prªvây nZ°dÈy aÖâ{d¾ Æyd¬Ñ Àâyp³Öâ{d¾¾ Ö⬶ªn×â~kóvây ´Æ OÖ¡ÅâÆ¿öK A nZ°dÈy ¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÌy. A|ây¾Öâ ÅdÍkȨ ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠´ªêéÀâyy.o Éd|dpâÇ ÅdÀdÈ×âyªÚ prªvây AȨßâ×âÈy ÀâÉKdÌy.

(1) g⧰â nZ°dÈ×ây ~kîÀâÃéÇéÈygd ~kîg⧪ßâÀâßây+. ÀâyîÎâyy (2) aÖâ nZ°âª Àâyp³Öâ{d¾ ÎryyÖâý Ådgâªgd Öâ¾Ä¿öK (±Ýkéyµâ aÖâ ßâÈ×⪠°âpd]°â)

´~kóvây Ådg⪠ÎryyÖâý ~kîÀâÃéǪ ~kòpâJpdû ÎryyÖâý ~kîÀâÃéǪ Öâªêá °âæýÀâ Iªêyª¬.

æévâêé¾Ñ ÀâyîÎâyy ¹èÈ+êé¾Ñ aÖápâÖd¾Ñ ßrª¬×â ~kîÀâÃéÇéÈy Iªvd¶. I{dÝképâÇÑ ¾¥Àâó ÀrôµdÈXÀâyy×ây ¹åvâÀâóÑ æévâÈáÀâó. Z»Åâymé¾Q ¾¥Àâó ²ª{âyÀâó°¨ ¹èÈ+ÈáÀâó. 5 Àâ ¿k]Îâyª û{Pd¾Q 'Öâªêá ~õ{âM¬' ́ ×ây ~k{d¾Q ¾pâ]nªßâêé¾Ñ ÀdvâÀâßây+. b ́ ×ây×⬠a ÎryyÖâý ÅdgâÀryô×â a ́ ×ây×⬠b Öâªêá ~õ{âM¬. E¬ aÖá pâÖâÀryô×â ~kîÀâÃéÇéÈ Àây|âX ¹è¶Öâ. (I{dÝképâÇÑ aÖâpáf ×âyªÚ aÖâ ²ª{âyÀâó¾ »¥¿xy Ö¨ÈáÀâó. páf ²ª{âyÀâó Öâªêá ~õ{âM{â¾ æévâ ßr~kR ÈáÀâó. ¬¥¾Ñ ´pâLÀáyÈá{ây). ²ª{âyÀâóÑ OpâÖâÀryô×â ~kpâÀâÃéÇÀâyy Èá{âyÖdÀâó×â prª{ây ²ª{âyÀâóÈ×ây ¹èÈ+ÈáÀâó. prªvây páfd fªvdÈ ¹åvâÀâóÈ×ây ¹èÈy+°dÀâyy Öd±s¦ aÖâ páfd fªvâÀâyy Àâyp³Öâ páfd fªvâÀâyy Öâªêá ~õ{âM{â¾ ßr~kRÀâßây+.

II. páfdg⧰â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy :

o Éd|dpâÇ ÅdÀdÈy ÖdÖâ ÎâyÃéÑ[vÒ Ö³¾Q ZÖ³°âK Z~k» ¹d{â×âÈ×ây pâÃé¹åª¬ªßâêé¾Ñ ZѪ¬ páfdg⧰â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây Z~k»¹d¬ªßdvây.

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 1: OÀrô×d prªvây ²ª{âyÀâóÈ×ây ÖâÈy~kóê {d]pd aÖâ ¿xpâÔâpáfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

252

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 2: O{rô×d aÖâ páfd fªvâÀâyy×ây aÖâ ¿xpâÔâ páfȨ Uª°â{âÃépâÀryô×d ¹åÚЪßâÀâßây+.

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 3: O{rô×d aÖâ páfd fªvâÀâyyIªêá{d¾ aÖâ nÀâî ²ª{âyÀâó×ây ÖáªZ{âÀâyygd ßá¿xyÖ³¾ A páfd fªvâÀâyy×ây ÀdXÉdpâLÀâyygd ßá¿xyÖ³¾ Àâ½°âKÀâyy×ây Ð¥ÎâyÀâßây+.

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 4: ´¾Q Ȫ±Ö¨ÇéÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âª.û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 5: aÖâ ¿xpâÔâpáf prªvây ¿xpâÔâpáfÈ×ây {d¾Ñ aÖáÀrô~kó×â prªvây

´ª°âpâÖ¨ÇéÈ×ây Àds Àryy°âKÀâyy prªvây Ȫ±Ö¨ÇéÈæ °âæýÀâ OpâRvây ×âê[y Ö⶿öK A prªvây páfÈ×ây ´{áÀrô~kó ¹åÚпöK ÖâÈy¿xy æªêéÌy.

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 5: Z~kû¬P ßrª¬×â ÎâyydÑ[vÒ ¿xÀâÃ骰âpâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª. ´¬ OÆy ßr±y°âyª{âªêá aÖâ ¿xÀây°âȪȨ prªvây ¿xpâÔâ páfÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd×rô×d IªêéÌy ÈáÖâ aÖáaÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÖâÈy¿xyæªêéÌy. ßdÈé Àâyª¬ Z~kÎây»Qªn æévâ o û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy×ây aÖâ û{Pdª°âªgd ¾pâÃéĪßâ ÈáÖâ ¹èÎâÃépây. ÎâyydÑ[vÒ °â×â ÀâyÃéÈÖdÈy Ȩ¾ Àryy{âs 28 Z~k»¹d{â×âÈæ ( ¿xª~kòpâJ páfd g⧰âª) Àryy{âs ×dÈygây û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây ÀâÃéZ°âÀáy I~kÎrÃéЪßdvây. Öd¾ 29 Àâ Z~k» ¹d{â×âæ ±ÈÀ⪰âªgd ¿xÀâÃ骰âpâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy×ây Àr¶Ñ »¥Îây ÀâÈû Àân+ª¬. 1823 Ȩ méר¿Ï ±¨ÈéXÎÒy (Janos Bolyai ) ÀâyîÎâyy ¾Ö¨ÈéÎÒy ȳ±d ßrûý (Nicolai Lobacharsky) ´×âyÀdpây ¿xÀâÃ骰âpâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy ×ây~kÎrÃéЪßâæªvd ~kòîKgd ¿k]Îâyª¾ÈÖâvâ gd Iªvá ÎâyydÑ[ÚÎây×á°âpâ páfdg⧰dÈ×ây ¿x½¸¦ªßâ Àâßâ+¾ ¿k]ª°âªgd °rÈy¿xyæ×dQpây. ¿xÀâÃ骰âpâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ´×ᬠ"aÖâ ¿xÀây°âȪȨ prªvây ¿xpâÔâpáfÈy ÖâÈy¿xyÖ¨æªvd×rô×d IªêéÌy ÈáÖâ aÖá ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÖâÈy¿xy æªêéÌy". ´×ây{d¾Ñ ¿xÀây °âyÈXª. Àây×âÀâyy g¨ÔâÀâyy ÎryyÖâý I~kî°âÈé¾Q ßâÃé¿öK o ¿xpâÔâpáfÈy g¨ÔâÀâyy Æyd{â prªvây ~õ{âM Àâ½°KdÈÑ ßrª{ây°dÌy. ÀâyîÎâyy O prªvây ~õ{âMÀâ½°KdÈrô×d prªvây ²ª{âyÀâóÈ Àâ{âM ÖâÈy¿xy æªêéÌy.

ÎâyydÑ[vÒ Z~k»¹d{â×âÈ×ây ¾pâÃéĪßáê~kóvây Àâyñ×âªgd Ö³¾Q ´ªµdÈ×ây Ådƪßdvây. I{dÝképâÇÑ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª1 OÆy ßr±y°âyª{âªêá OÀrô×d prªvây ²ª{âyÀâóÈ gâyªvd aÖâ ¿xpâÔâpáf×ây Ð¥ÎâyÀâßây+. Öd¾ ÎâyydÑ[vÒ Àây×â¿xyȨ OÆy Iª{â¾ Ä¿kKyª{âªêá aÖâ ¿xÀây°âȪȨ¾ prªvây ²ª{âyÀâóÈ gâyªvd aÖá aÖâ ¿xpâÔâpáf ¹è°âyª¬. aÖâ pâÖâªgd ßâÃé¿öK ¿xÀây°âȪȨ¾ aÖâ ²ª{âyÀâó gâyªvd ´~kîÆy°â Àryô×â ´×áÖâ ¿xpâÔâpáfÈy Ð¥ÎâyÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

253

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 2 {d]pd OÆy °rÈy¿kKyª{âªêá aÖâ ¿xÀây°âȪȨ¾ páfdfªvâÀâyy×ây aÖáaÖâ ¿xpâÔâpáfgd ¹åÚЪßâÀâßây+. û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 4 Ȫ±Ö¨ÇéÈæ ¿xª±ªºªn×⬠Öd¾ ÎâyydÑ[vÒ {d¾¾ ¾pâ]nªßâÈá{ây. ́ °âvây OÆy ́ ×âyÖ³¾ IªvâÀâßây+ ×âªêá aÖâ ¿xpâÔâpáf°¨ OpâRÚ×â Ö¨ÇÀâyy prªvây Ȫ±Ö¨ÇéÈ°¨ OpâRÚ×â¬.

E~kóRvây×âQ Z~kÀâÃéÇéÈ Z~kÖdp⪠ÎâyydÑ[vÒ ÀâyÃéÈÖdÈy Ȩ ßdÈ ÀâÃépâyRÈy I×dQÌy. ´Ìy×â~kRsÖ¡ Ñ[Ík¦Àryô×â g⧰⠿xÃéZ°dÈ Æyd{â A|dpâ ~kÚ×â Àryy{âs ~kó¿kKÖ⪠fn+°âªgd ´{á. o Àây|âX ÖdȪȨ Ö³°âK ´¾pâ]n°â Àâ¿kKyÀâóÈy, ¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pd°dªÈ×ây ~kîßâÎâyª ßáÎâyêé¾Ñ ßdÈ Z~kÎây°âQª ßáµdpây. Àds×ây~kÎrÃéЪn E~kRsÀâpâæ ¾pâ]nªßâ ±vâ¾ Ö³¾Q ~k{dÈ×ây ¾pâ]nªßâÀâßâ+¾ Ådƪßdpây. ¿xÆy°âyÈ ~kóp¨gâ» ÀâyîÎâyy ¿xªfdXÀâXÀâ¿kLÆyd{â ¿k]Îâyª û{PdÈy, ²ª{âyÀâó, páf ÈáÖâ ¿xÀây°âÈéÈ×ây ¾pâÃé~kÖâ ~k{âM» ×ây~kÎrÃéЪn ¾pâ] nªßâêé¾Ñ {¨Ýké{â ~kvGdÌy.

´ÅdX¿xª 3.1.11. ÎâyydÑ[vÒ páfdg⧰âªÈ¨ ´¾pâ]n°â Àâ¿kKyÀâóÈy ´×âgd×áÆy?2. ¿k]Îâyª û{âPª ÀâyîÎâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°d¾Ñ Àây|âX Åá{â ÀáyÆy ?3. Æyd ´×âyÅâÀ⪰¨ ZѪ¬ ¿k]Îâyª û{PdÈæ aÖ³ýÖâý I{dÝképâÇ EÀâ]ªÚ . (a) ¿xÀâÃé×â ´ªµdÈæ ¿xÀâÃé×â ´ªµdÈy æéÚ×â~kóvây Àryy°KdÈy ¿xÀâÃé×âª. (b) ~kòpâJpdû {d¾ ÅdgâªÖâªêá ~õ{âM¬.4. ¿k]Îâyª û{PdÈ×ây ~kîßâÎâyª ßáÎâyÀâÈû×â ´Àâ¿xp⪠OÆys ?5. Æydpây Àâyyª{áßâÃén×âê[y ´¾Q ¿xÝkém ¿xªfXÈ ¿xÆy» ¿xªÖâÈ×⪠Ѫ{â ¿xm黥Îây

×dXÎâyª ¹ds¿kKyª¬. E¬ ¿k]Îâyª û{âPÀâÃé ÈáÖâ ¾¥Àâó ¾pâÃéĪßâgâÈ ´ªµâÀâÃé ?3.1.3 páfÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy :

aÖâ ¿xÀây°âȪȨ ‘O’ A¬ ²ª{âyÀâó gd OA ´×âyÑpâǪ Iª{â×âyÖ¨ªÚ. ´{á A¬ ²ª{âyÀâó ‘O’ °¨ ´{á °âÈÀâyyȨ Àâyp³Öâ ÑpâǪ OB ¾ »¥¿xy Ö¨ªÚ. ‘O’ ²ª{âyÀâó ßâyê¦yOA ÑpâÇÀâyy×ây »~kóRê{d]pd OB ÑpâÇÀâyy Àâ¿kKyª{â¾ gâÀây¾ªßâªÚ OB ÑpâǪ OA °¨ aÖâ Ö¨ÇÀâyy×ây OpâRpânª{â¾ ́ ªêéÀâyy. Uª°âZ»~kóR°dÀryd ´{áÖ¨ÇÀâyy ֳȰ⠴Àâó°âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

254

Ö¨ÇéÈ×ây Ö³ÈÀâêé¾Ñ ÚZÐ¥ ´×âyÉdªfXÖâ ֳȰâ×ây I~kÎrÃéÐÉKdÀâyy ‘a’ ÚZÐ¥È×ây gâyîKªßâêé¾Ñ a0 ¿xªÖá°âÀâyy ×ây~kÎrÃéÐÉKdÀâyy. OA ÀâyîÎâyy OB ÑpâÇéÈ×ây Ö¨ÇÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyyȾÎâyy ‘O’ ¾ ú¥pâ_Àâyy ´¾Îâyy ´ªêépây. OA ÀâyîÎâyy OB ÑpâÇéÈ°¨ OpâRvá Ö¨ÇÀâyy×ây AOB+ ÈáÖâ AOB/ °¨ ¿xÃénÉKdpây.

¿xÃéßâ×â : prªvây ÑpâÇéÈy OA ÀâyîÎâyy OB È×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. OA Æyd{â X aÖâ ²ª{âyÀrô°á OA ÀâyîÎâyy ox prªvây ÑpâÇéÈy ¿xÀâÃé×âª. ´{áÆ|âªgd OB Æyd{â Y aÖâ ²ª{âyÀrôá°á prª{ây ÑpâÇéÈy OB ÀâyîÎâyy OY ¿xÀâÃé×âÀâyy. Öd±s¦ AOB XOY+ += .

Ö¨ÇéÈ×ây Ö³ÈÀâêé¾Ñ Ö¨ÇÀâÃé¾¾ ´×á páfdg⧰â ~kîÖâp⪠Iª¬.ÖdpdXßâpâǪ: 3.1. ´

Ö¨ÇÀâÃé¾¾ ¿xÝkëÎâyª°¨ 40 ÚZÐ¥È Ö¨ÇÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.ÖdpdXßâpâǪ: 3.1. A

OA ÀâyîÎâyy OB ÑpâÇéÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Ö¨ÇÀâÃé¾¾ ¿xÝkëÎâyª°¨ Àds Àây|âXÖ¨ÇÀâyy×ây Ö³ÈÀâªÚ.Ýõéßâ+îÖâ!

Àâyªn Ö¨ÇÀâÃé¾¾, ¿öýÈy, ~õ¾bÈy°¨ æévâ ¾¥Àâó fn+°âªgd 400 Ö¨ÇÀâyy×ây ¾îWªßâÈáÖâ ¹èÀâßây+. ¿xÝkémªgd ¹dpâÈéÖÒb {¨Íkª Iªêyª¬ ÖdÀâó×â ÆydÖâÔâ[y æévâ Z~kÀâyyf ¹dZ°âÀâþéÉKdÌy. ´Ìy×â~kRsÖ¡ Z¹dÎrÃéÐÖâ ´Àâ¿xpdÈæ Æydpây ßá¿ö ¾pdWǪ ¿xî¹è°âyª¬.

Ö¨ÇéÈpâÖdÈ gâyîªn Æydpây OÆy ßâ¬Àdp¨ gâypâKy °rßây+Ö¨ªÚ: ¿xpâÔâ֨Ǫ, Ȫ±Ö¨Çª, ÈÁkyy֨Ǫ, ´ºÖâ ֨Ǫ, ¿xpâÔéºÖâ ֨Ǫ, ~kòpâJ֨Ǫ, A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy, ~kòpâÖâÖ¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy.

aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây »¥¿xyÖ³¾ {d¾ Æyd{â ‘O’ ´×ây ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâªÚ. ‘O’ ²ª{âyÀâó A ¿xpâÔâ páf×ây prªvây ÑpâÇéÈygd ÆÅâÊ¿kKyª¬. B ́ ×ây ²ª{âyÀâó ‘O’ Ñ UvâÀâyÀrô~kó ÀâyîÎâyy A ´×ây ²ª{âyÀâó æÚÀrô~kó Iªêá ´~kóvây OA ÀâyîÎâyy OB prªvây ÑpâÇéÈÀâó°dÌy. o prªvây ÑpâÇéÈ Àây|âX Ö¨ÇÀâyy×ây ¿xpâÔâ֨Ǫ ´ªêépây.

¾¥Àâó Ö¨ÇÀâÃé¾¾ ÎryyÖâý ÖáªZ{âÀâyy×ây 'O' °¨ OÖ¡Åâƪßây×âê[y Iªn°á OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX Ö¨ÇÀâyy 1800 ´¾ °rÈy¿kKyª¬. ¾¥Ö¨ÇÀâÃé¾¾ O ¿xpâÔâÖ¨ÇÀâyy ×rô×d 1800 ßâÃé~kó °âyª¬. ÖdÀâó×â aÖâ Ö³ÈÀâÃé×âÀâyy×ây~kÎrÃéЪn ¾¥Àâó ¿xpâÔâÖ¨ÇÀâyy×ây ¾pâ]nªßâÈáÀâó.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

255

ÎâyydÑ[vÒ páfdg⧰âªÈ¨ {d¾¾ û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyyÈy Ȩ aÖâsgd ~kîg⧪n×âê[y Àây×âæ °rÈy¿xy. Öd¾ ¾¥æ aÖâÉdî ¿xpâÔâ֨Ǫ °r¶¿öK ¾¥Àâó ´¾QpâÖdÈ Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¾pâ]nªßâÀâßây+. I{dÝképâÇÑ Èª±Ö¨ÇÀâyªêá 900 ֳȰ⾠Öâ¶Ð×⬠ÈáÖâ Ö¨ÇÀâÃ龾Ȩ ¿xg⪠Iªêyª¬. ´{á Æ|âªgd ÈÁkyy֨Ǫ ´ªêá 900 Öâªêá °âæýÀâ ֳȰâ Öâ¶Ð×⬠ÀâyîÎâyy ´ºÖâ ֨Ǫ ´ªêá 900 Öâªêá UæýÀâ, ¿xpâÔâ֨Ǫ Öâªêá °âæýÀâ ÖâȬ. ¿xpâÔéºÖâ ֨Ǫ ´ªêá 1800 Öâªêá UæýÀâ, 3600 Öâªêá °âæýÀâ ÖâȬ nÀâpâgd 3600 ֳȰâgâÈ Ö¨ÇÀâyy×ây ~kòpâJ֨Ǫ ´ªêépây. E¬ A¬ ²ª{âyÀâó 'O' ßâyê¦y OA ´×ây aÖâ ÑpâǪ ÎryyÖâý ~kòîK ~kîZÅâÀâyÇé¾Ñ ¿xª±ªºªn×â¬.

¿xpâÔâ ֨ǪȪ±Ö¨Çª

ÈÁkyy֨Ǫ

¿xpâÔéºÖâ ֨Ǫ

~kòpâJ֨Ǫ

´ºÖâ֨Ǫ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

256

¿xpâÔâ ֨Ǫ

Ȫ±Ö¨Çª

prªvây ÑpâÇéÈy OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX֨Ǫ 900 ́ Ìy°á A prªvây ÑpâÇéÈy ~kpâ¿kRp⪠Ȫ±ªgd I×dQÎây¾ ´ªêépây. ¬¥¾¾ OA ┴OB gd ¿xÃénÉKdpây. prªvây ÑpâÇéÈy OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX֨Ǫ 1800 ´Ìy°á A prªvây ÑpâÇéÈ×ây ~kî~kòpâÖâ ÑpâÇéÈy ´ªêépây. o ¿xª{âpâVªÈ¨ OA ÀâyîÎâyy OB Èy Æpây{âP ¬µâÈȨ IªêéÎây¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

aÖâ ¿xpâÔâpáfÆyd{â 'O' O{rô×d aÖâ ²ª{âyÀâó ́ ×âyÖ¨ªÚ. ́ ~kóvây 'O' ²ª{âyÀâó ¿xpâÔâpáf×ây prªvây ÑpâÇéÈygd ÆÅâÊ¿kKyª¬. B ²ª{âyÀâó 'O' Ñ UvâÀâyÀrô~kó gd×ây A ²ª{âyÀâó æÚÀrô~kógd×ây Iªêá A ¿xpâÔâpáf OA ÀâyîÎâyy OB ´×ây prªvây ÑpâÇéÈ°¨ OpâRvây°âyª¬. A prªÚªs Àây|âX ֨Ǫ ¿xpâÔâ֨Ǫ ÈáÖâ 1800 Iªêyª¬. prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 1800 ´Ìy°á Àds¾ ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy ´ªêépây. E{á Æ|âªgd prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 900 AÌy°á Àds¾ ~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy ´ªêépây.

prªvây Ö¨ÇéÈæ aÖá ú¥pâ_Àâyy, aÖâ IÀâyW ÚÅâymª Iªêá Àds¾ A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ´ªêépây. prªvây ¿xpâÔâpáfÈy ABÀâyîÎâyy CDÈy aÖâ ²ª{âyÀâó 'O' Àâ{âM fªÚªßây Ö³ªêá ×dÈygâyÖ¨ÇéÈy OpâRvây°dÌy. Àryy{âs páf OAÀâyîÎâyy OB ´×ây prªvây ÑpâÇéÈygd×ây, prªvâÀâ páf OC ÀâyîÎâyy OD ´×ây prªvây ÑpâÇéÈygd×ây ÆÅâʪßâ±Ú°á ´~kóvây ∠AOC, ∠COB, ∠BOD ÀâyîÎâyy ∠DOA ́ ×ây ×dÈygây Ö¨ÇéÈy OpâRvâ°dÌy. ∠AOC ÀâyîÎâyy ∠BOD Ö¨ÇéÈ m°â×ây ú¥pd_«ÀâyyfÖ¨ÇéÈy ́ ªêépây. ∠COB ÀâyîÎâyy ∠DOA Èy æévâ ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈÀâó°dÌy.

A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

257

¿xpâÔâpáfdfªvdÈy, Ö¨ÇéÈ×ây Ö³¶ ßáê~kóvây ZѪ¬ ¾ÎâyÀâÃéÈ×ây gâÀây¾ÉKdÀâyy. ÎâyydÑ[vÒ Æ¥s¾ Z~k°áXÖâªgd ßr~kRÈá{âyÖd¾ Àds¾ Ö³°âK Z~k»¹d{â×âÈy ¾pâÃéĪßâyêȨ Àâyñ×âªgd û©]Öâîªßdvây. Àds¾ ´ºÖâªgd ßáî+×â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈygd »¥¿xyæªêéÀâyy.

¾ÎâyÀâyª 1 : Z~k» páfd fªvâÀâyy ÎryyÖâý ¹åvâÀâó |â×â ¿xªfX ´Ìy Iªêyª¬. (AB páfd fªvâÀâyy ¹åvâÀâó¾ AB ÈáÖâ AB; ; °¨ ¿xÃénÉKdÀâyy.)

¾ÎâyÀâyª 2 : AB ´×ây páfdfªvâÀâyy Æyd{â C ´×ây ²ª{âyÀâó Iªêá AB ¹åvâÀâó AC

ÀâyîÎâyy CB È ¹åvâÀâóÈ Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°âyª¬. ´ªêá AB = AC + CB.

¾ÎâyÀâyª 3 : Z~k» Ö¨Çé¾Ñ Ö³ª°â ~kîÀâÃéǪ Iªêyª¬. ¿xpâÔâ֨Ǫ ֳȰâ 1800 Iªêyª¬.

¾ÎâyÀâyª 4 : OC ÑpâǪ OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX Iªêá ∠AOB =∠AOC +∠COB ´Àâó°âyª¬.

¾ÎâyÀâyª 5 : prªvây ÑpâÇéÈ Àây|âX֨Ǫ ¿xy×âQ ´Ìy°á ´Æ prªvây OÖ¡ÅâÆÉKdÌy. Æ~kpâXÀâyygd prªvây ÑpâÇéÈy OÖ¡ÅâÆ¿öK Àds Àây|âX ֨Ǫ ¿xy×âQ ÈáÖâ 3600 ÎryyÖâý ~kòpâJgây§mÀâyy ´Àâó°âyª¬.

gâÀây¾Öâ : Ö¨ÇéÈy Ö³¶ßáê~kóvây Àây×âÀâyy o ¿xªÖá°âÀâyy×ây~kÎrÃéÐÉKdÀâyy. ́ ¬ OÀây×âgd Ö¨ÇÀâyy×ây ´~k ¿xÀâX ¬µâȨ Ö³¶¿öK {d¾¾ |â×â ¿xªfXgd×ây ¿xÀâX¬µâȨ Ö¨¶¿öK {d¾¾ ±yyÇ¿xªfXgd×ây ~kîgâ§ÉKdÀâyy.

gâÀây¾Öâ : g⧰⠰â°â]µdç¿xK ÀâyyȨ ¹åª¬ÖâÎryô×â páfdg⧰âÀâyy×ây ´«À⽬M ßáÎâyyêæ ´Àâ¿xpâÀryô×â ¿k]Îâyª û{PdÈ Öâ¾Ík¦ ¿xªfX Uª°â? ´×ây×⬠aÖâ Z~kµâQ ´Ìy×â¬. O¬ OÀryô×d EÖâývâ ´Àâ¿xpâÀryô×â Öâ¾Ík¦ ¿xªfX gâyîªn gd¾ ÎâyydÑ[vÒ Z~k»¹d¬ªn×â Àryy{âs ¿k]Îâyª û{PdÈy ÀâyîÎâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây Iªßâyê gâyîªngd¾ Àây×âÀâyy ~ks¦ªßâyÖ¨Àâêª Èá{ây. ¾mé¾Ñ ÎâyydÑ[vÒ I~kÎrÃéЪn×â ¿k]Îâyª û{PdÈȨ ßdÈé fdù¥Èy I×dQÌy. °âpd]°â g⧰⠵dç¿xK Àá°âKÈy ÎâyydÑ[vÒ I~kÎrÃéЪn×â ÀdsÑ Àâyî Ö³¾Q ßápd+pây.

ÖdpdXßâpâǪ: 3.1. EaÖâ Ödа⪠Æyd{â AB´×ây ¿xpâÔâpáf×ây Ð¥ÎâyªÚ. {d¾ Æyd{â 'O' ´×ây ²ª{âyÀâó×ây

gâyîKªßâªÚ. {d¾ Æyd{â OC ´×ây ÑpâÇÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. Ö¨ÇÀâÃé¾¾ ¿xÝkéÎâyª°¨ ∠BOC, ∠COA È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ∠BOC + ∠COA ÆÈyÀâ Uª°â? ¬¥¾¾ OC ÎryyÖâý ÆÆ|â ÉLd×dÈ°¨ ÀâypâÈ ÀâypâÈ ßáÎâyªÚ. ¾¥Àâó OÆy Öâ×âyg³×dQÀâó?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

258

o prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 1800 ´¾ ¾¥Àâó Öâ×âyg³ªêéÀâó ¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây I~kÎrÃéЪn ¬¥¾¾ ¾pâÃéĪßâgâÈÀd?

gâÀây¾Öâ : EÖâývâ °âpâý ±{âPÀryô×â ¾pâÃé~kÇ ´Àâ¿xpâÀây¾ ¾¥Àâó gâyîKÉKdÀâó. aÖâ ¿xpâÔâpáf Æyd{â O ÑpâÇÀâyy×ây »¥¿xyæ×dQ prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 1800 ´¾ gâÀây¾ÉKdÀâó. O¬ OÀryô×d prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 Ödæªvd Iªváª{âyæ æévâ ́ ÀâÖdµâª Iª¬. aÖâ páf Æyd{â ´×⪰â Àryô×â ÑpâÇéÈæ ´ÀâÖdµâª Iª¬ Öd±s¦ ¾¥Àâó ´¾Qs °¨×ây ¾pâÃéĪßâÈáÀâó. ´ª{âyÖá g⧰⠵dç¿xK Àá°âKÈy Àâyyª{á ¾pâÃéĪßâ ±Ú×â ¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy, Z~k»¹d{â×âÈ ×d|dpâªgd °dîýÖâ ¾pâÃé~kÇ ¾Àâ]êé¾Ñ Z~kÎây»QÉKdpây.

Àây×âÀâyy ¾pâÃéĪßâÀâÈû×â ÆÀâpâÇ OÆyê¨ ßâyd{Mdª. aÖâ ¿xpâÔâpáf×ây {d¾Æyd{â aÖâ ÑpâÇé¾Q »¥¿xyÖ¨Àd¶. o páf ÀâyîÎâyy ÑpâÇéÈ°¨ prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇdÈy OpâRvGdÌy. o prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 ́ ¾ Àây×âÀâyy ¾pâÃéĪßd¶. ¬¥¾×á Z~k»¹d{â×â gd »¥¿xyæª{dª.

¿k]Îâyª û{PdÈy ÀâyîÎâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây I~kÎrÃéЪßâyÖ³¾ ¾pâÃéĪßâ±vâÀâÈû×â ÆÀâpâÇá Z~k»¹d{â×â ´Àâó°âyª¬. E¬ aÖâ ÆÀâpâÇ ÎryyÖâý ¾pâÃé~kÇȨ I~kÎrÃéЪßâ ±Ú×â {â°KdªµdÈy ´×áÖ³¾Q NÝkëÖâÈR×âÈ Æ¥y{â æévâ A|dpâ ~kvây°âyª¬.

Z~k»¹d{â×â 1: ↔AB aÖâ ¿xpâÔâpáf, OC A páf Æyd{â ¾È ±vâG ÑpâǪ ´×âyÖ¨ªÚ. ´~kóvây

∠BOC + ∠COA = 1800

¾pâÃé~kÇÑ ÀrÔá\Àâyyª{ây OÆy Eßd+pây, OÆy ¾pâÃéĪßd¶ ´×ᬠßâÃé{Mdª. EÀâ]±Ú×â¬: ↔AB ́ ×á ¿xpâÔâpáf Æyd{â OC ́ ×á ÑpâǪ ¾È±Ú prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy

∠BOC ÀâyîÎâyy ∠COA È×ây OpâRpânª¬. ¾pâÃéĪßâ ÀâÈû×â¬: ∠BOC + ∠COA = 1800 I~k~k»K : ¾ÎâyÀâyª 4 Z~kÖdp⪠∠BOC + ∠COA = ∠BOA Öd¾ ∠BOA ´×ᬠ↔

AB páfÀâÈ×â OpâRÚ×â ¿xpâÔâ֨Ǫ. ¾ÎâyÀâyª 3 Z~kÖdp⪠∠BOA = 1800. E~kóvây Àây×âÀâyy ¿k]Îâyª û{âPª 1 ¾ I~kÎrÃéЪßâÀâßây+. ∠BOC + ∠COA ÀâyîÎâyy 1800 prªvâyd ∠BOA Ñ ¿xÀâÃé×âª. Öd±s¦ ∠BOC + ∠COA = 1800 ´¾ ¾pâJÌyªßâÀâßây+.

o Z~k» ¹d{â×â×ây Àâyp³Öâ Édî ßâyd{Mdª. ´¬ aÖâ ÑpâǪ aÖâ ¿xpâÔâ páf Æyd{⠾ȱÚ×â~kóvây OpâRÚ×â prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 ´¾ ßr±y°âyª¬. ´ªêá o prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

259

Àây×â Ö³°âK Z~k»¹d{â×âȾQs ÎryyÖâý ÉdÀâÃé×âX ÈãâǪ OÀâyªêá :

aÖâ ÆÀâpâÇ S ´×ᬠ¾mÀâyy ´Ìy×â~kóvây Àâyp³Öâ ÆÀâpâÇ R ´×ᬠ¾mÀâyÌy°á S ¾ {â°KdªµâÀâyy ´¾, R ¾ ÉdpdªµâÀâyy ´¾ ´ªêéÀâyy (EÖâývâ aÖâ ÑpâǪ aÖâ páf Æyd{⠾ȱڪ¬ ´×á ÆÀâpâÇ {â°Kdªµâª S ÀâyîÎâyy A¿x×âQ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª1800 ´×á ÆÀâpâÇ Édpdªµâª R) ´ª{âyÀâÈ×â R ¾mª ÖdÖâ ¹è°á S ¾mª ÖdÈá{ây.

A×âÀdÌy»¥gd " S ´×ây×⬠R ÎryyÖâý ÅdÀâÀâyy ¾¿kKyª¬" ´×ᬠ" R Öd{ây ´×ây×⬠S Öd{ây ´×ây ÅdÀâÀâyy" ×âæ ¿xÀâÃé×âª.

aÖâ Z~k»¹d{â×â ÎryyÖâý Æ~kpâXÀáyÆy? ¿xÝkémªgd {â°Kdªµâª ÀâyîÎâyy Édpdªµâª prªvâÃé Àds ÉLd×dÈ×ây ÀâÃépây+Ö¨Àd¶. ÀâyÃéÈ Z~k»¹d{â×âȨ S {â°Kdªµâª ÀâyîÎâyy R Édpdªµâª ´Ìy°á Æ~kpâX Z~k»¹d{â×âȨ R {â°Kdªµâª, ÀâyîÎâyy S Édpdªµâª ÖdÀd¶. Z~k¿kKy°â ¿xª{âpdV¾Ñ ÆÀâpâX ÀáyÀâyªêá OC ´×ây ÑpâǪ OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX IªÚ ∠BOC ÀâyîÎâyy ∠COA Èy A¿x×âQ Ö¨ÇéÈrô ∠BOC + ∠COA = 1800 ´Ìy°á A, O ÀâyîÎâyy B Èy aÖá ¿xpâÔâpáf Æyd{â IªêéÌy. A, O ÀâyîÎâyy B Èy aÖá ¿xpâÔâ páf Æyd{â Iªêá ´Æ OÖâ páfd ûL°âÀâyyÈy ´ªêéÀâyy ¬¥¾¾ Àâyp³Öâ Z~k» ¹d{â×âgd Æ¥y Àâyyª{âyªßây°dÀâyy.

Z~k»¹d{â×â 2 : OC ́ ×áÑpâǪ OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX Iªvây×âê[y ÀâyÃévây ÑpâÇéÈy I×dQÎây×ây Ö¨ªÚ. ∠BOC + ∠COA = 1800 ´Ìy°á A,O ÀâyîÎâyy B Èy OÖâ páfd ûL°âÀâyyÈy ´ªêá ´Æ aÖá ¿xpâÔâ páfÆyd{â IªêéÌy.

{â°Kdªµâª: ÀâyÃévây ÑpâÇéÈy OA, OB ÀâyîÎâyy OC Èy ∠BOC ÀâyîÎâyy ∠COAÈy A¿x×âQ Ö¨ÇéÈgây ×âê[y ÀâyîÎâyy Àds Àryy°âKª 1800 ´gây×âê[y I×dQÌy.

Édpdªµâª: A, O, B Èy aÖá ¿xpâÔâpáf Æyd{â IªêéÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

260

I~k~k»K: EÖâývâ aÖâ ¾pdWǪ ßá{MdÀâyy. A,O,D Èy aÖá ¿xpâÔâpáf ↔AD Æyd{â Iªvây×âê[y AO ¾ D Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ. Z~k»¹d{â×â 1 Z~kÖdp⪠∠DOC + ∠COA = 1800 Öd¾ ∠BOC + ∠COA = 1800 ´¾ EÀâ]±Ú×â¬. ¿k]Îâyª û{âPª 1 Z~kÖdpâª

∠DOC + ∠COA =∠BOC +∠COA ´Àâó°âyª¬. ¿k]Îâyª û{âPª 3 ×ây~kÎrÃéЪn ∠DOC =∠BOC ´¾ ¹åª{âÀâßây+. ´~kóvây OB

ÑpâǪ OD ÀâyîÎâyy OC È Àây|âX IªvâÀâßây+ ÈáÖâ OD ÑpâǪ OB ÀâyîÎâyy OC È Àây|âX IªvâÀâßây+. Àryy{âs ¿xª{âpâVªÈ¨ 4 Àâ ¾ÎâyÀâyÀâyy ×ây~kÎrÃéЪn

∠BOC=∠DOC= ∠DOB+∠BOC ÀâyîÎâyy ¿k]Îâyª û{âPª 3 ∠DOB = 0 ´×ây ÅdÀâÀâyy ¾¿kKyª¬. prªvâÀâ ¿xª{âpâVªÈ¨ 4 Àâ

¾ÎâyÀâyª ∠DOC =∠BOC = ∠BOD +∠DOC ´¾ ßr~kóKª¬. ÀâyîÎâyy ¿k]Îâyª û{âMª 3 ∠BOD = 0 ´×ây ÅdÀâÀâyy ¾¿kKyª¬. OB ÀâyîÎâyy OD ÑpâÇéÈ Àây|âX ֨Ǫ ¿xy×âQ. 5 Àâ ¾ÎâyÀâyÀâyy×ây I~kÎrÃéпöK OB ÀâyîÎâyy OD ÑpâÇéÈy OÖ¡ÅâÆÉKdÎây¾ ¾pâJÌyÉKdÀâyy. ¬¥¾ ´pâLÀâyy B ÀâyîÎâyy 'O' Èy ↔AD páf Æyd{â IªêéÌy. Öd±s¦ A, O, B Èy OÖâ páfd ûL°âÀâyyÈy.

gâÀây¾Öâ : Z~k»¹d{â×â! ÀâyîÎâyy Z~k»¹d{â×â 2Èy páfdg⧰â ÆÀâpâÇÈy ÀâyîÎâyy EÆprªvây ~kpâ¿kRp⪠Æ~kpdXÈy. páfdg⧰âªÈ¨ aÖâ ÆÀâpâÇ ¾mÀryô°á ´×áÖâ Édpâ[y {d¾ Æ~kpâXª æévâ ¾mÀâyÀâó °âyª¬. O¬ OÀryô×d E¬ ¿xpâ]Z°d ßrÈ[y±dêyÖd{ây. Ö³¾Q ÆÀâpâÇÈy ¾mÀryô Àds Æ~kpdXÈy ¾mÀâyyÖd¾ ¿xª{âpdVÈyªvâÀâßây+. °âpd]°â Àây×âÀâyy aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª ¿xÀây¬] ±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó °âyª¬ Öd¾ aÖâ ¿xÀây¬] ±dÝkéy Z»Åâymª ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª Öd×âÀâ¿xp⪠Èá{ây ´×á{d¾¾ ßâÃéÉKdÀâyy.

I{dÝképâÇ 1 : Z~kÖâý ~kêªÈ¨ ∠COA-∠BOC = 500 ´Ìy°á A Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. Éd|â×â: Z~k»¹d{â×â 1 Z~kÖdpâª∠BOC+∠COA=1800 prªvây ¿xÆydÖâpâÇéÈ×ây æéÚ°á 2∠COA =2300 ´Àâó°âyª¬ (EÖâývâ O ¿k]Îâyª û{âMÀâyy×âyI~kÎrÃéЪßdÀâyy?) E¬ ∠COA = 1150 ´×âQ ÅdÀâÀâyy ¾¿kKyª¬. (EÖâývâ O ¿k]Îâyª û{âPª ´Àâ¿xpâÀâyÀâó°âyª¬)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

261

E~kóvây ∠BOC = 1800 - ∠COA =1800-1150=650

I{dÝképâÇ 2 : Z~kÖâý ~kêªÈ¨ ∠AOB,∠BOC, ∠COD Èy 1 : 2 : 3 ¾ÍkR»KȨ IªÚ, ↔AD ¿xpâÔâ páf´Ìy°á ´¾Q Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â: Z~k»¹d{â×â 1 ×ây~kÎrÃéЪn∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 1800 ´Àâó°âyª¬.Öd¾ {â°Kdªµâª Z~kÖdp⪠∠BOC = 2∠AOB ÀâyîÎâyy ∠COD=3∠AOB. Öd±s¦

6 ∠AOB=1800 ¬¥¾¾ ±s¦ ∠AOB=300 ÀâyîÎâyy ∠BOC =2×300 = 600

ÀâyîÎâyy ∠COD =3×300 = 900.¾pâ]ßâ×⪠: OA ÀâyîÎâyy OB ́ ×ây prªvây ÑpâÇéÈ ÀâÈ×â ∠AOB Ö¨ÇÀâyy OpâRÚª{â×ây

Ö¨ªÚ ∠AOP =∠POB ´gây×âê[y OP ÑpâǪ OA ÀâyîÎâyy OB È Àây|âX Iªêá OP ÑpâǪ ∠AOB ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ ´ªêéÀâyy ÈáÖâ OP ÑpâǪ ∠AOB ÎryyÖâý ֨ǿxÀây¬]fªvâ×â páf ´Àâó°âyª¬. o ¿xª{âpâVªÈ¨∠AOP =∠POB=∠AOB ´¾ Àây×âÀâyy gâÀây¾ÉKdÀâyy.ÖdpdXßâpâǪ :3.1.o

↔AB ́ ×ây ¿xpâÔâpáf×ây Ð¥n ↔AB Æyd{â OCÑpâÇÀâyy ×âyªßâªÚ. ∠BOC ÀâyîÎâyy ∠COA

È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ∠BOC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßáÎâyy×âê[y OP ÑpâÇÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ ́ {á Æ|âªgd ∠COA ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßáÎâyy×âê[y OQ ÑpâÇÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. ∠POQ ¾ Ö³ÈÀâªÚ. ∠POQ=900 ´Àâó°âyª{d? AB Æyd{â ÆÆ|â ÑpâÇéÈy OC È×ây »¥¿xyÖ³¾ o ÖdpdXßâpâÇÀâyy×ây ÀâypâÈ ÀâypâÈ ßáÎâyªÚ. ´¾QÉdpâ[y ∠POQ=900 Àân+ª{d? ¬¥¾¾ ¾¥Àâó aÖâ Z~k»¹d{â×âgd OpâRpâßâgâÈÀd?

Z~k» ¹d{â×â 3 : ↔AB aÖâ ¿xpâÔâpáf, OC {d¾ Æyd{⠾ȱÚ×â ÑpâǪ ´×âyÖ¨ªÚ. ∠BOC ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf OP ´¾, ∠COA ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf OQ ´¾ ´×âyÖ¨ªÚ. ´~kóvây

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

262

∠POQ=900 ´Àâó°âyª¬.EÀâ]±Ú×⬠: OP ÑpâǪ ∠BOC ¾, OQ ÑpâǪ ∠COA ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßáÉKdÌy.¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∠POQ = 900

I~k~k»K : OP ÑpâǪ ∠BOC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬. ÖdÀâó×â ∠POC=∠BOC 1)

OQ ÑpâǪ ∠COA ¾ ¿xÀây¬] fªvâ×â ßá¿kKyª¬ ´ª{âyÀâÈ×â ∠COQ=∠COA (2) o prªvây ÑpâÇéÈ×ây æéÚ 4 Àâ ¾ÎâyÀâyÀâyy×ây~kÎrÃéЪßâgd ∠POQ=(∠BOC+∠COA) ́ Àâó°âyª¬.

Öd¾ Z~k» ¹d{â×â 1 Z~kÖdp⪠∠BOC + ∠COA = 1800 ´Àâó°âyª¬. (1)Öd±s¦ ∠POQ= × 1800= 900 ´Àâó°âyª¬.ÖdpdXßâpâǪ : 3.1.I: ↔AB ÀâyîÎâyy CD ´×ây prªvây ¿xpâÔâpáfÈy 'O' ´×ây ²ª{âyÀâó Àâ{âM fªÚªßây×âê[y

»¥¿xyÖ¨ªÚ. ∠BOD,∠DOA, ∠AOC, ∠COB È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ∠BOD ÀâyîÎâyy ∠AOC È×ây ¹èÈ+ªÚ. ´{áÆ|âªgd ∠DOA ÀâyîÎâyy ∠COB È×ây ¹èÈ+ªÚ. ¾¥æ O{rô×d ¿xª±ª|âÀâyy Öâ¾Ä¿kKyª{d? ↔AB Öâ×âygâyǪgd CD ÎryyÖâý ÉLd×d¾Q ÀâÃépây¿kÃKé ¬¥¾¾ ÀâypâÈ ÀâypâÈ ßáÎâyªÚ. ¾¥Àâó aÖâ ZÖ³°âK Z~k»¹d{â×â×ây OpâRpâßâgâÈÀd?

Z~k»¹d{â×â 4 : prªvây ¿xpâÔâpáfÈy aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM fªÚªßây Ö³ªêá ú¥pd_«ÀâyyfÖ¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

EÀâ]±Ú×⬠: ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD ´×âyprªvây ¿xpâÔâpáfÈy 'O' ²ª{âyÀâó Àâ{âM fªÚªßây ×â×ây Ö¨ªÚ.

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠:∠BOD=∠AOC À â yîÎâ y y ∠DOA= ∠COB

I~k~k»K : ↔AB ¿xpâÔâ páf×ây, {d¾ Æyd{â ¾È ±Ú×â ÑpâǪ OD ¾ »¥¿xyÖ¨ªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

263

´~kóvây ∠BOD ÀâyîÎâyy ∠DOA Èy A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy. Z~k»¹d{â×â 1 Z~kÖdp⪠∠BOD + ∠DOA = 1800 ´Àâó°âyª¬ .............. (1)

E{á Æ|âªgd ↔CD ¿xpâÔâpáf, OA ÑpâǪ »¥¿xyæªêá ∠DOA ÀâyîÎâyy ∠AOC A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy. Z~k» ¹d{â×â1 Z~kÖdp⪠∠DOA + ∠AOC = 1800 .......... (2)

¿k]Îâyª û{âPª 1 ×ây~kÎrÃéЪn (1) ÀâyîÎâyy (2) È×ây ¹è¶¿öK∠BOD+∠DOA=∠DOA+ ∠AOC.................. (3) ´Àâó°âyª¬.¿k]Îâyª û{âPª 3 ×ây~kÎrÃéЪn ∠DOA ¾ °³ÈЪßâgâÈÀâyy ÖdÀâó×â ∠BOD =∠AOC

´Àâó°âyª¬.E{á Æ|âªgd ∠DOA = ∠COB ´¾ ßâÃé~kÀâßây+. I{dÝképâÇ 3 : ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD ¿xpâÔâpáfÈy 'O' Àâ{âM fªÚªn×dÎây×âyÖ¨ªÚ. OP

ÑpâǪ ∠BOD ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf ÀâyîÎâyy OQ ÑpâǪ ∠AOC ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf ´Ìy°á Q, O, P Èy OÖâ páfd ûL°âÀâyyȾ ¾pâÃéĪßâªÚ. Éd|â×â : Àây×âÀâyy ∠POQ = 1800 ´¾ ¾pâÃéĪßd¶. OP

ÑpâǪ ∠BOD ¾ ¿xÀây¬] fªvâ×â ßá¿k Kyª¬ ÖdÀâó×â ∠POD=∠BOD..................(1) ́ Àâó°âyª¬ E{á Æ|âªgd

↔OQ ÑpâǪ ∠AOC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ÖdÀâó×â∠AOQ= AOC ..................(2) ´Àâó°âyª¬.

O¬ OÀryô×d ∠POQ=∠POD+∠DOA+∠AOQ (¾ÎâyÀâyª 4 ×ây~kÎrÃéЪn) = ∠DOA + (∠BOD+∠AOC) ( (1) ÀâyîÎâyy (2) È ×âyªÚ) = ∠DOA + ×2∠AOC (∠BOD ÀâyîÎâyy ∠AOC ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy) = ∠DOA + ∠AOC

= 1800 ( Z~k»¹d{â×â 1 ×ây~kÎrÃéЪn)¬¥¾¾ ±s¦ P.O.Q Èy OÖâ páfdûL°âÀâyyÈÀâó°dÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

264

´ÅdX¿xª 3.1.31. ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â Z~k» ¿xª{âpâVÀâyy×ây Ƶ⬥Öâîªßây nZ°âÀâyyÈ×ây Ð¥ÎâyªÚ:

(a) aÖâ ûLpâ ²ª{âyÀâó gâyªvd¹è¾ ÀâyÃévây ¿xpâfpáfÈy.(b) aÖâ ²ª{âyÀâó ÀâyîÎâyy prªvây A¿x×âQ ÑpâÇéÈ Àây|âX ֨Ǫ ÈÁkyyÖ¨ÇÀâyy

´ÎáyXêê[ygd A ²ª{âyÀâó ×âyªÚ ¾pâ$Æyªßây ÑpâÇéÈy..(c) A¿x×âQÖ¨ÇéÈy ÖdÖâyªvd ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈgây prªvây Ö¨ÇéÈy.(d) ~kpâ¿kRp⪠¿xÀâÃé×â {âÃépâªÈ¨ gâÈ aÖá °âÈÀâyyȨ¾ ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy.

2. ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â nZ°dÈȨ¾ Ö¨ÇéÈ pâÖâÀâyyÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

3. ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â Z~k» nZ°âªÈ¨ 'x' ÆÈyÀâ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.i) ii)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

265

iii) iv)

v) vi)

4. OÖ¨ÇéÈ m°âÈy ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈÀâó°dÌy? ~kî~kòpâÖâ ÑpâÇéÈy I×dQÎâÃé?

5. prªvây A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈ×ây Ö¨ªÚ. ÀdsȨ aÖâ ֨Ǫ ´º°â Ö¨ÇÀryô°á Àâyp³Öâ ֨Ǫ ÈÁkyy Ö¨ÇÀâyÀâó °âyª{â¾ ßâÃé~kªÚ.3.1.4 ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy ÎâyÃéÑ[vÒ Y{âÀâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª

↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD ´×ây prªvây Æ«×âQ ¿xpâÔâpáfÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. ÀdsÑ ÉdÀâÃé×âX

²ª{âyÀâªêÃé Iªêá aÖâêá Iªêyª{â¾ Àâyyª{ây ¾pâÃéÄ{Mdª.{d¾Ñ Æpây{âPªgd prªvây ¿xpâÔâpáfÈ Æyd{â P ÀâyîÎâyy Q ´×ây prªvây ²ª{âyÀâóÈy×dQ

Îây×ây æª{dª. Öd¾ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 1 Z~kÖdp⪠P ÀâyîÎâyy Q È gâyªvd ¹è°âÃé ↔PQ ´×ây aÖá ¿xpâÔâpáf Iªêyª{â¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. P ÀâyîÎâyy Q Èy ↔AB Æyd{â I×dQÌy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

266

Öd±s¦ ↔AB =↔PQ ́ Àâó°âyª¬. E{áÆ|âªgd ↔CD =

↔PQ ́ Àâó°âyª¬. ¿k]Îâyª û{âPª1 ×ây~kÎrÃéЪn

↔AB =

↔CD ́ Àâó°âyª¬. Öd¾ E¬ ↔AB , ↔CD Èy Æ«×âQ ¿xpâÔâpáfÈ×ây °âȪ~kó×ây ÀâX»páÑ¿kKyª¬.Öd±s¦ prªvây Æ«×âQ ¿xpâÔâpáfÈy×âQ~kóvây ÀdsÑ ÉdÀâÃé×âX ²ª{âyÀâó Èáæªvd×rô×d

Iªêyª¬ ÈáÖâ aÖá aÖâ ÉdÀâÃé×âX ²ª{âyÀâó Iªêyª¬. nÀâî ¿xª{âpâVªÈ¨ prªvây ¿xpâÔâpáfÈy o ÉdÀâÃé×âX ²ª{âyÀâó Àâ{âM fªÚªßây ÖâyªêéÌy.ÎâyÃéÑ[vÒ 5 Àâ û©]Öâ½°â û{Pdª°d¾Ñ ¹è{dª.

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª5: aÖâ ¿xpâÔâ páf prªvây E°âpâ páfÈ×ây ÖâÈû×â~kóvây {d¾Ñ aÖáÀrô~kó×âgâÈ prªvây ́ ª°âpâ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy prªvây Ȫ±Ö¨ÇéÈæ °âæýÀâ Iªêá A prªvây E°âpâ páfÈy ´{áÀrô~kó×â ¹åÚпöK ÖâÈy¿xy æªêéÌy.

ÎâyÃéÑ[vÒ pâÃé¹åª¬ªn×â nÖrôý×â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈȨ E¬ aÖâs. °âpd]°â ÖdȪȨ ÎâyÃéÑ[vÒ Y{âÀâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy×âæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â ¿xpâÔâÀryô×â û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy×ây pd±ê¦yêæ ´×áÖâ Z~kÎây°dQÈy ßáÎây ±vGdÌy.

↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD ´×ây prªvây ¿xpâÔâpáfÈ×ây ↔PQ ´×ây páf ZÖâÀâyÀâyygd L ÀâyîÎâyy

M Àâ{âM fªÚªßây×â¾ ́ ×âyÖ¨ªÚ ( nZ°âª 9 ßâÃévâªÚ) aÖâ ¿xpâfpáf prªvây ÈáÖâ ́ ª°âÖâªêá UæýÀâ páfÈ×ây fªÚ¿öK {d¾¾ A páfÈæ »pâXZgáf ´ªêépây. EÖâývâ ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èæ ↔PQ »pâX Zgáf ´Àâó°âyª¬. o ÀâyÃévây páfÈ ÀâÈ×â U¾Æy¬Ö¨ÇéÈy OpâRvGdÌy. ´Æ ~kêªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7 ÀâyîÎâyy ∠8. Æ¥sȨ ∠1,∠4,∠7,∠6È×ây ±dÝkéXÖ¨ÇéÈy ́ ¾Îâyy ∠3,∠2,∠5,∠8È×ây ́ ª°âpâ Ö¨ÇéÈy ́ ¾Îâyy ´ªêépây. ∠3,∠5 Ö¨ÇéÈ×ây OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°â ´ªêépây.

∠2,∠8;∠1,∠7 ÀâyîÎâyy ∠4,∠6 æévâ OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°âÈy ´Àâó°dÎây¾ gâÀây¾ªßâªÚ ∠1,∠5 È×ây ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ m°â ´ªêépây. EªÖd ÀâyÃévây m°âÈ Ö¨ÇéÈy ∠2,∠6;∠3,∠7;∠4,∠8æévâ ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ m°âÈy ´Àâó°dÌy. ∠3 ÀâyîÎâyy ∠8 Ö¨ÇéÈ×ây ßâÃé¿öK ´Æ ↔PQ páfÑ aÖáÀrô~kó×â I×âQ ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈy. 5 Àâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∠3+∠8<1800 ́ Ìy°á ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy ↔PQ Ñ UvâÀâyÀrô~kó ÖâÈy¿xy æªêéÌy.

(∠2+∠5<1800´Ìy°á ´Æ ↔PQ Ñ æÚÀrô~kó×â ÖâÈy¿xy æªêéÌy)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

267

∠3+∠8≠1800´×á ¿xª{âpâVÀâyy Æyd{â EªÖd UæýÀâ ~k|â×â ßá{Mdª. Àây×âÑ o ZѪ¬ Z~k»¹d{â×â Iª¬.

Z~k» ¹d{â×â 5 : prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây aÖâ »pâXZgáf fªÚ¿öK »pâX ZgáfÑ aÖá Àrô~kó×â gâÈ prªvây ´ª°âpâ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 1800 Iªêyª¬.

I~k~k»K : ∠3+∠8≠1800 ´Ìy°á ∠3+∠8<1800 ÈáÖâ ∠3+∠8>1800 ´Àâó°âyª¬.(nZ°âª ßâÃévâªÚ) Àryy{âs ¿xª{âpâVªÈ¨ ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy ↔PQ Ñ UvâÀâyÀrô~kó ÖâÈy¿xy

æªêéÌy. ∠3+∠8>1800 ´Ìy°á∠3+∠8+∠2+∠5=(∠3+∠2)+(∠8+∠5)

= ∠ALB + ∠CMD

= 1800 + 1800 = 3600

Öd±s¦ ∠2+∠5=3600-(∠3+∠8)<3600-1800

´ª{âyÀâÈ×â ∠2+∠5<1800

Öd±s¦ 5 Àâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy ↔PQ Ñ æÚÀrô~kó ÖâÈy¿xy æªêéÌy.

Àây×⪠o Æ|âªgd ¾pLdîªßâÀâßây+.↔PQ Ñ aÖá Àrô~kó×â Iªvá ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 Ñ ¿xÀâÃé×⪠ÖdÖâ ¹è°á

↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy O{¨ aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÖâÈy¿xy æªêéÌy.(↔PQ Ñ U{âÀâyÀrô~kó×â gd¾ æÚÀrô~kó×â gd¾) Öd±s¦ ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈrô°á ↔

PQ »pâXZgáf Ñ aÖá Àrô~kó×âgâÈ ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 Ñ ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó °âyª¬. ¬¥¾°¨ o Z~k»¹d{â×â¾ ¾pâÃéĪßâêª ~kòîK ´Ìyª¬.

Öd±s¦ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª 5 ÎryyÖâý ÅdÀ⪠OÀâyªêá, prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy aÖâ »pâXZgáf I×âQ~kóvây »pâXZgáfÑ aÖáÀrô~kó×â gâÈ ́ ª°âpâ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 ́ Àâó °âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

268

¬¥¾ Æ~kpâXª ¾mÀâyÀâó°âyª{d? prªvây ¿xpâÔâpáfÈy ÀâyîÎâyy aÖâ »pâXZgáf I×âQ~kóvây »pâXZgáf Ñ aÖá Àrô~kó×âgâÈ ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 ́ Ìy°á A prªvây páfÈy ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈÀâó°dÎâÃé? EÖâývâ ÎâyydÑ[vÒ ¿xÀâÃ骰âpâ û©]Öâ½°â û{Pdª°d¾Ñ ¿xÀâyÀryô×â ¿xpâÔâÀryô×â pâÃé¹dª°âpâÀâyy ×ây~kÎrÃéÐÉKdÀâyy. ¬¥¾¾ Àryy{âsgd ÉdýsÍÏ g⧰⠵dç¿xK Àá°âK ́ Ìy×â ~ö[ÁõÌypÒ pâÃé¹åª¬ªßdvây.

~ö[ÁõÌypÒ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : aÖâ ¿xÀây°âȪȨ aÖâ ¿xpâÔâpáf ÀâyîÎâyy ́ {á ¿xÀây°âȪȨ A ¿xpâÔâpáfÑ ÀrÈyÀâÈ I×âQ ²ª{âyÀâó Iªêá A ²ª{âyÀâó gâyªvd ¹è°âÃé A páfÑ ¿xÀâÃ骰âpâªgd aÖá aÖâ ¿xpâÔâpáf Iªêyª¬.Àây×âÑ o ZѪ¬ ÆÀâpâÇ Iª¬.

Z~k»¹d{â×â 6: prªvây Æ«×âQ ¿xpâÔâpáfÈ×ây aÖâ »pâXZgáf fªÚªn×â~kóvây »pâXZgáfÑ aÖá Àrô~kó×â gâÈ prªvây ´ª°âpâ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 1800 ´Ìy°á A prªvây páfÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃ骰âpâªgd IªêéÌy.

EÀâ]±Ú×⬠: ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD ´×ây prªvây ¿xpâÔâpáfÈ×ây ↔PQ »pâXZgáf ZÖâÀâyªgd L

ÀâyîÎâyy M Àâ{âM fªÚªn×â{â×âyÖ¨ªÚ. ¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠:

↔AB ||

↔CD .

I~k~k»K: ∠ALM + ∠LMC = 1800 ´ÌyIªÚ ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy ¿xÀâÃ骰âp⪠ÖdÀâ×âyÖ¨ªÚ. ´~kóvây ´Æ O{¨aÖâ ²ª{âyÀâó s Àâ{âM ÖâÈÀd¶ (nZ°âª 10 ßâÃévâªÚ) ~ö[ÁöpÒÒ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠'S' {d]pd ¹è°âÃé ↔PQ Ñ ¿xÀâÃ骰âpâªgd aÖá aÖâ ¿xpâÔâpáf ↔xy Iªêyª¬. XY// ↔PQ Öd±s¦ ∠QLS + ∠LSY = 1800

´Àâó°âyª¬ (´Æ XY ÀâyîÎâyy ↔PQ ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây fªÚªßây ↔

SR »pâX ZgáfÑ aÖá Àrô~kó×â gâÈ ´ª°âpâÖ¨ÇéÈy) Öd¾∠QLS + ∠ALM = 1800 (´Æ ↔PQ páf Æyd{â LAÑpâǪ ¾È±vâgd OpâRÚ×â A¿x×âQÖ¨ÇéÈy)

Öd±s¦ ∠LSY=∠ALM ´Àâó°âyª¬. (EÖâývâ O¿k]Îâyª û{PdÈy ´Àâ¿xpâª?) Öd¾ ∠ALM+∠LMC= 1800 ({â°Kdªµâª) Àây×âÑ

∠LMC+∠MSY= 1800 ´¾ æévâ Iª¬ ( ´Æ XY ÀâyîÎâyy ↔PQ ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây ↔SD »pâX Zgáf fªÚªßâgd {d¾Ñ aÖáÀrô~kó×â OpâRÚ×â ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy) Öd±s¦ ∠ALM=∠MSY ´Àâó°âyª¬. {d¾ ×âyªÚ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

269

∠LSY=∠MSY ́ Àâó°âyª¬ Öd¾ ∠MSY=∠MSL+∠LSY . Àây×âÑ ∠MSL=00´¾ Àâ¿kKyª¬. Öd±s¦ ↔

SB ÀâyîÎâyy ↔SD OÖ¡ÅâÆÉKdÌy. ¬¥¾ ×âyªÚ ↔

AB ÀâyîÎâyy ↔CD

¿xpâÔâpáfÈy aÖâêá ´¾Îâyy ´Æ Æ«×âQª Öd{â¾ °rÈy¿kKyª¬ ¬¥¾¾ ±s¦ Àây×âÀâyy ↔AB ||

↔CD ´¾ ¾pLdîÉKdÀâyy.

ÖdpdXßâpâǪ : 3.1. Nprªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy Ð¥ÎâyªÚ. ÀdsÑ aÖâ »pâX Zgáf×ây Ð¥n fªvâ×â ²ª{âyÀâóÈÀâ{âM

OpâRÚ×â ÆÆ|â Ö¨ÇéÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ ¾¥Àâó 1. OÀrô×d OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âª.2. OÀrô×d ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ gâÀây¾ÉKdÀâó.»pâXZgáf ÎryyÖâý ÆÆ|â ÉLd×dÈ°¨ ÀâypâÈ ÀâypâÈ ßáÎâyªÚ. ¾¥Àâó ́ {áÁk¶°d¾Q gâÀây¾ÉKdÀâó.

¬¥¾¾ aÖâ û{Pdª°âªgd OpâRpâßâÀâßây+.û{Pdª°âª 1: prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây aÖâ »pâXZgáf fªÚ¿öK.i. ´¾Q OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âª.ii. ´¾Q ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âª.EÀâ]±Ú×⬠: ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD Èy prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy ↔PQ »pâX

Zgáf ↔AB ¾ L Àâ{âM ÀâyîÎâyy ↔CD ¾ M Àâ{âM fªÚ¿kKyª{â×ây Ö¨ªÚ (nZ°âª 11 ßâÃévâªÚ) ¾pâÃéĪßâ ÀâÈû×â¬:

i) ∠3=∠5;∠2= ∠8;∠1= ∠7ÀâyîÎâyy ∠4= ∠6ii) ∠1= ∠5;∠2= ∠6;∠4= ∠8ÀâyîÎâyy ∠3=∠7

©

KTBS

Not to

be re

publi

shed

270

I~k~k»K ÆÀâpâÇ∠3+∠8= 1800 (i)

∠8+∠5= 1800 (ii)

∴∠3=∠5 (iii)

E~kóvây ∠2=∠8;∠4=∠6 ÀâyîÎâyy ∠1=∠7 ´¾ ¿xyÈÅâªgd °rÈy¿kKyª¬.∠1=∠3 (iv)

∴∠1=∠5

ÖdpâǪ∠3,∠8Èy »pâX ZgáfÑ aÖáÀrô~kó×â gâÈ ´ª°âpâÖ¨ÇéÈy

QM Ñp â Ǫ , CD p á f Æ ¥ y { ⠾ȱvâgd OpâRÚ×â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy (i) ÀâyîÎâyy (ii) È ×âyªÚ.

ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy (iii) ÀâyîÎâyy (iv) È ×âyªÚ

∠2= ∠6;∠4= ∠8ÀâyîÎâyy ∠3=∠7´¾ ¾pâÃéĪßâyê ÖâÍk¦ª Öd{ây.AȨnªßâªÚ !

¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy, »pâXZgáfÑ ¿xª±ªºªn prªvây ÆÀâpâÇÈy×dQÌy.(i) aÖâ »pâX Zgáf prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây fªÚ¿öK ´¾Q OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°âÈy

¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy;(ii) aÖâ »pâXZgáf prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây fªÚ¿öK ´¾Q ´×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈ m°âÈy

¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. Öd¾ EÆ prªvây Àápá]pây ÆÀâpâÇÈy ÖdÀâó. ¾¥Àâó ÀdsȨ aÖâ{d¾¾ ÀâyîÎâyy 1, 4 Z~k» ¹d{â×âÈ×ây I~kÎrÃéЪßâyÖ³¾ Àâyp³Öâ{d¾¾ ¾pâÃéĪßâÀâßây+.

û{Pdª°âª 1 ÎryyÖâý ÆȨÀâyÀáyÆy? prªvây Æ«×âQ ¿xpâÔâ páfÈ×ây aÖâ »pâXZgáf fªÚªßâgd OpâRvây OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây ¿xpâÔâpáfÈy aÖâ {d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃ骰âpâÀây¾ ¾pâÃéĪßâgâÈÀâÃé? Àây×âÀâyy ¬¥¾¾ ¾pâÃéĪßâgâ¶Ð°á prªvây Æ«×âQ ¿xpâÔâpáfÈ×ây aÖâ »pâXZgáf fªÚªßâgd OpâRvây ́ ×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây ¿xpâÔâpáfÈy ¿xÀâÃ骰âpâÀây¾ æévâ ¾pâÃéĪßâÀâßây+. ( ~kòpâ]~kîú¥È×â×ây I~kÎrÃéЪßâyÖ³¾) Öd±s¦ Àây×âæ o ZѪ¬ û{Pdª°âª Iª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

271

û{Pdª°âª 2 :

aÖâ »pâXZgáf prªvây Æ«×âQ ¿xpâÔâpáfÈ×ây fªÚªßâgd OpâRvây OÖdª°âpâÖ¨ÇÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây páfÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃ骰âpâªgd IªêéÌy.

EÀâ] ±Ú×⬠: ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD ́ ×âyprªvây ¿xpâÔâ páfÈ×ây ↔PQ »pâXZgáf fªÚªßâyßây×âQ¬

(nZ°âª 11 ßâÃévâªÚ) ÀâyîÎâyy ∠3=∠5 ¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ↔AB || ↔CD

I~k~k»K: ÆÀâpâÇ∠3=∠5 (i) ∠8+∠5= 1800 (ii)

∴ ∠3+∠8=1800

∠3,∠8 Èy »pâX ZgáfÑ aÖá Àrô~kó×âgâÈ ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈy∴ ↔AB || ↔CD

ÖdpâǪ{â°KdªµâªMQ ÑpâǪ, CD páfÆ¥y{⠾ȱvâgd OpâRÚ×â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy.

(i) ÀâyîÎâyy (ii) È ×âyªÚ

Z~k»¹d{â×â 6 Z~kÖdpâª.

I~k û{Pdª°âª : prªvây ¿xpâÔâ páfÈ×ây aÖâ »pâXZgáf fªÚªn×â~kóvây OpâRvây ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ m°âÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây páfÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃ骰âpâªgd IªêéÌy.

I~k~k»K : nZ°âª 11 Öâ×âygâyǪgd Àây×âæ ∠1=∠5 ́ ¾ EÀâ] ±Ú×â¬. Öd¾ ∠1=∠3 ´Àâó °âyª¬ Uª{ây Öâ×âgd ´Æ ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy. ¬¥¾¾ ±s¦ ∠3=∠5 ´Àâó°âyª¬. Öd±s¦ û{Pdª°âª 2 Z~kÖdp⪠↔AB || ↔CD.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

272

ÖdpdXßâpâǪ: 3.1. ±yy BA ÀâyîÎâyy CD ´×ây prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy Ð¥ÎâyªÚ. ↔CD Ñ ¿xÀâÃ骰âpâªgd

XY´×ây páf×ây Ð¥ÎâyªÚ. ↔PQ »pâXZgáf¾ Ð¥ÎâyªÚ. ´¬ BA ¾ L Àâ{âM, ↔CD ¾ M Àâ{âM ÀâyîÎâyy XY ¾ N Àâ{âM fªÚªn×â {â×âyÖ¨ªÚ. BNQ ÀâyîÎâyy YNQ È×ây Ö³ÈÀâªÚ. Àds ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ gâÀây¾ªßdÀâyy. ¬¥¾¾ ↔PQ ÎryyÖâý ÆÆ|â ÉLd×dÈ°¨ ÀâypâÈ ÀâypâÈ ßáÎâyªÚ.

I{dÝképâÇ 4 : prªvây páfÈy aÖá páfÑ ¿xÀâÃ骰âpâªgd Iªêá ´Æ aÖâ{d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃ骰âpâÀâyÀâó°dÌy.

Éd|â×â : BA ÀâyîÎâyy XY ́ ×ây prªvây páfÈy aÖá páf ↔CD Ñ ¿xÀâÃ骰âpâªgd I×dQÎây×âyÖ¨ªÚ. ↔AB || XY ´¾ ¾pâÃéÄÉKdÀâyy. ↔PQ ´×ây »pâXZgáf×ây ↔AB ¾ L Àâ{âM, ↔CD ¾ M Àâ{âM, XY ¾ N Àâ{âM fªÚªßây×âê[y Ð¥ÎâyªÚ. ∠BLP =∠DMP ́ ¾ Àây×âÀâyy gâÀây¾ÉKdÀâyy. Uª{ây Öâ×âgd ´Æ ↔

PQ »pâXZgáf ↔AB ÀâyîÎâyy ↔

CD ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây fªÚªßâgd OpâRvây ́ ×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈy.

´{á Æ|âªgd ∠DMP =∠YNP ́ Àâó°âyª¬ ( Uª{âyæ?) ¿k]Îâyª û{âPª 1 ×ây~kÎrÃéЪn ∠BLP =∠YNP ´Àâó°âyª¬ E~kóvây Àây×âÀâyy û{Pdª°âÀâyy 2 ÎryyÖâý I~kû{Pdª°âÀâyy ×ây~kÎrÃéЪn | |AB XY ´¾ ¾pLdîªßâ Àâßây+.

I{dÝképâÇ 5 : ↔AB ´×ây ¿xpâÔâpáf ↔CD ÀâyîÎâyy ↔EF ´×ây prªvây páfÈÑ Èª±ªgd Iª{â×âyÖ¨ªÚ. | |CD EF ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ↔AB páf ↔CD ÀâyîÎâyy ↔EF páfÈ×ây ZÖâÀâyªgd L

ÀâyîÎâyy M È Àâ{âM fªÚªßây×ây×âyÖ¨ªÚ.↔CD⊥↔AB ÖdÀâó×â

∠DLA =900.↔EF⊥↔AB ÖdÀâó×â ∠FMA=900.Öd±s¦

∠DLA=∠FMA,Öd¾ EÆ ↔AB »pâXZgáf ↔CD ÀâyîÎâyy ↔EF páfÈ°¨ OpâRpân×â ´×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈy. Öd±s¦ û{Pdª°âª 2 ÎryyÖâý I~kû{Pdª°âª Z~kÖdp⪠Àây×âÀâyy ↔CD || ↔EF ´¾ ¾pLdîÉKdÀâyy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

273

I{dÝképâÇ 6 : prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈæ aÖâ »pâX Zgáf ÀâÈ×â OpâRÚ×â OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°â ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy aÖâ{d¾ Ö³Öâs ¿xÀâÃ骰âpâªgd IªêéÌy.

Éd|â×â : ↔AB ÀâyîÎâyy ↔CD prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy, ↔PQ

aÖâ »pâXZgáf. OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ m°â ∠ALM ÀâyîÎâyy ∠LMD È×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. ∠ALM ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf LX ÀâyîÎâyy ∠LMD ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf MY ́ ×âyÖ¨ªÚ. nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd LX ÑpâÇÀâyy×ây ↔XR ¿xpâÔâpáfgd×ây, MY ÑpâÇÀâyy×ây ↔SY ¿xpâÔâpáf gd×ây ¹åÚЪßâªÚ. ( nZ°âª 14 ßâÃévâªÚ) ↔XR || ↔SY ´¾ Àây×âÀâyy ¾pâÃéĪßd¶.↔XR ÀâyîÎâyy ↔SY páfÈy, ↔PQ »pâXZgáf×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ.

∠XLM= ∠ALM, ∠LMY= ∠LMD O¬ OÀryô×d ∠ALM=∠LMD (Uª{âyæ?). Öd±s¦ ∠XLM=∠LMY´Àâó°âyª¬

Öd¾ ∠XLM ÀâyîÎâyy ∠LMY Èy ↔XR ÀâyîÎâyy SY páfÈæ PQ »pâXZgáfßá OpâRÚ×â OÖdª°âpâÖ¨ÇéÈ m°â. û{Pdª°âª 2 Z~kÖdp⪠| |XR SY ´Àâó°âyª¬.

´ÅdX¿xª 3.1.4

1. ZѪ¬ nZ°âªÈ¨¾ ´¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©

KTBS

Not to

be re

publi

shed

274

2. ZѪ¬ nZ°âªÈ¨¾ х ÆÈyÀâ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

3. aÖâ ¿xpâÔâpáf prªvây ÈáÖâ ́ ª°âÖâªêá UæýÀâ ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈȨ aÖâ{d¾Ñ Ȫ±ªgd Iªêá ´¬ Æyж×â ÀdsÑ æévâ Ȫ±ªgd Iªêyª¬.

4. AB , CD prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy PQ »pâXZgáf ´×âyÖ¨ªÚ. »pâXZgáfÑ aÖá Àrô~kó×âgâÈ prªvây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ m°â ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬] fªvâ×â páfÈy aÖâ {d¾ Ö³Öâs Ȫ±ªgd IªêéÎây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

¿k]Îâyª û{PdÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. ¿xîÎryô×â ¿xÀâÃé|d×âÀâyy×ây gâyîKªßâªÚ: i. a = 60 ÀâyîÎây b = a ́ Ìy×â ZѪ¬ ¿k]Îâyª û{âPª Z~kÖdp⪠b = 60 ́ Àâó°âyª¬. A. ¿k]Îâyª û{âPª 1 B. ¿k]Îâyª û{âPª 2 C. ¿k]Îâyª û{âPª 3 D. ¿k]Îâyª û{âPª 4ii. aÖâ ¿xÀây°âȪȨ aÖâ ²ª{âyÀâó En+×â~kóvây {d¾ {d]pd Ð¥ÎâygâÈ ¿xpâÔâpáfÈy A. aÖá aÖâs B. prªvây C. ~kîÆy°âÀryô×â D. ´×áÖâªiii. aÖâ ¿xÀây°âȪ°¨ prªvây ²ª{âyÀâó ¶n+×â~kóvây A prªvây ²ª{âyÀâóÈ gâyªvd Ð¥ÎâygâÈ

¿xpâÔâpáfÈ ¿xªfX A. ¿xy×âQ B. aÖáaÖâýs C. ÀâyÝkë´Ìy°á aÖâs D. aÖâs Öâªêá UæýÀâ.iv. prªvây Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈrô°á A. ÀdsÀryy°âKª 900 B. Àds Àryy°âKª 1800 C. Àds Àryy°âKª 2700 D. Àds Àryy°âKª 3600

v. aÖâÖ¨ÇÀâyy {d¾ ~kî~kòpâÖâÖ¨Çé¾Ñ 5 prê[y ´Ìy×â AÖ¨ÇÀâyy A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

275

2. ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy ~kòpâÖâÖ¨ÇéÈy Àây|âX Åá{âÀáyÆy?

3. aÖâ ¿xÀây°âÈÀâyy×ây ¾pPdîªßâyêæ ÖdÀâÈû×â OÖâ páfd ûP°âÀâyy Öd¾ ²ª{âyÀâóÈ Öâ¾Ík¦ ¿xªfX Uª°â?

4. prªvây Ö¨ÇÀâyyÈ×ây A¿k×âQÖ¨ÇéȾ U~kóRvây ´ªêépây?

5. C ÀâyîÎâyy D ´×ây ²ª{âyÀâóÈy AB páfd fªvâÀâyy Æ¥y{â A, C, D, B ´×ây ZÖ âÀ â yÀ â y yȨ I×dQÎ â y× â yÖ¨ªÚ AD = BC ´Ìy× â AC = DB ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

6. AB ÀâyîÎâyy CD ́ ×ây prªvây ¿xpâÔâpáfÈy 'O' ²ª{âyÀâó Àâ{âM fªÚªßây×â×âyÖ¨ªÚ. ∠BOD ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf OX ´×âyÖ¨ªÚ. OY OX= ´gây×âê[yOD ÀâyîÎâyy OAÈ Àây|âX OY×ây Ð¥ÎâyªÚ. ∠DOA Ö¨ÇÀâyy×ây OY ¿xÀây¬] fªvâ×â ßá¿kKyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

7. AB ÀâyîÎâyy CD ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây PQ »pâXZÐ¥f fªÚªßây×â×âyÖ¨ªÚ. AB¾PQ L Àâ{âM fªÚªßây×â×âyÖ¨ªÚ. ∠ALP ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf CD ¾ R Àâ{âM ÀâyîÎâyy ∠PLB ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf CD ¾ S Àâ{âM fªÚªßây×â×âyÖ¨ªÚ. ∠LRS + ∠RSL =900 ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

8. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AB ÀâyîÎâyy CD ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy PQ ÀâyîÎâyy RS »pâXZÐ¥fÈy AB Æ¥y{â U Àâ{âM fªÚªßâyßây×âQÆ.

∠DWU = 1100 ÀâyîÎâyy ∠CVP = 700 ´Ìy×â ∠QUS ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

9. i)1.40 gâªêÈy ii) 2.15 gâªêÈ Àâ{âM gâªêÈ ÀâyyÈ[y ÀâyîÎâyy ¾Æy¤dÈy ÀâyyÈ[y Àây|âX Ö¨ÇÀryª°â? (10 = 60 ¾Æy¤dÈy ´¾ I~kÎrÃéЪßâªÚ).

10. 4.24 P.m. ¿xÀâyÎây Àây~kóvây 12 P.m. ¿xÀâyÎâyªÈ¨ I×âQ ÉLd×âª×âyªÚ gâªêÈÀâyyÈ[y Uª°â Ö⬶ Iªêyª¬?

11. AB páfd fªvâÀâyy Æ¥y{â C Àây|âX ²ª{âyÀâ×âyÖ¨ªÚ. A ÀâyîÎâyy D È Àây|âX B Iª{ây×âê[y AB ¾ D Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ. AD+BD=2CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

276

12. AB ÀâyîÎâyy CD¿xpâÔâpáfÈy 'O' Àâ{âM fªÚªn×â Àâ×âyÖ¨ªÚ. ∠BOD ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf OX ´×âyÖ¨ªÚ. 'O' Ñ UvâÀâyÀrô~kógd OX ÎryyÖâý ¹åÚЪ~kó ∠AOC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßáÎâyy×â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

13. OX aÖâ ÑpâÇÀâyy, OA ÀâyîÎâyy OB Èy OX Ñ aÖáÀrô~kó×â gâÈ ÑpâÇéÈy. ÀâyîÎâyy OA ÑpâǪ OB ÀâyîÎâyy OX È Àây|âX I×âQ¬. ∠AOB ¿xÀây¬] fªvâ×â páf OC ´Ìy×â ∠XOA+∠XOB=2∠XOC ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

14. OX ÑpâǪ OA ÀâyîÎâyy OB ÑpâÇéÈ Àây|âX I×âQ¬ ÀâyîÎâyy ∠AOX>∠XOB.∠AOB ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf OC ´Ìy×â, ∠AOX-∠XOB = 2∠XOC ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

15. OA ÀâyîÎâyy OB ÑpâÇéÈ Àây|âX OC I×âQ¬. ∠AOC ÀâyîÎâyy ∠COB È Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy ~kpâ¿kRpâªÈª±ªgd I×âQ B, O, AÈy OÖâpáfd ûL°âÀâyyȾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

16. ~kÖâý nZ°âªÈ¨ | |AB DE ´Ìy×â

∠ABC-∠DCB+∠CDE=1800 ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

17. prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy aÖâ »pâXZÐ¥f×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. E~kóvây OpâRÚ×â Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈȨ U¾Q Æ«×âQ ¿xªfXÈy ÖâÈÀâó?

Ö¡ÈÖâ ~k{dÈy ´¾pâ]n°â Àâ¿kKyÀâóÈy : g⧰âªÈ¨ Àâyyª{á °r¶û×â ~k{dÈ ×ây~kÎrÃéЪn ¾pâ]nªßâ

±vâÈá¾ Àââ¿kKyÀâóÈy.¿k]Îâyª û{PdÈy : g⧰⪠ÎryyÖâý ´¾Q µdfÈȨ I~kÎrÃéЪßâ °âgâ$, ¾pâÃé~kÇÈy

´Àâ¿xp⪠Èáæª{d û©]Öâîªßâ ±Ú×â Ö³¾Q ÆÀâpâÇÈy.û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy : g⧰⪠ÎryyÖâý aÖâ Z~k°áXÖâÀryô×â µdfȨ ́ ×âyÀây»ªßâ±Ú×â Ö³¾Q

ÆÀâpâÇÈy. {â°Kdªµâª: aÖâ Z~k» ¹d{â×â×ây ¾pâÃéĪßáê~kó{ây Nþéªßây Ö³×ây Ö³¾Q ¾ÎâyÀâÃéÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

277

A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy : aÖâ páfÆyd{â ¾È ±Ú×â aÖâ ÑpâǪ ÀâÈ×â OpâRÚ×â Ö¨ÇéÈ m°â.~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy : prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 900 ´Ìy×â ´Æ ~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy.~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy : prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 ´Ìy°á ´Æ ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy.¿xpâÔâ֨Ǫ : aÖâ ¿xpâÔâpáfÀâÈ×â OpâRÚ×â ֨Ǫ; 1800 Ñ ¿xÀâÃé×âª.~kòpâJ֨Ǫ : 3600 ֳȰâgâÈ Ö¨Çª.¿xpâÔéºÖâ ֨Ǫ : 1800 Öâªêá UæýÀâ ÀâyîÎâyy 3600 Öâªêá °âæýÀâ ֳȰâ gâÈ

֨Ǫ.¿xpâÔâÎâyygâWª : aÖâ ¿xpâÔâ páf×ây OpâRtâßây prªvây Ö¨ÇéÈ m°â.ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy : prªvây ¿xpâÔâ páfÈy fªÚªn ×â~kóvây ¿xpâÔâ ÎâyygâWÀâyy×ây

OpâRpâßâ¾ Ö¨ÇéÈ m°â. OÖâ páfd ûL°âÀâyyÈy : aÖá ¿xpâÔâpáfÆyd{â Iªvây ´¾Q ²ª{âyÀâóÈy.¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy : O prªvây páfÈy fªÚªßâyÖ¨¾ Ö³¾Q páfÈ ¿xÀâyy{dÎâyª.OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈy : prªvây ¿xpâÔâ páfÈ×ây aÖâ »pâX Zgáf fªÚªn×â~kóvây A »pâXZgáf

ßá OpâRÚ×â ¿xpâÔâ ÎâyygâWª Öd¾ »pâXZgáf Ñ EpâyÀrô~kóÈgâÈ Ö¨ÇéÈy.´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy : prªvây ¿xpâÔâpáfÈ×ây aÖâ »pâX Zgáf fªÚªn×â~kóvây A »pâXZgáf

ßá OpâRÚ×â »pâX Zgáf Ñ aÖá Àrô~kó×â Iªvây ÀâyîÎâyy prªvây páfÈæ aÖá Àrô~kó×â Iªvây Ö¨ÇéÈy.

gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy• g⧰⪠´×ᬠֳ¾Q Àâ¿kKyÀâóÈy EÀâ] ±Ú Àâyyª{á ƺªßâ ±Ú×â Ö³¾Q ¾ÎâyÀâÃéÈ

Öâ×âygâyǪgd AvâÀâÈû×â AêÈéªs¬• páfdg⧰âªÈ¨¾ Àâ¿kKyÀâó ÈáÀây×âgd ²ª{âyÀâóÈy, ¿xpâÔâpáfÈy, ¿xÀây°âȪ.• ÎâyÃéÑ[vÒ Y{âÀâ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ¿xÀâyÀryô×â OpdRêy OÀây×âgd aÖâ ¿xpâÔâpáf, A páf

Æyd{â Èá¾ aÖâ ²ª{âyÀâó E¿öK A páfÑ ¿xÀâÃ骰âpâªgd A ²ª{âyÀâó gâyªvd ¹è°âÃé aÖá aÖâ ¿xpâÔâ páf Iªêyª¬. E¬ ÎâyÃéÑ[vÒ páfdg⧰âÀâyy×ây ´ª¬¿kKyª¬. o û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy×ây ÀâÃéî¿öK Àápá páfdg⧰âÀâyy OpâRvây°âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

278

Ådgâª-2

Z»ÅâyméÈ Æyd{â û{Pdª°dÈyo ÅdgâÀâyy×ây ´|âXÎây×⪠ßáû×â °âpd]°â Æydpây ZѪ¬ Àds¾ ×ápây+ æªêépây.

• Ö³¾Q nZ°âÀâyyÈ ¿xÀâyy{dÎâyÀâyy ×âyªÚ Z»ÅâymÀâyy×ây gâyîKªßâyê.• ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ×d|dpâªgd ÆÆ|â pâÖdÈ Z»ÅâyméÈ×ây Àâî¥$Öâîªßâyê.• Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy ÎryyÖâý|âpâWª.• Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ´ª°âpâ ÀâyîÎâyy ±dÝkéXÖ¨ÇÀâyyÈ×ây gâyîKªßâyê.• ±dÝkéXÖ¨ÇÀâyy ÀâyîÎâyy ´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈ Àây|âX ¿xª±ª|âÀâyy×ây ¾pâJÌyªßâyê.• Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy ÎryyÖâý |âpâWÀâyy×ây °âpâý ±{âPªgd ¾pâÃéĪßâyê.• Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Æyd{â A|dpâ ~kÚ×â ¿xÀây¿kXÈ×ây Édºªßâyê.

3.2.1 ~kîßâÎâyÀâyy :ZѪ{âs ´|dXÎâyªÈ¨ Æydpây páfÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ gâyîªn ´|âXÎây×⪠ßáµdpây.

Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy páfÈ Àây|âX ¿xª±ª|âÀâyy×ây ¾îWªßâyêȨ ÎâyyÑ[ÚÎây×Ò páfdg⧰âÀâyy ÎryyÖâý ¿k]Îâyª û{PdÈy OÆ|âªgd I~kÎrÃégâ~kvGdÎryd Æydpây ßâÃéµdpây. o ́ |dXÎâyªÈ¨ aÖâ Z»ÅâymÀâyy ́ ×âgd ÀâyÃévây ¿xÀâÃ骰âpâªÖd¾ páfÈ°¨ AÀâîªßâ ±Ú×â aÖâ ¿xÀây°âÈ nZ°âª gâyîªn ´|âXÎây×⪠ßáÉKdpây. aÖâ ¿xÀây°âȪȨ ÀâyÃévây OÖ¡ Åâƪßâ¾ páfdfªvâÀâyyÈ°¨ AÀâîªßâ ±Ú×â aÖâ ¿xÀây°âÈ nZ°âÀâyy×ây Z»Åâymª ´ªêépây. ¬¥¾Ñ ÆÀâpâÇ ´Àâ¿xpâª. ¿xÀây°âÈ nZ°âª ´ªêá páØ¥Îây nZ°âª ́ ¾ ¬]~kîÀâÃéÇé°âWÖâ nZ°âª Öd{â¾ ́ pâLª. A, B Èy aÖá páfȨ Èá¾ ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈ×âyÖ¨ªÚ. Àây×âÀâyy A, B ,C Èy ¿xxpáØ¥Îâyª Öd¾Æ ´ªêéÀâyy. AB, BC ÀâyîÎâyy CA È×ây ÖâÈ~kªÚ. ¾¥æ aÖâpáØ¥Îây nZ°âª Àâ¿kKyª¬. {d¾Ñ ÀâyÃévây páfdfªvâÀâyyÈyªÚ, ́ Æ Àds nÀâî ²ª{âyÀâóÈ Àâ{âM ÀâÃéZ°âÀáy ÖâÈyÉKdÌy. ´êyÀâªs páØ¥Îây nZ°âÀâyy×ây Z»Åâymª ´ªêépây. A, B ÀâyîÎâyy C È×ây Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈy ´ªêépây. AB, BC ÀâyîÎâyy CA páfd fªvâÀâyyÈ×ây Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyyÈy ́ ¾∠BAC,∠ABC ÀâyîÎâyy ∠ACB È×ây Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý Ö¨ÇÀâyyȾ ´ªêépây ( ÈáÖâ ABC Z»Åâymª ÎryyÖâý ´ª°âpâ Ö¨ÇéÈy).aÖâ Z»Åâymé¾Ñ 9 ÀâyÃéÈÖdÈyªêéÌy.

ú¥pd_Èy ÅâyméÈy Ö¨ÇéÈyA AB ∠BAC ÈáÖâ ∠AB BC ∠ABC ÈáÖâ ∠B C AC ∠ACB ÈáÖâ ∠C

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

279

gâÀây¾Öâ : ́ ¿kRÍk¦°â ́ ×ᬠÈáÖâ ¹è°á Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý ÅâyméÈ×ây AB, BC ÀâyîÎâyy AC gdæévâ ¿xÃénÉKdpây. o ¿xªÖá°dÈ×ây Àds ¹åvâÀâóÈ×ây ¿xÃénªßâêé¾Ñ æévâ I~kÎrÃéÐÉKdpây. ¿xª{âpdV¾Q ±s¦ ÅâymÀâyygdÖd¾ ¹åvâÀâógd Öd¾ »¥¿xyæªêéÀâyy.

AȨnªßâÀâÈû×â ´ªµdÈy : (i) Z»ÅâyméÖdpâ Ödа⪠aÖâ ¿xÀây°âÈ ~kêªgd ÀrôµdÈXª Öâ¶Ð Iªêyª¬ Öd¾

Àâyª{âÀâyy×ây Öâ¶Ð Iªvâ{ây.(ii) aÖâ ÖdаâÀâyy°¨ Z»ÅâymÀâyy×ây Öâ»Kî¿öK ´¬ Z»ÅâyméÖdpâ~kó Ödа⪠´Àâó°âyª¬ Öd¾

Z»Åâymª Öd{ây. ÀâyÃévây páfdfªvdÈy ÀâÃéZ°âÀáy Z»ÅâymÀâyy×ây OpâRpâyÉKdÌy.ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈ ×d|dpâªgd Z»ÅâyméÈ×ây Àâî¥$Öâîªßdpây.

ÅâyméÈ×d|dpâªgd Àâî¥$ÖâpâÇ

(iii) ÆÍkÀây±dÝkéy Z»Åâymª(ii) ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª (i) ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª

(iii) ÆÍkÀây±dÝkéy Z»Åâymª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ ´¾Q ÅâyméÈ ¹åvâÀâóÈy

Àápây gdIªêá {d¾¾ ÆÍkÀây ±dÝkéy Z»Åâymª ´ªêépây. ~õô×ây×âQ Z»Åâymª ABC Ȩ

AB≠BC≠CA≠ AB

(ii) ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây ÅâymÀâyyÈ ¹åvâÀâóÈy

¿xÀâÃé×âªgd Iªêá {d¾¾ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ´ªêépây. ~õô ×ây×âQ Z»ÅâymªABC Ȩ AB = AC.

(i) ¿xÀây ±dÝkéy Z»Åâymª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ ÀâyÃévây

ÅâyméÈ ¹åvâÀâóÈy ¿xÀâÃé×âªgd Iªêá {d¾¾ ¿xÀây ±dÝkéy Z»Åâymª ´ªêépây.Z»Åâymª

ABC Ȩ AB=BC=CA.

¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª æévâ ´Àâó°âyª{â¾ gâÀây¾ªßdpd? Öd¾ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª Öd×âÀâ¿xpâªÈá{ây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

280

Ö¨ÇéÈ ×d|dpâªgd Àâî¥$ÖâpâÇ :(ii) Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª (iii) ´ºÖâ Ö¨Ç Z»Åâymª(i) ÈÁkyyÖ¨Ç Z»Åâymª

Ȫ±Ö ¨Ç Z»Å â ymª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ aÖâ֨Ǫ 900 Iªêá {d¾¾ Ȫ± Ö¨Ç Z»Åâymª ´ªêépây. ~õô Z»Åâymª ABC Ȩ ∠ ABC=900

´ºÖâ Ö¨Ç Z»Åâymª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ aÖâ ֨Ǫ 900 Öâªêá UæýÀâ Iªêá {d¾¾ ´ºÖâ Ö¨Ç Z»Åâymª ́ ªêépây. ~õô Z»Åâymª ABC Ȩ

∠ ABC>900

ÈÁkyyÖ¨Ç Z»Åâymª : Z»ÅâymªÈ¨ ´¾Q Ö¨ÇéÈy 900Öâªêá °âæýÀâ Iªêá {d¾¾ ÈÁkyy Ö¨Ç Z»Åâymª ´ªêépây. ~õôZ»Åâymª ABC Ȩ∠ ABC<900, ∠BCA<900,∠CAB<900

ÖdpdXßâpâǪ : 3.2. ´ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â Z»ÅâyméÈ pâÖdÈ×ây ~öp³ý×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

281

´ÅdX¿xª 3.2.1 1. ZѪ¬ Àds¾ m°â~kpâßâªÚ :

i) (A) ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª.

ii) (B) ÈÁkyyÖ¨Ç Z»Åâymª iii) (C) Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª.

iv) (D) ´ºÖâ Ö¨Ç Z»Åâymª.

2. ÅâyméÈ×d|dpâªgd ZѪ¬ Z»ÅâyméÈ×ây Àâî ¥ $Ö âîªßâªÚ.( nZ°dÈy ֳȰâÈ Öâ×âygâyǪgd ÈáÀâó)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

282

3.2.2 ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy

páfdg⧰â Ák¶°âÀâyy×ây NþéªßáÀâyyª{ây aÖâ Ödаâ~kó ÖdpdXßâpâǪ ßá{Mdª.ÖdpdXßâpâǪ : 3.2. A

aÖâ Ödаd¾Q »¥¿xyÖ³¾ ×dÈygây Àâyvâ°âÈygd ÀâyvâÀâªÚ. aÖâ Àâyvâ°âÆyd{â ~õ¾bÈy, ¿öýÈy°¨ aÖâ Z»Åâymé¾Q Ð¥ÎâyªÚ. Öâ°rKpâ »¥¿xyÖ³¾ Z»Åâymé¾Q Öâ»KîªßâªÚ E~kóRvây Æyd {âgâ$pâ ×dÈygây aÖápâÖâÀryô×â Z»ÅâyméÖdpâ~kó ÖdаdÈy I×dQÌy. ÀdsȨ ÀâyÃéÚªs¾ U×âyQÖ³¾ aÖáÆ|âÀryô×â Ö¨ÇéÈ×ây 1,2 ÀâyîÎâyy 3 ´¾ ZѪ{â ßâÃéÄ×â Æ|âªgd Z~k» Ödа⪠Æyd{â gâyîKªßâªÚ.

Æyd רêy ~kó¿kKÖâªÈ¨ aÖâ ¿xpâÔâpáf×ây Ð¥ÎâyªÚ. Z»ÅâyméÈ×ây nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ´Àâypâ+ªÚ.

ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy Öâ¶Ä ¿xpâÔâÖ¨ÇÀâyy×ây OpâRpâyÉKdÎây¾ Æydpây °rÈy¿xy æªêépây. Öd¾ o ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéȾ Æydæ °rÈy¿xy Öd±s¦ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévâyÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 1800 ´¾ Æydpây NþéªßâÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

283

ÖdpdXßâpâǪ : 3.2. EnZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd aÖâ Ödа⪠Æyd{â ABC Z»ÅâymÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. Ödаâª

ÎryyÖâý Æyж×â ÅdgâÀâyy×ây Öâ»KîªßâªÚ. A ´×ây ú¥pâ_Àâyy Ödа⪠ÎryyÖâý ¹d{âpáf×ây M Àâ{âM °dæ×âê[y Z»ÅâyméÖdpâ Ödаd¾Q ÀâyvâÀâªÚ E~kóvây B ÀâyîÎâyy C ú¥pd_Èyæévâ M ²ª{âyÀâó×ây Öâ¶Îâyy×âê[y Ödаd¾Q ÀâyvâÀâªÚ. ´¬ aÖâ ¿xpâÔâÖ¨ÇÀâyy×ây OpâRpâßây×â¾ °rÈy¿xyæªêépây.

(nZ°âªÈ¨ ßâÃévâªÚ).

ÖdpdXßâpâǪ : 3.2. onZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ∠2=900 Iªvây×âê[y Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.

Àây×âÀâyy ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª Öâ×âyg³×d¶: ∠1+∠2+∠3

Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{d¾Ñ ¿xÀâÃ骰âpâªgd ~õô×ây×âQ ú¥pâ_ª gâyªvd ¹è°âÃé aÖâ páf Ð¥ÎâyªÚ. E~kóvây ∠3 Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â Àâyp³Öâ ֨Ǫ OpâRÚª¬. Uª{âyÖâªêá ´Æ prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ Àây|âX I×âQ ´ª°âpâ OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈy. E~kóvây ∠1+∠3=900 (ÖdpâǪßr~kR gâÈpd?) ¬¥¾ ÅdÀ⪠OÀâyªêá

∠1+∠2+∠3=∠2+(∠1+∠3)=900+ 900= 1800

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

284

Öd±s¦ Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª ÎryyÖâý ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 E~kóvây ¬¥¾¾ I~kÎrÃéЪn aÖâ Z»ÅâymªÈ¨¾ ÀâyÃévây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 ´¾ ¾pâÃéÄÉKdÀâyy.

aÖâ ÀâÃéÀâyÃéÈy Z»Åâymª »¥¿xyÖ¨ªÚ. ¹d{d¾Ñ U{âys ú¥pâ_Àâyy ×âyªÚ Ȫ±páf Ð¥Îâyyê {d]pd Z»Åâymé¾Q prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈygd ÆÅâʪßâªÚ.

∠1+∠2+∠3 = 1800, ∠4+∠5+∠6 = 1800 ´¾ Àây×âÑ °rÈy¿xy.Àds¾ æévâgd∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = 3600

Öd¾ ∠3 ÀâyîÎâyy ∠5 Èy ~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy Öd±s¦ ́ Æ ¿xpâÔâÖ¨ÇÀâyy ×ápâRpâyÉKdÌy.∴ ∠3+∠5 = 1800 E~kóvây ∠1+∠2+∠4+∠6 = 3600- (∠3+∠5) =3600-1800 = 1800

Öd¾ ∠2+∠4 ´×ây ֨Ǫ Z»Åâymª ÎryyÖâý aÖâ ú¥pâ_Àâyy Àâ{âM Iªêyª{â¾ Æydpây gâÀây¾ªßdpd?

Öd±s¦ Z»ÅâymªÈ¨¾ ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 180°.Æydpây ~õô ¾pâÃé~kÇ×ây gâÀây¾¿öK {d¾È¨ prªvây ÅdgdÈyªêéÌy Àryy{âs ÅdgâªÈ¨

¹d{âpáfÑ Èª±ªgd ÀâyîÎâyy ~õô ú¥pâ_ª gâyªvd ¹è°âÃé aÖâ páf Ð¥Îâyêª{d]pd Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ÀâyÃévây ́ ª°âpâÇéÈ Àryy°âKª 1800 ́ ¾ ¾pâÃéÄÉKdpây aÖâ ÉdÀâÃé×âX Z»ÅâymÀâyy×ây prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈygd ÆÅâʪn Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ák¶°âÀâyy×ây~kÎrÃéЪn ÉdÀâÃé×âX Z»ÅâymÀâyy×âæ ¾pâÃéÄÉKdÀâyy. ÉdÀâÃé×âX Z»ÅâymªÈ¨ ¹d{âpáfÑ ~õô ú¥pâ_Àâyy gâyªvd ¿xÀâÃ骰âpâ páf Ð¥n ´{á Æ|âªgd ¾pâÃéĪßâÈáÀâÃé? ¬¥¾¾ ZѪ¬ Æ|âªgd ´×ây¿xîÉKdÀâyy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

285

û{Pdª°âª - 1 : O Z»ÅâymªÈ¨ ×rô×d ÀâyÃévây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 Iªêyª¬.(´ª°âpâÖ¨Ç û{Pdª°âª)

EÀâ]±Ú×â¬: ABC aÖâ Z»Åâymª. ¾pâÃéĪßâÀâÈû×â¬:∠ABC+∠BCA+∠CAB=1800

¾pdWǪ: A gâyªvd EF || BC ¾ Ð¥ÎâyªÚ ZѪ{â Àây×âÀâyy ́ ×áÖâ ÆÀâpâÇÈy, Z~k» ÆÀâpâÇæ ÖdpâǪ En+ nÀâîÑ ÖdÀâÈû×â {d¾¾ ¾pLdîÉKdÀâyy.I~k~k»K:

ÆÀâpâÇ ÖdpâǪ

∠ABC= ∠EAB BC ÀâyîÎâyy EF ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy, AB »pâXZgáf°¨ OpâRÚ×â OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈy. ∠BCA= ∠FAC ´Àá ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy, AC »pâX Zgáf°¨ OpâRÚ×â OÖdª°âpâÖ¨ÇéÈy∠EAB+∠BAC+∠FAC=1800 A Àâ{âM OpâRÚ×â ¿xpâÔâ֨Ǫ∠EAB=∠ABC ÀâyîÎâyy ∠BCA= ∠FAC È×ây Z~k»ãá Īßâgd Àây×âÑ nÀâîÑ∠ABC+∠BAC+∠BCA=1800 ´¾ Àâ¿kKyª¬

¬¥¾°¨ ¾pâÃé~kÇ ~kòîK ´Àâó°âyª¬.

I{dÝképâÇ 1 : Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ, ∠B=1050 , ∠C=500 ´Ìy×â ∠A ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

286

Éd|â×â: û{Pdª°âª 1 Z~kÖdp⪠Z»Åâymª ABC Ȩ

∠A+∠B+∠C=1800

∠A+1050+500=1800

∠A+1550=1800

∠A=1800-1550

∠A=250

´ª{âyÀâÈ×â ∠A ֳȰâ 250 ´Àâó°âyª¬

I{dÝképâÇ 2 : En+×â nZ°âªÈ¨ ´¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : û{Pdª°âª 1 Z~kÖdp⪠Z»Åâymª ABC Ȩ

∠A+∠B+∠C= 1800, ´ª{âyÀâÈ×â

5x + 3x + 2x = 1800

10x = 1800

x = 18 18x101800

0 0= =

Öd±s¦ ∠A = 5x = 5(18) = 900

∠B = 3x = 3(18) = 540

∠C = 2x = 2(18) = 360

I{dÝképâÇ 3 : Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈrô×â ∠ABC ÀâyîÎâyy ∠ACB È Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy aÖâ ²ª{âyÀâó `O' Àâ{âM Ö⶿öK ∠BOC = 900 + ∠BAC ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

287

Éd|â×â: ABC Z»ÅâymÀâyy ×âª{ây ∠ABC ÀâyîÎâyy ∠ACB È Ö¨Ç ¿xÀây¬] fªvâ×â páfÈy `O' ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÖâÈyÉKdÌy.∠BOC = 900 + ∠BAC ´¾ ßâÃé¹d¶. Z»Åâymª BOC Ȩ

∠1+∠2 +∠BOC= 1800 .................. (1)Z»Åâymª ABC Ȩ ∠A+∠B+∠C = 1800

BO ÀâyîÎâyy CO Èy ZÖâÀâyªgd ∠ ABC ÀâyîÎâyy ∠ ACB ÈÖ¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy ÖdÀâêé×â

∠B = 2∠1 ÀâyîÎâyy ∠C = 2∠2 {d¾ ×âyªÚ ∠A + 2(∠1)+ 2(∠2) = 1800

2 °¨ ÅdЪßâgd 2A 1 2 90+ ++

+ + = c

{d¾ ×âyªÚ 1 2 902A0+ + +

+ = - .................... (2)

(1) ÀâyîÎâyy (2) È ×âyªÚ90

2A BOC 180++

- + =c c Öd±s¦ BOC 90 12

BAC0+ += +

´ÅdX¿xª 3.2.2 1. Z»Åâymª ABC Ȩ 55A+ = c ÀâyîÎâyy 40B 0+ = ´Ìy×â ∠C ¾ Öâ×âyg³×âªÚ. 2. Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ Ȫ±Ö¨ÇÀâyy Öd¾ Ö¨ÇéÈȨ aÖâs 350 ´Ìy×â Àâyp³Öâ

Ö¨ÇÀâyy×ây Öâ×âyg³×âªÚ.3. ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 500 ´Ìy×â Æyж×â Ö¨ÇéÈ×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.4. aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ Ö¨ÇéÈy 1:2:3 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

288

5. Z~kÖâý×ây×âQ ABC Z»ÅâymªÈ¨ 'x' ÆÈyÀâ Öâ×âyg³¾ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ́ ¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

6. Z»Åâymª ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈy Àds ~kîÀâÃéǪ Z~kÖdp⪠Ap¨ÝkéÇ ZÖâÀâyªÈ¨ ´Àâypâ+ ±vGdÌy. prªvây Àâpây×â Ö¨ÇéÈ Àây|âX Åá{⪠100 ́ Ìy°á ÀâyÃévâyÖ¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

3.2.3 ±dÝkéX Ö¨ÇéÈy

ABC Z»ÅâymÀâyy×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. BC ÅâymÀâyy×ây BD ÑpâǪ OpâRvây×âê[y ¹åÚпöK ACD+ ¾ Z»Åâymª ABC Ñ C Àâ{âM ±dÝkéX ֨Ǫ ´ªêépây ÀâyîÎâyy ¬¥¾¾ ±dÝkéX C °¨ ¿xÃénÉKdpây.

gâÀây¾Öâ : AC ¾ E Àâpâæ ¹åÚпöK (BC Ñ ±{âyÈygd)∠BCE Ö¨ÇÀâyy OpâRvây °âyª¬. Öd¾ ∠ACD=∠BCE Uª{âyÖâ×âgd ´Æ ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy. Öd±s¦ BC ÅâymÀâyy I~kÎrÃéЪn×d ÈáÖâ AC ÅâymÀâyy I~kÎrÃéЪn×d ±dÝkéX ∠C aÖá pâÖâªgd Iªêyª¬ ´¬ Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý ∠C Æyd{â×á A|dpâ ~kvây°âyª¬.

Z»Åâymª ABC ÎryyÖâý ±dÝkéX ∠C Öâ×âygâyǪgd ∠A ÀâyîÎâyy∠B È×ây ́ ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈy ´ªêépây.

E~kóvây Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ CA, BC ÀâyîÎâyy AB ÅâymÀâyyÈ×ây ¹åÚЪßâgd CE , BD À â yîÎ â y y AF Ñp âÇéÈy OpâRvGdÌy. ́ ~kóvây ∠BAE,∠ACD ÀâyîÎâyy ∠CBF Èy Z»Åâymª ÎryyÖâý ±dÝkéX Ö¨ÇéÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

289

ÖdpdXßâpâǪ 3.2. I: 8 × 10 ¿õª.Æyd. ֳȰâgâÈ ÀâyÃévây ÖdаdÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. Æ¥s¾ aÖâ{d¾Æyd{â aÖâs Iªn ÖdаâÀâyy ÎryyÖâý aÖâÀâyÃéÈ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ȫ±Ö¨ÇÀâygây ×âê[y ÀâyÃévây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈygd Öâ»KîªßâªÚ. E~kóvây ÆydÀâ{âM ÀâyÃévây aÖápâÖâÀryô×â Z»ÅâyméÈy I×dQÌy. nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd Z~k» Z»Åâymª ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ×ây 1,2,3 gd gâyîKªßâªÚ.

Àâyp¨Öâ Ödа⪠Æyd{â PQ ́ ×ây ¿xpâÔâ páf×ây Ð¥n nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây A páf Æyd{â IªßâªÚ. E~kóvây∠ACQ Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý ±dÝkéX ֨Ǫ´Àâó°âyª¬.

E~kóvây Æyж×â prªvây Z»ÅâyméÖdpâ ÖdаdÈ×ây 3 ÀâyîÎâyy 1 Ö¨ÇéÈy ~õô nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd Iªvây×âê[y IªßâªÚ.∠ACQ=∠3+∠1 ́ ¾ gâÀây¾ªßdpd? Öd±s¦ Z»Åâymª ÎryyÖâý ±dÝkéX Ö¨ÇÀâyy ֳȰâ {d¾ ´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈ Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°ây¬.

û{Pdª°âª - 2 :

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ÅâymÀâyy×ây ¹åÚЪßâgd OpâRvây ±dÝkéX֨Ǫ {d¾ ÎryyÖâý ´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈ Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×⪠(±dÝkéX Ö¨Ç û{Pdª°âª).

EÀâ] ±Ú×â¬: PQR Z»Åâymª ȨQR ¾ S Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ ́ ~kóvây∠PRS ±dÝkéX ֨Ǫ ÀâyîÎâyy∠PQR ÀâyîÎâyy∠ QPR Èy ´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈy. ¾pâÃéĪßâ ÀâÈû×⬠: ∠PRS=∠QPR+∠PQR

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

290

I~k~k»K: ÆÀâpâÇ ÖdpâǪ

∠QPR+∠PQR +∠PRQ =1800 ´ª°âpâÖ¨Ç û{Pdª°âª∠PRQ +∠PRS =1800 ¿xpâÔâ ÎâyygâWª∠QPR+∠PQR+∠PRQ=∠PRQ+∠PRS ¿k]Îâyª û{âPª 1 (´|dXÎâyª3, Ådgâª1 ßâÃévâªÚ) ∠QPR+∠PQR=∠PRS ¿k]Îâyª û{âPª 3 (´|dXÎâyª3, Ådgâª1ßâÃévâªÚ) ¬¥¾°¨ ¾pâÃéĪßâyê ~kòpâKÌyª¬.

I{dÝképâÇ - 4 : aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ±dÝkéX ֨Ǫ 1000 ÀâyîÎâyy {d¾ ´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈȨ aÖâs 450. Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Æyж×â prªvây Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ABC Z»ÅâymÀâyy Ȩ BC ÅâymÀâyy×ây ¹åÚЪßâ gd OpâRÚ×â ±dÝkéX֨Ǫ ∠ACD

´×âyÖ³×âyÀâyy. ±dÝkéX ∠C = 1000, ÀâyîÎâyy ∠B = 450 ´×âyÖ³×âyÀâyy. ±dÝkéX Ö¨Ç û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∠ACD=∠B+∠A

1000 = 450 +∠A

∠A= 1000 - 450

{d¾×âyªÚ ∠A= 550 Öd±s¦ ∠C = 1800 - (∠A + ∠B) = 1800 - (550 + 450) = 800

I{dÝképâÇ - 5 : En+×â nZ°âªÈ¨ Z»ÅâymÀâyy PQR ÎryyÖâý ÅâyméÈy QP ÀâyîÎâyy RQ Èy ZÖâÀâyªgd S ÀâyîÎâyy T ÈÀâpâæ ¹åÚЪßâ±Ú×âÆ ∠SPR=1350 ÀâyîÎâyy∠PQT =1100 ´Ìy°á ∠PRQ ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

291

Éd|â×â : Q, P ÀâyîÎâyy S Èy aÖá páf Æyd{â I×âQª{ây×â∠QPR+ ∠SPR=1800 Öd±s¦ ∠QPR+1350=1800

ÈáÖâ ∠QPR=1800-1350=450 ±dÝkéXÖ¨Ç û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠Z»Åâymª PQR Ȩ∠PQT= ∠QPR+ ∠PRQ

¬¥¾ ×âyªÚ ∠1100=450+ ∠PRQ ∠PRQ Ö³pâæ Édºªßâgd ∠PRQ=1100-450=650 I{dÝképâÇ 6 : Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý ÅâymÀâyy BC ¾ prªvây Àrô~kóÈ ¹åÚЪßâgd

OpâRÚ×â ±dÝkéXÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy ∠A Öâªêá prªvây Ȫ±Ö¨ÇéÈy UæýÀâ.Éd|â×â: Z»ÅâymÀâyy ABC ¾ Ð¥n BC ÅâymÀâyy×ây EpâyÀrô~kóÈ E ÀâyîÎâyy F È Àâpâæ ¹åÚ ÐªßâªÚ. nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd Ö¨ÇéÈ×ây gâyîKªßâªÚ. ∠4+∠5=∠1+1800 ´¾ ßâÃé¹d¶.

±dÝkéX Ö¨Ç û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∠4=∠1+∠3 ÀâyîÎâyy ∠5=∠1+∠2 o prªÚªs¾ æévâgd ∠4+∠5=(∠1+∠3+∠1+∠2=∠1+(∠1+∠2+∠3)=∠1+1800

Uª{âyÖâ×âgd Z»ÅâymªÈ¨¾ ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 Iªêyª¬.´ÅdX¿xª 3.2.3

1. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy×ây EpâyÀrô~kóÈ ¹åÚЪßâgd OpâRvây ±dÝkéXÖ¨ÇéÈy 1040 ÀâyîÎâyy 1360 Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

2. Z»ÅâymÀâyy ABC ÎryyÖâý ÅâyméÈy BC, CA ÀâyîÎâyy AB È×ây ZÖâÀâyªgd ¹åÚпöK OpâRÚ×â ±dÝkéXÖ¨ÇéÈy ∠ACD, ∠BAE ÀâyîÎâyy∠CBF. ∠ACD+ ∠BAE+ ∠CBF=3600 ´¾ ßâÃé~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

292

3. ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â Z~k» nZ°âªÈ¨ 'x' ÆÈyÀâ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. nZ°âªÈ¨ QT⊥PR, ∠TQR=400 ÀâyîÎâyy ∠SPR=300. ∠TRS ÀâyîÎâyy ∠PSQ È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ±dÝkéX֨Ǫ 1200 ÀâyîÎâyy {d¾ ´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈȨ aÖâs 300. A Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý E°âpâ Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

293

6. Z~kÖâý ×ây×âQ ×âãâZ°âª ÎryyÖâý ´Ìy{ây ú¥pd_È Àâ{âM×ây×âQ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.

Z»ÅâyméÈ Æyd{â û{Pdª°dÈ Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. ZѪ¬ ÆÀâpâÇÈy ¾m Àâygây×âê[y fdù¥È×ây ~kòîªßâªÚ.

a) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ ÀâyÃévây Ö¨ÇÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy .b) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ±dÝkéX Ö¨ÇÀâyy, {d¾ Ö¨ÇÀâyyÈ

Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀâyy.c) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ±dÝkéX Ö¨ÇÀâyy {d¾ ÎryyÖâý Z~k» ´ª°âpd«Àâyyf ֨Ǫ

Öâªêá .

d) aÖâ Z»ÅâymÀâyy Öâªêá UæýÀâ Ȫ±Ö¨ÇéÈ×ây Öâ¶Ð Iªvâ{ây.e) aÖâ Z»ÅâymÀâyy Öâªêá UæýÀâ ´ºÖâ Ö¨ÇéÈ×ây Öâ¶Ð Iªvâ{ây.

2. ZѪ¬ ÀdsÑ ¿xîÎryô×â ¿xÀâÃé|d×âÀâyy×ây U×âyQÖ³×âªÚ.

(a) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠A=800 ÀâyîÎâyy AB=AC ´Ìy×â ∠B=

a) 500 b) 600 c) 400 d) 700

(b) Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ∠A Ȫ±Ö¨ÇÀâyy ÀâyîÎâyy ∠B=350 ´Ìy×â ∠C=

a) 650 b) 550 c) 750 d) 450

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

294

(c) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B=∠C=450 ´Ìy×â A Z»Åâymª a) Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª b) ´ÈRÖ¨Ç Z»Åâymª c) ´ºÖâ Ö¨Ç Z»Åâymª d)¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª.d) aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ Z~k» ±dÝkéXÖ¨ÇÀâyy ֳȰâ a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1500

e) aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ ÀâyÃévây ±dÝkéXÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª a) prªvây Ȫ±Ö¨ÇéÈy b) ÀâyÃévây Ȫ±Ö¨ÇéÈy c) aÖâ Ȫ±Ö¨ÇéÈy d) ×dÈygây Ȫ±Öâ¨ÇéÈy

3) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B=700 ´Ìy×â ∠A + ∠C ¾ Öâ×âyg³×âªÚ. 4) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠A=1100 ÀâyîÎâyy AB=AC ´Ìy×â ∠B ÀâyîÎâyy ∠CÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy 2:3:5 ¾ÍkR°âKȨ Iªêá A ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

6) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ×ây Àds ~kîÀâÃéÇÀâyy ÎryyÖâý Ap¨ÝkéÇ ZÖâÀâyªÈ¨ ´Àâyî+×â prªvây Àâpây¿x Ö¨ÇéÈ Àây|âX Åá{⪠150 ´Ìy°á A ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

7) aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª ÀâyÃévâÀâ Ö¨Çé¾Ñ ¿xÀâÃé×âª. ÀâyÃévâÀâ ֨Ǫ ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

8) ABC Z»ÅâymªÈ¨ 2∠A = 3 ∠B = 6∠C ́ Ìy×â ∠A , ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

9) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈy x-400 , x-200 ÀâyîÎâyy x21 150

+ ´Ìy×â x ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.10) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠A - ∠B=150 ÀâyîÎâyy∠B - ∠C=300 ´Ìy×â

∠A , ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

295

11) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 800 ÀâyîÎâyy Àds ÀâX°dX¿xª 200 ´Ìy×â Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃvây Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

12) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B=600 ÀâyîÎâyy ∠C=800 ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy I Àâ{âM fªÚªn×â ∠BIC ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

13) aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây n×âQ Ö¨ÇéÈy, ~õ{âM ֨ǪȨ ¿xg⪠Iªêá A Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

14) aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây ~õ{âM Ö¨ÇéÈy, n×âQ Ö¨Çé¾Ñ prªvây prê[y Iªêá A Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

15) ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B=500 ÀâyîÎâyy ∠A=600 . BC ¾ D Àâpâæ ¹åÚЪn×â ∠ACD ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

16) ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy, ¹d{â Ö¨ÇéÈ Àryy°Kd¾Ñ prªvây prê[y×âQ¬. A Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Ö¡ÈÖâ ~k{dÈy:±dÝkéX ֨Ǫ : aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ÅâymÀâyy×ây ¹åÚЪn×â~kóvây Z»Åâymé¾Ñ

ÀrÈy~kÈ OpâRÚ×â ֨Ǫ.´ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈy : ±dÝkéXÖ¨Çé¾Ñ ~kî~kòpâÖâªgd Iªvá ´ª°âpâÖ¨Çé¾Ñ

U{âypâygd IªváÖ¨ÇéÈy.gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy:

• Z»ÅâyméÈ×ây Àds ÎryyÖâý ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ Öâ×âygâyǪgd Àâî¥$Öâîªßdpây.• Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 .

• Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ±dÝkéXÖ¨ÇÀâyy {d¾ ́ ª°âpd«Àâyyf Ö¨ÇéÈ Àryy°Kd¾Ñ ¿xÀâÃé×âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

296

Ådgâª-3

Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ªo ÅdgâÀâyy×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬ ´ªµdÈy ×ápây+æªêépây.

• ¿xpâ] ¿xÀây nZ°dÈ×ây gâyîKªßâêª.• ¿xpâ] ¿xÀây Z»ÅâyméÈ×ây gâyîKªßâêª.• ¿xpâ] ¿xÀây Z»ÅâyméÈ ́ ×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ×ây gâyîKªßâêª.• Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây ßr~kRêª.• Ö³¾Q Z~k°áXÖâÀry ô×â ÀâyÃéÈÖdÈ Z°âÎâÃéÈy Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°d]¾Q

¾pâJÌyÉKdÎây¾ ´pâLª ßá¿xyÖ¨Àâêª.• û{Pdª°dÈ×ây ¾pâÃéĪßâêé¾Ñ Ö³¾Q ¾gâÀây×â, °âpâý ±{âP Àryô×â ~k{âP°âyÈ×ây

×ápây+Ö¨Àâêª.• ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª ÎryyÖâý ÆÆ|â û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ Æyd{â A|dpâ~kÚ×â ¿xÀây¿kXÈ×ây

Édºªßâêª.• ¬×â ¾°âX Z¹dÎrÃéÐÖâ ¿xÀây¿kXÈ×ây ÉdºªßâyêȨ Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀây°â]Àâyy ÎryyÖâý

I~kÎrÃégâÀâyy×ây Àryßây+Ö¨Àâêª.

3.3.1 ~kîßâÎâyª:

1¿õª. Æyd ÅâymÀâyy ¹åvâÀâógâÈ prªvây ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈy×dQÎây×âyÖ¨ªÚ. ́ ¾Q ÅâyméÈy OÖ¡Åâƪßây×âê[y Àds¾ aÖâ{d¾Æyd{â aÖâs IªßâgâÈpd? ́ ªêá aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈ Æ¥y{â ¿xîgd, ¿xÀâyªgd æépây+ªêéÎâÃé? 1¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 2¿õª.Æyd ÅâymÀâyy ֳȰâgâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. aÖâ Z»ÅâymÀâyy Àâyp³Öâ{d¾Ñ ¿xîgd EÀâyyvây×âê[y aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs IªßâgâÈÀd? ¾¥Àâó Uª°â¿xî ßáû×d Àds¾ aÖâ{d¾Æyd{â aÖâs EÀâyvâ+êª ́ Éd|âXª. Æ¥s¾ ́ pâLª ßá¿xyÖ¨Àâêé¾Ñ ́ Àâ¿xpâÀryô×â ¿xîÎryô×â páfdg⧰â ÅdÀâ×âÎáy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª.

¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª ´×ᬠpáfdg⧰âªÈ¨¾ Z¹dzâÆyÖâ ~kîÖâÈR×âÈȨ aÖâs. páfdg⧰â nZ°dÈ×ây Àds AÖdpdÈ ×d|dpâªgd Àâî¥$ÖâîªßâyêȨ o ~kîÖâÈR×â¾ I~kÎrÃéÐÉKdpây. prªvây páfdg⧰â nZ°dÈy aÖá AÖdp⪠ÀâyîÎâyy ~kîÀâÃéǪ Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â ÀâyªêéÀâyy. I{dÝképâÇÑ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

297

1) prªvây páfdfªvdÈy aÖá ¹åvâÀâó Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

2) prªvây Ö¨ÇéÈy aÖá ֳȰâ Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

3) prªvây Àâ½°KdÈy aÖá ÀdXÉdpâLª Öâ¶Ð Iªêá ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

4) prªvây ßâ°âypâZÉdÈ ÅâyméÈ Ö³È°âÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á ´Æ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀââyÀâó°dÌy.

gâÀây¾Öâ:

1. prªvây páfdg⧰⠿xpâ]¿xÀâynZ°dÈ×ây aÖâs Àâyp³Öâ {d¾Q ~kòîKgd ÀâyÃéÎâyy×âê[y aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs ´{dXp¨ÝkéÇ (Super Pose) ßáÎâyÀâßây+.

2. prªvây ¿xpâ]¿xÀây páfdg⧰â nZ°dÈy ¿xÀâÃé×â ßâyê¦y ֳȰâÈy Öâ¶Ð IªêéÌy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

298

Z»ÅâymdÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ª

prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ ´¾Q ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy Àâyp³Öâ {d¾ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀâyªêéÀâyy.

ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈȨAB = DE, AC = DF ÀâyîÎâyy BC = EF

∠A=∠D,∠B=∠E, ÀâyîÎâyy ∠C =∠F ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

∴ ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈy. ¬¥¾¾∆ ABC ≅∆ DEF gd ZÀdÉKdÀâyy.o gâypâKy gâyîªn Ö³¾Q ÀâÃéêÈy. Àây×âÀâyy ∆ ABC≅∆ DEF ´¾ ZÀdû×â~kóvây

ÀâyyfXÀryô×â ÆÍkÎâyÀáyÀâyªêá A, B ÀâyîÎâyy C ú¥pd_Èy ZÖâÀâyªgd D, E ÀâyîÎâyy F ú¥pd_Èæ ´×âypâÃé~kªgd IªêéÌy. ∆ABC≅∆EFD ´¾ ZÀd¿öK E¬ Àápá ´pLd¾Q¿kKyª¬. ¬¥¾ ´pâLª ∠A=∠E, ∠B=∠F ÀâyîÎâyy ∠C=∠D ÀâyîÎâyy AB = EF, BC = FD ÀâyîÎâyy CA = DE. ÀâX°dX¿xª ßâÃévâgâÈÀd? Öd±s¦ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠gâypâKy I~kÎrÃéªÐªßáê~kóvây ú¥pâ_ÀâyyÈ ZÖâÀâyÀâyy×ây ¿xîgd pdÎâÃé¶.

aÖâ Z»Åâymé¾Ñ ¿xª±ªºªn Apây ÀâyÃéÈÖdÈyªêéÎây¾ gâypâKy °rßây+Ö¨ªÚ. o Apây ÀâyÃéÈÖdÈy ¿xÃéÖâKÀryô×â {⽸¦°¨ m°â~kÚ°á×á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ×ây ́ pâLª ßá¿xyÖ¨Àâêª {d]pd ¬¥¾¾ ¿kRÍk¦ª ßáÎâyÀâßây+.´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy

´{dXp¨~kÇ Æyd{â Z»ÅâymÀâyy ABC, Z»ÅâymÀâyy DEF ×ây ~kòîKgd ÖâÄR

1) ∠A=∠D, ∠B=∠E ÀâyîÎâyy ∠C =∠F;

2) AB = DE, BC = EF, AC = DF ´Ìy°á ∆ ABC ≅∆DEF ´Àâó°âyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

299

´{dXp¨~kÇ (Super Pose) Æyd{â OÖ¡ Åâƪn×â Ö¨ÇéÈ×ây ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy ́ ªêépây. ´{dXp¨~kÇ Æyd{â OÖ¡ Åâƪn×â ÅâyméÈ×ây ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ´ªêépây. OÆ ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy, OÆ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy °rÈy¿xyÖ¨êé¾Ñ aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy Æyd{â ´{dXp¨~kÇ ßáÎâyyê ´¾Q Édpâ[y Éd|âXÀâyyÖd{ây. prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀryô°á ÀdsÑ ´×âypâÃé~k ú¥pd_Èy æévâ IªêéÎây¾ °rÈyÉd? O¬ OÀryô×d ú¥pd_È×áÆ ²ª{âyÀâóÈy. ÀdsÑ ÉdªfXÖâ pd¿xyÈáÆyd IªvâÀâó ( ֳȰâ, ~kîÀâÃéǪ) Öd±s¦ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°d]¾Q ¾pâJÌyªßâêé¾Ñ ÅâyméÈy, Ö¨ÇéÈy ÀâÃéZ°âÀáy I~kÎrÃéÐÉKdÀâyy.

páfdg⧰â ~kpâªgd ABC ÀâyîÎâyy DEF ´×ây prªvây ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈȨ ¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy ´Æ ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. Öd±s¦ BC=EF ÀâÈ×â BC Ñ U{âypây֨Ǫ=EF Ñ U{âypây֨Ǫ. ÉdªÖá°â~kpâªgd BC = EF, ⇒∠A = ∠D E{á Æ|âªgd AC = DF ⇒∠B = ∠E ÀâyîÎâyy AB = DE ⇒∠C = ∠F.

´ÅdX¿xª 3.3.11. ZѪ¬ ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈȨ ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈ×ây

gâyîKªßâªÚ:a) b)

2. ¿xpâ] ¿xÀây Z»ÅâyméÈ m°â ÀâyîÎâyy ÀdsÑ ¿xª±ªºªn×â ¿xª~kòpâJ ÆÀâpâÇÈy ZѪ{â EÀâ]±vGdÌy. nZ°dÈ×ây méZgâ°âKgd ~kîú¥¶ªn fdù¥È×ây ¾ª~kªÚ.

(a) Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ∠C= ∠F ´Ìy°á AB =.................. ÀâyîÎâyy BC = ............

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

300

(b) Z~kÖâýnZ°âªÈ¨ BC=EF,

´Ìy°á ∠C= .................... ÀâyîÎâyy ∠A=..................

(c) Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AC = CE, ÀâyîÎâyy ∆ABC ≅∆DEC, ́ Ìy°á∠D =.....................

ÀâyîÎâyy ∠A =......................

3.3.2 Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Åây. Ö¨. Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Öâ¾Ík¦ ¾ÎâyÀâÃéÈy.

prªvây Z»ÅâyméÈ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy, ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy (Apây ÀâyÃéÈÖdÈy) ¿xÀâÃé×âÀryô°á×á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÎây¾ Àây×âÑ °rÈy¿xy. Apây ÀâyÃéÈÖdÈy ´ªêá ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy ÀâyÃévây ÀâyîÎâyy ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyÃévây. E~kóvây ¿xÝkémÀryô×â Z~kµâQ OÀâyªêá; prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×â Àây×âêé¾Ñ ´Àâ¿xpâÀryô×â Öâ¾Ík¦ ¾ÎâyÀâÃéÈ ¿xªfX Uª°â? prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â Àây×âêé¾Ñ Apây ´×âypâÃé~k ÀâyÃéÈÖdÈ ¿xÀâÃé×â°â]ª ´Àâ¿xpâÀâÃé ÈáÖâ °âæýÀâ ¿xªfXȨ ¾ÎâyÀâÃéÈy ¿xî¹è°dÎâÃé? o ÅdgâÀâyy ÀâyîÎâyy pd±¨Àâó ÅdgdÈȨ aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Apây ÀâyÃéÈÖdÈȨ ¿xîgd U×âyQÖ³×âQ ÀâyÃévây ÀâyÃéÈÖdÈy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ́ ×âypâÃé~k ÀâyÃéÈ ÖdÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á, A prªvây Z»ÅâyméÈ ÎryyÖâý Æyж×â ÀâyÃévây ÀâyÃéÈÖdÈy ZÖâÀâyªgd OÖ¡ÅâÆÉKdÌy ÀâyîÎâyy A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. prªvây Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Q {â½Û¥Öâîªßây A ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâÃéÈ gâyîªn ßâî+{Mdª. ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâÃéÈ×ây U×âyQÖ³×âyêȨ ßdÈ méZgâ°âKgd Iªvd¶. I{dÝképâÇÑ ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy ¿xî¹èÀâó. ( aÖápâÖâÀryô×â Ö¨ÇéÈ°¨ prªvây ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy Öd¾ Z»ÅâyméÈ×ây Ð¥ÎâyªÚ)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

301

ÅâymÀâyy - Ö¨ÇÀâyy - ÅâymÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Àds Àây|âX Ö¨ÇÀâyy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Àds Àây|âXÖ¨ÇÀâyy×âæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÌy.

ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈȨ AB=DE, AC=DF ÀâyîÎâyy ∠A=∠D ´¾ gâÀây¾ÉKdÀâó. Öd±s¦ ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª

∆ABC ≅ ∆DEF Z~kÖâý×â EÀâ] ±Ú×â PQR ÀâyîÎâyy XYZ Z»Å âyméÈ×ây ß âÃéªv âªÚ. PQ = XY, QR = YZ ÀâyîÎâyy ∠P =600 =∠Y ´Ìy×â~kRsÖ¡ PQR ÀâyîÎâyy XYZ Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×⪠Öd×âÀâ¿xp⪠Èá{ây Uª{âyÖâ×âgd ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈrô×â Àây|âX Ö¨ÇéÈy ∠Q, ∠Y Ñ ¿xÀâÃé×⪠Öd×âÀâ¿xpâªÈá{ây.

I{dÝképâÇ 1: nZ°âÀâyyȨ AB ÀâyîÎâyy CD È Àây|âX ²ª{âyÀâó 'O' ´Ìy×â ZѪ¬ Àds¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

(i) ∆AOC ≅∆BOD (ii) AC = BDÉd|â×â: AOC ÀâyîÎâyy BOD Z»ÅâyméÈȨ AO=BO ('O' ´×ᬠAB Àây|âX ²ª{âyÀâó)∠AOC =∠BOD(ú¥pd_«Àâyyf Ö¨ÇéÈy)CO = OD, ('O' ´×ᬠCD Àây|âX²ª{âyÀâó)Öd±s¦ ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª

∆AOC ≅∆BOD

Öd±s¦ AC = BD Uª{âyÖâ×âgd ´Æ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ ´×âypâÃé~kÅâyméÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

302

I{dÝképâÇ 2 : nZ°âªÈ¨ AE = AD ÀâyîÎâyy BD = CE. ́ ¾ EÀâ]±Ú×â¬. ∆ AEB ÀâyîÎâyy ∆ADC ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : AE = AD ÀâyîÎâyy CE = BD æévâgdAE + CE = AD + BD ⇒AC = AB.

Z»ÅâymÀâyy AEB ÀâyîÎâyy Z»ÅâymÀâyy ADC ÈȨAE=AD (EÀâ]±Ú×â¬)AB=AC (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)

∠EAB = ∠DAC (ÉdÀâÃé×âX ֨Ǫ) Åây.Ö¨.Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∆AEB ≅∆ADC

I{dÝképâÇ 3 : ACBD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AC = AD ÀâyîÎâyy ∠A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf AB. ∆ABC,∆ABD Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ßâÃé~kªÚ.

Éd|â×â : ABC ÀâyîÎâyy ABD Z»ÅâyméÈȨ AC = AD (EÀâ] ±Ú×â¬)∠CAB =∠DAB (∠A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×âpáf A B)

AB = AB (IÀâyWÚ Åâymª)Öd±s¦ ∆ABC ≅∆ABD (Åây. Ö¨.Åây.)

(∠CBD ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf BA ´Àâó°âyª{d?)´ÅdX¿x 3.3.2

1. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨PQRS aÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª. ÖâpâJÀâyyÈ ÀâÈ×â OpâRÚ×â ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

303

2. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ABCD aÖâ ßâ°âypâZ¿xª M,N,O ÀâyîÎâyy P Èy ZÖâÀâyªgd AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈy. ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

3. Z»Åâymª ABC Ȩ AB=AC. AB Æyd{â E ²ª{âyÀâó, AC Æyd{â D ²ª{âyÀâó AE=AD ́ gây×âê[y I×dQÌy. BCD ÀâyîÎâyy CBE Z»ÅâyméÈy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

4. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ BA ÀâyîÎâyy CA ÅâyméÈy BA=AD ÀâyîÎâyy CA=AE ́ gây×âê[y ¹åÚЪßâ ±vGdÌy. DE||BC ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

( ¿xÃéßâ×â : OÖdª°âpâ Ö¨ÇéÈ ~kîÖâÈR×â×ây I~kÎrÃéЪßâªÚ)

3.3.3 Åây.Ö¨.Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý Ák¶°dÈy (~kpâXÀâÉd×dÈy)

Æydpây ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âÀâyy ×ây~kÎrÃéЪn prªvây Z»ÅâyméÈ×ây UÈé ¹èÈé+Ȩ ×ápây+æ×dQpây. o ¹è¶Öâ Z»ÅâyméÈ |âpdWÈæ ¿xª±ªºªn×â Ö³¾Q I°dbÝkéÖâpâÀryô×â ~kîÇéÀâÃéÈæ {d¿kKyª¬. ÀdsȨ Ö³¾Qs gâyîªn ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

304

û{Pdª°âª 1 : Z»ÅâymªÈ¨ ¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª.{â°Kdªµâª : Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ AB = AC ́ ×âyÖ¨ªÚ. AB Åâymé¾Ñ U{âypâyÖ¨ÇÀâyy ∠C ÀâyîÎâyy AC Ñ U{âypây֨Ǫ∠B ¾pâÃéĪßâÀâÈû×â¬: ∠C = ∠B. ¾pdWǪ : ∠A ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf¾ Ð¥ÎâyªÚ. ´¬ BC ¾ D Àâ{âM fªÚªßâ¾Àâ]ªÚ. Z»ÅâymÀâyy ABD ÀâyîÎâyy Z»ÅâymÀâyy ACD È×ây ¹èÈ+ªÚ.

I~k~k»K : ÆÀâpâÇ ÖdpâÇéª AB = AC; EÀâ]±Ú×â¬; AD = AD; IÀâyWÚÅâymª; ∠BAD = ∠CAD ; ¾pdWǪ Z~kÖdpâª.ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∆ADB ≅∆ADCÖd±s¦ ∠ABC = ∠ACB Uª{ây

Öâ×âgd EÆ ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ ́ ×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy Eª°âs°¨ û{Pdª°âÀâyy ¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬.I~kû{Pdª°âª1: ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy (apexangle) ÎryyÖâý ¿xÀây¬]

fªvâ×â páf ¹d{âÀâyy ÎryyÖâý Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â páf ´Àâó°âyª¬.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC aÖâ Z»ÅâymÀâyy. AB = AC ÀâyîÎâyy ú¥pâ_֨Ǫ ∠A

A×âyªÚ BC Ñ ∠A ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf Ð¥ÎâyªÚ. ZѪ{âs û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý nZ°âÀâyy×ây ßâÃévâªÚ.)

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AD ´×ᬠBC ÎryyÖâý Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â páf. ´ª°áÖdÖâ BD = DC ÀâyîÎâyy ∠ADB = ∠ADC=900 ´¾ ßâÃé¹d¶.

I~k~k»K: ∆ADB ≅∆ ADC (û{Pdª°âª 1 Z~kÖdpâª)⇒DB = DC ÀâyîÎâyy ∠ADB = ∠ADC

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

305

Öd¾ ∠ADB + ∠ADC=1800 (¿xpâÔâ ÎâyygâWª)⇒∠ADB + ∠ADB=1800

2∠ADB =1800

⇒∠ADB=2

180 =900

⇒∠ADC=1800 - ∠ADB = 900.¬¥¾°¨ ¾pâÃé~kÇ ~kòpâKÌy×â¬

E~kóRvây o û{Pdª°âÀâyy ÎryyÖâý ÆȨÀâyÀâyy æévâ ¾mÀáyÀrÃé×â¾ Aµâ+pâX ~kvâÀâßây+. O{rô×d Z»Åâymª Ȩ ¿xÀâÃé×â Ö¨ÇéÈæ U{âypâygd Iªvá ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª. ´¬ æévâ ¾mÀáy Öd¾ {d¾ ¾pâÃé~kÇæ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â ÎryyÖâý Àápá ¾ÎâyÀâyª ´Àâ¿xpâÀâyÀâó°âyª¬. {d¾¾ gâyîªn ¾¥Àâó °âpd]°â ´|âXÎây×⪠ßáÉKdÀâó.

I{dÝképâÇ 4 : nZ°âªÈ¨ AB = AC ÀâyîÎâyy DB = DC, ∠ABD = ∠ACD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ∆Z»Åâymª ABC Ȩ AB = AC

⇒ ∠ABC=∠ACB (¿xÀâÃé×âÅâyméÈæ U{âypâygdI×âQ Ö¨ÇéÈy) Z»Åâymª DBC Ȩ DB = BC ( EÀâ] ±Ú×â¬) ⇒ ∠DBC = ∠DCB (¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygdI×âQ Ö¨ÇéÈy)

{d¾×âyªÚ ∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB

{d¾×âyªÚ. ∠ABD = ∠ACD

´ÅdX¿xª 3.3.3 1. Z»Åâymª ABC Ȩ AB = AC ÀâyîÎâyy ∠A=500. ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È×ây

Öâ×âyg³×âªÚ.2. Z»Åâymª ABC Ȩ AB=BC ÀâyîÎâyy ∠B = 640, ∠C ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

306

3. ZѪ¬ nZ°dÈȨ 'x' ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

4. ABC aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ´×âyÖ¨ªÚ. BC=CD ´gây×âê[y{d¾ ¹d{âÀâyy BC,D Àâpâæ ¹åÚЪßâ±Ú×â¬.

(i) ∠ACD ÀâyîÎâyy (ii) ∠ADC ÆÈyÀâ Öâ×âyg³×âªÚ.

5. ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈ×âyªÚ U{âys ÅâymÀâyyÈæ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±ÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âÀâyy ´¾ ßâÃé~kªÚ.

6. ABC Z»ÅâymÀâyyȨ A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy BC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×âßá¿öK ´ Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ´Àâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

7. ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ¿xÀâyÖ¨Ç Z»ÅâymÀâyÀâó °âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ́ ¾Q ÅâyméÈ ¹åvâÀâó ¿xÀâÃé×âÀryô°á {d¾ Ö¨ÇÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âªgd IªêéÌy ÀâyîÎâyy aÖ³ýÖâýs 600 Iªêyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

307

3.3.4 ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Ö¨.Åây.Ö¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª :

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvâyÖ¨ÇéÈy Àds IÀâyWÚ ÅâymÀâyy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ´×âypâÃé~k Ö¨ÇéÈy Àds IÀâyWÚ ÅâymÀâyy×âæ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª.

ABC ÀâyîÎâyy DEF Z»ÅâyméÈȨ ∠B=∠E.∠C=∠F, À â yîÎ â y y BC=EF ´Ìy×â Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª. ∆ABC≅∆DEF

aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ Àâyyª{á ßâÃéµdÀâyy. E~kRvây ¬¥¾ ÆȨÀâyÀâyy×ây ¾pâÃéÄ{MdÀâyy.

û{Pdª°âª 2 : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á ÀdsÑ U{âypâygd Iªvá ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠( û{Pdª°âª 1 ÎryyÖâý ÆȨÀâyª)

EÀâ]±Ú×â¬: Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ ∠B = ∠C

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AC=AB

¾pdWÇÀâyy : AD⊥BC Ð¥ÎâyªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

308

I~k~k»K: ÆÀâpâÇ∠ADB=∠ADC = 900 (i)∠DBA = ∠DCA (ii)∆ADB ÀâyîÎâyy ∆ADC È ×âyªÚ∠ADB + ∠DBA + ∠BAD = ∠ADC + ∠DCA + ∠CAD

⇒∠BAD = ∠CADE~kóvây ∆ADB ÀâyîÎâyy ∆ADC ÈȨ∠BAD = ∠CAD∠ADB = ∠ADCAD=AD⇒∆ADB ≅∆ADC∴AB = AC

ÖdpâǪ¾pdWǪ Z~kÖdp⪠{â°Kdªµâª Z~kÖdpâª

Z»ÅâymªÈ¨¾ ÀâyÃévây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800 (i) ÀâyîÎâyy (ii) È ×âyªÚ

¾pâÃéĪßâ±Ú×⬾pdWǪ Z~kÖdpâªIÀâyWÚÅâymªÖ¨. Åây. Ö¨. ¾ÎâyÀâyª ¿xpâ]¿xÀây|âpâWª Z~kÖdpâª

{d¾°¨ û{Pdª°âª ¾pâÃéĪßâêª ~kòîK ´Ìy×â¬. I{dÝképâÇ 5 : Z»Åâymª ABC Ȩ AB=AC ÀâyîÎâyy ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È Ö¨Ç

¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy 'O' Àâ{âM fªÚªn×âÆ. BO = CO ÀâyîÎâyy ∠BAC ÎryyÖâý Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páf AO ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|d×â: ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd±s¦ AB = AC ⇒∠C = ∠B

⇒ C2+ = B

2+

BO ÀâyîÎâyy COÈy∠BÀâyîÎâyy C È ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy Öd±s¦

∠ABO = B2+ ÀâyîÎâyy ∠ACO = C

2+

Öd±s¦ ∠ABO = B2+ = C

2+ =∠ACO

∆BCO ¾ »¥¿xy Ö¨ªÚ.∠OBC = ∠OCB (Uª{âyæ?)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

309

⇒ BO = CO (û{Pdª°âÀâyy 2)nÀâîgd, ABO ÀâyîÎâyy ACO Z»ÅâyméÈ×ây »¥¿xy Ö¨ªÚ. BA = CA (EÀâ]±Ú×â¬) BO = CO (¾pâÃéĪßâ ±Ú×â¬). ∠ABO = ∠ACO (¾pâÃéĪßâ ±Ú×â¬.)Åây. Ö¨.Åây. û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª∆ABO ≅∆ACO ⇒∠BAO = ∠CAD ⇒ ∠A ¾ AO, ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬.

I{dÝképâÇ 6: ABCD ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyy AC, ∠A ÀâyîÎâyy ∠C È×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ AB = AD ÀâyîÎâyy CB = CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : AC ÖâpâJÀâyy ∠A ÀâyîÎâyy ∠C È×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬. ÖdÀâó×â ∠BAC = ∠DAC ÀâyîÎâyy ∠BCA = ∠DCA

ABC ÀâyîÎâyy ADC Z»ÅâyméÈȨ

∠BAC = ∠DAC (EÀâ]±Ú×â¬);

∠BCA = ∠DCA (EÀâ]±Ú×â¬); AC = AC (IÀâyWÚÅâymª).Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª∆BAC ≅∆DAC ⇒BA = AD ÀâyîÎâyy CB = CD (¿xpâ]¿xÀâyZ»ÅâyméÈ ´×âypâÃé~k

ÅâyméÈy)I{dÝképâÇ 7 : prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy l ÀâyîÎâyy m È×ây Àâyp³Öâ m°â ¿xÀâÃ骰âpâ

páfÈy p ÀâyîÎâyy q Èy ~kêÀâyyȨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd fªÚªßâyßây×âQÆ. Z»ÅâyméÈy ABC ÀâyîÎâyy CDA ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméȾ ßâÃé~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

310

Éd|â×â : l Àâ yîÎâyy m ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈy ÀâyîÎâyy AC »pâXZgáf, ∠1=∠4 E{áÆ|âªgd AC »pâXZgáf p ÀâyîÎâyy q ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây fªÚªßâgd ∠2=∠3 ́ Àâó°âyª¬.ABC À â yîÎ â y y CDA Z»Å â yméÈȨ ∠1=∠4 (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)

∠2=∠3 (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)AC = AC (IÀâyWÚÅâymª)Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠∆ABC ≅ ∆CDA

I{dÝképâÇ 8 : nZ°âÀâyyȨ ∠BCD = ∠ADC ÀâyîÎâyy ∠ACB = ∠BDA. AD = BC ÀâyîÎâyy ∠A = ∠B ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ∠1 = ∠2 ÀâyîÎâyy ∠3=∠4⇒∠1+∠3=∠2+∠4⇒∠ACD=∠BDC

Öd±s¦ ACD ÀâyîÎâyy BDC Z»ÅâyméÈȨ∠ADC = ∠BCD (EÀâ]±Ú×â¬)

CD = CD (IÀâyWÚÅâymª)∠ACD = ∠BDC (¾pâÃéĪßâ±Ú×â¬)Ö¨.Åây. Ö¨ ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdpâª∆ACD ≅ ∆BDC∴AD = BCÀâyîÎâyy ∠A = ∠B

AȨnªßâªÚ !Ö¨ Åây Ö¨ ¾ÎâyÀâÃé¾Q û©]Öâ½°â û{Pdª°âªgd »¥¿xyæ×dQÀâyy Öd¾ ¾mé¾Ñ Ö¨ÅâyÖ¨ û©]

Öâ½°â û{Pdª°âª A|dpâªgd ¬¥¾¾ aÖâ û{Pdª°âªgd ¾pâÃéĪßâÀâßây+. I~k~k»K¾ ¾îWªßâêé¾Ñ Z~kÎây»QªßâªÚ. ¾gâÀây×â páfdg⧰âªÈ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈ×ây Öâ¾Ík¦ ¿xªfXȨ »¥¿xyÖ³¾ ÀdsȨ ´×áÖâ Ák¶°dÈ×ây ¾îWªßâêé¾Ñ Z~kÎây»QÉKdpây. Ö¨.Åây.Ö¨.¾ û©]Öâ½°â û{Pdª°âªgd »¥¿xyÖ³¾ Åây.Ö¨.Åây ¾ÎâyÀâÃé¾Q û{Pdª°âªgd ¹åª{âÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

311

´ÅdX¿xª 3.3.4

1. EÀâ] ±Ú×â nZ°âªÈ¨ AB||DC ÀâyîÎâyy B D ÎryyÖâý Àây|âX²ª{âyÀâó P ´Ìy×â AC ÎryyÖâý Àây|âX²ª{âyÀâó æévâ P ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

2. ZѪ¬ nZ°âªÈ¨ CD ÀâyîÎâyy BE Èy ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ÎryyÖâý Ȫ±dÈy ÀâyîÎâyy AC=AB ´Ìy×â AE = AD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3. ~kêªÈ¨ AB páfdfªvd¾Ñ AP ÀâyîÎâyy BQ Èy Ȫ±páfÈy ÀâyîÎâyy AP = BQ ´Ìy×âAB ÀâyîÎâyy PQ páfdfªvdÈæ 'O' Àây|âX ²ª{âyÀâ¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

312

4. ABC aÖâ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª ÀâyîÎâyy AB = AC ´×âyÖ¨ªÚ. BD ÀâyîÎâyy CE Èy ∠B ÀâyîÎâyy ∠C È ¿xÀây¬]fªvâ×âpáfÈy BD = CE ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

5. ABC aÖâ ¿xÀâyÖ¨Ç Z»Åâymª ´×âyÖ¨ªÚ. ´¬ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. (¿xÀây ±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª{â¾ Æydpây Àâyyª{á ßâÃéµdpây. Öd±s¦ Z»ÅâyméÈæ ¿xÀây֨ǰâ]Àâyy ¿xÀây±dÝkéy°â]ª Àâªs¬)

3.3.5 ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Åây Åây Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.

prªvây Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ Àâyp³Öâ ¾ÎâyÀâÃé¾Q ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª. ´¬ ÅâyméÈ Æyd{â×á A|dpâ ~kvây°âyª¬.

aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy.ÖdpdXßâpâǪ : 3.3 ´

ÀâyÃévây ÖdаdÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. aÖâs ßâ°âypâZÉdÖdpâª, Àâyp³Öâs ¬¥pâ&ßâ°âypâZÉdÖdp⪠ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀ⬠¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÖdp⪠(¬¥¾Ñ Ödа⪠Æyd{â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Q Ð¥n {d¾ ¿xîÝké{âMy Àrô~kó Öâ»KîªßâªÚ). nZ°âÀâyyȨ ßâÃéÄ×â Æ|dªgd ÖâpâJÀâyyÈy Ð¥ÎâyªÚ. ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú ÖdаdÈ×ây Öâ»KîªßâªÚ.

aÖ³ýÖâý Ödа⪠×âyªÚ prªvây Z»ÅâyméÈyÀâÉKdÌy. o prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâs Àâyp³Öâ {d¾¾ ~kòîKgd ÀâyÃéû Iªßây×âê[y aÖâ{d¾ Æ¥y{â aÖâs IªßâªÚ. ´¾Q Z»ÅâyméÈ m°âÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾, Z~k» m°âȨ aÖâ Z»ÅâydÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀây¾ gâÀây¾ÉKdpây.

E~kóvây ¬¥¾ ÆȨÀâyª gâyîªn ßâÃé{Mdª. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á aÖâs Àâyp³Öâ {d¾¾ ~kòîKgd ÀâyÃéÎâyy×âê[y Àds¾ ´Àâypâ+gâÈÀâÃé? ÅâyÅâyÅây ¿xpâ]¿xÀây¾ÎâyÀâyÀâyy ´¬ ¾mÀây¾ ßr~kóKª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

313

AȨnªßâªÚ !ÅâyÅâyÅây ¿xpâ]¿xÀâyû©]Öâ½°â û{Pdª°âª I×âQª{âyÀâÈ×â Ö¨Ö¨Ö¨ ÀâyîÎâyy ÅâyÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â

û{Pdª°dÈy IªêéÎâÃé?I{dÝképâÇ 9 : nZ°âªÈ¨ AB = CD ÀâyîÎâyy AD = BC ´¾ EÀâ]±Ú×â¬. ADC

ÀâyîÎâyy CBA Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.Éd|â× â: ADC ÀâyîÎâyy CBA Z»ÅâyméÈȨ

AB = CD (EÀâ]±Ú×â¬) AD = BC (EÀâ]±Ú×â¬) AC = AC (IÀâyWÚÅâymª)

ÅâyÅâyÅây ¿xpâ]¿xÀây ¾ÎâyÀâyª Z~kÖdpâª∆AD C ≅ ∆CBA

I{dÝképâÇ 10 : nZ° âªÈ¨ AD = BC À âyîÎâyy BD = CA ´Ìy×â ∠ADB = ∠BCA ÀâyîÎâyy ∠DAB = ∠CBA ´¾ ßâÃé~kªÚ.

Éd|â×â: ABD ÀâyîÎâyy BAC Z»ÅâyméÈȨ AD = BC (EÀâ]±Ú×â¬)AB = AB (IÀâyWÚÅâymª)AC = BD (EÀâ]±Ú×â¬)

ÅâyÅâyÅây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª Z~kÖdpâª∆ABD ≅∆BAC ¬¥¾×âyªÚ ∠ADB = ∠BCA ÀâyîÎâyy ∠DAB = ∠CBA ´¾ ¾pLdîÉKdÀâyy. I{dÝképâÇ 11 : ZѪ¬ nZ°âªÈ¨ AB = CD ÀâyîÎâyy AD = BC. ∠1=∠2 ´¾

ßâÃé~kªÚ.Éd|â×â : ABD ÀâyîÎâyy CDB Z»ÅâyméÈȨ

AB = CD (EÀâ]±Ú×â¬)AD = BC (EÀâ]±Ú×â¬)BD = DB (IÀâyWÚÅâymª)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

314

Öd±s¦ ∆ABD ≅∆CDB (ÅâyÅâyÅây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª) Ö¨ÇéÈ×ây ¹èÈ+gd ∠1=∠2 ´Àâó°âyª¬

(EÀâ] ±Ú×â ¾ÎâyÀâÃéÈ°¨ ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyÀâó °âyª{â¾ AD || BC ÀâyîÎâyy ∠1 ÀâyîÎâyy ∠2 Èy BD »pâXZgáf ÀâÈ×â OpâRÚ×â OÖdª°âpâ Ö¨ÇéȾ °âpd]°â ßâÃéÉKdÀâyy).

AȨnªßâªÚÅâyÅâyÅây ¾ÎâyÀâÃé¾Q û©]Öâ½°â û{Pdª°âªgd »¥¿xyæ×dQÀâyy. Öd¾ E¬ æévâ ÅâyÖ¨Åây

û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ÎryyÖâý Ák¶°âÀáy. Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª ×âyªÚ ÅâyÅâyÅây ¾ û{Pdª°âªgd ßr~kRÀâßây+.

´ÅdX¿xª 3.3.51. ABC Z»ÅâymªÈ¨ AC = AB ÀâyîÎâyy AD Ȫ±Àâyy BC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â

ßá¿kKyª¬. ∆ADC ≅ ∆ADB ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

2. PQRS ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ÖâpJdÈy aÖâ{d¾ ׳Öâs 'O' Àâ{âM ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây×ây. ∆POQ ≅∆QOR ≅∆ROS≅ ∆SOP ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3. nZ°âªÈ¨ ∆ABC ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy AB, BC ÀâyîÎâyy Àây|âXgâ°âpáf AD Èy ZÖâÀâyªgd ∆PQR ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy PQ, QR ÀâyîÎâyy Àây|âX gâ°âpáf PS æ ¿xÀâÃé×âÀâyy ´Ìy×â i) ∆ADB ≅ ∆PSQ, ii) ∆ADC ≅ ∆PSR ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. {d¾ ×âyªÚ Z»Åâymª ABC ÀâyîÎâyy Z»Åâymª PQR Èy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy ´Àâó°dÎâÃé?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

315

4. ∆PQR Ȩ PQ = QR; L, M ÀâyîÎâyy N Èy ZÖâÀâyªgd PQ, QR ÀâyîÎâyy RP È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈy LN = MN ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3.3.6 Ȫ±Ö¨ÇÀâyy, ÖâpâJÀâyy, ÅâymÀâyy û{Pdª°âª :ÖdpdXßâpâǪ : 3.3. A

Ödа⪠Æyd{â ABC ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª Ð¥ÎâyªÚ. A ú¥pâ_Àâyy ×âyªÚ BC ¹d{d¾Ñ AD Ȫ±Àâyy Ð¥ÎâyªÚ. A Z»ÅâyméÖdpâªÈ¨ Ödаd¾Q Öâ»KîªßâªÚ. E~kRvây Ȫ±páfÆyd{âgd ÀâyvâÀâªÚ. prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈy aÖâ{d¾Æyd{â Àâyp³Öâs ´{dXp¨~kÇ ´Àâó°dÌy. Öd±s¦ prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.

ÖdpdXßâpâǪ : 3.3. EaÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ Ödа⪠»¥¿xyÖ¨ªÚ. ¬¥¾¾ aÖâ ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú ÀâyvâÀâªÚ. E~kRvây OpâRÚ×â prªvây Z»ÅâyméÈy Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméȾ gâÀây¾ÉKdpây. ´Æ aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs ´{dXp¨~kÇ ßrª{ây°dÌy.

ÖdpdXßâpâǪ: 3.3. oaÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâ ZÉdÖdpâ Ödа⪠»¥¿xyÖ¨ªÚ. {d¾ÎryyÖâý aÖâ ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó ZѪ{âs ÖdpdXßâpâǪȨ¾ ßâ°âypâ Z¿xÀâyyÅâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âªgd×ây Àâyp³Öâ ÅâymÀâyy {d¾Ñ «×âQªgd×ây IªêáÈé ßâÃévâªÚ. aÖâ ÖâpâJÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈy Àâßây+×âê[ygd Ödаd¾Q ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú Öâ»KîªßâªÚ. aÖâ Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây Àâyp³Öâ{d¾Æyd{â ´{dXp¨~kÇ

ßrª¬ªßâÀâßây+ ×â¾ gâÀây¾ªßdÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

316

E~kóvây ßâ°âypâZ¿xÀâyy ×âyªÚ aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xÀâyy×âyªÚ Àâyp³Öâ Z»ÅâymÀâyy×ây »¥¿xyÖ³¾ aÖâ{d¾ Æyd{â aÖâs IªßâªÚ. prªvây Z»ÅâyméÈy Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈrô aÖâm°â ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ¿xÀâÃé×â Àryô×â~kRsÑ ´Æ aÖâ{d¾ Æyd{â Àâyp³Öâs ´{dXp¨~kÇ ßrª{âÀâ¾ ¾¥Àâó gâÀây¾ÉKdÀâó.

ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âªÈ¨ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ prªvây m°âÈ ´×âypâÃé~kÅâyméÈy ÀâyîÎâyy Àds Àây|âX Ö¨ÇÀâyy ¿xÀâÃé×âªgd IªvdȾ °rÈy¿xyæ×dQÀâyy. O¬ OÀryô×d Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymé¾Ñ Ö³ª°â¿xvⶪ~kó°¨ Èª±Ö¨ÇÀâyy ÖâpâJÀâyy ÅâymÀâyy ¾ÎâyÀâyÀâyy Àâ¿kKyª¬.

Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈæ ZѪ¬ û{Pdª°âª Iª¬.

û{Pdª°âª 3 : prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ aÖâZ»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ ÅâymÀâyy prªvâÀâ {d¾ ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyy ÀâyîÎâyy {d¾ ´×âypâÃé~k Åâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy. (Ȫ. Öâ . Åây û{Pdª°âª)

EÀâ]±Ú×⬠: ABC ÀâyîÎâyy DEF Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ(i) ∠B =∠E = 900

(ii) ÖâpâJÀâyy AC = ÖâpâJÀâyy DF ÀâyîÎâyy(iii) AB = DE

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∆AB C ≅ ∆DEF ¾pdWÇÀâyy : EG = BC ´gây×âê[y FE ¾, G Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ. DG ¾ ÖâÈ~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

317

I~k~k»K: ÆÀâpâÇ ∆ABC ÀâyîÎâyy ∆DEG ÈȨ

AB = DE BC = EG ∠ABC =∠DEG = 900

∴∆ABC≅ ∆DEG (i)⇒ ∠ACB =∠DGE , AC = DGÖd¾ AC = DF∴DG = DF (ii)∆DGF Ȩ ∠G =∠F∠DEG = ∠DEF = 900

∠GDE = ∠FDE (iii)

∆DEG, ∆DEF ÈȨDG = DFDE = DE∠GDE = ∠FDE∴∆DEG≅ ∆DEF∴∆ABC≅ ∆DEF

ÖdpâǪ

{â°Kdªµâª¾pdWǪ{â°Kdªµâª.Åây. Ö¨. Åây. ¾ÎâyÀâyª ¿xpâ]¿xÀây|âpâWª.{â°Kdªµâª¿k]Îâyª û{âPª 1¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇéÈy.{â°KdªµâªZ»ÅâymªÈ¨¾ ÀâyÃévây ́ ª°âpâ Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 1800

(ii) ×âyªÚ IÀâyWÚ Åâymª.(iii) ×âyªÚ Åây. Ö¨. Åây ¾ÎâyÀâyª(i) ×âyªÚ

gâÀây¾Öâ :

Àây×âÀâyy aÖâ ÀâyyfXÀryô×â Ák¶°d¾Q I~kÎrÃéЪßdÀâyy ABC, DEF ÀâyîÎâyy JKL ́ ×ây ÀâyÃévây Z»ÅâyméÈȨ ABC, DEF Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy DEF, JKL Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠´Ìy°á ABC, JKL Ñ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°âyª¬. E¬ 3Àâ ´|dXÎâyª, Ådg⪠1 Ȩ 3Àâ ¿k]Îâyª û{âPª.AȨnªßâªÚ !

aÖâ Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy ZÖâÀâyªgd Àâyp³Öâ Ȫ±Ö¨Ç Z»Åâymª ÎryyÖâý ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pLdîªßâ gâÈÀd? (ÖâpâJÀâyy×ây gâs¦gd ßr~kRvâªÈá{ây).

I{dÝképâÇ 12 : ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ AB = AC ÀâyîÎâyy AD, A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

318

(i) AD, ∠A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf(ii) AD, BC ¾ ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â : ∠BAD =∠CAD ÀâyîÎâyy BD = DC ´¾ ¾pâÃéĪßd¶.

ADB ÀâyîÎâyy ADC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨAB = AC (EÀâ]±Ú×â¬) AD = AD (IÀâyWÚ Åâymª)Ȫ. Öâ. Åây Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀây°â]ª Z~kÖdpâª∆ABD ≅∆ACD ;

Öd±s¦ ∠BAD =∠CAD ÀâyîÎâyy BD = DC I{dÝképâÇ 13 : Z»Åâymª ABC ÎryyÖâý Ȫ±dÈy AD, BE ÀâyîÎâyy CF ¿xÀâÃé×âª

´×âyÖ¨ªÚ. ABC aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. Éd|â×â : BCE ÀâyîÎâyy CBF Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ

BC = BC (ÉdÀâÃé×âX ÖâpâJª)BE = CF (EÀâ]±Ú×â¬)Ȫ. Öâ. Åây û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠BCE ÀâyîÎâyy CBF Èy ¿xpâ] ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÌy.Z»ÅâyméÈ×ây ¹èÈ+gd ∠B = ∠C

¬¥¾ ×âyªÚ AC = AB ( ¿xÀâÃé×â Ö¨ÇÀâyyÈæ U{âypâygd×ây×âQ ÅâyméÈy)E{á Æ|âªgd AD = BE⇒∠B =∠A

⇒AC = BC {d¾ ×âyªÚ AB = BC = AC ´Àâó°âyª¬ ÈáÖâ ABC ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

319

´ÅdX¿xª 3.3.6

1. ABCD aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª. Ȫ. Öâ. Åây û{Pdª°âª Z~kÖdp⪠Z»ÅâyméÈy ABC ÀâyîÎâyy ADC Èy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

2. ABC aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy D, BC ÎryyÖâý Àây|âX²ª{âyÀâó ´×âyÖ¨ªÚ. D

×âyªÚ AB ÀâyîÎâyy AC Èæ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±dÈy ¿xÀâÃé×âÀây×âyÖ¨ªÚ. ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3. ABC Z»ÅâymªÈ¨ BE ÀâyîÎâyyCF Èy ZÖâÀâyªgd AC ÀâyîÎâyy AB Èæ Ȫ±dÈy ´×âyÖ¨ªÚ. BE = CF ´Ìy×â ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀây×âyÖ¨ªÚ.

3.3.7 Ö³¾Q Ák¶°dÈy:

aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈæ U{âypâygdIªvá Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ Àây×âæ Àâyyª{á °rÈy¿xy. {d¾Ñ Æ~kpâXªgd ¿xÀâÃé×â Ö¨ÇéÈæ U{âypâygd Iªvây ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ æévâ °rÈy¿xy. ¿xÝkémªgd Àâßá+ Z~kµâQ OÀâyªêá Ö¨ÇéÈy Æ«×âQªgd Iªêá ÀdsÑ U{âypâygd Iªvây ÅâyméÈ×ây ¹èÈ+gâÈÀâÃé? ÅâyméÈ Ö³È°âÈy Æ«×âQªgd Iªêá Ö¨ÇéÈ×ây ¹èÈ+gâÈÀâÃé?

Z~k»¹d{â×â 1: aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd{â×âyÖ¨ªÚ. ~õ{âMÅâymé¾Ñ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇÀâyy n×âQ Åâymé¾Ñ U{âypâygd Iªvây Ö¨ÇÀâyy Öâªêá ~õ{âM¬.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC Z»ÅâymªÈ¨ AC > AB

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∠B>∠C

¾pdWǪ : AB = AD ´gây×âê[y AC Æyd{â D ²ª{âyÀâó¾ gâyîKªßâªÚ.( AC>AB ÖdÀâó×â E¬Éd|âXÀâyÀâó°âyª¬)BD ¾ ÖâÈ~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

320

I~k~k»K :

∆ABD Ȩ AB=AD (¾pdWǪ Z~kÖdpâª)⇒ ∠ABD =∠ADB (¿xÀâÃé×âÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy)BCD Z»Åâymé¾Ñ ∠BDC ±dÝkéXÖ¨ÇÀâyyÖd±s¦ ´¬ ´ª°âpd«ÀâyyfÖ¨ÇÀâyy ∠BCD Öâªêá ~õ{âM¬.Öd±s¦ ∠C<∠BDA = ∠ABD < ∠ABC = ∠B

¬¥¾°¨ ¾pâÃéĪßâv⪠~kòpâKÌy×â¬.Z~k»¹d{â×â 2 : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ prªvây Ö¨ÇéÈy ́ ¿xÀâÃé×âÀryô°á ~õ{âM Ö¨Çé¾Ñ U{âypâygd

Iªvá ÅâymÀâyy n×âQ Ö¨Çé¾Ñ U{âypâygd Iªvá ÅâymÀâyy Öâªêá ~õ{âM¬.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B >∠C

¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AC>AB

I~k~k»K : ∠B >∠C ⇒ AC ≠AB ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.AC=AB ÖdÀâ ó× â ∠B =∠C (¿xÀ âÃé× âÅ âymÀâyyÈæ

U{âypâygdIªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª).Öd±s¦ AC<AB Y×d ÖdÀd¶ ÈáÖâ AC>AB ÖdÀd¶.

AC<AB ´Ìy°á ZѪ{âs Z~k» ¹d{â×â Z~kÖdpâª∠B < ∠C Öd¾ E¬ {â°KdªµâÀâyy×ây ÀâX»páÑ¿kKyª¬.Öd±s¦ °â~kR¾¿xîgd AC>AB ´Àâó°âyª¬.

gâÀây¾Öâ: EÖâývâ Z»|d ÆÅdgâ ¿xÃéZ°âÀâyy (law of trichotomy) I~kÎrÃéÐÉKdÀâyy a ÀâyîÎâyy b Èy prªvây Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈÌy°á ZѪ¬ Àd¾È¨ O{¨ aÖâs ÀâÃéZ°âÀáy Éd|âXÀâyÀâó°âyª¬.a < b ; a = b ; a > b

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

321

Z~k» ¹d{â×â 3: aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ O prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀryô×â ÀâyÃévâÀâ Åâymª Öâªêá UæýÀâ.

EÀâ]±Ú×⬠: ABC Z»Åâymª¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: AB + AC > BC

¾pdWǪ : AD = AC ´gây×âê[y BA ¾D Àâpâæ ¹åÚЪßâªÚ. DC ¾ ÖâÈ~kªÚ.

I~k~k»K : BD = BA + AD = BA + AC

AD = AC ÖdÀâó×â ∠ADC = ∠ACD(¿xÀâÃé×â ÅâyméÈæ U{âypâygd Iªvá Ö¨ÇéÈy)

Öd±s¦ ∠BCD > ∠ACD = ∠ADC = ∠BDC

Z»Åâymª BCD Ȩ∠BCD > ∠BDC ⇒BD > BC. (Z~k»¹d{â×â 2 Z~kÖdpâª)Öd¾ BD = BA + AC (Àâyyª{á gâÀây¾ªßdÀâyy)Öd±s¦ BA + AC > BC

E{áªÆ|âªgd CA < AB + BC ÀâyîÎâyy AB < BC + CA ´¾ ¾pâÃéĪßâÀâßây+.gâÀây¾Öâ : BC < CA + AB, CA < AB + BC ÀâyîÎâyy AB < BC + CA ´×ây

´¿xÀâÃé×â°d]È×ây Z»Åâym ́ ¿xÀâÃé×â°d]Èy ́ ªêépây. EÆ AB, BC ÀâyîÎâyy CA ÅâyméÈ°¨ ABC Z»ÅâymÀâyy OpâRvâêé¾Ñ ́ Àâ¿xpâÀryô×â ¾ÎâyÀâÃéÈy. ¬¥¾¾ ±s¦ O prªvây ²ª{âyÀâóÈ Àây|âX×rô×d ¿xpâÔâpáf n×âQ ÀâÃépâ$Àâyy×ây ¿xÃén¿kKyª¬. a, b, c Èy ÀâyÃévây ¿xªfXÈrô°á a, b, c ÅâyméÈ°¨ aÖâ Z»ÅâymÀâyy OpâRvâêé¾Ñ ´Àâ¿xpâÀryô×â ¾ÎâyÀâÃéÈy a < b + c, b < c + a ÀâyîÎâyy c < a + b. En+×â ÀâyÃévây ÅâyméÈ Ö³È°âÈ°¨ Z»ÅâymÀâyy ¾îWªßdȪêá o ÀâyÃévây ¾ÎâyÀâydÈy ßdÈy.

I{dÝképâÇ 14 : aÖâ Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ÖâpâJÀâyy Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Öâªêá ~õ{âM{â¾ ßâÃé~kªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

322

Éd|â×â : ABC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ∠B = 900 ́ ¾ ́ ×âyÖ³×âyÀâyy. ́ ~kóvây AC ÖâpâJÀâyy ∠BAC < ∠ B ÀâyîÎâyy ∠BCA < ∠ B´¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ∠BAC Ñ U{âypâygd

Iªvây ÅâymÀâyy BC ÀâyîÎâyy ∠BCA Ñ U{âypâygd Iªvây ÅâymÀâyy AB. Z~k»¹d{â×â 2 Z~kÖdp⪠BC<AC ÀâyîÎâyy AB<AC.

I{dÝképâÇ 15 : ZѪ¬nZ°âªÈ¨ ∠B = 700 ∠C = 500 ÀâyîÎâyy AD, A ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páf. AB > AD > CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

Éd|â×â: ∠A= 1800 -(∠B +∠C)= 1800-(700+500)=600

´¾gâÀây¾ªßâªÚ.´~kóvây ∠BAD = ∠DAC = 300

Z»Åâymª BAD ¾ »¥¿xyÖ¨ªÚ. ∠ADB ¾ ÈrÑýªßâÀâßây+.∠ADB = 1800 - (700 + 300) = 800 > ∠ABD

Öd±s¦ AB > AD, (Z~k» ¹d{â×â 2 Z~kÖdpâª)Z»Åâymª ADC Ȩ ∠DAC =300 < 500 = ∠ACDZ~k»¹d{â×â 2 Z~kÖdp⪠CD <AD.

´ÅdX¿xª 3.3.71. Z»ÅâymÀâyy ABC Ȩ ∠B =280 ÀâyîÎâyy ∠C = 560 ~õ{âMÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy n×âQ

ÅâymÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.2. Z»Åâymª ABC Ȩ AB = 4 ¿õª. Æyd, BC = 5.6 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy CA=

7.6 ¿õª.Æyd Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ×ây Àds ÎryyÖâý Ap¨ÝkéÇ ZÖâÀâyªÈ¨ pdÎâyªÚ.

3. ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠B = 700 ÀâyîÎâyy ∠C = 400 AB = AD ´gây×âê[y BC Æyd{â D ²ª{âyÀâó×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. AB > CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

4. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AD ~õ{âM ÅâymÀâyy, BD n×âQ ÅâymÀâyy ´×âyÖ¨ªÚ. ∠A < ∠C ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. (¿xÃéßâ×â: AC ¾ ÖâÈ~kªÚ)

5. ABC Z»ÅâymªÈ¨ P aÖâ ´ª°âpâ ²ª{âyÀâó ´×âyÖ¨ªÚ. AB + BC + CA < 2(PA + PB + PC) ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

323

Z»ÅâyméÈ ¿xpâ] ¿xÀâÃé×â°â]ª Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. ZѪ¬ ÆÀâpâî¥Èy ¾mÀâygây×âê[y fdù¥È×ây ~kòîªßâªÚ.(a) Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymªÈ¨ ÖâpâJÀâyy --------- ÅâymÀâyy.(b) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ ÀâyÃévây Ȫ±ÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy {d¾ ßâyê¦yֳȰâ Öâªêá

--------- (c) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ O prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀryô×â ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Öâªêá

--------- (d) aÖâ Z»ÅâymÀâyyȨ¾ prªvây Ö¨ÇéÈy ´¿xÀâÃé×âÀryô×â n×âQ Ö¨ÇÀâyy {d¾ Ör{âypâygd

--------- ÅâymÀâyy×ây Öâ¶Ð Iªêyª¬(e) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâymÀâyyÈ Åá{âÀâyy, ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Öâªêá ----(f) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâymÀâyyÈy ´¿xÀâÃé×âÀryô×â, ~õ{âM ÅâymÀâyy {d¾

Ör{âypâygd --------- Ö¨ÇÀâyy×ây Öâ¶Ð Iªêyª¬2. ZѪ¬ ÀdÖdXÈ×ây ¿xîÎryô×â ÖdpâÇéÈ°¨ ¾pâÃéĪßâªÚ.

(a) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈ Àryy°âKÀâyy {d¾ Ȫ±ÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy Öâªêá UæýÀâ

(b) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý O prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀryô×â ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy×âæ Ð¥Îây±Ú×â Àây|âX gâ°â páf ÎryyÖâý prs¦ª~kó Öâªêá UæýÀâ

(c) aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý O prªvây ÅâymÀâyyÈ Åá{âÀryô×â ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Öâªêá °âæýÀâ

3. ABC ÀâyîÎâyy DBC ´×ây prªvây Z»ÅâyméÈ IÀâyWÚ ÅâymÀâyy BC.AB=DC ÀâyîÎâyy ∠ABC=∠BCD ´Ìy×â AC=BD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

4. AB ÀâyîÎâyy CD ´×ây prªvây páfd fªvâÀâyyÈy AD ÀâyîÎâyy BCÈy '0' Àâ{âM fªÚªßây×âê[y×âQÆ AO=OC ÀâyîÎâyy BO=OD ´Ìy×â AB=CD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

5. ABC aÖâ Z»ÅâymÀryô×â, BC Æ¥y{â ÀrÈy~kÈgd BDC Z»ÅâymÀâyy×ây AB =BD ÀâyîÎâyy AC=CD ´gây×âê[y Ð¥ÎâyªÚ ABC DBC3 3, ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

324

6. ABCD aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy AB Æ¥y{â P ²ª{âyÀâó, DC Æ¥y{â Q ²ª{âyÀâó, DP=AQ ´gây×âê[y I×âQ¬ BP=CQ ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

7. ABC Z»ÅâymªÈ¨ AB=AC. P ´×ây×⬠AB Æ¥y{â aÖâ ²ª{âyÀâó, AC Æ¥y{â Q ²ª{âyÀâó AP=AQ ´gây×âê[y I×âQÆ. APC AQB3 , ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

8. aÖâ ¿xÀây¬] ±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨ ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy {d¾ ¹d{â Ö¨ÇéÈ Àryy°Kd¾Ñ prªvây prê[y I×âQ Z»Åâym Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ

9. aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy ÎryyÖâý ¿xÀây¬] fªvâ×â páf, ¹d{âÀâyy×ây ¿xÀây¬] fªvâ×â ßáû×â A Z»ÅâymÀâyy ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

10. ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymªÈ¨AB=AC. AB=AD ´gây×âê[y AB ¾ D Àâpâæ ¹åÚЪn×â ∠BCD Ȫ±Ö¨ÇÀâygây×â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

12. AB ÀâyîÎâyy CD páfdfªvâÀâyyÈy AB||CD ÀâyîÎâyy AD||BC ´gây×âê[y I×âQÆ.BC Àây|âX ²ª{âyÀâó E ÀâyîÎâyy DE, AB ¾ F Àâ{âM fªÚªßây×âê[y ¹åÚЪßâ ±Ú×⬠AB=BF ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ

Ö¡ÈÖâ ~k{dÈy :¿xpâ]¿xÀây°â]ª : AÖdpâÀâyy ÀâyîÎâyy ~kîÀâÃéÇÀâyyÈȨ aÖáÆ|âªgd I×âQprªvây páfdg⧰â

nZ°dÈy.´{dXp¨~kÇ : aÖâ nZ°âª Àâyp³Öâ nZ°âª Æyd{â ¿xîg$d æép³+×âyê.´×âypâÃé~kÅâyméÈy : prªvây Z»ÅâyméÈ×ây ¹èÈy+×â~kóvây Z»Åâym ÅâyméÈ×ây ZÖâÀâyÀryô×â

~k{âP»È¨ ¿xÃénÉKdÀâyy.´×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈy : Ö¨ÇéÈ×ây ZÖâÀâyÀryô×â ~k{âP»È¨ ¿xÃénªßâyê.ÅâyÖ¨Åây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : ÅâymÀâyy−Ö¨ÇÀâyy−ÅâymÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.Ö¨ÅâyÖ¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : Ö¨ÇÀâyy−ÅâymÀâyy−Ö¨ÇÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.ÅâyÅâyÅây û©]Öâ½°â û{Pdª°âª : ÅâymÀâyy −ÅâymÀâyy−ÅâymÀâyy û©]Öâ½°â û{Pdª°âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

325

Ȫ. Öâ. Åây û{Pdª°âª : Ȫ±Ö¨ÇÀâyy−ÖâpâJÀâyy−Åâymª û{Pdª°âª.Z»Åâym ´¿xÀâÃé×â°â]ª : aÖâ Z»ÅâymªÈ¨ O{rô×d aÖâ Åâymª Æyж×â prªvây ÅâyméÈ

Àryy°âKª Öâªêá °âæýÀâ Iªêyª¬.gâypâKyªßây Ö¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy :

• aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây ÀâyîÎryyÖâ Z»ÅâymÀâyy Æyd{â ́ {dXp¨~kÇ ßáÎây gâ¶$°á ́ Æ prªvây ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª.

• prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ prªvây ÅâyméÈy, Àds Àây|âXÖ¨ÇÀâyy ZÖâÀâyªgd prªvâÀâ{d¾ ́ ×âypâÃé~kÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ́ ×âypâÃé~k Ö¨Çé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª( Åây Ö¨Åây)

• prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ prªvây Ö¨ÇéÈy, Àds IÀâyWÚÅâymª ZÖâÀâyªgd prªvâÀâ {d¾ ´×âypâÃé~kÖ¨ÇéÈy, ´×âypâÃé~k Åâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âª( Ö¨ Åây Ö¨)

• prªvây Z»ÅâyméÈȨ aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ÀâyÃévây ÅâyméÈy ZÖâÀâyªgd prªvâÀâ {d¾ ´×âypâÃé~k ÅâyméÈæ ¿xÀâÃé×âÀryô°á A prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠( Åây Åây Åây)

• prªvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈȨ aÖâ{d¾ ÖâpâJÀâyy, ÅâymÀâyy prªvâÀâ {d¾ ÖâpâJÀâyy Åâymé¾Ñ ¿xÀâÃé×âÀryô×â A prªvây ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀâyy.

• aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý O{rô×d aÖâ Åâymª Æyж×â prªÚs Àryy°âKª Öâªêá °âæýÀâ (Z»Åâym ´¿xÀâÃé×â°â]ª)

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Ådgâª-4

Z»ÅâyméÈ ¾pdWǪo ´|dXÎâyÀâyy×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬Æ °rÈy¿xyÖ³¾ Iªvd¶. ZѪ¬ ¿xª{âpdVÈȨ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêª

• ÀâyÃévây ÅâyméÈy En+×â~kóvây.• prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy aÖâ ֨Ǫ En+×â~kóvây.• prªvây Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy Àds IÀâyWÚ Åâymª En+×â~kóvây.• prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀâ Åâymª Æyd¬Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±ª En+×â~kóvây.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy ÖâpâJÀâyy En+×â~kóvây.• ¹d{âÀâyy ÀâyîÎâyy U°âKy En+×â~kóvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦y ֳȰâ ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K En+×â ~kóvây.• ßâyê¦yֳȰâ ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇéÈy En+×â~kóvây.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Àryy°âKÀâyy ÀâyîÎâyy

aÖâ ¹d{âÖ¨ÇÀâyy En+×â~kóvây.• Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâyméÈ ÀâX°dX¿xª ÀâyîÎâyy

aÖâ ¹d{â֨Ǫ En+×â~kóvây.

3.4.1~kîßâÎâyª :

ZѪ{âs °âpâgâ°âyÈȨ Æydpây aÖâ Z»Åâymé¾Ñ ÀâyÃévây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy ßáî Apây ´ªµdÈyªêéÎây¾ ×ápây+ æ×dQpây. aÖâ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêé¾Ñ EÀâ¾¥Q °r¶ûIªvdȾ Aµâ+pâX ~kvây°ây×dQpáÀryd. ́ ¾¥Q °r¶¿öKÀâyªn{á Öd¾ Ö³¾Q Z¹dÎrÃéÐÖâ ¿xª{âpdVÈȨ Æydæ EÀâ¾¥Q °r¶ÎâyÖâ¹èÀâßây+. prªvá ֳȰâÈy °r¶¿öK Z»Åâym ¾pdWÇé¾Q A úªßâÈáÀâyy. ÀâyÃévây ֳȰâÈy °r¶û×d æévâ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâÈáÖâ ¹èÀâßây+. I{dÝképâÇ Ñ prªvây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy aÖâ ֨Ǫ (prªvây ÅâyméÈ Àây|âX¬ Öd¾¬) En+×â~kóvây Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêª Éd|âXª Öd{ây. Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâêé¾Ñ ÆÆ|â ¿xª{âpdVÈy ßâÃé{Mdª o Apây Z¹dzâÆyÖâ ́ ªµdÈ°¨ ¹dêy Àây|âXgâ°â páfÈy, Ö¨Ç ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy, Ȫ±ÀâyyÈy Àâªs E°âpâ ´ªµdÈy æévâ ßápây+Ö¨Àâßây+. Æydæ ´×áÖâ E°âpâ ¿xªÎrÃém×dÈy IªêéÌy. o ´{â×â~kó ´ªµdÈ°¨ Öâ¾Ík¦ ¿xªfXȨ {â°Kdªµâª°¨ Z»ÅâyméÈy ¾îWªßâêª I°dbÝkéª gd×ây ÀâyîÎâyy ¿xÀdÈy gd×ây Iªêyª¬. ¿xªZ~k{dÎâyÖâÀryô×â ¾pdWÇéÈá Àây×âÀâyy ßáÉKdÀâyy.

326

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.2 ÀâyÃévây ÅâyméÈy En+×â~kóvâyI{dÝképâÇ - 1 : AB =5 ¿õª.Æyd BC = 4.3 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy AC = 4

¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â : ¾pdWǪȨ Àây×âÀâyy ´×áÖâ Éè¹d×dÈy ´×ây¿xîÉKdª.1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. AB = 5 ¿õª.Æyd Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â A ÀâyîÎâyy B ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. 'A'ÖáªZ{âÀâyygd 4¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ.4. 'B' ÖáªZ{âªgd 4.3 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPª°¨ ZѪ{âs ßd~kÀâyy×ây 'C' Àâ{âM fªÚ¿kÃKé

Àâyp³Öâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ.5. AC ÀâyîÎâyy BCÈ×ây ÖâÈ~kªÚ. ABCÀây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymÀâyy.

AȨnªßâªÚ! AB = 5 ¿õª.Æyd.´Ìy×â~kóvây B ÖáªZ{âªgd 4.3 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâLª°¨ Ð¥n×â ßd~kÀâyy A ÖáªZ{âªgd 4 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ Ð¥n×â ßd~kÀâyy×ây fªÚ¿kKyª¬. ¬¥¾¾ Z»Åâym ´¿xÀâÃé×â°d]¾Ñ ´×â]ÌyªßâgâÈpd?

´ÅdX¿xª 3.4.21. AB = 5 ¿õª.Æyd., BC = 4.6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy AC = 3.7 ¿õª.Æyd.

ֳȰâÈ°¨ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. 4.8 ¿õª.Æyd ÅâymÀâyygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. PQ = 5.6 ¿õª.Æyd, PR = 7 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy QR = 4.5 ¿õª.Æyd. ́ Ìy×â

PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.4. XY = 7.8 ¿õª.Æyd, YZ = 4.5 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy XZ = 9.5 ¿õª.Æyd.

gâÈ XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.5. ßâyêæֳȰâ 12 ¿õª.Æ¥y, ÅâyméÈ ¾ÍkR»K 3:4:5 gd gâÈ Z»Åâymé¾Q ¾îWªßâªÚ.

327

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.3 prªvây ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy aÖâ ֨Ǫ En+×â~kóvây.

I{dÝképâÇ - 2 : PQ = 4 ¿õª.Æyd, QR = 5.2 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ∠Q = 600 ´Ìy×â PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâógâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. QR = 5.2 ¿õª.Æyd. Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â Q ÀâyîÎâyy R ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠MQR=600 ´gây×âê[y'Q'Àâ{âM ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âMpáfd fªvâÀâyy QM×ây

¾îWªßâªÚ;600 Ö³ÈÀâêé¾Ñ Ö¨ÇÀâÃé¾¾ I~kÎrÃéЪßâªÚ.4. 'Q' 'ÖáªZ{âÀâyygd 4 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ QM¾ P Àâ{âM fªÚ¿kÃKé aÖâ ßd~kpáf

Ð¥ÎâyªÚ; PR ¾ ÖâÈ~kªÚ.PQR Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª

AȨnªßâªÚ!Ö¨ÇÀâÃé¾¾¾ I~kÎrÃéЪßâæªvd∠MQR=600 Iªvây×âê[y Q Àâ{âM QM páfd

fªvâÀâyy ¾îWªßâgâÈpd?

´ÅdX¿xª 3.4.31. AB = 4.5 ¿õª.Æyd., AC = 5.5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ∠BAC=750 ֳȰâÈy

gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. 2. PQ = 5.4 ¿õª.Æyd., QR = 5.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠PQR=550 ֳȰâÈy

gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.328

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3. XY = 5 ¿õª.Æyd, YZ = 5.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠XYZ=1000 ֳȰâÈy gâÈ XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

4. LM = 7.8 ¿õª.Æyd, MN = 6.3 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ∠LMN = 450 ֳȰâÈy gâÈ LMN Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

3.4.4 prªvây Ö¨ÇÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Àds IÀâyWÚÅâymª En+×â~kóvây. I{dÝképâÇ-3 : XY = 4.5 ¿õª.Æyd, ∠X = 1000 ÀâyîÎâyy ∠Y=500 ֳȰâÈy gâÈ

XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY = 4.5 ¿õª.Æyd. ¹åvâÀâó Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â X ÀâyîÎâyy Y ²ª{âyÀâóÈ×ây

gâyîKªßâªÚ.3. ∠PXY = 1000 Iªvây×âê[y XP páfdfªvâÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ; ∠X QY =500

Iªvây×âê[y YQ, páfdfªvâÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.4. XP ÀâyîÎâyy YQ È×ây'Z' Àâ{âM fªÚªßây×âê[y ¹åÚ ÐªßâªÚ. XYZ Àây×âæ

ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ: XY = 4.5 ¿õª.Æyd, ∠X=1000 ÀâyîÎâyy ∠Y = 800 ´¾ En+×âê[Ìy°á XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâgâÈÀd? ¾pdWÇÀâyy UÖâývâ Aйè°âyª¬ ÀâyîÎâyy Uª{âyæ?

329

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.41. AB = 6.5 ¿õª.Æyd, ∠A = 450 ÀâyîÎâyy ∠B = 600 ֳȰâÈygâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. QR = 4.8 ¿õª.Æyd, ∠Q = 450 ÀâyîÎâyy ∠R = 550 ֳȰâÈygâÈ PQR

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. BC = 5.2 ¿õª.Æyd, ∠B = 350 ÀâyîÎâyy ∠C = 800 ֳȰâÈygâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.4. BC = 6 ¿õª.Æyd, ∠B = 300 ÀâyîÎâyy ∠C=1250 ֳȰâÈygâÈABC Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ.

3.4.5 EÀâ]±Ú×â U°âKy°¨ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ - 4 : 3.2 ¿õª.Æyd. U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â : aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈ ×âyªÚ U{âys ÅâymÀâyyÈæ

Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±ÀâyyÈy ¿xÀâÃé×â ֳȰâ Öâ¶Ð IªêéÎây¾ gâÀây¾ªßâªÚ. (o ÆÀâpâÇ×ây ¾pâÃéĪßâªÚ) Öd±s¦ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý U°âKy×ây o ÀâyÃévây Ȫ±ÀâyyÈֳȰâgd »¥¿xyæªêéÀâyy.

¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy :

1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ XY ́ ×ây páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY Æyd{â M ´×ây ²ª{âyÀâó×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ ZM ⊥XY ¾ Ð¥ÎâyªÚ.3. M ÖáªZ{âÀâyygd 3.2 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ MZ ¾ A Àâ{âM fªÚ¿kÃKé aÖâ ßd~k

páf Ð¥ÎâyªÚ.4. B ÀâyîÎâyy C Èy XY Æyd{â Iªvây×âê[y ∠MAB = 300 ÀâyîÎâyy

∠MAC = 300 Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¾îWªßâªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª

330

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

AȨnªßâªÚ: E~kóvây ¾îWªn×â ABC Z»Åâymª Uª{âyæ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª¬? ¾pâÃé~kÇ

gâyîªn AȨnªßâgâÈÀd?

´ÅdX¿xª 3.4.51. 4.5 ¿õª.Æyd U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. {d¾ ÅâymÀâyy ÎryyÖâý

¿xyÀâÃéprô×â ¹åvâÀâó×ây Ö³ÈÀâªÚ.2. 5.2 ¿õª.Æyd U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. {d¾ ÅâymÀâyy ÎryyÖâý

¿xyÀâÃéprô×â ¹åvâÀâó×ây Ö³ÈÀâªÚ.3. 6 ¿õª.Æyd U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. {d¾ ÅâymÀâyy ÎryyÖâý

¿xyÀâÃéprô×â ¹åvâÀâó×ây Ö³ÈÀâªÚ.3.4.6 prªvây ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀâ ÅâymÀâyy Æyd¬Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy

En+×â~kóvây.

I{dÝképâÇ - 5 : AB = 4.5 ¿õª.Æyd, AC = 5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy ¹åvâÀâó 3.6 ¿õª.Æyd gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyª1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâógâÈ XY páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY Æyd{â M ´×ây ²ª{âyÀâó×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ.3. ZM ⊥XY ´gây×âê[y ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âM¬gd MZ ×ây Ð¥ÎâyªÚ.

331

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

4. M ÖáªZ{âÀâyygd 3.6 ¿õªÆyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ MZ ¾ A Àâ{âM fªÚªßây×âê[y aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ.

5. A ÖáªZ{âÀâyygd 4.5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 5 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyyÈ°¨ XY ¾ fªÚ¿kÃKé ZÖâÀâyÀâyygd B ÀâyîÎâyy C È Àâ{âM ßd~kpáfÈy Ð¥ÎâyªÚ; AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ.

ABC ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ ! 1. A ÖáªZ{âÀâyygd 4.5 ¿õª. Æyd ÀâyîÎâyy 5 ¿õª. Æyd ÀdXÉdpâPÀâyyÈ°¨ Ð¥Îây±Ú×â

ßd~kÀâyyÈy XY páfd fªvâÀâyy×ây Uª{âyæ fªÚÉKdÌy? {â°KdªµâÀâyyȨ O ÅdgâÀâyy ¬¥¾¾ ¾pPdî¿kKyª¬?

2. En+×â Z»ÅâymÀâyy Öâªêá Àâyîprªvây Z»ÅâyméÈ×ây Ð¥ÎâyÀâßây+. Àds¾ ¾îWªßâªÚ .

´ÅdX¿xª 3.4.6

1. PQ = 5.5 ¿õª. Æyd, PR = 6.2 ¿õª. Æyd, ÀâyîÎâyy P ×âyªÚ QR Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy ¹åvâÀâó 4 ¿õª. Æyd gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

2. MN = 4.5 ¿õª. Æyd, MP = 5.2 ¿õª. Æyd, ÀâyîÎâyy M ×âyªÚ NPÑ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy ¹åvâÀâó 3.8 ¿õª. Æyd gâÈ MNP Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

332

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.7aÖâ ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy ÖâpâJÀâyy En+×â~kóvây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê

I{dÝképâÇ - 6 : ∠M = 900 , MN = 4 ¿õª. Æyd ÀâyîÎâyy LN = 6.2 ¿õª. Æyd ֳȰâÈy gâÈ LMN Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â : ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy.1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. MN = 4 ¿õª.Æyd, Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â M ÀâyîÎâyy N ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠NMP = 900 Iªvây×âê[y ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âM páfd fªvâÀâyy MP ¾ Ð¥ÎâyªÚ.

4. N ÖááªZ{âÀâyygd 6.2 ¿õª. Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ MP¾ LÀâ{âM fªÚªßây×âê[y aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ. NL ¾ ÖâÈ~kªÚ. LMN ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ : N ÖáªZ{âÀâyygd 6.2 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyy°¨ Ð¥Îây±Ú×â ßd~kÀâyy MP páfdfªvâÀâyy×ây Uª{âyæ fªÚ¿kKyª¬? {â°KdªµâÀâyy ÎryyÖâý O ÅdgâÀâyy ¬¥¾¾ ¾pPdî¿kKyª¬?

´ÅdX¿xª 3.4.71. ∠B = 900 AB = 5 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy AC = 7 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ

ABC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ∠R = 900 PQ = 4 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy QR = 3 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ

PQR Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ∠B = 900 BC = 4 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy AC = 5 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ

ABC Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.8 ¹d{âÀâyy ÀâyîÎâyy ´×âypâÃé~kȪ±Àâyy En+×â~kóvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ - 7 : ¹d{âÀâyy BC = 5.8 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy 4.8 ¿õª. Æyd ֳȰâÈygâÈ ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

333

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâógâÈ XY páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. BC= 5.8¿õª.Æyd Iªvây×âê[y {d¾ Æyd{â B ÀâyîÎâyy C ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. BC ÎryyÖâý Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â páf Ð¥ÎâyªÚ. BC Æyd{â M Iªvây×âê[y {d¾Ñ MP´¾ gâyîKªßâªÚ. 4. 'M' ÖáªZ{âªgd 4.8 ¿õª. Æyª, ÀdXÉdpâLª°¨ MP

¾ fªÚ¿kÃKé A Àâ{âM ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ. AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ.ABC ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymªAȨnªßâªÚ! ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymÀây¾ ¾pâJÌyªßâyêæ Z»ÅâyméÈÆyd{â O

Ák¶°âÀâyy I~kÎrÃéЪßâ±Ú×â¬?

´ÅdX¿xª 3.4.81. ¹d{âÀâyy BC = 6.5 ¿õª. Æyª, A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy

4 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC ¿xÀây¬] ±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ¹d{âÀâyy YZ = 5.8 ¿õª. Æyª, ÀâyîÎâyy X ×âyªÚ YZ Ñ Ð¥Îây ±Ú×â Ȫ±Àâyy

3.8 ¿õª.Æyd gâÈ XYZ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ¹d{âÀâyy PQ = 7.2 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy R ×âyªÚ PQ Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±Àâyy 5

¿õª.Æyd gâÈ PQR ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.9 Ȫ±Àâyy ÀâyîÎâyy úpâ_Ö¨ÇÀâyy En+×â~kóvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâyê.I{dÝképâÇ - 8 : Ȫ±Àâyy 4 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 800 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy.1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ XY páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.

334

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

2. XY Æyd{â M ´×ây ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªn MP ⊥XY Ð¥ÎâyªÚ.3. M ÖáªZ{âÀâyygd 4 ¿õª.Æyd ÀdXÉdpâPÀâyyÈ°¨ MP ¾A Àâ{âM fªÚ¿kÃKé aÖâ ßd~kpáf

Ð¥ÎâyªÚ.4. 40MAB MAC

280c c= = = Iªvây×âê[y XY Æyd{â B ÀâyîÎâyy C È×ây

gâyîKªßâªÚ.ABC ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª. AȨnªßâªÚ : ABC Uª{âyæ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyÀâó°âyª¬? ABC ÖdÀâÈû×â

Z»ÅâymÀây×âêé¾Ñ Z»ÅâyméÈÆyd{â O Ák¶°dÈy I~kÎrÃéЪßâ ±vGdÌy?

´ÅdX¿xª 3.4.91. Ȫ±Àâyy 4.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 700 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ. 2. Ȫ±Àâyy 6.6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 600 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ.3. Ȫ±Àâyy 5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 900 gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây

¾îWªßâªÚ.3.4.10 aÖâ Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K En+×â~kóvây

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ 9 : ABC Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 2:3:4 ´Ìy×â ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

335

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy:

1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. XY = 12 ¿õª.Æyd Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â X ÀâyîÎâyy Y²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. XY °¨ ́ ÈRÖ¨ÇÀâyy×ây OpâRpây¿kÃKé ZѪ¬ ÀrôÀâó Ñ XZ ́ ×ây ÑpâÇÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.4. X ×âyªÚ ¿xÀâÃé×â {âÃépâÀâyyÈȨ Iªvây×âê[y 2 + 3 + 4 = 9© ²ª{âyÀâóÈ×ây

XZ Æyd{â gâyîKªßâªÚ.5. XL = 2 ÅdgdÈy, LM = 3 ÅdgdÈy ÀâyîÎâyy MN = 4 ÅdgdÈy Iªvây×âê[y

XZ Æyd{â L, M,N ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.6. NY ×ây ÖâÈ~kªÚ. L ÀâyîÎâyy M È gâyªvd XY ¾ ZÖâÀâyªgd B ÀâyîÎâyy C

È Àâ{âM fªÚ¿kÃKé LB||NY ÀâyîÎâyy MC||NY Ð¥ÎâyªÚ.7. B ÖáªZ{âÀâyygd BX ÀdX¿xpâPÀâyy°¨ aÖâ ßd~kpáf Ð¥ÎâyªÚ; C ÖáªZ{âªgd CY

ÀdXÉdpâPª°¨ ZѪ{âs ßd~kÀâyy×ây A Àâ{âM fªÚªßây×âê[y Àâyp³Öâ ßd~kÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ. 8. AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.AȨnªßâªÚ! ABCZ»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈy Uª{âyæ ÖdÀâÈû×â ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy?

Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈy 2:3:5 ¾ÍkR»KȨ Iªêá Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê Éd|âXÀáy×d?

´ÅdX¿xª 3.4.101. ßâyê¦yֳȰâ 13 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 3:4:5 gâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ßâyê¦yֳȰâ 14 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 2:4:5 gâÈ PQR

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ßâyê¦yֳȰâ 15 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 2:3:4 gâÈ MNP

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

336

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

3.4.11 ßâyê¦y ֳȰâ ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy En+×â Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ -10 : ßâyê¦yֳȰâ 12.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 60° ÀâyîÎâyy 750 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.Éd|â×â : ¾pdWÇ ZÖâÀâyª

1. PQ = 12.5 ¿õª.Æyd páfd fªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. ∠QPR = 600 Iªvây×âê[y PR ÑpâÇÀâyy×ây ÀâyîÎâyy ∠PQS = 750 Iªvây×âê[y

QS ÑpâÇÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ∠QPR ÀâyîÎâyy ∠PQS ÎryyÖâý ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy ZÖâÀâyÀâyygd PL ÀâyîÎâyy

QMÈ×ây Ð¥ÎâyªÚ. o prªvây páfÈ×ây 'A' Àâ{âM fªÚªßâ ¾Àâ]ªÚ.4. AP ÀâyîÎâyy AQ È Èª±¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy Ð¥ÎâyªÚ ÀâyîÎâyy EÆ PQ ¾

ZÖâÀâyÀâyygd B ÀâyîÎâyy C È Àâ{âM fªÚªßâ ¾Àâ]ªÚ.5. AB ÀâyîÎâyy AC È×ây ÖâÈ~kªÚ.ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.

AȨnªßâªÚ ! Àây×âÑ ÖdÀâÈû×â ¹d{âÖ¨ÇéÈy Àân+×âê[y Z»ÅâyméÈ ÎryyÖâý O |âpdWÈy ¾pPdîÉKdÌy? Àây×âæ ÖdÀâÈû×â ßâyê¦yֳȰâ UÈé Àân+ª¬?

337

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.111. ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 50° ÀâyîÎâyy 800 gâÈ

ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. ßâyê¦yֳȰâ 15 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 60° ÀâyîÎâyy 700 gâÈ

XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ¹d{âÖ¨ÇÀâyyÈy 65° ÀâyîÎâyy 850 gâÈ

ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.12¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâymÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ¹d{âÖ¨ÇÀâyy En+×â

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ 11 : AB = 5.8 ¿õª.Æyd, BC + CA = 8.4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 600 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

8.4 ¿õª

.Æyd

5.8 ¿õª.Æyd.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. AB =5.8 ¿õª.Æyd. Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â A ÀâyîÎâyy B ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠ABX = 60 0 I ª v â y × â ê [ y ÖdÀâÈû×⪰â ~õ{âM páfd fªvâÀâyy BX ×ây Ð¥ÎâyªÚ.

4. BX ×âyªÚ 8.4 ¿õª. Æyd ¹åvâÀâógâÈ BD páfdfªvâÀâyy×ây fªÚªßâªÚ.5. AD ¾ ÖâÈ~kªÚ.6. AD ÎryyÖâý Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â páfÐ¥n, ´¬ BD ¾ C Àâ{âM fªÚªßâ ¾Àâ]ªÚ. 7. AC ¾ ÖâÈ~kªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»ÅâymÀâyy.AȨnªßâªÚ! CA ÀâyîÎâyy CB È Àryy°âKÀâyy En+×â Àryy°Kd¾Ñ UÈé ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó

°âyª¬?338

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.121. BC = 3.6 ¿õª. Æyd, AB + AC = 4.8 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 600

gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.2. AB + AC = 5.6 ¿õª. Æyd, BC = 4.5 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎây∠B = 450

gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3. PQ + PR = 6.5 ¿õª. Æyd, QR = 5.4 ¿õª. Æyd ÀâyîÎâyy∠Q = 400

gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.3.4.13 ¹d{âÀâyy, Æyж×â prªvây ÅâymÀâyyÈ ÀâX°dX¿xÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ ¹d{âÖ¨ÇÀâyy

En+×â Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâyê.

I{dÝképâÇ 12 : ¹d{âÀâyy AB = 5 ¿õª.Æyd, ∠A = 300 ÀâyîÎâyy AC – BC = 2.5 ¿õª.Æyd gâÈABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Éd|â×â: ¾pdWÇ ZÖâÀâyÀâyy:1. ¿öýÈy ¿xÝkëÎâyª°¨ ÖdÀâÈû×⪰⠹åvâÀâó gâÈ páfdfªvâÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.2. AB =5 ¿õª.Æyd. Iªvây×âê[y {d¾ Æ¥y{â A ÀâyîÎâyy B ²ª{âyÀâóÈ×ây gâyîKªßâªÚ.3. ∠BAX = 300 Iªvây×âê[y ÖdÀâÈû×⪰â páfd fªvâÀâyy AX ¾ Ð¥ÎâyªÚ.

4. AX páfd fªvâÀâyy ×âyªÚ AC – BC Ñ ¿xÀâÃé×âÀây gây×âê[y AD=2.5 ¿õª.Æyd. ¹åvâÀâó gâÈ páfd fªvâÀâyy×ây fªÚªßâªÚ.

5. BD ¾ ÖâÈ~kªÚ.6. BD ÎryyÖâý Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â páf×ây Ð¥n ´¬ AX ¾ C Àâ{âM fªÚªßâ

¾Àâ]ªÚ.7. BC ¾ ÖâÈ~kªÚ. ABC Àây×âæ ÖdÀâÈû×â Z»Åâymª.AȨnªßâªÚ : AC – BCÀâX°dX¿xÀâyy AD Ñ O Æ|âªgd ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°âyª¬?

AC – BC > AB ´gây×âê[y »¥¿xyÖ³¾ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâgâÈÀd?

339

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

´ÅdX¿xª 3.4.131. BC = 3.4 ¿õª. Æyd, AB – AC = 1.5 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 450 gâÈ ABC

Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

2. BC = 5 ¿õª. Æyd, AB – AC = 2.8 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 400 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

3. BC = 6 ¿õª. Æyd, AB – AC = 3.1 ¿õª. Æyd. ÀâyîÎâyy ∠B = 300 gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

Z»ÅâyméÈ ¾pdWǪ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

1. AB = 5 ¿õª.Æyd, BC = 1.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy AC = 4.3 ¿õª.Æyd. ֳȰâÈy gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

2. AB = 5 ¿õª.Æyd, BC = 5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy AC = 4.3 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

3. PQ = 4 ¿õª.Æyd, QR = 4.5 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠Q = 600 ֳȰâÈy gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

4. PQ = 4 ¿õª.Æyd, ∠P = 600 ÀâyîÎâyy ∠Q = 600 ֳȰâÈy gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

5. AB = 3.5 ¿õª.Æyd, AC = 4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±páf ¹åvâÀâó 3 ¿õª.Æyd gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

6. BC = 4.5 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy A ×âyªÚ BC Ñ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±páf ¹åvâÀâó 3.8 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

7. ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 700 ÀâyîÎâyy Ȫ±Àâyy 5 ¿õª.Æyd. gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

8. ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy 800 ÀâyîÎâyy Ȫ±Àâyy 5 ¿õª.Æyd. gâÈ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀây×ây ¾îWªßâªÚ.

340

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

9. 3.5 ¿õª.Æyd. U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

10. 4.3 ¿õª.Æyd. U°âKygâÈ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

11. MN = 4.5 ¿õª.Æyd., LN = 5.6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy ∠M = 900 ֳȰâÈy gâÈ LMN Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

12. QR = 4.5 ¿õª.Æyd., ∠Q = 900 ÀâyîÎâyy ∠R = 500 ֳȰâÈy gâÈ PQR Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

13. ÅâymÀâyyÈy 2 : 3 : 4 ¾ÍkR»KȨ IªÚ ßâyê¦yֳȰâ 13 ¿õª.Æyd. gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

14. ÅâymÀâyyÈy 3 : 4 : 6 ¾ÍkR»KȨ IªÚ ßâyê¦yֳȰâ 15 ¿õª.Æyd. gâÈ PQR Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

15. ¹d{âÖ¨ÇéÈy 600, 750 ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ 13.5 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

16. ¹d{âÖ¨ÇéÈy 500, 800 ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ 12.5 ¿õª.Æyd. gâÈ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

17. YZ = 4.5 ¿õª.Æyd., ÀâyîÎâyy ∠Y = 600 ÀâyîÎâyy Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Àryy°âKÀâyy 7.5 ¿õª.Æyd. gâÈ XYZ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

18. ßâyê¦yֳȰâ 9 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy 3 : 4 : 5 ¾ÍkR»KȨ I×âQ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

19. ßâyê¦yֳȰâ 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈy 2 : 3 : 5 ¾ÍkR»KȨ I×âQ ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

20. BC = 4.5 ¿õª.Æyd., ∠B = 350 ÀâyîÎâyy Æyж×â prªvây ÅâymÀâyyÈ Àây|âX Åá{âÀâyy 2.8 ¿õª.Æyd. ´Ìy×â ABC Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ.

341

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

¹dîÅdÍkÖâ ~k{dÈyȪ±¿xÀây¬]fªvâ×â páf : En+×â páf Ñ Èª±Àâyygd IªÚ ¿xÀây¬] fªvâ×â ßáÎâyy páf.֨ǿxÀây¬]fªvâ×â páf : En+×â Ö¨ÇÀâyy×ây ¿xÀây¬] fªvâ×â ßáÎâyy páf.ßâyê¦y ֳȰâ : O{rô×d ¿xÀây°âÈ nZ°âÀâyy ÎryyÖâý ¿xîÝké{âMy ¹åvâÀâó.Ȫ±Àâyy : aÖâ ²ª{âyÀâó ×âyªÚ aÖâ páfÑ Ð¥Îây±Ú×â Ȫ±páf; Ȫ±Àâyy ÎryyÖâý

¹åvâÀâóÑ æévâ ¬¥¾¾ I~kÎrÃéÐÉKdpây.ßd~kÀâyy : Àâ½°âK ÅdgâÀâyy.¹d{âÖ¨ÇÀâyy : Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy E°âpâ ÅâymÀâyyÈ°¨ OpâRpâßâyÖ¨ÇÀâyyÈȨ

O{rô×d.ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyy : ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâymÀâyy ÎryyÖâý ¿xÀâÃé×â ÅâymÀâyyÈy Öâ¶Îâyy ú¥pâ_Àâyy

Àâ{âM OpâRvây Ö¨ÇÀâyy.gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ÆÍkÎâÃéÈy:

• aÖâ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâêé¾Ñ Öâ¾¥¿xª ÀâyÃévây ֳȰâÈy ÖdÀd¶.• O ÀâyÃévây ֳȰâÈrô×d »¥¿xyÖ³¾ Z»ÅâymÀâyy×ây ¾îWªßâÈáÀâyy.

lllll

Purity, patience, and perseverance are three essentials to sucess and

above all, love.

– Swamy Vivekananda

342

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

343

Ådgâª-5

ßâ°âypâyVméÈy o Ådg⪠ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬Æ °rÈy¿xyÖ³¾ Iªvd¶

• En+×â nZ°dÈ ~ks¦ ×âyªÚ ßâ°âypâyVméÈ×ây gâyîKªßâêª.• ßâ°âypâyVméÈ ÉdÀâÃé×âX |âpdWÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyêª.• ßâ°âypâyVméÈæ ¿xª±ªºªn×â ¿xÀây¿kXÈ×ây Édºªßâêª.• ÆÆ|â pâÖdÈ ßâ°âypâyVméÈ×ây Àâî¥$Öâîªßâêª ÀâyîÎâyy Àds ÆÆ|â |âpdWÈ×ây

gâyîKªßâêª.• ¾°âX ÊËÆ°âªÈ¨ ¿xªÅâƪßây ßâ°âypâyVméÈæ ¿xª±ªºªn×â ¿xÀây¿kXÈ×ây ÉdªfXÖâ

¿xÀây¿kXÈygd ÀâÃéî+ Àds¾ Édºªßâêª.

3.5.1~kîßâÎâyª:

aÖâ Z»ÅâymÀâyªêá ÀâyÃévây ÅâymÀâyyÈ°¨ AÀâîªßâ±Ú×â nZ°âÀây¾ Æydpây Àâyyª{á ×ápây+æ×dQpây. Z»ÅâyméÈ×ây (i) ÅâymÀâyyÈ ÀâyîÎâyy (ii) Ö¨ÇÀâyyÈ ×d|dpâªgd Àâî¥$Öâîªßdpây.ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. ´

Z»ÅâyméÈ×ây ÅâyméÈ ×d|dpâªgd ~öp³ý×âªÚ. Ö¨ÇéÈ×d|dpâªgd Z»ÅâyméÈ×ây ~öp³ý×âªÚ. aÖâ ¿xÀây°âȪȨ ×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Àds¾ aÖâ ZÖâÀâyÀâyyȨ m°âÈygd Öâ¶Ä°á OÆy Àâ¿kKyª{¨ ßâÃé{Mdª.

´¾Q ²ª{âyÀâóÈy OÖâpáfd ûL°âÀâyyÈrô°á, ´ªêá ´Æ ´¾Q aÖá ¿xpâÔâpáf Æyd{â Iªêá Àây×âÑ aÖâ páfd fªvâÀâyy Àâ¿kKyª¬. (nZ°âª 1)

×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ [̈ ÀâyÃévây OÖâpáfd ûL°âÀâyyÈrô°á Àây×âæ aÖâ Z»Åâymª Àâ¿kKyª¬ (nZ°âª 2)

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

344

×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ [̈ O ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy OÖâpáfd ûL°âÀâyyÈy ÖdÖâ ¹è°á Àây×âÑ ×dÈygây ÅâymÀâyyÈ°¨ AÀâîªßâ ±Ú×â aÖâ AÀâ½°â nZ°âª Àâ¿kKyª¬. (nZ°âª 3 ÀâyîÎâyy nZ°âª 4) O ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy OÖâ páfd ûL°âÀâyyÈy Öd¾ ×dÈygây ²ª{âyÀâóÈ×ây aÖâ ZÖâÀây ~k{âP»È¨ ÖâÈy~kóêÀâÈ×â OpâRÚ×â ×dÈygây ÅâymÀâyyÈy gâÈ AÀâ½°â nZ°âÀâyy×ây ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. ZѪ¬ nZ°âÀâyyÈ×ây ßâÃévâªÚ :

´Æ AÀâ½°â nZ°dÈy. Àds ¿xîÝké{âMyȨ ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈyªêéÌy. ~õô×â EÀâ] ±Ú×â ´¾Q ¿xÀây°âÈ nZ°dÈæ Öâ¶Ä aÖá ~öpây ßâ°âypâyVmª.

aÖâ ¾îMÍk¦Àryô×â ZÖâÀâyÀâyyȨ ú¥pâ_ÀâyyÈÖâ×ây gâyǪgd ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ~öp³ýªêépây. Z~kÖâý nZ°âÀâyy×ây ABCD ÈáÖâ ADCB´¾ ßâ{âÀâ Àâßây+ Öd¾ ADBC °âpâÝkëȨ ßâ{âÀâ æévâ{ây. ~öpâyȨ A¿x×âQ ´ãâpdÈ×ây Öâ¶Ä°á Àds Àây|âX Ȩ ×âyªÚ Àâyp³Öâ páf ¹èæévâ{ây. ú¥pd_È×ây AÆ|âªgd ßâ{âÀdȾ °rÈy¿xyÖ¨ªÚ. I{dÝképâÇÑ ADBC, ~öpâyȨ AC ÀâyîÎâyy BD Èy ~kpâ¿kRp⪠́ vâGy æªêéÌy.

ZѪ¬ nZ°dÈ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ:o prªvây nZ°dÈy ßâ°âypâyVméÈÀâó°dÎâÃé? ´Æ ßâ°âypâyVméÈy Öd{ây; Àryy{âs{d¾È¨ ÅâyméÈy ́ vâGyæªêéÌy; prªvâÀâ{d¾È¨ ´¾Q ÅâyméÈy páfd fªvdÈy ÖdÀâó aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây »îÐ o Æ|âªgd ¾pâ]nªßâÀâßây+.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

345

O ÀâyÃévây ²ª{âyÀâóÈy OÖâ páfdûL°âÀâyyÈy Öd¾ ×dÈygây ¿xÀây°âÈ ²ª{âyÀâóÈ×ây ÖâÈy~kgd OpâRÚ×â ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈȨ Z~k»¬¥ Æyж×â ÀdsȨ prªÚs¾ ÀâÃéZ°âÀáy Àds nÀâî ²ª{âyÀâóÈ Àâ{âM Öâ¶Îâyy×âê[y Iªêá ´êyÀâªs páfd fªvâÀâyyÈ ¿xÀáyWÔâ×âÀâyy×ây ßâ°âypâyVmª ´ªêépây.

EÖâývâ Àây×âÀâyy ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈ ¿xÀáyWÔâ×âÀryô×â AÀâ½°â ÀâZÖd¾Ñ ÀâyîÎâyy o ×dÈygây páfdfªvâÀâyyÈßá AÀâîªßâ±Ú×â ¿xÀây°âÈ nZ°âÀâyy×âæ Àây|âXÅá{âÀâyy×ây °rÈy~kÈá{ây. ¿xª{âpdV¾Q ±s¦ {d¾¾ ´pâLª ßá¿xyÖ¨Àâßây+.

aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ×dÈygây ÅâyméÈy ÀâyîÎâyy ×dÈygây ´ª°âpâÖ¨ÇéÈy IªêéÎây¾ gâÀây¾ªßâªÚ. ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈ×d|dpâªgd o ßâ°âypâyVméÈ×ây prªvây pâÖdÈygd Àâî¥$ÖâîªßâÀâßây+: æªÅdÖdpâ ÀâyîÎâyy ~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVméÈy.

aÖâßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ´¾Q ´ª°âpâÖ¨ÇéÈy 1800 Öâªêá °âæýÀâ Iªêá {d¾¾ æªÅdÖdpâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. Èá¾ ÎryvâÈ {d¾¾ ~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. æªÅdÖdpâ ßâ°âypâyVmª ~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVmª

AȨnªßâªÚ!Æ¥yæ Æ«×âQ ¹åvâÀâóÈy gâÈ ×dÈygây ~kóÈ[Èy EÀâ] ±vGdÎây×ây Ö¨ªÚ. Àds¾ ßáî+

ßâ°âypâyVmª ßáÎâygâÈÀd?

Z»ÅâyméÈÀâÈr ßâ°âypâyVméÈæ æévâ Ö³¾Q |âpdWÈy I×dQÌy. ÀdsȨ Ö³¾Qs¾ Àây×âÀâyy ×ápây+æªêéÀâyy.3.5.2 ßâ°âypâyVméÈ |âpdWÈy

ABCD aÖâ ßâ°âypâyVmª ´×âyÖ¨ªÚ.1. A, B, C ÀâyîÎâyy D ²ª{âyÀâóÈ×ây ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ú¥pâ_ÀâyyÈy ´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

346

2. AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA páfdfªvâÀâyyÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyyÈy ´ªêépây.

3. ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD ÀâyîÎâyy ∠CDA Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ×dÈygây Ö¨ÇÀâyyÈy ´ªêépây.

4. AC ÀâyîÎâyy BD páfdfªvâÀâyyÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ´ªêépây.

gâÀây¾Öâ : aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ×dÈygây ÅâymÀây-yÈy, ×dÈygây Ö¨ÇÀâyyÈy ÀâyîÎâyy prªvây ÖâpâJÀâyyÈy IªêéÌy. Àryy°âKª Æyd{â {d¾Ñ ~k¬ ´ªµdÈyªêéÌy.

A¿x×âQ ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ´«Àâyyf ÅâyméÈy 1. aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâyméÈæ aÖâ

ÉdÀâÃé×âX nÀâî ²ª{âyÀâó Iªêá Àds¾ A¿x×âQ ÅâyméÈy ÈáÖâ ¹dpâ^] ÅâyméÈy ´ªêépây. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AB ÀâyîÎâyy AD Èy A¿x×âQ ÈáÖâ ¹dpâ̂ ] ÅâyméÈy. E°âpâ A¿x×âQ ÅâymÀâyyÈ m°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

2. prªvây ÅâyméÈæ ÉdÀâÃé×âX nÀâî ²ª{âyÀâó ÈáÖâ ¹è°á Àds¾ ´«Àâyyf ÅâyméÈy ´ªêépây. ~õô nZ°âªÈ¨ AB ÀâyîÎâyy DC Èy ́ «Àâyyf ÅâyméÈy. E°âpâ ́ «Àâyyf ÅâyméÈ m°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ÀâyîÎâyy ´«Àâyyf Ö¨ÇéÈy :3. aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý prªvây Ö¨ÇéÈæ aÖâ IÀâyWÚÅâymÀâyy Iªêá Àds¾

A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ÈáÖâ ¹dpâ^] Ö¨ÇéÈy ´ªêépây. ∠ DAB ÀâyîÎâyy ∠ ABC A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ÈáÖâ ¹dpâ^] Ö¨ÇéÈÀâó°dÌy. E°âpâ A¿x×âQ Ö¨ÇéÈ m°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

4. ÉdÀâÃé×âX ÅâymÀâyy Èá¾ prªvây Ö¨ÇéÈ×ây ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ´«ÀâyyfÖ¨ÇéÈy ´ªêépây. ∠DAB ÀâyîÎâyy ∠BCD Èy ́ «ÀâyyfÖ¨ÇéÈy. E°âpâ ́ «ÀâyyfÖ¨ÇéÈm°âÈ×ây gâyîKªßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

347

ÖâpâJÀâyyÈ|âpâWÀâyy :

AC ÖâpâJÀâyy ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ABC ÀâyîÎâyy ADC ´×ây prªvây Z»ÅâyméÈygd ÆÅâÊ¿kKyª¬. BD ÖâpâJÀâyy×ây Ð¥n×â~kóvây OpâRvây prªvây Z»ÅâyméÈ×ây ~öp³ý×âªÚ.Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy |âpâWÀâyy :ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. A

´ê¦ÀâyyÖâý Æyd{âÐ¥Îây±Ú×â ßâ°âypâyVmÀâyy×ây Öâ»Kîªn »¥¿xyÖ¨ªÚ. ZѪ{â EÀâ]±Ú×â nZ°âÀâyyȨ I×âQê[y ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Z~k» Ö¨ÇÀâyy×ây OpâRpâßây ÅâymÀâyyÈ Àrª±Ú {d¾¾ Öâ»KîªßâªÚ. o Æ|âªgd OpâRÚ×â ×dÈygây ÀâyyÖâýÈ×ây 1,2,3 ÀâyîÎâyy 4 ´¾ gâyîKªßdÀâyy. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd A ÀâyyÖâýÈ×ây ́ Àâypâ+ªÚ. ́ Àâ¾¥Q aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM ÖâÈy¿xyæªêy×dQÎâÃé? o ×dÈygây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy gâyîªn ¾¥Àâó OÆy ßr±y°dÀâó? ×dÈygây Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈ Àryy°âKÀâyy 3600.

gâÀây¾Öâ : aÖâ ²ª{âyÀâó Àâ{âM OpâRvây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 3600 ´¾ gâypâKyªßâyÖ¨ªÚ.û{Pdª°âª 1 : aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 3600.

En+×⬠: ABCD aÖâ ßâ°âypâyVmª.¾pâÃéĪßâÀâÈû×⬠: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 3600

¾pdWÇÀâyy : AC ÖâpâJÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ.I~k~k»K : ADC Z»ÅâymªÈ¨ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 1800 (Ö¨ÇéÈÀryy°âKÀâyy |âpâWÀâyy). ABC Z»ÅâymªÈ¨ ∠4 + ∠5 + ∠6 = 1800 (ÀâypâÈÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy |âpâWÀâyy) Æ¥s¾ æévâgd ∠1 + ∠4 + ∠2 + ∠5 + ∠3 + ∠6 = 3600 Öd±s¦ ∠A + ∠D + ∠B + ∠C =

3600 Öd±s¦ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 3600.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

348

I{dÝképâÇ 1 :

aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ×dÈygây Ö¨ÇéÈy 2:3:4:6 ¾ÍkR»KȨ I×âQÌy. aÖ³ýÖâý Ö¨ÇÀâyy ÎryyÖâý ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : Ö¨ÇéÈ ¾ÍkR»K 2:3:4:62 + 3 + 4 + 6 = 15 (¾ÍkR»KȨ¾ ~k{dÈ Àryy°âKÀâyy) ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.Öd±s¦ 15 ÅdgdÈy 3600 Ñ ¿xÀâÃé×âª15 ÅdgdÈy - 3600 ;2 ÅdgdÈy - 2 48

15360

# c=

3 ÅdgdÈy - 3 72153600

# c=

4 ÅdgdÈy - 4 96153600

# c=

6 ÅdgdÈy - 6 144153600

# c=

Öd±s¦ ×dÈygâyÖ¨ÇéÈy 480, 720, 960 ÀâyîÎâyy 1440 Àds Àryy°âKÀâyy 3600 ´¾ gâÀây¾ªßdÀd?

I{dÝképâÇ 2 : ABCD ßâ°âypâyVmÀâyyȨ ∠A ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×âª; ∠B, ∠D Ñ ~kî~kòpâÖâª. ∠A ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ∠B + ∠D = 1800 ́ ¾ EÀâ]±Ú×â¬. ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈ Àry°âKÀâyy |âpâWÀâyy×ây~kÎrÃéЪn ∠A + ∠C = 3600 - 1800 = 1800

∠A ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd±s¦.A C

2180 90c c= = =

∠A = ∠C = 900 ÀâyîÎâyy ∠B, ∠D Ñ ~kòpâÖâ Àâygây×âê[y ßâ°âypâyVmÀâyy×ây Ð¥ÎâygâÈÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

349

I{dÝképâÇ 3 : ZѪ{â EÀâ] ±Ú×â ßâ°âypâyVmÀâyyȨ¾ ´¾Q Ö¨ÇÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ∠P + ∠Q + ∠R +∠S = 3600 (Ö¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy |âpâWª) ´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy Öd±s¦

x + 2x + 3 + x + 3x – 7 = 360° ¬¥¾ ×âyªÚ 7x – 4 = 360° ÈáÖâ 7x = 364°

´ª{âyÀâÈ×â x = 527

364 c= . Àây×âæ ∠P = 520, ∠R = 520, ∠Q = 2x + 3 = 2(52) + 3 = 104+3=1070.

∠S = 3 × 520 - 7 = 1560 - 70 = 1490 ´¾ Àâ¿kKyª¬.∠P + ∠Q + ∠R +∠S = 3600 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

´ÅdX¿xª 3.5.11. aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý prªvây Ö¨ÇéÈy 700 ÀâyîÎâyy 1300 ÀâyîÎâyy Æyж×â

prªvây Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª. A prªvây Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.2. nZ°âÀâyyȨ ∠P ÀâyîÎâyy ∠Q Èy ~kî~kòpâÖdÈy ÀâyîÎâyy

∠R = 1200 ´Ìy×â ∠S ֳȰâ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

3. ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈy 2:3:5 ¾ÍkR»K Ȩ I×dQÌy ÀâyîÎâyy ×dÈ$Àâ Ö¨ÇÀâyy 900 ÀâyÃévây Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

4. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ABCD ßâ°âypâyVmª ÀâyîÎâyy ∠D+ ∠C=1000. ∠A ÀâyîÎâyy ∠B ÎryyÖâý¿xÀây¬]fªvâ×â páfÈy P Àâ{â MfªÚªn×â ∠APB ¾ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

350

3.5.3 ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀâyy.ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇéÈ ¿k]ÅdÀâÀâyy ×d|dpâªgd ßâ°âypâyVmé¾Ñ Z~k°áXÖâÀryô×â ~öpây

Iªêyª¬.

¿xÀâyy{dÎâyª I ¿xÀâyy{dÎâyª II

prªvây ¿xÆy°âyÈȨ EÀâ]±Ú×â ~õô nZ°dÈ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ. ßâ°âypâyVméÈ ÎryyÖâý Àryy{âs ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ ÀâyîÎâyy prªvâÀââ ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ ¾¥Àâó OÆy °ávd gâÀây¾ªßdÀ¨ ¾¥ ¿öQþé°âyÈ°¨ ßâî+ªßâªÚ. [gâÀây¾Öâ: ±dÇ~kó gâypâKy ¿xÀâÃ骰âpâ páfÈ×ây ¿xÃén¿kKyª¬]

ßâ°âypâyVméÈ Àryy{âs ¿xÆy»È¨ aÖâ ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd IªêéÌy. ´êyÀâªs ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. Àryy{âs ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ Z~k» ßâ°âypâyVmª ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀáy. prªvâ×â ¿xÀâyy{dÎâyªÈ¨ O ßâ°âypâyVmÀâyy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀâyy Öd{ây.ÖdpdXßâpâǪ :3.5. E

3 ¿õª.Æyd, 4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy 5 ¿õª.Æyd.ÅâymÀâyyÈy gâÈ ÀâyÃévây ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈ ´ê¦ ÀâyyÖâýÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. nZ°âÀâyyȨ ßâÃéÄ×âê[y Àds¾ ´Àâypâ+ªÚ. ¾¥æ OÆy nZ°âÀâyy Àâ¿kKyª¬? ́ ¬ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª. OÆ ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈy? ¿xÀâÃ骰âpâªÖd¾ ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª Àâ¿kKyª{d?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

351

ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. o ÀâyÃévây ¿xpâ]¿xÀây ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây Öâ»Kîªn

nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ́ Àâypâ+ªÚ. AD ÀâyîÎâyy BCÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? ∠A ÀâyîÎâyy ∠BÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. ́ Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? ∠D ÀâyîÎâyy ∠C È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? AC ÀâyîÎâyy BD È×ây Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé?

~õô ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmé¾Ñ EÀâ] ±Ú×â Z~k°áXÖâÀryô×â ~öpây ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª. ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ ZѪ¬ Àds¾ gâÀây¾ÉKdpây.

1. ¿xÀâÃ骰âp⪠Öd¾ ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª;2. ¹d{âÖ¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª;3. ¿xÀâÃ骰âpâÅâyméÈæ ´×âypâÃé~kªgd Iªvá A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy;4. ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âª.

AȨnªßâªÚ ! ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âªgdgâÈ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª Iªêyª{d?

I{dÝképâÇ - 4 :ABCD ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB||CD; ∠A = 650 ÀâyîÎâyy ∠B = 750 ́ ×âyÖ¨ªÚ.

∠D ÀâyîÎâyy ∠C ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ?Éd|â×â: ∠A + ∠D = 1800 ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.

(¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý aÖâ m°â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy)

´ª{âyÀâÈ×â 650 + ∠D = 1800

¬¥¾ ×âyªÚ ∠D = 180 - 650 = 1150

E{á Æ|âªgd ∠B + ∠C = 1800

750 + ∠C = 1800

Öd±s¦ ∠C = 1800 - 750 = 1050

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

352

I{dÝképâÇ - 5 :

PQRS ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠P ÀâyîÎâyy ∠S Èy 1:2 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. ´¾Q Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ ¹d{âÖ¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠∠P = ∠Q . ∠P = x0 ÀâyîÎâyy ∠S = 2 x0´×âyÖ¨ªÚ ∠P + ∠S = 1800 Öâ×âyÖâ(¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý aÖâ m°â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy).x° + 2x° = 180 ´Àâó°âyª¬. ´ª{âyÀâÈ×â

3x° = 180° ÈáÖâ3

180x 600 0

= = Öd±s¦ ∠P = 600 ÀâyîÎâyy ∠S = 2 × 600 = 1200

∠P = ∠Q ÖdÀâó×â ∠Q = 600 Öd¾ ∠Q + ∠R = 1800

(aÖâ m°â A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy)Öd±s¦ ∠R = 1800 - 600 = 1200

´ÅdX¿xª 3.5.21. PQRS ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ PQ||RS ÀâyîÎâyy ∠P =700 ÀâyîÎâyy

∠Q = 800 . ∠S ÀâyîÎâyy ∠R ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ.2. ABCD ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB||CD ÀâyîÎâyy AD ÅâymÀâyy BC Ñ

¿xÀâÃ骰âpâªgd Èá{ây. ∆ABC ≅ ∆ADC ´Àâó°âyª{d? ÖdpâÇé¶Àâ]ªÚ.3. nZ°âÀâyyȨ PQRS ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ±

ßâ°âypâyVmª ∠SRP = 300 ÀâyîÎâyy∠PQS = 400 ´Ìy×â ∠RPQ ÀâyîÎâyy ∠RSQ Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ¹d{â Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

5. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AC = BD ÀâyîÎâyy AD = BC ´×âyÖ¨ªÚ. ABCD¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

353

3.5.4 ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈy :

ZѪ¬ ßâ°âypâyVméÈ ¿xÀâyy{dÎâÃéÈ×ây ßâÃévâªÚ.

¿xÀâyy{dÎâyª I ¿xÀâyy{dÎâyª II

I Àâ ¿xÀâyy{dÎâyÀâyyȨ¾ ßâ°âypâyVméÈȨ U¾Q m°âÈ ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈy I×âQÌy? II Àâ ¿xÀâyy{dÎâyª Ȩ¾ ßâ°âypâyVméÈȨ U¾Q m°âÈ ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈy I×âQÌy? ¾¥Àâó OÀây¾ ¾pPdîÉKdÀâó?

prªvây m°âÈ ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd gâÈ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. ¿xÀâyy{dÎâyª II Ȩ¾ ßâ°âypâyVméÈy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈy Öd{ây Öd¾ ¿xÀâyy{dÎâyª I Ȩ¾ ßâ°âypâyVméȾ¥Q ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈá. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý aÖâ Z~k°áXÖâÀryô×â pâÖâÀây¾ gâÀây¾ªßdÀd?

Öd±s¦ ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVm |âpdWÈy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ IªêéÌy Àâypâ³Öâ m°â ¿xÀâÃ骰âpâ ÅâyméÈÖdpâǪgd ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ Ö³¾Q ´{â×â~kó|âpdWÈy æévâ IªêéÌy. ÖdpdXßâpâǪ :3.5. I

¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ~kó ´ê¦ ÀâyyÖâý ABCD ¾ »¥¿xyÖ³¾ AB Æyd{â E ²ª{âyÀâó ¾

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

354

gâyîKªßâªÚ. (nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd). CE ¾ ßâyÖâýÈ páf°¨ Öâ¶Ä CE Àrª±Ú ´ê¦ÀâyyÖâý×ây Öâ»KîªßâªÚ.EBC Z»Åâym Ådgd¾Q ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª U{âÀâyÀrô~kó BC , AD °¨ OÖ¡Åâƪßây×âê[y aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy OpâRvây×âê[y IªßâªÚ. E¬ OpâÖ⪠ßâ°âypâyVmª? ´¬ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª.

~õô×â Öâ»Kîªn×â ́ ê¦ÀâyyÖâý AÖdpâÀâyy×ây ¾¥ ~kó¿kKÖ⪠Æyd{â »¥¿xyÖ³¾ ´«Àâyyf ÅâyméÈy, ´«ÀâyyfÖ¨ÇéÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. E{á ÖdpdXßâpâÇÀâyy×ây Àâyî prªvây ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyyÈ°¨ ÀâypâÈ ßáû Àds¾ PQRS ÀâyîÎâyy KLMN gd gâyîKªn Ák¶°dÈ×ây ZѪ¬ Æ|âªgd ~kꡦÖâîªßâªÚ.

¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª i ii iii iv v vi vii viii

ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = AB= BC= CD= DA=

PQRS ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = PQ= QR= RS= SP=

KLMN ∠K = ∠L = ∠M = ∠N = KL= LM= MN= NK=Ö¨ÇdÈ Àây|âX OÆy ¿xª±ª|âÀâyyª¬? ÅâyméÈ Àây|âX OÆy ¿xª±ª|â Àâyyª¬? ´«Àâyyf Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ́ «Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âÀây¾ gâÀây¾ªßdpd? o ~kîú¥È×âÈ×ây °âpâý ±{âPªgd ¾pâÃéĪßâÀâßây+.

Z~k»¹d{â×â 1 : ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ U{âys ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy U{âys Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª.I~k~k»K : ABCD aÖâ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây×ây Ö¨ªÚ. BD ¾ ÖâÈ~kªÚ.´~kóvây ∠1 = ∠2 ÀâyîÎâyy ∠4 = ∠3 (Uª{âyæ? nZ°âÀâyy ßâÃévâªÚ)ABD ÀâyîÎâyy CBD Z»ÅâyméÈȨ

∠1 = ∠2, ∠4 = ∠3, BD(IÀâyWÚÅâymª) Öd±s¦ ∆ABD ≅ ∆CDB (Ö¨.Åây.Ö¨ û©]Öâ½°â û{Pdª°âª).¬¥¾×âyªÚ AB = DC, AD = BC ÀâyîÎâyy ∠A = ∠C E{áÆ|âªgd AC ¾ ÖâÈÄ ∆ADC ≅ ∆CBA ´¾ ¾pâÃéĪßâÀâßây+. Öd±s¦ ∠D = ∠B

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

355

ÖdpdXßâpâǪ : 3.5.N ZѪ{âs Æ|âªgd ´ê¦ÀâyyÖâý Æyd{â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyTmÀâyy×ây Ð¥ÎâyªÚ; ÖâpâJÀâyyÈ×ây Ð¥n

fªvâ×â ²ª{âyÀâó×ây gâyîKªßâªÚ. fªvâ×â ²ª{âyÀâóÀâÈ×â OpâRÚ×â ÅdgâÀâyyÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. o ÖdpdXßâpâÇÀâyy ×âyªÚ ¾¥Àâó OÆy ÅdÆÉKdÀâó?

ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây×ây. Öd±s¦ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý |âpdWÈ×ây ZѪ¬ Æ|âªgd ÆÀâîªßâÀâßây+ :

1. ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ¿xÀâÃ骰âpâª.2. ´«Àâyyf Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âª.3. A¿x×âQ Ö¨ÇéÈy ~kî~kòpâÖdÈy.4. ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÌy.5. Z~k»ÖâpâJÀâyy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây prªvây ¿xpâ]¿xÀây Z»ÅâyméÈygd ÆÅâÊ¿kKyª¬.I{dÝképâÇ 6 : aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý prªvây ÅâymÀâyyÈ ¾ÍkR»K 3:4

ÀâyîÎâyy {d¾ ßâyê¦y ֳȰâ 42 ¿õª.Æyd. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ́ ¾Q ÅâymÀâyyÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : ÅâymÀâyyÈy 3x ÀâyîÎâyy 4x ´×âyÖ³×âªÚ. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ

=2(3x+ 4x) = 2(7x) =14x Öd¾ ÈrÖâý Z~kÖdp⪠14x = 42 ¬¥¾ ×âyªÚ. x =

1442 = 3

´ª{âyÀâÈ×â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVm ÅâyméÈy 3x3 = 9 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 3x4=12 ¿õª.ÆydI{dÝképâÇ - 7 : Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ PQRS ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª x ÀâyîÎâyy y È×ây

¿õª.Æyd ÈȨ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

356

Éd|â×â : aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÎây¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. ´ª{âyÖ â¾ SO = OQ ¬¥¾×âyªÚ16 =x+ y E{á Æ|âªgd PO = OR ÖdÀâó×â 20 = y + 7

¬¥¾×âyªÚ y = 20 – 7 = 13 ¿õª.Æyd Àryy{âs ¿xÆydÖâpâǪȨ y ÆÈyÀâ×ây Z~k»ãáĪßâgd 16 = x + 13 Öd±s¦ x = 3 ¿õª.Æyd

´ÅdX¿xª 3.5.3

1. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý A¿x×âQ Ö¨ÇÀâyyÈy 2:1 ¾ÍkR»KȨ I×âQÌy. ´¾Q Ö¨ÇéÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

2. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÖdpâÀâyyȨ ×ây×âQ ¹åÈÀâyyßâyê¦yֳȰâ 450 Æyd. ÀâyîÎâyy {d¾ aÖâ ÅâymÀâyy Àâyp³Öâ ÅâymÀâyyÖâªêá 75 Æyd UæýÀâ I×âQ¬. ́ ¾Q ÅâymÀâyyÈ ¹åvâÀâóÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

3. nZ°âÀâyyȨABCD aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª AC ÀâyîÎâyy BD ÖâpâJÀâyyÈy 'O' Àâ{âM fªÚªßây×ây. ∠DAC = 400, ∠CAB = 350 À â y îÎ â y y ∠DOC = 1100. ∠ABO, ∠ADC, ∠ACB ÀâyîÎâyy ∠CBD È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

4. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ DC,E Àâpâæ ¹åÚЪßâ ±Ú×⬠ÀâyîÎâyy ∠BCE = 1050. ∠A, ∠B, ∠C ÀâyîÎâyy ∠DÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây×â¾ °âpâý±{âPªgd ¾pâÃéĪßâªÚ. {d¾Ñ ÆȨÀâyªgd aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêá ́ ¬ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyÀâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

6. KLMN ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠K=600 ´Ìy×â Æyж×â ´¾Q Ö¨ÇÀâyyÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

357

7. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠A=∠C ÀâyîÎâyy ∠B =∠D ´×âyÖ¨ªÚ. ABCD aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

8. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB = CD ÀâyîÎâyy AD = BC ́ ×âyÖ¨ªÚ. ABCDaÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

3.5.5 ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈ Z~k°áXÖâpâÖdÈy :

¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈ Z~k°áXÖâÀryô×â pâÖdÈæ ÆÆ|â pâÖdÈ |âpdWÈy×dQÌy. Àây×âÀâyy Àds¾ ´|âXÎây×⪠ßáÉKdÀâyy.¬¥pâ&ßâ°âypâZÉdÈy :ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. ±yy

Æyd רêy ~kó¿kKÖ⪠×âyªÚ aÖâ Ödа⪠»¥¿xyÖ³¾ {d¾¾ ´ê¦ÀâyyÖâý Æyd{â ´ªsªßâªÚ. ´ê¦ ÀâyyÖâý×ây Ödа⪠¿xîÝké{âMy Àrª±Ú Öâ»Kîªn ´¾Q ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ´¾Q Ö¨ÇÀâyyÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ. ÖdpdXßâpâÇÀâyy×ây ÆÆ|â ֳȰâÈ ÖdаdÈ°¨ ÀâypâÈ ßáû Æyd ~kîú¥È×âÈ×ây ZѪ¬ ~ks¦ÖâȨpdÎâyªÚ.

¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª i ii iii iv v vi vii viii

ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = AB= BC= CD= DA=

PQRS ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = PQ= QR= RS= SP=

~õô ÖdpdXßâpâÇÀâyy ×âyªÚ Æydpây o ZѪ¬ Àds¾ ÅdƪßâÀâßây+:• ´¾Q Ö¨ÇéÈy 900 Ñ ¿xÀâÃé×âª.• ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª.• ´«Àâyyf ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâª.

´êyÀâªs ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy×âæ EÀâ] ±Ú×â Z~k°áXÖâÀryô×â ~öpây ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª. aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ´¾Q Ö¨ÇéÈy Ȫ±Ö¨ÇéÈrô°á {d¾¾ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª ´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

358

ÖdpdXßâpâǪ : 3.5. U¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ ÖdаâÀâyy×ây »¥¿xyÖ³¾ {d¾Ñ ABCD ´¾ ~öpây ~õꦪÚ. ÖâpâJÀâyyÈ

Àrª±Ú {d¾¾ ÀâyvâÀâªÚ. fªvâ×â ²ª{âyÀâó×ây 'O'gd gâyîKªßâªÚ. ZѪ¬ Z~kµâQÈæ ¿xÀâÃé|d×dÈy pdÎâyªÚ. O ÖâpâJÀâyy Àrª±Ú Àâyvân×d æévâ OpâRÚ×â prªvây Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? ÖâpâJÀâyyÈ ¹åvâÀâó Ö³ÈÀâªÚ. ´Æ ¿xÀâÃé×âªgd I×dQÎâÃé? OA, OB, OC ÀâyîÎâyyOD páfdfªvâÀâyyÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. o páfdfªvâÀâyyÈ ¹åvâÀâóÈ Àây|âX OÀryô×d ¿xª±ª|âÀâyyª{d?

¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈ |âpâWª :

(i) ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âª.(ii) ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÌy.I{dÝképâÇ - 8 : XYWZ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈ ÎryyÖâý fªvâ×â ²ª{âyÀâó

'O'´×âyÖ¨ªÚ. ∠ZOW=1100 ´Ìy°á ∠OYW ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â: ∠ZOW = 1100 ´¾Àây×âæ °rÈy¿xy. ´ª{âyÀâÈ×â ∠WOY = 1800 - 1100 = 700 (~kî~kòpâÖâ Ö¨ÇéÈy) OY = OW ÖdÀâó×â OYWaÖâ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª. Öd±s¦ OYW OWY

2180 70

2110 55

0 0 00

= = - = =

(¾¥Àâó Àâyp³Öâ~k{âP»¾ ¿xÃénªßâgâÈÀd?)I{dÝképâÇ - 9 : RENT ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈy

'O'Àâ{âM fªÚªßây×ây OR = 2x + 4 ÀâyîÎâyy OT = 3x + 1 ´Ìy°á 'x' ¾ Öâ×âyg³×âªÚ?Éd|â×â : OR = OT ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ.(ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â

ßá¿xyæªêéÌy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ´Æ ¿xÀâÃé×âª) ´ª{âÀâÈ×â 2x + 4 = 3x+ 1. ¬¥¾×âyªÚ

4 – 1 = 3x – 2x

3 = xÖd±s¦, x = 3.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

359

¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ( ÀâZméÖâ½») :ÖdpdXßâpâǪ :3.5.O

aÖâ ´ê¦ ÀâyyÖâý°¨ 3 ¿õª.Æyd, 4 ¿õª.Æyd, 5 ¿õª.Æyd ֳȰâÈygâÈ aÖá pâÖâÀryô×â ×dÈygây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈ×ây ¾îWªßâªÚ. aÖâ Ödа⪠Æyd{â Àds¾ nZ°âªÈ¨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ´Àâypâ+ªÚ. nZ°âÀâyy ÎryyÖâý ¿xîÝké{âMy×ây Ð¥ÎâyªÚ. nZ°âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyyÈy ÀâyîÎâyy Ö¨ÇÀâyyÈ×ây Ö³ÈÀâªÚ. Àds¾ ~kꡦßáÎâyªÚ. ¬¥¾¾Èª± Ö¨Ç Z»ÅâyméÈ ÎryyÖâý ÆÆ|â ֳȰâÈ°¨ ÀâypâÈ ßáÎâêÚ. ¾¥Àâó OÆy gâÀây¾ªßdÀâó?

∠A = ∠C, ∠B = ∠D AB = BC = CD = DA´¾ ¾¥Àâó ¾pPdîªßâgâÈÀd? ́ êyÀâªs nZ°âÀâyy×ây ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. ´¾Q ÅâymÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âÀâyy gdgâÈ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ́ ªêépây. ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀryô×âª{âyæ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmé¾Ñ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVm|âpdWÈy ÀâyîÎâyy EªÖdÖ³¾Q |âpdWÈy IªêéÌy.

i) ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª.ii) U{âys ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâª.iii) ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÌy.iv) prªvây ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ×dÈygây ¿xpâ]¿xÀây Ȫ±Ö¨ÇZ»ÅâyméÈygd ÆÅâÊÉKdÌy.v) Ö¨ÇÀâyyÈy æévâ ÖâpâJÀâyyÈ ßá°â ¿xÀây¬]fªvâ×â ßáÎây ±vâ°dÌy.

I{dÝképâÇ - 10 : aÖâ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy 24 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy 10¿õª.Æyd. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â: AC = 24 ¿õª.Æyd, BD = 10 ¿õª.Æyd. ´¾ EÀâ] ±Ú×â¬. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy~kpâ¿kRp⪠Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyæªêéÎây¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. o ÖâpâJÀâyyÈ ÎryyÖâý fªvâ×â ²ª{âyÀâó 'O' ´×âyÖ¨ªÚ. ´~kóvây AO = CO = 12 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy BO = DO = 5 ¿õª.Æyd AOD Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâymÀây¾ æévâ Àây×âæ °rÈy¿xy. ´ª{âyÀâÈ×â AOD Z»ÅâymÀrôµdÈXª= ½ × OA × OD = ½ × 12 × 5 = 30 ¿õª.Æyd2

aÖâ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ×dÈygây ¿xpâ]¿xÀây Ȫ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÈyªêéÌy Öd±s¦ {d¾ ÀrôµdÈXª = 4 × 30 = 120 ¿õª.Æyd2

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

360

I{dÝképâÇ - 11 : ABCD ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠BAC = 380

(i) ∠ACD (ii) ∠DAC ÀâyîÎâyy ∠ADC È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : ∠BAC = 380 ´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. ABCD ¿xÀâyÅâymßâ°âypâyVmªÈ¨

ABCaÖâ ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª Öd±s¦ ∠BAC = ∠ACB = 380 ´ª°á Ödæªvd ∠A ¾ AC ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ Öd±s¦ ∠DAC = 38° ADC ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»Åâymª Öd±s¦.

∠ACD = ∠DAC = 380

´ª{âyÀâÈ×â ∠ADC = 1800 - (∠DAC + ∠DCA)

= 1800 – (380 + 380) = 1800 – 76 = 1040.ßâ°âypâZ¿xª : aÖâ pâÖâÀryô×â ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy, ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy ¿xÀâyÅâym

ßâ°âypâyVmÀâyy prªvâÃé ́ Àâó°âyª¬. {d¾ ÎryyÖâý ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª. ´{á Z»ÅâyméÈrô°á OÆy ×ápây+æ×dQp¨ gâypâKy°rßây+Ö¨ªÚ. ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ Z»ÅâyméÈy ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈy. Z»ÅâyméÈ ÆÍkÎâyªÈ¨ ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×âÀryô×â~kóvây ´¾Q ÅâyméÈy æévâ ¿xÀâÃé×â Àâyñ°dÌy ´¾ ßâÃéµdpây. {d¾Ñ ÆȨÀâyªgd aÖâ Z»Åâymª ÎryyÖâý ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âÀryô°á ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy æévâ ¿xÀâÃé×â Àâyñ°dÌy. Öd¾ ßâ°âypâyVméÈy ßâÃé¿öK ÀdsÑ ́ êyÀâªs ~k¿xª{rô×â |âpâWª Èá{ây. ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd¾ ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÖdÀdȾ Èá{ây. Àâyp³Öâ Àrô~kó ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVªmªÈ¨ ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd¾ ́ ¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠Öd{ây ́ ¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª, ´¾Q Ö¨ÇéÈy ¿xÀâÃé×⪠gdgâÈ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ßâ°âypâZ¿xª ´¾ aÖâ Ö³°âK ~öpây EÀâ]±Ú×â¬. Öd±s¦ ßâ°âypâZ¿xÀây×ᬠ´¾Q ~k¿xª{rô×â |âpdWÈy Öâ¶Ð×â ßâ°âypâyVmª.

aÖâ ßâ°âypâZ¿x Àây×á ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨,(i) ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âª.(ii) Z~k» Ö¨ÇÀâyy Ȫ±Ö¨Çª (iii) ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âª.(iv) ÖâpâJÀâyyÈy Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×dÈy.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

361

AȨnªßâªÚ : (iii) ÀâyîÎâyy (iv)Èy (i) ÀâyîÎâyy (ii)È Ák¶°dÈy. Àds¾ ¾pâÃéĪßâgâÈÀd?

aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy×ây ZѪ¬ Æ|âªgd æévd ¾pâ]nªßâÀâßây+.(a)A¿x×âQ ÅâymÀâyyÈy ¿xÀâÃé×âªgdgâÈ ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª.(b) Z~k»Ö¨ÇÀâyy 90° gdgâÈ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª.AȨnªßâªÚ ! aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy aÖâ ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦y ֳȰâÈy ¿xÀâÃé×â

Àây×ây Ö¨ªÚ. Àds ÀrôµdÈéXÈy ¿xÀâÃé×âÀâyñ°dÎâÃé?I{dÝképâÇ - 12 : aÖâ ¹åÈÀâyy 20 Æyd. ÅâymÀâyy gâÈ ßâ°âypâZÉdÖdpâÀâyyȨ Iª¬.

{d¾ ßâyê¦y 2 Æyd. Àr{âÈyRgâÈ aÖâ ±dê Iª¬. A ±dê ÎryyÖâý ±Îâys ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â: ÀâÃépâ$Àâyy ÀrvâÈyR 2 Æyd. ±Îâys ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó = 20 + 2 + 2 = 24 Æyd

´ª{âyÀâÈ×â ßâyê¦y ֳȰâ = 4 × 24 = 96 Æyd.I{dÝképâÇ - 13 : aÖâ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¹åÈÀâyy ÀrôµdÈXª 196 Æyd2 {d¾ ßâyê¦y 3

Àâpây¿xÈy ÖâªßrÀáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â »¥gâ ¹åvâÀâóÖâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â: aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó 'S' ÎâyÃé¾ê[y ´×âyÖ¨ªÚ {d¾

ÀrôµdÈXÀâyy S2 ßâ.ÎâyÃé.S2 = 196Æyd.2 ´¾ EÀâ] ±Ú×⬠Öd±êð S = 14 Æyd.ßâyê¦y ֳȰâ = 4 × S = 4 × 14 = 56 Æyd.{d¾ ßâyê¦y 3 Édpâ[y ÖâªßrÀáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â »¥gâ ¹åvâÀâó = 56 × 3 = 168 Æyd.

~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª : ¿xÀâyÅâymßâ°âypâyVmÀâyyȨ aÖââ ÖâpâJÀâyy ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVÀâyy×ây prªvây ¿xpâ]¿xÀây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈygd ÆÅâÊ¿kKyª{â¾ Æydæ °rÈy¿xy. ¹d{dÈ Ö³È°â ¿xÀâÃé×⪠gdgâÈ prªvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Àds¾ ¹d{dÈ Àrª±Ú ́ ªs¿öK aÖâ ßâ°âypâyVmª Àâ¿kKyª¬. o Æ|âªgd OpâRÚ×â aÖâ Z~k°áXÖâ Àryô×â ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

362

prªvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây ÉdÀâÃé×âX ¹d{âÀâyy Àrª±Ú Öâ¶Ä°á OpâRvây ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª ´ªêépây. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ AB = AD, BC = CDÀâyîÎâyy BDIÀâyWÚ¹d{âª. ABC ÀâyîÎâyy ADCZ»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×âªgdIªvd¶ Öd¾ ABD ÀâyîÎâyy CBD Z»ÅâyméÈy ¿xpâ]¿xÀâÃé×⪠Öd×âÀâ¿xpâªÈá{â×ᬠÀâyyfXªgd gâÀây¾ªßâÀâÈû×â ÆÍkÎâyª. ABC ÀâyîÎâyy ADC È ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ª°¨ ¹dêy ABD

ÀâyîÎâyy CBD Èy æévâ ¿xpâ]¿xÀâÃé×âÀryô°á ABCD ßâ°âypâyVmª ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVm Àâyñ°âyª{â¾ gâÀây¾ªßdÀd? ~k°âªgâßâ°âypâyVm |âpdWÈy :

¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÀâÈr~k°âªgâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ æévâ Ö³¾Q |âpdWÈy×dQÌy.1) Àâyyª{ây EÀâ] ±Ú×â nZ°âªÈ¨ prªvây m°âÈ ¿xÀâÃé×â ÅâyméÈy×dQÌy. AB = AD

ÀâyîÎâyy CB = CD .2)ÖâpâJÀâyyÈȨ aÖâs Àâyp³Öâ{d¾¾ Ȫ± ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬. ~õônZ°âªÈ¨AC ÖâpâJÀâyy

BD ÖâpâJÀâyy×ây Ȫ±¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬.3) ÖâpâJÀâyyÈȨ aÖâs ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬ AC ÖâpâJÀâyy ∠AÀâyîÎâyy

∠C ú¥pâ_Ö¨ÇÀâyyÈ×ây ¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿kKyª¬.

I{dÝképâÇ - 14: nZ°âÀâyyȨ PQRS aÖâ ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª PQ = 3 ¿õª.Æyd, ÀâyîÎâyy QR = 6 ¿õª.Æyd. PQRS ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ?

S

Q

P RO

PQ = PS = 3 ¿õª.Æyd, QR = SR = 6 ¿õª.Æyd Öd±s¦ ßâyê¦yֳȰâPQ + QR + RS + PS = 3 + 6 + 6 + 3 = 18 ¿õª.Æyd

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

363

´ÅdX¿xª 3.5.41, ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈy 2:1 ¾ÍkR»K Ȩ I×dQÌy. ßâyê¦yֳȰâ

30 ¿õª.Æyd ´¾Q ÅâymÀâyyÈ Ö³È°âÈy Öâ×âyg³×âªÚ.2, Z~kÖâý ×ây×âQ ABCD¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª Ȩ

∠OCD = 300 ∠BOC ¾ Öâ×âyg³×âªÚ BOC O pâÖ⪠Z»Åâymª?

3, ´¾Q ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÈy ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVméÈÀâó°dÌy Öd¾ ´¾Q ¿xÀ âÃ骰âp â ß â° â yp â yVméÈy ¬¥p â & ßâ°âypâZÉdÈy ÖdÀâó. o ÆÀâpâÇ×ây ßâî+ªßâªÚ.

4, ¬¥pâ& ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÖâpâJÀâyyÈy ¿xÀâÃé×â Àây¾ °âpâý ±{âPªgd ¾pâÃéĪßâªÚ.5, aÖâ ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ~kó ¹dpâyý ÅâymÀâyyÈy 4:3 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. {d¾

ÀrôµdÈXÀâyy 1728 m2. ´Ìy×â {d¾ ßâyê¦y Öâªßr ÀáÎâyyêæ pây. 2.50/Æyd.Z~kÖdpâÀâyy Uª°â fpâ+gây×ây?

6, aÖâ ¬¥pâ & ßâ°âypâZÉdÖdpâ ~õpâê¨[ [ ¿xÀây¬]±dÝkéyȪ±Ö¨Ç Z»ÅâyméÖdpâ ÀâyyȨ¿xpâ] ¿xÀâyªgd I×âQ prªvây ~kòÈ ÀâyvâyÈy I×dQÌy. Æyж×â ÅdgâÀâyy 15 Æyd ÀâyîÎâyy 25 Æyd ¿ xÀ â à 骰 âp â Å â ymÀ â y yÈy g âÈ ¿xÀâyȪ±ßâ°âypâyVméÖdpâÀâyyȨ I×âQ¬. ~õpâvây ÎryyÖâý Uª°âÅdgâÀâyy ~kòÈ°¨ AZÖâÆyªßâ±Ú×â¬?

7. ABCD ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠C = 700. A ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Æyж×â Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

8. PQRS ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠SQR = 400 ÀâyîÎâyy PQ = 3 ¿õª.Æyd. ∠SPQ , ∠QSR ÀâyîÎâyy ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

364

9. PQRS ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyyȨ PQ = 3x – 7 ÀâyîÎâyy QR = x + 3 ́ Ìy×â PS×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

10. ABCD ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠ABC = 1240 ´×âyÖ¨ªÚ. ∠A, ∠D, ÀâyîÎâyy ∠C È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

11. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmÀâyy aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyÀâó °âyª¬. ßâî+ªßâªÚ.12. ABCD ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ABD Z»Åâym ÀrôµdÈXÀâyy 36 ¿õª.Æyd2 ´Ìy×â (i) BCD Z»Åâym ÀrôµdÈXÀâyy (ii) ABCD ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.13. ABCD ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy 5 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy Àâyp³Öâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy

PQRS ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ 40 ¿õª. Æyd. ABCD ßâyê¦yֳȰâæ, PQRS ßâyê¦yֳȰâæ gâÈ ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ. ABCD ÀrôµdÈéX¾Ñ, PQRSÀrôµdÈéX¾Ñ gâÈ ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ.

14. aÖââ ßâ°âypâZÉdÖdpâ ¹åÈÀâyy ÅâymÀâyy ֳȰâ 20 Æyd. {d¾ ßâyê¦y ×dÈygâyÉdpâ[y Öâªßr ÀáÎâyyêæ ÖdÀâÈû×â »¥gâ ¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âªÚ?

15. ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÀâyîÎâyy ¿xÀâyÅâymßâ°âypâyVmÀâyyÈ Àây|âX Åá{âÀâyyÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyªÚ?16. ×dÈygây ¿xpâ]¿xÀây ¬¥pâ&â ßâ°âypâZÉdÈ×ây nZ°âÀâyyȨ

ßâÃéÄ×â Æ|âªgd ́ Àâypd+pây. ±Îâys ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyy Ȩ~k¶ ßâ°âypâZ¿x ÀrôµdÈXÀâyy×âæ 4 prê[y Iª¬. ¿xpâ]¿xÀây ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÈ ¹åvâÀâó ÀâyîÎâyy Àr{âÈyRÈ ¾ÍkR»K Öâ×âyg³×âªÚ.

ßâ°âypâyVméÈ Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. ZѪ¬ Àds¾ ~kòîªßâªÚ. (a) aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ÅâyméÈy IªêéÌy.(b) aÖâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ÖâpJdÈy IªêéÌy.(c) aÖâ m°â ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd gâÈ ßâ°âypâyVmÀâyy×ây ´ªêépây.(d) ¿xÀây¬]±dÝkéy ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmªÈ¨, ¹d{â Ö¨ÇéÈy .

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

365

(e) ÀâZméÖ⽻Ȩ ÖâpJdÈy ¿xÀây¬] fªvâ×dÈy.(f) ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ ´¾Q ÅâyméÈy .

2. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmé¾Ñ ZѪ¬ ¿xª{âpdVÈȨ O ~öpây EÉKdÀâó?(a) AB = BC ´Ìy×â(b) ∠BAD = 900 ´Ìy×â(c) AB = AD ÀâyîÎâyy ∠BAD = 900 ´Ìy×â

3. aÖâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ÀâyÃévây ´ÈRÖ¨ÇéÈy aÖ³ýÖâýs 700 I×dQÌy. ×dÈ$Àâ Ö¨ÇÀâyy ֳȰâ Uª°â?

4. aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý prªvây ¹dpâ^] Ö¨ÇÀâyyÈ Àây|âX Åá|âÀâyy 200 ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ´¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

5. aÖâ ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý Ö¨ÇéÈy 1 : 2 : 3 : 4 ¾ÍkR»KȨ I×dQÌy. ßâ°âypâyVmÀâyy ÎryyÖâý ´¾Q Ö¨ÇéÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

6. PQ = 6 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy QR = 6 ¿õª.Æyd. gâÈ PQRS ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ Æyж×â prªvây ÅâyméÈ Ö³È°âÈy ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

7. aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý ßâyê¦yֳȰâ 60 ¿õª.Æyd {d¾ ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âªÚ.

8. ABCD ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ AC = BD = 10 ¿õª.Æyd. AC ÀâyîÎâyy BD Èy 'O' Àâ{âM fªÚªn×â OC ÀâyîÎâyy OD È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

9. PR = 15 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy QS = 8 ¿õª.Æyd. gâÈ PQRS ÀâZméÖâ½» ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ.

10. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ ∠A ÀâyîÎâyy ∠B È ¿xÀây¬] fªvâ×â páfÈy P Àâ{âM fªÚªn×â ∠APB = 900 ´¾ ßâÃé~kªÚ.

11. ABCD ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA È Æyd{â ZÖâÀâyªgd P, Q, R ÀâyîÎâyy S ²ª{âyÀâóÈ×ây AP = BQ = CR = DS ´gây×âê[y gâyîKªn PQRS aÖâ ßâ°âypâZ¿xÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

366

12. ABCD ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xªÈ¨ P, Q, R ÀâyîÎâyy S Èy ZÖâÀâyªgd AB, BC, CD ÀâyîÎâyy DA È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈrô×â PQRS aÖâ ÀâZméÖâ½» ´Àâó°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

13. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ ÖâpâJÀâyyÈy 'O' Àâ{âM Ȫ±ªgd fªÚªn×â AB+BC+CD+DA > AC+BD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

14. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AC ÀâyîÎâyy BD ÖâpâJÀâyyÈrô×â ZѪ¬ ÀdÖdXÈ×ây ¾pâÃéĪßâªÚ. (a) AB+BC+CD > AD

(b) AB+BC+CD+DA > 2 AC

(c) AB+BC+CD+DA > 2 BD

(d) AB+BC+CD+DA > AC+BD

(¬¥¾¾ ZѪ{âs ¿xÀây¿kX°¨ ¹èÈ+ªÚ).15. PQRS ~k°âªgâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ PQ > PS ´Ìy×â ∠PQR > ∠PSR ´¾

¾pâÃéĪßâªÚ. (¿xÃéßâ×â : QS ¾ ÖâÈ~kªÚ)16. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB ´» n×âQ ÅâymÀâyy ÀâyîÎâyy CD ´» ~õ{âM ÅâymÀâyy

´Ìy×â ∠A > ∠C ÀâyîÎâyy ∠B > ∠D ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.17. ABC Z»ÅâymªÈ¨ D ´×ây×⬠BC ÎryyÖâý Àây|âX ²ª{âyÀrô×â AB+AC > 2AD ´¾

¾pâÃéĪßâªÚ. (EÖâývâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý O |âpâWª ´Àâ¿xpâÀâyy?)18. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ P, Q, R ÀâyîÎâyy S Èy ZÖâÀâyªgd AB, BC, CD ÀâyîÎâyy

DA È Àây|âX ²ª{âyÀâóÈrô×â PQRS aÖâ ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. (¬¥¾¾ ¾pâÃéĪßâêé¾Ñ ´{â×âªgd O ~k¶°âª ´Àâ¿xpâª?)

Ö¡ÈÖâ ~k{dÈy.ßâ°âypâyVmª: aÖâ ¿xÀây°âȪȨ A¿x×âQ páfd fªvdÈy ZÖâÀây ~k{â P»È¨

´Àâypâ+±Ú×â ×dÈygây páfd fªvâÀâyyÈ×ây Öâ¶ÐÎâyy×âQ páØ¥Îây nZ°âª.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

367

æªÅdÖdpâ ßâ°âypâyVmª: aÖ³ýÖâý ́ ª°âpâ֨Ǫ 1800 Öâªêá °âæýÀâ gâÈ ßâ°âypâyVmª.~kóêéÖdpâ ßâ°âypâyVmª - O{rô×d aÖâ ֨Ǫ 1800 Öâªêá UæýÀâ I×âQ ßâ°âypâyVmª.ÖâpâJª - aÖâ ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý U{âys ú¥pâ_ÀâyyÈ×ây ÖâÈyÀâó páfd fªvâª. ¿xÀâyȪ± ßâ°âypâyVmª - aÖâ m°â ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd I×âQ ßâ°âypâyVmª.¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmª - prªvây m°âÈ ÅâyméÈy ¿xÀâÃ骰âpâªgd I×âQ ßâ°âypâyVmª.¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª - ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ ßâ°âypâyVmª.

ßâ°âypâZ¿xª - ´¾Q ÅâyméÈy ¿xÀâÃé×⪠ÀâyîÎâyy Z~k» ֨Ǫ 900 gâÈ ßâ°âypâyVmª.

¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª - ´¾Q Ö¨ÇéÈy 900 Ñ ¿xÀâÃé×âªgd gâÈ ßâ°âypâyVmª.~k°âªgâ ßâ°âypâyVmª - prªvây ¿xÀây¬]±dÝkéy Z»ÅâyméÈ×ây Àds IÀâyWÚ¹d{âª

Àrª±Ú ´ªsªßâgd OpâRÚ×â ßâ°âypâyVmª.gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy :

• ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ×dÈygây Ö¨ÇéÈ Àryy°âKª 360°.• Z»ÅâymdÈÀâÈr ÖdÖâ ßâ°âypâyVméÈȨ ¿xÀây֨ǰâ]ª, ¿xÀây±dÝkéy°d]¾Q OpâRpâßâ{ây.• ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÀâyîÎâyy ~k°âªgâ ßâ°âypâyVméÈȨ ÖâpâJÀâyyÈy Ȫ±¿xÀây¬]

fªvâ×dÈy.• ÖâpâJÀâyyÈy ~kpâ¿kRp⪠¿xÀây¬]fªvâ×â ßá¿xyÖ³×ây O{rô×d ßâ°âypâyVmÀâyy ¿xÀâÃ骰âpâ

ßâ°âypâyVm Àâyñ°âyª¬. Ȩ¾ ´ÅdXÉdÈæ mÀd±yÈy

´ÅdX¿xª 3.1.3

3. i) 300 ii) 180 iii) 1350 iv) 900 v) 300 vi) 650

´ÅdX¿xª 3.1.41. ∠DML = 450, ∠BLQ = 450, ∠MLB = 1350, ∠CMP = 450,

∠CML = 1350, ∠MLA = 450, ∠QLA = 1350, 2. 40°

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

368

¿k]Îâyª û{PdÈy, û©]Öâ½°â û{Pdª°dÈy ÀâyîÎâyy û{Pdª°dÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.

1. i) A ii) D iii) B iv) B v) D, 3) 3

8. 400, 9. i) 1900 ii) 220 301 10. 1440

´ÅdX¿xª 3.2.11. i)→(A); ii)→(D); iii)→(A); iv)→(B)

2. i) ÆÍkÀây ±dÝkéy ii) ÆÍkÀây ±dÝkéy iii) ÆÍkÀây ±dÝkéy iv) ¿xÀây¬]±dÝkéy v) ÆÍkÀây ±dÝkéy vi) ÆÍkÀây ±dÝkéy vii) ÆÍkÀây ±dÝkéy viii) ¿xÀây±dÝkéy ix) ¿xÀây¬]±dÝkéy x) ¿xÀây¬]±dÝkéy.

´ÅdX¿xª 3.2.21) 850 (2) 550 3) 650 ¥Z~k»¬¥ 4) 300, 600 ÀâyîÎâyy 900

5) ∠A = 650 ∠x = 500, ∠B = 350, ∠C = 800,

6) 500, 600 ÀâyîÎâyy 700.´ÅdX¿xª 3.2.3

1. ±dÝkéX ∠B = 1360 ÀâyîÎâyy ±dÝkéX ∠C = 1040 ´Ìy×â ∠A = 600 , ∠B = 440, ÀâyîÎâyy∠C = 760 .

3. (i) 1300 (ii) 560 (iii) 350 (iv) 520 (v) 400.

4. ∠TRS = 500, ∠PSQ = 800.5. Àâyp³Öâ ´ª°âpd«Àâyyf ֨Ǫ 900 ÀâyîÎâyy ÀâyÃévâÀâ ֨Ǫ 600.6. 1800.

Z»ÅâyméÈ Æ¥y{â û{Pdª°dÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.1. a) 1800 b) Ȩ~kÈ c) ~õ{âM d) aÖâs e) aÖâs2. a) A b) B c) A d) C e) D, 3. 1100,

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

369

4. Z~k»¬ 350, 5. 360, 540, 900

6. 450, 600, 750, 7. 900

8. ∠C = 300, ∠B = 600, ∠A = 900 9. x = 900, 10. ∠800, ∠B = 650, ∠C = 350 11. 300,500,1000

12. 1100 13. 450,450,900 14. 360,780,720

15. 1100 16. 300,300,1200

´ÅdX¿xª 3.3.31. ∠B = ∠C = 650 2. 580 3. i) 1100 ii) 550 iii) 200 iv) 400 4. ∠ACD = 1200, ∠ADC = 300

´ÅdX¿xª 3.3.71. BC ´» ~õ{âM¬ ÀâyîÎâyy CA ´» n×âQ¬.2. ∠C < ∠A < ∠B

Z»ÅâyméÈ ¿xpâ]¿xÀâÃé×â°â]ª Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy

I a) ´» ~õ{âM b) °âæýÀâ c) UæýÀâ d) n×âQ e) °âæýÀâ f) ~õ{âM 8) 300;300;1200

´ÅdX¿xª 3.5.11. aÖ³ýÖâýs 800 2. 550 3. 540, 810 ÀâyîÎâyy 1080 4. 500

´ÅdX¿xª 3.5.21. ∠S = 1100ÀâyîÎâyy ∠R = 1000 .3. ∠RPQ = 300 ÀâyîÎâyy ∠RSQ = 400

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

370

´ÅdX¿xª 3.5.31. 120°, 60°, 120°, 60° 2. 150 Æyd. ÀâyîÎâyy 75 Æyd.3. ∠ABO = 350,∠ADC = 1050, ∠ACB = 400 ÀâyîÎâyy ∠CBD = 700 .4. ∠A = ∠C = 750, ∠B = ∠D = 1050 .6. 60°, 120°, 60°, 120°

´ÅdX¿xª 3.5.41. 10 ¿õª.Æyd, 5 ¿õª.Æyd, 10 ¿õª.Æyd, 5 ¿õª.Æyd, 2. ∠BOC = 60° ∆ BOC ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª 5. pây 420 6.

51

7. 110°, 70° ,1100

8. ∠SPQ = 100°, ∠QSR = 400 ÀâyîÎâyy ßâyê¦yֳȰâ = 12 ¿õª.Æyd,9. 8 (10) 56°, 124°, 56°

12. (i) 36 ¿õª.Æyd2 (ii) 72 ¿õª.Æyd2 13. (i) 1:2, (ii) 1:4 14. 320 Æyd. 16. 3 : 1.

ßâ°âypâyVméÈ Æ¥y{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.1. a) ×dÈygây b) prªvây c) ZêrÄ¥ÊÎâyª d) ¿xÀâÃé×⪠e) Ȫ± f) ¿xÀâÃé×âª2. a) ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª b) ¬¥pâ&ßâ°âypâZ¿xª c) ßâ°âypâZ¿xª3. 1500

4. 800, 1000, 800, 1000

5. 360, 720, 1080, 1440

6. RS = 10 ¿õª.Æyd., SP = 6 ¿õª.Æyd. ßâyê¦y ֳȰâ 32 ¿õª.Æyd.7. 15 ¿õª.Æyd. 8. OC = OD = 5 ¿õª.Æyd.9. 120 ¿õª.Æyd2.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

371

´|dXÎâyª - 4 , Ådg⪠- 1

ãáZ°âg⧰âª

o ÅdgâÀâyy×ây ßâ¬Æ×â °âpd]°â Æydpây o ZѪ¬Æ °rÈy¿xyÖ³¾ Iªvd¶:• Àây×â ¾°âX ÊËÆ°âªÈ¨ I~kÎrÃéЪßá Áky×âÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&Áky×dÖdpâ Àâ¿kKyÀâóÈ×ây gâyîKªßâêª. • Áky×âÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&Áky×âÀâyyÈ |âpâWÀâyyÈ×ây ~kꡦ ßáÎâyêª.• EÀâ] ±Ú×â ¿xÀây¿kXÈæ ¿xÃéZ°âÀâyyÈ×ây ´×â]Ìyªßâêª.• En+×â ¿xÃéZ°âÀâyyȨ {â°KdªµâÀâyy×ây Z~k»ãáĪn ¿xÀây¿kXÈ×ây Édºªßâêª.

4.1.1~kîßâÎâyª :

Àây×âÀâyy aÖâ fdù¥~õêr¦, fdù¥Ð×rQ, fdù¥vâ±dTÈ×ây ßâÃén×â~kóvây ÀdsȨ Ö³ª°â ¿kLÈÀâyy Iªêyª¬ ÀâyîÎâyy A fdù¥ ¿kLÈÀâyyȨ Àâ¿kKyÀâóÈ×ây ~õê¦y Ö¨Àâßây+. Æ{dXpâLyÈy æép¨+êé¾Ñ °âpâgâ» gâ¬È¨ ¿kLȪ Iªêyª¬.

aÖâ Áky×â Àâ¿kKyÀâó Ö³ª°â ¿kLÈÀâyy×ây AZÖâÆy¿kKyª¬. Áky×âÀâ¿kKyÀâóÈy ÆÆ|â AÖdpdÈȨ IªêéÌy. ZѪ¬ nZ°dÈ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ. o AÖdpdÈ×ây (¬¥pâ&Áky×âª, Áky×âª, ¿kÃLé~kª, g¨Ôâª, µâªfª, Z»Åâym¹d{â~kê¦Ö⪠Àryy{âÈgây×âÆ) Z»~kîÀâÃéÇé°âWÖâ Àâ¿kKyÀâóÈy ´ªêépây.

¬¥pâ&Áky×⪠Áky×⪠¿kÃLé~kª

µâªfª Z»Åâym¹d{â ~kê¦Öâª

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

372

Z~k» Áky×âÀâ¿kKyÀâó Ö³ª°â ¿kLÈÀâyy×ây AZÖâÆy¿kKyª{â¾ ¾¥Àâó gâÀây¾ªßdÀd? Z~k» Áky×â Àâ¿kKyÀâó Ñ Ö³ª°â I~kî°âȪ Iªêyª¬. ´ª{âyÀâÈ×â I~kî°âÈ ÀrôµdÈXª Iªêyª¬. Z~k»¬¥Ö³ª°â ¿kLÈé¾Q AZÖâÆy¿kKyª¬ Öd±s¦ Ö³ª°â Áky×â~kîÀâÃéǪ Iªêyª¬. Ö³¾Q ¿xpâÔâ nZ°dÈæ ¿xª±ªºªn×â o ´ªµdÈ×ây Àây×âÀâyy ´|âXÎây×⪠ßá{Mdª. ZѪ¬ nZ°dÈ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ.

Ö³ÎâyX~õõêr¦¦ ´Ð$~õêr¦¦

~kó¿kKÖdÈ ´pⲩpâyÀd

EÆ ¬¥pâ&Áky×dÖdpâªÈ¨ I×dQÌy. 4.1.2 ¬¥pâ&Áky×⪠ÎryyÖâý I~kî°âÈÀrôµdÈXª.

aÖâ ÖdpdXßâpâǪ ßáÎâyyê{d]pd ¬¥pâ&Áky×âÀâyyÈ×ây ´pâLª ßá¿xyæª{dª.ÖdpdXßâpâǪ : 4.1.´ :

¬¥pâ&Áky×dÖdpâªÈ¨ I×âQ aÖâ ´ê¦ ~õêr¦ »¥¿xyÖ³¾ aÖâ ´ªßây Àrª±Ú {d¾¾ Öâ»KîªßâªÚ. ÀâyÃé°âÈy °rîn aÖâ ÖdаâªÆyd{â ~kpân gâyªvây¿xÃé{âyÈ°¨ ²ÐªßâªÚ. (nZ°âÀâyyȨ ßâÃévâªÚ)

aÖââ ¬¥pâ&Áky×d¾Ñ U¾Q ÀâyyfdÈyªêéÌy? ´ªßâyÈ ¿xªfX ÀâyîÎâyy ú¥pâ_ÀâyyÈ ¿xªfX Öâ×ây g³×âªÚ. aÖâ ¬¥pâ& Áky×d¾Ñ 6 ÀâyyfdÈy, 12 ́ ªßâyÈy ÀâyîÎâyy 8 ú¥pd_Èy I×dQÌy. aÖâ ¬¥pâ&ßâ°âypâZÉd¾Ñ ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâ ÀâyyfdÈy×dQÎây¾ gâÀây¾ªßdÀd?

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

373

¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý OÀâyyfÀâyy×rô×d ¹d{âÀâyy ´×âÀâßây+.( ÖdpâÇÀâyy ßr~kR gâÈÀd? ) ¹d{âÀâyy×ây Öâ¶~ö ×dÈygây ÀâyyfdÈ×ây ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¹dpâ^]ÀâyyfdÈy ´ªêépây.

~õô×â EÀâ]±Ú×â nZ°âªÈ¨ ¬¥pâ&Áky×d¾Ñ 6 ÀâyyfdÈy I×dQÌy. ´Æ ABCD, EFGH, EFBA, HGCD, EHDA ÀâyîÎâyy FGCB. ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý O prªvây A¿x×âQ ÀâyyfdÈrô×d aÖâ páfdfªvâÀâyyȨ ÖâÈy¿xy æªêéÌy. {d¾×á ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ´ªßây ´ªêépây {d¾ 12 ´ªßâyÈy AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, EH, AE, DH, GC ÀâyîÎâyy BF Èy. ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÀâyÃévây ´ªßâyÈ fªvâ×â ²ª{âyÀâó×ây ú¥pâ_Àâyy ´ªêépây. A, B, C, D, E, F, G ÀâyîÎâyy H Èy U¾Æy¬ ú¥pd_Èy.ÖdpdXßâpâǪ: 4.1.A

O{rô×d ¬¥pâ&Áky×dÖdpâ ~õêr¦×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. aÖâ¹d{âÀâyy×ây ûLpâ~kpâßâªÚ.(O ÀâyyfÀâyy×rô×d ¹d{âÀâyygd »¥¿xy Ö¨Àâßâ+¾ gâÀây¾ªßâªÚ). {d¾¾ Ȫ±ªgd Iªn {d¾ I~kî°âȪ ßâyê¦y aÖâ ÖdаâÀâyy×ây ßâyꦪÚ. ÖdаâÀâyy×ây °³ÈЪn ÖdаâÀâyy ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ. ´¬ ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~kÖâý °âÈ ÀrôµdÈXª. ÆÆ|â ¬¥pâ& Áky×dÈ°¨ ¬¥¾¾ ÀâypâÈ ÀâypâÈ ßáÎâyªÚ.

aÖâ ¬¥pâ&Áky×dÖdpâ~kó ́ ê¦ ~õêr¦×ây Öâ»Kîªn °rîn aÖâ ÖdаâªÆyd{â ¿xÀây°âȪgd ~kpâßâªÚ. ¹d{⪠ÎryyÖâý ¹åvâÀâó l; Àr{âÈyR b; o ¹d{d¾ Öâ×âypâÃé~kªgd U°âKy h Z~kÀâÃéÇÀâyyÈy ´×âyÖ¨ªÚ. 2(lh + bh) ×ây ÈrÑýªn, ¾¥Àâó Öâ×âyg³×âQ Z~kÖâý°âÈ À r ô µ dÈ XÀ â y y° ¨ ¹èÈ +ªÚ. ´Æ p r ªv â y ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°dÎâÃé?

2(lb + bh + hl) ÆÈyÀâ Uª°â?¹d{âÀâyy×ây ÀâÃéî¿öK l, b, h Z~kÀâÃéÇÀâyyÈy ÀâÃépâÀ⾠ƥypây gâÀây¾ÉKdpây; ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR

ÀâyîÎâyy U°âKyÈ gâyîKª~kó ÀâÃéZ°âª ÀâÃépâÀâßây+.¬¥pâ&Áky×âªÈ¨ 6 ÀâyyfdÈy×dQÌy. ´¾Q ÀâyyfdÈy ¬¥pâ& ßâ°âypâZÉdÖdpâªÈ¨ IªêéÌy.

Apây I~kî°âÈÀâyyÈ ÀrôµdÈXÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy×ây ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª ´ªêépây. ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈÀrôµdÈXª ÀâyîÎâyy Z~kÖâý°âÈ ÀrôµdÈéXÈæ ¿xÃéZ°dÈy Öâ×âyg³ª{dª. ¬¥pâ&Áky×⪠ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª = I ÀrôµdÈXª + II ÀrôµdÈXª + III ÀrôµdÈXª + IV ÀrôµdÈXª + V ÀrôµdÈXª + VI ÀrôµdÈXª(nZ°âª ßâÃévââªÚ) ´ª{âyÀâÈ×â A = (l × h) + (l × b) + (b × h) + (l × h) + (b × h) + (l × b)ßâ. Z~kÀâÃéÇéÈy; Öd±s¦

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

374

A = 2lh + 2lb + 2bh = 2(lh + lb + bh) ßâ Z~kÀâÃéÇéÈy; Z~kÖâý°âÈ ÀrôµdÈXª= I ÀrôµdÈXª + II ÀrôµdÈXª + III ÀrôµdÈXª + IV ÀrôµdÈXª, ´ª{âyÀâÈ×â

Z~k. °â. Àrô = (l × h) + (b × h) + (l × h) + (b × h) = 2h(l + b) ßâ. Z~kÀâÃéÇéÈy ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~kÖâý°âÈ ÀrôµdÈXª ¾¥Àâó U×âyQ Ö³×á ¹d{⪠Æyd{â A|dpâ~kvây°âyª{â¾ ¾¥Àâó gâÀây¾ªßâÀâßây+. ¹d{âÀâyy×ây ÀâÃéî¿öK Z~kÖâý°âÈ ÀrôµdÈXª ÀâÃépây°âyª¬. O¬ OÀryô×d ¬¥pâ&Áky×⪠ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª ´Èégá Iªêyª¬.

Áky×âª

¹åvâÀâó, ÀrvââÈyR ÀâyîÎâyy U°âKyÈy ¿xÀâÃé×âªgdgâÈ ¬¥pâ& Áky×âÀâyy×ây Áky×âÀâyy ´ªêépây. ÀâyªßâyÁky×dÈy (ice cubes), ßâÖrýpâ Áky×dÈy (sugar cubes), ¹dnÖâÈy Áky×dÈæ Ö³¾Q I{dÝképâÇÈy.ÖdpdXßâpâǪ : 4.1.E

aÖâ ́ ê¦ ÀâyyÖâý°¨ 4 ¿õª.Æ¥y ÅâymÀâyygâÈ Áky×âÀâyy×ây ¾îWªßâªÚ. OÀrô×d prªvây ́ «Àâyyf °âÈéÈæ Upây~kó pâªgây¾ ÀâyîÎâyy Æyж×â °âÈéÈæ Aæ~kßâ+ pâªgây×ây ÀáÎâyªÚ . o Áky×âÀâyy×ây Upây~kó °âÈéÈȨ aÖâs ¹d{âÀâyy ´gây×âê[y aÖâ ±È[ Æyd{â IªßâªÚ. Upây~kó ÀâyyfdÈ ßâyê¦y I×âQ Aæ~kßâ+ ÀâyyfdÈ ¿xªfX×ây gâyîKªßâªÚ.

Aæ~kßâ+ ÀâyyfdÈ×ây Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¹dpâ̂ ]ÀâyyfdÈy ́ ªêépây. ¹dpâ̂ ]ÀâyyfdÈ ÀrôµdÈXª Uª°â? o Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~k. °â. Àrô 4 × 16 = 64 ¿õª.Æyd2.

´¾ gâÀây¾ªßdpd; o Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª. °â. Àrô 6 × 16 = 96 ¿õª.Æyd2´Àâó°âyª¬.Z~kÖâýnZ°âÀâyy Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy 'l' Z~kÀâÃéÇÀâyyÈy ´¾ gâÀây¾ªßâªÚ. {d¾Ñ Apây ßâ{âpâ~kó ÀâyyfdÈy×dQÌy. Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~k»ÀâyyfÀâyy ÀrôµdÈXª l2 Z~kÀâÃéÇÀâyyÈy. ´ª{âyÀâÈ×â 6 ÀâyyfÀâyyÈ ÀrôµdÈXª 6l2 Z~kÀâÃéÇÀâyyÈy Iªêyª¬. 4 Z~kÖâý °âÈÀâyyÈ ÀrôµdÈXª 4l2 Z~kÀâÃéÇÀâyyÈy Iªêyª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

375

AȨnªßâªÚ ! Áky×dÖdpâªÈ¨ I×âQgâ¬È¨ ×áÈ×âyªÚ {d¾ Öâ~kóR ÎryyÖâý ´«Àâyyf ÀâyÃéÈÑ ÀáÎây±vâG ¾ßr+×â gâîÍk¦ ¹åvâÀâó Uª°â Iªêyª¬?

I{dÝképâÇ - 1 : ¹åvâÀâó 8 Æyd, ÀrvâÈyR 6 Æyd, ÀâyîÎâyy U°âKy 3.5 Æyd. gâÈ ¬¥pâ& Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~kÖâý °âÈÀrôµdÈXª ÀâyîÎâyy ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ..

Éd|â×â : l = 8 Æyd, b = 6 Æyd, h = 3.5 Æyd.´¾ EÀâ]±Ú×â Z~k. °â. Àrô = 2h(l + b) ´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. = 2 × 3.5(8 + 6) = 7(14) = 98 Æyd2´{á Æ|âªgd ¿xª. °â. Àrô = 2(lb + bh + hl) = 2(8 × 6 + 6 × 3.5 + 8 × 3.5) = 2(48 + 21 + 28) = 2×97 = 194 Æyd2.I{dÝképâÇ - 2 : 15 Æyd. × 12 Æyd. ֳȰâÈy gâÈ aÖâ ÝkëÈy ÎryyÖâý ×áÈÆyd{â

~kpâßâyêæ 30 ¿õª.Æyd. × 20 ¿õª.Æyd. ֳȰâÈy gâÈ ±ªvââÈy (tiles) U¾Q ÖdÀd¶?Éd|â×â : ±ªvâÈy ¿õª.Æyd Ȩ IªvâyêÀâÈ×â ÝkëÈy ÎryyÖâý ֳȰâÈ×ây Àâyyª{âygd

¿õª.Æyd È鬄 ÀâÃépây+Ö¨Àd¶. ´¬ 1500 ¿õª.Æyd × 1200 ¿õª.Æyd. ´Àâó°âyª¬.´~kóvây ×áÈ ÀrôµdÈXª 1500 × 1200 = 1800000 ¿õª.Æ¥y2.aÖ³ýÖâý ±ªvâ ÀrôµdÈXª = 30 × 20 = 600 ¿õª.Æ¥y2.Öd±s¦ ×áÈ×ây ~kpâßâyêæ ÖdÀâÈû×â ±ªvâÈ ¿xªfX =

6001800000 3000=

I{dÝképâÇ - 3 : ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª 294 ¿õª.Æyd2 gâÈ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âªÚ.Éd|â×â : Áky×⪠ÎryyÖâý ¿xª.°â.Àrô 294 ¿õª.Æyd2 gd EÀâ] ±Ú×⬠{d¾

¹åvâÀâó l Öâ×âyÖ¨ýÀd¶ Áky×⪠ÎryyÖâý ¿xª.°â.Àrô 6l2 ´Àâó°âyª¬. ´ª{âyÀâÈ×â 6l2 = 294ÈáÖâ 49l

62942

= = Öd±s¦ l = 7 ¿õª.Æyd.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

376

I{dÝképâÇ - 4 : aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª 600 ¿õª.Æyd2 ¬¥¾ ÎryyÖâý Z~kÖâý °âÈÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : Áky×⪠ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª 600 ¿õª.Æyd2 gd EÀâ] ±Ú×â¬. Àây×âÀâyy {d¾ ÎryyÖâý Z~k.°â.Àrô Öâ×âyÖ¨ýÀd¶. Öd¾ ¿xª.°â.Àrô. = 6l2 ( l ́ ×á¬Áky×⪠ÎryyÖâý Åâymª ¹åvâÀâó) ´¾ Àây×âÑ °rÈy¿xy ´ª{âyÀâÈ×â 600 = 6l2 ÈáÖâ l2 = 100 Z~kÀâÃéÇéÈy Àâpâ$ ÀâyÃéÈÀâyy »¥¿xyÖ³ªêá l = 10 ¿õª.Æyd Öd¾ Z~k. °â. Àrô = 4l2 ´¾ æévâ Àây×âÑ °rÈy¿xy. Öd±s¦ Z~k. °â. Àrô. = 4 × 10 × 10 = 400 ¿õª.Æyd2.

I{âdÝképâÇ - 5 : 2 Æyd.ÅâymÀâyy ¹åvâÀâógâÈ Áky×âÀâyy×ây °âÎâÃépây ßáÎâyêé¾Ñ ÖdÀâÈû×â ȨÝké~kópáæ ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ. o Áky×âÀâyy °âÎâÃépâyßáÎâyêé¾Ñ pâÃé. 8/Æyd2 ß³~kóR×â ÖdÀâÈû×â ȨÝké~kópáæ |âpâ Öâ×âyg³×âªÚ?

Éd|â×â : l = 2 Æyd.´¾ Àây×âæ °rÈy¿xy. Àây×âÀâyy Áky×⪠ÎryyÖâý ¿xª.°â.Àrô Öâ×âyg³×d¶. {d¾ ¿xª. °â. Àrô 6l 2 = 6 × 2 × 2 = 24 Æyd.2 ´ª{âyÀâÈ×â ÖdÀâÈû×â ȨÝké~kó páæ |âpâ = 24×8 = 192 pâÃé¹dÎâyÈy.

´ÅdX¿xª 4.1.11. l = 4 Æyd, b = 3 Æyd. ÀâyîÎâyy h = 1.5 Æyd. gâÈ ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý

¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ.2. ¹åvâÀâó, 3.5 Æyd, ÀrvâÈyR 2.5 Æyd. ÀâyîÎâyy U°âKy 3 Æyd.gâÈ g⬠ÎryyÖâý

×dÈygâyg¨vâÈ ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.3. aÖâ g⬠ÎryyÖâý ֳȰâÈy l = 8 Æyd, b = 5 Æyd, h = 4 Æyd, {d¾ ×dÈygây

g¨vâÈæ pâªgây ÀáÎâyyêæ `. 40 / Æyd2 ß³~kóR×â Uª°â fpây+´gây×ây?4. aÖâ g⬠¹åvâÀâó 4.8 Æyd, ÀrvâÈyR 3.6 Æyd. ÀâyîÎâyy U°âKy 2 Æyd. {d¾ ×áÈ

ÀâyîÎâyy ×dÈygây g¨vâÈæ ±ªvâÈy (êrôÈÒb) ÀáÎâyyêæ `. 100Æyd2 ß³~kóR×â Uª°â fpâ+gây×ây?

5. aÖâ ÀâyÃéÎây±Ú×â ~õêr¦ ¹åvâÀâó 40 ¿õª.Æyd, ÀrvâÈyR 50 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy Ȩ°ây 60 ¿õª.Æyd. {d¾¾ Öâ~kóRêæ ÖdÀâÈû×â ~kÈyßâ¾ páæ ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ.

6. aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXÀâyy 384 ¿õª.Æyd2 A Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

377

7. aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~k. °â. Àrô 64 ¿õª.Æyd2. A Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ?

8. 4 Æyd ÅâymÀâyy ֳȰâ gâÈ Áky×dÖdpâ~kóg⬠×dÈygây g¨vâÈæ ¿xy×âQÀâyy ÀáÎâyyêæ ` 20/Æyd2 ß³~kóR×â Uª°â fpâ+gây×ây?

9. aÖâ Áky×dÖdpâ~kó ~õêr¦ ´ªßây 10 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy Àâyp³Öâ ¬¥pâ&Áky×dÖdpâ~kó ~õêr¦ ¹åvâÀâó 12.5 ¿õª.Æyd, ÀrvâÈyR 10 ¿õª.Æyd ÀâyîÎâyy U°âKy 8 ¿õª.Æyd ´Ìy×â

(i) O ~õêr¦ ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXÀâyy °âæýÀâ? (ii) Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~k» ´ªßây¾ prs¦ª~kó ßáû×â {d¾ ÎryyÖâý ¿xª.°â.Àrô U¾Q

prê[y ~õpâygây°âyª¬?4.1.3 Áky×âÀâyyÈy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&Áky×âÀâyyÈ Áky×â ~kîÀâÃéǪ.

aÖâ Z»~kîÀâÃéÇé°âWÖâ Àâ¿kKyÀâóßá AÀâîªßâ±Ú×â ¿kLÈÀâyy×á A Àâ¿kKyÀâó ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ ´ªêépây. aÖâ EêyÖâpdÌy ÈáÖâ aÖâ ßr~kóRÈ ~õêr¦¦ ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâªêá aÖâ g⬠ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ UæýÀâ Iªêyª¬. aÖâ Z~k{áµâÀâyy ÈáÖâ I~kî°âÈÀâyy ÎryyÖâý ÀrôµdÈXÀâyy×ây Ö³ÈÀâêé¾Ñ Àây×âÀâyy ßâ{âpâ~kó Z~kÀâÃéÇéÈy I~kÎrÃéÐÉKdÀây¾ gâypâKyª{d. ´{á Æ|âªgd Áky×â Àâ¿kKyÀâóÈy Z»~kîÀâÃéÇé°âWÖâ Àâ¿kKyÀâóÈy Öd±s¦ aÖâ Áky×â Àâ¿kKyÀâó ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy×ây Ö³ÈÀâêé¾Ñ Àây×âÀâyy Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy I~kÎrÃéÐÉKdÀâyy.

~õô×â EÀâ]±Ú×â nZ°dÈy Áky×âÀâyy ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&Áky×âÀâyy. ́ Æ ÀâyÃévây ¬µâÈȨ ¿kLÈÀâyy×ây AZÖâÆyÉKdÌy Öd±s¦ ÀdsÑ Áky×â~kîÀâÃéǪ Iªêyª¬. Àds Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâ×âyg³×âyêȨ Àây×âæ I°dbÝkéªgdIª¬.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

378

ÖdpdXßâpâǪ :4.1.o1 Z~kÀâÃéÇÀâyy ¹åvâÀâó gâÈ ×dÈygây Áky×âÀâyyÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ Àryy{âs ~kêÀâyyȨ ßâÃéÄ×â Æ|âªgd Àds¾ ´Àâypâ+ªÚ. ´{á ~kîÀâÃéÇÀâyygâÈ Àâyp¨×dÈygây Áky×âÀâyyÈ×ây »¥¿xyÖ³¾ °âpâyÀd°â nZ°âÀâyyȨ EÀâ]±Ú×â Æ|âªgd Àâyyª{ây

´Àâyî+×â Áky×âÀâyyÈ Æyd{â ´Àâypâ+ªÚ. ¾¥æ Àâyp³Öâ Áky×âÀâyy Àâ¿kKyª{d? ¾¥Àâó 8 Áky×âÀâyyÈy I~kÎrÃéЪßdÀâó. ´ªêá Ö³°âK Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ 8 Áky×âZ~kÀâÃéÇéÈy EÖâývâ l = b = h = 2 Z~kÀâÃéÇéÈy

o Áky×âÀâyy Áky×â~kîÀâÃéǪ = 2 Z~kÀâÃéÇéÈy × 2 Z~kÀâÃéÇéÈy × 2 Z~kÀâÃéÇéÈy = 8 Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy.Éd|âpâǪgd Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ = ÅâymÀâyy × ÅâymÀâyy × ÅâymÀâyy Öd±s¦ V = l × l × l = l3 Áky×âZ~kÀâÃéÇéÈy.Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy Áky×â ~kîÀâÃéǪ Ö³ÈÀâêé¾Ñ I~kÎrÃéÐÉKdpây.1 ¿õª.Æyd3 = 1 ¿õª.Æyd. × 1 ¿õª.Æyd × 1 ¿õª.Æyd1 Æyd3 = 1 Æyd. × 1 Æyd × 1 Æyd = 100 ¿õª.Æyd. × 100 ¿õª.Æyd. × 100 ¿õª.Æyd. = 106 ¿õª.Æyd3.

¬¥pâ&Áky×âÀâyy Áky×â~kîÀâÃéǪÖdpdXßâpâǪ : 4.1I

aÖá ~kîÀâÃéǪgâÈ 24 Áky×âÀâyyÈ×ây »¥¿xyÖ¨ªÚ. Àds¾ ¬¥pâ&Áky×dÖdpâªÈ¨ ´Àâypâ+ªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

379

¬¥pâ&Áky×⪠OpâRvâêé¾Ñ Àds¾ ´×áÖâ Æ|dÈygd ´Àâypâ+Àâßây+. ZѪ¬ ~ks¦Öâ×ây ~kîú¥¶ªßâªÚ.

(l) (b) (h) l × b × h12 2 1 24 Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy6 4 1 24 Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy4 3 2 24 Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy

o ¬¥pâ& Áky×âÀâyyÈ×ây °âÎâÃépây ßáÎâyêé¾Ñ Àây×âÀâyy 24 Áky×âÀâyyÈ×ây I~kÎrÃéЪn×âª{âyÀâÈ×â aÖ³ýÖâý ¬¥pâ&Áky×âÀâyy Áky×â~kîÀâÃéǪ 24 Áky×â Z~kÀâÃéÇéÈy Öd±s¦ Z~k» ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy {d¾ ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR ÀâyîÎâyy U°âKyÈ È±Pd¾Ñ ¿xÀâÃé×â Àây¾ ¾pPdîªßâÀâßây+. ¬¥pâ&Áky×âÀâyy Áky×â~kîÀâÃéǪ = l × b × h, ¹d{âÀrôµdÈXª = l × b ÖdÀâó×â.

¬¥pâ&Áky×⪠Áky×â~kîÀâÃéǪ = ¹d{âÀrôµdÈXª × U°âKygd æévâ ZÀdÎâyÀâßây+AȨnªßâªÚ!

1 ¿õª.Æ¥y. ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó gâÈ 36 Áky×âÀâyyÈy×dQÌy. Àds¾ I~kÎrÃéЪn ÆÆ|â ֳȰâÈ°¨ U¾Q ¬¥pâ&Áky×âÀâyyÈy °âÎâÃépây ßáÎâyÀâßây+?

I{dÝképâÇ - 6 : aÖâ ´Ð$ ~õêr¦ ֳȰâÈy 4 ¿õª.Æ¥y, 2.5 ¿õª.Æ¥y ÀâyîÎâyy 1.5 ¿õª.Æ¥y. ´êyÀâªs 12 ´Ð$~õêr¦È×ây Öâ¶Ð×â aÖâ ~õêr¦ Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâ×âyg³×âªÚ.

Éd|â×â : aÖ³ýÖâý ~õêr¦ Áky×â~kîÀâÃéǪ 4 × 2.5 × 1.5 = 15 ¿õª.Æyd3. ´êyÀâªs 12 ~õêr¦È×ây Öâ¶Ð×â aÖâ ~õ{âM ~õêr¦ Áky×â~kîÀâÃéǪ = 15 × 12 = 180 ¿õª.Æyd3.

I{dÝképâÇ 7 : 18 Æyd × 12Æyd × 9 Æyd ֳȰâÈy gâÈ ¬¥pâ&Áky×âÀâyy×âyªÚ 3 Æydêpâ[ Áky×âÀâyyÈy U¾Q Öâ»KîªßâÀâßây+?

Éd|â×â : ¬¥pâ&Áky×⪠Áky×â~kîÀâÃéǪ = 18 × 12 × 9 Æyd3. Öâ»KîªßâÀâÈû×â Z~k» Áky×âÀâyy Áky×â~kîÀâÃéǪ = 3 × 3 × 3 Æyd3. Öd±s¦ ¬¥pâ&Áky×âÀâyy×âyªÚ Öâ»KîªßâgâÈ Áky×âÀâyyÈ ¿xªfX

.=3 3 3

18 12 9 72# ## # = .

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

380

´ÅdX¿xª 4.1.21. 3 ¿õª.Æyd, 4 ¿õª.Æyd. ÀâyîÎâyy 5 ¿õª.Æyd. ´ªßây ¹åvâÀâóÈygd gâÈ ÀâyÃévây

ȨÝké~kóÁky×âÀâyyÈ×ây ÖâîЪn aÖá Áky×âÀâyy °âÎâÃépây ßáÎây±Ú×â¬. Ö³°âK Áky×âÀâyy ÎryyÖâý (i) ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó (ii)¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXÀâyy Öâ×âyg³×âªÚ. Ö³°âK Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª ÀâyîÎâyy Àryy{âs ÀâyÃévây Áky×âÀâyyÈ ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXÀâyyÈ Àryy°âKÀâyyÈ Àây|âX Åá{â Àryª°â ?

2. 512 ¿õª.Æ¥y3 Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy gâÈ prªvây Áky×âÀâyyÈ×ây nÀâpâÈÀâ{âM Öⶹdpây. A Æ|âªgd OpâRÚ×â ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý I~kî°âÈ ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ.

3. aÖâ ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR ÀâyîÎâyy U°âKyÈy 6:5:3 ¾ÍkR»KȨ I×âQÆ. {d¾ ¿xª~kòpâJ °âÈ ÀrôµdÈXÀâyy 504 ¿õª.Æyd2. ´Ìy×â {d¾ ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ. ÀâyîÎâyy ¬¥pâ&Áky×âÀâyy Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâ×âyg³×âªÚ.

4. 10 Æ¥y ÀâyîÎâyy 8 Æyd ¹d{âÀâyy ֳȰâÈy ÀâyîÎâyy 28 Æyd Ȩ°âygâÈ ¬¥pâ&Áky×dÖdpâ ±dƾ Z°âÀâó]êæ U¾Q Æyd3 Àâys¦¾ »¥ÎâÃé¶. {d¾ ¾ÈyÀâó g¨vâÈ×ây ûÀryªêy ßáÎâyêé¾Ñ `. 15/Æyd2 ß³~kóR×â Uª°â fpâ+gây×ây?

5. `. 500/Æ¥y3 ß³~kóR×â ÀâyªnÖ³ÎâyX°¨ °âÎâÃépây ßáÎây±Ú×â Áky×dÖdpâ ~õêr¦ fî¥{ây pây.256. A ~õêr¦ Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy ÀâyîÎâyy ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó Öâ×âyg³×âªÚ.

ÖáíZ°âg⧰⪠Æyd{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy1. 12 ¿õª.Æyd, ÅâymÀâyy ֳȰâ gâÈ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª ÀâyîÎâyy

Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâ×âyg³×âªÚ.2. 486 ¿õª.Æyd2 ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª gâÈ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ

Öâ×âyg³×âªÚ.3. ¬¥pâ&Áky×dÖdpâÀâyyȨ×ây×âQ °³s¦ ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ 6.4 Æyd3. ¹d{âÀâyy

ÎryyÖâý ¹åvâÀâó ÀâyîÎâyy ÀrvâÈyR ZÖâÀâyªgd 2 Æyd. ÀâyîÎâyy 1.6 Æyd ´Ìy×â °³s¦È¨°ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

381

4. aÖâ g⬠ÎryyÖâý ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR ÀâyîÎâyy U°âKy ZÖâÀâyªgd 8 Æyd, 5 Æyd ÀâyîÎâyy 3 Æyd. ´Ìy×â g⬠×dÈygây g¨vâÈ ÀrôµdÈXª Öâ×âyg³×âªÚ. aÖâ ßâ.Æyd.Ñ `.15 ß³~kóR×â g¨vâÈæ ¿xy×âQÀâyy ÀáÎâyyêæ ´gây fpây+ Öâ×âyg³×âªÚ.

5. aÖâ g⬠¹åvâÀâó 6 Æyd, ÀrvâÈyR 4 Æyd ÀâyîÎâyy U°âKy 3 Æyd. ×áÈ ÀâyîÎâyy ×dÈygây g¨vâÈæ ±ªvâÈy ÀáÎâyêé¾Ñ `. 80/Æyd2 ß³~kóR×â Uª°â fpâ+gây×ây ?

6. aÖâ ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR ÀâyîÎâyy U°âKyÈy 5 : 3 : 2 ¾ÍkR»KȨ I×âQÆ. {d¾ Áky×â~kîÀâÃéǪ 35.937 Æyd3 ´Ìy×â {d¾ ֳȰâÈy Öâ×âyg³×âªÚ. ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXª æévâ Öâ×âyg³×âªÚ.

7. aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ÀâyyfÀâyy ßâyê¦y ֳȰâ 24 ¿õª.Æyd. ´Ìy×â {d¾ Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâ×âyg³×âªÚ.

8. aÖâ Ö³ÎâyX ~õêr¦È¨~k¶ ֳȰâÈy l = 6 Æyd, b = 8 Æyd ÀâyîÎâyy h = 9 Æyd, {d¾ Àâyª{⪠10 ¿õª.Æyd. ±ÎâysÀrô~kó Z~kÖâý°âÈÀâyy×âæ `. 50/m2 ß³~kóR×â pâªgây ÀáÎâÃé¶. pâªgây ÀáÎâyyêæ ´gây fpây+ Öâ×âyg³×âªÚ.

9. aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Z~k» ´ªßây 20% ~õªßâ±Ú×â¬. Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyyȨ ~õpâygây{âÈ µd°âÀryª°â ?

10. aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¹åvâÀâó 10% ~õªßâ±Ú×⬠ÀâyîÎâyy ÀrvâÈyR 10% °âÐ$ªßâ±Ú×â¬. Ö³°âK ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy×âæ ¿xÀâÃé×âÀâyÀâó°âyª{d? ¿xª~kòpâJ°âÈ ÀrôµdÈXÀâyyÈ gâyîªn OÀâyªêépây? ´ª{âyȨ ÀâÃépâyR Iªêá prªvây ¿xª{âpdVÈȨ ÀâÃépâyR µd°âÀryª°â?

Ö¡ÈÖââ ~k{dÈyãáZ°âg⧰⪠: ¿xÀây°âÈ Àâ¿kKyÀâóÈ ÀrôµdÈXÀâyy ÈáÖâ Z»~kîÀâÃéÇé°âWÖâ Àâ¿kKyÀâóÈ

Áky×â~kîÀâÃéǪ Öâ×âyg³×âyê.Áky×âÀâ¿kKyÀâóÈy : ÀâyÃévây ¬µâÈȨ Ö³ª°â ¿kLÈÀâyy×ây AZÖâÆyªßây Àâ¿kKyÀâóÈy.Áky×âÀâyy : ¹åvâÀâó, ÀrvâÈyR ÀâyîÎâyy U°âKyÈy ¿xÀâÃé×âªgd I×âQ ¬¥pâ&Áky×âª.Z~kÖâý°âȪ : ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ¹d{âÀâyy ÈáÖâ ~õô°âÈÀâyy Öd¾ I~kî°âȪ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

382

´ªßâyÈy : prªvây °âÈÀâyyÈy Öâ¶Îâyy páf.I~kî°âÈ ÀrôµdÈXª : ¬¥pâ&Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÀâyyfÀâyyÈ ÀrôµdÈXª.Áky×â~kîÀâÃéǪ : aÖâ Áky×âÀâ¿kKyÀâó ßá°â AZÖâÆyªßâ±Ú×â ¿kLÈÀâyy ֳȰâ.

gâypâKyªßâyÖ¨ÀâÈû×â ´ªµdÈy :• Z»Æy»¥Îây Àâ¿kKyÀâó×ây Áky×âÀâ¿kKyÀâó ´ªêépây. ´¬ Ö³ª°â ¿kLÈÀâyy×ây AZÖâÆy¿kKyª¬.

(ÀâyÃévây ¬µâÈȨ). • aÖâ Áky×âÀâ¿kKyÀâóÑ ¿xª±ªºªn×â prªvây pd¿xyÈyªêéÌy; {d¾ I~kî°âÈ ÀrôµdÈXª

ÀâyîÎâyy Áky×â~kîÀâÃéǪ.• ÀrôµdÈXÀâyy×ây ßâ{âpâ~kó Z~kÀâÃéÇéÈȨ Ö³ÈyÉKdpây ÀâyîÎâyy Áky×â~kîÀâÃéÇÀâyy×ây Áky×â

Z~kÀâÃéÇéÈȨ Ö³ÈyÉKdpây.´|dXÎâyª 4 Ȩ¾ ´ÅdXÉdÈæ mÀd±yÈy

´ÅdX¿xª 4.1.11. 45Æyd2 2. 36Æyd2 3. `. 4160 4. `. 8448 5. 14,800 ¿õª.Æyd2 6. 8 ¿õª.Æyd. 7. 4 ¿õª.Æyd. 8. `.1280 9. i) Áky×âÀâyy. ii) 4 prê[y

´ÅdX¿xª 4.1.21. (i) 6 ¿õª.Æyd.; (ii) 216 ¿õª.Æyd2. 2. 640 ¿õª.Æyd23. ֳȰâ : ¹åvâÀâó = 12 ¿õª.Æyd, ÀrvâÈyR = 10 ¿õª.Æyd, U°âKy = 6 ¿õª.Æyd.

Áky×â~kîÀâÃéǪ=720 ¿õª.Æyd3.4. 2240 Æyd3 ÀâyîÎâyy `. 15,120. 5. Áky×â~kîÀâÃéǪ = 0.512 Æyd3; ÅâymÀâyy ¹åvâÀâó = 80 ¿õª.Æyd.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

383

ÖáíZ°â g⧰⪠ƥy{â ´{â×â~kó ¿xÀây¿kXÈy.1. 862 ¿õª.Æyd, 1728 ¿õª.Æyd3 2. 729 ¿õª.Æyd33. 2 Æyd4. 78 Æyd2 ÀâyîÎâyy `. 1,1705. `. 6,7206. 1.65 Æyd, 0.99 Æyd, 0.66 Æyd ¿xª.°â.Àrô. 6.791 Ñ.Æyd27. 216 ¿õª.Æyd3

8. `. 8, 931.59. 1.728%

10. Áky×â~kîÀâÃéǪ 1% °âgâ$y°âyª¬ ÀâyîÎâyy ¿xª.°â.Àrô. 2% °âgâ$y°âyª¬.

lllll

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

384

E¤¦d¾Ñ Àâ{âȱÚ×â ¿xÀây¿kXÈyo ¿xÀây¿kXÈy I°dbÝkéÀ⪰âyÈrô×â Æ{dXpâLyÈæ ¿xÀdÈygd EÀâ]±vGdÌy. EÆ °âpâgâ»È¨

ßâî+ªßâyêæ gd¾ ~kî¥ÖâíÈæ gd¾ EÀâ]±vâÈá{ây.1.

31 Öâªêá ~õ{âM{rô×â aÖâ ZÖâÀây «×âQÀâyy, {d¾ ÈÀâÀâyy aÖâ|â×â ~kòpâJ¿xªfXßá ~õªßâ±Ú, ÝkëpâÀâyy ´{á |â×â ~kòpâJ ¿xªfXßá gây§ªßâ±Ú×â~kóvây ÆÈyÀâ ÀâÃépâÖâ ¹è°á A «×âQÀâyy×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

2. qp

30

302

2

q

p=

+

+ ´gây×âê[y ´¾Q ´ÖâpâÇ¡Îây ¿xªfXÈy qp È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

3. aÖâ ~kòpâJÀâpâ$Àâyy×ây aÖâ ±áû Z~k|d×â ¿xªfX P ßá ÅdЪßâgd Àâßây+ ÆÆ|â µá¤dÈ ¿xªfX p21+ ´¾ ßâÃé~kªÚ.

4. 22, 32, 42, 52, 102 È |â×â ÅdmÖdÈ ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ. ́ ¬ ±áû ¿xªfX ́ Àâó°âyª{d? ~kòpâJÀâpâ$Àâyy ÎryyÖâý |â×â ÅdmÖdÈ ¿xªfX UÈ[~kóRvây ±áû ¿xªfX ́ Àâó°âyª{â×âQ Z~k»¹d{â×ââ×ây ¾pâÃéĪßâªÚ.

5. n2 ÀâyîÎâyy 2n2 È Àây|âX aÖá aÖâ ~kòpâJÀâpâ$ ¿xªfX×ây Öâ¶Ð Iªvây ´¾Q ±áû ¿xÝkém ¿xªfXÈy n È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

6. aÖâ ÀâXÑK 19Àâ µâ°d±MªÈ¨ ~kóê¦évây. x2 Àâ ¿xªÀâ°âbpâªÈ¨ ´°â¾ ÀâÎây¿xy x ¿xªÀâ°âbpdÈy. ´°âvây 1975 Àâ ¿xªÀâ°âbpâªÈ¨ ßâ¾¹è°á ́ °âvây Àâyp⧪n×â~kóvây ́ °â¾ ÀâÎây¿kyb Uª°â?

7. aÖá aÖâ ×dÈygâªÖrÈ ¿xªfX n = abcd ´×ây×⬠n2 æévâ abcd °¨ ´ª°âÀâygây×âê[y I×âQ¬. o ¿xªfX×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

8. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ 1 ×âyªÚ 16 Àâpâæ gâÈ ¿xªfXÈ°¨ aÖâ EªZ{âméÈ ßâ{âpâÀâyy EÀâ]±Ú×â¬. A ÀâyîÎâyy B È×ây Öâ×âyg³×âªÚ. EªZ{âméÈ ßâ{âpâÀâyy×ây ~kòîK ßáÎâyªÚ. (ÖâÍk¦Àâyy). 14 11 5 A

812 3

B

9. (ÖâÍk¦Àâyy) EªZ{âméÈ ßâ{âpâÀâyy ÎryyÖâý EªZ{âméÈ Àryy°âKÀâyy ÖáªZ{â ¿xªfXæ ÀâyÃévây prê[y Iªêyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

385

10. ÀâyÃévây ¿xÝkém¿xªfXÈ Àâpâ$ÀâyyÈ Àryy°âKÀâyy 9 ßá°â ÅdЪßâ ±vây°âyª¬. Æ¥sȨ prªvây ¿xªfXÈ Åá{âÀâyy 9 ßá ÅdЪßâ ±vây×âê[y prªvây ¿xªfXÈ×ây U×âyQÖ³×âÀâßây+×â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

11. P ÀâyîÎâyy P2+2Èy Z~k|d×â ¿xªfXÈ×âyÖ¨ªÚ. P3+2 æévâ Z~k|d×â ¿xªfX¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

12. 11ßá ÅdЪßâ±Ú×â~kóvây Z~k|d×â¿xªfX ÅdgâÁkȪgd×ây 4 µáÍkÀâyy ¾ßây+ ́ ¾Q ~kòpâJ Àâpâ$¿xªfXÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

13. ±¨pâGy Æ¥y{â 60 ¿xªfX ZÀdÎây±Úª¬. E{âMpây AêgdÔâ[y ZѪ¬ Aê×ây aÖâî °âpd]°â aÖâpây Avâ°dpây. ±¨pâ¦y Æ¥y{â I×âQ ¿xªfX ÎryyÖâý O{rô×d |â×â ÅdmÖâÀâyy×ây»¥ûÀáû A ¿xªfX ÉLd×âªÈ¨ o »¥ûÀá°â Ák¶°âÀâyy×âyªßây°dpây. ±¨pâGy Æ¥y{â ‘0’ pdû×â Aêgdvây grÈyÉKdvây. O Aêgdvây Àryy{âsÉLd×âÀâyy×ây ÈáÖâ prªvâÀâ ÉLd×âÀâyy×ây grÈyßâyæªêévây?

14. ÀâyÃévây pdÔâ[ æ~kRÈȨ aÖâ {d¾È¨ 10 pdÔâ[y, Àâyp³Öâ {d¾È¨ 15 pdÔâ[y, ÀâyÃévâÀâ {d¾È¨ 20 pdÔâ[y I×dQÌy. E{âMpây AêgdÔâ[y ZѪ¬ Aê Avâ°dpây. Z~k»Édî aÖâ Aêgdvây aÖâ æ~kR×ây U×âyQÖ³¾ {d¾¾ prªvây n×âQ æ~kRÈygd ÆÅâÊÉKdvây. o Æ|âªgd ßáÎâyÈá¾ Aêgdvây eÚ¹è°dvây. gr¶ ßᬠÀryy{âsÀdvd ÈáÖâ prªvâÀâÀdvd?

15. 1 ×âyªÚ 20 Àâpâæ gâÈ ¿xªfXÈy ±¨pâGy Æ¥y{â aÖâ ´vâGÀâpây¿xȨ pdÎây±vGdÌy. E{âMpây AêgdÔâ[y aÖâî °âpd]°â Àâyp³Öâpây Avâ°dpây. Z~k»Édî aÖâ gâypâKy À⪰ây×â o ¿xªfXÈ Àây|âX + gâypâKygd¾ - gâypâKygd¾ Àdî EÍk¦ Z~kÖdp⪠~õvâ°dpây. ´¾Q gâypâKyÈy ~õs¦×â °âpd]°â Àryy°âKÀâyy Öâ×âyg³ªêépây. Àân+×â ¿xªfX ¿xî¿xªfX ́ Ìy°á Àryy{âsÀdvây grÈyÉKdvây ÀâyîÎâyy ±áû ¿xªfX ´Ìy°á prªvâÀâ Àdvây grÈyÉKdvây. UÀâpây grÈyÉKdpây?

16. m ÀâyîÎâyy n ́ ×ây ¿xÝkém¿xªfXÈy m2 < n < (m+1)2 ́ gây×âê[y I×dQÌy n-l=m2

ÀâyîÎâyy n+k=(m+1)2 ´Ìy×â n-kl aÖâ ~kòpâJÀâpâ$Àây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.17. x, y, z ~kòpâJ ¿xªfXÈy x2 +y2=z2 ´gây×âê[y I×dQÌy. x, y ÈȨ aÖâs 3ßá°â

ÅdЪßâ ±vây°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.18. (ÖâÍk¦ª) x, y, z ´×ây ÀâyÃévây ¿xÝkém ¿xªfXÈæ ÉdÀâÃé×âX ÖdpâÇéªÖ⪠Èá{ây

ÀâyîÎâyy x2 +y2=z2 ´Ìy×â xyz 60ßá°â ÅdЪßâ ±vây°âyª{â¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

386

19. x ´×ây O ¿xªfXÀryô×d [x] ´×ây×⬠x ¾ ´ºÖâ Æyªßâ¾ ~õ{âM ~kòpâJ ¿xªfX¾ ¿xÃén¿öK I{dÝképâÇÑ [2.5] = 2 ÀâyîÎâyy [-1.6]=-2 ´Ìy×â a[a]= 8 ´gây×âê[y ´¾Q |â×â Àd¿kKÀâ ¿xªfXÈy 'a' È×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

20. 1000 Öâªêá °âæýÀrô×â U¾Q |â×â ~kòpâJ ¿xªfXÈy Àds ´ªÖrÈ Àryy°Kd¾Ñ 6 prê[y IªêéÌy?

21. 1000 ÀâyîÎâyy 10000 Àây|âX 7 ßá ÅdЪßâ±vây U¾Q æÚ×âyªÚ UvâÀâyÖrô×d, UvâÀây×âyªÚ æÚÖrô×d aÖá Æ|âªgdÀâßây+ ¿xªfXÈy (Palindromes) IªêéÌy?

22. (ÖâÍk¦ª) prªvây ´{MdÈy 80 Àâ{âM I×dQÌy. aÖâÖdª» ÑpâǪ A Àâ{âM ±Îâ-yÈy {áî B Ȩ ~kpdÀâpâK×⪠ßrª¬ °âpd]°â C Ȩ ~kpdÀâpâK×⪠ßrª{ây°âyª¬. o Æ|âªgd n Édpâ[y ~kpdÀâpâK×⪠ßrª¬ nÀâîgd 900 Àâ{âM I×âQ ´{âMÀâyy×ây °dÑ ´{á ÀâÃépâ$ªÈ¨ Àr×âyÖâæ Àâ¿kKyª¬. n Ñ Éd|âXÀryô×â ~õ{âM ÆÈyÀâ Uª°â? (ZѪ¬ nZ°âª 5 ~kpdÀâpâK×dÈæ I{dÝképâÇ)

23. aÖâ ²ª{âyÀâó×âyªÚ aÖâ ¿xpâÔâpáfægâÈ ́ » °âæýÀâ {âÃép⪠Ȫ±{âÃépâÀây¾ ßâÃé~kªÚ. 24. (ÖâÍk¦ª) ABC Z»ÅâymªÈ¨ P aÖâ ²ª{âyÀrô×â BC CA AB PA PB PC BC cA AB

21 1+ + + + + + ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

25. ABC Z»ÅâymªÈ¨ BCÎryyÖâý Àây|âX ²ª{âyÀâó |D ´Ìy×â AB+AC>2AD ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

26. ABC Z»ÅâymªÈ¨ AD ÀâyîÎâyy BE Èy ZÖâÀâyªgd A ÀâyîÎâyy B È×âyªÚ U{âysÅây méÈæ Ð¥Îây±Ú×â Àây|âXgâ°â páfÈrô×â BC>CA ́ Ìy×â~kóvây BE>AD ́ ¾ ßâÃé~kªÚ.

27. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB n×âQ ÅâymÀâyy, CD ~õ{âM ÅâymÀâyy ´Ìy×â A C> ÀâyîÎâyy B D> ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

28. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ pâªgâyÀáÎây ±Ú×â ×âÖâíZ°âª ÎryyÖâý aÖâ ÀâyÃéÈ, ~õ{âM ßâ°âypâZ¿xÀâyy ÎryyÖâý Z~k» Åâymª ÎryyÖâý Àây|âX ²ª{âyÀâó Àâ{âM I×âQ¬. ~õ{âM ßâ°âypâZ¿xª ÎryyÖâý Uª°â Ådg⪠pâªgây

©KTBS

Not to

be re

publi

shed

387

ÀáÎây±Ú×â¬?29. Z~kÖâý nZ°âªÈ¨ ±dÝkéX ¿xÀây±dÝkéy Z»Åâymª ABC Ȩ D, E, F

²ª{âyÀâóÈy DB=EC=FA ´gây×âê[y ÀâyîÎâyy aÖ³ýÖâýs ABC Z»Åâym ÅâymªÈ¨

41 Àâ À⪰ây ´gây×âê[y I×dQÌy ÀâyîÎâyy ABC

Z»ÅâymÀrôµdÈXª 1 I×âQ¬ DEF ÀrôµdÈX Àryª°â?30. ABCD ßâ°âypâyVmªÈ¨ AB=5, BC=17, CD=5 ÀâyîÎâyy DA=9, BD aÖâ ~kòpâJ

¿xªfX ´Ìy×â BD OÆys?31. ABC Z»ÅâymªÈ¨ AB=2AC. AB,BC Æ¥y{â D,E ²ª{âyÀâóÈy BAE ACD=

´gây×âê[y I×dQÌy. AE ÀâyîÎâyy CDÈ fªvâ×â ²ª{âyÀâó F ÀâyîÎâyy CFE aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀryô×â ACB Uª°â?

32. ABC Z»ÅâymªÈ¨ D, BCÆ¥y{â ²ª{âyÀâó ÀâyîÎâyy A ¿xÀây¬] fªvâ×âpáf AD ´Ìy×â

ACAB

DCBD= ´¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

33. ~kªßâÅâyÊ ÎryyÖâý ́ ª°âpâÖ¨ÇéÈ Àryy°âKÀâyy 5400 ́ ¾ ¾pâÃéĪßâªÚ. ́ {á ́ Ík¦ÅâyÊÑ OÀâyÀâó°âyª¬? ÍkvâyVÊÑ OÀâyÀâó°âyª¬? ¬¥¾¾ n- ÅâyÊÑ Éd|dpâÇ¡ÖâîªßâgâÈÀd? ¾¥ NÝké¾ ¾pâÃéĪßâgâÈÀd? ¾¥æ OÉd|â×dÈy ´Àâ¿xpâª?

34. ABCD ¿xÀâÃ骰âpâ ßâ°âypâyVmªÈ¨ DC ÀâyîÎâyy CB ÅâyméÈÆ¥y{â ZÖâÀâyªgd CBX ÀâyîÎâyy DCY ´×ây ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâyméÈy ±dÝkéXªgd ¾îWªßâ ±Ú°á AXY aÖâ ¿xÀây±dÝkéy Z»ÅâymÀây¾ ¾pâÃéĪßâªÚ.

35. aÖâ Áky×âÀâyy ÎryyÖâý aÖâ ֳȰâ 1 ~õªßâ±Ú, Àâyp³Öâs 1 °âÐ$ªßâ±Ú, ÀâyÃévâÀ⬠´Èégá Iªêá Ö³°âK ¬¥p&dÁky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéǪ ¹d°â Áky×⪠Öâªêá 5 °âæýÀâ I×âQ Àryy{âs Áky×âÀâyy ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇÀryª°â?

36. aÖâ ¾ªvây Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÅâymÀâyy ֳȰâ 3 Z~kÀâÃéÇéÈy. Z~k» ÀâyyfÀâyy ÖáªZ{âÀâyy Àâ{âM 2×2 ßâ{âpâÀâyy °³ÈЪßâ±Ú×â¬. Z~k»ßâ{âp⪠ÎryyÖâý ́ ªßây, Áky×âÀâyy ÎryyÖâý ÅâyméÈæ ¿xÀâÃ骰âpâªgd Iªêyª¬ ÀâyîÎâyy Z~k» ÀâyyÖâý Áky×⪠gâyªvd ¹è°âyª¬. Æyж×â Áky×⪠ÎryyÖâý Áky×â~kîÀâÃéÇ Àryª°â?

37. ABCD ZêrÄ¥ÊÎâyªÈ¨ AB||CD ÀâyîÎâyy AD DC= . AB>BC ÀâyîÎâyy CM AB= ÀâyîÎâyy BC=5 ¿õª.Æ¥y, MB=3 ¿õª.Æ¥y, DC=8 ¿õª.Æ¥y. ABCD ßâyê¦yֳȰâ Öâ×âyg³×âªÚ. ABCD ÀrôµdÈXÀrª°â?

38. ¿xÀâyÅâym ßâ°âypâyVmª ÎryyÖâý ÖâpJdÈy 24 ¿õª.Æ¥y ÀâyîÎâyy 10 ¿õª.Æ¥y ´Ìy×â {d¾ ÅâyméÈ×ây Öâ×âyg³×âªÚ.

©KTBS

Not to

be re

publi

shed