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5 DynamikAnimation follows the laws of physics — unless it is funnier otherwise.
2
Antikes Weltbild
Gegenstände kommen zur Ruhe, wenn keine äußeren Kräfte mehr wirken.
Entspricht unserer alltägliche ErfahrungAutos halten an, wenn man den Fuß vom Gashebel nimmt
Aristoteles
Bewegung ist ein Prozess
0v0 =⇒=≈
FvF
Allerdings ist die tatsächliche Ursache die Reibung.
Die Reibung ist eine Kraft!
3
Galileo Galilei
Eine gradlinig gradförmige Bewegung einer Masse mit konstanter Geschwindigkeit bedarf keiner Ursache, sondern geht aus sich heraus immer weiter
Trägheitsprinzip
Um die Geschwindigkeit einer Masse zu verändern, muss auf den Körper eine Kraft wirkenSchwerkraft, Federkraft, elektrische Kräfte, magnetische Kräfte, Muskelkraft
Fragestellung in der Dynamik:
Was ist die Ursache der Bewegung
Der Zustand der Ruhe ist ein Spezialfall der gradlinig gleichförmigen Bewegung.
Galileo Galilei1564-1642
Der Kraftbegriff ist ein fundamentales Konzept in der PhysikBeobachtung
z.B. Verformung einer Federwaage oder Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers (Beschleunigung)
Alltägliche ErfahrungKörper widersetzen sich einer solchen Änderung (Trägheit, träge Masse)
z.B. Abbremsen eines Kreuzfahrtschiffes
Issac Newton1643-1724
4
Definition Masseaus dem Urkilogramm
Masse eines Körpers
?? v
v: Urkg
UrKgmm =UrKgm
?m
UrKgm?m
UrKgv?v
Feder
5
Erstes Newtonsches Axiom
Fr
Eine Kraft F, die auf ein Standardkilogramm eine Beschleunigung
von 1 m/s² ausübt definieren wir als 1 Newton (N=kg*m/s²)
Kraft hat vektoriellen Charakter
Definition der Krafteinheit:Trial and Error Verfahren
Eine Kraft auf einen Körper verursacht eine Änderung des Bewegungszustandes
(Beschleunigung)
6
Vektoraddition von Kräften
°43°37
N 351 =Fr
N 502 =Fr
x
y−
11,1
11,1
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
22,2
22,2
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
7
Vektoraddition von Kräften
°43°37
N 351 =Fr
N 351 =Fr
x
y−
11,1
11,1
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
22,2
22,2
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
xF ,2
yF ,2
2Θ
2Fr
xF ,1
yF ,1
1Θ
1Fr
( )( ) N 5.2547-sin N 35
N 23.947-cos N 35
,1
,1
−=°=
=°=
y
x
F
Fr
r
( )( ) N 9.39127- sin N 50
N 1.30127- cos N 50
,2
,2
−=°=
−=°=
y
x
F
Fr
r
8
Vektoraddition von Kräftenstatt vieler Einzelkräfte Reduzierung auf einen resultierenden Kraftvektor
°43°37
N 351 =Fr
N 502 =Fr
x
y−
11,1
11,1
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
22,2
22,2
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
N 5.25
N 23.9
,1
,1
−=
=
y
x
F
Fr
r
N 9.39
N 1.30
,2
,2
−=
−=
y
x
F
Fr
r
xF ,1
yF ,1
1Fr
yF ,2
2Fr
°−==Θ
=+=
−=−−=
−=−=
− 4.95tan
N 7.65
N 65.4N 39.9N 5.25N 2.6 N 1.30N9.23
,
,1res
2,
2,
,
,
resx
resy
resyresxres
resy
resx
FF
FFF
FF
resΘ
resxF ,
resyF ,
resFr
neuer resultierender
Kraftvektor, der die Bewegung
eindeutig beschreibt
9
Newtons Schaukel
10
Erstes Newtonsches AxiomGeschwindigkeit
a b
21
2211
22112211
vvvv
vvvv
′=
′=
′+′=+mm
mmmmAnsatz
Vermutung 1Geschwindigkeiten werden übertragen
11
Erstes Newtonsches AxiomMasse
a b c
Impuls
vrr mp =Einheit [kg m/s]
Vermutung 2Übertrag ist proportional zur Masse
Wir definieren eine neue Größe
Definition Kraft auf einen Körper
pdtdF rr
=:1
21
2111
22112211
v2vv2v
vvvv
′=
′=
′+′=+mm
mmmm
12 2mAnnahme
=m
12
Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip
Erstes Newtonschen GesetzTrägheits-Formulierung
Ohne Krafteinwirkung von außen (F=0) verharrt ein Massenpunkt
im Zustand der Ruhe (v=0) oder der gleichförmige Bewegung (v=v0) und
wird nicht beschleunigt (a=0).
Trägheitsprinzip
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Inertialsystem
Wichtiger Inhalt des Ersten Newtonschen Axioms ist die Existenz von Inertialsystemen
Beispiel Erde:Beschleunigter Beobachter würde eine Verletzung des ersten Newtonschen Gesetzes feststellen!
DefinitionEin Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die
Newtons Gesetze gültig sind.
Für jeden Körper, der frei von externen Kräften ist, gibt es ein Bezugssystem, in dem er sich in Ruhe befindet. Dann
existiert auch ein Satz von Bezugssystemen in denen dieser Körper eine konstante Geschwindigkeit hat
oder Alle Körper auf die keine resultierenden Kräfte einwirken, befinden sich in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter
Geschwindigkeit
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Zweites Newtonsches AxiomAktionsprinzip
dtPdFr
r=
Äußere Kräfte auf einen Körper, die den Impuls P des Körpers ändern, nennen wir die resultierende
Kraft Fres. Betrag und Richtung ist gleich der zeitlichen
Änderung des Impulses
mdtd
dtdmm
dtdF vvv rrrr
+==
ammdtdF rrr
== v
Kraft ist Masse mal BeschleunigungDiese Gleichung gilt nur, wenn
die Masse nicht von der Geschwindigkeit des
Inertialsystems abhängt. Dies stimmt aber nur wenn v<<c. Das
genauere Ergebnis der Relativitätstheorie lautet c²
v²1v)( 0
−=
mm
Die Masse ändert sich nicht
mit der Zeit
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Zweites Newtonsches AxiomIst das nicht dasselbe wie das 1. Newtonsche Axiom?
dtPdFr
r=
Eine äußere Kraft auf ein Objekt, die den Impuls P ändert, nennen wir Kraft F. Betrag und Richtung
ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses
Unterschied zur Definition der Kraft nach dem Ersten Newtonschen Axiom:
Hier wird nicht eine einzelne Krafteinwirkung auf einen Körper betrachte, sondern eine
resultierende Kraft !
∑=i
ires pdtdF rr
:
Superpositionsprinzip
DeshalbDie resultierende Kraft ist die Summe aller
äußeren auf einen Körper wirkenden Kräfte
Wichtige neue Information im Vergleich zum Ersten Newtonschen Axiom
Addition von Massen und Vektoraddition von Kräften
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Zweites Newtonsches Axiom
Impuls-Formulierung des 2. Newtonschen AxiomsOhne Einwirkung von außen bleibt in einem abgeschlossenen
System von Massenpunkten mit der Gesamtimpuls, das ist die Summe aller Einzelimpulse, konstant
Das ist die Aussage des Impulserhaltungssatz
constmpPii
=== ∑∑ ii vrrr
Der Impulserhaltungssatz ist in der Physik einer der wichtigsten Erhaltungssätze. Man kennt
bislang keinen physikalischen Vorgang, bei dem der Impulssatz verletzt worden wäre.
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You can have it in any color as long as it's black (Henry Ford)
1350 kg
Kraft pro Person 300 Newton
²89.0
kg 1350s²
m kg30044aPKW s
mm
F
PKW
M ===
18
Lt. Col. John Strapp
Reibung des Raketenwagens auf den Schienen 600 Newton
FRFT
N1012.9s²
m kg600s²m9.81*46.2 2000kg
5⋅=
+⋅=
+=−=
=
T
T
RRWagenRWagenT
RTres
RWagen
resRWagen
F
F
FamFFFF
mFa
19
Reibung
0
reactioactio
=++
=
gNs FFfrrr
Θ=
=Θ−+
−
sin
0sin0
Achsex
mgf
mgf
s
sr
r
Nss Ffr
μ=max,
aftReibungskr
Θ==Θ−+
−
cos0cos0
Achsey
mgFmgF
N
N
Θ=ΘΘ
== tancossin
mgmg
Ff
N
ssμ
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Reibung
In vielen Fällen wird die Reibung vernachlässigt, reibungsfreie Bewegung
Makroskopische Sichtweise
Mikroskopische Sichtweise
Verformung im Bereich der Kontaktfläche. Scherbeanspruchung. Atome bleiben teilweise an der jeweils anderen Oberfläche haften und springen dann an ihren Ausgangsort zurück. Dies führt zu Schallschwingungen, die später in Wärme umgesetzt wird. Auch chemische Reaktionen können ausgelöst werden.
Eine größere Normalkraft erzeugt eine erhöhte Reibung. Normalerweise ist die Kontaktfläche, die zur Reibung beiträgt nur ein kleiner Anteil der Auflagefläche.
Dieser Flächenanteil wird durch Erhöhung von FN vergrößert.
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Reibung schematisch
Statische Reibung
Dynamische Reibung
F
FR
FR=μFN
keine Bewegung Gleitbewegung
Statische Reibung übersteigt Gleitreibung
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Arten der Reibung
Man unterscheidet zwischen statischer (Haft- )und dynamischer (Gleit-) Reibung
Nf HH μ≤ μH ist der statischer Reibungskoeffizient (Haftreibungszahl)
Nf GG μ≤ μG ist der dynamische Reibungskoeffizient (Haftreibungszahl)
μH, μG können auch kleinere Werte annehmenIm Allgemeinen ist der Haftreibungskoeffizient größer als der Gleitreibungskoeffizient
System μG μH
Holz auf Holz 0.5 0.3Gewachstes Holz auf nassem Schnee 0.14 0.10Metall auf Holz 0.5 0.3
Stahl auf Stahl (trocken) 0,6 0,3Stahl auf Stahl (geölt) 0,05 0,03
Schuhe aufHolz 0.9 0.7Schuhe auf Eis 0.1 0,05Eis auf Eis 0.1 0.03
Reifen auf trockener Strasse 0.7-0.9Reifen auf nasser Strasse 0.1-0.8
Reifen auf vereister Strasse 0.1-0.4
Luftwiderstand
v,NFr
hNF ,
r
NFr
LFr
aFr
GH,f
v²21
L ⋅= ρAcF w
r
Vorgriff: Fahrleistung ~v³ für FL, ~v für alle anderen Kräfte
23
Charley "Mile-a-Minute" Murphy
1899: legendärer mile-a-minute„ Rekord (1,6 km/min~26.6 m/s~96 km/h )
Schneller als jedes Automobil zu jener
Zeit.
Man beachte den großen Schirm, der den Luftwiderstand erheblich reduziert.
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Normalkraft
mgFF Nres −=
mgFN =⇒
mgFFF HandNres −−=
N 200kg 4.20 ==⇒= mgFm N
N 502N 50 =⇒= resHand FF
mgFFF HandNres −+=
N 150N 50 =⇒−= resHand FF
0=resF
0=resF
0=resF
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NormalkraftGewichtskraft auf schiefer Ebene
gmFgrr
=
NFr
Normalkraft wirkt senkrecht zur Oberfläche
mgF
mamgF
maFF
maF
N
yN
ygN
yyres
=
+=
=−
=,
y
ay z.B. Fahrstuhl
ay ohne zusätzliche Beschleunigung
( )gN FFrr
< Normalkraft ist die y-Komponente der Gravitationskraft