1

Physics of Fluids 4

Viscous flows

Bernoulli (2) Sound velocity

2

Inhoud

Navier-Stokes vergelijking

Bernoulli

Analytische oplossing van een visceuze stroming

Geluidssnelheid

3

Massabehoud

Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking

vt

0

verandering in de tijd

letterlijk stroming(in – uit)

vvv p v g

t

productie= krachten

4

Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking

massa instroom m linkervlak in tijdsinterval t:

m (x,y,z) u(x,y,z) t yz

deze massa heeft een snelheid u in de x-

richting

dan is de impuls mu die in het kubusje

stroomt:

(mu)in (x,y,z) u(x,y,z) u(x,y,z) tyzimpuls uitstroom rechtervlak

(mu)uit (x+x,y,z) u(x+x,y,z) u(x+x,y,z)

tyzverandering impuls in x-richting per

tijdseenheid t

€

mu( )in− mu( )uit

Δt=

∂ρuu∂x

5

massa instroom m onderste vlak in tijdsinterval t:

m (x,y,z) w(x,y,z) t xy

Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking

verandering impuls in z-richting per

tijdseenheid t

€

mu( )in− mu( )uit

Δt=

∂ρuw∂z

deze massa heeft een snelheid u in de x-

richting

dan is de impuls mu die in het kubusje

stroomt:

(mu)in (x,y,z) u(x,y,z) w(x,y,z) t xyimpuls uitstroom bovenste vlak

(mu)uit (x,y,z+z) u(x,y,z+z) w(x,y,z+z) t

xy

6

Incompressibele stroming: Navier-Stokes

vergelijking

€

∂u∂x

+∂v∂y

+∂w∂z

= 0

€

∂u∂t

+u∂u∂x

+v∂u∂y

+w∂u∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p∂x

+ρgx +μ∂ 2u

∂x2+

∂ 2u

∂y2+

∂ 2u

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∂v∂t

+u∂v∂x

+v∂v∂y

+w∂v∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p∂y

+ρgy +μ∂ 2v

∂x2+

∂ 2v

∂y2+

∂ 2v

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∂w∂t

+u∂w∂x

+v∂w∂y

+w∂w∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p∂z

+ρgz +μ∂ 2w

∂x2+

∂ 2w

∂y2+

∂ 2w

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∇•r

u = 0

€

Dr u

Dt= ρ

∂r u

∂t+

r u • ∇( )

r u

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= −∇p+ρ

r g +μ∇2 r

u

niet lineaire termen

visceuze krachten

snelheid u in x-richting

snelheid v in y-richting

snelheid w in z-richting

7

Hydrostatic equilibrium

€

∂p∂z

= −ρgz

€

Dr u

Dt= ρ

∂r u

∂t+

r u • ∇( )

r u

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= −∇p+ρ

r g +μ∇2 r

u

Zero velocity: (u,v,w)=0

€

rg = 0,0,−gz( )

8

Voorwaarden voor toepassen Bernoulli

€

pρ

+V 2

2+ gz = C

€

Dr u

Dt= ρ

∂r u

∂t+

r u • ∇( )

r u

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= −∇p+ρ

r g +μ∇2 r

u

Steady state:

€

∂ ru

∂t= 0

Viscositeit: =0

Bernoulli: som is constant langs een

stroomlijn

9

Pythagoras beker

http://www.youtube.com/watch?v=4q9Jim1abMo

10

Pythagoras beker

Waarom loopt het glas leeg?

11

Verklaring Bernoulli

Op stroomlijn geldt

€

p1

ρ+

V12

2+ gh1 =

p2

ρ+

V22

2+ gH =

p3

ρ+

V32

2− gh2

h1

h2

z

0

Druk p1 = p3 = patm

€

patm

ρ+

V12

2+ gh1 =

p2

ρ+

V22

2+ gH =

patm

ρ+

V32

2− gh2

€

pρ

+V 2

2+ gz = C

Incompressibel

Steady-state

Wrijvingsloze stroming

Snelheid V1 << V2 = V3

€

patm

ρ+ gh1 =

p2

ρ+

V22

2+ gH =

patm

ρ+

V22

2− gh2

12

Verklaring Bernoulli

h1

h2

z

0

Snelheid

€

V2 = 2g h1 +h2( )

€

patm

ρ+ gh1 =

p2

ρ+

V22

2+ gH =

patm

ρ+

V22

2− gh2

13

Verklaring Bernoulli

h1

h2

z

0

Snelheid

€

V2 = 2g h1 +h2( )

€

patm

ρ+ gh1 =

p2

ρ+

V22

2+ gH =

patm

ρ+

V22

2− gh2

Druk

€

p2 − patm = −ρg H +h2( ) < 0

14

Viscositeit

source: Munson et al

€

τ = dudy

15

Wanneer mogen we viscositeit verwaarlozen?

€

∂u∂x

+∂w∂z

= 0

€

u∂u∂x

+w∂u∂z

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟= −

∂p∂x

+μ∂ 2u

∂x2+

∂ 2u

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

u∂w∂x

+w∂w∂z

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟= −

∂p∂z

−ρg+μ∂ 2w

∂x2+

∂ 2w

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Veronderstel twee-dimensionale, steady-state pijpstroming in de x- en z-

richting.

De zwaartekrachtsversnelling is neerwaarts in de z-richting, g=(0,0,-g)

16

Bepaal karakteristieke waarden

stromingsvariabelen

De fysische variabelen zijn u, w, x, z, en p

De "karakteristieke" waarden voor deze variabelen zijn

Snelheid V bijvoorbeeld gemiddelde stroming in een pijp

Lengteschaal L bijvoorbeeld diameter van de pijp

Druk p0 druk "ergens "in de pijp, tov atmosferische druk ~ V2

17

Introduceer dimensieloze variabelen

€

u* =uV

€

w* =wV

€

p* =pp0

€

x* =xL

€

z* =zL

Substitutie levert

€

∂u∂x

=∂Vu*

∂x*

∂x*

∂x=

VL

∂u*

∂x*

€

∂2u

∂x2=

VL

∂

∂x*

∂u*

∂x*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟∂x*

∂x=

V

L2

∂ 2u*

∂x* 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

18

Introduceer dimensieloze variabelen

€

u* =uV

€

w* =wV

€

p* =pp0

€

x* =xL

€

z* =zL

Substitueer in de vergelijkingen

€

VL

∂u*

∂x+

VL

∂w*

∂z= 0

€

∂u*

∂x+

∂w*

∂z= 0

€

V 2

Lu* ∂u*

∂x*+w* ∂u*

∂z*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

p0

L∂p*

∂x*+

μV

L2

∂ 2u*

∂x* 2+

∂ 2u*

∂z* 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

V 2

Lu* ∂w*

∂x*+w* ∂w*

∂z*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

p0

L∂p*

∂z*−ρg +

μV

L2

∂ 2w*

∂x* 2+

∂ 2w*

∂z* 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟€

× L

ρV 2

€

× L

ρV 2

19

Reynolds getal

€

∂u*

∂x*+

∂w*

∂z*= 0

€

u* ∂u*

∂x*+w* ∂u*

∂z*= −

∂p*

∂x*+

1Re

∂ 2u*

∂x* 2+

∂ 2u*

∂z* 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

u* ∂w*

∂x*+w* ∂w*

∂z*= −

∂p*

∂z*−

Lg

V 2+

1Re

∂ 2w*

∂x* 2+

∂ 2w*

∂z* 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

Re ≅ρVL

μ=

ρV 2

μV / L=

traagheidviscositeit

Uit de schaalanalyse kunnen we concluderen dat visceuze

krachten mogen worden verwaarloosd indien Re>>1

Osborne Reynolds (1842-1912)

20

Reynolds getal

€

Re ≅ρVL

μ=

ρV 2

μV / L=

traagheidviscositeit

€

Re < 2100

€

Re > 4000€

2100 > Re > 4000

Typische Reynolds getallen

21

Visceuze stroming tussen twee platen

Probleemstelling

Stroming is incompressibel

Snelheidsvector parallel aan twee oneindig lange platen met vaste

afstand 2h

No-slip conditie op platen

Stroming is steady state

Visceuze krachten mogen niet verwaarloosd worden

source: Munson et al

22

Visceuze stroming tussen twee platen

€

∂u∂x

+∂v∂y

+∂w∂z

= 0

Probleemstelling

1. Stroming is incompressibel

2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0

3. Oneindig lange platen: (anders kan u naar oneindig gaan)

€

∂u∂z

= 0

23

Visceuze stroming tussen twee platen

€

∂u∂x

= 0

Probleemstelling

1. Stroming is incompressibel

2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0

3. Oneindig lange platen:

€

∂u∂z

= 0

€

∂u∂t

+u∂u∂x

+v∂u∂y

+w∂u∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p∂x

+ρgx +μ∂ 2u

∂x2+

∂ 2u

∂y2+

∂ 2u

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∂v∂t

+u∂v∂x

+v∂v∂y

+w∂v∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p∂y

+ρgy +μ∂ 2v

∂x2+

∂ 2v

∂y2+

∂ 2v

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∂w∂t

+u∂w∂x

+v∂w∂y

+w∂w∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p∂z

+ρgz +μ∂ 2w

∂x2+

∂ 2w

∂y2+

∂ 2w

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

4. Steady state:

€

∂∂t

= 0

5. Zwaartekracht: g=(0,-

g ,0)

24

Visceuze stroming tussen twee platen

€

∂u∂x

= 0

Probleemstelling

1. Stroming is incompressibel

2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0

3. Oneindig lange platen:

€

∂u∂z

= 0

€

0 = −∂p∂x

+μ∂ 2u

∂y2

€

0 = −∂p∂y

−ρg

€

0 = −∂p∂z

4. Steady state:

€

∂∂t

= 0

5. Zwaartekracht: g=(0,-

g,0)

25

Visceuze stroming tussen twee platen

€

0 = −∂p∂x

+μ∂ 2u

∂y2

€

0 = −∂p∂y

−ρg

€

0 = −∂p∂z

Integratie

€

p = −ρgy+ f1 x( )

Hydrostatische druk in de y-richting

Integratie

€

∂u∂y

=1μ

∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟y+c1

Integratie

€

u =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟y2 +c1y+c2

26

Visceuze stroming tussen twee platen

€

u =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟y2 +c1y+c2

"No-slip" randvoorwaarde: u(y=±h)0

€

u(y = −h) =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟h2 −c1h+c2 = 0

€

u(y = h) =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟h2 +c1h +c2 = 0

Trek deze vergelijkingen van elkaar

af

€

c1 = 0

€

c2 = −1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟h2

€

u =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ y2 −h2( )Oplossing snelheidsprofiel:

27

Visceuze stroming tussen twee platen

De volume flux (per eenheid van lengte in de z-richting)€

u =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ y2 −h2( )

De gemiddelde snelheid

€

U =1

2hudy

−h

h

∫ = −h2

3μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

€

q = udy−h

h

∫ =1

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ y2 −h2( )dy

−h

h

∫ = −2h3

3μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

€

∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟< 0

De maximale snelheid

€

Umax = u y = 0( ) = −h2

2μ∂p∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

32

U

28

Visceuze stroming in een pijp:

Poiseuille stroming

Bij een verhoging van het hematocrietgehalte (verhouding

bloedcellen/bloedplasma) van 40 naar 60, bijvoorbeeld door EPO,

kan de viscositeit van bloed met een factor 3 toenemen

€

vz =1

4μ∂p∂z

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ r2 − R2( )

€

Q = 2π vzrdr0

R

∫ = −πR4

8μ∂p∂z

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

29

Samenvatting

Bernoulli toepassen

Dimensieloos maken van vergelijkingen

Analytische vergelijking van een visceuze stroming