Physics 185 Study Guide

8/2/2019 Physics 185 Study Guide

1/9

V e c t o r S p a c e s

C r o s s P r o d u c t 3 D C a r t e s i a n C o o r d i n a t e s :

r s =< rysz rzsy, rzsx rxsz, rxsy rysx >

B A C - C A B :

a (b c) = b(a c) c(a b)

M a t r i x O p e r a t i o n s :

l

M a t r i x M u l t i p l i c a t i o n : a b cd e f

g h i

A B CD E F

G H I

=

aA + bD + cG aB + bE+ cH aC + bF + cIdA + eD + f G dB + eE + f H dC + eC + f I

gA + hD + iG gB + hE + iH gC + hF + iI

a b c

d e f

g h i

12

3

=

a1 + b2 + c3d1 + e2 + f3

g1 + h2 + i3

D e t e r m i n a n t :

det

a b cd e f

g h i

= aei + bf g + cdh ceg bdi af h

N e w t o n i a n M e c h a n i c s

N e w t o n ' s S e c o n d L a w

F =mr

I n C y l i n d r i c a l / P o l a r C o o r d i n a t e s :

Fr = m(r r2)

F = m(r + 2r)

Fz = mz

M o m e n t u m

R o c k e t M o t i o n

mv = mvex + Fext

A n g u l a r M o m e n t u m a n d T o r q u e

= r p

L =

=

1


2/9

E n e r g y

T =p2

2m=

1

2mv2

C o n s e r v a t i v e F o r c e s

1 . D e p e n d o n l y o n p o s i t i o n

2 . T h e w o r k d o n e i s i n d e p e n d e n t o f t h e p a t h

U(r) = W(ro r)

F = U

K i n e t i c E n e r g y i n P o l a r C o o r d i n a t e s :

T =1

2

m(r2 + r 22)

C a l c u l u s o f V a r i a t i o n s

x2

x1

f[y(x), y(x), x]dx

I s s t a t i o n a r y a l o n g t h e p a t h

y = y(x) i f a n d o n l y i f :

f

y

d

dx

f

y = 0

L a g r a n g i a n M e c h a n i c s

L = TU

S t e p s t o s o l v i n g f o r e q u a t i o n s o f m o t i o n :

1 . W r i t e d o w n k i n e t i c a n d p o t e n t i a l e n e r g i e s , n d i n g L = T U i n a n i n e r t i a l f r a m e

2 . C h o o s e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s

qi, , qn a n d c o n v e r t o r i g i n a l c o o r d i n a t e s t o t h i s g e n e r a l i z e d

s e t

3 . W r i t e t h e L a g r a n g i a n i n t e r m s o f t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s

4 . W r i t e d o w n a l l o f t h e L a g r a n g e e q u a t i o n s :

L

qi=

d

dt

L

qi

F i n a l l y , s o l v e t h e e q u a t i o n s f o r a l l

qi .

2


3/9

G e n e r a l i z e d M o m e n t u m :

pi =L

qi

I f Lqi = 0 , t h e n qi i s i g n o r a b l e a n d t h e g e n e r a l i z e d m o m e n t u m pi i s c o n s t a n t .

H a m i l t o n i a n :

H =

piqi L

I f

Lt

= 0, t h e n H i s c o n s e r v e d ; i f t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s a r e t i m e - i n d e p e n d e n t , H i s t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m :

H = T + U

C e n t r a l F o r c e M o t i o n

C e n t e r o f M a s s

1

M

mr

O r , f o r t h e t w o - b o d y p r o b l e m :

m1r1 + m2r2m1 + m2

= R

W e k n o w t h a t f o r t w o b o d i e s , t o t a l m o m e n t u m

P = MR i s c o n s e r v e d , i e . R i s c o n s t a n t . T h e C e n t e r o f M a s s f r a m e i s t h e r e f o r e a n i n e r t i a l f r a m e .

G e n e r a l i z e d C o o r d i n a t e s i n C e n t e r o f M a s s F r a m e

r1 = R +m2

M ra n d r2 = R +

m1

M r,

w h e r e

ri s t h e v e c t o r a d j o i n i n g t h e t w o p a r t i c l e s 1 2.

W e i n t r o d u c e t h e r e d u c e d m a s s :

=m1m2

m1 + m2

t o a r r i v e a t o u r

k i n e t i c e n e r g y

:

T =1

2MR2 +

1

2r2

T h e k i n e t i c e n e r g y d e s c r i b e s t h e e n e r g y o f t h e c e n t e r o f m a s s m o t i o n , p l u s t h e m o t i o n o f t h e

p a r t i c l e s r e l a t i v e t o t h e c e n t e r o f m a s s .

T h i s l e a d s u s t o t h e L a g r a n g i a n :

L = T U =1

2MR2 +

(1

2r2 U(r)

),

3


4/9

o r :

L = Lc m

+ Lr e l

B u t

R

i s i g n o r a b l e , m e a n i n g t h a t t h e c e n t e r o f m a s s m o v e s w i t h c o n s t a n t v e l o c i t y .

T o s o l v e

Lr e l

, w e n o t e t h a t t h i s l o o k s l i k e a s i n g l e p a r t i c l e w i t h m a s s

a n d p o s i t i o n

r :

r = U(r)

r e d u c i n g t h e p r o b l e m t o a 1 - b o d y p r o b l e m .

T h i s m e a n s t h a t a l l p r e v i o u s e q u a t i o n s w o r k , r e p l a c i n g

mw i t h

.

A n g u l a r M o m e n t u m a n d t h e E q u i v a l e n t O n e - D i m e n s i o n a l P r o b l e m

r = d

drU

e

(r) , w i t h

Ue

(r) = U(r) + Uc f

(r) = U(r) +2

2r2

g i v e n , t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e r e l a t i v e c o o r d i n a t e , d e n e d a s :

= r r

T h i s r e d u c e s t h e p r o b l e m t o a o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m w i t h p o t e n t i a l

Ue

.

O r b i t a l M o t i o n

l

U s i n g e n e r g y : S e e e x a m p l e 8 . 2

I n t e r m s o f

:

u() = u()

2u()2F,

w h e r e

Fi s a c e n t r a l f o r c e ( e g . g r a v i t y ) , a n d

u = 1r

.

T o u s e t h i s t r a n s f o r m e d e q u a t i o n , r s t s o l v e i t f o r

u(), t h e n s o l v e

r() = 1u() .

F o r e x a m p l e , t h e s o l u t i o n i n K e p l e r O r b i t s ( p l a n e t a r y , c o m e t m o t i o n ) :

r() =c

1 + cos ,

a s i n t h i s c a s e ,

F = Gm1m2r2

= r2

= u2 . N o t e t h a t :

c =2

=

2

Gm1m2, a n d

E =2

22(2 1) =

(Gm1m2)2

22(2 1), w h i c h g i v e s E

O r b i t s h a p e c a n b e d e t e r m i n e d a s f o l l o w s :

e c c e n t r i c i t y e n e r g y o r b i t s h a p e

= 0 E < 0 c i r c l e 0 < < 1 E < 0

e l l i p s e

= 1 E = 0 p a r a b o l a > 1 E > 0 h y p e r b o l a

4


5/9

V i r i a l T h e o r e m

< T >=n

2< U >

w i t h a p o t e n t i a l p r o p o r t i o n a l t o

rn

, g i v e n t i m e a v e r a g e s o f

Ta n d

U( i n r o t a t i n g f r a m e s , o n e

p e r i o d i s s u c i e n t ) . F o r e x a m p l e , i n g r a v i t a t i o n :

< T >= 1

2< U >

M e c h a n i c s i n N o n i n e r t i a l F r a m e s

N o R o t a t i o n

Fi n e r t i a l

= mA

T o a c c o u n t f o r a n o n i n e r t i a l r e f e r e n c e f r a m e , w e m u s t c o n s i d e r

F + F

i n e r t i a l

.

R o t a t i o n

= u

W e d e n e a n a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r w i t h d i r e c t i o n a l o n g t h e a x i s o f r o t a t i o n ,

u.

F o r a n y

r i g i d b o d y

w i t h a n g u l a r v e l o c i t y

a b o u t a n a x i s t h r o u g h t h e o r i g i n ,

v = r

T a k i n g

St o b e a n i n e r t i a l f r a m e , a n d

So

t o b e a n o n i n e r t i a l f r a m e ,

(dQ

dt

)S

o

=

(dQ

dt

)S

+ Q

I n o t h e r w o r d s , t o c a l c u l a t e t h e v e l o c i t y o f a v e c t o r

Q

i n a n i n e r t i a l f r a m e , w e n d i t s v e l o c i t y

i n a c o n v e n i e n t n o n i n e r t i a l f r a m e a n d c o r r e c t f o r i t s r o t a t i o n .

W i t h t h i s , w e n d N e w t o n ' s s e c o n d l a w i n a n o n i n e r t i a l f r a m e :

mr = F + Fc o r

+Fc f

w i t h t h e C o r i o l i s a n d c e n t r i g u a l f o r c e s , r e s p e c t i v e l y , d e n e d a s :

Fc o r

= 2mra n d

Fc f

= m( r)

C e n t r i f u g a l F o r c e

l

T h e c e n t r i f u g a l f o r c e o n e a r t h n e c e s s i t a t e s a s l i g h t a d j u s t m e n t i n o u r f r e e - f a l l a c c e l e r a t i o n ,

g:

g = g0 + m(R)

T h e r e i s a b o u t a 0 . 3 % d i e r e n c e i n

gb e t w e e n t h e p o l e s a n d e q u a t o r .

5


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C o r i o l i s F o r c e

l

T h e C o r i o l i s f o r c e i s a l w a y s p e r p e n d i c u l a r t o t h e v e l o c i t y o f t h e m o v i n g o b j e c t ( u s e t h e R H R ) .

R i g i d B o d y M o t i o n

C e n t e r o f M a s s M o t i o n

L = L ( m o t i o n o f C M ) + L ( m o t i o n r e l a t i v e t o C M )

T = T ( m o t i o n o f C M ) +T ( m o t i o n r e l a t i v e t o C M )

R o t a t i o n A b o u t a F i x e d A x i s (z)

L =< Ixz, Iyz, Izz >

I f a b o d y i s a x i a l l y s y m m e t r i c a b o u t a c e r t a i n a x i s , a n d i s r o t a t i n g a b o u t t h i s s y m m e t r y a x i s ,

t h e n i t s a n g u l a r m o m e n t u m w i l l b e i n t h e s a m e d i r e c t i o n .

I f t h e a n g u l a r m o m e n t u m i s a l o n g t h e a x i s o f r o t a t i o n , t h i s a x i s i s c a l l e d a

p r i n c i p l e a x i s

.

I f

z = 0i s a p l a n e o f r e e c t i o n s y m m e t r y , t h e n

Ixz a n d Iyz w i l l b e 0 .

I n e r t i a T e n s o r

I =

Ixx Ixy IxzIyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

=

m(y2 + z

2)

mxy

mxz

myx

m(x2 + z

2)

myz

mzx

mzy

m(x2 + y

2)

, w i t h :

L =

LxLyLz

a n d

=

xyz

g i v e s :

L = I

N o t e t h a t t h e s u m s c a n b e r e p l a c e d b y i n t e g r a l s f o r c o n t i n u o u s m a s s d i s t r i b u t i o n s .

I f t w o o f t h e c o o r d i n a t e p l a n e s

x = 0, y = 0, z = 0 a r e p l a n e s o f r e e c t i o n s y m m e t r y , t h e n a l l t h e o - d i a g o n a l e l e m e n t s w i l l b e 0 .

F o r a

d i a g o n a l m a t r i x

, i e .

I =

1 0 00 2 0

0 0 3

,

L = I = < 1x, 2y, 3z >

w h i c h m e a n s t h a t i f

p o i n t s a l o n g a c o o r d i n a t e a x i s , t h e n

Lm u s t p o i n t a l o n g t h e s a m e a x i s .

6


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K i n e t i c E n e r g y o f a R o t a t i n g B o d y

T =1

2 L

F i n d i n g P r i n c i p l e A x e s

l

T o n d p r i n c i p l e a x e s , s o l v e t h e

e i g e n v a l u e e q u a t i o n

:

det

(Ixx ) Ixy IxzIyx (Iyy ) Iyz

Izx Izy (Izz )

= 0

T h e n , f o r e a c h

i, p l u g i n

i t o t h e a b o v e m a t r i x a n d m u l t i p l y : (Ixx ) Ixy IxzIyx (Iyy ) Iyz

Izx Izy (Izz )

xy

z

= 0

T h i s w i l l y i e l d 3 c o m p o n e n t s f o r e a c h

, a n d 3

e i g e n v e c t o r s

i n t o t a l .

T o n o r m a l i z e t h e s e v e c t o r s , d i v i d e b y t h e i r l e n g t h .

T h e s e

e i g e n v e c t o r s 1, 2, 3 a r e t h e p r i n c i p l e a x e s o f t h e s y s t e m . T h e m o m e n t o f i n e r t i a

a b o u t o n e o f t h e s e a x e s i s t h e c o r r e s p o n d i n g

e i g e n v a l u e

1, 2, 3 .

E u l e r ' s E q u a t i o n s

W i t h

L =< 1x, 2y, 3z > i n t h e r o t a t i n g b o d y ( n o n i n e r t i a l ) f r a m e ,

(dL

dt

)S

+ L =

T h i s a l l o w s u s t o d e t e r m i n e t h e e v o l u t i o n o f

i n a n o n i n e r t i a l f r a m e x e d i n t h e r o t a t i n g b o d y .

T h e c o m p o n e n t s o f t h i s e q u a t i o n a r e a s f o l l o w s ( n o t e t h a t i s t a k e n i n t h e b o d y f r a m e ) :

11 (2 3)23 = 1

22 (3 1)31 = 2

33 (1 2)12 = 3

T h e s e a r e m o s t u s e f u l w h e n t h e t o r q u e

= 0( s e e s e c t i o n 1 0 . 8 f o r e x a m p l e s ) .

7


8/9

H a m i l t o n i a n M e c h a n i c s

qi =H

pia n d pi =

H

qi,

g i v e n t h e d e n i t i o n o f

Ha s b e f o r e .

S t e p s t o s o l v i n g m o t i o n :

1 . W r i t e d o w n t h e L a g r a n g i a n f o r t h e s y s t e m , i n t e r m s o f g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s

qi .

2 . F i n d t h e g e n e r a l i z e d m o m e n t a

pi .

3 . U s e

pi t o n d qi , t h e n p l u g t h i s i n t o t h e H a m i l t o n i a n .

4 . U s e H a m i l t o n ' s E q u a t i o n s ( a b o v e ) t o n d

qi a n d pi .

( s e e e x a m p l e 1 3 . 4 )

I g n o r a b l e C o o r d i n a t e s

l

A n y c o o r d i n a t e i g n o r a b l e i n t h e L a g r a n g i a n i s i g n o r a b l e i n t h e H a m i l t o n i a n .

I n d e p e n d e n c e o f

qi pi i s c o n s t a n t .

B e c a u s e t h e c o o r d i n a t e i s c o n s t a n t , i g n o r a b l e c o o r d i n a t e s i n t h e H a m i l t o n i a n r e d u c e t h e d e g r e e s

o f f r e e d o m b y t h e a p p r o p r i a t e a m o u n t . T h a t i s , t h e t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m :

H = H(q1, q2, p1, p2)

w i t h

q2 i g n o r a b l e r e d u c e s t o a o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m :

H = H(q1, p1, k)

w h e r e

ki s j u s t a c o n s t a n t r e l a t i n g t o i n i t i a l c o n d i t i o n s .

P o i s s o n B r a c k e t s

[f, g] Ni=1

f

qi

g

pi

f

pi

g

qi

A n d , s p e c i c a l l y ,

[f,H] = f

S o m e m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s :

[g, f] = [f, g]

[a1f1 + a2f2, g] = a1[f1, g] + a2[f2, g]

[uv,g] = u[v, g] + v[u, g]

8


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[qi, qj ] = 0 a n d [pi, pj ] = 0 a n d [qi, pj ] = ij ( 1 )

W e c a n u s e t h e P o i s s o n b r a c k e t s t o e v o l v e t h e s y s t e m s t e p b y s t e p :

f(q,p, t + t) = f(q,p, t) + t[f,H]

T h i s a l l o w s u s t o n d a n y p h y s i c a l q u a n t i t y

fa t a n y t i m e

tg i v e n t h e i n i t a l s t a t e o f t h e s y s t e m

(

H) .

T h e r e a r e m o r e p o s s i b i l i t e s f o r P o i s s o n t r a n s f o r m a t i o n s , h o w e v e r . F o r e x a m p l e , w e c a n t r a n s f o r m

t h e H a m i l t o n i a n i t s e l f :

[H, p1] =H

q1

S o m e t i m e s w e m a y n d

qf o r w h i c h H i s i n d e p e n d e n t o f q1 , i e . q1 i g n o r a b l e . W e k n o w t h a t

[H, p1] = 0

f o r t h e s e i g n o r e d v a r i a b l e s , a n d t h e r e f o r e ,

[p1,H] = [H, p1] = 0

S o , p1 i s 0 , a n d p1 i s a c o n s t a n t o f t h e m o t i o n . T h i s i s a s i m p l e e x a m p l e o f t h e p o w e r o f t h e P o i s s o n b r a c k e t .

C a n o n i c a l V a r i a b l e s

l

A n y s e t o f

q , p

t h a t s a t i s f y ( 1 ) i s c a l l e d

c a n o n i c a l

.

A c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n i s o n e t h a t m a p s c a n o n i c a l c o o r d i n a t e s t o a n e w s e t o f c a n o n i c a l

c o o r d i n a t e s . T h a t i s ,

q,p Q,P

W e n o t e t h a t t h e H a m i l t o n i a n i t s e l f i s a c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n . W h y i s t h i s i m p o r t a n t ?

D e n o t e t h e s h b r a c k e t a s f o l l o w s :

[[f, g]] =

N

i=1

f

Qi

g

Pi

f

Pi

g

Qi

,

w h e r e

Qi a n d Pi a r e d e n e d a s Qi(q,p), t h e r e s u l t o f p e r f o r m i n g a P o i s s o n t r a n s f o r m a t i o n o n qi ( s i m i l a r l y f o r Pi ) .

T h e t r a n s f o r m a t i o n i s i n v a r i a n t :

[[f, g]] = [f, g]

f o r a n y p h y s i c a l q u a n t i t i e s

fa n d

g.

I n o t h e r w o r d s , a n y s e t o f c a n o n i c a l v a r i a b l e s

q

,

p

w h i c h a r e t r a n s f o r m e d t o

Q

,

P

a r e p h y s i c a l l y

e q u i v a l e n t .

W e c a n t h e r e f o r e c h o o s e a n y c a n o n i c a l c o o r d i n a t e s w e w i s h i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e p r o b l e m .

W e c a n a p p l y a n y c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n s t o t h e m a n d s t i l l u s e t h e m i n t h e P o i s s i o n b r a c k e t .

F o r e x a m p l e , w e c a n t a k e a r o t a t e d f r a m e a n d u s e i t s v e c t o r s i n t h e P o i s s o n b r a c k e t s j u s t t h e s a m e

w a y a s w e w o u l d f o r t h e n o n - r o t a t e d f r a m e . A n o t h e r e x a m p l e , w e c a n u s e t h e H a m i l t o n i a n i n t h e

P o s s i o n b r a c k e t s t o s t e p t h r o u g h t h e m o t i o n o f a s y s t e m (

x(x0, p0, t + t) = x(x0, p0, t) + t[x,H]).A t e a c h p o i n t i n t i m e , t h e t r a n s f o r m e d c o o r d i n a t e s w i l l b e c a n o n i c a l , s o w e c a n u s e t h e P o i s s o n

b r a c k e t s a t e v e r y p o i n t i n t h e m o t i o n .

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Physics 185 Study Guide