Petunjuk Praktikum Metnum - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · TUGAS Tentukan selang akar ... Numerical Methods for Engineers with Personal Computer

Petunjuk Praktikum Metode Numerik Dewi Rachmatin 1

PETUNJUK PRAKTIKUM

METODE NUMERIK (MT318)

Oleh :

Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2009


PRAKTIKUM1

Metode Grafik Tunggal dan Metode Grafik Ganda

Aturan Tanda Descartes

Metode Tabulasi

1. MINGGU KE : 1

2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer

3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win

Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat membuat estimasi

pendahuluan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan

penentuan akar persamaan tak linier, seperti menentukan selang akar dengan

metode grafik tunggal, metode grafik ganda, aturan tanda descartes dan metode

tabulasi. Dalam pengerjaannya untuk grafik mahasiswa dibantu dengan software

Maple 7, sedangkan untuk metode tabulasi dapat menggunakan Delphi 7, Turbo

Pascal for Win atau menggunakan Visual Basic.

5. TEORI PENGANTAR

Untuk fungsi-fungsi yang sederhana di mana grafik fungsinya dapat

digambarkan dengan mudah, ada dua metode grafik yang dapat dilakukan untuk

mendapatkan tebakan awal dari akar persamaan 0)( xf , yaitu metode grafik

tunggal dan metode grafik ganda.

Contoh : Tentukan lokasi akar dan tebakan awal untuk akar persamaan fungsi :

096,3 46,2 5,2)( 23 xxxxf .


Penyelesaian :

Grafik fungsi 96,3 46,2 5,2)( 23 xxxxf .

Dari grafik dapat dilihat, tebakan awal untuk akar persamaan (2.1) dapat

dipilih beberapa titik yang cukup dekat dengan akar persamaan seperti : -2, -1, 0

atau 2. Sedangkan salah satu akar diperoleh dari grafik yaitu x = 1.

Metode grafik ganda digunakan untuk persamaan fungsi 0)( xf yang

penjabaran fungsi )(xf dapat didekomposisi menjadi pengurangan dua buah

fungsi yaitu 0)()()( 21 xfxfxf .

Aturan Tanda Descartes

Untuk menentukan lokasi akar polinom yaitu akar dari persamaan berikut :

0...)( 011

1 axaxaxaxp n

nn

n

ada dua tahap pengerjaan yaitu : tahap pertama penentuan komposisi akar polinom

dengan aturan tanda Descartes dan tahap kedua penentuan batas selang akar.

Untuk menentukan komposisi akar polinom, perhatikan langkah berikut.

Misalkan u adalah banyaknya pergantian tanda koefisien ia dari polinom

)(xp dan np adalah banyaknya akar riil positif, maka berlaku :

(i) np u

(ii) u - np = 0, 2, 4, …

Sedangkan untuk menentukan komposisi akar riil negatif, misalkan v adalah

banyaknya pergantian tanda koefisien ia dari polinom )( xp dan ng adalah

banyaknya akar riil negatif, maka berlaku :

y = f(x)

X

Y


(i) ng v

(ii) v – ng = 0, 2, 4, …

Penentuan batas selang akar ditentukan oleh aturan berikut :

n

k

nk aamaksr

11

Sehingga selang akar yang dicari adalah [-r,r].

Metode Tabulasi

Untuk fungsi-fungsi yang kompleks atau tidak dengan mudah dapat dibuat

grafiknya dapat digunakan metode tabulasi. Caranya yaitu dengan membuat

tabulasi titik-titik di mana terdapat pergantian tanda pada nilai-nilai dari fungsi f.

Jika pada tabel yang dibuat terdapat suatu selang (a,b) di mana terdapat pergantian

tanda dari )(af ke )(bf , dari + ke – atau sebaliknya maka akar persamaan yang

dicari terdapat pada selang (a,b).

6. LANGKAH KERJA

Penulisan perintah dengan Maple7 untuk menggambar fungsi satu peubah

pada bidang Cartesius :

> plot(f, h, v);

> plot(f, h, v,...);

di mana

f – fungsi yang digambar

h – range horisontal

v – range vertikal

color – warna grafik fungsi

Jika fungsi yang akan digambar ada 2 fungsi, maka lakukan perintah berikut:

> plot([f1, f2], h, v);

Jika fungsi yang akan digambar adalah fungsi implisit, lakukan :

> implicitplot(f,h,v);


Untuk aturan Descartes, langkah-langkahnya telah dijelaskan pada bagian

sebelumnya, dan metode tabulasi dapat dibuat sesuai algoritma untuk prosedur

metode tabulasi yang telah dijelaskan.

7. TUGAS

Tentukan selang akar untuk masalah penentuan akar persamaan tak linier,

dengan metode yang sesuai, bisa metode grafik tunggal atau metode grafik

ganda, aturan Descartes yang dilanjutkan penentuan batas selang akar

khusus untuk akar polinom, atau bisa metode tabulasi.

1. (a) 0cos xx

(b) 02sin2 xx

(c) 0sin xe x

2. (a) 01 2 xex

(b) 0tan2 xx

(c) 02 2 xex .

Daftar Pustaka :

Atkinson, K. (1985). Elementary Numerical Analysis. New York : John Wiley &

Sons.

Chapra, S. & Canale. (1991). Numerical Methods for Engineers with Personal

Computer Applications. MacGraw-Hill Book Company.

Conte, S. & Boor. (1992). Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic

Approach. 3rd Edition. MacGraw-Hills. Inc.

Epperson, J. (2002). Introduction to Numerical Methods and Analysis. New York

John Wiley & Sons.

Mathews, J. (1993). Numerical Methods for Mathematics, Science and

Engineering. 2nd Edition. London : Prentice-Hall Int.

Munir, R. (1997). Metode Numerik untuk Teknik Informatika. Institut Teknologi

Bandung.

Nakamura. S. (1991). Applied Numerical Methods with Software. London:

Prentice-Hall Int.


Purcell, Edwin dan Dale Varberg. (1984). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid1.

Edisi ke3. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Rajaraman, V. (1981). Computer Oriented Numerical Methods. New Delhi :

Prentice-Hall of India.

Ralston, A. (1965). A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill.

Susila, Nyoman. (1994). Dasar-dasar Metode Numerik. Jakarta : DIKTI.

Walpole, R. & Myers. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Ilmuwan. Bandung : Penerbit ITB.

Waterloo Maple Inc. (2001). Maple 7 Learning Guide. Canada.


PRAKTIKUM 2

Metode Bagidua dan Metode Posisi Palsu

1. MINGGU KE : 2



Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan

metode bagidua dan metode posisi palsu untuk menentukan hampiran akar pada

masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang

dikuasainya.

5. TEORI PENGANTAR

Metode bagidua (bisection method) memulai siklus iterasi dengan

memilih dua tebakan awal yang dekat dengan akar persamaan. Dipilih dua

tebakan awal 0x dan 1x yang cukup dekat dengan akar di mana nilai )( 0xf dan

nilai )( 1xf berlawanan tanda. Pertama kali selang ),( 10 xx dibagidua dan titik

tengahnya dinamakan 2x , sehingga 2/)( 102 xxx .

Jika )( 2xf = 0 maka 2x adalah akar persamaan yang dicari. Bagaimana

jika )( 2xf > 0 ? akar terletak antara 0x dan 2x , dan 1x digantikan oleh 2x .

Selanjutnya akar ditentukan pada selang yang baru, yang panjangnya setengah

dari selang terdahulu. Sekali lagi dihitung )( 2xf pada titik tengah dari selang

yang baru ini. Pada selang yang baru ini )( 2xf < 0 sehingga akar terletak antara

2x dan 1x . Gantikan 0x dengan 2x dan sekali lagi bagidua selang yang baru.

Pengulangan pembagiduaan membuat akar semakin dekat dengan selang

yang dicari dan selang ini dibagidua dalam setiap iterasi.


Metode posisi palsu atau metode regula falsi ini dibuat untuk

memperbaiki metode bagidua yaitu untuk mempercepat kekonvergenan metode

bagidua.

Prosedur metode posisi palsu mulai dengan memilih dua tebakan awal

yaitu 0x dan 1x di mana nilai fungsinya pada kedua tebakan awal ini berbeda

tanda. Hubungkan kedua titik yaitu ))(,( 00 xfx dan ))(,( 11 xfx dengan garis lurus,

dan tentukan titik perpotongan garis ini dengan sumbu X. Sebut absis titik

perpotongan dengan 2x .

Jika )( 2xf dan )( 0xf berlawanan tanda maka gantikan 1x dengan 2x .

Kemudian gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik

))(,( 00 xfx dengan ))(,( 22 xfx untuk menentukan titik perpotongan yang baru.

Tetapi jika )( 2xf dan )( 0xf tidak berbeda tanda maka gantikan 0x dengan 2x ,

kemudian tentukan titik perpotongan yang baru.

Misalkan tan merupakan kemiringan garis yang menghubungkan

))(,( 00 xfx dan ))(,( 11 xfx sehingga diperoleh persamaan berikut.

tan = 01

01 )()(xx

xfxf

.

Dari sifat sudut-sudut sehadap diperoleh :

tan = 21

21 )()(xx

xfxf

atau tan = 21

1 )(xx

xf

.

Sehingga diperoleh : )()(

)()(

01

01102 xfxf

xfxxfxx

.


6. LANGKAH KERJA

Untuk menentukan hampiran akar dengan metode bagidua dan metode

posisi palsu ikuti algoritma-algoritma berikut :

Algoritma Metode Bagidua :

Masukan : )(xf , 0x , 1x ,

Keluaran : akar ( 2x )

Langkah :

1 2/102 xxx

2 Jika 0)().( 10 xfxf maka cetak ‘proses gagal, tebakan awal

tidak cocok’. Selesai

3 Jika 0)().( 20 xfxf maka 21 xx , jika tidak 20 xx

4 Jika 101 / xxx maka akar = 2x . Selesai

5 Ulangi kembali langkah 1

Algoritma Metode Posisi Palsu :

Masukan : )(xf , 0x , 1x ,


Langkah :

1 )( ; )( 1100 xfyxfy

2 0101102 / yyyxyxx

3 )( 22 xfy

4 Jika 2y maka akar = 2x . Selesai

5 Jika 0. 02 yy maka 21 xx , 21 yy ,

jika tidak 20 xx , 20 yy .

6 Ulangi langkah 2.


7. TUGAS

1. Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode bagidua dan metode posisi palsu.

(a) xe x ln ; 0x =1, 1x =2

(b) 3ln2 xx ; 0x =1, 1x =2

(c) 24 xxe x ; 0x = 0, 1x =1

(d) 01cos xx ; 0x =0,8 , 1x =1,6

2. Tentukan dua akar dari persamaan berikut : 0cossin)( xxxxf

sampai tiga digit keberartian menggunakan : (a) Metode bagidua

(b) Metode posisi palsu

Daftar Pustaka :

Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.


PRAKTIKUM 3

METODE NEWTON-RAPHSON

METODE SECANT

1. MINGGU KE : 3



Visual Basic

4. TUJUAN


metode N-R dan metode Secant untuk menentukan hampiran akar pada masalah

penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.

5. TEORI PENGANTAR

Prosedur metode Newton-Raphson (metode N-R) mulai dari sebarang titik 0x yang cukup dekat dengan akar.

Langkah 1 : Tentukan kemiringan dari fungsi )(xf pada 0xx .

Namakan )( 0xf .

Langkah 2 : Tentukan hampiran akar yaitu 1x dengan menggunakan persamaan

10

00

)()(

xxxfxf

atau )()(

0

001 xf

xfxx

.

Secara umum untuk memperoleh hampiran akar ke (i+1)

digunakan rumus : )()(

1i

iii xf

xfxx

.

Langkah 3 : Hentikan iterasi bila dua hampiran akar yang berurutan cukup dekat.


Metode secant menghampiri turunan pertama fungsi ( )f x pada masalah

penentuan hampiran akar persamaan ( ) 0f x , dengan :

1

1)()()(

ii

iii xx

xfxfxf

di mana ix dan 1ix adalah dua hampiran akar untuk iterasi ke-i dan iterasi ke i-1.

Nilai hampiran akar pada iterasi ke i+1 diperoleh dari dua nilai hampiran

akar sebelumnya yaitu 1ix dan ix yang diterapkan pada persamaan tersebut :

)()(

)()(

1

111

ii

iiiii xfxf

xfxxfxx

dengan 1ix adalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan dua

titik yaitu ))(,( 11 ii xfx dengan ))(,( ii xfx .

6. LANGKAH KERJA

Untuk menentukan hampiran akar dengan metode N-R dan metode Secant

ikuti algoritma-algoritma berikut :

Algoritma Metode Newton-Raphson :

Masukan : )(xf , )(xf , 0x , delta, , n


Langkah : 1 Iterasi = 1

2 Jika 0f delta maka cetak kemiringan terlalu kecil. Selesai.

3 0001 / ffxx

4 Jika 101 / xxx maka cetak akar = 1x . Selesai

5 10 xx

6 Iterasi = Iterasi + 1 7 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 2

8 Proses belum konvergen. Selesai.


Algoritma Secant :

Masukan : )(xf , 0x , 1x , , delta, n



2 Jika 01 ff delta maka cetak ’ 01 ff terlalukecil’.Selesai

3 0101102 / fffxfxx

4 Jika 2f e maka akar = 2x . Selesai

5 10 ff

6 21 ff

7 10 xx

8 21 xx

9 Iterasi = iterasi + 1

10 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 3

11 Proses belum konvergen. Selesai

7. TUGAS

Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode N-R dan metode Secant.

1. xe x ln 0x =1.

2. 3ln2 xx ; 0x =1.

3. 24 xxe x ; 0x = 0.

4. 01cos xx ; 0x = 0,8.

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 4

METODE ITERASI TITIK TETAP

1. MINGGU KE : 4



Visual Basic

4. TUJUAN


metode iterasi titik tetap untuk menentukan hampiran akar pada masalah

penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.

5. TEORI PENGANTAR

Pada metode iterasi titik tetap, persamaan 0)( xf secara aljabar dapat

ditransformasi menjadi bentuk )(xgx . Sehingga prosedur iterasi yang

berpadanan dengan bentuk tersebut adalah )(1 nn xgx .

Contoh :

Tentukan akar persamaan berikut : 082)( 2 xxxf .

Penyelesaian :

Persamaan (2.10) dapat ditulis : )(1 xgx = 421 2 x .

Sehingga )(11 nn xgx = 421 2 nx . Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai :

x

xgx 82)(2

82)(3 xxgx

dan 82)(4 xxgx


Kekonvergenan metode ini bergantung pada kenyataan bahwa di sekitar

akar, kurva )(xg kurang curamnya daripada garis lurus y = x atau kondisi

1)( xg merupakan syarat cukup untuk kekonvergenan.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap :

Masukan : )(xg , 0x , , n



2 )( 01 xgx

3 Jika 101 / xxx maka akar = 1x . Selesai

4 10 xx

5 Iterasi = iterasi + 1

6 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 2

7 Proses belum konvergen. Selesai

7. TUGAS

Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode Iterasi Titik Tetap.

1. xe x ln 0x =1.

2. 3ln2 xx ; 0x =1.

3. 24 xxe x ; 0x = 0.

4. 01cos xx ; 0x = 0,8.

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 5

INTERPOLASI BEDA MAJU NEWTON

INTERPOLASI BEDA MUNDUR NEWTON

1. MINGGU KE : 5



Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menentukan

hampiran nilai fungsi dari argumen-argumen yang ditabelkan dengan interpolasi

beda maju dan beda mundur Newton.

5. TEORI PENGANTAR

Andaikan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris )(jf jxf dari suatu

fungsi f pada titik - titik yang berjarak sama: x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,

x3 = x0 + 3h, ..., dengan h > 0 tetap, dengan )( jxf mungkin berupa hasil suatu

rumus atau mungkin diperoleh secara empiris dari percobaan. Andaikan pula

.,..,f,f,f,f,f 21012 adalah nilai-nilai dari )( jxf masing-masing untuk

...,x,x,x,x,x 21012 .Maka .,..),ff(),ff(),ff(),ff( 12011021 disebut

beda-beda dari )(jf jxf .

Beda maju pertama dinotasikan dengan :

mfmfmf 1 .

Beda dari beda-beda maju pertama disebut beda-beda maju kedua dan

dinotasikan:

mfmfmf 12 .

Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda maju ketiga, keempat, dan

seterusnya. Bentuk umumnya:


n+1fm = nfm+1 - nfm untuk n = 0, 1, 2, ...

Beda - beda Mundur (Backward Difference)

Notasi yang dipakai dalam beda-beda mundur adalah sebagai berikut:

f 0 = f 0 - f –1 ; f –1 = f –1 - f 0 ;

dan seterusnya, disebut beda-beda mundur pertama. Secara umum ditulis:

f m = f m - f m-1 .

Beda dari beda-beda mundur pertama disebut beda-beda mundur kedua dan

dinotasikan:

2 f m = f m - f m-1 .

Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda mundur ketiga, keempat, dan seterusnya. Bentuk umumnya:

n+1fm = nfm - nfm-1 untuk n = 0, 1, 2, ...

Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik

data dengan garis lurus. Teknik ini yang dinamakan interpolasi linier :

P1(x) = f0 + r. f0 ; dengan x = x0 + rh , r = hxx 0 , 0 r n.

Jika tersedia tiga titik data (x0,f0), (x1,f1), dan (x2,f2), lebih baik digunakan

polinom orde kedua (juga disebut polinom kuadrat atau parabola). Rumus

interpolasi kuadrat dinyatakan :

p2(x) = f0 + r . f0 + 2

)1( rr 2f0 .

Interpolasi kuadrat lebih baik daripada interpolasi linier. Tentu akan lebih

baik lagi bila kita memakai polinom yang derajatnya lebih tinggi lagi. Bila

polinom interpolasi derajat n yang diinginkan, maka jumlah titik yang dibutuhkan

harus (n+1) buah.


Polinom interpolasi derajat n diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju

Newton :

f(x) Pn(x) = 0s

0 f

srn

s

= f0 + r . f0 + !2

)1( rr 2 f0

+ . . . + !

1) n -(r . . . )1(n

rr n f0

dengan x = x0 + rh , r = hxx 0

, 0 r n.

Suatu rumus yang serupa dengan rumus tadi tetapi melibatkan beda-

mundur adalah rumus interpolasi beda-mundur Newton :

f(x) Pn(x) = f0 + r. f0 + ! 2

)1( rr 2 f0 + . .

+ !

)1( . . . )1( n

nrrr n f0

dengan x = x0 + rh, r = (x – x0)/h , 0 r n.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma setiap metode interpolasi pada topik praktikum ini ditugaskan

untuk mahasiswa, dan diserahkan sebelum praktikum 5 dimulai.


7. TUGAS

1. Diberikan data berikut:

x 0 1 2 2,5 3 4

y 1,4 0,6 1,0 0,65 0,6 1,0

Memakai interpolasi Newton f1(x), f2(x), f3(x) dan f4(x), hitung nilai

interpolasi di titik x = 0,75.

2. Taksirlah ln 2 dengan memakai interpolasi kuadrat bila diketahui ln 1 = 0,

ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595.

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 6

INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON

1. MINGGU KE : 6



Visual Basic

4. TUJUAN


algoritma polinom beda terbagi Newton untuk menyelesaikan masalah

penghampiran nilai fungsi.

5. TEORI PENGANTAR

Sebelum sampai kepada formula interpolasi beda terbagi Newton,

didefinisikan terlebih dahulu beda-beda terbagi, yang secara iteratif dinyatakan

oleh hubungan:

f[x0,x1] = 01

01

x-x)x(f)x(f

f[x0,x1,x2] = 02

1021

x-x]x,x[f]x,x[f

. . . . . . . . . . . . . . .

f[x0,x1, . . . ,xn] = 0

11021

x-n

nn

x]x,...,x,x[f]x,...,x,x[f …(3.21)

Formula Interpolasi Ordo 1

Formula ini diperoleh dengan cara yang sama seperti formula interpolasi

linier.

P1(x) = f(x0) + )0()1(0x-1

0 xfxfx

xx

P1(x) = f(x0) + (x - x0)

0x-1

)0()1(x

xfxf


P1(x) = f(x0) + (x - x0).f[x0,x1]

Jadi diperoleh:

P1(x) = f0 + (x - x0). f[x0,x1]

Formula Interpolasi Ordo 2

Secara umum interpolasi ordo 2 dinyatakan dengan:

f(x) P2(x) = a0 + a1x + a2x2. Persamaan tersebut ekuivalen dengan

polinomial P2(x) = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0) (x - x1).

P2(x2) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] + (x - x0)(x - x1) . f[x0,x1,x2]

Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi beda

terbagi Newton sebagai berikut:

f(x) = Pn(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1]

+ (x - x0)(x - x1) . f[x0,x1,x2] + . . . . +

(x - x0)(x - x1) . . . (x - xn-1) . f[x0,x1, . . ., xn]

6. LANGKAH KERJA

Algoritma Polinom Beda Terbagi Newton

Masukan : n, xi, f(xi) dengan i = 0, 1, 2, . . . , n. x ,

Keluaran : f(x)

Langkah-langkah:

1 b0 f(x0) = f0

2 pbagi b0

3 faktor 1


4 Untuk i = 1, 2, . . . , n, lakukan

5 bi f(xi)

6 Untuk j = i-1, i-2, . . . , 0 , lakukan

7 bj jxix

jbjb

1

8 faktor faktor . (x - xi-1)

9 suku b0 . faktor

10 pbagi pbagi + suku

11 Jika suku , selesai.

7. TUGAS

Diketahui ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595 dan

ln 5 = 1,6094379.

Taksirlah ln 2 dengan memakai polinom interpolasi beda terbagi Newton

ordo ketiga.

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 7

INTERPOLASI LAGRANGE

1. MINGGU KE : 7



Visual Basic

4. TUJUAN


interpolasi Lagrange untuk menyelesaikan masalah penghampiran nilai fungsi.

5. TEORI PENGANTAR

Polinom Interpolasi Lagrange

Polinom interpolasi Lagrange hanyalah perumusan ulang dari polinom

Newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Dengan demikian,

polinom interpolasi Lagrange dapat diturunkan langsung dari polinom interpolasi

Newton tersebut.

Polinom Interpolasi Lagrange Ordo 1

Perhatikan kembali formula polinom interpolasi Newton ordo 1:

f(x) P1(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1]

Untuk menurunkan bentuk Lagrange, beda-beda terbagi dirumuskan ulang

f[x0,x1] = 10

001

1xx

fxx

f

Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke persamaan pertama sehingga diperoleh:

P1(x) =

1

0 i

j x

x-x

ij0j

1

ii

j

f.x


Polinom Interpolasi Lagrange Ordo 2

Formula polinom interpolasi Newton ordo 2 adalah:

P2(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] + (x - x0) (x - x1) . f[x0,x1,x2]

Beda-beda terbagi ordo 2 dirumuskan ulang

f[x0,x1,x2] = )21)(01(

1)20)(10(

0xxxx

fxxxx

f

+ )12)(02(

2xxxx

f

Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke formula interpolasi Newton ordo 2

sehingga diperoleh:

P2(x) =

2

0 i

j x

x-x

ij0j

2

ii

j

f.x

Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi

Lagrange sebagai berikut :

Pn(x) =

n

iii

n

ii

j

f).x(Lf.x 00 i

j x

x-x

ij0j

n .

6. LANGKAH KERJA

Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange

Masukan : n, xi, f(xi) dengan i = 0, 1, 2, . . . , n

Keluaran : plag

Langkah-langkah:

1 plag 0


2 Untuk i = 0, 1, 2, . . . , n lakukan:

3 faktor 1

4 Untuk j = 0, 1, 2, . . . , n

5 Jika j i , faktor faktor . jxixjxx

6 plag plag + faktor . f(xi)

7. TUGAS

1. Diberikan data berikut:

x 1 2 3 5 6

f(

x)

4,75 4 5,25 19,75 36

Hitung f(3,5) dengan memakai polinom Lagrange ordo 1 sampai ordo 3.

2. Diberikan titik-titik simpul x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, dan x4 = 5. Memakai

interpolasi polinom Lagrange tentukan interpolasi di titik x = 4 dan x =

3,5. Andaikan f(x) = 2 Sin (x/6).

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 8

METODE ELIMINASI GAUSS DAN PIVOTING

PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER

1. MINGGU KE : 8



Visual Basic

4. TUJUAN


metode eliminasi Gauss dan Pivoting untuk menyelesaikan masalah-masalah pada

sistem persamaan linier.

5. TEORI PENGANTAR

Bentuk-bentuk sistem persamaan linier sangat banyak muncul dalam

aplikasi, misalnya dalam jaringan listrik, sehingga perlu dicari metode untuk

menyelesaikannya. Pada bagian ini akan dibicarakan mengenai sistem persamaan

linier saja yang dalam penyajiannya akan menggunakan bentuk matriks.

Pada prinsipnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ada dua

macam, yaitu:

1) Cara langsung, antara lain dengan eleminasi Gauss dan dekomposisi LU.

2) Cara tidak langsung (iteratif), antara lain dengan metode Jacobi dan metode

Gauss-Seidel.

Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa

matriks segitiga atas disebut sistem persamaan linier segitiga atas. Sistem

persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk :


nn

nnn,nn

nn

nn

cxcxax

cxaxacxaxaxa

a a

nn

1111-n1,-n

22222

11212111

Dengan asumsi elemen-elemen diagonal tak nol, akk 0 untuk k =

1, 2, ... , n, maka terdapat suatu solusi tunggal dari sistem persamaan linier di

atas. Kondisi akk 0 ini sangat penting karena persamaan tersebut melibatkan

pembagian oleh akk. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi maka solusinya tidak ada

atau terdapat takhingga banyaknya solusi. Untuk mengatasi hal tersebut dilakukan

pengaturan kembali susunan sistem persamaannya sedemikian sehingga elemen

diagonal yang dipakai sebagai tumpuan dipilih tidak sama dengan nol. Cara

tersebut sering disebut eliminasi dengan pivoting.

Penyelesaian sistem persamaan linier segitiga atas mudah dicari dengan

mempergunakan substitusi mundur (backward substitution). Proses inilah yang

disebut eliminasi Gauss. Pada eliminasi Gauss, bilangan akk pada posisi (k,k)

yang dipakai untuk mengeliminasi xk dalam baris-baris k+1, k+2, ..., n

dinamakan elemen tumpuan (pivot) ke-k, dan k disebut baris tumpuan.

Metode eliminasi Gauss terdiri dari 3 macam, yaitu:

1) Eliminasi Gauss naif (= apa adanya, tidak mempedulikan nilai pivot).

2) Eliminasi Gauss pivoting parsial.

3) Elimnasi Gauss pivoting parsial terskala.

Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa

matriks segitiga bawah disebut sistem persamaan linier segitiga bawah. Sistem

persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk:

nnnnnn cxa

cc

xa

xa

xa

xaxa

2

1

22

222

11

121

111


Metode Eliminasi Gauss Naif

Eliminasi Gauss naif termasuk hitungan langsung sehingga galatnya tidak

dapat diatur (perambatan galat sulit dihindari). Selain itu juga, elemen tumpuan

yang nol sulit dihindari. Untuk itulah diperbaiki dengan strategi pivoting.

Jika akk = 0, perlu mencari baris r, dengan ark 0 dan r > k, kemudian

mempertukarkan baris k dengan baris r sehingga diperoleh elemen tumpuan

tak nol.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma Substitusi Mundur untuk Matriks Segitiga Atas Masukan : n, aij, ci, i,j = 1, 2, ..., n.

Keluaran : xi , i = 1, 2, ..., n.

Langkah-langkah:

Algoritma Substitusi Maju untuk Matriks Segitiga Bawah ditugaskan kepada

mahasiswa, dan harus dibawa ketika akan melaksanakan praktikum kedelapan.

xn = cn/ann

Untuk k = n-1, n-2, ..., 1 lakukan:

jumlah 0

Untuk j = k+1, k+2, ..., n lakukan:

jumlah jumlah + akj.xj

xk ( Ck – jumlah ) / akk


Algoritma Eliminasi Gauss Naif

Masukan : n, a(i,j), i = 1, 2, . . ., n

j = 1, 2, . . ., n+1

Keluaran : x(i), i = 1, 2, . . ., n.

Langkah-langkah:

1. Untuk k = 1, 2, . . ., n-1, lakukan:

Jika akk 0 maka ke langkah 7

Jika tidak, maka baris k

2. Untuk i = k +1, k+2, . . ., n, lakukan:

Jika aik 0, maka ke langkah 4

Jika tidak, ke langkah 3

3. Cetak “Matriks Singular”, selesai

4. Baris i

5. Untuk i = k, k + 1, . . ., n+1, lakukan:

D aki

aki abaris, i

abaris,i D

6. Untuk i = k+1, k+2, . . ., n, lakukan:

P aik/akk

Untuk j = k+1, k+2, . . ., n+1, lakukan:

aij aij - P.akj

aik 0

8. Jika ann = 0, maka matriks singular. Selesai.

9. xn an,n+1/ann

10. Untuk k = n-1, n-2, . . ., 1, lakukan:

jumlah 0

Untuk j = k+1, k+2, . . ., n, lakukan:

jumlah jumlah + akj * xj

xk (ak,n+1 - jumlah) /akk


7. TUGAS

1. Selesaikan SPL segitiga atas berikut

x1 + x2 + 2x3 - x4 = 2

2x2 - x3 + 2x4 = 9

3x3 + x4 = 6

-2x4 = -6

2. Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss naif dan eliminasi

Gauss pivoting parsial.

a. x1 - 2x2 + x3 = 0

2x1 + x2 + x3 = 9

3x1 - x2 + 3x3 = 10

b. x1 + 4x2 + 7x3 - 2x4 = 10

4x1 + 8x2 + 4x3 = 8

x1 + 5x2 + 4x3 - 3x4 = - 4

x1 + 3x2 - 2x4 = 10

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 9

ITERASI JACOBI

ITERASI GAUSS-SEIDEL

1. MINGGU KE : 9



Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan

iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan masalah sistem

persamaan linier.

5. TEORI PENGANTAR

Iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel merupakan metode penyelesaian

SPL secara tak langsung. Dalam metode eliminasi Gauss melibatkan banyak

galat pembulatan yang dapat menyebabkan solusi yang diperoleh jauh dari solusi

sebenarnya. Dengan kedua metode iterasi ini galat pembulatan dapat diperkecil,

karena iterasi dapat diteruskan sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan

batas galat yang diinginkan.

SPL AX = C dapat diselesaikan dengan metode ini sehingga konvergen,

apabila matriks koefisien A memenuhi syarat cukup yaitu dominan secara

diagonal:

n

ij,jijii aa

1 , untuk i = 1, 2, 3, . . . , n.


Pandang SPL:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

dengan matriks koefisiennya dominan secara diagonal. Untuk mencari hampiran

solusinya disarankan bentuk-bentuk iteratif berikut:

x1 = 11

)1313212(1a

nxnaxaxab

x2 = 22

)2323121(2a

nxnaxaxab

xn = nn

nn,nnnn

a)xaxaxa(b 112211

Misalkan diberikan nilai awal (x1,x2, . . ., xn), bentuk umum proses

iteratif Jacobi adalah

,....,,kdann,...,,iuntuka

xab

xii

n

ijj

kjiji

ki 210 21

11

Sedangkan bentuk umum proses iteratif Gauss-Seidel adalah

iia

n

ij

kjxija

i

j

kjxijaib

kix

1

1

1

1

1 untuk i = 1, 2, . . ., n dan k = 0, 1, 2, . .

6. LANGKAH KERJA

Algoritma iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel ditugaskan kepada

mahasiswa dan wajib diserahkan sebelum praktikum kesembilan dilaksanakan.


7. TUGAS

Carilah hampiran akar SPL berikut sampai iterasi ke 3 dengan iterasi

Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel. Mulailah dengan nilai awal (x,y,z) = (0,0,0)

sehingga konvergen ke penyelesaiannya.

1. 5x - y + z = 10

2x + 8y - z = 11

-x + y + 4z = 3

2. x1 + x2 + 3x3 = 10

3x1 - x2 + x3 = -2

x1 + 4x2 - x3 = 4

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 10

PENGHAMPIRAN FUNGSI DENGAN

METODE KUADRAT TERKECIL

(REGRESI LINIER)

1. MINGGU KE : 10



Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan

metode kuadrat terkecil untuk menghampiri nilai fungsi dengan model yang

cocok.

5. TEORI PENGANTAR

Pada praktikum sebelumnya telah dipelajari teknik interpolasi untuk

memperkirakan nilai sebuah fungsi untuk suatu argumen yang bukan anggota dari

argumen-argumen yang ditabulasikan. Diasumsikan bahwa nilai-nilai yang

ditabulasikan tidak mempunyai galat atau kesalahan. Jika nilai-nilai pada tabel

diperoleh sebagai hasil pengamatan, nilai-nilai itu akan mempunyai galat hasil

pengamatan. Galat hasil pengamatan ini adalah kuantitas yang acak dan dapat

digambarkan hanya secara statistika saja. Galat-galat ini akan bervariasi atas

sebuah rentangan dan beberapa galat kemungkinan cukup besar. Pada kasus

seperti ini dapat dicocokkan sebuah hampiran kurva dengan tujuan memperoleh

sebuah kurva yang secara statistika terbaik atau yang paling cocok.

Andaikan 1x , 2x ,…, nx adalah nilai-nilai dari sebuah peubah bebas X dan

1y , 2y ,…, ny adalah nilai-nilai dari peubah tak bebas (terikat) Y yang bersesuaian

dengan X. Misalkan )(ˆˆ xfy adalah nilai hampiran atau taksiran untuk sebuah


fungsi f . Galat antara y nilai-nilai hampiran untuk fungsi f dengan y nilai-

nilai sebenarnya yang ditabulasikan adalah

ˆˆ ( )i i i i id y y y f x

Jika suatu data yang diplot mengumpul di sekitar sebuah garis lurus

sehingga dapat dikatakan bahwa sebuah garis lurus menggambarkan situasi yang

cukup masuk akal, sehingga dapat dinyatakan dengan persamaan :

xaay 10ˆ

yang menggambarkan sebuah garis lurus. Jumlah kuadrat simpangannya atau

jumlah kuadrat galatnya adalah :

S = 2

110

2

1

ˆ

n

iii

n

iii xaayyy .

Kita akan mendiskusikan sebuah metode penghitungan 0a dan 1a pada

persamaan linier tadi dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat antara nilai-

nilai yang diukur dan yang diberikan pada persamaan tersebut. Maka untuk

meminimumkan S, diambil turunan parsial dari S terhadap 0a dan 1a kemudian

samakan dengan nol, hasilnya diperoleh persamaan yang disebut persamaan

normal.

Metode kuadrat terkecil ini dapat diterapkan pada kasus-kasus yang lain

seperti : fungsi polinom derajat 2 ” 2210ˆ xaxaay ”, fungsi eksponensial

” bxeay ˆ ”, fungsi hiperbol ”bxa

y

1ˆ “, kurva geometri ” cxay b ˆ ” dan

fungsi trigonometri ” sin ˆ xAy ”.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma untuk Regresi Linear

Masukan : n, ),( ii yx untuk i=1,2…,n

Keluaran : 0a dan 1a

Langkah :

1 Jumlah xsq = 0


2 Jumlah y = 0

3 Jumlah xy = 0

4 Untuk i=1,2…,n lakukan :

5 baca ix , iy

6 jumlah x = jumlah x + x

7 jumlah xsq = jumlah xsq + 2x

8 jumlah y = jumlah y + y

9 jumlah xy = jumlah xy + x . y

10 denom = n . jumlah xsq – jumlah x . jumlah x

11 0a = (jumlah y . jumlah xsq – jumlah x .jumlah xy )/denom

12 1a = (n . jumlah xy – jumlah x . jumlah y )/denom

13 cetak 0a , 1a . Selesai.

7. TUGAS

1. Sebuah percobaan memberikan nilai-nilai pada tabel berikut untuk peubah

tak bebas y untuk himpunan nilai-nilai x yang diberikan. Lakukan

pencocokan kuadrat terkecil yang sesuai untuk data berikut.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 5,5 7,0 9,6 11,5 12,6 14,4 17,6 19,5 20,5

2. Untuk data pada tabel berikut, plot y vs x . Dari plot tersebut tebak

bentuk kurva yang cocok. Gunakan metode kuadrat terkecil untuk

mencocokkan kurva. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7,6 13,2 27,4 33,0 62,5 86,4 115,1 147,0 182,2

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 11

INTEGRASI NUMERIK

(ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM)

1. MINGGU KE : 11



Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan

komposisi trapesium untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.

5. TEORI PENGANTAR

Mengevaluasi suatu integral tertentu I = b

a

dx)x(f untuk f(x) kontinu

dalam selang [a,b], dengan metode analitik biasanya sulit bahkan ada yang tak

dapat dievaluasi. Walaupun fungsi tersebut merupakan bentuk analitik yang relatif

sederhana. Mengatasi persoalan ini dan persoalan integrasi yang lebih umum

yang hanya mempunyai beberapa nilai dari f(x) (dengan argumen x = xi, i =

0, 1, 2, ..., n) dibutuhkan beberapa pendekatan. Pilihannya adalah mencari sebuah

fungsi, misalnya g(x) yang sesuai untuk mengatasi kedua persoalan yaitu

merupakan pendekatan dari f(x) yang mudah untuk diintegralkan secara

analitik. Kemudian I = b

a

dx)x(f dapat diperkirakan sebagai Ih = b

a

dx)x(g .

Aturan Trapesium untuk menghampiri I adalah :

)b(f)a(fhdx)x(fb

a

2

dengan h = b - a.


Jika selang [a,b] dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar selang :

h = n

ab . Berdasarkan aturan trapesium diperoleh aturan komposisi trapesium

sebagai berikut :

1

12

2

n

ii

b

a

)x(f)b(f)a(fhdx)x(f .

6. LANGKAH KERJA

Algoritma untuk Komposisi Trapesium ditugaskan kepada mahasiswa, dan

harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.

7. TUGAS

Diketahui f(x) = x2 cos x2, 1,5 x 2,5.

Hitunglah 2,5

1,5

( ) f x dx aturan komposisi trapesium, jika selang [1,5 ; 2,5]

dibagi menjadi 4 selang bagian .

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 12

INTEGRASI NUMERIK

(ATURAN KOMPOSISI SIMPSON)

1. MINGGU KE : 12



Visual Basic

4. TUJUAN


komposisi Simpson untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.

5. TEORI PENGANTAR

Integral numerik yang lain yaitu aturan Simpson. Aturan Simpson mirip

dengan aturan trapesium yaitu keduanya membagi daerah yang akan diintegralkan

dalam interval bagian yang kecil dan kemudian menjumlahkan semua integral dari

daerah yang dibatasi oleh sumbu yang kecil tersebut. Hanya dalam aturan

Simpson pendekatan fungsi f(x) diperoleh dari interpolasi polinomial derajat dua

(parabola) yang melalui tiga ordinat dari dua selang yang berdampingan. Jadi

aturan Simpson akan tepat untuk fungsi derajat dua atau lebih kecil.

Telah dikatakan bahwa, untuk memperoleh hampiran nilai integrasi yang

lebih teliti, digunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi. Apabila fungsi

f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2, dibutuhkan 3 buah titik data

misalkan (a, f(a)), (c,f(c)) dan (b,f(b)), di mana c = .2

ba

Aturan Simpson untuk menghampiri I adalah

21 4 31 fffhI o .


Jika selang [a,b] dipartisi menjadi (M+1) titik dengan M genap, dengan

lebar selang bagiannya h =

Mab .

xo=a h x1 h x2 h x3 h x4 ... xM-2 h xM-1 h xM= b Berdasarkan aturan Simpson diperoleh

b

a

x

a

x

x

b

xM

dx)fxdx)x(fdx)x(fdx)x(fI2 4

2 2

…

1

21

2

22

2 4 34

M

ii

M

ii

ii )x(f)x(f)b(f)a(fI

.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma untuk Komposisi Simpson ditugaskan kepada mahasiswa, dan

harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.

7. TUGAS

Diketahui f(x) = x cos x2, 1,5 x 2,5 .

Hitunglah 2,5

1,5

( ) f x dx dengan aturan komposisi Simpson, jika selang

[1,5 ; 2,5] dibagi menjadi 4 selang bagian .

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 13

INTEGRASI NUMERIK

(KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE)

1. MINGGU KE : 13



Visual Basic

4. TUJUAN


kuadratur Gauss-Legendre untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.

5. TEORI PENGANTAR

Kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva Y = f(x) pada –1 x 1

yaitu

1

1

)( dxxfI dengan aturan trapesium.

galat Y Y = f(x) -1 0 1 X

)(f)(f)(f)(fhdx)x(fI 11 112

1

1

dengan h = (1-(-1)) = 2.

Persamaan I f(1) + f(-1) dapat ditulis sebagai I W1f(a) + W2 f(b)

dengan a = -1, b = 1, W1 = W2 = 2h =

22 = 1.


Pendekatan integrasi dengan metode kuadratur Gauss yaitu, menghitung

nilai integrasi numerik cukup diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) pada

beberapa titik tertentu. Titik-titik tersebut diatur sedemikian sehingga garis lurus

tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif. Luas daerah yang

dihitung sekarang adalah luas daerah di bawah garis lurus yang dinyatakan

sebagai

)x(fW)x(fWdx)x(fI 2211

1

1

dengan W1, W2, x1, dan x2 adalah sembarang nilai. Kita harus memilih W1, W2,

x1, dan x2 sedemikian sehingga galat integrasinya minimum. Persamaan ini

dinamakan persamaan kuadratur Gauss.

)(f)(fdx)x(fI31

31

1

1

Persamaan ini dinamakan metode Gauss-Legendre 2 titik. Dengan metode ini,

menghitung integral f(x) dalam selang [-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi

fungsi f di x = 1/ 3 dan di x = -1 3 .

6. LANGKAH KERJA

Algoritma untuk kuadratur Gauss-Legendre ditugaskan kepada mahasiswa,

dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.

7. TUGAS

Diketahui f(x) = x2 cos x2, 1,5 x 2,5 .

Hitunglah 2,5

1,5

( ) f x dx dengan aturan Gauss-Legendre 4 titik.

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 14

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

(METODE EULER)

1. MINGGU KE : 14



Visual Basic

4. TUJUAN


metode Euler untuk menyelesaikan penentuan solusi Persamaan Diferensial Biasa.

5. TEORI PENGANTAR

Diberikan PDB orde satu,

y' = dy/dx = f(x,y) dan y(x0) = y0

Misalkan yr = y(xr) adalah hampiran nilai y di xr yang dihitung dengan metode

Euler. Dalam hal ini xr = x0 + rh , r = 0,1,2,...n.

Metoda Euler diturunkan dengan menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke

dalam deret Taylor :

y(xr+1) = y(xr) + !

)xx( rr

11 . y' (xr) +

!)xx( rr

2

21 . y" (xr) + ... …(5.1)

Bila persamaan (*) dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh

y(xr+1) y(xr) + !

)xx( rr

11 . y' (xr) +

!)xx( rr

2

21 . y" (t) , xr < t < xr+1 .(5.2)

Tetapi karena y' (xr) = f(xr, yr) dan xr+1 - xr = h, maka persamaan (5.2) dapat

ditulis menjadi

y(xr+1) y(xr) + hf(xr, yr) + 2

2h y" (t) …(5.3)


Dua suku pertama persamaan (5.3) yaitu

y(xr+1) y(xr) + hf(xr, yr) ; r = 0,1,2,...,n

menyatakan persamaan metode Euler atau metode Euler-Cauchy.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma untuk metode Euler ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus

diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum.

7. TUGAS

1. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = -2xy2 , y(0) = 1.

Lakukan perhitungan numerik untuk menaksir nilai y pada nilai-nilai x

dalam selang [0,5]. Ambil ukuran langkah h = 0,2 dengan

menggunakan metode Euler.

2. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = x2y2 , y(0) = 1.

Tentukan nilai (1,4) dengan metode Euler dengan ukuran langkah :

h = 0,2 .

Daftar Pustaka :



PRAKTIKUM 15

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

(METODE HEUN)

1. MINGGU KE : 15



Visual Basic

4. TUJUAN


metode Heun untuk menyelesaikan penentuan solusi Persamaan Diferensial Biasa.

5. TEORI PENGANTAR

Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar

(sebanding dengan h). Buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan

metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler.

Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi

perkiraan awal, selanjutnya, solusi perkiraan awal ini diperbaiki dengan metode

Heun.

Metode Heun diturunkan sebagai berikut :

Pandang PDB orde satu

y' (x) = f(x, y(x))

Integrasikan kedua ruas persamaan dari xr sampai xr+1:

1

))(,(rx

rxdxxyxf =

1)(

rx

rxdxxy = … = yr+1 - yr .

Nyatakan yr+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan :

yr+1 = yr + 1

))(,( rx

rxdxxyxf

Suku 1

))(,( rx

rxdxxyxf dapat diselesaikan dengan aturan trapesium menjadi


1

))(,( rx

rxdxxyxf

2h [f(xr,yr) + f(xr+1, yr+1)]

Substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan sebelumnya menghasilkan

persamaan : yr+1= yr + 2h [f(xr,yr) + f(xr+1, yr+1)]

yang merupakan metode Heun, atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki.

6. LANGKAH KERJA

Algoritma untuk metode Heun ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus

diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum.

7. TUGAS

1. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = -2xy2 , y(0) = 1.

Lakukan perhitungan numerik untuk menaksir nilai y pada nilai-nilai x

dalam selang [0,5]. Ambil ukuran langkah h = 0,2 dengan

menggunakan metode Heun.

2. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/dx = x2y2 , y(0) = 1.

Tentukan nilai (1,4) dengan metode Heun dengan ukuran langkah :

h = 0,2 .

Daftar Pustaka :


Documents

Petunjuk Praktikum Metnum - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · TUGAS Tentukan selang akar ... Numerical Methods for Engineers with Personal Computer