PERBANDINGAN METODE MOMEN DAN MAXIMUM

LIKELIHOOD ESTIMATION PADA PENDUGAAN AREA KECIL

DENGAN MODEL BETA-BINOMIAL NEGATIF

(Skripsi)

Oleh

RAKA SATRIA RAINAUDI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

ABSTRACT

DIFFERENCE OF MOMENT METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD

ESTIMATION ON SMALL AREA ESTIMATION WITH BETA-

NEGATIVE BINOMIAL MODEL

By

RAKA SATRIA RAINAUDI

Small area estimasion is a statistical method to estimate small sub population.

Empirical Bayes (EB) method is method in small area estimation for count or

binaryData. Estimation with the EB approach is based on the posterior distribution

whose parameters are assumed from the data. Method that can be used to estimate

parameter on EB estimator are Maximum Likelihood Estimation (MLE) and

Momem Method. One application of EB methods for binary data is Beta-Negative

Binomial model. In this study, the estimator of MM and MLE are compared by

evaluating the MSE value, both theoretically and empirically through simulation.

Based on simulation, it showed that MLE produced smaller MSE value than

Momen Method when the variance between areas of 1.3, 5 and 12, which obtained

from the values of α and β are equal to 1, 1.5, and 2.

Keyword: Small Area Estimation, Empirical Bayes (EB), Beta-Negative

Binomial Model, Momen Method, Maximum Likelihood Estimation.

ABSTRAK

PERBEDAAN METODE MOMEN DAN MAXIMUM LIKELIHOOD

ESTIMATION PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN MODEL

BETA-BINOMIAL NEGATIF

Oleh

RAKA SATRIA RAINAUDI

Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation) merupakan suatu metode statistika

yang digunakan untuk menduga parameter subpopulasi yang memiliki ukuran

sampel yang kecil. Metode Empirical Bayes (EB) merupakan salah satu metode

pendugaan area kecil yang digunakan pada data biner atau cacahan. Pendugaan

dengan pendekatan EB didasarkan pada sebaran posterior yang parameternya

diduga dari data. Metode yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada

penduga EB adalah Maximum likelihood estimation (MLE) dan Metode

Momen(MM). Salah satu penerapan metode EB untuk data cacahan adalah model

Beta-Binomial Negatif. Pada Penelitian ini penduga MM dan MLE dibandingkan

dengan mengevaluasi nilai MSEnya , baik secara teori maupun secara empiris

melalui simulasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa MLE menghasilkan nilai

MSE yang relatif lebih kecil dibandingkan dengan Metode Momen pada ragam

antar area masing-masing sebesar 1.3, 5, dan 12 yang diperoleh dari nilai nilai

dan masing-masing sebesar 1, 1.5, dan 2.

Kata kunci: Pendugaan Area Kecil, Empirical Bayes, Beta-Binomial Negatif,

Metode Momen , Maximum Likelihood Estimation.

PERBANDINGAN METODE MOMEN DAN MAXIMUM LIKELIHOOD

ESTIMATION PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN MODEL

BETA-BINOMIAL NEGATIF

Oleh

Raka Satria Rainaudi

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

Judul Skripsi : PERBANDINGAN METODE MOMEN DAN

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION PADA

PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN

MODEL BETA-BINOMIAL NEGATIF

Nama Mahasiswa : Raka Satria Rainaudi

Nomor Pokok Mahasiswa : 1417031096

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Widiarti, S.Si., M.Si

NIP. 19800502 200501 2 003

Drs. Rudi Ruswandi, M.Si

NIP. 19560208 198902 1 001

2. Ketua Jurusan Matematika

Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D.

NIP. 19631108 198902 2 001

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Widiarti, S.Si., M.Si ....................

Sekretaris : Drs. Rudi Ruswandi, M.Si ....................

Penguji

Bukan Pembimbing : Drs. Eri Setiawan, M.Si ....................

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.

NIP. 19710212 199512 1 001

Tanggal Lulus Ujian Skripsi : Oktober 2018

PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA

Yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Raka Satria Rainaudi

Nomor Pokok Mahasiswa : 1417031096

Jurusan : Matematika

Judul Skripsi : Perbandingan Metode Momen dan Maximum

Likelihood Estimation Pada Pendugaan Area

Kecil dengan Model Beta-Binomial Negatif

Dengan ini menyatakan bahwa penelitian ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri

dan apabila kemudian hari terbukti bahwa skripsi ini merupakan hasil salinan atau

dibuat oleh orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan

ketentuan akademik yang berlaku.

Bandar Lampung, Oktober 2018

Penulis

Raka Satria Rainaudi

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Raka Satria Rainaudi, anak kedua dari Bapak Denny

Sudrajat dan Ibu Dinie Sugiarti. Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada

tanggal 25 Juli 1996.

Penulis menyelesaikan pendidikan di Sekolah Dasar Al-Kautsar Bandar Lampung

pada tahun 2008, Sekolah Menengah Pertama Al-Kautsar Bandar Lampung pada

tahun 2011 dan Sekolah Menengah Atas Al-Kautsar Bandar Lampung pada tahun

2014. Pada tahun 2014 penulis diterima sebagai mahasiswa S1 di Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung melalui jalur Seleksi nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri

(SNMPTN).

Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis melaksanakan Praktik

Kerja Lapangan di BKKBN Provinsi Lampung. Sebagai bentuk aplikasi bidang

ilmu kepada masyarakat, penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata di Desa

Ruang Tengah, Kecamatan Penengahan, Lampung Selatan.

KATA INSPIRASI

“Dijadikan terasa indah dalam pandangan manusia cinta terhadap apa yang

diinginkan, berupa perempuan-perempuan, anak-anak, harta benda yang

bertumpuk dalam bentuk emas dan perak, kuda pilihan , hewan ternak dan sawah

ladang. Itulah kesenangan hidup di dunia, dan di sisi Allah-lah tempat kembali yang

baik.”

(Q.S. Ali-imran 3: 14)

“Whether you think you can or think you can’t, You are right.”

(Henry Ford)

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang Maha

Pengasih lagi Maha Penyayang. Dengan segala kerendahan hati

penulis persembahkan skripsi ini kepada:

Ayah dan Ibu yang selalu berkorban, membimbing, selalu

memberikan semangat, rela menjadi pendengar yang baik dan

mendokan setiap waktu untuk keberhasilan penulis.Untuk kakak

dan adikku tersayang yang selalu memberikan dukungan dan

semangat untukku.

Untuk sahabat-sahabat terbaikku, terimakasih untuk semua

kebahagian dan keceriaan yang telah kalian berikan.

Terimakasih untuk selalu ada disamping penulis.

SANWACANA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan

rahmad dan hidayah-Nya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Momen dan Maximum

Likelihood Estimation Pada Pendugaan Area Kecil dengan Model Beta-

Binomial Negatif”.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan

bimbingan dan doa dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan hati penulis

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing utama yang memberikan

motivasi, bimbingan, pengarahan, dan saran kepada penulis dalam

menyelesaikan skripsi.

2. Bapak Rudi Ruswandi, Drs., M.Si., selaku pembimbing kedua yang selalu

memberikan saran, solusi serta pembelajaran yang sangat bermanfaat bagi

penulis.

3. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si., selaku pembahas dan penguji skripsi yang

telah memberikan evaluasi dan saran bagi perbaikan skripsi penulis.

4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam.

7. Ayah, Ibu, Udi, Kiki dan seluruh keluarga besar penulis yang telah membantu

dan memberi dukungan kepada penulis.

8. Yola Yashinta Batubara yang selalu memberikan semangat kepada penulis.

9. Teman-teman seperbimbingan dan seperjuangan Maget, Nopi, Yunika,

Kadek, Iin, Shindy, Nia, Yola, Dracjat, Rama, Lala, Ira, Arif, Anin, Nanda,

Saul, Kiki, Camel, Fajar, Redi, Alvin, Aldo, Fadil, Acong yang telah banyak

membantu penulis.

10. Sahabat Sahabatku Raisa, Cipta, Kilay, Revi, Desty, Sutan, Rendi, Devira,

Anika yang telah memberikan banyak canda tawa kepada penulis.

11. Teman teman Ketimbang Ngemis Lampung dan Charity Education Organizer

dan ANTI GENG yang telah memberikan banyak pengalaman kepada

penulis.

12. Arisca, Kodir, Darma dan Rahmad yang sudah sangat membantu penulis

dalam mengerjakan skripsi.

13. Teman-teman Jurusan Matematika 2014 dan seluruh pihak yang telah

membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Bandar Lampung, Oktober 2018

Penulis

Raka Satria Rainaudi

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL.................................................................................................xv

DAFTAR GAMBAR..........................................................................................xvii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ..................................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian ................................................................................... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Survei ....................................................................................................... 5

2.2 Small Area Estimation (SAE) .................................................................. 5

2.2.1 Pendugaan Berbasis Model ............................................................ 6

2.3 Model Area kecil ..................................................................................... 7

2.3.1 Model Level Area Dasar................................................................. 7

2.3.2 Model Level Area Unit Dasar ........................................................ 7

2.4 Model Beta-Binomial Negatif ................................................................. 8

2.5 Empirical Bayes ..................................................................................... 10

2.6 Metode Momen ..................................................................................... 11

2.7 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) ................................. 12

2.8 Metode Iterasi Newton Raphson ............................................................ 13

2.9 Mean Squared Error (MSE) .................................................................. 15

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................... 17

3.2 Data Penelitian ....................................................................................... 17

3.3 Metode Penelitian .................................................................................. 18

3.4 Diagram Alir Metode Penelitian............................................................ 20

3.5 Diagram Alir Simulasi MSE ................................................................. 21

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pendugaan Parameter Emprical Bayes Model Beta-Binomial Negatif ... 22

4.2 Pendugaan parameter dengan Metode Momen ....................................... 25

4.3 Pendugaan parameter dengan Maximum Likelihood Estimation ............. 30

4.4 Metode Newton Raphson ......................................................................... 31

4.5 Mean Squared Error Penduga Empirical Bayes ............................... 32

4.6 Pendugaan Nilai MSE dengan Data Simulasi .......................................... 33

4.7 Uji T pada Nilai MSE MM dan MSE MLE ............................................. 35

V. KESIMPULAN ............................................................................................... 37

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1.Contoh Data Bangkitan m =10 dengan Iterasi = 10 ......................................... 32

4.2.Hasil Kajian Simulasi Nilai MSE Naive untuk Metode Momen dan MLE ..... 33

4.3.Nilai Hasil Uji T ............................................................................................... 35

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

3.1 Diagram Alir Metode Penelitian ...................................................................... 20

3.2 Diagram Alir Simulasi MSE ............................................................................ 21

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Small Area Estimation (SAE) merupakan teknik statistika yang digunakan untuk

menduga parameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang kecil dengan

mengembangkan data survei guna melakukan estimasi tingkat kesejahteraan atau

indikator lainnya sebagai peubah yang menjadi perhatian pada domain yang lebih

kecil. Biasanya objek survei jumlahnya kecil bahkan mungkin area tersebut tidak

tersampling sehingga analisis yang didasarkan pada objek tersebut memiliki

ketepatan yang rendah. Selain itu metode ini dapat mengestimasi karakteristik dari

subpopulasi yang dikembangkan dengan menghubungkan informasi dari daerah

tertentu dengan daerah lain melalui model pendekatan untuk meningkatkan

efektifitas ukuran sampel yang disebut estimasi tidak langsung (Rao, 2003).

Berbagai metode pendugaan area kecil telah dikembangkan khususnya

menyangkut metode yang berbasis model (model-based area estimation). Metode

tersebut adalah penduga prediksi tak bias linier terbaik empirik atau Empirical

Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) untuk data kontinu, bayes empirik

atau Empirical Bayes (EB), dan bayes hierarkhi atau Hierarchical Bayes (HB)

untuk data biner atau cacahan.

2

Menurut Lohr dan Rao (2009) pendugaan dan inferensi pada pendekatan EB

didasarkan pada sebaran posterior yang parameternya diduga dari data. Metode

yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada distribusi posterior

diantaranya yaitu Metode Momen (MM), Maximum Likelihood Estimation

(MLE), Metode Bayes, Ordinary Least Square (OLS), dan Metode Generalized

Least Square (GLS). MM dapat digunakan untuk menduga parameter populasi

dengan menyamakan momen-momen populasi (teoritis) dengan momen momen

sampel, sedangkan MLE digunakan untuk mengestimasi parameter dengan cara

memaksimumkan fungsi likelihood L. Fungsi likelihood adalah fungsi

probabilitas bersama dari dan . Fungsi ini dianggap

sebagai fungsi dalam parameter . Metode momen memiliki keunggulan lebih

mudah dalam menurunkan rumus penduga parameternya, sedangkan Maximum

Likelihood Estimation dikenal sebagai metode yang memiliki penduga yang

efisien dari sekian banyak penduga yang ada, walaupun kadang tidak mudah

untuk mencari bentuk rumus penduganya.

Emperical Bayes (Bayes Empirik) merupakan metode yang menggunakan

inferensia dari estimasi posterior untuk menduga parameter. Metode Emperical

Bayes merupakan metode yang cocok digunakan dalam menangani data biner dan

data cacahan pada pendugaan area kecil. Salah satu penerapan metode Empirical

Bayes (EB) untuk data cacahan adalah model Binomial Negatif. Dalam

pendugaan area kecil umumnya digunakan model dua tahap dimana konsep

pendugaannya memanfaatkan informasi tambahan yang dikenal sebagai distribusi

prior. Dengan demikian diperlukan distribusi prior yang mengakomodir informasi

3

tambahan ini. Pada penelitian ini dipilih distribusi Beta karena berasal dari

keluarga eksponensial seperti Binomial-negatif. Jika distribusi sampel yang

digunakan berasal dari keluarga eksponensial, maka salah satu cara menentukan

prior adalah dengan menggunakan prior konjugat (Bolstad, 2007) sehingga bisa

dikatakan bahwa densitas Beta memiliki kesamaan bentuk fungsional dengan

likelihood distribusi Binomial-Negatif. Jadi, model pendugaan area kecil yang

digunakan yaitu model Beta-Binomial Negatif.

Menurut Sadik (2009), penduga yang diperoleh pada pendugaan area kecil perlu

dievaluasi karena penduga yang diperoleh merupakan penduga berbias namun

memiliki ragam minimum. Dengan demikian karena penduganya berbias maka

untuk mengevaluasi nilai varian pada pendugaan area kecil dilakukan

menggunakan Mean Square Error (MSE). MSE merupakan suatu besaran untuk

mengukur keragaman penduga area kecil. Pada penelitian ini peneliti tertarik

untuk membandingkan penduga yang diperoleh dengan Metode Momen dan

Maximum Likelihood Estimation dengan melihat nilai MSEnya.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menentukan penduga Empirical Bayes pada pendugaan area kecil pada model

Beta-Binomial Negatif

2. Menduga parameter pada model Beta-Binomial Negatif dengan Metode

Momen dan Maximum Likelihood Estimation

4

3. Membandingkan nilai Mean Square Error (MSE) dari penduga yang diperoleh

dengan Metode Momen dan Maximum Likelihood Estimation.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah memberikan informasi tentang

perbedaan metode momen dan MLE dalam menduga parameter model Beta-

Binomial Negatif melalui evaluasi nilai Mean Squared Errornya.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Survei

Survei merupakan salah satu cara yang digunakan untuk memperoleh suatu

informasi. Penerapan sistem sampel dalam survei pada area yang kecil

menyebabkan objek survei menjadi terbatas dan menyebabkan informasi yang

diperoleh tidak mewakili populasi secara keseluruhan, sehingga pendugaan

langsung tidak dapat menghasilkan dugaan yang teliti. Guna menghasilkan

pendugaan yang lebih baik, maka digunakan metode pendugaan tidak langsung

pada area kecil (Rao, 2003).

2.2 Small Area Estimation (SAE)

Small Area Estimation (SAE) adalah suatu teknik statistika untuk menduga

parameter-parameter sub populasi yang ukuran sampelnya kecil. Sedangkan, area

kecil didefinisikan sebagai himpunan bagian dari populasi (sub populasi) yang

ukuran contohnya kecil dengan suatu peubah menjadi perhatian (Rao,2003)

Pendugaan area kecil bertujuan untuk meningkatkan ketakbiasan penduga suatu

parameter, yaitu dengan menggunakan pendugaan tidak langsung. Pendugaan

tidak langsung dapat dilakukan dengan “meminjam kekuatan” atau memanfaatkan

6

peubah-peubah tambahan dalam menduga parameter. Peubah pendukung ini

berupa informasi tambahan yang didapatkan pada area lain dari survei yang sama,

dari area yang sama pada survei yang terdahulu, atau peubah lain yang berhubungan

dengan peubah yang menjadi perhatian pada area kecil. Keuntungan metode ini yaitu

memiliki dugaan yang optimal, memperoleh model valid yang berasal dari data

sampel, dan dapat menjelaskan berbagai macam model berdasarkan pada respon

alami suatu kelompok dan kekelompokkan struktur data. Menurut Rao (2003),

proses pendugaan pada suatu area atau subpopulasi terbagi menjadi dua, yaitu :

pendugaan berbasis rancangan dan pendugaan berbasis model.

2.2.1 Pendugaan Berbasis Model

Pendugaan pada metode berbasis model merupakan pendugaan suatu area dengan

cara menghubungkan informasi pada area tersebut dengan area lain melalui model

yang tepat. Hal ini berarti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari area lain.

Informasi yang digunakan diasumsikan memiliki hubungan dengan peubah yang

menjadi perhatian. Tujuannya adalah untuk meningkatkan akurasi suatu penduga.

Pendugaan parameter dan inferensianya yang berdasarkan pada informasi tambahan

tersebut, dinamakan pendugaan tidak langsung atau pendugaan berbasis model.

Metode pendugaan yang termasuk dalam penduga ini adalah metode EB, EBLUP,

dan HB (Rao, 2003).

7

2.3 Model Area Kecil

Model area kecil merupakan model dasar dalam pendugaan area kecil. Model

dikelompokkan menjadi dua yakni model level area dasar dan model level area unit

dasar (Rao, 2003).

2.3.1 Model Level Area Dasar

Pada model level area dasar parameter area kecil yang ingin diamati adalah ,

dengan merupakan variabel respon. Sehingga model level area dasar yang

menjelaskan hubungan tersebut adalah

(2.1)

dengan adalah galat sampel diasumsikan (Kurnia, 2009).

2.3.2 Model Level Area Unit Dasar

Pada model pendugaan area kecil berbasis unit diasumsikan bahwa data variabel

penyerta unit

tersedia untuk setiap elemen ke-j pada area

ke-i. Selanjutnya variabel respon diasumsikan berkaitan dengan xij sehingga

bentuk persamaan model pendugaan area kecil berbasis unit sebagai berikut:

(2.2)

dengan merupakan pengaruh acak area, β merupakan koefesien regresi dan

diasumsikan bahwa dan (Rao, 2003).

8

2.4 Model Beta Binomial Negatif

Model dasar yang digunakan dalam penelitian ini adalah model berbasis area dua

level. Model dua level tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

Dengan:

= Penduga langsung area ke-i

= Pengaruh acak di dalam area

= Parameter yang ingin diduga

i = 1, 2, 3, ..... m

Dimana::

Level 1: yi| pi ~ Binomial Negatif (ki, pi)

Level 2: pi ~ Beta (α,β), i= 1,2,3,...,m

Dengan yi menyatakan jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-i, ni adalah

banyaknya ulangan keberhasilan suatu kasus pada area ke-i, pi adalah peluang

keberhasilan suatu kasus pada area ke-i yang tidak diketahui dan m menyatakan

jumlah area, sedangkan α dan β merupakan parameter yang belum diketahui. Level

pertama diasumsikan bahwa yi ~ Binomial Negatif (ki, pi) dan level kedua

diasumsikan bahwa pi ~ Beta (α,β).

Menurut Hogg and Craig (1990), distribusi Beta dengan parameter α dan β memiliki

fungsi kepekatan peluang untuk yaitu :

9

; α> 0, β > 0 untuk 0 ≤ ≤ 1

=

0 ; selainnya (2.3)

Menurut Berger (1990), nilai mean dan variansi dari distribusi Beta dengan parameter

α dan β masing-masing adalah

Dan

Dimana

Dan =

Maka

10

Sehingga

=

dan =

(2.4)

Diketahui distribusi Binomial Negatif mempunyai fungsi peluang yaitu :

; = k, k+1… untuk 0 ≤ ≤ 1

=

0 ; selainnya (2.5)

2.5 Empirical Bayes

Empirical Bayes (Bayes Empirik) merupakan metode dengan menggunakan

inferensia dari estimasi posterior untuk menduga parameter. Metode Empirical Bayes

merupakan metode yang cocok digunakan dalam menangani data biner dan data

cacahan pada pendugaan area kecil. Misalkan merupakan sampel acak

berukuran n dari distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang berbentuk

dan sebaran dari peubah acak yaitu sebaran prior.

Metode EB dalam konteks pendugaan area kecil secara ringkas sebagai berikut:

11

1. Mendapatkan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari dengan

yang didefinisikan sebagai berikut :

=

(2.6)

2. Menduga parameter model dari fungsi kepekatan peluang marginal.

3. Menggunakan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dugaan untuk membuat

inferensi parameter area kecil yang menjadi perhatian.

(Kismiantini, 2007)

2.6 Metode Momen

Misalkan merupakan populasi yang memiliki fungsi kepekatan peluang

. Metode pendugaan dengan moment dilakukan dengan cara

menyamakan k momen pertama sampel dengan k momen pertama yang

berkaitan dari populasi dan menyelesaikan sistem tersebut secara bersama.

Moment populasi ′ sering ditulis sebagai fungsi dari , yaitu

′ Metode momen penduga dari di dapat dengan

12

menyelesaikan sistem persamaan untuk dalam notasi sebagai

berikut:

,

,

(Casella dan Berger, 2002)

2.7 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)

Misalkan terdapat dari suatu populasi yang memiliki fungsi

probabilitas , dimana merupakan suatu parameter yang tidak

diketahui dan adalah ruang parameter. Karena adalah sampel acak

maka fkp bersama dari adalah

(2.7)

Berdasarkan Hogg and Craig (1995), fungsi likelihood didefinisikan sebagai fkp

bersama. Misalkan fungsi likelihood dinotasikan sebagai

sehingga

(2.8)

Dalam metode maximum likelihood estimation (MLE), penduga dari diperoleh

dengan memaksimumkan fungsi likelihood. Mencari penduga dari yang dengan

13

memaksimumkan fungsi sebut . Jadi penduga dari dapat diperoleh

dengan mencari solusi dari persamaan berikut:

2.8 Metode Iterasi Newton Raphson

Apabila dalam proses estimasi parameter didapat persamaan akhir yang non linear

maka tidak mudah memperoleh estimasi parameter tersebut, sehingga diperlukan

suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear tersebut. Salah satu

metode yang sangat populer digunakan untuk memecahkan sistem persamaan non

linear adalah metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson adalah metode

untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif seperti persamaan

likelihood yang mencari lokasi yang memaksimalkan suatu fungsi.

Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret Taylor linear:

Perluasan dari bentuk orde 1:

Diperoleh:

14

Jika p0 merupakan nilai awal (inisialisasi) dari atau

merupakan nilai ke-1 dari

, maka dapat dimisalkan dan dengan t awal = 0. Begitu pula

dengan G dan H. Maka diperoleh iterasi sebagai berikut:

dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi.

Adapun langkah-langkah metode iterasi Newton Raphson adalah sebagai berikut:

1. Ambil estimasi awal dari , misal

2.

merupakan derivative pertama dari pada

3.

, misal dan , maka:

4. Estimator diiteratif sampai diperoleh jarak antara dengan nilainya

sangat kecil atau

Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sitem persamaan dengan lebih

dari satu parameter. Misal maka iterasinya sebagai berikut:

15

Dimana dan dalam bentuk vektor yaitu

(Seber dan Wild, 2003)

2.9 Mean Squared Error (MSE)

Keakuratan suatu penduga umumnya dievaluasi berdasarkan nilai Kuadrat Tengah

Galat (KTG) /Mean Squared Error (MSE). Nilai MSE dari suatu penduga parameter

memiliki peranan penting untuk diketahui, diantaranya adalah untuk mengukur

seberapa akurat penduga parameter yang diperoleh.

Jika

merupakan penduga bagi pi maka MSE tidak bersyarat dari

adalah

(2.9)

(

) (3.0)

Jika dan tidak diketahui, maka penduga bagi EB yaitu:

(3.1)

dengan dan diperoleh dari data (Sharon, 2009).

16

salah satu metode MSE yang dapat digunakan untuk mencari nilai MSE adalah MSE

Naïve dimana metode tersebut menggunakan varian dari posterior sebagai

pendekatannya

(3.2)

(Abadi, 2011)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2017/2018,

bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lampung.

3.2. Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data simulasi atau data yang

dibangkitkan dengan menggunakan software R i386 3.1.0. Pembangkitan data

dalam simulasi dilakukan menggunakan model Beta-Binomial Negatif dengan yi |

pi ~ Binomial negatif ( ki, pi) dan pi ~ Beta (α, β ). Simulasi dirancang untuk

menduga parameter dari penduga EB pada model Beta-Binomial negatif dengan

jumlah area ditetapkan n=10, n=50 dan n=100 sebagai representasi jumlah area

yang berukuran kecil, sedang, dan besar.

18

3.3 Metode Penelitian

Evaluasi MSE pada penelitian ini dilakukan secara empiris dengan bantuan

software R i386. Kajian secara empiris dilakukan melalui simulasi dengan model

dua tahap yaitu Beta-Binomial negatif. Level 1: yi | pi ~ Binomial Negatif (ki, pi)

Level 2 pi ~ Beta (α, β) , i= 1,2,3,…,m dengan yi menyatakan banyaknya jumlah

percobaan sampai mendapatkan sukses ke-k pada area ke-i, ki adalah banyaknya

jumlah suskes yang muncul pada area ke-i, pi adalah peluang keberhasilan suatu

kasus pada area ke-i yang tidak diketahui dan m menyatakan jumlah area,

sedangkan α dan β merupakan parameter yang belum diketahui.

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari sampel acak

Binomial Negatif dan dengan priornya Beta .

2. Mendapatkan fungsi marginal dari model Beta-Binomial Negatif

3. Menduga parameter distribusi Beta-Binomial Negatif dengan

menggunakan pendugaan EB.

4. Menduga parameter dari penduga EB dengan menggunakan MM dan

MLE

5. Apabila dalam menduga nilai dugaan parameter tidak dapat dilakukan

secara analitik maka pendugaan dilakukan secara numerik dengan metode

Iterasi Newton Raphson.

6. Menentukan MSE bagi penduga EB.

7. Membandingkan nilai MSE dari metode MM dan MLE.

19

Langkah-langkah dalam mengevaluasi MSE adalah sebagai berikut :

1. Menetapkan jumlah area yang berbeda-beda yaitu 10, 50 dan 100 sebagai

representasi jumlah area yang berukuran kecil, sedang dan besar.

Menetapkan nilai dan sama-sama sebesar 1, 1.5, 2 sehingga

menghasilkan ragam antar area masing-masing 1.3, 5, dan 12 yang

mencerminkan ragam antar area kecil, sedang, dan besar.

2. Membangkitkan berdistribusi Beta . Dengan nilai α dan β yang

sudah ditentukan pada langkah 1

3. Membangkitkan data berdistribusi Binomial Negatif dengan

berdistribusi Beta sesuai dengan jumlah area yang sudah ditetapkan

4. Menentukan yaitu 0.000001.

5. Mendapatkan parameter penduga dengan MM.

6. Mendapatkan parameter penduga dengan MLE dengan melakukan iterasi

dengan ulangan 100 kali dan kriteria berhenti untuk Newton Raphson

adalah saat iterasi mencapai 10. Dengan sebelumnya menentukan

parameter awal α dan β.

7. Mendapatkan penduga EB (

)

8. Membandingkan nilai MSE yang diperoleh dari penduga MM dan MLE

dimana proses hitungan dilakukan dengan R i386 dengan metode Naive.

20

3.4 Diagram Alir Metode Penelitian

Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Penelitian

mulai

Menetapkan sampel acak Binomial

Negatif dan prior Beta .

Mendapatkan nilai MSE dari

bagi penduga (

)

Selesai

Menentukan Fungsi

Marginal

Mendapatkan penduga

(

)

Menduga parameter (

)

dengan metode momen dan MLE

Menentukan Fungsi

Posterior

21

3.5 Diagram Alir Simulasi MSE

Gambar. 3.2 Diagram Alir Simulasi MSE

Membangkitkan

Membangkitkan

dengan

Parameter penduga

dengan MM dan MLE

Menduga (

)

Menghitung MSE

dengan metode Naive

Menetapkan m = 10, 50

dan 100

α dan β= 1, 1.5, dan 2

mulai

Membandingkan nilai

MSE dari metode MM

dan MLE dengan Uji t

Selesai

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Penduga Empirical Bayes pada pendugaan area kecil dengan model Beta-

Binomial Negatif adalah

2. Nilai dugaan parameter pada model Beta-Binomial Negatif dengan metode

momen adalah

dan

dan pada metode Maximum Likelihood Estimation penduga parameternya

tidak dapat diperoleh secara analitik.

3. Metode Maximum Likelihood Estimation menghasilkan nilai MSE Naive

yang lebih baik dibandingkan dengan nilai MSE Naive yang dihasilkan

dengan Metode Momen dengan ragam antar area masing masing sebesar

1.3, 5, dan 12 yang diperoleh dari nilai nilai dan sama-sama sebesar 1,

1.5, 2.

DAFTAR PUSTAKA

Abadi, Slamet. 2011. Pendugaan Statistik Area Kecil Menggunakan Model Beta-

Binomial. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Berger, C., 1990.Statistical Inference. California: Wadsworth and Brooks/Cole.

Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. A John

Wiley & Sons. Inc; America

Casella, George dan Berger, L. Roger. 2002. Statistical Inference. Odsworth and

Brooks/Cole. Duxbury.

Hogg, R.V., and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, Fifth

Edition. Pretice-Hall, Inc., New Jersey.

Kismiantini. 2007. Pendugaan Statistik Area Kecil Berbasis Model

PoissonGamma. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Kurnia, Anang. 2009. Prediksi Terbaik Empirik Untuk Model Transformasi

Logaritma di Dalam Pendugaan Area Kecil Dengan Penerapan Pada Data

Susenas. Disertasi. Institut Pertaian Bogor, Bogor.

Larsen, Richard J.,and Marx, Morris L. 2012. An Introduction to Mathematical

Statistics and Its Applications. Fifth Edition. Pretice-Hall, Inc., Boston

Lohr, S.L., dan Rao, J.N.K. 2009. Jackknife Estimation of Mean Squared Error

of Small Area Predictors in Nonlinear Mixed Models. Journal of

Biometrika. 96, 457-468.

Martinez, E.Z., Achcar, J.A., dan Aragon, D.C. 2015. Parameter estimation of the

beta-binomial distribution: anapplication using the SAS software. Cienciae

Natura,Vol 37 n. 4. P 12-19.

Rao, J.N.K. 2003. Small Area Estimation. John Wiley and Sons, New York

Sadik, Kusman. 2009. Metode Prediksi Tak Bias-Linear Terbaik Dab Bayes

Berhirearki Untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space.

Disertasi. Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Seber, G.A.F. dan Wild, C.J. 2003. Non Linear Regression. Departement of

Statistics University Auckland, New Zealand.

Sharon, L.L. 2009. Jacknife Estimation of Mean Squared Error of Small Area

Predictors in Nonlinear Mixed Models. Journal of Biometrika. 96, 457-468

Widiarti. 2011. Kajian Bias Metode Area-Spesific Jacknife Dan Bias Metode

Weighted Jacknife Dalam Pendugaan Area Kecil Untuk Respon Poisson

Dengan Pendekatan Bayes. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.