Pengukuran Deskriptif - Universitas Brawijaya · Ukuran Pemusatan Data Pengukuran Deskriptif 01/10/2014 5 . UKURAN PEMUSATAN DATA Mean Kuartil Persentil Desil Modus Median ... Contoh:

Pengukuran Deskriptif

Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]

3

Outline

Pendahuluan

Tendensi Sentral

Ukuran Dispersi

01/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

2

Pendahuluan Pengukuran Deskriptif


3

Definisi Pengukuran Deskriptif

•  Suatu pengukuran yang bertujuan untuk memberikan

gambaran tentang data yang diperoleh. 4


Tendensi Sentral/Ukuran Pemusatan Data



5

UKURAN PEMUSATAN DATA

Mean Kuartil

Persentil

Desil

Modus

Median

Suatu nilai yang mewakili

semua nilai observasi

dalam suatu data dan

dianggap sebagai

gambaran dari kondisi

suatu data.


6

Rata–rata Hitung ( Mean )

à Nilai khas yang mewakili sifat tengah atau posisi pusat dari sekumpulan data


7

Contoh :

Tentukan nilai rata-rata dari data:

2,3,4,5,6

45

65432=

++++=x

a.  Data tunggal / berbobot

Contoh :

Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama 1 minggu tercatat seperti pada tabel disamping. Rata-rata berat paket dalam minggu tersebut adalah:

01/10/2014

www.debrina.lecture.ub.ac.id

8

∑∑=

fxf

x.

Berat (kg) Frekuensi

5 6 7 8

6 8

12 4

Berat (kg) Frekuensi f . x

5 6 7 8

6 8

12 4

30 48 84 32

Jumlah 30 194

x =

=

= 6,47

∑∑

fxf .

19430

Jadi rata-rata berat paket = 6,47 kg

Data Kelompok

Contoh :

Tentukan mean nilai tes Statistik 20 orang siswa yang disajikan pada tabel disamping.

01/10/2014


9

Nilai Frekuensi

3 - 4 5 - 6 7 - 8

9 - 10

2 4 8 6

Jumlah 20

Nilai Frekuensi x F . x

3 - 4 5 - 6 7 - 8

9 - 10

2 4 8 6

3.5 5.5 7.5 9.5

7 22 60 57

Jumlah 20 146

x =

= 7.3

Jadi rata-rata nilai = 7.3

Cara I:

∑∑=

fxf

x. à x = Nilai tengah

20146

Data Kelompok

Contoh :

Jika rata-rata sementara pada tabel adalah 67, maka nilai rata-rata data tersebut adalah:

01/10/2014


10

Nilai f x

55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

4 10 17 14 5

57 62 67 72 77

Jumlah 50

Nilai f x d f.d

55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

4 10 17 14 5

57 62 67 72 77

-10 -5 0 5

10

-40 -50 0

70 50

Jumlah 50 30

x = 67 +

= 67.6

Cara II:

∑∑+=ff.d

xx 0

xo = rata-rata sementara, d = x - xo x = nilai tengah

5030

Median àbilangan yang ditengah-tengah setelah bilangan-

bilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.


11

a.  Data tunggal

Jika n ganjil

Letak Me = data ke-

Jika n genap

Letak Me = ½ ( Xn/2 + Xn/2 + 1 )

Contoh :

¡ Nilai ujian Mata Pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6,8,5,7,6,8,5,9,6,6,8,7.

¡  Tentukan median dari data tersebut!


12

Jawab :

Data diurutkan : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9

jumlah data ( n ) = 12 ( genap )

Letak Me = data ke ½ ( X6 + X7 )

= ½ ( 6 + 7 )

= 6,5

Median


13

b.  Data berkelompok

Dengan:

Li = tepi bawah dari kelas median

n = banyaknya data

(Σf)i = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median

fmedian = frekuensi kelas median

c = lebar interval kelas median

Median = Li + (n/2 – (Σf)i / fmedian) x c

Contoh :

¡  Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam

¡  Tentukan median dari data tersebut!


14

Jawab :

Median = Li + (n/2 – (Σf)i / fmedian) x c

= 1099,5 + (100/2 – 23/29) x 99

= 1191,7

Breaking stress (kN/m2) Jumlah (f)

900 – 999 4

1000 – 1099 19

1100 – 1199 29

1200 – 1299 28

1300 – 1399 13

1400 – 1499 7

Total (N) 100

Fkumulatif = 52

Modus à bilangan yang paling sering muncul atau

nilai yang memiliki frekuensi terbanyak.


15

a.  Data tunggal / berbobot

Contoh :

Tentukan modus dari masing-masing kumpulan bilangan di bawah ini:

a. 5,3,5,7,5 c. 2,5,6,3,7,9,8

b. 4,3,3,4,4,7,6,8,7,7 d. 2,2,3,3,5,4,4,6,7

Jawab : a. 5 b. 4 dan 7 c. tidak ada d. 2,3,4

Modus


16

b.  Data berkelompok

Dengan:

Li = tepi bawah dari kelas modus

Δ1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

Δ2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = lebar interval kelas modus

Modus = Li + (Δ1/Δ1+Δ2) x c

Contoh :

¡  Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam

¡  Tentukan modus dari data tersebut!


17

Jawab :

Modus = Li + (Δ1/Δ1+Δ2) x c

= 1099,5 + (10/10+1) x 99

= 1189,5


900 – 999 4

1000 – 1099 19

1100 – 1199 29

1200 – 1299 28

1300 – 1399 13

1400 – 1499 7

Total (N) 100

Kelas Modus

Kuartil (Quartile) ¡  Kelompok data yang telah diurutkan kemudian dibagi menjadi 4

(empat) bagian sama banyak

1.  Data tidak berkelompok

2.  Data berkelompok


18

Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil L0 : tepi bawah kelas kuartil c : panjang interval kelas n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas kuartil

( ) 3 2, 1,i ,4

1ni-ke Nilai =+

=iQ

3 2, 1,i ,40 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

f

Fin

cLQi

Desil ¡  Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 (sepuluh)

bagian sama banyak




19

Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i L0 : tepi bawah kelas desil ke-I c : panjang interval kelas kelas desil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas desil ke-i

( ) 3,...,9 2, 1,i ,10

1ni-ke Nilai =+

=iD

3,...,9 2, 1,i ,100 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

f

Fin

cLDi

Persentil ¡  Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 100 (seratus)

bagian sama banyak




20

Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil ke-i L0 : tepi bawah kelas persentil ke-I c : panjang interval kelas kelas persentil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas persentil ke-i

( ) 3,...,99 2, 1,i ,100

1ni-ke Nilai =+

=iP

3,...,99 2, 1,i ,1000 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

f

Fin

cLPi

Latihan

Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam;

Tentukan:

a. Q1, Q2, Q3

b. D3, D7, dan D9

c. P25 dan P75

01/10/2014


21


900 – 999 4

1000 – 1099 19

1100 – 1199 29

1200 – 1299 28

1300 – 1399 13

1400 – 1499 7

Total (N) 100

Ukuran Dispersi/Ukuran Penyebaran Data



22

Pengertian Dispersi

•  Ukuran yang menyatakan

seberapa jauh penyimpangan

nilai-nilai data dari nilai-nilai

pusatnya

•  Ukuran yang menyatakan

seberapa banyak nilai-nilai

data yang berbeda dengan

nilai-nilai pusatnya

•  Dispersi serangkaian data akan

lebih kecil bila nilai-nilai

tersebut berkonsentrasi di

sekitar rata-ratanya, dan

sebaliknya


23

Ukuran Dispersi

RENTANG (Range)

SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviation)

SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation)

VARIANSI (Variance)

Rentang/Range ¡  Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan

terkecil.

¡  Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.


24

¡  Contoh : A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10

X = 55 r = 100 – 10 = 90

Rata-rata

Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) merupakan nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya

Nilai X X - X |X – X|

100 45 45

90 35 35

80 25 25

70 15 15

60 5 5

50 -5 5

40 -15 15

30 -25 25

20 -35 35

10 -45 45

Jumlah 0 250

Nilai X X - X |X – X|

100 45 45

100 45 45

100 45 45

90 35 35

80 25 25

30 -25 25

20 -35 35

10 -45 45

10 -45 45

10 -45 45

Jumlah 0 390

Kelompok A Kelompok B

DR = 250 = 25 10

DR = 390 = 39 10 Makin besar simpangan,

makin besar nilai deviasi rata-rata

DR = n Σ i=1

|Xi – X| n


25

Rata-rata

Rata-rata

a.  Simpangan Rata-rata Data Tunggal


26 SR = Simpangan rata-rata

f = frekuensi

= titik tengah

= rata-rata

b.  Simpangan Rata-rata Data Berkelompok

Contoh

Jadi, rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa sebesar 77,64 dengan simpangan rata-rata 5,5

Varians & Deviasi Standar

Varians

¡  penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya;

¡ melihat ketidaksamaan sekelompok data

Deviasi Standar

¡  penyebaran berdasarkan akar dari varians;

¡ menunjukkan keragaman kelompok data


27

Varians & Deviasi Standar Sampel Kecil (n < 30)

Varians Sampel Kecil

s2 = n Σ i=1

(Xi – X)2

n-1

Deviasi Standar Sampel Kecil

s = √ n Σ i=1

(Xi – X)2

n-1

Nilai X X -X (X–X)2

100 45 2025

90 35 1225

80 25 625

70 15 225

60 5 25

50 -5 25

40 -15 225

30 -25 625

20 -35 1225

10 -45 2025

Jumlah 8250

Nilai X X -X (X –X)2

100 45 2025

100 45 2025

100 45 2025

90 35 1225

80 25 625

30 -25 625

20 -35 1225

10 -45 2025

10 -45 2025

10 -45 2025

Jumlah 15850

Kelompok A Kelompok B

s = √ 8250 9 = 30.28 s = √ 15850

9 = 41.97

Kesimpulan : Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A 01/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

28

Varians & Deviasi Standar Sampel Besar (n ≥ 30)

Varians Sampel Besar

s2 = n Σ i=1

(Xi – X)2

n

Deviasi Standar Sampel Besar

s = √ n Σ i=1

(Xi – X)2

n


29

Varians & Deviasi Standar Data Berkelompok

¡  Varians Sampel Besar


30

¡  Deviasi Standar Sampel Besar

¡  Varians Sampel Kecil

¡  Deviasi Standar Sampel Kecil

s2 = n Σ i=1

f(Xi – X)2

n-1 s2 =

n Σ i=1

f(Xi – X)2

n

s = √ n Σ i=1

f(Xi – X)2

n-1 s = √

n Σ i=1

f(Xi – X)2

n

Dimana Xi = titik tengah setiap kelas

Documents

Pengukuran Deskriptif - Universitas Brawijaya · Ukuran Pemusatan Data Pengukuran Deskriptif 01/10/2014 5 . UKURAN PEMUSATAN DATA Mean Kuartil Persentil Desil Modus Median ... Contoh: