Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8

Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Pencacahan

“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” –Aristotle

1 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan


Berapakah jumlah bilangan bulat dari 5 sampai 12? Jawaban: 8


5 6 7 8 9 10 11 12

m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+6 m+7

1 2 3 4 5 6 7 8

(n-‐m)+1

Teorema: Jika m dan n adalah bilangan bulat dengan m < n, maka ada sejumlah n – m + 1 buah bilangan bulat dari m sampai n.

m n


Ada berapa bilangan bulat yang terdiri dari Pga angka (100 – 999)? Dari semua itu berapa yang: Habis dibagi 5? Merupakan bilangan genap? Merupakan bilangan ganjil?



Pohon Kemungkinan

Sebuah pertandingan antara Pm A dan Pm B, pemenang adalah Pm yang menang 2 kali berturut – turut atau menang total 3 pertandingan. •  Berapakah jumlah skenario pertandingan yang mungkin terjadi?



Aturan Perkalian Suatu PIN terdiri dari urutan 4 karakter yang dapat berupa alfabet maupun numerik, tentukan: •  Berapa jumlah PIN berbeda yang dapat dihasilkan?

•  Berapa jumlah PIN berbeda yang dapat dihasilkan apabila Pdak boleh ada pengulangan karakter yang sama pada masing – masing PIN?



Aturan Perkalian

Pada pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari: ketua kelas, wakil ketua kelas, dan bendahara terdapat 4 calon, yaitu: Abi, Bida, Dani, Nia. Nia Pdak bisa menjadi ketua kelas, bendahara hanya dapat diisi oleh Bida dan Dani. Berapa banyak jenis komposisi pengurus kelas yang dapat terbentuk? Jawab: ?



Permutasi

Contoh: Suatu himpunan dengan elemen a, b, dan c memiliki permutasi: abc acb cba bac bca cab


Teorema: Untuk bilangan bulat n dimana n > 1, jumlah permutasi suatu himpunan dengan n buah elemen adalah n!


Permutasi Dengan Objek Melingkar

Dalam suatu pertemuan, terdapat 6 peserta yang duduk melingkari meja bundar. Ada berapa cara pengaturan tempat duduk? (posisi yang diperhitungkan adalah posisi relaPf antar peserta, sedangkan posisi kursi Pdak diperhitungkan) Jawab: 120



Permutasi-‐r

Ada berapa cara berbeda menyusun dua huruf yang terurut dari kata UBI? UB UI BI IB IU BU = 6 cara


Teorema: Jumlah permutasi-‐r dari suatu himpunan dengan n elemen adalah: P(n, r) = n!

(n! r)!


Dengan huruf yang Pdak boleh berulang: •  Berapa banyak jumlah cara untuk menyusun kata yang terdiri dari 3 huruf yang terurut dari kata UNIBRAW?

•  Berapa banyak jumlah cara penyusunan apabila huruf pertama adalah R?



Aturan Penjumlahan

Menghitung elemen dari himpunan saling lepas. Contoh: Password suatu email berupa karakter alfabet dan numerik dengan ketentuan terdiri dari minimal satu karakter dan maksimal Pga karakter dan boleh menggunakan karakter yang sama (berulang), berapa jumlah kemungkinan password yang dapat dibuat?



Aturan Selisih Dari contoh pada slide sebelumnya, berapakan jumlah password yang terdapat karakter sama (berulang)? Petunjuk: 1.  Cari jumlah kemungkinan password dengan

memperbolehkan pengulangan karakter (contoh sebelumnya)

2.  Cari jumlah kemungkinan password tanpa pengulangan karakter.

3.  Hitung selisih keduanya (password yang memperbolehkan pengulangan karakter dikurangi password tanpa pengulangan karakter).



Aturan Inklusi/Eksklusi

Untuk 2 himpunan: N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B) Untuk 3 himpunan: N(A∪B∪C) = N(A) + N(B) + N(C) – N(A∩B) – N(A∩C) – N(B∩C) + N(A∩B∩C) Keterangan: N(A) = jumlah elemen himpunan A



Contoh

Ada berapa bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 3 atau 5?

Petunjuk: 1.  Misal A adalah himpunan bilangan bulat dari 1

sampai 1000 yang habis dibagi 3 dan B adalah himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 5.

2.  Hitung N(A∪B), yaitu N(A) + N(B) – N(A∩B)



Prinsip Sarang Merpa( Misal suatu kelas berisi 40 mahasiswa. Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di bulan yang sama? Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal yang sama? Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal dan bulan yang sama?


Sumber: Susanna S.Epp – Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4th EdiPon

“Fungsi dari satu himpunan berhingga ke himpunan berhingga yang lebih kecil (dak dapat berupa fungsi satu-‐ke-‐satu. Pas( minimal ada dua atau lebih elemen domain yang memiliki image sama di kodomain.”


Perluasan Prinsip Sarang MerpaP


“Untuk suatu fungsi f dari himpunan berhingga X dengan n buah elemen ke himpunan Y dengan m buah elemen dan untuk bilangan bulat posi(f k, jika: k < n/m, maka ada y ∈ Y dimana y adalah image dari k + 1 atau lebih elemen X.”


Contoh Aplikasi

Tunjukkan dengan perluasan prinsip sarang merpaP bahwa pada sebuah kelompok dengan 200 orang anggota, terdapat minimal 8 orang yang berinisial awal sama.



Kombinasi

Kombinasi menjawab pertanyaan: “Ditentukan suatu himpunan S dengan n buah elemen, ada berapa banyak himpunan bagian dengan ukuran r yang dapat dibuat dari S?” Notasi kombinasi-‐r:


nr

!

"#

$

%&


Sebuah kelompok beranggotakan 3 orang, ada 4 orang calon anggota yaitu Gimin, Peno, Midi, Mo. Berapa banyak komposisi kelompok yang dapat dibentuk? Jawab: Misal M = {Gimin, Peno, Midi, Mo} Kelompok yang dapat dibentuk adalah kombinasi-‐3 dari M, yaitu: {Gimin, Peno, Midi} {Gimin, Peno, Mo} {Gimin, Midi, Mo} {Peno, Midi, Mo} Jadi kelompok yang dapat dibentuk adalah


43

!

"#

$

%&= 4

Enumerasi lengkap


Misalkan jumlah mahasiswa PTIIK angkatan 2013 adalah 1200 orang, akan dipilih 5 orang mahasiswa sebagai perwakilan. Berapa banyak komposisi perwakilan yang dapat dibentuk?



Hubungan Permutasi dan Kombinasi?

Untuk mencari hubungan permutasi dan kombinasi, kita bisa menggunakan metode Pdak langsung melalui contoh kasus sebagai berikut: Tulis permutasi-‐2 dari himpunan {a, b, c, d} Petunjuk: Dalam menentukan permutasi, pecah langkah penyelesaian menjadi dua, yaitu: 1.  Menentukan semua himpunan bagian yang terdiri dari 2 elemen

dari {a, b, c, d} 2.  Menentukan semua pasangan berurutan dari himpunan bagian

tersebut. Dari 2 langkah tersebut, kita dapat menyelidiki hubungan antara permutasi dan kombinasi



Hubungan Permutasi & Kombinasi


nr

!

"#

$

%&=

P(n, r)r!

nr

!

"#

$

%&=

n!r!(n' r)!

Dimana n dan r adalah bilangan bulat non-‐negaPf dengan r < n


Kombinasi Dengan Pengulangan

Tulis semua lis untuk mengetahui jumlah kombinasi-‐3 dengan pengulangan dari {a, b, c, d}



Ringkasan

Pakai formula yang mana?


Dengan Urutan Tanpa Urutan

Boleh Pengulangan

Tanpa Pengulangan

nkk + n!1

k

"

#$

%

&'

P(n,k) nk

!

"#

$

%&

Sumber: Susanna S.Epp – Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4th EdiPon


Referensi

Susanna S .Epp. Discrete Mathema<cs with Applica<ons 4th Ed. Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema<cs and Its Applica<ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema<ka Diskrit edisi ke<ga.


Documents

Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8