PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA SUBKELAS POHONdigilib.its.ac.id/public/ITS-paper-33575-1209100056-Presentation.pdf · pelabelan super sisi ajaib pada graf sikel C 2n+1 dan menghasilkan

PENDAHULUAN TINJAUAN PUSTAKA METODE PENELITIAN ANALISA DAN PEMBAHASAN SIMPULAN

PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA

SUBKELAS POHON(SUPER EDGE MAGIC LABELING ON SUBCLASSES OF

TREE)

Rohmatul Izzah (1209 100 056)Dosen Pembimbing:Dr.Darmaji,S.Si.,M.T.

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya2013

Rohmatul Izzah (1209 100 056)Dosen Pembimbing: Dr.Darmaji,S.Si.,M.T.

PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA SUBKELAS POHON


Abstrak

Misalkan G (V ,E ) adalah graf dengan himpunan simpulV (G ) dan himpunan sisi E (G ). Suatu pemetaan f dariV (G )∪ E (G ) ke {1, 2, 3, ..., p + q} dimana p adalah order danq adalah ukuran disebut pelabelan super sisi ajaib jika fmerupakaan pemetaan bijektif dan V (G ) dipetakan ke{1, 2, 3, ..., p} sehingga f (V (G )) = {1, 2, 3, ..., p} danf (E (G )) = {p + 1, p + 2, p + 3, , p + q} sedemikian sehinggamasing-masing sisi xy di G (V ,E ) berlakuf (x) + f (xy) + f (y) = k, dengan k konstanta yang disebutjuga bilangan ajaib. Pada Tugas Akhir ini, dilakukan pelabelanpada caterpillar teratur Cm,n, firecracker teratur Fm,n danbanana tree teratur Bm,n dengan m dan n bilangan bulatpositif sehingga memenuhi syarat pelabelan super sisi ajaib.




Setelah memperoleh label, selanjutnya menentukan polapelabelan pada simpul dan sisi tersebut sehingga diperolehbilangan ajaib k kemudian menganalisa bilangan ajaib yangdidapatkan tersebut.Kata-kunci: Banana Tree, Caterpillar, Firecracker,Pelabelan Super Sisi Ajaib.




Latar Belakang




Latar Belakang

Pelabelan adalah bidang dalam teori graf yang banyak dikaji.

Pada tahun 2001 Selvam Avadayappan dkk., mengajipelabelan super sisi ajaib pada graf sikel C2n+1 danmenghasilkan k = 5n + 4.

pada tahun 1998 Hikoe Enomoto dkk., mengaji pelabelansuper sisi ajaib pada graf bipartite lengkap Km,n untuk m = 1atau n = 1 menghasilkan k = 3n + 6.

Pelabelan super sisi ajaib pada pohon belum banyak yangmengaji.




Latar Belakang








Latar Belakang








Latar Belakang








Rumusan Masalah




Rumusan Masalah

Bagaimana melabeli subkelas pohon sehingga memenuhi syaratsebagai pelabelan super sisi ajaib.




Batasan Masalah




Batasan Masalah

Subkelas pohon yang menjadi obyek kajian merupakan grafsederhana, tidak berarah dan terbatas .

Pohon yang dikaji adalah caterpillar teratur Cm,n, firecrackerteratur Fm,n dan banana tree teratur Bm,n.




Batasan Masalah

Subkelas pohon yang menjadi obyek kajian merupakan grafsederhana, tidak berarah dan terbatas .

Pohon yang dikaji adalah caterpillar teratur Cm,n, firecrackerteratur Fm,n dan banana tree teratur Bm,n.




Tujuan




Tujuan

Mencari pola pelabelan super sisi ajaib dan bilangan ajaib padasubkelas pohon.




Manfaat




Manfaat

Diharapkan dapat memberikan kontribusi penelitian padabidang pelabelan super sisi ajaib terlebih pada subkelas pohon.




Graf




Graf

Masalah jembatan di sungai Pregel di Konigsberg Rusia




Pohon




Pohon

Pohon dengan 6 Simpul




Graf Bintang




Graf Bintang

Graf Bintang K1,5




Caterpillar




Caterpillar

Caterpillar C2,3




Firecracker




Firecracker

Firecracker F3,4




Banana Tree




Banana Tree

Banana Tree B3,3




Pelabelan

Pelabelan Total Sisi Ajaib dan Pelabelan Super Sisi Ajaib




Pelabelan

Pelabelan Total Sisi Ajaib dan Pelabelan Super Sisi Ajaib




Metode Penelitian

Studi Literatur

Menganalisa pelabelan Pohon dan Menentukan PolaPelabelan

Menentukan Bilangan Ajaib

Analisa Hasil

Simpulan dan Saran




Metode Penelitian

Studi Literatur



Analisa Hasil

Simpulan dan Saran




Metode Penelitian

Studi Literatur



Analisa Hasil

Simpulan dan Saran




Metode Penelitian

Studi Literatur



Analisa Hasil

Simpulan dan Saran




Metode Penelitian

Studi Literatur



Analisa Hasil

Simpulan dan Saran




Metode Penelitian

Studi Literatur



Analisa Hasil

Simpulan dan Saran




Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Caterpillar Teratur

C2,n





C2,n

Teorema (4.1)

Jika C2,n dengan n ≥ 1 adalah caterpillar teratur dengan 2simpul backbone dan n simpul anting, maka C2,n adalah pohonyang memenuhi pelabelan super sisi ajaib dengan bilanganajaib k = 5n + 6.




Caterpillar Teratur C2,n dengan n = 1, 2, 3, 4,

C2,1 dengan k = 11

C2,2 dengan k = 16




C2,3 dengan k = 21

C2,4 dengan k = 26





C3,n





C3,n

Teorema (4.2)

Jika C3,n dengan n ≥ 1 adalah caterpillar teratur dengan 3simpul backbone dan n simpul anting, maka C3,n adalah pohonyang memenuhi pelabelan super sisi ajaib dengan bilanganajaib k = 8n + 8.




Caterpillar Teratur C3,n dengan n = 1, 2, 3, 4,

C3,1 dengan k = 16

C3,2 dengan k = 24




C3,3 dengan k = 32

C3,4 dengan k = 40




Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Firecracker

Teratur F2,n





Teratur F2,n

Teorema (4.3)

Jika F2,n dengan n ≥ 1 adalah firecracker teratur dengan 2simpul backbone, 2 simpul pusat dan n simpul anting, makaF2,n adalah pohon yang memenuhi pelabelan super sisi ajaibdengan bilangan ajaib k = 5n + 11.




Firecracker Teratur F2,n dengan n = 1, 2, 3, 4,

F2,1 dengan k = 16 dan F2,2 dengan k = 21





F2,3 dengan k = 26 dan F2,4 dengan k = 31





Teratur F3,n





Teratur F3,n

Teorema (4.4)

Jika F3,n dengan n ≥ 1 adalah firecracker teratur dengan 3simpul backbone, 3 simpul pusat dan n simpul anting, makaF3,n adalah pohon yang memenuhi pelabelan super sisi ajaibdengan bilangan ajaib k = 6n + 16.





F3,1 dengan k = 22

F3,2 dengan k = 28




F3,3 dengan k = 34

F3,4 dengan k = 40




Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Banana Tree

Teratur B2,n





Teratur B2,n

Teorema (4.5)

Jika B2,n dengan n ≥ 1 adalah banana tree teratur dengan 2salinan graf bintang dan n simpul anting, maka B2,n adalahpohon yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib denganbilangan ajaib k = 4n + 10.




Banana Tree Teratur B2,n dengan n = 1, 2, 3, 4,

B2,1 dengan k = 14 dan B2,2 dengan k = 18




B2,3 dengan k = 22 dan B2,2 dengan k = 26





Teratur B3,n





Teratur B3,n

Teorema (4.6)

Jika B3,n dengan n ≥ 2 adalah Banana tree teratur dengan 3salinan graf bintang dan n simpul anting, maka B3,n adalahpohon yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib denganbilangan ajaib k = 6n + 13.




Banana Tree Teratur B3,n dengan n = 2, 3, 4, 5

B3,1 dengan k = 25

B3,2 dengan k = 31Rohmatul Izzah (1209 100 056)Dosen Pembimbing: Dr.Darmaji,S.Si.,M.T.



B3,3 dengan k = 37

B3,4 dengan k = 43




Banana Tree Teratur B3,1

B3,1 dengan k = 19




Simpulan

1. Caterpillar teratur C2,n adalah pohon yang memenuhipelabelan super sisi ajaib dengan k = 5n + 6 untuk n ≥ 1dan pola pelabelan sebagai berikut:

f (c1) = 1 f (c1c2) = 3n + 3f (c2) = 2n + 2 f (c1a1j) = 4n − j + 4f (a1j) = n + j + 1 f (c2a2j) = 3n − j + 3f (a2j) = j + 1

Untuk 1 ≤ j ≤ n2. Firecracker teratur F2,n adalah pohon yang memenuhi

pelabelan super sisi ajaib dengan k = 5n + 11 untukn ≥ 1 dan pola pelabelan sebagai berikut:

f (x1) = 2n + 3 f (a2j) = j + 2f (x2) = 2 f (x1x2) = 3n + 6




Simpulan





f (x1) = 2n + 3 f (a2j) = j + 2f (x2) = 2 f (x1x2) = 3n + 6




Simpulan





f (x1) = 2n + 3 f (a2j) = j + 2f (x2) = 2 f (x1x2) = 3n + 6




f (c1) = 1 f (xici) = 3n − 2i + 9f (c2) = 2n + 4 f (c1a1j) = 4n − j + 8f (a1j) = n + j + 2 f (c1a2j) = 3n − j + 5Untuk i = 1, 2 dan 1 ≤ j ≤ n

3. Banana tree teratur B2,n adalah pohon yang memenuhipelabelan super sisi ajaib dengan k = 4n + 10 untukn ≥ 1 dan pola pelabelan sebagai berikut:

f (r) = 2 f (rxi) = 3n − i + 6f (ci) = 2i − 1 f (cixi) = 3n − 3i + 9f (xi) = n + i + 2 f (c1a1j) = 3n + j + 6f (a1j) = n − j + 3 f (c2a2j) = 3n − j + 3f (a2j) = n + j + 4

Untuk i = 1, 2 dan 1 ≤ j ≤ n − 1




f (c1) = 1 f (xici) = 3n − 2i + 9f (c2) = 2n + 4 f (c1a1j) = 4n − j + 8f (a1j) = n + j + 2 f (c1a2j) = 3n − j + 5Untuk i = 1, 2 dan 1 ≤ j ≤ n

3. Banana tree teratur B2,n adalah pohon yang memenuhipelabelan super sisi ajaib dengan k = 4n + 10 untukn ≥ 1 dan pola pelabelan sebagai berikut:

f (r) = 2 f (rxi) = 3n − i + 6f (ci) = 2i − 1 f (cixi) = 3n − 3i + 9f (xi) = n + i + 2 f (c1a1j) = 3n + j + 6f (a1j) = n − j + 3 f (c2a2j) = 3n − j + 3f (a2j) = n + j + 4

Untuk i = 1, 2 dan 1 ≤ j ≤ n − 1




Daftar Pustaka




Daftar Pustaka

Cunningham, D. (2004). ”Vertex Magic”. ElectronicJournal of Undergraduate Mathematics. Vol 9, Hal1-20. Fuman University.

Irawati, N. dan Heri, R. (2010). ”Pelabelan Total TitikAjaib Pada Complete graph Kn dengan n Ganjil”.JurnalMatematiaka Vol. 13 No. 3, Hal. 136-142. Semarang:Universitas Diponegoro.

Avadayappan, S. dkk. (2001). ”Super Magic Strenght of aGraph”. Indian J. Pure Appl. Math Vol. 32 No. 11,Hal 1621-1630.




Enomoto, H. dkk. (1998). ”Super Edge-Magic Graphs”.SUT Journal of Mathematics Vol. 34 No. 2, Hal105-109.

Swaminathan, V. And Jeyanthi P. (2006). ”SuperEdge-Magic Strenght of Firecrackers, Banana Trees andUnicyclic Graphs ”. Discrete Mathematics 306, Hal1624-1636.

Yulianti, Kartika. (2008). ”Hand Out Mata Kuliah TeoriGraf (MT 424) Jilid Satu”. Bandung: UniversitasPendidikan Indonesia.




Bondy, J.A. and Murty, U.S.R. (1976). ”Graph Theorywith Applications”. Great Britain: The Macmillan PressLtd.

Weisstein, Eric W. ”Star Graf”.From Math World–AWolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/StarGraf.html

Weisstein, Eric W. ”Caterpillar”.From Math World–AWolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/Caterpillar.html

Gallian, Joseph A.(2009). ”A Dynamic Survey of GrafLabeling”. The Electronic Journal of Combinatoric16.






Documents

PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA SUBKELAS POHONdigilib.its.ac.id/public/ITS-paper-33575-1209100056-Presentation.pdf · pelabelan super sisi ajaib pada graf sikel C 2n+1 dan menghasilkan