Pasquale Blasi, Rainer Dick and Edward W. Kolb- Ultra-high energy cosmic rays from annihilation of superheavy dark matter

8/3/2019 Pasquale Blasi, Rainer Dick and Edward W. Kolb- Ultra-high energy cosmic rays from annihilation of superheavy dar

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Fermilab FERMILAB-Pub-01/059-A May 2001

arXiv:astro-ph/010523214May2001

U l t r a - h i g h e n e r g y c o s m i c r a y s f r o m

a n n i h i l a t i o n o f s u p e r h e a v y d a r k m a t t e r

P a s q u a l e B l a s i

a 1

, R a i n e r D i c k

b 2

, a n d E d w a r d W . K o l b

a c 3

a

N A S A / F e r m i l a b A s t r o p h y s i c s C e n t e r , F e r m i N a t i o n a l A c c e l e r a t o r L a b o r a t o r y ,

B a t a v i a , I l l i n o i s 6 0 5 1 0 - 0 5 0 0

b

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s a n d E n g i n e e r i n g P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f S a s k a t c h e w a n ,

1 1 6 S c i e n c e P l a c e , S a s k a t o o n , S K S 7 N 5 E 2 , C a n a d a

c

D e p a r t m e n t o f A s t r o n o m y a n d A s t r o p h y s i c s , E n r i c o F e r m i I n s t i t u t e ,

T h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o , C h i c a g o , I l l i n o i s 6 0 6 3 7 - 1 4 3 3

A b s t r a c t

W e c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y t h a t u l t r a - h i g h e n e r g y c o s m i c r a y s o r i g i n a t e f r o m t h e a n n i h i -

l a t i o n o f r e l i c s u p e r h e a v y d a r k - m a t t e r p a r t i c l e s . W e n d t h a t a c r o s s s e c t i o n o f h

A

v i

1 0

; 2 6

c m

2

( M

X

= 1 0

1 2

G e V )

3 = 2

i s r e q u i r e d t o a c c o u n t f o r t h e o b s e r v e d r a t e o f s u p e r - G Z K e v e n t s i f

t h e s u p e r h e a v y d a r k m a t t e r f o l l o w s a N a v a r r o { F r e n k { W h i t e d e n s i t y p r o l e . W e a l s o c a l c u l a t e

t h e p o s s i b l e s i g n a t u r e f r o m a n n i h i l a t i o n i n s u b - g a l a c t i c c l u m p s o f d a r k m a t t e r a n d n d t h a t t h e

s i g n a l f r o m s u b - g a l a c t i c s t r u c t u r e s m a y d o m i n a t e . F i n a l l y , w e d i s c u s s t h e e x p e c t e d a n i s o t r o p y

i n t h e a r r i v a l d i r e c t i o n s o f t h e c o s m i c r a y s , w h i c h i s a c h a r a c t e r i s t i c s i g n a t u r e o f t h i s s c e n a r i o .

K e y w o r d s : D a r k M a t t e r , U l t r a - H i g h E n e r g y C o s m i c R a y s

P A C S : 9 8 . 7 0 . S a , 9 8 . 7 0 . - f , 9 5 . 3 5 . + d , 1 4 . 8 0 . - j

1 I n t r o d u c t i o n

T h e n a t u r e o f t h e d a r k m a t t e r a n d t h e

o r i g i n o f t h e u l t r a - h i g h e n e r g y ( U H E ) c o s -

m i c r a y s a r e t w o o f t h e m o s t p r e s s i n g i s s u e s

i n c o n t e m p o r a r y p a r t i c l e a s t r o p h y s i c s . I n

t h i s p a p e r w e e x p l o r e t h e p o s s i b i l i t y t h a t

t h e r e i s a c o m m o n r e s o l u t i o n o f t h e t w o

i s s u e s : d a r k m a t t e r i s a r e l i c s u p e r h e a v y

d a r k - m a t t e r p a r t i c l e ( w i m p z i l l a ) , a n d t h e

U H E c o s m i c r a y s a r e t h e a n n i h i l a t i o n p r o d -

1

b l a s i @ c a r i n a . f n a l . g o v

2

r a i n e r @ s a s k . u s a s k . c a

3

r o c k y @ r i g o l e t t o . f n a l . g o v

u c t s o f w i m p z i l l a s

T h e d a r k m a t t e r p u z z l e r e s u l t s f r o m

t h e o b s e r v a t i o n t h a t v i s i b l e m a t t e r c a n

a c c o u n t f o r o n l y a v e r y s m a l l f r a c t i o n o f

m a t t e r b o u n d i n l a r g e - s c a l e s t r u c t u r e s .

T h e e v i d e n c e f o r d a r k m a t t e r i s s u p p o r t e d

b y m a s s e s t i m a t e s f r o m g r a v i t a t i o n a l l e n s -

i n g 1 ] , b y t h e p e c u l i a r v e l o c i t i e s o f l a r g e

s c a l e s t r u c t u r e s 2 ] , b y m e a s u r e m e n t s o f

C M B a n i s o t r o p y 3 ] a n d b y m e a s u r e m e n t s

o f t h e r e c e s s i o n v e l o c i t y o f h i g h - r e d s h i f t

s u p e r n o v a e 4 ] . C o n s t r a i n t s f r o m b i g - b a n g

n u c l e o s y n t h e s i s i m p l y t h a t t h e b u l k o f t h e

d a r k m a t t e r c a n n o t b e b a r y o n i c , a n d m o s t

o f t h e m a t t e r d e n s i t y o f t h e u n i v e r s e m u s t

P r e p r i n t s u b m i t t e d t o E l s e v i e r S c i e n c e 1 4 M a y 2 0 0 1


2/12

a r i s e f r o m p a r t i c l e s n o t a c c o u n t e d f o r b y

t h e S t a n d a r d M o d e l o f p a r t i c l e p h y s i c s 5 ] .

T h e e x i s t e n c e o f U H E c o s m i c r a y s o f e n -

e r g i e s a b o v e t h e G r e i s e n - Z a t s e p i n - K u z m i n

c u t o 6 ] , E

G Z K

' 5 1 0

1 9

e V , i s a m a -

j o r p u z z l e b e c a u s e t h e c o s m i c m i c r o w a v e

b a c k g r o u n d c o n s t i t u t e s a n e c i e n t o b s t a -

c l e f o r p r o t o n s o r n u c l e i o f u l t r a - h i g h e n -

e r g i e s t o t r a v e l f a r t h e r t h a n a f e w d o z e n

M p c 6 , 7 ] . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e o b s e r v e d

e x t r e m e l y e n e r g e t i c c o s m i c r a y s w i t h E >

E

G Z K

s h o u l d o r i g i n a t e i n o u r c o s m i c n e i g h -

b o r h o o d . F u r t h e r m o r e , t h e a p p r o x i m a t e l y

i s o t r o p i c d i s t r i b u t i o n o f a r r i v a l d i r e c t i o n s

m a k e s i t d i c u l t t o i m a g i n e t h a t n e a r b y a s -

t r o p h y s i c a l s o u r c e s a r e t h e a c c e l e r a t o r s o f

t h e o b s e r v e d U H E c o s m i c r a y s ( b u t f o r t h e

o p p o s i t e p o i n t o f v i e w , s e e 8 ] ) .

A n i n t e r e s t i n g p o s s i b i l i t y i s t h a t U H E

c o s m i c r a y s a r e t h e p r o d u c t s o f t h e d e c a y

o f s o m e s u p e r h e a v y p a r t i c l e . T h i s p o s s i -

b i l i t y h a s b e e n p r o p o s e d b y B e r e z i n s k y ,

K a c h e l r i e a n d V i l e n k i n a n d b y K u z m i n

a n d R u b a k o v 9 , 1 0 ] , s e e a l s o 1 1 ] f o r a

d i s c u s s i o n o f t h i s i n t h e f r a m e w o r k o f

s t r i n g / M - t h e o r y , a n d 1 2 ] f o r a d i s c u s s i o n

i n t h e f r a m e w o r k o f t o p o l o g i c a l d e f e c t s .

T h e s u p e r h e a v y p a r t i c l e s m u s t h a v e m a s s e s

M

X

1 0

1 2

G e V . A l t h o u g h t h i s p r o p o s a l

c i r c u m v e n t s s o m e o f t h e a s t r o n o m i c a l

p r o b l e m s , t h e r e a r e t w o i s s u e s t o a d d r e s s :

S o m e c o s m o l o g i c a l m e c h a n i s m m u s t b e

f o u n d f o r p r o d u c i n g p a r t i c l e s o f s u c h l a r g e

m a s s i n t h e n e c e s s a r y a b u n d a n c e , a n d t h e

l i f e t i m e o f t h i s v e r y m a s s i v e s t a t e m u s t b e

i n e x c e s s o f 1 0

2 0

y r , i f w e w a n t t h e s e p a r -

t i c l e s t o b e b o t h d a r k m a t t e r c a n d i d a t e s

a n d s o u r c e s o f U H E c o s m i c r a y s .

T h e s i m p l e a s s u m p t i o n t h a t d a r k m a t t e r

i s a t h e r m a l r e l i c l i m i t s t h e m a x i m u m m a s s

o f t h e d a r k m a t t e r p a r t i c l e . T h e l a r g e s t a n -

n i h i l a t i o n c r o s s s e c t i o n i n t h e e a r l y u n i v e r s e

i s e x p e c t e d t o b e r o u g h l y M

; 2

X

. T h i s i m -

p l i e s t h a t v e r y m a s s i v e w i m p s h a v e s u c h a

s m a l l a n n i h i l a t i o n c r o s s s e c t i o n t h a t t h e i r

p r e s e n t a b u n d a n c e w o u l d b e t o o l a r g e i f

t h e w i m p s a r e t h e r m a l r e l i c s . T h u s , o n e

p r e d i c t s a m a x i m u m m a s s f o r a t h e r m a l

w i m p , w h i c h t u r n s o u t t o b e a f e w h u n d r e d

T e V . W h i l e a t h e r m a l o r i g i n f o r w i m p s i s

t h e m o s t c o m m o n a s s u m p t i o n , i t i s n o t t h e

s i m p l e s t p o s s i b i l i t y . I t h a s b e e n r e c e n t l y

p o i n t e d o u t t h a t d a r k p a r t i c l e s m i g h t h a v e

n e v e r e x p e r i e n c e d l o c a l c h e m i c a l e q u i l i b -

r i u m d u r i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e u n i v e r s e ,

a n d t h a t t h e i r m a s s m a y b e i n t h e r a n g e

1 0

1 2

t o 1 0

1 9

G e V , m u c h l a r g e r t h a n t h e

m a s s o f t h e r m a l w i m p s 1 3 { 1 6 ] . S i n c e t h e s e

w i m p s w o u l d b e m u c h m o r e m a s s i v e t h a n

t h e r m a l w i m p s , s u c h s u p e r h e a v y d a r k p a r -

t i c l e s h a v e b e e n c a l l e d w i m p z i l l a s 1 6 ] .

S i n c e w i m p z i l l a s a r e e x t r e m e l y m a s -

s i v e , t h e c h a l l e n g e l i e s i n c r e a t i n g v e r y f e w

o f t h e m . S e v e r a l w i m p z i l l a s c e n a r i o s h a v e

b e e n d e v e l o p e d i n v o l v i n g p r o d u c t i o n d u r -

i n g d i e r e n t s t a g e s o f t h e e v o l u t i o n o f t h e

u n i v e r s e .

w i m p z i l l a s m a y b e c r e a t e d d u r i n g

b u b b l e c o l l i s i o n s i f i n a t i o n i s c o m p l e t e d

t h r o u g h a r s t - o r d e r p h a s e t r a n s i t i o n

1 7 , 1 8 ] a t t h e p r e h e a t i n g s t a g e a f t e r t h e

e n d o f i n a t i o n w i t h m a s s e s e a s i l y u p t o

t h e G r a n d U n i e d s c a l e o f 1 0

1 5

G e V 1 9 ]

o r e v e n u p t o t h e P l a n c k s c a l e 2 0 { 2 2 ] o r

d u r i n g t h e r e h e a t i n g s t a g e a f t e r i n a t i o n

1 5 ] w i t h m a s s e s w h i c h m a y b e a s l a r g e a s

2 1 0

3

t i m e s t h e r e h e a t t e m p e r a t u r e .

w i m p z i l l a s m a y a l s o b e g e n e r a t e d i n

t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n a n i n a t i o n a r y

a n d a m a t t e r - d o m i n a t e d ( o r r a d i a t i o n -

d o m i n a t e d ) u n i v e r s e d u e t o t h e \ n o n a d i a -

b a t i c " e x p a n s i o n o f t h e b a c k g r o u n d s p a c e -

t i m e a c t i n g o n t h e v a c u u m q u a n t u m u c -

t u a t i o n s . T h i s m e c h a n i s m w a s s t u d i e d i n

d e t a i l s i n R e f s . 1 3 , 2 3 , 2 4 ] . T h e d i s t i n g u i s h -

i n g f e a t u r e o f t h i s m e c h a n i s m i s t h e c a -

p a b i l i t y o f g e n e r a t i n g p a r t i c l e s w i t h m a s s

o f t h e o r d e r o f t h e i n a t o n m a s s ( u s u a l l y

m u c h l a r g e r t h a n t h e r e h e a t t e m p e r a t u r e )

e v e n w h e n t h e p a r t i c l e s o n l y i n t e r a c t e x -

2


3/12

t r e m e l y w e a k l y ( o r n o t a t a l l ) w i t h o t h e r

p a r t i c l e s , a n d d o n o t c o u p l e t o t h e i n a t o n .

T h e l o n g l i f e t i m e r e q u i r e d i n t h e d e c a y

s c e n a r i o f o r U H E c o s m i c r a y s i s p r o b l e m -

a t i c i f t h e U H E c o s m i c r a y s o r i g i n a t e i n

s i n g l e - p a r t i c l e d e c a y s . T h e l i f e t i m e p r o b -

l e m c a n b e i l l u s t r a t e d i n t h e d e c a y s o f

s t r i n g o r K a l u z a { K l e i n d i l a t o n s . T h e s e p a r -

t i c l e s c a n b e d e c o u p l e d f r o m f e r m i o n s 2 5 ]

a n d t h e r e f o r e d e c a y t h r o u g h d i m e n s i o n -

v e c o u p l i n g s t o g a u g e e l d s , w h i c h i n

l e a d i n g o r d e r a r e

L

I

= ;

4 f

F

a

F

a

( 1 )

H e r e , f i s a m a s s s c a l e c h a r a c t e r i z i n g t h e

s t r e n g t h o f t h e c o u p l i n g , a n d i n K a l u z a {

K l e i n o r s t r i n g t h e o r y , i t i s o f o r d e r o f t h e

r e d u c e d P l a n c k m a s s m

P

= ( 8 G

N

)

; 1 = 2

'

2 4 1 0

1 8

G e V . I n h e t e r o t i c s t r i n g t h e o r y ,

e . g . , f = m

P

=

p

2 ' 1 7 1 0

1 8

G e V 2 6 ] . I f

t h e n u m b e r o f t h e v e c t o r e l d s i s d

G

, w e n d

t h e l i f e t i m e e s t i m a t e d f r o m t h e d i l a t o n {

v e c t o r c o u p l i n g o f E q . ( 1 )

=

3 2 f

2

d

G

m

3

=

1 9 1 0

; 2 2

s

d

G

1 0

1 2

G e V

m

!

3

f

1 7 1 0

1 8

G e V

!

2

I f t h e r e a r e d i r e c t d e c a y c h a n n e l s t h r o u g h

r s t o r d e r c o u p l i n g s , s u p e r h e a v y p a r t i c l e s

d e c a y e x t r e m e l y f a s t , e v e n i f t h e c o u p l i n g i s

o n l y o f g r a v i t a t i o n a l s t r e n g t h a n d d i m e n -

s i o n a l l y s u p p r e s s e d . S u p e r h e a v y r e l i c p a r t i -

c l e s w i t h a s u c i e n t l y l o n g l i f e t i m e r e q u i r e

s u b - g r a v i t a t i o n a l c o u p l i n g s o r e x p o n e n t i a l

s u p p r e s s i o n o f t h e d e c a y m e c h a n i s m d u e

t o w o r m h o l e e e c t s 9 ] , i n s t a n t o n s 1 0 ] , o r

m a g i c f r o m t h e b r a n e w o r l d 2 7 ] .

M o t i v a t e d b y t h e a t t r a c t i v e n e s s o f t h e

d e c a y s c e n a r i o , i n t h i s p a p e r w e i n v e s t i g a t e

t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e o b s e r v e d U H E c o s -

m i c r a y s r e s u l t f r o m a n n i h i l a t i o n o f r e l i c

s u p e r h e a v y d a r k m a t t e r .

A n n i h i l a t i o n o f d a r k m a t t e r i n t h e h a l o

h a s b e e n a s u b j e c t o f m u c h i n t e r e s t , w i t h

p a r t i c u l a r e m p h a s i s o n p o s s i b l e n e u t r a l i n o

s i g n a t u r e s i n t h e c o s m i c r a y u x . A r e a s o n -

a b l e a n n i h i l a t i o n s c e n a r i o f o r U H E c o s m i c

r a y s i s t h e p r o d u c t i o n o f t w o j e t s e a c h o f e n -

e r g y M

X

, w h i c h t h e n f r a g m e n t i n t o a ( v e r y )

m a n y - p a r t i c l e n a l s t a t e , i n c l u d i n g l e a d i n g

p a r t i c l e s o f m a s s c o m p a r a b l e t o M

X

A s s u m i n g t h a t t h e r e l i c s u p e r h e a v y d a r k

m a t t e r f o l l o w s a N a v a r r o { F r e n k { W h i t e

( N F W ) d e n s i t y p r o l e 2 8 ] , i n S e c . 2 w e

c a l c u l a t e t h e e x p e c t e d s p e c t r u m a n d t h e

a n n i h i l a t i o n c r o s s s e c t i o n r e q u i r e d t o a c -

c o u n t f o r t h e o b s e r v e d s u p e r - G Z K e v e n t s .

W e n d t h a t t h e n e c e s s a r y c r o s s s e c t i o n e x -

c e e d s t h e u n i t a r i t y b o u n d . W e t h e n d i s c u s s

p o s s i b i l i t i e s f o r c i r c u m v e n t i n g t h e b o u n d .

I n S e c . 3 w e c o n s i d e r t h e c o n t r i b u t i o n

f r o m a n n i h i l a t i o n i n s u b - g a l a c t i c c l u m p s o f

d a r k m a t t e r . W e n d t h a t t h i s r e s u l t i s v e r y

s e n s i t i v e t o t h e a s s u m e d d e n s i t y p r o l e o f

t h e s u b c l u m p s .

I n S e c . 4 w e d i s c u s s t h e e x p e c t e d

a n i s o t r o p y i n a r r i v a l d i r e c t i o n o f U H E c o s -

m i c r a y s i f t h e s o u r c e i s s u p e r h e a v y r e l i c

p a r t i c l e a n n i h i l a t i o n .

S e c . 5 c o n t a i n s o u r c o n c l u s i o n s .

2 A n n i h i l a t i o n i n t h e s m o o t h c o m -

p o n e n t

I n c a l c u l a t i n g t h e U H E c o s m i c r a y u x

f r o m a s m o o t h

4

s u p e r h e a v y d a r k m a t t e r

d i s t r i b u t i o n i n t h e g a l a c t i c h a l o , w e a s -

s u m e a s u p e r h e a v y X - p a r t i c l e h a l o d e n s i t y

s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c a b o u t t h e g a l a c t i c

4

W e r e f e r t o a s u p e r h e a v y d a r k m a t t e r d i s -

t r i b u t i o n a s s m o o t h i f i t c a n b e d e s c r i b e d b y

a p a r t i c l e d e n s i t y n

X

( d ) w h i c h d e c r e a s e s u n i -

f o r m l y w i t h d i s t a n c e f r o m t h e g a l a c t i c c e n t e r .

3


4/12

c e n t e r , n

X

( d ) = n

X

( d ) , w h e r e d i s t h e d i s -

t a n c e f r o m t h e g a l a c t i c c e n t e r . W e w i l l a s -

s u m e n

X

( d ) i s g i v e n b y a N F W p r o l e 2 8 ]

n

X

( d ) =

N

0

d ( d + d

s

)

2

( 2 )

N a v a r r o ' s e s t i m a t e f o r t h e d u c i a l r a d i u s

d

s

f o r t h e M i l k y W a y i s o f o r d e r 2 5 k p c

2 9 ] . D e h n e n a n d B i n n e y h a v e e x a m i n e d

a a t t e n e d N F W p r o l e a s a s p e c i a l c a s e

o f a w h o l e c l a s s o f h a l o m o d e l s a n d g i v e

a v a l u e d

s

= 2 1 8 k p c 3 0 ] . W e w i l l u s e

d

s

= 3 d

= 2 4 k p c i n o u r n u m e r i c a l e s t i -

m a t e s , w h e r e d

' 8 k p c i s t h e d i s t a n c e o f

t h e s o l a r s y s t e m f r o m t h e g a l a c t i c c e n t e r .

T h e d i m e n s i o n l e s s p a r a m e t e r N

0

m a y b e

f o u n d b y r e q u i r i n g t h a t t h e t o t a l m a s s o f

t h e G a l a x y i s 2 1 0

1 2

M

, w h i c h g i v e s

N

0

=

8 1 0

5 5

M

1 2

=

2 8 1 0

; 9

M

1 2

k p c

3

c m

3

w h e r e M

1 2

= M

X

= 1 0

1 2

G e V .

w i m p z i l l a a n n i h i l a t i o n p r o d u c e s t w o

j e t s , e a c h o f e n e r g y M

X

, w h i l e d e c a y o f

a w i m p z i l l a p r o d u c e s t w o j e t s , e a c h o f

e n e r g y M

X

= 2 . T h e e n e r g y s p e c t r u m o f

o b s e r v e d U H E c o s m i c r a y e v e n t s f r o m a n -

n i h i l a t i o n i s

F = 2

d N ( E E

j e t

= M

X

)

d E

h

A

v i

Z

d

3

d

n

2

X

( d )

4 d ; d

2

( 3 )

H e r e , d N ( E E

j e t

) = d E i s t h e f r a g m e n t a -

t i o n s p e c t r u m r e s u l t i n g f r o m a j e t o f e n e r g y

E

j e t

. F o r c o m p a r i s o n , t h e e n e r g y s p e c t r u m

o f o b s e r v e d U H E c o s m i c r a y e v e n t s f r o m

w i m p z i l l a d e c a y i s

F = 2

d N ( E E

j e t

= M

X

= 2 )

d E

;

X

Z

d

3

d

n

X

( d )

4 d ; d

2

w h e r e ;

X

i s t h e d e c a y w i d t h o f t h e w i m -

p z i l l a

T h e r e a r e m a n y d i s c u s s i o n s a b o u t t h e

e x t r a p o l a t i o n s a n d a p p r o x i m a t i o n s t o t h e

f r a g m e n t a t i o n f u n c t i o n d N ( E E

j e t

=

M

X

) = d E ( f o r a r e c e n t r e v i e w s e e 3 1 ] a n d

f o r a n u m e r i c a l a p p r o a c h , s e e 3 2 ] ) . I n t h e

r e s u l t s o f F i g . 1 , w e u s e t h e f r a g m e n t a t i o n

f u n c t i o n s t h a t a r e t h e M L L A l i m i t i n g s p e c -

t r u m o f o r d i n a r y Q C D 3 3 ] . T h e s a l i e n t

f e a t u r e s o f t h e r e s u l t s c a n b e u n d e r s t o o d

b y m a k i n g t h e s i m p l e a p p r o x i m a t i o n t h a t

m o s t o f t h e c o n t e n t o f t h e j e t i s p i o n s , w i t h

a s p e c t r u m i n t e r m s o f t h e u s u a l v a r i a b l e

x E = E

j e t

( o f c o u r s e , 0 x 1 ) ,

d N ( x )

d x

=

1 5

1 6

x

; 3 = 2

( 1 ; x )

2

1 5

1 6

x

; 3 = 2

( x 1 )

T h e U H E c o s m i c r a y s i n t h i s p i c t u r e a r e

p h o t o n s r e s u l t i n g f r o m t h e d e c a y o f n e u -

t r a l p i o n s . T h e n e u t r a l p i o n s a r e a b o u t o n e -

t h i r d o f t h e t o t a l n u m b e r o f p i o n s i n t h e

j e t , a n d e a c h

0

d e c a y p r o d u c e s t w o p i o n s .

U s i n g t h i s f r a g m e n t a t i o n a p p r o x i m a -

t i o n , t h e s c a l i n g o f t h e u x w i t h M

X

c a n

b e f o u n d t o b e

F / M

1 = 2

X

h

A

i M

; 2

X

( a n n i h i l a t i o n )

/ M

1 = 2

X

;

X

M

; 1

X

( d e c a y ) ( 4 )

T h e f a c t o r o f M

1 = 2

X

i s f r o m t h e f r a g m e n -

t a t i o n f u n c t i o n , a n d t h e f a c t o r s o f M

; 2

X

o r M

; 1

X

a r i s e f r o m n

2

X

o r n

X

, r e s p e c t i v e l y .

T h e r e f o r e , f o r a g i v e n F , t h e n e c e s s a r y

c r o s s s e c t i o n s c a l e s a s M

3 = 2

X

i n t h e a n n i -

h i l a t i o n s c e n a r i o a n d t h e n e c e s s a r y d e c a y

w i d t h s c a l e s a s M

1 = 2

X

i n t h e d e c a y s c e n a r i o .

C a l c u l a t i n g t h e r e s u l t i n g U H E c o s m i c

r a y u x i n t h e a n n i h i l a t i o n m o d e l , a n d

c o m p a r i n g i t t o t h e s i m i l a r c a l c u l a t i o n i n

t h e d e c a y s c e n a r i o , w e o b t a i n t h e r e s u l t s

s h o w n i n F i g . 1 .

4


5/12

F i g . 1 . U H E c o s m i c r a y s p e c t r a f r o m s u -

p e r h e a v y p a r t i c l e a n n i h i l a t i o n ( u p p e r p a n e l )

o r d e c a y ( l o w e r p a n e l ) . F o r b o t h g u r e s t h e

s o l i d l i n e s a r e f o r M

X

= 1 0

1 2

G e V a n d

t h e d a s h e d l i n e s a r e f o r M

X

= 1 0

1 4

G e V .

F o r a n n i h i l a t i o n , t h e s o l i d c u r v e i s f o r

h

A

v i = 6 1 0

; 2 7

c m

2

a n d t h e d a s h e d c u r v e

c o r r e s p o n d s t o h

A

v i = 1 0

; 2 5

c m

2

. I n t h e d e -

c a y c a s e , t h e s o l i d c u r v e i s f o r ;

X

= 1 0

2 0

y r

a n d t h e d a s h e d c u r v e i s f o r ;

X

= 8 1 0

2 0

y r

T h e s h a p e o f t h e s p e c t r u m i s d e t e r -

m i n e d b y t h e m a s s o f t h e w i m p z i l l a a n d

t h e o v e r a l l n o r m a l i z a t i o n c a n b e s c a l e d b y

a d j u s t i n g h

A

v i o r ;

X

. C l e a r l y , i n o r d e r

t o p r o d u c e U H E c o s m i c r a y s i n e x c e s s o f

1 0

2 0

e V , M

X

c a n n o t b e t o o m u c h s m a l l e r

t h a n 1 0

1 2

G e V . I n o r d e r t o p r o v i d e e n o u g h

e v e n t s t o e x p l a i n t h e o b s e r v e d U H E c o s -

m i c r a y s , h

A

v i h a s t o b e i n t h e r a n g e

1 0

; 2 5

c m

2

t o 1 0

; 2 7

c m

2

S i m i l a r l y , i n t h e d e c a y s c e n a r i o , t h e w i m -

p z i l l a l i f e t i m e m u s t b e i n t h e r a n g e 1 0

2 0

y r

t o 1 0

2 1

y r

W e h a v e a l r e a d y d i s c u s s e d t h e f a c t t h a t

a l i f e t i m e i n t h i s r a n g e f o r a p a r t i c l e s o m a s -

s i v e i s r a t h e r u n e x p e c t e d ( b u t , o f c o u r s e ,

n o t i m p o s s i b l e ) . T h e r e q u i r e d c r o s s s e c t i o n

i n t h e a n n i h i l a t i o n s c e n a r i o i s a l s o o r d e r s

o f m a g n i t u d e l a r g e r t h a n e x p e c t e d .

T h e n e c e s s a r y a n n i h i l a t i o n c r o s s s e c t i o n

i s w e l l i n e x c e s s o f t h e u n i t a r i t y b o u n d t o

t h e l - w a v e r e a c t i o n c r o s s s e c t i o n 3 4 { 3 6 ] :

l

v

4

M

2

v

( 2 l + 1 ) '

1 5 1 0

; 4 7

M

2

1 2

( 2 l + 1 )

1 0 0 k m s

; 1

v

c m

2

H o w e v e r , a s e m p h a s i z e d b y H u i 3 6 ] , t h e r e

a r e s e v e r a l w a y s t o e v a d e t h e b o u n d . T h e

m o s t p r o b a b l e e v a s i o n i n o u r s c e n a r i o i s

p o s s i b l e n i t e s i z e e e c t s o f t h e w i m -

p z i l l a . T h e r e l e v a n t l i m i t i n t h a t c a s e

i s

A

. 6 4 R

2

, w h e r e R i s t h e \ s i z e " o f

e i t h e r t h e p a r t i c l e o r t h e r a n g e o f t h e i n -

t e r a c t i o n . F o r t h e t y p e o f c r o s s s e c t i o n s

d i s c u s s e d a b o v e , w e w o u l d r e q u i r e

R & 4 1 0

; 1 3

h

A

v i

1 0

; 2 6

c m

2

!

1 = 2

1 0 0 k m s

; 1

v

!

1 = 2

c m

T h i s s i z e i s s t i l l u n c o m f o r t a b l y l a r g e , b u t i s

o f o r d e r o f t h e l e n g t h s c a l e o f t h e s t r o n g i n -

t e r a c t i o n s . I n t h e n e x t s e c t i o n w e w i l l s h o w

t h a t t h e s i g n a l f r o m a c l u m p e d c o m p o n e n t

o f d a r k m a t t e r m a y d o m i n a t e a n d t h e n e c -

e s s a r y c r o s s s e c t i o n m a y b e s m a l l e r a n d t h e

r e q u i r e m e n t s o n R n o t a s s e v e r e .

3 A n n i h i l a t i o n i n t h e c l u m p e d c o m -

p o n e n t

S o f a r w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e g a l a c -

t i c d a r k m a t t e r i s s m o o t h l y d i s t r i b u t e d . I n

t h i s s e c t i o n w e w i l l c o n s i d e r t h e c o n t r i b u -

5


6/12

t i o n f r o m i n h o m o g e n e i t i e s i n t h e g a l a c t i c

d i s t r i b u t i o n . W e w i l l r s t c o n s i d e r t h e s i g -

n a l f r o m t h e s o r t o f s u b - g a l a c t i c c l u m p s

( s u b c l u m p s ) p r e d i c t e d b y n u m e r i c a l s i m u -

l a t i o n s . T h e n w e w i l l c o n s i d e r t h e p o s s i b i l -

i t y t h a t w e l i v e w i t h i n t h e c o r e r a d i u s o f

s u c h a s u b c l u m p .

3 . 1 I n d i v i d u a l S u b c l u m p s

W e h a v e m o d e l e d t h e s m o o t h c o m p o -

n e n t o f t h e d a r k m a t t e r b y a N F W p r o l e ,

E q . ( 2 ) . I n a d d i t i o n t o t h i s s m o o t h c o m p o -

n e n t , t h e d a r k m a t t e r m a y h a v e a c l u m p e d

c o m p o n e n t , a s s u g g e s t e d b y N - b o d y s i m -

u l a t i o n s . U s i n g t h e r e s u l t s o f t h e s e s i m u -

l a t i o n s , t h e n u m b e r o f s u b c l u m p s o f m a s s

M

c l

p e r u n i t v o l u m e a t d i s t a n c e d f r o m t h e

g a l a c t i c c e n t e r c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m :

n

c l

( d M

c l

) = n

0

c l

M

c l

M

H

;

2

4

1 +

d

R

c l

c

!

2

3

5

; 3 = 2

w h e r e R

c l

c

i s t h e c o r e r a d i u s o f t h e s u b c l u m p

d i s t r i b u t i o n i n t h e g a l a x y , t y p i c a l l y o f o r -

d e r 1 0 t o 2 0 k p c . T h e m a s s o f t h e h a l o o f t h e

G a l a x y i s M

H

. T h e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t

n

0

c l

c a n b e c a l c u l a t e d b y r e q u i r i n g t h a t t h e

m a s s i n t h e c l u m p e d c o m p o n e n t i s a f r a c -

t i o n o f t h e h a l o m a s s M

H

. F r o m s i m u l a -

t i o n s , 1 0 % . T h e p o w e r i n d e x , , m a y

a l s o b e f o u n d f r o m s i m u l a t i o n s , w i t h t h e

r e s u l t 1 9 . I t i s t h e n e a s y t o n d

n

0

c l

( 2 ; )

4 ( R

c l

c

)

2

R

H

M

H

2 ;

w h e r e i s t h e r a t i o o f t h e m a s s o f

t h e l a r g e s t s u b c l u m p t o t h e h a l o m a s s ,

= M

c l

( m a x ) = M

H

0 0 1 ; 0 1 , a n d R

H

i s t h e r a d i u s o f t h e h a l o .

U p t o t h i s p o i n t , a l l t h e d i s c u s s i o n i s i n -

d e p e n d e n t o f t h e d e n s i t y p r o l e o f t h e i n -

d i v i d u a l s u b c l u m p s . L e t u s n o w d i s c u s s t h e

e e c t o f t h e d e n s i t y p r o l e o f i n d i v i d u a l

s u b c l u m p s .

3 . 1 . 1 I s o t h e r m a l s u b c l u m p s

F i r s t , w e a s s u m e t h a t t h e d e n s i t y p r o l e

o f a n i n d i v i d u a l s u b c l u m p i s a n i s o t h e r m a l

s p h e r e , w i t h r a d i a l p r o l e

n

X

( r ) = n

H

( d )

r

r

0

; 2

w h e r e r

0

i s t h e r a d i u s o f t h e i n d i v i d u a l s u b -

c l u m p , d e n e d a s t h e r a d i u s a t w h i c h t h e

s u b c l u m p d e n s i t y e q u a l s t h e d e n s i t y o f t h e

b a c k g r o u n d h a l o a t t h e d i s t a n c e d f r o m t h e

g a l a c t i c c e n t e r . I f t h e s u b c l u m p m a s s i s

M

c l

, w e c a n w r i t e

M

c l

= 4 M

X

n

H

( d )

r

0

Z

0

d r r

2

( r = r

0

)

; 2

f r o m w h i c h w e o b t a i n

r

0

=

"

M

c l

4 M

X

n

H

( d )

#

1 = 3

T h e r a t e o f a n n i h i l a t i o n i n a n i n d i v i d u a l

s u b c l u m p a t d i s t a n c e d f r o m t h e g a l a c t i c

c e n t e r i s

R ( M

c l

d ) = h

A

v i 4

r

0

Z

R

m n

d r r

2

n

2

H

( d ) ( r = r

0

)

; 4

( 5 )

+ h

A

v i ( 4 = 3 ) n

2

H

( d ) r

4

0

= R

m i n

w h e r e R

m i n

i s t h e m i n i m u m r a d i u s o f a s u b -

c l u m p ( t h e i n n e r r a d i u s w h e r e t h e p r o l e i s

a t t e n e d b y e c i e n t a n n i h i l a t i o n s ) .

A r e a s o n a b l e u p p e r l i m i t t o R

m i n

c a n b e

o b t a i n e d b y r e q u i r i n g t h a t t h e d y n a m i c a l

f r e e - f a l l t i m e o f d a r k m a t t e r f r o m t h e e d g e

o f t h e s u b c l u m p i s c o m p a r a b l e w i t h t h e

a n n i h i l a t i o n r a t e a t R

m i n

. T h e d y n a m i c a l

f r e e - f a l l t i m e i s

6


7/12

f f

= r

0

= v ( r

0

)

= 4 G M

X

n

H

( d )

; 1 = 2

w h i l e t h e a n n i h i l a t i o n t i m e s c a l e i s

A

= n ( r ) h

A

v i

; 1

=

1

n

H

( d ) h

A

v i

r

r

0

2

I t i s t h e n e a s y t o o b t a i n t h e r a t i o

R

m i n

r

0

= h

A

v i

1 = 2

"

n

H

( d )

4 G M

X

#

1 = 4

( 6 )

F r o m E q s . ( 6 ) a n d ( 6 ) , w e t h e n o b t a i n f o r

t h e r a t e o f a n n i h i l a t i o n s i n a s u b c l u m p o f

m a s s M

c l

a t d i s t a n c e d f r o m t h e g a l a c t i c

c e n t e r :

R ( M

c l

d ) =

4

3

M

c l

h

A

v i

1 = 2

( 4 G )

1 = 4

n

H

( d )

M

X

!

3 = 4

N o w w e c a n c a l c u l a t e t h e c o n t r i b u t i o n o f

t h e c l u m p e d c o m p o n e n t i n a s i m i l a r m a n -

n e r a s E q . ( 3 ) :

F = 2

d N ( E E

j e t

= M

X

)

d E

Z

d

3

d

1

4 d ; d

2

( 7 )

M

m a x

Z

M

m n

d M

c l

n

c l

( d M

c l

) R ( M

c l

d )

A s b e f o r e w e w i l l u s e a n N F W p r o l e f o r

n

H

( d ) w i t h d

s

= 2 4 k p c .

T o u n d e r s t a n d t h e s c a l i n g o f t h e e v e n t s

f r o m s u b c l u m p s , w e c a n m a k e t h e s i m p l e

a p p r o x i m a t i o n t h a t o n e i s a t t h e g a l a c t i c

c e n t e r ( d

= 0 ) . I n t h e l i m i t t h a t t h e c o n -

t r i b u t i o n s c o m e f r o m d R

c l

c

a n d d d

s

,

w e n d

F / h

A

v i

1 = 2

M

; 1

X

N o w t u r n i n g t o t h e l o c a t i o n o f t h e s o -

l a r s y s t e m i n t h e M i l k y W a y , u s i n g R

c l

c

=

1 5 k p c , = 0 1 , a n d = 0 1 , w e n d

F

c l u m p e d

F

s m o o t h

' 2 1 0

6

M

X

1 0

1 2

G e V

1 = 2

3 1 0

; 2 6

c m

2

h

A

v i

!

1 = 2

F i g . 2 . T h e r a t i o o f e v e n t s f r o m t h e s u b c l u m p

c o m p o n e n t t o t h e s m o o t h c o m p o n e n t a s s u m -

i n g e i t h e r a n i s o t h e r m a l o r a N F W p r o l e f o r

t h e s u b c l u m p s .

T h e r a t i o o f t h e u x e s f r o m t h e s u b -

c l u m p c o m p o n e n t a n d t h e s m o o t h c o m p o -

n e n t a r e g i v e n i n F i g . 2 . C o m p a r i n g F i g . 1

a n d F i g . 2 , w e s e e t h a t f o r M

X

= 1 0

1 2

G e V ,

t o n o r m a l i z e t h e u x t o t h e o b s e r v e d

e v e n t s w o u l d r e q u i r e a c r o s s s e c t i o n 1 0

3

t i m e s s m a l l e r t h a n t h e i s o t r o p i c c a s e i f t h e

w i m p z i l l a s u b c l u m p s h a v e a n i s o t h e r m a l

p r o l e .

3 . 1 . 2 N F W s u b c l u m p s

N o w , w e t a k e t h e d e n s i t y p r o l e o f t h e

s u b c l u m p s a c c o r d i n g t o a N F W p r o l e ,

n

X

( r ) = n

H

( d )

r

0

r

0

+ r

s

2

r r + r

s

2

( 8 )

w h e r e r

s

i s t h e d u c i a l r a d i u s o f t h e s u b -

c l u m p a n d a g a i n r

0

i s t h e r a d i u s o f t h e s u b -

c l u m p w h e r e n

X

( r ) = n

H

( d ) . W e a s s u m e

7


8/12

h e r e t h a t t h e r a t i o r

0

= r

s

1 i s c o n s t a n t f o r

a l l s u b c l u m p s . T h e m a s s o f t h e s u b c l u m p

c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f r

0

a n d r

s

a s

M

c l

= 4 M

X

r

0

Z

0

d r r

2

n

X

( r )

' 4 M

X

n

H

( d ) r

3

0

l n

r

0

r

s

w h i c h p r o v i d e s t h e c o r e r a d i u s r

0

f o r t h e

s u b c l u m p o n c e w e k n o w r

s

T h e r a t e o f a n n i h i l a t i o n s f o r o n e s u b -

c l u m p i s g i v e n b y

R ( M

c l

d ) = 4 h

A

v i

r

0

Z

R

m n

d r r

2

n

2

X

( r )

+ ( 4 = 3 ) R

3

m i n

h

A

v i n

2

H

( R

m i n

)

w h i c h b e c o m e s

R ( M

c l

d ) '

4

3

h

A

v i

r

6

0

r

3

s

n

2

H

( d )

T o c a l c u l a t e F f o r N F W s u b c l u m p s , w e

f o l l o w a p r o c e d u r e s i m i l a r t o E q . 7 , b u t

w i t h R ( M

c l

d ) g i v e n a b o v e . A g a i n e x p r e s s -

i n g t h e u x i n t e r m s o f t h e u x f r o m t h e

s m o o t h c o m p o n e n t , w e n d

F

c l u m p e d

F

s m o o t h

' 2 1 0

3

i n d e p e n d e n t o f M

X

o r h

A

v i . A g a i n , t h i s

r e s u l t i s r e p r e s e n t e d i n F i g . 2 .

3 . 2 I f w e l i v e i n a s u b c l u m p

N o w c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y t h a t w e

l i v e w i t h i n t h e d e n s e c o r e o f a s u b c l u m p .

T h e p r o b a b i l i t y t o b e i n t h e c e n t e r o f a

s u b c l u m p i s g i v e n b y t h e p r o b a b i l i t y o f

b e i n g i n a s u b c l u m p , m u l t i p l i e d b y t h e

p r o b a b i l i t y t o b e w i t h i n t h e m i n i m u m r a -

d i u s , s o P

c o r e

0 1 ( R

m i n

= r

0

)

3

. F o r a n

i s o t h e r m a l s u b c l u m p w i t h m a s s 1 0

8

M

,

a n d f o r h

A

v i = 3 1 0

; 2 7

c m

2

, w e h a v e

r

0

1 k p c a n d R

m i n

1 0

1 5

c m , s o t h a t

P

c o r e

1 0

; 2 1

. T h e p r o b a b i l i t y i s q u i t e

i n n i t e s i m a l , b u t t h e p o s s i b i l i t y h a s i n t e r -

e s t i n g c o n s e q u e n c e s .

T h e c a s e s t o c o n s i d e r a r e a g a i n t h a t o f

a n i s o t h e r m a l s u b c l u m p a n d a N F W s u b -

c l u m p , w i t h t h e E a r t h i n t h e c o r e . I n b o t h

c a s e s i t i s r e l e v a n t t o c a l c u l a t e t h e v a l u e o f

t h e m i n i m u m r a d i u s , R

m i n

, w i t h i n w h i c h

t h e e c i e n c y o f a n n i h i l a t i o n s a t t e n s t h e

r a d i a l p r o l e o f d a r k m a t t e r . T h e r e a s o n

f o r t h i s i s t h a t t h e m a i n c o n t r i b u t i o n t o t h e

u x o f U H E e v e n t s c o m e s f r o m t h i s r e g i o n

i f t h e d e t e c t o r i s w i t h i n t h e c o r e .

F o r a n i s o t h e r m a l s u b c l u m p , t h e u x i s

p r o p o r t i o n a l t o

F =

4

3

n

H

( d

)

1 1 = 1 2

h

A

v i

; 1 = 2

M

1 = 3

c l

( 4 M

X

)

5 = 1 2

G

3 = 4

w h e r e M

c l

i s t h e s u b c l u m p m a s s a n d

n

H

( d

) i s t h e t y p i c a l d e n s i t y a t t h e d i s -

t a n c e o f t h e s o l a r s y s t e m f r o m t h e g a l a c -

t i c c e n t e r . T h i s u x s h o u l d b e c o m p a r e d

w i t h t h e t o t a l u x f r o m a d i s t r i b u t i o n o f

i s o t h e r m a l s u b c l u m p s i n t h e h a l o , g i v e n b y

E q . ( 7 ) .

O n e h a s t o c a l c u l a t e R

m i n

i n t h e N F W

c a s e a s w e l l . A s b e f o r e , t h e w a y t o d o t h i s

i s t o r e q u i r e t h a t t h e f r e e - f a l l t i m e s c a l e

e q u a l s t h e t i m e s c a l e f o r a n n i h i l a t i o n a t

R

m i n

. W e a s s u m e t h a t t h e e x t e r n a l r a d i u s

o f t h e s u b c l u m p a n d i t s c o r e r a d i u s , r

s

, a r e

r e l a t e d b y r

0

= r

s

= 1 . T h e n w e c a n

w r i t e :

R

m i n

=

9 = 2

( G M

c l

)

; 1 = 2

r

5 = 2

s

n

H

( d

) h

A

v i

N o t e a l s o t h a t r

s

i s r e l a t e d t o t h e t o t a l s u b -

8


9/12

c l u m p m a s s b y

r

s

=

"

M

c l

4 n

H

( d

)

3

M

X

f ( )

#

1 = 3

w h e r e f ( ) = l n ( 1 + ) ; = ( 1 + ) . T h e u x

i n t h i s c a s e i s p r o p o r t i o n a l t o

F /

R

m i n

r

s

; 2

R

m i n

h

A

v i n

2

H 0

H e r e , n

H 0

3

n

H

( d

) . T h i s n u m b e r

s h o u l d b e c o m p a r e d w i t h t h e t o t a l u x

f r o m t h e d i s t r i b u t i o n o f s u b c l u m p s w i t h

N F W p r o l e s i n t h e G a l a x y .

N o t e t h a t t h e u x e s a r e p r o p o r t i o n a l

t o h

A

v i

; 1 = 2

( h

A

v i

; 1

) f o r t h e i s o t h e r m a l

( N F W ) c a s e . T h i s m e a n s t h a t d e c r e a s i n g

t h e c r o s s s e c t i o n a c t u a l l y h e l p s i n c r e a s i n g

t h e u x . T h i s i s t r u e p r o v i d e d t h e m i n i -

m u m r a d i u s , R

m i n

, r e a c h e s t h e r a d i u s o f

( s a y ) t h e a t m o s p h e r e . T h i s i m p o s e s a l o w e r

l i m i t o n t h e c r o s s s e c t i o n , w h i c h i s s t i l l

a b o v e t h e u n i t a r i t y l i m i t .

4 P r e d i c t e d s i g n a l s

T h e a n n i h i l a t i o n r a t e i s v e r y s e n s i t i v e

t o t h e l o c a l d e n s i t y . T h i s i m p l i e s t h a t i f

t h e U H E c o s m i c r a y s o r i g i n a t e f r o m d a r k

m a t t e r a n n i h i l a t i o n a n d d a r k m a t t e r i n o u r

g a l a x y i s c l u m p e d , t h e a r r i v a l d i r e c t i o n o f

U H E c o s m i c r a y s s h o u l d r e e c t t h e d a r k

m a t t e r d i s t r i b u t i o n .

T h e r s t p o s s i b i l i t y w e c o n s i d e r e d i s t h a t

t h e d a r k m a t t e r d i s t r i b u t i o n i s s m o o t h , a n d

f o l l o w s a N F W p r o l e . I n t h i s c a s e , t h e

g a l a c t i c c e n t e r s h o u l d b e q u i t e p r o m i n e n t .

I n F i g . 3 w e i l l u s t r a t e t h e e x p e c t e d a n g u -

l a r d e p e n d e n c e o f t h e a r r i v a l d i r e c t i o n . T h e

g a l a c t i c c e n t e r i s p r o m i n e n t f o r t h e d e c a y

s c e n a r i o w h e r e F / n

X

1 2 ] , a n d e v e n m o r e

p r o m i n e n t f o r t h e a n n i h i l a t i o n c a s e w h e r e

F / n

2

X

N o w i f w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e d a r k

F i g . 3 . T h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f e v e n t s

o r i g i n a t i n g f r o m a n n i h i l a t i o n o r d e c a y o f t h e

s m o o t h c o m p o n e n t o f d a r k m a t t e r t h a t f o l l o w s

a N F W p r o l e . I n t h i s g u r e , c o s = 1 c o r r e -

s p o n d s t o t h e d i r e c t i o n o f t h e g a l a c t i c c e n t e r .

m a t t e r s u b c l u m p s w i t h i n t h e g a l a x y , t h e n

t h e d e n s i t y i n t h e s u b c l u m p s w o u l d b e

l a r g e r t h a n t h e a m b i e n t b a c k g r o u n d d a r k -

m a t t e r d e n s i t y , a n d e v e n t s o r i g i n a t i n g f r o m

s u b c l u m p s w i l l d o m i n a t e t h e o b s e r v e d s i g -

n a l .

T h e d o m i n a n c e o f e v e n t s f r o m s u b -

c l u m p s h a s t w o e e c t s . T h e r s t e e c t i s

t h a t a s m a l l e r a n n i h i l a t i o n c r o s s s e c t i o n i s

r e q u i r e d t o a c c o u n t f o r t h e o b s e r v e d U H E

u x . T h e s e c o n d e e c t i s t h a t t h e r e w i l l

b e a v e r y l a r g e p r o b a b i l i t y o f d e t e c t i n g a

n e a r b y s u b c l u m p .

I n F i g . 4 w e p r e s e n t h i s t o g r a m s s h o w i n g

t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f s i n g l e a n d

m u l t i p l e e v e n t s i n a r r i v a l d i r e c t i o n s w i t h i n

a s q u a r e d e g r e e . W e g e n e r a t e d m a n y r e a l -

i z a t i o n s o f t h e e x p e c t e d s u b c l u m p d i s t r i -

b u t i o n , a n d c a l c u l a t e d t h e u x f r o m t h e

s u b c l u m p s t h a t w o u l d r e s u l t i n a b o u t 1 0 0

d e t e c t e d e v e n t s . W e s e e t h a t t h e a v e r a g e

p r o b a b i l i t i e s a r e q u i t e r e a s o n a b l e , w i t h

m o s t e v e n t s i n s q u a r e d e g r e e a r e a s w i t h

o n l y o n e e v e n t , a n d a f e w p a i r s a n d t r i p l e t s

o f e v e n t s . H o w e v e r i f w e e x a m i n e i n d i -

v i d u a l r e a l i z a t i o n s c o n t a i n i n g a b o u t 1 0 0

e v e n t s , w e s e e t h a t t h e r e i s a l a r g e p r o b -

a b i l i t y o f a l a r g e n u m b e r o f e v e n t s f r o m

9


10/12

F i g . 4 . T h e p r o b a b i l i t y o f n d i n g a c e r t a i n

n u m b e r o f e v e n t s i n a o n e s q u a r e d e g r e e a r e a

o f t h e s k y . T h e u p p e r g u r e i s f o r i s o t h e r m a l

s u b c l u m p s a n d t h e l o w e r g u r e f o r N F W s u b -

c l u m p s

s i n g l e n e a r b y s u b c l u m p s . F o r i n s t a n c e , i n

t h e s i n g l e r e a l i z a t i o n s s h o w n i n F i g . 4 , t h e

i s o t h e r m a l s u b c l u m p s r e s u l t i n a s q u a r e

d e g r e e b i n w i t h 1 4 e v e n t s a n d a s q u a r e

d e g r e e b i n w i t h 3 3 e v e n t s . I n t h e t y p i c a l

N F W d i s t r i b u t i o n , t h e r e i s o n e b i n w i t h

1 6 e v e n t s a n d a n o t h e r b i n w i t h 4 3 e v e n t s .

T h e r e f o r e , i f m o r e t h a n 1 0 0 e v e n t s a r e o b -

s e r v e d w i t h f u l l s k y c o v e r a g e , t h e s i g n a t u r e

o f s u b c l u m p s w i l l b e u n m i s t a k a b l e .

F i n a l l y , w e r e m a r k o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s

o f c o s m i c r a y e v e n t s o r i g i n a t i n g f r o m a n -

n i h i l a t i o n ( o r d e c a y ) o f v e r y n e a r b y w i m -

p z i l l a s , a s m i g h t b e e x p e c t e d i f w e l i v e

w i t h i n t h e c o r e r a d i u s o f a s u b c l u m p .

T h e p r o c e s s o f j e t p r o d u c t i o n a f t e r

t h e w i m p z i l l a a n n i h i l a t i o n o r d e c a y i s

e x t r e m e l y c o m p l i c a t e d , b u t s o m e g e n -

e r a l f e a t u r e s c a n b e u n d e r s t o o d a s a s -

s u m i n g t h a t e a c h e l e m e n t a r y p r o c e s s o f

q u a r k - a n t i q u a r k g e n e r a t i o n o r g l u o n r a d i -

a t i o n i m p l i e s a n a v e r a g e a n g u l a r w i d e n -

i n g o f t h e i n i t i a l b e a m b y t h e a m o u n t

Q C D

= E

j e t

, w h e r e

Q C D

0 3 G e V

a n d E

j e t

M

X

. W h i l e t h e j e t s f u r t h e r

f r a g m e n t s i n t o o t h e r q u a r k s a n d g l u o n s ,

i t s o p e n i n g a n g l e i s e x p e c t e d t o m a k e a

r a n d o m w a l k f o r a n u m b e r o f s t e p s a p -

p r o x i m a t e l y g i v e n b y E

j e t

=

Q C D

. T h e r e -

f o r e , t h e u l t i m a t e o p e n i n g a n g l e s h o u l d

b e

j e t

(

Q C D

= E

j e t

)

1 = 2

. W e s t r e s s t h a t

t h i s h a s t o b e i n t e n d e d a s a r o u g h e s t i -

m a t e o f t h e q u a n t i t y

j e t

, w h o s e r e a l v a l u e

i s d e t e r m i n e d b y a v a r i e t y o f e l e m e n t a r y

p a r t i c l e p h y s i c s p r o c e s s e s .

I f w e a d o p t t h e e x p r e s s i o n o b t a i n e d

a b o v e f o r

j e t

, t h e s i z e o f t h e h a d r o n i c

s h o w e r a t d i s t a n c e d f r o m t h e p r o d u c t i o n

r e g i o n c a n b e e s t i m a t e d a s :

l =

j e t

d 5 1 0

8

M

; 1 = 2

1 2

d

1 5

c m

w h e r e d

1 5

= d = 1 0

1 5

c m . F o r s i m p l i c i t y , l e t

u s a s s u m e t h a t t h e E a r t h i s s i t t i n g i n t h e

c e n t e r o f a c l u m p w i t h a n i s o t h e r m a l p r o -

l e . I n t h i s c a s e , m o s t o f t h e c o n t r i b u t i o n

t o t h e l o c a l u x o f U H E c o s m i c r a y s , a s d e -

s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s e s e c t i o n , i s p r o v i d e d

b y p a r t i c l e s a n n i h i l a t i n g w i t h i n R

m i n

. F r o m

E q . ( 6 ) w e o b t a i n f o r t h e m i n i m u m r a d i u s

R

m i n

7 1 0

1 4

h

A

v i

1 0

; 2 6

c m

2

M

; 1 = 2

1 2

M

c l

1 0

8

M

!

1 = 3

c m

w h e r e M

c l 8

i s t h e c l u m p m a s s i n u n i t s o f

1 0

8

M

. S u b s t i t u t i n g i n t o t h e e x p r e s s i o n f o r

l w e o b t a i n

l


11/12

M

; 1

1 2

M

c l

1 0

8

M

!

1 = 3

c m

s o t h a t t h e s i z e o f t h e j e t s o b s e r v e d a t t h e

E a r t h c a n e a s i l y b e s m a l l e r t h a n t h e s i z e o f

t h e a t m o s p h e r e . T h i s s h o u l d r e s u l t i n t h e

a p p e a r e n c e o f a n o m a l o u s j e t s w i t h m a n y

U H E c o s m i c r a y s a r r i v i n g m o r e o r l e s s a t

t h e s a m e t i m e , w i t h a t i m e s p r e a d o f o r d e r

t d

j e t

= c

5 C o n c l u s i o n

T h e o r i g i n o f U H E c o s m i c r a y s f r o m a n -

n i h i l a t i o n ( o r d e c a y ) o f w i m p z i l l a s h a s

t h e a t t r a c t i v e f e a t u r e o f t h e s i m p l i c i t y o f

g e n e r a t i n g u l t r a h i g h e n e r g i e s : s i m p l e c o n -

v e r s i o n o f r e s t m a s s e n e r g y .

T h e d e c a y s c e n a r i o r e q u i r e s a l i f e t i m e o f

a b o u t 1 0

2 0

y e a r s . T h i s h a s p r o v e n t o b e a

m o d e l b u i l d i n g c h a l l e n g e . T h e a n n i h i l a t i o n

s c e n a r i o r e q u i r e s a n u n c o m f o r t a b l y l a r g e

a n n i h i l a t i o n c r o s s s e c t i o n , m u c h l a r g e r

t h a n t h e u n i t a r i t y l i m i t . W h i l e t h e u n i -

t a r i t y l i m i t i s a u s e f u l g u i d e l i n e , i t i s n o t

s a c r o s a n c t .

I n t h i s p a p e r w e h a v e e x a m i n e d t h e a n -

n i h i l a t i o n s c e n a r i o . T h i s p r o p o s a l r e s u l t s

i n s e v e r a l s t r i k i n g p r e d i c t i o n s . W h i l e n o t

d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r , l i k e t h e d e c a y s c e -

n a r i o , t h e a n n i h i l a t i o n s c e n a r i o s u g g e s t s

t h a t t h e b u l k o f t h e U H E e v e n t s a r e p h o -

t o n s . T h e t r u e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e a n n i h i -

l a t i o n s c e n a r i o i s t h e e x p e c t e d a n i s o t r o p y

i n a r r i v a l d i r e c t i o n . I f t h e d a r k m a t t e r i s

s m o o t h l y d i s t r i b u t e d i n t h e g a l a x y , t h e

g a l a c t i c c e n t e r s h o u l d b e p r o m i n e n t . I f t h e

d a r k m a t t e r i s c l u m p e d o n s u b - g a l a c t i c

s c a l e s , t h e n t h e s u b c l u m p s s h o u l d b e v i s i -

b l e .

T h u s , t h e a n n i h i l a t i o n s c e n a r i o c a n b e

f a l s i e d b y c o m p l e t e s k y c o v e r a g e . T h e

P i e r r e A u g e r O b s e r v a t o r y w i l l b e a b l e t o

s e e t h e g a l a c t i c c e n t e r . B y c o v e r i n g t h e

s o u t h e r n s k y , c o m p l e t e s k y c o v e r a g e s h o u l d

b e a b l e t o p i c k o u t s u b c l u m p s i f t h e y a r e

p r e s e n t .

A c k n o w l e d g e m e n t :

R . D . t h a n k s J u l i o N a v a r r o f o r a c o n v e r -

s a t i o n o n t h e N F W h a l o p r o l e . P . B . a n d

E . W . K . w o u l d l i k e t o t h a n k K e i t h E l l i s f o r

d i s c u s s i o n a b o u t Q C D h a d r o n i z a t i o n . T h e

w o r k o f P . B . a n d E . W . K . w a s s u p p o r t e d i n

p a r t b y N A S A ( N A G 5 - 7 0 9 2 ) .

R e f e r e n c e s

1 ] Y . M e l l i e r , F . B e r n a r d e a u , L . v a n

W a e r b e k e , i n P h a s e T r a n s i t i o n s i n

C o s m o l o g y , e d i t e d b y H . J . d e V e g a a n d

N . S a n c h e z , W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e

1 9 9 8 , p p . 2 7 3 { 2 8 7 E . E . F a l c o , C . S .

K o c h a n e k , J . A . M u n o z , A s t r o p h y s . J . 4 9 4

( 1 9 9 8 ) 4 7 A . R . C o o r a y , J . M . Q u a s h n o c k ,

M . C . M i l l e r , A s t r o p h y s . J . 5 1 1 ( 1 9 9 9 )

5 6 2 .

2 ] Y . S i g a d , A . E l d a r , A . D e k e l , M . A .

S t r a u s s , A . Y a h i l , A s t r o p h y s . J . 4 9 5

( 1 9 9 8 ) 5 1 6 E . B r a n c h i n i , I . Z e h a v i , M .

P l i o n i s , A . D e k e l , M N R A S 3 1 3 ( 2 0 0 0 )

4 9 1 .

3 ] S . D o d e l s o n , L . K n o x , P h y s . R e v . L e t t .

8 4 ( 2 0 0 0 ) 3 5 2 3 G . E f s t a t h i o u , C M B

a n i s o t r o p i e s a n d t h e d e t e r m i n a t i o n o f

c o s m o l o g i c a l p a r a m e t e r s , a s t r o -

p h / 0 0 0 2 2 4 9 W . H u , M . F u k u g i t a , M .

Z a l d a r r i a g a , M . T e g m a r k , A s t r o p h y s . J .

5 4 9 ( 2 0 0 1 ) 6 6 9 .

4 ] S . P e r l m u t t e r e t a l . , A s t r o p h y s . J . 5 1 7

( 1 9 9 9 ) 5 6 5 .

5 ] S . B u r l e s , D . T y t l e r , A s t r o p h y s . J . 4 9 9

( 1 9 9 8 ) 6 9 9 , A s t r o p h y s . J . 5 0 7 ( 1 9 9 8 ) 7 3 2

S . B u r l e s , K . M . N o l l e t t , M . S . T u r n e r ,

B i g - b a n g n u c l e o s y n t h e s i s p r e d i c t i o n s f o r

p r e c i s i o n c o s m o l o g y , a s t r o - p h / 0 0 1 0 1 7 1 .

6 ] K . G r e i s e n , P h y s . R e v . L e t t . 1 6 ( 1 9 6 6 )

7 4 8 G . T . Z a t s e p i n , V . A . K u z m i n , J E T P

L e t t . 4 ( 1 9 6 6 ) 7 8 .

1 1
http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0010171http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0002249http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0002249


12/12

7 ] T . S t a n e v , R . E n g e l , A . M u c k e , R . J .

P r o t h e r o e , J . P . R a c h e n , P h y s . R e v .

D 6 2 ( 2 0 0 0 ) 0 9 3 0 0 5 M . B l a n t o n , P .

B l a s i , A . O l i n t o , T h e G Z K f e a t u r e i n

o u r n e i g h b o r h o o d o f t h e u n i v e r s e , a s t r o -

p h / 0 0 0 9 4 6 6 ( A s t r o p a r t . P h y s . , i n p r e s s ) .

8 ] G . R . F a r r a r , T . P i r a n , P h y s . R e v . L e t t

8 4 ( 2 0 0 0 ) 6 8 9 .

9 ] V . B e r e z i n s k y , M . K a c h e l r i e , A .

V i l e n k i n , P h y s . R e v . L e t t . 7 9 ( 1 9 9 7 ) 4 3 0 2 .

1 0 ] V . A . K u z m i n , V . A . R u b a k o v , P h y s .

A t o m . N u c l . 6 1 ( 1 9 9 8 ) 1 0 2 8 .

1 1 ] K . B e n a k l i , J . E l l i s , D . V . N a n o p o u l o s ,

P h y s . R e v . D 5 9 ( 1 9 9 9 ) 0 4 7 3 0 1 .

1 2 ] V . S . B e r e z i n s k y , P . B l a s i , A . V i l e n k i n ,

P h y s . R e v . D 5 8 ( 1 9 9 8 ) 1 0 3 5 1 5 .

1 3 ] D . J . C h u n g , E . W . K o l b , A . R i o t t o , P h y s .

R e v . D 5 9 ( 1 9 9 9 ) 0 2 3 5 0 1 .


R e v . L e t t . 8 1 ( 1 9 9 8 ) 4 0 4 8 .


R e v . D 6 0 ( 1 9 9 9 ) 0 6 3 5 0 4 .

1 6 ] E . W . K o l b , D . J . C h u n g , A . R i o t t o , h e p -

p h / 9 8 1 0 3 6 1 .

1 7 ] J . D . B a r r o w , E . J . C o p e l a n d , E . W . K o l b ,

A . R . L i d d l e , P h y s . R e v . D 4 3 ( 1 9 9 1 ) 9 7 7 .

1 8 ] A . M a s i e r o , A . R i o t t o , P h y s . L e t t . B 2 8 9

( 1 9 9 2 ) 7 3 .

1 9 ] E . W . K o l b , A . R i o t t o , I . I . T k a c h e v ,

P h y s . L e t t . B 4 2 3 ( 1 9 9 8 ) 3 4 8 .

2 0 ] D . J . H . C h u n g , C l a s s i c a l i n a t o n e l d

i n d u c e d c r e a t i o n o f s u p e r h e a v y d a r k m a t t e r ,

h e p - p h / 9 8 0 9 4 8 9 .

2 1 ] D . J . H . C h u n g , E . W . K o l b , A . R i o t t o , I . I .

T k a c h e v , P h y s . R e v . D 6 2 ( 2 0 0 0 ) 0 4 3 5 0 8 .

2 2 ] G . F . G i u d i c e , M . P e l o s o , A . R i o t t o , I .

T k a c h e v , J H E P 9 9 0 8 ( 1 9 9 9 ) 0 1 4 .

2 3 ] V . K u z m i n , I . T k a c h e v , J E T P L e t t .

6 8 ( 1 9 9 8 ) 2 7 1 , P h y s . R e v . D 5 9 ( 1 9 9 9 )

1 2 3 0 0 6 , P h y s . R e p . 3 2 0 ( 1 9 9 9 ) 1 9 9 .

2 4 ] D . J . C h u n g , P . C r o t t y , E . W . K o l b , A .

R i o t t o , O n t h e g r a v i t a t i o n a l p r o d u c t i o n o f

s u p e r h e a v y p a r t i c l e s , h e p - p h / 0 1 0 4 1 0 0 .

2 5 ] R . D i c k , G e n . R e l . G r a v . 3 0 ( 1 9 9 8 ) 4 3 5 .

2 6 ] R . D i c k , F o r t s c h r . P h y s . 4 5 ( 1 9 9 7 ) 5 3 7 .

2 7 ] J . L . C r o o k s , J . O . D u n n , P . H . F r a m p t o n ,

A s t r o p h y s . J . 5 4 6 ( 2 0 0 1 ) L 1 .

2 8 ] J . F . N a v a r r o , C . S . F r e n k , S . D . M . W h i t e ,

M N R A S 2 7 5 ( 1 9 9 5 ) 7 2 0 , A s t r o p h y s . J .

4 6 2 ( 1 9 9 6 ) 5 6 3 .

2 9 ] J . F . N a v a r r o , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n .

3 0 ] W . D e h n e n , J . B i n n e y , M N R A S 2 9 4

( 1 9 9 8 ) 4 2 9 .

3 1 ] P . B h a t t a c h a r j e e , G . S i g l , P h y s . R e p . 3 2 7

( 2 0 0 0 ) 1 0 9 .

3 2 ] M . B i r k e l , S . S a r k a r , A s t r o p a r t . P h y s . 9

( 1 9 9 8 ) 2 9 7 .

3 3 ] Y u . L . D o k s h i t z e r , V . A . K h o s e , A .

H . M u e l l e r , S . I . T r o y a n , B a s i c s o f

P e r t u r b a t i v e Q C D , E d i t i o n s F r o n t i e r e s ,

G i f - s u r - Y v e t t e 1 9 9 1 .

3 4 ] S . W e i n b e r g , T h e Q u a n t u m T h e o r y o f

F i e l d s V o l . 1 , S e c . 3 . 7 , C a m b r i d g e

U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e 1 9 9 5 .

3 5 ] K . G r i e s t , M . K a m i o n k o w s k i , P h y s . R e v .

L e t t . 6 4 ( 1 9 9 0 ) 6 1 5 .

3 6 ] L . H u i , U n i t a r i t y b o u n d s a n d t h e c u s p y

h a l o p r o b l e m , a s t r o - p h / 0 1 0 2 3 4 9 , P h y s .

R e v . L e t t . , i n p r e s s .

1 2
http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0102349http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/0104100http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9809489http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9810361http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9810361http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0009466http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0009466

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Pasquale Blasi, Rainer Dick and Edward W. Kolb- Ultra-high energy cosmic rays from annihilation of superheavy dark matter