parte-002.docx

8/17/2019 parte-002.docx

1/58

VIII. ECUACIONES:

a. Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operacionesadecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.b. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma mássencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común

múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene unaecuación que no contenga fracciones.c. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:aso !" #eer con atención el problema.aso $" %notar los datos del problema.aso &" Distinguir cuál es la pregunta del problema ' representar ese datodesconocido por un literal (letra).aso " Con los datos del problema escribir una ecuación.aso " *esol+er la ecuación.aso " Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.

PRO!E"AS CON #RACCIONES

-on problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción

de un número. #a fracción ba

de un número $ se calcula multiplicando

b

a

por $.PRO!E"AS %E %&'I(OSara este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal unnúmero de la forma ' / queda representado por $ ⋅ )*+ , )*) , - ⋅ )**

PRO!E"AS %E E%A%ES0n estos problemas con+iene representar las edades de los personajes con letrasdiferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas,

presentes o futuras, según corresponda"

0dad pasada(1ace b a2os)

0dad %ctual 0dad futura(dentro de c a2os)

$ b $ $ , c/ b / / , c

. ECUACIONES !INEA!ES:#a distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dic1os puntos),%(!, '!) ' 3($, '$), se determina mediante la epresión"

$

!$$

!$% 3 )''()(d −+−=

4l+aro 5. -ánc1e/ 6ásque/rof. 5atemática ' 7ísica

)

8/17/2019 parte-002.docx

2/58

Dados los puntos %(!, '!) ' 3($, '$), las coordenadas del punto medio delsegmento %3 son

PEN%IEN(E %E UNA REC(A0s la tangente trigonom8trica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la rectacon el eje , en sentido anti1orario, desde el eje 1acia la recta)

RE!ACI0N EN(RE E! 1N'U!O %E INC!INACI0N 2 !A PEN%IEN(E %E !AREC(A

-ea α el ángulo de inclinación ' sea m la pendiente de la recta !. 0ntonces"

(α 9 :;) si ' sólo si (m 9 :) (:;

8/17/2019 parte-002.docx

3/58

ECUACI0N PUN(O 2 PEN%IEN(E

#a ecuación de la recta que pasa por un punto (!, '!) ' cu'a pendiente es m es

CASO PAR(ICU!AR: -i el punto dado está sobre el eje ', llamando n a suordenada, la ecuación anterior se escribe"

Ecuaci4n principal de la recta5 n: coe6iciente de posici4n

ECUACI0N %E !A REC(A 7UE PASA POR %OS PUN(OS

#a ecuación de la recta que pasa por dos puntos !(!, '!) ' $($, '$) es

ECUACI0N 'ENERA! %E !A REC(A@oda ecuación lineal de la forma donde A$ , / , C 8 * son constantes reales 'los números % ' 3 no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta.-i se despeja / en función de $ se obtiene la ecuación principal"

3C

n'3

%mdonde

3

C

3

%'

−=

−=

−+

−=

REC(AS PARA!E!AS

%os rectas son paralelas si / s4lo si sus pendientes son iguales.-ean #! ' #$ rectas de pendientes m! ' m$ respecti+amente (fig. !). 0ntonces"

REC(AS PERPEN%ICU!ARES

%os rectas son perpendiculares si / s4lo si el producto de sus pendienteses ).-ean #! ' #$ rectas de pendientes m! ' m$ respecti+amente (fig. $). 0ntonces"


9

8/17/2019 parte-002.docx

4/58

SIS(E"AS %E ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas,constitu'en un sistema de ecuaciones lineales.#a forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es" % A 3' 9 C D A 0' 9 7 donde %, 3, C, D, 0 ' 7 son números reales.-e denomina soluci4n del sistema a todo par (, ') que satis6agasimultneamente ambas ecuaciones.OSERVACI0N: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa unalínea recta en un sistema de ejes coordenados.

";(O%OS PARA RESO!VER SIS(E"AS %E %OS ECUACIONES !INEA!ESCON %OS INC0'NI(AS

RESO!UCI0N 'R1#ICA: ara resol+er gráficamente un sistema de dosecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistemade ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i) #as rectas se intersectan en un punto, cu'as coordenadas (a, b) es la solucióndel sistema (figura !).

ii) #as dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura $).

iii) #as dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no 1a' solución(figura &).

21 LL ∩ 2121 LLLL ==∩ =∩ 21 LL ∅ (6acío)

RESO!UCI0N A!'ERAICA: ara resol+er algebraicamente un sistema deecuaciones lineales con dos incógnitas eisten +arios m8todosB utili/aremos sólodos de ellos" sustitución ' reducción.


8/17/2019 parte-002.docx

5/58

";(O%O %E SUS(I(UCI0N: -e debe despe3ar una de las +ariables en una delas ecuaciones ' luego reempla-arla en la otra ecuación, generándose así unaecuación con una incógnita.

";(O%O %E RE%UCCI0N: -e deben igualar los coeficientes de una de lasincógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros

con+enientemente, obteni8ndose un sistema equi+alente al dado, ' luego sesuman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

AN1!ISIS %E !AS SO!UCIONES %E UN SIS(E"A %E ECUACIONES CON %OSINC0'NI(AS

-ea el sistema"

=+

=+

$$$

!!!

c'b.a

c'b.a

0ntonces"

0l sistema tiene soluci4n =nica si $!

$

!

b

b

a

a≠

0l sistema tiene in6initas soluciones si $!

$

!

$

!

c

c

b

b

a

a==

0l sistema no tiene soluci4n si $!

$

!

$

!

c

c

b

b

a

a≠=


>

8/17/2019 parte-002.docx

6/58

E?E"P!O PSU)" #a ecuación de una recta es m' $ 9 :. -i elpunto ($, ?) pertenece a esta recta, entonces el +alor de m es

%) $3) &

C) $

!

D) $!

0) $

E?E"P!O PSU+" Una recta que contiene al punto ! de coordenadas(!, &) tiene pendiente $, otra recta perpendicular con ella contiene alpunto $ de coordenadas (?, $). %mbas rectas se cortan en el punto cu'a abscisa $ +ale

%) E 3) E $C) $D)

0) E $!

E?E"P!O PSU9" FCuál es el +alor de $ en la ecuación $

!

!=

−

G%) H 3) C) $D) $0) &

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

7/58

mariscos tienen un costo de J ?:: ' las +ende en J !.::. -i la políticade asignación de precios del supermercado es lineal, Fcuál es el preciode +enta de un Iilogramo de arro/ cu'o costo es de J ::G

%) J ::

3) J ?:C) J KD) J &K0) J &:

E?E"P!O PSU>: 0n la figura las rectas #! ' #$ son perpendiculares,entonces Fcuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de larecta #!G

)$.(

')0

$.

')D

)$.(

')C

)$.(

')3

$.

')%

−−=

−=

−=

−=

−=

E?E"P!O PSU@" #a relación entre las temperaturas 7a1ren1eit 'Celsius es lineal. -i se sabe que &$; 7 corresponde a :; C ' $!$; 7corresponde a !::; C, entonces Fcuál es la temperatura en gradosCelsius que corresponde a ; 7 aproimadamenteG

%) $!; C3) !$,K; CC) !$,K; CD) $&; C0) $,=; C

E?E"P!O PSU: #a ecuación ($ I) A &' 9 : representa unarecta perpendicular a la recta cu'a ecuación es A ' = 9 :. FCuáles el +alor de BG

%) $:

3) $&


8/17/2019 parte-002.docx

8/58

C) ?

D) $K

0)

!&

E?E"P!O PSU" -i ==− entonces,=

&!

?

&)0

&

?)D

$=)C

=

$)3

$

=)%

−

−

−

E?E"P!O PSUD: FCuál de las siguientes figuras representa laintersección de & A ' 9 con ' A 9 :G

)C )3 )%

)0 )D


8/17/2019 parte-002.docx

9/58

E?E"P!O PSU)*: 0n el sistema,

−=+=−

!!'n

=m'&

FLu8 +alores deben tener m ' n para que la solución del sistema sea elpar (!, E&) G m n%) E $ !3) E $ E !C) $ !D) E$&0) Minguno de los +alores anteriores

E?E"P!O PSU))" 0n la figura, la ecuación de # ! es ' A 9 ,Fcuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)+erdadera(s)G N) #! OO #$ NN) #a ecuación de #$ es ' 9 H A & NNN) %mbas rectas tienen igual

inclinación respecto del eje

%) -olo N3) -olo N ' NNC) -olo N ' NNND) -olo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU)+" #a intersección de las rectas / 8 > $ e / 8 $ )es el punto"


D

8/17/2019 parte-002.docx

10/58

%) ($,&)3) ($,!)C) (&,H$)D) (:,$)

0) (&,$)

E?E"P!O PSU)9" Puan en !: a2os más tendrá el doble de la edad quetenía 1ace a2os. FLu8 edad tendrá Puan en un a2o másG

%) $! a2os3) $: a2osC) ! a2osD) ! a2os0) !! a2osE?E"P!O PSU)" #a se2ora 5arta compró & Iilogramos de a/úcar '$ Iilogramos de 1arina ' pagó J s. -i el Iilogramo de a/úcar +ale J p,Fcuánto cuesta el Iilogramo de 1arinaG

)p&sJ()0

$

psJ)D

$

p&sJ)C

$

p&sJ)3

)p&sJ()%

+

−

+

−

−


)*

8/17/2019 parte-002.docx

11/58

E?E"P!O PSU)@" -i &!!$

&−−

=−, entonces Fcuánto +ale G

)0

$)D

$)C

K

)3

K

$)%

−

E?E"P!O PSU)" -i (& A &) 9 ( A $), entonces +$ es"

%) =3) !C) !?

D) !:$K

0) Minguno de los +alores anteriores

E?E"P!O PSU): FCuál de las siguientes rectas del plano cartesianoes representada por la ecuación 9 aG

%) #a recta paralela al eje Q que pasa por el punto (:, a).3) #a recta paralela al eje Q que pasa por el punto (a, :).C) #a recta paralela al eje R que pasa por el punto (:, a).D) #a recta paralela al eje R que pasa por el punto (a, :).0) #a recta que pasa por el origen ' por el punto (a, a).

E?E"P!O PSU)D: Un padre reparte !$.::: 1ectáreas entre sus tres

1ijos. %l menor le da 1ectáreas, al del medio los &$

de las1ectáreas del menor ' al ma'or la mitad de las 1ectáreas de su segundo1ijo. 0l 1ijo ma'or recibió

%) $.::: 1ectáreas


))

8/17/2019 parte-002.docx

12/58

3) .::: 1ectáreas

C) .&&&, & 1ectáreasD) .::: 1ectáreas0) ?.::: 1ectáreas

E?E"P!O PSU+*: Fara qu8 +alor de I el sistema

=+=−

&'$&

$I'

notiene soluciónG

%) $3) H$

C) H &!:

D) H &

0) H $&

E?E"P!O PSU+): FCuál es el +alor de en la ecuación

!&

$−=

+

G%) H=3) HC) H!

D) &

!

0) !

E?E"P!O PSU++" FCuál de las siguientes ecuaciones MS esequi+alente a la ecuación :,:& 9 ,$G

$,.!:&)0

$,.!::

&)D

!.

!::

&)C

!:$,.&)3

$.:&,:)%

$

$

=⋅

=

=

⋅=

=

−

−


)+

8/17/2019 parte-002.docx

13/58

E?E"P!O PSU+9" -i

=+

=+

&

$

b

!

a

!

ba

, entonces ba ⋅ 9

!)0

&

$)D

&

!)C

=)3

&)%

E?E"P!O PSU+

8/17/2019 parte-002.docx

14/58

0) &a

E?E"P!O PSU+@: #a se2ora ilar acostumbra a comprar todas lassemanas & Iilogramos de plátanos ' $ Iilogramos de man/anas. Ciertasemana gastó J!.?:. Como en la semana siguiente los plátanos 1abíansubido J : por Iilogramo ' las man/anas 1abían bajado J &: porIilogramo, cambio su costumbre ' compró $ Iilogramos de plátanos' & Iilogramos de man/anas ' gastó J!.=!:. FCuánto costaba elIilogramo de man/anas esa cierta semanaG

%) J:3) J&:C) J::D) J&

0) J$=$

E?E"P!O PSU+: %l ubicar los puntos % (H!,H$), 3 (,H$) ' C (,&), enel sistema de ejes coordenados, se puede afirmar que"

3Ctra/odelpuntounes),:()NNNQejealparaleloes%3)NN

3C%3)N ⊥

0s(son) correcta(s)"

%) -olo NN3) -olo N ' NNC) -ólo N ' NNND) -ólo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU+" -egún el sistema

−=−+=+

b&aK'

b&aK'

, Fcuáles el +alor de 'G

%) b3) &bC) bD) Hb0) H&b


)

8/17/2019 parte-002.docx

15/58

8/17/2019 parte-002.docx

16/58

%) H3) :C) &D)

0) &

E?E"P!O PSU99" -i $ 9 !, entonces $ es igual a"

%) H$:3) H!:C) H&:D) !:0) &:

E?E"P!O PSU9" 0n la figura, Fcuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) +erdadera(s)G

N) #a pendiente de %D ' de 3C no es un númeroreal

NN) #a pendiente de DCes cero

NNN) #a pendiente de %3es positi+a%) -olo N3) -olo NNC) -olo NNND) -olo N ' NN0) N, NN ' NNN


)@

8/17/2019 parte-002.docx

17/58

E?E"P!O PSU9@: Tace & a2os #uisa tenía a2os ' @eresa a a2os.FCuál será la suma de sus edades en a a2os másG

%) (!! A &a) a2os3) (!! A $a) a2os

C) (!! A a) a2osD) (? A &a) a2os0) ( A &a) a2os

E?E"P!O PSU9: Porge compró tres artículos distintos en J (a A b).0l primero le costó J a ' el segundo J ($a b). FCuánto le costó elterceroG

%) J a3) J KaC) J (&a b)D) J (&a A $b)0) J (a A $b)

E?E"P!O PSU9: 0l promedio de un número entero positi+o ' suantecesor es , entonces, el sucesor de ese número entero es

%) 3) K

C) ?D) !0) ninguno de los anteriores.

E?E"P!O PSU9D: -i

$

!t$=

−

, entonces t 9

$

K)0

$

=)D

$

&)C

&)3

)%


)

8/17/2019 parte-002.docx

18/58

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

19/58

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

20/58

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

21/58

Intervalo semiabierto por dereca" -e llama así al conjunto de números realescomprendidos entre a ' b, que inclu'e al etremo a pero eclu'e al etremo b. se

simboli/a por" [ [b,a

Intervalo semiabierto por i-Guierda" -e denomina así al conjunto de númerosreales comprendidos entre a ' b, que eclu'e al etremo a pero inclu'e al etremo

b. se simboli/a por"] ]b,a

] [ { }b.a O*.b,a

8/17/2019 parte-002.docx

22/58

PRO!E"AS %E INECUACIONES0n estos problemas aparecen epresiones que 1a' que traducir a los símbolos, ≥ ó ≤, tales como" a lo menosV (≥), cuando muc1oV (≤), como mínimoV (≥), como máimo (≤), sobrepasaV (>), no alcan/aV (

8/17/2019 parte-002.docx

23/58

] [

] [

] [ ] [

] [

] [ ] [ ] [∞∪−∪−∞−

∞−∪−

,$?,!$,)0

$?,)D

$?,,!$.)C

$?,)3

?,)%

E?E"P!O PSU9: & ? < A , Fcuánto +ale G

!&

$.)0

$

!&.)D

$

!&.)C

$

!&.)3

$

!&.)%

−>

−>

−<

>

<

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

24/58

C) D)

0)

E?E"P!O PSU>: -i K +eces un número se disminu'e en unidades

resulta un número menor que K, entonces el número debe ser menorque"

K$)0

K

?$)D

$)C

=)3

$)%

E?E"P!O PSU@" 0l gráfico que representa al conjunto solución de lainecuación ≥ es


+

8/17/2019 parte-002.docx

25/58

E?E"P!O PSU" 0l gráfico que representa al conjunto solución del

sistema de inecuaciones

≤−

8/17/2019 parte-002.docx

26/58

3) a es ma'or que bC) a es ! +eces bD) a es menor que b0) la diferencia entre a ' b, en ese orden, es !

E?E"P!O PSU)*. -i :a& ≥≥ ' :b& ≤≤− Fqu8 +alor(es)puede tomar (a A b)G

%) #os +alores entre & ' &, ambos incluidos3) -olo los +alores entre & ' :, ambos incluidosC) -olo los +alores entre : ' &, ambos incluidosD) -olo el :0) Minguno de los anteriores

3. ECUACIONES CUA%RA(ICAS"

∗ 0cuación cuadrática" a$ A b A c 9 :


+@

8/17/2019 parte-002.docx

27/58

∗ 7órmula cuadrática" a$cabb

$

⋅⋅⋅−±−

=

∗ Múmero de soluciones" (\" discriminante)

(\" b$ ac)\ > :Y. $ raíces reales ' distintas\ 9 :Y. $ raíces reales e iguales\ < :Y. Mo tiene raíces reales

∗ Nntersección en el eje " \ > :Y. $ intersecciones en el eje \ 9 :Y. ! intersección en el eje \ < :Y. Mo 1a' intersección el eje

∗ ropiedades de las raíces" ac

a

b $!$! =•−=+

E?E"P!O PSU)" -egún la ecuación ' 9 $ $ A a, es correctoafirmar que"


+

8/17/2019 parte-002.docx

28/58

N. -i a > !, eisten dos intersecciones con el eje Q.NN. -i a 9 !, eiste solo una intersección con el eje Q.

NNN. -i a < !, no 1a' intersección con el eje Q.

%) -ólo N3) N ' NNC) NN ' NNND) -ólo NN0) -ólo N ' NNN

E?E"P!O PSU+" Un patio rectangular de $ m$ de superficie, tiene $metros más de frente que de fondo. -i $ es la medida del fondo, Fcuálde las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patioG

%) ( A $) $ 9 :

3) ( $) $ 9 :C) ( $) A $ 9 :D) $ H $$ 9 :0) H $: 9 :

E?E"P!O PSU9" #as raíces (o soluciones) de la ecuación( E !) 9 $: son

%) ! ' $:3) $ ' $:C) ' D) ' E 0) E '

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

29/58

3) &C) !D) :0) H!

E?E"P!O PSU@" 0l conjunto solución (o raíces) de la ecuación$ A ! 9 A ! es"

%) [:Z3) [!ZC) [:,!ZD) [:,H!Z0) Minguno de los conjuntos anteriores

IJ. !O'ARI("OS:


+D

8/17/2019 parte-002.docx

30/58

mlogn

!mlog)(

log'log)(

'loglog'

log)(

'loglog)'(log)&(

!alog)$(

:!log)!(

an

a

a'

a

aaa

aaa

a

a

⋅=

⋅=

−=

+=⋅

=

=

∗ Cambio de base" alogblog

bloga =

E?E"P!O PSU)" log (a A b)$ log (a A b) 9

%) $3) a A bC) log a A &log bD) log a A log b0) log (a A b)

E?E"P!O PSU+" -i$

.!

!log =

− entonces +ale"

$:

!=)0

!::

!:!)D

!::

==)C

==)3

!::

==)%

−

−

−

E?E"P!O PSU9" FCuál de las siguientes opciones es igual a log !$G

$loglog)0

&log$log$log)D

log$)C

$log!:log)3

$loglog)%

+⋅⋅

⋅+

⋅


9*

8/17/2019 parte-002.docx

31/58

E?E"P!O PSU" log&$ 9 a resulta

%) a& 9 $3) a$ 9 &C) $& 9 aD) &$ 9 a0) &a 9 $

E?E"P!O PSU@" -i a > !, entonces )a(loglog $a$ 9

%) :3) !C) $D) a0) a$

E?E"P!O PSU: FCuál de las siguientes epresiones es(son)+erdadera(s)G

log!:loglog)NNN&:&:log$

!

log)NN

$:log$:log!log)N

=⋅

8/17/2019 parte-002.docx

32/58

E?E"P!O PSU: FCuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)+erdadera(s)G

K!

.entonces,$=log-i)NNN

&.entonces,$.log-i)NN

$=

!log)N

.

&

&

=−=

=−=

−=

%) -olo N3) -olo N ' NNC) -olo N ' NNND) -olo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSUD" log $.:::$ 9

%) • log !.:::3) A $ • log $C) $( A log $)D) $(log $)(log !.:::)0) & A $ • log $

E?E"P!O PSU)*. FCuál es el +alor de la epresiónG!:log=log?log &$ ++

%)

3) C) D) K0) ?

E?E"P!O PSU)). -ean e ' números positi+os, la epresión)'.log( $& − es siempre igual a

)'log$)(.log&()0

'log$

.log&)D

'log$.log&)C

).'log($

&)3

).'log()%

⋅−⋅⋅−⋅

⋅−⋅−

−


9+

8/17/2019 parte-002.docx

33/58

J. #UNCIONES:%E#INICI0N: 6unci4n-ean % ' 3 conjuntos no +acíos. Una función de % en 3 es una relación que asignaa cada elemento $ del conjunto % uno ' sólo un elemento / del conjunto 3.

y-e epresa como"y x f" % → 3

corridoRe → f()9 '

x

iominDo

-e dice que / es la imagen de $ mediante 6 , ' que $ es la preimagen de6K$L 8 /∗ %ominio: es el conjunto de todos los +alores para los cuales está definida lafunción ' se denota %om 6 .∗ Recorrido: 0s el conjunto de todos los +alores que toma la +ariable dependiente('), ' se denota Rec 6 .∗ #unci4n Creciente: 0s aquella que al aumentar la +ariable independiente,tambi8n aumenta la +ariable dependiente.∗ #unci4n %ecreciente: 0s aquella que al aumentar la +ariable independiente, la+ariable dependiente disminu'e.∗ #unci4n Constante: 0s aquella que para todos los +alores de la +ariableindependiente, la +ariable dependiente toma un único +alor.

EVA!UACI0N %E UNA #UNCI0Nara encontrar los +alores de las imágenes deuna función definida, se reempla/ará la +ariable

independiente por el número o epresión quecorresponda.E3emplo: -i f() 9 & !, la imagen de H! seríaf(H!) 9 & ] (H!) ! 9 H .-i la imagen es $= ' la función es f() 9 $ A !,la preHimagen se obtendrá igualando$ A ! 9 $= de aquí 9 ! preHimagen.∗ #unci4n continua: 0s aquella en la que sugráfica se puede recorrer en formaininterrumpida en toda su etensión (figura !).∗ #unci4n discontinua: 0s aquella que no escontinua, es decir, presenta separaciones

'Oo saltos en su gráfica (figura $ ' &).∗ #unci4n peri4dica: 0s aquella en la que parte de su gráfica se repite cadacierto inter+alo, llamado período (figura ).


99

8/17/2019 parte-002.docx

34/58

y

x

f (x) = ax

y

x

f (x) = x

%. #UNCION %E PRI"ER 'RA%O:y

x

f (x)

a > 0

y

x

f (x)

a < 0

positivamnegativam

∗ f() 9 a A b

3. #UNCION !INEA!"

∗ 7unción de primer grado f () 9 a A b, con b ≠ :"' a ^ : es denominada función %fín. (a, b ∈ *)

∗ -i b 9 :, #a recta pasa por el origen ' es llamadafunción lineal

C. #UNCION I%EN(I%A%"

7unción lineal f() 9 a, con a 9 !" f() 9

∗ #a recta pasa por el origen.∗ 0iste una proporcionalidad directa entre e '.

(RAS!ACI0N %E #UNCIONES

-ea ' 9 f() una función.#a función / 8 6K$L , B es la función f() despla/ada B unidades en el e3e /.-i I > : el despla/amiento es en el sentido positi+o del eje ', ' si I < : eldespla/amiento es en el sentido negati+o (figura ! ' $).

#a función / 8 6K$ L es la función f() trasladada unidades en el e3e $. -i 1> : el despla/amiento es en el sentido positi+o del eje , ' si 1 < : es en elsentido negati+o (figura & ' ).#a función / 8 6K$ L , B es la función f() despla/ada B unidades en el eje ', ' unidades en el eje .

-i f() 9 a entonces"f() 9 a A I, I > : f() 9 a A I, I < : f() 9 a( 1), 1 < : f() 9 a( 1), 1 > :


9

8/17/2019 parte-002.docx

35/58

y

xf (x) = 3

3

y

xf (x) = ax2 + bx + c

%. #UNCI0N VA!OR ASO!U(O

0l +alor absoluto de un número real $, denotado por

, es siempre unnúmero real no negativo.

f() 9*,

:-i,

:-i ∈

8/17/2019 parte-002.docx

36/58

% la función de segundo grado 6K$L 8 a$+ , b$ , c, siendo a, b, c ∈ l* ' a^ : se le denomina 6unci4n cuadrtica. #a representación gráfica de unafunción cuadrática es una parbola, sim8trica con respecto a una recta paralelaal eje de las ordenadas. Dic1a recta recibe el nombre de e3e de simetrMa.

Concavidad" 0s la abertura que tiene la parábola

-i a > :, la conca+idad de la parábola está -i a < :, la conca+idad de la parábola Srientada 1acia arriba está orientada 1acia abajo

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y #a parábola asociada a la función ' 9 a$ A b A c siempre intersecta al eje de las

ordenadas en ' 9 c.

CEROS DE LA FUNCIÓN

#os ceros (o raíces) de la función cuadrática son los +alores $) ' $+ para los que' 9 :


9@

8/17/2019 parte-002.docx

37/58

%ISCRI"INAN(E#a epresión b+

8/17/2019 parte-002.docx

38/58

_. #UNCION RAI CUA%RA%A:

-i $ es un número real no negati+o, se define la función raí/ cuadrada de $ por

OSERVACIONES:i. #a función es creciente.ii. #a función raí/ cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.∗ -u dominio son los N*A U [:Z.

T. #UNCION EJPONENCIA!:

#a función 6 definida por 1ayRacon,a)x(f x ≠∈= + se denomina 6unci4n

e$ponencial.

x

2

1)x(f

=

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIALx2)x(f =


9

8/17/2019 parte-002.docx

39/58

0n las gráficas se puede obser+ar que"∗ #a gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (:, !).

∗ -i a > !, entonces f() 9xa es creciente.

∗ -i : < a < !, entonces f() 9xa es decreciente.

∗ #a gráfica no corta al eje de las abscisas.

N. #UNCION !O'ARI("ICA:

Una función f definida por :'!a,*acon,log)(f a >≠∈= + se denominafunción logarítmica

xo!)x(f 2= xo!)x(f 2=

xo!)x(f 2

1= xo!)x(f 2

1=

0n los gr6icos se puede obser+ar que"∗ #a gráfica intersecta al eje en el punto (!,:)

∗ -i a > !, entonces .log).(f a= es creciente

∗ -i : < a < !, entonces .log).(f a= es decreciente∗ #a cur+a no intersecta al eje '


9D

8/17/2019 parte-002.docx

40/58

?. #UNCI0N PAR(E EN(ERA

Dado un número real $, la función parte entera [ ] R xcon x x f ∈=)( leasigna el ma/or entero que es menor o igual a $.Dado que todo número real tiene una parte entera ' una parte decimal, porejemplo el número ,$!, esta función persigue que al número real ,$! se leasocie el número real .-u representación gráfica es

OBSERVACIÓN: % la gráfica de esta función se le llama 6unci4n escalonada.

AP!ICACIONES !INEA!ES

0n el que1acer cotidiano 1a' muc1os problemas que se tratan con funciones, ' porende, es necesario saber epresar una situación práctica en t8rminos de unarelación funcional. #a función que se obtiene produce un modelo matemtico dela situación.


8/17/2019 parte-002.docx

41/58

8/17/2019 parte-002.docx

42/58

E?E"P!O PSU9: F0n cuál de las opciones siguientes se grafican lasfunciones f() 9 $ A ! ' g() 9 $ A !G

)" )# )$


8/17/2019 parte-002.docx

43/58

)% )D

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

44/58

N) #a parábola se abre 1acia arriba NN) -u +8rtice se encuentra en (!,:) NNN) -u eje de simetría es 9 !

%) -olo N

3) -olo N ' NNC) -olo N ' NNND) -olo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU@" FCuál es el dominio de la función )(f $ −=

en los números realesG

[ [

[ [

] ] [ [

[ [+∞+∞∪−∞−

+∞+∞−

+∞

,)0

,$$,)D

,:)C

,$)3

,$)%

E?E"P!O PSU: FCuál(es) de las siguientes ase+eraciones es(son)+erdadera(s) respecto del gráfico de la función f(), en la figuraG N) f( $) > f() NN) f( !) A f(&) 9 f( &) NNN) f( ) f(?) 9 $

%) -ólo N3) -ólo NNC) -ólo NNND) -ólo N ' NN0) -ólo NN ' NNN

E?E"P!O PSU: FCuál es la ecuación de la parábola de la figuraG

%) ' 9 ( A !)( $)3) ' 9 ( A !)( $)C) ' 9 ( A !)( A $)

D) ' 9 ( !)( $)0) ' 9 ( A !)( $)

E?E"P!O PSUD: -ea f() una función tal que"f( E !) 9 $ E (a A !) A !, entonces el +alor de f(a) es

%) !


8/17/2019 parte-002.docx

45/58

3) ! E aC) $ E aD) ! A a0) & E $a

E?E"P!O PSU)*" -ea f una función en los números reales, definidapor f() 9 t A ! ' f(H$) 9 FCuál es el +alor de tG

%) H&3) H$C) &D) $

0) $&

E?E"P!O PSU))" Del gráfico de la función real !)(f −= , sepuede afirmar que" N) tiene su +8rtice en el punto (:,:) NN) sus ramas se abren 1acia abajo NNN) corta al eje de las abscisas en 9 ! ' en 9 H!0s(son) +erdadera(s)"

%) -olo NN3) -olo NNN

C) -olo N ' NNND) -olo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU)+" -i f() 9 , entonces • f() es igual a

%) !$3) $C) !$$

D) $$

0) ninguna de las epresiones anteriores.

E?E"P!O PSU)9" Considere la función f() 9 $$ A A , con $ enlos números reales. 0l menor +alor que alcan/a la función es

%)


8/17/2019 parte-002.docx

46/58

3) &C) $D) :0) !

E?E"P!O PSU): -i f() 9a A ! ' f($) 9 =, entonces a 9

%) =3) C) &D) $

0)?

E?E"P!O PSU)@: -ea f una función cu'o dominio es * [H!Z definida

por !!

)(f +−

=, entonces f(H$)

%) !3) H!C) &

D) H&

0) H &!

E?E"P!O PSU): FCuál de los siguientes gráficos representa a lafunción real ' 9 W A!X


8/17/2019 parte-002.docx

47/58

E?E"P!O PSU): FCuál de los siguientes gráficos representa mejor ala función real f() 9 H( A !)$ A !G

E?E"P!O PSU)D: Considere la función f() 9 $ ? A !, Fcuál(es)de las afirmaciones es(son) +erdadera(s)G


8/17/2019 parte-002.docx

48/58

N) 0l gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje NN) -u +alor mínimo es H! NNN) f(H&) > :

%) -olo N

3) -olo NNC) -olo NNND) -olo N ' NN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU+*: 0l ni+el de agua en un estanque es de !$ m ' baja:, m cada semana. FCuál de las siguientes funciones representa lasituación descrita relacionando el ni+el de agua ' con el número desemana G

%) ' 9 H!$ A :,3) ' 9 H :, A !$C) ' 9 !$ A :,D) ' 9 !$ &,0) ' 9 !$ :,

E?E"P!O PSU+)" De acuerdo al gráfico de la figura, Fcuál(es) de lassiguientes igualdades es(son) +erdadera(s)G N) f(H!) A f(!) 9 f(:) NN) &⋅f(H$) f(:) 9 $⋅f($) NNN) f(H$) f(!) 9 f($) H!

%) -olo N3) -olo NNC) -olo N ' NND) -olo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU++: -ea la función de números reales f() 9 $ &,Fcuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) 9 !G

%) [H$Z3) [H$,$ZC) [$ZD) [Z0) Mo tiene solución en el conjunto de los números realesE?E"P!O PSU+9" FCuál de los siguientes gráficos representa a lafunción f() 9 $ A G


8/17/2019 parte-002.docx

49/58

E?E"P!O PSU+

8/17/2019 parte-002.docx

50/58

Consumo en m& recio: H = J&.:::!: != J ?.:::$: o más J!!.::

:

%demás, siempre se agrega un cargo fijo de J .:::. -i el consumo nocorresponde a un número entero, 8ste se aproima al entero superior.FCuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de laempresaG

E?E"P!O PSU+: 0n la figura FCuál(es) de las siguientes

ase+eraciones es(son) +erdadera(s)G N) #a pendiente de la recta es igual a NN) 0l punto (!,!) pertenece a la recta NNN) #a ecuación de la recta es ' 9 H !:

%) -olo N3) -olo NNC) -olo NNND) -olo N ' NN0) -olo N ' NNN

E?E"P!O PSU+: Dada la siguiente figura" FCuál es la ecuación quemejor representa al gráfico de la figuraG


>*

8/17/2019 parte-002.docx

51/58

%) ' 9 $

3) ' 9 &

C) ' 9

D) ' 9

0) ' 9 $

E?E"P!O PSU+D: #a relación entre el radio ' el área de una

circunferencia es" $r% ⋅= π FCuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) +erdadera(s)G

!N. π es +ariable.$NN. r es +ariable ' % sólo toma +alores positi+os.

&NNN. % es función de r.%) -ólo N3) -ólo N ' NNC) -ólo NND) -ólo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU9*: Dada la función $

&)(f

−

−−=

, entonces f(H

)9

+alorStro)0

!!)D

$

!)C

$

!)3

!!)%

−

−

E?E"P!O PSU9): Un taista tiene un cobro fijo de J !: ' cobra,además, J &:: por cada `m. recorrido. 0ntonces la función querelaciona el +alor (') ' los Iilómetros recorridos () es"


>)

8/17/2019 parte-002.docx

52/58

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]!&::!:')0

!&::!:')D

&::!!:')C

&::!:')3

&::!:')%

+⋅+=

−⋅+=+−⋅=

+⋅=⋅+=

E?E"P!O PSU9+: Dada la función )$.().(f −= , se puedeafirmar que" N) #a función está definida para los ma'ores o iguales a $ NN) f(&) 9 ! NNN) 0l punto (,&) pertenece a la función

%) -ólo NN

3) -ólo NNNC) -ólo N ' NND) -ólo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU99: -i f() 9 m A n, Fqu8 +alores deben tener m ' n,respecti+amente, de modo que f(&) 9 ? ' f($) 9 G

%) $!

'

3) H ! ' $!

C) $ ' $

D) $!

' $!&

0) $ ' !:

E?E"P!O PSU9

8/17/2019 parte-002.docx

53/58

Plan PL" J !:.::: de cargo fijo mensual, más J $: por minuto enllamadas de 1orario diurno ' J por minuto en llamadas de 1orarionocturno.Plan 7L" J !.::: de cargo fijo mensual con derec1o a llamar 1asta:: minutos, en cualquier 1orarioB una +e/ usados los :: minutos, se

paga J $: por minuto, por llamadas en cualquier 1orario. FCuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) +erdadera(s) con respecto a lasllamadas mensuales de los clientesG N) -i una persona llama :: minutos en 1orario diurno ' $::

minutos en 1orario nocturno, entonces le con+iene el plan L. NN) -i una persona llama :: minutos en 1orario diurno ' ::

minutos en 1orario nocturno, entonces le con+iene el plan . NNN) -i una persona llama !:: o más minutos en 1orario diurno '

:: minutos en 1orario nocturno, entonces gasta lo mismo noimportando el plan que contrate.

%) -ólo N3) -ólo NNC) -ólo NNND) -ólo N ' NN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU9>" Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo deproducción de J !.:::.::: mensuales ' costos +arios por lámpara deJ .:::. -i representa el número de lámparas producidas en un mes,Fcuál de las siguientes epresiones representa la función costo C()G

%) C() 9 A !.::.:::3) C() 9 !.:::.::: A .:::C) C() 9 !.::.:::D) C() 9 .::: A !.:::.:::0) C() 9 ( .:::) A !.:::.:::

E?E"P!O PSU9@" Dada la función f()9 !$ −− , Fcuál(es) delas siguientes igualdades es(son) +erdadera(s)G


>9

8/17/2019 parte-002.docx

54/58

:)$(f )NNN

$

!

$

!f )NN

)!(f )$(f )N

=

=

−=−

%) -olo N3) -olo NNC) -olo NNND) -olo N ' NN0) -olo NN ' NNN

E?E"P!O PSU9" -i f() 9 log$, entonces f(!) f(?) es"

%) !3) $C) &D) 0) K

E?E"P!O PSU9" -i f() 9 $ A & , entonces f( A !) es igual a"

%) $ A & H $3) $ A &C) $ A $D) $ A 0) $ A &

E?E"P!O PSU9D: dada la parábola de ecuación ' 9 $ $ A a,Fcuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) +erdadera(s)G

N) -i a > !, la parábola intersecta en dos puntos al eje NN) -i a 9 !, la parábola intersecta en un solo punto al eje NNN) -i a < !, la parábola no intersecta al eje

%) -olo N3) -olo NNC) -olo N ' NND) -olo N ' NNN0) -olo NN ' NNN

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

55/58

N) -i a < :, entonces la función tiene un máimo NN) -i c 9 :, la gráfica de la función pasa por el origen NNN) -i b 9 :, a < : ' c < :, entonces la gráfica de la función intersecta al eje en dos puntos

%) -olo N3) -olo NNC) -olo N ' NND) -olo NN ' NNN0) N, NN ' NNN

E?E"P!O PSU>

8/17/2019 parte-002.docx

56/58

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

57/58

%) = A &I3) = A &IC) = A &ID) = &I0) & A &I

E?E"P!O PSU

8/17/2019 parte-002.docx

58/58

Documents

parte-002.docx