Paris - 20 février 2003 1 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Constrained model predictive control : Stability and optimality A survey paper by:

Paris - 20 février 2003Paris - 20 février 2003 11

GT - GDR - Commande Prédictive non linéaireGT - GDR - Commande Prédictive non linéaire

Constrained model Constrained model predictive control : Stability predictive control : Stability

and optimalityand optimalityA survey paper by:A survey paper by:

D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao and P. O. M. ScokaertC. V. Rao and P. O. M. Scokaert

Automatica, vol. 36, pp. 789-814, 2000Automatica, vol. 36, pp. 789-814, 2000

Nicolas Marchand – Laboratoire d’Automatique de Nicolas Marchand – Laboratoire d’Automatique de GrenobleGrenoble

Paris - 20 février 2003Paris - 20 février 2003


22

Objectifs de l’articleObjectifs de l’article

Points non traités :Points non traités : Systèmes linéaires non contraints, systèmes temps variantsSystèmes linéaires non contraints, systèmes temps variants Systèmes non représentés par des équations d’étatSystèmes non représentés par des équations d’état Applications Applications (survey de Qin et Badgwell 1997)(survey de Qin et Badgwell 1997)

Stabilité des systèmes dynamiquesStabilité des systèmes dynamiques (linéaires et non (linéaires et non linéaires) linéaires) contraintscontraints commandés par des commandés par des techniques techniques prédictivesprédictives

Vue d’ensemble des travauxVue d’ensemble des travaux Sortir la « substantifique moelle » qui garantit la stabilitéSortir la « substantifique moelle » qui garantit la stabilité Points mentionnés :Points mentionnés : PoursuitePoursuite Retour de sortieRetour de sortie Contraintes progressivesContraintes progressives Aspects adaptatifsAspects adaptatifs Algorithmes d’optimisation Algorithmes d’optimisation (survey de Biegler 1998, Wright 1997, (survey de Biegler 1998, Wright 1997,

Rao et al. 1998)Rao et al. 1998)



33

PlanPlan Model Predictive Control : définitionsModel Predictive Control : définitions Vue d’ensemble de la littératureVue d’ensemble de la littérature

• Naissance de la MPC, Apparition de l’horizon fini, Naissance de la MPC, Apparition de l’horizon fini, Littérature issue de la commande des procédés, GPCLittérature issue de la commande des procédés, GPC

• MPC et StabilitéMPC et Stabilité

Conditions de stabilité de la MPCConditions de stabilité de la MPC• Méthodes directe et indirecteMéthodes directe et indirecte• Comment ces conditions sont vérifiées dans la littératureComment ces conditions sont vérifiées dans la littérature

RobustesseRobustesse• Conditions de stabilitéConditions de stabilité• Différentes approchesDifférentes approches

PerspectivesPerspectives



44

MModelodel P Predictiveredictive C Controlontrol : définitions : définitions

Horizon : Horizon : NN

Système :Système :

où :où :

état du système à l’instant état du système à l’instant ii, parti de , parti de xx à l’instant à l’instant kk avec avec uu pour commandepour commande

Fonction coût :Fonction coût :

Problème de la commande prédictive :Problème de la commande prédictive :

MPC : définitionsMPC : définitions



55

MModelodel P Predictiveredictive C Controlontrol : définitions : définitions

Horizon : Horizon : NN

Système :Système :

Fonction coût :Fonction coût :

où :où :

état du système à l’instant état du système à l’instant ii, parti de , parti de xx à l’instant à l’instant 00 avec avec uu pour commandepour commande

Problème de la commande prédictive :Problème de la commande prédictive :

MPC : définitionsMPC : définitions



66

Vue d’ensemble de la littératureVue d’ensemble de la littérature « Naissance » implicite de la MPC :« Naissance » implicite de la MPC :

Bellman (1957), Bellman (1957),

Kalman (1960) : Kalman (1960) : Optimalité Optimalité ;; Stabilité Stabilité,,

Lee and Markus (1967)Lee and Markus (1967)

Apparition de l’horizon fini :Apparition de l’horizon fini :Impossibilité pratique de l’horizon infini Impossibilité pratique de l’horizon infini (hormis H(hormis H22 et H et H11))

• Kleinmann (1970), Thomas (1975) : Kleinmann (1970), Thomas (1975) :

Ajout d’un coût infini sur l’état final Ajout d’un coût infini sur l’état final pour les systèmes pour les systèmes linéaires linéaires

(eq. diff. de Riccati avec contrainte finale)(eq. diff. de Riccati avec contrainte finale)

• Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al. (1983) : Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al. (1983) :

Horizon fini + contrainte Horizon fini + contrainte )) Stabilité Stabilité

Vue d’ensemble de la littératureVue d’ensemble de la littérature



77

La littérature issue de la commande des procédés Indépendamment des autres travaux, orienté vers l’industrieIndépendamment des autres travaux, orienté vers l’industrie Méthodes linéairesMéthodes linéaires basées sur une réponse temporelle du basées sur une réponse temporelle du

système, prenant en compte les contraintes de commande et de système, prenant en compte les contraintes de commande et de sortiesortie• Sans violation possible des contraintes : Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler Sans violation possible des contraintes : Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler

et Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec DMC.et Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec DMC.• Avec violation temporaires des contraintes : Garcia et Morshedi (1986) avec QDMCAvec violation temporaires des contraintes : Garcia et Morshedi (1986) avec QDMC• Plusieurs niveaux de contraintes : Marquis et Broustail (1988) avec SMOCPlusieurs niveaux de contraintes : Marquis et Broustail (1988) avec SMOC

Implantation très importanteImplantation très importante (plus de 2000) (plus de 2000) Pas (ou très peu) de considérations théoriques de stabilitéPas (ou très peu) de considérations théoriques de stabilité

La Generalized Predictive Control (GPC)La Generalized Predictive Control (GPC) Issue de la commande adaptative Issue de la commande adaptative (De Keyser et Van Cauwenberghe (De Keyser et Van Cauwenberghe

1979)1979) Systèmes linéaires bruités en temps discretSystèmes linéaires bruités en temps discret non contraintsnon contraints avec avec

une formulation déterministe proche de la MPCune formulation déterministe proche de la MPC Résultats théoriques de stabilitéRésultats théoriques de stabilité (Mosca et al. 1990) (Mosca et al. 1990)

Observabilité + Contrainte Observabilité + Contrainte )) stabilité stabilité




88

MPC et stabilité :MPC et stabilité : Lyapunov : Lyapunov :

• Approche de omise dans les années 70 et 80 maintenant Approche de omise dans les années 70 et 80 maintenant universelleuniverselle

• Prend en compte le cas non linéairePrend en compte le cas non linéaire• VVNN comme fonction de Lyapunov comme fonction de Lyapunov

Variantes de :Variantes de :• Contrainte d’égalité sur l’état final :Contrainte d’égalité sur l’état final : (Keerthi et Gilbet 1988, Chen et Shaw 1982, Mayne et Michalska 1990, (Keerthi et Gilbet 1988, Chen et Shaw 1982, Mayne et Michalska 1990,

…)…)• Coût sur l’état final :Coût sur l’état final :(Gauthier et Bornard 1983, Rawlings et Muske 1993 : lien entre horizon (Gauthier et Bornard 1983, Rawlings et Muske 1993 : lien entre horizon

fini et infini)fini et infini)• Ensemble terminal Ensemble terminal puis puis

basculement sur une commande locale basculement sur une commande locale (Michalska et Mayne 1993, …)(Michalska et Mayne 1993, …)• Coût sur l’état final et ensemble terminal :Coût sur l’état final et ensemble terminal :(Sznaier et Damborg 1987, Parisini et Zoppoli 1995, De Nicholao et al. (Sznaier et Damborg 1987, Parisini et Zoppoli 1995, De Nicholao et al.

1996, …)1996, …)

Conclusion :Conclusion : Points clés de la MPC : Points clés de la MPC :

Coût terminal Coût terminal FF, Ensemble terminal , Ensemble terminal XXff, Contrôleur local , Contrôleur local ff




99

Conditions de stabilité de la MPCConditions de stabilité de la MPC 2 méthodes distinctes2 méthodes distinctes

Les deux utilisent le coût optimal Les deux utilisent le coût optimal comme fonction de Lyapunovcomme fonction de Lyapunov

Méthode directe :Méthode directe :Chercher des conditions sur Chercher des conditions sur FF, , XXff et et ff pour que : pour que :

(Keerthi et Gilbert (1988), Mayne et Michalska 1990, Rawlings et Muske 1993,…)(Keerthi et Gilbert (1988), Mayne et Michalska 1990, Rawlings et Muske 1993,…)

Méthode indirecte :Méthode indirecte :Utilise la monotonicité de Utilise la monotonicité de VVNN : :

(Chen et Shawn 1982, Bitmead et al. 1990, De Nicolao et al 1996, …)(Chen et Shawn 1982, Bitmead et al. 1990, De Nicolao et al 1996, …)

Conditions de stabilité de la MPCConditions de stabilité de la MPC



1010

Conditions suffisantes de stabilité :Conditions suffisantes de stabilité : temps discret :temps discret :

temps continu :temps continu :




1111

Contrainte d’égalité sur l’état final :Contrainte d’égalité sur l’état final :

Coût sur l’état final :Coût sur l’état final : Pas de contrainte terminale Pas de contrainte terminale explicite explicite cependant cependant

nécessaire pour garantir la stabilité dans les cas nécessaire pour garantir la stabilité dans les cas non linéaire ou linéaire contraint instablenon linéaire ou linéaire contraint instable

linéaire non contraint ou linéaire contraint stable linéaire non contraint ou linéaire contraint stable ::




1212

Ensemble terminal :Ensemble terminal :

Coût sur l’état final et ensemble final :Coût sur l’état final et ensemble final : Systèmes linéaires contraints :Systèmes linéaires contraints :

Systèmes non linéaires, non contraints Systèmes non linéaires, non contraints (Jadbabaie et al. 1999) :

Systèmes non linéaires contraints : 2 approchesSystèmes non linéaires contraints : 2 approches

(Chen et Allgöwer (Chen et Allgöwer

1998)1998)

(De Nicholao et al. 1996, 1999, Alamir 1995,…)(De Nicholao et al. 1996, 1999, Alamir 1995,…)




1313

Autres approches :Autres approches : Horizon variable :Horizon variable : (Michalska et Mayne 1993, Michalska 1997)(Michalska et Mayne 1993, Michalska 1997)

basculement sur une commande locale dansbasculement sur une commande locale dans X Xff, pas de , pas de conditions A1 à A4 car N variable, conditions sur conditions A1 à A4 car N variable, conditions sur ll

Méthodes contractives :Méthodes contractives : (Polak et Yang 1993, Morari et De Oliveira 1998,…)(Polak et Yang 1993, Morari et De Oliveira 1998,…)

uuFF est appliqué en BO sur l’horizon est appliqué en BO sur l’horizon NNFF, pas de résultat de , pas de résultat de stabilité généralstabilité général




1414

Stabilité forcée :Stabilité forcée : (Snaier et Damborg 1990, Bemporad 1998, …)(Snaier et Damborg 1990, Bemporad 1998, …)

Ajout d’une contrainte de décroissance d’une fonction de Ajout d’une contrainte de décroissance d’une fonction de Lyapunov dans le problème de commande. Le problème est Lyapunov dans le problème de commande. Le problème est alors celui inhérent aux fonctions de Lyapunov : comment la alors celui inhérent aux fonctions de Lyapunov : comment la choisir ?choisir ?

Linéarisation :Linéarisation :(De Oliveira et al. 1995, Kurtz et Henson 1997, …) (De Oliveira et al. 1995, Kurtz et Henson 1997, …)

Le problème principal réside dans le fait que Le problème principal réside dans le fait que XX et et UU ne sont ne sont plus convexes après transformationplus convexes après transformation

MPC sous optimale :MPC sous optimale :(Michalska et Mayne 1993, Mayne 1995, Chisci et al. 1996, Scoakert et al. (Michalska et Mayne 1993, Mayne 1995, Chisci et al. 1996, Scoakert et al.

1999, …)1999, …)

Problèmes d’optimisation non convexe dans le cas non linéaire Problèmes d’optimisation non convexe dans le cas non linéaire appelant une simplification (faisabilité plutôt qu’optimalité)appelant une simplification (faisabilité plutôt qu’optimalité)




1515

ConclusionConclusion ConsensusConsensus rapide autour des points clés : coût rapide autour des points clés : coût

terminal, ensemble terminal et contrôleur local terminal, ensemble terminal et contrôleur local (+ ou – explicite).(+ ou – explicite).

Les conditions Les conditions A1-A4 unifient la plupart des A1-A4 unifient la plupart des travauxtravaux existants existants

Il apparaît souhaitable de choisir Il apparaît souhaitable de choisir le coût terminal le coût terminal FF proche de proche de VV11 permettant d’hériter des permettant d’hériter des avantages de l’horizon infini (robustesse). avantages de l’horizon infini (robustesse).

• Délicat en non linéaire Délicat en non linéaire • Philosophie est toujours la même : prendre Philosophie est toujours la même : prendre

équivalent à un problème équivalent à un problème




1616

Robustesse de la MPCRobustesse de la MPC

Principalement 3 approches Principalement 3 approches rencontrées :rencontrées :

Robustesse inhérente : robustesse de la MPC Robustesse inhérente : robustesse de la MPC conçue sur le modèle nominal conçue sur le modèle nominal

Prise en compte de toutes les réalisations Prise en compte de toutes les réalisations possibles (problème min-max)possibles (problème min-max)

Ajout d’un feedback au problème de Ajout d’un feedback au problème de commande optimalecommande optimale

Modèle :Modèle :

Aspects robustesAspects robustes



1717

Robustesse inhérente :Robustesse inhérente :(De Nicolao et al. 1996, Magni et Sepulchre 1997)(De Nicolao et al. 1996, Magni et Sepulchre 1997)

Résultats liés à un problème d’horizon infini modifié dont Résultats liés à un problème d’horizon infini modifié dont découle la robustessedécoule la robustesse

Problèmes min/max :Problèmes min/max : Conditions suffisantes de stabilité :Conditions suffisantes de stabilité :

ces conditions garantissent :ces conditions garantissent :



1818

Commande prédictive Min/Max en BOCommande prédictive Min/Max en BO(Michalska et Mayne 1993, Chen et al. 1997, Magni et al. 1999,…)(Michalska et Mayne 1993, Chen et al. 1997, Magni et al. 1999,…)

Problème pour garantir l’invariance de Problème pour garantir l’invariance de XXff Une possibilité pour contourner la difficulté : horizon Une possibilité pour contourner la difficulté : horizon

variablevariable

MPC boucléeMPC bouclée(Mayne 1995,1997, Kothare et al. 1996, Lee and Yu 1997, …)(Mayne 1995,1997, Kothare et al. 1996, Lee and Yu 1997, …)

L’ensemble des états qui peuvent être ramené à L’ensemble des états qui peuvent être ramené à l’origine de manière robuste est considérablement l’origine de manière robuste est considérablement augmentéaugmenté

Complexité prohibitiveComplexité prohibitive Quelques exemples « applicables » en linéaire contraint Quelques exemples « applicables » en linéaire contraint

(Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne 1998)(Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne 1998)

ensemble des séquences de commandes telles que la ensemble des séquences de commandes telles que la trajectoire en BO issue de trajectoire en BO issue de xx vérifient les contraintes vérifient les contraintes



1919

Commande HCommande H11 Systèmes linéaires non contraints :Systèmes linéaires non contraints :

• Tadmor (1992), utilise une contrainte d’égalitéTadmor (1992), utilise une contrainte d’égalité• Lall et Glover (1994), utilisent un coût terminal quadratiqueLall et Glover (1994), utilisent un coût terminal quadratique

Systèmes non linéaires Systèmes non linéaires • Nécessite généralement la résolution d’une équation Nécessite généralement la résolution d’une équation

d’HJId’HJI• Tentatives pour éviter cette résolution par la MPCTentatives pour éviter cette résolution par la MPC(Chen et al. 1997, De Nicholao et al. 1999, Magni et al. 1999, …)(Chen et al. 1997, De Nicholao et al. 1999, Magni et al. 1999, …)

Basées sur la commande HBasées sur la commande H11 du linéarisé, du linéarisé, Approches similaires à MPC boucléeApproches similaires à MPC bouclée Seul changement : choix de Seul changement : choix de ll

Difficilement implantableDifficilement implantable



2020

ConclusionConclusion Le problème de robustesse est maintenant bien Le problème de robustesse est maintenant bien

compriscompris Il a mis en évidence certains Il a mis en évidence certains problèmes inhérentsproblèmes inhérents àà

l’utilisation des trajectoires en l’utilisation des trajectoires en boucle ouverteboucle ouverte Résultats de stabilitéRésultats de stabilité Aucune applicabilitéAucune applicabilité (en tout cas très faible et dans (en tout cas très faible et dans

des cas très particuliers)des cas très particuliers) La recherche de (La recherche de (,,ww) se fait dans un espace de ) se fait dans un espace de

dimension infinidimension infiniGallestey et James (1999) dans le cas des systèmes affines non contraints arrivent Gallestey et James (1999) dans le cas des systèmes affines non contraints arrivent à transformer le problème en un problème aux limites solvable par des techniques à transformer le problème en un problème aux limites solvable par des techniques de tirde tir



2121

PerspectivesPerspectives StabilitéStabilité

Résultats de stabilité dans le cadre classiqueRésultats de stabilité dans le cadre classique Relâchement des conditions suffisantes de stabilitéRelâchement des conditions suffisantes de stabilité

RobustesseRobustesse Résultats très conceptuels, peu de résultats réellement Résultats très conceptuels, peu de résultats réellement

implantablesimplantables

Systèmes hybridesSystèmes hybrides La MPC reste à adapter aux systèmes hybridesLa MPC reste à adapter aux systèmes hybrides

Autres pointsAutres points Couplage estimation/commande pour les retours de sortieCouplage estimation/commande pour les retours de sortie MPC adaptativeMPC adaptative

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Paris - 20 février 2003 1 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Constrained model predictive control : Stability and optimality A survey paper by: