Dept. GEII IUT - Université Bordeaux1

Paramètres S

Analyseur de réseaux

Amplification de puissance

G. Couturier

gerard.couturier@u-bordeaux1.fr

2

Sommaire I- Introduction : modèle physique versus modèle comportemental

I-1- Paramètres physiques I-2- Modèle physique simplifié de la diode et schéma aux petits signaux I-3- Modèle physique simplifié du transistor et schéma aux petits signaux I-4- Deux diodes tête bêche : un transistor ? I-5- Modèle physique du transistor et schéma aux petits signaux

I-6- Paramètres comportementaux

I-7- Relation entre paramètres H et paramètres physiques

II- Les paramètres S d'un quadripôle

II-1- Signification physique des paramètres S II-2- Relation entre paramètre S et paramètres H II-3- Etude de cas : un transistor et un amplificateur

III- Principe de fonctionnement d’un analyseur de réseaux

III-1- L’analyseur de réseaux vectoriel HP8753D III-2- Correction des erreurs

IV- Paramètres S et amplification de puissance

IV-1- Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé

IV-2- Adaptation d’impédance : cas d’un quadripôle unilatéralisé IV-3- Exemple de quadripôle unilatéralisé IV-4- Gain en puissance d’un quadripôle réel IV-5- Exemple de quadripôle réel : cercles de stabilité

a) adaptation simultanée, K>1 b) adaptation simultanée impossible, K<1, cercles de stabilité c) adaptation en bruit

3

V- Adaptation d’impédance

V-1- Puissance déposée dans une charge : condition d’adaptation V-2- Circuit d’adaptation V-3- Adaptation d’une source à une charge via un câble V-4- Exemple de calcul du réseau d’adaptation par logiciel

Exercice n°1 : Matrice Y de deux quadripôles en parallèle Exercice n°2 : Paramètres S d’un quadripôle adaptateur Exercice n°3 : L’amplificateur AD8354 1MHz – 2,7GHz Exercice n°4 : Pont de mesure des paramètres 11S et 22S Exercice n°5 : Coupleur latéral pour la mesure des paramètres 11S et 22S Exercice n° 6 : Adaptation d’impédance et câble de transmission

Annexe 1 : Caractéristiques techniques des diodes BAW78 et BAS16

Annexe 2 : Caractéristiques techniques du transistor MRF104T1

Annexe 3 : Calcul du paramètre 12S en fonction des paramètres H

Annexe 4 : Caractéristiques techniques de l’amplificateur AD8354

Annexe 5 : Corrections des erreurs pour la mesure des paramètres 11S et 22S

Annexe 6 : Corrections des erreurs pour la mesure des paramètres 21S et 12S

Annexe 7 : Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé Annexe 8 : Facteur de bruit NF d’un quadripôle Annexe 9 : Matrice chaîne d’un tronçon de ligne

4

Pré requis : cours de propagation, coefficient de réflexion, rapport d’onde stationnaire, abaque de Smith Mots clés : modèle physique et comportemental, paramètres S, analyseur de réseaux, correction des erreurs, détection synchrone

Le transistor bipolaire fut découvert en 1947 par J. Bardeen, W. H. Brattain et W. B. Schockley des Laboratoires Bell Telephone. Pour cette découverte, ils reçurent le prix Nobel en 1956. J. Bardeen obtint un second prix Nobel en 1972 avec L. N. Cooper et J. R. Schrieffer pour la théorie de la Supraconductivité, théorie connue sous le nom de BCS. I- Introduction : modèle physique versus modèle comportemental I-1- Paramètres physiques

D’une manière générale, on a besoin en électronique de disposer de modèles des composants pour faire de la simulation, c'est-à-dire prédire le comportement d’un montage faisant appel à plusieurs composants. Il faut comprendre le mot composant au sens large, ça peut être un simple transistor mais aussi un circuit intégré amplificateur comportant une dizaine de transistors.

On dispose soit de modèles physiques soit encore de modèles comportementaux. Par modèle physique, il faut comprendre un ensemble d’équations régissant le fonctionnement physique du composant.

I-2- Modèle physique simplifié de la diode et schéma aux petits signaux L’équation reliant le courant DI à la tension DV dans une diode, )e1(II kT/DqV

SD −= , est une équation déduite de la physique des semiconducteurs. Ce modèle physique simplifié fait apparaître un seul paramètre : le courant de saturation SI , C10.6,1q 19−= est la charge

de l’électron, K/J10.38,1k 23−= est la constante de Boltzmann et T est la température en

degré Kelvin. Un modèle un peu plus élaboré donne : )e1(II NkT/)DIsRDV(qSD

−−= où

sR est la résistance série de la diode et N le facteur d’idéalité, en pratique sR est de l’ordre de l’Ohm et 2N1 << . L’effet de la résistance sR se manifeste aux forts courants quand

DsIR devient du même ordre de grandeur que DV . Les modèles physiques ci-dessus ne permettent pas de prédire le comportement en fonction de la fréquence ni de prédire le courant de bruit. Pour s’en convaincre, il suffit de faire l’expérience de la figure 1 : une f.e.m. E, un générateur sinusoïdal )tsin(Ae ω= de fréquence f variable et une diode D. On fait les 3 expériences suivantes :

• 0e = , la tension DV aux bornes de la diode est une tension continue égale à 0DV .

0DV est obtenue en résolvant l’équation ( ) 0DkT/0DqV

S V1eRIE +−= pour le modèle plus simple. Le courant DI passant dans la diode est un courant continu égal à 0DI :

−= 1eII

0DVkTq

S0D .

• )tsin(Ae ω= avec une basse fréquence f et une faible amplitude A, dans ce cas la tension aux bornes de la diode est la somme d’une composante continue 0DV et d’une tension sinusoïdale de fréquence f en phase avec la tension e du générateur. La tension V aux

5

bornes est obtenue en résolvant ( ) DkT/DqV

S V1eRI)tsin(AE +−=ω+ . Si l’amplitude A est faible, la tension DV n’est pas très différente de 0DV et on écrit que vVV 0DD += .

( )vV1eeRIvV1eRI)tsin(AE 0D

vkTq

0DVkTq

S0Dv0DV

kTq

S ++

−=++

−=ω+

+

Si la tension v est faible on peut remplacer v

kTq

e par son développement limité

...vkTq

21v

kTq1e 2

2vkTq

+

++≈ . Si 2

2v

kTq

21v

kTq

>> , c'est-à-dire

qkT2v << ou

encore mV50v << , alors seul le premier terme du développement est à retenir :

vkTq1e

vkTq

+≈ , c’est ce que l’on appelle l’approximation linéaire ; on a linéarisé

l’exponentielle. On obtient donc :

vV1vkTq1eRI)tsin(AE 0D

0DVkTq

S ++

−

+=ω+ avec : ( ) 0D

kT/0DqVS V1eRIE +−=

d’où : vvkTqeRI)tsin(A

0DVkTq

S +=ω ou encore : 0DV

kTq

S ekTqI

R1

)tsin(Av

+

ω=

La quantité 0DV

kTq

S ekTqI

est homogène à l’inverse d’une résistance, en effet si on écrit

l’équation aux dimensions, on obtient : SCVCA

KJKCAe

kTqI 1

10DV

kTq

S =Ω===

−

−, posons

D

0DVkTq

Sr1e

kTqI

= . La tension v s’écrit alors :

erR

r)tsin(ArR

r

rR1

)tsin(A

ekTqI

R1

)tsin(AvD

D

D

D

D0DV

kTq

S+

=ω+

=+

ω=

+

ω=

La résistance Dr est égale à l’inverse de la pente de la caractéristique )V(fI DD =

calculée au point )V ,I( 0D0D , voir la figure 2. C’est la résistance dynamique de la diode.

Vérifions le en calculant 0DV,0DID

DdVdI

, il vient :

6

D

0DVkTq

S

0DV

DVkTq

S0DV ,0DID

Dr1e

kTqIe

kTqI

dVdI

===

Quand la diode est passante l’argument de l’exponentielle 0DVkTq est très supérieure à

l’unité, effectivement avec V6,0V 0D ≈ et K300T ≈ , on obtient

1,236,0300.10.38,1

10.6,1VkTq

23

190D ≈≈

−

−, en conséquence le courant de repos 0DI de la diode

s’écrit : 0DV

kTq

S0DV

kTq

S0D eI1eII ≈

−= . On peut donc écrire la résistance Dr sous la

forme : ) en( I10.25

IU

qIkT

eqI

kTr0D

3

0D

T

0D0DVkTq

S

D Ω≈=≈=−

avec q

kTUT = .

On peut retranscrire l’équation erR

rv

D

D+

= sous forme d’un schéma électrique dans

lequel apparaît uniquement la tension e, la résistance R, la résistance Dr et la tension v. Ce schéma est dessiné à la figure 1-b. Ce schéma est appelé le schéma aux variations ou encore schéma aux petits signaux.

• )tsin(Ae ω= avec une haute fréquence f et une faible amplitude A. Dans ce cas, on constate que la tension v est beaucoup plus faible et qu’elle n’est plus en phase avec la tension e, voir la figure 1-c. C’est donc que le modèle physique utilisé pour décrire le comportement de la diode est incorrect. En effet, aux hautes fréquences il faut tenir compte du fait que les porteurs de charge (électrons et trous) ne se déplacent plus en phase avec l’excitation e. A l’équation )e1(II kT/DqV

SD −= décrivant le fonctionnement statique, il faut ajouter d’autres équations, en conséquence le schéma aux variations de la diode est modifié, cela revient à mettre une capacité DC en parallèle sur la résistance Dr . Ce schéma permet de rendre compte de ce qui est observé expérimentalement.

Dans les outils de simulation, exemple SPICE (Simulation Program with Integrated

Circuit Emphasis), la diode est décrite par 15 paramètres : le courant de saturation 0I , la résistance série SR , le facteur d’idéalité N, la capacité de la jonction à potentiel nul, la bande interdite du matériau semiconducteur, les paramètres de bruit, … . Ces paramètres sont déterminés par des mesures courant-tension I(V), des mesures en fonction de la fréquence, de la température, des mesures de bruit, … L’annexe 1 contient les caractéristiques techniques des diodes BAW78 et BAS16 de Infineon et les paramètres SPICE .

I-3- Modèle physique simplifié du transistor et schéma aux petits signaux Un transistor bipolaire, NPN par exemple, est constitué comme le montre le schéma de la

figure 3 d’une zone N, l’émetteur, riche en électrons, d’une zone P, la base, riche en trous et

7

d’une zone N, le collecteur riche en électrons. Le dopage du collecteur est plus faible que le dopage de l’émetteur, ce qui fait qu’émetteur et collecteur ne jouent pas le même rôle.

Dans le mode de fonctionnement normal, la jonction Base - Emetteur est polarisée dans le sens passant, en conséquence des électrons sont injectés de l’Emetteur vers la Base et des trous de la Base vers l’Emetteur. Pour obtenir l’effet transistor, il faut une faible épaisseur de Base, q.q. mµ , de telle sorte que les électrons injectés dans la Base ne se recombinent pas avec les trous de la Base. Le Collecteur est porté à un potentiel fortement positif par rapport à la base, la jonction Collecteur – Base est donc polarisée en inverse, ce fort potentiel positif attire donc les électrons : c’est l’effet transistor. Si les recombinaisons dans la Base sont en faible quantité le courant du Collecteur est très peu différent du courant d’Emetteur.

Figure 1 : (a) 0e = , la tension DV aux bornes de la diode est égale à 0DV , (b) schéma électrique aux petites variations en basses fréquences, la tension v est en phase avec l’excitation e, (c) schéma électrique aux petites variations en hautes fréquences, la tension v n’est plus en phase avec l’excitation e.

R

E

e VD t VD

e

t

e

t

VD

t

e

t

VD

basse fréquence

haute fréquence

R

e Dr

R

e Dr C

schéma aux variations de la diode

schéma aux variations de la diode

D 0DV

I

schéma aux variations en basses fréquences

schéma aux variations en hautes fréquences

0DV

0DV

(a)

(b)

(c)

8

Figure 2 : Caractéristique )V(fI DD = d’une diode, la pente DD dI/dV au point M est égale à la résistance dynamique de la diode

Figure 3 : Effet transistor : les électrons injectés à partir de l’Emetteur sont, si la base est peu épaisse, pratiquement tous collectés par le Collecteur

Si CI , EI et BI sont respectivement les courants de Collecteur, d’Emetteur et de Base, on peut écrire :

α==+

IIIII

EC

EBC (1)

recombinaison dans la base injectés dans l’émetteur

flux de trous

EMETTEUR (N) BASE (P) COLLECTEUR (N)

flux d’électrons

BI

CIEI

DV

DI

0DI

0DV

DdV

DdI

D

DD dI

dVr =

pente au point M de coordonnées ( 0D0D V ,I )

M

9

où 1≈α mais inférieur à 1, α dépend entre autres de la largeur de la base, de la concentration en dopant de la base, … . Ce coefficient traduit le fait que la majorité des électrons injectés à partir de l’Emetteur sont captés par le Collecteur.

Des deux équations, on tire : BC I1

Iα−

α= , on pose

α−α

=β1

, c’est le gain en courant. La

caractéristique courant – tension de la jonction Base – Emetteur obéit, comme pour la diode

étudiée précédemment, à une équation du type :

−= 1eII

BEVkTq

SB où SI est le courant

de saturation. En résumé, le modèle physique le plus simple d’un transistor se ramène à deux équations :

−=

β=

1eII

II

BEVkTq

SB

BC

(2)

Le schéma électrique associé à ces deux équations est représenté à la figure 4 : une diode

pour la jonction Base – Emetteur et un générateur de courant coté Collecteur.

Figure 4 : Modèle physique simplifié d’un transistor : 2 paramètres

SI et β. Le réseau de caractéristique associé au modèle physique est représenté à la figure 5. Dans

le troisième quadrant on trace la caractéristique d’entrée de la jonction Base - Emetteur

−= 1eII

BEVkTq

SB . Dans le deuxième quadrant la caractéristique BC II β= . Si on fait

l’hypothèse, peu raisonnable, que le courant CI ne dépend ni de la tension CBV , ni de la tension BEV , on obtient dans le premier quadrant des droites horizontales, paramétrés en BI , puisque BECBCE VVV += .

Pour un point de fonctionnement donné )I ,V ,I ,V( 0CCE00B0BE , on obtient le schéma aux petits signaux de la figure 6. Les courants et tensions cecbeb v et i ,v,i représentent les variations des tensions et courants CECBEB Vet I ,V ,I . Les éléments du schéma, ber et β, sont obtenus, comme pour la diode, en différentiant les équations (2) du modèle physique

B C

E

générateur de courant

BC II β= IB

diode

=

−1BEVkTq

SB eII

10

autour du point de fonctionnement et en changeant les notations ( vdV ,idI beBEbB →→ ,

cC idI → et ceCE vdV → ), on obtient donc 0BEV

kTq

SB

BEbe

ekTqI

1dI

dVr == .

=

β=⇒

=

β=⇒

−=

β=

be0BEV

kTq

Sb

bc

BE0BEV

kTq

SB

BCBEV

kTq

SB

BC

vekTqIi

ii

dVekTqIdI

dIdI 1eII

II

(3)

Figure 5 : Caractéristiques CECBCBEB VI et II ,VI −−− d’un transistor simplifié

Figure 6 : Schéma aux petits signaux du transistor de la figure 4 autour du point de fonctionnement

)I ,V ,I ,V( 0CCE00B0BE

Comme pour la diode, l’exposant 1VkTq

0BE >> , il s’ensuit que

0BEVkTq

S0BEV

kTq

S0B eI1eII ≈

−= , en conséquence la résistance ber se met sous la

B C

cev générateur de courant

bc ii β= ib

E E

ber

IC

VCE

VBE

IB

( )1eII kT/BEqVSB −=

BC II =

I

IV 0BEV

0BI

0CI

0CEV

II

III

11

forme 0C

T

0C0B0BEVkTq

S

be IU

IqkT

I1

qkT

ekTqI

1r β=

β=== avec V10.25

qkTU 3

T−≈= à la

température K300T = . I-4- Deux diodes tête bêche : un transistor ? Le transistor de la figure 3 est, a priori, constitué de deux diodes tête bêche N- P (Base –

Emetteur) et P – N (Base – Collecteur). Si on réalise le montage de la figure 7-a avec deux diodes 1D et 2D et deux tensions de polarisation 1E et 2E de mêmes polarités que celles de la figure 3, le courant 0I 2D = , il n’y a pas d’effet transistor. En fait, c’est comme si nous avions réalisé un transistor avec une très grande épaisseur de base, figure 7-b. Dans ce cas, les électrons injectés, depuis l’Emetteur vers la Base, sont intégralement recombinés avec les trous de la Base, l’effet transistor disparaît, le courant 0IC = .

Figure 7 : Deux diodes tête bêche : un transistor ?

I-5- Modèle physique du transistor et schéma aux petits signaux Le modèle physique du § 1-3 est une bonne entrée en la matière mais est insuffisant pour

décrire les caractéristiques réelles des transistors. Quand on fait des mesures courant – tension avec un transistor bipolaire on obtient le réseau de caractéristiques de la figure 8. La principale différence se situe dans le premier quadrant, le courant CI dépend de CEV .

On peut expliquer qualitativement l’allure des caractéristiques du premier quadrant. Jusqu’à maintenant nous n’avons pas parlé des zones de déplétion aux jonctions, on rappelle qu’une zone de déplétion est une zone isolante sans porteur libre. Dans la portion de caractéristique AB de la figure 8, la diode Base – Collecteur est polarisée en inverse, au contact il se forme une zone de déplétion d’autant plus grande que la tension Collecteur – Base est grande comme le montre la figure 9. Pour une tension BEV donnée, plus CBV est grand et donc CEV ( BECBCE VVV += ), plus la zone de déplétion est grande, ce qui a pour effet de réduire la largeur de Base où les électrons injectés de l’Emetteur se recombinent avec les trous de la Base. Ceci a pour effet d’augmenter le flux d’électrons atteignant le Collecteur. Cet effet est connu sous le nom d’effet Early (1952). C’est la raison pour laquelle le courant

CI augmente quand CEV augmente.

0I 2D =

D1 D2

E1 E2

1DI

1DI

(a) (b) 1D 2D

E B C

0IC =

flux d’électrons

12

Figure 8 : Caractéristiques CECBCBEB VI et II ,VI −−− d’un transistor

Figure 9 : La zone de déplétion de la jonction Collecteur – Base est d’autant plus grande que la tension CBV est grande, ce qui a pour effet de réduire la largeur de Base où les électrons injectés de l’Emetteur se recombinent avec les trous de la Base.

On observe aussi que l’allure du courant CI est modifiée pour les faibles tensions CEV ,

portion AO de la caractéristique de la figure 8. Quand la tension CBV , donc la tension CEV ,

IC

VCE

VBE

IB

BC II =

0BEV

0BI

0CI

0CEV

I

effet Early

A

O

B

zone de déplétion

zone de déplétion

VCB1

VCB2>VCB1

VBE

VBE

13

devient faible, les électrons injectés dans la Base ne sont plus suffisamment attirés par le Collecteur. Faisons un rapide calcul, prenons V6,0VBE = , si V2,0VCE = par exemple, on obtient V4,0VVV BECECB −=−= , la jonction Base – Collecteur est polarisée dans le sens passant. Pour attirer les électrons, et donc obtenir l’effet transistor, le Collecteur doit être porté à un potentiel positif par rapport à la Base, ce n’est plus le cas, c’est la raison pour laquelle le courant CI diminue. Si le point de fonctionnement du transistor se trouve sur la portion de caractéristique AO, le transistor est dit saturé et la relation BC II β= ne tient plus, dans ce cas les courants EI et BI peuvent devenir du même ordre de grandeur alors que dans la portion AB, EB II << avec EC II ≈ .

Le schéma aux petits signaux de la figure 6 doit donc être modifié pour prendre en compte

l’augmentation du courant CI en fonction de CEV . A partir de maintenant, les schéma aux petits signaux ne sont valables que si le transistor n’entre pas dans la zone de saturation, le point de fonctionnement ne doit donc pas se trouver sur la portion AO de la caractéristique. Le courant CI dépend maintenant de deux variables : )V,I(fI CEBC = . Pour obtenir le comportement aux variations il suffit de calculer, comme nous l’avons fait précédemment,

autour d’un point de fonctionnement, la différentielle : CECE

CB

B

Cc dV

VI

dIII

dI∂∂

+∂∂

= et de

changer les notations : cC idI → , … etc. La dérivée partielle CE

CVI

∂∂

a les dimensions de

l’inverse d’une résistance, on pose :

CE

Cce

VI1r

∂∂

= , la dérivée partielle B

CII

∂∂

est encore égale

au gain en courant β d'où la relation : cece

bc vr1ii +β= . La résistance cer est appelée la

résistance de sortie du transistor. Le schéma aux petits signaux devient donc celui de la figure 10-a. On introduit la transconductance mg (en 1AV− ou en S) en écrivant que le

générateur de courant be

beb r

vi β=β et en posant

bem r

g β= , on obtient le schéma de la figure

10-b. Quelques ordres de grandeur : Typiquement, le courant de base 0BI est de l’ordre de

q.q.10 Aµ , d’où Ω≈≈=−

−2500

10.1010.25

I1

qkTr 6

3

0BEbe , le gain en courant β est de l’ordre de

q. q. 210 , en conséquence la transconductance 1132

m mAV40AV10.40250010g −−− === . On

retiendra que mg est de l’ordre de q.q. dizaine de V/mA .

14

Figure 10 : Schéma électrique aux petits signaux prenant en compte la résistance de sortie cer du transistor.

Le schéma aux petits signaux de la figure 10 ne permet pas de rendre compte du

comportement du transistor aux hautes fréquences, c'est-à-dire à des fréquences où le temps de réponse des porteurs de charge devient du même ordre de grandeur que la période du signal. Comme pour la diode, il faut tenir compte des capacités Base – Emetteur e'bC et Collecteur – Base c'bC , voir le schéma de la figure 11. Expérimentalement, on observe que l’impédance d’entrée ne tend pas vers zéro aux hautes fréquences, en effet la Base de l’effet transistor n’est pas directement accessible comme le montre la coupe d’un transistor à la figure 12. Il existe une résistance 'bbr d’une dizaine d’Ohm entre la Base accessible et la Base réelle de l’effet transistor.

Figure 11 : Schéma de Giacoletto aux petits signaux

B C

E

e'br bev cev

'bbr

e'bC c'bC

B’

e'bmvg cer

E

c'br

e'bv

C

E

B

cev générateur de courant

biβ ib

E

ber cer

ci

(b)

(a)

B

cev générateur de courant

bemvg

E

ber cer

ci

bev

15

Par ailleurs, l’impédance entre la Base B’ et le Collecteur C n’est pas purement capacitive, c’est pourquoi il faut mettre en toute rigueur en parallèle avec la capacité c'bC une résistance

c'br . Cette résistance de forte valeur est souvent négligée dans les calculs. Le schéma électrique aux petits signaux de la figure 11 est connu sous le nom de schéma

de Giacoletto. NB : Le schéma de Giacoletto, fait donc apparaître un couplage entre l’entrée et la sortie

du transistor. Il s’ensuit que suivant les composants mis autour du transistor, un montage amplificateur peut se transformer en montage oscillateur.

Figure 12 : Vue en coupe d’un transistor et origine de la résistance 'bbr

Les schémas aux petits signaux ont pendant très longtemps permis de faire des calculs analytiques de gain, de fréquence de coupure, d’impédance d’entrée et de sortie … à l’époque où les outils CAO n’avaient pas encore envahi les bureaux d’études. En même temps que la puissance de calcul des ordinateurs augmentait, on a cherché des modèles physiques de plus en plus près de la réalité. Le premier modèle physique utilisé fut celui de Ebers et Moll (1954), ce modèle ne prenait pas en compte l’effet Early. Le modèle physique utilisé aujourd’hui dans les simulateurs (modèle SPICE) est le modèle de Gummel et Poon (1970). Ces modèles permettent de simuler le comportement d’un composant quel que soit le point de fonctionnement, la fréquence, l’amplitude des signaux d’excitation puisque le composant est décrit par un ensemble d’équations tirées de la physique et que les paramètres intervenant dans les équations sont mesurés expérimentalement.

Un transistor est donc décrit par un ensemble de paramètres, le modèle complet de Gummel et Poon fait apparaître 41 paramètres listés dans le tableau 2. Bien souvent, on ne dispose pas de tous les paramètres, ce qui veut dire que la simulation donne un résultat approché.

Collecteur enterré N+

N+

N

P

N

'bbr

B E C

2SiO

substrat P

région active 2SiO B’

16

Tableau 1 : Modified Gummel-Poon BJT parameters

17

A titre d’exemple, on donne en annexe 2, les caractéristiques du transistor MRF1047T1. Le tableau de paramètres SPICE du transistor MRF1047T1 ne comprend que 35 paramètres. Les paramètres SPICE sont mesurés sous pointes, ils ne prennent pas en compte les « bondings » entre la puce de silicium et le boîtier SC-70. Pour le transistor MRF1047T1, le constructeur donne les éléments capacitif et inductif à ajouter au modele SPICE pour obtenir une simulation plus précise. On ne compte pas moins de 5 capacités et 5 inductances dont les ordres de grandeur sont de q.q. 100fF et de q.q. 100pH.

I-6- Paramètres comportementaux Plutôt que de travailler avec un modèle physique, on peut travailler avec un modèle

comportemental. Dans ce cas, point n’est besoin de connaître la physique du composant, on traite le composant (transistor, amplificateur, …) comme un quadripôle, on dit aussi comme une « boîte noire ». Le quadripôle est caractérisé par 4 paramètres, ces paramètres sont des paramètres petits signaux. Dans le cas d’un transistor, les paramètres sont donnés pour un point de fonctionnement donné et pour une fréquence donnée. Dans le cas d’un amplificateur, les paramètres sont donnés pour une tension d’alimentation et une fréquence donnée.

Sur la figure 13 on a donc représenté un quadripôle, 1V et 1I sont respectivement la tension et le courant à l’entrée, 2V et 2I sont respectivement la tension et le courant en sortie.

Figure 13 : Le transistor, l’amplificateur, .. est traité comme un quadripôle

Pendant très longtemps, on a utilisé les paramètres H (comme Hybride), Y (comme

admittance) ou Z (comme impédance) pour caractériser les quadripôles. Les paramètres Z relient les tensions d’entrée 1V et de sortie 2V aux courants d’entrée 1I

et de sortie 2I . Les quatre paramètres Z ont pour dimensions des impédances.

+=

+=

2221212

2121111

IzIzV

IzIzV (4)

Les paramètres Y relient les courants d’entrée 1I et de sortie 2I aux tensions d’entrée 1V

et de sortie 2V . Les quatre paramètres Y ont pour dimensions des admittances.

1V

1I 2I

2V Quadripôle (transistor,

amplificateur, …)

18

+=

+=

2221212

2121111

VyVyI

VyVyI (5)

Les paramètres H sont, comme leur nom l’indique, des paramètres hybrides. Ils relient la

tension d’entrée 1V et le courant de sortie 2I au courant d’entrée 1I et à la tension de sortie

2V . C’étaient les paramètres les plus utilisés avant que les paramètres S soient introduits dans les années 70.

+=

+=

2221212

2121111

VhIhI

VhIhV (6)

Aux paramètres H, on peut associer le schéma électrique de la figure 14. Le paramètre 11h

a la dimension d’une impédance (en Ω), le paramètre 12h est sans unité, le paramètre 21h est également sans unité, c’est un gain en courant et le paramètre 22h a la dimension d’une admittance (en S).

Figure 14 : Schéma électrique associé aux paramètres H d’un quadripôle

Les paramètres H se mesurent. Le paramètre 11h est égal à : 02V1

111 I

Vh

== . Pour le

mesurer il faut faire un court circuit, aux variations, sur la sortie comme le montre la figure 15. On injecte une tension à l’entrée et on mesure le courant d’entrée. Le paramètre 11h représente l’impédance d’entrée quand la sortie est en court circuit.

1I 2I

121Ih 11h

212Vh 1V

22h 2V

19

Figure 15 : Mesure du paramètre 11h

Le paramètre 12h est égal à : 01I2

112 V

Vh

== . Pour le mesurer, on injecte une tension coté

sortie et on mesure la tension à l’entrée comme le montre la figure 16. On notera que le paramètre 12h est la signature du couplage de la sortie vers l’entrée. Un quadripôle avec

0h12 ≠ est susceptible d’osciller.

Figure16 : Mesure du paramètre 12h

Le paramètre 21h est égal à : 02V1

221 I

Ih

== . Pour le mesurer, on injecte une tension coté

entrée et on mesure les courants 1I et 2I en entrée et sortie comme le montre la figure 17. Le paramètre 21h représente le gain en courant quand la sortie est en court circuit aux variations.

Figure 17 : Mesure du paramètre 21h

121Ih 11h

212Vh

1I 2I

1V 22h 0V2 =

121Ih 11h

212Vh

1I 2I

1V 22h 2V

121Ih 11h

212Vh

1I 2I

1V 22h 0V2 =

20

Le paramètre 22h est égal à : 01I2

222 V

Ih

== . Pour le mesurer, on injecte une tension coté

sortie et on mesure le courant 2I en sortie comme le montre la figure 18. Le paramètre 22h représente l’admittance de sortie quand l’entrée est en circuit ouvert.

Figure 18 : mesure du paramètre 22h

I-7- Relation entre paramètres H et paramètres physiques On peut bien entendu établir une correspondance entre les paramètres comportementaux H

et ceux du schéma électrique aux petits signaux déduit d’un modèle physique. Faisons ce travail avec le schéma aux petits signaux de la figure 10. Les tensions et courants

2211 I et V ,I ,V du quadripôle de la figure 13 deviennent respectivement : ccebbe i et v ,i ,v

+=+β=

=

rv

vgrv

ii

irv

ce

cebem

ce

cebc

bbebenotation du schéma petits signaux de la figure 10

Les équations avec les paramètres H s’écrivent :

+=

+=

2221212

2121111

VhIhI

VhIhV

L’analogie entre les paramètres physiques et comportementaux conduit aux relations

suivantes : be11 rh = , 0h12 = , bem21 rgh =β= et ce

22 r1h = .

La figure 19 montre les modèles physique et comportemental d’un transistor simplifié.

121Ih 11h

212Vh

1I

1V 22h 2V

2I

21

Figure 19 : Modèles physique (a) et comportemental (b) d’un transistor simplifié

Les calculs précédents font apparaître un gain en courant bem21 rgh = indépendant de la

fréquence, c’est le gain en courant statique dénommé dans les datasheet FEh . Le transistor MRF1047T1 a un FEh compris entre 100 et 300 pour le point de fonctionnement mA3I ,V3V CCE == , voir l’annexe 2. Compte tenu des capacités e'bC et c'bC le gain en courant 21h diminue quand la fréquence augmente. On appelle fréquence de transition d’un transistor, la fréquence pour laquelle le gain en courant devient égal à l’unité. Le transistor MRF1047T1 a par exemple une fréquence de transition GHz12f t = pour le point de fonctionnement mA3I ,V3V CCE == .

Déterminons pour le schéma de Giacoletto aux petites variations de la figure 11 le gain en

courant 02V1

221 I

Ih

== en fonction de la fréquence. La figure 20 montre le montage pour le

calcul de 21h , on néglige la résistance c'br .

Figure 20 : Détermination du gain en courant 21h Ecrivons les équations aux nœud B’ et C :

B

C

E

e'br bev

'bbr

e'bCc'bC

B’

e'bmvg cer

2I 1I

e'bv

B C

E

ber ⇒

(a) modèle physique (b) modèle comportemental

bev cev cer 121Ih

11h 1V

1I

2V

2I

22h1

bemvg

22

( )

=ω+−

=−+

ω+−

0jCvvgI

0vgIr

Cjr1vI

c'be'be'bm2

e'bm2e'b

e'be'be'b1

(7)

D’une des deux équations on tire e'bv que l’on réinjecte dans l’autre, on obtient :

ω++

ω−==

= e'bc'be'b

m

c'b

e'bm02V1

221 r)CC(j1

gC

j1rg

II

h

Les ordres de grandeur des composants permettent de simplifier l’expression. Prenons les

valeurs du transistor MRF1047T1, 150rgh e'bmFE ≈= pour mA3IC = ,

Ω≈= 1290qIkThr

CFEe'b à K300T = et 1-

e'b

FEm VA12,0

rh

g ≈= , les capacités e'bC et c'bC

sont de l’ordre pF5,0 et pF3,0 respectivement (figure 1 et 2 de la datasheet). On déduit que : 112

m

c'b s10.5,2gC −−≈ et ( ) 19

e'bc'be'b s10rCC −−≈+ , d’où l’approximation justifiée :

ω++

≈== e'bc'be'b

e'bm02V1

221 r)CC(j1

1rgII

h (8)

Le tracé asymptotique 2110 hlog20 en fonction de )f(log10 est donné à la figure 21.

Quand f devient très supérieure à la fréquence de coupure à -3dB,

MHz160r)CC(2

1fe'bc'be'b

dB3 ≈+π

=− , le gain en courant peut être approximé par :

ω+≈

e'bc'be'b

e'bm21 r)CC(j

rgh . La fréquence de transition tf correspond à 1h 21 = , soit :

1f2)CC(

g

tc'be'b

m =π+

. On obtient :

)CC(2

gfc'be'b

mt +π

= (9)

Le constructeur annonce GHz12f t ≈ , c’est une valeur typique mesurée, avec les valeurs

précédentes de mg , e'bC et c'bC on obtient .GHz23

23

Figure 21 : Tracé asymptotique 2110 hlog20 en fonction de )f(log10

Les paramètres H se mesurent donc en réalisant soit un circuit ouvert en entrée ( 0I1 = )

soit encore un court circuit en sortie ( 0V2 = ). Si en pratique il est facile de réaliser un circuit ouvert ou un court circuit aux basses fréquences, il n’en est pas de même aux hautes fréquences, dans le domaine des GHz, c'est-à-dire quand les dimensions des circuits sont du

même ordre de grandeur que la longueur d’onde λ . On rappelle que f

Vitesse=λ avec

Vitesse de l’ordre de 18 ms10.2 − ; pour GHz5f = , on obtient cm4=λ . Aux très hautes fréquences, un fil n’est plus équipotentiel (voir cours de propagation), un court circuit à tendance à se comporter comme une inductance et un circuit ouvert comme une capacité. Par ailleurs, quand les transistors sont chargés par des impédances réactives (inductance ou condensateur), ils ont tendance à osciller, ce qui rend les mesures impossibles. C’est pour ces raisons que les paramètres S ont été introduits dans les années 70.

II- Les paramètres S d'un quadripôle Soit un quadripôle Q sous test (en anglais DUT pour Device Under Test) connecté en

entrée à une source d’impédance sZ via une ligne d’impédance caractéristique cZ réelle. La sortie du quadripôle est chargé par une impédance lZ via une ligne d’impédance caractéristique cZ .

Le quadripôle possède des impédances d'entrée et de sortie de valeurs quelconques et, de ce fait, se trouve désadapté vis à vis des lignes de transmission ; des ondes réfléchies existent donc à la fois au niveau de son entrée et de sa sortie comme le montre la figure 22.

Les grandeurs 1V , '1V , "

1V , 2V , '2V , "

2V , 1I et 2I sont des grandeurs complexes qui dépendent de la fréquence du générateur.

La tension 1V à l’entrée du quadripôle est la somme d’une onde incidente et d’une onde réfléchie (cours de propagation), idem pour le courant :

)f(log10

2110 hlog20

)rg(log20 e'bm10

( ) e'bc'be'bdB3 rCC2

1f+π

=−

dB0

)CC(2g

fc'be'b

mt +π

=

24

C

"1

'1

1

"1

'11

ZVV

I et

VVV

−=

+=

(10)

En sortie du quadripôle, on a :

C

"2

'2

2

"2

'22

ZVV

I et

VVV

−=

+=

(11)

Figure 22 : Définition des différentes grandeurs d'entrée et de sortie d'un quadripôle Q

Examinons maintenant la signification des différentes composantes des tensions et

courants en entrée et en sortie du quadripôle :

'1V : onde incidente à l'entrée du quadripôle

- une partie de cette onde est transmise par le quadripôle et contribue à "2V

- une partie de cette onde est réfléchie par l'entrée du quadripôle et contribue à "1V

'2V : onde réfléchie par lZ en sortie du quadripôle

- une partie de cette onde est transmise par le quadripôle vers son entrée et, repartant vers le générateur, vient contribuer à "

1V - une partie de cette onde est réfléchie par la sortie du quadripôle et repart vers la charge

lZ , contribuant ainsi à "2V

Quadripôle Q sous test

Ligne d’impédance caractéristique cZ

e(t)

sZ

Ligne d’impédance caractéristique cZ

Quadripôle Q sous test

'1V

"1

'11 VVV +=

'2V

"2V

"2

'22 VVV +=

lZ

"1V

25

On peut donc exprimer "1V et "

2V en fonction de '1V et '

2V , il vient :

'222

'121

"2

'212

'111

"1

VSVSV

VSVSV

+=

+=

sous forme matricielle

=

'2

'1

2221

1211

"2

"1

V

V

SS

SS

V

V (12)

Les paramètres S (Scattering parameters ou paramètres de diffusion) sont au nombre de quatre : S11, S12, S21 et S22. Ce sont des grandeurs complexes, sans dimension, qui rendent compte des différents processus de transmission et de réflexion mis en jeu au niveau de l'entrée et de la sortie du quadripôle.

II-1- Signification physique des paramètres S A partir des équations (12) précédentes, on obtient :

0'

2V'1

"1

11V

VS

=

= (13)

Dire que 0V'

2 = revient à dire qu'aucun signal ne revient sur la sortie du quadripôle, la

charge cZZ =l . S11 représente donc le coefficient de réflexion à l'entrée du quadripôle lorsque sa

sortie est adaptée.

0'

1V'2

"2

22V

VS

=

= (14)

Dire que 0V'

1 = revient à dire qu'aucun signal ne revient sur l’entrée du quadripôle,

l’impédance de source cs ZZ = . S22 représente donc le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle lorsque son

entrée est adaptée.

0'

1V'2

"1

12V

VS

=

= (15)

S12 représente donc le coefficient de transmission du quadripôle de la sortie vers l'entrée, lorsque son entrée est adaptée.

26

0'

2V'1

"2

21V

VS

=

= (16)

S21 représente donc le coefficient de transmission du quadripôle de l'entrée vers la

sortie, lorsque sa sortie est adaptée.

Les quatre paramètres S sont donc mesurés en référence à une impédance cZ , en général Ω50 . Les quadripôles passifs, un tronçon de ligne de propagation par exemple, sont

réciproques ; il en résulte que 2211 SS = et que 2112 SS = .

Les paramètres S sont utilisés pour le calcul des réseaux d’adaptation en entrée et en sortie et pour le calcul du gain en puissance.

II-2- Relation entre paramètre S et paramètres H Au § I-7, nous avons établi une correspondance entre les paramètres H et les paramètres

physiques aux petites variations. Nous pouvons bien entendu faire de même et établir une correspondance entre les paramètres S et les paramètres physiques ou bien encore avec les paramètres H.

Les calculs sont assez longs, pour en montrer le principe, on prend un quadripôle avec le paramètre 0h12 = , ce paramètre est en général faible. L’idéal serait d’avoir 0h12 = , en effet

12h est la signature d’un couplage de la sortie vers l’entrée, 0h12 ≠ risque donc de transformer un quadripôle amplificateur en oscillateur.

Le paramètre 0'

2V'1

"1

11V

VS

=

= se calcule à partir du schéma de la figure 23. Pour obtenir

0V'2 = , il faut charger le quadripôle par une résistance de Ω50 égale à l’impédance

caractéristique Ω= 50Zc (ou autre valeur, par exemple Ω75 ) des câbles de mesure. Le paramètre 11S est donc le coefficient de réflexion à l’entrée, soit :

c11

c1111 Zh

ZhS

+−

= (17)

Le paramètre 0'

1V'2

"1

12V

VS

=

= est obtenu en attaquant le quadripôle par la sortie et en

chargeant l’entrée par une résistance de Ω50 égale à cZ afin d’obtenir 0V'1 = comme le

montre le schéma de la figure 24. Les tensions 0VVV 1"1

'1 === car il n’y a pas, avec

0h12 = , de réaction de la sortie sur l’entrée, en conséquence : 0S12 = (18) Si 0S12 = , le quadripôle est dit unilatéralisé.

27

Figure 23 : Schéma pour le calcul du paramètre 11S en fonction des paramètres H

Figure 24 : Schéma pour le calcul du paramètre 12S en fonction des paramètres H

Le paramètres 0'

2V'1

"2

21V

VS

=

= se déduit encore à partir du schéma de la figure 23.

121c22

c121

22c

22c

"2 Ih

1ZhZ

Ih

h1Z

h1Z

V+

−=

+−=

111"1

'11 IhVVV =+= et

c11

c11'1

"1

ZhZh

V

V+−

= d’où :

+

=

+−

+=c11

11'1

c11

c11'1111 Zh

h2V

ZhZh

1VIh

121Ih

11h

0VVV "1

'11 =+=

1I 2I

22h1

0V'1 =

0V"1 =

"2V

Ω50 '2V

"2

'22 VVV +=

2V1V

121Ih

11h

"1

'11 VVV +=

1I 2I

22h1

'1V

"1V "

2VΩ50

0V'2 =

"22 VV =

2V 1V

28

On réinjecte 1I dans l’expression de "2V et on obtient :

++

−=+

−=c11

11

11

'1

21c22

c121

c22

c"2 Zh

h2hV

h1Zh

ZIh

1ZhZ

V , d’où l’expression de 21S :

)1Zh)(Zh(

hZ2S

c22c11

21c21 ++

−= (19)

Le paramètre 0'

1V'2

"2

22V

VS

=

= se déduit encore à partir du schéma de la figure 24.

Dans la maille d’entrée, il n’y a pas de source d’énergie, en conséquence 0I1 = . En sortie

le courant 0Ih 121 = , le rapport '2

"2

V

V est donc égal au coefficient de réflexion de l’impédance

22h1 , d’où

c22

c22

c22

c22

'2

"2

Zh1Zh1

Zh

1

Zh

1

V

V+−

=+

−= et on obtient :

c22

c2222 Zh1

Zh1S

+−

= (20)

Dans le cas où le paramètre 0h12 ≠ , ce qui est toujours le cas en pratique, le tableau 1

donne les correspondances entre les paramètres S et les paramètres H. En annexe 3, on explique comment trouver le paramètre 12S en fonction des quatre paramètres H.

Paramètre S en fonction des paramètres H

2112c22cc11

2112c22cc1111 hhZ)hZ1)(Zh(

hhZ)hZ1)(Zh(S

−++−+−

=

)hhZ)hZ1)(Zh(hZ2

S2112c22cc11

12c12 −++

=

2112c22cc11

21c21 hhZ)hZ1)(Zh(

hZ2S

−++−

=

2112c22cc11

2112c22cc1122 hhZ)hZ1)(Zh(

hhZ)hZ1)(Zh(S

−+++−+

=

Tableau 1 : Relation entre paramètres S et paramètres H

29

II-3- Etude de cas : un transistor et un amplificateur a- un transistor : La datasheet du transistor MRF1047T1 contient comme nous

l’avons vu les paramètres SPICE à utiliser dans un simulateur SPICE. Ces paramètres, rappelons le, permettent de simuler tout type de situation : excitations petits et grands signaux, mode bloqué, conducteur ou saturé, domaine de fréquence du continu à q.q. GHz, c'est-à-dire jusqu’à la limite du modèle physique. La datasheet contient également les paramètres S, ils sont utilisables dans un simulateur de paramètres S. On rappelle que les paramètres S sont des paramètres petits signaux et qu’ils ne sont valables qu’autour d’un point de fonctionnement donné. Le tableau 2 contient par exemple les paramètres S aux fréquences de 1,0 , 1 et GHz5 et pour le point de fonctionnement V1VCE = et mA3IC = . Le paramètre K renseigne sur la stabilité du transistor, en effet 0S12 ≠ peut rendre le transistor instable. Les paramètres S permettent de calculer les réseaux d’adaptation à mettre en entrée et en sortie du transistor pour obtenir par exemple un gain en puissance maximum.

On observe que le paramètre 21S , dont le module au carré est égal au gain en puissance quand cs ZZZ == l , diminue quand la fréquence augmente, ceci est relié au fait que le gain en courant diminue avec la fréquence (voir le §1-7). Le paramètre 12S augmente quand la fréquence augmente, ceci est dû principalement à la capacité de c'bC dont l’impédance

devient de plus en plus faible quand la fréquence augmente.

CEV

CI f(GHz) 11S 21S 12S 22S K

1V 1V 1V

3 mA 3 mA 3 mA

GHz1.0 GHz1

GHz5

°−∠ 17947.0

°−∠ 110388.0

°∠93382.0

°∠1653.9

°∠9393.3

°∠6176.1

°∠80028.0

°∠49138.0

°∠29470.0

°−∠ 11955.0

°−∠ 50471.0

°−∠ 133260.0

1.0

78.0

97.0

Tableau 2 : Paramètres S du transistor MRF1047T1 pour le point de fonctionnement V1VCE = et mA3IC =

On peut vérifier, pour l’exemple, l’ordre de grandeur du paramètre 11S à la fréquence de GHz1,0 pour V1VCE = et mA3IC = . La fréquence de GHz1,0 est bien inférieure à la

fréquence de transition GHz12f t = , en conséquence les effets capacitifs sont quasiment

négligeables, on peut donc écrire Ω≈≈ 1290qIkThh

CFE11 et 92,0

501290501290S11 ≈

+−

= , la

datasheet donne °−∠= 1794,0S11 . Nous pouvons faire de même pour le paramètre 21S , avec comme approximations : 0h22 ≈ et 0h12 ≈ , on obtient d’après le tableau 1,

)Zh(hZ2

Sc11

21c21 +

−≈ , dans une première approche on peut prendre 150hh FE21 =≈ et on

obtient 11)501290(

150502 xx21 −≈

+−

≈S soit °∠18011 , la datasheet donne °∠1653,9 . On peut affiner

le résultat en prenant en compte le fait qu’à la fréquence de GHz1,0 le paramètre 21h est un

peut différent de FEh , en effet d’après la relation (8),

ω++

=e'bc'be'b

e'bm21 r)CC(j11rgh

30

soit avec les valeurs numériques °−∠=

+

= 32127

10.16010.100j1

1150h

6

621 , on obtient alors :

°∠≈ 1505,9S21 . b- un amplificateur : L’amplificateur large bande AD8354, dont la datasheet est donnée à

l’annexe 4, est un amplificateur à deux étages de gain dB20 sur la bande de fréquence GHz7,2MHz1 − . Les ports d’entrée et de sortie ont des impédances quasiment égales à Ω50

sur toute la bande, on peut le vérifier en observant les tracés de 11S et 22S dans l’abaque de Smith (figure 3 et 6 de la datasheet). On rappelle que le point au centre de l’abaque correspond à une impédance égale à Ω= 50Zc c'est-à-dire à un coefficient de réflexion nul, le paramètre 11S ( 22S ) est le coefficient de réflexion en entrée (sortie) quand la sortie (entrée) est chargée par Ω= 50Zc . Pour caractériser l’amplificateur on utilise aussi le terme de « input return loss » et «output return loss » ; 1110log20 Srn lossinput retu = . Le paramètre dB33S12 −≈ (reverse isolation), soit 022,0S12 ≈ , ce qui montre que le couplage de la sortie vers l’entrée est très faible, l’idéal serait, rappelons le, 0S12 = . L’amplificateur peut délivrer une puissance de dBm3,4 ( mW7,2≈ ), avec un gain de dB20 à MHz900 . La

consommation sous 3V est égale à mA24 , le rendement est donc égal à : %7,310243

107,23xx

3x≈

−

−,

il est beaucoup plus faible que le rendement théorique (25%) d’un amplificateur classe A basse fréquence.

III- Principe de fonctionnement d’un analyseur de réseaux

L’analyseur de réseaux est l’outil indispensable tant pour la caractérisation des composants de base comme les transistors et les composants passifs que pour la caractérisation de circuits intégrés, ou non, comme les amplificateurs et les mélangeurs utilisés dans le domaine des télécommunications.

Le synoptique simplifié d’un analyseur de réseaux 2 ports est donné à la figure 25. Il comprend une source RF (Radio Fréquence) synthétisée construite en général autour d’un oscillateur à quartz de grande stabilité (TCXO : Temperature Compensated Crystal Oscillator ou OCXO : Oven Controlled Temperature Crystal Oscillator) et d’une boucle à verrouillage de phase (PLL pour Phase Locked Loop). Dans un analyseur 2 Ports, la source peut être dirigée vers le Port 1 (ou Port 2) pour la mesure des paramètres 11S et 21S (ou 22S et 12S ). La puissance injectée est ajustée au moyen d’un atténuateur. Il est important de pouvoir ajuster la puissance lors des tests sur des dispositifs actifs (transistor, amplificateur, mélangeur, …), en effet les paramètres S sont des paramètres petits signaux et doivent être mesurés dans le domaine linéaire. La puissance fournie par la source est séparée en deux (power splitter) , une partie est dirigée vers la voie référence, l’autre est dirigée vers le système sous test (DUT pour Device Under Test) . La tension réfléchie est mesurée, suivant le domaine de fréquence, au moyen d’un pont ( VSWR bridge pour Voltage Standing Wave Ratio) ou d’un coupleur (directional coupler) basé sur le principe de deux lignes couplées. Les signaux RF sont translatés autour d’une fréquence intermédiaire (FI) au moyen d’un mélangeur et d’un oscillateur local. Ils sont ensuite échantillonnés et numérisés et enfin traités numériquement dans un processeur.

31

Les paramètres S sont complexes et sont, dans tous les cas, égaux au rapport de deux tensions. Il faut donc mesurer le rapport de ces deux tensions mais aussi le déphasage entre les deux tensions. On utilise à cet effet une détection synchrone, en pratique, cette opération est réalisée numériquement. Intéressons nous par exemple à la détermination du paramètre

0'2V

'1

"1

11V

VS

=

= . Prenons le signal '1V comme référence des phases : tj'

1'1 eVV ω= . Le signal

"1V s’écrit alors : ( )ϕ+ϕ== ωϕ+ω sinjcoseVeVV tj"

1)t(j"

1"1 où ϕ est le déphasage entre

les deux tensions '1V et "

1V , le diagramme de Fresnel correspondant est donné à la figure 26.

Il faut donc d’une part mesurer la composante de "1V en phase avec '

1V , c-à-d ϕcosV"1 et

d’autre part la composante en quadrature de phase ϕsinV"1 . Pour obtenir le paramètre 11S , il

faut également mesurer le module de '1V , au final on obtient :

'1

"1

'1

"1

'1

j"1

tj'1

)t(j"1

11V

sinVj

V

cosV

V

eV

eV

eVS

ϕ+

ϕ===

ϕ

ω

ϕ+ω

(21)

Figure 25 : Synoptique simplifié d’un analyseur de réseaux (source : Fundamental of Vector Network Analysis, Michael Hiebel, Rohde & Schwarz, 2007).

A DSP N

A DSP N

A DSP N

A DSP N

DU

T

voie référence

voie référence

voie mesure

voie mesure

coupleur

atténuateur

diviseur

oscillateur local source RF synthétisée

Port 1

Port 2

filtre FI

32

Figure 26 : Représentation de Fresnel des tensions '

1V et "1V

Le principe de fonctionnement d’un détecteur synchrone est décrit à la figure 27, il comprend : deux multiplieurs, un déphaseur de 2/π et deux filtres passe bas.

Figure 27 : Principe de fonctionnement d’un détecteur synchrone pour la récupération des composantes en phase et quadrature de phase.

Le signal temporel )t(v'1 associé à tj'

1'1 eVV ω= complexe s’écrit :

( ) )tcos(VVv '1

'1

'1 ω=ℜ= où ℜ désigne la partie réelle. Le signal temporel )t(v ''

1 associé à

"1V s’écrit : )tcos(Vv "

1"1 ϕ+ω= . Après multiplication et filtrage passe-bas on obtient

)cos(VV21 ''

1'1 ϕ , le signal haute fréquence de pulsation ω2 est éliminé par le filtre passe-bas.

La composante en quadrature de phase )sin(VV21 ''

1'1 ϕ est obtenue en multipliant )t(v ''

1 par

)t(v'1 déphasé de π/2.

)tcos(V"1 ϕ+ω

)tcos(V'1 ω

filtre passe-bas

)cos(VV21 "

1'1 ϕ

filtre passe-bas

)sin(VV21 "

1'1 ϕ

déphaseur de π/2

multiplieurs de constante k=1V-1

'1V

"1V

ϕ

ϕcosV"1

ϕsinV"1

vecteurs tournant à la fréquence f

"1V

33

Pour obtenir les parties réelle et imaginaire du paramètre 11S il faut mesurer l’amplitude

'1V et ensuite diviser les deux signaux )cos(VV

21 "

1'1 ϕ et )sin(VV

21 "

1'1 ϕ par

2

V2'

1.

Le module de 11S est obtenu en calculant :

2

'1

"1

2

'1

"1

)sin(V

V)cos(

V

V

ϕ+

ϕ soit

''1

'1

2

'1

"1

2

'1

"1

V

V

V

V

V

V=

+

. La phase de 11S est obtenue en calculant :

( ) ϕ=ϕ=

ϕ

ϕ

)(tgatan

)cos(V

V

)sin(V

V

atan

'1

"1

'1

"1

.

NB : Certain appareils ne mesurent que le module de 11S , ce sont des analyseurs de

réseaux scalaires.

III-1- L’analyseur de réseaux vectoriel HP8753D C’est un analyseur 2 Ports qui permet de mesurer les 4 paramètres S d’un quadripôle sans

avoir à retourner le quadripôle. La puissance de la source est ajustable dans une large gamme, c’est important pour faire des mesures petits signaux. Comme dans le cas des analyseurs de spectre, la vitesse de balayage en fréquence est d'autant plus lente que la bande passante du filtre FI est étroite. Plus la bande passante du filtre FI est faible, plus faible est le bruit. Les principales caractéristiques sont rassemblées dans le tableau 3.

Description Spécification

Fréquence Résolution

30kHz – 6GHz 1Hz

Puissance de sortie -85dBm à 10dBm Bande passante FI 10Hz – 3kHz Niveau de bruit -102dBm pour 10Hz de bande entre

30kHz et 3GHz -82dBm pour 3kHz de bande entre 30kHz et 3GHz NB : valeur limite dBm163fkT −→∆ pour 10Hz

Impédance d’entrée des Ports Ω50 Return loss dB10≥ de 30kHz à 50kHz

dB20≥ de 50kHz à 300kHz dB18≥ de 300kHz à 1,3GHz dB16≥ de 1,3GHz à 3GHz dB14≥ de 3GHz à 6GHz

Tableau 3 : Principales caractéristiques de l’analyseur HP8753D

34

Le traitement numérique des données permet d'inclure les opérations suivantes : - AVERAGING (permet de faire la moyenne de plusieurs enregistrements) - SMOOTHING (permet de lisser les points de mesure d’un enregistrement, c’est un

filtre numérique). On peut cumuler AVERAGING et SMOOTHING - CORRECTION (permet la correction des erreurs dues aux câbles reliant le DUT à

l’appareil) - PORT EXTENSION (permet de raccourcir ou allonger virtuellement la longueur

des câbles ) - etc ...

III-2- Correction des erreurs Pour accéder aux paramètres S d’un quadripôle Q, il faut le relier par des câbles à

l’analyseur de réseaux comme le montre la figure 28. Les paramètres S mesurés ne sont donc pas les paramètres S du quadripôle mais ceux de l’ensemble quadripôle Q + câbles + connecteurs éventuels. Les câbles et connecteurs introduisent des pertes et des déphasages.

Pour rappel, un câble de longueur L introduit un déphasage de VLf.2π=φ où V est la vitesse

de propagation, si cm50L = , GHz1f = et 18 ms10.2V −= on obtient : rd 5π=φ .

Figure 28 : Les câbles perturbent la mesure des paramètres S du quadripôle Q

Pour obtenir les paramètres S du quadripôle Q il faut procéder à une correction des

erreurs, c'est-à-dire caractériser dans un premier temps les câbles de mesure et procéder dans un deuxième temps à un calcul permettant de s’affranchir des câbles.

La procédure de calibration est analogue à celle que l'on pourrait faire par exemple pour la mesure d’une faible résistance en continue, en effet pour une mesure précise il faut soustraire la résistance des fils de mesure, ceci dit pour une mesure de résistance il est préférable d’utiliser une mesure 4 fils qui dispense de la mesure des fils.

Pour effectuer la correction des erreurs sur la mesure du paramètre 11S (ou 22S ), il faut

procéder à trois mesures préliminaires sur des charges de référence : court-circuit, circuit ouvert et charge Ω50 comme le montre la figure 29. Le détail des calculs à effectuer pour obtenir le paramètre 11S (ou 22S ) est donné à l’annexe 5.

analyseur de réseaux

Q

câbles

Port 1 Port 2

35

Pour effectuer la correction des erreurs sur la mesure du paramètre 21S (ou 12S ), il faut procéder à une mesure préliminaire comme le montre la figure 30. Le détail des calculs à effectuer pour obtenir le paramètre 21S (ou 12S ) est donné à l’annexe 6.

Figure 29 : (a) Calibration pour la mesure du paramètre S11, (b) mesure du paramètre S11 du quadripôle Q

Figure 30 : (a) Calibration pour la mesure du paramètre S21, (b) mesure du paramètre S21 du quadripôle Q

Dans de nombreuses situations, l'entrée (IN) et la sortie (OUT) du quadripôle Q ne sont pas accessibles, c’est le cas par exemple d’un quadripôle Q monté sur un circuit imprimé comme le montre la figure31. Dans ce cas, il est difficile de prendre en compte les deux pistes dans la correction des erreurs, tout simplement parce qu’on ne peut pas connecter les charges étalons au niveau de l’entrée IN du quadripôle. Pour remédier à cet inconvénient, certains analyseurs de réseaux proposent une correction appelée Port Extension, la longueur des câbles est allongée (ou raccourcie) mathématiquement. En effet, si la longueur des pistes est faible, les pertes sont négligeables et les pistes introduisent seulement un déphasage qu’il est possible de prendre en compte par un calcul matriciel (voir annexe 6).

Analyseur de réseaux Analyseur de réseaux

Q (a) (b)

Port 1 Port2 Port1 Port2

CC CO 50Ω

Analyseur de réseaux Analyseur de réseaux

Q

(a) (b)

Port 1 Port 1

36

Figure 31 : L’entrée IN et la sortie OUT du quadripôle Q sont inaccessibles, la fonction Port Extension permet dans ce cas d’effectuer une correction mathématique des erreurs pourvu que la vitesse des ondes dans les pistes soit connue.

IV- Paramètres S et amplification de puissance

On s’intéresse dans un premier temps au cas des quadripôles unilatéralisés ( 0S12 = ). On rappelle qu’un quadripôle unilatéralisé est toujours stable. On exprime le gain en puissance

PG en fonction des paramètres S. Dans un deuxième temps, on traite le cas des quadripôles réels ( 0S12 ≠ ), on étudie le gain en puissance et la stabilité.

IV-1- Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé Le quadripôle est attaqué par une source d’impédance sZ et il est chargé par une

impédance lZ comme le montre la figure 32.

Figure 32 : Le quadripôle Q est attaqué par une source d’impédance sZ et il est chargé par une impédance lZ

On appelle gain en puissance PG , le rapport suivant :

source la de disponible Puissance

Z charge la dans PuissancePP

Gs

Pll ==

Quadripôle Q Paramètres S

sZ lZ

1Γ 2Γ

Q

plaquette circuit imprimé

pistes cuivre

IN OUT

connecteur connecteur

câble câble

plans de référence

37

La puissance disponible sP d’une source est la puissance maximale qu’elle peut fournir.

Une source d’impédance sZ et de valeur crête E peut fournir une puissance )Z(8

EPs

2s ℜ

= où

)Z( sℜ désigne la partie réelle sZ . Le détail du calcul du gain en puissance PG est donné à l’annexe 7, on obtient :

2222

2111

22

212

21PS1S1

11SG

Γ−Γ−

Γ−

Γ−

= (22)

avec cs

cs1 ZZ

ZZ+−

=Γ et c

c2 ZZ

ZZ+−

=Γl

l . 1Γ et 2Γ sont respectivement les coefficients de

réflexion de la source et de la charge. On vérifie que dans le cas où cS ZZZ == l , soit

021 =Γ=Γ , le gain en puissance PG est égal 221S (figure 33).

Pour la suite de l’exposé, il est intéressant d’écrire le gain PG de l’équation (22) comme étant le produit de trois gains :

2222

222

212111

21

PS1

1 S

S1

1G

Γ−

Γ−

Γ−

Γ−

= (23)

Le premier terme S1

1

2111

21

Γ−

Γ−

représente le gain apporté par le circuit d’adaptation à l’entrée.

Le deuxième terme 221S est le gain de transfert du quadripôle, c’est le gain obtenu quand

le quadripôle est attaqué par une source d’impédance cs ZZ = , soit encore 01 =Γ , et qu’il est

chargé par cZZ =l , soit 02 =Γ . Le troisième terme 2222

22

S1

1

Γ−

Γ−

représente le gain apporté

par le circuit d’adaptation en sortie.

Figure 33 : Dans le cas particulier où cs ZZZ == l , le gain en

puissance PG est égal à 221S .

Quadripôle Q unilatéralisé Paramètres S

cZ cZ 2

21SGP =

38

Pour obtenir le gain maximum maxPG , il faut adapter les impédances en entrée et en sortie. A l’entrée, il faut que l’impédance d’entrée eZ du quadripôle Q soit égale au complexe

conjugué de sZ , *se ZZ = , ce qui revient à écrire que *

111S Γ= . En effet : cs

cs1 ZZ

ZZ+−

=Γ

d’où 1

1s 1

1ZΓ−Γ+

= et *1

*1*

s1

1Z

Γ−

Γ+= , de la même manière

ce

ce11 ZZ

ZZS

+−

= d’où 11

11e S1

S1Z−+

= , on

conclut que *se ZZ = conduit à *

111S Γ= . En sortie il faut, de la même manière, satisfaire

l’égalité *222S Γ= .

Pour obtenir le gain maximum maxPG , on remplace dans l’équation (23) 1Γ par *11S et

2Γ par *22S , on obtient :

22*22

2*22

22122*

11

2*11

222

*22

2*22

2212

11*11

2*11

maxP

S1

S1S

S1

S1

SS1

S1S

SS1

S1G

−

−

−

−

=−

−

−

−

=

soit :

−

−

=2

22

2212

11maxP

S1

1SS1

1G (24)

IV-2- Adaptation d’impédance : cas d’un quadripôle unilatéralisé En pratique, le coefficient de réflexion 1Γ de la source et 2Γ de la charge ne vérifient pas

les égalités *111 S=Γ et *

222 S=Γ . En conséquence, pour obtenir le gain maximum maxPG il faut adapter en entrée et en sortie. Le schéma de la figure 34-a montre le cas d’une source et d’une charge de même impédance cZ réelle égale à l’impédance de référence ayant servie à la mesure des paramètres S du quadripôle.

Dans le cas où 0S12 = , les adaptations en entrée et en sortie se calculent indépendamment l’une de l’autre puisqu’il n’y a pas de couplage de la sortie vers l’entrée.

Le circuit d’adaptation d’entrée doit avoir une impédance d’entrée égale à cZ et une impédance de sortie égale au complexe conjuguée de l’impédance d’entrée du quadripôle. En terme de coefficient de réflexion, il faut donc que le coefficient de réflexion d’entrée soit nul et celui de sortie égal à *

11S . Le circuit d’adaptation de sortie doit avoir une impédance de sortie égale à cZ et une

impédance d’entrée telle que le coefficient de réflexion soit égale *22S .

Si le quadripôle est distant de la source et de la charge, ce qui est généralement le cas au moins pour la charge, on peut alors intercaler des câbles d’impédance caractéristique cZ sans modifier le gain en puissance, à condition que les câbles soient sans perte. En pratique les câbles présentent toujours un peu de perte, en conséquence le gain est un peu faible.

39

Figure 34 : Pour obtenir le gain maximum maxPG , il faut adapter en entrée et en sortie.

IV-3- Exemple de quadripôle unilatéralisé Reprenons le transistor MRF1047T1 et créons un fichier de paramètres S avec 0S12 = ,

tableau 4. ! Paramètres S du MRF1047T1 V1VCE = , mA1IC = # MHz S11 S21 S12 S22 100 0.973 -10 3.49 171 0.0 84 0.987 -6 300 0.938 -30 3.35 154 0.0 72 0.952 -17 500 0.875 -48 3.03 137 0.0 60 0.877 -25 700 0.770 -64 2.75 124 0.0 51 0.812 -33 900 0.685 -79 2.51 112 0.0 45 0.745 -39 1000 0.649 -85 2.40 107 0.0 42 0.717 -42 1300 0.555 -105 2.09 92 0.0 36 0.639 -48 1500 0.509 -117 1.92 84 0.0 33 0.601 -53 1800 0.454 -136 1.72 72 0.0 30 0.553 -58 2000 0.434 -148 1.59 66 0.0 30 0.531 -62 2500 0.417 -175 1.38 50 0.0 32 0.477 -73 3000 0.403 164 1.23 39 0.0 37 0.457 -83 3500 0.416 142 1.10 28 0.0 41 0.454 -93 4000 0.442 125 1.00 20 0.0 43 0.448 -105 4500 0.454 109 0.95 12 0.0 41 0.433 -118 5000 0.478 96 0.89 6 0.0 37 0.437 -133

Tableau 4 : Fichier de paramètres S du transistor MRF1047T1 unilatéralisé

Quadripôle Q Paramètres S

cZ

*11S *

22S 0 0

cZ cZ *11

*11

S1

S1

−

+ *22

*22

S1

S1

−

+

coefficient de réflexion impédance

cZ circuit d’adaptation

d’entrée

circuit d’adaptation

de sortie

cZ

circuit d’adaptation

d’entrée

circuit d’adaptation

de sortie

Quadripôle Q Paramètres S

cZ

câble d’impédance caractéristique Zc

40

Prenons, comme pour la figure 34, une impédance de source Ω== 50ZZ cs et une impédance de charge Ω== 50ZZ cl . On cherche à obtenir le gain maximum maxPG pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = et pour une fréquence GHz1f = .

D’après l’équation (23), le gain maximum est donc égal à :

5,20)717,01)(649,01(

14,2G 222

maxP ≈−−

=

La figure 35 montre le résultat de simulation avant adaptation, on retrouve bien 4,2S21 =

comme attendu et donc un gain en puissance égal à 76,54,2 2 = . La figure 36 montre la fenêtre où une adaptation en entrée et en sortie à Ω50 et à GHz1f = est demandée, les circuits d’adaptation sont de type passe-bas.

La figure 37 montre le résultat du calcul des circuits d’adaptation, le module du paramètre 21S de l’ensemble, quadripôle Q et circuits d’adaptation, est maintenant égal à 5,4 . En

conséquence le gain en puissance est égal 5,205,4 2 ≈ , c’est bien la valeur attendue. Des adaptations avec des circuits de type passe-bas peuvent modifier le point de fonctionnement statique du transistor, en effet il y a dans ce cas une liaison continue entre la Base du transistor et la source puis entre le Collecteur du transistor et la charge. Des adaptations avec des circuits de type passe-haut permettent d’éliminer ce problème. Une solution est donnée à la figure 38, l’adaptation d’entrée est encore de type passe-bas car le calcul avec un circuit passe-haut conduit à une valeur de capacité négative, ce qui n’est pas raisonnable, c’est la raison pour laquelle on a gardé un circuit de type passe-bas. Pour isoler en continue la source de la Base du transistor, il faut alors mettre un condensateur de liaison de forte valeur en série avec l’inductance, la capacité de ce condensateur doit vérifier l’inégalité

29x9x )1028,6(108,111C

−>> , soit pF1,2C >> . Avec pF20C = , on obtient 44,4S21 = soit

quasiment la même valeur qu’en l’absence de C, voir la figure 39. Il ne faut pas mettre une capacité de trop forte valeur, en effet au-delà de sa fréquence de résonance, un condensateur se comporte comme une inductance.

41

Figure 35 : Le paramètre 21S est égal à 4,2 à la fréquence de GHz1

Figure 36 : Adaptation par deux réseaux de type passe-bas à la fréquence de GHz1

42

Figure 37 : Le nouveau paramètre 21S est égal à 5,4 à la fréquence de GHz1

Figure 38 : Autre solution possible avec un filtre passe haut en sortie

43

Figure 39 : Le condensateur de liaison pF20C = ne modifie pas la valeur de

21S et permet d’isoler, en continu, la source de la Base du transistor

IV-4- Gain en puissance d’un quadripôle réel En pratique le paramètre 12S est différent de zéro, ceci a plusieurs conséquences :

- Les circuits d’adaptation d’entrée et de sortie ne peuvent plus être calculés indépendamment l’un de l’autre à cause du couplage de la sortie vers l’entrée

- Le quadripôle peut devenir instable, en effet la réaction de la sortie vers l’entrée peut transformer un amplificateur en oscillateur

Un calcul similaire à celui de l’annexe 7 conduit à l’expression du gain suivant :

2211221222111

22

212

21PSS)S1)(S1(

11SG

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−

Γ−

= (25)

On vérifie que si 0S12 = , le gain est bien égal à celui de l’équation (22). Le gain

maximum nécessite, comme précédemment des circuits d’adaptation en entrée et en sortie. En écrivant que les coefficients de réflexion doivent être complexes conjugués, on obtient maintenant un ensemble de deux équations couplées, on ne peut plus calculer les adaptations d’entrée et de sortie séparément.

44

−Γ

+=Γ

−Γ

+=Γ

⇒

=Γ

=Γ

111

211222

*2

222

211211

*1

22*2

11*1

S1SS

S

S1SSS

S

S (26)

quadripôle unilatéralisé quadripôle réel

La stabilité d’un système peut être étudiée par le critère de Nyquist si le gain complexe du système est connu, voir par exemple le cours d’automatique et le cours sur les oscillateurs en électronique. Dans le cas des paramètres S, un quadripôle est stable si le module des coefficients de réflexion, eΓ et sΓ , reste inférieur à l’unité comme le montre la figure 40.

Figure 40 : Le quadripôle est stable si 1e <Γ et 1s <Γ En effet, un module de coefficient de réflexion supérieur à l’unité signifie que l’onde

réfléchie est supérieure à l’onde incidente, ceci ne peut être obtenu que si le quadripôle oscille et est donc instable. Quand 0S12 ≠ , eΓ ( sΓ ) dépend des paramètres S du quadripôle mais aussi de la charge lZ ( sZ ).

La résolution des équations (26) peut ne pas avoir de solution assurant 1e <Γ et 1s <Γ . On dit dans ce cas que l’adaptation simultanée est impossible. L’adaptation simultanée est impossible si le facteur de Rolett K est inférieur à l’unité. Le facteur de Rolett est égal à :

2112

222

211

2

SS2SS1

K−−∆+

= avec 21122211 SSSS −=∆ (27)

Si le facteur K est supérieur à l’unité, l’adaptation simultanée est possible. Le maximum de

gain disponible (MAG pour Maximum Available Gain) est donné par :

−±= 1KK

SS

G 2

12

21maxP (28)

signe + ; si 0SS1 22

222

11 <∆−−+

signe - ; si 0SS1 2222

211 >∆−−+

Quadripôle Q Paramètres S lZ

eΓ sΓ

sZ

45

Lorsque 1K < , il faut utiliser ce qu’on appelle les cercles de stabilité pour calculer l’impédance de source sZ et l’impédance de charge lZ qui assurent la stabilité. Nous traitons un cas ci-dessous avec comme exemple le transistor MRF1047T1.

Si le facteur K est inférieur à l’unité, le maximum de gain en puissance assurant encore la stabilité (MSG pour Maximum Stable Gain), avec 1e <Γ et 1s <Γ , est donné par :

12

21MSG S

SG = (29)

IV-5- Exemple de quadripôle réel

a) adaptation simultanée, K>1 Dans le tableau 5, on a reporté le coefficient de Rolett K pour le point de fonctionnement

V1VCE = , mA1IC = et GHz5fGHz1 << du transistor MRF1047T1. Les valeurs sont issues de la datasheet de l’annexe 2.

L’adaptation simultanée à la fréquence de GHz5,3 par exemple, avec 12,1K = , est possible comme le montre le résultat de simulation de la figure 41. D’après la simulation, le module de 21S est égal à 6,1 d’où un gain en puissance .56,26,1G 2

maxP == Cette valeur est en bon accord avec la valeur calculée, en effet la quantité

95,0SS1 2222

211 =

∆−−+ , d’où 6,21KK

SSG 2

12

21maxP =

−−= .

Fréquence Facteur K

1,0 GHz 0,49 ….. …..

1,8 GHz 0,85 2,0GHz 0,92 2,5 GHz 1,09 3,0 GHz 1,14 3,5 GHz 1,12 4,0 GHz 1,05 4,5 GHz 0,99 5,0 GHz 0,95

Tableau 5 : Facteur de Rolett K en fonction de la fréquence pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC =

46

Figure 41 : L’adaptation simultanée à la fréquence de GHz5,3 est possible car 12,1K = , le paramètre 6,1S21 =

b) adaptation simultanée impossible, K<1, cercles de stabilité

Une adaptation simultanée à la fréquence de GHz1 est par exemple impossible car, d’après le tableau 5, le facteur de Rolett est inférieur à l’unité, .49,0K = Pour cette fréquence particulière et le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = , le constructeur donne les cercles de stabilité, voir la figure 16 de l’annexe 2. Il faut distinguer les cercles de stabilité en entrée et en sortie.

Le cercle de stabilité en sortie renseigne sur les valeurs de lZ , ou plutôt de

c

c2 ZZ

ZZ+−

=Γl

l , qui conduisent à un module de eΓ supérieur à l’unité, c'est-à-dire à un

quadripôle instable, voir la figure 42 pour la définition de eΓ et 2Γ .

Figure 42 : Le cercle de stabilité en sortie renseigne sur les valeurs de 2Γ qui conduisent à 1e >Γ

Quadripôle Q Paramètres S

sZ lZ

eΓ 2Γ

47

La figure 43 montre le cercle de stabilité en sortie du transistor MRF1047T1 à GHz1 et pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = . Une charge lZ avec un cœfficient de réflexion 2Γ dans la zone hachurée de la figure 43 donne 1e >Γ , c'est-à-dire un quadripôle instable.

Figure 43 : Cercle de stabilité en sortie à GHz1 pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = du transistor MRF1047T1

Pour le vérifier, prenons Ω+= )50j15(Zl , soit °∠=Γ 2,8774,02 , c’est le point A de la

figure 43. Le résultat de simulation est donné à la figure 44, on obtient un coefficient de réflexion °−∠=Γ 18,8809,1e , le quadripôle est donc instable car 1e >Γ .

Une charge Ω+= )50j50(Zl , soit °∠=Γ 4,634,02 , point B de la figure 43 donne 84,0e =Γ , le quadripôle est donc stable car 1e <Γ , voir la figure 45.

A

B C

48

Figure 44 : Une charge Ω+= )50j15(Zl soit °∠=Γ 2,8774,02 , conduit à une valeur 09,1e =Γ : le quadripôle est instable

Figure 45 : Une charge Ω+= )50j50(Zl soit °∠=Γ 4,634,02 , conduit à une valeur 84,0e =Γ : le quadripôle est stable

49

Le cercle de stabilité en entrée renseigne sur les valeurs de sZ , ou plutôt de

cs

cs1 ZZ

ZZ+−

=Γ , qui conduisent à un module de sΓ supérieur à l’unité, c'est-à-dire à un

quadripôle instable, voir la figure 46 pour la définition de sΓ et 1Γ .

Figure 46 : Le cercle de stabilité en entrée renseigne sur les valeurs de 1Γ qui conduisent à 1s >Γ

La figure 47 montre le cercle de stabilité en entrée du transistor MRF1047T1 à GHz1 et

pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = . Une impédance de source sZ avec un cœfficient de réflexion 1Γ dans la zone hachurée de la figure 47 donne 1s >Γ , c'est-à-dire un quadripôle instable.

Figure 47 : Cercle de stabilité en entrée à GHz1 pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = du transistor MRF1047T1

Quadripôle Q Paramètres S

sZ lZ

1Γ sΓ

D

50

Une impédance de source nulle Ω+= )0j0(Zs , soit 11 −=Γ , point D de la figure 47 donne 1e =Γ , le quadripôle est donc instable, voir la figure 48.

Figure 48 : Une impédance de source Ω+= )0j0(Zs soit 11 −=Γ , conduit à une valeur 1s =Γ : le quadripôle est instable

Les cercles de stabilité renseignent donc sur les valeurs possibles de sZ et lZ ou 1Γ et

2Γ . Bien souvent, les constructeurs donnent les valeurs de 1Γ qui conduisent au gain d’entrée

te2

111

21

C S1

1=

Γ−

Γ−

(voir équation 23), on peut montrer qu’il s’agit de cercles. Dans le cas du

transistor MRF1047T1, le constructeur donne les valeurs de 1Γ qui conduisent au gain

unilatéralisé te2

22

2212

111

21

*22S2

2222

222

212111

21

C)S1(

1 S S1

1

S1

1 S

S1

1=

−Γ−

Γ−

=Γ−

Γ−

Γ−

Γ−

=Γ

.

2Γ est tel que le gain de sortie 2222

22

S1

1

Γ−

Γ−

est maximum, il faut donc *222 S=Γ , soit pour le

point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = et la fréquence GHz1f = , °−∠= 42717,0S22 d’où °∠=Γ 42717,02 . A °∠=Γ 42717,02 , correspond une charge

Ω+=Γ−Γ+

= )90,106j4,54(1150Z

2

2l soit une résistance de Ω4,54 en série avec une

51

inductance nH02,17 à la fréquence de GHz1 . Si la charge utile est une résistance de Ω50 , il faut adapter comme le montre la figure 49, il faut s’assurer que 1e <Γ . Pour calculer le réseau d’adaptation en sortie, il suffit de demander à l’outil de simulation de calculer seulement l’adaptation en sortie et de vérifier que 1e <Γ , c’est ce que montre les figures 50

et 51. La résistance de Ω50 en l’entrée fait que 0V'1 = , en conséquence coté sortie

'222

'222

'121

''2 VSVSVSV =+=

Figure 49 : Pour obtenir le gain de sortie 2222

22

S1

1

Γ−

Γ−

maximum , il faut adapter la

sortie, c'est-à-dire faire *222 S=Γ et s’assurer de la stabilité en entrée.

Figure 50 : Adaptation de type passe-bas à la fréquence de GHz1 en sortie seulement

Quadripôle Q Paramètres S

°∠==Γ 42717,0S*222

Ω50réseau

d’adaptation

eΓ

Ω50

22S

''2V

'2V 0V'

1 =

Ω50

52

Figure 51 : Le gain maximum en sortie conduit à 96,0e =Γ , la stabilité est assurée mais c’est à la limite de l’instabilité.

La stabilité est assurée, mais c’est limite, en effet °∠=Γ 42717,02 est à la limite de la

zone hachurée de la figure 43 (point C). On remarquera que le réseau d’adaptation en sortie est identique à celui de la figure 37, ce dernier a été obtenu pour 0S12 = ce qui conduisait

encore à *222 S=Γ .

Pour obtenir le gain d’entrée S1

1

2111

21

Γ−

Γ−

maximum, il faut *111 S=Γ , soit pour le point de

fonctionnement V1VCE = , mA1IC = et la fréquence GHz1f = , °−∠= 85649,0S11 d’où °∠=Γ 85649,01 . A °∠=Γ 85649,01 , correspond une impédance de source

Ω+=Γ−Γ+

= )42.49j14,22(1150Z

1

1s soit une résistance de Ω14,22 en série avec une

inductance nH86,7 à la fréquence de GHz1 . Si l’impédance de source est une résistance de Ω50 , il faut adapter comme le montre la figure 52, il faut s’assurer que 1s <Γ . Pour calculer

le réseau d’adaptation en entrée, il suffit de demander à l’outil de simulation de calculer seulement l’adaptation en entrée et de vérifier que 1s <Γ , c’est ce que montre les figures 53

et 54. La résistance de Ω50 en sortie fait que 0V'2 = , en conséquence coté entrée

'111

'212

'111

''1 VSVSVSV =+=

53

Figure 52 : Pour obtenir le gain d’entrée 2111

21

S1

1

Γ−

Γ−

maximum, il faut adapter

l’entrée, c'est-à-dire faire *111 S=Γ et s’assurer de la stabilité en sortie.

Figure 53 : Adaptation de type passe-bas à la fréquence de GHz1 en entrée seulement

Quadripôle Q Paramètres S

°∠==Γ 85649,0S*111 sΓ

réseau d’adaptation Ω50 Ω50

11S (car )

0V'2 =

0V'2 =

54

Figure 54 : Le gain maximum en entrée conduit à 9,0s =Γ , la stabilité est assurée

Avec les deux réseaux d’adaptation calculés ci-dessus, on obtient 86,3S21 = à la

fréquence de GHz1 pour l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, voir la figure 55. Le

gain en puissance est donc égal à 8,1486,3S 2221 == soit dB7,11 . Le gain en puissance

obtenu est inférieur à celui que nous avions obtenu ( 5,20 soit dB1,13 ) avec les mêmes réseaux d’adaptation mais avec 0S12 = . Quand le facteur de Rolett K est inférieur à l’unité,

le gain théorique maximum assurant la stabilité est égal 12

21MSG S

SG = , (équation 29).

D’après les valeurs de 21S et 12S à GHz1 données à l’annexe 2, on obtient :

25,13181,0

4,2GMSG == . La simulation donne une valeur (14,8) légèrement supérieure à la

théorie. L’exemple traité ici est proche de la limite de l’instabilité, en effet les modules de 11S et 22S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation sont proches de l’unité, on

obtient respectivement 95,0S11 = et 86,0S22 = à GHz1 , voir les figures 56 et 57.

55

Figure 55 : Calcul du paramètre 21S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, 86,3S21 =

Figure 56 : Calcul du paramètre 11S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, 95,0S11 =

56

Figure 57 : Calcul du paramètre 22S de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, 86,0S22 =

c) adaptation en bruit

L’adaptation d’impédance pour obtenir le gain en puissance maximum ne conduit pas au minimum de facteur de bruit NF (Noise Figure). S’agissant par exemple du transistor MRF1047T1, le constructeur donne les valeurs de 1Γ donnant un facteur de bruit constant, il s’agit de cercles. Le facteur de bruit NF d’un quadripôle quantifie la quantité de bruit apportée par le quadripôle. Le bruit en sortie d’un quadripôle est égal au bruit de l’entrée amplifié par le gain du quadripôle plus le bruit généré par le quadripôle. Le facteur de bruit NF est défini par (voir annexe 8) :

quadripôle du sortie

quadripôle du entrée10

BS

BS

log10)dB en(NF

= (30)

Le rapport

BS désigne le rapport Signal/Bruit. Le facteur de bruit dB0NF = si le

quadripôle n’apporte pas de bruit. Il existe une valeur optimum 0Γ de 1Γ qui conduit au minimum de NF. Pour le transistor MRF1047T1, °∠=Γ 3,5157,00 pour le point de fonctionnement V1VCE = , mA1IC = à la fréquence GHz1 , dans ce cas dB16,1NF = . Il faut donc calculer le réseau d’adaptation de la figure 58 tel que °∠=Γ 3,5157,00 .

57

Figure 58 : Le coefficient de réflexion °∠=Γ 3,5157,00 conduit au minimum de facteur de bruit NF

On peut utiliser l’outil de simulation pour obtenir le réseau d’adaptation. La procédure de calcul est la suivante : 1) on écrit le complexe conjugué de 0Γ , soit °−∠=Γ 3,5157,0*

0 , 2) on

calcule l’impédance correspondante Ω−=Γ−

Γ+)66,72j31,55(

1

150 *

0

*0 , c’est une résistance de

Ω31,55 en série avec un condensateur égal à pF19,266,72102

1x9 =

π, 3) on utilise finalement

l’outil de simulation pour le calcul du réseau d’adaptation comme le montre la figure59. Le réseau de type passe bas est constitué d’une inductance de nH3,11 et d’un condensateur de

fF78,111

Figure 59 : Calcul du réseau d’adaptation pour obtenir le minimum de facteur de bruit NF

Quadripôle Q Paramètres S

°∠=Γ 3,5157,00

Ω50

réseau d’adaptation minimum de

bruit

58

Le paramètre 21S de l’ensemble quadripôle + réseau d’adaptation en entrée donnant le minimum de facteur de bruit + réseau d’adaptation en sortie donnant le maximum de gain de sortie est égal à 8,2 comme le montre le résultat de simulation de la figure 60. On obtient un

gain en puissance égal à 84,78,2 2 = soit dB9,8 . Le montage est un peu plus stable que le précédent coté sortie, en effet 97,0S11 = et 5,0S22 = . D’après la figure 16 de l’annexe 2, on devrait obtenir un gain compris entre 10 et dB11 avec 0S12 = . C’est donc normal qu’on trouve un gain un peu plus faible compte tenu du fait que 0S12 ≠ .

Figure 60 : Calcul du paramètre 21S de l’ensemble quadripôle + réseau d’adaptation en entrée donnant le minimum de facteur de bruit + réseau d’adaptation en sortie donnant le maximum de gain de sortie, 8.2S21 =

V- ADAPTATION D’IMPEDANCE V-1- Puissance déposée dans une charge : condition d’adaptation Un câble sert à amener de la puissance au niveau de la charge lZ , le but recherché est

évidemment de déposer le maximum de puissance dans la charge. Avant d’étudier le cas d’une source alimentant une charge via un câble, étudions quelques

cas simples.

a – Une source de valeur crête E et de résistance de source sR alimentant une charge réelle lR , figure 61.

59

Figure 61 : Une source de valeur crête E et de résistance de source sR alimente une charge lR

La puissance déposée dans la charge s’écrit : ll

l

R1

RRR)2/E(

P2

s

+= . La puissance sera

maximale quand la dérivée 0dRdP

=l

, ce qui donne la condition, après calcul de la dérivée,

sRR =l . Quand sRR =l , la tension efficace aux bornes de la charge est égale à

2/)2/E( et la puissance maximale maxP déposée dans la charge est égale à s

2max R8

EP =

b – Une source de valeur crête E et d’impédance de source sss jXRZ += complexe

alimentant une impédance complexe lll jXRZ += , figure 62.

Figure 62 : Une source de valeur crête E et d’impédance de source sZ alimente une charge

lZ

Soient )t(v la tension aux bornes de la charge et )t(i le courant la traversant, la puissance

P déposée dans la charge s’écrit : ∫=T

0dt)t(i)t(v

T1P . Prenons la source comme référence des

phases, il s’ensuit que )t(v et )t(i s’écrivent : )tcos(V)t(v φ+ω= et )tcos(I)t(i α+ω= .

source

E

sZ

lZ )t(v

)t(i

source

E

sR

lR

60

Après calcul de l’intégrale, on obtient : ).cos(2I

2Vdt)t(i)t(v

T1P

T

0α−φ== ∫ Déterminons

V, I, φ et α en utilisant les complexes, c’est beaucoup plus rapide. Pour cela, associons à la

source une tension complexe tjEeE ω= dont la partie réelle )tcos(E ω est égale à la tension réelle de la source. La tension et le courant complexes s’écrivent respectivement :

s

tjjZZ

ZEeVeV

+== ωφ

l

l et

s

tjjZZ

EeIeI+

== ωα

l. Montrons tout d’abord que la

puissance P peut s’écrire ( )*IV21P ℜ= où ℜ désigne la partie réelle et *I le complexe

conjugué de I :

( ) ( ) ( )( ) ( )α−φ=ℜ=ℜ=ℜ= α−φω−α−ωφ cos2I

2VeVI

21eIeeVe

21IV

21P jtjjtjj* c.q.f.d.

Remplaçons dans l’expression de la puissance ( )*IV21P ℜ= , V et I par leur expression :

( ) ( ) ( ) 2*s

*

s

*R

21

ZZE

ZZZE

21IV

21P

s

2

ZZ

E

+=

++ℜ=ℜ=

l

l

ll

l

( ) ( )2

s2

s XXRR2

REP

+++=

ll

l 2

La puissance déposée dans la charge sera maximale quand le dénominateur sera minimal

ce qui implique dans un premier temps : 0)XX( s =+l soit : sXX −=l . Quand cette

dernière condition est vérifiée, la puissance P s’écrit : ( )2

sRR2

REP

+=

l

l 2, cette expression est

identique à celle obtenue précédemment avec deux résistances réelles lR et sR , et nous avions montré dans ce cas qu’il y avait un maximum de puissance maxP quand sRR =l . En conclusion, la puissance déposée dans la charge est maximale quand les impédances de source et de charge sont complexes conjugués :

*sZZ =l d’où : sRR =l et sXX −=l et

s

2max R8

EP = (31)

NB : On peut vérifier que dans le cas particulier où 0XX s ==l , on retrouve bien le résultat obtenu en V-1-a.

V-2- Circuit d’adaptation Quand l’impédance de charge lll jXRZ += n’est pas égale au complexe conjugué de la

source, il faut procéder à une adaptation. A cet effet on intercale, entre la source et la charge,

61

un circuit fait de capacité et d’inductance, appelé circuit d’adaptation (en anglais : Matching Network). Ce circuit, figure 63, ne comprend pas de résistance pour ne pas dissiper de puissance et il est tel que : 1) l’impédance à l’entrée du circuit d’adaptation est égale au complexe conjugué de sZ pour que la source transmette le maximum de puissance à l’ensemble circuit d’adaptation + charge et 2) que l’impédance en sortie du circuit d’adaptation est égale au complexe conjugué de lZ pour que la charge lZ reçoive le maximum de puissance de l’ensemble circuit d’adaptation + source.

Figure 63 : Circuit d’adaptation entre une source d’impédance sZ et une charge d’impédance lZ

Traitons un cas simple pour faire comprendre : celui où l’impédance de source ss RZ = et l’impédance de charge ll jXRZ s += . Dans ce cas particulier, l’adaptation est réalisée en insérant en série avec la charge une impédance ljX− comme le montre la figure 64. L’adaptation est réalisée à une fréquence particulière f, prenons le cas où la charge est

capacitive : une résistance Ω= 50Rs en série avec une capacité de pF10 soit ω

−=

C1Xl .

Une adaptation à la fréquence GHz1f = est obtenue en insérant une impédance

9,15 j102.10.10

1jjX 912 =

π

−−=−

−l , il s’agit donc d’une inductance L de valeur

nH5,210.29,15L 9 =

π= . On remarquera que le circuit L – C est résonant à la fréquence de

GHz1 , son impédance est donc nulle à cette fréquence

=ω 1LC

GHz12 et tout se passe

comme si la source de résistance sR était chargée par une résistance de charge égale à sR .

source

E

sZ

lZ circuit

d’adaptation

*sZ *Zl

62

Figure 64 : Une source de résistance Ω50 chargée par une impédance

Ω

ω−=

C1j50Zl est adaptée au moyen d’une inductance 2C

1Lω

=

NB : On pourra remarquer que le problème de l’adaptation est identique au relevé du

)cos(ϕ en électrotechnique. En électrotechnique, les charges sont généralement inductives, on relève donc le )cos(ϕ en ajoutant une capacité, en électronique les impédances d’entrée sont plutôt capacitives.

V-3-Adaptation d’une source à une charge via un câble En pratique la charge peut être distante de la source, elle est reliée à celle-ci via un câble

de longueur L comme le montre le schéma de la figure 65-a.

Figure 65 : La puissance dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure (a) est identique à celle dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure (b)

lZ

Ω50

10pF

source

E

Ω= 50Rs

GHz1f =

charge

circuit d’adaptation

nH5,2L =

source

E

Ω= 50Rs

GHz1f = charge lZ circuit d’adaptation

câble Ω= 50Zc

source

LjeE β−

Ω= 50Rs

GHz1f = circuit d’adaptation

(a)

(b)

L

charge lZ

63

Si on utilise un câble d’impédance caractéristique Ω= 50Zc , il faut disposer d’une source de résistance de Ω= 50Rs . Le circuit d’adaptation est placé entre la charge et l’extrémité du câble. En supposant un câble sans perte, la puissance dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure 65-a est identique à celle dissipée dans la charge lZ du circuit de la figure 65-b, en

effet le câble ne fait qu’introduire un déphasage de Lβ avec λπ

=β2 (voir exercice 6).

V-4-Exemple de calcul du réseau d’adaptation par le logiciel RFSIM99 Le calcul d’un réseau d’adaptation, à une fréquence donnée, se ramène à la résolution de

deux équations à deux inconnues. On dispose aujourd’hui de logiciel performant pour éviter les calculs. Pour bien interpréter les résultats il faut savoir lire l’abaque de Smith.

On traite ci-dessous le cas d’une charge lZ constituée d’une résistance de Ω30 en série avec un condensateur de pF10 . On cherche à réaliser l’adaptation à la fréquence de GHz1 avec une source de résistance Ω= 50Rs . On utilise le logiciel libre RFSIM99.

Figure 66 : Une source de Ω50 et une charge de Ω30 en série avec un condensateur de pF10 . Impédance réduite dans Smith pour

GHz5,1fMHz500 <<

64

Figure 67 : Utilisation de l’outil « automatch » pour le calcul de l’adaptation à la fréquence de 1GHz avec un circuit de type passe-bas

Figure 68 : Calcul de l’adaptation et tracé dans Smith de l’impédance réduite vue par la source pour GHz5,1fMHz500 <<

65

Le circuit d’adaptation est constitué d’une inductance nH43,6L = et d’une capacité pF6,2C = . A la fréquence de GHz1 , la source voit bien une impédance de Ω50 , puisque

l’impédance réduite est au centre de l’abaque de Smith .

V-5- Adaptation par tronçons de ligne A l’annexe 9 nous montrons qu’un tronçon de ligne de longueur l admet pour matrice

chaîne :

( ) ( )

( ) ( )

γγ

−

γ−γ=

1

1

c

c

2

2

I

V

lchZ

lsh

lshZlch

I

V (32)

avec β+α=γ j la constante de propagation. α (en 1m− ) est le coefficient d’atténuation et

λπ

=β2 (en 1rdm− ) est la constante de phase.

fv

=λ est la longueur d’onde et 0r0

1vµεε

=

est la vitesse de propagation, 0ε , 0µ et rε sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide et la permittivité de l’isolant.

Figure 69 : La matrice chaîne d’un tronçon de ligne relie les grandeurs 2V , 2I aux grandeurs 1V , 1I

Si le tronçon de ligne est supposé sans perte, la matrice (32) se ramène à :

λπ

λπ

−

λπ

−

λπ

=

1

1

c

c

2

2

I

V

l2cosZ

l2sinj

l2sinjZl2cos

I

V

(33)

Pour passer de la matrice (32) à la matrice (33), on utilise les relations entre fonctions

hyperboliques : ( ) ( )φ=φ cosjch et ( ) ( )xsinjjsh =φ .

1V 2V

1I 2I

x 1x 2x

66

Le tronçon de ligne de la figure 69 peut être considéré comme un quadripôle, il est symétrique, on peut donc lui associer un quadripôle en Π par exemple, on pourrait tout aussi bien lui associer un quadripôle en T. Le quadripôle de la figure 70 comporte donc trois impédances dont deux identiques compte tenu de la symétrie.

Figure 70 : Quadripôle en Π associé au tronçon de ligne de la figure 69

Les vecteurs

2

2IV

et

1

1IV

du quadripôle de la figure 70 sont reliés par la matrice

suivante :

+

+−

−+

=

1

1

2

2122

21

12

21

2

2

I

V

ZZZ

Z

Z2Z

ZZ

ZZ

I

V (34)

Des matrices (33) et (34), on tire par analogie :

λπ

=l2sinjZZ c1 et

λπ

−=lcotgjZZ c2 (35)

Figure 71 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte

Dans le cas où λ<<l , on peut faire les approximations suivantes :

1V 2V

1I 2I

λπ l 2sinjZc

λπ

−l cotgjZc

λπ

−l cotgjZc

1V 2V

1I 2I 1Z

2Z 2Z

67

L jv

l f2jZl 2jZl 2sinjZZ ccc1 ω=

π

=

λπ

≈

λπ

=

avec lv

ZL c= (36)

et

ω

=π

−=π

−=

λπ

−≈

λπ

−=

λπ

−=jC1

l f2v2jZ

l fvjZ

l 1jZ

l tg

1jZl cotgjZZ ccccc2

avec vZ2

lCc

= (37)

Figure 72 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte quand λ<<l

En se rappelant que l’impédance caractéristique c

Zcl

= et que la

vitessec

11v0r0 l

=µεε

= où l et c sont respectivement l’inductance (en 1Hm− ) et la

capacité (en 1Fm− ) linéique, on remarque que l’inductance L et la capacité C du schéma de la figure 72 s’écrivent respectivement :

H)(en l l ccl

c1cl

vZ

L c lll

l

l

==== et F)(en l 2c

cc12

l

c1

c2

lvZ2

lCc

====

l

l

Autrement dit l’inductance L est égale au produit de l’inductance linéique l par la

longueur l du tronçon et la capacité C est égale au produit de la capacité linéique c par la longueur l du tronçon à un facteur 2 près car il y a deux capacités C dans le schéma de la figure 72.

1V 2V

1I 2I l

vZ

L c=

vZ2lCc

=vZ2

lCc

=

68

Pour réaliser un circuit d’adaptation d’impédance, on a besoin d’inductance et de capacité, la question maintenant est donc : comment à partir du schéma de la figure 72 faire en sorte que ce soit l’inductance ou la capacité qui prédomine.

a- réalisation d’une inductance Pour réaliser une inductance avec un tronçon de ligne, il faut rendre négligeable les deux

capacités C du schéma de la figure 72. On voit qu’en choisissant une forte valeur d’impédance caractéristique cZ on a 0C → , en conséquence le schéma de la figure 72 se ramène à celui de la figure 73.

Figure 73 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte quand λ<<l et cZ grand

b- réalisation d’une capacité Pour réaliser une capacité avec un tronçon de ligne, il faut rendre négligeable l’inductance

L du schéma de la figure 72. On voit qu’en choisissant une faible valeur d’impédance caractéristique cZ on a 0L → , en conséquence le schéma de la figure 72 se ramène à celui de la figure 74.

Figure 74 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte quand λ<<l et cZ faible

c- exemple de réalisation en ligne microruban (microstrip) On reprend le cas traité précédemment en V-4 : une charge constituée d’une résistance de Ω30 en série avec un condensateur de 10pF. L’adaptation à une fréquence de GHz1 à une

1V 2V

1I 2I

vZ2lCc

=vZ2

lCc

= vZ

1Cc

eq =

1V 2V

1I 2I l

vZ

L c=

69

source de résistance Ω= 50Rs nécessite la réalisation d’une inductance nH432,6L = et d’une capacité pF599,2C = .

Pour réaliser l’inductance nH432,6L = , on opte pour une ligne microruban d’impédance caractéristique Ω= 45,120Zc . Le logiciel RFSIM99 permet de dimensionner la ligne comme le montre la figure 75. Avec un support isolant FR4 (verre époxy) d’épaisseur mm6,1 , une épaisseur de cuivre de m30µ , il faut une largeur de la piste égale à mm31,0 pour réaliser L.

Figure 75 : Une ligne d’impédance caractéristique

Ω= 45,120Zc a une largeur de piste égale à mm23,0 , la

vitesse de propagation 18x ms1071,1v −=

Pour réaliser l’inductance nH432,6L = , il faut donc une longueur de piste

mm29,945,120

10x74,110432,6ZLvl

8x9x

c===

−.

Pour réaliser la capacité pF599,2C = , on opte pour une ligne microruban d’impédance

caractéristique Ω= 10Zc . Le logiciel RFSIM99 permet encore de dimensionner la ligne comme le montre la figure 76. Avec un support isolant FR4 (verre époxy) d’épaisseur mm6,1 , une épaisseur de cuivre de m30µ , il faut une largeur de la piste égale à mm24 pour réaliser C.

Pour réaliser la capacité pF599,2C = , il faut donc une longueur de piste

mm79,310x46,11010599,2vCZl 8xx12xc === − . On constate que plus la largeur de piste est étroite plus l’impédance caractéristique est

grande.

La figure 77 permet de comparer l’adaptation avec des composants discrets et avec des lignes microruban. L’adaptation par lignes microruban conduit à une solution approchée compte tenu du fait que les tronçons de ligne ne sont pas rigoureusement identiques à une inductance et une capacité. On remarquera aussi que la capacité conduit à une grande largeur de piste. En pratique, on utilise des composants discrets pour les capacités.

70

Figure 76 : Une ligne d’impédance caractéristique

Ω= 10Zc a une largeur de piste égale à mm24 , la vitesse

de propagation 18x ms1046,1v −=

Figure 77 : Comparaison des adaptations par composants discrets et lignes microruban. L’adaptation par lignes microruban est approchée, le minimum du coefficient de réflexion est obtenu pour GHz015,1 et il vaut 3x105,8 − alors qu’avec les composants discrets le coefficient de réflexion est nul pour la fréquence de GHz1

71

On peut aussi réaliser les inductances par des spirales comme le montre la figure 78. Un exemple de réalisation est montré sur la figure 79.

Figure 78 : Réalisation d’une inductance par une spirale

Figure 79 : Faces inférieure et supérieure du circuit imprimé pour le CI SA620 (Low Voltage LNA and VCO). Les 4 inductances en spirale ont pour valeur .nH5,4