UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL

ESTADO DE PUEBLA

Cálculo diferencial

Aplicación de la parábola y límites en la vida cotidiana

Profesor: Jorge Manuel Morales Castro

Quinto semestre grupo “A”

Alumnos: Rebeca Guadalupe Álvarez Caloca, Erick Jonathan Pérez

Barbosa, Santiago Campos Zaldívar, Eduardo Domínguez Ojeda y

Carlos Gibrán Tejeda César

1 de diciembre de 2014

San Martin Texmelucan, Puebla.

2

Índice Introducción: ............................................................................................................ 3

Descripción del proyecto y características del mismo ............................................. 4

Cálculos del trabajo realizado ................................................................................. 9

Gráficas y esquemas que muestran claramente al proyecto realizado: ................ 13

Conclusión del trabajo realizado: .......................................................................... 14

Bibliografías ........................................................................................................... 16

3

Introducción:

¿Sabías qué?

La parábola fue un concepto el cual se

desarrolló hace mucho tiempo,

específicamente la antigua Grecia, cuando un

personaje llamado Apolonio de Perge,

Apolonio se hizo una pregunta, cuando estaba

estudiando un cono, se dio cuenta que al

realizarse un corte sobre el cono a cierta altura,

este daba origen a un nuevo lugar geométrico, lo llamó parábola.

La parábola es un lugar geométrico el cual está

presente en muchas de las estructuras modernas que

vemos a diario, y además es la base de las

telecomunicaciones hoy en día, pues gracias a esta

hoy tenemos un mejor entendimiento de cómo se

puede enviar información de manera inalámbrica y nos

permite comunicarnos más eficiente que hace 20 años.

Mientras tanto, el concepto de límite es

importante en análisis matemático; una

herramienta básica para definir la derivada

e integral definida, la existencia de número

real al definir por un sistema de intervalos

encajados, la potencia real de un real

positivo.

4

Descripción del proyecto y características del mismo

El proyecto se basa básicamente en la representación de una parábola mediante

el uso de dos herramientas: un arco y un proyectil (los dos hechos por nosotros) y,

de igual manera, el uso de los límites empleando espejos.

Pero para empezar, ¿qué es una parábola y que son los límites?

La parábola es una de las cuatro secciones cónicas, junto con la circunferencia,

elipse, e hipérbola. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que

se mueven de tal manera que la distancia a un punto fijo llamado foco equidista de

una recta fija llamada directriz.

Sus elementos son:

Vértice. Es el punto donde la

parábola corta a su eje focal.

Foco. Es un punto que se

encuentra situado sobre el eje

focal y la distancia que se

encuentra del vértice al foco, es

la misma que del vértice a la

Directriz.

Lado recto. La cuerda,

perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.

𝐿𝑅 = 𝑙 4𝑝 𝑙

Directriz. Línea recta donde la dist. (P, F)= dist.

Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.

Parámetro p. Distancia del foco al vértice

5

De acuerdo al signo del parámetro, se determina la concavidad de la parábola:

Horizontal Vertical

“p” es positivo

“p” es negativo

A partir de lo anterior podemos mencionar que existen dos tipos de parábolas, con

centro en el origen y centro fuera del origen.

Una parábola cuyo vértice está en el

origen y su eje coincide con el eje de las

ordenadas, tiene una ecuación de la

forma 𝑦2 = 4𝑝𝑥 (en su forma canoníca)

donde el parámetro p especifica la

escala de la parábola, incorrectamente

descrita como la forma de la parábola,

ya que como se dijo antes, todas las

parábolas tienen la misma forma.

Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es

negativo se abre «hacia abajo».

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P, 0). La

directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P, 0). A la distancia entre el

vértice y el foco se le llama “distancia focal”, de modo que en este caso la distancia

focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

6

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las

fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la

directriz.

Tipo Ecuación Foco Directriz

Vertical 𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝐹(0, 𝑝) 𝑦 = −𝑝

Horizontal 𝑦2 = 4𝑝𝑥 𝐹(𝑝, 0) 𝑥 = −𝑝

El límite de una función:

En las aplicaciones de la definición de

limite, se presenta usualmente casos como

el siguiente: se tiene una variable “𝑣” y una

función dada “𝑧” de “𝑣”, y supone que la

variable “𝑣” recibe valores tales que 𝑣 → 𝑙.

Tenemos que examinar entonces los

valores de la variable dependiente “𝑧” e

investigar, particularmente, si “𝑧” tiende

también a un límite. Si efectivamente existe

una constante a tal que 𝑙í𝑚 𝑧 = 𝑎, entonces

se expresa esta relación escribiendo

lim𝑣→𝑡

𝑧 = 𝑎

Y se leerá: “el límite de 𝑧, cuando 𝑣 tiende a 𝑙, es 𝑎.”

Teoremas sobre límites:

En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes.

Supongamos que 𝑢, 𝑣 y 𝑤 sean funciones de una variable 𝑥 y que

7

lim𝑥→𝑎

𝑢 = 𝐴 lim𝑥→𝑎

𝑣 = 𝐵 lim𝑥→𝑎

𝑤 = 𝐶

Entonces son ciertas las siguientes relaciones.

1. lim𝑥→𝑎

(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

2. lim𝑥→𝑎

(𝑢𝑣𝑤) = 𝐴𝐵𝐶

3. lim𝑥→𝑎

𝑢

𝑣=

𝐴

𝐵, 𝑠𝑖 𝐵 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜

En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un

cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente

de los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite de divisor no

sea cero.

Si “c” es una constante (independiente de “𝑥”) y “𝐵” no es cero, de lo anterior se

deduce:

4. lim𝑥→𝑎

(𝑢 + 𝑐) = 𝐴 + 𝑐, lim𝑥→𝑎

𝑐𝑢 = 𝑐𝐴 , lim𝑥→𝑎

𝑢

𝑣=

𝑐

𝐵

Consideramos un ejemplo:

1. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim𝑥→𝑎

(𝑥2 + 4𝑥) = 12

Demostración: La función dada es la suma de 𝑥2 𝑦 4𝑥. En primer lugar hallaremos

los límites de esta función.

Según (2). lim𝑥→∞

𝑥2 = 4 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 = 𝑥 ∗ 𝑥

Según (4). lim𝑥→∞

4𝑥 = 4, lim𝑥→∞

𝑥 = 8

8

Luego, según 1, el límite buscado es 4 + 8 = 12

Cuando el límite tiene a infinito:

Si el valor numérico de una variable “𝑣” llega a ser y permanecer mayor que

cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea.

Decimos que “𝑣” se vuelve infinita.

Si “𝑣” tomo sólo valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma

valores negativos, se hace infinita negativamente.

La notación que se emplea en los tres casos es:

lim 𝑣 = ∞, lim 𝑣 = +∞, lim 𝑣 = −∞

Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación.

La constante “𝑐” no es cero.

1. lim𝑥→0

𝑐

𝑣= ∞

𝑐

0= ∞

2. lim𝑥→∞

𝑐𝑣 = ∞ (𝑐)(∞) = ∞

3. lim𝑥→∞

𝑣

𝑐= ∞

∞

𝑐= ∞

4. lim𝑥→∞

𝑐

𝑣= 0

𝑐

∞= 0

Ciertos límites particulares son útiles para halar el límite del cociente de dos

polinomios cuando la variable se hace infinita. El siguiente ejemplo ilustrará el

método:

Ejemplo ilustrativo: lim𝑥→∞

2𝑥3−3𝑥2+4

5𝑥−𝑥2−7𝑥3 = −2

7

9

Demostración: Divídase el numerador y el denominador por 𝑥3, que es la mayor

potencia de “𝑥” que entra en la fracción. Entonces tenemos:

lim𝑥→∞

2𝑥3 − 3𝑥2 + 4

5𝑥 − 𝑥2 − 7𝑥3 = lim

𝑥→∞

2 −3𝑥 +

4𝑥3

5𝑥2 −

1𝑥 − 7

= − 2

7

El límite de cada término que contiene “𝑥” se sustituye por ∞ haciendo que se

convierta en 0, lo que nos da como resultado − 2

7

Cálculos del trabajo realizado

Problema 1.-

Se lanzó una flecha desde una

distancia considerable en

donde nuestra ecuación nos

quedó así: 𝑦2 = 8𝑥, calcular

su vértice, su foco y la recta

directriz.

Utilizamos las fórmulas para

los elementos de la parábola, comenzamos con el vértice, tenemos una ecuación

de la forma

𝑦2 = 4𝑝𝑥

Por lo tanto sabemos que el vértice está en el origen, y se trata de una parábola

horizontal. Así que el vértice queda como: 𝑉(0,0).

Ahora, vamos con el foco, para esto sabemos que el foco es igual a 𝐹(𝑝, 0), como

no sabemos el valor de p, lo podemos calcular, ya que en la ecuación podemos

10

observar que a estar en su forma canoníca, se tiene el valor de 4p, sólo lo

despejamos y así sabremos el valor del foco.

Tenemos la ecuación 𝑦2 = 8𝑥, entonces:

4p=8, ahora despejamos, el 4 está del lado izquierdo de la ecuación y le obstruye a

p para encontrarse sólo, por lo tanto, lo despejamos, el 4 se encuentra multiplicando

al 4, por lo tanto, al despejarlo, pasamos el 4 dividiendo al otro lado de la ecuación,

y tenemos:

4𝑝 = 8

𝑝 =8

4

𝑝 = 2

Ahora ya sabemos el valor de “p”, y

sabemos que el foco es igual a 𝐹(𝑝, 0),

retomando la formula, y lo único a realizar es

sustituir el valor de “p” en la ecuación, y ésta

queda:

𝐹(2,0)

Ahora resolvemos la última parte, que es encontrar la directriz, su fórmula es 𝑥 =

−𝑝, ya conocemos el valor de “p”, que es 2, entonces sólo le agregamos el signo de

– y colocamos después el valor de “p”, y queda:

𝑥 = −2

¡Listo! Ahora ya conocemos todos los datos, nuestro problema ha quedado resuelto.

11

Problema 2.-

El foco de la parábola al momento de disparar nuestra flecha fue de 𝑦2 = 8𝑥, ¿en

qué coordenadas está?

Solución:

La parábola 𝑦2 = −8𝑥 tiene la forma 𝑦2 = 4𝑝𝑥,

donde esta representa una parábola horizontal,

como por lo tanto:

4𝑝 = −8

Despejando “p” nos queda

𝑃 = −8

4 𝑃 = −2

Su foco es el punto (p, 0), entonces:

𝐹(−2,0)

Problema 3.-

Hicimos una representación de la

reflexión de un objeto en dos espejos

con un ángulo específico.

Empezando de 0 a 90 grados con un

aumento de 10 grados entre cada uno.

Se observó que sucede cuando el

ángulo (límite) tiende a 180 grados, 60

grados, 30 grados, 90, grados, etc.

12

Se encontró que la fórmula para calcular las imágenes reflectadas en los espejos

fue la siguiente:

lim360

𝑥− 1

Con lo que al cambiar la tendencia del límite nos quedó algo parecido a esto:

lim𝑥→0

360

0− 1 𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

1. lim𝑥→60

360

60− 1 = 5

2. lim𝑥→30

360

30− 1 = 11

3. lim𝑥→90

360

90− 1 = 3

4. lim𝑥→120

360

120− 1 = 2

5. lim𝑥→180

360

180− 1 = 1

6. lim𝑥→150

360

150− 1 = 1.4

7. lim𝑥→210

360

210− 1 = 0.714

8. lim𝑥→240

360

240− 1 = 0.5

9. lim𝑥→300

360

300− 1 = 0.2

10. lim𝑥→360

360

360− 1 = 0

La conclusión fue que dependiendo de la

abertura de los espejos es el número de

imágenes que se reflejan.

13

Gráficas y esquemas que muestran claramente al proyecto

realizado:

Gráfica 1.- del primer problema

En donde observamos que la parábola

tiene su centro del origen ya que la

función dada es: 𝑦2 = 8𝑥

De igual forma sabemos que es una

función continua y que es positiva

Gráfica 2.- del segundo problema

Estas dos gráficas muestran:

Uno: la gráfica que se traza diciéndonos que es una parábola fuera del origen

Dos: el tiro que realizamos con el arco en coordenadas (0,2)

14

Gráfica 3.- del tercer problema

En las imágenes de arriba se aprecian los grados de círculo y las reflexiones que el

espejo hace al momento de modificar los grados. Como ya se mencionó con

anterioridad, las imágenes proyectadas en los espejos dependen de los grados del

círculo.

Conclusión del trabajo realizado:

Con este proyecto realizado para la materia de Calculo Diferencial podemos concluir

que la rama de las matemáticas no sólo se centraliza en el estudio de los números,

si no también nos ayuda a entender nuestro entorno que nos rodea.

El uso de la parábola es muy extenso, un ejemplo es: trayectorias de objetos

celestes o cometas en los cuales se supone para los cálculos que la excentricidad

es igual a 1 (𝑒 = 1).Su periodo P es superior a los 200 años.

De igual manera: el Arco Parabólico que se

encuentra ubicado en el Centro Cívico, tiene una

altura de 18 metros. Fue diseñado por técnicos

alemanes. Está hecho de piedra de cantería de

color rosáceo.

15

El arco parabólico se levanta en honor a nuestros héroes de la Guerra del Pacífico:

Miguel Grau y Francisco Bolognesi.

Las aplicaciones de la parábola, son básicamente aquellos fenómenos en donde

nos interesa hacer un haz de luz y sonido principalmente. Las lámparas sordas, un

ejemplo, los faros de auto, etcétera, de igual forma se pueden construir hornos

solares, con la propiedad de la parábola. Los micrófonos de ambiente en algunos

deportes también tienen forma paraboloide.

Por otra parte la importancia de los

límites de igual forma es necesaria

en la vida diaria, ejemplos tenemos

con: son el estudio de funciones

alrededor de un punto.

Un caso particular de los limites es

la derivada y las integrales que

tienen muchas aplicaciones en la

ingeniería tales como cálculos de

áreas, volúmenes, longitudes,

velocidades o razones de cambio en el tiempo, optimizaciones de envases (mayor

volumen utilizando el material mínimo para construirlo)

En conclusión, las diferentes herramientas que nos brindan las matemáticas son

infinitas, sólo debemos de saber cómo utilizarlas y dónde aplicarlas.

16

Bibliografías Anónimo. (2011). Matemática 1. Recuperado el 25 de Noviembre de 2014, de Matemática 1:

http://matematica1.com/category/limites-trigonometricos/

Anónimo. (s.f.). Mi tecnológico. Recuperado el 23 de Noviembre de 2014, de Mi tecnológico:

http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionesContinuasYDiscontinuasEnUnPuntoYEnUnInter

valo

Brenes, J. B. (20 de Agosto de 2013). Prezi. Recuperado el 24 de Noviembre de 2014, de Prezi:

https://prezi.com/u2jsazkrrm3s/aplicaciones-de-la-parabola-en-la-vida-cotidiana/

Donoso19. (2012). Glogster. Recuperado el 24 de Noviembre de 2014, de Glogster:

http://www.glogster.com/donoso19/la-parabola-y-su-uso-en-la-vida-cotidiana/g-

6lcg8gtu8gjq8do8819rna0

Garvín, A. (2008). Matap. Recuperado el 25 de Noviembre de 2014, de Matap:

http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node3.html

Grandville, W. A. (1984). Parábola. En W. A. Grandville, Cálculo diferencial e integral (pág. 677).

México: Limusa.

Gutierrez, J. M. (2008). Sites Google. Recuperado el 24 de Noviembre de 2014, de Sites Google:

https://sites.google.com/site/035ecuacioncuadratica/parabolas-en-la-vida-cotidiana

Matemática 1. (2013). Recuperado el 25 de Noviembre de 2014, de Matemática 1:

http://matematica1.com/category/limites-infinitos/

Matemáticas, C. N. (2014). Maemáticas. En A. A. Marquez, Fundamentos para el ingreso al nivel

superior POLITÉCNICO (pág. 692). México: CONAMAT .

Moctezuma, C. (17 de Abril de 2013). Matemática 1. Recuperado el 24 de Noviembre de 2014, de

Matemática 1: http://matematica1.com/category/ecuacion-de-la-parabola-con-vertice-fuera-del-

origen/

Munkres, J. R. (2002). Wikipedia. Recuperado el 23 de Noviembre de 2014, de Wikipedia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua

Orozco, V. A. (11 de Diciembre de 2013). Prezi. Recuperado el 24 de Noviembre de 2014, de Prezi:

https://prezi.com/tg_ajg8qpf_h/parabola-con-vertice-fuera-del-origen/

Prepafacil. (2012). Recuperado el 24 de Noviembre de 2014, de Prepafacil:

http://prepafacil.com/cobach/Main/ParabolasHorizontalesYVerticalesConCentroFueraDelOrigen

Press, W. (2010). Definición de. Recuperado el 25 de Noviembre de 2014, de Definición de:

http://definicion.de/limitrofe/