LCP 5G Physique OS

x

R r

θ

P

I dx

x

•

z

a

a

r

r

dB

dB

z α

LCP 5G Physique OS

•  Loi de Biot-Savart pour calculer le champ B

Applications :

•  Champ B d’un fil droit ∞

•  Champ B d’une boucle circulaire •  Champ B d’un solénoïde

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Calcul du champ électrique

Quelles sont les équations équivalentes pour le champ magnétique ?

•  Deux façons de calculer :

urqE ˆ

41

20πε

=

–  Loi de Coulomb

QENF S d E = • ∫

0 ε

–  Loi de Gauss

LCP 5G Physique OS

Calcul du champ magnétique

•  Deux méthodes de calcul :

30

4 rrld

πIµBd

×=

–  Loi de Biot-Savart

Ce sont des formules équivalentes: Intégration Biot-Savart => Ampère

× I – Parcours d’intégration

–  Loi d’Ampère ∫ µ=• IldB 0

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Loi de Biot-Savart...

30

4 rrld

πIµBd

×=

I AmT104 7

0•

×π=µ −

Le champ magnétique « tourne » autour du fil. Le sens est donné par la règle de la main droite : le pouce suivant I, les doigts s’enroulent dans le sens de B.

dB

dl r

…ou la méthode des petits bouts

θ

Équivalent au 2

ˆrur

dBMAX

dB=0

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Le champ B d’un fil droit ∞ •  Calculons B au point P avec la

loi de Biot-Savart :

• Réécriture en termes de R,θ :

x

R r θ

P

I dx

30 sin)(4 r

θrdxπIµdBB ∫∫

+∞

∞−

==

xRθ−

=tan ⇒ θ

−=tanRx donc,

θ=

θ 2sinR

ddx

⇒ R

dr

θRdrθdx θθ

=θ

θ=

sinsinsin)(sin222

30

4 rrxd

πIµBd

×=

Pour tous les dx le vecteur dB est dans la direction +z.

y

R2

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∫=π

θdθπRIµB0

0 sin4 ⇒ [ ]πθ

πRIµB 00 cos4

−=

donc πRIµB

20=

x P

I dx

θRdθ

πIµB

π

sin400∫=

Le champ B d’un fil droit ∞

180°

dx

0°

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Boucle circulaire

Deux choses rendent le calcul simple :

Calculons le champ magnétique au centre d’une boucle circulaire parcourue par un courant I. On doit sommer les contributions : d

B = µ0I

4πdl × rr3

•  dl est toujours perpendiculaire à r : entrant dans la page

•  r est constant (r = R)

02 (2π )

4πµ I RR

= 0

2µ IR

=

rdlrld =×

∫ ∫ ∫π

µ=

π

µ== dl

RI

RdlRIdBB 2

03

0

44)(

ld

r

I

RdB

x

•

z r=R

r=R

dB

dB

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Boucle circulaire •  Calculons maintenant B en un point

quelconque de l’axe de symétrie de la boucle.

•  Le module de la contribution dB d’un élément de fil dl :

dB = µ 0 I 4 π

dl r 2

⇒

•  Quelle est la direction du champ ? •  Symétrie ⇒ B dans la direction +z

•  Or r = a /sinα

0 0 0 02 2 2 2

sin sin sinsin sin 24 4 4 2ZIdl I I IaB dB dl ar r r r

µ µ α µ α µ αα α π

π π π= = = = ⋅ =∫ ∫ ∫

30 sin2ZIBa

µ α=

x

•

z

a

a r dB

r

z

dB

α α

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• Pour : z = 0 (α = 90°)

• Pour :N spires

Boucle circulaire

0max( )

2ZIB Ba

µ=

0

2ZNIBR

µ=

R

BZ

z 0 0

≈ 1

z 3

x

•

z

a

a r dB

r

z

dB

α α

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Le champ B d’un solénoïde

•  Le champ magnétique d’un solénoïde à spires jointives est la superposition des champs d’une suite de boucles circulaires, une par tour de fil.

L •  Un solénoïde à spires jointives est un dispositif où un courant I circule dans un fil enroulé n fois par mètre sur un cylindre de rayon a et de longueur L, sans laisser d’espace entre les spires.

a

nI0~ µ

nI021~ µ

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Le champ B d’un solénoïde • Le champ magnétique d’un solénoïde a des caractéristiques qui le rendent très utile :

• À l’extérieur, il est semblable à celui d’un aimant cylindrique.

• À l’intérieur, quand a « L et en restant loin des bouts, il est uniforme :

• On utilise les solénoïdes comme aimants commutables, pour agir sur des pièces d’acier.

nI0B µ=

UNE SONNETTE : «Aimant» désactivé à marteau tenu en place par un ressort «Aimant» actif à marteau expulsé à frappe la cloche

marteau solénoïde

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Résumé •  Loi de Biot-Savart pour calculer le champ magnétique

d’un courant :

•  Une boucle circulaire de courant possède un champ dipolaire (on peut lui attribuer un pôle N et un pôle S).

•  Un solénoïde est un « aimant » commutable. Un long solénoïde possède un champ B interne uniforme.

30

4 rrld

πIµBd

×=

N

S