8/13/2019 P. Odifreddi - Disorientamento totale

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20 Le Scienze 525 maggio

Il matematico impertinente

di Piergiorgio Odifreddi

professore ordinario di logica matematica allUniversit di Torino

e visiting professor alla Cornell University di Ithaca (New York)

Lo scorso mese abbiamo narrato linizio della storia

del disorientamento topologico, notando che se si

incollano due lati opposti di un rettangolino di carta

si ottiene un cilindro. Ma se prima di incollarli si fa

fare al rettangolino un mezzo giro, si ottiene un na-

stro di Mbius. Ora vogliamo completare lopera, incollando anche

i due bordi rimasti. Nel primo caso si ottiene una ciambella, che i

matematici chiamano toro. E nel secondo?

La cosa non semplice da fare, nello spazio tridimensionale, ed

pi semplice immaginare di incollare i bordi di un cilindro, dopoaver fatto loro fare un mezzo giro. Ma non basta far fare il mezzo

giro al cilindro stesso, perch in questo caso non si ottiene nien-

te di diverso da un toro, bench a spirale. Per far fare veramen-

te un mezzo giro al bordo,

bisogna incollarlo allaltro

estremo dopo averlo fatto

penetrare attraverso la su-

perficie. Si ottiene cos la

bottiglia di Klein, scoper-

ta nel 1882 da Felix Klein.

In realt il nome un

fraintendimento, perch il

tedesco Kleinsche flche,superficie di Klein,

stato confuso con Klein-

sche flasche, bottiglia di

Klein. Il termine rima-

sto, comunque, perch

quando si cerca di raffi-

gurare la superficie nello

spazio tridimensionale

si ottiene effettivamen-

te qualcosa che somiglia

a una bottiglia. Ma la so-

miglianza puramente su-

perficiale, appunto, perchcome il nastro di Mbius non ha n un sopra n un sotto, cos la

bottiglia di Klein non ha n un fuori n un dentro: in particolare,

non pu contenere niente di ci che vi si versa.

La caratteristica mancanza di separazione fra dentro e fuori

della bottiglia di Klein stata metaforicamente illustrata da Vladi-

mir Nabokov nel romanzo Il dono, del 1937. Il protagonista den-

tro il libro uno scrittore che descrive come ha iniziato a scrivere

la sua prima opera, e alla fine si scopre che si tratta dellautore del

libro stesso. Il procedimento poi stato portato alle estreme con-

seguenze nel 1979 da Italo Calvino, in Se una notte dinverno un

viaggiatore.

Passando dalle metafore alla realt, la pi singolare bottiglia di

Klein che esista sicuramente una casa sulla penisola di Morling-

ton, vicino a Melbourne, progettata nel 2008 dagli architetti del-

lo studio McBride Charles Ryan. Ledificio si sviluppa attorno a un

cortile, avvolto da una scala rossa a spirale che si autointerseca e

collega tutte le stanze della casa, che si possono considerare tutte

sia interne che esterne.

Naturalmente, niente obbliga a chiudere un nastro di Mbius

alla maniera di un cilindro. Anzi, la simmetria richiederebbe di

chiuderlo a nastro di Mbius, appunto: cio dando un mezzo giro

anche ai due lati liberi del rettangolo che lo definisce. Questa vol-ta si ottiene il piano proiettivo, il cui nome lascia intuire che appa-

re nella matematica anche sotto altre forme.

Come gi per il nastro di Mbius, anche per il piano proiettivo

si ottengono due modelli

nello spazio tridimensio-

nale, a seconda che il se-

condo mezzo giro sia da-

to nella stessa direzione

del primo o in quella con-

traria. Naturalmente, co-

me gi per la bottiglia di

Klein, anche i modelli tri-

dimensionali del pianoproiettivo sono costretti

ad autointersecarsi e a es-

sere tutti scorretti, in qual-

che modo.

In Sylvia and Bruno

concluded, secondo vo-

lume del seguito della

pi famosa saga di Alice,

Lewis Carroll indica come

costruirne uno. Si prendo-

no tre fazzoletti quadra-

ti. Se ne cuciono due lun-

go un lato. Si cuciono i latiopposti con un mezzo giro. E infine si cuce il terzo fazzoletto lun-

go il bordo del nastro di Mbius cos ottenuto.

Ledizione originale del 1893 riporta unillustrazione del risul-

tato, che Carroll chiama borsa di Fortunato. Il riferimento a

una storia del XVsecolo, in cui lomonimo protagonista riceve

dalla Fortuna una borsa dallinesauribile contenuto. Carroll no-

ta che nella borsa cucita secondo le sue istruzioni, ci che den-

tro fuori, e ci che fuori dentro: dunque c tutta la ricchezza

del mondo. Anche se ammette che, per cucire la borsa di Fortu-

nato, ci vorr del tempo: meglio farlo dopo il t. Per chi voglia

veramente provarci, sembra che sia pi agevole farlo a maglia o

alluncinetto.

Disorientamento totale

Secondo appuntamento con il bizzarro mondo della topologia: la bottiglia di Klein

Dal virtuale al reale.Bottiglie di Klein, termine con cui in realt ci si riferisce

a una superficie senza separazione tra dentro e fuori.

S P L / S c i e n c e M u s e u m / G e t t y I m a g e s