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Analisis de Algoritmos deOrdenamiento y Seleccion
Profesor: Julio Cesar [email protected]
21 de octubre de 2003
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Problema de Ordenamiento
Entrada:
Sucesion de n numeros .
Salida:
Una permutacion (reordenamiento) de la entrada tal que:
a1a
2...a
n
Normalmente la sucesion sera representada por un arreglo de n
elementos,o por una lista encadenada.
Si se ordenan numeros o grandes registros es irrelevante el
metodoescogido:
registros
llave
datos
llave
datos
esto es lo que se mueve!!
Analizar el problema solo con numeros es suficientemente
general
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Problemas de Ordenamientos
? Por insercion (Insertion Sort):
O(n2) Ordena in place: no requiere sino una cantidad constante
deespacio adicional para ordenar.
? Por Mezclas (Merge Sort):
(n lg n) No ordena in place
? Heapsort :
O(n lg n) Ordena in place
? Quicksort :
(n2) Ordena in place Caso promedio : (n lg n)
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Problemas de Ordenamiento (Cont.)
InsertionSort, HeapSort, MergeSort, QuickSort: Son algorit-mos
de ordenamiento basados en comparacion. Se puede demostrarque un
algoritmo de ordenamiento basado en comparacion siemprees del orden
(n lg n).
Se puede bajar esa cota? Si!!, pero no ordenando por
comparacio-nes!!
? Por conteo.
? Radix Sort.
? BucketSort.
El problema de Seleccionar el i-esimo elemento:
? Ordenar y escoger: (n lg n)
? Se puede hacer en O(n).Algoritmo de ordenamiento por
comparaciones:
? MergeSort O(n lg n).
? InsertionSort Ordena in place O(n2).
? Se toman las mejores caractersticas de los dos algoritmo de
ordena-miento basados en comparacion (MergeSort, InsertionSort),
paracrear un nuevo algoritmo llamado HeapSort.
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Montculos (Heaps)
? La estructura de datosMontculo es un arreglo de objectos que
pue-de ser visto como un arbol binario con raz, cuyos nodos
pertenecena un conjunto totalmente ordenado, y tal que cumple las
siguientesdos propiedades:
Propiedad de orden: La raz de cada subarbol es mayor oigual que
cualquiera de sus nodos restantes.
Propiedad de forma: La longitud de toda rama es h o h 1,donde h
es la altura del arbol. Ademas, si una rama termina enuna hoja a la
derecha de otra hoja, esta ultima de altura h 1,la primera debe ser
de altura h 1.
Graficamente:
Fig 1: Representacion de un Montculo
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Montculos (Heaps)
a) b)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
7
3
6
2
4
108 9
5
42
16
14 10
7 9 3
1
8 16 14 10 7 9 3 2 4 18
Fig 2: a) Arbol Binario b) Arreglo
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Montculos (Heaps)
Un arreglo A que representa un montculo es un objeto con 2
atri-butos:
Length [A]: numero de elementos en el arreglo.
Heap-size[A]: numero de elementos en el montculo almacenados
den-tro de A
Aheapsize[A]
length [A]
A[1]
A[2] A[3]
A[4]
A[heapsize[A]]Fig 3: Representacion de un Montculo
A[1..heap size[A]] es el montculo representado.
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Montculos (Heaps)
Eficiencia de las operaciones sobre montculos:
Raz del arbol: A[1].
Padre (i) return b i2c.
Izq (i) return A[2i]
Der (i) return A[2i+ 1]Tanto Padre, Izq y Der pueden ser
considerados operaciones basicas,del mismo costo.
Existen dos tipos de montculos binarios, los valores de los
nodossatisfacen la propiedad de montculo.
max-heap : Para todo nodo 2 i heap-size[A], A[Padre(i)] A[i],
entonces la raz es el mayor elemento del montculo (Heapsort).
min-heap : Para todo nodo 2 i heap-size[A], A[Padre(i)] A[i],
entonces la raz es el menor elemento del montculo (Colas
deprioridad).
La altura de un montculo de n elementos es (lg n).
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Montculos (Heaps)
A continuacion se describen los procedimientos que permiten
orde-nar
in place,
y en tiempo O(n lg n), un arreglo de n elementos.Procedimientos
para implementar una montculo.
Heapify toma tiempo O(lg n).Build-Heap toma tiempo O(n).HeapSort
toma tiempo O(n lg n).Max-Heap-Insert, Heap-Extract-Max,
Heap-Increase-Key yHeap-Maximum toman tiempo O(lg n) (Colas de
prioridad).
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Propiedad de Montculo (Heap)
Como mantener la propiedad de orden?
? Supongamos que M es de la forma:
monton monton
no es necesariamenteun monton, pero tienela propiedad de
forma
Como recuperar la propiedad de orden?
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Heapify
Heapify es una importante subrutina para manipular montculo.
{Pre: subarbol de raz Izq(i) y subarbol de raz Der(i) son
montcu-los}.{Post: subarbol de raz i es un montculo}.Heapify(A, i)1
izq Izq(i)2 der Der (i)3 if izq heap-size[A] and A[izq] > A[i]4
then pos-max izq5 else pos-max i6 if der heap-size[A] and
A[der]>A[pos-max]7 then pos-max der8 if pos-max 6= i9 thenA[i]
A[pos-max]10 Heapify(A, pos-max)
El tiempo de ejecucion de Heapify se puede describir por la
ecuacion derecurrencia:
T (n) T (2n3) + (1)
donde n es el numero de nodos del arbol.
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Heapify (Cont.)
Por ejemplo:
1
7
3
6
2
4
108 9
5
16
10
9 37
2 1
14
8
4
1
7
3
6
2
4
108 9
5
16
4 10
9 314 7
2 8 1
1
7
3
6
2
4
108 9
5
16
10
9 37
2 8 1
14
4
Por el metodo maestro
T (n) T (2n3) + (1) = O(n0 lg n) = O(lg n)
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Construccion de un Montculo
Como construir un montculo?
? Utilizando Heapify:
Build-Heap (A)1 Heap-size [A] length [A]2 for i b length [A]/2c
down to 13 do Heapify (A, i)
Invariante de Ciclo :Al comienzo de cada iteracion del ciclo for
entre las linea 2-3, cada nodoi+ 1, i+ 2, ...,n es la raz del
montculo.Ejemplo:
4 1 3 2 16 9 10 14 8 7 A =
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1
7
3
6
2
4
108 9
heapify (A,5)
5
14 8
9 102
1 3
4
7
16 9 10
4
31
7
16 2
14 8
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Construccion de Montculo
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heapify (A,3)heapify (A,4)
2 8 7
1614 9 10
31
4
2 8 7
3
10
14
1
916
4
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heapify (A,1)heapify (A,2)
2 8 1
14 7 9 3
16 10
4
2 4 1
8 7
14
9 3
10
16
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Construccion de Montculo
Analisis de Build-Heap:
SencilloCada llamada a Heapify cuenta O(lg n)Se hacen O(n)
llamadosCosto total O(n lg n)Sin embargo es una cota muy
amplia.
Mas exacto: Si el montculo tiene n nodos:
H = |_ lg n _|
# nodos altura1 H2 H-122 H-2
...2H1 H-(H-1)=1 2H 0
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Construccion de Montculo
En un montculo de n elementos su altura es blg nc y el numerode
nodos en un montculo de altura h es dn/2h+1e.
Entonces, como Build-Heap hace un llamado a Heapify(A, i), pa-ra
(casi) todo i, su complejidad se puede medir mas
exactamentecomo:
blgnch=0
d n2h+1
eO(h) = O(nblgnch=0
h
2h)
= O(nn=0
h
2h)
= O(n)
(Recordar [(
i=o kxk = |x|
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HeapSort
El algoritmo HeapSort:
HeapSort (A)1 Build-Heap (A)2 For i length[A]down to 23 do
exchange A[1] A[i]4 heap-size [A] heap-size [A] 15 Heapify (A,
1)
Invariante de Ciclo :Al comienzo de cada iteracion del ciclo for
entre las linea 2-5, el subarregloA[1..i] es un montculo que
contiene los i elementos pequenos de A[1..n] yel subarreglo A[i +
1..n] contiene los n i elementos mayores de A[1..n],ordenados.
Analisis de HeapSort:
O(n) construir
+(n 1)O(lg n) Ordenar
= O(n lg n) HeapSort
Que resultado da el hacer un analisis mas exacto como el de
Build-Heap?
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HeapSort
Ejemplo:
10
8 9 3
16
14
4 12
7
42
7 9 3
14 10
8
16
1
A[1] A[10]
2
7 9 3
10
16
14
8
4
1 2
7 9 3
10
16
8
4
1
14
Heapify(A,1)
Heapify(A,1)
A[1] A[9]
A[1] A[8]
2
7 3
16
8
4
14
10
9
1
. . . . . . . . . . .
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Colas de Prioridad
? HeapSort es un excelente algoritmo, pero quickSort, en la
practica,es el escogido. Sin embargo los montculos son muy utiles
para im-plementar colas de prioridad.
? Una Cola de Prioridad es una estructura de datos con
serviciosde insercion y retiro de elementos con base en una
prioridad oprelacion asignada a cada elemento mediante una clave
(un numeropor ejemplo). Por lo general se retira (se atiende) el
elemento parael cual este numero es el maximo (maxima
prioridad)
Las 3 operaciones basicas sobre colas de prioridad son:
Insert(C,x): Insertar el elemento x en la cola C.
Maximo(C): devuelve el elemento de C de maxima prioridad.
Retire-Max(C): retira y devuelve el elemento de maxima
priori-dad de C.
? Aplicaciones:
Priorizar trabajos en un computador compartido. Simulador de
manejador de eventos Administracion de Agendas !!
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Colas de Prioridad
El montculo es una estructura de datos para implementar esas
ope-raciones:
Heap-Maximum(A) return A[1]
Tiempo de ejecucion: (1)
Heap Extract Max (A)1 if heap-size [A] < 12 then error Monton
vacio3 Max A[1]4 A[1] A[heap-size[A]]5 heap-size [A] heap-size[A]
16 Heapify (A, 1)7 return Max
Tiempo de ejecucion: O(lg n)
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Colas de Prioridad (Cont.)
Heap Increase Key (A, i, clave)1 if clave < A[i]2 then error
La nueva clave es menor que la actual clave3 A[i] clave4 while i
> 1 and A[padre(i)] < A[i]5 do exchange A[i] A[padre(i)]6 i
padre(i)
Tiempo de ejecucion : O(lg n)
Max-Heap Insert (A, clave)1 heap-size [A] heap-size[A] + 12
A[heap-size[A]] 3 Heap Increase Key (A, heap size[A], clave)
Tiempo de ejecucion : O(lg n)Tiempo total es : O(lg n)
