OPTIMIZACION-MatII

8/17/2019 OPTIMIZACION-MatII

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Matemáticas II

Departamento de Economía Aplicada

Universidad de La Laguna

Proyecto: OPEN OU!"E #A!E $%&$

Profesores que participan en el Proyecto:

Marianela Carrillo FernándezDomingo Israel Cruz Báez

Concepción González Concepción

Juan Carlos Moreno Piquero

Celina Pestano Gabino Coordinadora!

Jos" #nrique $odr%guez &ernández


2/31

Buscar la “mejor solución” a un problema dado

' Por (u) *

Optimi+ar

Normalmente los recursos o medios disponibles sonlimitados y queremos conseguir una asignación “óptima”


3/31

,ema: Optimi+aci-n clásica

Ba'o (ciertas condiciones de di)erenciabilidad*

+ ba'o (ciertas condiciones de regularidad*


4/31


Optimi+ar ./0&10$120n3 Optimi+ar ./0&10$120n3

su4eto a g&/0&10$120n35%

g$/0&10$120n35%

2

Optimi+aci-n li6re Optimi+aci-n condicionada


5/31

+5./0&10$120n3 n5& ⇒ y5./03

n,-⇒ +,).!+

.

Curvas en el plano


Má0imo relativo

Mínimo relativo

Punto in.le0i-n


6/31

+5./0&10$120n3 n5& ⇒ y5./ 03


Procedimiento:

y75% 05a puntos críticos ⇒

y77 /a3

8 % Mínimo relat9

% Má0imo relat9

5 % Duda


7/31

+5./0&10$120n3 n5& ⇒ y5./ 03


05a puntos críticos ⇒

y7 /a35.7/a35%

'' 21( ) ( ) ( )( )2

− ≅ − f x f a f a x a

Desarrollo de Taylor:

''( ) 0 ( ) ( )> ⇒ > f a f x f a

''( ) 0 ( ) ( )< ⇒


8/31


#'emplo: y5 %9;0< = &&0> ? = >>0@ ? &


9/31


/35 @F>0 ? & $ 0 <

y75%

+5./0&10$120n3 n5& ⇒ y5./ 03

yB5 @F> 8% creciente

.

C

0 1

05 $ Mínimo rel9

05 < Má0imo rel9

#'emplo:


10/31

Optimi+ar +5./0&10$120n3 n5$ ⇒ +5./01y3

/a163 puntos críticos ⇒

d./a1635%

Optimización clásica libre

G0/01y35%

Gy/01y35%

Para ver c-mo sonesos puntos críticos

signo de d$.


11/31

Optimi+ar +5./0&10$120n3 n5$ ⇒ +5./01y3

signo de d$.

2e de)ine di.erencial segunda de z:

d0z , ddz! , z...3+!d.!0 4 0z.+d.d+ 4 z++d+!

0

.. .+

a3b!

+. ++

z a3b! z a3b!&essiano &) ,

z a3b! z a3b!



12/31

signo de d$. .. .+a3b!

+. ++

z a3b! z a3b!&essiano &) ,

z a3b! z a3b!

lasi.icaci-n de los puntos críticos:

.. .+

0

+. ++

z a3b! z a3b!& ,

z a3b! z a3b!- ..& ,z a3b!

&-56 &056 ⇒ De)inida positi/a Mínimo relativo!

&-76 &056 ⇒ De)inida negati/a Má0imo relativo!

&-76 &0768 &-56 &076 ⇒ 9o De)inida Punto de silla!



13/31

Ejemplo: .3+!, .0 ;+0

., 0.,6

+, ;0+,6

⇒ 63 6! punto cr%tico.., 0

.+, 6

++, ;0

&-, 0 56 8 &0,;< 76 ⇒ 9o De)= ≡ Punto de silla


20

02

−

==

636!:636!:

636!:636!:&&essiano

+++.

.+..:636!


14/31

Ejemplo: .3+!, ;.0 ;+0

., ;0.,6

+, ;0+,6

⇒ 63 6! punto cr%tico.., ;0

.+, 6

++, ;0

&-, ;0 76 8 &0, < 56 ⇒ De)= negati/a ≡ Má.imo relati/o


20

02

−

−

==

636!:636!:

636!:636!:&&essiano

+++.

.+..:636!


15/31

Ejemplo: .3+!, . >+!0

., 0.;+!,6

+, ;0.;+!,6

⇒ a3 a! punto cr%tico..a3 a! , 0

.+a3 a! , ;0

++a3 a! , 0

&-, 0 56 8 &0, 6 ⇒ 2emide)inida positi/a


22

22

−

−

==

a!a3:a!a3:

a!a3:a!a3:&&essiano

+++.

.+..a!:a3

)a3a!,6 + como ) .3 +! ≥ 6 ⇒ los puntos a3a! son M%nimos relati/os


16/31

Ejemplo: .3+!, .+

., +,6

+, .,6

⇒ 63 6! punto cr%tico..63 6! , 6

.+63 6! , -

++63 6! , 6

&-, 6 8 &0, ;-


01

10==

636!:636!:

636!:636!:&&essiano

+++.

.+..:636!

⇒ 9o De)= ≡ Punto de silla


17/31

Ejemplo: B.3+!, ;0.0 ;0+0 4?@. 4


18/31

Optimi+ar ./0&10$120n3

su4eto a g&/0&10$120n35%

g$/0&10$120n35%

2Forma de resol/erlo:

A9 M)todo de sustituci-n 9 Multiplicadores de Lagrange

Optimización clásica condicionada


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Optimi+ar ./0&10$ 3

su4eto a g/0&10$ 35%

A9 M)todo de sustituci-n

ptimizar ) G.0!3 .0! ⇒ Optimi+ar J/0$3

Optimización libre de

J/0$3 : F.0,6 ⇒ E

.- ,G.0!



20/31

Optimi+ar ./0&10$10@3

su4eto a g/0&10$10@ 35%


ptimizar ) G.03.?!3 .03.?! ⇒ Optimi+ar J/0$10@3

Optimización libre: F.0,6 ⇒ E

F.?,6

.- ,G.03.?!



21/31

Optimi+ar ./0&10$10@3

su4eto a g&/0&10$10@35%

g$

/0&

10$

10@

35%


ptimizar ) G.?!3 G.?! 3.?! ⇒ Optimi+ar J/0@3

Optimización libre J/0@3 : F.?,6 ⇒ E

.- ,G.?!0,G.?!



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Optimi+ar ./0&10$ 3

su4eto a g/0&10$ 35%

J/0&10$K 35 ./0&10$3 = g/0&10$3

9 Multiplicadores de Lagrange

/&3



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Optimi+ar ./0&10$ 3

su4eto a g/0&10$ 35%

J/0&10$K 35 ./0&10$3 = g/0&10$3


F.-,6

F.0,6⇒

/a161

%3Fλ,6

0

.-.- .-.0

a3b8 !.0.- .0.0

F F

&essiano &F , F F λ

/a161 %3 Mínimo relativo de J ⇒ /a163 es Mínimo relativo de /&3

/&3

/a161 %3 Má0imo relativo de J ⇒ /a163 es Má0imo relativo de /&3

/a161

%3 Punto silla o duda en J⇒

/a163 es DUDA de /&3



24/31

Optimi+ar ./0&10$10@3

su4eto a g/0&10$10@35%


J/0&10$10@K 35 ./0&10$10@3 = g/0&10$10@3

F.-,6

F.0,6 ⇒/a161c1 %3

F.?,6

Fλ,6

0

.-.- .-.0 .-.?

a3b3c8 ! .0.- .0.0 .0.?

.?.- .?.0 .?.?

F F F

&essiano &F , F F FF F F

λ

/a161c1 %3 Mínimo relativo de J ⇒/a161c3 es Mínimo relativo de /&3

/a161c1 %3 Má0imo relativo de J ⇒/a161c3 es Má0imo relativo de /&3

/a161c1

%3 Punto silla o DUDA de J⇒

/a161c3 es DUDA de /&3

/&3



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Optimi+ar ./0&10$ 10@3

su4eto a g&/0&10$10@35%

g$/0&10$10@35%


J/0&10$10@K &1 $35 ./0&10$10@3 = &g&/0&10$10@3 = $g$/0&10$10@3

F.-,6

F.0,6 ⇒/a161c1 &1

$3F.?,6

Fλ-,6

Fλ0,6

1 2

.-.- .-.0 .-.?

a3b3c8 3 ! .0.- .0.0 .0.?

.?.- .?.0 .?.?

F F F

&essiano &F , F F FF F F

λ λ

/a161c1 &1 $ 3 Mínimo relativo de J ⇒/a161c3 es Mínimo relativo de /&3

/&3



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Multiplicadores de LagrangeM)todo de sustituci-n

jemplo comparati!o

Opt9 U 5 0$ ? y$ ? +$

s9a9 &?0?y=+5% ⇒ z,-4.4+

Opt9 U 5 0$

? y$

? /&?0?y3$

.,0.40-4.4+!,6

+,0+40-4.4+!,6.,+,;-H?

..,040,<

++,040,<.+,0 - -

; 3; !? ?

< 0&G ,0 <

/=&F@1=&F@3 Mín9 rel9 /$3

⇒ /=&F@1=&F@1&F@3 Mín9 rel9 de /&3

J/01y1+1

350$ ? y$ ? +$ = /0?y?&=+3

F.,0.4 λ,6

F+,0+4 λ,6Fz,0z; λ,6

Fλ,.4+4-;z,6

.,+,;z

⇒ ;?z4-,6

⇒ z,-H?

;-H?3;-H?3-H? 8;0H?! Punto cr%tico

/&3

/$3

F..,0

F++,0

Fzz,0

F.+,F.z,F+z ,6


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Multiplicadores de LagrangeM)todo de sustituci-n

jemplo comparati!o

Opt9 U 5 0$ ? y$ ? +$

s9a9 &?0?y=+5% ⇒ z,-4.4+

Opt9 U 5 0$

? y$

? /&?0?y3$

.,0.40-4.4+!,6

+,0+40-4.4+!,6.,+,;-H?

..,040,<

++,040,<.+,0 - -

; 3; !? ?

< 0&G ,0 <

/=&F@1=&F@3 Mín9 rel9 /$3

⇒ /=&F@1=&F@1&F@3 Mín9 rel9 de /&3

J/01y1+1

350$ ? y$ ? +$ = /0?y?&=+3

F.,0.4 λ,6

F+,0+4 λ,6Fz,0z; λ,6

Fλ,.4+4-;z,6

.,+,;z

⇒ ;?z4-,6

⇒ z,-H?

;-H?3;-H?3-H? 8;0H?! Punto cr%tico

/&3

/$3

C!

0 6 6

&F , 6 0 6

6 6 0

/=&F@1=&F@1&F@ K=$F@3 Min rel9 J

⇒

/=&F@1=&F@1&F@ 3 Min rel9 /&3


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Otra .orma de estudiar los puntos críticos:

essiano Orlado


29/31

essiano OrladoOptimi+ar ./0&10$ 3

su4eto a g/0&10$35%

.- .0

a3b3 ! .- .-.- .-.0

.0 .0.- .0.0

6 g g&D , ;g F F

;g F F

λ

&5 6 ⇒ Má.imo relati/o en a3b!

&7 6 ⇒ M%nimo relati/o en a3b!

&,6 ⇒ DD


30/31

&I 7 63 &II 5 6 ⇒ Má.imo relati/o en a3b3c!

Optimi+ar ./0&10$10@3

su4eto a g/0&10$10@35%

.- .0 .?

.- .-.- .-.0 .-.?a3b3c3 !

.0 .0.- .0.0 .0.?

.? .?.- .?.0 .?.?

6 g g g

;g F F F&DII ,

;g F F F

;g F F F

λ

OI

&I 5 63 &II 5 6 ⇒ M%nimo relati/o en a3b3c!

#n otro caso ⇒ DD

essiano Orlado


31/31

& 76 ⇒ Má.imo relati/o en a3b3c!

1 2

.- .0 .?

.- .0 .?

a3b3c3 3 ! .- .- .-.- .-.0 .-.?

.0 .0 .0.- .0.0 .0.?

.? .? .?.- .?.0 .?.?

6 6 g g g

6 6

&D , ;g ; F F F

;g ; F F F

;g ; F F F

λ λ

& 56 ⇒ M%nimo relati/o en a3b3c!

#n otro caso ⇒ DD

Optimi+ar ./0&10$10@3 su4eto a g/0&10$10@ 35%

/0&10$10@35%

essiano Orlado

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