Optimizacion de Vigas Con AG

7/30/2019 Optimizacion de Vigas Con AG

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A b s t r a c t : I n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e a n e x t e n s i o n t o a n o p t i m i z a t i o n

m o d e l f o r d e s i g n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a m s s u b j e c t t o a s p e c i e d

s e t o f c o n s t r a i n t s . T h e n e w m o d e l i s m o r e s u i t a b l e f o r r e a l - w o r l d

a p p l i c a t i o n s , b e c a u s e i t b e t t e r f o l l o w s r e i n f o r c e d c o n c r e t e d e s i g n r e g -

u l a t i o n s a n d p r a c t i c a l r e c i p e s u s e d b y e x p e r i e n c e d e n g i n e e r s . T o s o l v e

t h i s n e w m o d e l , w e u s e d a n a r t i c i a l i n t e l l i g e n c e t e c h n i q u e b a s e d o n

t h e m e c h a n i c s o f n a t u r a l s e l e c t i o n , c a l l e d t h e g e n e t i c a l g o r i t h m . I n

o r d e r t o d e a l w i t h t h e p a r a m e t e r t u n i n g p r o b l e m t h a t c h a r a c t e r i z e s

g e n e t i c a l g o r i t h m s a p p l i c a t i o n s ( i . e . , h o w t o c h o o s e t h e p o p u l a t i o n

s i z e , c r o s s o v e r a n d m u t a t i o n r a t e s , a n d m a x i m u m n u m b e r o f g e n e r -

a t i o n s ) , w e d e v e l o p e d a v e r y s i m p l e m e t h o d o l o g y t h a t p r o v i d e s g o o d

r e s u l t s i n a r e a s o n a b l e a m o u n t o f t i m e w h e n u s i n g o a t i n g p o i n t r e p -

r e s e n t a t i o n . A p r o t o t y p e o f o u r s y s t e m i s c u r r e n t l y b e i n g t e s t e d s o

t h a t w e c a n h a v e a r e l i a b l e d e s i g n t o o l t h a t c a n b e u s e d t o s o l v e r e a l -

w o r l d p r o b l e m s i n a s h o r t p e r i o d o f t i m e .

K e y w o r d s : g e n e t i c a l g o r i t h m s , d e s i g n o p t i m i z a t i o n , s t r u c t u r a l o p -

t i m i z a t i o n , a r t i c i a l i n t e l l i g e n c e

1 I n t r o d u c t i o n

I n t h e t r a d i t i o n a l d e s i g n m e t h o d o l o g y , a s o l u t i o n i s p r o p o s e d

a n d t h e n c o r r o b o r a t e d b y m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s i n o r d e r t o v e r i f y

t h a t t h e p r o b l e m r e q u i r e m e n t s a r e s a t i s e d . I f t h e r e q u i r e m e n t s a r e

n o t s a t i s e d , a n e w s o l u t i o n i s p r o p o s e d . I n t h i s t r i a l a n d e r r o r p r o -

c e s s t h e e n g i n e e r g a i n s e x p e r i e n c e , b u t a t a v e r y h i g h c o s t i n t e r m s o f

t i m e a n d e o r t . A s t i m e i s a l w a y s a c o n s t r a i n t i n r e a l d e s i g n , a r e a -

s o n a b l e s u b - o p t i m a l s o l u t i o n i s n o r m a l l y a d o p t e d . C o m p u t e r s h a v e

b e e n r e c e n t l y u s e d t o h e l p e n g i n e e r s a u t o m a t e t h i s p r o c e s s . H o w e v e r ,

t h e i r u s e h a s c o n c e n t r a t e d m a i n l y i n p e r f o r m i n g t h e t e d i o u s m a t h -

e m a t i c a l c a l c u l a t i o n s t h a t a r e r e q u i r e d . A l t e r n a t i v e l y , t h e o p t i m a l

d e s i g n a p p r o a c h c o n s i s t s o f c h a n g i n g t h e d e s i g n b a s e d o n a c e r t a i n

\ o p t i m a l i t y c o n d i t i o n " . H o w e v e r , t h e g e n e r a l o p t i m a l d e s i g n p r o b -

l e m i s h i g h l y n o n l i n e a r a n d n o n c o n v e x 1 ] . A s a r e s u l t , s t r u c t u r a l

o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s a r e c h a r a c t e r i z e d b y h a v i n g m u l t i p l e l o c a l o p -

t i m a . T h i s p a p e r f o c u s e s o n t h e u s e o f a n a r t i c i a l i n t e l l i g e n c e ( A I )

t e c h n i q u e b a s e d o n t h e m e c h a n i c s o f n a t u r a l s e l e c t i o n , c a l l e d t h e

g e n e t i c a l g o r i t h m ( G A ) 2 ] 3 ] . T h e d e s i g n p r o c e s s b a s e d o n t h i s

t e c h n i q u e i s v e r y s i m i l a r t o t h e o p t i m a l d e s i g n p r o c e s s p r e v i o u s l y

m e n t i o n e d . T h e m a i n d i e r e n c e i s t h e n o t i o n o f a t n e s s f u n c t i o n

i n s t e a d o f a c o s t f u n c t i o n , a n d t h e f a c t t h a t t h e a d a p t a t i o n o f t h e

d e s i g n i s d e p e n d e n t u p o n n e i t h e r ( a ) t h e e n g i n e e r n o r ( b ) t h e g r a -

d i e n t o f t h e c o s t f u n c t i o n , a s i n t h e t w o p r e v i o u s c a s e s . E v e n m o r e


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i n t e r e s t i n g i s t h a t i n i t i a l d e s i g n s a r e r a n d o m l y g e n e r a t e d , w i t h o u t

a n y h u m a n i n t e r v e n t i o n , a n d n e v e r t h e l e s s t h e t e c h n i q u e c o n v e r g e s

t o a n o p t i m a l d e s i g n i n a r e a s o n a b l e a m o u n t o f t i m e .

T h e d e s i g n o f a r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a m i s n o r m a l l y a n i n t e r -

a c t i v e p r o c e s s i n w h i c h t h e e n g i n e e r a s s u m e s t h e s e l f - w e i g h t o f t h e

b e a m b e f o r e h a n d , a n d a t r i a l s e c t i o n i s c h o s e n . T h e n , t h e m o m e n t

o f r e s i s t a n c e o f t h i s s e c t i o n i s d e t e r m i n e d , t o c h e c k i t s s u i t a b i l i t y

a g a i n s t t h e g i v e n a p p l i e d b e n d i n g m o m e n t . T h i s p r o c e s s i s r e p e a t e d

u n t i l a t r i a l s e c t i o n i s f o u n d s u i t a b l e . T h i s p r o c e d u r e o f t e n c r e a t e s

d i c u l t y i n e x a c t l y m a t c h i n g t h e m o m e n t o f r e s i s t a n c e o f t h e s e c -

t i o n w i t h t h e t o t a l a p p l i e d b e n d i n g m o m e n t d u e t o t h e s e l f - w e i g h t

o f t h e b e a m , w h i c h m a y b e q u i t e s u b s t a n t i a l i n m a n y c a s e s . T h e r e -

f o r e , t h e d e s i g n p r o c e s s o f a b e a m i s n o t o n l y s l o w , b u t a l s o h a s a

c o m p l e t e l a c k o f e c o n o m i c s , s i n c e t h e o n l y c o n c e r n i s t o n d a n y

s e c t i o n s u i t a b l e f o r t h e g i v e n c o n d i t i o n s , w i t h o u t e v e n c o n s i d e r i n g

t h e p o s s i b i l i t y o f m a k i n g i t a s c h e a p a s p o s s i b l e .

I n t h i s p a p e r , w e ' l l p r e s e n t a m o d e l f o r o p t i m a l d e s i g n w h i c h

m i n i m i z e s t h e c o s t o f a r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a m b a s e d n o t o n l y o n

t h e a l l o w a b l e s t r e s s e s o f t h e e l e m e n t , b u t a l s o i n t h e c o s t s o f c o n -

c r e t e , s t e e l a n d s h u t t e r i n g . O u r m o d e l f o l l o w s t h a t p r o p o s e d b y

C h a k r a b a r t y 4 ] 5 ] , w i t h c e r t a i n m o d i c a t i o n s ( i . e . , a d d i t i o n a l c o n -

s t r a i n t s ) t h a t m a k e s i t s u i t a b l e f o r p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . I n t h e

n e x t s e c t i o n , w e ' l l i n t r o d u c e s o m e g e n e r a l c o n c e p t s f r o m r e i n f o r c e d

c o n c r e t e d e s i g n . T h e n , o u r m o d e l w i l l b e s h o w n a n d t h e g e n e t i c a l -

g o r i t h m a p p r o a c h w i l l b e d e s c r i b e d . F i n a l l y , w e ' l l p r e s e n t t h e r e s u l t s

f o u n d b y o u r m o d e l w h e n s o l v i n g s o m e p r o b l e m s f o u n d i n t h e l i t e r -

a t u r e , a n d w e ' l l b r i e y d i s c u s s s o m e o f t h e i s s u e s t h a t a r o s e w h e n

u s i n g g e n e t i c a l g o r i t h m s i n t h i s k i n d o f a p p l i c a t i o n .

2 B a s i c C o n c e p t s

A c c o r d i n g t o t h e s t r e n g t h d e s i g n m e t h o d a d o p t e d f o r t h i s

w o r k , t h e n o m i n a l m o m e n t c a p a c i t y M

n

o f a r e c t a n g u l a r b e a m w i t h

t e n s i o n r e i n f o r c e m e n t o n l y i s g i v e n b y 6 ] :

M

n

= b d

2

f

0

c

w ( 1 ; 0 5 9 w ) ( 1 )

w h e r e b i s t h e w i d t h o f t h e b e a m , d i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e e x t r e m e

c o m p r e s s i v e b r e t o t h e c e n t r o i d o f t e n s i o n r e i n f o r c e m e n t , f

0

c

i s t h e

c o m p r e s s i v e s t r e n g t h o f c o n c r e t e , w = ( A

s

f

y

= b d f

0

c

) , f

y

i s t h e y i e l d

s t r e n g t h o f r e i n f o r c e m e n t a n d A

s

i s t h e a r e a o f t e n s i o n r e i n f o r c e m e n t .

T h e r e i s a n i n n i t e a m o u n t o f s o l u t i o n s t o e q u a t i o n ( 1 ) t h a t y i e l d

t h e s a m e v a l u e o f M

n

6 ] . I n t h e t r a d i t i o n a l d e s i g n p r o c e s s , t h e

v a l u e s o f b a n d / o r d a r e a s s u m e d , a n d t h e r e m a i n i n g p a r a m e t e r s a r e


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4/14

b

b

P

l

L

t

h

F i g u r e 1 : S c h e m a t i c s e c t i o n o f a s i n g l y r e i n f o r c e d r e c t a n g u l a r b e a m .

T a k e n f r o m 4 ] .

w h e r e y ( x ) i s t h e c o s t p e r u n i t l e n g t h o f t h e b e a m ( $ / c m ) , c

1

i s t h e

c o s t c o e c i e n t d u e t o v o l u m e o f t e n s i l e s t e e l r e i n f o r c e m e n t i n t h e

b e a m ( $ / c m

3

) , c

2

i s t h e c o s t c o e c i e n t d u e t o v o l u m e o f c o n c r e t e i n

t h e b e a m ( $ / c m

3

) , c

3

i s t h e c o s t c o e c i e n t d u e t o s h u t t e r i n g a l o n g

t h e v e r t i c a l s u r f a c e s o f t h e b e a m ( $ / c m

2

) , c

4

i s t h e c o s t c o e c i e n t

d u e t o s h u t t e r i n g a l o n g t h e b o t t o m h o r i z o n t a l s u r f a c e o f t h e b e a m

( $ / c m

2

) , x

1

i s t h e v a r i a b l e g i v i n g t h e a r e a o f t e n s i l e s t e e l r e i n f o r c e -

m e n t a s s h o w n i n F i g u r e 1 ( c m

2

) , x

2

i s t h e v a r i a b l e g i v i n g t h e d e p t h

o f t h e b e a m a s s h o w n i n F i g u r e 1 ( c m ) a n d x

3

i s t h e v a r i a b l e g i v i n g

t h e w i d t h o f t h e b e a m , a s s h o w n i n F i g u r e 1 ( c m )

T h e v a r i a b l e s x

1

, x

2

a n d x

3

n o t o n l y a e c t t h e c o s t o f a b e a m ,

b u t w i l l a l s o d e t e r m i n e i t s m o m e n t o f r e s i s t a n c e . S i n c e x

1

m a y b e

c a l c u l a t e d i f w e k n o w x

2

a n d x

3

6 ] , w e ' l l p r o p o s e d i e r e n t v a l u e s f o r

t h e s e t w o v a r i a b l e s s o t h a t t h e t o t a l c o s t o f t h e b e a m i s m i n i m u m ,

v e r i f y i n g a t t h e s a m e t i m e t h a t o u r s e c t i o n h a s a p r o p e r r e s i s t a n t

m o m e n t . T h e n , o u r o p t i m a l d e s i g n m o d e l i s t h e f o l l o w i n g :

m i n i m i z e : f ( x ) = c

1

x

1

+ c

2

x

2

x

3

+ c

3

x

2

+ c

4

x

3

s u b j e c t t o :

a

1

x

; 1

1

x

3

x

5


5/14

Q ( x

2

; a

5

x

5

) ( f

r

f

0

c

x

5

x

3

+ x

1

f

y

) a

5

= x

4

1

( a c t i n g m o m e n t c o n s t r a i n t ) ( 6 )

a

6

= x

3

0 ( n o n ; n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t ) ( 8 )

H e r e x

4

i s a v a r i a b l e d e n i n g t h e t o t a l a p p l i e d b e n d i n g m o m e n t

i n c l u d i n g t h e b e n d i n g m o m e n t d u e t o s e l f - w e i g h t o f t h e b e a m x

5

i s a v a r i a b l e d e n i n g t h e d e p t h o f t h e e q u i v a l e n t r e c t a n g u l a r s t r e s s

b l o c k . A d d i t i o n a l l y , w e h a v e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s :

c

1

= w

s

c

s

( $ = c m

3

) ( 9 )

w h e r e w

s

= 0 0 0 7 8 5 k g = c m

3

( a s s u m e d v a l u e ) i s t h e u n i t w e i g h t o f

s t e e l r e i n f o r c e m e n t , a n d c

s

i s t h e u n i t c o s t o f s t e e l r e i n f o r c e m e n t

( $ / k g )

c

2

= ( 1 + r ) c

c

1 0

; 6

( $ = c m

3

) ( 1 0 )

w h e r e c

c

i s t h e u n i t c o s t o f c o n c r e t e ( $ / m

3

) a n d r i s t h e c o v e r r a t i o .

c

3

= 2 ( 1 + r ) c

r

1 0

; 4

( $ = c m

2

) ( 1 1 )

w h e r e c

r

i s t h e u n i t c o s t o f s h u t t e r i n g ( $ / m

2

)

c

4

= c

r

1 0

; 4

( $ = c m

2

) ( 1 2 )

a

1

= 0 8 5 f

0

c

= f

y

( 1 3 )

w h e r e f

y

i s t h e y i e l d s t r e n g t h o f s t e e l r e i n f o r c e m e n t ( N = c m

2

) a n d f

0

c

i s t h e c o m p r e s s i v e s t r e n g t h o f c o n c r e t e ( N = c m

2

)

a

3

= D ( 1 + r ) w

c

k L

2

( 1 4 )

w h e r e D = 1 4 ( a s s u m e d ) i s t h e l o a d f a c t o r f o r d e a d l o a d , w

c

=

0 0 2 2 8 N = c m

3

i s t h e u n i t w e i g h t f o r c e o f c o n c r e t e , k i s t h e m o m e n t

c o e c i e n t f o r t h e d e s i g n s e c t i o n ( = 1 8 f o r s i m p l y s u p p o r t e d b e a m )

a n d L i s t h e s p a n o f t h e b e a m ( c m )

a

4

= 1 = ( f

r

Q f

0

c

) ( 1 5 )

w h e r e Q i s t h e c a p a c i t y r e d u c t i o n f a c t o r ( = 0 9 0 f o r e x u r e ) a n d f

r

=

0 8 5 ( a s s u m e d ) i s t h e r e d u c t i o n f a c t o r o f c o n c r e t e . A l s o , a

2

i s t h e

a p p l i e d b e n d i n g m o m e n t ( N ; c m ) , a

5

=

1

2

( a s s u m i n g t h e c e n t r o i d o f


6/14

c o m p r e s s i v e f o r c e a t h a l f t h e d e p t h o f e q u i v a l e n t r e c t a n g u l a r s t r e s s

b l o c k ) , a n d a

6

i s t h e m i n i m u m a c c e p t a b l e w i d t h o f t h e b e a m .

T o d e t e r m i n e x

4

( t o t a l b e n d i n g m o m e n t , i n c l u d i n g s e l f - w e i g h t

o f t h e b e a m ) , w e u s e :

x

4

= a

2

+ a

3

x

2

x

3

( 1 6 )

T o c a l c u l a t e x

1

( a r e a o f r e i n f o r c e m e n t s t e e l ) , w e u s e :

x

1

= ! x

2

x

3

f

0

c

= f

y

( 1 7 )

w h e r e

! =

1 ;

r

1 ;

4 ( 0 5 9 ) x

4

0 9 x

3

x

2

2

f

0

c

1 1 8

( 1 8 )

T h i s l a s t e x p r e s s i o n c a n b e d e r i v e d f r o m e q u a t i o n ( 1 ) . F i n a l l y , x

5

( d e p t h o f t h e e q u i v a l e n t s t r e s s b l o c k ) i s g i v e n b y :

x

5

= x

1

= ( a

1

x

3

) ( 1 9 )

5 U s e o f G e n e t i c A l g o r i t h m s

T o s o l v e t h i s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , w e u s e d a T u r b o P a s c a l

i m p l e m e n t a t i o n o f t h e S i m p l e G e n e t i c A l g o r i t h m ( S G A ) p r o p o s e d

b y D a v i d G o l d b e r g 3 ] , a n d w e e x p e r i m e n t e d w i t h s e v e r a l r e p r e s e n -

t a t i o n s c h e m e s . W e h a v e p r e v i o u s l y u s e d b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n 1 4 ]

a n d w e h a v e t r i e d G r a y c o d i n g 1 5 ] f o r s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n p r o b -

l e m s w i t h a c o n t i n u o u s s e a r c h s p a c e l i k e t h i s o n e . F o r t h i s p a r t i c u l a r

a p p l i c a t i o n , w e d e c i d e d t o e x p e r i m e n t a l s o w i t h o a t i n g p o i n t r e p -

r e s e n t a t i o n . W e w o n ' t t a l k m u c h a b o u t t h e g e n e t i c a l g o r i t h m ( G A ) ,

s i n c e w e h a v e d o n e s o i n p r e v i o u s p u b l i c a t i o n s 1 6 ] 1 7 ] 1 8 ] . I n s t e a d ,

w e ' l l g i v e s o m e d e t a i l s a b o u t t h e d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s c h e m e s

t h a t w e u s e d i n o u r e x p e r i m e n t s .

T h e t r a d i t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n u s e d b y t h e g e n e t i c a l g o r i t h m s

c o m m u n i t y i s t h e b i n a r y s c h e m e a c c o r d i n g t o w h i c h a c h r o m o s o m e

i s a s t r i n g o f t h e f o r m h b

1

b

2

: : : b

m

i , w h e r e b

1

b

2

: : : b

m

a r e c a l l e d

a l l e l e ( e i t h e r z e r o s o r o n e s ) . S i n c e t h e b i n a r y a l p h a b e t o e r s t h e

m a x i m u m n u m b e r o f s c h e m a t a p e r b i t o f i n f o r m a t i o n o f a n y c o d i n g

3 ] , i t s u s e h a s b e c a m e v e r y p o p u l a r a m o n g s c i e n t i s t s . T h i s c o d i n g

a l s o f a c i l i t a t e s t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t h e t e c h n i q u e a n d a l l o w s e l -

e g a n t g e n e t i c o p e r a t o r s . H o w e v e r , s i n c e t h e \ i m p l i c i t p a r a l l e l i s m "

p r o p e r t y o f G A s d o e s n o t d e p e n d o n u s i n g b i t s t r i n g s 1 9 ] i t m a y b e

w o r t h w h i l e t o e x p e r i m e n t w i t h l a r g e r a l p h a b e t s a n d e v e n w i t h n e w

g e n e t i c o p e r a t o r s . I n p a r t i c u l a r , f o r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i n w h i c h


7/14

t h e p a r a m e t e r s t o b e a d j u s t e d a r e c o n t i n u o u s , a o a t i n g p o i n t r e p r e -

s e n t a t i o n s c h e m e s e e m s a l o g i c a l c h o i c e . A c c o d i n g t o t h i s r e p r e s e n -

t a t i o n , a c h r o m o s o m e i s a s t r i n g o f t h e f o r m h d

1

d

2

: : : d

m

i , w h e r e

d

1

d

2

: : : d

m

a r e d i g i t s ( n u m b e r s b e t w e e n z e r o a n d n i n e ) . O n e o f t h e

a d v a n t a g e s o f o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n i s t h a t i t h a s t h e p r o p -

e r t y t h a t t w o p o i n t s c l o s e t o e a c h o t h e r i n t h e r e p r e s e n t a t i o n s p a c e

m u s t a l s o b e c l o s e i n t h e p r o b l e m s p a c e , a n d v i c e v e r s a 1 9 ] . T h i s

i s n o t g e n e r a l l y t r u e i n t h e b i n a r y a p p r o a c h , w h e r e t h e d i s t a n c e i n

a r e p r e s e n t a t i o n i s n o r m a l l y d e n e d b y t h e n u m b e r o f d i e r e n t b i t

p o s i t i o n s . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t o r e d u c e s u c h d i s c r e p a n c y b y u s -

i n g G r a y c o d i n g . T h e G r a y c o d e r e p r e s e n t a t i o n h a s t h e p r o p e r t y

t h a t a n y t w o p o i n t s n e x t t o e a c h o t h e r i n t h e p r o b l e m s p a c e d i f -

f e r b y o n l y o n e b i t 1 9 ] . I n o t h e r w o r d s , a n i n c r e a s e o f o n e s t e p i n

t h e p a r a m e t e r v a l u e c o r r e s p o n d s t o a c h a n g e o f a s i n g l e b i t i n t h e

c o d e . T h i s i s a w e l l k n o w n t e c h n i q u e u s e d t o r e d u c e t h e d i s t a n c e

o f t w o p o i n t s i n t h e p r o b l e m s p a c e , a n d i t i s a r g u e d t o b r i n g s o m e

b e n e t b e c a u s e o f t h e i r a d j a c e n c y p r o p e r t y , a n d t h e s m a l l p e r t u r b a -

t i o n c a u s e d b y m a n y s i n g l e m u t a t i o n s . F i n a l l y , w e s h o u l d m e n t i o n

t h a t w e u s e d a t w o - p o i n t c r o s s o v e r , a n d b i n a r y t o u r n a m e n t s e l e c -

t i o n i n a l l o u r t e s t s . T h e o n l y o p e r a t o r t h a t h a d t o b e r e d e n e d

w a s m u t a t i o n , w h i c h i n t h e o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n c o n s i s t e d

o n s e l e c t i n g a r a n d o m n u m b e r b e t w e e n 0 a n d 9 . O u r t n e s s f u n c -

t i o n w a s g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 ) , u s i n g a p e n a l t y f u n c t i o n o f t h e f o r m

f i t n e s s = 1 = ( c o s t ( v 5 0 0 + 1 ) ) w h e r e v d e p e n d s o n t h e n u m b e r

o f c o n s t r a i n t s v i o l a t e d , a n d 5 0 0 w a s a v a l u e d e r i v e d e x p e r i m e n t a l l y .

W h e n e v e r t h e d e s i g n d o e s n ' t v i o l a t e a n y c o n s t r a i n t , t h e t n e s s f u n c -

t i o n i s j u s t t h e i n v e r s e o f t h e c o s t ( t h e G A o n l y m a x i m i z e s , a n d w e

r e q u i r e d a m i n i m i z a t i o n i n t h i s c a s e ) .

6 E x a m p l e s

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e w a s t a k e n f r o m E v e r a r d a n d T a n n e r 6 ] :

D e s i g n a l e a s t - c o s t r e i n f o r c e d c o n c r e t e r e c t a n g u l a r b e a m s i m p l y s u p -

p o r t e d o v e r a s p a n o f 1 0 m s u p p o r t i n g a u n i f o r m d e a d l o a d o f

1 5 k N = m a n d a u n i f o r m l i v e l o a d o f 2 0 k N = m . T h e c o n c r e t e s t r e n g t h

f

0

c

= 3 0 M P a a n d t h e s t e e l y i e l d s t r e n g t h f

y

= 3 0 0 M P a . T h e u n i t

c o s t o f s t e e l ( C S ) , c o n c r e t e ( C C ) a n d s h u t t e r i n g ( C S H ) a r e $ 0 7 2 = k g ,

$ 6 4 5 = m

3

a n d $ 2 1 5 5 = m

2

, r e s p e c t i v e l y . A s s u m e a c o v e r r a t i o ( r ) o f

0 1 0 , u n i t w e i g h t o f c o n c r e t e o f 2 3 2 3 k g = m

3

a n d c a p a c i t y r e d u c t i o n

f a c t o r a s 0 9 0

T h e u l t i m a t e u n i f o r m l o a d i s

= 1 4 1 5 + 1 7 2 0 = 5 5 k N = m

T h e u l t i m a t e a p p l i e d b e n d i n g m o m e n t i s


8/14

0.6254.875

30 cm

86.478 cm

8.648 cm

3 bars of

20 mm

4 bars of 30 mm

F i g u r e 2 : O p t i m u m d e s i g n o f t h e b e a m o f t h e r s t e x a m p l e .

P a r a m e t e r C h a k r a b a r t y G A ( B ) G A ( G ) G A ( F P )

x

1

( c m

2

) 3 7 6 9 2 6 3 6 1 8 9 3 4 1 5 9 0 5 3 7 5 2 0 5

x

2

( c m ) 8 6 0 6 2 9 8 9 5 4 0 2 7 8 6 1 7 7 8 6 4 7 7 6

x

3

( c m ) 3 0 0 0 0 0 3 0 0 1 6 2 3 0 0 4 4 7 3 0 0 0 2 2

c o s t ( $ = c m ) 0 4 4 3 5 0 4 4 4 2 0 4 4 6 4 0 4 4 3 6

T a b l e 1 : C o m p a r i s o n o f t h e g e o m e t r i c p r o g r a m m i n g a p p r o a c h u s e d

b y C h a k r a b a r t y 4 ] a n d t h e G A u s i n g b i n a r y ( B ) , G r a y c o d i n g ( G )

a n d o a t i n g p o i n t ( F P ) r e p r e s e n t a t i o n .

= 5 5 1 0

2

= 8 = 6 8 7 5 k N m = 6 8 7 5 1 0

5

N ; c m

U s i n g t h i s i n f o r m a t i o n , w e c a n g e t t h e v a l u e s o f t h e c o s t c o e c i e n t s

a n d t h e o t h e r m o d e l c o n s t a n t s :

c

1

= 0 0 0 5 6 5 2 0 c

2

= 0 0 0 0 0 7 0 9 5

c

3

= 0 0 0 0 4 7 4 1 0 c

4

= 0 0 0 0 2 1 5 5 0

a

1

= 0 0 8 5 0 0 a

2

= 6 8

0

7 5 0 0 0 0

a

3

= 4 3 8

0

2 3 3 9 5 0 a

4

= 0 0 0 0 4 3 5 7 3

a

5

= 0 5 0 a

6

= 3 0 0 0

O u r r e s u l t s a n d t h e i r c o m p a r i s o n w i t h t h e g e o m e t r i c p r o g r a m m i n g

m e t h o d u s e d b y C h a k r a b a r t y 5 ] a r e s h o w n i n T a b l e 1 . A s w e c a n

s e e , t h e o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n p r o d u c e d t h e b e s t r e s u l t s a n d

G r a y c o d i n g t h e w o r s t . O u r n a l d e s i g n f o r t h i s p r o b l e m i s s h o w n i n

F i g u r e 2 , a n d h a s a t o t a l h e i g h t o f 9 5 1 2 5 , w h i c h i s a b o u t 1 % m o r e

t h a n C h a k r a b a r t y ' s d e s i g n . T h i s s l i g h t d i e r e n c e i s d u e t o t h e f a c t


9/14

P a r a m e t e r C h a k r a b a r t y G A ( F P )

b ( c m ) 2 0 2 0

x

1

( c m

2

) 3 1 1 2 6 7 3 9 5 4 1 2

x

2

( c m ) 1 0 1 5 4 9 4 8 2 7 0 4 3

x

3

( c m ) 2 0 0 0 0 2 0 6 8 2 5

c o s t ( $ = c m ) 0 3 7 2 5 0 3 8 8 5

b ( c m ) 4 0 4 0

x

1

( c m

2

) 4 3 6 0 1 7 4 3 7 6 4 4

x

2

( c m ) 7 6 1 4 9 9 7 5 9 1 0 2

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 4 2

c o s t ( $ = c m ) 0 5 0 7 3 0 5 0 7 4

b ( c m ) 6 2 5 6 2 5

x

1

( c m

2

) 5 5 4 4 3 5 3 5 7 1 7 2

x

2

( c m ) 6 2 5 9 7 4 1 0 4 3 2 2 3

x

3

( c m ) 6 2 5 0 0 6 2 5 0 1 0

c o s t ( $ = c m ) 0 6 3 4 1 0 7 2 7 4


b y C h a k r a b a r t y 4 ] a n d t h e G A u s i n g o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n .

t h a t C h a k r a b a r t y ' s m o d e l c o n s i d e r s t h e a r e a o f r e i n f o r c e m e n t s t e e l a s

a v a r i a b l e , e v e n w h e n t h i s i s a p a r a m e t e r t h a t d e p e n d s o n t h e b e a m

s e c t i o n , a n d c a n ' t t a k e a n y a r b i t r a t y v a l u e . O n t h e o t h e r h a n d , o u r

c o s t s o f s t e e l , c o n c r e t e a n d s h u t t e r i n g r e p r e s e n t t h e 4 7 8 0 % , 4 1 5 0 %

a n d 1 0 7 0 % o f t h e t o t a l c o s t , w h i c h c o r r e s p o n d s a l m o s t e x a c t l y t o

t h e c o s t s o b t a i n e d b y C h a k r a b a r t y . F l o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t i o n w a s

u s e d i n a l l t h e f u r t h e r e x p e r i m e n t s , s i n c e i t p r o v i d e d t h e b e s t r e s u l t s

o v e r a l l . I t s h o u l d b e n o t i c e d t h a t o u r m o d e l h a s m o r e c o n s t r a i n t s

t h a n C h a k r a b a r t y ' s m o d e l , i n o r d e r t o m a k e i t m o r e r e a l i s t i c . F o r

e x a m p l e , w e r e q u i r e t h e r e l a t i o n x

3

= x

2

t o b e b e t w e e n 0 2 5 a n d 0 6 0

w h i c h i s a c o m m o n r e c i p e u s e d b y c i v i l e n g i n e e r s i n p r a c t i c e . T h e

r e a s o n f o r t h i s i s n o t p u r e l y e m p i r i c a l . T h e s e l i m i t s a l l o w u s t o

h a v e a \ r e a s o n a b l e " a m o u n t o f r e i n f o r c e m e n t s t e e l i n o u r d e s i g n s , s o

t h a t w e c a n g u a r a n t e e a g o o d a d h e r e n c e b e t w e e n s t e e l a n d c o n c r e t e ,

a n d w e c a n p r o v i d e a g o o d c o n t r o l o f t h e b e a m ' s d e e c t i o n . S i n c e

C h a k r a b a r t y d o e s n ' t i m p o s e t h i s c o n s t r a i n t i n h i s m o d e l , s o m e o f

t h e r e s u l t s s h o w n n e x t w i l l v i o l a t e i t .

F i r s t , w e ' l l p e r f o r m a n a n a l y s i s s i m i l a r t o t h a t c o n d u c t e d b y

C h a k r a b a r t y , e x p e r i m e n t i n g w i t h d i e r e n t v a l u e s o f b . T h e r e s u l t s

o f o u r t e s t s a r e s h o w n i n T a b l e 2 . F o r t h e c a s e i n w h i c h b = 6 2 5 0


10/14

C h a k r a b a r t y ' s m o d e l p r o d u c e s a d e s i g n 4 2 9 8 % m o r e e x p e n s i v e t h a n

w h e n b = 3 0 . O u r d e s i g n i s 6 3 9 8 % m o r e e x p e n s i v e . H o w e v e r ,

C h a k r a b a r t y ' s d e s i g n v i o l a t e s t h e r e s t r i c t i o n i m p o s e d b y e q u a t i o n

( 5 ) . T h e r e f o r e , i n p r a c t i c e a n e n g i n e e r w o u l d p r e f e r o u r d e s i g n e v e n

w h e n i t ' s m o r e e x p e n s i v e , f o r t h e r e a s o n s p r e v i o u s l y e x p o s e d . I n a l l

t h e r e m a i n i n g e x a m p l e s , i t w i l l a l w a y s b e t h e c a s e t h a t w h e n o u r

r e s u l t s a r e n o t e q u a l s t o t h o s e p r o d u c e d b y C h a k r a b a r t y ' s m o d e l

( o r a l m o s t e q u a l , s h o u l d w e s a y , s i n c e t h e r e i s a l w a y s a d i e r e n c e i n

t h e l a s t d i g i t d u e t o r o u n d i n g - o e r r o r s ) i t ' s b e c a u s e h i s d e s i g n i s

v i o l a t i n g s o m e c o n s t r a i n t | n o r m a l l y t h a t d e n e d b y e q u a t i o n ( 5 ) | .

F i n a l l y , w e t e s t e d d i e r e n t v a l u e s f o r t h e c o s t s o f r e i n f o r c e m e n t

s t e e l , c o n c r e t e a n d s h u t t e r i n g . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 3 .

A g a i n , t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n o u r r e s u l t s a n d t h o s e p r o d u c e d b y

C h a k r a b a r t y ' s m e t h o d w i l l i n d i c a t e s o m e v i o l a t i o n o f t h e c o n s t r a i n t s

i m p o s e d b y o u r m o d e l .

7 S e l e c t i n g t h e P a r a m e t e r s o f t h e G A

O n e o f t h e m a i n p r o b l e m s w h e n u s i n g G A s i n o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m s i s h o w t o c h o o s e t h e m o s t a p p r o p r i a t e p a r a m e t e r v a l u e s

( i . e . , p o p u l a t i o n s i z e , m a x i m u m n u m b e r o f g e n e r a t i o n s , a n d m u t a -

t i o n a n d c r o s s o v e r r a t e ) . T h i s i s n o r m a l l y a t r i a l a n d e r r o r p r o c e s s

w h i c h t a k e s s o m e t i m e . O n e o f t h e e x p e r i e n c e s d e r i v e d f r o m t h i s

r e s e a r c h w a s t h e f a c t t h a t i t t u r n e d o u t t o b e m u c h h a r d e r t o n e

t u n e t h e p a r a m e t e r s o f t h e G A w h e n a o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n

s c h e m e w a s u s e d . T o d e a l w i t h t h i s p r o b l e m , w e u s e d a s y s t e m a t i c

p r o c e s s t h a t s e e m s t o b e a b l e t o g e n e r a t e o p t i m a l ( o r a t l e a s t s u b -

o p t i m a l ) s o l u t i o n s i n a v e r y s h o r t p e r i o d o f t i m e a n d w i t h m i n i m a l

h u m a n i n t e r v e n t i o n . W e s e t t h e p o p u l a t i o n s i z e a n d t h e m a x i m u m

n u m b e r o f g e n e r a t i o n s a s c o n s t a n t s ( 4 0 0 c h r o m o s o m e s a n d 5 0 g e n -

e r a t i o n s ) . T h e n , w e r a n a n e s t e d l o o p i n w h i c h t h e c r o s s o v e r r a t e

a n d t h e m u t a t i o n r a t e w e n t f r o m 0 1 t o 0 9 a t i n c r e m e n t s o f 0 1 . F o r

e a c h r u n , w e u p d a t e d 2 l e s . O n e c o n t a i n e d o n l y t h e n a l c o s t s , a n d

t h e o t h e r h a d a s u m m a r y t h a t i n c l u d e d , b e s i d e s t h e c o s t , t h e c o r -

r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e d e s i g n p a r a m e t e r s a n d t h e m u t a t i o n a n d

c r o s s o v e r r a t e s u s e d . A l s o , a a g i n d i c a t i n g i f a n y c o n s t r a i n t w a s

v i o l a t e d o r n o t . W h e n t h e w h o l e p r o c e s s e n d e d u p , t h e l e w i t h

t h e c o s t s w a s s o r t e d i n a s c e n d i n g o r d e r , a n d t h e s m a l l e s t v a l u e w a s

s e a r c h e d i n t h e o t h e r l e . I f t h a t c o s t d i d n ' t v i o l a t e a n y c o n s t r a i n t ,

t h e n t h e d e s i g n p a r a m e t e r s c o r r e s p o n d i n g t o t h a t c o s t w e r e p r i n t e d

a s t h e n a l a n s w e r . O t h e r w i s e , t h e n e x t c o s t w a s t a k e n a n d s e a r c h e d

i n t h e a u x i l i a r y l e , r e p e a t i n g t h e s a m e p r o c e s s u n t i l a c o s t t h a t d i d -

n ' t v i o l a t e a n y c o n s t r a i n t w a s f o u n d . I n p r a c t i c e , w e n o r m a l l y n e v e r


11/14

P a r a m e t e r C h a k r a b a r t y G A ( F P )

b ( c m ) 4 0 4 0

C S = 0 3 6 C C = 6 4 5 C S H = 2 1 5 5

x

1

( c m

2

) 5 7 0 0 7 2 5 0 2 5 8 3

x

2

( c m ) 5 9 8 6 7 8 6 6 7 0 2 9

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 3 3

c o s t ( $ = c m ) 0 3 6 8 0 0 3 7 1 6

C S = 1 0 8 C C = 6 4 5 C S H = 2 1 5 5

x

1

( c m

2

) 3 7 2 0 0 6 3 7 0 3 1 8

x

2

( c m ) 8 9 5 4 5 5 9 0 0 2 0 5

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0

c o s t ( $ = c m ) 0 6 2 0 6 0 6 2 0 7

C S = 1 4 4 C C = 6 4 5 C S H = 2 1 5 5

x

1

( c m

2

) 3 3 2 6 9 1 3 3 2 2 7 9

x

2

( c m ) 1 0 1 1 7 2 4 1 0 1 3 5 6 5

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1

c o s t ( $ = c m ) 0 7 1 9 8 0 7 1 9 9

C S = 0 7 2 C C = 3 2 2 5 C S H = 2 1 5 5

x

1

( c m

2

) 3 3 0 3 7 2 3 5 0 6 9 8

x

2

( c m ) 9 5 5 2 7 9 9 5 4 7 1 9

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1

c o s t ( $ = c m ) 0 3 8 7 5 0 3 8 7 6

C S = 0 7 2 C C = 1 2 9 0 C S H = 2 1 5 5

x

1

( c m

2

) 5 5 4 2 4 0 4 9 9 2 7 8

x

2

( c m ) 6 1 2 6 9 8 6 7 0 9 8 1

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 5 0

c o s t ( $ = c m ) 0 6 9 8 7 0 7 0 3 5

C S = 0 7 2 C C = 6 4 5 C S H = 1 0 7 7 5

x

1

( c m

2

) 4 2 3 5 1 0 4 2 5 5 6 8

x

2

( c m ) 7 8 3 6 5 0 7 8 0 6 2 5

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1

c o s t ( $ = c m ) 0 4 8 4 7 0 4 8 4 8

C S = 0 7 2 C C = 6 4 5 C S H = 4 3 1

x

1

( c m

2

) 4 5 9 4 5 4 4 5 9 0 1 2

x

2

( c m ) 7 2 4 0 8 5 7 2 5 1 0 3

x

3

( c m ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3

c o s t ( $ = c m ) 0 5 5 1 1 0 5 5 1 2


b y C h a k r a b a r t y 4 ] a n d t h e G A u s i n g o a t i n g p o i n t r e p r e s e n t a t i o n .


12/14

h a d t o s e a r c h m o r e t h a n t w i c e f o r a n y g i v e n m i n i m u m c o s t . S i n c e

e a c h r u n i s c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t f r o m t h e o t h e r s , w e c a n p e r f o r m

a l l t h i s p r o c e s s i n p a r a l l e l , s o t h a t t h e t o t a l e x e c u t i o n t i m e w i l l b e

p r a c t i c a l l y t h e s a m e r e q u i r e d f o r a s i n g l e r u n ( a p p r o x i m a t e l y 1 5 s e c -

o n d s i n a P C D X / 2 r u n n i n g a t 6 6 M H z a n d w i t h a m a t h e m a t i c a l

c o p r o c e s s o r ) .

F u t u r e W o r k a n d C o n c l u s i o n s

E v e n w h e n w e a l r e a d y h a v e s o m e c o n c r e t e r e s u l t s i n t h i s r e -

s e a r c h , a l o t o f w o r k r e m a i n s t o b e d o n e . F o r e x a m p l e , w e a r e c u r -

r e n t l y e x p l o r i n g o t h e r t e c h n i q u e s f o r a d j u s t i n g t h e p a r a m e t e r s o f t h e

G A , s u c h a s f u z z y l o g i c . A l s o , w e a r e i n t e r e s t e d o n d o i n g a t h e o -

r e t i c a l a n a l y s i s o f t h e s e a r c h s p a c e o f t h i s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , s o

t h a t w e c a n d e v i s e s o m e s t r a t e g i e s t o s o l v e i t m o r e e c i e n t l y . N e v -

e r t h e l e s s , o u r c u r r e n t r e s u l t s a r e v e r y p r o m i s i n g , a n d t h e s y s t e m h a s

c a l l e d t h e a t t e n t i o n o f m o r e t h a n o n e e n g i n e e r b o t h i n t h e a c a d e m i a

a n d t h e b u i l d i n g i n d u s t r y i n M e x i c o .

W e h a v e b e e n w o r k i n g i n t h e u s e o f G A s f o r s t r u c t u r a l o p -

t i m i z a t i o n p r o b l e m s d u r i n g t h e l a s t t w o y e a r s , a n d s o f a r , w e h a v e

i m p l e m e n t e d s y s t e m s t o g e n e r a t e o p t i m a l d e s i g n s o f b e a m s , c o l u m n s

a n d p l a n e a n d s p a c e t r u s s e s . H o w e v e r , o u r n a l g o a l i s t o d e v e l o p

a c o m p l e t e s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n s y s t e m t h a t u s e s G A s , a n d t h a t

p r o b a b l y i n c o r p o r a t e s a l s o t h e t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c a l p r o g r a m -

m i n g t e c h n i q u e s a v a i l a b l e , t o g e t h e r w i t h s o m e o t h e r p o w e r f u l h e u r i s -

t i c s s u c h a s t a b u s e a r c h a n d s i m u l a t e d a n n e a l i n g . S u c h a s y s t e m

i n t e n d s t o b e a v e r y p o w e r f u l t o o l f o r c o m p u t e r a i d e d s t r u c t u r a l d e -

s i g n t h a t w i l l a l l o w t o r e d u c e c o s t s w i t h o u t s a c r i c i n g s a f e t y .

R e f e r e n c e s

1 ] B e l e g u n d u , A . D . , A S t u d y o f M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g M e t h o d s

f o r S t r u c t u r a l O p t i m i z a t i o n . P h D d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f I o w a ,

D e p t . o f C i v i l a n d E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g , 1 9 8 2 .

2 ] H o l l a n d , J . H . , A d a p t a t i o n i n N a t u r a l a n d A r t i c i a l S y s t e m s . A n n

H a r b o r : U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n P r e s s , 1 9 7 5 .

3 ] G o l d b e r g , D . E . , G e n e t i c A l g o r i t h m s i n S e a r c h , O p t i m i z a t i o n a n d

M a c h i n e L e a r n i n g . R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n - W e s l e y P u b l i s h i n g

C o . , 1 9 8 9 .


13/14

4 ] C h a k r a b a r t y , B . K . , \ A m o d e l f o r o p t i m a l d e s i g n o f r e i n f o r c e d c o n -

c r e t e b e a m , " J o u r n a l o f S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g , v o l . 1 1 8 , p p . 3 2 3 8 {

3 2 4 2 , n o v 1 9 9 2 .

5 ] C h a k r a b a r t y , B . K . , \ M o d e l f o r o p t i m a l d e s i g n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e

b e a m s , " C o m p u t e r s a n d S t r u c t u r e s , v o l . 4 2 , n o . 3 , p p . 4 4 7 { 4 5 1 , 1 9 9 2 .

6 ] E v e r a r d , N . J . a n d I I I , J . L . T . , T h e o r y a n d P r o b l e m s o f R e i n f o r c e d

C o n c r e t e D e s i g n . M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , s e c o n d e d . , 1 9 8 7 .

7 ] G a l i l e i , G . , D i a l o g u e s C o n c e r n i n g T w o N e w S c i e n c e s . E v a n s t o n , I l l .

N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 5 0 . O r i g i n a l l y p u b l i s h e d i n 1 6 6 5 .

8 ] H a u g , E . J . , M i n i m u m W e i g h t D e s i g n o f B e a m s w i t h I n e q u a l i t y C o n -

s t r a i n t s o n S t r e s s a n d D e e c t i o n . D e p a r t m e n t o f m e c h a n i c a l e n g i -

n e e r i n g , K a n s a s S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 6 6 .

9 ] H a u g , E . J . a n d K i r m s e r , P . G . , \ M i n i m u m w e i g h t d e s i g n o f b e a m s

w i t h i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s o n s t r e s s a n d d e e c t i o n , " J o u r n a l o f A p -

p l i e d M e c h a n i c s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S M E , p p . 9 9 9 { 1 0 0 4 , d e c 1 9 6 7 .

1 0 ] V e n k a y y a , V . B . , \ D e s i g n o f o p t i m u m s t r u c t u r e s , " C o m p u t e r s a n d

S t r u c t u r e s , v o l . 1 , p p . 2 6 5 { 3 0 9 , 1 9 7 1 .

1 1 ] O s y c z k a , A . , M u l t i c r i t e r i o n O p t i m i z a t i o n i n E n g i n e e r i n g w i t h F O R -

T R A N p r o g r a m s . E l l i s H o r w o o d L i m i t e d , 1 9 8 4 .

1 2 ] O s y c z k a , A . , \ M u l t i c r i t e r i a o p t i m i z a t i o n f o r e n g i n e e r i n g d e s i g n , " i n

D e s i g n O p t i m i z a t i o n ( G e r o , J . S . , e d . ) , p p . 1 9 3 { 2 2 7 , A c a d e m i c P r e s s ,

1 9 8 5 .

1 3 ] P r a k a s h , A . , A g a r w a l a , S . K . , a n d S i n g h , K . K . , \ O p t i m u m d e s i g n

o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s e c t i o n s , " C o m p u t e r s a n d S t r u c t u r e s , v o l . 3 0 ,

n o . 4 , p p . 1 0 0 9 { 1 0 1 1 , 1 9 8 8 .

1 4 ] C o e l l o , C . A . C . , \ D i s c r e t e o p t i m i z a t i o n o f t r u s s e s u s i n g g e n e t i c a l g o -

r i t h m s , " i n E X P E R S Y S - 9 4 . E x p e r t S y s t e m s A p p l i c a t i o n s a n d A r t i -

c i a l I n t e l l i g e n c e ( C h e n , J . , A t t i a , F . G . , a n d C r a b t r e e , D . L . , e d s . ) ,

( H o u s t o n , T e x a s ) , p p . 3 3 1 { 3 3 6 , I . I . T . T . I n t e r n a t i o n a l . T e c h n o l o g y

T r a n s f e r S e r i e s , n o v 1 9 9 4 .

1 5 ] C o e l l o , C . A . a n d C h r i s t i a n s e n , A . D . , \ U s i n g g e n e t i c a l g o r i t h m s f o r

o p t i m a l d e s i g n o f a x i a l l y l o a d e d n o n - p r i s m a t i c c o l u m n s , " T e c h . R e p .

T U T R - C S - 9 5 - 1 0 1 , T u l a n e U n i v e r s i t y , j a n 1 9 9 5 .

1 6 ] C o e l l o , C . A . , \ U s o d e a l g o r i t m o s g e n e t i c o s p a r a e l d i s e ~ n o o p t i m o d e

a r m a d u r a s , " i n C o n g r e s o N a c i o n a l d e I n f o r m a t i c a - 1 9 9 4 H e r r a m i e n -

t a s p a r a l o s M e r c a d o s G l o b a l e s , ( M e x i c o C i t y , M e x i c o ) , p p . 2 9 0 { 3 0 5 ,

F u n d a c i o n A r t u r o R o s e n b l u e t h , j u n 1 9 9 4 . ( i n S p a n i s h ) .


14/14

1 7 ] C o e l l o , C . A . C . , \ E l a l g o r i t m o g e n e t i c o c o m o a l t e r n a t i v a a l a p r o -

g r a m a c i o n d i n a m i c a , " i n A c t a s d e l V I I I S i m p o s i o I n t e r n a c i o n a l e n

A p l i c a c i o n e s d e I n f o r m a t i c a , ( A n t o f a g a s t a , C h i l e ) , p p . 1 5 1 { 1 5 7 , U n i -

v e r s i d a d C a t o l i c a d e l N o r t e , n o v 1 9 9 4 . ( i n S p a n i s h ) .

1 8 ] C o e l l o , C . A . a n d C h r i s t i a n s e n , A . D . , \ O p t i m i z a t i o n o f t r u s s d e s i g n s

u s i n g g e n e t i c a l g o r i t h m s , " T e c h . R e p . T U T R - C S - 9 4 - 1 0 2 , T u l a n e U n i -

v e r s i t y , n o v 1 9 9 4 .

1 9 ] M i c h a l e w i c z , Z . , G e n e t i c A l g o r i t h m s + D a t a S t r u c t u r e s = E v o l u t i o n

P r o g r a m s . S p r i n g e r - V e r l a g , s e c o n d e d . , 1 9 9 2 .

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