OPTIMIZACIÓN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS

7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS

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Revista de investigacin

Editada por rea de Innovacin y Desarrollo, S.L.

OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES

DE ENGRANAJES MEDIANTE

ALGORITMOS EVOLUTIVOS

GEAR TRAIN OPTIMIZATION USING EVOLUTIONARY

ALGORITHMS

Samuel Snchez Caballero1

Miguel ngel Sells Cant2

Miguel ngel Peydr Rasero3

Rafael Pl Ferrando4

1.

Doctor Ingeniero. Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial

esp. Mecnica. Instituto de Diseo y Fabricacin. Universitat Politcnica de

Valncia. [email protected]

2.

Doctor Ingeniero. Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial

esp. Electrnica. Instituto de Tecnologa de Materiales. Universitat Politcnica de

Valncia. [email protected]

3.

Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial esp. Mecnica.

Instituto de Tecnologa de materiales. Universitat Politcnica de Valncia.

[email protected]

4.

Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial esp. Mecnica y

Electricidad. Instituto de Diseo y Fabricacin. Universitat Politcnica de Valncia.

Envo: 26-08-2013

Aceptacin: 24-09-2013

Publicacin: 29-11-2013


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OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD

EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS

2

RESUMEN

En el presente artculo se expone un procedimiento de diseo de transmisiones de

engranajes basado en los Algoritmos Genticos (GA). En el diseo de engranajes se

emplean simultneamente variables continuas y discretas (p.e. el paso) relacionadas entre

s de forma no lineal. Sin embargo, a diferencia de los GAs, la mayora de mtodos de

optimizacin slo funcionan adecuadamente con variables de diseo continuas. El presente

trabajo emplea los GAs como una herramienta que nos permita encontrar no slo un

diseo ptimo, sino tambin un conjunto de diseos cercanos al mismo. Para lograr este

objetivo, en primer lugar se formula el problema de optimizacin. Este debe ser

multiobjetivo (mxima resistencia, mnimas prdidas energticas, etc.) y restringido,

proponindose un mecanismo para transformar el problema restringido en no restringido

mediante el empleo de funciones de penalizacin. Tambin se proponen recomendaciones

sobre la eleccin de la funcin objetivo y los trminos de penalizacin de la misma.Seguidamente se plantea el mtodo de codificacin y decodificacin de las variables de

diseo, as como los operadores gnicos de reproduccin, cruce y mutacin. Finalmente se

analiza un ejemplo en el que se implementa el algoritmo gentico expuesto, comparando

los resultados con los obtenidos en una optimizacin previa.

ABSTRACT

This paper shows a genetic algorithm (GA)-based optimization procedure for gear trains

design. Gear design uses simultaneous discrete (P.E. pitch) and continuous variables

nonlinearly related. However, unlike GAs, most optimization methods are only suited forcontinuous design variables. This paper uses GAs as a tool to achieve not only the optimal

design, but also a series of near-optimal designs. To achieve this objective, first the

optimization problem is formulated. It must be multiobjective (maximum strength,

minimum energetic losses, etc) and restricted. A mechanism to transform the constrained

problem into unconstrained thought penalty functions is proposed. Recommendations on

the objective function and penalty terms are also suggested. Next a design variables coding

and decoding method, as well the genetic operators of reproduction, crossover and

mutation are presented. Finally, it is analyzed an example in which the developed genetic

algorithm has been used, comparing the obtained results from a previous optimization.

PALABRAS CLAVE

Tipografa: Algoritmos genticos, optimizacin, transmisin, engranaje.

KEY WORDS

Genetic Algorithm, optimization, gear train.


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INTRODUCCIN

Durante los ltimos treinta aos se han desarrollado numerosos mtodos para resolver

problemas de optimizacin especficos relacionados con la mecnica [1], [2]. Sin embargo

no se ha encontrado un mtodo sencillo que sea completamente eficiente y robusto

aplicable a todo el rango de problemas de optimizacin [3].

La optimizacin de transmisiones engranajes representa uno de los problemas de

optimizacin ms complejo que podemos encontrar, tanto por la variedad de objetivos de

optimizacin que se pueden plantear, como por la relacin existente entre las diferentes

variables que intervienen en dicho proceso.

Las variables que intervienen en el diseo pueden ser discretas (p.e. mdulo, nmero de

dientes, etc.), como continuas (p.e. ngulo de hlice, ancho, desplazamiento del dentado,

etc.). Sin embargo, la mayora de mtodos tradicionales de optimizacin son adecuadospara el empleo de variables continuas.

La obtencin del mximo o mnimo en un proceso de optimizacin donde intervienen

variables discretas es mucho ms complicada y laboriosa que cuando intervienen variables

continuas. Slo existen uno pocos mtodos [4] para realizar este tipo de optimizacin,

entre los que destacan las tcnicas de enumeracin completa, programacin entera,

algoritmos de Branch and Bound y programacin dinmica.

Cuando adems se mezclan variables continuas y discretas, relacionadas de forma no lineal,

el espectro de mtodos se reduce an ms.

Durante los ltimos quince aos se ha producido un inters creciente en el empleo de

mtodos optimizacin basados en lo que se ha venido a llamar Soft Computing, de entre

las cuales destacan los algoritmos evolutivos y el Simulated Annealing.

De entre este conjunto de tcnicas, no se ha encontrado una que se demuestre ms

ventajosa en todos los casos, sino que ms bien cada tipo de problema tiene una, o varias

tcnicas adecuadas.

Los mtodos de optimizacin existentes en el diseo de engranajes [5] buscan obtener un

ptimo general para una aplicacin de mecnica general, sin que permitan la posibilidad de

otro tipo de optimizaciones como la minimizacin de costes, de potencia especfica, lamaximizacin del rendimiento, etc.


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4

OBJETIVOS

Lo que pretende el presente trabajo, es el desarrollo de una tcnica general que pueda

aplicarse en todos los casos y que se adapte a las condiciones de optimizacin concretas de

cada caso.

De entre las tcnicas anteriormente descritas optamos por los algoritmos evolutivos. Este

conjunto de tcnicas se clasifican a su vez en: programacin evolutiva, estrategias

evolutivas y algoritmos genticos.

De entre este conjunto de tcnicas vamos a optar por el empleo de algoritmos genticos,

por su facilidad de implementacin y porque en cierto modo, a partir de esta tcnica

pueden desarrollarse en un futuro las dems.

Debe tenerse en cuenta que tal y como hemos relatado, no puede preverse cul es la mejor

tcnica a priori. Slo el empleo de todas ellas puede determinar cul es la ms adecuadapara este caso.


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5

DESCRIPCIN DE LOS ALGORITMOS GENTICOS

Los algoritmos genticos se basan en la estrategia de desarrollar modelos basados en los

mecanismos de la evolucin gentica basados en la teora darwiniana [6]. Las

caractersticas fundamentales de los algoritmos genticos (GAs) se basan en los principiosde supervivencia de los mejor adaptados y adaptacin al medio.

El punto de partida es una poblacin de individuos generada aleatoriamente, cuyas

variables de diseo se codifican siguiendo las leyes de la gentica. Cada una de las variables

de diseo representa un gen o genotipo, que se codifican generalmente de forma binaria.

Esta representacin binaria se denomina fenotipo. El conjunto de los genes (o fenotipos)

que constituyen un individuo se denomina cromosoma.

A continuacin el algoritmo genera, siguiendo unas reglas, nuevas poblaciones formadas

por los individuos mejor adaptados a su entorno. Dicho de otro modo se seleccionan

aquellos individuos mejor valorados por la funcin objetivo.

Las reglas bsicas que rigen la creacin de nuevas poblaciones son: la reproduccin, el

cruce y la mutacin. Esto se consigue mediante la aplicacin de los operadores genticos de

reproduccin, cruce y mutacin, de naturaleza fundamentalmente estocstica.

La principal ventaja de este mtodo frente a los tradicionales reside en el hecho de que se

explora de forma simultnea todo espacio de soluciones. En todos los caso, la convergencia

hacia un mximo est asegurada. Este mximo no tiene porque ser el mximo absoluto,

puede ser un mximo relativo, pero tiene mayores probabilidades de obtener un mximo

absoluto que los criterios tradicionales basados en el gradiente. Esto es debido a que elmtodo permite algunos individuos de la poblacin efecten saltos en la bsqueda del

ptimo a pesar de que la mayora se focalicen en la bsqueda del mismo ptimo. Este salto

lo permite el empleo del operador de mutacin.

La velocidad en la convergencia, y en la obtencin del mnimo global depende

fundamentalmente de la seleccin del tipo y los parmetros de los tres operadores

genticos.


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OBJETIVOS

La determinacin de la geometra ptima del dentado es una operacin compleja. La

cantidad de parmetros que intervienen en la formulacin del clculo es significativa. Los

mtodos de clculo de engranajes son tambin abundantes: normas AGMA, ISO, DIN, VDI,

AFNOR, Henriot, Niemann, etc

Se busca desarrollar un mtodo de dimensionamiento automtico de engranajes cilndricos

rectos o helicoidales que obtenga un resultado ptimo con un mnimo esfuerzo por parte

del diseador.

En un futuro se pretende implementar el algoritmo en un software de diseo de

engranajes.

PARMETROS DE TRABAJO

Los parmetros de trabajo en un problema de optimizacin estndar son: Potencia a

transmitir Ptrans, relacin de reduccin i=n2/n1(siendo n1la velocidad a la entrada y n2a la

salida) y la duracin N. Tambin se requiere determinar a priori la fiabilidad, la precisin del

mecanizado, velocidad de giro del pin ni y el coeficiente de seguridad n.

VARIABLES DE DISEO

Las variables de diseo fundamentales son: el ancho b, el nmero de dientes del pin z1y

la corona z2, los coeficientes de desplazamiento del dentado x1y x2, el mdulo normal (de laherramienta de corte) m0, el ngulo de hlice , y los materiales del pin MAT1y MAT2de

la rueda.

Slo los desplazamientos del dentado y el ngulo de hlice son variables continuas,

mientras que todas las dems son variables continuas delimitadas entre un valor mximo y

mnimo.

VARIABLES EMPLEADAS EN EL CLCULO

Los detalles de la teora de clculo de engranajes pueden encontrarse la norma ISO 6336

Mtodo B y en el libro de Henriot [7]. Se han obtenido las ecuaciones de ajustecorrespondientes a las grficas que aparecen en el mtodo de clculo.

gs1y gs2son las velocidades de deslizamiento en el primer y ltimo punto de contacto. Se

obtienen a partir de las velocidades perifricas del pin u1 y la rueda u2. Dichas

velocidades se obtienen de la velocidad de giro del engranaje y el radio de curvatura en el

punto de contacto considerado:

i i iu r (1)

La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre las dos velocidades perifricas:

2 1 2 2 1 1gv u u r r (2)


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7

El deslizamiento especfico del pin es la relacin entre la velocidad especfica y la

velocidad en el punto de contacto:

2 11

12 2

2 2

11

' '1

s

a b

u ug i

a senu

r r

(3)

1 22

2 22 1 1

1 ' '1 1s

a b

u u a seng

u i r r

(4)

Donde a es la distancia entre centros de funcionamiento, es el ngulo de presin de

funcionamiento y rai, rbison los radios de cabeza y de base del pin y la corona.

El deslizamiento especfico es el responsable del desgaste, por ello en el proceso de

optimizacin los deslizamientos especficos deben estar equilibrados para lograr que ambosse desgasten por igual.

El clculo resistente contempla el posible fallo superficial en los flancos de los dientes y el

fallo en el pie de los dientes.

El fallo superficial se previene por la aplicacin de la teora de Hertz aplicada al contacto

superficial entre dos cilindros, cuyos radios corresponden a los radios instantneos de

curvatura de los flancos. La potencia mxima transmisible para que no se produzca el fallo

superficial Ppresse obtiene por la comparacin entre la tensin de contacto generada en el

flanco de los dientes y la mxima tensin de contacto que soporta el material

El fallo por ruptura en el pie del diente se previene por el clculo a flexin en el pie del

flanco. La potencia mxima transmisible para que no se produzca el fallo en el pie del

diente Prupse obtiene por la comparacin entre la tensin de flexin en el pie del flanco y la

mxima tensin admisible por el material.

Debe comprobarse que ambas potencias son mayores que la potencia que se requiere

transmitir, con un factor de seguridad suficiente. Asimismo, las dos potencias, deberan

estar lo ms igualadas posibles.

OBJETIVOS PARTICULARES DEL PROCESO DE OPTIMIZACIN

El proceso de optimizacin requiere de una serie de criterios particulares adems de los

criterios generales enunciados anteriormente.

Estos criterios particulares son:

1. Equilibrar, con cierto margen de tolerancia, los deslizamientos especficos del pin y la

corona. Este factor influye directamente en el desgaste y el rendimiento.

2. Equilibrar las potencias transmisibles Ppres, Prup de acuerdo con un criterio de fallo o

ruptura.

3. Asegurar un ratio de contacto transversal mnimo.


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8

4. Limitar la velocidad perifrica mxima.

5. Asegurar que no se produce interferencia en el montaje.

6. Asegurar que la relacin ancho/dimetro de los engranajes se encuentre dentro de un

rango posible.

FORMULACIN ALGEBRAICA DEL PROBLEMA

En base a todo lo comentado anteriormente podemos formular algebraicamente el

problema:

- Minimizar el peso de los engranajes:

- 2 2 2 2 20 1 2 1 2i iF b m z z d d W (1)

Donde di1y di2es el dimetro del agujero del eje y la corona.

Sujeto a:

1 0, , , , , ,... 0rup transG MAT b m z K P n P (2)

2 0, , , , , ,... 0pres transG MAT b m z K P n P (3)

3 0, , , , ... 0rup presG MAT b m z P P (4)

4 1 2 1 2, 0s s s sG g g g g (5)

5 min min, 0G a a a a (6)

6 1 1min 1min 1, 0G z z z z (7)

2

1 27 1 2 2 2

1 2

, , 10 0100

v z zG z z v

z z

(8)

8 0 10 1

, , 2,5 0b

G b m z m z

(9)

9 0 0,... 0,2 0anG m s m (10)

110 1 22

, , 0z

G z z i iz

(11)

1 2 imparesz z (12)


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9

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

R

N

N

Z

Z

L H

L U

L U

L U

L U

b b b

z z z

z z z

x x x

x x x

(13)

Donde G1, G2 y G3 representan la condicin de resistencia a la rotura y al contacto

superficial y la condicin de igualdad entre ambas. G4representan la condicin de igualdad

entre los deslizamientos especficos del pin y la corona. G 5muestra la condicin de no

interferencia entre el pin y la corona, asegurando una distancia entre centros mnima. G 6

asegura que el nmero de dientes del pin sea mayor al mnimo necesario para que no se

produzca socavamiento en este por interferencia con la herramienta de corte. G 7

representa la limitacin de la velocidad perifrica del dentado. G8 previene contra una

anchura excesiva del engranaje. G9previene contra un apuntamiento excesivo del dientedel engrane. G10impone la relacin entre el nmero de dientes y el ratio de reduccin.

La restriccin (16) impone que bien el pin, bien la corona tengan un nmero impar de

dientes.

El resto de restricciones (17) marcan los lmites y naturaleza de las diferentes variables.

Como se puede apreciar, las variables de diseo aparecen en la formulacin del problema

tanto de forma explcita como implcita.


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FORMULACIN DEL ALGORITMO GENTICO

La resolucin de problemas de optimizacin mediante algoritmos genticos no genera un

nico algoritmo para resolver un tipo de problema concreto. Los operadores de

reproduccin, cruce y mutacin no son nicos sino que existen numerosas formas deimplementacin de los mismos.

Asimismo la forma de tratar la funcin objetivo o de penalizacin y las restricciones

tampoco es nica, pudiendo emplearse diferentes enfoques: funciones de penalizacin

esttica, dinmicas, adaptativas, coevolutivas, de muerte sbita, etc.

Es por esto que se obtienen algoritmos diferentes cuya velocidad de convergencia y

capacidad de obtener un ptimo global varan entre s.

La determinacin del algoritmo ptimo para la resolucin de un tipo de problema concreto

requiere de la realizacin de diferentes ensayos con diferentes tipos de operadores. Estebenchmarking se realiza mediante problemas tipo representativos del tipo de problema

en cuestin.

CODIFICACIN DE LAS VARIABLES DE DISEO

Con el fin de facilitar el proceso de codificacin y de agilizar los clculos, no se codifica todo

el conjunto de variables que intervienen en el proceso de diseo de los engranajes. De todo

el conjunto de variables se selecciona el conjunto de las variables de diseo expuestas

anteriormente. No sera excesivamente complicado aadir ms variables al conjunto, sin

embargo determinadas variables como los parmetros de trabajo descritos, suelen quedardeterminadas a priori por el diseador en el proceso de optimizacin.

De este modo el genotipo (o cromosoma) de un individuo cualquiera de la poblacin

quedar determinado por el siguiente vector:

1 2 0 1 2 1 2b z z m x x MAT MAT (14)

La codificacin de las variables de forma binaria se hace de forma diferente segn se trate

de variables continuas o discretas.

La longitud de la cadena de bits para una variable discreta se obtiene mediante la ecuacin:

2n (15)

Donde n es el nmero de bits necesarios para la codificacin y es el nmero de posibles

valores que puede tomar la variable.

De este modo si el nmero de mdulos normalizados de la serie preferente es de 34 harn

falta 6 bits para codificar la variable. El nmero total de valores que podremos codificar

entonces ser de 26 = 64 valores. Dado que el nmero de elementos que necesitamos en la

lista de mdulos es de 34 nos quedaran 30 huecos en la lista. Para evitar este

inconveniente se suele rellenar los huecos repitiendo los 30 primeros elementos de la listao bien se rellenan con 30 elementos aleatorios de la lista.


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11

La longitud de la cadena de bits para una variable continua se obtiene mediante la ecuacin

de Hajela [8]:

2n U L

C

X X

A

(16)

Donde XUy XLson los lmites superior e inferior de la variable continua X y ACes la precisin

requerida en el proceso de discretizacin de la variable continua.

De este modo si queremos discretizar la variable de desplazamiento del dentado x, que

toma valores entre -0,5 y 0,5 con una precisin de al menos 0,025 tendremos:

0,5 0,5 12 40

0,025 0,025

n

(17)

Harn falta por lo tanto un total de 6 bits para poder codificar el parmetro con la precisin

requerida. El nmero de divisiones de la discretizacin ser de 64 lo cual da un escaln

entre valores de:

0,5 0,50,015625

64

(18)

Como se puede apreciar la resolucin de la discretizacin es mayor a la precisin requerida

inicialmente.

Siguiendo el procedimiento descrito, se codifican todas las variables con las siguientes

resoluciones: ancho 4 bits, nmero de dientes 6 bits, mdulo 6 bits, desplazamiento del

dentado 6 bits, ngulo de hlice 4 bits y material 3 bits.

Al codificar las variables de forma binaria obtenemos el fenotipo, sobre el cual aplicaremos

los operadores genticos:

GENOTIPO: 1 2 0 1 2 1 2b z z m x x MAT MAT

FENOTIPO: 1001 110011 101111 100101 101111 101111 1101 011 101

FUNCIN DE PENALIZACIN

La medida de la aptitud de los individuos en las sucesivas generaciones se mide mediante la

funcin de penalizacin. Existen varias diferencias entre la funcin objetivo enunciada

anteriormente en (5) y la funcin de penalizacin empleada en la evaluacin de la aptitud

de los individuos.

La funcin de penalizacin se emplea para convertir un problema de optimizacin

restringido (o multicriterio) en un problema no restringido. Esto se consigue introduciendo

las restricciones en la funcin objetivo inicial, de modo que si alguna restriccin no se

cumple, se le aade una penalizacin de manera proporcional al grado de violacin de la

restriccin.


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A esta funcin objetivo modificada se le denomina funcin de penalizacin.

Existen varios enfoques a la hora de construir la funcin de penalizacin: estticas,

dinmicas, adaptativas, coevolutivas, etc. El empleado en esta optimizacin es el de una

funcin cuadrtica esttica. La formulacin de la funcin de penalizacin se realiza del

siguiente modo:

1

m

i

i

F W

(23)

Donde i es el valor de penalizacin para la restriccin Gi, y W es el peso total.

El clculo de los valores de penalizacin se realiza mediante la expresin cuadrtica:

1 1i i ir q (24)

Donde ries el trmino de penalizacin cuadrtica de la restriccin i y mide la importanciaotorgada a la violacin de cada restriccin.

qise define como:

max

max max

1 si 1

si 1

i

i

i

i i

i i

p

pq

p p

p p

(25)

Donde pies el parmetro o expresin de la restriccin y (pmax)ies el valor lmite para eseparmetro o expresin.

FUNCIN DE PENALIZACIN

Operador de seleccin o reproduction:

Existen diferentes formas de implementar este operador gentico: reproduccin

proporcional, seleccin por ranking, por grupos, por torneo, etc.

Para este estudio hemos empleado una seleccin por grupos, en la cual los individuos de la

poblacin se ordenan de acuerdo a su adecuacin o fitnessde mejor a peor.

A continuacin, se divide la poblacin en dos grupos, asignndosele una probabilidad de

seleccin a cada grupo.

Operador de cruce o crossover:

Al igual que en el resto de operadores, existen diferentes modelos para el operador de

cruce: fijo, flexible, uniforme, adaptativo, etc.

En este estudio se selecciona el operador de cruce fijo por fenotipo y por un punto de la del

cromosoma. Es uno de los ms simples y se forma partiendo el cromosoma de los padres

seleccionando el punto de corte entre dos fenotipos dentro de la cadena. P.e.


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13

PADRE 1001 110011 101111 100101 101111 101111 1101 011 101

MADRE 1011 100011 100111 111101 101001 101001 1001 001 111

HIJO1 1001 110011 101111 111101 101001 101001 1001 001 111

HIJO2 1011 100011 100111 100101 101111 101111 1101 011 101

Operador de mutacin:

Este operador permite explorar otras zonas del dominio de soluciones an cuando la

mayora de soluciones convergen hacia un ptimo. Esto es lo que permite saltar de un

ptimo local cuando el proceso de convergencia se empobrece debido al enfoque sobre un

ptimo local.

Para su implementacin se seleccionan aleatoriamente unos pocos individuos de la

poblacin despus de haber llevado a cabo el proceso de seleccin y cruce. La proporcin

de individuos seleccionados viene de terminada por la probabilidad de mutacin que no

suele superar al 1% de la poblacin. El valor tpico es del 0,1%.

Una vez seleccionados los individuos, se seleccionan uno o varios alelos (bits de la cadena) y

se intercambian los valores de 0 y 1, p.e.:

HIJO NATURAL 1011 100011 100111 100101 101111 101111 1101 011 101

HIJO MUTADO 1011 100011 101111 000101 101111 101101 1101 011 101

El mecanismo de evolucin se repite a lo largo de varias generaciones hasta que no se

produzca un incremento de aptitud de los individuos. El miembro con mayor nivel de

aptitud (fitness) ser el diseo ptimo.

CORTE


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EJEMPLO DE APLICACIN

Este test analiza un problema tpico de la bibliografa de optimizacin de engranajes [9]. En

l se plantea la optimizacin de una pareja de engranajes cilndricos que deben cumplir las

siguientes especificaciones de diseo:

Potencia a transmitir: 73 kW.

Velocidad angular a la entrada: n1= 2800 rpm

Relacin de reduccin: i =

Calidad de fabricacin: ISO 6

Duracin: 3650 h. Trabajo normal sin impactos.

Material Pin: 34CrMo4 templado (34CD4 AFNOR, F 125 UNE).

Material Corona: 20MnCr5 cementado (16NC6 AFNOR, F 158 UNE).

La tabla 1 muestra los valores de referencia, el de una optimizacin previa obtenida porotro autor y el de la optimizacin obtenida mediante el mtodo descrito.

Para poder comprobar la mejora en el mtodo de optimizacin, se ha fijado el material del

pin y la corona en el anlisis. Se han definido como valores de referencia los coeficientes

de seguridad mnimos a rotura y a fatiga.

Como puede apreciarse, la reduccin de peso es de cerca del 35% respecto a la solucin

inicial y de un 14% con respecto a otra optimizacin propuesta anteriormente. Los

coeficientes de seguridad estn algo ms equilibrados y no se ha producido apenas

variacin en la resistencia respecto a la solucin original, mientras que es algo superior a la

optimizacin propuesta previamente.

La posibilidad de poder modificar el material, incluyendo un trmino de penalizacin que

incluyera el coste econmico, nos permitira optimizar an ms el problema.


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Tabla 1.Resumen de resultados

VariableSolucin

ref.Opt.

inicialOpt.

mejorada

Mdulo

(mm): m0 3 2.5 2.5Ancho (mm):

b27 20 45

Nm. dientespin: z1

24 29 17

Nm. dientescorona: z2

48 116 38

Desplazam.pin: x1

0.16 0.3 0.2273

Desplazam.corona: x

2

-0.16 0.008 -0.0038

ngulo dehlice:

0 0 36

Coef. Seg.Rotura pie

pin1.4170 0.9559 1.4633

Coef. Seg.Rotura pie

corona2.1737 1.3386 2.1090

Coef. seg. afatiga pin

0.5673 0.5618 0.5763

Coef. seg. afatiga corona 1.1567 1.1179 1.1101

Peso (kg) 4.31 3.24 2.78


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CONCLUSIONES

A partir del diseo inicial y despus de 240 generaciones, se encuentra un conjunto de

soluciones ptimas. El valor mostrado en la tabla 1 representa la mejor de todas, segn lafuncin de penalizacin obtenida

El mtodo descrito es una verdadera herramienta de ayuda para el diseador, quien

finalmente selecciona la solucin ptima de entre un conjunto de resultados ptimos. Debe

tenerse en cuenta que el conjunto de restricciones no recoge el 100% de las posibles

limitaciones o criterios de diseo. Es pues responsabilidad del diseador el realizar el ajuste

fino seleccionando de entre los posibles resultados el que considere ms conveniente.

El diseador tambin puede adaptar el algoritmo a un problema particular simplemente

aadiendo ms variables al problema, codificndolas conforme al procedimiento descrito.

En el futuro se esperar implementar el algoritmo gentico junto con el clculo, en un

programa informtico que nos permita incluso comparar los ptimos resultantes de

diferentes mtodos de clculo.


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REFERENCIAS

[1] Gallagher, R.H.A.Z., O.C., Optimum Structural Design: Theory and Applications. John

Willey and Sons. 1973

[2]Hillier, F.S.A.L., G.J., Introduction to Mathematical Programming. McGraw-Hill. 1990[3] Rajeev, S.A.K., C.S., Discrete Optimization of Structures Using Genetic Algorithms.

ASCE Journal of Structural Engineering, 118, 5 (1992), p. 1233-1250.

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Optimal Structural Design, S.A.Burns, Editor. 2002, ASCE. p. 1-40.

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OPTIMIZACIÓN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS