Embed Size (px)
Citation preview
IEL1-04-02-10
OPTIMIZAC IÓN DE REDES DE DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA CO N UN MO DELO DE OPTIMIZACIÓN
MULTIO BJETIVO
VIVIANA RIPO LL GO NZÁLEZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉC TRICA Y ELECTRÓ NIC A
BOGOTÁ 2004
IEL1-04-02-10
OPTIMIZAC IÓN DE REDES DE DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA CO N UN MO DELO DE OPTIMIZACIÓN
MULTIO BJETIVO
VIVIANARIPO LL GO NZÁLEZ
TESIS DE GRADO PARA OPTAR PO R EL TÍTULO DE INGENIERO ELÉCTRICO
ASESO R
DR. ALVARO TORRES M.
PROFESOR TITULAR UNIVERSIDAD DE LO S ANDES
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉC TRICA Y ELECTRÓ NIC A
BOGOTÁ 2004
IEL1-04-02-10
TABLA DE C ONTENIDOS
1 INTRODUCCIÓN......................................................................................... 1
2 OBJETIVOS .................................................................................................. 2
3 O PTIMIZACIÓ N MULTIOBJETIVO....................................................... 3
3.1 COMBINACIÓN L INEAL DE PESO S............................................................................................5 3.2 MÉTO DO LE XICOGRÁFICO ............................................................................................................6 3.3 PROGRAMACIÓN DE CO MPROMISOS.....................................................................................7
4 CONCEPTO S BÁSICOS DE LÓGIC A DIFUSA ...................................... 8
4.1 CON JUN TOS DIFUSO S........................................................................................................................8 4.2 TIPO S DE FUNCIONES DE PERTENCIA ................................................................................10 4.3 ÁLGEBRA DE CO NJUNTO S DIFUSOS ....................................................................................14 4.4 LÓGICA DIFUSA ..................................................................................................................................15 4.5 DESFUSIFICA CIÓN ............................................................................................................................16 4.6 TÉCNICA DE LO S CO RTES ALFA (FAC)...............................................................................17
5 CONCEPTO S BÁSICOS DE ALGORITMO S GENÉTICOS ...............18
5.1 COMPOSICIÓN DE U N A LGO RITMO GEN ÉTICO ............................................................19 5.2 COMPOSICIÓN DE L OS ALGO RITMOS GENÉTICOS....................................................20 5.3 OPERADORE S E VOLUTIVOS.......................................................................................................20 5.4 ALGORITMO GENÉTICO EN OP TIMIZACIÓN MULTIO BJE TIVO..........................23
6 DESC RIPCIÓN DEL PRO BLEMA..........................................................29
6.1 FUN CIÓN DE COSTOS......................................................................................................................30 6.2 FUN CIÓN DE CONFIA BILIDAD..................................................................................................37 6.3 PROBLE MA MUL TIO BJE TIVO ....................................................................................................41 6.4 CARACTERIZACIÓN DE LAS VARIA BLES DIFUSAS ...................................................41
7 RESULTADOS CO MPUTAC IONALES .................................................45
7.1 ALGORITMO IMPLEMEN TADO .................................................................................................45 7.2 SOLU CIÓN...............................................................................................................................................49
8 CONCLUSIONES .......................................................................................55
9 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................57
IEL1-04-02-10
1 INTRO DUCC IÓN Tradicionalmente la optimización de un sistema de distribución se ha hecho
siguiendo etapas de optimización monoobjetivos, en donde la función de costo
incluye los costos de inversión, pérdidas y operación y mantenimientos y las
variables representativas se consideran determinísticas. Es decir, en el procedimiento tradicional se han planteado soluciones óptimas para los tamaños y
ubicaciones de las subestaciones, el número y tamaño de los alimentadores
primarios, el número y tamaño de los transformadores de distribución y el número
y tamaño o longitudes de los alimentadores secundarios. A las soluciones óptimas
se imponen criterios de confiabilidad que no se han considerado dentro de las
funciones objetivo sino como límites a satisfacer en la operación del sistema.
En Tesis de Magíster reciente [Chavarro-2004], se ha planteado la solución del
problema global de optimización del sistema, es decir, planteando una función
objetivo que incluye las variables relevantes de costos, pérdidas y operación del
sistema para las subestaciones, alimentadores primarios, transformadores de
distribución y redes secundarias. Este planteamiento permite obtener una mejor
solución ya que no se está interviniendo en la solución y como resultado se
obtiene un sistema definido óptimamente tanto en longitudes, tamaños,
cargabilidades y número de alimentadores y transformadores.
Este proyecto plantea un modelo con varias funciones objetivo para optimización.
La primera será similar a la planteada en el trabajo mencionado. Otra función
considera los costos de confiabilidad con base en el costo de no suministro, es
decir, los costos para los clientes.
En la primera parte de este documento se muestran los objetivos y alcances de
este trabajo, se explican los conceptos básicos para entender la metodología
aplicada: Optimización Multiobjetivo, Algoritmos Genéticos y Lógica Difusa.
Luego, se describe el problema de optimización y se muestra el desarrollo del
modelo y los resultados obtenidos y por último las conclusiones.
IEL1-04-02-10
2 OBJETIVO S Plantear una metodología y métodos de solución de optimización multiobjetivo
para un sistema de distribución de energía eléctrica en donde se plantean varias
funciones objetivos a considerar que incluyan no solo el costo del sistema
primario y secundario sino también los costos y penalizaciones por la confiabilidad y continuidad del servicio a los clientes.
La metodología a plantear permitirá optimizar de manera global las variables más
relevantes de un sistema de distribución tales como la cargabilidad de los
diferentes elementos que la componen y la longitud de las redes tanto de media
tensión (MT) como de baja tensión (BT) para obtener el mínimo costo total.
Además, se plantearán las funciones objetivos con respecto a la confiabilidad o continuidad del servicio y variables que tengan en cuenta la calidad del servicio.
Dentro del modelo de costos se incluye la inversión y las pérdidas de energía
durante el periodo de vida útil de los elementos y la incertidumbre de las
variables.
Para el modelamiento de la incertidumbre de las variables se analizará la
representación difusa de las variables y se adoptará aquella representación que se
adapte más al tipo de incertidumbre considerada y el modelamiento planteado
para las variables del problema.
IEL1-04-02-10
3 O PTIMIZAC IÓ N MULTIO BJETIVO En un problema de optimización monobjetivo se busca el mínimo o el máximo
global de una función )(xf . El proceso se puede plantear de la siguiente forma:
Max )(xf o Min )(xf (1)
Sujeto a:
0)( ≤xgi i=1,2,…,m
0)( =xhi i=1,2,…,p
donde Tnxxxxx )...,,,( ,321=
La solución óptima es *x que maximiza (o minimiza) la función *)(xf .
En la realidad, muchos problemas con múltiples objetivos existen. La
optimización multiobjetivo consiste en hallar un vector de variables de decisión que satisfacen las restricciones y optimizan un vector de funciones cuyos
elementos representan las funciones objetivos del problema. Estas funciones
normalmente están en conflictos una con cada otra. Por lo tanto, la optimización
consiste en hallar una solución con valores de las funciones objetivo aceptable en
forma global para el tomador de decisión.
En un problema de optimización multiobjetivo se tienen varias funciones n que
forman el vector de objetivos [ ]Tk xfxfxfxZ )(),...,(),()( 21= . Cuando se tienen
varias funciones objetivo, el significado de Optimizar )(xZ para un vector
x pierde el sentido que tenía para la optimización monoobjetivo, varias
optimizaciones se deben trabajar pero en conjunto.
De manera general, el problema se puede expresar así:
Optimizar [ ]Tk xfxfxfxZ )(),...,(),()( 21= (2)
IEL1-04-02-10
Sujeto a:
0)( ≤xgi i=1,2,…,m
0)( =xhi i=1,2,…,p
Donde Tnxxxxx )...,,,( ,321=
La solución óptima *x “intenta” cumplir con tres situaciones en la optimización
multiobjetivo del vector )(xZ :
• Minimizar todas las funciones objetivos
• Maximizar todas las funciones objetivos
• Maximizar algunas y minimizar otras funciones objetivos
Se usa el término intentar ya que una única solución x no necesariamente
cumplirá lo deseado en cada componente del vector )(xZ de funciones. Lo que se
pretende entonces, es encontrar buenos compromisos o trade-offs entre las
funciones más que una única solución. Este es el nuevo concepto de optimización que se usará para el problema multiobjetivo.
Una característica que deben tener estas soluciones o buenos compromisos es que
sean no dominadas. Un vector )...,,,( ,321 nuuuuu = domina a otro vector
)...,,,( ,321 nvvvvv = si cualquier objetivo evaluado en )...,,,( ,321 nuuuuu = no es
peor que el objetivo evaluado en )...,,,( ,321 nvvvvv = y al menos uno de esos
objetivos evaluados en )...,,,( ,321 nuuuuu = es mejor que al ser evaluado en
)...,,,( ,321 nvvvvv = . Este concepto también es llamado Dominancia de Pareto.
Las soluciones que son no dominadas forman el Conjunto Óptimo de Pareto o los
Puntos Eficientes y la evaluación de estos vectores en las funciones objetivos
forman el Frente de Pareto o la Frontera Eficiente en el espacio de las funciones
IEL1-04-02-10
objetivos. En la Figura 3-1 se muestra la evaluación de vectores para un problema
bi-objetivo. La línea oscura muestra el Frente de Pareto.
Figura 3-1. Ejemplo de un problem a bi-objetivo. El Frente de Pareto se muestra con la línea oscura.
f1
f2
A continuación se muestran algunos métodos para la solución de los problemas de
optimización multiobjetivo.
3.1 C OMBINACIÓN LINEAL DE PESO S
Las n funciones objetivos que conforman el vector )(xZ pueden ser combinadas
formando una única función objetivo acompañadas cada una por un peso w, como
lo muestra la siguiente ecuación:
kki fwfwfwU +++= ,,,221 o ∑=
=n
iii fwU
1
(3)
Donde
U representa la función de utilidad o función de ajuste.
wi es el peso de la función i y se puede interpretar como el nivel de importancia de
la función i.
Los pesos w le agregan subjetividad al problema ya que indican las preferencias
del tomador de decisión. Por ejemplo, si se tienen dos funciones función 1 y
IEL1-04-02-10
función 2, un peso mayor asignado a la función 1 le dará mayor importancia a lo
que ocurre en esta función ya que pesa más dentro de la función de utilidad U.
Obviamente la normalización de los pesos es necesaria para tener las escalas de
cada función iguales y poder hacer la combinación lineal. De esta manera el
problema de optimización multiobjetivo se ha convertido a uno monoobjetivo.
Una gran desventaja de este método es la dificultad que representa el escoger los
pesos w. De otra forma, estos pesos se pueden interpretar como solo factores que
al ser variados de forma paramétrica permiten obtener puntos del Conjunto
optimo de Pareto, las soluciones no dominadas.
3.2 MÉTODO LEXICOGRÁFIC O
Este método convierte el problema multiobjetivo en un número de problemas
monoobjetivos igual al número de funciones que componen el vector )(xZ .
Las funciones objetivos del vector )(xZ son organizadas en el nivel de
importancia (de mayor a menor) por el tomador de decisión. Cada función se
optimiza en orden de prioridad, es decir la primera en importancia es optimizada
sin tener en cuenta las demás funciones. Luego la segunda función más
importante se optimiza pero este segundo problema está sujeto a que la primera
función alcance su objetivo, obtenido del primer problema. De igual manera, la
tercera función se optimiza teniendo como restricción que la función 1 obtenga el
resultado del primer proceso y la función 2 obtenga el resultado del segundo
proceso. Y así se sigue con las demás funciones.
Una ventaja de este método es que los objetivos que son medidos en diferentes
unidades pueden ser organizados sin necesidad de ser determinados los pesos
relativos. Sin embargo la solución está sujeta a la subjetividad del tomador de
decisión debido a la necesidad de establecer un orden de importancia entre las
IEL1-04-02-10
funciones que se tienen. Además, la solución obtenida no muestra un buen
compromiso entre los objetivos.
3.3 PRO GRAMAC IÓ N DE C OMPROMISOS
Si se optimiza cada una de las funciones se obtiene el valor ideal *if para cada una
independiente a las demás funciones. En este método se pretende que cada
función se acerque lo más posible a su ideal en vez de darle o restarle importancia
a las funciones que se tengan.
El objetivo de este método es el de minimizar una función que mide que tan cerca
puede estar una función de su respectivo valor ideal. La medida de este
acercamiento a lo ideal es la familia de las medidas Lp:
ppn
i i
iip f
fffL
/1
1*
*
)(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −= ∑
=
(4)
Cada componente de la sumatoria representa el Desplazamiento Ideal de cada
función. El valor de p determina el tipo de distancia. Para p=1 las desviaciones
relativas son directamente proporcionales a las magnitudes. Para p =2 se obtiene
la menor distancia geométrica entre dos puntos que es la Distancia Euclidiana.
Para p = ∞ solo se tiene en cuenta la desviación más grande. En la ecuación
también se tiene en cuenta la normalización de las funciones que forman el vector
)(xZ .
De esta forma el problema multiobjetivo se convierte en un problema
monoobjetivo y la subjetividad del tomador de decisión no afecta la solución del
problema como en otros métodos. La ecuación 5 muestra el nuevo problema:
Min ppn
i i
iip f
fffL
/1
1*
*
)(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −= ∑
=
(5)
IEL1-04-02-10
4 CO NC EPTOS BÁSIC OS DE LÓGICA DIFUSA En muchos casos las variables que se tienen en un modelo no se pueden medir de
manera confiable y pueden ser imprecisas, como es el caso de variables en el
Modelamiento de Sistemas de Distribución de Energía Eléctrica. Algunas
variables necesarias para el modelo son inciertas y se necesita entonces la
experiencia de un observador o “experto” para su representación y operación. La
teoría de conjuntos difusos permite modelar estas imprecisiones teniendo en
cuenta el estado de ignorancia y los grados de clasificación que le puede dar el
experto a la variable.
Como se mencionó, en el Modelamiento de Sistemas de Distribución de Energía
Eléctrica existen variables imprecisas y se basará en la teoría de los conjuntos
difusos para su representación. La Optimización Multiobjetivo Difusa será un
método para la optimización del sistema y por tanto los resultados como los
costos, la longitud y la potencia de las líneas del sistema de distribución estarán
representados por variables difusas.
A continuación se presentan los conceptos básicos de Lógica Difusa y se
describirá un método que permite la optimización de problemas con variables
difusas.
4.1 C ONJUNTOS DIFUSOS
Un Conjunto Difuso permite describir el significado de palabras vagas e
imprecisas. Los conjuntos difusos están formados por funciones que relacionan un
universo de objetos en un intervalo [0,1]. La función que hace esta relación para el
conjunto difuso A~ es la función [ ]1,0)( ∈xAµ . La función )(xAµ indica el grado
de pertenencia del elemento x en el conjunto difuso A~ . (Torres, 2003).En
adelante, un conjunto difuso será representado por la viñeta arriba de su nombre.
IEL1-04-02-10
Mediante combinaciones y operaciones sobre conjuntos difusos se construye la
Lógica Difusa. Estas operaciones son parecidas a las de los conjuntos clásicos,
como se verá más adelante.
Un elemento clave para el entendimiento de la lógica difusa es la función de
pertenencia. La función )(xAµ o función de pertenencia o de membresía indica la
compatibilidad o “grado de pertenencia” que tiene determinado elemento x con el
conjunto difuso A~ . Este concepto es diferente que el de considerar que el valor de
)(xAµ indica la probabilidad de que el elemento x pertenezca al conjunto difuso
A~ .
Una función de pertenencia asigna a cada elemento de un conjunto difuso un
grado de pertenencia entre 0 y 1. Un conjunto difuso A~ en X se define por el
conjunto de pares ordenados ))(,( xx Aµ así:
XxxxA A ∈= /)(,µ (6)
Para la representación de una función de pertenencia se puede tener que las
variables a las que se asocia son un conjunto finito. Si se considera el universo
)...,,,( ,321 nxxxxx = el subconjunto difuso A~ de x se puede representar así:
∑∈
=++=Xx i
iA
n
nAAA
xx
xx
xx
xxA )()(...)()(
2
2
1
1 µµµµ (7)
Si se tiene que el conjunto de variables es continuo se puede usar la siguiente
connotación:
∫=x i
iA
xxA )(µ (8)
Para las ecuaciones 7 y 8 los signos de suma e integral no significan sumatoria o
integración sino la unión de los pares ))(,( xx Aµ , la línea horizontal no significa
división, ésta es una barra delimitadora.
IEL1-04-02-10
4.2 TIPO S DE FUNCIONES DE PERTENCIA
Cualquier función de pertenencia es válida, y su forma depende del concepto a
definir, del contexto a que se refiera y de la aplicación. En general, es preferible
usar funciones simples debido a que simplifican muchos cálculos y no pierden
exactitud, dado que se está definiendo un concepto difuso (Galindo, 2000).
A continuación se presentan las características de algunos tipos de funciones de
pertenencia:
• Función Triangular: Representada por la ecuación 8. Se muestra en la
Figura 4-1 con los parámetros mostrados.
0 si
si
Triangular (x,a,b,c)=si
0 si
cxb ≤<
abax
−−
bcxc
−−
bxa ≤<
xc ≤
ax ≤
(9)
Figura 4-1. Función de Pertenencia Triangular
Función de Pertenencia Triangular
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
a=1b=2c=3
• Función Trapezoidal: Representada por la ecuación 10. Se muestra en la
Figura 4-2 con los parámetros señalados.
IEL1-04-02-10
0 si
si
Trapezoidal (x,a,b,c,d)= 1 si
si
0 si
ax ≤
abax
−− bxa ≤<
cxb ≤<
cdxd
−−
dxc ≤<
xd < (10)
Figura 4-2.Función de Pertenencia Trapezoidal
Función de Pertenencia Trapezoidal
00,2
0,40,60,8
1
1 2 3 4
a=1b=2c=3d=4
• Función Gaussiana: Representada por la ecuación 11. Se muestra en la
Figura 4-3 con los parámetros señalados.
2)/))((2/1(),,( σσ cxecxGaussiana −−= (11)
IEL1-04-02-10
Figura 4-3. Función de Pertenencia Gaussiana
Función de Pertenencia Gaussiana
00,2
0,40,6
0,81
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
c=50s=20
• Campana Generalizada: Representada por la ecuación 12. Se muestra en la
Figura 4-4 con los parámetros señalados.
b
acx
cbaxCampana 2
1
1),,,(
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+
= (12)
Figura 4-4. Función de Pertenencia de Campana
Función de Pertenencia Campana
0
0,20,4
0,6
0,81
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
a=1b=2c=3
• Función Sigmoide: Representada por la ecuación 13. Se muestra en la Figura
4-5 con los parámetros señalados.
)(11),,( cxae
caxSigmoide−−+
= (13)
IEL1-04-02-10
Figura 4-5. Función de Pertenencia Sigmoide
Función de Pertenencia Sigmoide
0
0,2
0,40,6
0,81
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
a=0,1c=50
Las características principales que definen una función de pertenencia para un
conjunto difuso A son (Torres Álvaro, 2003):
• Corte-Alfa o Nivel-Alfa: Es el intervalo real para el cual todos sus elementos
pertenecen al conjunto difuso con un nivel de confianza mayor o igual a alfa.
Se representa así 0)(/ ≥xx Aµ .
• Núcleo (A): Son los valores o el intervalo de valores para los cuales el grado
de pertenencia es igual a 1. Se representa así: .1)(/ ≥xx Aµ
• Cruce (A): Son los valores para los cuales el grado de pertenencia es igual a
0.5. Se representa así: 5.0)(/ ≥xx Aµ .
• Soporte (A): Son los valores para los cuales el grado de pertenencia es mayor
que 0. Se representa así: 0)(/ >xx Aµ .
• Conjunto difuso convexo o cóncavo. Su función de pertenencia cumple que si
1x , 2x X∈ y ∀ [ ]1,0∈λ .
Convexo: Cualquier punto entre 1x y 2x que tenga un grado de
pertenencia mayor de 1x y 2x . )(),(min))1(( 2121 xAxAxxA ≥−+ λλ .
Cóncavo: )(),(max))1(( 2121 xAxAxxA ≤−+ λλ
En la siguiente Figura 4-6 se muestra estas características para una función
triangular:
IEL1-04-02-10
Figura 4-6. Características de una función de pertenencia
1
0.5
Núcleo
Soporte
Corte alfa
alfa
0
Cruce
4.3 ÁLGEBRA DE CO NJUNTOS DIFUSOS Unión o Disyunción: Se tienen dos conjuntos difusos A~ y B~ . La unión de dos
conjuntos puede definirse con base en los conjuntos de corte alfa, así:
( ) ααα BABABA ~~~~~~∪=∪=∪ (14)
Por lo tanto, para todo Xx ∈
)(),(min:min)( xxBAxx BABA µµαµ αα =∪∈=∪ (15)
Y entonces:
[ ])(),(max xx BABA µµµµ =∨ (16)
En la Figura 4-7 se muestra un ejemplo.
Figura 4-7. Unión de dos funciones de pertenencia
Unión
• Intersección o Conjunción: De igual forma que en la operación de Unión se
encuentra que:
[ ])(),(min xx BABA µµµµ =∧ (17)
IEL1-04-02-10
En la Figura 4-8 se muestra un ejemplo para la intersección
Figura 4-8. Intersección de dos funciones de pertenencia
Intersección
• Complemento o Negación: Se tiene que
)(1 xAA µµ −= (18)
En la Figura 4-9 se muestra un ejemplo para la intersección
Figura 4-9. Negación de una función de pertenencia
Negación
4.4 LÓGIC A DIFUSA La lógica difusa se basa en las variable lingüísticas, que permiten reducir la
complejidad de ciertas definiciones (Galindo, 2000).
Por ejemplo, si se tiene una función de pertenencia que caracteriza la temperatura
en una habitación, los atributos de “frío” y “caliente” pueden representarse por
funciones de pertenencias a partir de la función de temperatura. Todos los
atributos se pueden representar a partir de modificaciones de la función
característica inicial (Chávarro, 2004).
IEL1-04-02-10
Dos elementos pueden ser usados para la modificación de las funciones de
pertenencia: La dilatación hace que cada elemento del conjunto obtenga un grado
de pertenencia mayor. La concentración hace que cada elemento del conjunto
obtenga un grado de pertenencia menor. Siguiendo el caso anterior se puede
obtener los atributos para “muy frío” o “ ni frío ni caliente” a partir de la función
de pertenencia de Temperatura así:
)(2/1)( xAADil µµ = )(2
)( xAACon µµ = (22)
Como se mencionó antes, la manipulación sobre los conjuntos difusos permiten la
generación de relaciones difusas y así se forma la Lógica Difusa .
4.5 DESFUSIFICACIÓ N Desfusificar o Concretar es la forma de obtener un valor concreto a partir de un
conjunto difuso como su valor representativo. Existen varias formas para
concretar (Torres, 2004):
• Centroide del Área COA: El valor concreto es el centro de gravedad de la
función de pertenencia del conjunto A. Su valor se da así:
∫∫
=
xA
xA
dxx
xdxxCOA
)(
)(
µ
µ (19)
• Bisector del Área BOA: Es el valor que iguala el área del conjunto A que
queda a la izquierda y a la derecha. Para esto se usa la siguiente ecuación:
∫∫ =x
xBOAA
xBOA
xA dxxdxx )()( µµ (20)
IEL1-04-02-10
Donde Xxx ∈= /minα y Xxx ∈= /maxβ . La línea vertical x - xBOA
parte de la región entre α=z , β=z , 0=y y )(xy Aµ= en dos regiones con
la misma área.
• MOM: El valor concreto es el promedio entre los elementos del conjunto A
que tienen un valor de pertenencia máximo. Dada por la siguiente ecuación:
∫∫
=
x
x
dx
xdxMOM (21)
4.6 TÉC NIC A DE LOS CORTES ALFA (FAC)
El método de los conjuntos de alfa corte se basa en el principio de extensión que
permite obtener la función de pertenencia de una variable difusa (Torres, 2003).
Para esto, la función de pertenencia se corta horizontalmente en un número finito
de niveles α entre 0 y 1, que son los niveles alfa. Por cada corte, se corre el modelo para determinar los valores mínimo (parte izquierda) y máximo (parte
derecha) ya que las variables difusas presentan dos valores por cada corte. Al
obtener todos los valores se puede construir la función de pertenencia de salida
que más se ajuste modelando así la incertidumbre de la salida.
Más adelante se explica la forma en que será aplicada la técnica de los cortes alfa
como solución al problema de optimización multiobjetivo.
IEL1-04-02-10
5 CO NC EPTO S BÁSICO S DE ALGORITMOS GENÉTIC OS
Los algoritmos genéticos se han venido aplicando a problemas de optimización
como respuesta a los problemas que presentaban las técnicas clásicas aplicadas,
como por ejemplo en los casos donde el crecimiento en el número de variables en
el problema hace que el tiempo en encontrar la solución aumente de manera
exponencial. Además los algoritmos genéticos ofrecen facilidad a la hora de la
aplicación de las restricciones y no se ven afectados por la complejidad de las
ecuaciones del problema a resolver. Los Algoritmos Genéticos hacen parte de los
Algoritmos Evolucionarios basados en la evolución natural. Algunas de las
características que tienen en cuenta estos algoritmos son (Ramos, 2004):
• La Evolución es un proceso que opera en los cromosomas en lugar de los seres
vivos que ellos codifican.
• Los procesos de selección natural provocan que los cromosomas que codifican
estructuras con mayor rendimiento se reproduzcan más frecuentemente que
aquellos con menor rendimiento.
• Las mutaciones pueden causar que los cromosomas de los hijos sean
diferentes a los de los padres.
• Durante los procesos de recombinación se pueden crear cromosomas que sean
bastante diferentes en los hijos por la combinación de material genético de los
cromosomas de los padres.
• La evolución biológica no tiene memoria.
Los algoritmos genéticos se basan también en el hecho de crear una buena
codificación de las configuraciones del problema que se tiene, además de la
habilidad de manipular y hacer transformaciones de dichas codificaciones
encontrando de esta manera nuevas configuraciones.
En la evolución cada individuo se enfrenta a un ambiente hostil que es donde
vive. Sus habilidades dadas por los genes definirán si sobrevive en ese ambiente.
La selección natural permite encontrar los individuos que sobreviven y que por
IEL1-04-02-10
tanto tienen el mejor material genético y son los que podrán reproducirse. Es así
como un algoritmo será capaz de encontrar cada vez mejores individuos. Para
esto, solo se tiene en cuenta la evaluación de cada individuo en la función objetivo
y la evaluación de las restricciones que determinan el ambiente hostil en el que
viven los individuos.
El método de Algoritmos Genéticos será utilizado como técnica de solución en el
problema de optimización multiobjetivo. El modelo presenta ecuaciones no
lineales además de un número de variables que hacen tediosa la aplicación de
métodos clásicos.
5.1 C OMPOSICIÓN DE UN ALGO RITMO GENÉTIC O
Se tiene una población inicial donde cada individuo es una posible solución al
problema de optimización. Un individuo está codificado por una cadena de datos
de longitud determinada a lo que se le llama genotipo, la decodificación de esta
cadena define el fenotipo o como se expresa ese individuo. Cada genotipo está
formado por uno o varios cromosomas, a su vez cada cromosoma está compuesto
de alelos que son el alfabeto genético. Finalmente el locus identifica la posición
en el cromosoma. En la Figura 5-1 se muestra la estructura y la terminología que
se usará en este trabajo para algoritmos genéticos.
Figura 5-1. Estructura y term inología para algoritmos genéticos
1 2 3 4 5 6 70 1 0 1 1 0 0 Cromosoma0 1 1 0 1 1 1 Cromosoma1 0 1 0 1 1 0
Alelo con valor 0 0 1 1 0 0 0 1 .1 1 1 0 1 0 0 .0 1 0 1 0 0 1 .1 1 1 0 0 0 10 0 1 0 1 1 1
Alelo con valor 1 1 1 1 0 0 1 00 1 1 0 1 1 1 Cromosoma
Locus
Población
IEL1-04-02-10
5.2 C OMPOSICIÓN DE LO S ALGORITMOS GENÉTIC OS
Codificación : Generalmente la codificación de los cromosomas se hace en
base de listas binarias. aunque se han explorado nuevas formas de codificación
como letras o los números reales ya que algunas veces no son efectivas . En
este trabajo será usada la codificación binaria.
Población Inicial: La población inicial puede ser generada de manera aleatoria
cuando el problema es nuevo, es decir no se han hecho pruebas de él. Cuando
el problema ya ha sido trabajado, la población resultante puede ser la
población inicial para el nuevo tratamiento del problema ya que esta población
puede decirse que está adaptada y permitiría un mayor avance en el problema.
Otra opción es la de crear una mezcla entre una población aleatoria y otra ya
adaptada.
Rendimiento: El rendimiento de cada individuo es medido por la función de
evaluación o función objetivo. En una misma población se evalúa cada
individuo y al comparar el rendimiento de cada uno con respecto al de los
demás se obtiene la aptitud clasificándose de mejor a peor. La aptitud
determinará si ese individuo sobrevive o no y también la forma en que se
reproducirá.
El definir como se reproducirán, quienes se sobrevivirán y quienes morirán se da
gracias a la aplicación de los Operadores Evolutivos los cuales intentan establecer
una nueva población con mejor aptitud o mejor ajuste. Los operadores más
comunes son tres: recombinación o cruce, selección y mutación.. El proceso de
tener una población y pasar a otra constituye una generación en la ejecución del
algoritmo genético.
5.3 O PERADO RES EVOLUTIVO S Como se mencionó anteriormente, los operadores permiten establecer la nueva
población basándose en la aptitud de cada individuo de la población actual. Otros
IEL1-04-02-10
operadores pueden ser utilizados, pero aquí solo se explican los básicos para un
algoritmo genético.
5.3.1 Operador Selección Para la selección se tiene en cuenta la aptitud de cada individuo de la población. Este operador indica los individuos que se cruzarán, lo más lógico es que este
operador escoja a los mejores.
Existen varios métodos para la selección. Pero en este trabajo se usará la selección
por sorteo. Aquí a cada individuo se le asigna un rango o una probabilidad dada
gracias a su aptitud obtenida de la función de evaluación. Se escoge un número
aleatorio dentro de la probabilidad o rango total y obviamente el obtenido decidirá cual es el individuo escogido.
De esta forma son escogidos los padres que con su reproducción sexual formarán
la población de la siguiente generación.
5.3.2 Operador Recom binación
Este operador se usa cuando los padres están escogidos ya que el proceso consiste
en que éstos intercambien parte de su material genético.
El operador de recombinación se encarga de escoger el locus donde se produce el
rompimiento en el cromosoma de cada uno de los padres. La información del
cromosoma antes de este punto de ruptura para un padre y después de este punto
para el otro padre determina el material genético del cromosoma de los hijos.
Por ejemplo se tienen los siguientes padres seleccionados, con el locus ya
escogido (representada por la barra vertical):
Cromosoma padre 1: 1011011000
IEL1-04-02-10
Cromosoma padre 2: 0110110111
Entonces se tienen los nuevos hijos:
Cromosoma hijo 1: 1011011111
Cromosoma hijo 2: 0110110000
El locus que será el punto de ruptura es escogido por un número al azar entre el
tamaño del cromosoma.
5.3.3 Operador Mutación
Después de aplicado el operador cruce se procede a aplicar el operador mutación.
Así como en la naturaleza, cada alelo en el cromosoma tiene una probabilidad de
sufrir mutación y generar entonces una variación en el genotipo y por tanto un
cambio en la aptitud del individuo.
Este operador se aplica con el fin de hacer una variación completamente aleatoria
ya que no depende de la aptitud que los individuos hayan presentado, haciendo
que los individuos no sean similares. Una similitud entre los individuos se traduce
en un acercamiento común a la solución óptima, si ocurre una mutación, uno de
los individuos se alejará de ese acercamiento buscando otras soluciones. Esto
evita que la convergencia del algoritmo genético sea prematura y en algunos
evitaría que ese grupo de individuos se acerque a un óptimo no global.
Para la aplicación del operador mutación cada alelo tiene la misma probabilidad
de sufrir mutación. Si el alelo afectado tiene un valor de 1 y muta, su nuevo valor
será 0, a su vez si el valor es de 0 pasa a ser 1.
Se muestra el siguiente cromosoma:
1011011000
IEL1-04-02-10
Si la mutación afecta el alelo 2 se obtiene el siguiente cromosoma:
1111011000
Criterio de Finalización: Como se ha mencionado, en todas las generaciones
se evalúa la función objetivo en la población obteniéndose la aptitud de cada
individuo. A medida que el problema se va acercando a la solución se nota
una convergencia de la aptitud de los individuos al punto óptimo exceptuando
en los casos cuando una mutación hace que algunos individuos se separen de
esta convergencia. Se nota esta convergencia cuando el mejor de los
individuos de la población no ha cambiado en varias generaciones. Por tanto
es necesario establecer un número máximo de generaciones continuas en las
que se debe expresar el mismo individuo (o individuos muy parecidos) como
el mejor de la población.
5.4 ALGORITMO GENÉTICO EN O PTIMIZACIÓ N MULTIOBJETIVO
Los problemas de tipo multiobjetivo han sido estudiados utilizando técnicas
tradicionales de optimización y de búsqueda de soluciones. En la última década
los algoritmos genéticos se han aplicado para resolverlos (Bernal, 1998).
Hasta ahora se han explicado los conceptos básicos para implementar la técnica de
Algoritmos Genéticos como un método de solución para los problemas de
optimización monoobjetivo. En esta sección se explicarán los cambios en los
conceptos que implica el uso de Algoritmos Genéticos para Optimización
Multiobjetivo.
5.4.1 Evaluación de la aptitud de los individuos
En los algoritmos genéticos se deben estar evaluando los individuos en cada
población para hallar su aptitud y así determinar la forma en que se creará la
próxima población con la ayuda de los operadores evolutivos. En optimización
IEL1-04-02-10
monoobjetivo al evaluar cada individuo se podía determinar cual era el de mejor
aptitud. En el caso del problema multiobjetivo, el clasificar la aptitud de cada
individuo no es tarea sencilla, ya que son varias funciones la que determinan dicha
aptitud.
Para los individuos en un problema de optimización multiobjetivo la aptitud está
definida por si el individuo ofrece una solución dominada o no lo hace. Por tanto
no se podrá obtener una mejor solución sino un conjunto de soluciones no
dominadas que definirán el Frente de Pareto.
En la Figura 5-2 se muestran 3 puntos que indican soluciones para dos funciones
objetivos en un problema determinado. En el eje horizontal se muestra los valores
para la función objetivo 1 y en el eje vertical se asignan los valores para la función
objetivo 2. Lo que se desea es minimizar las dos funciones. El punto 1 indica el
menor valor para la función 1 pero a su vez es el mayor valor para la función 2. El
punto 2 indica el menor valor para la función 2 pero el mayor valor para la
función 1. El punto 3 tiene menor el valor de la función objetivo 2 que la que
ofrece el punto 1, pero el valor de la función objetivo 1 es mayor. Esto hace que la
solución del punto 3 sea una solución dominada por la solución del punto 1. Este
es el criterio para establecer cuales son los puntos eficientes.
Figura 5-2. Ejemplo de soluciones para un problema con dos objetivos
f1
f21
2
3
Con el fin de hacer más específica la clasificación de las aptitudes de los individuos, pueden declararse diferentes tipos de dominancia. Con esto, no se
eliminarían todos los individuos que no ofrezcan una solución no dominada y así
se tendrían más opciones (padres) para reproducir. Si una solución solo está
IEL1-04-02-10
dominada por otra puede llamarse a como solución dominada de grado 1. Si está
dominada por dos soluciones será de grado 2 y así sucesivamente, una solución no
dominada será por tanto de grado o. En la Figura 5-2 se puede observar que el
punto 3 ofrece una dominancia de grado 1. Obviamente a menor grado de
dominancia las soluciones tendrán mejor aptitud. Las soluciones de grado 1
tendrán aptitud menor que las de grado 0 o no dominadas pero será mayor a las de
grado 2.
En la Figura 5-3 se muestran soluciones para un problema de dos funciones
objetivos y se define el grado de dominancia de algunas. Para problemas de
optimización con más de dos objetivos puede ser aplicado el mismo criterio para
clasificar la aptitud de los individuos.
Figura 5-3. Ejem plo de soluciones para una problema con dos objetivos. G0 solución de grado 0, G1 de grado 1, G2 de grado 2 y G5 de grado 5.
f1
f2 G5
G1
G0G 2
Ya definida la medida de la aptitud de los individuos se procede a aplicar los
diferentes operadores.
5.4.2 Operadores Evolutivos Selección: Para un problema de tipo monoobjetivo se tiene que la solución que
se busca es única. El operador es aplicado dependiendo de la aptitud de los
individuos que se tienen en la población. De esta forma se combinan los
individuos con mejor aptitud con el fin de llegar al mejor. Por el proceso de
IEL1-04-02-10
selección natural si un individuo presenta mejor aptitud que otro, este último
tendrá menos probabilidad de reproducirse y de sobrevivir.
Para el caso de un problema de tipo multiobjetivo, ya se sabe que no se tiene una
única solución óptima sino un conjunto de soluciones no dominadas. El proceso
de selección natural no puede ser aplicado de igual forma al monoobjetivo, ya que
las soluciones no dominadas no deben ser olvidadas deben mantenerse para poder
ser comparadas con los individuos de las poblaciones de las siguientes
generaciones, con el fin de encontrar soluciones que las dominen y así ir
mejorando la población.
En resumen, este operador se aplica de la siguiente forma: las soluciones no
dominadas pasan automáticamente a formar parte de la población de la siguiente
generación, luego para crear los siguientes individuos si se aplica el operador
selección como fue explicado anteriormente. Es decir, ya asegurado el paso de las
no dominadas, se les asigna un rango a los individuos dependiendo de su aptitud,
luego se escoge un número aleatorio del rango total y este decide cual es el
individuo seleccionado.
Cruce: El proceso que lleva este operador no presenta ningún cambio para la
aplicación de un problema multiobjetivo.
En lo que interfiere el operador de cruce depende de cómo se haya definido el
tamaño de la población. Si este es fijo durante todas las generaciones es necesario
limitar la tasa de cruzamiento debido a que obligatoriamente parte de la población
estará ocupada por las soluciones no dominadas que surgieron sin necesidad del
cruce sino que vienen de las poblaciones anteriores.
Con el fin de no limitar el efecto de la tasa de cruce y por tanto que el número de
soluciones no dominadas sigan aumentando no se debe fijar el tamaño de la
población, este debe ir creciendo.
IEL1-04-02-10
Mutación: Como en el operador anterior, el concepto de mutación no cambia
al ser aplicado al problema multiobjetivo, lo que cambia es el efecto que
produce en este tipo de problemas que ya no es de la misma magnitud que en
la optimización monoobjetivo.
Recordando que el principal objetivo de una mutación es el de evitar una
convergencia prematura y tal vez el que se obtenga una solución no global en el
problema monoobjetivo.
Para el problema multiobjetivo no se consigue lo mismo, como se tienen varias
soluciones acertadas, una mutación no genera el mismo efecto ya que el mover un
solo individuo no implica la búsqueda de nuevas soluciones ni evita una
convergencia prematura. Por tanto, para que se note el efecto el peso de la tasa de
mutación debe ser mucho más grande que el que se tiene para un problema
monoobjetivo. Obviamente a medida que va aumentando la población (debido a
que va creciendo el número de soluciones no dominadas) el efecto de la tasa de
cruce será cada vez menor.
Debido a que las soluciones no dominadas deben mantenerse se debe tener
cuidado en que la tasa de cruce no sea aplicada a estos individuos.
5.4.3 Criterio de Parada
El criterio de parada no puede ser el mismo usado para optimización
monoobjetivo por la misma razón de los operadores: por que no se intenta buscar
una única solución.
Uno de los métodos usados como criterio de finalización es el Centro de los
Ideales (Bernal, 1998) que consiste en: “medir (de un proceso al inmediatamente
posterior) el desplazamiento del punto medio de la recta que une a los ideales de
las dos funciones objetivos (extremos de la curva de soluciones no dominadas,
denominados “ideales”). Se trata, por lo tanto, de estudiar el desplazamiento.
IEL1-04-02-10
Dicho desplazamiento presentará un valor que dependerá de las coordenadas de
dicho centro de los ideales al final de un proceso y al final del ejecutado a
continuación. En primer lugar se normalizan estas coordenadas. Para ello se
divide el coste del centro de los ideales por el mayor coste de entre todas las
soluciones no dominadas existentes al final de los procesos de optimización
multiobjetivo que se hayan realizado. Así es posible calcular el desplazamiento
del centro de ideales (mediante una métrica euclídea) al pasar de un proceso a otro
y se dispone de una medida que (al haber normalizado las coordenadas), permite
evaluar en igualdad de condiciones el desplazamiento hacia cualquiera de los dos
ejes en los que se representan los dos objetivos (con más objetivos se aplicaría
este método de idéntica forma), … ”.
La Figura 5-4 muestra el centro de los ideales para dos funciones objetivos en una
generación. Los punto blancos indican el ideal de cada función para la una
población que se esté trabajando. Una línea oscura une estos puntos de donde se
obtiene el centro de los ideales.
Figura 5-4. C entro de los ideales para un problema con 2 funciones objetivos
Centro de losideales
f1
f2
Otro método y mucho menos complejo consiste en observar en cada generación el
porcentaje de soluciones no dominadas que forman la población total.
Obviamente para cada generación el tamaño de la población irá aumentando hasta
el punto en que todas las soluciones que se tengan sean eficientes y por tanto se
obtiene como solución el Frente de Pareto.
IEL1-04-02-10
6 DESCRIPC IÓ N DEL PROBLEMA
Como se ha mencionado, este trabajo tiene base en Tesis de Magíster reciente
(Chavarro-2004), donde se ha planteado la solución del problema global de
optimización de un sistema de distribución de energía eléctrica, es decir,
planteando una función objetivo que incluye las variables relevantes de costos,
pérdidas y operación del sistema para las subestaciones, alimentadores primarios,
transformadores de distribución y redes secundarias. Este planteamiento permite
obtener una mejor solución ya que no se está interviniendo en la solución y como
resultado se obtiene un sistema definido óptimamente tanto en longitudes,
tamaños, cargabilidades y número de alimentadores y transformadores. En este
trabajo no se ha seguido el planeamiento independiente para subtransmisión y
distribución con que se han optimizado tradicionalmente los sistemas de
distribución, en cambio, se tiene en cuenta el planeamiento de manera integral
donde se optimiza todo el sistema y no cada parte por separado. Al hacer esta
integración, se obtiene un problema bastante complejo correspondiente a proceso
no lineal, ya que la optimización incluye la minimización de las pérdidas donde
interviene la corriente al cuadrado.
Adicionalmente, en el trabajo referido se consideró la incertidumbre de las
variables utilizando la representación difusa. Las funciones de caracterización de
la incertidumbre se obtuvieron mediante procedimientos propuestos debidamente
probados y que se consideraron aceptables y convenientes para el proceso de
optimización. El proceso de optimización no lineal difuso resultante se realizó con
métodos planteados en la literatura técnica basado en conjuntos de corte alfa el
cual ya ha sido explicado.
En resumen, la optimización del sistema de distribución del trabajo mencionado
se ha hecho siguiendo la teoría de optimización monoobjetivo, en donde la
función de costo representa los costos totales asociados a la topología del sistema
de distribución y las variables representativas se han considerado difusas.
IEL1-04-02-10
Con el fin de incluir la idea de confiabilidad a un sistema de distribución de
energía eléctrica, tradicionalemente lo que se ha hecho es que a las soluciones
óptimas se les imponen criterios de confiabilidad que no se han considerado
dentro de las funciones objetivo sino como límites a satisfacer en la operación del
sistema. De esta forma se sigue el concepto de optimización monoobjetivo.
Un modelo con varias funciones objetivo para optimización es capaz de
representar con mayor exactitud la realidad. Una función a optimizar es similar a
la planteada en la Tesis de Magíster mencionada en donde se consideran los
costos de inversión y pérdidas, además de las variables difusas. Otra función
considera la confiabilidad del sistema y los costos de penalización por la falta de
suministro. Estas funciones serán explicadas a continuación.
6.1 FUNCIÓ N DE CO STOS De manera general la ecuación de costos está representada por la ecuación 23
(Rueda, 2003):
(23)
Donde
L = Longitud del alimentador de media tensión
P = Carga pico del alimentador
Ct = Costo total
CIR = Costos de inversión en redes
CIS = Costos de inversión en la subestación
CIT = Costos de inversión en transformadores
CP = Costos de pérdidas de energía
Con el fin de entender el problema y visualizar los resultados, se define el área de
servicio de la subestación con la ayuda de una figura geométrica en cuyo centro
está la subestación (Turan Gönen, 1986).
),()()()(),( LPCPPCITPCISLCIRPLCt +++=
IEL1-04-02-10
En la Figura 6-1 se muestra un polígono de 8 lados donde el triángulo que se
muestra en rojo es atendido por la troncal del circuito primario de longitud L
(línea oscura que sale del centro del polígono) con una potencia pico P. De forma
más detallada en laFigura 6-2 se muestra el triángulo atendido por un alimentador,
donde Lr es la longitud máxima de los ramales del circutio, Pr es la potencia por
estos ramales, NR es el número de ramales de media tensión que salen del
alimentador, NT es el número de transformadores por cada ramal, nrb es el
número de ramales de baja tensión por cada transformador con longitud Lp y
potencia pico Pb.
Figura 6-1. Polígono representativo del área atendida por una subestación ubicada en el centro (C hávarro, 2004).
L, P
Lr, Pr
Figura 6-2. Triángulo representativo del área atendida por un circuito primario. (C hávarro, 2004)
NR
Lr
NT
12
nrb
Lb, Pb
Las ecuaciones que se obtienen de la representación geométrica mostrada son (ecuación 23 a la 33):
IEL1-04-02-10
LrLLrLAn *2
**2 == Área atendida por una troncal (23)
( )θTanLAn *2= Área atendida por una troncal (24)
( )θtan*LLr = Longitud máxima de un ramal (25)
( )NRTanLArm θ*2
= Área atendida por un ramal de media tensión (26)
( )
πθ
***
NTNRTanLLb = Longitud de un ramal de baja tensión (27)
2LbAbt π= Área atendida por un transformador de distribución (28)
SDPs .= Potencia pico de la Subestación (29)
NSDP .= Potencia pico del circuito de media tensión (30)
NNRP.
Pr = Potencia pico del ramal de media tensión (31)
NNRNTPPn
..= Potencia pico del transformador de distribución (32)
NNRNTnrbPPb
...= Potencia pico del ramal de baja tensión (33)
Ya definidas las ecuaciones del área atendida se pueden establecer las ecuaciones
de costo total del sistema. De manera general el costo se puede expresar de la
siguiente forma:
nrbNTNRNCrbtNTNRNCtdNRNCrmtNCtmtCsCT .......... ++++= (34) Donde
Cs = Costo de la Subestación
Ctmt = Costo troncal de media tensión Crmt = Costo ramal de media tensión
Crbt = Costo ramal de baja tensión
IEL1-04-02-10
Ctd = Costo transformador de distribución
N = Número de troncales de media tensión NR = Número de ramales de media tensión por troncal
NT = Número de transformadores de distribución
nrr = Número de ramales de baja tensión
Los modelos de costos se pueden trabajar por unidad de área en función de la longitud de la troncal L y la potencia en ésta P. El modelo se representa mediante
las siguientes ecuaciones (Rueda, 2003): • Costos debido a la subestación y a los alimentadores primarios
),()()(),( LPCPCLCPLC psaRMT ++= (35)
En donde:
aC : Costo del alimentador
sC : Costo de la subestación
pC : Costo de las Pérdidas en valor presente
A su vez los Costos anteriores están dados por las ecuaciones de la 36 a la 41:
LBAC a ⋅+= (36)
En donde A: costo fijo del alimentador ($)
B: costo fijo del conductor ($/km)
C. longitud del conductor (km)
ss PECC ⋅+= (37)
C: costo fijo de la subestación
E: costo por kVA de transformación ($/kVA)
sP : potencia de la subestación (kVA)
2123 KKCFLRPC mDp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= o AmDp KCFLRPC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 23 (38)
IEL1-04-02-10
AmD KCFK ...3'= (39)
En donde:
P: potencia del alimentador R: resistencia del conductor
L: longitud del conductor
DF : factor de demanda
mC : costo de la potencia
jK : factor de cargabilidad inicial en función de la carga final
310)76.8001.0( ⋅⋅⋅+⋅= eppotenciam CFCC (40)
En donde:
PF : factor de pérdidas
DF : costo de la energía ($/kWh)
iK : factor de cargabilidad inicial en función de la carga final
Expresando los costos totales en por unidad de área, se obtiene:
DLRPKDELN
CPDLBAPLCRMT .....
)tan(..)..(),( '
2 ++++=θ
(41)
En donde N: número de alimentadores
D: densidad de carga (kVA/km2)
• Costos debido a la red de Media Tensión
),(),(),( PLCPLCPLC prrRMT += (42)
En donde
Cr: Costo de ramales de MT
Cpr: Costo por pérdida en el ramales de MT
IEL1-04-02-10
NRDLRPK
PDNRLCCCFPLC rrorrRMT ).tan(...'.).tan().(),( θθ ++= (43)
En donde:
CFr: Costo fijo del ramal CCor: Costo fijo del conductor
Lr: Longitud promedio del ramal
NR: número de ramales de MT Pr: Carga Pico del ramal Rr: Resistencia eléctrica del conductor [Ω/km]
En función del área atendida S se pueden usar las siguientes ecuaciones:
SNNRLrRrK
SNNRLrCCorCFrLrCT r ....Pr...)(Pr),( 2'++= (44)
• Costos debido a la red de Baja Tensión y a Transformadores de Baja Tensión
)(),(),()(),( PCPLCPLCLCPLC ptpbtbttRBT +++= (45)
En donde:
Ct: Costo de inversión del transformador de distribución
Cbt: Costo de la red de baja tensión Cpbt: Costo de las pérdidas en la red de baja tensión en valor presente
Cpt: Costo de las pérdidas en los transformadores de distribución
DNRNTnrbNTNR
LRrNNRnrb
PKPDNTNRnrb
NTNRLCCobCFPLC rrbTRB ....
..)tan(...
..'.....
..)tan()(),(
πθ
πθ ++=
PDNRNTKtcPcc
PDNRNTKtvPscDCVT
PDNRNTCFT ........... ++++ (46)
En donde CFrb: costo dijo del ramal de BT
CCob: Costo fijo del conductor Lb: Longitud del ramal de BT nrb: número de ramales de BT (por transformador)
Pb: carga pico del ramal de BT (Ptrafo)
IEL1-04-02-10
CFT: Costo fijo del transformador
CVT: costo variable del transformador Psc: Pérdidas sin carga del transformador
Pcc: Pérdidas con carga del transformador
• Ecuaciones de restricción: Para las restricciones del problema de optimización se usan las ecuaciones 47 y
48:
95.0.1000/....),(% 2kVFdmFdmLRmPPLPerdidas = (47)
1000/..0023117.0..32),(Re% PRmLPLgulación = (48)
En donde
Rm: Resistencia eléctrica del conductor [Ω/km]
Fdm: Factor de distribución de la carga kV: Voltaje del sistema en el primario [kV]
El porcentaje de pérdida urbano en media tensión y en baja tensión debe ser
menor del 694% si la Densidad de usuarios D es mayor o igual de 1500. El porcentaje de regulación urbano debe ser menor del 5%.
La potencia máxima se ha definido como dos terceras partes de la capacidad del límite térmico del conductor que se use. La capacidad disponible del circuito se utilizará para atender la carga de otros circuitos en contingencia.
Los costos que se usan están en valor de diciembre de 2001 basados en los
aprobados por la CREG en la resolución 082 de 2002. Estos valores incluyen los
costos de inversión, diseño instalación y montaje, se presentan en la Tabla 1:
IEL1-04-02-10
Tabla 1. C ostos índices usados en pesos C olombianos de diciembre de 2001
Variable Valor UnidadCosto de la SubestaciónCFS 6053.0 M$Cceldas 178.7 M$CRS 280 M$CVP 0.034 M$/kVACosto Troncal de media tensiónCFA 28.58 M$/kmCCom(1) Calibre (kCMIL)
1/0 8.99 M$/km4/0 17.82 M$/km
266.8 17.73 M$/km336.4 22.35 M$/km477 31.73 M$/km
Costo ramal media tensiónCFr 28.58 M$/kmCCor(1) (2 AWG) 6.009 M$/kmCFb 14.079 M$/kmCcob (1) (2 AWG) 6.009 M$/kmCosto Transformador de DistribuciónCFT
225 kVA 11.07 M$150 kVA 9.28 M$
112.5 kVA 7.58 M$75 kVA 7.12 M$45 kVA 5.36 M$30 kVA 4.84 M$
(1) Costos para las tres fases
6.2 FUNCIÓ N DE CO NFIABILIDAD Si el planteamiento del problema solo se basa en la función de costos explicada
anteriormente se tiene un modelamiento monoobjetivo capaz de encontrar la configuración óptima de un sistema de distribución que minimiza los costos
asociados a este y que está sujeta a restricciones de tipo técnico, como se encontró
en la Tesis de Magíster referida. Sin embargo, existen otras funciones además de
los costos del sistema primario y secundario que necesitan tenerse en cuenta en la configuración del sistema como son los costos y penalizaciones por la confiabilidad y la continuidad del servicio a los usuarios. Para tener en cuenta
estos aspectos es preciso plantear un modelo de diseño óptimo multiobjetivo, deseándose optimizar simultáneamente todos los objetivos.
IEL1-04-02-10
Dentro de los costos que deben ser considerados están los costos por
compensación por transformador de distribución dados por la ecuación 49, donde se tiene que si se no se pasan los límites de frecuencia y de no suministro no hay
costo por compensación mientras que si se pasan la penalización será del doble
del costo que se dejó de cobrar.
(49)
La tarifa de estrato 4 es la que se usa para estimar este costo de compensación ya
que puede ser considerada como una tarifa representativa de la población a la que
se le da el servicio. Los costos por no suministro de energía, los que deja de ganar la empresa de
distribución) por transformador de distribución que están dados por la ecuación
50:
4)...( estratoctrafo TDESFPCENS = (50)
Donde trafoP es la potencia de cada transformador, cF es el factor de carga para ese
transformador, DES es la duración de energía no suministrada en horas, 4estratoT es
la tarifa estrato 4 ($/kWh), FES es la frecuencia de interrupción de energía, DES
es la duración de la energía no suministrada DESlímite y FESlímite son los límites propuestos en la CREG (resolución 70 del 98).
Debido a que se tiene una topología de elementos en serie para la llegada del servicio al usuario (subestación- ramal circuito primario - ramal media tensión –
transformador -ramal baja tensión) los FES y DES de la empresa de distribución
pueden determinarse mediante la ecuación 51 y 52 respectivamente:
∑=
++=Líneas
isubtrafoiitrafo LFES
1
λλλ (51)
∑=
++=Líneas
isubsubtrafotrafoiiitrafo rrLrDES
1
λλλ (52)
IEL1-04-02-10
Donde
Líneas son la troncal, el ramal y la línea de baja tensión. L es la longitud de cada una la línea i,
1L longitud de la troncal
2L longitud del ramal de media tensión Lr 3L longitud del ramal de baja tensión Lb
iλ es la tasa de falla anual por longitud para la línea i
1λ tasa de falla de la troncal
2λ tasa de falla de la línea de media tensión
3λ tasa de falla de la línea de baja tensión
λtra fo tasa de falla del transformador
λsub tasa de falla de la subestación
ir tiempo medio de parada en horas que se produce en el elemento i
1r tiempo medio de parada de la troncal
2r tiempo medio de parada de la línea de media tensión
3r tiempo medio de parada de la línea de baja tensión
trar tiempo medio de parada del transformador de distribución
subr tiempo medio de parada de la subestación
Los valores para las tasas de fallas y de reparación fueron tomados de un sistema típico colombiano, la Tabla 2 muestra los datos:
Tabla 2. Tasas de falla y reparación promedio por subestación y redes de media y baja tensión
Circuitos Nivel DES[horas año]
Frecuencia [salidas
año]
Falla/año-km
Tasa de reparación [horas/falla]
MMTR
Circuitos Primario 11.793 26.235 3.333 0.450 2.225Urbano sin Red Secundario 2.314 1.866 1.240 0.806Urbano con Red Secundario 2.358 1.790 3.22 1.317 0.759Subestación SubEst 1.994 3.529 0.565 1.770
IEL1-04-02-10
Si en la topología de la red se asume que por cada transformador se tiene igual
número de ramales de baja tensión (nrb), que por cada ramal hay igual número de transformadores (nt) y que por cada troncal se tiene igual número de ramales (nr),
los costos por compensación y por el no suministro de energía totales estaría dado
por las ecuaciones 49 y 50 por un factor igual a nrbntnr ⋅⋅ .
Ahora bien, estas ecuaciones (49 y 50) no necesariamente representan las pérdidas reales de un usuario afectado por el no suministro de energía. En la realidad las
empresas, los hogares o los comerciantes se ven afectados por una interrupción de
diferentes maneras. Primero, la penalización que se le impone a la empresa distribuidora de energía, en nuestro caso si sobrepasan los límites dados por la
CREG, no necesariamente reflejan los costos sufridos por los usuarios. Segundo,
algunos usuarios pueden perjudicarse más que otros, como por ejemplo, una empresa puede perjudicarse más que un comerciante y este a su vez puede perjudicarse más que un usuario residencial. Tercero, el no suministro de energía
en algunos usuarios pueden afectar más que en otros por las veces en que les
interrumpen el servicio que por el tiempo total en que no se suministró el servicio.
Para considerar estos “costos reales”, se pueden usar las mismas ecuaciones 49 y
50 pero el costo del $/kWh no corresponderá a la tarifa de estrato 4 mostrada sino, a la correspondiente por el tipo de usuario y a su vez por el tipo de afectación de
la interrupción. Como un intento para hacer más real los costos por confiabilidad
se buscaron estudios que permiten obtener estos valores del $/kWh. El documento
usado es el Gold Book de IEEE de 1990 donde se muestran investigaciones del costo de interrupción para diferentes tipos de usuario. Esta nueva consideración
que tendría el usuario como factor decisivo en la topología del sistema de distribución representaría una idea del “mejoramiento de la imagen de la empresa distribuidora” al ofrecer más de lo que está obligada a retribuir (por la CREG en
nuestro caso), ofreciendo mayor confiabilidad y continuidad del servicio a
expensas de mayores costos asumidos en inversión y pérdidas que fueron presentados en la ecuación 34.
IEL1-04-02-10
6.3 PRO BLEMA MULTIO BJETIVO
Ya explicadas de manera detallada las funciones que muestran el problema de optimización multiobjetivo se explicará el problema total.
Se tienen entonces dos funciones a minimizar que se desean optimizar simultáneamente. La primera función objetivo es la ecuación 34 en [M$/km2]. La
segunda función objetivo está conformada por las ecuaciones 49 y 50 que representan los “costos reales” en [M$/año] (forman una sola función ya que
dependen de los mismos parámetros λ, r, y el costo real). Deberá por tanto existir un “trade-off” entre estas dos funciones lo cual depende de que tan aversa al
riesgo es la empresa distribuidora o que tan importante considera a sus clientes
(que tanta imagen quiere mostrar).
Este problema será resuelto con la ayuda de los algoritmos genéticos por las
facilidades que el método ofrece. Sin embargo como se mencionó, existen
variables fundamentales del modelamiento del sistema de distribución de energía que presentan incertidumbre y se utiliza la lógica difusa para representar las
imprecisiones que implican. A continuación se explican estas variables
6.4 C ARAC TERIZACIÓN DE LAS VARIABLES DIFUSAS
Para la representación difusa de las variables del sistema este trabajo se basa en la
investigación hecha en la Tesis de Magíster ya referida (Chávarro, 2004). Las variables a fusificar son la tasa de crecimiento de la demanda, número de ramales de media tensión, la carga por usuario, la densidad de la carga y el número de
usuarios por subestación. La obtención de los valores de las variables difusas consiste en la asignación de una función de pertenencia a los valores reales de
dichas variables. Las principales variables que presentan incertidumbre en el
modelamiento de los sistemas de distribución son: La densidad de la carga, el
consumo en kVA por usuario, el número de usuarios por área atendida por
IEL1-04-02-10
subestación, el número de ramales por circuito de Media Tensión. Chávarro, 2003
definió las funciones de pertenencia FT de la siguiente forma:
• Densidad de la Carga D: Caracterizada por una función trapezoidal mostrada
en la gráfica con los siguientes parámetros: a=0.33, b=7.05 , m1=2, m2=2
Figura 6-3. Función de Pertenencia de la Densidad de Carga
FP Densidad de Carga [MVA/km2]
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
σ [MVA/km2]
A(
)
• Tasa de Crecimiento de la Carga r: Caracterizada por una función trapezoidal que se muestra en la gráfica con los siguientes parámetros:
a = -8.0%, b = 12.7%, m1= 3.8%, m2= 3.8%
IEL1-04-02-10
Figura 6-4. Función de Pertenencia de la Tasa de C recimiento de la carga
FP Tasa de Crecimiento Anual de la Carga (%)
0,00,2
0,4
0,6
0,81,0
-8%
-6%
-4%
-2% 0% 2% 4% 6% 8% 10%
12%
14%
16%
r [%]
A(r
)
• Número de Ramales, NR: Caracterizada por una función trapezoidal que se muestra en la gráfica con los siguientes parámetros: a= 1, b= 12, m1= 6, m2= 7
Figura 6-5. Función de Pertenencia del Núm ero de Ramales
FP Número de Ramales de MT, NR
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
NR
A(N
R)
• Consumo por usuario kVA: Caracterizado por una función trapezoidal que se muestra en la gráfica con los siguientes parámetros: a= 0.1, b= 18.6, m1= 2, m2= 2
IEL1-04-02-10
Figura 6-6. Función de Pertenencia de la Carga por Usuario
FP carga (kVA) por usuario
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
kVA x usua
A(kV
A)
• Número de Usuarios por Subestación: Caracterizado por una función trapezoidal que se muestra en la gráfica con los siguientes parámetros: a=218, b=111000, m1= 30000, m2= 30000
Figura 6-7. Función de Pertenencia Números de Usuarios
FP Número de Usuarios por subestación
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0
10.0
00
20.0
00
30.0
00
40.0
00
50.0
00
60.0
00
70.0
00
80.0
00
90.0
00
100.
000
110.
000
S [M VA/km2]
A(s)
Las funciones obtenidas muestran sencillez en su representación y por tanto
mayor facilidad en el manejo a la hora de optimizar.
IEL1-04-02-10
7 RESULTADO S C OMPUTACIO NALES
En este capítulo se muestran los resultados que se han obtenido durante el trabajo de investigación realizado. En primer lugar se explica como fue aplicado el método de solución y los inconvenientes que se superaron al aplicarlo. Luego se
indican los parámetros que controlan el algoritmo genético implementado como método de solución. A los resultados se les hace una prueba de validez, así como
la comparación con trabajos anteriores.
7.1 ALGORITMO IMPLEMENTADO
La técnica de los Alfa-Cortes y el método de los Algortimos Genéticos son usados
simultáneamente para la solución del problema de Optimización Multiobjetivo de Sistemas de Distribución de Energía Eléctrica.
Gracias a la técnica de los Alfa-Cortes se pueden tener las condiciones para reducir un problema de Optimización Difusa a varios problemas de Optimización
Determinística como se explicó anteriormente. Con el modelamiento del problema
de distribución que se tiene, la técnica FAC permite volver el problema de
Optimización Multiobjetivo Difusa y varios problemas de Optimización Multiobjetivo. El número de “nuevos problemas” está dado por las combinaciones debidas al número de variables que tiene el problema. En este caso se tienen 5
variables difusas, sabiendo que por cada alfa corte se obtienen dos valores por cada variable se tendrían 25 combinaciones, es decir 32 soluciones. La Figura 7-1
muestra la generación de las combinaciones, la línea delgada muestra las
combinaciones que se obtienen con dos variables difusas para un corte alfa de 0.2. Para el caso de una optimización monoobjetivo se obtienen 2n soluciones (n es el
número de variables difusas) por cada alfa corte lo que hace complicada la
interpretación de la solución y la desfusificación, ya que ésta es el resultado de todas las combinaciones Peor aún es el caso de una optimización multiobjetivo
donde se obtienen 2n Frentes de Pareto.
IEL1-04-02-10
Figura 7-1. C om binaciones en dos variables difusas en el corte 0.2
FP Número de Ram ales NR
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
NR
A(N
R)
FP Usuarios por subestación
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
110
σ 103 [MVA/km2]
A( σ
)
1
2
3
4
Definido el número total de combinaciones por cada nivel alfa se procede a usar el
método de algoritmos genéticos para encontrar el Frente de Pareto. Con el fin de
encontrar los parámetros del algoritmo que dan lugar a un buen comportamiento
se hicieron varios experimentos. A continuación se dan explicaciones de cómo se obtuvieron los valores de los parámetros:
• El número de bits que codifican el cromosoma de los individuos se escogió más que todo teniendo en cuenta el tiempo computacional necesario para
obtener un resultado. Debido a que se busca un Frente de Pareto lo que
importan más que todo es la forma de este más que la precisión numérica de la curva. Así que a mayor número de bits codificando el cromosoma se obtiene
un Frente de Pareto más denso aunque la información que está ofreciendo no es tan relevante como lo muestra un Frente de Pareto menos denso pero con la
IEL1-04-02-10
misma forma. Se usó entonces un valor de 12 bits, 6 dígitos para la Longitud y
6 para la Potencia Pico del circuito primario.
• En cuanto a la población inicial no se encontró mayor problema ya que como
se estableció con anterioridad, esta debe ir creciendo. Obviamente a mayor
número de individuos el tiempo computacional requerido aumenta de manera exponencial sin mostrar convergencia más rápida. Así, una población inicial de 50 individuos fue utilizada obteniéndose buena convergencia con tiempo
computacional razonable.
• La tasa de cruce influye en el tiempo de cálculo, el cual se incrementa al aumentar ésta. Un aumento en de la tasa de cruce por encima de 0.5 no mejora
los resultados y para valores bastante menores se aprecia un comportamiento
insatisfactorio del algoritmo.
• El efecto de la tasa de mutación fue casi nulo. Como se explicó con
anterioridad, un cambio en un alelo de un cromosoma de un individuo que en determinado caso esté convergiendo a un punto eficiente no producirá un gran
cambio en la solución, ya que esta es un conjunto de soluciones no dominadas.
Para que su efecto se note su valor debería ser muy grande sin embargo, se desviaría del concepto de mutación en el proceso de selección natural. No se obtuvo entonces un cambio apreciable al variar la tasa de mutación.
En cuanto al criterio de convergencia fue fácil notar que solo era necesario tomar un límite para el número de generaciones ya que en todos los
experimentos la convergencia fue rápida y cercana a la iteración 180. Por esto y
para asegurar convergencia se colocó como límite 300 iteraciones. Como se mencionó, la convergencia se basó en el número de soluciones no dominadas que hacían parte de la población, obviamente si la población va creciendo el
número de soluciones no dominadas también lo hará. Así como las soluciones no dominadas crecen por cada generación, las soluciones de grado 1, grado 2 y
demás deberán ir disminuyendo en cantidad. En las
IEL1-04-02-10
Figura 7-2 y Figura 7-3 se muestra la convergencia obtenida para una
combinación de alfa corte 1.
Figura 7-2. C onvergencia del porcentaje de soluciones no dominadas en el problema de optimización multiobjetivo.
Figura 7-3. C onvergencia del índice de soluciones de grado 1 y de grado 2 en el problem a de optim ización multiobjetivo.
IEL1-04-02-10
En resumen se puede decir que gran parte de los parámetros se definieron por el
tiempo computacional necesario para obtener los resultados ya que existía un punto en donde su efecto no traía mejor provecho.
7.2 SOLUC IÓN Al correr el programa por cada alfa corte se obtienen 32 Frentes de Pareto. A
medida que corte alfa se acerca a la unidad estos Frentes de Pareto tienden a
acercarse entre ellos como lo muestra la Figura 7-4. Esto es obvio ya que debido a las formas de las funciones de pertenencia los valores inferior y superior (izquierda – derecha) son más cercanos.
Figura 7-4. Los Frentes de Pareto se acercan a m edida que aumenta el nivel de corte
Alfa Corte 0.6
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 5 10 15 20 25 30
Función de Confiabi lidad M$
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
Alfa Corte 0.8
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 5 10 15 20 25Función de Confiabilidad M$
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
IEL1-04-02-10
El tener tantos valores hace bastante complejo la inferencia de la salida del
sistema, es decir encontrar la función de pertenencia que represente la incertidumbre de las variables, en este caso, encontrar los valores de L y P que
permitan el “trade off” entre las funciones de costo y confiabilidad.
El proceso seguido es el siguiente:
• Por cada alfa corte se toman los valores representativos por cada solución, es decir el punto en los Frentes de Pareto que esté más cercano al punto (0,0) del
plano función 1 vs función 2, es decir se toma el vértice ya que indicaría el
mínimo valor conjunto.
• Con todos los vértices se forma el plano de puntos por cada función objetivo. Es decir, la coordenada x del vértice del Frente de Pareto hará parte de los
puntos que crearán la función de pertenencia para la función de Costos, mientras que la coordenada y formará la función de pertenencia de la función
de Confiabilidad. Los planos de puntos obtenidos para las dos funciones se
muestran en la Figura 7-5, con estos, se busca el tipo de función de pertenencia que mejor caracterice a los costos obtenidos. En el ANEXO A se muestran los Frentes de Pareto obtenidos por cada alfa corte.
• Ya obtenidas las funciones de pertenencia se desfusifican, obteniéndose un
valor concreto por cada función. Este valor es buscado dentro de los Frentes
de Pareto obtenidos y por tanto definirá cual será el conjunto de soluciones no dominadas que soluciona el problema multiobjetivo difuso.
IEL1-04-02-10
Figura 7-5. Plano de Puntos por niveles alfa
Función de Costos
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Costos (M$/km2)
Niv
el A
lfa
Func ión de Confiabilidad
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6
Costos (M$/año)
Niv
el A
Lfa
Para hallar las funciones de pertenencia se tienen en cuenta los puntos extremos del plano de puntos por cada objetivo. La Figura 7-6 muestra los valores
extremos y las funciones de pertenencia que mejor los caracterizaron. El método
usado para la desfusificación es el Centro de Área COA con el cual se obtuvo un valor 4090 M$/km2 o 685 M$ para la función de Costos y un valor 2.27 M$/año para la función de Confiabilidad. Como se muestra, el centro de área obtenido
para los dos casos corresponde a un nivel alfa de 0.8 lo que indica que el Frente de
Pareto óptimo pertenece a una de las combinaciones del alfa corte 0.8. Ver Figura 7-7.
IEL1-04-02-10
Figura 7-6. Funciones de Pertenencia de las Funciones del problema
Función de Pertenecia - F2: Confiabilidad
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6Costos (M$/año)
Niv
el A
lfa
Función de Pertencia - F1: Costos
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Costos (M$/km2)
Niv
el A
lfa
Centro de Área = 4090 M$/km2Nivel Alfa 0.83
Centro de Área =2,27 M$/año
Nivel Alfa 0.77
Figura 7-7. Frente de Pareto Óptim o
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Función de Confiabilidad (M$/año)
Func
ión
de C
osto
s (M
$/km
2) Valor ConcretoPunto representativo del Frente
Frente de Pareto-Solución del Problema Multiobjetivo Difuso
IEL1-04-02-10
Teniendo definida la Frontera Eficiente se buscan las soluciones no dominadas
que la conforman, es decir los pares Longitud de la troncal y P la carga pico de la troncal. En el ANEXO B se muestran los valores de las características topológicas
del sistema. Los valores que tomaron las variables difusas que permitieron formar
la solución se muestran en la Tabla 3.
Tabla 3. Características del Sistema de Distribución
Variable Valor UnidadD 3.011 kVA/km2kVA/usuario 1.62 kVAUsuarios x S/E 24043 UsuariosNR 5 Ramalesr 5.8 %F. Costos 685 M$F. Confiabilidad 2.27 M$/añoÁrea 168 km2L 1.58 kmP 3.2 MVALr 0.54 kmPr 0.457 MVALb 0.021 kmPb 5.08 kVAPn 15.24 kVANivel Alfa 0.8
Como método de validación de los resultados en las Tabla 4 y Tabla 5 se demuestra la convexidad (Uehara, 2003) de las funciones de pertenencia obtenida
para las dos funciones del problema multiobjetivo.
IEL1-04-02-10
Tabla 4. Prueba de C onvexidad realizada a la función de Costos
Alfa Función Costos
0 476 7594.1 0.16 00 8385 1530.96 0.36 0
0.1 769.4 7175.69 0.24 0.10.1 7887.5 1745.27 0.43 0.10.2 1062.8 6757.28 0.33 0.20.2 7390 1959.58 0.51 0.20.3 1356.2 6338.87 0.41 0.30.3 6892.5 2173.89 0.58 0.30.4 1649.6 5920.46 0.50 0.40.4 6395 2388.2 0.65 0.40.5 1943 5502.05 0.58 0.50.5 5897.5 2602.51 0.72 0.50.6 2236.4 5083.64 0.66 0.60.6 5400 2816.82 0.80 0.60.7 2529.8 4665.23 0.75 0.70.7 4902.5 3031.13 0.87 0.70.8 2823.2 4246.82 0.83 0.80.8 4405 3245.44 0.94 0.80.9 3116.6 3828.41 0.92 0.90.9 3907.5 3459.75 0.99 0.91 3410
21 )1( xx λλ −+ ))1(( 21 xxA λλ −+ )(),(min 21 xAxA
Tabla 5. Prueba de Convexidad realizada a la función de Confiabilidad
Alfa Función Confiabilidad
0 0.57 3.874 0.26 00 4.7 1.4736 0.93 0
0.1 0.667 3.6406 0.34 0.10.1 4.384 1.488 0.95 0.10.2 0.764 3.4072 0.41 0.20.2 4.068 1.5024 0.96 0.20.3 0.861 3.1738 0.48 0.30.3 3.752 1.5168 0.98 0.30.4 0.958 2.9404 0.56 0.40.4 3.436 1.5312 0.99 0.40.5 1.055 2.707 0.63 0.50.5 3.12 1.5456 1.00 0.50.6 1.152 2.4736 0.70 0.60.6 2.804 1.56 0.99 0.60.7 1.249 2.2402 0.78 0.70.7 2.488 1.5744 0.99 0.70.8 1.346 2.0068 0.85 0.80.8 2.172 1.5888 0.98 0.80.9 1.443 1.7734 0.93 0.90.9 1.856 1.6032 0.98 0.91 1.54
21 )1( xx λλ −+ ))1(( 21 xxA λλ −+ )(),(min 21 xAxA
IEL1-04-02-10
8 CO NC LUSIO NES En el diseño óptimo de sistemas de distribución de energía eléctrica se ha mostrado una alternativa eficiente a los tradicionales métodos de solución. El
nuevo algoritmo tuvo en cuenta las variables de un sistema de distribución de
manera integral donde algunas de éstas son difusas. Además se ha considerado la confiabilidad del sistema como un objetivo en el sistema.
La función de confiabilidad del sistema tuvo en cuenta los costos por penalización
y por interrupción del servicio eléctrico a partir de un estudio a diferentes tipos de usuarios, esto último como un intento de representar los costos reales por
interrupción.
El modelo tuvo en cuenta la imprecisión de variables fundamentales en el
planeamiento como son la carga por usuario, el número de ramales de media
tensión, la densidad de carga, el número de usuarios por subestación y la tasa de crecimiento de la carga.
Se ha establecido una metodología para la aplicación simultánea de algoritmos genéticos y técnica de alfa cortes para la solución de problemas multiobjetivos con variables difusas.
La técnica de algoritmos genéticos mostró fácil manipulación ante la presencia de un nuevo tipo de problema: el multiobjetivo. Se encontraron los parámetros para
el buen comportamiento del algoritmo. Además el uso de algoritmos genéticos
permitió trabajar el problema de manera lineal.
La técnica de alfa cortes permitió encontrar una función de pertenencia
caracterizando los Frentes de Pareto de las soluciones, permitiendo así la
desfusificación del problema y por tanto la obtención de una única solución en un problema multiobjetivo.
IEL1-04-02-10
Con el modelo desarrollado se obtiene que el centro de área de la función de
costos es M$685 con un grado de pertenencia de 0.8. Por otro lado el centro de área que se obtiene a partir de la función de confiabilidad es de 2.2M$/año con un
grado de pertenencia de 0.8. Estos dos valores no son la solución al problema,
ellos indican el Frente de Pareto que ofrece un abanico de diversas soluciones
diferentes a la económicamente óptima para poder seleccionar la más adecuada de acuerdo a un criterio y experiencia profesional.
El Frente de Pareto óptimo así como las soluciones no dominadas alcanzadas resaltan la importancia del modelo multiobjetivo dando opciones diferentes a las
obtenidas por un modelo monoobjetivo. Estas soluciones son mucho más
satisfactorias ya que en ellas se ha optimizado simultáneamente los costos económicos y la confiabilidad de la red permitiendo un “trade off” al presentarse un Frente de Pareto como solución.
Las funciones de pertenencia obtenidas representativas del Frente de Pareto solución se validaron de forma satisfactoria al realizar las pruebas de convexidad.
El modelo de optimización planteado se puede ampliar si se incluyen otras funciones objetivos como la calidad de la potencia. Por otro lado, la técnica conjunta de algoritmos genéticos y el método de alfa cortes puede ser aplicada a
diferentes tipos de problema multiobjetivo con incertidumbre en todas las ciencias que impliquen toma de decisiones.
IEL1-04-02-10
9 BIBLIOGRAFÍA BERNAL J. “Aplicación de Algoritmos Genéticos al Diseño Óptimo de Sistemas de Distribución de Energía Eléctrica”, 1998
CAVALCANTI M., RODRIGUES M., “The Energy Minimization Method: A Multiobjective Fitness Evaluation Technique and Its Application to the
Production Scheduling in a Petroleum Refinery”.
CHAVARRO, A. “Optimización global de un sistema de distribución usando lógica difusa en el modelamiento de la incertidumbre”. Universidad de los Andes,
2004.
COELLO C., VAN D., LAMONT G.. “Evolutionary Algorithms for Solving
Multi-Objective Problems”. 2001.
DUBOIS D, PRADE H. “Fuzzy Sets: A Convenient Fiction for Modeling
Vagueness and Possibility”. 1994.
FREITAS A., KAESTNER C., PAPPA G. “A Multiobjective Genetic Algorithm for Attribute Selection”.
GALINDO GÓMEZ J. Conjunto y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Curso de Introducción. Univerdidad de Málaga, 2002.
IEEE, GOLD BOOK. Apéndice M “Duration and Cost of Electrical Service Interruption”, 1990.
MCDONALD J.R, WANG X. “Modern Power System Planning”. 1999.
RAMOS E. “Maximización de la Disponibilidad en Líneas de Producción por medio de Programación Multiobjetivo” Universidad de las Américas. 2004.
IEL1-04-02-10
RARDIN R. “Optimization in Operations Research”. 1998.
RINGUEST JEFFREY, Multiobjective Optimization: Behavioral and
Computational Considerations. RUEDA DE TORRES M., “Planeamiento de Sistemas de Distribución”.
Universidad de los Andes, 2003.
TORRES ÁLVARO. Notas de clase de Coputación Soft. Universidad de los
Andes. 2003. TURAN GONEN, Electric Power Distribution System Engineering, 1986.
UEHARA K, FUJISE M. “Fuzzy Inference based on families of α-level sets” IEEE 1993.
IEL1-04-02-10
ANEXO A. FRENTES DE PARETO PO R CADA NIVEL ALFA
Alfa Corte 0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 100 200 300 400
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
Alfa Corte 0.1
0100002000030000400005000060000700008000090000
100000
0 100 200 300 400
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
Alfa Corte 0.2
0100020003000400050006000700080009000
10000
0 10 20 30 40 50
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
IEL1-04-02-10
Alfa Corte 0.3
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 20 40 60 80 100
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
Alfa Corte 0.4
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0 10 20 30 40 50
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
Alfa Corte 0.5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 10 20 30 40 50
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
IEL1-04-02-10
Alfa Corte 0.6
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 10 20 30 40
Función de Confiabilidad M$/añoFu
nció
n de
Cos
tos
M$/
km2
Alfa Corte 0.7
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 2 4 6 8 10
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
Alfa Corte 0.8
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 5 10 15 20 25 30
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
IEL1-04-02-10
Alfa Corte 0.9
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 5 10 15 20
Función de Confiabilidad M$/año
Func
ión
de C
osto
s M
$/km
2
IEL1-04-02-10
ANEXO B. C ARACTERÍSTICAS TOPOLÓGIC AS DEL SISTEMA DE
DISTRIBUC IÓN (SOLUC IONES NO DOMINADAS) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA)1.47 1726 1.56 2399 1.65 3045 1.68 4960 1.79 6719 1.85 36921.47 1752 1.56 2864 1.65 3123 1.68 5037 1.79 6848 1.85 49081.47 1804 1.56 3045 1.65 3356 1.68 5089 1.79 7029 1.85 53481.47 1855 1.56 3201 1.65 3459 1.68 5115 1.79 7340 1.85 54001.47 1907 1.56 4830 1.65 3537 1.68 5684 1.79 7366 1.85 55551.47 1985 1.56 5193 1.65 3873 1.68 5813 1.79 7443 1.85 56321.47 2010 1.56 6771 1.65 3899 1.68 6667 1.79 7599 1.85 57361.47 2321 1.56 6926 1.65 4132 1.68 6822 1.79 7650 1.85 59691.47 3408 1.59 1700 1.65 4339 1.68 6952 1.82 1726 1.85 64081.50 1700 1.59 1804 1.65 4805 1.71 1700 1.82 1778 1.85 64341.50 1726 1.59 1829 1.65 4986 1.71 1726 1.82 1804 1.85 65641.50 1752 1.59 1855 1.65 5115 1.71 1752 1.82 2243 1.85 67711.50 1778 1.59 1881 1.65 6486 1.71 2243 1.82 2554 1.85 80381.50 1804 1.59 1959 1.65 8116 1.71 2269 1.82 2657 1.88 17001.50 1829 1.59 1985 1.65 8142 1.71 2450 1.82 2864 1.88 17261.50 1855 1.59 2166 1.68 1700 1.71 2476 1.82 3149 1.88 17521.50 1933 1.59 2243 1.68 1726 1.71 2735 1.82 3614 1.88 17781.50 2010 1.59 2321 1.68 1855 1.71 2787 1.82 3925 1.88 18041.50 2114 1.59 2399 1.68 2036 1.71 3278 1.82 3951 1.88 23471.50 2631 1.59 2476 1.68 2114 1.71 3330 1.82 4003 1.88 25541.50 3433 1.59 2631 1.68 2140 1.71 3356 1.82 4054 1.88 38211.53 1752 1.59 2838 1.68 2683 1.71 3382 1.82 4132 1.88 47011.53 2036 1.59 3071 1.68 2709 1.71 3408 1.82 4158 1.88 54511.53 2217 1.59 3097 1.68 2890 1.71 3511 1.82 4209 1.91 17001.53 2787 1.59 3175 1.68 3278 1.71 3589 1.82 4365 1.91 17261.53 3382 1.59 3201 1.68 3511 1.71 3614 1.82 4494 1.91 18291.53 3459 1.59 3330 1.68 3563 1.71 3640 1.82 4572 1.91 18551.53 3511 1.59 3511 1.68 3589 1.71 3692 1.82 4649 1.91 19071.53 8245 1.59 3614 1.68 3614 1.71 4080 1.82 5607 1.91 19331.56 1700 1.59 3925 1.68 3640 1.71 4106 1.82 5632 1.91 20101.56 1726 1.59 5037 1.68 3692 1.71 4830 1.82 6434 1.91 20881.56 1752 1.59 8168 1.68 3796 1.71 4934 1.82 6460 1.91 21141.56 1778 1.62 1700 1.68 3821 1.71 5115 1.82 6693 1.91 23211.56 1804 1.62 1726 1.68 4184 1.71 5995 1.82 6848 1.91 24761.56 1829 1.62 1752 1.68 4209 1.71 6020 1.82 7107 1.91 26311.56 1933 1.62 1804 1.68 4287 1.71 6176 1.82 7624 1.91 30711.56 1959 1.62 1881 1.68 4313 1.71 6279 1.85 1700 1.91 30971.56 1985 1.62 2010 1.68 4339 1.71 6486 1.85 1726 1.91 31231.56 2036 1.62 2243 1.68 4365 1.71 6564 1.85 1752 1.91 32521.56 2088 1.62 2373 1.68 4391 1.71 6590 1.85 1829 1.91 35891.56 2114 1.62 2424 1.68 4416 1.71 6693 1.85 1959 1.91 36401.56 2192 1.62 2476 1.68 4623 1.71 6848 1.85 1985 1.91 36921.56 2243 1.62 2631 1.68 4727 1.71 6952 1.85 3304 1.91 4184
IEL1-04-02-10
L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA)2.06 2838 2.12 3744 2.15 4986 2.21 2217 2.24 2140 2.62 27872.06 2864 2.12 3770 2.15 6667 2.21 2243 2.24 2217 2.62 28122.06 2890 2.12 3847 2.15 6719 2.21 2476 2.24 2295 2.62 29942.06 2916 2.12 4158 2.15 6745 2.21 2606 2.24 2373 2.62 31752.06 2968 2.12 4209 2.18 1752 2.21 2683 2.24 2399 2.62 32262.06 3019 2.12 4261 2.18 1778 2.21 2890 2.24 2424 2.62 34592.06 3252 2.12 4468 2.18 1829 2.21 2968 2.24 2502 2.62 37702.06 3278 2.12 4494 2.18 1959 2.21 2994 2.24 2606 2.62 39512.06 3330 2.12 4649 2.18 1985 2.21 3019 2.24 2812 2.62 40282.06 3356 2.12 5400 2.18 2192 2.21 3097 2.24 2968 2.62 41322.06 3459 2.12 5684 2.18 2243 2.21 3123 2.24 3356 2.62 41842.06 3511 2.12 6693 2.18 2269 2.21 3149 2.24 3511 2.62 42092.06 3692 2.12 6771 2.18 2295 2.21 3226 2.24 3899 2.62 42612.06 3847 2.12 6797 2.18 2373 2.21 3433 2.24 4003 2.62 42872.06 4261 2.12 6822 2.18 2424 2.21 3899 2.24 4468 2.62 44422.06 4468 2.12 6900 2.18 2528 2.21 3925 2.24 5322 2.62 46232.06 4494 2.12 7831 2.18 2554 2.21 3951 2.24 5658 2.62 50112.06 4546 2.15 1700 2.18 2606 2.21 4080 2.24 5710 2.62 51412.06 4649 2.15 1726 2.18 2631 2.21 4261 2.26 1700 2.62 51672.06 4986 2.15 1752 2.18 2657 2.21 4416 2.26 1804 2.62 51932.06 5348 2.15 1804 2.18 2709 2.21 5011 2.26 1855 2.65 17262.06 5400 2.15 1881 2.18 2812 2.21 5089 2.26 1985 2.65 18812.06 5788 2.15 1907 2.18 2838 2.21 5115 2.26 2269 2.65 19592.06 5813 2.15 1959 2.18 2864 2.21 5167 2.26 2321 2.65 20102.06 5839 2.15 1985 2.18 2890 2.21 5193 2.26 2476 2.65 20362.06 5917 2.15 2010 2.18 3201 2.21 5218 2.26 2709 2.65 20882.06 6202 2.15 2036 2.18 3614 2.21 5244 2.26 2838 2.65 23212.06 6305 2.15 2062 2.18 3847 2.21 5270 2.26 2864 2.65 24502.06 6331 2.15 2088 2.18 4132 2.21 5348 2.26 2890 2.65 25022.06 6408 2.15 2166 2.18 4442 2.21 5788 2.26 3356 2.65 31752.06 6434 2.15 2373 2.18 4494 2.21 5865 2.26 3382 2.65 48822.06 6590 2.15 2476 2.18 5400 2.21 6020 2.26 3873 2.65 50892.06 6615 2.15 2502 2.18 5477 2.21 6564 2.26 3899 2.65 51672.06 6641 2.15 2580 2.18 5839 2.21 6719 2.26 3925 2.65 52442.06 7521 2.15 2606 2.18 5917 2.21 6745 2.26 3977 2.65 52962.09 1700 2.15 3252 2.18 6926 2.21 7676 2.26 4003 2.65 57882.09 1726 2.15 3356 2.21 1752 2.21 7987 2.26 4132 2.68 17522.09 1752 2.15 3589 2.21 1804 2.21 8012 2.26 4391 2.68 18552.09 1778 2.15 3796 2.21 1933 2.21 8219 2.26 4416 2.68 18812.09 1804 2.15 3847 2.21 2010 2.21 8297 2.26 4468 2.68 19072.09 1829 2.15 4054 2.21 2036 2.24 1855 2.26 4520 2.68 20102.09 1907 2.15 4675 2.21 2062 2.24 2010 2.26 5089 2.68 20882.09 1959 2.15 4701 2.21 2088 2.24 2062 2.26 5348 2.68 2321
IEL1-04-02-10
L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA) L(km) P(kVA)2.68 2347 2.71 6641 2.76 4080 2.82 3692 2.94 2140 3.06 43392.68 2373 2.74 1726 2.76 4209 2.82 5115 2.94 2502 3.06 45462.68 2399 2.74 1804 2.76 4313 2.82 5658 2.94 2890 3.06 45722.68 2424 2.74 1881 2.76 4339 2.82 5917 2.94 2916 3.06 46232.68 2502 2.74 1907 2.76 4416 2.82 5943 2.94 3330 3.09 36662.68 2657 2.74 1933 2.76 4494 2.82 5969 2.94 3537 3.09 40032.68 2787 2.74 1959 2.76 4546 2.82 6331 2.94 3692 3.09 45202.68 2916 2.74 1985 2.76 4675 2.82 6486 2.94 3718 3.09 56842.68 2968 2.74 2010 2.76 4830 2.82 6538 2.94 3744 3.09 57102.68 3175 2.74 2036 2.76 6693 2.82 6693 2.94 4028 3.09 58132.68 3330 2.74 2321 2.79 1804 2.85 1855 2.94 4209 3.12 40542.68 3356 2.74 2347 2.79 1881 2.85 1881 2.94 4261 3.12 44942.68 3382 2.74 2864 2.79 1907 2.85 1985 2.94 4416 3.12 50892.68 4054 2.74 2942 2.79 2010 2.85 2010 2.94 4442 3.12 52442.68 4235 2.74 2968 2.79 2036 2.85 2036 2.94 4494 3.12 53222.68 5632 2.74 3019 2.79 2088 2.85 2062 2.94 4546 3.12 56322.68 5788 2.74 3045 2.79 2140 2.85 2088 2.94 4649 3.15 35892.68 6408 2.74 3123 2.79 2192 2.85 2192 2.94 5632 3.15 37442.68 6434 2.74 3537 2.79 2321 2.85 2321 2.94 5684 3.15 41842.68 6564 2.74 3563 2.79 2347 2.85 2347 2.94 6098 3.15 42092.68 6590 2.74 3977 2.79 2399 2.85 2373 2.94 6124 3.18 35632.68 6693 2.74 4054 2.79 2424 2.85 2399 2.94 6590 3.18 51672.68 7935 2.74 4287 2.79 2476 2.85 2502 2.94 6641 3.32 26572.68 8038 2.74 4675 2.79 2502 2.85 2580 2.94 6693 3.32 28902.68 8064 2.74 5477 2.79 2631 2.85 2606 2.94 6719 3.32 43132.71 2088 2.74 5581 2.79 2761 2.85 2631 2.94 6822 3.35 26572.71 2321 2.74 5607 2.79 2787 2.85 2657 2.94 6900 3.35 28642.71 2347 2.74 5632 2.79 2916 2.85 2683 2.97 2192 3.35 34592.71 2450 2.74 5658 2.79 3666 2.85 2709 2.97 2683 3.38 60982.71 2683 2.74 5943 2.79 3718 2.85 2787 2.97 28642.71 2761 2.74 6072 2.79 3977 2.85 2812 2.97 41582.71 2890 2.74 6952 2.79 4080 2.85 2890 2.97 45722.71 2994 2.74 6978 2.79 5244 2.85 2916 2.97 55032.71 3201 2.74 8064 2.79 5270 2.85 2994 2.97 64862.71 3304 2.76 1804 2.79 5632 2.85 3071 3.00 37442.71 3589 2.76 1959 2.79 6641 2.85 3123 3.00 51932.71 3770 2.76 1985 2.79 7599 2.85 3175 3.03 20622.71 4054 2.76 2010 2.79 7624 2.85 3201 3.03 20882.71 4830 2.76 2269 2.79 8271 2.85 3226 3.03 27612.71 5218 2.76 2424 2.82 2140 2.85 3692 3.03 29162.71 5322 2.76 2683 2.82 2373 2.85 3744 3.03 36662.71 6331 2.76 3019 2.82 2424 2.85 4003 3.06 34852.71 6357 2.76 3045 2.82 3175 2.85 4054 3.06 4287
L es la longitud y P es la carga pico de la troncal.
