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Optimisation du calcul du capital économique
d'une compagnie d'assurance vie par la
méthode des Simulations dans les Simulations
Conférence débat de l’Institut des Actuaires
Jean-Baptiste Garnier & Anne-Claire Martial
Le 23 Mai 2014
2
Sommaire
Contexte de notre étude
– Calcul du capital économique
– Méthode des Simulations dans les Simulations
– Axes d’amélioration
Présentation théorique de deux nouvelles méthodes
– Méthode de décomposition d’un événement rare
– Forêts Aléatoires
Application des deux méthodes dans un cadre simplifié
Application des deux méthodes dans un cadre réel
3
Contexte de notre étude Calcul du capital économique
Le capital économique Solvabilité II est le montant de Fonds Propres (FP) nécessaire
pour faire face à une ruine économique à horizon 1 an et au niveau de confiance
99,5%
– La ruine économique survient dès lors que la valeur économique des actifs de la compagnie
devient inférieure à la valeur économique de ses passifs
Deux types de méthodes sont généralement envisagées pour calculer le capital
économique :
– La « formule standard », méthode modulaire basée sur l’agrégation des capitaux relatifs à
chaque « risque élémentaire », calculés à partir de chocs marginaux.
– Les méthodes basées sur l’obtention de la distribution des FP économiques dans un an :
𝑪 = 𝑭𝑷𝟎 + 𝑷 𝟎, 𝟏 × 𝒒𝟎,𝟓% 𝑭𝑷𝟏
Fonds propres
économiques initiaux
Surplus (algébrique) de
capital à ajouter en t=0
4
Contexte de notre étude Méthode des Simulations dans les Simulations
Sur la première période :
– Projection en univers monde réel
(probabilité historique) des risques
En fin de première période :
– Pour chaque simulation monde réel :
• Simulation risque neutre de scénarios secondaires
• Calcul d’une valeur du bilan conditionnée à la
situation économique de fin de première période à
l’aide d’une méthode de type Monte-Carlo
La méthode des Simulations dans les Simulations (SdS) :
– Principe : construction de la totalité de la distribution des FP économiques de fin de première
période, puis déduction du capital économique
Simulation i
Simulation P
Simulation 1
FP11
VEP11
t = 0 t =1
Simulations secondaires
(pour les risques financiers ->
simulations « market consistent »)
Simulations primaires
(pour les risques financiers ->
simulations « monde-réel »)
Bilan en 1 – simulation i
A1i FP1
i
VEP1i
Bilan en 1 – simulation 1
A11
Bilan en 1 – simulation P
A1P FP1
P
VEP1P
…
…
Bilan économique en t=0
A0 FP0
VEP0
Mise en œuvre d’une méthode SdS limitée
5
Contexte de notre étude Axes d’amélioration
Objectif : localiser de façon suffisamment précise le scénario qui conduit au quantile de
la distribution des FP à 1 an avec le moins de calculs ALM possibles
Différents axes d’optimisation sont étudiés :
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
<0,5% 0,5% - 5% 5% - 10% >10%
Localisation des scénarios extrêmes
Facteur de
risque 1
Facteur de risque 2
Localisation du quantile
Possibilité d’identifier a priori les
situations extrêmes et de ne pas jouer
les situations centrales dans le modèle
ALM stochastique
Allocation optimale des scénarios risque neutre
Calcul avec un nombre de simulations
élevé uniquement au voisinage du
quantile et utilisation d’un nombre réduit
de simulations secondaires ailleurs
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Utilisation d’un proxy, pas de
régénérartion / stockage de tables RN
FP = f ( facteurs de risque ) + ε
Utilisation d’un proxy
-4 -3.4 -2
.8 -2.2 -1
.6
-1 -0.4 0
.2 0.8 1.4
2 2.6 3.2 3.8
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-4
-3.6
-3.2
-2.8
-2.4 -2
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
2.4
14
74
E-1
5
0.4
0.8
1.2
1.6 2
2.4
2.8
3.2
3.6 4
400-500
300-400
200-300
100-200
0-100
-100-0
-200--100
-300--200
Nombre de simulations secondaires
Forte dépendance à la complexité du portefeuille Difficultés de mise en œuvre
6
Sommaire
Contexte de notre étude
– Calcul du capital économique
– Méthode des Simulations dans les Simulations
– Axes d’amélioration
Présentation théorique de deux nouvelles méthodes
– Méthode de décomposition d’un événement rare
– Forêts Aléatoires
Application des deux méthodes dans un cadre simplifié
Application des deux méthodes dans un cadre réel
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Présentation théorique de la méthode de décomposition
d’un événement rare Méthode générale de décomposition d’un événement rare en événements moins rares
Objectif : Calculer le quantile associé à un événement rare A
Notations :
– X : scénario, vecteur de facteurs de risque (FdR)
– FP(X) : fonds propres associés au scénario X
– Am : événement contenant l’ensemble des scénarios dont les fonds propres sont inférieurs au
seuil 𝐿𝑚. 𝐴𝑀 contient les scénarios dont les fonds propres sont inférieurs au quantile
Principe de ce type de méthodes :
– Partir de l’ensemble des événements possibles 𝐴0
– Construire une suite d’événements imbriqués
décroissants 𝐴0 ⊃ 𝐴1 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐴𝑀 = 𝐴
• Le plus petit événement est égal à 𝐴 = 𝐴𝑀
• La probabilité de passage d’un événement 𝐴𝑚−1 à un
événement 𝐴𝑚 ne doit pas être trop petite
– Estimer le quantile à 0,5% des FP à 1 an à partir de LM
1A
dA 0
2A3A
MA
8
Présentation théorique de la méthode de décomposition
d’un événement rare Premier algorithme simple
Premier algorithme :
Points délicats : - Choix du nombre d’itérations M - Diffusion de 𝑿𝒊∗
𝒎 telle que 𝑭𝑷 𝑿𝒊∗𝒎 < 𝑳𝒎
Répétition de cette étape pour m compris entre 1 et M
Diffusion de 𝑿𝒊∗𝒎 pour que
𝑭𝑷 𝑿𝒊∗𝒎 < 𝑳𝒎
Détermination du scénario 𝑿𝒊∗𝒎 pour lequel les fonds
propres sont maximaux
𝑳𝒎 = 𝑭𝑷 𝑿𝒊∗
𝒎 Inputs :
N scénarios 𝑿𝟏𝟎, … , 𝑿𝑵
𝟎 , Paramètres du
modèle
Output :
Estimation du quantile q0,5%=LM
𝑋𝑖∗𝑚
𝐿𝑚
𝑋𝑖∗𝑚
Diffusion
𝐿𝑚
9
Présentation théorique de la méthode de décomposition
d’un événement rare Diffusion des scénarios
Zoom sur la diffusion des scénarios telle que 𝑭𝑷 𝑿𝒊∗𝒎 < 𝑳𝒎 :
– Observation : forte sensibilité au choix de l’écart-type utilisé dans la diffusion σ
– Solution : pour chaque FdR déterminer l’écart-type σ à partir des scénarios de l’échantillon
𝜎 =1
1−𝜎 2
1/𝑇− 1
Nombre d’application
du noyau de transition
Variance empirique
des FdR non diffusés
Diffusion de chaque FdR 𝝐𝒊∗,𝒌∗ composant 𝑿𝒊∗
𝒎:
𝝐𝒌∗ =
𝝐𝒊∗,𝒌∗ + 𝝈𝑾𝒌
𝟏 + 𝝈𝟐
obtention de X*
Initialisation de la diffusion 𝑿𝒊∗𝒎 = 𝑿𝒋
𝒎−𝟏
Tirage d’un scénario de loi
voulue 𝑿𝒋𝒎−𝟏
FP(X*)<Lm
Nous posons 𝑿𝒊∗
𝒎 = 𝑿∗
FP(X*)>Lm
𝑿𝒊∗𝒎 ne change pas
Répétition jusqu’à avoir l’indépendance
entre le scénario initial et le scénario diffusé
Algorithme simple : 𝝈 constant Algorithme adapté : 𝝈 recalculé à chaque itération
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Présentation théorique de la méthode des forêts
aléatoires Les arbres de décision
La deuxième méthode se fonde sur les arbres de décision et une de leurs extensions,
les forêts aléatoires
Les arbres de décision sont un outil d’aide à la décision représentable sous la forme
d’un arbre :
– Exemple : E
oui non
01
02 02
oui non
02 02
oui non
02 02
Au-dessousde
…
…
Au-dessousde
Au-dessousde
Au-dessousde
Au-dessousde
… … …
Construction : A chaque nœud de l’arbre, le critère de division est un critère unilatéral portant sur une variable
explicative, et permettant une réduction maximale des variances des deux sous-ensembles obtenus
𝛾0
𝜖1
𝜖2
11
Présentation théorique de la méthode des forêts
aléatoires Les forêts aléatoires
Les forêts aléatoires sont un outil d’aide à la décision reposant sur l’agrégation d’arbres
de décision décorrélés :
– Calibrés sur B échantillons Bootstrap de la base de calibrage
– Où les règles de décision sont issues de la mise en concurrence de m variables
explicatives tirées aléatoirement
L’agrégation permet de réduire l’erreur d’estimation et le sur-apprentissage
La décorrélation des arbres a pour effet de réduire la variance des estimations Il est donc préférable d’utiliser les forêts aléatoires aux arbres de décision
Base de calibrage
Base de calibrage Base de
calibrage Base de
calibrage Base de
calibrage
Bootstrap
Calibrage des arbres et
sélection aléatoire des
variables explicatives
Arbres ds Arbres Arbres décorrélés
Agrégation
Forêt aléatoire
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Présentation théorique de la méthode des forêts
aléatoires Premier algorithme de calcul du capital économique
Objectif : A partir des FdR, déterminer les scénarios les plus adverses, et calculer
précisément les FP associés, pour en déduire le capital économique
Premier algorithme :
Estimation de la
distribution de FP associés à la base de
totale
Détermination des scénarios les plus
adverses : création de la zone quantile
On obtient ainsi le quantile empirique de la base totale Point délicat : la construction de la zone quantile
Calibrage de la forêt aléatoire
Input :
Base de calibrage (FdR, FP)
Base totale (FdR)
Output :
Obtention du quantile à 0,5 %
Calcul des FP de la zone quantile par SdS
13
Ajout de variables explicatives
Ajout de points de la base totale à la base de calibrage. Deux approches ont été
étudiées
Présentation théorique de la méthode des forêts
aléatoires Amélioration de l’algorithme
OU Approche 1 : Approche 2 :
Inputs : Base de calibrage initiale
Base totale
Détection du scénario adverse dont le rang est le plus mal estimé de la base de calibrage
Détection du scénario de la base de calibrage le plus
proche
Ajout du point de la base totale le plus proche du milieu
Ajout du point de la base totale le plus proche
Nouvelle base de calibrage
Nouvelle base de calibrage
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Sommaire
Contexte de notre étude
– Calcul du capital économique
– Méthode des Simulations dans les Simulations
– Axes d’amélioration
Présentation théorique de deux nouvelles méthodes
– Méthode de décomposition d’un événement rare
– Forêts Aléatoires
Application des deux méthodes dans un cadre simplifié
Application des deux méthodes dans un cadre réel
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Application de la méthode de décomposition d’un
événement rare dans un cadre simplifié Premiers résultat
FP obtenus en utilisant une forme paramétrique à 2 FdR :
𝐹𝑃 𝑋 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋1 + 𝑎2𝑋1
2 + 𝑎3𝑋13 + 𝑎4𝑋2 + 𝑎5𝑋2
2 + 𝑎6𝑋23 + 𝑎7𝑋1𝑋2 + 𝑎8𝑋1
2𝑋2 + 𝑎9𝑋1𝑋22
Comparaison de l’algorithme simple et de l’algorithme adapté :
Algorithme simple
σ=0,01
Algorithme simple
σ=0,5
Algorithme simple
σ=0,99
Algorithme
adapté
Valeur de
référence
Quantile estimé 65,91 34,46 31,39 50,07 51,21
Grande sensibilité des résultats à σ Meilleur résultat avec l’algorithme adapté
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Application de la méthode de décomposition d’un
événement rare dans un cadre simplifié Sensibilité aux paramètres et à la forme paramétrique
Sensibilité aux paramètres T et N :
Sensibilité à la forme paramétrique :
45
47
49
51
53
55
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Fo
nd
s p
rop
res
Quantile suivant T
quantilemoyen
valeur deréférence
40
50
60
70
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Fo
nd
s p
rop
res
Quantile suivant N
quantilemoyen
valeur deréférence
Bons résultats et indépendance dans la diffusion pour T supérieur
à 60
Bons résultats pour N compris entre 60 et 110
Forme paramétrique 1 Forme paramétrique 2 Forme paramétrique 3
Allure de la zone quantile
Ecart relatif du quantile par
rapport à la valeur de référence 0,10 % 6,46 % 0,03%
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
Performance de la méthode très dépendante de l’allure de la zone quantile
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Application de la méthode des forêts aléatoires dans un
cadre simplifié Premiers résultats
Mesure de risque permettant d’analyser la performance des algorithmes :
Premiers résultats obtenus par l’algorithme sans amélioration, avec une forme
paramétrique polynomiale à 2 FdR :
Un nombre d’arbres supérieur à 5 000 assure la robustesse des résultats
Base de départ : Mesure de risque par quantile :
Nom Borne min Borne max Pas Nombre de points 0,5 % 1 % 2 %
Base de petite taille -3,5 3,5 0,7 121 3,29 4,62 5,44
Base de taille moyenne -3,5 3,5 0,5 225 3,03 1,54 2,83
Base de grande taille -3,4 3,4 0,4 324 1,61 2,55 2,93
0
200
400
600
0 25 50 75 100 125 150 175
Ran
g e
sti
mé
Rang réel
• La mesure de risque indique le nombre de
scénarios estimés adverses nécessaires pour
inclure les scénarios réellement les plus
adverses :
Ex : pour le quantile à 1% : 225 / 100 = 2,25
• La performance de la méthode décroit avec la
mesure de risque
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Application de la méthode des forêts aléatoires dans un
cadre simplifié Etude de l’ajout de points et de variables explicatives
Etudions l’impact d’ajout des sommes et différences de FdR aux variables explicatives :
Etudions l’impact d’ajout de points à la base de calibrage :
Base de départ : Mesure de risque par quantile : Rappel des résultats précédents :
Nom Nombre de points 0,5 % 1 % 2 % 0,5 % 1 % 2 %
Base de petite taille 121 1,18 2,3 1,54 3,29 4,62 5,44
Base de taille moyenne 225 1,48 1,63 1,64 3,03 1,54 2,83
Base de grande taille 324 1,2 1,36 1,34 1,61 2,55 2,93
Base de départ :
Mesure de risque avec le
premier algorithme d'ajout
de points :
Mesure de risque avec le
deuxième algorithme
d'ajout de points :
Nom Ajout de points Nombre de points 0,5 % 1 % 2 % 0,5 % 1 % 2 %
Base de petite taille OUI 121+104 = 225 1,08 1,77 1,10 1,29 1,5 1,56
Base de taille moyenne NON 225 1,48 1,63 1,64 1,48 1,63 1,64
Nette amélioration de la performance par ajout de variables explicatives Il est préférable de prendre une petite base de calibrage quitte à y ajouter
des points
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Sommaire
Contexte de notre étude
– Calcul du capital économique
– Méthode des Simulations dans les Simulations
– Axes d’amélioration
Présentation théorique de deux nouvelles méthodes
– Méthode de décomposition d’un événement rare
– Forêts Aléatoires
Application des deux méthodes dans un cadre simplifié
Application des deux méthodes dans un cadre réel
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Application de la méthode de décomposition d’un
événement rare dans un cadre réel Adaptation de l’algorithme au cas d’un modèle de gestion actif/passif réel
Observation : un calcul précis des FP n’est pas toujours nécessaire
possibilité de réduire le budget de calcul en effectuant un calcul approché des FP
sans simulation ALM
Utilisation d’une forme paramétrique locale pour évaluer les FP dans la diffusion des
scénarios :
– Calibrage à l’aide des scénarios composant l’échantillon
– Application de la forme paramétrique locale au scénario obtenu après chaque diffusion pour
vérifié le niveau de fond propre par rapport au seuil 𝐿𝑚
– Vérification à la fin de la diffusion à l’aide de simulations ALM
Budget de calcul : environ 600 000 simulations totales
21
Application de la méthode de décomposition d’un
événement rare dans un cadre réel Présentation des résultats
Nous avons à notre disposition une base de scénarios générés à l’aide d’un modèle à 3
FdR représentant les risques action, taux et mortalité
Justification de l’utilisation des formes paramétriques locales :
0
10000
20000
30000
0 10000 20000 30000
Ran
gs e
sti
més
Rangs réels
Rangs estimés en fonction des rangs réels
Très bonne
conservation
des rangs dans
la zone quantile
La méthode aboutit à une bonne estimation du quantile Le gain de temps de calcul est de l’ordre de 99% par rapport aux SdS
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Application de la méthode des forêts aléatoires dans un
cadre réel Présentation des résultats
La base contient 50 000 scénarios composés de 3 FdR
La forêt a été calibrée sur les 512 points les plus proches d’un maillage, allant de -3,85
à 3,85 avec un pas de 1,1 sur chaque FdR
Nous avons étudié 3 lots de variables explicatives :
– Les 3 FdR ainsi que les sommes et différences de ceux-ci
– Les 3 FdR, les sommes et différences de ceux-ci, et les puissances et termes croisés d’ordre 2
– Les 3 FdR, les sommes et différences de ceux-ci, et les puissances et termes croisés d’ordre 3
Choix des variables explicatives : Mesure de risque par quantile :
Lot de variables explicatives Nombre de variables explicatives 0,5 % 1 % 2 %
1 9 1,98 1,28 1,52
2 15 1,64 1,28 1,28
3 25 1,57 1,27 1,28
L’ajout de variables explicatives améliore toujours les résultats Le gain de temps de calcul est de l’ordre de 98% par rapport aux SdS
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Conclusion
Adaptation de deux nouvelles méthodes au calcul du capital économique : la
décomposition d’un événement rare en événements moins rares et les forêts aléatoires
Une réduction importante du budget de calcul
Limites :
– Forte dépendance à l’allure de la zone quantile pour la méthode de décomposition
d’un événement rare et pas de vérification possible a posteriori
– Un budget de calcul qui peut augmenter rapidement lorsque nous considérons plus
de FdR pour la méthode des forêts aléatoires
Pistes d’améliorations :
– Pour la méthode de décomposition d’un événement rare : choisir des points optimaux
pour calibrer la forme paramétrique locale et introduire une corrélation entre les FdR
– Pour les forêts aléatoires : utiliser une approche de type « Allocation optimale de
scénarios » en fin d’algorithme pour réduire le temps de calcul, et utiliser plus de
transformations des facteurs de risque
