Optimisation de la Résiliencehomepages.laas.fr/brun/COURS/PLANIF/dfs.pdf · 2008. 9. 10. · La penalit´ e appliqu´ ee dans le cas´ Yi,j > Y i,j correspond a la d` eriv´ ee du

Conception et Planificationde Réseaux

Optimisation de la Résilience

Olivier BRUN et Cedric Fortuny

Optimisation de la r esilience – p.1/49

Plan

Introduction

Algorithme DFS

Algorithme de r esolution

Resultats

Conclusion


Introduction


Notion de résilience

Resilience des r eseauxUne panne ne doit pas engendrer d’interruption du service

Le r eseau doit etre biconnexe

Deux chemins disjoints entre chaque paire de noeuds

Une panne ne doit pas engendrer de d egradation du serviceLe r eseau doit etre dimensionn e pour supporter chaque panne.


Résilience des réseaux

Analyser la r esilience des r eseauxDetecter les pannes qui vont engendrer une perte de connexit e

Identification des composantes biconnexes

Identification des points d’articulation


Algorithme DFS


Depth First Search

Algorithmes de parcours de graphe

Visiter les sommets d’un graphe suivant un certain ordre.Exemple: BFS (Breadth First Search) fait un parcours en larg eur d’abord, puis en

profondeur (distance croissante a la racine).

DFS: parcours en profondeur d’abord

Losrqu’on visite un sommet, on traite r ecursivement tous ses

descendants


Depth First Search

Graphe G = (V,E)

d[v] : epoque de d ecouverte du noeud v,

f [v] : epoque de fin de traitement de v.

La sortie de l’algorithme est une for et, i.e. une collection d’arbres

pred[v]: parent de v dans la for et.


Depth First Search

Proc edure DFS

1: procedure DFS(G)2: for u ∈ V do ⊲ Initialisation

3: color[u]=white;4: pred[u]=NULL;

5: end for6: time=0

7: for u ∈ V do ⊲ Nouvel arbre8: if color[u] == white then

9: DFSVisit(u)10: end if

11: end for12: end procedure


Depth First Search

Proc edure r ecursive DFSVisit

1: procedure DFSVISIT(U)2: color[u]=gray3: time=time+14: d[u]=time5: for v ∈ Adj(u) do ⊲ Visiter les sommets inconnus

6: if color[v] == white then7: pred[v]=u8: DFSVisit(v)

9: end if10: end for

11: color[u]=black12: time=time+113: f[u]=time

14: end procedure Optimisation de la r esilience – p.10/49

Modélisation des Plus Courts Chemins

Exemple de Mod elisation des PCC (vers x=3)

D31 = 7, D3

2 = 8, D33 = 0, D3

4 = 3

δ31,4 = 1, δ3

2,1 = 1, δ32,4 = 1, δ3

3,2 = 0, δ34,2 = 0, δ3

4,3 = 1

n31 = 1, n3

2 = 2, n33 = 0, n3

4 = 1


Modélisation du Trafic

Le r eseau ecoule un ensemble de K flots decommunication.

Chaque flot k = 1, . . . , K est caract eris e par sa source s(k), sa

destination t(k) et sa demande en bande-passante dk.

Chaque flot est un couple origine-destination unique

(K ≤ N, (N − 1))

Aggr egation des trafics ayant m emes origine-destination : m eme

routage,

La prise en compte de DiffServ et du routage par ToS (Type Of Se rvice)

peuvent etre vues comme des extensions de l’algorithme pr esent e


Modélisation du Trafic

Notations

λxi : le trafic direct emis de i vers la destination x

λxi =

∑

k,

s(k) = i, t(k) = x

dk

γxi (w) : le trafic recu au noeud i, direct et en transit, pour la

destination x.

γxi (w) = λx

i +∑

j 6=x

δxj,i(w)

nxj (w)

γxj (w)

La charge du lien (i, j) s’ ecrit alors :

Yi,j(w) =N

∑

x=1

δxi,j(w)

nxi (w)

γxi (w)


Modélisation du problème

Pour un vecteur de m etriques w = (w1, . . . , wM),

Par un algorithme de PCC, on peut calculer les variables δxi,j(w) et

nxi (w) repr esentant les PCC pour la destination x

On en d eduit le trafic γxi (w) au noeud i pour chaque destination x

γxi (w) = λx

i +X

j 6=x

δxj,i(w)

nxj (w)

γxj (w)

On obtient ainsi le trafic Yi,j(w) sur chaque lien (i, j)

Yi,j(w) =N

X

x=1

δxi,j(w)

nxi (w)

γxi (w)

Quel est le cout associ e a cette charge des liens ?


Formulation du Coût d’une Solution

Cout additif

Φ(w) =M∑

l=1

Φl(w)

Φl(w) repr esente la contribution du lien l au cout global

On peut prendre par exemple le d elais moyen de s ejour M/M/1 :

Φi,j(Yi,j) =

8

>

>

<

>

>

:

Yi,j

Ci,j−Yi,jsi Yi,j ≤ Y i,j

Y i,j

Ci,j−Y i,j+ K2

Ci,j

[Ci,j−Y i,j ]2

ˆ

Yi,j − Y i,j

˜

si Yi,j > Y i,j

Y i,j = K1 Ci,j est un seuil de charge ( K1 = 0.9 par exemple)

Le coefficient K2 > 1 est utilis e pour associer un cout aux solutions non

admissibles au sens des capacit es (Yi,j ≥ Ci,j ).

La penalit e appliqu ee dans le cas Yi,j > Y i,j correspond a la deriv ee du nombre

moyen de paquets au seuil de charge Y i,j multipli ee par le coefficient K2.


Coût d’une solution

Allure du cout pr ecedent

K1 = 0.9, K2 = 1 et Ci,j = 1.


Formulation du problème

Le probl eme s’ ecrit :

minw∈ΩM

∑

(i,j)

Φi,j [Yi,j(w)]

avec,

Yi,j(w) =

N∑

x=1

δxi,j(w)

nxi (w)

γxi (w) ∀i, j = 1 . . . N (1)

γxi (w) = λx

i +∑

j 6=x

δxj,i(w)

nxj (w)

γxj (w) ∀i, x = 1 . . . N (2)

Les param etres δxi,j(w) et nx

i (w) etant obtenus directement a partir du

vecteur de m etriques w par r esolution d’un probl eme de PCC.


Algorithme d’Optimisationdes métriques IP


Méthodes de Recherche Locale

Soit le probl eme d’optimisation suivant :

Minimiser : F (x)

sous la contrainte : x ∈ X ⊂ Rn

On suppose que F est une fonction quelconque d efinie de Rn vers R

et X est un sous-ensemble discret de Rn.

On definit V (x) ⊂ X , le voisinage d’une solution admissible x

Partant d’une solution initiale x0, les techniques de recherche locale

vont g enerer une suite de solutions x1, x2, . . . telles que :

∀i,

xi+1 ∈ V (xi)

F (xi+1) < F (xi)



Propri etes

Sous des hypoth eses de convexit e et de connexit e par rapport a la

structure de voisinage choisie, la recherche converge avec une

decroissance monotone du cout F (x) vers la solution optimale x∗.

Si le probl eme n’est pas convexe, en fonction de la solution initiale x0,

la methode peut converger vers une solution xn 6= x∗ telle que

F (x) ≥ F (xn), ∀x ∈ V (xn). On peut accepter une solution xn+1

telle que F (x) ≥ F (xn) pour sortir de cet optimum local.

Les diff erentes m ethodes de recherche locale se distinguent par la

technique de g eneration de xi+1 a partir de xi, et par la technique

employ ee pour sortir des optima locaux.

recuit simul e (simulated annealing), recherche tabou (tabu search), et c.



Illustration du principe


Algorithme d’Optimisation des Métriques IP

Principe

Algorithme de recherche locale.Le voisinage d’une solution contient M solutions.

La solution associ ee au lien i est obtenue en augmentant la m etrique de ce lien de la

quantit e minimale permettant de d evier du trafic de ce lien.

Les m etriques ne peuvent qu’augmenter.

Calcul du cout de la solution associ ee au lien iDeterminer l’augmentation de m etrique permettant de d evier du trafic du lien i,

Effectuer la modification et re-calculer les PCC,

Re-propager les trafics et calculer le cout.

Points cl es de l’algorithme

Structure de voisinage,

Algorithme de PCC dynamique,

Propagation dynamique.


Structure de Voisinage

Definition de la structure de voisinage

V (w) =

w1, w2, . . . , wM

ou :

wi = (w1, w2, . . . , wi + ∆i, . . . , wM )

avec :

∆i = argmin∆≥1[Yi (w1, . . . , wi + ∆, . . . , wM ) < Yi(w)]

Le voisinage d’une solution w contient exactement M solutions.

La solution associ ee au lien i est obtenue en augmentant la m etrique

de ce lien de la quantit e minimale permettant de r eduire la charge de

ce lien, c’est a dire de d evier du trafic de ce lien.

Incorpore les situations de partage de charge.


Génération du voisinage

Generation du voisin wi

Calcul de la variation minimale de m etrique ∆i du lien i

Notons Fi l’ensemble des flots passant par le lien i. Si Fi = ∅,

∆i = ∞ (pas de d eviation possible). Sinon :

(a) On supprime le lien i : w′ = (w1, . . . , wi−1,∞, wi+1, . . . , wM ).(b) Mise à jour des tables de distances Dv

u(w′) par un algorithme de PCC.(c) On calcule :

dmin = minf∈F

h

Dt(f)s(f)

(w′) − Dt(f)s(f)

(w)i

, qui correspond à la variation minimale de distance entre la source s(f) etla destination t(f) de chaque flot f passant par le lien i.

(d) On définit ∆i de la façon suivante :

∆i =

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

1 si dmin = 0

dmin si 0 < dmin < ∞

∞ si dmin = ∞



Generation du voisin wi

L’ensemble de flots Fi est obtenu lors de la propagation.

Les distances Dvu(w′) sont obtenues par un algorithme de PCC

dynamique. On recopie les distances Dvu(w) pour pouvoir revenir

rapidement a la solution courante avant de g enerer wi+1.

Dans la solution wi = (w1, w2, . . . , wi + ∆i, . . . , wM ), il existera au

moins un flot de Fi qui sera d evi e tout ou partie du lien i :

Si dmin = 0, cela signifie qu’il n’y avait pas unicité du plus court cheminpour au moins un des flots de Fi (partage de charge). En posant ∆i = 1,ce flot sera intégralement dévié du lien i,Si 0 < dmin < ∞, la solution wi introduit du partage de charge pour aumoins un des flots de Fi,Si dmin = ∞, il n’existe pas d’autre chemin ne passant pas par le lien i

pour les flots de Fi. On supprime donc ce lien de ceux dont la métriquepeut être modifiée.



Exemple

Toutes les m etriques sont a 1. Ce reseau doit ecouler deux demandes

: l’une de N1 vers N5 et l’autre de N0 vers N5. Les PCC sont

marqu ees en gras.

DN5

N1(w) = 3 et D

N5

N0(w) = 4

On veut d eterminer ∆N3→N4.



Exemple

On supprime le lien N3-N4 ( w′N3→N4 = ∞) :

DN5

N1(w′) = 4 et D

N5

N0(w′) = 5

∆N3→N4 = dmin = min 4 − 3 , 5 − 4 = 1


Algorithme d’optimisation des métriques

InitialisationLecture de la solution initiale w = (w1, . . . , wM )

Calcul des plus courts chemins : Dvu(w), δx

u,v(w), nvu(w)

Propagation des flots sur les plus courts chemins : γvu(w), Yu,v(w)

Calcul du coût Φ(w) de la solution initiale.w∗ = w ⊲ Init. solution de coût minimum


Algorithme d’optimisation des métriques

Les etapes cl es (pour chaque lien i)

Calcul de la variation de m etrique ∆i : calcul de PCC

Calcul des PCC associ es a la solution wi

Calcul du cout : propagation des trafics

Il faut donc optimiser

Le calcul des PCC suite a une augmentation de m etrique,

La propagation des trafics suite a une augmentation de m etrique,


Algorithme de PCC dynamique

Algorithme de Ramalingam & Reps

La modification de la m etrique d’un seul lien n’impacte souvent qu’un

petit nombre de PCC.

Des algorithmes, dits de plus courts chemins dynamiques, pe rmettent

de traiter ce type de probl emes plus efficacement ques les

algorithmes de Dijkstra ou de Bellman-Ford.

On pr esente une am elioration de l’algorithme de Ramalingam et Reps

pour le cas d’une augmentation de m etrique .



Contexte

On suppose que le calcul complet de toutes les tables de dista nce a

ete fait.

On se place ici dans le cas ou la m etrique d’un lien (s, t) a augment ee

d’une valeur ∆.

On note w le vecteur de m etriques initial et w′ celui obtenu apres

modification. Au d ebut de l’algorithme, on a pour chaque noeud x et

chaque lien (u,v):

Dvu(w′) = Dv

u(w), δxu,v(w

′) = δxu,v(w), nv

u(w′) = nvu(w)



Exemple

On suppose que le lien modifi e est (s, t) = (D, G) et que sa m etrique

passe de 1 a 3 (∆ = 2).

La destination pour laquelle on veut re-calculer les PCC est le noeudF . Sur la figure, on indique :

Pour chaque lien (u, v), sa metrique wuv et son utilisation vers F , δFu,v(w),

Pour chaque noeud u, sa distance a F : DFu (w).



1ere etape : propagation amont du changement.

Elle permet de remonter le long des chemins utilis es pour joindre F et

d’identifier les noeuds et les liens impact es par la modification

ws,t → ws,t + ∆.

- A1. On v erifie que ce changement fera evoluer des distances vers F. Pour cela, il faut

que : δFs,t(w) = 1 et nF

s (w) = 1. Sinon, on fait δFs,t(w

′) = 0 et l’algorithme est

termin e.

- A2. On initialise une liste Q avec le nœud source de l’interf ace modifi ee : Q = s.

- A3. Pour chaque nœud v ∈ Q et pour chaque lien (u, v) utilis e, i.e. δFu,v(w) = 1, on

fait DFu (w′) = DF

u (w) + ∆. Si nFu (w) = 1 alors, u est ajout e dans Q et on fixe

δFu,v(w′) = 0 (lien non utilis e).



Exemple : illustration de l’ etape 1

Evolution des distances vers F car δFD,G(w) = 1 et nF

D(w) = 1.

Au d epart, Q = D. En remontant les PCC utilis es : Q = D, C, A



2nd etape : mise a jour des distances

Si ∆ = 1, vu que nFs (w) = 1 (cf A1), on a δF

s,t(w′) = 1 meme apr es

changement et les distances DFu (w′), u ∈ Q, calcul ees a l’ etape 1

sont exactes.

Sinon, il est possible que le lien (s, t) ne soit plus utilis e, auquel cas

ces distances peuvent avoir ete sur- evalu ees. Si ∆ > 1, il faut les

ajuster.

- B1. On traite le routeur source s. On va regarder s’il existe un chemin au d epart de s tel

que sa distance soit plus petite que DFs (w) + ∆. On calcule :

d = min(s,v)

h

w′s,v + DF

v (w)i

Si d < DFs (w′), on pose ∆1 = d − DF

s (w′). ∆1 repr esente l’erreur sur

l’augmentation de distance qui a ete propag ee a tous les noeuds de Q. On met a

jour la distance de s a F : DFs (w′) = d.



2nd etape : mise a jour des distances ( ∆ > 1)

- B2. Pour tout noeud u ∈ Q, on corrige les distances en faisant :

DFu (w′) = DF

u (w′) − ∆1. On calcule alors :

d = min(u,v)

h

w′u,v + DF

v (w)i

Si d < DFu (w′), on corrige la distance de u a F en faisant DF

u (w′) = d, puis on

ins ere u dans une map H a l’associant a la distance d.

- B3. Cette derni ere etape permet de r eajuster les distances fauss ees du fait de l’ordre dans

lequel les routeurs ont ete trait es a l’ etape B2. Si le traitement pr ecedent etait fait dans

l’ordre des distances a la destination, cette sous-partie serait inutile.

Tant que H 6= ∅, on retire u de H ou u = argminu∈H(DFu (w′)).

Pour toutes les interfaces (v, u) entrantes dans u, on compare : d1 = DFv (w′) a

d2 = DFu (w′) + w′

v,u. Si v verifie d1 > d2 alors, on fixe DFv (w′) = d2 et on

ajoute le couple (v, DFv (w′)) dans H .




On obtient ∆1 = 0 a l’ etape B1.

On ins ere (C, 4) puis (A, 5) a l’ etape B2.



3eme etape : calcul des PCC a l’aide des nouvellesdistances.

Elle permet de corriger les flags d’utilisation des liens δFu,v(w′), ainsi

que le nombre de PCC vers F pour chaque noeud u, nFu (w′).

Pour chaque noeud u ∈ Q, on va tester les distances sur les

differents liens sortants. Pour chaque lien (u, v) on compare :

DFu (w′) a DF

v (w′) + w′u,v . Si l’egalit e est verifi ee, on fait:

δFu,v(w′) = 1 et nF

u (w′) = nFu (w′) + 1




On peut remarquer que nous n’avons modifi e que quelques noeuds :

D, C et A.

L’algorithme de Dijkstra demanderait un cout calculatoir e bien plus

elev e pour obtenir le m eme r esultat.


La propagation des trafics

Introduction

La propagation des trafics permet de calculer la charge des li ens, qui

est necessaire pour pouvoir calculer le cout.

On consid ere ici la propagation vers un noeud x. Il faudra it erer sur

toutes les destinations x pour calculer la charge Yi,j(w) des liens.

La relation de base (conservation des flots) est :

Y xi,j(w) =

λxi +

∑

k 6=x

Y xk,i(w)

nxi

Propagation statique et propagation dynamique :

Le cas statique propage tous les trafics.

Le cas dynamique est utilis e suite a un changement de m etrique. Il ne propage que

des variations de trafic pour les noeuds impact es par la modification de m etrique.


Résultats


Topologie à 5 nœuds et avec une demande

Donn ees :

Une demande : 50 Kbps entre S et D.

Metriques a 1.



Routage initial

25 kbps sur les interfaces A/D et B/D de capacit e 16 kbps.



Apr es optimisationLa solution initiale est un minimum local.


Topologie à 7 nœuds et 2 demandes

Donn ees :

2 demandes : S vers D1 de 20 Kbps et S vers D2 de 10 Kbps.

Metriques a 1.



Routage initialSaturation de l’interface S/N6.



Apr es optimisation

Modifications :Changement 1 :+ 1 sur l’interface S/N6Changement 2 :+ 1 sur l’interface S/N6


Conclusion


Conclusion

Optimisation des m etriques de routage IP

Probl eme :Augmentation du trafic et besoins de QoS

Contexte concurrentiel interdisant un sur-dimensionneme nt excessif

Jouer sur les m etriques IP pour adapter les routes aux trafics transport es par le

reseau.

Heuristique pr esent ee :Technique de recherche locale

Originalit e : structure de voisinage.

Utilisation d’un algo de PCC dynamique et propagation dynam ique des trafics.


Documents

Optimisation de la Résiliencehomepages.laas.fr/brun/COURS/PLANIF/dfs.pdf · 2008. 9. 10. · La penalit´ e appliqu´ ee dans le cas´ Yi,j > Y i,j correspond a la d` eriv´ ee du