OPTIMALNO UPRAVLJANJE...Iz prethodne jednačine se dalje dobija: Prethodna jednačinaje poznata pod nazivom princip seperabilnosti. S obzirom da je matrica A trougaona, njene sopstvene

OPTIMALNO UPRAVLJANJE

Žarko ZečevićElektrotehnički fakultet u Podgorici

Univerzitet Crne Gore

Tema 3

Ishodi učenja:Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:

▪ Dizajniraju kontinualni i digitalni opserver stanja linearnogsistema

▪ Razumiju uticaj šumova i poremećaja da performanse opservera iu skladu sa tim izvrše odabir odgovarajućih polova opservera

▪ Implementiraju povratnu spregu po estimiranim stanjimaopservera

▪ Implementiraju opserver poremećaja

2

Dizajn estimatora stanja

Opserveri stanja

Na prethodnim predavanjima je pokazano da se povratnom spregom postanjima polovi spregnutog sistema mogu postaviti na željenu vrijednost.Formule za postavljanje polova predstavljaju jednostvan, ali veomamoćan metod za dizajniranje sistema automatskog upravljanja.

Mana pole placement metoda je što ta što je potrebno mjeriti svakupromjenljivu stanja sistema. Ako, na primjer, imamo sistem 25-og reda,to znači da nam je potrebno 25 senzora za mjerenje varijabli sistema.Nekad, za sisteme manjeg reda neke promjenljive je nemoguće izmjeriti.Na primjer, nekad treba izmjeriti temperaturu, međutim temperaturnisenzor je fizički nemoguće postaviti na lokaciju od interesa, jer sutemperature koje treba izmjeriti previše visoke.

Opserveri (estimatori) stanja su uređaji/algoritmi koji vrše estimacijustanja na bazi dostupnih mjerenja. Da bi mogli dizajnirati opserverstanja, neophodno je da sistem bude potpuno opservabilan. Ako sistemnije potpuno opservabilan, onda bar treba da bude zadovoljen uslovdetektabilnosti.

3

Primjena opservera stanja

▪ Monitoring procesa

Vrši se provjera da li se estimirane varijable nalaze u okviruodgovarajućih granica, na osnovu čegu se generišu odgovarajućialarmi i upozorava operator.

▪ Automatska zaštita

U slučaju da neko stanje sistema pređe dozvoljeni prag, moguće jeautomatskim putem preduzeti odgovorajuću reakciju (na primjergašenje nekog prekidača).

▪ Dijagnostika kvarova

Koristeći estimirana stanja mogu se dizajnirati razne inteligentnetehnike pomoću kojih se može vršiti dijagnostika, lokalizacija ili čak ipredikcija kvarova u sistemu.

▪ Upravljanje procesima (povratna sprega po estimiranim stanjima)

Na bazi estimiranih stanja mogu se dizajnirati napredni algortimi zaupravljanje sistemima. Linearna povratna sprega je samo jedna odnajjednostavnijih metoda upravljanja zasnovanih na state-spacemetoda.

4

Opserveri stanja u otvorenoj sprezi

Posmatrajmo kontinualni proces čija je dinamika opisana jednačinamastanja:

dok su izlazne jednačine (jednačine mjerenja):

Opserver stanja u otvorenoj sprezi može trenutno i bez greške estimiratistanja sistema jedino ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

▪ Poznata su početna stanja sistema x0.

▪ Poznat je tačan model sistema u prostoru stanja (A,B,C),

▪ Nema poremaćaja koji djeluju na sistem.

Ako početni uslovi opservera nijesu jednaki početnim uslovima sistema,tada će opserver da da netačne vrijednosti promjenljivih stanja.Međutim, ukoliko je sistem u otvorenoj sprezi stabilan, nakon nekogvremena prirodni odziv opservera će da iščezne (odziv usljed početnihuslova), pa ćemo u stacionarnom stanju ipak dobiti dobru estimacijustanja.

5

0( ) ( ), (0) x ,t u t= + =x Ax B x

( ) ( ).y t t= Cx

Opserveri stanja u otvorenoj sprezi

Na slici ispod je prikazan opserver stanja u otvorenoj sprezi.

Sasvim je jasno da se opserver stanja u otvorenoj sprezi može primijenitisamo u idealnom slučaju, jer u praksi nikad ne poznajemo egzaktanmodel sistema, a pored toga sistemi se najčešće nalaze u okruženju ukojem djeluju spoljni poremećaji. Možemo odmah pretpostaviti, da bismanjili uticaj poremećaja i nepoznavanja egzaktnog modela sistemapotrebno je na neki način uvesti povratnu spregu.

6

1/s

A

B C( )y t( )u t

1/s

A

B C

0x

0x

(̂ )y t

x

x̂

Opserver stanja

Estimirana stanja

Opserveri stanja sa zatvorenom spregom

Na slici ispod je prikazan opserver stanja sa zatvorenom spregom.

Dakle, u jednačine estimiranih stanja potrebno je uvrstiti korektivni članLeL(t)=L(y(t)-ොy(n)), gdje y(t) predstavlja mjerenu promjenljivu, a ොy(n)estimiranu vrijednost mjerene varijable.

7

1/s

A

B C( )y t( )u t

1/s

A

B C

0x

0x

(̂ )y t

x

x̂

Opserver stanja

Estimirana stanja

L

-

( )Le t


Jednačine estimiranih stanja su:

Prethodne jednačine stanja se dalje mogu zapisati u sljedećem obliku:

Gornjim jednačinama možemo dodati član Ax(t), a zatim ga i oduzeti:

Na kraju, možemo uvesti transformaciju (smjenu) e(t)=ෝx(t)-x(t):

Vektor e(t) će asimptotski da konvergira ka nuli u slučaju kada susopstvene vrijednosti matrice A-LC manje od nule.

8

L 0ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ), (0) .t u t e t= + + =x Ax B L x x

ˆ ˆ ˆ( ) ( ( ) ( )) ( )

ˆ ˆ( ) ( ( ) ( )) ( ).

t y t y t u t

t t t u t

= + − + =

= − − +

x Ax L B

Ax LC x x B

ˆ ˆ ˆ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )

t t t t t u t

t t t t t

= − − − + +

= − − − +

x Ax LC x x Ax Ax B

A x x LC x x x

( ) ( ) ( ) ( )t t t= − = −e Ae LCe A LC e

1nL


Dakle, cilj je da razlika između estimiranih i stvarnih vrijednosti stanjaasimptotski konvergira ka nuli:

Odgovarajućim odabirom vektora L možemo podesiti željenu brzinukonvergencije gornje jednačine (vrijeme smirenja). Može se uočiti da jegornji problem veoma sličan problemu postavljanja polova, kod kojeg sepodešavaju sopstvene vrijednosti matrice A-BK.

Jedan način da se podese sopstvene vrijednosti matrice A-LC je da sesistem transformiše u OKF (opservabilnu kanoničnu formu). Međutim,isti problem se može modifikovati i transformisati u standardni problempostavljanja polova. Poći ćemo od činjenice da su sopstvene vrijednostineke matrice M iste kako i sopstvene vrijednosti transponovane matriceMT. Drugim riječima sopstvene vrijednosti matrice A-LC su jednakesopstvenim vrijednostima matrice (A-LC)T=AT-CTLT. Konačno, vektorLT možemo odrediti na isti način kao što određujemo vektor K kod poleplacement problema – LT=acker(A', C', [željene sopstv. vr.]).

9

( ) ( ) ( ) ( ) .t t t= − = −e Ae LCe A LC e


Da bi mogli podesiti sve sopstvene vrijednosti par (AT,CT) mora bitipotpuno kontrolabilan:

Može se uočiti ukoliko je par (AT,CT) kontrolabilan, tada će par (A, C)biti opservabilan. Ovo je Kalman nazvao principom dualnosti. Drugimriječima, ukoliko imamo sistem (A, B, C) i ako želimo da dizajniramoopserver stanja, tada je potrebno da sistem bude potpuno opservabilan.Sa druge strane, isti problem možemo posmatrati kao problempostavljanja polova dualnog sistema (AT, CT, BT), pri čemu da moglipostaviti polove dualnog sistema, on mora biti potpuno kontrolabilan.

10

( )1

.nT T T T Trank n− =

C A C A C

Primjer – opserver stanja

Sistem je zadat u prostoru stanja matricama:

Projektovati opserver stanja sistema u otvorenoj i sa zatvorenom spregom.Upravljački signal je periodični pravougaoni signal kome se amplituda mijenja savrijednosti 1 na -1. Trajanje jedne periode upravljačkog signala je 2s. Polovespregnutog opservera usvojiti tako da budu 3 puta dalji od polova sistema uotvorenoj sprezi (u odnosu na imaginarnu osu).

Opserver stanja u otvorenoj sprezi predstavlja samo kopiju sistema koja koja se„veže“ paralelno sa sistemom i na čiji ulaz dovodimo upravljački signal.Usvojićemo da su početna stanja opservera jednaka nuli. Opserver zazatvorenom spregom ima korektivni član. Vektor L treba odabrati iz uslova dapolovi opservera bud 3 puta dalji od polova sistema u otvorenoj sprezi. Polovisistema u otvorenoj sprezi su: -0.57, -0.22 + 1.31i, -0.22 - 1.31i. Odnosno:

11

0

0 1 0 1 1

0 0 1 , 0 , 1 0 0 , 2 .

1 2 1 0 0

= = = = − − −

A B C x

LT=acker(A', C', 3*[-0.57, -0.22 + 1.31i, -0.22 - 1.31i])=[2 14 8].


Na slici ispod su prikazane promjenljive stanja i njihove estimirane vrijednosti. Kakopočetni uslovi sistema i opservera nijesu isti, potrebno je oko 20 sekundi da prirodni odziviščezne, nakon čega opserver stanja na izlazu daje vrijednosti koje su jednakepromjenljivima stanja sistema.

12


13

>> A=[0 1 0;0 0 1;-1 -2 -1]

>> B=[1;0;0];

>> C=[1 0 0];

>> L=acker(A',C',3*eig(A))

>> plot(a.time,a.signals(1).values), hold on

>> plot(a.time,a.signals(2).values)

>> leg1=legend('${x_1}(t)$','${x_2}(t)$','${x_3}(t)$','${\hat x_1}(t)$','${\hat

x_2}(t)$','${\hat x_3}(t)$','orientation','horisontal')

>> set(leg1,'Interpreter','latex');

simulink model opservera u otvorenoj sprezi


Na slici ispod su stvarne i estimirane promjenljive stanja opservera sazatvorenom spregom. Može se uočiti da opserver nakon 5s počinje da generišetačne vrijednosti promjenljvih stanja. Međutim, objekat upravljanja se običnonalazi u okruženju u kojem djeluju poremećaji, što proces estimacije čini težim.

14


15

simulink model opservera sa zatvorenom spregom


U ovom scenariju je razmotren step poremećaj koji djeluje na ulaz objektaupravljanja. Simulink model je dat ispod.

16


Sa slike se može uočiti dazbog jediničnog stepporemaćaja postoji priličnovelika greška u estimacijistanja. Greška je naročitoizražena u slučajevimaestimacije promjenljivih x2 ix3. Na donjoj slici jeprikazana greška opserveraeL(t), koja iznosi oko 0.1.Kako je matrica C=[1 0 0],ta greška predstavlja greškuu estimaciji promjenljive x1.

Greška opservera usljeddjelovanja poremećaja semože smanjiti udaljavanjempolova u s-ravni, čime sepovećava propusni opsegopservera. Međutim, naovaj način opserver će bitiosjetljiviji na mjerni šum.

17


Na slici su prikazane promjenjljive stanja sistema i opservera za slučaj kada seusvoje polovi opservera koji su 50 puta dalji od imaginarne ose u odnosu napolove sistema. Međutim, može se uočiti da i dalje nastaje veliko odstupanjeprilikom estimacije promjenljive x2. Ako se doda mjerni šum, vrlo je moguće dase se dobiti gori rezultati nego u pretodnom scenariju. U suštini, moramo naćibolji način da se izborimo sa spoljnim poremećajima.

18


19


20

U ovom scenariju je na senzor dodat bijeli Gausov šum, varijanse 0.01. Može seuočiti da prilikom estimacije promjenljivih x2 i x3 nastaju velike fluktuacije, kojesu posljedica velikog propusnog opsega sistema.

Digitalni opserver stanja

Digitalni opsever stanja se dizajnira na sličan način. Naravno, potrebnisu nam odbirci upravljačkog signala u(t) i mjerenog signala y(t) utrenucima odabiranja (u(n) i y(n)).

21

1/s

A

B C( )y t( )u t

z-1

Ad

Bd Cd

0x

0x

(̂ )y nˆ( )nx

Opserver stanja

Estimirana stanja

ZOH

ˆ( 1)n +x

L

( )Le n

( )u n

Mikroprocesor

( )tx( )tx

−

T

ZOH ekvivalent

LT=acker(Ad', Cd', [željene sopstv. vr.]).

Primjer - digitalni opserver

22

Na slici su prikazana estimirana stanja digitalnog opservera. Pimijetimo da suestimirana stanja jednaka stanjima kontinualnog sistema u trenucimaodabiranja.


23


Ispod je data implementacija pomoću Matlab function bloka.

24

function x = fcn(u,Ad,Bd,Cd,L,y,x)

ye=Cd*x; % uncheck u ssd.C "interpret vector parameters as 1D"

x=Ad*x+Bd*u+L*(y-ye)

Upravljanje pomoću opservera

25

1/s

A

B C( )y t( )u t

1/s

A

B C

0x

0x

(̂ )y t

x

x̂

Opserver stanja

Estimirana stanja

L

-

( )Le t

K

( )r t

-


Model u prostoru stanja kompletnog sistema je:

26

K

-

( )r t ( )y t( )u t ( ) ( )

( ) ( )

t u t

y t t

= +

=

x Ax B

Cx

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( ( ) ( ))

ˆ ˆ( ) ( )

t u t

y t y t

y t t

= +

+ −

=

x Ax B

L

Cx

ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ( ) ( ))

( ) ( )

t u t t r t

t u t t t

y t t

= + = − +

= + + −

=

x Ax B Ax BKx B

x Ax B L Cx Cx

Cx


Nakon uvođenja smjene ෝx t −x(t)=e(t), prethodni model se svodi na:

odnosno u matričnom obliku:

Polovi spregnutog sistema su jednaki:

27

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t t t t r t

t t

y t t

= − − +

= −

=

x Ax Bx BKe B

e A LC e

Cx

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

tr t

t t

y t t

= + −

=

x A - BK BK x B

e 0 A LC e 0

Cx

( ) ( )det det det .

= − −

A - BK BKA - BK A LC

0 A LC


Iz prethodne jednačine se dalje dobija:

Prethodna jednačina je poznata pod nazivom princip seperabilnosti. S

obzirom da je matrica ෩A trougaona, njene sopstvene vrijednosti sujednake sopstvenim vrijednostima blok matrica koje leže na dijagonali.Ovo znači da sopstvene vrijednosti opservera (vektor L) i sopstvenevrijednosti spregnutog sistema (vektor K) možemo računati odvojeno.

Ukoliko stanja sistema nijesu poznata, moguće će dodati opserver koji ćeih estimirati. Novi sistem će pored inicijalno postavljenih polovavektorom K, imati i nove polove, određene vektorom L. Ako poloveopservera odaberemo da budu daleko od polova spregnutog sistema, tadaće performanse sistema sa opservorom biti slične performansama sistemakod kojeg se koristi samo vektor K.

28

( ) ( )eig eig eig .

= − − A

A - BK BKA - BK A LC

0 A LC

Margine stabilnosti

Marginama stabilnosti se izražavaju maksimalne dozvoljene perturbacijeu parametrima modela sistema, pri kojima spregnuti sistem ostajestabilan. Dodavanjem opservera povećavamo red sistema i najčešćesmanjujemo margine stabilnosti.

Udaljavanjem polova opservera u s-ravni još više pogoršavamo situaciju,tj. još više smanjujemo margine stabilnosti u odnosu na sistemupravljanja bez opservera.

Da bi margine stabilnosti sistema upravljanja sa opserverom i bezopservera bile približno jednake, u literaturi se usvaja sljedeće pravilo:

- Polove opservera treba odabrati tako da budu jednaki nulamasistema u otvorenoj sprezi

- Ukoliko sistem u otvorenoj sprezi ima nule u desnoj poluravni, tadate nule treba pomnožiti sa -1 i usvojiti ih za polove opservera.

- Ostale polove opservera treba usvojiti tako da budu 2-5 dalji odpolova spregnutog sistema (u odnosu na imaginarnu osu).

29

Margine stabilnosti

Da bi odredili margine stabilnosti potrebno je raskinuti povratnu petlju i odrediti funkciju povratnog prenosa:

Model u prostoru stanja sistema u otvorenoj sprezi je:

30

( ) ( )( )

ˆ( )ˆ( )

( )( ) 0

ˆ( )

t tu t

tt

tt

t

= + − −

=

x A 0 x B

LC A BK LC x 0x

xK

x

( ) ( )

( ) ( )

t u t

y t t

= +

=

x Ax B

Cx

K

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( ( ) ( ))

ˆ ˆ( ) ( )

t t

y t y t

y t t

= +

+ −

=

x Ax B

L

Cx

-

( )r t ( )y t( )u t( )t

Digitalna sprega po stanjima sa opserverom

Model u prostoru stanja kompletnog sistema je:

31

( 1) ( )( )

( 1) ( )

( ) ( )

d d d d

d d

d

n nr n

n n

y n n

+ = + + −

=

x A - B K B K x B

e 0 A LC e 0

C x

( ) ( )

( ) ( )

t u t

y t t

= +

=

x Ax B

Cx

K

ˆ ˆ( 1) ( ) ( )

ˆ ( ( ) ( ))

ˆ ˆ( ) ( )

d d

d

n n u n

y n y n

y n n

+ = +

+ −

=

x A x B

L

C x

-

( )y t( )u tZOH

( )u n( )r n

T

K=acker(Ad, Bd, [željene sopstv. vr.]).

LT=acker(Ad', Cd', [željene sopstv. vr.]).

Opserveri poremećaja

Pretpostavimo da na objektat kojim se upravlja djeluje poremećaj d(t):

Takođe, pretpostavimo da je tačna vrijednost poremećaja nepoznata, alida je poznato da se on može modelovati kako prirodni odziv nekogsistema čiji su parametri poznati:

Na primjer, ako je poremećaj sinusoidalan tada možemo usvojiti:

32

( )( ) ( ) ( ) ( ) .t t u t d t= + +x Ax B

( ) ( )

( ) ( )

p p p

p p

t t

d t t

=

=

x A x

C x

1 1

2 2

1

2

20

0 1

0

( ) 1 0

p p

p p

p

p

x x

x x

xd t

x

=

−

=

2 2

0

1

s +

Laplasova transformacija signala sin(ω0t) je:

KKF

Sistem treba da bude na granicistabilnosti, kako njegov odziv na početneuslove ne bi iščezao


Ukoliko bi poremećaj bio unaprijed poznat, onda je jasno da upravljačkisignal treba usvojiti po sljedećem zakonu:

Kako je poremećaj obično nepoznat, on se može estimirati pomoćuopservera. Najprije treba formirati prošireni model sistema:

Pošto smo uveli vektor xp(t), čitav model treba proširiti:

33

( ) ( ) ( ) .u t d t r t= − + − Kx

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) .

( )

p p p p p

p

t t tu t

t t t

tt

t

= + +

=

x A 0 x B 0 x

x 0 A x 0 BC x

xy C 0

x

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).p p

t t u t d t

t u t t

= + +

= + +

x Ax B

Ax B BC x

uvodimo nova stanja, kojima opisujemoporemećaj. Ovo ima smisla raditi kadaimamo dugotrajne poremećaje


Polovi opservera se biraju tako da sopstvene vrijednosti matrice ෩A−L෩Cimaju željenu vrijednost:

Estimirana stanja sistema i poremećaja se koriste za upravljanje. VektorK se računa tako da spregnuti sistem ima željene vrijednosti:

Konačno, upravljački signal ima sljedeći oblik:

34

K=acker(A, C, [željene sopstv. vr.]).

ˆ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

ˆ ( )p p pp

tu t d t r t t r t t r t

t

= − + − = − + − = −

xKx C x Kx K C

x

( )ˆ ˆ( ) ( )

ˆ( ) ( ) ( )ˆ ( )ˆ ( )

ˆ( )ˆ( ) .

ˆ ( )

p

p pp

p

t tu t t t

tt

tt

t

= + + −

=

BA

C

x A BC x BLC y y

0 A x 0x

xy C 0

x

LT=acker(At', Ct', [željene sopstv. vr.]).

Primjer – opserver poremećaja

Objekat upravljanja je zadat u prostoru stanja:

Na sistem djeluje sinusoidalni poremećaj d(t)=sin(0.5t). Projektovati opserverstanja i poremećaja. Zatvoriti spregu po stanjima tako da polovi spregnutogsistema budu jednaki -1.

Poremećaj se modeluje kao odziv sistema drugog reda (na početne uslove):

Prošireni model sistema u prostoru stanja je:

Polove opservera ćemo u ovom primjeru proizvoljno odabrati tako da budujednaki -2. Konačno, vrijednost vektora L biće:

35

0 1 0

, = , 1 01 2 1

= = − −

A B C

0 1, 1 0 .

0.25 0p p

= = −

A C

, , .p

p

= = =

A BC BA B C C 0

0 A 0

6 10.75 30 10.0625 .TT = L

Na prvoj slici lijevo su prikazane estimiranei stvarne vrijednosti promjenljivih stanja uslučaju kada nije implementiran opserverporemećaja. Može su uočiti da postojeznačajna odstupanja u estimacijipromjenljivih. Na sljedećoj slici su prikazanepromjenljive stanja u slučaju kada postojiDOB (disturbance observer). Može seprimijetiti da u ovom slučaju estimiranastanja nakon 5s konvergiraju ka stvarnimvrijednostima. Konačno, na zadnjoj slici jeprikazan estimirani poremećaj.


36

>> A=[0 1;-1 -2];

>> B=[0;1];

>> C=[1 0];

>> Ap=[0 1;-.5^2 0]

>> Cp=[1 0];

>> At=[A B*Cp;zeros(2,2) Ap];

>> Bt=[B;0;0];

>> Ct=[C zeros(1,2)];

>> L=acker(At',Ct',[-2 -2 -2 -2])'


37

Estimacija stanja + DOB


38

Estimacija stanja + DOB+ upravljanje


39

Estimacija stanja + DOB + integrator + upravljanje


U ovom primjeru su prikazani rezultatisimulacija sistema upravljanjaspregnutog po stanjima u dva slučaja:sa običnim opserverom i DOBopserverom. Sa prve slike se vidi da uslučaju kada se koristi DOB, izlaznisignal u stacionarnom stanju konvergiraka referentnoj vrijednosti. Sa drugestrane, kada nema DOB-a, sinusoidalnasmetnja u velikoj mjeri utiče na izlaznuveličinu. Napomenimo da je u ovomslučaju sistem proširen i integratorom,kako bi se otklonio bias u grešci, ustacionarnom stanju. Na drugoj slici suprikazani upravljački signali za obaslučaja. Primijetimo da je upravljačkisignal sinusoidalne prirode i u slučajukada nema DOB-a. Zašto?

40

K=acker([A zeros(2,1);-C 0],[B;0],[-

2 -2 -2])

Zasićenje i windup efekat integratora

Najprostiji tip nelinearnosti koji se javlja kod sistema automatskogupravljanja je zasićenje. Kod analognih SAU-a aktuatori su komponentekoje obično ulaze u zasićenje, što znači da postoji opseg upravljačkogsignala za koji aktuator generiše izlaz po linearnom zakonu. Koddigitalnih SAU-a D/A konvertor takođe ulazi u zasićenje, što zavisi odnjegovog napajanja. Na primjer, ako se D/A konvertor napaja sa ±5V,njegov izlaz ne može preći vrijednost ±5V, bez obzira na vrijednostupravljačkog signala u(n).

Efekat saturacije pogoršava performanse SAU-a, pri čemu je on naročitoizražen u slučajevima kada regulator sadrži integrator. U trenutku kadaSAU udje u zasićenje, integrator će da nastavi da akumulira (integrali)grešku (windup efekat), iako to ništa neće promijeniti na izlazu DAkonvertora. Kada SAU izađe iz zasićenja, biće potrebno neko vrijeme dase on vrati na prvobitnu vrijednost. Kod digitalnih sistema pomenutiproblem se jednostavno rješava – gašenjem integratora u slučajevimakada dođe do zasićenja.

41

Zasićenje i windup efekat integratora

Pretpostavimo da je upravljački signal ograničen vrijednošću S: u(n)<S.Tada se upravljački signal može modifikovati pomoću if uslova:

42

K

-

( )y t( )u tZOH

( )u n( )r n

T

( ) ( )

( ) ( )

t u t

y t t

= +

=

x Ax B

Cx

ˆ ˆ( 1) ( ) ( )

ˆ ( ( ) ( ))

ˆ ˆ( ) ( )

d d

d

n n u n

y n y n

y n n

+ = +

+ −

=

x A x B

L

C x

-ki1z −

-

( )n( )e n

γ = -kiξ(n) - Kෝx(n)if |γ| < S

u(n) = γξ(n+1) = r(n) - y(n) + ξ(n)

elseu(n) = S×sign(γ)ξ(n+1) = ξ(n)

end

Primjer - saturacija

43

function [u,xe,zeta] = fcn(Bd, Ad, Cd, Atd,

Btd, Ctd, Ld, Kd,y,xe,zeta)

u=-Kd(end)*zeta-[Kd(1:end-1) 0 1]*xe

xe=Atd*xe+Btd*u+Ld*(y-Ctd*xe)

if abs(u)<=5

zeta=1-y+zeta

else

zeta=zeta; % mada else nije neophodan

end

Primjer – inverzno klatno

Linearizovani model inverznog klatna je:

gdje je p=J(M+m)+Mml2.

Parametri klatna su: masa kola - M = 0.5 kg, masa štapa - m = 0.2 kg,koeficijent trenja podloge - b=0.1 Nm/s, moment inercije štapa - J = 0.006Nkg/m2, poludužina štapa - l = 0.3 m.

Projektovati povratnu spregu po stanjima tako da polovi spregnutog sistemaimaju vrijednost [-2 -3 -4 -5]. Smatrati da su nam dostupna samo mjerenjaugaonog pomjeraja klatna, odnosno, implementirati i odgovarajući opserverstanja. Simulirati odziv spregnutog sistema.

44

2 2 2 2

0 1 0 0 0

0 0

0 0 0 1 0

( )0 0

x xJ ml m gl J Mlx xp p p

F

mlb mgl M m ml

p p p

+ + − = +

+ −

bxM

F mx

J

Documents

OPTIMALNO UPRAVLJANJE...Iz prethodne jednačine se dalje dobija: Prethodna jednačinaje poznata pod nazivom princip seperabilnosti. S obzirom da je matrica A trougaona, njene sopstvene