Universidad Centroccidental ”Lisandro Alvarado”

Decanato de Ciencias y Tecnologıa

Licenciatura en Ciencias Matematicas

Orientacion Integral en Matematica

Br. Graccyela Salcedo

Profesora: Ereu Jurancy

2

1. Como Plantear y Resolver Problemas

George Polya (1887-1985) fue un distinguido matematico austro hungaro, suizo

norteamericano y excepcional educador de las matematicas, pocas personas han te-

nido una influencia tan grande dentro del contexto de ensenar las matematicas vıa la

solucion de problemas ajustados al proceso de ensenanza aprendizaje.

El libro Como plantear y resolver problemas publicado en 1945, ha vendido mas

de un millon de ejemplares y se ha traducido al menos a 17 lenguas. Lo citan ma-

tematicos, psicologos, pedagogos, filosofos y didactas. Es el primero de una trilogıa

en el que el autor va exponiendo sus ideas sobre como ayudar a los alumnos a pensar

por sı mismos, a resolver problemas, al tiempo que trata de desentranar las reglas del

“pensamiento plausible”. En ellos vierte su rica experiencia como matematico y como

profesor (Polya tiene 58 anos cuando publica Como plantear y resolver problemas),

tratando de hacer explıcitas preguntas y sugerencias que, segun el, son “naturales,

sencillas, obvias, y nacen del sentido comun”.

Polya indica cuatro fases en el proceso de resolver problemas: Comprender el

problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solucion. Ademas, asocia

una lista de preguntas a cada una de sus fases que incluyen ideas acerca del uso de

diversos metodos heurısticos (estrategias que pueden ayudar a avanzar o resolver un

problema). Es interesante rescatar que esta idea no nacio de la noche a la manana,

Polya desde joven era una persona muy inquieta por la fısica y la matematica; le

encantaba asistir a conferencias y a clases para observar la demostracion de teoremas.

En estas charlas o lecciones, a pesar de que la exposicion de los conceptos era bastante

clara, la inquietud de el siempre era: “sı, yo tengo claro el razonamiento, pero no tengo

claro como se origina, como organizar las ideas, por que se debe hacer ası, por que se

pone de tal orden y no de otro”. Esto lo llevo a cuestionar las estrategias que existıan

para resolver problemas o como se concebirıa una sucesion de pasos logicos para

aplicar a la resolucion de cualquier tipo de problema.

Los heurısticos identificados por Polya se enmarcan en comunicar su propia ex-

periencia como matematico para resolver problemas, y pensaba que las estrategias y

3

preguntas de un experto “con gran experiencia en la resolucion de problemas” podıan

ser modeladas por los profesores en las aulas. Polya creıa que bajo la guıa del pro-

fesor, los estudiantes podıan internalizar el proceso de como un matematico dialoga

consigo mismo durante el proceso de solucion y utilizarlo de manera natural sin ayuda

externa.

Las etapas y heurısticas que presenta Polya se muestran a continuacion:

1. Comprender el problema

¿Cual es la incognita?

¿Cuales son los datos?

¿Cual es la condicion?

¿Es la condicion suficiente para determinar la incognita?

¿Es insuficiente?

¿Es redundante?

¿Es contradictoria?

Es decir, esta es la etapa para determinar la incognita, los datos, las condiciones,

y decidir si esas condiciones son suficientes, no redundantes ni contradictorias.

2. Concebir un Plan

Para Polya en esta etapa del plan, el problema debe relacionarse con problemas

semejantes. Tambien debe relacionarse con resultados utiles, y se debe deter-

minar si se pueden usar problemas similares o sus resultados (aquı se subraya

la importancia de los problemas analogos). Algunas interrogantes utiles en esta

etapa son:

¿Se ha encontrado con un problema semejante?

¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

¿Conoce un problema relacionado?

¿Conoce algun teorema que le pueda ser util?

4

¿Podrıa enunciar el problema en otra forma?

¿Podrıa plantearlo en forma diferente nuevamente? Refierase a las defini-

ciones.

3. Ejecutar el plan

Durante esta etapa es primordial examinar todos los detalles y es parte impor-

tante recalcar la diferencia entre percibir que un paso es correcto y, por otro

lado, demostrar que un paso es correcto. Es decir, es la diferencia que hay en-

tre un problema por resolver y un problema por demostrar. Por esta razon, se

plantean aquı los siguientes cuestionamientos:

¿Puede ver claramente que el paso es correcto?

¿Puede demostrarlo?

El plantea que se debe hacer un uso intensivo de esta serie de preguntas en cada

momento. Estas preguntas van dirigidas sobre todo a lo que el llama problema

por resolver y no tanto los problemas por demostrar. Cuando se tienen proble-

mas por demostrar, entonces, cambia un poco el sentido. Esto es ası porque ya

no se habla de datos sino, mas bien, de hipotesis. En realidad, el trabajo de

Polya es fundamentalmente orientado hacia los problemas por resolver.

En sıntesis: al ejecutar el plan de solucion debe comprobarse cada uno de los

pasos y verificar que esten correctos.

4. Examinar la solucion

Tambien denominada la etapa de la vision retrospectiva, en esta fase del proceso

es muy importante detenerse a observar que fue lo que se hizo; se necesita

verificar el resultado y el razonamiento seguido De preguntarse:

¿Puede verificar el resultado?

¿Puede verificar el razonamiento?

¿Puede obtener el resultado en forma diferente?

¿Puede verlo de golpe?

5

¿Puede emplear el resultado o el metodo en algun otro problema?

Estas cuestiones dan una retroalimentacion muy interesante para resolver otros

problemas futuros: Polya plantea que cuando se resuelve un problema (que es en

sı el objetivo inmediato), tambien, se estan creando habilidades posteriores para

resolver cualquier tipo de problema. En otras palabras, cuando se hace la vision

retrospectiva del problema que se resuelve, se puede utilizar tanto la solucion

que se encuentra como el metodo de solucion; este ultimo podra convertirse en

una nueva herramienta a la hora de enfrentar otro problema cualquiera.

De hecho, es muy valido verificar si se puede obtener el resultado de otra manera;

si bien es cierto que no hay una unica forma o estrategia de resolver un problema

pueden haber otras alternativas. Precisamente, esta vision retrospectiva tiene

por objetivo que veamos esta amplia gama de posibles caminos para resolver

algun tipo de problema.

La obra de Polya ha ayudado a muchos profesores a redescubrir el sentido de la

educacion matematica y a los investigadores a poner los cimientos de una teorıa que

explique el proceso de resolucion de problemas .

2. Tecnicas de Estudio en las Matematicas

Las matematicas de la universidad son estrechamente distintas a las matematicas

de la escuelas, se puede decir que son mas intensas en la universidad, es por ello que

las tecnicas a continuacion estan dirigidas a estudiantes que esten comenzando su

estudios universitarios.

1. Lecturas

La gran diferencia entre la escuela y la universidad esta en las lecturas. Los

profesores tienen muy poco tiempo a la semana para dar el contenido requerido

por lo que, el material viene a usted muy rapido. Es por esto que, mientras en la

escuela por lo general el profesor espera que entienda lo que dice en clases, en la

universidad habran grandes trozos de la notas que no entendera hasta que haya

6

trabajado en ellos mas tarde, lınea por lınea si es necesario. Incluso entonces,

puede haber algunas partes del curso que realmente solo vienen claras cuando

se llega a revisar el material.

Sin embargo, es importante tratar de entender lo que se dice y como se dice.

Ademas de ahorrar tiempo mas tarde, puede de lo contrario perder explicaciones

vitales y puntos de vista. Por lo tanto:

Hacer el esfuerzo de concentrarse. Todos hemos oıdo que, en una clase de

matematicas, lo que el profesor escribe en la pizarra va directamente al

cuaderno del alumno sin pasar a traves de su cerebro. Se debe hacer todo

lo posible para impedir que esto suceda: sentarse en la parte delantera; no

dejar aislar los pensamientos ; y recuerdar que la concentracion es solo una

cuestion de auto-disciplina y de practica.

Hacer preguntas durante la clase en lugar de dejarlo pasar. Si el profesor

esta escribiendo demasiado rapido o demasiado ilegible, o esta hablando

en voz demasiado baja para usted, es probable que otros esten teniendo la

misma dificultad.

No tener miedo de preguntar lo que puede pensar no tiene porque ser una

pregunta tonta. Nueve de cada diez veces, la mayor parte del resto de

la audiencia quedaran impresionados (aunque solo sea con su valentıa) y

muchos de ellos tambien van a querer saber la respuesta. Y es posible que

el profesor este cometiendo un error.

Tratar de parecer receptivo: mirar hacia arriba cuando haya terminado

de escribir y este listo para mas (esto ayuda a que el profesor regule el

ritmo de la clase); mirar desconcertado cuando tenga dudas (de modo

que el profesor sepa cuando se requiere mas explicacion). (Bob Hope, el

comediante estadounidense, solıa decir que le gustaba el publico britanico,

porque incluso si no tenıan ganas de reır en uno de sus chistes, asentaban

con la cabeza para demostrar que lo habıan entendido.)

La convencion habitual en clases es que anoten exactamente lo que el profesor

7

escribe en la pizarra o en transparencias. Se puede complementar la escitura du-

rante la clase, pero a menudo no habra tiempo. Aquı estan algunas trivialidades

muy importantes:

Escribir el numero de pagina y el numero de la clase en cada hoja; si se

caen sus notas o te metes en un lıo fotocopiarlos, usted se dara cuenta

que una pagina de matematicas se parece mucho a cualquier otra. Esto

puede parecer un punto absurdamente trivial. Unos anos atras, cuando

habıa una grave escasez de agua se colocaban anuncios diciendo a todos

que debıan cerrar el grifo mientras se cepillaban los dientes. El proposito

no era solo para salvar la taza de agua, sino para poner a la gente en el

estado de animo adecuado para hacer otros ahorros mas significativos. La

numeracion de las paginas puede ser un gran ahorro de tiempo.

Deja margenes amplios; que sin duda tendra que anotar a traves dde ellos

mas tarde.

Hacer sus notas (apuntes anotados y material de supervision) de una ma-

nera ordenada; esto le ahorrara un monton de tiempo al momento de irlo

a revisar.

Este es el consejo mas importante: se ahorrara una cantidad inmensa de tiempo

si consigue siempre enfrentarse con una clase antes de ir a la siguiente. De esta

manera, conseguira mucho mas de las clases, y ahorrara tiempo en sus estudios

porteriores. Por lo tanto, debe dejar tiempo cada dıa para sus notas de clase

no solo para leerlas, si no tambien para trabajar lınea por lınea. Esto es facil

de decir pero difıcil de hacer; tan pronto como se atrase requiere un enorme

esfuerzo para ponerse al dıa de nuevo.

Un punto final. Usted puede pensar que el profesor esta hablando con usted

como un grupo grande, pero el profesor realmente ve un gran numero de indivi-

duos. Se debe dirigir al profesor con las cortesıas normales de una conversacion

individual; comportarse como si el profesor esta hablando con usted personal-

mente. No utilice, por ejemplo, pasar la clase charlando con su companero o

8

leyendo el periodico. Esto es mas molesto para el resto de la audiencia y tam-

bien para el profesor, y es una receta segura para una clase pobre. Y por favor

recuerde apagar su telefono movil en las clases.

2. Estilos de Lecturas

Podra notar que los profesores adoptan una serie de estrategias para transmitir

a usted el material requerido. Por ejemplo, algunos profesores trabajan exclusi-

vamente en la pizarra o en retroproyectores; algunos dan un conjunto completo

de notas impresas; algunos dan a las notas con espacios para los diagramas o

ecuaciones para rellenar por el alumno. Algunos estilos le conviene mejor que

otros, pero es en gran medida un asunto personal; no asuma que otros estaran

de acuerdo con usted sobre lo que es mejor.

A menudo, los estudiantes (especialmente los nuevos estudiantes) quieren com-

pletar apuntes impresos, pensando que esto es lo que necesitan para aprender el

material. Que puede ser ası, pero el objetivo es entender el material, que es un

muy diferente al respecto. Para ello, puede ser mucho mas util tener un conjunto

cuidadosamente seleccionado de notas; el trabajo de detallar el contenido dado

en clase servira mas a largo plazo, que la lectura de un conjunto completo de

notas impresas.

3. Supervisiones

Una supervision no debe ser una mini-clase; si resulta en una, entonces eso

es una valiosa oportunidad desperdiciada, lo que ocurre generalmente, por lo

menos al principio, pues el alumno tiende a ignorar la opinion del supervisor.

Las conferencias deben ser en cierta medida interactiva; mas aun las supervisio-

nes. Los supervisores tambien son seres humanos: les gusta que hablen con ellos

y que muestren interes (por ejemplo, preguntando) en lo que estan diciendo.

Las supervisiones de matematicas generalmente consisten en que el supervisor

realice una serie de ejercicios, mientras usted se concentra en la explicacioon,

9

para luego anotar lo de la pizarra lo cual le servira de material de apoyo para

sus posteriores estudios del tema.

Debe discutir con el supervisor sus principales dudas o fallas en el tema, para

que el tome cartas en el asuento. Es su supervision, por lo que el supervisor

debe tratar de encajar con lo que usted desea.

Sus examenes deben ser redactados con cuidado y con logica, de lo contrario

no es matematica, para esto pida ayuda al supervisor. Puede pensar que puede

hacer un problema incluso antes de fijar el lapiz al papel, pero en realidad no

siempre sabe hacer un problema hasta que escribe todos los detalles. Ademas,

a menos que usted este en el habito de escribir soluciones cuidadosas, no tiene

la oportunidad de explicar en el examen lo que realmente significaba.

Si usted no hace un buen uso de las supervisiones, entonces usted va a des-

pilfarrar uno de los servicios mas importantes (y costosos). De largos anos de

experiencia, la recomendacion para hacer un mejor uso de sus supervisiones,

usted debe:

traer sus notas de clase para el control, tras haber marcado las partes en

que tenga dudas;

dıgale a su supervisor (de forma apropiada y educada) exactamente lo que

le gustarıa que el o ella haga, recordar que a veces su supervisor tendra mu-

cha menos experiencia de lo que aparenta, y el espera de su consejo;

asegurarse de que su supervisor anota lo suficiente en cada ejemplo para

que usted pueda reconstruir la solucion despues;

revisar la supervision tan pronto como sea posible despues, mientras que

aun esta fresco en su mente.

Por ultimo, aquı esta el consejo mas importante: no ser perezoso. Es muy facil

dejar lo que el supervisor esta diciendo con la esperanza de que todo saldra claro

mas adelante. Si usted no entiende lo que el supervisor ha hecho, preguntele.

10

4. Metodos de Estudio

Cada uno tendra que decidir individualmente que metodo de estudio mas le

convenga: donde estudiar, cuando estudiar, la forma de estudiar. Solo uno mismo

puede decidir lo que es mejor. A algunos les gusta estudiar en sus habitaciones

y a algunos les gusta estudiar en bibliotecas lejos de tentaciones. A algunos les

gusta estudiar hasta altas horas de la noche y algunos prefieren dormir en la

noche. Esta claro que el mejor ritmo de estudio es el continuo en lugar de dejar

hasta el ultimo momento, sobre todo porque no se puede estar seguro de cuanto

tiempo tomara el estudio.

Una pregunta importante para decidir desde el principio es si desea estudiar

solo o en ocasiones reunirse con un amigo. Es esencial recordar si usted estudia

con alguien mas es que no signifique en algun sentido la copia; que esta muy

bien para discutir el trabajo, pero usted debe tener una buena idea primero y

debe ser una asociacion de igualdad con el objetivo de ir mas lejos en el tiempo

disponible en lugar de reducir a la mitad la cantidad de tiempo que necesita

para gastar en el estudio. Sin embargo para estudiar, debe recordar que la

matematica universitaria no debe ser considerado como un deporte competitivo.

Nadie esta interesado en la rapidez con que te las arreglaste para hacer los

problemas.

5. Escribir Matematicas

La mayorıa de los matematicos pueden escribir prosa gramatical exacta, en-

tender (por ejemplo) la razon por la que hay una coma, y no un punto o cun

punto y coma. Hay una gramatica a la escritura matematicas tambien. Sımbo-

los tales como ∀, ⇒, ∃, etc, se deben utilizar de una manera que tenga sentido

gramatical si se lee en su totalidad. Si usted es descuidado en esto, entonces sin

duda se encontrara usando logica descuidada, ası como la gramatica matematica

descuidada.

Debe tratar de escribir en oraciones completas, usando puntuacion normales:

11

punto al final de una frase, incluso si termina en una ecuacion, comas normal-

mente en parejas, etc. Las frases deben ser cortas y tan simple como sea posible.

Si se encuentra escribiendo parrafos de texto, a continuacion, debe considerar

que esta escribiendo mas de lo necesario para explicar. Tiene que ser absoluta-

mente preciso en la escritura matematica.

Finalmente, recuerde que usted esta poniendo sus pensamientos para otra per-

sona. Usted no debe pensar ”Bueno, estoy seguro de que el o ella sabra lo que

quiero decir ”. El lector tambien puede ser capaz de adivinar lo que significa,

pero, si el lector es su examinador, esto puede afectar su nota. En cualquier

caso, ¿por que hacer que su lector haga el trabajo?.

6. Solucion de Problemas

La matematica es todo acerca de la resolucion de problemas, y la unica manera

de probar su comprension del material es trabajar a traves de ejemplos. En la

escuela, los problemas eran bastante cortos y las respuestas salıan ordenada-

mente. Como estudiante, encontrara que muchos problemas requieren de anos

para ser resueltos; incluso si sabe exactamente lo que esta haciendo, cada proble-

ma puede tomar un tiempo considerable y varias hojas para completar.(Esto es

como debe ser: a nivel de investigacion, un problema puede llevar meses o anos

o puede ser simplemente imposible de resolver.) Otra diferencia con estudiar

en la escuela es que aquı normalmente tendra solo un problema en cada tema,

mientras que en la escuela habıa normalmente muchos problemas similares sobre

cada tema tal vez con diferentes numeros en ellos.

Aquı estan algunas ideas sobre los problemas que aborda. Si no puede empezar

a trabajar en un problema, intente lo siguiente, en orden.

Vuelva a leer la pregunta para comprobar que entienda lo que se quiere.

Vuelva a leer la pregunta en busca de pistas. La forma en que esta redacta-

da,la forma en que una formula se escribe, o de otras partes pertinentes de

la cuestion. (Puede pensar que los emisores estan tratando de establecer

12

preguntas difıciles;pero ellos probablemente estan haciendo todo lo posible

para hacerlo mas facil, tratando de decirte que hacer).

Simplificar la notacion. Por ejemplo, escribiendo sumas o vector compo-

nentes de forma explıcita.

Mirar casos especiales (reducir el numero de dimensiones, seleccionar va-

lores especiales que simplifican el problema) para tratar de entender por-

que el resultado es verdadero.

Tratar de entender que es lo que desconoce. Por ejemplo, encontrar las

definiciones de los terminos tecnicos (a menudo esto abrira nuevas pers-

pectivas).

Asegurarse de que entiende completamente los terminos

tecnicos utilizados en el enunciado del problema.

Mirar un problema similar en sus notas o en un libro de texto.

Pero asegurese de entender completamente el ejemplo

desde el que esta estudiando.

13

Anote sus pensamientos. En particular, trate de expresar la razon exacta

por la que esta detenido.

Resolviendo problemas: escriba sus pensamientos...

Ir a la siguiente pregunta y volver mas tarde.

Tome un descanso (¡Corto!).

Pregunte a un amigo (pero asegurese de que todavıa piensa por sı mismo,

pues los amigos no son infalibles). PERO: recuerde que seguir alguna so-

lucion de otra persona (ya sea por el supervisor, profesor o amigo) es ni

remotamente lo mismo que hacer el problema por su cuenta.

Este ultimo punto es importante: una vez que han visto la solucion de otra

persona por ejemplo, entonces se ven privados, para siempre, de la mayor par-

te del beneficio que podrıan haber tenido al tratar de hacerlo por sı mismos.

Aunque, al final, se quedan atascados en un problema particular, tienen mucho

mas beneficio ver la solucion de un supervisor a un problema con el que ya han

tenido un estrecho tiempo trabajando, que simplemente seguir una solucion a

un problema al que han dado muy poco tiempo.

14

Si tiene empezado un problema, pero la respuesta no parece estar llegando a

continuacion, compruebe su algebra. Por ejemplo: si usted ha escrito la serie

log(1 + x) como

1− x + x2/2− x3/3+···

entonces una comprobacion rapida revelara que no funciona para x = 0; clara-

mente, el 1 no deberıa estar allı.

Tambien debe asegurarse de que lo que ha escrito tiene sentido. Por ejemplo,

en un problema que es dimensionalmente consistente, no se puede agregar x

(con dimensiones de longitud, por ejemplo) a x2 o a expx (que en sı no tiene

sentido). Incluso si no hay dimensiones en el problema, a menudo es posible

asignar mentalmente dimensiones y por lo tanto permitir una comprobacion

rapida.

Tenga cuidado con la aplicacion de los procesos familiares para objetos no fa-

miliares (muy facil de hacer cuando se siente en el mar): por ejemplo, cuando

se trata con matrices, es muy facil escribir AB en lugar de BA con bonitas sim-

plificaciones a la vista; o para resolver la ecuacion vectorial ax = 1 dividiendo

ambos lados por a. Si sus calculos parecen estar bien, entonces vaya a traves de

los pasos anteriores.

Si no esta atascado, entonces:

Escribir la solucion plenamente; no es suficientemente bueno para mirar

un ejemplo y evitarlo si se ve facil.

Mirar hacia atras sobre lo que has hecho, comprobando que los argumentos

son correctas y asegurarse de que funcionan sin ningun dano. Es sorpren-

dente la frecuencia en la que una cadena de argumentos totalmente falsos

y errores algebraicos brutos conduce a la respuesta dada.

Asegurese de que no esta solicitando irreflexivamente herramientas ma-

tematicas que no entiende completamente.

15

Trate de ver como encaja el problema en el contexto mas amplio y ver si

hay un punto especial que se pretende ilustrar.

Asegurese de que realmente entiende no solo lo que tiene terminado, sino

tambien por que lo ha hecho ası en lugar de algun otra modo. Esto es

especialmente importante si usted ha trabajado desde un ejemplo similar

en las notas (o si usted busco asesoramiento de un amigo).

7. Examenes

Hoy en dıa, son muy amistosos, estan disenados para poner a prueba su cono-

cimiento de los cursos que ha asistido mas su capacidad de saltar a traves de

aros matematicos. Mas aun, cuestiones de estrategia. Marcas extremas (altas o

bajas) estan disponibles en examenes de matematicas, lo que significa que jugar

las tarjetas del mantener la mejor nota posible es de vital importancia.

A continuacion algunos pensamientos, para las preparaciones adecuadas y el

desarrollo de buenos habitos.

Para la revision, trabajar a traves de ejemplos al leer la correspondiente

seccion de las notas (solo lectura no es suficiente).

Para la preparacion de ultimo minuto, mirar las notas de su supervision

para recordar como hacer preguntas.

En el examen, sobre todo, mantener la calma (si es difıcil para usted, es

probable que sea difıcil para todos).

No se apresure en una pregunta. Leer todo el documento cuidadosamente

y comenzar con la pregunta que se sienta mas confiado.

Analizar exactamente lo que se le pide hacer; tratar de entender los consejos

(explıcitas e implıcitas); recuerde que debe distinguir entre terminos como

explicar / probar / definir / etc.

Recuerde que las diferentes partes de una pregunta a menudo estan vincu-

ladas (se suele ser obvio a partir de la notacion) al igual que las variables.

16

Presenta su respuesta de manera legible y logica (no garabatear el primer

pensamiento que viene a la cabeza), esto no solo le ayuda a evitar errores

tontos, sino tambien a dar senales al examinador que usted sabe lo que

esta haciendo (que puede ser eficaz incluso si usted no tiene la mas remota

idea de lo que esta haciendo).

Si se queda atascado al momento de la escritura de una afirmacion, siga

adelante (aunque no recibe puntos por el hecho de afirmar proposiciones,

la Ensenanza universitaria es generalmente agradecida por cualquier senal

de vida inteligente).

Resolucion de problemas: algunos problemas pueden tener profundidades

ocultas.

8. Por ultimo...

La matematica es difıcil. Sin embargo, no es mas difıcil que todo, solo difıcil de

una manera diferente. La mayorıa de la gente no puede leer un capıtulo de un

libro de matematicas termiando con una idea bastante acertada del material.

Tiene que ser estudiado de lınea por lınea. No se desanime: es solo una forma

17

diferente de aprender. Y hay pocos logros mas satisfactorios (academicos) que

la prueba exitosa de una proposicion matematica difıcil.

3. Conclusiones

Estudiar las Ciencias Matematicas, no es una tarea facil, pero existen materiales

digitales e impresos, que nos aportan valiosas tecnicas para estudiar, y para resolver

problemas (como G. Polya) del area en cuestion; los cuales nos ayudan a mejorar

nuestros habitos de estudios, y nuestro uso del tiempo.

Referencias

[1] G. Polya. Primera edicion en espanol, Editorial Trillas, 1965. Como plantear y

resolver problemas.

[2] Handout for first?year students. UNIVERSITY OF CAMBRIDGE, Faculty of

Mathematics October 22, 2013. Study Skills in Mathematics.