ogando/papers/tesisTexto.pdf · 2012-02-03 · Tribunal nombrado por el Magfco. y Excmo.Sr. Rector de la Universidad Polit´ecnica de Madrid, el d´ıa 24 de marzo de 2004. Presidente

Tesis Doctoral

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA NUCLEAR

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

INDUSTRIALES

Resolucion Numerica de la Ecuacion de Transporte

de Radiacion en Malla Adaptativa Refinada

Multidimensional

Francisco Ogando Serrano

Ingeniero Industrial por la ETSII

de la Universidad Politecnica de Madrid

Director: Pedro Velarde Mayol

Doctor Ingeniero Industrial

Profesor titular de la ETSII UPM

Febrero, 2004

Tribunal nombrado por el Magfco. y Excmo.Sr. Rector de la

Universidad Politecnica de Madrid, el dıa 24 de marzo de 2004.

Presidente D. Jose Marıa Aragones Beltran (UPM)

Secretario D. Emilio Mınguez Torres (UPM)

Vocal D. Shalom Eliezer (Soreq NRC)

Vocal D. Javier Sanz Gozalo (UNED)

Vocal D. Domingo Garcıa Senz (UPC)

Suplente D. Julio Hernandez Rodrıguez (UNED)

Suplente D. Jose Marıa Martınez-Val Penalosa (UPM)

Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el dıa 18 de mayo de 2004 en la E.T.S. IngenierosIndustriales.

Calificacion :

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

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Agradecimientos.

El autor agradece a D. Pedro Velarde Mayol, director de esta tesis doctoral, por toda la atencion yel apoyo recibido, ası como por todas las ensenanzas que me ha dado. Durante estos anos no solo nosha unido la ciencia sino tambien la amistad. Tambien se agradece la colaboracion recibida por parte delDepartamento de Ingenierıa Nuclear y el Instituto de Fusion Nuclear de la Universidad Politecnica deMadrid (UPM); y a D. Manuel Perlado Martın y a D. Guillermo Velarde Pinacho como directores de losmismos.

No olvido tampoco a mis companeros del Departamento de Ingenierıa Energetica de la UNED que mehan dado apoyo durante el tiempo que hemos trabajado juntos. Especialmente quiero reflejar el apoyo yamistad de Nuria, Javier y Chelo.

Quiero agradecer tambien al dosentti Jukka Kiviharju y a mis companeros de aprendizaje de fines,por todos los buenos momentos que hemos pasado juntos. Paljon kiitoksia Juhanalle, Ingalle ja kaikilleminun suomalaisille ystavilleni, joiden avulla opin rakastamaan Suomea.

Por ultimo, pero de un modo especialmente fuerte, mi gratitud a mi familia, que ha vivido estaexperiencia conmigo durante estos anos. Os pido disculpas por haber tenido que pasar por ello.

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Resumen

En las ultimas decadas se han producido avances significativos en los metodos numericos para flui-dodinamica, siendo el de Malla Adaptativa Refinada (AMR) uno de los mas significativos. El metodoAMR optima tanto el tiempo de calculo como la memoria utilizada en las simulaciones. Este metodo seesta utilizando en campos como el modelado atmosferico, el estudio de la combustion o la astrofısica. Des-de hace tiempo, hay grupos de investigacion desarrollando codigos de simulacion para diseno de blancosen Fusion por Confinamiento Inercial (ICF). En los sistemas simulados en ICF, la radiacion es un modoimportante de transferencia de energıa por lo que tambien debe ser calculada con precision. Teniendoen cuenta sus particularidades, el campo de radiacion debe ser calculado con dependencia espacial, dedireccion de propagacion y de energıa fotonica. El comportamiento del campo de radiacion se modelizamediante un modelo de transporte de partıculas conocido como transporte de radiacion.

El transporte de radiacion no se habıa acoplado a fluidodinamica utilizando el metodo AMR, por susproblemas de acoplamiento entre mallas, la interaccion de la radiacion y la materia, y los requerimientosde memoria y tiempos de computacion. En esta tesis doctoral estos problemas son tratados y solucionadossatisfactoriamente de un modo original, consiguiendo un codigo de simulacion plenamente operativo paraICF. Este es el primer codigo publicado con estas caracterısticas.

Las principales aportaciones realizadas en esta tesis en el area de AMR se encuentran en diversoscampos que han sido afrontados para la realizacion del codigo:

Calculo preciso de los coeficientes de la ecuacion de transporte. Se han adecuado metodos de ob-tencion de coeficientes, y se ha desarrollado un algoritmo para el calculo de la emision de radiacionen frentes de ablacion.

La transmision de informacion entre las diferentes mallas del esquema AMR se ha realizado deun modo especialmente orientado al transporte de radiacion. Se ha respetado la dependencia endireccion de propagacion y energetica del campo.

La interaccion entre materia y radiacion se ha tratado mediante una linealizacion del intercambioenergetico y la incorporacion de un metodo efectivo (DSA) de aceleracion de la convergencia delesquema.

En el texto se incorporan tanto pruebas numericas como las primeras aplicaciones del nuevo codigo enlos campos de ICF y astrofısica. Se hace especial hincapie en la capacidad de abordar nuevas simulacionesque antes no eran posibles. Se ha reproducido resultados publicados usando un codigo de referencia,ası como un nuevo diseno de blanco de ICF cuyo comportamiento se encuentra ahora bajo las capacidadesde estudio.

La realizacion de este codigo ha producido ya impacto en la investigacion de la institucion directora,habiendose podido ampliar las lineas de investigacion y estableciendo nuevas colaboraciones con institu-ciones de Francia, Japon y Portugal. Este trabajo queda por otra parte abierto a nuevos desarrollos ymejoras abordables en el futuro.

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Indice general

1. Introduccion 7

1.1. Justificacion de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Analisis fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3. Metodo de resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Antecedentes de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Hidrodinamica de radiacion. 17

2.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Ecuaciones de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Transmision de energıa por conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Transmision de energıa por radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1. Campo fluido con radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2. Interaccion de la radiacion y la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.3. Condiciones termodinamicas del medio. Equilibrio termodinamico local (LTE). . . 27

2.5. Ecuacion del transporte de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1. Desarrollo de la ecuacion del transporte en coordenadas cartesianas. . . . . . . . . 29

2.5.2. Otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.3. Inclusion de procesos inducidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6. Esquema de difusion como aproximacion al transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1. Aproximacion de Eddington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.2. Aproximacion asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.3. Limitador de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Importancia de terminos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Resolucion numerica de la ecuacion de transporte. 39

3.1. Separacion de ecuaciones mediante operator splitting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Discretizacion de las ecuaciones. Diferencias finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1. Tratamiento de la variable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2. Tratamiento de las variables espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

2 Indice general

3.3. Ecuacion del calor. Sistema parabolico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Metodos numericos en transporte de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1. Metodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2. Metodo integral de resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.3. Elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.4. Metodos nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.5. Metodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5. Tratamiento de la variable energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1. Promedios de Planck y Rosseland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.2. Fuentes de datos atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6. Tratamiento angular en la ecuacion de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6.1. Metodo de armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6.2. Metodo de ordenadas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.3. Ordenadas discretas y diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.4. Metodos alternativos de discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6.5. Efecto rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7. Acoplamiento de materia y radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Esquemas de aceleracion de la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8.1. Metodo de aceleracion sintetica por difusion (DSA). . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. Resolucion numerica de ecuaciones mediante AMR. 69

4.1. Malla Adaptativa Refinada Estructurada por Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. Algoritmo de resolucion de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1. Ecuaciones parabolicas y elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.2. Ecuacion de transporte de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Calculo de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3.1. Presencia de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Desarrollo de la tesis 79

5.1. Material de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.1. Resolucion de la ecuacion de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.2. Software de gestion de datos orientado a AMR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1.3. Resolucion de la ecuacion de conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.4. Programa principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.5. Modulos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2. Estructura global del nuevo codigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1. Flujo de informacion entre modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2. Avance temporal de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.3. Algoritmo de calculo de mallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3. Desarrollos en modulos auxiliares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.1. Calculo de opacidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Indice general 3

5.3.2. Visualizacion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.3. Resolucion de la ecuacion de conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4. Estrategia para los calculos de transporte de radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5. Generacion de coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5.1. Acciones simplificativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.2. Calculo de la emisividad en frentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.6. Transmision de informacion entre mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.1. Flujos en un mismo nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6.2. Interaccion entre niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6.3. Proyeccion de coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.6.4. Estructura global de iteracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7. Acoplamiento de materia y radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.7.1. Calculo de coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.7.2. Influencia en el algoritmo global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.7.3. Esquema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6. Resultados 115

6.1. Prueba de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1.1. Caso de medio muy opaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2. Prueba estatica de acoplamiento radiacion-materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.2.1. Caso espacialmente homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.2.2. Test de Su–Olson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3. Test completo de las capacidades del codigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.1. Descripcion del experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3.2. Simulacion numerica del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4. Aplicacion al diseno de blancos en ICF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7. Conclusiones 141

7.1. Mejoras aportadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2. Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3. Desarrollos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

A. Analisis de los metodos escalon y diamante 147

A.1. Analisis unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.1.1. Metodo escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.1.2. Metodo del diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

B. Interpolacion para el calculo de emisividades 151

B.1. Modelo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B.2. Extension a dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

B.3. Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4 Indice general

Bibliografıa. 155

Curriculum vitæ 163

Indice de figuras

1.1. Iluminacion de un blanco indirecto de ICF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Termodinamica de un blanco de ICF [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Importancia de la emisividad inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Sistemas de coordenadas absoluto y local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1. Definicion de puntos espaciales discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Situacion de los puntos ghost en una malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Comparacion de los promedios de Rosseland y Planck para el coeficiente masico de absor-cion del hierro. Condiciones LTE, un solo grupo de energıa, ρ = 4616 kg/m3 . . . . . . . . 52

3.4. Coeficiente masico de absorcion del hierro en condiciones LTE. ρ = 4616 kg/m3, T = 10 eV 53

3.5. Estructura de una celda bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6. Esquemas en escalon y diferencias de diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7. Comparacion de aproximaciones de la fuente [79] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.8. Efecto rayo en una fuente puntual (abajo a la izquierda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.9. Esquema sintetico de correccion al metodo de iteracion en la fuente . . . . . . . . . . . . . 66

4.1. Ejemplo de refinamiento espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. Mallas adaptadas no homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Superposicion de mallas en AMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4. Anidamiento correcto de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5. Avance temporal de diferentes niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6. Transmision de valores de flujo en transporte de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7. Representacion de una onda de choque con dos refinamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1. Estructura modular del codigo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2. Diagrama de flujo del codigo arwen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3. Esquemas de avance temporal para ecuaciones hiperbolicas y parabolicas. . . . . . . . . . 91

5.4. Efecto sombra producido por un obstaculo frente a una fuente de radiacion. . . . . . . . . 93

5.5. Comparacion de absorcion y dispersion para el aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.6. Reacciones de dispersion a alta energıa en el aluminio en condiciones ambientales . . . . . 100

5.7. Transferencia de flujos de malla gruesa a fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8. Transferencia de flujos de malla fina a gruesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5

6 Indice de figuras

5.9. Fuente volumetrica equivalente a una de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.10. Correccion de la intensidad centrada en celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.1. Esquema y solucion del test 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2. Resultados del test 1 en un medio homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3. Resultados del test 1 con material opaco. Casos de malla simple y de AMR. . . . . . . . . 119

6.4. Comparaciones del codigo arwen con la solucion al test de Su–Olson, para los tiemposτ = 0,1; 5; 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.5. Esquema del experimento descrito en [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.6. Evolucion de la temperatura de radiacion en el interior de un hohlraum de la instalacionNova [72] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.7. Caracterısticas del sistema a los 2ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128




6.11. Medidas experimentales del movimiento fluido del sistema [30] . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.12. Diseno de blanco para fast ignition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.13. Evolucion del blanco propuesto para ICF (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.14. Evolucion del blanco propuesto para ICF (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.15. Temperatura de radiacion por grupos de energıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.1. Elementos de una celda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.2. Comparacion de los metodos escalon y diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

B.1. Factor de correccion por la interpolacion exponencial para el oro. . . . . . . . . . . . . . . 153

Capıtulo 1

Introduccion

Debido a los altos costes de realizacion de experimentos, en muchos campos de la ciencia se haintroducido la simulacion computacional como un complemento a los mismos. Con la introduccion decomputadores de capacidad de calculo cada vez mayor y el desarrollo de metodos de computacion maseficientes, la simulacion numerica de multiples procesos se ha convertido hoy en dıa en una herramientade gran valor para la investigacion.

Lo principales pasos a realizar en la simulacion computacional de sistemas fısicos son comunes a unagran variedad de sistemas pertenecientes a diversos campos de la ciencia. Generalmente suelen llevarse acabo al menos los siguientes:

Identificacion de las variables relevantes, e introduccion de hipotesis simplificativas sobre las res-tantes.

Modelizacion matematica del comportamiento de las magnitudes relevantes del sistema. Se han dedesarrollar expresiones matematicas que relacionen las variables significativas en forma de ecuacio-nes.

Resolucion computacional de las expresiones matematicas resultantes.

El correcto desarrollo de esos pasos es fundamental de cara a obtener unos resultados precisos a uncoste computacional razonable.

El enfoque de esta tesis se dirige a la simulacion de fluidos de alta densidad de energıa, y en concretoa aplicaciones relacionadas con la Fusion por Confinamiento Inercial (ICF). No obstante el rango deaplicaciones abarca a otros campos de la fısica de alta energıa, como puede ser el estudio de plasmas o laastrofısica, donde se encuentran sistemas a alta presion y temperatura.

1.1. Justificacion de la tesis

La realizacion de esta tesis doctoral se justifica por la necesidad del estudio de procesos asociadosa ICF llevados a cabo en la institucion directora de la investigacion: el Instituto de Fusion Nuclear(IFN). De cara a la investigacion de los blancos combustibles en ICF, es necesario no solo una labor deexperimentacion, sino que mediante tecnicas computacionales pueden probarse nuevos disenos o rechazaralgunos por su falta de rendimiento.

7

8 Capıtulo 1. Introduccion

Una vez planteada la necesidad de una herramienta computacional para la simulacion de procesosen ICF, se ha estudiado el panorama mundial de las herramientas de simulacion. El codigo puntero encuanto a capacidad y resultados es el lasnex desarrollado en el laboratorio Lawrence Livermore (USA), nosiendo de acceso publico. Habiendo realizado una busqueda a nivel mundial, sobre la posibilidad de accesoa codigos avanzados (con algoritmos modernos) que tuvieran capacidad de resolucion de los sistemasdeseados, se llego a la conclusion de que no habıa ninguno disponible. Esta carencia de herramientaspublicas es lo que lleva al grupo de simulacion de blancos del IFN a proponerse la creacion de uno conplena funcionalidad para las investigaciones en marcha.

Este trabajo se presenta como el resultado del esfuerzo encaminado a conseguir esa herramienta.Mediante su uso, la investigacion en el IFN sobre diseno de blancos combustibles se ha relanzado [129]gracias a las nuevas capacidades de calculo.

1.1.1. Planteamiento del problema

El proceso fısico mas basico en la produccion de energıa mediante ICF es la consecucion de lasrequeridas condiciones termodinamicas en el combustible nuclear, la ignicion y su posterior quemado.Los requerimientos de las reacciones de fusion nuclear para tener una tasa apreciable son muy fuertes[72]. Las condiciones termodinamicas del combustible, en especial la temperatura, deben ser extremas,del orden de decenas de millones de grados. Inicialmente se parte de combustible a temperatura ambienteo en condiciones criogenicas dependiendo del diseno, lo que supone que sus condiciones termodinamicasdesde su fabricacion hasta su quemado varıan de un modo extremo.

El modo de consecucion de temperaturas extremas se realiza en ICF mediante la deposicion subita deenergıa en blancos de pequena masa. Dicha deposicion de energıa se debe realizar en periodos de tiempomuy pequenos, para evitar que la energıa escape del sistema. Entre los esquemas propuestos se encuentrala descarga de energıa electrica desde condensadores a un blanco cilındrico [34] (conocido como Z-pinch)o la utilizacion de haces de iones o laseres para combustibles esfericos [72]. Tanto en el caso de los ionescomo de los laseres, la deposicion final de energıa sobre el combustible se hace por medio de radiacionelectromagnetica, sea radiacion X termica (blancos de iluminacion indirecta [72]) o la propia iluminaciondel laser (blancos de iluminacion directa).

El proceso para llegar a las condiciones buscadas es por tanto muy dinamico y en el se producentransferencias de energıa de mucha importancia. Inicialmente se deposita energıa sobre el blanco medianteradiacion, lo que produce un subito calentamiento. La energıa termica adquirida se convierte en mecanicamediante la expansion e implosion del material. Finalmente mediante un proceso acumulativo la energıacinetica es nuevamente convertida en energıa interna, en parte termica y en parte por variaciones dedensidad de la materia ya muy densa. Es entonces cuando el calentamiento y compresion del combustiblenuclear lo lleva a un estado susceptible de mantener reacciones de fusion a una tasa apreciable. Alproducirse la reaccion de fusion, una gran cantidad de energıa nuclear es liberada como termica, lo queinicia una aun mas violenta expansion en la que la energıa es transportada por residuos materiales a altatemperatura y velocidad, por fotones y por los neutrones producidos en la reaccion.

El proceso de aprovechamiento de esa energıa una vez producida en las reacciones de fusion tambienpertenece al campo cientıfico-tecnologico de la investigacion en ICF. Sin embargo dicho campo no pretendeser abordado en este trabajo.

1.1. Justificacion de la tesis 9

1.1.2. Analisis fısico

La magnitud clave para el analisis del proceso de fusion es la ganancia de energıa obtenida, o enun analisis mas simple, el estado termodinamico conseguido en las fases finales de la implosion. Dichamagnitud depende en gran medida del diseno del blanco, ası como de la deposicion de energıa sobre el.Para su calculo se ha de abordar el estudio de la dinamica de un sistema, tratado como fluido compresible,cuando a este se realizan aportes de energıa. Generalmente esos aportes de energıa pueden provenir tantode la deposicion de energıa por laser, como por parte de reacciones quımicas o nucleares. Los rangos dedensidad y temperatura a tratar en el caso de ICF pueden ser extremadamente amplios, cubriendo variasdecadas en ambas variables termodinamicas.

La dinamica de fluidos queda recogida en las ecuaciones de Navier Stokes, que deben ser resueltas.Dichas ecuaciones se basan en relaciones de conservacion de magnitudes fundamentales como son la masa,la cantidad de movimiento y la energıa. Conocidos todos los terminos de las ecuaciones, la solucion deestas ecuaciones reproduce el campo fluido (densidad, energıa y velocidad). Hay que tener en cuentaque el acoplamiento entre las ecuaciones y la no linealidad de las mismas complica en gran medida suresolucion, teniendose que anadir, en gran parte de los casos, hipotesis simplificativas sobre algunos delos terminos.

Las particularidades a considerar en el estudio de sistemas de alta energıa se basan tanto en elcomportamiento especial de la materia en dichas condiciones como en los terminos relacionados con laabsorcion y emision de radiacion.

En lo referente al comportamiento de la materia a alta temperatura, hay que atender a las relacionesque vinculan la densidad y la temperatura con la presion y la energıa interna de un material. Dichasrelaciones son las llamadas ecuaciones de estado, y son los principales vınculos entre las ecuacionesgenericas de conservacion y el comportamiento real de los diferentes materiales participantes en elsistema. Un estudio sobre las diferentes posibilidades de introduccion de estos datos en la simulacionnumerica se encuentra en [88].

Los mecanismos principales de transmision de calor en un fluido son la conduccion, la conveccion yla radiacion. Este ultimo solo tiene importancia frente al resto cuando las temperaturas son altas.Segun la ley de emision del cuerpo negro, la cantidad de energıa radiada por un cuerpo varıa segunla cuarta potencia de su temperatura (I = σT 4). Una dependencia tan acusada con la temperaturahace que su importancia sea fundamental cuando su valor es alto. Es de resaltar que la emisionde radiacion de los materiales reales no es exactamente la del cuerpo negro, si bien el anteriorrazonamiento cualitativo es valido para resaltar la importancia del correcto tratamiento del campode radiacion.

En lo referente a los otros medios de transmision del calor, la conveccion se calcula como parte delmovimiento del fluido, mientras que la conduccion tiene importancia por el efecto de los electroneslibres que aparecen cuando la temperatura es suficientemente alta para mantener un cierto gradode ionizacion en el sistema.

Existe un fuerte acoplamiento entre las condiciones de la materia y de la radiacion. Como se hacomentado previamente, la tasa de emision de radiacion (y por tanto, de perdida de energıa) dependefuertemente de su temperatura. Asimismo, las variaciones de temperatura de la materia dependentambien en gran medida del intercambio de energıa con el campo de radiacion presente (ya sea poremision o absorcion de fotones). El correcto tratamiento del acoplamiento entre materia y radiaciones uno de los puntos mas problematicos a la hora de afrontar la resolucion del problema conjunto.


Una vez introducido el papel fundamental que la radiacion juega en la transferencia dentro de fluidosde alta energıa, es necesario tratar ciertas particularidades respecto a la interaccion de la materia con laradiacion presente en un medio. La radiacion es fundamentalmente emitida por los electrones presentesen el sistema, ya sea por transiciones entre estados ligados, transiciones entre estados libres (ionizados) yligados (proceso de captura electronica), o fundamentalmente entre estados libres (radiacion de frenadoo brehmsstrahlung). Salvo en casos especiales, tales como los amplificadores de laser (donde la emisioninducida es importante), o en fluidos relativistas, se puede considerar que la radiacion se emite de modoespontaneo e isotropo.

La absorcion de fotones se realiza mediante los procesos inversos a los anteriormente especificados. Agrandes rasgos la capacidad de un medio para absorber fotones es mayor a temperatura baja y densidadalta, cuando hay mayor cantidad de electrones disponibles para excitarse mediante la absorcion. Dichacapacidad de absorcion de fotones se cuantifica mediante el llamado coeficiente macroscopico de absorcion(κ). Dicho coeficiente depende tanto de las condiciones del medio (densidad y temperatura) como de laenergıa del foton bajo consideracion (E = hν). La longitud media que un foton puede recorrer en un medioantes de ser absorbido se denomina recorrido libre medio (λa), y se relaciona con el anterior coeficientesegun λa = 1/κ. Un medio cuyas dimensiones son apreciablemente mayores que su λa se denominaopticamente grueso, mientras que el termino opticamente delgado se refiere a los de dimensiones menores.

En un medio opticamente grueso, los fotones emitidos en su seno, tienen una probabilidad alta deser reabsorbidos en el mismo. De este modo los fotones que llegan a un punto proceden de emisionesproximas a el. Esto implica que la distribucion angular de los mismos esta dominada por la distribucionangular de emision termica del medio, que como se ha comentado, es aproximadamente isotropa. Bajoestas condiciones se tiene que en el estudio del campo de radiacion, el tratamiento angular de la radiaciontendra poca importancia. Esto permite la introduccion de hipotesis simplificativas de cara a modelizar elsistema, llegando al modelo de difusion de radiacion.

En el caso opuesto al anterior, de medio opticamente delgado (sistemas calientes y poco densos), no secumplen las suposiciones anteriores. En esta situacion un foton emitido en una porcion del sistema puedetransmitirse con gran probabilidad a otras zonas lejanas del mismo. Esto supone que la distribucionangular del campo de radiacion en un punto dado dependera fuertemente de las tasas de emision deradiacion en zonas alejadas unas de otras, de modo que no tienen porque ser iguales. Esa diferencia en laintensidad de radiacion proveniente de diferentes zonas del sistema, y por tanto con diferentes direccionesde propagacion, es lo que provoca la anisotropıa del campo de radiacion. En este caso la aproximacionde difusion no es valida, siendo necesario el uso de un modelo que realice el calculo adecuado de ladependencia del campo de radiacion con la direccion de propagacion de la misma.

Un caso relevante para el estudio de la fısica de alta energıa se encuentra tambien en la produccionde plasmas densos [112]. Este proceso se realiza en laboratorio mediante la iluminacion por un pulsode laser de alta intensidad sobre un blanco solido frıo. La interaccion entre el laser y el solido produceun calentamiento subito que conlleva la ablacion del material superficial. Se genera entonces una granvariedad de estados termodinamicos en diferentes regiones entorno a la zona de absorcion de la energıa dellaser. El material que absorbe la energıa se calienta mas rapidamente de lo que se produce su expansion,con lo que se produce una region de alta densidad y temperatura. Dicha region cumple las condicionesde ser opticamente gruesa, conforme se ha definido previamente. A medida que el material caliente seexpande y ablaciona, se produce tanto un enfriamiento como una fuerte disminucion de la densidad,presentandose en esa region las condiciones de medio opticamente delgado. En esas zonas parte de laradiacion emitida no es absorbida localmente, existiendo un campo de radiacion diferente al de equilibrioque, por tanto, afecta a la cantidad de radiacion reemitida a la zona densa y consecuentemente a laevolucion fluidodinamica.

1.1. Justificacion de la tesis 11

En relacion a ICF, el proceso mas importante es el de iluminacion e implosion de blancos combus-tibles. En el caso de los blancos indirectos el laser no incide directamente sobre la capsula combustible,sino que cede su energıa a las paredes del receptaculo donde se encuentra la capsula. Dicho espacio sedenomina hohlraum y se encuentra relleno de material de baja densidad (espumas especiales) debido aconsideraciones fluidodinamicas. Cuando el laser incide sobre las paredes del hohlraum, estas se calientansubitamente, y debido a su composicion (materiales de alto numero atomico) reirradian la energıa enforma de rayos X con un alto rendimiento (hasta 80%). Esto genera en el interior de la cavidad un campode radiacion de gran homogeneidad.

Haces laser

Capsulacombustible Hohlraum

Figura 1.1: Iluminacion de un blanco indirecto de ICF.

Cuando el campo de radiacion X incide sobre la capsula de combustible, produce el calentamientosubito de sus capas superficiales. Se produce entonces la ablacion del material superficial, y como conse-cuencia, una onda de choque que produce la compresion y calentamiento del combustible nuclear. En lafigura 1.1 se puede observar el esquema de iluminacion de un hohlraum cilındrico (la configuracion esferi-ca tambien es comun). En los diagramas 1.2 se observa a la derecha un esquema de las diferentes capasde composicion de una capsula de combustible nuclear. Externamente se aprecia la capa de material deablacion, usualmente material de bajo numero atomico. Seguidamente esta la capa de material de empuje,de alta densidad para evitar inestabilidades hidrodinamicas que producirıan la mezcla y degradacion delcombustible. Internamente se encuentra el combustible nuclear (deuterio y tritio). En el diagrama de laizquierda se ha representado los estados termodinamicos por los que pasan cada uno de los componentesde la capsula durante el proceso de iluminado e ignicion.

Capa de ablacion

Combustible D + T

Figura 1.2: Termodinamica de un blanco de ICF [32].

En la figura 1.2 se constata como en el sistema se encuentra tanto material denso y frıo como ligero y


caliente, con lo que el grosor optico de diferentes regiones del sistema varıa fuertemente en varios ordenesde magnitud.

La somera descripcion de este proceso de gran interes actual tiene la finalidad de mostrar como duranteel mismo se generan campos de radiacion tanto de caracter difusivo (en zonas opticamente gruesas) comode profunda anisotropıa. Estas peculiaridades hacen que el modelo simplificado de difusion de radiacionno sea adecuado para llevar a cabo las simulaciones. En este trabajo se propone la introduccion de unmodulo de resolucion del campo de radiacion tratando adecuadamente la dependencia angular del mismomediante un esquema de transporte de radiacion.

1.1.3. Metodo de resolucion

El tratamiento dado a la ecuacion de transporte para su resolucion se basa en un esquema de diferenciasfinitas. En este esquema, sobre el dominio espacial se superpone una malla de puntos. El problema sereduce a encontrar el valor de la funcion a calcular (en este caso la intensidad de radiacion) en cadauno de esos puntos. De este modo se pasa de tener como incognita una funcion continua, a un conjuntodiscreto de valores reales. Para poder calcular las nuevas variables incognitas es necesario replantear lasecuaciones diferenciales sobre la funcion continua (en este caso la ecuacion de Boltzmann de transporte)de un modo discreto.

El paso de valores continuos a discretos, y la correspondiente transformacion de las ecuaciones intro-duce el llamado error de truncamiento, que aparce al realizar una aproximacion discreta de los operadoresdiferenciales o integrales presentes en las ecuaciones. La eleccion de la malla de puntos de discretizaciondetermina en gran medida el error de truncamiento. Por una parte es mas bajo cuanto menor sea laseparacion entre puntos (paso de la malla). Por otra parte, la utilizacion de mallas ortogonales en las quela separacion entre puntos contiguos es constante produce menores errores de truncamiento al cancelarseerrores de sentido opuesto [46]. Esta estrategia de mallado homogeneo es comunmente usada al resolverlas ecuaciones de fluidos.

Con el fin de producir resultados de gran precision, es necesario disminuir el paso de la malla, resul-tando ello en un gran numero de puntos a resolver. Esto produce una ralentizacion del calculo, ası comounos requerimientos de memoria superiores. Esto es especialmente crıtico en los calculos realizados sobrela ecuacion de transporte, que demanda mucha memoria, por la gran cantidad de variables a tratar.En algunos sistemas, tales como los tratados en ICF, existen regiones de poca extension que presentanuna complicacion muy superior al resto, y cuyo tratamiento inapropiado puede degradar la calidad de lasolucion en todo el sistema. Siguiendo la lınea anteriormente expuesta de mallado ortogonal homogeneo,esto obligarıa a introducir un mallado muy fino en todo el sistema para obtener una precision apreciable.Esta estrategia puede llegar a imposibilitar la resolucion numerica de sistemas cuando existen regionescon longitudes caracterısticas muy diferentes. Algunas regiones requeriran un refinamiento fuerte, que noes viable extender a todo el sistema.

El metodo de la Malla Adaptativa Refinada estructurada en bloques (BS-AMR) se presenta comouna alternativa al refinado homogeneo, que recoge sus puntos favorables, y supera sus limitaciones. Dichometodo, introducido por Berger y Colella [14], se basa en resolver el sistema mediante el uso de diversasmallas homogeneas de diferente refinamiento, que se superponen unas a otras de un modo especial. Estemetodo se esta aplicando a mas y mas campos de la fısica, por sus extraordinarias prestaciones.

1.2. Antecedentes de la tesis 13

1.2. Antecedentes de la tesis

Esta tesis se presenta como la ampliacion del rango de aplicacion del codigo arwen, desarrollado por elVelarde [125] en el Instituto de Fusion Nuclear. Dicho codigo es un sistema de simulacion fluidodinamicabidimiensional, que trabaja utilizando el esquema AMR. El codigo resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas eulerianas, tanto cartesianas como cilındricas.

El desarrollo y mejora del arwen desde su creacion ha sido multidisciplinar dentro de la fısica com-putacional. Se han realizado diversos desarrollos previos a esta tesis doctoral, con el fin de mejorar tantolas tecnicas de resolucion de las ecuaciones que gobiernan el sistema, como la precision de los parametrosfısicos principales de las mismas. Los desarrollos se pueden clasificar segun su actuacion sobre:

Nucleo de calculo fluidodinamico [125].

Implementacion de modelos de ecuaciones de estado [88, 109].

Resolucion de la ecuacion de difusion de radiacion en multigrupos [85].

Resolucion de la ecuacion de conduccion termica en malla adaptativa [8].

Todas estos trabajos realizados sobre el arwen han logrado potenciar su capacidad de simulacion desistemas de interes para ICF. Sin embargo, como ya se ha mencionado, en la simulacion de blancos de ICFse tienen medios opticamente delgados que hacen necesario un tratamiento detallado de la dependenciaangular del campo de radiacion. Ello obliga a la introduccion de un modulo de resolucion de la ecuaciondel transporte de Boltzmann.

1.3. Objetivos de la tesis

En este apartado se expone la finalidad que persigue la realizacion de este trabajo de investigacion,resumiendo los desarrollos efectuados y destacando su originalidad frente a otros metodos existentes.

Siguiendo la linea de investigacion abierta por el codigo arwen, se ha abordado el desarrollo e imple-mentacion de una metodologıa de calculo del campo de radiacion acoplado a la materia, trabajando enun esquema de malla adaptativa. Se persigue con ello un aumento del rango de aplicacion del codigo enlas situaciones en las que un tratamiento preciso del campo de radiacion sea necesario.

El desarrollo se ha realizado siguiendo un esquema modular, de modo que su funcionamiento se en-cuentra desacoplado de la fluidodinamica, trabajando a modo de caja negra. Esto permite la sustitucionde modulos del codigo cuando fuera necesario incorporar otro tipo de efectos fısicos (relatividad, bremss-trahlung inverso, etc. . . ), o incluso realizar estudio de otros sistemas donde la radiacion juega un papelrelevante pero en otro rango termodinamico (reacciones de combustion en calderas).

Como base de calculo para la resolucion de la ecuacion de Boltzmann se ha utilizado el nucleo decalculo del codigo twodant [4], desarrollado en el laboratorio nacional de Los Alamos (USA). Estenucleo de calculo esta optimizado para calculo de transporte de partıculas neutras en multigrupos deenergıa. El software implementa algoritmos sofisticados de aceleracion de la convergencia mediante el usodel esquema de aceleracion sintetica (DSA). Se ha demostrado [5] que la aceleracion de la convergenciaes necesaria para calculos acoplados entre radiacion y material, lo que ha motivado el uso del codigotwodant como base utilizado para los calculos de transporte.


Teniendo en cuenta que el codigo twodant sirve para trabajar con neutrones, no trata en absoluto elacoplamiento entre materia y radiacion. Con este fin, se han modificado e implementado unos algoritmosimplıcitos de calculo de la influencia mutua entre la materia y la radiacion.

De cara a conseguir el funcionamiento del nucleo de calculo en un entorno de malla adaptativa, se hanestudiado diferentes fuentes de software de tratamiento de mallas orientados a facilitar la programacionbajo AMR. Tras realizar tests de velocidad, funcionalidad y facilidad de programacion, la librerıa escogidacomo base de programacion de codigos ha sido la boxlib [24], desarrollada en el Centro de Ciencias deComputacion e Ingenierıa del Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley (USA). Complementariamente aluso de la libreria, se han adaptado codigos ya existentes desarrollados por el mismo grupo de investigacion,con aplicacion a la resolucion de parte de las ecuaciones consideradas en el codigo en desarrollo (solucionde la ecuacion de Helmholtz y la de Boltzmann [52]).

La principal aportacion que se ha producido con el desarrollo de la tesis doctoral es el acoplamiento ymejora de cada uno de los modulos seleccionados de modo que se puedan abordar problemas que ningunode ellos podrıa tratar por separado. El diseno del codigo resultante presenta las siguientes caracterısticas:

Inclusion de algoritmos sofisticados de aceleracion de la convergencia, trabajando en multigruposde energıa.

Capacidad de calculo con secciones eficaces de dispersion anisotropa.

Implementacion modular en un esquema de calculo bajo malla adaptativa.

Utilizacion de librerıas de programacion de ultima generacion basadas en c++ que permiten lareutilizacion del codigo realizado y la sustitucion de modulos con gran facilidad.

Posibilidad de paralelizacion del codigo resultante sin tener que alterarlo en absoluto. El pasoa calculo paralelo se basa en la utilizacion de una version especial de la librerıa de gestion demallas, que se encarga del reparto de datos y calculos entre diferentes computadores. No obstanteel desarrollo operativo de esta posibilidad no entra dentro de los objetivos de esta tesis.

El objetivo de la tesis no es unicamente el desarrollo de una herramienta de simulacion, sino laejecucion de verificaciones de sus resultados y finalmente su aplicacion a casos de interes en ICF. Estaherramienta abre nuevas posibilidades a la investigacion en blancos de ICF, y sus primera aplicacionsera recogida como parte de este trabajo. Dicha aplicacion se basa en el estudio de un diseno de blancode ICF como alternativa mejorada de los existentes para el esquema de fast ignition. La investigacionsobre este diseno se encuentra aun abierta, aunque se han publicado ya algunos resultados importantes[129], a los que se hara referencia en este texto.

1.4. Estructura de la tesis

La escritura de esta tesis se ha intentado realizar de modo que presente un caracter independiente.Es decir, que una persona no especialista en los temas tratados (principalmente transporte de radiaciony metodos numericos) encuentre en ella la informacion suficiente para entender los pasos seguidos en eltrabajo. Es por esa razon que una parte de ella se ha dedicado a exponer la ciencia subyacente tanto ala fısica como a la numerica basica del los objetivos de la tesis. Claramente los puntos base de esta tesisdoctoral, que la hacen novedosa y util, son dos: el transporte de radiacion y el metodo AMR.

Tras la introduccion se han dedicado dos capıtulos completos (2 y 3) al tratamiento de la ecuacion detransporte de radiacion. Se ha hecho especial hincapie en el la presentacion de la fısica y numerica basica

1.4. Estructura de la tesis 15

asociada al transporte, buscando asimismo encuadrar los trabajos realizados en esta tesis dentro de lainvestigacion mas reciente en el area. La importancia de este campo se ve reflejada en el trabajo por laextension de ambos capıtulos.

Posteriormente y centrado unicamente en la numerica, se ha presentado el metodo AMR, dando unaidea de su extenso campo de aplicacion, es decir, presentando casos fuera del ambito de ICF. En elcapıtulo se muestra las capacidades del metodo, lo suficiente para entender la necesidad de aplicacion.Para mas informacion sobre el mismo, se refiere al lector a las referencias mas importantes del campo.

En el capıtulo 5 se han recogido los desarrollos originales de esta tesis, para su mas facil identificacion.Teniendo en cuenta que la investigacion casi siempre se basa en trabajos anteriores realizados por otraspersonas, se ha descrito el proceso de seleccion de dichos puntos base de trabajo, y las conclusiones delmismo. Asimismo se ha descrito de un modo especial las aportaciones personales que a partir de codigosde computacion que no eran aplicables a los objetivos de investigacion han dado lugar a una herramientaeficaz y de gran valor para dicha investigacion. Parte de los desarrollos realizados en esta tesis doctoralhan sido publicados [90, 127] como parte de difusion de resultados.

Seguidamente se encuentra un capıtulo de resultados con fines de verificacion del codigo. Las carac-terısticas de la verificacion no han buscado tanto el rigor matematico como la consistencia de los resultadosy su acuerdo con medidas experimentales u otros codigos de referencia. En los casos presentados se intentaresaltar dos puntos importantes del trabajo realizado:

Los resultados del codigo de simulacion se ajustan predicciones de codigos mundialmente usadoscomo referencia.

Es la ampliacion de capacidades del codigo realizada en este trabajo la que ha hecho posible eseajuste a las medidas en casos de interes.

Finalmente se exponen las principales conclusiones mas relevantes atribuibles como resultado de estetrabajo. Esto sirve de colofon a toda la presentacion anterior, mostrando que todo el esfuerzo realizadoha tenido su reflejo en un avance de las capacidades de investigacion en el IFN.


Capıtulo 2

Hidrodinamica de radiacion.

2.1. Planteamiento del problema

La hidrodinamica de la radiacion (radiation hydrodynamics) afronta el problema de calcular la evo-lucion de un sistema fluido, teniendo en cuenta las interacciones que se producen entre la materia y laradiacion electromagnetica. Dicha radiacion es emitida por todos los cuerpos a temperatura mayor que elcero absoluto. Dichas interacciones son especialmente altas a cuando la temperatura del material es alta,como puede darse el caso en la fusion nuclear.

Los atomos de la materia ordinaria se compone de dos elementos de propiedades diferentes: nucleos yelectrones. A temperatura ambiente ambos se encuentran ligados formando atomos los cuales forman lasmoleculas, componente mınimo de una sustancia dada. A temperaturas mas altas, los electrones de losatomos comienzan a tener una energıa suficiente como para separarse de estos, dando lugar a la aparicionde electrones libres que pueden presentar unas propiedades termodinamicas muy diferentes a las de losiones.

En el caso mas generico, los sistemas a modelizar son tres: el fluido ionico, el fluido electronico(electrones libres) y la radiacion electromagnetica. Los dos primeros se agrupan en la concepcion demateria mientras que la radiacion presenta unas caracterısticas especiales. De este modo, las variablestermodinamicas de la materia (densidad, energıa interna, etc. . . ) se calcularan a partir de las ionicas y laselectronicas. Este metodo de calculo se denomina de las dos temperaturas, ya que los estados energeticosde electrones e iones se calculan independientemente.

2.2. Ecuaciones de fluidos

Las ecuaciones de fluidos parten de la concepcion de un balance de ciertas magnitudes sobre un sistemafluido dado [46, 23, 130]. Son unas ecuaciones de conservacion que expresan que ciertas variables de unsistema, como son la masa, cantidad de movimiento y energıa no pueden variar mas que por accion defuentes externas perfectamente identificadas en cada caso. La derivacion de las ecuaciones a partir de losbalances de conservacion sobre una porcion fija de fluido da lugar a la expresion Lagrangiana, mientrasque la llevada a cabo sobre un volumen fijo da lugar a la expresion Euleriana.

En el caso de fluidos de alta energıa, como es el caso en cuestion, puede darse el caso de que la

17

18 Capıtulo 2. Hidrodinamica de radiacion.

diferencia entre la fısica clasica y la relativista sea apreciable. Ese estudio se realizara en un posteriorapartado, considerando por ahora las ecuaciones clasicas de fluidos. Las ecuaciones que se presentan acontinuacion representan los balances aplicados a la material, compuesta de iones y de electrones. En elcaso mas general, las ecuaciones son denominadas de Navier-Stokes.

Dichas ecuaciones representan, respectivamente, un balance de masa, de cantidad de movimiento yde energıa.

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu) = 0 (2.1)

∂(ρu)∂t

+ ∇ · (ρuu− =τ ) + ∇pm = ρfm (2.2)

∂ρEm

∂t+ ∇ ·

[(ρEm + pm)u− =

τ ·u]

= SE −∇ · qc (2.3)

Donde se ha utilizado la notacion mostrada en la tabla 2.1 de la pagina 18.

ρ : Densidad

u : Velocidad

pm : Presion del fluido=τ : Tensor de esfuerzos viscosos

fm : Vector de fuerzas masicas

em : Energıa interna del fluido

Em : Energıa interna total del fluido (Em = em + u2/2)

qc : Flujo de energıa por conduccion en el sistema

SE : Intercambio de energıa con otros sistemas

Cuadro 2.1: Notacion de las ecuaciones de fluidos.

A las ecuaciones anteriores hay que anadir relaciones entre adicionales para su resolucion. De es-te modo, quedan por definir las relaciones que incluyes el comportamiento particular de cada materialperteneciente al sistema. Estas relaciones son las ecuaciones de estado (EOS) y una definicion del ten-sor de viscosidad. Asimismo, es necesario determinar la transferencia de energıa del exterior que vienerepresentada por SE .

pm = pm(ρ, T ); em = em(ρ, T ) Ecuacion de estado (2.4)

La importancia del tensor de esfuerzos viscosos determina las caracterısticas del flujo resultante. Parafluidos Newtonianos, toma un valor dependiente unicamente del campo de velocidades en el instantedado. Generalmente es expresable en funcion de un valor µ denominado viscosidad del siguiente modo:

=τ ij= µ

[(∂uj

∂xi+

∂ui

∂xj) − 2

3δij(∇ · u)

](2.5)

La medida de la importancia de dichos efectos de viscosidad viene dada por el numero de Reynolds, quecompara los esfuerzos de inercia con los viscosos. La expresion del numero de Reynolds es Re = ρuL

µ ,donde L representa una longitud caracterıstica del sistema. En los casos de interes que se estudiaran eneste trabajo, el valor del numero de Reynolds es muy alto, en gran medida debido a las altas velocidadesque se alcanzan, con lo que se pueden despreciar los efectos de viscosidad. De ahora en adelante setomara la aproximacion de no existencia de viscosidad (

=τ≡ 0). En el caso de considerar que no existe

viscosidad en el fluido, las ecuaciones anteriores se ven simplificadas al desaparecer el unico termino desegundo orden. Las resultantes ecuaciones de primer orden son denominadas ecuaciones de Euler.

2.2. Ecuaciones de fluidos 19

Las ecuaciones anteriormente enunciadas (2.1,2.2,2.3) pueden enunciarse de un modo mas compactodefiniendo un llamado vector de estado, de cinco componentes escalares:

U = (ρ, ρu, ρE)t (2.6)

Las anteriores ecuaciones son balances sobre las componentes del vector de estado. Los terminos quedefinen las variaciones de esas variables pueden interpretarse como la divergencia de unos flujos asociadosa esas variables. Expresado una sola ecuacion, se obtendrıa:

∂

∂t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ρ

ρu

ρE

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∇ ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ρu

ρuu + p=

I − =τ

ρu (E + p/ρ)− =τ ·u + qc

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0

ρfm

SE

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(2.7)

donde el operador divergencia (∇· (·)) opera sobre cada una de las componentes (a diferencia del sentido

clasico), y el sımbolo=

I representa al tensor unidad.

Queda claro en esas expresiones que la forma de las ecuaciones de Navier-Stokes es equivalente a lasuma de la derivada temporal de una cierta magnitud, mas la derivada espacial de los flujos asociados aella. Dichos flujos son funcion estricta de las variables contenidas en el vector de estado, con lo que en elcaso unidimensional se podrıa escribir como:

∂U

∂t+

∂F (U)∂x

= S (2.8)

Representando S el conjunto de fuentes que afectan a cada una de las ecuaciones. Esta ecuacion contienede un modo simplificado todas las peculiaridades de comportamiento de las ecuaciones de Navier-Stokes.

En la aplicacion de estas ecuaciones al fluido electronico e ionico, en el caso general hay que considerarlos dos fluidos por separado. Sin embargo no se considerara la posibilidad de carga neta en ningun puntodel espacio, ni los efectos de campos electrico y magnetico. Esa condicion supone que el comportamientoelectrico (densidad de carga y corriente) de ambos se contrarresta identicamente. Es por ello que soloseran necesarios el tratamiento de una ecuacion de conservacion de la masa y de conservacion de lacantidad de movimiento. Dichas ecuaciones surgen como suma de las correspondientes a cada uno de losfluidos, teniendo en cuenta que los campos de velocidades son iguales. Sin embargo, las distribucionesenergeticas del fluido electronico e ionico pueden diferenciar en gran medida. Eso se debe a la diferenciade aporte de energıa desde el exterior. En el caso de absorcion de laser, esta se hace primordialmente porlos electrones, que por tanto tendran un mayor nivel energetico. En ausencia de movimiento fluido, lasecuaciones que rigen el comportamiento energetico serıan las siguientes:

ρCve∂Te

∂t= ∇ · ke∇Te + Ωie(Ti − Te) + Slaser (2.9)

ρCvi∂Ti

∂t= ∇ · ki∇Ti + Ωie(Te − Ti) (2.10)

donde kx (x = e, i) representa el coeficiente de conduccion termica tanto para electrones como paralos iones. La magnitud Ωie es el coeficiente de Brysk-Spitzer de acoplamiento entre iones y electrones. Suvalor viene determinado por la tasa de colisiones entre elementos de ambas especies. En los casos en queeste modo de transferencia de energıa entre especies no sea importante, pueden darse situaciones de grandiferencia de temperatura entre electrones e iones, como en el caso de plasmas poco densos.

El termino de transferencia de energıa por conduccion representa la capacidad de difundir la energıaque presenta un medio, de modo que entre zonas del fluido en contacto, la de temperatura mayor ce-dera energıa a la de menor en forma de flujo de calor. Por presentar una masa mucho menor y mayormovilidad, este efecto es de mucha mayor relevancia en el caso de los electrones. Este efecto se tratara enmayor profundidad en una posterior seccion.


2.3. Transmision de energıa por conduccion

La conduccion es el principal medio de transmision del calor en solidos a temperaturas bajas, dondela radiacion no tiene gran importancia. En esas condiciones los atomos se encuentran en estado neutro yson los responsables, mediante colisiones, de ceder calor de las zonas mas calientes a las frıas. Siguiendola ley de Newton, se relaciona el flujo de calor con el campo de temperaturas segun la expresion:

qc = −k∇T (2.11)

donde el coeficiente k es la llamada conductividad termica. De este modo, la ecuacion que refleja laevolucion de un material conductor del calor es semejante a la descrita en la expresion 2.9.

Una propiedad importante para la conduccion del calor es la movilidad de las partıculas constitu-yentes del medio, que favorece la difusion o mezcla de zonas mas calientes y mas frıas. De este modo,la transferencia de energıa no solo se realiza por interaccion (electrostatica) entre los componentes delmedio (como puede ocurrir en una red cristalina), sino que hay cierta difusion por mezcla, A partir deciertas temperaturas, y por su menor masa, dicho fenomeno es predominante en los electrones libres delsistema. Para un medio ionizado en presencia de leve gradiente de temperatura y campo electrico, existenexpresiones analıticas muy ajustadas a las medidas experimentales (modelo de Spitzer [117] y Braginskii[16]). Dichas expresiones se obtienen a partir de la ecuacion de Boltzman para plasmas, y consideracionestanto clasicas como cuanticas sobre los electrones del mismo.

Teniendo en cuenta la expresion del flujo de calor en un medio 2.11, se aprecia que este puede serarbitrariamente alto en presencia de fuertes gradientes de temperatura. Teniendo en cuenta que lasecuaciones de Euler de fluidos permiten la aparicion de tales gradientes, es previsible que este fenomenofuera sea un problema de cara a la resolucion de las ecuaciones. La teorıa fısica de plasmas [26] da unvalor maximo al flujo de calor debido a electrones, en base a consideraciones cineticas:

|qc| < f · uth · ne · kTe (2.12)

donde f es una constante inferior a la unidad, uth =√

kTe/me es la velocidad termica de los electronesy ne su densidad.

Con el fin de subsanar este efecto indeseable sobre el flujo de calor calculado, se introduce el conceptode limitador de flujo. Se trata de un factor cuya mision es limitar el valor maximo de flujo de calorcalculado. Teniendo en cuenta su gran importancia en el transporte de energıa por radiacion, se posponesu tratamiento en este trabaja hasta el apartado 2.6.3, donde se tratara en mas detalle.

2.4. Transmision de energıa por radiacion

Tal y como se ha comentado ya, la materia a temperatura mayor del cero absoluto emite espontanea-mente radiacion electromagnetica. La radiacion puede ser absorbida por otros atomo presentes en el medio,adquiriendo la energıa que portaba dicha radiacion. Dicha radiacion transporta parte de la energıa delatomo emisor, de modo que cumple una funcion de transferencia de energıa. En el caso de sistemas a altatemperatura, la emision y absorcion de energıa a traves de la radiacion se hace tan potente que puedellegar a ser el principal medio de transmision de energıa en el seno del fluido.

La radiacion electromagnetica se compone de un campo electrico y uno magnetico, de direccionesperpendiculares, que vibran y se propagan en el espacio. La velocidad de propagacion en el vacıo es unaconstante universal, independiente de la frecuencia de vibracion. Presenta una propiedad adicional que es

2.4. Transmision de energıa por radiacion 21

el plano de vibracion de los campos que la componen. De este modo se habla de un plano de polarizacion,o bien de polarizacion circular cuando dicho plano rota conforme se propaga la radiacion. En el caso masgenerico el campo se compone de la superposicion de diversas polarizaciones que dan lugar a un mediono polarizado.

La radiacion electromagnetica es un claro ejemplo de dualidad onda-corpusculo, de modo que de-pendiendo de las circunstancias puede presentar caracterısticas propias de onda (refraccion, difraccion,etc. . . ) o de partıcula (ser portador de cantidad de movimiento, etc. . . ). La partıcula asociada a la radia-cion electromagnetica se denomina foton. Dicha partıcula es un cuanto de del campo electromagnetico.Todas las interacciones que este presente se realizaran por un multiplo entero de dicha partıcula elemen-tal. La energıa contenida en dicha partıcula es directamente proporcional a la frecuencia de vibracion dela misma E = hν, donde h es la llamada constante de Planck. El tratamiento que se dara al campo elec-tromagnetico tendra en cuenta unicamente la faceta corpuscular de la radiacion. Esto limita los camposde aplicacion, pero de un modo que no afecta a los casos bajo estudio. De este modo no se considera en laradiacion su polarizacion que la componen. Dicha propiedad no es relevante en el caso de la radiacion deorigen termico, como la que se tratara en este trabajo. Un analisis del error introducido al no considerarlas diferentes polarizaciones de la radiacion es presentado en [21], donde se introduce dicha propiedad enla ecuacion de transporte.

Las propiedades ondulatorias de la radiacion electromagnetica aparecen cuando hay interaccion entrediferentes paquetes de ondas. Esto pudiera darse cuando la densidad de estos fuera tan grande que sesolaparan unos con otros. Un cuanto de radiacion electromagnetica se extiende espacialmente en unalongitud del orden de su longitud de onda (λ). Asimismo, la relacion entre la densidad de fotones (nf ) yel flujo de energıa transportado por un haz de laser es el siguiente:

I = nf · Ef · c (2.13)

donde Ef = hc/λ es la energıa de los fotones. De este modo, el numero de fotones incluidos en un volumencaracterıstico de un foton (V = λ3) es:

nf · V =I · λ3

Ef · c =Ih3c2

E4f

(2.14)

La condicion nf · V 1 es fuertemente restrictiva, y en general no sera necesario su cumplimientoentre fotones de diferente frecuencia. En ese caso no se producira interferencia entre los fotones aunquese situen en la misma porcion del espacio. Si se considera el caso del campo de radiacion en equilibriotermodinamico y condiciones homogeneas (expresion 2.20), la densidad de fotones con una frecuenciaentorno a ν es:

nf (ν, ν + ∆ν) ≈ 2ν2∆ν

c3(e

hνkT − 1

) (2.15)

nf · V ≈ 2∆ν

ν

(e

hνkT − 1

)−1

(2.16)

Se observa que para ∆ν < ν y hν ≈ kT el valor del numero de fotones dentro del volumen caracterısticode uno, es menor que la unidad.

2.4.1. Campo fluido con radiacion

Cada partıcula, o cuanto, del campo de radiacion puede describirse en un instante de tiempo medianteseis variables, las correspondientes al espacio fasico (r, p). Los fotones, son partıculas sin masa, cuyavelocidad de transmision en el vacıo es constante, con lo que resulta mas apropiado el uso de la frecuencia


de vibracion y de su direccion de propagacion (angulo solido Ω) como valores descriptivos. De este modo,las variables por las que se describe un foton en un instante de tiempo son (r,Ω, ν). Teniendo en cuentaque los fotones son partıculas indistinguibles, el campo de radiacion vendra descrito por una funcion dedistribucion, que exprese la cantidad de fotones que se encuentran en cada region del espacio fasico.

dn = f(r,Ω, ν, t) dr dν dΩ (2.17)

Esa expresion representa que el numero de fotones existentes en un entorno diferencial del punto delespacio fasico (r,Ω, ν), es igual al volumen del entorno multiplicado por la funcion de distribucion f. Deahora en adelante se omitira el tiempo como variable independiente, si bien se entiende que el campo deradiacion sera, en el caso general, variable en el tiempo.

Un foton con una frecuencia de oscilacion ν posee una energıa de valor Ef = hν, siendo h la constantede Planck. Se define la intensidad especıfica como el flujo de energıa debido a los fotones que viajan endireccion Ω.

I(r,Ω, ν) = chνf(r,Ω, ν) (2.18)

La primera magnitud de interes fısico es la cantidad de energıa contenida en un campo de radiacion,por unidad de volumen espacial.

er( dr) =∫

hνf(r,Ω, ν) dν dΩ =1c

∫I dν dΩ (2.19)

Existe un caso de campo de intensidad de radiacion de especial interes en la fısica. Es el generado porun cuerpo en completo equilibrio termodinamico. En ese caso la intensidad de radiacion es isotropa(independiente de Ω), y toma el valor dado por la funcion de Planck B(ν, T ).

IP ≡ B(ν, T ) =2hν3

c2

1

ehνkT − 1

(2.20)

donde k es una constante. La distribucion energetica de los fotones existentes en un sistema en equilibrioviene dado por la estadıstica de Bose-Einstein para partıculas bosonicas.

En este caso especial, la energıa contenida en el campo, por unidad de volumen, es la siguiente:

EP =1c

∫B(ν, T ) dν dΩ =

8π5k4

15h3c3 · T 4 = a · T 4 (2.21)

La segunda magnitud de interes fısico es el primer momento angular de la intensidad especıfica. Vienerepresentado por un vector llamado flujo de radiacion.

Fr =∫

ΩI(Ω, ν) dν dΩ (2.22)

Esta magnitud representa el flujo global de energıa debido al campo de radiacion. En el caso de flujoisotropo este flujo sera nulo, ya que se cancelan los debidos a una direccion Ω con los de su opuesta −Ω.Por lo tanto en el caso de equilibrio termodinamico, tal y como se ha explicado antes, el flujo neto deradiacion sera nulo.

Finalmente se define otra magnitud de interes en el comportamiento del campo de radiacion. Setrata del tensor de presiones debido al campo de radiacion. Es el equivalente al que se calcula en la teorıacinetica de los gases donde los atomos, igual que aquı los fotones se toman como partıculas independientes.El tensor de presiones refleja la transferencia de cantidad de movimiento que existe debida al campo deradiacion.

=

Pr=1c

∫ΩΩI(Ω, ν) dν dΩ (2.23)


Una vez definidas estas magnitudes, se puede calcular en funcion suya la influencia que tiene el campode radiacion en la dinamica del sistema, considerado como fluido independiente (sin tener en cuenta lainteraccion con la materia).

Ecuacion de conservacion de la masa: Teniendo en cuenta, como ya se ha apuntado, que los fotonesson partıculas sin masa, esta ecuacion no se ve afectada en absoluto. Se mantiene la expresion 2.1.

Ecuacion de la conservacion de la cantidad de movimiento. Los fotones si poseen cantidad demovimiento, que pueden transferir a la materia mediante colisiones.

∂

(ρu +

1c2

F

)∂t

+ ∇ · (ρuu+=

Pr) + ∇pm = 0 (2.24)

donde se ha prescindido ya del termino correspondiente a la viscosidad.

Ecuacion de la conservacion de la energıa. Al igual que en el caso anterior, se puede dar una trans-ferencia de energıa entre fotones y materia de un modo puramente mecanico. La presion ejercidapor la radiacion, al actuar sobre un medio en movimiento puede dar lugar a una transferencia deenergıa. Asimismo, el campo de radiacion actua como una reserva de energıa que puede aumentaro disminuir de valor.

∂(ρEm + er)∂t

+ ∇ · [(ρEm + pm)u + F ] = SE (2.25)

Al igual que por medios mecanicos, la transmision de energıa entre radiacion y material puededeberse, y de hecho es el medio mas importante, a la absorcion y emision de radiacion por partede esta. Este mecanismo viene representado en la ecuacion por la variable SE , que puede tomarvalores tanto positivos (absorcion de energıa) como negativos (emision).

2.4.2. Interaccion de la radiacion y la materia

La coexistencia de campos de radiacion con la materia se realiza de un modo en que ambos se influyenmutuamente. Dichos procesos pueden resultar en una transferencia de energıa del campo de radiacion ala materia (absorcion o dispersion inelastica), de la materia al campo de radiacion (emision espontaneao inducida) o sin transferencia alguna de energıa (dispersion elastica).

La absorcion de fotones se produce cuando un foton que viaja en un medio material desaparece alinteraccionar con un atomo. La energıa de dicho foton es comunicada entonces al atomo en cuestion.Realizando un analisis estadıstico del problema, se tiene que un foton tiene una cierta probabilidad deser absorbido. Para distancias infinitesimales, dicha probabilidad es proporcional a la distancia recorrida.El coeficiente de proporcionalidad es el llamado coeficiente macroscopico de absorcion κ. Dicho valordepende tanto de las propiedades del medio material (composicion y condiciones termodinamicas) comode la energıa (o frecuencia) del foton en cuestion. En el caso de materiales no cristalinos, donde se presentegran desorden (y por tanto isotropos), la probabilidad de absorcion es independiente de la direccion depropagacion del foton, no siendo esto verdad en el caso general. Los sistemas que se analizaran en estetrabajo son sistemas de muy alta temperatura donde la agitacion termica induce un fuerte desorden enel movimiento interno del material. Analogamente, en el caso general, el coeficiente de absorcion dependede la polarizacion del foton incidente, si bien en casos de fuerte desorden no existen planos privilegiadosy todos los modos de polarizacion presentan la misma probabilidad de absorcion.

dP = κ(ν) dν ds (2.26)

Como se ha comentado ya, el coeficiente macroscopico de absorcion es una funcion continua de la frecuen-cia del foton que viaja en el medio. De especial importancia en los calculos de transporte de radiacion


son ciertos valores promediados de dicha funcion. Se definen del siguiente modo los promedios de Planck(σP ) y de Rosseland (σR), como funciones de la temperatura del medio:

σP,g =

∫Eg

κ(ν)B(ν, T ) dν∫Eg

B(ν, T ) dν

(2.27)

σR,g =

∫Eg

∂B

∂T∫Eg

1κ(ν)

∂B

∂Tdν

(2.28)

donde Eg se define como un intervalo de frecuencias, que puede ser el espectro completo (0,∞), o bienun intervalo [E1, E2]. La importancia de estos valores promedio de los coeficientes de absorcion ha sidotratada en numerosos estudios [38], y se presentara con el estudio de la discretizacion de la ecuacion detransporte (capıtulo 3).

Otra posible interaccion entre materia y radiacion es la debida a la dispersion. La dispersion es unareaccion entre un foton y un atomo en la que el foton permanece tras la misma. En ella el foton queinteracciona no desaparece como en el caso de la absorcion, sino que en el caso mas general continuacon otra direccion. Dependiendo de si la energıa del foton cambia o no, la dispersion se clasifica encoherente e incoherente. Representativa de la dispersion coherente es la dispersion Thompson, que seproduce principalmente a bajas energıas de fotones y se explica segun una interaccion ondulatoria conelectrones. Respecto a la dispersion incoherente, se realiza mediante el efecto Compton, interpretablemediante una colision corpuscular entre un foton y un electron.

Se define por tanto el coeficiente diferencial de dispersion en funcion de la probabilidad de que unfoton pase de un estado (ν1,Ω1) a un entorno del estado (ν2,Ω2) como:

dP = σs(ν1 → ν2,Ω1 · Ω2) dν2 dΩ2 ds (2.29)

donde ( dν, dΩ) es la anchura del entorno del estado final del foton, y ds es el diferencial de espaciorecorrido por el foton. Es importante resaltar que en un medio isotropo, tal y como se esta considerando,dicho coeficiente depende unicamente del angulo formado por la direccion inicial y final, mas que deambas independientemente. Esto se debe a una simetrıa rotacional entorno a la direccion inicial depropagacion. Este coeficiente diferencial de dispersion puede ser integrado en el espacio de todos losestados finales posibles del foton. De este modo se obtiene la probabilidad de que un foton sufra unareaccion de dispersion, independientemente del estado final del mismo. Dicho coeficiente se denominacoeficiente de dispersion.

σs(ν1) =∫

σs(ν1 → ν2,Ω1 ·Ω2) dν2 dΩ2 (2.30)

Esta integracion posibilita la descomposicion del coeficiente diferencial en funcion del coeficiente de dis-persion y de un nucleo de dispersion K(ν1 → ν2,Ω1 · Ω2) que actua a modo de funcion de distribucionde los fotones resultantes:

σs(ν1 → ν2,Ω1 ·Ω2) = σs(ν1) · K(ν1 → ν2,Ω1 · Ω2) (2.31)

Es de especial importancia el nucleo de dispersion en el caso mas simple de dispersion, donde el fotonno ve alterada su energıa, y se emite de modo isotropo tras interaccionar con la partıcula material. Laexpresion de la funcion K(·) es la siguiente:

K(ν1 → ν2,Ω1 · Ω2) =14π

δ(ν1 − ν2) (2.32)


donde δ(x) representa la funcion de distribucion delta de Dirac. Finalmente se considera un modo deinteraccion entre la material y la radiacion electromagnetica cuyo funcionamiento es practicamente elopuesto a los estudiados ahora. Se trata de la emision de radiacion por parte de la materia. Este es unproceso fısico que ocurre en todos los casos a temperatura por encima del cero absoluto.

Para un material en unas condiciones termodinamicas dadas, se define el coeficiente macroscopico deemisividad o emisividad. Dicha magnitud se define como la cantidad de energıa radiada por unidad detiempo en el entorno de una cierta direccion y una frecuencia de vibracion de los fotones.

dE = ε(ν,Ω) dν dΩ dt (2.33)

Al igual que se ha considerado para los coeficientes de absorcion y dispersion, la emisividad de un medioen reposo es isotropa. En el caso de un medio en movimiento, se puede producir un corrimiento Doppler,si bien esos casos se salen del ambito de este trabajo. La emision de radiacion se debe, al igual que lasabsorciones anteriormente referidas, a transiciones electronicas en los atomos de la materia. Los electronescambian de estado a posiciones menos energeticas emitiendo la energıa sobrante en forma de radiacionelectromagnetica.

Existe una relacion importante entre el coeficiente de absorcion y el de emision en el caso de equilibriotermodinamico. Considerando un sistema termodinamico adiabatico en estado estacionario, conteniendoun medio material homogeneo. Dicho material tendra un perfil de temperaturas homogeneo, y el campode temperaturas sera isotropo, ya que no existira flujo neto de energıa en ningun punto del espacio. Ensemejante situacion, el balance neto de transferencia de energıa entre materia y radiacion es nulo, con loque se puede deducir que la tasa de emisiones igualara a la de absorciones [80]:

ε(ν, T ) = κ(ν) · B(ν, T ) (2.34)

donde se ha representado ya la intensidad como no dependiente de la direccion de propagacion de losfotones. Esa relacion es conocida como la ley de Kirchhoff. Como ya se ha apuntado anteriormente, en elcaso de situacion de equilibrio termico entre radiacion y material, el campo de radiacion sigue la ley 2.20correspondiente a un espectro Planckiano.

En la deduccion de la expresion 2.34 se ha utilizado la premisa de un sistema en equilibrio termo-dinamico total, si bien conserva su validez en el caso de la existencia de pequenos gradientes. En el casode que en el recorrido medio de un foton las condiciones termodinamicas no varıen en gran medida, laaproximacion anterior puede considerarse valida.

ε(r, ν, T ) = κ(r, ν) · B(ν, T (r)) (2.35)

Las condiciones anteriormente descritas, en las que las variables termodinamicas varıan solo ligeramentese denomina de equilibrio termodinamico local (LTE). Bajo esas circunstancias el campo de radiacion seencuentra en equilibrio con la materia. Es decir, que las ocupaciones electronicas de estados excitadosson las correspondientes al equilibrio termodinamico (ecuaciones de Saha [32]). Localmente la materia seencuentra en las mismas condiciones de equilibrio total (en las condiciones termodinamicas locales). Sinembargo, el campo de radiacion si puede diferir del Planckiano correspondiente a equilibrio total.

La potencia de emision de energıa en forma de radiacion puede calcularse a partir de la expresion2.34, mediante una integracion en la frecuencia.

E(r) =∫

ε(r, ν) dν =∫

κ(r, ν)B(ν, T (r)) dν (2.36)

= a · c · κP (r, T ) · T 4 (2.37)


donde se han utilizado las expresiones 2.21 y 2.27, introduciendo en el calculo el ya definido promedio dePlanck del coeficiente macroscopico de absorcion. Se observa como el valor neto de la emisividad tieneuna fuerte dependencia de la temperatura del medio.

El proceso de emision de radiacion anteriormente descrito sucede en todo caso en el que la temperaturadel material supera los cero grados Kelvin, y es en gran medida independiente del campo de radiacion yaexistente en el sistema. Dicho fenomeno fısico es llamado de emision espontanea, en contraposicion con laemision estimulada. La emision estimulada es un fenomeno de naturaleza puramente cuantica, segun elcual, y en virtud de ser los fotones partıculas bosonicas, la probabilidad de emitir un foton en un estadocuantico dado es proporcional al numero de fotones en ese estado final. De este modo, si la probabilidadpor unidad de tiempo de emision de un foton tiene el valor P0, y existen nf fotones en el estado final, laprobabilidad total sera:

P = P0 · (1 + nf ) (2.38)

donde 1 + nf representa el numero de fotones en el estado final despues de la emision. La relacion entrela intensidad de radiacion (I(Ω)) y la densidad de fotones (en el estado fasico) es [96, 98]:

nf (r, p) =c2

2hν3 I(r, ν,Ω) (2.39)

De este modo, el coeficiente de emision, considerando unicamente la emision espontanea puede calcularsea partir de la expresion 2.35.

ε0(ν) =κ(ν) · B(ν, T )

1 + c2

2hν3 B(ν, T )(2.40)

En la figura 2.4.2 se representa el cociente de la emisividad total entre la espontanea, en funcion delparametro adimensional hν/kT . Se observa como su valor es mayor para fotones de baja energıa (ladensidad de ellos es mayor).

1 +c2

2hν3 B(ν, T ) =1

1 − e−hνkT

(2.41)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4hνkT

Figura 2.1: Importancia de la emisividad inducida

Teniendo en cuenta que la dispersion se trata de un proceso en el que se genera un foton en un puntodel espacio fasico, tambien se ve afectado por la estimulacion. El resultado es el analogo al de la emisionde fotones, viendose aumentado segun el factor 1+ c2I(ν,Ω)/2hν3 respecto al valor existente en ausenciade radiacion.


2.4.3. Condiciones termodinamicas del medio. Equilibrio termodinamico lo-

cal (LTE).

En la seccion anterior se han estudiado los principales modos de interaccion de la radiacion electro-magnetica con la materia. En el caso mas general (sin considerar fenomenos de interaccion entre ondas),se trata de interacciones entre un foton y un atomo de un cierto material. De este modo, las propiedadesmacroscopicas de interaccion dependeran inicialmente de la distribucion en el espacio fasico tanto de losfotones como de los atomos del material. Asimismo, los atomos del material pueden presentar diferentesconfiguraciones electronicas que modifiquen su comportamiento frente a la interaccion con la radiacion.

Se habla de equilibrio termodinamico local (LTE) en la situacion en la que localmente las diversasespecies materiales componentes de un sistema se encuentran distribuidas segun funciones de distribucionde equilibrio termico a una misma temperatura. En esta situacion se deben encontrar los nucleos atomicos,sus niveles de excitacion y eventualmente los electrones libres presentes en el medio. Un modo de calcularesas distribuciones se basa en el balance detallado [92], segun el cual en el equilibrio, la tasa de cualquiertipo de reaccion es igual a la de su reaccion opuesta. De este modo se llega a las estadısticas de partıculas(distribuciones de Maxwell, Fermi y Bose-Einstein), las poblaciones de atomos excitados (relaciones deSaha) y la distribucion de fotones en equilibrio con la materia (espectro Planckiano 2.20). Teniendo encuenta que en muchas ocasiones el recorrido libre medio de un foton es mayor que el de las partıculasmateriales, estos escapan con facilidad del entorno donde se generan, dificultando el equilibrio local conla materia. Es por eso que para las condiciones de LTE no se suele exigir que la radiacion siga el espectroPlanckiano, que raras veces es obtenido.

En un estado de equilibrio termodinamico, todas esas distribuciones vienen determinadas por unaunica magnitud fısica: la temperatura, que es igual para todas las especies presentes.

Una discusion sobre las condiciones que han de darse a nivel microscopico para alcanzar el equilibriotermodinamico, puede encontrarse en [92, 43]. Lo importante para este trabajo es poder discernir lascondiciones bajo las cuales pueden suponerse condiciones de LTE y cuando no sera posible. Las transicio-nes que se producen en los atomos de un sistema pueden clasificarse de colisionales, y radiativas. Comoprocesos colisionales se toman las interacciones entre partıculas materiales. Dichas interacciones son lasencargadas de realizar una reparto de la energıa del sistema entre las partıculas y establecer el equilibrioentre ellas. Las colisiones son las encargadas de hacer accesibles todos los estados del sistema, dandolugar a las relaciones que se establecen en la mecanica estadıstica. Existen sucesos colisionales diferentesa la simple colision entre partıculas, como pueden ser la recombinacion radiativa (inclusion de un electronlibre en un nivel ligado de un atomo, con la consiguiente emision de radiacion).

Los procesos radiativos por contra, dependen fuertemente del campo de radiacion existente en elsistema. La radiacion puede ser absorbida, induciendo cambios en la configuracion electronica de losatomos presentes. La condicion de balance detallado que se menciono anteriormente se darıa unicamenteen el caso de que el espectro de la radiacion fuera Planckiano e isotropo, circunstancia que rara vez seda. Sin embargo, esto no suele invalidar las relaciones que se obtienen para la materia en equilibrio, yaque la fuente de termalizacion (las colisiones entre partıculas, suele dominar el proceso). El espectro de laradiacion electromagnetica se acercara al equilibrio, cuanto menor sea su recorrido medio (el caso se da enmedios materiales densos) y cuantas mas colisiones sufra antes de ser absorbido (procesos de dispersion).

Respecto a la relacion entre electrones libres e iones, ya se ha visto que estan relacionados tanto porcolisiones como por procesos de ionizacion (paso de un electron ligado a libre) como de recombinacion.Para considerar hasta que punto se logra el equilibrio en el fluido electronico, es conveniente cuantizar larelacion entre la tasa de colisiones y la de recombinaciones. Se podra hablar de proximidad al equilibrio


cuanto mayor sea ese valor. En [80] se presentan las correspondientes expresiones para dichos valorestemporales. Se llega a la conclusion de que en la superficie solar, donde se halla un plasma de bajatemperatura (< 1 eV) e ionizacion pobre, la tiempo entre colisiones es muy inferior al tiempo medioantes de producirse la recombinacion de un electron. En esta situacion, mediante colisiones se produce laigualacion de espectros termicos.

En las expresiones de los tiempos caracterısticos del plasma, se observa como el tiempo entre colisionesvarıa con la potencia 1,5 de la temperatura, mientras que el tiempo de recombinacion varıa segun lapotencia 0,5. Es de esperar por tanto, que en plasmas mas calientes, como en el caso de la fusion nuclear,la termalizacion pueda no ser completa. En el caso de absorcion de energıa por los electrones desde fuentesexternas, se produce el efecto de que estos se ven termalizados a una temperatura superior a la de losiones, a los que comunican energıa.

En los casos en los que las distribuciones energeticas de los diferentes componentes de sistema (elec-trones, iones y radiacion) corresponden a diferentes temperaturas, es preciso introducir en los codigos lacapacidad de reproducirlas. Esto se traduce fundamentalmente en dos modelos.

Modelo de las dos temperaturas. Se trata de considerar el fluido electronico e ionico como energeti-camente separados. En todo caso se impone la neutralidad electrica del medio, pero la temperaturade cada sistema (y por tanto el resto de magnitudes termodinamicas) se calculan por separado.Suele ser una aproximacion suficientemente buena, con grandes ventajas sobre el modelo de unatemperatura en las situaciones anteriormente expuestas.

Tratamiento energetico de la radiacion. Teniendo en cuenta el superior recorrido medio de la ra-diacion, sus desviaciones respecto al espectro Planckiano (asociado a una temperatura) pueden sermayores. De este modo no solo se considera una posible desviacion en la temperatura del espectro,sino una desviacion completa de la forma Planckiana.

El modo de tratar estas desviaciones es discretizando los posibles valores de energıa (en intervalos)y calculandolos separadamente. De este modo pueden reproducirse con exactitud espectros muydiferentes al Planckiano, sin mas que aumentar el numero de intervalos de discretizacion.

2.5. Ecuacion del transporte de radiacion

Una vez descritos los elementos fundamentales en el calculo de sistemas fluidos a alta temperatura,y presentadas las ecuaciones que gobiernan el movimiento fluido, queda introducir las ecuaciones quegobiernan la transmision de radiacion. Dichas ecuaciones se derivan de un modo muy similar a las defluidos, con la consideracion extra de que la radiacion puede generarse (proceso de emision) o desaparecer(proceso de absorcion). La ecuacion de transporte representa entonces un balance de conservacion defotones, considerando esas especiales caracterısticas.

Teniendo en cuenta el mayor recorrido libre de los fotones (respecto a partıculas materiales), cobraninteres las versiones integradas de la ecuacion de transporte, en la que simplemente se suman todas lasposibles influencias que un punto puede recibir de su entorno. Dicho entorno es del orden del recorridolibre medio, que puede ser una parte apreciable del sistema a estudiar.

La ecuacion de transporte de radiacion resuelve (a partir de las fuentes y condiciones de contorno) elcampo de radiacion en un sistema dado. Como campo de radiacion se entiende el valor de la intensidad deradiacion (segun definido en 2.13) con dependencia de la posicion de los fotones en el espacio fasico (r, p)

2.5. Ecuacion del transporte de radiacion 29

y del tiempo. La derivacion de la ecuacion de transporte a partir del balance fotonico puede encontrarseen multitud de publicaciones [96].

2.5.1. Desarrollo de la ecuacion del transporte en coordenadas cartesianas.

En esta seccion se va a concretar en forma de ecuacion una nocion tan intuitiva como el balancefotonico sobre un volumen fluido de radiacion. Se trata de seguir la evolucion de Tal y como se men-ciono anteriormente, dado que la velocidad de los fotones en el vacıo es constante, la representacion delestado de los fotones es mas conveniente utilizando por una parte la direccion de propagacion (Ω) y dela frecuencia de vibracion (ν).

Como ya se definio anteriormente (2.17), en numero de fotones en una porcion del espacio fasico,puede describirse en un instante de tiempo como:

dn = f(r, ν,Ω, t) dr dν dΩ (2.42)

Teniendo en cuenta que en el espacio vacıo los fotones viajan en lınea recta, sin cambiar de frecuenciade vibracion (se conserva la cantidad de movimiento), se observa que se puede realizar un balance parti-cularizando para un valor de cantidad de movimiento dado. Las unicas fuentes de variacion de cantidadde movimiento se deben a las posibles reacciones (como la dispersion), que son consideradas como fuentesy sumideros en la ecuacion. Considerando un volumen de control espacial (∆3r, con volumen ∆Vr) y unentorno de cantidad de movimiento (∆3p, de volumen ∆Vp), se tiene que la tasa de variacion del numerode fotones en el volumen de control es:

∆n =∂

∂t[f(r, ν,Ω, t)∆Vr∆Vp] (2.43)

Dicha variacion de la cantidad de fotones se debe a entradas y salidas por el contorno (unicamente dela parte espacial, ya que los fotones no varıan su cantidad de movimiento), y a interacciones con la materiacomo las anteriormente estudiadas. La variacion debida a entradas y salidas en el dominio espacial vienedada por el siguiente termino de streaming, donde se tiene en cuenta la variacion de flujos en el contorno:

∆nstr = ∇ · [u f(r, ν,Ω, t)∆Vr∆Vp]

= cΩ · ∇f(r, ν,Ω, t)∆Vr∆Vp (2.44)

donde u representa la velocidad de propagacion de los fotones, que cumple la relacion u = cΩ, donde ces la velocidad de la luz en el vacıo, constante universal.

Otros terminos de variacion del numero de fotones viene dado por las interacciones con la materia,como son la emision de radiacion (∆nε), la absorcion (∆na) y la dispersion (∆ns), representados por lassiguientes expresiones:

∆nε = q(ν)∆Vr∆Vp (2.45)

∆na = −cκ(r, ν)f(r, ν,Ω, t)∆Vr∆Vp (2.46)

∆ns =[∫

σs(r, ν′ → ν,Ω′ ·Ω)f(r, ν′,Ω′, t) dν′ dΩ′−∫σs(r, ν → ν′,Ω · Ω′)f(r, ν,Ω, t) dν′ dΩ′

]c∆Vr∆Vp (2.47)

donde aparecen los coeficientes macroscopicos anteriormente definidos. Se define la funcion q(ν) como lacantidad de fotones irradiados por la materia. Como ya se apunto anteriormente la emision termica es


generalmente isotropa, con lo que se ha omitido la dependencia del angulo solido (Ω), que existirıa en elcaso mas general. Es de resaltar que el valor de la velocidad de la luz aparece como consecuencia de larelacion ds = c · dt entre el espacio recorrido por los fotones y el tiempo.

Una vez definidas todas las fuentes de variacion de la cantidad de fotones en una porcion espacial, sepuede plantear su igualdad con la tasa de variacion de la funcion densidad de fotones.

∂f(ν,Ω)∂t

+ cΩ · ∇f(ν,Ω) = q(ν) − cκ(ν)f(ν,Ω) +

+ c

∫σs(ν′ → ν,Ω′ · Ω)f(ν′,Ω′) dν′ dΩ′ −

− c

∫σs(ν → ν′,Ω · Ω′)f(ν,Ω) dν′ dΩ′ (2.48)

Esta misma ecuacion se puede expresar en funcion de la intensidad de radiacion, definida en 2.18. Lacorrespondiente expresion es la siguiente.

1c

∂I(ν,Ω)∂t

+ Ω · ∇I(ν,Ω) = S(ν) − κ(ν)I(ν,Ω) +

+∫

ν

ν′ σs(ν′ → ν,Ω′ ·Ω)I(ν′,Ω′) dΩ′ −

−∫

σs(ν → ν′,Ω ·Ω′)I(ν,Ω) dΩ′ (2.49)

donde S(ν) = hνq(ν) representa en la expresion la tasa de energıa irradiada por la materia en forma defotones.

La expresion 2.49 es la ecuacion de transporte de radiacion, sobre la que se centraran todos losesfuerzos de resolucion. Dicha ecuacion es aparentemente lineal, si bien sus coeficientes distan muchode ser constantes. Gran parte del esfuerzo de resolucion se centrara en el tratamiento adecuado de loscoeficientes.

Para definir un problema representado por una ecuacion diferencial como la de transporte, es necesarioimponer unas condiciones de contorno. Teniendo en cuenta el caracter hiperbolico de la ecuacion 2.49,dichas condiciones se podran clasificar en iniciales (el campo de radiacion en el instante inicial de tiempo)y de contorno (valor de la radiacion entrante en el dominio fısico). Como radiacion entrante se entiendela que forma un angulo mayor de π/2 con la normal exterior a la superficie que limita el dominiofısico de resolucion. Si se denomina Π el dominio de resolucion de la ecuacion, y por ∂Π su contorno,matematicamente dichas condiciones se representan por:

I(r, ν,Ω, t0) = Φ0(rs, ν,Ω), r ∈ Π (2.50)

I(rs, ν,Ω, t) = Φb(rs, ν,Ω, t), n ·Ω < 0, rs ∈ ∂Π (2.51)

La ecuacion de transporte, junto con sus condiciones de contorno define completamente el problema,describiendo la evolucion del campo de radiacion para todo instante de tiempo.

2.5.2. Otros sistemas de coordenadas

Para comprender las particularidades de los diferentes sistemas de coordenadas, y sus diferencias conel cartesiano, es necesario definir dos sistemas de coordenadas: el absoluto (fijo espacialmente) y el local,que se define en cada punto del espacio. Cuando se define la posicion de un foton en el espacio fasico(mediante [r, p], o mediante [r, ν,Ω]), el vector r es referido al sistema de coordenadas absoluto, mientrasque p o Ω se refieren al sistema de coordenadas local de cada punto.


En el desarrollo de la ecuacion de transporte (2.49) se ha utilizado un sistema de coordenadas localpara Ω que es independiente de la posicion espacial (un vector concreto Ω0 tiene la misma direccionen todos los puntos del espacio). Esa propiedad es debida a que el sistema de coordenadas local que sedefine en cada punto del espacio es independiente de la posicion espacial. Sin embargo en otros sistemasde coordenadas de gran utilidad, como puede ser el cilındrico o el esferico, se realiza una definicion dedicho sistema de coordenadas local diferente, en la cual depende de la posicion espacial. Dado un cambiode coordenadas se define la base local como:

r = (x, y, z) → (α1, α2, α3) (2.52)

ei ∝ ∂r

∂αi(2.53)

donde los vectores de la base se normalizan. En los principales sistemas de coordenadas (cartesiano,cilındrico y esferico) esta base es ademas ortonormal (ei · ej = δij siendo δij la delta de Kronecker).

De este modo, un mismo vector Ω0 se representa en diferentes sistemas locales de coordenadas demodo diferente. Esto obliga a introducir unas diferencias en el desarrollo de la ecuacion de transporte. Delos diferentes terminos de la ecuacion 2.49, los que dependen de I(r,Ω) con coeficientes independientesde Ω no sufren transformacion alguna, ya que la posible variacion de dicho vector en el trayecto deun foton no tiene influencia sobre ellos. En ese grupo se encuentra la derivada temporal ∂I/c∂t y eltermino de absorciones κI siempre y cuando el coeficiente de absorcion sea independiente de la direccioncomo es nuestro caso. Los terminos referentes a reacciones de dispersion no se ven afectados, ya quedependen unicamente del angulo subtendido por direcciones incidente y saliente (Ω · Ω′). Dicho valor esindependiente del sistema de coordenadas sobre el que se mida (siempre que sea ortonormal). El terminode emision se ha considerado isotropo, con lo que no sufre ningun cambio al modificarse el sistema decoordenadas.

Finalmente, y como unico termino sensible, se encuentra el termino de fugas (streaming). En esetermino se consideraba que los fotones presentan fugas y entradas en el volumen de control unicamente enal atravesar la frontera espacial del mismo. En otros sistemas de coordenadas, la direccion de propagacion(medida en el sistema local de coordenadas) de un foton varıa con lo que las fugas pueden producirse alabandonar el volumen de control en el espacio de los momentos (cantidad de movimiento). La energıa delfoton no varıa al variar el sistema de coordenadas, si bien sı lo hace la direccion de propagacion. Dichavariacion viene representada por un tensor dependiente del sistema de coordenadas y de la posicionespacial.

Se=

M la matriz de cambio de coordenadas entre el sistema local y el absoluto. Se tiene entonces que

P

O

X

Y

Z

e1

e2

e3

Figura 2.2: Sistemas de coordenadas absoluto y local


para una direccion de propagacion Ω0 se cumple la relacion:

Ω0 ==

M (r) Ω (2.54)

Generalmente, y teniendo en cuenta que las componentes de Ω no son independientes (ya que ‖Ω‖ =1), se suelen utilizar otras variables (ω1, ω2) para representar la direccion de propagacion Ω. Dichasvariables son referidas al sistema local de coordenadas. Como ejemplo se tienen las siguientes:

ω = (φ, ξ) → φ = atg(Ωy/Ωx)

ξ = Ωz

(2.55)

ω = (φ, θ) → φ = atg(Ωy/Ωx)

θ = arc cos(Ωz)(2.56)

de este modo, para un punto espacial concreto se tienen las dependencias vectoriales I = I(ω) y ω = ω(Ω).

La necesidad de transformar el termino de fugas de la ecuacion de transporte se debe a que el gradientede la intensidad que contiene, debe ser calculado para Ω0 constante, o sea, para una direccion constanterespecto al sistema absoluto de coordenadas. Dicha derivacion debe transformarse para depender delgradiente calculado con la direccion de propagacion invariable respecto al sistema coordenado local.

Ω · ∇I|0 = Ω · ∇I +∂I

∂Ω

∣∣∣∣r· ∂Ω

∂r

∣∣∣∣Ω0

· Ω (2.57)

= Ω · ∇I +∂I

∂ωi· ∂ωi

∂Ωj· ∂Ωj

∂rk· Ωk (2.58)

donde se ha utilizado la notacion de Einstein referente a la sumacion de los ındices presentes. Cada unade las magnitudes del ultimo sumando de la anterior expresion es un tensor que puede representarsepor medio de una matriz, ası como el resultado final como el producto de todas ellas. La representacionmatricial de los tensores definidos por una derivada es la siguiente:(

∂Z

∂x

)i,j

=∂Zi

∂xj(2.59)

La transformacion anteriormente mostrada es valida en el caso general de sistemas coordenados, sinembargo es interesante realizar una aplicacion concreta para un caso de interes. En este caso, y por ser elmas utilizado en las aplicaciones de la tesis, se han escogido las coordenadas cilındricas. La intensidad deradiacion se hara depender angularmente de las variables ω = (φ, ξ) definidas segun 2.55. Las siguientesmatrices se calculan mediante metodos geometricos diferenciales:

∂I

∂ω

∣∣∣∣r

=(

∂I∂φ

∂I∂ξ

)(2.60)

∂ω

∂Ω=

−senφ√

1−ξ2

cos φ√1−ξ2

0

0 0 1

(2.61)

∂Ω∂r

∣∣∣∣Ω0

=

√1 − ξ2

ρ·

0 senφ 0

0 − cosφ 0

0 0 0

(2.62)

Ω =

√

1 − ξ2 cosφ√1 − ξ2senφ

ξ

(2.63)


∂I

∂ω· ∂ω

∂Ω· ∂Ω

∂r· Ω = −

√1 − ξ2senφ

ρ

∂I

∂φ(2.64)

De este modo, y sustituyendo este resultado en el correspondiente termino de fugas, se obtiene la siguienteexpresion para la ecuacion global:

1c

∂I

∂t+ Ω · ∇I −

√1 − ξ2senφ

ρ

∂I

∂φ+ κI =

∫σsI dΩ′ + S (2.65)

El proceso anteriormente seguido para las coordenadas cartesianas, basado en el calculo de las corres-pondientes matrices, generaliza la construccion de la ecuacion de transporte para los sistemas coordenadosque sean mas convenientes.

2.5.3. Inclusion de procesos inducidos.

Tal y como se ha definido en la expresion 2.38, ciertos procesos que incorporan una partıcula bosonicaa un punto del espacio fasico, se ven estimulados por la densidad de partıculas previamente existenteen dicho punto. La emision termica de radiacion es un proceso que se ve estimulado, mientras que ladispersion continua no siempre ocurre ası, acorde con [80]. Esto se debe a la diferente naturaleza de losprocesos de dispersion, que pueden ocurrir a nivel atomico global (transiciones ligado-ligado, dispersionde Rayleigh) o con electrones libres (dispersion Compton).

Prescindiendo de las reacciones de dispersion, y considerando el termino (Ω · ∇I) como el operadorde fugas, independientemente del sistema de coordenadas, se llega a la siguiente expresion:

1c

∂I(Ω)∂t

+ Ω · ∇I(Ω) + κI(Ω) = S(ν) ·(

1 +c2I(Ω)2hν3

)(2.66)

donde S(ν) representa la emision termica en ausencia de campo de radiacion exterior. se realiza el cambiode variable (S, κ → B, κ′

a), donde en principio B(ν) es una funcion desconocida.

S(ν) = κ′a(ν) B(ν) (2.67)

κ(ν) = κ′a(ν) (1 + c2B(ν)/2hν3) (2.68)

se llega a:1c

∂I(Ω)∂t

+ Ω · ∇I(Ω) = κ′a(B − I(Ω)) (2.69)

En el caso de LTE y medio homogeneo, las derivadas tanto espaciales como temporales desaparecen. Alimponer que el espectro de radiacion en esas condiciones es el Planckiano, se obtiene que la funcion B(ν)anteriormente introducida no es otro que la de Planck (segun se ha definido en 2.20). Por otra parte, esde resaltar que el coeficiente de absorcion a introducir en la ecuacion no es el real, sino uno modificadopara tener en cuenta la realimentacion producida por la induccion de emision (mas intensidad inducemas emision, que produce mas intensidad).

κ′a(ν, T ) = κ(ν, T ) · (1 − e−hν/kT ) (2.70)

que es un valor inferior al coeficiente real (supone un recorrido libre medio aparente mayor). La conclusionprincipal es que la introduccion de procesos inducidos en la ecuacion de transporte, con la salvedad deciertos casos de dispersion, no modifica su estructura. Es por ello que en el tratamiento de la misma nose consideraran esos efectos separadamente, sino que se tomaran como incluidos en los coeficientes.


2.6. Esquema de difusion como aproximacion al transporte.

La intensidad de radiacion calculada mediante la ecuacion de transporte refleja con precision la dis-tribucion de los fotones en el espacio fasico, tanto en la parte espacial como en el espacio de la cantidadde movimiento. Sin embargo, en muchos casos de interes, los campos de radiacion son practicamenteisotropos. Eso es debido en parte a que, como ya se ha apuntado, la emision termica se puede conside-rar isotropa. Asimismo, el proceso de dispersion tiene a homogeneizar en direcciones de propagacion, alabsorber fotones de todas las direcciones y (fundamentalmente) reemitirlos de modo isotropo.

Teniendo en cuenta la gran necesidad de recursos informaticos para resolver la ecuacion de transporte,se han propuesto modelos mas simplificados. Dichos modelos simplifican la ecuacion de transporte redu-ciendo el numero de variables independientes, lo que facilita su resolucion numerica. En concreto se pierdela dependencia explıcita con la direccion de propagacion de la radiacion. Clasicamente se consideran dosaproximaciones de difusion, llamadas de Eddington y asintotica. Cada una de ellas parte de una suposi-cion sobre la expresion de la funcion intensidad de radiacion en funcion de sus variables independientes.En todo caso esa nueva condicion simplifica la ecuacion resultante.

2.6.1. Aproximacion de Eddington

Considerando entonces que la precision angular conseguida mediante la ecuacion de transporte puedasuponer un coste excesivo de calculo para una mejora limitada, se propone una aproximacion de esteestilo:

I(r, ν,Ω) =14π

I0(r, ν) +34π

Ω · I1(r, ν) (2.71)

donde el termino I0 representa la intensidad integrada para las diferentes direcciones de propagacion,mientras que el vector I1 da una representacion de la magnitud y direccion principal de la anisotropıa delcampo de radiacion. Esta aproximacion a la funcion intensidad de radiacion se denomina de Eddington.Dicha aproximacion es buena para casos donde el campo de radiacion es proximo a la isotropıa. Esa situa-cion se da en el caso de presencia de dispersion, o medios muy absorbentes. El estudio del comportamientodel campo de radiacion en esas situaciones se ha realizado en [101].

Mediante dicha aproximacion, se cumplen las siguientes relaciones:∫4π

I(Ω) dΩ = I0 (2.72)∫4π

ΩI(Ω) dΩ = I1 (2.73)∫4π

ΩΩI(Ω) dΩ =I0

3

=

E (2.74)

donde=

E representa el tensor unidad.

Sustituyendo la expresion de la intensidad en la ecuacion de transporte (en la que se suprimen losterminos de dispersion, por simplicidad), se obtiene una ecuacion. Si se toma el primer momento angularde la ecuacion se obtiene una ecuacion vectorial.

1c

∂I0

∂t+ ∇ · I1(ν) + κI0(ν) = 4πS(ν) (2.75)

1c

∂I1

∂t+

13∇I0(ν) + κI1(ν) = 0 (2.76)

Estas dos ecuaciones, con sus correspondientes condiciones iniciales y de contorno (conseguidas me-diante integracion angular de las equivalentes en transporte) determinan las dos componentes de la

2.6. Esquema de difusion como aproximacion al transporte. 35

intensidad de radiacion mediante la aproximacion de difusion. Es de resaltar que, teniendo en cuenta lasimplificacion introducida, en el caso mas general no es posible cumplir con detalle angular la condicion decontorno de intensidad entrante (2.51). En ese caso, se propone una condicion menos restrictiva, obtenidamediante integracion angular:∫

n·Ωω(Ω) [I(rb, ν,Ω) − Φb(rb, ν,Ω)] dΩ = 0, rb ∈ ∂Π (2.77)

En la anterior expresion queda como grado de libertad la funcion de peso ω(Ω). Dos posibilidades son deespecial interes:

Condicion de Marshak se define por ω(Ω) = n ·Ω, y tiene la interpretacion de que se ha de conservar(entre la intensidad calculada por transporte y por difusion) el flujo de partıculas (y por tanto, deenergıa) a traves del contorno.

Condicion de Mark se define por ω(Ω) = δ(n · Ω + 1/3), donde δ(x) representa la distribucion deltade Dirac, y se interpreta como que se ha de conservar el valor de la intensidad para una direccionde entrada que forme un angulo con la normal cuyo coseno valga −1/3. Se justifica en que a partirde la aproximacion de Eddington, el coseno medio respecto una direccion de propagacion es 1/3.

Con el fin de unificar las ecuaciones de difusion 2.75 y 2.76 en una unica ecuacion de difusion, sepropone la relacion clasica entre flujo y corriente:

I1(r, ν) = D(r, ν)∇I0(r, ν) (2.78)

llegandose a la relacion D = (3κ)−1. Para el caso general, con reacciones de dispersion, se define uncoeficiente macroscopico de transporte (σtr) en lugar del coeficiente de absorcion en la expresion anterior.Dicho coeficiente recoge tambien la contribucion del coeficiente de dispersion.

2.6.2. Aproximacion asintotica

En el caso de campos de radiacion en medios si fuente, los haces se van atenuando exponencialmenteen funcion del coeficiente de absorcion propio del medio. Esta situacion puede producirse en el caso deun material sobre el que incide radiacion desde el exterior. En ese caso y considerando reacciones dedispersion, se dara una distribucion no isotropa, en la que existira una fuerte relacion entre intensidadesde diferente direccion de propagacion. Ese tipo de acople entre intensidades en un mismo punto espacialpuede expresarse con un modelo del tipo I(r,Ω) = f1(Ω) · f2(r). Teniendo en cuenta que la atenuacionde un haz de rayos colimados se produce mediante una exponencial, se propone el siguiente modelo:

I(r,Ω) = φ(Ω · u) eασ(r·u) (2.79)

donde tanto u, α y φ(x) aparecen como parametros libres del modelo. Este tipo de aproximacion ha sidoestudiada abundantemente en la literatura [60, 100, 101].

Insertando la expresion 2.79 en la ecuacion de transporte 2.49 mas el termino de dispersion, y operando[96] se obtiene que la evolucion del campo de radiacion viene dado por una ecuacion de difusion. En estecaso la expresion del coeficiente de difusion es diferente al de la aproximacion de Eddington, teniendo unadependencia de los coeficientes tanto de absorcion como de dispersion.

2.6.3. Limitador de flujo

En la ecuacion 2.78 se ha expresado el flujo de energıa por radiacion que se calcula mediante elmodelo de difusion. Dicha expresion es la misma que la de transmision de calor por conduccion 2.11,


donde ya se apunto que podıan surgir problemas en el caso de gradientes fuertes. Teniendo en cuentaque el coeficiente de difusion D(r, ν) es independiente del valor de la intensidad I0(r, ν), puede darse elcaso de obtener flujos (F = −D∇I0) arbitrariamente altos. Esa situacion se puede dar en cualquiera delas aproximaciones de difusion anteriormente descritas, y se presentarıa en el caso de existir gradientesfuertes en el campo de radiacion. Sin embargo, el valor maximo del flujo de energıa en un campo deradiacion tiene una limitacion impuesta por la propia densidad de energıa contenida en el campo. Eso esdebido a que la radiacion electromagnetica se propaga a velocidad finita, con lo que para una densidad deenergıa dada, el mayor flujo sera cuando toda la radiacion se transmita en la misma direccion y sentido.

|I1(r, t)| ≤ I0(r, t) (2.80)

Aparece como algo necesario el introducir un nuevo factor f en la expresion del flujo de radiacion,que lo limite para gradientes de intensidad altos. Dicho factor es lo que se conoce como limitador de flujo.La primera teorıa sobre difusion que incluıa un limitador de flujo fue propuesta en [69] y desde entoncesa evolucionado la teorıa como las propuestas de limitadores. De cara a ser implementado en el modelode difusion, dicho factor debe depender de variables que se manejen en la ecuacion. En concreto se tieneque f = f(I0,∇I0, σi) donde σi representa al conjunto de los diversos coeficientes macroscopicos.

I1(r, t) = −f · D(r, ν)∇I0(r, ν) (2.81)

El limitador de flujo debe satisfacer al menos estas dos condiciones:

Producir una saturacion del valor de flujo de energıa de radiacion, de modo que se cumpla asintoti-camente como igualdad la relacion 2.80 anteriormente definida. Eso significarıa que para gradientesmuy altos del campo de radiacion, se supondrıa una distribucion del campo de radiacion colimadaen la direccion del gradiente (y sentido opuesto).

|D∇I0| → ∞ → (fD) · |∇I0| → I0 (2.82)

Debe respetar el flujo de energıa para valores pequenos del gradiente de intensidad de radiacion.En esos casos el campo es cercano a la isotropıa y la teorıa de difusion lo calcula correctamente.Esta condicion se traduce matematicamente en que con pequenos gradientes el limitador valga launidad.

|D∇I0| I0 → f 1 (2.83)

El comportamiento entre las dos situaciones extremas anteriores debe ser un interpolacion monoto-na.

En la literatura se pueden encontrar diversas propuestas de limitador de flujo basados en sus co-rrespondientes suposiciones sobre la distribucion angular de la intensidad de radiacion [68, 69, 111, 55].Asimismo, se han llevado a cabo numerosos estudios teoricos sobre el tratamiento del limitador de flujoen la ecuacion de difusion de radiacion [99, 102, 10]

2.7. Importancia de terminos relativistas

En todos los anteriores desarrollos tanto de las ecuaciones de fluidos como la del transporte de ra-diacion, se han utilizado unicamente consideraciones de fısica clasica. La inclusion de fısica relativistaen las anteriores ecuaciones produce la aparicion de unos terminos adicionales, de diversos ordenes en la

2.7. Importancia de terminos relativistas 37

velocidad adimensional u/c. Dichos terminos se anulan para un sistema en reposo, mientras que son devital importancia para velocidades cercanas a la de la luz.

En un fluido en movimiento las ecuaciones que describen el movimiento fluido acoplado a la radiacioncontienen terminos dependientes del sistema de referencia (velocidad respecto al mismo). Esos terminosson de orden O(u/c) para el caso de la ecuacion de transporte, mientras que de orden O(u2/c2) para lasecuaciones de fluidos. En [82, 81] se encuentra una construccion detallada de las ecuaciones de fluido-dinamica con radiacion en el marco relativista. En [74, 73] se aboga por la conservacion de los terminosde la ecuacion de orden O(u/c) para garantizar su exactitud en todos los regımenes de aplicacion. Laconservacion de ciertos terminos de origen relativista se presenta como necesario para limitar la velocidadmaxima de propagacion de la radiacion (velocidad de la luz en el vacıo).

Siguiendo los razonamientos seguidos en las referencias anteriores, se tiene que en los casos de strea-ming, caracterıstico de medios poco densos, el residuo relativista de orden O(u/c) no es relevante. Enel caso de regimen difusivo, propio de medios densos, los terminos relativistas toman importancia en lassituaciones en las que el recorrido medio de la radiacion es mucho mayor que la longitud caracterıstica delsistema. Es decir, que si se desprecian los terminos relativistas, se presenta una limitacion en la resolucionespacial que se puede conseguir del sistema en zonas de regimen difusivo.

En los casos de interes que se pretenden afrontar, se producen tanto zonas de baja densidad (materialproducido por ablacion) como de alta (zonas comprimidas por ondas de choque). Dicho modo de com-presion produce calentamientos moderados, teniendo en cuenta la leve variacion de volumen especıficode la materia solida. En estas zonas de materia comprimida, y de temperatura no superior a unos pocoselectronvoltios, el recorrido medio de la radiacion (longitud caracterıstica) de la radiacion es bastantereducido, normalmente menor de 1µm. El tamano de los sistemas a simular es mayor por ordenes demagnitud, con lo que no se pretende obtener una resolucion del orden de la longitud caracterıstica de laradiacion. En ese regimen, normalmente el mallado de resolucion de las ecuaciones suele tener un pasodecenas o centenares de veces superior al recorrido medio de la radiacion, con lo que no afectara la noinclusion de terminos relativistas.

Es por estas razones, y por reducir la complicacion del codigo resultante, que se ha decidido no incluirlos efectos relativistas. Es importante tener en cuenta las limitaciones que este hecho impone en lascapacidades de simulacion, si bien queda abierta la posibilidad de inclusion de estos terminos de cara ala simulacion de otro tipo de campos de radiacion.


Capıtulo 3

Resolucion numerica de la ecuacion

de transporte.

En el capıtulo 2 se ha tratado el origen de los modelos que dan lugar a las ecuaciones de fluidoscon radiacion termica. Dichas ecuaciones surgen de modelos fısicos, y determinan la evolucion espacio-temporal de sus variables dependientes. Una vez conocidas las condiciones iniciales (valor de las funcionesen el instante inicial de simulacion) y las de contorno (condiciones a cumplir por esas variables en elcontorno espacial del sistema), queda totalmente determinada la evolucion del fluido en todo momento.Hay que puntualizar en este caso que es crucial en este caso conocer los lımites de validez de las hipotesissimplificativas realizadas en la deduccion de las ecuaciones. Sobre ese aspecto se tratara en el capıtulo 5,con aplicacion directa al trabajo concreto de esta tesis.

A pesar de que las ecuaciones determinan la evolucion del fluido desde el punto de vista matematico(aunque pueden existir problemas de solucion multiple [123]), su resolucion analıtica suele ser inviablesalvo en casos tan simplificados que apenas pueden reproducir situaciones reales. En el resto de los casos seha de recurrir a metodos numericos para su resolucion. Mediante dichas tecnicas, se transforman funcionescontinuas en una sucesion de valores discretos, que pueden tener diversos significados. Existe una ampliavariedad de metodos numericos en aplicacion para la fısica. Ası como en el caso de ecuaciones en unavariable los metodos existentes estan bastante estandarizados (Runge-Kutta, predictor-corrector, etc. . . ),en el caso de ecuaciones en derivadas parciales, se requieren metodos especıficos para cada caso. Existen,no obstante, metodos para ecuaciones lineales. Dichas ecuaciones pueden ser clasificadas en elıpticas,parabolicas e hiperbolicas [9], que presentan soluciones con caracterısticas diferenciadas. En la anteriorreferencia se puede encontrar una caracterizacion formal de esos diferentes tipos de ecuaciones. Analizadasdesde el punto de vista fısico, las elıpticas suelen aparecer en problemas estacionarios y tienen comoprincipal representante la ecuacion de Laplace (∇2φ = 0). Las parabolicas se dan en problemas difusivos,tales como la ecuacion de conduccion del calor (∂tφ + α∂xxφ = 0). Las hiperbolicas presentan solucionesondulatorias, en las que las perturbaciones se propagan a velocidades finitas. Dicha particularidad seencuentra en ecuaciones de primer orden, del tipo ∂tφ + c∂xφ = 0, ası como de segundo orden ∂ttφ −c2∂xxφ = 0. Las ecuaciones de fluidos (2.8), y la de transporte de radiacion se encuadran en este tipo deecuacion.

Existen unos conceptos fundamentales sobre metodos numericos. Se trata de los diferentes errores delcalculo numerico, la estabilidad de las soluciones y el orden de convergencia. Teniendo en cuenta que dichosconceptos son basicamente matematicos, se refiere al lector a textos especializados [9]. El funcionamientobasico de todos los metodos numericos consiste en convertir las ecuaciones integro-diferenciales existentes

39

40 Capıtulo 3. Resolucion numerica de la ecuacion de transporte.

en un conjunto de ecuaciones algebraicas, en unas variables discretas, caracterısticas de la solucion de laecuacion. Dependiendo del metodo, esas variables tendran diferentes significados, si bien todas vienen aaproximar a la funcion solucion de la ecuacion continua.

En este capıtulo se presentaran los metodos existentes para simplificar la resolucion de las ecuacionesde fluidos con radiacion mediante subdivision de la ecuacion (operator splitting). Tambien se trataranlos metodos numericos especıficos para cada una de las divisiones producidas. Tratar de abarcar todoslos metodos numericos existentes aplicables a estas ecuaciones serıa un trabajo ımprobo. En numerosasreferencias [35, 9, 96, 71] se puede encontrar informacion sobre gran numero de ellos. En este trabajo sehara un especial hincapie en los metodos utilizados, si bien se referenciaran los mas importantes aplicadosal transporte de radiacion.

3.1. Separacion de ecuaciones mediante operator splitting.

Las ecuaciones que surgen de las leyes de conservacion para un fluido que emite y absorbe radiacionha sido ya enunciadas en las expresiones 2.1, 2.2 y 2.3. Dichas ecuaciones corresponden con los balancesde masa, cantidad de movimiento y energıa del fluido en cuestion. A estas ecuaciones hay que anadir lade transporte (2.49), que determina la propagacion de radiacion por el sistema. Tal y como se presento enla ecuacion 2.8, las ecuaciones de fluidos pueden expresarse del siguiente modo.

U = (ρ, ρu, ρEm)t;

∂U∂t

+ ∂F (U)∂x

= SU (I, U)∂I∂t

+ ∂G(U, I)∂x

= SI(U)(3.1)

la ecuacion anterior representa un balance de todas las variables calculadas por las ecuaciones de fluidos,donde F (U) y G(U, I) representan el flujo a traves de las superficies de coordenada x constante. En el flujose incluye la dependencia respecto de tanto las variables de fluidos como de la intensidad de radiacion. Sebusca realizar una particion de los operadores, de modo que los diferentes fenomenos fısicos: adveccion,conduccion del calor y transporte de radiacion se expresen mediante operadores diferentes.

∂tU + ∂xFa(U) + ∂xFc(U) + ∂xFR(U, I) = 0;

Fa Adveccion

Fc Conduccion del calor

FR Radiacion

(3.2)

Se consideran los diferentes operadores de avance temporal para cada una de las ecuaciones. Di-chos operadores transforman el valor del vector de estado en el inicio del intervalo temporal (U0) enel correspondiente al final del intervalo (U1). Dicho operador numerico aproxima al operador continuoL(U, U0) = U0 − ∫ ∂xF (U) dt.

∂tUa = −∂xFa(Ua) → U1a = La(U0

a )

∂tUc = −∂xFc(Uc) → U1c = Lc(U0

c )

∂tUr = −∂xFr(Ur, I) → U1r = Lr(U0

r , I)

(3.3)

Entonces se puede demostrar [51] que la composicion de los anteriores operadores sobre el vector deestado U0 converge cuando ∆t → 0 hasta el valor U1, avanzado en el tiempo segun la ecuacion avanzadoen el tiempo segun la ecuacion 3.2.

U1 = (LR Lc La)(U0); lım∆t→0

U1 = U1 (3.4)

3.2. Discretizacion de las ecuaciones. Diferencias finitas. 41

Este metodo permite, por tanto, el tratamiento independiente de cada una de las ecuaciones anteriores.Dicho tratamiento se realizara de un modo secuencial, partiendo del vector de estado en el inicio delintervalo de tiempo y actuando cada operador sobre el resultado del anterior. Esto introduce unas clarasventajas:

Las ecuaciones a tratar son mas simples, facilitando la resolucion. En algunos casos se llegan adesacoplar variables en algunas de ellas, con la consiguiente ganancia en simplicidad del metodonumerico. Cuando se utilizan metodos de resolucion implıcitos, esto se traduce en una reducciondel orden de las matrices a invertir, con el correspondiente ahorro computacional.

Como ventaja fundamental se tiene que se pueden aplicar diferentes esquemas numericos en cada unode los operadores Li. Esto permite adaptarlos a las particularidades de cada una de las ecuaciones,que pueden ser muy diferentes.

Por contra, la principal desventaja se centra en la perdida de precision del esquema de integraciontemporal. Se asegura la convergencia del metodo, si bien puede reducir el orden de convergencia delmetodo.

En el caso de la fluidodinamica con radiacion, se utiliza el metodo de operator splitting para separar lostres principales fenomenos fısicos de transmision de energıa que se dan: adveccion (conveccion), conducciony radiacion. Es de especial interes, como se vera en el capıtulo 5, el tratamiento de la ecuacion de la energıa.A continuacion se expresa para el caso multidimensional, diferenciando en los operadores en los que sedivide.

∂ρE

∂t= −∇ · (ρEm + Pm) u︸︷︷︸

Ec. fluidos

− ∇ · ke∇T︸︷︷︸Conduccion

+∇ · (qr − F )︸︷︷︸Radiacion

(3.5)

A partir de esta ecuacion, y procediendo a la division del operador, se pueden obtener tres ecuacionesque proporcionen las tres variaciones de energıa debido a cada uno de los procesos.

A continuacion se procedera a una somera revision de los metodos utilizados para cada uno de losgrupos de ecuaciones que tratan los diversos fenomenos de transferencia de energıa. Serıa una tarea fueradel alcance de esta tesis la inclusion de todos ellos. Unicamente se trata de presentar las particularidadesde cada una de las ecuaciones. Se anticipa que, tal y como permite el operator splitting, se utilizandiferentes algoritmos numericos para la resolucion de cada una de las ecuaciones.

3.2. Discretizacion de las ecuaciones. Diferencias finitas.

La clasificacion de los metodos mas importantes aplicables a la resolucion de las ecuaciones bajoestudio es la siguiente:

Metodos numericos

Estocasticos

Monte Carlo

Deterministas

Integrales

Diferenciales

Elementos finitos

Diferencias finitas

El metodo utilizado en este trabajo es el de las diferencias finitas para todas las ecuaciones tratadas.La principal caracterıstica de este metodo es que el conjunto de variables discretas con el que aproximala solucion de la ecuacion es el valor de dicha funcion en puntos discretos. En este caso, dichos puntos


se distribuiran en un dominio espacial y temporal finito. En el caso utilizado en este trabajo, dichadistribucion se realiza sobre mallas rectangulares a intervalos iguales. De este modo, se seguira la siguientenotacion.

Φ(x, y, t) : Φki,j →

Φ(xi, yj , tk)

xi = x0 + i∆x; yj = y0 + j∆y; tk = t0 + k∆t(3.6)

donde, como se explicara en mas detalle en el capıtulo 4, los valores ∆x, ∆y, ∆t representan los espaciadosentre puntos a lo largo de los ejes temporales y espacial. Mediante la anterior definicion, y la adecuadatransformacion de los operadores diferenciales a operadores discretos, se logra transformar las ecuacionesdiferenciales en algebraicas sobre los valores Φk

i,j .

3.2.1. Tratamiento de la variable temporal

Existen muchos problemas fısicos en los que se presentan unas ecuaciones del tipo:

∂Φ(x, t)∂t

= L(Φ(x, t)) → Φ(x, t + ∆t) = Φ(x, t) +∫ t+∆t

t

L(Φ(x, τ)) dτ (3.7)

donde L(·) es un operador que actua unicamente sobre las variables espaciales. El tratamiento de lavariable temporal en ese caso se basa en el correcto tratamiento de la integral temporal. Existen diversosmetodos, entre los que por su simplicidad destacan el implıcito y explıcito. Utilizando notacion discretaen la variable temporal (Φk(x) = Φ(x, k∆t)), se definen por:

Φk+1(x) ≈ Φk(x) + L(Φk(x)) · ∆t Metodo explıcito

Φk(x) + L(Φk+1(x)) · ∆t Metodo implıcito(3.8)

Ambos metodos aproximan la integral temporal como si el integrando fuera constante, tomando los valoresinicial o final, segun cada metodo. Estos metodos de integracion son de primer orden en el tiempo, perosin embargo suelen ser utilizados por su simplicidad y buenas propiedades. En el caso del metodo explıcitose tiene una gran simplicidad de las ecuaciones, ya que las variables incognitas aparecen directamentedespejadas. Sin embargo, dicho metodo presenta problemas de modo que se vuelve inestable para valoresdel incremento de tiempo (∆t) mayores de un cierto lımite. En el caso de las ecuaciones hiperbolicasdicho lımite es proporcional al paso espacial (∆x), mientras que en las parabolicas lo es a su cuadrado(∆x2). De cara a la utilizacion de pasos de tiempo arbitrariamente grandes, es necesario pasar al esquemaimplıcito.

Respecto al tratamiento de las condiciones iniciales que son necesarias para definir un problema dadopor 3.7, la transformacion que se hace es:

Φ(x, 0) → Φ0(x) (3.9)

definiendo por tanto el comportamiento temporal de la solucion buscada.

3.2.2. Tratamiento de las variables espaciales

Al igual que en el caso de la variables temporal, los operadores que actuan sobre las variables espacialesdeben ser convertidos a una forma discreta. En el caso de una variable unidimensional en coordenadascartesianas, las relaciones que se toman, exactas hasta segundo orden, son las siguientes:

∂Φk

∂x

∣∣∣∣x

i+12

=Φk

i+1 − Φki

∆x+ O(∆x2)

(3.10)

3.2. Discretizacion de las ecuaciones. Diferencias finitas. 43

∂2Φk

∂x2

∣∣∣∣xi

≈ 1∆x

∂Φk

∂x

∣∣∣∣x

i+ 12

− ∂Φk

∂x

∣∣∣∣x

i− 12

≈ Φk

i+1 − 2Φki + Φk

i−1

∆x2(3.11)

donde los puntos xi±1/2 se definen de un modo consistente con la ecuacion 3.6, tal y como se representaen la figura 3.1.

xi

xi+1

xi+1/2xi−1/2

Figura 3.1: Definicion de puntos espaciales discretos

Una vez definidas estas transformaciones, y extendidas convenientemente al campo de las variasvariables, se pueden convertir los operadores diferenciales que aparecen en las ecuaciones planteadas enel capıtulo 2. Las ecuaciones algebraicas que aparecen tras aplicar las transformaciones anteriormentedetalladas seran las que se planteen resolver con la ayuda del computador.

Al igual que en el caso de la variable temporal, es necesario transformar condiciones de contorno alcampo de las ecuaciones discretas. Para ecuaciones diferenciales de segundo orden en el espacio, esascondiciones pueden venir expresadas en funcion del valor tanto de la funcion como de su gradiente en elcontorno.

Φb + αn∇Φ = β (3.12)

donde α y β pueden depender tanto de la posicion como del tiempo, y n se define como un vector unitarioperpendicular a la frontera del dominio de resolucion. Si, como se ha apuntado ya, se consideran dominiosrectangulares, el producto n∇Φ queda especialmente simple, reduciendose a la derivada respecto a algunade las variables espaciales. Se han realizado estudios sobre la resolucion de ecuaciones mediante el metodode ordenadas discretas en dominios no rectangulares utilizando mallas rectangulares, de mayor eficiencia.Algunos de ellos [48] se introducen en el campo del transporte de radiacion, con utilidad directa a estetrabajo.

Tal y como se aprecia en la expresion 3.10, la discretizacion de operadores diferenciales (derivadas)implica la utilizacion de puntos entorno al valor que se desea calcular. Esto llega a producir problemas enel caso de los puntos mas externos de la malla, situados en el contorno. En algunos casos, las condicionesde contorno se limitar a facilitar el valor de la funcion solucion en esos puntos. Sin embargo, en otroscasos, en los que las condiciones de contorno implican derivadas, no es directo el calculo de esos puntosal no poder expresar el valor de las derivadas mediantes las expresiones del tipo de 3.10. En esos casoses necesaria la inclusion de nuevos puntos en el sistema, situados en el exterior de los contornos. Sobredichos puntos no se tratara de resolver la ecuacion discreta (fig. 3.2), si bien se utilizaran unicamentecomo apoyo para poder expresar las condiciones de contorno, y con ello proceder al calculo de los puntossituados en el contorno del dominio de simulacion. El conjunto de puntos (o celdas) anadidos de estemodo son los llamados ghost. La consistencia del sistema de ecuaciones se mantiene, ya que el numero deincognitas anadidas al sistema es igual al de ecuaciones introducidas (las condiciones de contorno).


Pun

tosgh

ost

Figura 3.2: Situacion de los puntos ghost en una malla

3.3. Ecuacion del calor. Sistema parabolico.

La ecuacion por la que se rige la transmision de energıa por conduccion ha sido ya introducida de unmodo fısico en el capıtulo 2. Como expresion final representativa se encuentra la 2.9. Considerando, amodo de ejemplo, el caso unidimensional, la ecuacion a resolver serıa del tipo:

∂T

∂t+ ∇ · α∇T = β (3.13)

donde α y β se obtienen de las propiedades del medio en cada momento y posibles fuentes de energıa de-pendientes del tiempo. Tal y como se ha presentado anteriormente, esta ecuacion es del tipo representadoen la expresion 3.7. De este modo son aplicables los metodos allı detallados. Por problemas de estabilidad,y para que el paso de tiempo no se encuentre limitado a valores muy pequenos (ya que ∆tmax ∝ ∆x2) seutiliza el esquema temporal implıcito. Existen numerosas publicaciones sobre metodos implıcitos para laecuacion del calor [94] en sistemas lineales y no-lineales [25].

De cara a la simplicidad numerica, se plantea el metodo implıcito en su forma mas simple, tal y comose plantea en 3.8. La ecuacion que se obtiene tras su aplicacion es la siguiente:

∇ · α∇T k+1 +1

∆tT k+1 = β +

1∆t

T k (3.14)

la cual tiene una forma del tipo ecuacion de Helmholtz. Esta ecuacion ya no contiene ningun operador enla variable temporal, siendo la unica posible dependencia por los coeficientes. Procesada segun el metodode diferencias finitas, la anterior ecuacion se convierte en un sistema de ecuaciones algebraicas. Expresadoel sistema en forma matricial en el caso bidimensional, toma la forma de matriz pentadiagonal.

La resolucion de la ecuacion de Helmholtz ha sido estudiada en profundidad en [8], donde se puedeencontrar referencia a los metodos mas comunes de resolucion. El problema se reduce a la inversionde la matriz caracterıstica del sistema. Dicha inversion puede realizarse mediante metodos exactos oaproximados. Los metodos exactos proporcionan la solucion exacta, si bien dado el alto rango de lasmatrices (igual al numero de puntos del mallado) el tiempo de calculo puede ser inaceptable. Por otra parteexisten los metodos aproximados, de caracter iterativo. Dado un problema matricial del tipo y = M · x,se busca realizar una descomposicion de la matriz M en una suma de dos, de modo que una de ellas seamas facilmente invertible. Se define entonces un proceso iterativo del siguiente modo:

y = M · x; M = A + B → x = A−1(y − Bx) (3.15)

xn+1 = A−1(y − B · xn) (3.16)

3.4. Metodos numericos en transporte de radiacion 45

Es facil ver que anterior esquema iterativo convergera siempre que todos los valores propios de la matrizA−1 · B tengan valor absoluto menor que la unidad. En caso de converger, lo hara a una solucion delsistema planteado. El esquema iterativo ası planteado se denomina relajacion del sistema y requiere untrabajo de computacion muy inferior a la inversion exacta de la matriz.

Los metodos iterativos tienen la particularidad de hacer converger mejor a los modos de oscilacion altosque a los bajos. Es decir, reducen las oscilaciones de alta frecuencia, mientras que presentan problemasen cuanto a ajustar el valor medio de la solucion. De cara a mejorar este aspecto, y tratando de mantenerel atractivo del menor esfuerzo de calculo, se implementa el metodo de multigrid [35]. Dicho metodoencierra un conjunto de tecnicas de aceleracion de la convergencia para los modos de oscilacion de menorfrecuencia. La conjuncion del metodo multigrid con esquemas iterativos produce buenos resultados deconvergencia en todo el rango de frecuencias.

3.4. Metodos numericos en transporte de radiacion

La ecuacion de transporte de radiacion, tal y como ha sido presentada en el capıtulo 2 es una ecuaciondiferencial en derivadas parciales, con (en el caso mas general) siete variables independientes. Esto haceque practicamente ningun caso de interes sea abordable de un modo analıtico. Existen excepcionalmente,no obstante, problemas de gran simplificacion que pueden ser resueltos de modo exacto, sirviendo amodo de test de los diferentes metodos numericos existentes [65]. Una vez introducida la imposibilidad deresolver de modo exacto la ecuacion en cuestion, se presenta como unica solucion la utilizacion de metodosnumericos aproximados, que con la ayuda de computadores pueden producir resultados suficientementeprecisos.

En esta seccion se va a presentar los principales metodos numericos en uso, haciendo especial referenciaa los utilizados en el desarrollo de esta tesis. Como introduccion se puede asegurar que no existe el metodonumerico perfecto para esta ecuacion: existen multiples alternativas que presentan diferentes ventajas einconvenientes. En la tabla 3.4 se encuentra un listado de los metodos mas utilizados para resolver laecuacion de transporte, tanto para el caso de radiacion como de neutrones.

Metodos numericos en transporte

Estocasticos: Monte Carlo Aplicabilidad a multitud de proble-mas. Facilmente paralelizable. Consu-me gran cantidad de tiempo de compu-tacion para llegar a errores probabilısti-cos aceptablemente bajos.

Deterministas: Metodo integral

Elementos finitos

Armonicos esfericos

Ordenadas discretas

Metodos numericos mas complejos,no adaptables facilmente a geometrıascomplejas. Mejor rendimiento de calcu-lo, sobre todo en mallas rectangularesde espaciado constante.

Cuadro 3.1: Metodos numericos aplicados a transporte

Cada uno de los metodos listados anteriormente tiene unas ventajas e inconvenientes que los haces masapropiados para cierto tipo de sistemas [28]. En las siguientes secciones se realizara una breve exposicionde esos puntos de interes, entrando en profundidad unicamente en el metodo de diferencias finitas yordenadas discretas, seleccionado para el trabajo de esta tesis.


3.4.1. Metodo de Monte Carlo

El metodo estocastico por excelencia es el llamado de Monte Carlo. El nombre esta basado en la ciudadcelebre por su casino. Esencialmente trata de expresar la importancia que el azar tiene en la realizacionde este metodo. El metodo de Monte Carlo es aplicable a multitud de procesos donde la probabilidadjuega un gran papel. Este metodo de resolucion de problemas por la vıa probabilıstica es atribuidoinicialmente a Fermi, von Neumann y Ulam. La finalidad del metodo eran calculos de transporte deneutrones (ıntimamente relacionado con el transporte de radiacion) durante el desarrollo de las primerasarmas nucleares. Desde aquellos primeros usos, el metodo ha sufrido muchos refinamientos y estudios quelo han convertido en una herramienta muy potente capaz de abarcar multitud de campos de la fısica ensimulaciones complicadas.

En el caso mas simple de transporte de radiacion o partıculas, el metodo de Monte Carlo consiste enla simulacion de un numero finito N de evoluciones de partıculas generadas mediante numeros aleatorios.Una vez introducida la partıcula en el sistema, se somete al complejo sistema de probabilidades dereaccion con el medio, produciendo reacciones con la materia. Una vez la partıcula es absorbida, laevolucion se detiene, mientras en el caso de reacciones de dispersion las condiciones de salida se obtienende modo aleatorio (conocido el nucleo de probabilidad definido en la expresion 2.31). Para cada una delas evoluciones se pueden calcular las magnitudes que se deseen evaluar (recorrido medio, posicion de laabsorcion, . . . ).

Una vez determinados los parametros de interes para las N evoluciones consideradas, se puede calcularun valor promedio segun:

x =1N

N∑i=1

xi (3.17)

donde xi representa el valor de la magnitud x para la evolucion i-esima. Considerando las diferentesevoluciones como independientes unas de otras (y eso recae sobre el proceso de generacion de numerosaleatorios), la varianza de la variable promedio x disminuye segun N−1. Eso implica que la incertidumbresobre la variable x tendra un comportamiento como N−1/2. Con esto queda claro que el mejor metodo paraconseguir una buena precision en los calculos es la utilizacion de un gran numero de evoluciones. Inclusoası, para evaluar el promedio de sucesos de baja probabilidad, el numero de evoluciones que llegaran aproducir un resultado positivo sera muy bajo, con lo que obligara a utilizar numeros de evoluciones aunmayores.

Una vez presentado de forma somera el funcionamiento interno del metodo, han aparecido de formanatural tanto las principales ventajas como la principal desventaja. La valoracion de estas es lo que tieneque llevar a la decision de su uso o no.

Como ventaja aparece su gran versatilidad y aplicabilidad a sistemas de gran complicacion geometri-ca. No es necesaria la definicion de complejos mallados, sino que se obtienen datos continuos (dis-cretos solo por la precision del calculo) sobre las evoluciones individuales.

Otra ventaja es la computacion en paralelo de un modo natural. Una vez definido el sistema,se pueden lanzar cuantas evoluciones sea posible de modo paralelo. La unica interaccion entreprocesadores se realizarıa en la agrupacion de resultados. Asimismo, el procesamiento paralelopuede ser arbitrariamente asimetrico: no existen cuellos de botella en el calculo.

Como principal desventaja se presenta la gran cantidad de calculos necesaria para poder obteneruna incertidumbre aceptable en los resultados de interes. Esto se traduce en tiempos de calculo muyaltos. Esta desventaja es la que hace atractivos a otros metodos de calculo, en los casos en los queson aplicables.

3.4. Metodos numericos en transporte de radiacion 47

La capacidad de resolucion en sistemas complejos hace atractivo al metodo de Monte Carlo paracalculos de transporte en medicina nuclear [115]. Los datos de composicion del cuerpo sometido a hacesde radiacion (electrones, neutrones, . . . ) pueden ser obtenidos de modo tridimensional mediante tecnicasde RMN (Resonancia Magnetica Nuclear), TAC (Tomografıa Axil Computerizada) o PET (Positron-Electron Tomography). La composicion corporal suele presentar una geometrıa compleja, con lo que elmetodo de Monte Carlo se presenta como una alternativa atractiva para el calculo numerico. Esto hace quesistemas de calculo comerciales, que acompanan a maquinaria de tratamiento medico por radioterapia,se basen en este metodo.

3.4.2. Metodo integral de resolucion

Este metodo, como su nombre indica, se basa en resolver un planteamiento integral sobre la propa-gacion de la radiacion. La base del planteamiento radica en buscar el origen de la radiacion presente enun punto espacial. Es decir, toda la radiacion presente en el sistema se ha originado en alguna fuente dealgun otro punto espacial. Si las reacciones de dispersion son incluidas como fuentes (se crea un fotonnuevo en un punto del espacio fasico), se puede asegurar que la linea de union entre la fuente y el puntoen concreto es paralela a la direccion de propagacion. Se define P (r, t) como un punto espacial en uninstante temporal, sobre el que se quiere calcular la intensidad de radiacion. Sea P0(r − Ωl, t − l/c) unposible precursor de la radiacion que hay en P . Partiendo de la identidad:

− ddl

ψ(r − Ωl,Ω, t − l

c) = ∇ψ(r − Ωl,Ω, t − l

c) ·Ω +

1c


c) (3.18)

se llega a la expresion para la ecuacion de transporte:

− ddl


c) + κ(r − Ωl, t − l

c) · ψ(r − Ωl,Ω, t − l

c) = SΩ(r − Ωl, t− l

c) (3.19)

donde SΩ(r, t) representa tanto la emisividad como la fuente debida a dispersion en un punto del espacioen un instante de tiempo. Teniendo en cuenta la dificultad de operar con ecuaciones en las que intervienenterminos desplazados en el tiempo, las anteriores expresiones se aplican especialmente para la ecuacionde transporte para el caso estacionario, que equivale a suponer una velocidad infinita de propagacion dela radiacion (c → ∞). En el caso estacionario, la ecuacion integral de transporte quedarıa de la forma:

− ddl

ψ(r − Ωl,Ω, t) + κ(r − Ωl, t) · ψ(r − Ωl,Ω, t − l

c) = SΩ(r − Ωl, t) (3.20)

donde se mantiene la dependencia temporal por la posible variacion en el tiempo de la fuente SΩ(r, t)si bien no hay efectos temporales de propagacion de ondas. Si la anterior ecuacion se integra respectoa la direccion de propagacion de la radiacion, se obtendra una relacion sobre la intensidad de radiaciontotal en un punto del espacio. Suponiendo que el coeficiente macroscopico de absorcion no dependa de ladireccion de propagacion y operando se llega a la ecuacion final:

φ(r, t) =∫

S(r′, t) · e−τ(r,r′)

4π |r − r′|2 d3r (3.21)

φ(r, t) =∫4π

ψ(r,Ω, t) dΩ Intensidad de radiacion integrada

S(r, t) =∫4π SΩ(r, t) dΩ = Q(r, t) + σsφ(r, t) Fuente de radiacion integrada

τ(r, r − Ωl) =∫ l

0κ(r − Ωα) dα Espesor optico entre puntos

(3.22)

El espesor optico entre dos puntos P (r) y P ′(r′), expresado por τ(r, r′), tiene el significado fısico de queexp(−τ(r, r′)) es la probabilidad de que un foton (o partıcula) nacida en P0 en direccion a P , lo alcance.Tambien es una base para definir el coeficiente de absorcion medio en la trayectoria de una partıculaτ(r, r′) ≈ 〈κ〉 · l.


El metodo integral anteriormente descrito reduce una ecuacion integro-diferencial al calculo de unaintegral, una vez fuera conocida la fuente. No obstante, el calculo de los espesores opticos entre todoslos puntos definidos en el sistema puede resultar costoso computacionalmente. Asimismo, se requiere unproceso externo de calculo en el caso de existir reacciones de dispersion en el sistema. Se ha de lograr unvalor de la fuente debida a dispersion, que sea consistente con la intensidad calculada en el sistema.

En cierto modo, el metodo integral de calculo y el de Monte Carlo tienen una estrecha relacion. Poruna parte el metodo de Monte Carlo introduce partıculas siguiendo su evolucion hasta ser absorbidas.Este tipo de calculo requiere disponer de los espesores opticos para calcular la probabilidad de absorcionen el camino. Por otra parte el metodo integral considera las partıculas existentes en el medio, tratandode relacionarlas con sus posibles orıgenes (evolucion inversa). Se puede por tanto afirmar que se ataca elproblema con estrategias semejantes, pero con un tratamiento logico (causa–efecto) inverso.

3.4.3. Elementos finitos

El metodo de los elementos finitos puede tambien aplicarse al caso de la ecuacion de transporte. Seguneste metodo, el dominio espacial se divide en celdas, dentro de las cuales se supone una variacion de laintensidad de cierto tipo, dejando parametros libres. Es claro que si la funcion solucion se define de estemodo, es probable que ninguna combinacion de esos parametros lleve a una solucion de la ecuacion. Me-diante tecnicas variacionales sin embargo, se llega al conjunto de parametros que producen una desviacionmenor respecto del comportamiento fijado por la ecuacion.

En la relacion [71] se puede encontrar una definicion mas detallada de la teorıa que se aplica enconcreto a la ecuacion de transporte de radiacion o partıculas. Los metodos variacionales pueden seraplicados directamente a la ecuacion de transporte. sin embargo se utilizan sobre la ecuacion de laintensidad de paridad definida par [70]. Dicha ecuacion se plantea sobre la variable ψ+ definida como:

ψ+(r,Ω, t) =12

[ψ(r,Ω, t) + ψ(r,−Ω, t)] (3.23)

Un metodo comun en la teorıa de elementos finitos consiste en suponer que en cada celda, subdivisiondel sistema, la solucion tiene una expresion aproximable como combinacion lineal de un conjunto finitode funciones. Los parametros libres serıan entonces los coeficientes de la combinacion lineal. Este metodo,aplicado a la ecuacion de transporte transporte se denomina el procedimiento de Ritz. Este metodo hasido implementado en el codigo event [27], con un tratamiento de la variable angular mediante armonicosesfericos.

Las principales ventajas del uso del metodo de los elementos finitos radican en su caracter determi-nista (frente al metodo de Monte Carlo) y en su flexibilidad de representacion geometrica. Admite modosde descomposicion geometrica apropiados para computacion paralela. En concretos esos modelos princi-palmente son la Diseccion anidada y el metodo de Complementos de Schur. Como desventaja se tiene lacomplejidad del sistema de ecuaciones a resolver. En casos multidimensionales el tiempo de calculo puedeser elevado.

3.4.4. Metodos nodales

Los metodos nodales son unas tecnicas de discretizacion avanzadas, que producen resultados precisos,en muchos casos a costa de un mayor tiempo de calculo. Esto lleva a que para una precision dada, puedenresultar atractivos frente a los tradicionales metodos de discretizacion (diferencias finitas). La base de

3.5. Tratamiento de la variable energetica 49

los metodos nodales se halla en el tratamiento de la ecuacion de transporte multidimensional. Se realizaun promediado en todas menos una de las variables espaciales, dando lugar a una ecuacion en una solavariable espacial. El promediado de las otras variables se puede realizar con diferentes ponderaciones enlas que se utilizan los polinomios de Legendre.

Ese conjunto de ecuaciones utilizando los diferentes polinomios de Legendre, se trunca en diferentesvalores, dando lugar a diferentes esquemas de aproximacion. Utilizando solo el primer valor se reproduceuna ecuacion de balance de partıculas, y utilizando mas se logra mayor grado de aproximacion.

Dado el mayor grado de precision logrado mediante este metodo, se utilizan en algunos casos discreti-zaciones mas bastas, con menor numero de celdas. En esos casos, y cuando hay complejidad geometrica esimportante el metodo de calculo de los parametros atomicos. En el caso del flujo neutronico en reactoresnucleares, donde la composicion varıa lentamente y la geometrıa no varıa, esos coeficientes se obtienencon calculos mas refinados usando tecnicas tradicionales (mas rapidas). Asimismo, en algunos casos seutilizan los metodos nodales con la ecuacion de difusion, consiguiendose resultados aceptables (codigoseanap [2]). Se han implementado esquemas especıficos para el calculo de reactores nucleares, como elajuste de los flujos entre celdas [40] que, aprovechando el buen funcionamiento de los metodos nodales,dan lugar a soluciones aceptables en tiempos bastante reducidos. Es de resaltar que esas situaciones noson aplicables a los casos en tratamiento en esta tesis, en los que tanto la composicion como la geometrıapuede variar fuertemente en el tiempo. En esas situaciones no es aceptable realizar los calculos sobreceldas de gran tamano, donde los errores de promediado suelen ser inaceptables.

3.4.5. Metodo de diferencias finitas

En esta seccion se tratara del metodo de diferencias finitas aplicado a la ecuacion de transporte departıculas neutras. En los calculos no se incluiran todavıa las particularidades de la radiacion acopladacon la materia, que seran explicadas posteriormente. Teniendo en cuenta que este metodo numerico hasido el utilizado en este trabajo, se detallara en mayor medida. Asimismo, se incluyen en esta secciondescripciones sobre el tratamiento de las variables independientes de la ecuacion de transporte: espaciales,energetica y de direccion de propagacion. Las consideraciones que aquı se van a exponer tendrıan aplica-cion para otros metodos numericos como por ejemplo los elementos finitos. Sin embargo se ha decididoincluirlos en la seccion del metodo de diferencias finitas con la finalidad de presentar este metodo conuna descripcion completa en cuanto al tratamiento de todas las variables independientes.

3.5. Tratamiento de la variable energetica

Tal y como se ha definido en el capıtulo anterior, una de las variables de las que depende la funcionintensidad de radiacion es de la energıa de sus fotones. Dichas energıa se encuentra relacionada con lafrecuencia de vibracion de los mismos (ν) por la relacion E = hν. De cara a la resolucion numerica de laecuacion de transporte, es importante realizar un tratamiento correcto de esta variable, ası como disponerde datos precisos sobre la dependencia de sus coeficientes con la energıa. Bajo ciertas suposiciones puedesuponerse que la dependencia de la intensidad con la energıa es conocida. En ese caso no es necesariodar ningun tipo de tratamiento a la variable, ya que se conoce de antemano. Este caso puede darse en elcaso de que el coeficiente de absorcion sea elevado y practicamente independiente de la energıa fotonica,y que la dispersion inelastica (que hace variar la energıa de la radiacion incidente) actue levemente. Enese caso puede suponerse que la dependencia energetica de la radiacion es semejante a la que tengan lasfuentes presentes en el sistema. Asimismo, hay situaciones en las que se produce una termalizacion de la


radiacion al interaccionar fuertemente con la materia. Se producen rapidas absorciones y emisiones quehacen que esta llegue al equilibrio antes de difundirse por el sistema. En este caso, independientementede las fuentes externas que se introduzcan en el sistema, el campo de radiacion sera proximo al espectroplanckiano ya explicado en el capıtulo anterior.

En el caso mas general (y mas comun en fusion) sin embargo, se presentan situaciones en las queel coeficiente de absorcion presentas una fuerte dependencia respecto a la energıa de la radiacion. Asi-mismo, existen zonas de poco espesor optico que permiten la transmision de radiacion entre zonas dediferente temperatura, dando lugar a espectros energeticos alejados del planckiano. En ese caso, y antela imposibilidad de suponer un tipo de espectro determinado (salvo en casos muy concretos), se imponeutilizar un modelo de simulacion capaz de reproducir espectros energeticos arbitrarios. Con esas premisasse introduce el metodo de multigrupos, mediante el cual el espectro energetico se discretiza en un con-junto de intervalos discretos dentro de los que se presupone un cierto perfil al espectro, pero de amplituddesconocida.

Para plantear las ecuaciones en multigrupos de energıa, se definen unos intervalos energeticos deli-mitados por el conjunto de puntos Eg : g = 0 . . .G, tales que definen los siguientes G intervalos deenergıa.

[0,∞) ⊃ [E0, EG] = [E0, E1) ∪ [E1, E2) . . . [EG−1, EG] (3.24)

Seguidamente se toma la ecuacion de transporte con dependencia energetica y se integra sobre uno delos anteriores intervalos. En la siguiente expresion se han omitido las dependencias espaciales y temporalen aras de mayor claridad. Dichas dependencias siguen existiendo.∫ Eg

Eg−1

(1c

∂I(E)∂t

+ Ω · I(E) + σ(E) I(E) −∫

σs(E′ → E)I(E′) dE′ − S(E))

= 0 (3.25)

Con el fin de simplificar la notacion, se introducen las siguientes definiciones. En ellas se han incluido lasverdaderas dependencias de las diferentes funciones:∫

g

(·) dE =∫ Eg

Eg−1

(·) dE (3.26)

Ig(r,Ω, t) =∫

g

I(r,Ω, t, E) dE (3.27)

σg(r,Ω, t) =1

Ig(r,Ω, t)

∫g

σ(r, t, E)I(r,Ω, t, E) dE (3.28)

σsgg′(r,Ω,Ω′, t) =1

Ig′(r,Ω, t)

∫gg′

σs(r, E′ → E,Ω · Ω′, t) I(r,Ω, t, E′) dE′ dE (3.29)

Sg(r, t) =∫

g

S(r, t, E) dE (3.30)

La anterior integral de la ecuacion de transporte puede entonces expresarse en funcion de estas nuevasvariables:

∂Ig

∂t+ Ω · ∇Ig + σg Ig =

∑g′

σsgg′ Ig′ + Sg : g = 1 . . .G (3.31)

El conjunto de G ecuaciones definido mediante la anterior transformacion es el resultado de la discreti-zacion de la variable energetica mediante el metodo de multigrupos. Es de resaltar que dichas ecuacionesestan acopladas unicamente por el termino de dispersion, con lo que en ausencia de este se trata de G

ecuaciones independientes.

Realizando un examen mas detallado de los coeficientes utilizados en las ecuaciones de multigrupos,se aprecia que para su calculo es necesario conocer la verdadera distribucion energetica de la funcionintensidad de radiacion, incognita del problema. Eso es en sı una contradiccion, ya que este metodo se


disena para calcular esa funcion. Es por ello, que para el calculo de dichos coeficientes en multigrupos esnecesario presuponer una cierta distribucion energetica de la funcion intensidad.

Otra complicacion aun mayor en los anteriores coeficientes promediados es la aparicion de depen-dencias angulares en valores en los que normalmente no se presentan. Ası es el caso del coeficiente deabsorcion (en medios materiales isotropos) o en el caso del coeficiente de dispersion, que puede tomaruna expresion no representable en funcion de Ω ·Ω′. Dichas complicaciones adicionales se presentan comoinaceptablemente fuertes, con lo que se suele tomar en todo caso una suposicion adicional que las evita.Dichas suposicion es que el espectro energetico de la intensidad de radiacion en un punto del espacio esindependiente de su direccion de propagacion. Esta condicion puede parecer razonable si se establece unarelacion local de causa-efecto entre las propiedades del medio material (especialmente temperatura), y elespectro de radiacion. En ese caso tal influencia serıa independiente de la direccion de propagacion de laradiacion.

I(r,Ω, E, t) = I(r,Ω, t) · f(r, E, t) (3.32)

σg(r, t) =

∫gσ(r, E, t)I(r,Ω, E, t) dE∫

gI(r,Ω, E, t) dE

=

∫gσ(r, E, t)f(r, E, t) dE∫

gf(r, E, t) dE

(3.33)

3.5.1. Promedios de Planck y Rosseland

Existen dos casos particulares en los que se puede justificar el uso de ciertos promediados para los coe-ficientes de absorcion utilizados en el metodo de multigrupos. Dichos casos son, no obstante, de suficienteimportancia y generalidad como para ser tratados especıficamente. Mediante consideraciones fısicas ybajo ciertas premisas restrictivas, el perfil energetico de la intensidad de radiacion en un sistema tomauna forma predecible aproximadamente en funcion de la temperatura del medio material circundante. Lospromedios resultantes de esos dos casos son los llamados de Rosseland y Planck, que fueron ya presentadosen la expresion 2.27 del capıtulo anterior.

σPg =

∫g σ · ∂B(T, E)

∂TdE∫

g

∂B(T, E)∂T

dE(3.34)

1σRg

=

∫g

1σ · B(T, E) dE∫g B(T, E) dE

(3.35)

El primer caso a tratar sucede en medios densos, altamente difusivos. En ese caso, la intensidadde radiacion emitida en un punto del espacio es absorbida en su entorno. Bajo esas circunstancias, unpunto cualquiera solo recibe radiacion de su entorno mas proximo. Suponiendo una tasa de emision bajocondiciones de LTE, se tiene que:

I(r,Ω, E, t) = B(T, E) − 1σ

∂B(T, E)∂T

Ω · ∇T (r, t) (3.36)

Bajo esas condiciones, se cumpla la siguiente relacion con el promedio de la diferencia entre flujo planc-kiano e intensidad: ∫

g

σ · (B − I) dE = σRg ·∫

g

(B − I) dE (3.37)

En este caso, la ecuacion de transporte integrada sobre uno de los grupos de energıa se presentarıacon la siguiente expresion. Se ha cancelado el termino de dispersion por simplicidad.

1c

∂Ig

∂t+ Ω · ∇Ig = σRg · [Bg(T ) − Ig] (3.38)


Por el contrario, para el calculo de la fuente de dispersion, el coeficiente se promedia con el valor dela intensidad de radiacion. En ese caso puede suponerse que esta es parecida a la funcion planckiano, conlo que el promedio a utilizar sera el definido como valor medio de Planck.

En un caso totalmente contrario al anterior, teniendo un medio opticamente delgado, y con una inten-sidad dominada por la emision, se tiene una intensidad de radiacion de valor inferior al del Planckiano. Sepuede realizar en determinados casos la aproximacion B − I ≈ B, con lo que el promediado representadoen la expresion 3.37, correspondiendo al promedio de Planck.∫

g

σ · (B − I) dE = σPg · [Bg − Ig] (3.39)

Una pregunta que puede surgir logicamente durante la lectura de la definicion de dichos promediados,es si realmente existe una diferencia apreciable entre ellos como para tener estas consideraciones. Se haexplicado en esta seccion como en algunas ocasiones es mas correcto utilizar alguno de los promediosestandar, de Rosseland o Planck. Algo que es intuitivamente claro, es que cuanto mayor sea el numerode grupos utilizados en el esquema de multigrupos, mas parecidos seran los promedios que se calculensobre ellos. En la figura se representa la variacion de los promedios de Rosseland y Planck en un sologrupo para el hierro. Dicho resultado se ha obtenido con el codigo de calculo de opacidades alex [108]modificado como parte del trabajo de tesis.

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

1e+08

1e+10

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09

Opa

cida

d (m

2/kg

)

Temperatura (K)

RosselandPlanck

Figura 3.3: Comparacion de los promedios de Rosseland y Planck para el coeficiente masico de absorciondel hierro. Condiciones LTE, un solo grupo de energıa, ρ = 4616 kg/m3

Se observa como existen rangos donde ambos valores son similares, mientras que en otros rangos puedehaber diferencias de hasta cinco ordenes de magnitud. Estas variaciones son debidas a que la opacidadde un material es una magnitud muy sensible a la energıa de la radiacion incidente. Esto hace que undiferente pesado de las diferentes energıas pueda producir resultados muy apreciablemente diferentes. Enla figura 3.4 se representa la dependencia energetica del coeficiente masico de absorcion del hierro parauno de los puntos de la grafica anterior.

3.5.2. Fuentes de datos atomicos

La obtencion de datos precisos de magnitudes atomicas es necesaria para la resolucion numerica dela ecuacion de transporte. Generalmente el valor de los coeficientes de absorcion de la materia dependefuertemente tanto de la energıa del foton incidente, como del estado electronico del atomo de material,no existiendo expresiones matematicas simples que los reproduzcan. Asimismo la emision de radiacion


0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

1e+07

1e+08

1e+09

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Energia (keV)

Coeficiente masico de absorcion (cm2/g)

Figura 3.4: Coeficiente masico de absorcion del hierro en condiciones LTE. ρ = 4616 kg/m3, T = 10 eV

muestra una fuerte dependencia con la energıa. Es por ello que generalmente se utilizan metodos deinterpolacion de datos obtenidos con precision. Dichos puntos pueden haber sido obtenidos bien mediantemedidas experimentales [110] o mediante calculos precisos utilizando codigos especializados, como eljimena [83] del Instituto de Fusion Nuclear.

Adicionalmente a la obtencion de datos atomicos, y debido a lo costoso de su calculo, se han estudiadometodos de interpolacion de datos apropiados, tomando como entrada la densidad y temperatura delmaterial. En este campo se ha llegado a un compromiso entre la precision y el tiempo de calculo adoptandoexpresiones aproximadas del tipo:

σ(ρ, T ) = C · ρcρ · T cT (3.40)

lo que es equivalente a aproximar la funcion log10 σ por un plano en las variables independientes log10 ρ

y log10 T . En la referencia [84] se pueden encontrar los valores de los coeficientes C, cρ, cT y los rangos devalidez de la expresion para diferentes materiales de utilidad en la investigacion de ICF. Dichos valoresse hallan para los promedios de Planck y Rosseland sobre opacidades en condiciones de LTE. El hecho desuponer dichas condiciones presupone que las concentraciones de atomos en diferentes estados atomicosse rigen por las leyes de la fısica estadıstica encontrandose en equilibrio la materia con la radiacion.

Sin embargo, puede darse el caso donde la interaccion de la materia con la radiacion presente influyaen la distribucion electronica de tal modo que llegue a producir variaciones en la capacidad de interaccioncon la materia. En esos casos, pueden realizarse aproximaciones en los calculos, como la suposicion deuna intensidad de radiacion de equilibrio a una temperatura diferente a la de equilibrio con la materia,dando lugar a una distribucion electronica diferente. Generalmente, se consideran los diferentes posiblesestados de ionizacion del atomo en cuestion, y la probabilidad de que se produzcan transiciones entreellos ası como internas, dando lugar a emision en determinadas frecuencias determinadas por el salto deenergıa de los electrones. Los calculos de esos casos son extremadamente pesados en el caso de elementosde alto numero atomico, donde el conjunto de posibles estados electronicos tiene multitud de elementos.Gracias al aumento de potencia computacional, se han llegado a proponer modelos para el oro (Z = 79),en el que se han considerado mas de 100000 configuraciones electronicas diferentes [37]. La estructura decapas electronicas en los atomos provoca una distribucion discreta de transiciones electronicas, lo que serefleja en la opacidad en forma de discontinuidades en su distribucion energetica (fig 3.4).

De cara a la implementacion de datos de opacidades en situacion de LTE, o en otro caso, hay querealizar leves modificaciones. Los esquemas de obtencion de datos son similares. Unicamente es necesarioreemplazar la fuente de datos, mientras que la interpolacion se mantiene en ambos casos.


3.6. Tratamiento angular en la ecuacion de transporte

Como se ha explicado ya en anteriores secciones, la ecuacion de transporte (en su version mas generica)incluye variables independientes espaciales, temporal, de energıa y direccion de propagacion. La princi-pal particularidad que la hace singular frente a otro tipo de ecuaciones es la existencia de la variablebidimensional Ω que representa la direccion de propagacion de las partıculas estudiadas. Generalmente,como se ha tratado en el capıtulo 2, dicha direccion de propagacion viene referida respecto al sistema decoordenadas local de cada punto espacial. Dicho sistema de coordenadas se define mediante translacionunicamente en el caso de las coordenadas cartesianas, incluyendo rotaciones en cualquier otro sistema decoordenadas que conserve las longitudes (obviando por tanto las homotecias). Es esta particularidad laque hace que la ecuacion de transporte presente su forma mas simple en este sistema de coordenadas.Para el estudio del tratamiento angular en esta seccion, se considerara la ecuacion de transporte sindependencia temporal, integrada en la variable energetica.

Ω · ∇I + σ I =14π

∫σs I dΩ + S (3.41)

De cara a la discretizacion de la variable angular, se realiza la proyeccion de la anterior ecuacionsobre un conjunto completo de funciones ortogonales en el angulo. Sea F (Ω; α) una familia de funcionesortogonales definidas sobre los angulos solidos de la esfera, caracterizada por el parametro α (que puedeser uni- o multidimensional). La ortogonalidad de las funciones se define por:

∫4π

F (Ω; α1) F (Ω; α2) dΩ =

1 si α1 = α2

0 si α1 = α2

(3.42)

La completidud de dicho conjunto significa que para toda funcion I(Ω) existe un conjunto de valoresIα tal que:

I(Ω) =∑α

Iα F (Ω; α) ∀Ω (3.43)

suponiendo en ese caso que el conjunto de parametros α es numerable. Existen expresiones analogaspara conjuntos no numerables de parametros α. En esos casos, la condicion de ortogonalidad (analogaa 3.42) viene dada por: ∫

4π

F (Ω; α1) F (Ω; α2) dΩ = δ(α1 − α2) (3.44)

donde δ(x) representa al funcional delta de Dirac. La de completitud tiene su equivalente en la expresion:

I(Ω) =∫

Iα F (Ω; α) dα ∀Ω (3.45)

Se puede demostrar facilmente, que bajo esas condiciones, en todos los casos los coeficientes Iα sepueden calcular mediante la transformacion F [I](α):

Iα = F [I](α) =∫

4π

I(Ω) F (Ω; α) dΩ (3.46)

Seguidamente se procede al paso clave de la discretizacion, que difiere segun las caracterısticas delsistema. En todos los casos se basa en aproximar la expresion que reconstruye la funcion I(Ω) a partirde las proyecciones sobre la base F (Ω; α).

Para el caso de un conjunto α numerable se aproxima la expresion 3.43 por:

I(Ω) =N∑

α=1

Iα F (Ω; α) (3.47)

3.6. Tratamiento angular en la ecuacion de transporte 55

mientras que en el caso de ser un conjunto no numerable, se puede aproximar la integral 3.45 por laexpresion discreta mas simple (suma de rectangulos):

I(Ω) =N∑

j=1

Iαj F (Ω; αj)∆αj (3.48)

donde el conjunto finito αi es un muestreo del conjunto original α, y ∆αi los pesos para la integra-cion aproximada. Una vez realizadas estas aproximaciones, se introducen en la ecuacion de transporte,resultando en una ecuacion aproximada. Dicha ecuacion se desarrolla entonces como un sumatorio defunciones F (Ω; α) resolviendo la ecuacion resultante de cada coeficiente del desarrollo. Sea una ecuacionrepresentada mediante el operador lineal L[I](r,Ω) = 0. La discretizacion viene dada al considerar laaproximacion:

L[I](r,Ω) = 0 → L[I ](r,Ω) =∑α

L[Iα F (Ω; α)](r,Ω) = 0 (3.49)

Una vez considerados todos los pasos genericos a dar de cara a una discretizacion de la variable angularen la ecuacion de transporte se presentan los dos casos particulares de mayor utilidad que se utilizan enlos codigos actuales.

Armonicos esfericos: F (Ω; l, m) = Y ml (Ω)

Ordenadas discretas: F (Ω;Ωα) = δ(Ω− Ωα)

donde la funcion Y ml (Ω) representa al armonico esferico de orden l,m, definido por:

Y ml (Ω) = (−1)m

√2l + 1

4π

(l − m)!(l + m)!

Pml (cos θ) eimφ : −l < m < l (3.50)

Pml (x) =

1l!2l

(1 − x2)m/2

(ddx

)l+m

(x2 − 1)l Funcion de Legendre (3.51)

En ambos casos, la base de funciones cumple las condiciones anteriormente expuestas para el desarrolloen serie. En el trabajo realizado en esta tesis doctoral se ha utilizado el metodo de ordenadas discretaspara la discretizacion de la ecuacion. Por ello, seguidamente se realizara una introduccion al metodo dearmonicos esfericos, dedicando posteriormente mayor esfuerzo a un estudio mas detallado del metodoutilizado en este trabajo.

3.6.1. Metodo de armonicos esfericos

Tal y como ya se ha introducido en parrafos anteriores, el metodo de armonicos esfericos (tambienllamado PN ) hace uso de un desarrollo en serie de la funcion solucion en armonicos esfericos. Las propie-dades de estas funciones puede encontrarse en multitud de libros [53] estando ıntimamente relacionadoscon los polinomios de Legendre. Fundamentalmente hay que senalar que se trata de un conjunto de fun-ciones ortonormales sobre los angulos solidos. Asimismo se trata de un conjunto completo, con lo quecualquier funcion admite un desarrollo infinito en armonicos esfericos.

En el caso de la ecuacion de transporte de radiacion, tal y como se ha presentado antes, la discretizacionangular se realiza mediante el truncamiento del desarrollo infinito correspondiente a la intensidad deradiacion. La precision del metodo vendra determinada por la consideracion de mas o menos terminos enla intensidad aproximada. En las siguientes expresiones se obviaran las dependencias de la intensidad deradiacion frente a las variables que no sean la angular, es decir, frente a (r, E, t).

I(Ω) =∑l,m

Iml Y m

l (Ω) → I(Ω) =l<L∑l,m

Iml Y m

l (Ω) (3.52)


Al introducir esta expresion en la ecuacion de transporte, se obtiene una nueva expresion donde lasincognitas son los coeficientes Im

l , que dependen de las variables no angulares de la intensidad original.Dada la linealidad de la ecuacion, los dos terminos que no son directamente desarrollables en armonicosesfericos son el de fugas y el correspondiente a las reacciones de dispersion.

Ω · ∇I(Ω) →∑

l<L,m

ΩY ml (Ω) · ∇Im

l (3.53)

∫σs(Ω ·Ω′)I(Ω′) dΩ′ →

∑l<L,m

∫σs(Ω · Ω′)Y m

l (Ω′)Iml dΩ′ (3.54)

Siguiendo razonamientos expuestos en [96] y [118] se llega a poder formular dichas expresiones comocombinacion de armonicos esfericos. Es precisamente la forma de estos terminos la que hace que aparez-can coeficientes Im

l multiplicando a armonicos esfericos de otros ordenes. Desarrollando las expresionesresultantes, la ecuacion inicial, expresada mediante el operador L[I] = 0, queda tambien desarrolladacomo una suma de armonicos esfericos.

L[I](Ω) →∑l,m

Y ml (Ω) Lm

l [Iji ] (3.55)

tomando tantas ecuaciones como grados de libertad Iml se hayan considerado en el desarrollo de la

funcion I(Ω). Las ecuaciones estan acopladas unas con otras, de modo que para su resolucion hay queaplicar metodos especıficos de sistemas de ecuaciones. Para poder resolver las ecuaciones que aparecen,se procede de igual modo con las condiciones iniciales y de contorno, aproximandolas por desarrollostruncados en armonicos esfericos. En el caso de aparecer operadores en la variable angular, las condicionesde contorno pueden acoplar tambien las ecuaciones.

Es de resaltar en el caso del metodo de armonicos esfericos que una de las funciones base, la Y 00 (Ω) es

independiente del angulo. Esto hace que represente perfectamente intensidades de radiacion isotropas, sinningun tipo de fluctuacion. Existe otra relacion entre el vector angulo solido y otros armonicos esfericos:

Ωx = − 12 [Y 1

1 (Ω) + Y −11 (Ω)] Ωy = − 1

2i [Y11 (Ω) − Y −1

1 (Ω)] Ωz = Y 01 (Ω) (3.56)

es decir, que una base de armonicos esfericos que contenga los valores Y 00 , Y −1

1 , Y 01 y Y 1

1 puede representarcon exactitud los perfiles de intensidad de radiacion del tipo:

I(Ω) = a + b ·Ω (3.57)

Concretamente, el modelo P1, que contiene exactamente los anteriores armonicos esfericos como basede desarrollo, responde precisamente al modelo de difusion de Eddington definido en la expresion 2.71.En el caso de la aproximacion de difusion unicamente se calcula el valor correspondiente a la intensidadde radiacion integrada en angulo, que en este caso corresponde con el coeficiente I0

0 del desarrollo enarmonicos esfericos.

Como resumen y conclusion se tiene que el metodo de los armonicos esfericos convierte la ecuacion detransporte en un conjunto de ecuaciones acopladas. En el lımite de orden N alto, se reproduce la solucionexacta de la ecuacion. Como principal desventaja se tiene que puede producir intensidades de radiacionnegativas de un modo difıcil de predecir. Este problema llevo a Gelbard [41] al desarrollo del metodo SPN

(Simplified PN ), que asegura la positividad de la solucion para cualquier direccion de propagacion de laradiacion. Sin embargo este metodo no asegura, para el lımite de alto N , la convergencia de su soluciona la de la ecuacion de transporte. En la practica se utiliza este metodo principalmente para valores bajosdel orden N , donde se conoce su comportamiento. Sin embargo, en niveles de aproximacion angular tanbajos, no se puede reproducir una dependencia angular fuerte, como se puede lograr con otros metodos,como el de ordenadas discretas, que se presenta a continuacion.


3.6.2. Metodo de ordenadas discretas

Tal y como se anticipo en el comienzo de esta seccion, existe otro metodo de discretizacion angularampliamente utilizado. Se trata del metodo de las ordenadas discretas, o SN . Este metodo fue inicialmenteformulado por Chandrasekar [21] y posteriormente desarrollado por Lathrop [61]. Segun se menciono, suformulacion equivale a un desarrollo de la funcion incognita en la base F(Ω;Ωα) = δ(Ω − Ωα). Laformulacion que se plantea en esta seccion no es la que normalmente se encuentra en las publicacionesespecializadas del tema, si bien se ha preferido desarrollar a partir de estas premisas, por presentarlo de unmodo paralelo al de armonicos esfericos, con el que se encuentra estrechamente relacionado. Los resultadosde esta y la interpretacion comun son los mismos, existiendo no obstante diferencias de concepto que seiran aclarando conforme vayan apareciendo.

Iα =∫

I(Ω) δ(Ω− Ωα) dΩ (3.58)

I(Ω) =∑m

Iαm δ(Ω − Ωm) wm (3.59)

dicha aproximacion incluye la expresion δ(x), que no es una funcion sino un funcional. A riesgo de perderel estricto rigor matematico, el concepto fısico que se transmite con esta aproximacion es que la intensidadde radiacion existe unicamente con ciertas direcciones privilegiadas de propagacion. En este modelo, elconjunto Ωm representa las direcciones privilegiadas de intensidad, mientras que wm = ∆Ωm, sonlos pesos correspondientes a cada direccion para una integracion numerica sobre los angulos solidos.Inmediatamente se deduce que dichos pesos deben cumplir la relacion

∑m wm = 4π. Observando las

anteriores relaciones, se puede comprobar que la aproximacion angular realizada tiene una expresionsimple a partir de la intensidad de radiacion original:

I(Ω) =∑m

wm I(Ωm) δ(Ω − Ωm) (3.60)

quedando expresada como suma de valores puntuales de la intensidad exacta, multiplicados por los pesosde integracion y las funciones base.

Unas vez realizadas estas definiciones preliminares, se esta en condiciones de realizar el tratamientode la ecuacion de transporte completa. Tal y como se ha mostrado, la transformacion corresponde a unacombinacion lineal de la misma para valores discretos. El unico punto especial a tratar corresponde conel termino de dispersion, especialmente en el caso de que esta sea anisotropa.∫

σs(Ω · Ω′) I(Ω′) dΩ′ →∑m,n

σs(Ωm ·Ωn) In wnwm δ(Ω − Ωm) (3.61)

donde por una parte se ha sustituido la intensidad dentro de la integral por su aproximacion segun elmodelo, y por otra parte se ha proyectado la integral completa segun ese mismo modelo. De este modo,un valor de coeficiente de dispersion anisotropo se representa por un valores puntuales. En el caso dedispersion isotropa (σs(Ω ·Ω′) = σs), se consigue una expresion mas compacta de la anterior suma:∫

σs I(Ω′) dΩ′ → σs ·∑m

wmIm ·∑m

wmδ(Ω− Ωm) (3.62)

La aproximacion de la ecuacion de transporte queda entonces del siguiente modo:

∑m

(1c

∂Im

∂t+ Ωm · ∇Im + κ Im −

∑n

σs,mn In wn − Sm

)δ(Ω− Ωm) = 0 (3.63)

donde a modo de simplificacion se introduce el termino σs,mn = σs(Ωm · Ωn). Teniendo en cuentala independencia de las funciones base escogidas (ninguna se puede expresar como combinacion lineal


del resto), la anterior ecuacion se transforma en un conjunto de ecuaciones en las que la direccion depropagacion no aparece como variable independiente, sino como parametro:

1c

∂Im

∂t+ Ωm · ∇Im + κ Im =

∑n

σs,mn In wn + Sm : 0 < m < mmax (3.64)

Asimismo, para dar una completa definicion del problema representado por la ecuacion de transporte, esnecesario realizar las mismas operaciones de proyeccion para las condiciones de contorno. Al igual que enel caso de la propia ecuacion, las condiciones se transforman tomando direcciones Ω concretas. El mayorproblema puede surgir en el caso de que existan condiciones reflectivas, o de albedo:

I(Ω1) = α · I(Ω0) + Ib(Ω1);

Ω0 · n > 0, Ω1 · n < 0

Ω0 × n = Ω1 × n(3.65)

donde las relaciones indican que Ω1 es la direccion de propagacion de un rayo incidente sobre una superficiecuya normal toma el valor n. En el caso de tomar un conjunto discreto de direcciones, puede ocurrir quela reflejada Ω1 de una Ω0 no pertenezca al conjunto. Esto obliga a tomar ciertas consideraciones sobreel conjunto considerado de direcciones de propagacion.

La seleccion del conjunto de direcciones de propagacion para utilizar en el esquema de ordenadasdiscretas depende de muchos factores. No obstante, se deben cumplir unos requerimientos mınimos, que seestablecen como la representacion correcta del valor integrado en angulo de distribuciones simples. Comoejemplo mas simple se encuentra la distribucion isotropa de radiacion I(Ω) = I0, donde los coeficientesIm del esquema de ordenadas discretas toman todos el valor I0. En ese caso se cumple lo siguiente:∫

4π

I(Ω) dΩ = 4π · I0 (3.66)∫4π

I(Ω) dΩ =∑m

wmIm = I0 ·∑m

wm (3.67)

Por tanto una condicion inicial a exigir al esquema de direcciones es que la suma de los pesos wm tome elvalor 4π. Otra condicion que suele ser exigida es la simetrıa del conjunto respecto a los planos coordenados.En este caso, se definirıa el conjunto de direcciones en un octante de la esfera, construyendose el restomediante simetrıas. Esta condicion es util en problemas que presenten simetrıas intrınsecas, o donde hayaque aplicar condiciones de contorno reflectivas en planos paralelos a los coordenados.

La seleccion precisa del conjunto de direcciones se realiza de acuerdo a las particularidades del pro-blema, si bien existen esquemas estandar caracterizados por integrar exactamente el mayor numero dearmonicos esfericos posibles. En las referencias [66, 36] se encuentran estudios sobre la influencia de ladistribucion de direcciones, en la precision del resultado obtenido. En secciones posteriores (3.6.5), cuandose trate de la problematica acoplada espacial-angularmente en el metodo de ordenadas discretas (efectorayo), se tratara de nuevo la influencia de la seleccion del conjunto de direcciones en la calidad de lasolucion.

3.6.3. Ordenadas discretas y diferencias finitas

En esta seccion se va a tratar en mas profundidad el esquema numerico en el que esta basado el codigode simulacion desarrollado como parte del trabajo de esta tesis. En anteriores secciones se han introducidopor separado los fundamentos basicos de ambos metodos, que se centran en el tratamiento de las variablesangulares y espaciales, respectivamente. Tal y como se ha desarrollado en la seccion dedicada al metodode las ordenadas discretas, la ecuacion de transporte puede discretizarse en la variable angular, dando


lugar a un conjunto de ecuaciones, en las que la dependencia angular aparece en forma de parametrodiscreto expresion 3.64.

Como ya se ha comentado anteriormente, la ecuacion de transporte incluye variables espaciales, tem-poral, energetica y de direccion de propagacion. El esquema de resolucion numerica trata los diferentestipos de variables por separado. Como se presentara mas adelante, se busca la resolucion espacial paravalores fijos de energıa y direccion, transmitiendo luego informacion entre diferentes valores de estas

Teniendo en cuenta que en la discretizacion espacial a la que se va a proceder no influyen los operadorestemporales o angulares, se realizaran dos simplificaciones de notacion:

Consideracion de la ecuacion estacionaria. Tal y como se ha tratado ya en la seccion de integraciontemporal, la ecuacion de transporte puede convertirse en una estacionaria al realizar la apropiadaintegracion temporal.

Omision del termino de dispersion. Se incluira dentro del termino de fuentes. El tratamiento de estetermino se encuentra ıntimamente relacionado con la convergencia energetica de la ecuacion. Dichocomportamiento sera estudiado mas adelante en una seccion especıfica para ello.

Tratamiento de la ecuacion en un solo grupo de energıa. Se justifica teniendo en cuenta que elacoplamiento entre grupos de energıa, tal y como esta planteada la ecuacion, viene dado por eltermino de reacciones de dispersion.

Una vez realizadas las simplificaciones sobre la ecuacion de transporte discretizada en el angulo, se llegaa la expresion:

∇ · Im + σIm = Sm (3.68)

donde se ha partido de la ecuacion expresada en coordenadas cartesianas. El siguiente desarrollo sellevara a cabo para el caso bidimensional (∂zI = 0), que ha sido el tratado en el transcurso de esta tesis.Seguidamente se aplica el esquema de discretizacion ya definido para las ordenadas discretas (expresion3.10 de la pagina 42). Sean las componentes de la direccion de propagacion: Ω = (µ, η, ξ). En la siguientenotacion se omitira el ındice angular m entendiendose, que se aplica a todas las apariciones de la intensidadde radiacion.

µ∂I

∂x+ η

∂I

∂y+ σI = S (3.69)

µ

(Ii+ 1

2 ,j − Ii− 12 ,j

∆xi

)+ η

(Ii,j+ 1

2− Ii,j− 1

2

∆yj

)+ σi,jIi,j = Si,j (3.70)

Representando un balance de radiacion dentro de una celda de la malla (considerando que Ii,j es tambienel promedio de intensidad en la celda). Se observa como en esa expresion aparecen no solo la intensidad deradiacion en el centro de la celda, sino tambien en el centro de los lados de la misma. Esa ampliacion delnumero de variables (2 por celda) requiere tambien de la inclusion de nuevas condiciones que relacionen lasintensidades de radiacion en los lados con la central. Dichas condiciones se basarıan en presuponer alguntipo de distribucion interna del campo de radiacion en la celda. Si bien la consideracion de distribucionesinternas corresponde al metodo de los elementos finitos, en el metodo de las diferencias finitas se consideranunas relaciones simples, denominadas metodo de escalon y metodo de diferencias de diamante (DD).Dichas relaciones son las siguientes.

Ii,j = Ii+ 12 ,j = Ii,j+ 1

2Metodo escalon (3.71)

Ii,j =Ii+ 1

2 ,j + Ii− 12 ,j

2=

Ii,j+ 12

+ Ii,j− 12

2Diferencias en diamante (3.72)


(i, j)(i − 1

2 , j) (i + 12 , j)

(i, j + 12 )

(i, j − 12 )

Figura 3.5: Estructura de una celda bidimensional

Ii,jIi,j

Ii− 12 ,jIi− 1

2 ,j Ii+ 12 ,jIi+ 1

2 ,j

II

xx

Figura 3.6: Esquemas en escalon y diferencias de diamante

El metodo DD admite un grado de libertad extra con la ponderacion de los valores laterales para calcularel central. En ese caso se trata de las diferencias de diamante ponderadas, siendo las expresiones anteriores(metodo escalon y DD) casos particulares de ella:

Ii,j = αi,jIi+ 12 ,j + (1 − αi,j)Ii− 1

2 ,j = βi,jIi,j+ 12

+ (1 − βi,j)Ii,j− 12

(3.73)

Existen no obstante metodos mas sofisticados de realizar la integracion del balance de radiacion enel interior de una celda. Algunos de dichos metodos se escapan del planteamiento de las diferenciasfinitas, si bien se plantean como alternativas faciles de implementar. Sobre ellos se tratara mas adelanteespecıficamente como metodos avanzados de integracion espacial y angular.

Volviendo a los esquemas basicos de diferencias finitas (step y DD), se puede despejar la intensidadcentrada en funcion de la entrante en la celda.

Ii,j =

µIi− 1

2 ,j

∆xi+

ηIi,j− 1

2∆yj

+ Si,j

µ∆xi

+ η∆yj

+ σa,i,jEscalon (3.74)

Ii,j =

2µIi− 1

2 ,j

∆xi+

2ηIi,j− 1

2∆yj

+ Si,j

2µ∆xi

+ 2η∆yj

+ σa,i,j

Diamante (3.75)

Teniendose que aplicar seguidamente las relaciones 3.71 o 3.72 para determinar el valor del lado saliente dela radiacion. Dicho proceso se repite en toda la malla considerando que los lados de entrada de radiacionson, ora parte del contorno, ora el lado saliente de alguna otra celda. Analizando el modo en que sehan obtenido los valores para cada uno de estos metodos, y visualmente segun la figura 3.6, se tieneque el metodo escalon es de primer orden de aproximacion, mientras que el DD es de segundo. Esto, a


igualdad de densidad de calculo a realizar, inclinarıa al segundo como mas apropiado para su utilizacion.Sin embargo el metodo DD presenta como gran inconveniente, que en determinadas circunstancias puedeproducir como resultado valores negativos de flujo en caras salientes. Considerando como ejemplo la caraderecha.

Ii+ 12 ,j =

2µIi− 1

2 ,j

∆xi+

2η(2Ii,j− 1

2−I

i− 12 ,j

)

∆yj+ Si,j − σa,i,jIi− 1

2 ,j

2µ∆xi

+ 2η∆yj

+ σa,i,j

(3.76)

donde se observa que para valores de para valores suficientemente altos del coeficiente de absorcion (κ) sepueden llegar a obtener valores negativos del flujo saliente de la celda. Eso es en todo caso un resultadocontrario a la fısica del problema. Con el fin de evitar este indeseable efecto, se realiza una correccion sobrelos valores obtenidos, de modo que en caso de aparecer valores negativos en el contorno saliente de unacelda, se sustituye la condicion de diamante por la de anular el flujo de salida (Ii+ 1

2 ,j = 0, por ejemplo).Mediante esta correccion (zero fixup) se consigue evitar la aparicion de flujos negativos, si bien tal y comose ha estudiado en [89], se originan oscilaciones en el resultado. En el apendice A se ha desarrollado unbreve estudio comparativo entre los metodos escalon y diamante, ası como de los efectos de la aplicaciondel zero fixup.

3.6.4. Metodos alternativos de discretizacion

El metodo de discretizacion aquı presentado representa la mayor simplicidad en el proceso de discre-tizacion espacial. Con el fin de conseguir un mayor orden de aproximacion, se introducen en el esquemasuposiciones sobre el perfil espacial de tanto la intensidad de radiacion, como de las fuentes volumetricaspresentes en el sistema. Los principales perfiles espaciales que se encuentran en la literatura especıficason los siguientes:

Step characteristic (SC) introducido por Lathrop [62].

Linear characteristic (LC) presentado en [6] por Alcouffe.

Linear nodal (LN) desarrollado por Walters y O’Dell [132]

Step adaptive (SA), linear adaptive (LA) y exponential characteristic (EC), todos ellos presentadospor Mathews en [77, 79].

El metodo (LC) supone dentro de cada celda una distribucion constante de la fuente volumetricade radiacion. Los metodos LC y LN toman una variacion lineal. Los metodos SA y LA se basan en lasubdivision de la celda en dos perfiles constantes o lineales. El punto de division se calcula de modo quese conserven el mayor numero de momentos espaciales de la fuente. Finalmente, se presenta el metodo deperfil exponencial, en el que las funciones participantes en la ecuacion tienen en el interior de una celdauna expresion exponencial en el espacio.

La utilizacion de este tipo de perfiles otorga un mayor grado de aproximacion al metodo, dependiendoello fuertemente del tipo de problema tratado. Un factor especialmente determinante es la opacidad de lasceldas del sistema (τ = σ∆x/µ). Como resumen de los estudios realizados [79], se puede observar comoen el caso de celdas transparentes (τ 1) el metodo de diferencias de diamante se muestra como muybueno. A esto se anade su mayor simplicidad respecto de los demas. Sin embargo, se aprecia como en elcaso opuesto puede su precision puede verse mermada. Esto se debe a que en medios de gran opacidad,la variacion espacial de tanto la intensidad de radiacion como de sus fuentes, puede distar mucho de unperfil lineal.


-1

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Posicion

Esquemas de discretizacion

LCLASAEC

Figura 3.7: Comparacion de aproximaciones de la fuente [79]

El problema de medios de gran opacidad ha sido tratado ya explıcitamente en publicaciones [18],proponiendose metodos especıficos de discretizacion. En esa situacion se produce una aproximacion alregimen difusivo, ya que el recorrido medio de los fotones es inferior a la longitud caracterıstica devariacion de propiedades del sistema. En ese regimen los errores pueden ser grandes para los metodossimples de discretizacion en transporte. Sin embargo, en los problemas tıpicos donde se aplica el metodode transporte (en lugar de difusion) no existen amplias regiones significativas en las que se de el regimendifusivo. Las limitaciones del metodo de diferencias de diamante en este regimen es sin embargo algo atener muy en cuenta a la hora de analizar los resultados de los codigos de simulacion.

3.6.5. Efecto rayo

Tal y como se ha descrito en las secciones anteriores acerca del metodo de las ordenadas discretas,en dicho metodo se define un conjunto de direcciones sobre las que se resuelve la ecuacion de transporte.La existencia de direcciones de propagacion privilegiadas da lugar a un efecto numerico con resultadosindeseables, llamado efecto rayo. La denominacion de este fenomeno viene dada por la tendencia dela solucion de la ecuacion de transporte de formar rayos a lo largo de los que se propaga con mayorpreferencia que el resto de direcciones. En el caso de problemas con simetrıa de revolucion, como el casodel campo generado por una fuente puntual, los resultados obtenidos numericamente pueden desviarsefuertemente del valor real (figura 3.8).

La existencia de este efecto en el esquema de las ordenadas discretas es conocido desde hace decadas, yha sido estudiado y tratado en numerosas publicaciones [64, 71]. Sin embargo, a pesar de los tratamientosque se han propuesto para solucionar o mitigar estos efectos, sigue siendo un problema a tratar, al nohaberse encontrado soluciones aplicables con un coste computacional razonable. Recientemente se puedenencontrar estudios de los metodos numericos actuales [78, 17], en los que se realizan comparaciones en loque respecta a la formacion de rayos. Como parte del trabajo de esta tesis doctoral [89] se han presentadoalternativas a los metodos actuales de eliminacion de rayos. Parte de estos metodos numericos se basa enel esquema de las caracterısticas.

El principal problema que causa el efecto rayo es la particularidad de la base de funciones sobre laque se desarrolla la intensidad de radiacion en el caso de las ordenadas discretas (expresion 3.60). Eltruncamiento del desarrollo infinito resulta en una intensidad de radiacion que solo tiene determinadasdirecciones de propagacion. El resto de direcciones de propagacion simplemente se anulan al realizar la

3.7. Acoplamiento de materia y radiacion 63

Figura 3.8: Efecto rayo en una fuente puntual (abajo a la izquierda)

aproximacion de ordenadas discretas. Esto tiene como consecuencia que en las zonas en la que dichasdirecciones tuvieran relevancia, el resultado se ve fuertemente afectado. Es de puntualizar que en el casode las direcciones pertenecientes a la base de ordenadas discretas, la ecuacion es resuelta correctamente,salvo por el termino de dispersion (que es calculado unicamente a partir del conjunto base de direcciones).

Con el fin de mejorar el tratamiento de la variable angular, se han propuesto mejoras en la discreti-zacion de la ecuacion. Predominantemente destacan los metodos de caracterısticas, en los que de modosemejante al metodo integral, se realiza un seguimiento de los rayos a lo largo de su trayectoria. Poste-riormente se realiza un balance para calcular la radiacion saliente de las celdas en funcion de la entrante.El comportamiento angular de diferentes metodos numericos de los mas utilizados ha sido estudiado yaen publicaciones [78].

Existen otros metodos que intentan asimilar el metodo de las ordenadas discretas al de armonicosesfericos, en el que no se da este efecto [63, 87]. Ciertamente, mediante la inclusion de un termino fuenteadecuado, se ha demostrado que ambos grupos de ecuaciones (ordenadas discretas y armonicos esfericos)son totalmente equivalentes [54].

El problema del efecto rayo ha sido conocido desde hace decadas, y sin embargo no ha encontradouna solucion totalmente satisfactoria. Los metodos que presentan mejor comportamiento angular, tienenuna mayor complicacion y coste de calculo. Es por eso que este tema se presenta todavıa como un campoabierto de investigacion y desarrollo de nuevos algoritmos.

3.7. Acoplamiento de materia y radiacion

Hasta ahora, el estudio de la ecuacion de transporte se ha realizado de un modo independiente,presuponiendo que el termino fuente es conocido o calculable de algun modo. En la simulaciones deprocesos fluidodinamicos a alta temperatura se produce una interaccion fuerte entre las propiedades dela materia y las del campo de radiacion, precisamente a traves de ese termino fuente. En ausencia dereacciones de dispersion, las ecuaciones a tratar son las siguientes.

1c

∂I

∂t+ Ω · ∇I =

∫ ∫σ · B(T ) dE (3.77)

ρcv∂T

∂t=∫ ∫

σ · (I − B(T )) dΩ dE (3.78)


La funcion B(T ) es el Planckiano en el caso de darse condiciones de LTE (ver seccion 2.4.3). Enese caso, su valor integrado en energıa presenta una dependencia con la temperatura como una cuartapotencia. Incluso en el caso de que no se den las condiciones de equilibrio, es logico pensar que se puedandar dependencias tan no lineales como esa.

El metodo mas sencillo de abordar este problema serıa el explıcito, es decir, resolver la ecuacionde transporte con el valor de temperatura del medio al comienzo del paso de tiempo. Este metodo nointroduce ninguna dificultad respecto a la resolucion desacoplada de la material, pero sin embargo puedeproducir unos resultados muy erroneos. El valor de la emisividad entre el estado inicial y final de un pasode tiempo puede variar en varios ordenes de magnitud. No considerar esa variacion en el calculo introduceunos errores inaceptables.

Un metodo razonablemente simple para resolver el avance temporal de este sistema de ecuaciones sebasa en realizar un avance temporal de la ecuacion mediante el metodo implıcito (ver seccion 3.2.1) eintroducir en el termino fuente la variacion esperada en la funcion B(T ) debido a cambios en la tem-peratura. Realizando una linealizacion de la funcion fuente, y utilizando superındices para valores endiferentes pasos discretos de tiempo, se tiene que:

B(T 1) ≈ B(T 0) +∂B(T 0)

∂T· (T 1 − T 0

)(3.79)

operando esta expresion, y siguiendo la notacion dada en la referencia [5], se llega a una expresion dela forma:

Ω · ∇I1 + (σ +1

c∆t)I1 =

χ

1 + αc∆t

∫σI1

0 dE + Q (3.80)

I10 =∫

I1 dΩ (3.81)

donde las funciones χ, α y Q dependen de la energıa de los fotones, y lo importante es que se calculancon valores retrasados en el tiempo. La ecuacion que se obtiene es semejante al caso de existir fisiones enel transporte neutronico, con lo que las afirmaciones que se hagan para el caso de radiacion se puedenextender a la neutronica.

El esquema mas sencillo de resolucion de una ecuacion de transporte en la que el termino fuentedepende de la incognita es la llamada iteracion sobre la fuente (source iteration). Se parte de un esquemacomo:

L(I1) = S(I1) + Q(I0) (3.82)

donde el operador L representa en este caso los terminos de fugas y absorciones de transporte, el operadorS es el termino fuente homogeneo y q el termino no homogeneo. Comenzando por una estimacion inicialI10 de la funcion incognita, se realiza el siguiente proceso iterativo:

L(I1k+1) = S(I1

k ) + Q(I0) (3.83)

hasta que se cumplan los criterios de convergencia sobre la sucesion I1k.

3.8. Esquemas de aceleracion de la convergencia

El metodo de iteracion en la fuente converge rapidamente en los casos en los que las fugas o absorcionessean predominantes en el sistema. Mediante un analisis de la convergencia del anterior esquema deiteracion [5], se observa que en determinadas circunstancias en las que el operador S cobra importancia,

3.8. Esquemas de aceleracion de la convergencia 65

de gran paso de tiempo y soluciones suaves, puede tenerse una velocidad de convergencia arbitrariamentebaja. Es esta caracterıstica del metodo de iteracion en la fuente lo que obliga a introducir modificacionesen los algoritmos que produzcan una mayor tasa de convergencia. Estas modificaciones de gran aplicacionen algoritmos como este son los llamados esquemas de aceleracion de la convergencia.

Existen metodos de aceleracion de la convergencia de esquemas iterativos para numerosos tipos deecuaciones. Principalmente se trata de metodos que implican la resolucion de otras ecuaciones mas simplesque la de transporte, a cada paso de iteracion del esquema principal. No cabe duda que la inclusion de losmetodos de aceleracion complica el proceso de iteracion. Sin embargo, para los casos en que el esquema deiteracion en la fuente presenta una baja tasa de convergencia, la utilizacion de los metodos de aceleracionhace posible alcanzar rapidamente la convergencia que de otro modo necesitarıa centenares o miles deiteraciones. Es por esto que su inclusion en los codigo se presenta como necesaria para poder afrontartodos los rangos de posibles sistemas fısicos. Se presentan en una lista los metodos mas utilizados paramejorar la convergencia, ası como de sus principales referencias:

Metodo matricial de Chebyshev [44]

Metodo de rebalance en malla gruesa [71]

Metodos KP desarrollados por Kopp [59] y Lebedev [67].

Difusion sintetica, desarrollada por Alcouffe [5] como mejora de los metodos KP anteriormentedesarrollados.

Metodos de Cuasidifusion iniciados por Gol’din [42].

Descripciones mas profundas de estos metodos pueden encontrarse en numerosas publicaciones, ası co-mo revisiones del estado del arte [1].

En el ambito de esta tesis, se decidio por la utilizacion del metodo de aceleracion sintetica por difusion(DSA). Las razones que llevaron a esa decision se exponen en el capıtulo referente a desarrollos propiosrealizados durante esta tesis. Es por esta razon que se realiza un mayor detalle unicamente sobre estemetodo, con el fin de proporcionar una mayor comprension de las caracterısticas propias que posee decara a una implementacion en un codigo completo de simulacion, y la problematica especıfica de su usobajo AMR.

3.8.1. Metodo de aceleracion sintetica por difusion (DSA).

El metodo DSA surge a partir de una mejora de los metodos sinteticos KP inicialmente desarrolladospor Kopp y Lebedev. Con el fin de tener una comprension, es pues necesario remontarse al desarrollo dedichos metodos.

Partiendo de una ecuacion de transporte y su correspondiente esquema de iteracion en la fuente:

L(I) = S(I) + q (3.84)

L(Ik+1) = S(Ik) + q (3.85)

se divide el paso de iteracion en la fuente, mediante la inclusion de correcciones que produzcan unaconvergencia en las longitudes de onda espaciales que presentan peor tasa en el esquema simple (3.84).El esquema de resolucion de la ecuacion de transporte, ası como de las correcciones, es el mostrado en lafigura 3.9.


Ik

Ik

Ik+1

Ik+1Ik+1/2

Transporte

Transporte Correccion

Iteracion en la fuente

Difusion sintetica

Figura 3.9: Esquema sintetico de correccion al metodo de iteracion en la fuente

Siguiendo el esquema de esta figura, en el proceso de resolucion de la ecuacion de transporte, se susti-tuye Ik+1 por Ik+1/2. Combinando y modificando convenientemente las expresiones 3.84 y la modificada3.85, se llega a:

I = Ik+1/2 + (L − S)−1 S (Ik+1/2 − Ik) (3.86)

En el caso de poder invertir el operador (L − S), se llegarıa a la solucion exacta en un solo paso. Sinembargo dada la dificultad existente se realiza una aproximacion de dicho operador por otro de menorgrado de dificultad para su inversion.

M ≈ L− S; Ik+1 = Ik+1/2 + M−1 S (Ik+1/2 − Ik) (3.87)

Mediante la eleccion del operador aproximado M, se logran diferentes esquemas de aceleracion sinteti-ca. La eleccion se realiza sobre operadores de menor orden, de mayor facilidad de inversion. Frente aelecciones razonables del operador M, se tiene que en caso de llegar a convergencia (Ik+1 − Ik → 0), sellega a una solucion de la ecuacion de transporte (Ik+1/2 − Ik → 0). La unica condicion para ello es queel operador M + S ≈ L sea invertible, lo cual es de esperar si el grado de aproximacion es bueno. Laexposicion aquı realizada respecto a una resolucion dividida en dos etapas es solo el caso particular massimple, pudiendo existir esquemas mas complejos de mayor numero de etapas.

Como caso particular de los metodos sinteticos surgieron los metodos KP por parte de Kopp y Lebedev[59, 67]. La denominacion de los metodos mediante el acronimo “K” y “P” proviene de la resolucion deun operador K de transporte y uno o varios P precondicionadores. Dichos operadores son los equivalentesal operador M presentado anteriormente.

Un caso particular de gran utilizacion como operador aproximado de bajo orden es el de difusion.Para conseguir una buena aproximacion se opera desde la ecuacion original de transporte. Haciendo unanalisis espectral de las soluciones de la ecuacion de transporte se observa que las soluciones de bajalongitud de onda, que son las que presentan peor convergencia con el metodo de iteracion en la fuente,tienen una distribucion angular del tipo:

I(r,Ω) ≈ A(r) + B(r) ·Ω (3.88)

A partir de esa aproximacion, se genera una ecuacion de difusion [5, 1] que resulta ser exacta para lascomponentes de baja longitud de onda. Al realizarse la inversion completa del operador, se llega a unarapida convergencia de ese tipo de soluciones. Realiza pues la ecuacion de difusion un complemento a lade transporte. La combinacion de ambas predice teoricamente una buena tasa de convergencia, para todotipo de condiciones. Sin embargo, y a pesar de los estudios teoricos que predicen una mejora sustancialsobre la tasa de convergencia del esquema de iteracion en la fuente, se encontraron problemas en suimplementacion discreta. Reed [106]. De hecho bajo ciertas condiciones de celdas suficientemente opacasse llegaba incluso a la divergencia en el metodo.

3.8. Esquemas de aceleracion de la convergencia 67

En [3] se propuso un cambio en el modo de discretizacion del esquema de aceleracion, en concretode la ecuacion de difusion asociada. Partiendo del metodo de ordenadas discretas con la aproximaciondel diamante para resolver la ecuacion de transporte, se genero una discretizacion consistente para laecuacion de difusion. La gran diferencia radicaba en generar el modelo discreto de la ecuacion de difusiona partir del modelo discreto de la de transporte, y no a partir del modelo continuo de difusion. Esecambio de estrategia (y de ahı el nombre de discretizacion consistente) llevo a un esquema de una altatasa de convergencia independientemente de las condiciones del sistema. Dicho sistema es el llamadoDSA, adaptado desde entonces a diferentes geometrıas e incorporado al codigo de simulacion dantsys

[4] con buenos resultados.


Capıtulo 4

Resolucion numerica de ecuaciones

mediante AMR.

Salvo raras excepciones, los casos de aplicacion de las ecuacion de transporte tratada en capıtulosanteriores presentan tal complicacion en su resolucion, que no permiten un tratamiento analıtico. Es porello que han de utilizarse metodos numericos, tal y como se ha estudiado en el capıtulo 3. Dicho capıtulo seha centrado en el proceso de discretizacion, presentando unicamente los metodos mas simples de obtencionde la solucion discreta de la ecuacion. En este capıtulo por contra, se introduce un metodo avanzado deresolucion de ecuaciones, que se centra en conseguir la optimizacion del esfuerzo de calculo, reduciendola computacion no necesaria. Este metodo, la Malla Adaptativa Refinada (AMR) no esta restringido altransporte de radiacion o a la fluidodinamica, sino que es de aplicacion a practicamente todos los camposmodelizables numericamente.

En los calculos numericos, el esfuerzo de calculo realizado para resolver un problema viene determinadopor el numero de operaciones que hay que realizar para llegar a un resultado de una precision aceptable.Dicha magnitud puede depender de diversos parametros como el refinamiento del mallado para el casode las diferencias finitas, o por ejemplo el numero de historias tratadas para el metodo de Monte Carlo.Aun utilizando un esfuerzo de calculo homogeneamente distribuido por el sistema (tanto espacial comotemporalmente, en calculos dinamicos) el error numerico obtenido en los calculos depende de un modolocal de las caracterısticas de la solucion. En el conjunto del sistema, los errores importantes cometidos enciertas zonas pueden influir negativamente en el resto del sistema, degradando la calidad de la solucion.El fundamento del metodo AMR se basa en concentrar el esfuerzo de calculo en las zonas en las que seproducirıan mayores errores si se usara un metodo convencional. Esto tiene la finalidad de conseguir lahomogeneizacion del error numerico en todo el sistema, evitando por tanto que errores mayores degradenla calidad de otras zonas del sistema.

El modo de realizar esa concentracion del calculo se lleva a cabo intensificando los parametros de losque esta depende. De ahora en adelante el texto se centrara en el metodo de diferencias finitas, que se haaplicado tanto a la parte de fluidodinamica como a la de transporte de radiacion. No hay que olvidar quetodo es extensible a otros metodos [39]. En este caso, la precision de los calculos tiene una relacion directacon la densidad del mallado utilizado en los calculos. Por tanto el metodo utilizado para concentrar lacapacidad de calculo se basa en un refinamiento local del tamano de celda.

En la figura 4.1 se aprecia, a modo de ejemplo, el resultado de un refinamiento local en las zonasdonde es necesario para tratar de homogeneizar el error numerico. En la franja superior de la figura se

69

70 Capıtulo 4. Resolucion numerica de ecuaciones mediante AMR.

Figura 4.1: Ejemplo de refinamiento espacial

aprecia el tamano de celda utilizado en el calculo. Se observa como el tamano de celda es mayor en laszonas donde la solucion presenta una suavidad de perfil en la que se producen menores errores numericos.

La aplicacion de este metodo puede llegar a hacerse indispensable dependiendo del la simulacionabordada. Se trata de regiones de alta complejidad y reducido tamano, que por contra tienen una graninfluencia sobre el resto del sistema. El posible encontrar muchos ejemplos en la literatura, citandoespecıficamente [104, 116] las ondas de choque y detonacion o casos de astrofısica de interaccion entresistemas distantes. En estas situaciones se necesita un gran refinamiento para poder describir con precisionlas regiones mas activas del sistema. El mantener ese refinamiento de malla en todo el sistema lleva asituaciones totalmente inviables por el numero total de celdas y el tiempo de computacion asociado. Es enesas situaciones donde la malla adaptativa se hace no solo recomendable para el calculo, sino totalmentenecesaria.

4.1. Malla Adaptativa Refinada Estructurada por Bloques

Dentro del metodo AMR, quiza la parte mas crucial para su buen funcionamiento sea la generacionde la malla. En su diseno se basa en gran medida que se consiga la meta de mantener el error numericolo mas homogeneo posible. De cara a la generacion de la malla existen diversos metodos, que puedenclasificarse segun la existencia de una o multiples mallas.

La existencia de una unica malla adaptada implica que no sera uniforme, es decir que en la mismamalla de calculo existiran celdas de diferentes tamanos que pueden tambien no ser ortogonales. La perdidade la uniformidad, segun se recoge en [46], da lugar a una falta de compensacion en los errores numericos,produciendose un peor resultado. En otros casos, el refinamiento se produce rompiendo la estructura dela malla, dando lugar a una malla no estructurada, que puede entonces mantener la ortogonalidad, peroa costa de complicar el tratamiento numerico de las ecuaciones. En la imagen 4.2 se pueden observarejemplos de estos tipos de mallas, que conllevan una cierta penalizacion frente a la ventaja de concentrarel calculo en las zonas de mas requerimiento (marcadas en color gris).

Con la finalidad de superar los puntos negativos que pueden incluir estos esquemas de malla adap-tativa, Berger y Oliger [15] introdujeron un metodo mediante el cual se logra un refinamiento espacial,pero trabajando siempre con mallas estructuradas homogeneas y ortogonales. Segun ese metodo, la mallaadaptativa refinada estructurada por bloques (Block Structured AMR), mallas de mayor refinamiento sesuperponen a las zonas del sistema que necesitan refinamiento. En estos casos hay zonas que han de serresueltas mas de una vez, pero presenta la ventaja de trabajar con mallas topologicamente equivalentes.Esto permite utilizar el mismo integrador de la ecuacion en todas las mallas, sin dependencia de la mag-nitud del refinamiento que se produzca. Del mismo modo este metodo se presta de un modo mas directoa la computacion en paralelo, dada la analogıa en la resolucion de cada una de las mallas.

4.1. Malla Adaptativa Refinada Estructurada por Bloques 71

Figura 4.2: Mallas adaptadas no homogeneas

Nivel 0

Nivel 1

Figura 4.3: Superposicion de mallas en AMR

Este metodo de superponer una o mas mallas de mayor refinamiento (parches) a las zonas que re-quieran mayor concentracion de calculo, fue posteriormente depurado y perfeccionado para ecuaciones deconservacion [14], siendo este nuevo esquema el utilizado en este trabajo para fluidodinamica y transportede radiacion. En esa referencia se plantean las ventajas del metodo AMR y no solo eso, sino tal y comose menciono anteriormente, las situaciones en las que el metodo se hace imprescindible.

Todos las mallas superpuestas directamente a una dada se construyen de modo que tengan el mismotamano de celda. Al conjunto de todas esas mallas refinadas se define como nivel de refinamiento. Segunla descripcion dada en [14], las mallas y niveles de refinamiento deben construirse bajo unas normas decorrecto anidamiento.

Todas las mallas de un nivel l tienen el mismo tamano de celda. Si l > 0, dicho tamano ha de serun submultiplo entero de las dimensiones de las celdas del nivel l − 1.

El contorno de una malla del nivel l (l > 0) cae sobre el contorno de celdas del nivel l − 1.

Para cada posible direccion y sentido de los ejes coordenados, Debe existir al menos una celdaperteneciente a un nivel l + 1 entre celdas de los niveles l y l + 2. La unica excepcion es que dichasceldas esten situadas en el contorno del dominio del sistema (nivel 0).

En el caso de calculos fluidodinamicos con dependencia temporal, la dimension espacial de las celdasy la longitud del paso de tiempo se encuentran relacionadas. Dicha relacion se basa en mantener acotado


Nivel 0

Nivel 1

Nivel 2

Figura 4.4: Anidamiento correcto de mallas

Nivel 0

Nivel 1

Nivel 2

∆t(l = 0)

Figura 4.5: Avance temporal de diferentes niveles

apropiadamente el numero de Courant, para evitar la inestabilidad del metodo. Es por esto que lossucesivos refinamientos espaciales han de estar acompanados por refinamientos en el paso temporal.Considerando un refinamiento espacial igual para las diferentes direcciones espaciales, y un refinamientorl = ∆xl−1/∆xl, se tiene que:

∆t0∆x0

=∆t1∆x1

= · · · =∆tL∆xL

(4.1)

Esto lleva a un esquema como el de la figura 4.5 donde un avance temporal de un cierto nivel, implicavarios avances de los niveles superiores (de mayor ındice). En determinadas circunstancias es posible, noobstante, utilizar un mismo paso de tiempo para diferentes niveles de refinamiento. En ese caso habrıa queutilizar el mas restrictivo de todos ellos. Esto implica claramente un aumento de los calculos necesarios,pero puede resultar necesario en casos en los que no haya una velocidad caracterıstica de propagacion desenales.

4.2. Algoritmo de resolucion de mallas 73

4.2. Algoritmo de resolucion de mallas

Con el fin de aprovechar el maximo posible la informacion de cada calculo realizado, la resolucion de lasdiferentes mallas de un sistema AMR debe realizarse atendiendo a un cierto orden. El esquema concretopuede variar, pero siempre siguiendo las siguientes pautas generales. El caso de sistemas explıcitos, comoes comun en CFD, es mas simple que en sistemas implıcitos. Para estos primeros, el modo de calculo eslineal, se van obteniendo los datos segun van siendo necesarios.

Avance temporal del sistema en malla gruesa, usando como condicion de contorno los valores de lasceldas ghost.

Dependiendo del refinamiento temporal utilizado, avance de n pasos de tiempo del siguiente nivelmas refinado. Como condiciones de contorno, se rellenan las celdas ghost de las mallas. Los valoresutilizado, en orden de precedencia, son:

• Valores ocupados por celdas de otras mallas del mismo nivel de refinamiento.

• Valores del nivel inmediatamente mas grueso. Para que los valores correspondan al mismoinstante de tiempo, se has de interpolar convenientemente entre los valores avanzados tempo-ralmente y los sin avanzar.

Teniendo en cuenta que un nivel esta completamente sumergido en el nivel superior, todas sus celdasghost pueden rellenarse de este modo, utilizando si es necesario las celdas ghost del nivel superior.

A cada avance temporal, se procede al avance de todos los niveles inferiores, si los hay.

Una vez realizados los n avances del nivel, se procede a la correccion del nivel inmediatamentesuperior. La correccion es debida a la discordancia de flujos calculados por las mallas finas y gruesassobre sus bordes de celda comunes.

El objetivo principal de este esquema es dar prioridad a la informacion calculada con el mayor refi-namiento posible. Para zonas resueltas con diferentes niveles de refinamiento, los valores mas refinadossustituiran a los calculados con mayor tamano de celda. Para el caso de una ecuacion de conservacion, setiene la expresion general:

∂U

∂t+ ∇F = 0 (4.2)

donde U(x, t) representa la magnitud conservada y F sus flujos. Para su discretizacion, dicha expresionse integra tanto espacial como temporalmente. Si se toma Un

i como el valor promedio de U(x, t) en elinstante de tiempo tn, se tiene que:

Un+1i − Un

i =1τ

∫F dσ dt (4.3)

donde la integral se extiende al contorno de la celda, cuyo volumen es representado por τ . Dependiendo delmetodo numerico, se realiza la integracion espacial y temporal de una u otra formas, logrando diferentesordenes de aproximacion. En punto importante en AMR es que algunos valores de flujo calculados enmalla fina pueden afectar a celdas no cubiertas por dicha malla fina. Esta correccion entre niveles serealiza como ultimo paso del proceso de calculo.

En el caso de los metodos explıcitos de calculo, una variacion en el valor de un flujo entre celdasunicamente afecta a las celdas contiguas. Esto garantiza que una correccion realizada sobre una fronterade un nivel de refinamiento afectara solo a las celdas contiguas a dicha frontera. Considerando el casounidimensional cartesiano, y valores promedio tanto espacial como temporalmente, se tiene:

Un+1i − Un

i =∆t

∆x

(〈F i−1/2〉 − 〈F i+1/2〉)

(4.4)


pero teniendo en cuenta el refinamiento tanto espacial como temporal utilizado en los diferentes nivelesde AMR, se tiene que la reconstruccion del flujo en malla gruesa a partir del de malla fina serıa:

〈F ni−1/2〉∗ · tnc Ac∆tc =

rx∑j

rt∑m

〈F mj−1/2〉fAf∆tf (4.5)

donde 〈·〉f representa promedio en malla fina. Los ındices j y m toman los valores adecuados en cadasistema, extendiendose la suma a rt valores de tiempo diferente y a rx de espacio, siendo los respectivosvalores de refinamiento. Segun se ha comentado ya, es comun definir rx = rt. De este modo, a partir delos valores de flujo calculados en malla fina para diferentes instantes de tiempo, se puede reconstruir elvalor del flujo anteriormente calculado en malla gruesa. A partir de esa correccion del flujo medio en lafrontera i − 1/2, se procede a la correccion de la celda i en malla gruesa:

∆Uni =

∆t

∆x

(〈F n

i−1/2〉∗ − 〈F ni−1/2〉

)(4.6)

Esta correccion se realiza en las fronteras de un nivel dado de refinamiento, donde las solucion debepresentar una suavidad suficiente para ser tratada con el mas grueso de ambos refinamientos. La presenciade zonas irregulares o grandes discontinuidades en fronteras de nivel puede inducir a grandes errores.

4.2.1. Ecuaciones parabolicas y elıpticas

La correccion tratada en la seccion anterior es especialmente sencilla por tratarse de un sistema deresolucion explıcito, en el que no se utilizan los valores avanzados en el tiempo en la propia resolucion. Enotros caso, como estados estacionarios (equivalente a ∆t = ∞), el proceso debe plantearse de un modoimplıcito. Esto cambia fundamentalmente el alcance de las correcciones realizadas de unos niveles a otros.

El cambio debido a correcciones de un valor de la funcion calculada puede provocar modificacionesen todo el sistema, influyendo por tanto en todas las mallas presentes en el sistema. Esta particularidadobliga a repetir los calculos realizados, teniendo en cuenta las correcciones inducidas por unas mallasen otras del mismo u otro nivel. El esquema global utilizado es iterativo, hasta que las correccionesintroducidas en una iteracion sean menores que un cierto criterio.

Dentro del conjunto de ecuaciones de tratamiento numerico implıcito se encuentran las parabolicas yelıpticas. En dichas ecuaciones, a diferencia de las de fluidos, no existe una velocidad caracterıstica detransmision de perturbaciones. Esto se traduce en que regiones calculadas con errores pueden transmitirsu error instantaneamente al resto del sistema. Esto es una diferencia crucial respecto a las ecuacioneshiperbolicas, en las que, salvo la correccion en la frontera de nivel, se acepta como buena la solucioncalculada en malla gruesa para las zonas no cubiertas por mallas mas finas. En sistemas parabolicos oelıpticos, los errores generados en un calculo de malla gruesa se extienden por todo el dominio aunquehayan sido generados en una pequena parte de el. Esto invalida el metodo AMR totalmente [13, 124]teniendo en todas las regiones la precision debida a la malla mas gruesa.

El modo de afrontar este problema se lleva a cabo teniendo en cuenta la solucion de malla fina en elcalculo de la malla gruesa. Teniendo en cuenta el orden de resolucion de mallas (los niveles se resuelven degrueso a fino para conseguir condiciones de contorno), este esquema requiere de iteraciones entre nivelespara llegar a convergencia. Si se tiene un operador L de orden n, y la ecuacion Lφ = S. Se ha de cumplirla ecuacion localmente para cada malla, exigiendo de modo adicional la continuidad del valor de la funciony sus n− 1 primeras derivadas en todos los contornos de las mallas (y por ende, niveles). Como ejemplo,para el caso de la ecuacion de Poisson ∇φ = S en dos niveles de refinamiento (fino - f , y grueso c) (verfigura 4.4 en pagina 72 por su similitud con los niveles 0 y 1):

∇cφ = Sc r ∈ Ωc − Ωf (4.7)

4.2. Algoritmo de resolucion de mallas 75

∇fφ = Sf r ∈ Ωf (4.8)

[φ] =[φ

n

]= 0 r ∈ ∂Ωc/f (4.9)

donde el operador [·] representa el salto de la funcion, y Ωi el dominio cubierto por el nivel de refinamientoi.La resolucion de los dos niveles se encuentran, por tanto, ıntimamente acoplada, no teniendo ningun efectolas regiones de la solucion en malla gruesa, que se encuentran cubiertas por malla fina. Los algoritmos pararesolucion de este tipo de sistemas se encuentran desarrollados en [7] existiendo modelos para resolucioncentrada en vertices o celdas.

4.2.2. Ecuacion de transporte de radiacion

La ecuacion de transporte de radiacion con dependencia temporal es un ejemplo de sistema hiperbolico,en el cual la velocidad de propagacion de las senales es unica, igual a la de la luz. Las consideracionesserıan en principio las mismas que en un sistema hiperbolico de CFD. Sin embargo teniendo en cuentala limitacion de Courant para esquemas explıcitos de resolucion ∆t < ∆x/c, en la mayorıa de los casosse llegarıa a unos incrementos de tiempo demasiado pequenos para poder realizar la simulacion en untiempo razonable. En el caso de ICF, donde la temperatura de los materiales presentes puede llegar adecenas de keV, la velocidad del sonido para esas condiciones es del orden de 105 m/s, en todo caso muyinferior, por ordenes de magnitud, a la de la luz. El hecho de tratar el transporte de radiacion de un modoexplıcito introducirıa pues una grave limitacion sobre los posibles calculos acoplados de fluidodinamica,reduciendo el paso de tiempo en ordenes de magnitud.

Es por lo anterior que el tratamiento dado a la ecuacion de transporte de radiacion suele ser implıcito,de un modo semejante al de la seccion anterior. Es por tanto aplicable las particularidades en cuanto ala capacidad de transmision de perturbaciones en el sistema. El esquema ha de ser por tanto iterativoen tanto en cuanto las correcciones introducidas por los niveles finos sobre los niveles gruesos afectan atodo el sistema. Los algoritmos de consecucion de la convergencia entre niveles de refinamiento son, portanto, equivalentes a los de ecuaciones parabolicas y elıpticas.

Nivel 0

Nivel 1

Direccion

de resolucion

Figura 4.6: Transmision de valores de flujo en transporte de radiacion

Dentro de los metodos de resolucion de transporte de radiacion se ha hecho especial hincapie en estetrabajo en el esquema de las ordenadas discretas, que ha sido el utilizado en la programacion. En este


esquema, como ya se ha comentado, se realiza una discretizacion del campo de radiacion segun la direccionde propagacion de la misma. Cada una de esas direcciones discretizadas es resuelta independientemente,mas teniendo en cuenta sus interacciones mutuas. De cara a una mayor eficiencia en la transmision deinformacion entre mallas de un mismo nivel de refinamiento, el conocimiento y constancia de la direccionde propagacion son unos datos muy importantes. La transmision de la informacion se debe realizar siempresiguiendo la direccion y sentido de propagacion (ver figura 4.6). En concreto las direcciones de propagacionse pueden clasificar en clases dependiendo del signo de su proyeccion sobre los ejes coordenados, dandolugar a 2d clases, donde d representa la dimension espacial de la simulacion. En el caso bidimensional, paracada una de esas clases corresponde un ordenamiento optimo de las mallas de un nivel, para la transmisionde informacion (condiciones de contorno) entre ellas. Sin embargo en el caso tridimensional puede noexistir ningun ordenamiento de mallas tal que la transmision de informacion se haga siempre siguiendola direccion de propagacion [49]. Esa situacion puede no obstante salvarse mediante subdivisiones ad hocde las mallas de modo que permitan su ordenamiento optimo para su resolucion.

Teniendo en cuenta la finalidad de este trabajo, resolviendo la ecuacion de transporte, los algoritmosaplicados se tratan en el capıtulo 5 de desarrollos de la tesis. Partiendo de las ideas citadas en esta seccionse afrontan los problemas de implementacion para el caso del esquema de ordenadas discretas.

4.3. Calculo de errores

Segun se ha expuesto en anteriores secciones, el objetivo principal del metodo AMR es conseguiruna distribucion de errores numericos lo mas homogenea posible dentro del sistema resuelto. Tambiense ha comentado en la descripcion de los algoritmos, que se marcan celdas para refinar en funcion de suerror local. El concepto de error numerico esta muy presente en la construccion de algoritmos en mallaadaptativa.

Supongamos un operador integrador L de avance de la solucion, tal que para un campo fluido u(x, t)operes sobre sus valores discretos (un

i : t = n · ∆t, x = i · ∆x) y calcule su valor avanzado en el tiempode modo que un+1

i = Lun+1i . El error numerico τ introducido por ese operador para ese paso de

tiempo sera:u(x, t + ∆t) − Lu(x, t) = τ(x, t) + ∆t · O (∆tm+1 + ∆xm+1

)(4.10)

donde m representa el orden de aproximacion del operador. Si el operador es aplicado dos veces seguidas,el avance temporal correspondera a 2∆t. Si el operador es modificado para actuar sobre una malla de paso2∆x (L2x), su avance temporal tambien es engrosado por el mismo factor (para mantener la estabilidaddel metodo). Teniendo en cuenta que los incrementos de tiempo y espacio estan ligados de un modoproporcional, Los efectos de ambas operaciones sobre el error numerico son los siguientes:

u(x, t + 2∆t) − L2u(x, t) = 2τ + O(∆xm+2

)(4.11)

u(x, t + 2∆t) − L2xu(x, t) = 2m+1τ + O(∆xm+2

)(4.12)

Partiendo de esas expresiones, y teniendo en cuenta que se disponen de datos numericos sobre u(x, t), sepuede despejar el valor del error numerico con suficiente aproximacion:

L2u(x, t) − L2xu(x, t)2m+1 − 2

= τ + O(∆xm+2

)(4.13)

siendo esta la expresion mas correcta de estimacion del error numerico de un operador. No es necesariopues conocer al expresion exacta del error de truncamiento del operador, solo su orden de aproximacion(que en estas expresiones se ha supuesto igual para tiempo y espacio). Este metodo, llamado de extrapo-lacion de Richardson, es facilmente implementable en calculos de CFD, si bien obliga a aplicar el operadorintegrador sobre una malla virtual de menor refinamiento, lo que consume tiempo.

4.3. Calculo de errores 77

Con la misma finalidad de realizar una estimacion del error se pueden aplicar otro tipo de operadoresde mas rapido calculo, que presentan dependencia proporcional del gradiente u otras derivadas superioresde la solucion a tiempo t.

4.3.1. Presencia de discontinuidades

Las ecuaciones hiperbolicas, como las de fluidos o la de transporte de radiacion, admiten discontinui-dades en la solucion, en la que la ecuacion diferencial no es estrictamente cumplida, si bien sı su versionintegrada. Los metodos de estimacion de errores, sea por la extrapolacion de Richardson u otros, predicenun alto error para el entorno de las discontinuidades. Sin embargo los metodos numericos apropiados rea-lizan la captura y seguimiento de las discontinuidades, dandoles un tratamiento apropiado que no hacenecesario un refinamiento. Es por ello que criterio de seleccion para refinamiento de estas zonas deberealizarse ante otro tipo de criterios que estan relacionados con el integrador que se este utilizando y suposibilidad de tratamiento de discontinuidades.

Adicionalmente a este problema, el tratamiento de discontinuidades en la frontera entre niveles dediferente refinamiento produce especialmente problemas de calculo numerico. Se han realizado trabajos enese sentido [105] que producen buenos resultados para ciertos integradores y en el caso de discontinuidadesno demasiado fuertes. Mediante un sencillo ejemplo [104] puede observarse como el tratamiento de unadiscontinuidad puede ser problematica cuando traspasa una frontera de nivel de refinamiento.

p ↑ p ↓

p

x

Figura 4.7: Representacion de una onda de choque con dos refinamientos.

Supongamos una onda de choque propagandose de modo perpendicular a una frontera de nivel derefinamiento, de tal modo que parte cae en la zona refinada y parte no (figura 4.7). Teniendo en cuenta queel metodo de captura de discontinuidades tiene autosimilitud (self-similarity), de este modo, la extensionespacial de la discontinuidad es proporcional al tamano de celda. Por tanto, segun se aprecia en la figura4.7, donde se representa el perfil de presion, existiran gradientes entre los valores calculados en mallagruesa y fina. De este modo se genera una vorticidad que se mantiene en el tiempo, con lo que sus efectosse incrementan en el tiempo. Este ejemplo ilustra como en este problema es difıcil distinguir entre losefectos numericos y los fısicos.

Las estrategias para afrontar este problema son variadas, proponiendose en [14] el refinamiento delas discontinuidades solo por encima de un cierto umbral, de tal modo que se pueda asumir los erroresintroducidos en las que estan por debajo de ese valor. Para metodos de captura y seguimiento de ondasde choque, esto no debe suponer ninguna dificultad.


Capıtulo 5

Desarrollo de la tesis

En este capıtulo se explicara el proceso de investigacion y desarrollo llevado a cabo en el trabajo de estatesis doctoral. La finalidad de este trabajo ha sido la mejora y ampliacion de la funcionalidad del codigode simulacion fluidodinamica arwen. El planteamiento del desarrollo del trabajo se realiza siguiendo unmodelo segun el cual no se realicen trabajos ya existentes. Eso se consigue mediante la manipulacion yuso de codigos de uso publico (o mediante autorizacion), de modo que se puedan desarrollar capacidadesnuevas que no presentan los codigos actuales. Para lograr esa finalidad se han seguido los siguientes pasos:

Estudio de fuentes de software apropiado, de ultima generacion, para la programacion orientada aAMR. De este estudio se extrae la mas apropiada para el desarrollo del trabajo.

Analisis de codigos existentes de transporte, con la finalidad de seleccionar los que presenten mejorescapacidades de adaptacion al calculo de campos de radiacion.

Desarrollo de una estructura de control de mallas y sus respectivos datos, mediante programacionde alto nivel. Se utilizan como base de programacion las librerıas de gestion de datos AMR queanteriormente ha sido seleccionadas. En esta fase de desarrollo es donde se incorporar los principalesdesarrollos originales de la tesis, con la finalidad de conseguir un funcionamiento optimo tanto entiempo de computacion como en requerimientos de memoria para un calculo dado.

En los siguientes apartados se tratara de explicar los diferentes pasos que se han seguido, dandoespecial importancia a las aportaciones originales en el campo de desarrollo de algoritmos de especıficaaplicacion bajo malla adaptativa.

El codigo desarrollado en este trabajo ha conseguido el funcionamiento acoplado de dos tipos deprogramas en principio de funcionamiento muy desigual. Por una parte se tiene el software de calculoneutronico en malla simple. Se trata de codigos de probada solvencia, cuyo desarrollo comenzo hacedecadas para calculos de transporte tanto de neutrones como de radiacion, o incluso acoplados (neutronesy radiacion gamma). Las dos principales limitaciones de estos codigos de cara al uso en este trabajo sonque trabajan en malla simple (una unica malla), y que no contemplan la influencia mutua que presentanel campo de radiacion y el estado termico de la materia.

Asimismo se ha utilizado una librerıa de control de datos bajo AMR. Esta librerıa permite la organi-zacion de los datos de un modo simple, y contempla operaciones de uso comun en los calculos de AMR,de un modo muy compacto y optimizado. La eleccion de una buena librerıa de gestion de datos es funda-mental para el resultado del codigo. Esto se fundamenta por una parte en la facilidad de programacionque otorgue al programador y a lo optimizada que este.

79

80 Capıtulo 5. Desarrollo de la tesis

La implementacion de ambos tipos de software de un modo compacto se realiza de modo que la es-tructura de control de datos de AMR gestiona el funcionamiento del codigo y realiza llamadas, mallapor malla, al codigo encargado de la resolucion de la ecuacion de transporte en malla simple. Una vezproducidos los resultados, la librerıa de control se encarga de la transmision de datos entre diferentes ma-llas, del modo que sea pertinente. Este esquema de funcionamiento se puede denominar de caja negra, yaque el funcionamiento de ambas partes del codigo (transporte y AMR) esta casi totalmente desacoplado,funcionando de tal modo que el codigo encargado de la resolucion de la ecuacion de transporte recibeunos datos de fuente y devuelve unos valores de intensidad de radiacion, sin que le influya el procesoexterno que se realice con esos datos. Asimismo la librerıa de gestion de datos AMR recibe esos valorescon total independencia de como hayan sido generados.

Este tipo de funcionamiento de caja negra presenta ciertas ventajas e inconvenientes que han sidoponderados en las etapas mas tempranas de desarrollo de la tesis. Como principales ventajas se tienenlas siguientes:

La programacion desacoplada produce un codigo mas facil de entender, ya que en cada funcion osubrutina queda claro si pertenece a la parte de transporte o a la de AMR.

El desarrollo del codigo es mas simple, ya que el unico vınculo de union a realizar entre ambaspartes es una interfaz de comunicacion eficiente. La transmision de datos entre AMR y transportesupone una mınima parte de la computacion realizada.

La composicion del codigo a partir de modulos permite la sustitucion de estos por versiones masefectivas cuando estas esten disponibles. Este punto es de vital importancia de cara a desarrollosfuturos de mejora a partir de este trabajo, de modo que se mantenga al maximo posible la posibilidadde reutilizar todo el trabajo que haya sido realizado.

Asimismo, este desarrollo modular introduce ciertas inconveniencias o limitaciones en el codigo, como sonlas siguientes:

Menor flexibilidad en la estructura de flujo de computacion. La ejecucion de los calculos de trans-porte de radiacion se presenta como una unidad indivisible de calculo. De este modo se dificulta laejecucion parcial de los calculos, que en algunas ocasiones puede resultar conveniente. Esta limita-cion sobre el acoplamiento de los calculos de transporte y de la gestion AMR limita la eficiencia defuncionamiento del codigo, como se explica en un posterior apartado.

Las diferencias de estructura de programacion de las diferentes partes del codigo (incluyendo lautilizacion de diferentes lenguajes) introduce una mayor complicacion de su conjunto. En este casoes conveniente reducir la comunicacion entre partes del codigo (AMR y transporte). Un acoplamientomayor en el funcionamiento justificarıa la reescritura de partes del codigo en un unico lenguaje deprogramacion, lo que aumentarıa la claridad del texto resultante.

5.1. Material de partida

Como ya se ha explicado anteriormente, el trabajo de esta tesis se ha organizado de tal modo que sepuedan reutilizar codigos ya existentes en el mundo cientıfico. Se trata de evitar a toda costa el desarrollode material ya existente, que por lo tanto retrasarıa la marcha del trabajo en unas fases que no aportanoriginalidad alguna. Otra razon por la que se ha tratado de reutilizar material es para evitar la aparicion,en todo caso inevitable, de errores de programacion que igualmente retrasan los desarrollos. El software

5.1. Material de partida 81

utilizado en este trabajo es de probada eficacia, tanto en el campo del transporte de neutrones, el desimulaciones fluidodinamicas y en el campo de la gestion de datos orientado a calculos bajo AMR.

Los principales modulos de software utilizados en este trabajo son los siguientes:

Modulo de resolucion de la ecuacion de transporte de partıculas neutras.

Modulo de resolucion de ecuaciones parabolicas, aplicado a la ecuacion de conduccion del calor.

Librerıa de objetos especıficamente creados para el manejo de datos en AMR.

Estructura de gestion de datos bajo AMR y de control de operacion de los modulos anteriores.

Volcado de datos a disco para postproceso grafico.

Seguidamente se procedera a una breve descripcion del material de partida que se ha utilizado en cadauno de los modulos, y de las modificaciones que han sufrido de cara a su implementacion en el codigoarwen. Dichas modificaciones son principalmente de tipo de entrada y salida de datos, por lo que no seincluyen en las aportaciones de desarrollo e implementacion de algoritmos que tambien se ha realizadoen este trabajo, y que constituyen su aportacion principal.

5.1.1. Resolucion de la ecuacion de transporte

Tanto la fısica subyacente como los metodos de resolucion numerica de la ecuacion de transportede radiacion han sido ya tratados en capıtulos anteriores (2 y 3). Como modulo de resolucion de dichaecuacion se busca un codigo al que se le puedan facilitar ciertos datos de entrada y se obtenga una salida,todo en tiempo de ejecucion. Como entrada se tienen las propiedades fısicas del sistema y parametros decalculo, y como salida se obtendrıan los valores de la intensidad de radiacion en cada una de las celdas dela malla elegida para discretizar. Para agilizar la transmision de informacion se ha de evitar la escriturade datos en disco. O sea, se pretende que todo el bloque de resolucion de transporte se comporte comouna funcion a la que se le pasan ciertos datos y devuelve otros.

Como criterio de eleccion del codigo se ha considerado que sea bidimensional para poder acoplarse alexistente codigo arwen, que realice calculos en coordenadas cilındricas y trabaje sobre malla ortogonalhomogenea (cuyas ventajas han sido ya explicadas en capıtulos anteriores) y multigrupos de energıa.Asimismo se requiere que tenga un metodo efectivo de aceleracion de la convergencia de sus algoritmos.La necesidad de dichos metodos en transporte ha sido ya tratada en capıtulos anteriores, de cara aconseguir unos tiempos de ejecucion aceptables. Dentro de los esquemas de aceleracion existentes se haconsiderado la aceleracion sintetica por difusion (DSA) como el mas eficiente. Dicho metodo se encuentraimplementado en el codigo twodant [4] desarrollado en el Laboratorio Nacional de Los Alamos (USA).Este codigo pertenece al sistema dantsys de calculos de transporte en varias dimensiones y geometrıas.Teniendo en cuenta el abanico de aplicaciones de los codigos de transporte de partıculas, un criteriode gran importancia para su seleccion es que fuera posible conseguir el codigo fuente del mismo. Dichaseleccion elimina a los posibles codigos comerciales que cumplan las especificaciones. Asimismo, granparte de los codigos de transporte no comerciales existentes no son de acceso publico, por su uso militar.Existen no obstante otros codigos de calculo de transporte de los que destacan los siguientes.

LASNEX ha sido desarrollado en el Laboratorio Lawrence Livermore [133] si bien luego fue transfe-rido al de Los Alamos, donde ha crecido en capacidades. Este codigo fue originalmente disenadocon aplicaciones militares de simulacion de fusion termonuclear, y actualmente es una referencia


para realizar tests de codigos existentes. No obstante, su uso se encuentra totalmente restringido apersonal autorizado de ciertas secciones de laboratorios nacionales de los EE.UU.

Realiza calculos de transporte tanto de neutrones como de radiacion gamma y termica. Tieneimplementado el acoplamiento con la materia, utilizando un codigo de simulacion fluidodinamicabasado en el esquema lagrangiano.

DORT El codigo dort [33] ha sido desarrollado en el Laboratorio Nacional Oak Rigde, como parte delsistema doors de calculos de transporte en 1, 2 y 3 dimensiones. Se distribuye junto con el codigoanisn [131] de una dimension y el tort [107] de calculo tridimensional. Todos ellos funcionanmediante el esquema de ordenadas discretas, pero sin contar con los algoritmos avanzados delsistema dantsys

Hay que anadir que en los ultimos anos, durante el desarrollo de esta tesis doctoral, se han desarrolladomas codigos de simulacion que incorporan acoplamiento de radiacion y materia. Algunos de ellos trabajanbajo esquema de malla adaptativa. Resaltan los siguientes:

AMRA [95] desarrollado en cooperacion del Nicolaus Copernicus Astronomical Center (Polonia) y elMax-Planck Institut fur Astrophysik (Alemania). Utiliza el metodo AMR para sus calculos, tantofluidodinamicos como del campo de radiacion. El tratamiento del campo de radiacion es sin embargollevado cabo mediante la aproximacion de difusion. Incorpora, no obstante, tratamiento especıficode flujos relativistas, ası como numerosos procesos fısicos que interaccionan con el campo fluido(reacciones nucleares, conduccion de calor, . . . ). Esta escrito en lenguaje fortran, y organizadoen modulos encargados de la resolucion de las diversas ecuaciones.

STYX [11] desarrollado en el CEA frances, realiza la resolucion de la ecuacion de transporte aplicadoa neutrones. Utiliza un esquema SN adaptado para trabajar en malla adaptativa refinada. Dichocodigo ha sido preparado para su funcionamiento tridimensional en maquinas paralelas. Hay queresaltar, sin embargo, que dado su caracter de codigo neutronico, no presenta acoplamiento con elcampo fluido.

ARDRA [19] desarrollado en el laboratorio nacional Lawrence Livermore (LLNL) de cara a la simulacionde la implosion de microcapsulas de fusion por confinamiento inercial. Tiene capacidad de resolverel campo fluido interaccionando con campo de neutrones y radiacion. Para ello utiliza un esquemade ordenadas discretas proyectado sobre armonicos, con el fin de limitar el efecto rayo (3.6.5). Estecodigo esta preparado para ser ejecutado en los computadores masivamente paralelos del LLNL yno es de distribucion externa. No utiliza el esquema AMR para sus calculos.

HYDRA [75] ha sido desarrollado en el LLNL y resuelve el campo fluido en acoplamiento con radiacion.Realiza simulaciones tridimensionales en malla lagrangiana fija estructurada (no AMR). El calculodel campo de radiacion se realiza mediante el modelo de difusion en multigrupos. Incorpora modulosde calculo de reacciones nucleares, ası como de produccion y evolucion de isotopos. Este codigo noes de distribucion libre.

ICF3D [114] ha sido programado en el LLNL, y tiene capacidad para simular un campo fluido tridi-mensional con radiacion. El tratamiento de la radiacion se realiza mediante la aproximacion dedifusion en multigrupos. La resolucion numerica se realiza mediante elementos finitos en malla noestructurada. Has sido ya publicados resultados del codigo en aplicacion directa a blancos de fusionpor confinamiento inercial [113], mostrando ası sus capacidades.

Habiendo examinado los codigos existentes en la epoca de comienzo de realizacion de la tesis doctoral,e incluso actualmente, se comprueba la no existencia de codigos de las caracterısticas del desarrollado en


esta tesis. No obstante, durante el desarrollo de la misma se han producido publicaciones sobre desarrollode algoritmos de resolucion de la ecuacion de transporte de radiacion bajo AMR. Entre dichos algoritmosse encuentran los desarrollados por los siguientes grupos:

LLNL Se trata de un algoritmo [50] para la ecuacion de difusion de radiacion acoplada con la materia.Se detalla en la referencia el algoritmo, ası como resultados conseguidos con el mismo. Admite laposibilidad de varios materiales.

LANL Al igual que el anterior, este algoritmo [91] se ha disenado para la ecuacion de difusion deradiacion acoplada con la material. Se trabaja bajo AMR, y trata con detalle el caso de variosmateriales en la simulacion.

LBNL Estrechamente relacionado con la anterior referencia al LLNL, este algoritmo [49] esta prepa-rado para la resolucion de la ecuacion de transporte de radiacion bajo AMR. Dada la estrecharelacion entre este trabajo y el desarrollado en la tesis, se ha tomado este algoritmo como modelode trabajo. Hay que resaltar sin embargo, que dado que en la referencia se tratan simulaciones decombustion quımica, no se tratan ciertos problemas que surgen a mayor temperatura, y que hansido ser afrontados en esta tesis.

Consideradas las posibilidades de realizacion del codigo, y basandose en una polıtica de no repeticionde trabajo ya hecho, se ha buscado partir de un codigo que sea publico y con unas capacidades lo masparecidas posibles a lo que se pretende conseguir.

El codigo twodant trabaja segun un esquema de ordenadas discretas (SN ) en multigrupos de energıa.Dicho codigo implementa asimismo el esquema DSA de aceleracion de la convergencia, tanto en multigru-pos como en la ecuacion de difusion colapsada en un solo grupo. Este codigo es totalmente independientey su esquema de entrada y salida de datos se basa en la lectura y escritura de ficheros en disco. Esecomportamiento se ha modificado en este trabajo para funcionar sin accesos a disco, agilizando de estemodo la transferencia de datos entre modulos del programa. La interfaz actual se basa en un reducidonumero de llamadas a realizar por el control principal del programa.

Otra variacion realizada en el comportamiento del codigo original se basa en la definicion de lageometrıa del sistema. Se ha adecuado para sistemas donde puede no existir ninguna homogeneidad, sinofuertes discontinuidades variables en el tiempo.

Asimismo se ha incorporado la posibilidad de utilizar otros metodos de resolucion de la ecuacion de di-fusion, que aparece durante la aceleracion de los calculos. El codigo original utiliza el metodo de multigrid,que en algunos casos ha presentado problemas de convergencia (situaciones de fuertes discontinuidadesen la seccion eficaz de absorcion). Se ha incorporado la posibilidad de utilizar el metodo del gradienteconjugado que ha presentado mejor comportamiento ante esas situaciones. El objeto de esta modificaciones implementar la posibilidad de utilizar metodos de resolucion mas costosos, pero mas potentes, en elcaso de que el metodo estandar no se comporte adecuadamente. El calculo del campo de radiacion serealiza de modo estacionario, pero no ha sido necesario introducir modificacion alguna por esa causa. Estoes debido a que un problema con dependencia temporal puede convertirse facilmente en uno estacionarioescogiendo un esquema adecuado de integracion temporal.

Como resumen, las modificaciones introducidas en el codigo twodant han introducido nuevas posibi-lidades de utilizacion. De ahora en adelante se hara referencia al resultado de esos cambios como dafne.El modulo dafne se presenta en forma de librerıa software facilmente implementable en cualquier tipode codigos. Presenta una interfaz reducida de entrada y salida de datos, sin escritura de datos en disco.Acepta geometrıa cartesiana y cilındrica. La composicion material del sistema es totalmente arbitraria.


Se retienen capacidades del codigo original, como el uso del metodo de Monte Carlo en subdominios dela malla de resolucion.

5.1.2. Software de gestion de datos orientado a AMR.

De cara a la programacion orientada al calculo en malla adaptativa, es importante partir de unlenguaje especıficamente disenado para ello. Asimismo, es importante trabajar con un lenguaje estandarque pueda ser combinado con librerıas numericas existentes. Dichos paquetes de calculo suelen estarprogramados en lenguaje FORTRAN. La solucion a esa necesidad de programacion especıfica y a la vezgenerica radica en el uso de librerıas de funciones especıficas basadas en un lenguaje que sea ampliamenteextendido. En todo proceso de datos en codigos de malla adaptativa, existen unas ciertas operaciones quese repiten muy frecuentemente (interseccion de mallas, formacion de conjuntos de mallas en un mismonivel AMR) y que es conveniente simplificar y encapsular al maximo posible de cara a mantener la claridaddel codigo realizado. En el caso de AMR, resulta claro que se manejan datos claramente estructurados,ya sea en mallas, niveles, condiciones de contorno, y otros. Esto induce a la utilizacion de un lenguaje deprogramacion orientado a objetos. La definicion de los objetos necesarios en el tratamiento de datos estotalmente intuitiva, y con ello se puede lograr una simplificacion muy importante en la programacion.

Como parte del desarrollo de esta tesis, se han estudiado las librerıas mas actuales de apoyo a laprogramacion bajo AMR. Como ya se menciono en la introduccion, se han considerado algunas librerıassoftware de apoyo a la programacion orientada al metodo AMR. En concreto se estudiaron las capacidadesde dagh (Univ Texas) [93], lparx (Univ California San Diego) [12, 58] y boxlib (Lawrence BerkeleyNational Laboratory) [24]. Con la prevision de la realizacion de un codigo de grandes dimensiones, loscriterios de seleccion eran preferentemente los siguientes:

Facilidad de programacion y condensacion del codigo resultante. Se busca que el codigo realizado seade una facil lectura. Como se ha mencionado ya, estas capacidades se preven en lenguajes orientadosa objetos. En particular el lenguaje C++ se muestra especialmente adecuado por lo compacto desu escritura y la amplia posibilidad de reutilizacion y ampliacion (mediante herencia y derivacionde clases [29]) del codigo. Es de resaltar que todas las librerıas probadas estaban escritas en eselenguaje.

Encapsulacion de las operaciones. Esto supone que se operara fundamentalmente con los objetosde la librerıa, y no con los datos que contienen (caracterıstico de lenguajes no orientado a objetos).Esta condicion requiere una gran completitud de funciones y operadores que realicen los procesosnumericos deseables en un calculo bajo AMR.

Se ha llegado a la conclusion que el lenguaje de programacion mas apropiado para estos desarrolloses el C++, al tener en cuenta el grado de encapsulacion y reutilizacion de codigo que con el se consigue.Tras realizar pruebas de utilizacion, se llego a la conclusion de que el paquete mas adecuado era elboxlib del Centro de Ciencia e Ingenierıa Computacional (CCSE) del LBNL. Dicha librerıa se componede un conjunto de objetos y de relaciones y operaciones entre dichos elementos. Adicionalmente a eseconjunto de funciones en lenguaje en C++, existen funciones de calculo matematico intensivo que se hanmantenido en lenguaje FORTRAN, para preservar su plena optimizacion en ciertos sistemas operativosque ası lo requieren. El conjunto de objetos definidos en la librerıa es suficientemente amplio como parapoder tratar convenientemente casi todas las operaciones necesarias de un modo encapsulado.

Una ventaja adicional que presenta la librerıa utilizada en este trabajo es que su grupo creador (CCSE)ha trabajado en su conversion a funcionamiento paralelo, conservando la interfaz de usuario. Eso supone


que el codigo desarrollado en esta tesis puede funcionar en modo paralelo sin mas que cambiar la versionde la librerıa boxlib que este en uso. Por salirse del ambito de la tesis, no se han realizado pruebasde paralelismo, si bien es patente que dicha posibilidad aumenta las capacidades de calculo de un modomuy importante, al aumentar en gran medida tanto la memoria disponible como la velocidad total deprocesamiento de datos.

5.1.3. Resolucion de la ecuacion de conduccion

Como ya se ha comentado anteriormente, la ecuacion de difusion se plantea como uno de los fragmentosque aparecen al aplicar el metodo de operator splitting a las ecuaciones de fluidos. Las ecuaciones queaparecen son las ya presentadas en 2.9. La forma de abordar el avance temporal de la ecuacion se realizade modo totalmente implıcito:

ρcvT 1 − T 0

∆t= −∇k∇T 1 (5.1)

donde T 0, T 1 representan el campo de temperaturas al inicio y final del intervalo de tiempo considerado.De este modo se puede construir una ecuacion estacionaria equivalente, que sera la que se resuelva:

∇k∇T 1 +ρcv

∆tT 1 =

ρcv

∆tT 0 (5.2)

Esta es una ecuacion del tipo de Helmholtz (5.3), para la cual existen multitud de programas de resolucion.De entre ellos se ha escogido uno realizado por el mismo grupo que ha desarrollado el boxlib. De hecho, elcodigo amrpoisson esta basado en la librerıa. Dicho codigo ha sido programado en C++ y FORTRAN,basandose plenamente en las capacidades de calculo de boxlib, y resuelve, en el caso mas generico, laecuacion de Helmholtz en un dominio de malla adaptativa.

∇ · β(r)∇Φ(r) + α(r)Φ(r) = S(r) (5.3)

El funcionamiento del software amrpoisson es totalmente independiente (no necesita acoplarse aningun codigo), con lo que ha tenido que ser modificado para que aceptara ciertos datos externos (comola posicion de las mallas en cada nivel) de modo que pudiera actuar como una funcion dependiente delos parametros suministrados por el programa principal. Para ello se ha modificado la interfaz externa,ası como el manejo de variables en memoria, que ahora pueden venir suministradas desde el exterior.

En resumen, se ha seleccionado un programa disenado para resolver la ecuacion de Helmholtz (y portanto la de Poisson y Laplace) en dos dimensiones bajo malla adaptativa, y se ha preparado para poderser acoplado a codigos, funcionando a modo de modulo independiente. La ecuacion de difusion se resuelvemediante el metodo de multigrid adaptado al esquema AMR.

5.1.4. Programa principal

De cara al buen funcionamiento de los anteriores modulos, se requiere una estructura de control quelos vaya haciendo funcionar, ası como que transfiera los datos necesarios de unos a otros. Teniendo encuenta que se deberan manejar estructuras de datos propios de AMR, es aquı donde la librerıa boxlib

presenta una gran funcionalidad.

Manteniendo la filosofıa basica de no escritura de codigo ya existente, se ha partido de un codigo [49]realizado por los creadores de la librerıa boxlib. Dicho codigo habıa sido disenado para la simulaciondel funcionamiento interior de calderas. La estructura de las ecuaciones a resolver es la misma de lasque se presentan en la fusion nuclear, si bien teniendo en cuenta la enorme diferencia de las condiciones


termodinamicas de los ambitos de de aplicacion, es necesario sustituir los nucleos de resolucion de lasecuaciones, tanto en el caso de fluidos como en el de la ecuacion de transporte. Esas modificaciones vienenjustificadas por los siguientes motivos.

Necesidad de la consideracion detallada de fuertes ondas de choque dentro del campo fluido. Seimpone la necesidad de utilizar algoritmos de gran robustez, como puede ser el solver de Riemann.Asimismo, se aplican tecnicas avanzadas de seguimiento de frentes. Todo ello se encuentra incorpo-rado en el codigo arwen [125], uno de los pilares sobre los que se ha construido este trabajo.

Consideraciones especiales sobre el campo de radiacion. La materia puede no encontrarse en equili-brio termodinamico local (LTE), y el campo de radiacion alejarse del espectro planckiano, con lo quees necesario un tratamiento mas detallado del espectro mediante multigrupos de energıa. Asimismo,el acoplamiento de materia y radiacion hace que se produzcan grandes variaciones en la emisivi-dad al variar la temperatura, teniendo en cuenta que los casos a resolver presentan temperaturasmuy altas. Esto exige un tratamiento especial con una linealizacion del planckiano implıcitamenteincluida en las ecuaciones.

Estas consideraciones especiales no estan contempladas, por no ser necesarias en el calculo del campode radiacion en calderas. Por esa razon se precisa la sustitucion de la parte del codigo encargado dela resolucion de ecuacion de transporte, utilizando para ello el anteriormente mencionado dafne.

La sustitucion de las partes de codigo encargadas de la resolucion de ciertas ecuaciones (transporte,conduccion) se ha realizado, como ya se ha comentado en este capıtulo, manteniendo una estructurade caja negra de modo que su funcionamiento fuera totalmente modular. Esto ha obligado tambien arealizar ciertas modificaciones sobre el programa principal, encargado de controlar el funcionamiento decada uno de los modulos. La mayorıa de los desarrollos realizados sobre los algoritmos del codigo han sidoprogramados sobre este programa principal, ya que es el que controla el traspaso de informacion entremodulos.

El desarrollo y la introduccion de modificaciones en esta parte del codigo se han realizado con vistasa posteriores modificaciones del mismo. Se ha hecho hincapie en la modularidad pensando en futurassustituciones de los nucleos de calculo para mejorar el rendimiento global.

5.1.5. Modulos auxiliares

En los puntos anteriores se han presentado diversos modulos encargados de la resolucion de partesconcretas de las ecuaciones que rigen el comportamiento de los sistemas bajo estudio. Sin embargoexisten otras librerıas desarrolladas y mejoradas en el ambito de la tesis que son tambien necesarias parael funcionamiento global. Principalmente se trata de las siguientes.

Ecuaciones de estado. Con el fin de realizar simulaciones de materiales reales, es imprescindible laincorporacion de fuentes de datos rapidas y fiables. Como continuacion del trabajo desarrollado porel autor de esta tesis en [88] se ha realizado una librerıa de manejo de datos termodinamicos. Dichalibrerıa esta preparada tanto para el uso de datos de la librerıa de datos sesame [47] como datosproducidos con los modelos del codigo qeos [86] (presion, energıa e ionizacion). Este modulo esutilizado intensivamente en diversos calculos del codigo arwen, tanto en la parte de fluidodinamicacomo en la de transporte de radiacion.

Datos atomicos. En clara relacion con el punto anterior, se encuentra la lectura y manipulacion dedatos atomicos (emisividad y coeficiente de absorcion) de materiales reales. La librerıa sesame

5.2. Estructura global del nuevo codigo 87

anteriormente presentada provee de las medias de Roseland y Planck para un solo grupo. Con elfin de realizar calculos en multigrupos de energıa, la librerıa sesame se muestra insuficiente. Se hatrabajado tambien con el codigo alexandrit [108] de generacion de datos atomicos para mezclasde materiales. Este calcula coeficientes de absorcion en multigrupos de energıa basandose en elmodelo hidrogenoide apantallado. Actualmente se pueden incluir datos en multigrupos de energıaprocedentes de dicho codigo, lo que capacita para realizar calculos en multigrupos de energıa.

Escritura en disco y postproceso. Tambien como continuacion de los trabajos realizados en [88] seha mejorado e implementado el sistema rwm de lectura y escritura de datos cientıficos. Dichosistema se encarga del volcado de resultados a disco y como interfaz para el postproceso grafico[103]. El postproceso grafico es en numerosas ocasiones fundamental para una correcta y rapidainterpretacion de los datos obtenidos. Es por ello que su desarrollo se ha considerado siempre unaactividad prioritaria.

5.2. Estructura global del nuevo codigo

Como ya se ha apuntado en la seccion anterior, con el fin de no repetir la programacion de codigo delibre acceso, se han aprovechado partes de codigos ya realizados para la construccion del nuevo codigode simulacion fluidodinamica bajo malla adaptativa. Dicho codigo se basa en una estructura o programaprincipal que se encarga, tanto de la transmision de datos necesaria en AMR, como de la llamada a losdiferentes modulos encargados de resolver las ecuaciones pertinentes.

De modo ya estudiado en el capıtulo correspondiente, las ecuaciones de fluidos en un campo deradiacion se tratan, en el caso mas generico, de las encargadas de resolver la evolucion de tres sistemas:el fluido ionico, el electronico y el campo de radiacion. El principal punto de acoplamiento entre los tressistemas se encuentra en la ecuacion de la conservacion de la energıa. Los electrones absorben energıaproveniente del campo de radiacion, e igualmente intercambian energıa con los iones

5.2.1. Flujo de informacion entre modulos

El diagrama de flujo del codigo esta basado en la division de operadores, u operator splitting, demodo que la resolucion de las diversas ecuaciones en juego se realiza independientemente. El conjunto deecuaciones a resolver por el codigo son las expuestas en el capıtulo 2:

∂ρ∂t

+ ∇ · (ρu) = 0

∂(ρu +1c2

F r)∂t

+ ∇ · (ρuu) = −∇Pm −∇·=

Pr

∂ρEm + Er∂t

+ ∇ · [(ρEm + Pm)u + F r] = SE + ∇ · qC + ∇ · qr

1c∂I∂t + Ω · ∇I + κ · I = ε

∇ · qC = −∇ · ke∇T

∇ · qr =∫(κ · I − ε) dν

=

Pr = 1c

∫ΩΩI dΩ dν

Er = 1c

∫I dΩ dν

(5.4)

El anterior conjunto de ecuaciones es valido en el caso general (una vez justificado el no tratamientorelativista). Sin embargo, en los casos comunes se pueden despreciar algunos de estos terminos cuando


Control principal

dafne

amrpoisson

arwen

Figura 5.1: Estructura modular del codigo.

estan sumados a otros de mayor valor. De cara a realizar una comparacion aproximada de las magnitudesen juego, se pueden utilizar modelos simples, como son suponer un campo de radiacion planckiano (concierta anisotropıa) y usar el modelo de gas ideal totalmente ionizado para la materia. Las expresionesque se obtienen son las siguientes:

Er = 4σc T 4 Em = (1+Z)ρRT

(γ−1)AEr

Em= 4σ(γ−1)A

c(1+Z)R· T 3

ρ

1c2 Fr ≈ σ

c T 4 Fr/c2

ρu ≈ σuc2 · T 4

ρ

Pr = 4σ3c T 4 Pm = (1+Z)ρRT

APr

Pm= 4σA

3c(1+Z)R· T 3

ρ

(5.5)

Como caso particular, se presenta una situacion comun en muchas de las simulaciones que se realizan conel codigo. Sea un gas de aluminio que ha sido calentado mediante un laser y esta sufriendo una expansionlibre. Valores tıpicos de esa situacion son:

ρ = 100 kg/m3 T = 100 eV v = 104 m/s

donde la temperatura se mantiene en un nivel alto, la densidad es menor que la del material solido peroaun alta, y la velocidad corresponde a la de una expansion libre. Se calculan por tanto, valores particularespara las magnitudes tanto del campo de radiacion como de la materia. En lugar de utilizar el modeloaproximado de gas ideal, los datos de la materia se han obtenido para este ejemplo mediante la librerıasoftware qeos.

Er = 1,3 · 106 kJ/m3 Em = ρ(em + 1

2u2)

= 1,02 · 109 kJ/m3

1c2 Fr = 1,5 · 10−8 kg/(m2s) ρu = 106 kg/(m2s)

Pr = 4,5 · 108 Pa Pm = 3,57 · 1011 Pa

(5.6)

Para esos valores comunes, se observa como Er < Em, Fr/c2 ρu y Pr < Pm. No obstante, observandola tendencia de la razon entre ellas (expresion 5.5) se aprecia que para mayor temperatura, se puede llegara invertir la relacion.

Con esas consideraciones en mente, y en favor de la simplicidad y rapidez de ejecucion, se ha decididoprescindir de ciertos terminos en las ecuaciones anteriores. Ası, se desprecia Er frente a Em, ası como

F r/c2 frente a ρu. Del tensor de presion de radiacion (=

PR) se desprecian las componentes no diagonales,considerando un valor promedio de las componentes diagonales. De este modo acaba definiendose un valor


escalar de presion de radiacion.

=

P→=

P∗

=

P∗i,j = 0 i = j

=

P∗i,i = 1

3

∑i

=

P i,i= 13Er

(5.7)

de este modo, las ecuaciones a resolver quedan del modo:

∂ρ∂t

+ ∇ · (ρu) = 0∂ρu∂t

+ ∇ · (ρuu) = −∇(Pm + Pr)∂ρEm

∂t+ ∇ · [(ρEm + (Pm + Pr)) u] = SE + ∇ · qC + ∇ · qr

1c∂I∂t

+ Ω · ∇I + κ · I = ε

∇ · qC = −∇ · ke∇T

∇ · qr =∫(κ · I − ε) dν

Er = 1c

∫I dΩ dν

Pr = 13Er

(5.8)

Estas simplificaciones realizadas sobre las ecuaciones introducen unas limitaciones en las capacidades deresolucion del codigo. Basicamente se trata de una limitacion en temperatura. El no considerar los efectosmecanicos (presion y cantidad de movimiento) de la radiacion sobre la materia no es aceptable a partir decierta temperatura. Volviendo a la expresion 5.5, se tiene que la presion del campo de radiacion igualarıaa la de la materia para cierta temperatura:

Pr = Pm → T ≈ 3

√3(1 + Z)ρRc

4Aσ≈ 1 keV (5.9)

ocurriendo algo semejante para la energıa.

En una simulacion se logran semejantes temperaturas solo en zonas muy localizadas donde incideun laser, o en frentes de colision de ondas de choque. Sin embargo, el desarrollo del movimiento fluidose produce en zonas de menor temperatura, donde las magnitudes mecanicas de la radiacion puedendespreciarse. Por otra parte, en esas zonas de alta temperatura, las condiciones del campo de radiaciondistan mucho de ser las de un Planckiano, produciendose importantes fugas de radiacion a zonas demenor temperatura y bajando por tanto el nivel de intensidad de radiacion y sus efectos mecanicos. Sinembargo, hay que tener claro que podrıa haber problemas al simularse, por ejemplo, el interior de unaestrella donde la temperatura fuera globalmente de varios kiloelectronvoltios de magnitud. Esa clase desistemas ven dirigido su movimiento fluido por efectos de la radiacion. Igualmente podrıa suceder enzonas calientes (cientos de electronvoltios) de muy baja densidad, como es el caso de las coronas estelares[80]. Ese regimen es conseguido en el caso de ablacion por laser, sin embargo ese flujo de muy bajadensidad no presenta importancia frente a otras zonas mas densas (que son simuladas con precision) ylas aproximaciones realizadas lo reflejan con suficiente exactitud.

Dada la gran complejidad de las ecuaciones resultantes, incluso tras imponer las simplificaciones quese acaban de tratar, se realiza una division de los operadores (operator splitting) para resolverlo. Dichometodo es tratado en el capıtulo 3. La pauta de division de los calculos se ve reflejada en la figura 5.2 yes la siguiente:

Ecuaciones de fluidos. Avance de las ecuaciones de conservacion de la masa, cantidad de movimientoy energıa sin terminos de conduccion (∇ · qC) ni radiacion (∇ · qR).

∂ρEm

∂t+ ∇ · [(ρEm + (Pm + Pr))u] = SE (5.10)


El punto de partida del calculo es el vector de estado (ρ0, (ρu)0, (ρe)0), dando como resultados losvalores finales de densidad y velocidad, y uno intermedio de energıa (ρ1, (ρu)1, (ρe)∗).

Conduccion de calor. Incremento de energıa debida a la conduccion. Se resuelve el incremento detemperaturas a partir de las calculadas con las ecuaciones de fluidos. Al considerarse la velocidady densidad constantes, se tiene que dEm = dem = cv dT .:

∂ρEm

∂t= ∇ · qC → ρcv

∂T

∂t= −∇ · ke∇T (5.11)

En estos calculos se recibe el vector de estado ya obtenido mediante el modulo anterior (ρ1, (ρu)1, (ρe)∗).A partir de el, mediante el uso de las ecuaciones de estado, se calcula el campo de temperatu-ras y se avanzan en el tiempo segun la anterior ecuacion. El resultado es un vector de estado(ρ1, (ρu)1, (ρe)∗∗).

Transporte de radiacion. Se actua de un modo similar al de la conduccion de calor, calculando lacantidad de energıa que se transmite mediante radiacion y corrigiendo de ese modo.

∂ρEm

∂t= ∇ · qR →

1c∂I∂t

+ Ω · ∇I + κI = ε

∇ · qR =∫(κI − ε) dν

(5.12)

En este caso, como principal particularidad, se obtiene un sistema de ecuaciones en el que aparecela variable intensidad de radiacion (I) junto con la temperatura (T ) (o energıa) del medio. Dichosistema presenta un fuerte acoplamiento no lineal (concentrado en las dependencias Em(T ), ε(T ))que se tratara en secciones posteriores. El tratamiento correcto de ese acoplamiento es una de lastareas desarrolladas en esta tesis. El resultado de la correccion de energıa calculada en este paso,es el definitivo en el paso de tiempo dado (ρ1, (ρu)1, (ρe)1)

Cada uno de los modulos de resolucion recibe datos del anterior en todas las mallas de todos loniveles AMR. Con esos datos fısicos calcula los coeficientes de las ecuaciones a resolver y entrega losdatos pertinentes a la estructura de control de todo el proceso. Tal y como se ha esquematizado el flujode informacion en la figura 5.2, cada uno de esos modulos realiza un calculo en malla adaptativa, sobreuno o mas niveles de refinamiento, siguiendo el esquema de avance temporal que se explica en la siguienteseccion.

5.2.2. Avance temporal de las ecuaciones

El el capıtulo 4, referente a calculos en malla adaptativa, se han explicado las bases del refinamientotanto espacial como temporal que se realiza en los diferentes niveles de simulacion. Existe una diferenciafundamental entre las ecuaciones de fluidos y las de conduccion o radiacion. La ecuacion de conducciones de tipo parabolico, mientras que las de fluidos o radiacion tienen caracter hiperbolico. En este ultimo

CFD Conduccion Radiacion

(ρ, ρE, ρu)0 (ρ, ρ(E + ∆E), ρu)

T ∗ T ∗∗

Figura 5.2: Diagrama de flujo del codigo arwen.


caso, esta diferencia supone que en un cierto incremento de tiempo, las perturbaciones en la solucion hanpodido tener unicamente un efecto local es decir, estan localizadas en un entorno del origen de la misma.De este modo, una vez localizadas las zonas que precisan refinamiento, se sabe que no se desplazaran avelocidad mayor que la de propagacion de ondas. En el caso de la ecuacion de transporte, sin embargo,esa velocidad es la de la luz, considerablemente mayor que cualquier otra que aparezca en el sistema(< 400 km/s). Es por eso, que a nivel practico, su resolucion equivale a un problema estacionario, en elque se despreciara el termino de la ecuacion de la derivada temporal por ir dividido por un valor muygrande (la velocidad de la luz). La ecuacion estacionaria es un ejemplo de problema en el que al igual queen los parabolicos, las perturbaciones se transmiten instantaneamente por todo el sistema.

Esta diferencia de comportamientos en cuanto a la propagacion de perturbaciones obliga a un trata-miento especial en el caso de la resolucion con malla adaptativa. En concreto afecta a la posibilidad derefinamiento temporal, una de las capacidades del metodo AMR. Mediante este metodo los niveles demallado mas grueso utilizan un paso de tiempo mayor que los refinados. En la figura 5.3 se representacomparativamente el avance temporal en los diferentes niveles de refinamiento, para la resolucion de lasecuaciones de fluidos por una parte, y de conduccion y radiacion por el otro.

Ecuacion hiperbolica Ecuacion parabolica

l = 0l = 0

l = 1l = 1

l = 2l = 2

∆t∆t

Figura 5.3: Esquemas de avance temporal para ecuaciones hiperbolicas y parabolicas.

En el caso de las ecuaciones parabolicas y elıpticas, al contrario que en las hiperbolicas, no se puedeasegurar que una zona que precise refinamiento (un frente termico, por ejemplo) no se mueva a unavelocidad suficientemente alta como para escapar de un dominio de gran refinamiento. De ese modo, elutilizar el resultado de malla gruesa avanzado en el tiempo para construir las condiciones de contornode una malla interior en un instante actual puede suponer en algunos casos la introduccion de erroresinaceptables.

El modo de actuacion es entonces, en cuanto a funcionamiento de cada uno de los modulos del codigo,el representado en la figura 5.2 para cada paso de tiempo del nivel mas refinado (paso de tiempo menor).En cada una de las ejecuciones de cada modulo, y teniendo en consideracion lo expresado anteriormenteen este punto, cada modulo procedera a la resolucion de uno o varios niveles AMR. Concretamente, en elcaso de la conduccion y la radiacion se procedera a la resolucion de todos los niveles de refinamiento paracada paso de tiempo del nivel mas refinado. Por el contrario, en el caso de la resolucion de las ecuacionesde fluidos (hiperbolicas), se procedera a la resolucion de un cierto numero de niveles que dependiendo delcaso podra oscilar entre uno y todos (ver figura 5.3).

El esquema que se ha introducido para el tratamiento de las ecuaciones de conduccion y transporte escapaz de aprovechar las capacidades del metodo AMR en menor medida que en el caso de las ecuacionesde fluidos. En este ultimo caso se realiza un numero de calculos menor que en las primeras para una


misma estructura de mallas.

Una implicacion adicional que aparece al suponer una propagacion instantanea a la luz es que no tienesentido ya las consideraciones relativistas tratadas en otros capıtulos. En ellos se detalla que ciertos autores[73] muestran que ciertos terminos relativistas son necesarios para mantener cierta consistencia incluso enregımenes de baja velocidad. Como explican, son necesarios para reproducir correctamente la velocidaddel frente de radiacion. En el caso de suponer que c → ∞, se introduce una perdida de precision temporalcontrolada, tal que encubre la perdida de precision por no incluir terminos relativistas. Resumiendo: unavez se renuncia a una precision temporal del orden del tiempo de propagacion de la luz, no es necesario enabsoluto retener los terminos relativistas. Hay que tener en cuenta, sin embargo la limitacion de precisiontemporal que esto impone.

5.2.3. Algoritmo de calculo de mallas.

Tal y como se explico en el capıtulo 4 dedicado al metodo AMR, un proceso importante es la seleccionde las zonas del sistema que necesitan refinado. Cada cierto numero de calculos se realiza un examen delsistema, en busqueda de zonas que no cumplan un cierto criterio de precision en su resolucion. Una vezseleccionadas se construyen mallas de mayor refinado para la posterior resolucion.

En este trabajo de tesis se ha implementado la condicion de refinamiento de modo que pueda sersustituida de un modo sencillo por cualquier otro criterio. Los criterios de marcado para refinamientopueden en principio afectar a todas las variables que se calculan en el sistema. Sin embargo no es adecuadoaplicar los mismos criterios a todas ellas.

El proposito optimo del marcado de celdas para refinamiento es intentar conseguir la propiedad delmetodo AMR de error homogeneo de calculo. Como ya se mostro en el capıtulo correspondiente, elerror de calculo homogeneo en todo el sistema optimizarıa los recursos de calculo para un error dado.Sin embargo para poder calcular el error se deberıa poder conocer la solucion exacta para realizar unacomparacion. El metodo alternativo ya comentado es el de la extrapolacion de Richardson, que darıauna buena aproximacion al error local de calculo. Sin embargo ese metodo exige duplicar el numero decalculos, con lo que se ha considerado que es demasiado costoso desde el punto de vista de computacion.

Existen metodos alternativos de mucha mas rapida implementacion y calculo, que dan resultadossemejantes al de Richardson. Los errores numericos no se suelen presentar en zonas suaves del sistema.Como zona suave se podrıa definir una en la que el valor de las primeras o segundas derivadas fueransuficientemente pequenas. Es por ello que como un criterio de localizacion de errores se buscan zonasdonde la variacion relativa de una variable respecto a sus celdas contiguas no supere un cierto valor. Enel caso unidimiensional se expresarıa por:

|ui±1 − ui| > M · |ui| (5.13)

siendo directamente extensible a varias dimensiones. Igualmente se puede aplicar este metodo a las deri-vadas segundas, calculadas de modo discreto segun metodos conocidos.

Mediante este sistema se asegura que tratando funciones de un comportamiento normal (sin disconti-nuidades), un suficiente refinamiento de la malla llegarıa a provocar que se dejara de cumplir la restriccion.Es esa una condicion deseable, para que no se produzcan refinamientos excesivos en el sistema. Este meto-do de la variacion local es el que se esta utilizando para las variables de fluidodinamica.

Sin embargo en el caso de la intensidad de radiacion calculada por el metodo de ordenadas discretas,como en esta tesis, este metodo puede no ser adecuado. En calculos de transporte, pueden llegar a


producirse fuertes gradientes en zonas del sistema donde no es necesario un refinamiento. Puede ser elcaso de gradientes transversales a la direccion, como en el caso del efecto sombra, representado en elmapa de intensidades de radiacion de la figura 5.4.

Figura 5.4: Efecto sombra producido por un obstaculo frente a una fuente de radiacion.

En dicha figura se puede observar una fuente de radiacion en la esquina inferior izquierda (la cuartaparte, por simetrıa), ası como un obstaculo en la zona derecha, que produce una sombra a su derecha.En la figura se aprecia una variacion brusca de la intensidad, que en el caso de una fuente puntual setraducirıa en una autentica discontinuidad. Sin embargo, esa zona donde se produce el fenomeno norequiere de refinamiento, ya que se trata de una zona de escaso interes, y donde realmente la propagacionde la radiacion se hace de un modo suave (en la direccion de propagacion). Mediante este ejemplo seintenta mostrar que el valor de los gradientes no es siempre una buena manera de localizar zonas derefinamiento para AMR. En el caso de este trabajo se ha tomado como criterio una combinacion entreel gradiente y el propio valor de la intensidad de radiacion. Se fija un valor mınimo, dependiendo delcaso en cuestion, a partir del cual se considera el refinamiento en funcion del gradiente. Hay que resaltarque en el caso de propagacion en medios poco densos, donde se producen efectos sombra, la radiacionproduce calentamiento de la materia que finalmente puede hacer actuar el criterio del gradiente para latemperatura del material.

La seleccion de mallas para el caso de calculos estacionarios de transporte de radiacion (se despreciala derivada temporal) presenta una dificultad adicional respecto al campo fluido. A pesar de tratarse deuna ecuacion hiperbolica, al no tener dependencia temporal, las senales se propagan a velocidad infinita,con lo que no hay ninguna seguridad de predecir la aparicion de zonas que necesiten refinado. En el casode la fluidodinamica, la condicion de Courant limita la propagacion de discontinuidades u otras zonasproblematicas. Sin embargo, en el caso del transporte de radiacion la unica garantıa es que el campo deradiacion es producido por la emision de la materia, con lo que ambas estan relacionadas fuertemente.

La calibracion del criterio de seleccion de mallas se realiza teniendo en cuenta consideraciones dela precision espacial que se desee tener. El metodo AMR presenta gran utilidad donde el numero deceldas marcadas para refinamiento no tome valores altos, ya que eso significa que existiran varios nivelesrepresentando un dominio fısico semejante. En ese caso se produce una gran multiplicidad de calculos, yaque se realizan calculos en todos los niveles, pero solo la solucion del nivel mas fino es la que prevalece.En el caso de obtenerse una simulacion en la que ocurre eso (alto porcentaje del dominio de un nivelcubierto por el siguiente mas fino), se pueden aplicar dos soluciones. Por una parte relajar el criterio derefinamiento, con lo que se obtendrıan soluciones de peor calidad, o aumentar el refinamiento del nivelbase, lo que mantendrıa la calidad y mejorarıa el rendimiento del esquema.


5.3. Desarrollos en modulos auxiliares.

El desarrollo de esta tesis doctoral se ha centrado en la programacion y posterior uso de un codigoque resuelve la ecuacion de transporte de radiacion en malla adaptativa. No obstante con el fin de po-der utilizar dicho codigo y poder analizar sus resultados, es necesario disponer de todo un conjunto desistemas auxiliares de que un modo u otro se utilizan de modo complementario. En la seccion 5.1.5 sedescribieron algunos de ellos, siendo todos ellos totalmente indispensables para el buen desarrollo de estetrabajo. En alguno de los casos de estos modulos auxiliares, se han tenido que realizar modificacionespara su uso, o para adaptarse a las especiales condiciones de calculo de este codigo (formatos de datos,. . . ). Estas modificaciones colaterales no forman parte propiamente del trabajo de tesis, pero conjunta-mente han ocupado una cantidad de tiempo muy considerable, con lo que considero de justicia incluiruna breve resena en esta seccion. Hay que resaltar que todas estas pruebas y mejoras hechas sobre elsoftware utilizados han dado a lugar progresos en diversos campos desde el calculo de opacidades hastala representacion grafica bajo entorno unix.

5.3.1. Calculo de opacidades

De cara a una resolucion precisa de la ecuacion de transporte es tan importante disponer de buenosalgoritmos como de coeficientes calculados correctamente. En los coeficientes de la ecuacion aparecenentre otros, datos atomicos de los materiales del sistema. Es pues necesario conocer con precision valoresde magnitudes como la opacidad y la emisividad de dichos materiales. Dichos datos se pueden obtenertanto de bases de datos (sesame) como de programas de calculo que ya se han comentado anteriormente.Los trabajos realizados se clasifican en dos categorıas:

Mejora de algoritmos.

Desarrollo de nuevas utilidades.

Dentro de la mejora de algoritmos, se trata de los programas alexandrit y jimena, habiendoseseleccionado para su uso este ultimo por su mayor precision y flexibilidad de calculos. En ambos casosse extendio su rango termodinamico de aplicacion (ρ, T ) aunque siguen existiendo regiones donde exis-ten problemas de convergencia. Dichas regiones corresponden a zonas de baja temperatura y muy altadensidad (superior a la del solido en condiciones ambientales). Se han implementado interpolaciones yextrapolaciones para poder utilizar datos en esas condiciones. Sin embargo esos rangos no se suelen daren las simulaciones, y en todo caso corresponden a zonas de baja emisividad y extremadamente altaopacidad.

El modo de utilizacion de las opacidades en el codigo se ha disenado para un funcionamiento lo masrapido posible. El proceso se basa en la lectura de tablas de datos que cubren todo el rango termodinamicoesperado (se puede extrapolar, pero no es recomendado). Los datos se encuentran ya colapsados en elnumero de grupos de energıa en el que se realizaran los calculos, con lo que apenas requieren de calculosadicionales para su uso.

La generacion de tablas a partir de los programas de calculo de opacidades es un proceso costoso, quepuede tardar varias horas. Con el fin de disponer de un conjunto de datos que permita generar tablas conflexibilidad y rapidez, se han desarrollado y programado unas utilidades complementarias. El proceso degeneracion de datos se realiza en dos pasos:

5.3. Desarrollos en modulos auxiliares. 95

Generacion de tablas detalladas. Mediante el programa jimena se generan tablas de datosatomicos (diferentes opacidades) con gran precision energetica (normalmente unos 4000 grupos).Esta operacion tarda varias es necesario realizarla una unica vez, pudiendose almacenar el ficheroresultante para posterior operacion. Dicho fichero es comunmente de muy gran tamano, con lo queno resulta apto para su uso directo.

Colapsamiento de los datos en energıa. Mediante una nueva utilidad y A partir de los datos delfichero anterior se produce un colapsamiento en energıa, calculando las medias de Planck y Rosselandpara los grupos de energıa especificados. Este proceso no requiere de calculos de opacidades, con loque resulta notablemente mas rapido. Asimismo en este proceso se pueden unir en un unico ficherolos materiales que se vayan a utilizar en el calculo.

Mediante la utilizacion de todo el conjunto de aplicaciones se ha logrado un sistema versatil quepermite poner a punto los ficheros de datos atomicos de un modo rapido.

5.3.2. Visualizacion de resultados

Como ya se ha mencionado anteriormente, la visualizacion grafica de los resultados de una simulaciones no solo una parte atrayente, sino de enorme valor para la investigacion. Como continuacion de trabajospasados [88, 103] se ha continuado el trabajo de desarrollo de utilidades de visualizacion y manejo rapidode los datos calculados por el codigo. En esa lınea se ha perfeccionado el sistema de almacenamientode datos en disco, aumentando la velocidad de acceso a los mismos. Se ha conseguido reducir el tiempode acceso a grandes ficheros de datos, siendo ahora la exploracion de un fichero de 600MB una tareapracticamente instantanea.

Respecto a la representacion grafica, se ha mejorado el codigo skel de visualizacion, anadiendo nuevascapacidades para generacion de vıdeos. Esto unido a la utilizacion de software publico de libre distribucion,permite la exportacion a cualquier formato grafico o incluso la generacion de vıdeos MPEG o DivX, dealto grado de compresion.

5.3.3. Resolucion de la ecuacion de conduccion

La resolucion de la ecuacion de conduccion bajo AMR se ha realizado utilizando el codigo amrpoisson

con capacidad de resolver la ecuacion de Helmholtz (5.3). Este sistema fue originalmente disenado paraun funcionamiento autonomo y ha tenido que ser modificado para su inclusion como parte integrante delcodigo fruto de esta tesis.

Primeramente esas modificaciones incluyen la separacion entre las partes de calculo del resto (gene-racion de mallas, . . . ). En el funcionamiento integrado, las definicion de las mallas, coeficientes, sistemasde coordenadas y otros datos son proporcionados por la parte de gestion del codigo principal. Es portanto facilmente comprensible que se ha tenido que modificar completamente toda la seccion de entraday salida de datos del codigo original.

Por otra parte, el esquema de resolucion numerico ha sido tambien alterado. El codigo amrpoisson

tiene implementados tres algoritmos de resolucion de ecuaciones elıpticas. Estos son los siguientes:

Multigrid (MG)

MG con precondicionador de Gradiente Conjugado (MGCG).


MG con precondicionador estabilizado doble de Gradiente Conjugado (MGBiCG).

donde los metodos ha sido enumerados en orden creciente de velocidad de funcionamiento. Por esarazon normalmente se utiliza el metodo MGBiCG, de mayor tasa de convergencia. Sin embargo, encasos normales de simulaciones fluidodinamicas se presentan en el sistema grandes variaciones en loscoeficientes, incluso discontinuidades. Esto hace que en determinados casos no se de la convergencia dedicho esquema. Para esos casos se ha incluido en el codigo un control de la convergencia del metodo,utilizando inicialmente el metodo MGBiCG y en caso de no llegar al lımite de convergencia en un numerode iteraciones dado, se repiten los calculos utilizando el metodo MG que presenta una mayor robustez ysegura convergencia en las condiciones termodinamicas que puede tratar el codigo.

5.4. Estrategia para los calculos de transporte de radiacion.

Como punto de partida para la construccion de un algoritmo de transporte de radiacion en AMR,se ha tomado el codigo twodant ya presentado en este capıtulo. Dicho codigo incluye todo un nucleode resolucion de las ecuaciones de ordenadas discretas utilizando el metodo DSA de aceleracion de laconvergencia. El esquema de calculo de twodant se describe en detalle en [4], donde se aprecia quese basa en unos bucles iterativos anidados (convergencia dentro de un grupo energetico dentro de laconvergencia entre diferentes grupos). El codigo twodant fue originalmente disenado para calculosneutronicos estacionarios en reactores u otros sistemas donde hubiera flujos neutronicos. Para poderutilizarse en el codigo producto de esta tesis, ha sido necesario afrontar tres principales modificacionespara contemplar las siguientes particularidades:

Composicion arbitraria: En el caso de las simulaciones fluidodinamicas, la composicion delsistema es principalmente heterogenea y cambiante con el tiempo. Es por eso que el sistema dedescripcion geometrica y de composicion del twodant hubo de ser fuertemente modificado, perorespetando todos los algoritmos de calculo para mantener su eficacia. Este punto no se va a trataren mas profundidad ya que, a pesar de lo costoso de programar, no supuso ningun avance fısico ode programacion.

El codigo arwen poseıa ya un sistema de definicion de la composicion inicial del sistema y conformeel sistema fısico evoluciona, la parte que resuelve el campo de radiacion recibe todos los datos decomposicion y condiciones termodinamicas para poder calcular los parametros atomicos necesarios.

Interaccion radiacion-materia: Esta interaccion se manifiesta como una realimentacion en coe-ficientes y termino independiente de la ecuacion de transporte. Esta realimentacion se produce porlos efectos termicos que la absorcion y emision de radiacion producen en el sistema. La realimenta-cion entre materia y radiacion es de tipo no lineal, con lo que requiere de un tratamiento especialen su implementacion. El esquema de implementacion de este efecto sera tambien desarrollado endetalle en la seccion 5.7, ya que corresponde con uno de los puntos principales de desarrollo eimplementacion de algoritmos.

Funcionamiento bajo malla adaptativa: Esta parte si ha supuesto un gran montante deprogramacion original, que ha supuesto gran parte del objetivo de esta tesis. Se trataba basicamenteen implementar el modulo de resolucion de transporte, convenientemente modificado acordementeal punto anterior, en un esquema multimalla. En el interior de ese modulo (originalmente codigotwodant) no hay ninguna constancia de que los calculos a realizar pertenezcan a un sistemamultimalla, de modo que todo depende del proceso externo que se haga de los resultados de loscalculos en las diferentes mallas.

5.4. Estrategia para los calculos de transporte de radiacion. 97

La implementacion del metodo AMR se basa en introducir una estructura de control que transmitainformacion entre diferentes mallas. El tipo de informacion transmitida se puede clasificar funda-mentalmente en dos grupos, dependiendo de si es entre mallas del mismo nivel de refinamiento odiferente. En todo caso este punto sera tratado en la seccion 5.6.

Teniendo en cuenta la importancia de los desarrollos llevados a cabo en este punto, en posterioressecciones se detallara tambien de modo pormenorizado el trabajo realizado.

En la implementacion de los algoritmos se ha respetado lo maximo posible la estructura modular delcodigo de resolucion de la ecuacion de transporte en malla simple. Esta alternativa de caja negra presentaventajas e inconvenientes, pero tras valorarlas se decidio incorporar esa opcion.

Como ventaja se tiene la posibilidad de sustitucion por otros modulos de un modo sencillo. Avan-zando comentarios que se haran posteriormente, se tiene ya en mente como trabajo posterior a estatesis la sustitucion por un software de desarrollo propio. Esta facilidad de sustitucion es deseableen un software que probablemente este sujeto a numerosas mejoras y desarrollos futuros.

Adicionalmente a lo anterior, existe la posibilidad de paralelizacion de los calculos de transporte (losmas costosos de todo el codigo). Una vez facilitados los coeficientes de la ecuacion y las condicionesde contorno, los calculos podrıan repartirse de un modo independiente en diferentes computadores,dada la escasa interaccion entre calculos realizados en diferentes mallas.

La principal desventaja es la perdida de flexibilidad de los calculos. En principio podrıa ser inte-resante realizar los calculos parcialmente en diferentes mallas, intercambiar datos y continuarloshasta el fin. Ese tipo de esquemas no son posibles con la estructura actual. La implementacion deese tipo de esquemas podrıa imposibilitar las ventajas enumeradas en el punto anterior, con lo queha sido una decision a ponderar.

La situacion actual del codigo es la de funcionamiento modular independiente, utilizando el codigotwodant modificado. Sin embargo, con vistas al futuro se pretende relajar esa disposicion, incluyen-do la posibilidad de realizar calculos de un modo parcial, aunque intentando limitar lo mas posible lacomunicacion entre calculos de diferentes mallas, para mantener un buen funcionamiento en caso deparalelizacion.

En las siguientes secciones se presentan de un modo detallado los algoritmos implementados en elcodigo y los modos en que se han tratado las especiales peculiaridades del funcionamiento bajo AMRy acoplado con el movimiento fluido. Con la finalidad de una mayor claridad en la identificacion de losproblemas que se han tratado y las soluciones dadas, se ha estructurado la informacion en dos partesbien separadas.

Implementacion del metodo AMR.

Interaccion entre radiacion y materia.

El primero de esos puntos es del todo independiente del segundo (si bien no al reves). Esto quiere decirque los desarrollos llevados a cabo en esta tesis son totalmente validos para un funcionamiento en mallasimple, prescindiendo del esquema AMR. Es especialmente en el tratamiento del segundo punto donde seentra de lleno en las particularidades del metodo AMR que hace de esta tesis doctoral un trabajo originaly una mejora de los metodos existentes en la fecha.

El metodo de malla adaptativa, descrito ya en somero detalle en el capıtulo 4, tiene la finalidad dereducir tanto el tiempo de calculo como los requerimientos de memoria para simular un sistema con un


error numerico maximo dado. En el caso del transporte de radiacion, una de sus multiples aplicaciones,hay que tener en cuenta particularidades especiales de cara a su implementacion. Teniendo en cuenta laestructura modular del modo de resolver las ecuaciones en este trabajo, es facil diferenciar que operacionescorresponden especıficamente al esquema AMR. Fundamentalmente los procesos numericos debidos almetodo AMR se basan en transmision de informacion entre diferentes mallas de resolucion del sistema.Esos procesos de transmision de informacion se pueden catalogar en dos grandes grupos, que a su vezadmiten subdivisiones.

Transmision de informacion dentro de mallas de un mismo nivel de refinamiento.

Transmision de informacion entre mallas de diferentes nivel de refinamiento.

• Datos volumetricos.

• Flujos.

En secciones posteriores se especificara los metodos precisos utilizados en este trabajo, resaltando demodo especial las aportaciones originales del mismo, ası como las fuentes de las que se ha obtenido elresto.

5.5. Generacion de coeficientes

La ecuacion de transporte es el resultado de un modelo matematico que trata de aproximar el com-portamiento espacial y temporal de ciertos sistemas, entre ellos la radiacion electromagnetica. Sobredicho modelo se pueden realizar estudios y todo tipo de mejoras en su resolucion, pero sin embargo elpunto crucial que vincula el modelo matematico con la realidad fısica se encuentra en los coeficientes yel termino fuente de la ecuacion, que encierran las particularidades de los materiales puestos en juegoen el sistema. Es cierto que en ocasiones las condiciones de contorno pueden tambien reflejar parte delcomportamiento de los materiales simulados. Es sin embargo comun simular un dominio suficientementegrande en el que se pueda considerar que no hay entrada de radiacion termica. Es por esto que en laobtencion o generacion de los coeficientes de la ecuacion hay que poner un cuidado tan especial como enel propio desarrollo de buenos algoritmos de calculo. La resolucion precisa de una ecuacion con terminoserroneos lleva asimismo a un resultado equivocado.

Fundamentalmente los datos que se requieren para la resolucion de la ecuacion, son los coeficientesmacroscopicos (de absorcion y dispersion) ası como la emisividad. Asimismo para una resolucion completadel campo fluido es necesario tambien conocer la presion y energıa interna del mismo. En todos los casosanteriores, conocer esos datos significa conocer su dependencia con las variables variables termodinamicasbasicas: densidad y temperatura. Dicha dependencia existe al tratarse de funciones de estado. En el casode realizarse simulaciones en las que intervengas varios materiales, serıa necesario poder calcular esasfunciones para mezclas, con las particularidades que cada una de ellas tenga.

En el caso concreto de este codigo, la ecuacion a resolver para un grupo de energıa g es:

Ω · ∇Ig + κg(ρ, T )Ig = Ssg(I) + εg(ρ, T ) (5.14)

donde en Ss se han incluido los terminos relativos a la dispersion y ε representa la emisividad. Losdatos de partida para el calculo de los coeficientes son la densidad y temperatura del medio material yen previsiones a corto plazo (futura implementacion), las fracciones masicas de los diferentes materialespresentes.

5.5. Generacion de coeficientes 99

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

1e+07

1e+08

1e-20 1e-19 1e-18 1e-17 1e-16 1e-15

Coe

f. m

asic

o (m

2/kg

)

Energia fotones (J)

TotalDispersion

ρ = 1,321 kg/m3 T = 1,23 · 106 K

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

1e+08

1e-21 1e-20 1e-19 1e-18 1e-17 1e-16 1e-15

Coe

f. m

asic

o (m

2/kg

)

Energia fotones (J)

TotalDispersion

ρ = 1,321 kg/m3 T = 1,85 · 104 K

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

1e+08

1e+10

1e+12

1e-21 1e-20 1e-19 1e-18 1e-17 1e-16 1e-15

Coe

f. m

asic

o (m

2/kg

)

Energia fotones (J)

TotalDispersion

ρ = 9,82 · 103 kg/m3 T = 1,23 · 106 K

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

1e+08

1e+10

1e+12

1e-22 1e-21 1e-20 1e-19 1e-18 1e-17 1e-16 1e-15

Coe

f. m

asic

o (m

2/kg

)

Energia fotones (J)

TotalDispersion

ρ = 9,82 · 103 kg/m3 T = 1,85 · 104 K

Figura 5.5: Comparacion de absorcion y dispersion para el aluminio

5.5.1. Acciones simplificativas

De cara a afrontar el diseno de un nuevo codigo de simulacion es muy provechoso plantearse los rangosde aplicacion del mismo. De ese modo se puede llegar a conclusiones simplificativas que, sin perjudicar lacalidad de los resultados, pueden llevar a calculos mas rapidos La generacion de coeficientes se ha progra-mado del modo mas generico, sin embargo se han introducido en los calculos unas simplificaciones que, encaso de ser necesario, podrıan retirarse de un modo simple. Dichas simplificaciones y sus justificacionesson las siguientes:

Ausencia de reacciones de dispersion: tal y como se presento en la seccion 2.4.2, existendiversos tipos de procesos por los que se producen reacciones de dispersion. Sin embargo, en losrangos de trabajo del codigo, y segun se representa a modo de ejemplo en las figuras 5.5, la im-portancia relativa de las reacciones de dispersion es practicamente despreciable. Esas graficas hansido calculadas mediante el programa jimena considerando el modelo Thompson de dispersion. Lascuatro figuras representan la dependencia energetica de los coeficientes macroscopicos total y dedispersion para el aluminio en condiciones termodinamicas variadas. En todos los casos se observacomo el coeficiente macroscopico de dispersion es ordenes de magnitud inferior al total.

Si se tiene en cuenta la dispersion incoherente (efecto Compton), que cobra importancia a mayorenergıa fotonica, se aprecia que existen rangos donde puede ser predominante. Se muestra en lafigura 5.6 una comparacion de los procesos de dispersion para el aluminio. Entorno a los 100 keVde energıa sı cobra importancia la dispersion. Sin embargo para radiacion de origen termico, esaenergıa esta fuera de todo rango de aplicacion de este codigo de simulacion. Los datos de la figura5.6 han sido obtenidos mediante la aplicacion xcom de la organizacion NIST.

En todo caso, y en los rangos de aplicacion, el cociente entre el coeficiente de dispersion y el deabsorcion se puede considerar despreciable (σs/κ 1). Es por esto, y en busqueda de mayorsimplicidad de los calculos a realizar, que se han eliminado las reacciones de dispersion en loscalculos que se mostraran en la seccion de resultados. Es de senalar que el codigo esta perfectamente


Figura 5.6: Reacciones de dispersion a alta energıa en el aluminio en condiciones ambientales

preparado para poderse incluir esos calculos, pero con unas exigencias computacionales adicionalesconsiderables. Se tiene pues que en todos los calculos realizados se considera Ss → 0.

Emisividad en condiciones LTE: como ya se mostro en la seccion 2.4.2 referente a las interac-ciones entre radiacion y materia, ambos sistemas tienden a llegar a un estado de equilibrio en el quelas funciones de estado de ambos sistemas se encuentran relacionados. En concreto, y con referenciaa la emisividad de radiacion por parte de la materia, se supondra que esta es la correspondiente a lasituacion de equilibrio. La emisividad viene fuertemente gobernada por las poblaciones electronicasde los diferentes niveles atomicos. Dichas poblaciones se ven influidas por la presencia de radiacionen el medio, llegando a un valor de equilibrio cuando la temperatura de radiacion y del materialson iguales.

En el caso de considerar valores de LTE, las expresiones de opacidades y emisividad son especial-mente sencillas de calcular, segun se vio en la expresion 2.34 (ε = κ · B).

Es de resaltar, que esta suposicion tiene unas limitaciones que estan en proceso de implementacion.Mediante sencillas transformaciones en el calculo de la temperatura electronica, siguiendo el modelode Busquet [20] y su modelo radiom se llega mejores aproximaciones al comportamiento de noequilibrio. Dichas caracterısticas estan en proceso de prueba y no han sido utilizadas en los calculospresentados en este trabajo, si bien por la naturaleza modular del modelo de Busquet, este puede serimplementado sin producir ninguna perturbacion al funcionamiento del resto del codigo. El modelode Busquet, dentro de ser una primera aproximacion al tratamiento de la situacion de no-LTE,presenta unas mejoras sustanciales sobre el modelo de equilibrio [56].

5.5.2. Calculo de la emisividad en frentes

La obtencion de todos los datos fısicos de los materiales implicados en el sistema se realiza, como yase ha explicado, mediante un modulo especial de acceso a una librerıa de datos. En el caso del calculo

5.5. Generacion de coeficientes 101

de la emisividad se ha comprobado, no obstante, que es necesario tomar en consideracion precaucionesespeciales en el manejo de los datos para obtener resultados fiables. En este trabajo se han consideradounicamente emisividades calculadas segun el modelo LTE (expresion 2.34), pero siguiendo los razona-mientos es claro que todo el trabajo realizado sera igualmente necesario para el caso general.

Una particularidad de las ecuaciones de fluidos sin viscosidad es que admiten soluciones con discon-tinuidades [46]. Lo que en calculo continuo se apreciarıa como una discontinuidad, se traduce en calculonumerico como una intensa variacion de las magnitudes termodinamicas incluso en celdas adyacentes. Nohay que olvidar que en el tratamiento de ecuaciones conservativas las variables a resolver (ui) representanvalores promediados en zona:

ui =1

∆xi

∫i

u(x) dx (5.15)

Por supuesto que el calculo discreto es inherentemente discontinuo, sin embargo en la presencia dediscontinuidades o fuertes gradientes, los valores adyacentes ui, ui+1 pueden presenciar variaciones deincluso varios ordenes de magnitud. Es de resaltar que esta situacion se puede dar muy comunmente enlos problemas para los que ha sido especialmente disenado este codigo. En el campo de la fluidodinamicade alta temperatura, en presencia de intercambios subitos de energıa (deposicion de laseres, colisiones,. . . ) se producen discontinuidades (ondas de choque y de contacto) ası como perfiles de muy alto gradienteen las variables calculadas.

Esta posible propiedad de las soluciones, que la fluidodinamica es capaz de tratar con rigor y precisionen su calculo de variables, puede no obstante introducir dificultades adicionales en la obtencion de datosderivados de estas. El valor promedio de una magnitud derivada del estado termodinamico de un sistemase calcularıa, segun la expresion 5.15, del modo:

ui =1

∆xi

∫i

u(ρ(x), T (x)) dx (5.16)

donde en la expresion se ha explicitado la dependencia que presenta la variable con la densidad y tempe-ratura del material. Desafortunadamente, en las simulaciones no se conoce la expresion de las funcionesρ(x) y T (x), siendo unicamente conocidos los valores discretos ρi, Ti definidos tambien segun la expresion5.15. Comunmente, y a riesgo de reducir el orden de precision de los calculos de alto orden, se suelerealizar una aproximacion de segundo orden:

ui ≈ u (ρi, Ti) = u

(1

∆xi

∫i

ρ(x) dx,1

∆xi

∫i

T (x) dx

)(5.17)

La anterior aproximacion en casi todos los casos no introduce errores significativos en las solucionesobtenidas. En el caso de que la funcion u(ρ, T ) fuera lineal en sus dependencias, la expresion 5.17 seconvierte en una igualdad. Sin embargo en el caso de algunas magnitudes atomicas dependientes delestado termodinamico, existen dependencias fuertemente no lineales que hacen que los errores cometidossean muy grandes. En concreto, los errores cometidos sobre la emisividad pueden llegar a afectar deun modo muy negativo a todo el sistema. Cierto es que no es comun que existan fuertes gradientes deestado termodinamico mas que a lo largo de frentes (por ejemplo en la deposicion de energıa por laser ola superficie de colision de dos masas), pero sin embargo es precisamente en esas zonas donde se puedegenerar una gran parte de la radiacion existente en el sistema. La emisividad maxima se presenta enzonas de alta temperatura y densidad. Es precisamente en esos frentes de alto gradiente donde se danesas condiciones.

De cara a mitigar el efecto negativo de estos errores de calculo, se ha introducido en el codigo, comomaterial original, un esquema especial de interpolacion para el calculo de emisividades, respetando laidea original de obtener los datos a partir de tablas prefabricadas. El esquema se basa en reconstruir un


perfil espacial local continuo de las variables termodinamicas ρi(x) y Ti(x), a partir de suposiciones yde los valores discretos ρi y Ti calculadas por la fluidodinamica. Igualmente procediendo con los valorestabulares de la emisividad se puede reconstruir un perfil local ε(ρ, T ) a partir de los datos εi,j disponibles.El proceso final consiste en realizar las integrales con todos los perfiles continuos construidos (compararcon la expresion 5.16):

εi ≈ 1∆xi

∫i

ε(ρi(x), Ti(x)) dx (5.18)

donde la integracion puede realizarse analıticamente si se construyen unos perfiles continuos adecuados.El exito de la anterior expresion depende en todo modo de las suposiciones realizadas. Como ejemplose puede comprobar inmediatamente que el modo comun de actuar (presentado al inicio de este punto)equivale a:

ρi(x) = ρi; Ti(x) = Ti; εi(ρ, T ) = ε(ρi, Ti) (5.19)

Como parte del desarrollo de esta tesis se ha construido e implementado una extension del metodoutilizando como aproximaciones funciones potenciales para la emisividad [84] y exponenciales para lavariacion espacial de las variables termodinamicas. En el apendice B se explica en mas detalle el metodoası como los resultados producidos. En algunos casos la aplicacion de este metodo produjo variacionesde la emisividad de mas de un orden de magnitud en la zona de maxima emisividad, lo que produceun gran cambio en todo el campo de radiacion. Este metodo es costoso computacionalmente, pero suimplementacion se optimiza para ser utilizado solo en las zonas susceptibles de producir resultados di-ferentes (grandes gradientes). Los mejores resultados conseguidos compensan, no obstante, el esfuerzosuplementario.

Hay que resaltar como necesidad futura, que en el caso de zonas de gran emisividad y fuertes gra-dientes es precisamente donde se viola con mayor intensidad el estado LTE, con lo que una necesidadcomplementaria a la inclusion de este esquema de interpolacion sera la puesta en marcha de calculos de noequilibrio. Tal y como se ha explicado anteriormente, esa tarea se encuentra ya perfilada y estara operativaen corto plazo.

5.6. Transmision de informacion entre mallas

Dentro del capıtulo referido al metodo AMR, se ha justificado la necesidad de transmision de infor-macion entre diferentes mallas del dominio de calculo. En el caso de ecuaciones planteadas de un modoconservativo, la informacion se transmite de modo que el flujo sea concordante en fronteras comunes deun mismo nivel e incluso en diferentes niveles de refinamiento.

En el caso del transporte de radiacion, la magnitud transportada es la energıa (en forma de fotones),siendo la intensidad de radiacion una medida de su flujo de transmision. Teniendo en cuenta que esaes la incognita a resolver en la ecuacion, el manejo de flujos se hace de modo sencillo. El caso delmetodo de las ordenadas discretas es adecuado para esta implementacion de un modo directo, ya quetrabaja directamente con los valores de la intensidad en caras de celda. Esto evita realizar ningun tipode interpolacion para conseguir los valores en las fronteras de una malla.

La transmision de informacion en el esquema AMR puede clasificarse principalmente entre intranively entre niveles. En el primer caso los datos se transfieren entre mallas del mismo nivel, mientras que enel segundo pasan a una malla de un nivel de refinamiento diferente. Los esquemas de transferencia deinformacion entre mallas pueden influir en la tasa de convergencia del algoritmo global.

A lo largo de este trabajo ha sido necesario disenar unos esquemas especiales de transmision de

5.6. Transmision de informacion entre mallas 103

informacion, tanto dentro de un mismo nivel como entre diferentes niveles de refinamiento. Seguidamentese van a describir las novedades introducidas en el algoritmo de AMR para su aplicacion al transportede radiacion.

5.6.1. Flujos en un mismo nivel

La transmision de informacion entre mallas, dentro del mismo nivel de refinamiento, se realiza atraves de los contornos comunes de diferentes mallas. En un calculo de transporte SN en malla simple seobtienen, para cada direccion de propagacion, en valor de la intensidad tanto centrada en celda como enlos lados (caso bidimensional) o en caras (caso tridimensional). No es necesario, por tanto, ningun tipode calculo adicional para conseguir los valores a transmitir entre mallas. Tal y como se representa en lafigura 4.6 de la pagina 75, algunos de los valores obtenidos en un calculo se inyectan directamente comofuentes de contorno de las mallas contiguas.

En el caso de producirse transmision de informacion de este modo, es fundamental para el rendimientodel algoritmo el seguir un orden de mallas, en el cual el paso de valores siempre se realice en sentido aguasabajo de la propagacion de la radiacion. Eso garantiza que cada calculo tendra en cuenta las influenciasde todos los calculos anteriormente realizados que, por otra parte, seran los unicos que produzcan efectosdirectos. Por efecto directo se denomina aquı al debido unicamente a la propagacion de la radiacion, sinconsiderar interaccion con la materia (retrodispersion, . . . ).

En [49] se presenta que para el caso bidimensional y cada direccion de propagacion, siempre existeun ordenamiento de las mallas de un nivel, tal que la informacion se transmite aguas abajo. En el casotridimiensional, sin embargo, pueden producirse problemas al aparecer bucles de mallas en la ordenacion.La solucion a ese problema es presentada asimismo en la referencia. En todo caso, para el caso bidi-mensional que atane a este codigo, no hay problemas en el calculo de un ordenamiento de mallas paracada direccion de propagacion. El criterio de ordenamiento utilizado es que antes de calcular una malla,se hayan calculado previamente todas las mallas de las que esta pueda recibir informacion de contorno.Considerando mallas en contacto unas con otras (unica situacion de interes para este tipo de transmisionde informacion), el ordenamiento de mallas depende del cuadrante hacia el que se dirija la propagacionde la radiacion. Es decir, que en el caso bidimensional deberan definirse a lo sumo cuatro ordenamientosdiferentes.

Esta estrategia implica un ordenamiento diferente de las mallas del sistema, para diferentes direccionesde propagacion de la radiacion. Esto implica que la resolucion de las diferentes intensidades a lo largo delas diferentes direcciones de propagacion se deba hacer en diferentes etapas. Sin embargo ese metodo esimposible de implementar de un modo optimo con el esquema de caja negra que se ha utilizado en estetrabajo, para la resolucion en malla simple. Utilizando un modulo independiente de resolucion en mallasimple, las intensidades de todas las direcciones del conjunto SN son resueltas a la vez, con lo que esimposible encontrar un ordenamiento optimo de mallas para todas ellas.

La solucion para este problema se ha definido con la implementacion de un esquema iterativo quealternara las posibles ordenaciones de mallas. Inicialmente se calcula el numero de ordenaciones diferentes(en el caso trivial de una sola malla solo hay un orden) y se hace que el esquema cubra forzosamentetodos los ordenamientos antes de poder llegar a convergencia. De este modo se asegura que todas lassenales generadas en cualquier malla tienen oportunidad de traspasar directamente a otras, siempre quehaya conexion entre ellas (sin necesidad de pasar la informacion por otros niveles de refinamiento).

Este esquema supone que en el caso mas general, se estan resolviendo direcciones que pueden contenergrandes errores por no haber recibido una correcta informacion de mallas vecinas. Al realizar barridos


Figura 5.7: Transferencia de flujos de malla gruesa a fina

en todos los ordenamientos posibles (cuatro, para el caso bidimensional) se consigue, a un cierto costecomputacional, que al menos todas las senales directas (dependientes unicamente de la propagacion de laradiacion en el medio) hayan llegado a todos las regiones posibles de llegar a traves de mallas del mismonivel. En la seccion de conclusiones y trabajos futuros, se apuntara esta estrategia como una de las queadmiten correcciones y se plantea cambiar. El cambio pasa por una rotura de la estructura de caja negradel solver de malla simple. La conveniencia o no de dicha sustitucion se ha dejado para trabajos futuros.

5.6.2. Interaccion entre niveles

Tal y como se ha explicado ya en el capıtulo correspondiente, en el metodo de AMR es fundamental latransferencia de informacion entre niveles de diferente refinamiento. La transferencia de informacion entrelos niveles de mayor y menor refinamiento es bidireccional. Por una parte un nivel de menor refinamientoproporciona condiciones de contorno a niveles mas refinados. Por otra parte los calculos en malla refinada,considerados mas precisos, corrigen a los de malla gruesa. Mediante una adecuada implementacion deesta realimentacion entre niveles, se llega a una convergencia rapida y a un aprovechamiento de lasposibilidades del metodo. En el caso del transporte de radiacion desarrollado en este trabajo, se haimplementado un esquema especial de transmision de informacion entre diferentes niveles de refinamiento.

La obtencion de condiciones de contorno en malla fina a partir de datos ya calculados en malla gruesaes casi inmediata. Teniendo en cuenta que parte de los resultados calculados son los valores de intensidadcentrada en caras, hay que realizar solo un proceso de interpolacion. A partir de los datos en malla gruesase obtienen los correspondientes a la malla fina. El punto mas importante a tener en cuenta en este procesode interpolacion es que sea mediante un esquema conservativo, ya que la cantidad de energıa transmitidamediante radiacion debe ser la misma tanto desde el punto de vista de la malla gruesa como de la fina.Existen varios esquemas posibles, no dando lugar a diferencias entre ellos. No hay que olvidar que el pasode informacion de una malla gruesa a una fina se realiza en una zona gruesa no marcada para refinamiento(area de comportamiento suave), con lo que no es de esperar que los diferentes esquemas de interpolacionproduzcan diferencias apreciables. Por simplicidad, y tras haber comprobado la poca dependencia en losresultados, se ha optado por el esquema de interpolacion mas simple: valores constantes en cada grupode celdas contiguas a una de malla gruesa. En la figura 5.7 se representa la zona de transferencia de flujosentre mallas. Las marcas gruesas son de la malla de menor refinamiento y las finas de la mas refinada.

Una vez realizados los calculos de transporte en malla fina, estos deben corregir a los anteriormenterealizados en malla gruesa. Esto es ası porque los flujos de radiacion salientes de la malla fina no tienenporque coincidir con los anteriormente calculados en malla gruesa (sobre el mismo contorno comun entre


Figura 5.8: Transferencia de flujos de malla fina a gruesa

mallas). Esta modificacion en flujos internos a una malla gruesa obligan a rehacer todo el calculo sobreella. En la figura 5.8 se observan los flujos que producen modificaciones sobre el calculo de malla gruesa.

En el caso mas comun, el nuevo calculo de transporte se realizarıa fijando el valor de los flujos entrantesen cara en las expresiones 3.71 o 3.72 de la pagina 59, segun sea el caso. Hay que observar que en laderecha de la igualdad solo hay flujos centrados en cara, como los heredados de malla fina. Es decir, seignorarıa el valor obtenido por la propia resolucion de la malla, sustituyendolo por el calculado en la mallafina. Por supuesto, y teniendo en cuenta que cada celda gruesa cubre varias finas, habra que realizar elcomputo del flujo total en malla fina.

Durante la realizacion de este trabajo se vio que este sencillo metodo no era aplicable a codigo enrealizacion, por los calculos de DSA que se realizan. Desde un principio se decidio incorporar el codigotwodant para evitar errores en la programacion del esquema DSA. La modificacion de flujos internos ala malla obligarıa a reescribir el algoritmo de DSA, perdiendo esa ventaja. Se decidio por tanto realizar unesquema compatible con el proceso de obtencion de la ecuacion de DSA, de modo que se pudiera seguirutilizando el codigo twodant con unas mınimas modificaciones. El metodo escogido para implementarla influencia de la malla fina sobre la gruesa consiste en introducir la modificacion en flujos como unafuente volumetrica de radiacion. Dicha fuente tendra dependencia direccional, ya que la correccion deflujos es independiente entre diferentes direcciones de propagacion. La idea inicial de implementar estemetodo habıa ya sido tratada en [49] definiendo el termino llamado reflux, o correccion de flujos mediantefuente volumetrica. Observando el modo de obtencion del algoritmo de DSA [5] se puede observar comola inclusion de una fuente con dependencia angular no afecta a la estructura de la ecuacion resultante.De hecho, el codigo twodant esta preparado para fuentes dependientes de la direccion de propagacion,si bien ha sido necesario modificarlo levemente para este caso.

El calculo de la fuente volumetrica necesaria para incorporar el efecto de niveles finos, se realizamediante una aproximacion unidimensional. El objetivo del calculo es la introduccion de una fuentevolumetrica que produzca un flujo de salida de la celda (Iout) equivalente al que producirıa una correccionsobre el flujo entrante.

Como resultado de esa condicion, se obtiene la siguiente expresion:

∆S = max( µ

∆x− κ

2, 0)· ∆Ic (5.20)

donde ∆Ic representa la correccion del flujo entrante en la celda gruesa, debida a las celdas del nivelrefinado. Los valores µ y ∆x son los correspondientes a una correccion a lo largo del eje de abscisas(cuando la frontera es paralela al de ordenadas). En el caso de tratarse del otro eje, se sustituirıan por η


IcIc + ∆Ic

Sc

IoutIout

IinIin

Figura 5.9: Fuente volumetrica equivalente a una de contorno

∆Ic0

Ic

Ic + ∆Ic

xi−1/2 xi+1/2

Iout

celda

Figura 5.10: Correccion de la intensidad centrada en celda

y ∆y, correspondientes variables del otro eje. Es de resaltar que el valor de esta fuente puede ser negativo(si ∆Ic lo es) con lo que es necesario realizar unas comprobaciones en el algoritmo de transporte, paraevitar la aparicion de intensidades de radiacion negativas.

Tal y como se ha definido la fuente volumetrico de reflux, la intensidad de radiacion sera correctaen el borde opuesto a la frontera con el nivel mas fino. Esto no garantiza en absoluto que el valor de laintensidad de radiacion centrado en celda sea correcto. Dicho valor es de gran interes para el balance deenergıa en celda, ası como para las representaciones graficas, ası que es necesario corregirlo de modo queconsiga el valor correcto. Dicho valor debe incorporar las modificaciones de flujo aplicadas. Volviendootra vez al analisis unidimensional, y teniendo en cuenta que con el esquema de diferencias de diamantese aproxima el perfil de intensidad a una recta, la correccion es la siguiente.

∆Ic0 =

∆Ic

2(5.21)

donde ∆Ic0 representa la correccion necesaria en el flujo centrado en celda. Se puede observar una demos-

tracion grafica simple en la figura 5.10. El perfil en linea gruesa corresponde a una intensidad corregida enel borde izquierdo de la celda. El perfil inferior, en linea fina, es el producido por una fuente volumetricacalculada para producir la misma intensidad de salida de celda. Se aprecia como con un modelo localmen-te lineal no se tiene el mismo valor en el centro de celda. Por semejanza de triangulos (zona sombreada),se puede observar de modo simple la relacion 5.21.

5.6.3. Proyeccion de coeficientes

En los diferentes niveles de refinamiento se resuelven a veces zonas comunes del dominio fısico, que seencuentran cubiertas por mas de un nivel de refinamiento. Es en esos casos, en los que se puede disponerde diversos datos fısicos correspondientes a las mismas zonas. Las variables termodinamicas son calculadas


de un modo conservativo, consistente entre niveles. Sin embargo las magnitudes derivadas de estas (datosatomicos, en el caso de transporte de radiacion) pueden diferir sustancialmente. Esto es debido a que elcalculo de magnitudes derivadas se realiza mediante la suposicion (vasta, pero generalmente aceptadas)de que en el interior de una celda, todas las magnitudes son homogeneas (densidad, temperatura, . . . ).Esa aproximacion puede producir datos de una considerable inconsistencia cuando se realizan calculoscon celdas de diferente tamano sobre la misma posicion fısica.

Como ejemplo claro de este fenomeno, se hablo anteriormente de los modelos especıficos de calculo deemisividades en frentes termicos. Es un ejemplo extremo de inconsistencia, en donde el modelo de variableshomogeneas dentro de celda produce resultados muy incorrectos. El calculo mediante aproximacion aexponenciales, utilizado en ese caso, es demasiado costoso para utilizarse en todas las variables. Se haaplicado entonces un criterio paralelo al utilizado en [5], marcando variables sensibles de gran variacion yotras de no tan crucial importancias. En esa clasificacion la emisividad requiere un tratamiento especial,mientras que las variaciones en otros coeficientes macroscopicos no es tan crucial. Para esas variables(resto de coeficientes de la ecuacion), no se aplica el modelo de las exponenciales, si bien se realiza unaproyeccion de los valores calculados en malla fina, tomandolos como de mayor precision. Es de esperarque teniendo mayor precision espacial, la suposicion de homogeneidad en las celdas gana precision.

Las variables que se proyectaran cuando no hay acoplamiento con la materia son el coeficiente ma-croscopico de absorcion y la emisividad, ambas variables en multigrupos de energıa. El caso de acopla-miento con la materia se tratara posteriormente. Siendo precisos, mejor que el coeficiente macroscopicode absorcion, deberıa proyectarse el valor de las absorciones (para asegurar consistencia del balanceenergetico entre niveles). Sin embargo, para evitar realizar grandes modificaciones sobre el codigo origi-nal twodant, se decidio la proyeccion del coeficiente, ya que en gran medida corrige los valores en celdasgruesas. La proyeccion de valores se realiza de un modo conservativo, ponderando con las areas de cadacelda:

Ac · Xc =∑

i

Afi Xf

i ; X = κg, εg (5.22)

Teniendo en cuenta que para el caso de no acoplamiento con la materia, los coeficientes proyectados novarıan dentro del esquema iterativo, esta proyeccion puede realizarse una sola vez. Preliminarmente a loscalculos pueden calcularse los coeficientes en todas las mallas de todos los niveles y realizar la proyeccion.Este metodo puede llegar a demandar, sin embargo, gran cantidad de memoria, al tratarse de variablesen multigrupos de energıa.

Una segunda alternativa consiste en no guardar los valores de los coeficientes de la ecuacion, sinocalcularlos de nuevo cada vez que se necesiten (una vez por cada calculo en una malla). Este procesociertamente consume mas tiempo, aunque la lectura de bases de datos ha sido optimizado para ello. Eneste caso solo serıan necesarias las variables termodinamicas calculadas por el codigo fluidodinamico. Sellega, por tanto a un compromiso entre uso de memoria y tiempo de computacion.

5.6.4. Estructura global de iteracion

En los epıgrafes anteriores se han ido describiendo el modo de consecucion de las tareas basicasfundamentales a realizar en la resolucion de la ecuacion de transporte bajo malla adaptativa. La cuestionque se tratara en esta seccion, de importancia fundamental, es como se han coordinado todas esas accionesde modo que formen un esquema algorıtmico convergente a la solucion de la ecuacion.

El esquema iterativo se basa en unos calculos en diferentes niveles de refinamiento, en un ordendeterminado. En cada uno de los calculos se guardan o modifican unos valores denominados registros,


que contienen los valores de contornos de malla necesarios para transmitir entre niveles. Siguiendo laestructura de la seccion 5.6.2 sobre interaccion entre niveles, existiran dos tipos de registros. Por unaparte estan los de intensidades entrantes en malla, que contienen las condiciones de contorno heredadasdesde el siguiente nivel mas menos refinado. Por otra parte estan los correspondientes a las correccionesen malla gruesa a partir de los datos de malla fina. Dichos valores no contienen magnitudes absolutas deintensidad (como los anteriores) sino correcciones a aplicar, previa conversion a una fuente volumetrica, delmodo ya explicado en la seccion 5.6.2. En todo caso, los registros se utilizan para traspaso de informacionentre niveles de refinamiento. Es por eso que no estan tanto asociados a un nivel, como a una pareja deniveles consecutivos.

Seguidamente, y como descripcion del algoritmo completo, se dara una secuencia de las operaciones allevar a cabo para llegar a una solucion de la ecuacion. Los tipos de operaciones podran ser de tres tipos:

Resolucion de la ecuacion en malla simple.

Transmision de valores a los registros.

Proyeccion de variables entre diferentes niveles.

Previamente a la descripcion, conviene ajustarse a una nomenclatura para mayor simplicidad, que seencuentra en la tabla 5.1.

Nomenclatura

Li Nivel i de refinamiento. El ındice crece con el refina-miento, siendo 0 en el nivel base y N en el de mayorrefinamiento.

ri Refinamiento entre el nivel i y el i + 1. Podrıa ser dife-rente para cada direccion, definiendose rj

i .

Rini Registro de las intensidades entrantes en el nivel Li+1

(procedentes de Li). Existen N registros, con 0 < i < N .

Routi Registro de las intensidades salientes del nivel Li+1 (que

corrigen al nivel Li).

Contorno fısico Contorno del dominio de simulacion. Corresponde conel borde de la unica malla del nivel 0.

Cuadro 5.1: Nomenclatura del algoritmo de calculo en AMR.

Ası pues, el algoritmo disenado para la resolucion de la ecuacion de transporte es el siguiente:

1. Preliminares

a) Calculo de coeficientes en todos los niveles.

b) Proyeccion de los coeficientes desde niveles finos a gruesos.

2. Para i = 0:

a) Tomar condiciones de intensidad entrante del contorno fısico.

b) Resolver la ecuacion en el dominio del sistema.

c) Rellenar valores del registro Rin0 .


d) Pasar valores de intensidad, cambiados de signo, al registro Rout0 .

3. Para i = 1, . . . , N − 1:

a) Tomar condiciones de intensidad entrante bien del contorno fısico, bien de mallas colindantesdel mismo nivel o bien del registro Rin

i−1 (rellenado previamente).

b) Si no es la primera vez en este punto para este nivel, introducir las correcciones contenidas enel registro Rout

i . Se utiliza una fuente volumetrica.

c) Resolver la ecuacion en las mallas del nivel Li.

d) Rellenar valores del registro Rini .

e) Restar valores de intensidad al registro Routi .

4. Para i = N :


N−1.

b) Resolver la ecuacion en las mallas del nivel LN .

c) Sumar valores de intensidad a los del registro RoutN−1.

5. Para i = N − 1, . . . , 0:


N−1.

b) Introduccion de las correcciones contenidas en el registro Routi mediante una fuente volumetri-

ca.

c) Resolver la ecuacion en las mallas del nivel Li.

d) Si i > 0, sumar valores de intensidad a los del registro Routi−1.

e) Proyectar valores desde el nivel inmediatamente mas fino i + 1.

6. Una vez realizadas las proyecciones de todos los valores refinados sobre los niveles gruesos, se haceuna comparacion de los valores de todas las mallas, respecto a los de la iteracion anterior. Si secumple el criterio de convergencia, se sale. Si no se cumple, se vuelve al punto 3 y se itera.

Este algoritmo puede representarse graficamente para una mayor comprension. En este caso graficode ejemplo se supondra que N = 2, o sea, se trabaja con un total de 3 niveles.

nivel 0

nivel 1

nivel 2

Rin0

-Rout0

Rin1

-Rout1

Proyeccion

Rin1

+Rout1

Rin0

+Rout0

Proyeccion

Comparacion

Rin0

-Rout0

Rin1

-Rout1

Calculos sin correccion Rout

Calculos con correccion Rout


Una alternativa al criterio de convergencia expuesto consiste en realizarlo unicamente sobre la mallamas gruesa (nivel 0). Una vez llegado a una comparacion satisfactoria entre consecutivos calculos en nivel0, se pararıa el algoritmo y se procede al calculo de todas las magnitudes derivadas de la intensidad.Hay que resaltar que aunque el criterio de convergencia se realice sobre el nivel 0, este incluye efectos detodos los otros niveles, ya que acaba de recibir datos de estos mediante una proyeccion de la solucion.Sin embargo la malla gruesa no contemplarıa oscilaciones de alta frecuencia que pudieran aparecer enniveles refinados. Es por esta razon que se propone aplicar el criterio de convergencia a todos los niveles,aunque esto aumente los requisitos de memoria y tiempo de computacion. Hay que ser especialmentecuidadoso en la seleccion de un criterio de convergencia de la solucion. Por una parte se requiere que laszonas de mayor intensidad sean calculadas con precision. Sin embargo existe el riesgo de que en zonas debaja densidad optica, se produzca un efecto rayo de baja intensidad que, en sus fluctuaciones, puede darresultados negativos en la convergencia. Esto obliga a un calculo excesivamente costoso para el calculode zonas que no presentan ningun interes para el sistema (la temperatura de radiacion es mucho menorque en las zonas calientes). Es por ello que como criterio de convergencia se ha tomado la norma 0 de ladiferencia de consecutivas soluciones, dividida por la norma infinito de la ultima.

ε =

∥∥Ii − Ii−1∥∥

0

‖Ii‖∞(5.23)

5.7. Acoplamiento de materia y radiacion

Durante toda la exposicion de este trabajo se ha hecho una especial mencion a que, al margen deresolver la ecuacion de transporte de radiacion bajo AMR, se han desarrollado las capacidades necesariaspara hacer calculos acoplados con la fluidodinamica. La inclusion de interacciones entre materia y ra-diacion obliga a incorporar algoritmos especıficos para su tratamiento. Fundamentalmente el proceso deinteraccion entre materia y radiacion se realiza en forma de ciclo, ya que es una influencia bidireccional.

El estado termico de un sistema condiciona fuertemente su capacidad de emision espontanea (y porende, de la emision total) de radiacion. Dicha relacion viene dada por la ya tratada emisividad,que en general presenta una fuerte dependencia no lineal de la temperatura del material. Por otraparte el estado termico influye en la capacidad de absorcion de radiacion por parte de la materia.Dicha modificacion es debida al efecto termico sobre la ionizacion, magnitud que depende tanto dela temperatura como, en algunos regımenes, de la densidad.

εν = εν(ρ, T ); κν = κν(ρ, T ) (5.24)

Por otra parte, tanto la emision como la absorcion de radiacion modifican el estado termico de lamaterial, al ser un modo de transferencia de energıa. Dicha relacion se basa en un simple balancede energıa cuyo flujo viene representado por la propia intensidad de radiacion.

∇ · qR =∫

E

(κI − ε) dE (5.25)

donde qR es el flujo de energıa debida a la radiacion.

Para considerar adecuadamente la relacion entre los sistemas materia y radiacion, es pues necesariotratar de un modo adecuado ambas relaciones y aun mas, disponer de los adecuados algoritmos deacoplamiento de todas esas influencias, de modo que sea estable y con una convergencia razonablementerapida.


La resolucion simultanea de la ecuacion de radiacion y las de fluidos entrana unas dificultades adicio-nales a tener en cuenta en la programacion de un codigo numerico. En la seccion 3.7 se dio un avance delproblema que supone realizar un calculo acoplado entre radiacion y materia. Siguiendo las indicacionesde la referencia [5] se identifican dos tipos de realimentaciones en en calculo acoplado.

La emisividad de radiacion, que presenta una fuerte dependencia con la temperatura del medio.

Los coeficientes de absorcion, que tambien presentan dependencia acusadas con la temperatura,pero no requieren trabajar en modo implıcito.

La dependencia de la emisividad con la temperatura produce unos fuertes efectos sobre el campo deradiacion, pero la variaciones en el coeficiente de absorcion pueden no ser tenidas en cuenta.

El metodo numerico implementado se basa en una linealizacion en temperatura de la funcion emisi-vidad para un paso de tiempo dado.

εν(T 1) ≈ εν(T 0) +∂εν

∂T(T 1 − T 0) (5.26)

Partiendo de las ecuaciones acopladas, y utilizando una notacion, en la que el operador ∂T (·) representala derivada parcial respecto a la temperatura:

Ω · ∇I1ν + κI1

ν = ε1ν (5.27)

ρcvT 1 − T 0

∆t=∫

ν

(κIν − εν) dν (5.28)

Operando y aplicando la relacion 5.26 se llega a una unica ecuacion de transporte.

Ω · ∇Iν + κIν = χν

∫E

σf,νIν dν + Sν (5.29)

donde los coeficientes se obtienen a partir de los de la ecuacion original, en las condiciones del comienzodel paso de tiempo.

χν =∂T εν∫

ν∂T εν dν

(5.30)

σf,ν = κν

∫ν∂T εν dν

ρcv

∆t +∫

ν ∂T εν dν(5.31)

Sν = εν − ∂T εν

∫νεν dν

ρcv

∆t +∫

ν ∂T εν dν(5.32)

Como primera comprobacion de los calculos realizados, se puede comprobar que en el extremo de∆t → 0, situacion en la que no hay tiempo de producirse calentamiento, la ecuacion 5.29 obtenida sereduce a la original de transporte. Esta nueva ecuacion presenta una cierta analogıa con la ecuacion detransporte de neutrones con incorporando reacciones de fision. Es gracias a esta analogıa que el nucleo deresolucion de dicha ecuacion esta capacitado para resolverla, utilizando toda la potencia de los algoritmosaceleradores de la convergencia.

Existe, no obstante, una particularidad en esta ecuacion, y es que el termino fuente Sν puede llegara ser negativo. Esto podıa dar lugar a un mal funcionamiento del algoritmo de resolucion de la ecuacion,con lo que ha sido necesario realizar unas leves modificaciones.


5.7.1. Calculo de coeficientes

Tal y como se acaba de presentar, con la inclusion de interacciones entre materia y radiacion, laecuacion de transporte se ve modificada. De cara a la generacion de los coeficientes necesarios, dichamodificacion no introduce grandes cambios. Las principales diferencias se pueden resumir en:

Calculo de la derivada de la emisividad.

Integracion de la emisividad en la energıa.

Estos nuevos puntos no plantean especial problema. Por una parte el software que facilita datos de laemisividad, puede tambien darlos sobre la su derivada logarıtmica, es decir:

∂ log ε

∂ log T=

T

ε

∂ε

∂T(5.33)

En cuanto a la integracion de los valores de emisividad, se sustituye por la suma de los valores paracada uno de los grupos de energıa. ∫ ∞

0

εν dν =G∑

g=1

εg (5.34)

Por tanto, el calculo de los nuevos coeficientes, expresados en multigrupos de energıa, queda delsiguiente modo:

χg =∂T εg∑g ∂T εg

(5.35)

σf,g = κg

∑g ∂T εg

ρcv

∆t +∑

g ∂T εg(5.36)

Sg = εg − ∂T εg

∑g εg

ρcv

∆t +∑

g ∂T εg(5.37)

calculable a partir de los datos del codigo fluidodinamico (ρ y cv) y demas datos atomicos.

5.7.2. Influencia en el algoritmo global

Tal y como se ha planteado el acoplamiento entre materia y radiacion, no ha aumentado el numero deiteraciones presentes en el algoritmo. Esto se debe al tipo de linealizacion realizada sobre la emisividad(expresion 5.26). Por este motivo, la estructura del algoritmo descrito anteriormente es valida para lanueva ecuacion a resolver. Sin embargo, esta ecuacion presenta como particularidad un mayor numero decoeficientes a computar, que en el caso independiente de la materia.

Este punto simplemente obliga a considerar nuevas variables. Esto tiene su mayor importancia en elproceso de proyeccion de variables entre niveles. En el caso de no acoplamiento, las variables proyectadaseran la emisividad y el coeficiente de absorcion. En este nuevo caso, se incluyen nuevas variables queintervienen en la construccion de los coeficientes. Las variables proyectadas son:

εg, κg Sin acoplamiento, 2G variablesεg, ∂T εg , κg,

ρcv

∆t

Con acoplamiento, 3G + 1 variables

(5.38)

A partir de esas variables, se pueden construir los nuevos coeficientes, sin necesidad de guardarlostodos ellos, lo que supondrıa un gasto mayor de memoria computacional. Ası pues, todo el proceso de


proyeccion de variables se realiza del mismo modo que ya fue explicado, pero proyectando un numeromayor de variables con las que construir los coeficientes de la ecuacion.

No hay que olvidar que para realizar el balance de energıa, se ha de utilizar la emisividad linealizada,que es la que ha tomado parte en los calculos. Sin embargo, para saltos de temperatura grandes, laaproximacion lineal de la emisividad puede llegar a ser muy burda.

Otro punto donde se producen modificaciones al incorporar las interacciones con la materia en lafuente volumetrica definida en 5.20 con la finalidad de implementar correcciones entre niveles. El modode aplicacion de la fuente y su significacion es exactamente igual al caso de no interaccion, sin embargosu expresion cambia.

∆S = max( µ

∆x− κ

2, 0)· ∆Ic +

χ

2

∫σf∆Ic dΩ dE (5.39)

Se observa como en esta ocasion, la fuente aplicable a una direccion de propagacion y una frecuenciase ve influenciada por las correcciones en otras condiciones, dado el fenomeno de realimentacion termicaque las liga.

5.7.3. Esquema no lineal

En anteriores secciones se comento la fuerte dependencia de la emisividad con la temperatura. En elcaso del modelo de Planck para un cuerpo negro, depende de la cuarta potencia de la misma. Por esa razonel modelo lineal de la emisividad, que se ha utilizado en la seccion anterior, parecio en principio demasiadogrosero para saltos grandes de temperatura. Para poder paliar ese efecto, respetando el esquema deconstruccion de las ecuaciones, en el desarrollo de la tesis se planteo un diferente esquema de linealizacionanalogo a la expresion 5.26:

εν(T 1) ≈ εν(T ∗) +∂εν

∂T(T ∗) · (T 1 − T ∗) (5.40)

donde queda por definir el significado de la temperatura T ∗. A partir de este modelo y siguiendo laspautas del comienzo de esta seccion, se llega a una ecuacion identica a la 5.29, si bien con una diferentedefinicion de sus coeficientes.

χν =∂T ε∗ν∫

ν ∂T ε∗ν dν(5.41)

σf,ν = κν

∫ν ∂T ε∗ν dν

ρcv

∆t +∫

ν∂T ε∗ν dν

(5.42)

Sν = εν − ∂T εν

ρcv

∆t (T ∗ − T 0) +∫

νεν dν

ρcv

∆t +∫

ν∂T εν dν

(5.43)

donde todas las variables con asterisco has de ser calculadas a la temperatura T ∗. Dicha temperaturano es sino una estimacion de la temperatura T 1 al final del paso de tiempo. En el caso de llegar a serlo,la aproximacion a la emisividad serıa exacta y el esquema global serıa implıcito. Esto anade al esquemaglobal un nuevo nivel de iteracion, en la resolucion de cada una de las mallas.

El esquema iterativo propuesto consiste en suponer una temperatura T ∗ inicial igual a T 0, resolverla ecuacion, encontrar a partir de la solucion el valor T 1 y reinyectarlo en T ∗ hasta convergencia. Laprincipal inconveniencia que incorpora este metodo es que el estado termodinamico en el que se calculanlos coeficientes, es variable con la iteracion, lo que obliga a recalcular todos los coeficientes a cada vezque se resuelve la ecuacion. Ası, la resolucion completa de una sola malla, implicarıa varios de esos pasos.

Este esquema ha llegado a ser implementado en el codigo, comprobandose su gran consumo de recursoscomputacionales, ası como mınimas diferencias con la version semi-implıcita, presente en la version final


del codigo. Este esquema semi-implıcito es el que se encuentra operativo, y es el escogido para presentarlos casos de prueba con los que se mostraran las capacidades de simulacion del nuevo sistema (solver +algoritmo) desarrollado.

Capıtulo 6

Resultados

Como proceso final del desarrollo de esta tesis doctoral, corresponde probar que la herramienta deresolucion creada es capaz de producir resultados fiables y precisos. Aun habiendo partido de material yasuficientemente probado, como el codigo arwen o twodant, las modificaciones llevadas a cabo en ellosson de la suficiente envergadura como para ser necesario comprobar la calidad de los resultados obtenidos.En este capıtulo se van a tratar dos temas en los que radica la importancia de esta tesis doctoral:

Se ha de demostrar que el codigo realizado resuelve adecuadamente las ecuaciones sobre las que sefundamenta este trabajo.

Se mostrara como las capacidades de simulacion de los codigos anteriores, especialmente el arwen,se han visto sustancialmente incrementadas. Asimismo se mostrara de un modo practico las ventajasque aportan las tecnicas empleadas a tal efecto, especialmente el metodo AMR.

El proceso de comprobacion de los resultados y rangos de funcionamiento de un codigo de simulaciones complejo y siempre susceptible de no satisfacer a todos los desarrollos y usuarios de los mismos.Las muy diversas condiciones de los sistemas a simular, y la complejidad interna de las herramientasde computacion lleva a un amplio abanico de circunstancias en las que la simulacion puede ser maso menos satisfactoria. En diversas campos de la simulacion numerica se realizan comprobaciones derendimiento (benchmarks) con la finalidad central de probar la calidad de los codigos ante sistemas decompleja resolucion. Con ese fin se utiliza la comparacion de resultados experimentales, o en algunoscasos, comparacion con codigos de probada solvencia, los cuales se usan de referencia.

En este capıtulo se incluyen diferentes tests del codigo, en creciente orden de complejidad. Primera-mente se muestra un test de calculo del campo de radiacion en ausencia de acoplamiento con materia.Este test es muy simple y se tomara como muestra de los beneficios de aplicacion del metodo AMR.Seguidamente se presentaran resultados de un test con solucion analıtica, en el que hay acoplamientode materia y radiacion, si bien no existe movimiento fluido. Dicho test sirve como prueba del metodoDSA incluido en los calculos que interviene de un modo fundamenta en el intercambio de energıa entremateria y radiacion. Como siguiente test se incluye una simulacion de un experimento llevado a cabosobre la interaccion con el viento estelar de productos de la explosion de una supernova [31]. En este testse encuentran activas todas las capacidades de simulacion, incluido el movimiento fluido. Los resultadosse comparan con los obtenidos con el codigo lasnex [133] de probada precision. Como punto final deeste capıtulo, y aun no siendo un test sobre las capacidades del codigo, se incluye parte de la mas re-ciente investigacion realizada en el Instituto de Fusion Nuclear utilizando este codigo como herramientafundamental [129].

115

116 Capıtulo 6. Resultados

κ(x)T0

x 0.001

0.01

0.1

1

0 1 2 3 4 5

F(τ

)

τ

Figura 6.1: Esquema y solucion del test 1.

6.1. Prueba de radiacion

En esta seccion, y mediante el correspondiente test, se trata de comprobar el buen funcionamientobasico del codigo. Es decir, se plantea un problema simple con solucion analıtica, en el que intervieneunicamente el campo de radiacion, y primeramente se ha de comprobar que la solucion alcanzada sea lacorrecta. El problema seleccionado depende de una unica variable espacial (aunque se consideran todaslas direcciones de propagacion de la radiacion), y no tendra ninguna dependencia temporal.

El esquema inicial consiste en un medio semi-infinito absorbente puro, sobre el que incide un campode radiacion planckiano isotropo (en las direcciones entrantes en el medio) a una cierta temperatura T0.El esquema se encuentra representado en la figura 6.1 izquierda.

La intensidad de radiacion en el interior del medio absorbente tiene expresion analıtica. Las expresionesde la intensidad con dependencia angular y de la integrada en angulo solo dependen del grosor opticodesde la frontera τ(x):

τ(x) =∫ x

0

κ(w) dw (6.1)

I(x,Ω) = I0 · exp(− τ(x)

Ω · ex

)(6.2)

I0(x) = 2πI0 ·∫ ∞

1

exp (−τ(x)w)w2

dw (6.3)

(6.4)

donde I0 es la intensidad de radiacion incidente, por unidad de angulo solido. La intensidad de radiacionintegrada depende unicamente del grosor optico, por lo que puede definirse segun:

I0(x) = I0(0) · F (τ(x)) (6.5)

donde la funcion F (τ) ha sido representada en la figura derecha en 6.1.

Este test ha sido realizado inhibiendo el movimiento fluido, y haciendo que las variaciones de tem-peratura no afecten al valor del coeficiente de absorcion. Se han impuesto condiciones reflectivas a laradiacion tanto en el contorno superior como el inferior, y se ha impuesto una condicion de contornode radiacion entrante equivalente a un planckiano a temperatura T0 en el borde izquierdo, y nula en elderecho. El coeficiente macroscopico de absorcion se ha tomado constante de valor κ. El valor obtenidocomo salida del codigo es la temperatura de radiacion equivalente, que es proporcional a la raız cuartade la intensidad de radiacion. Por tanto el valor exacto de la solucion toma la forma:

T (x) = T0 · 4

√F (κx)

2(6.6)

6.1. Prueba de radiacion 117

Dimensiones 1000 × 1000 µm2

κ 5000 m−1

T0 100 eV

Malla gruesa 32 × 32

Numero de niveles 2

Refinamiento entre niveles 2

Orden SN 8

Cuadro 6.1: Datos del caso 1a

donde el factor 1/2 proviene de que la radiacion entrante cubre solo la mitad de los angulos solidos.

Con el fin de probar la correcta transmision de datos a traves de las diferentes mallas y niveles derefinamiento de AMR, se ha impuesto al codigo la utilizacion y posicion de las mallas. Dichas posiciones sehan colocado de modo que no se respete la unidimensionalidad del problema, para estudiar la influenciade la posicion de las mallas en el resultado. Las celdas marcadas para refinamiento son las que suscoordenadas centrales cumplen que x + y < 500 µm para el nivel 0 y x + y < 250 µm para el nivel 1.Se pretende apreciar la rotura de unidimensionalidad en la resolucion del problema, introducida por laposicion de las mallas. Los datos de la simulacion se encuentran en la tabla 6.1.

Los resultados de este caso han sido recogidos en las figuras 6.2 y reflejan los siguientes datos (deizquierda a derecha y de arriba a abajo):

Esquema bidimensional del sistema simulado. En este mapa se muestra tanto la posicion de lasmallas de simulacion como los isocontornos de la solucion. Se observa como la posicion de lasmallas ha sido elegida de un modo que rompa la unidimensionalidad del problema, y aun ası losisocontornos de la solucion se mantienen paralelos al eje Y.

Solucion comparada con la analıtica unidimensional. Se compara en esta grafica la solucion analıtica(linea continua) con valores tomados de la solucion numerica. Los valores se han tomado con valornulo de la ordenada, si bien dada la cuasi unidimensionalidad del problema, el resultado en cualquierotra ordenada serıa el mismo.

Corte a valor de abscisa constante x = 100 µm. Se aprecian las oscilaciones inducidas por la presenciade mallas de diferente nivel (rotura de la unidimensionalidad). La amplitud de las oscilaciones es,no obstante menor que 0.1eV. Este corte es una muestra de la influencia entre diferentes niveles.Es de resaltar que la colocacion de las mallas en este caso no es la habitual, ya que las fronteras denivel se situan tambien a lo largo del gradiente de la funcion, lo que introduce ciertas oscilaciones(por el diferente refinamiento de los datos a ambos lados de la frontera).

Corte analogo en la abscisa x = 900 µm. En el caso de este corte, los datos pertenece ıntegramenteal nivel 0 de refinamiento, y se aprecia como la amplitud de las oscilaciones es mucho menor (delorden de 0.02eV).

6.1.1. Caso de medio muy opaco

Partiendo del sistema estudiado en el comienzo de esta seccion, se va a mostrar una variante que ponede manifiesto las ventajas del metodo AMR frente los calculos en malla simple. Tal y como se muestra enel apendice A, el solver de la ecuacion de transporte utiliza la relacion de diamante A.10 para tener mayororden de aproximacion a la solucion. Sin embargo, tal y como se representa en la figura A.2, a partir decierto espesor optico dicho metodo predice un bloqueo completo de la radiacion. Este comportamientopuede invalidar por completo la solucion, como se mostrara en un simple ejemplo. Este indeseable efecto


0 500 1000

1000

500

X( µm)

Y ( µm)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Solucion analiticaResultado ARWEN

X( µm)

T(eV

)

Figura 6.2: Resultados del test 1 en un medio homogeneo

ocurre en el caso de existir altos espesores opticos en zonas que no emiten radiacion. Semejante descripcionpuede encontrarse en el calculo de blindajes, entre otros casos. Teniendo en cuenta que el metodo deldiamante falla en celdas con espesor optico grande, se plantean dos posibles alternativas:

Utilizacion del metodo escalon, con la correspondiente degradacion de la exactitud de la solucion.

El refinamiento de la celdas de mayor espesor optico hasta que sean tratables por el metodo deldiamante. En el caso de calculos en malla simple homogenea, esto obligarıa al refinamiento de todoel sistema, con el correspondiente aumento de esfuerzo de computacion.

Haciendose uso de las capacidades de AMR, en el caso de encontrarse zonas de elevado espesor optico,puede abordarse su refinamiento, que se limitara a las zonas que ası lo requieran. Es de resaltar que encaso de existir material muy opaco y no emisor de radiacion, solo se plantea problema en el caso de queeste tenga un espesor reducido, ya que de otro modo sı que practicamente se producirıa el apantallamientototal de la radiacion incidente.

El ejemplo que se plantea como demostracion se basa en el otro, tratado en el inicio de esta seccion.Al sistema ya descrito se le introduce una lamina delgada de un material muy absorbente, respetando launidimensionalidad del sistema. Las propiedades y posicion de la lamina son las siguientes:

Posicion x = 400 µm

Espesor δ = 2 µm

κ2 5 · 105 µm

Se plantean seguidamente dos esquemas numericos de resolucion. Por una parte se utilizara una mallasimple de 32 × 32 y en el segundo caso malla adaptativa tomando la misma malla como nivel base. Seintroducen 3 niveles de refinamiento de razon 2 cada uno. Esto supone un refinamiento de 8 en cadadimension, en las celdas marcadas. La comparacion En las figuras 6.3 se muestran los resultados de loscalculos realizados, comparados con la solucion analıtica del caso. De izquierda a derecha y de arriba aabajo, Los casos presentados son los siguientes:

6.1. Prueba de radiacion 119

Malla simple de 32 × 32 utilizando el esquema de diferencia de diamante.

Malla simple de 64 × 64 utilizando el esquema del escalon.

Metodo AMR con las propiedades ya enunciadas, utilizando el esquema de diferencia de diamante.

Incluso en el caso de AMR se producen discrepancias con la solucion analıtica. Esto es debido a que elespesor optico de las celdas en el material opaco dependen de la direccion de propagacion de la radiacion.Los rayos que se propagan formando angulos moderados con el eje X son tratados correctamente, pero losque forman angulos cercanos a π/2 siguen atravesando una celda de grosor optico elevado. Por otra parte,el metodo del escalon no produce el bloqueo total de la radiacion incidente, pero produce un resultadomenos aproximado que el de diamante (como puede observarse en la segunda grafica de la figura 6.3),evitandose su uso en lo posible.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000


X( µm)

Tr(eV

)

Metodo diferencias de diamante

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000


X( µm)

Tr(eV

)

Metodo escalon

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000


X( µm)

Tr(eV

)

Metodo AMR

Figura 6.3: Resultados del test 1 con material opaco. Casos de malla simple y de AMR.

El numero de celdas resueltas en el caso de malla simple de 32× 32 es de 1024, mientras que la sumacorrespondiente a los 4 niveles de AMR es: 1024 + 640 + 1280 + 2560 = 5504. Aparentemente puedeparecer un numero alto, pero para reproducir la simulacion AMR en malla simple, hubiera sido necesarioresolver 1024 × 8 × 8 = 65536 celdas. Asimismo en el calculo usando el metodo de escalon se han usado4096 celdas, obteniendose aun ası una peor aproximacion que con AMR. Se aprecia pues claramente laventaja de aplicar el metodo AMR, sobre todo en sistemas donde la complicacion de calculo se reduzcaa una pequena fraccion del mismo. Ha de observarse que este sistema presenta simetrıa unidimensional,


lo que no explota la ventaja de AMR plenamente. Cuanto mayor sea la dimension de simulacion, es mascomun que los elementos que necesiten refinamiento ocupen una parte mınima del sistema (por supuestoesto depende de cada caso).

6.2. Prueba estatica de acoplamiento radiacion-materia

Aparte de la precision geometrica que se ha mostrado en la anterior seccion, en un codigo con funcio-namiento conjunto con fluidodinamica, es necesaria una correcta transmision de informacion entre estay el transporte de radiacion. Como ya se ha comentado en secciones anteriores, la conexion entre ambaspartes del sistema se hace a traves de los valores del balance de energıa transmitida por radiacion.

El proposito de esta seccion es la comparacion de resultados del codigo con una solucion analıtica (portanto exacta), en la que se ponga de relieve la transmision de energıa entre transporte y fluidodinamica.La ecuacion de transporte presenta soluciones analıticas en muy pocas ocasiones, que no suelen presentarinteres practico. Trabajando en ese sentido, se han publicado casos de ejemplo en los que se puede obteneruna solucion analıtica del sistema materia-radiacion, en ausencia de movimiento fluido. Rastreando laspublicaciones existentes, ninguno de los ejemplos encontrados era aplicable al codigo en cuestion: en unoscasos se trataba de resolver la ecuacion de difusion de radiacion [97, 119], o en el caso de transporte nose contemplaba la no consideracion de la derivada temporal de la ecuacion de transporte (equivalente ac → ∞) [120, 121]. Sin embargo, partiendo de los calculos realizados en [120], se ha realizado una variacionde los parametros utilizados en el artıculo, de modo que se considere la aproximacion de c → ∞.

En las siguientes secciones se presentan por tanto dos casos de interaccion del campo de radiacion conel medio material. En primer lugar se ha decidido plantear un caso simple de prueba que este centradoen la transmision de energıa entre la radiacion y la materia. Este caso trata un campo de radiacionhomogeneo, con lo que no reproduce el fenomeno de propagacion de frentes termicos de radiacion. Sinembargo es un caso adecuado para estudiar el efecto sobre la solucion de tener en cuenta el acoplamientode radiacion y materia.

Seguidamente se presenta una comparacion con la solucion analıtica de un caso de mayor complejidad,con estructura interna tanto espacial como temporal. Se trata de un caso unidimensional de transmisionde energıa por radiacion, cuya solucion se puede expresar de modo analıtico. Para ello hay que imponerunas condiciones poco realistas sobre la ecuacion de estado, pero el fin del test no es reproducir un sistemareal sino comprobar las capacidades de resolucion del codigo.

6.2.1. Caso espacialmente homogeneo

En este caso se considera un sistema homogeneo e inicialmente frıo (T = 0 K) en el que se encuentrauniformemente repartida una fuente de radiacion dada. Teniendo en cuenta la descripcion del sistema, elproblema no tiene dependencia espacial, siendo la solucion homogenea en el espacio en todo momento.Las ecuaciones a resolver son pues:

κI = κB(Tm) + S (6.7)

ρcv∂Tm

∂t= κI − B(Tm) = S (6.8)

donde Tm representa la temperatura material y Tr hara referencia a la equivalente de radiacion. Asimismose tiene que la fuente S emite como lo harıa la materia a temperatura Ts (S = kB(Ts)).

6.2. Prueba estatica de acoplamiento radiacion-materia 121

Por afinidad con el siguiente caso, y asimismo poner a prueba el sistema de tratamiento de ecuacionesde estado, se impone que el calor especıfico del material sigue una ley no lineal del tipo:

cv(T ) = αT 3 (6.9)

Bajo esas condiciones, la solucion del sistema toma la forma:

Tm(t) = Ts

(4acκt

ρα

)1/4

(6.10)

Tr(t) = Ts

(1 +

4acκt

ρα

)1/4

(6.11)

Seguidamente se estudian los valores calculados mediante simulacion, para un tiempo t = 1,0024 ms,utilizando para ello diferentes pasos de tiempo. Esos datos se recogen en la tabla 6.2, junto con los erroresrelativos de la solucion obtenida. En todos los casos de simulacion existe un paso de tiempo inicial devalor ∆t = 2,4 · 10−5 s.

ρ = 1 kg/m3 Ts = 10 eV

k = 1000 m−1 α = 10−6 J/kg · K4

Tr = 17,82 eV

Tm = 17,366 eV

∆t(s) ∆t = 5 · 10−4 ∆t = 10−3 ∆t = 2 · 10−3 ∆t = 10−2

Tr(eV ) 17,802 17,818 17,791 17,785

Tm(eV ) 17,34 17,342 17,330 17,330

εr 1,27 · 10−3 3,68 · 10−4 1,88 · 10−3 2,22 · 10−3

εm 1,59 · 10−3 1,36 · 10−3 2,05 · 10−3 2,05 · 10−3

Cuadro 6.2: Resultados del test de calentamiento por radiacion.

En pasadas secciones se ha tratado el metodo de acoplamiento de materia y radiacion que ha sidoimplementado en el codigo de esta tesis. Dicho acoplamiento viene fundamentado por las variaciones deemisividad que se producen en la materia conforme esta se calienta por causa del balance de energıacon la radiacion. En el caso teorico de un paso de tiempo infinitamente pequeno, dichas variaciones deemisividad tendrıan un valor despreciable. Pero en el caso real de pasos de tiempo finitos, sı que puedenser apreciables. Mas aun, en muchas ocasiones la fluidodinamica no impone condiciones muy restrictivassobre el paso de tiempo, con lo que interesa utilizar los pasos de tiempo mayores posibles.

El acoplamiento de materia y radiacion que se ha realizado consiste en una linealizacion de la emi-sividad en funcion de la variacion de temperatura esperada en el paso de tiempo. Como ejemplo de suinfluencia en el resultado final, se utilizara el caso del punto anterior, pero resolviendolo sin utilizar eseacoplamiento. Es decir, se considerara que la emisividad en un paso de tiempo es la correspondiente alcomienzo del mismo. Los resultados para t = 10 ms en un solo paso de tiempo (tras el paso de tiempoinvariable de ∆t = 2,4 · 10−5 s), vienen reflejados en la tabla 6.3.

Se observa por tanto como la influencia en la radiacion es muy apreciable. El valor de la temperaturade radiacion es muy inferior al real, debido a que la emisividad de la materia aumenta apreciablementedurante el paso de tiempo, debido a su proceso de calentamiento. Ese aumento de emisividad no es tenidoen cuenta en el calculo sin acoplamiento, presentandose el valor de emisividad a tiempo t = 2,4 · 10−5 sdel paso anterior. Se aprecia no obstante que la temperatura material es calculada en este caso con una


No acopla Sı acopla

Tr(eV ) 10,055 17,785

Tm(eV ) 17,346 17,330

εr 0,436 2,22 · 10−3

εm 1,13 · 10−3 2,05 · 10−3

Cuadro 6.3: Influencia del acoplamiento materia–radiacion.

gran precision. Esto es debido a que por las caracterısticas de este sistema, la emision de radiacion secancela exactamente con la absorcion, con lo que su valor no es representativo para la materia. El balancede energıa resulta unicamente en la fuente de radiacion, la cual es invariable en el tiempo y por tantoes tratada del mismo modo independientemente de la consideracion de acoplamiento materia–radiacion.Hay que resaltar que en cualquier otro caso esto no es ası, con lo que las imprecisiones en el calculo de laintensidad de radiacion se reflejan automaticamente en imprecisiones en el estado termico de la materia.

6.2.2. Test de Su–Olson

Como paso clave para la contrastacion de los resultados del codigo, se utilizara el test de Su–Olson[120], usado comunmente para la validacion de codigos de hidrodinamica de la radiacion. Se trata deun caso unidimensional, en el que una fuente de radiacion homogenea de extension finita actua duranteun periodo finito de tiempo calentado el medio material homogeneo en el que se encuentra inmersa. Laradiacion introducida por la fuente se transporta por el medio y es absorbida por este con el consiguientecalentamiento. El calentamiento del medio produce asimismo una emision termica de radiacion que sesuperpone a la de la fuente. Una vez suprimida la emision de radiacion por parte de la fuente, quedaunicamente la emision termica que va difundiendose por el sistema hasta su enfriamiento.

Mediante los calculos incluidos en la referencia mencionada, se consigue expresar tanto la energıa ma-terial como la intensidad de radiacion en funcion de una coordenada espacial y el tiempo. Las variablesutilizadas en el proceso de adimensionalizacion del sistema son las mostradas en la tabla 6.4 de la pagina138. En ella se aprecia que la fuente de radiacion es isotropa y homogenea, ocupando un espacio 2x0

durante un tiempo τ0, tras el cual toma un valor nulo en todos los puntos. La tasa de energıa radiadadurante el periodo de actividad de la fuente es 4σsbT

4H , con una densidad volumetrica de emision equi-

valente a la que tendrıa el medio material a la temperatura TH . La solucion a este problema viene dadapor las magnitudes adimensionales W (x, τ) y V (x, τ), que cuantifican el campo de radiacion y el materialsegun las siguientes relaciones.

W (x, τ) =1

4σsbT 4H

∫I(z, t,Ω) dΩ (6.12)

V (x, τ) =(

T (z, t)T 4

H

)4

(6.13)

La solucion numerica a este problema se presenta en [120] para el caso de considerar la derivadatemporal en la ecuacion de transporte (lo que equivale a velocidad de la luz finita). Los valores de lasolucion se obtienen mediante la resolucion numerica de una integral impropia doble. Para la obtencionde los datos correspondientes para c → ∞ no se han encontrado datos publicados, y el metodo deresolucion de las integrales no era valido por las particularidades del integrando. Operando de modo

6.3. Test completo de las capacidades del codigo 123

semianalıtico se ha llegado, no obstante, a la solucion deseada.

Si se parte de una fuente de radiacion con una extension espacial 2x0 durante un tiempo τ0, la solucional sistema tomados estos como parametros, es:

W (x, τ) =

W (x, τ) si τ ≤ τ0

W (x, τ) − W (x, τ − τ0) si τ > τ0

(6.14)

V (x, τ) =

V (x, τ) si τ ≤ τ0

V (x, τ) − V (x, τ − τ0) si τ > τ0

(6.15)

donde se ha utilizado la siguiente notacion, analoga a la del artıculo base de este test:

Q(k) =sen(kx0)

kx0(6.16)

p(k) =atg(k)

k(6.17)

s0(k) =(1 − p(k))ca

1 − p(k)cs(6.18)

W (x, τ) =∫ ∞

0

Q(k)p(k) cos(kx)πcas0(1 − p(k))

[1 +

ca − s0

s0

(1 − e−s0τ

)]dk (6.19)

V (x, τ) =∫ ∞

0

Q(k)p(k) cos(kx)π(1 − p(k))

(1 − e−s0τ

)dk (6.20)

Se ha realizado un caso de prueba, tomando como referencia el valor de los parametros tomadosoriginalmente por los autores del test, ası como fijando otros de un modo razonable, con valores semejantesa los de funcionamiento comun del codigo. Para este caso, como en la seccion anterior, se ha desactivado latransmision de energıa por conduccion, ası como el movimiento fluido. Se ha realizado una discretizacionen tiempo y espacio equivalente a ∆x = 0,08 y ∆τ = 0,05, utilizando un esquema de ordenadas discretasS8.

Dimensionales Adimensionales

κ = 1000 m−1

σs = 0.

α = 10−6 Jm3K4

TH = 10 eV

x0 = 0,5

τ0 = 10

ca = 1

cs = 0

Como muestra del acuerdo que se logra a la solucion analıtica mediante el codigo de esta tesis, en lasfiguras 6.4 hay comparaciones tanto de la distribucion de la radiacion como de la energıa material, paradiferentes valores de tiempo. Se aprecia como el resultado es mas que satisfactorio.

6.3. Test completo de las capacidades del codigo

Una vez probado el comportamiento del modulo de resolucion de la ecuacion de transporte de radia-cion, el siguiente test siguiendo una logica de mayor complejidad comprende una simulacion utilizandotodas las capacidades del codigo. Con ese fin se ha hecho una busqueda bibliografica mediante la que se haseleccionado un caso correspondiente a un experimento del que se tienen tanto medidas como resultadosde simulacion mediante el codigo lasnex [133].


1e-04

0.001

0.01

0.1

1

10

0 1 2 3 4 5 6x

Intensidad de radiacion W (x, τ )

arwenSu–Olson

τ = 0,1

τ = 5

τ = 20

1e-05

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

10

0 1 2 3 4 5 6x

Energıa de la materia V (x, τ )

arwenSu–Olson

τ = 0,1

τ = 5

τ = 20

Figura 6.4: Comparaciones del codigo arwen con la solucion al test de Su–Olson, para los tiemposτ = 0,1; 5; 20.


El caso seleccionado pertenece a la investigacion en astrofısica mediante experimentos escalados paraser realizados en laboratorio. En concreto se trata de calcular el perfil espacial de las materia expulsadatras la explosion de una supernova. Dicha materia es proyectada a alta velocidad, encontrandose a supaso el viento estelar de una densidad mucho menor, y considerado en reposo. Esta configuracion ha sidoestudiada en diversas publicaciones, presentandose en [22] un estudio teorico con la prediccion de unosperfiles de densidad y temperatura segun esa materia eyectada se expande y enfrıa.

Un caso de especial interes se ha planteado en torno a los restos de la explosion de la supernova SN1987A. Dichos restos, viajando a alta velocidad, han entrado en colision con su entorno estelar. Modelosrecientes predicen que la estructura formada puede afectar la emision de radiacion X durante la colision,de lo que se podrıa obtener informacion sobre la estructura estelar circundante. Para corroborar esahipotesis es necesario conocer la estructura hidrodinamica de los restos de la explosion de la SN 1987A.

Segun se propone en [30], mediante un experimento de laboratorio se puede generar un sistema conuna evolucion fluidodinamica similar a la original, siguiendo unas reglas de escalado. Con este fin se hadisenado un sistema que recibe energıa del campo de radiacion producido en un hohlraum de ICF (enlugar de la explosion estelar). Dicho experimento ha sido llevado a cabo en la instalacion Nova del LLNL,y asimismo el sistema ha sido simulado utilizando el codigo lasnex y sus resultados publicados.

Este caso se presenta pues como un caso de aplicacion del codigo de simulacion de esta tesis, ası comouna constrastacion de sus resultados. Se incide en la explicacion del experimento, que el campo deradiacion no tiene especial relevancia en la evolucion fluidodinamica, pero no obstante la energıa directorade todo el proceso proviene de un campo de radiacion termica en el rango de los rayos X. Por lo tantoeste caso no podrıa haber sido simulado sin las aportaciones realizadas en esta tesis doctoral. En unapublicacion anterior [128] se ha abordado este mismo caso por el autor de la tesis y otros, pero utilizandocomo fuente de energıa la iluminacion directa por laser. El caso descrito en esta seccion sirve como pruebano solo cualitativa sino cuantitativa sobre el funcionamiento del codigo.

Antes de presentar el experimento, sus simulaciones y la contrastacion de resultados conviene comentarlas principales diferencias entre el codigo lasnex y el de esta tesis, con el fin de entender posteriormentesus posibles discrepancias.

El codigo lasnex resuelve la ecuacion de difusion de radiacion en multigrupos de energıa. Ladiferencia de modelos puede dar ciertas discrepancias en medios opticamente delgados, donde laaproximacion de difusion no es valida.

En el codigo lasnex se realiza el tratamiento separado de las componentes ionica y electronica,de modo que puedan tener diferente temperatura. Esta parte es especialmente en la absorcionde radiacion (realizada mayormente por electrones) donde se pueden producir desequilibrios entreambos sistemas.

Actualmente el codigo de esta tesis no incluye la posibilidad de trabajar con varios materiales enuna misma simulacion. Es una limitacion fundamentalmente fluidodinamica, dado que la unicamodificacion necesaria para transporte se encontrarıa en la generacion de coeficientes, tema que yaha sido tratado en publicaciones [50].

Esta ultima limitacion se presenta como mas importante ya que en este experimento se utilizaran dosmateriales (plastico y sılice) que presentan diferentes comportamientos en la ecuacion de estado.


6.3.1. Descripcion del experimento

El objetivo de este experimento es reproducir a escala de laboratorio la colision de los restos deuna explosion de supernova (moviendose a muy alta velocidad) con el viento estelar. Se pretende portanto producir un chorro de material a alta velocidad que entre en colision con otro material en reposo,teniendo ambos densidades escaladas de las originales. En el artıculo donde se describe el experimento[30] se describe en mas detalle el fundamento y valores del escalado realizado.

Utilizando la instalacion Nova de laseres, se pretende producir un campo de radiacion X que por unproceso de ablacion logre acelerar un cierto material, elegido como plastico (CH) que chocara con otro demenor densidad (espuma de SiO2) tras salvar un espacio hueco. Se estudiara los perfiles del movimientofluido dentro de esa espuma de sılice. Un esquema (que no respeta los tamanos relativos) puede observarseen la figura 6.5.

LaseresLaseres

Hohlraum

Espuma de SiO2

Plastico (CH)Observador

Figura 6.5: Esquema del experimento descrito en [30]

El aporte de energıa de los laseres es tal que se consigue una temperatura de radiacion media de220eV dentro del hohlraum. Asimismo el resto de dimensiones y densidades de las diferentes partes delsistema estan descritas en el correspondiente artıculo.

6.3.2. Simulacion numerica del sistema

Existen partes del sistema que no se pueden reproducir exactamente, como la existencia de diversosmateriales. Asimismo, se comenta que la espuma plastica ha sido dopada con bromo (C50H48Br2), peropara la simulacion solo se dispone de datos atomicos de espuma plastica CH. Actualmente no se disponede metodos para generar coeficientes atomicos para mezclas arbitrarias, ası que en este caso se han deutilizar los datos de la librerıa sesame. Dichos datos presentan la limitacion de estar colapsados a unsolo grupo de energıa, con lo que esta simulacion se ha realizado usando un grupo energetico.

La simulacion se ha realizado utilizando como material unico el plastico CH, adecuando su densidada las referidas en el artıculo. Los bordes del hohlraum, de oro, han sido sustituidos por plastico a altadensidad, la suficiente para ralentizar su movimiento fluido y que no afecte al resto del sistema.

El hohlraum no es simulado de un modo completo, sino que su campo de radiacion, tomado comohomogeneo, se impone como condiciones de contorno en el transporte de radiacion. Las condiciones en elinterior de un hohlraum durante la irradiacion de su interior son muy variables en el tiempo. Es por esoque para la simulacion no serıa correcto utilizar el valor promedio dado en la descripcion del experimento.Para conseguir unos valores mas precisos se han consultado resultados de experimentos llevados a cabo


en la instalacion Nova [72], entre los que se encuentra el perfil de temperatura de radiacion reflejado enla figura 6.6.

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

0 0.5 1 1.5 2

t (ns)

Tr

(eV

)

Figura 6.6: Evolucion de la temperatura de radiacion en el interior de un hohlraum de la instalacion Nova[72]

Con esas condiciones el caso ha sido simulado, utilizando una malla base de 64 × 128 celdas y dosniveles de refinamiento de valor 2 cada uno. Para realizar la comparacion con los resultados del lasnex,se estudiara la situacion del sistema para los valores de tiempo de: 2ns, 4ns, 6ns, 8ns. Las graficascomparativas, ası como mapas de grises donde se muestra la situacion de las mallas de resolucion, seencuentran en las figuras 6.7, 6.8, 6.9 y 6.10 de las paginas 128, 129, 130 y 131 respectivamente. En lasgraficas se encuentran los valores de diferentes variables a lo largo del eje de simetrıa. Los mapas de grisesrepresentan la densidad en los diferentes puntos del sistema, en escala logarıtmica y con un rango mınimode 1 kg/m3 y maximo de 104 kg/m3.

Se puede observar en las figuras como la coincidencia entre codigos es bastante significativa. Hay dosfuentes principales de discordancia entre los resultados.

A tiempo t = 2 ns se tiene en torno a z = 150 µm que tanto la densidad como la temperaturahan sido correctamente reproducidas, pero la presion presenta una cierta discordancia. Teniendo encuenta que la presion es dependiente de las anteriores variables, tal discordancia puede achacarse alos datos de ecuacion de estado utilizados en cada uno de los casos. En el artıculo no se detalla lafuente de datos utilizada por lasnex.

La colision del plastico eyectado con la espuma tiene lugar a tiempo t = 2 ns, produciendosecoincidencia en la velocidad del impacto. Sin embargo a tiempos posteriores, la onda de choqueproducida viaja mas rapidamente en la simulacion de lasnex que en la de arwen, a pesar deproducir un calentamiento similar.

En el artıculo se incluye una imagen de una streak camera, aunque sin mostrar una calibracion ade-cuada de los valores de sus ejes. Se puede no obstante tomar medidas relativas a tiempo constante.

Para calibrar esa imagen en el plano (z, t), se han utilizado como referencia dos puntos que han sidocalculados con el codigo arwen. Hay que resaltar que en los primeros nanosegundos, hay acuerdo entreambos codigos en el campo de velocidades, con lo que en los puntos tomados de referencia hay acuerdoentre ambos resultados:

1. Punto en el que el material comienza a ser eyectado al hueco. z = 200 µm, t = 2,5 ns.

2. Punto en el que se produce la colision del material eyectado contra la espuma de sılice. z =350 µm, t = 3,3 ns.


10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Den

sidad

(kg/m

3)

0.1

1

10

100

1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Tem

per

atu

ra(e

V)

0.1

1

10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Pre

sion

(GPa)

0

20

40

60

80

100

120

140

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Vel

oci

dad

(km

/s)

0

200

400

-200 0 200 400 600 800

Z (µm)

r(µ

m)

Figura 6.7: Caracterısticas del sistema a los 2ns


10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Den

sidad

(kg/m

3)

0.1

1

10

100

1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Tem

per

atu

ra(e

V)

0.1

1

10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Pre

sion

(GPa)

0

20

40

60

80

100

120

140

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Vel

oci

dad

(km

/s)

0

200

400

-200 0 200 400 600 800

Z (µm)

r(µ

m)



10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Den

sidad

(kg/m

3)

0.1

1

10

100

1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Tem

per

atu

ra(e

V)

0.1

1

10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Pre

sion

(GPa)

0

20

40

60

80

100

120

140

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Vel

oci

dad

(km

/s)

0

200

400

-200 0 200 400 600 800

Z (µm)

r(µ

m)



10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Den

sidad

(kg/m

3)

0.1

1

10

100

1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Tem

per

atu

ra(e

V)

0.1

1

10

100

1000

10000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Pre

sion

(GPa)

0

20

40

60

80

100

120

140

0 100 200 300 400 500 600 700 800

lasnexarwen

Z (µm)

Vel

oci

dad

(km

/s)

0

200

400

-200 0 200 400 600 800

Z (µm)

r(µ

m)



Siguiendo esas referencias (suponiendo la linealidad de la pelıcula), se tiene que para t = 4 ns seha producido ya la estructura de doble onda de choque, y la distancia entre picos es de 50 µm. Se hade resaltar por tanto, que el resultado del codigo arwen es mas realista que el del lasnex, para esaparticularidad concreta. La pelıcula no avanza mas alla de 5 ns con lo que no se pueden hacer mascomparaciones.

Como conclusion al estudio de este caso, se anade que el codigo arwen tiene ahora capacidad desimular procesos dirigidos por radiacion termica, como los que se dan en el interior de un hohlraum. Lacesion de energıa desde el campo de radiacion a la materia se hace del modo adecuado, consiguiendose losperfiles fluidos correctos. Ademas de todo ello, el arwen se presenta como un codigo de altas prestacionescapaz de producir resultados concordantes con medidas experimentales incluso mejor que otros codigosde prestigio mundial.

6.4. Aplicacion al diseno de blancos en ICF

Como primera aplicacion de las nuevas y mejoradas capacidades de calculo se ha reabierto una lıneade investigacion no desarrollada hasta ahora por falta de medios de simulacion. Se trata de la utilizacionde jets (chorros de materia a alta velocidad) para producir el encendido de la reaccion de fusion nuclearen una capsula combustible en estado de maxima compresion. Los antecedentes de este trabajo se basanen el estudio de la formacion de jets a partir de blancos conicos [126, 76] realizado por miembros del IFN.Solo ahora se dispone de los medios de simulacion suficientes para estudiar la evolucion de esos blancos.

La idea de este diseno se encuadra pues dentro del esquema de fast ignition [122] basado en la deposi-cion subita de energıa en el estado de maxima compresion de un blanco de ICF. Esa deposicion de energıatiene como objetivo el producir el comienzo de la reaccion en un estado tal que pueda autosostenerse.Con este metodo se pretenden relajar las estrictas condiciones de simetrıa y ausencia de inestabilidades,que son necesarias para llegar a un estado de ignicion. Se han desarrollado diversos esquemas basados enfast ignition, pero todos ellos requieren de dos fuentes de energıa diferentes. La fuente principal comu-nica energıa al blanco de ICF, de modo que se produzca su compresion hasta condiciones cercanas a laignicion, y es entonces cuando una segunda fuente de energıa (laser o partıculas cargadas) es utilizadapara realizar una deposicion muy subita (en un orden de tiempos de femtosegundos) que debe comenzarla reaccion.

El esquema propuesto funciona de tal modo que solo requiere de una fuente de energıa, la principal, queha de ser capaz de producir tanto la implosion de la capsula de combustible como de hacer la deposicion

Figura 6.11: Medidas experimentales del movimiento fluido del sistema [30]

6.4. Aplicacion al diseno de blancos en ICF 133

subita de energıa. El proceso fısico utilizado con este fin es la generacion de un jet de alta velocidad (y portanto energıa cinetica) simultaneamente a la implosion del combustible nuclear. El diseno del sistema sehace de tal modo que el jet entre en colision con el combustible durante su estado de maxima compresiony temperatura. Esto produce un aumento de temperatura en una region, que de ser lo suficientementemasiva, producirıa el inicio de una reaccion autosostenida.

El esquema del blanco propuesto, tal y como se ha definido, se encuentra en la figura 6.12. A laizquierda de la figura se encuentra una representacion del modelo completo (con simetrıa respecto al ejehorizontal) y a la derecha se tiene el modelizado necesario para la simulacion numerica, donde se hantomado en cuenta las simetrıas existentes. Se aprecian en ese esquema las dimensiones caracterısticasdel modelo, que en gran medida son parametros libres para conseguir un funcionamiento optimo. Porsupuesto, algunas de ellas vendran practicamente fijadas por los disenos existentes de blancos indirectos[72] que estan ya optimizados para mejor rendimiento.

Una descripcion mas extensa del sistema propuesto se encuentra en [129] si bien contiene los siguientescomponentes, que han sido detallados en la figura 6.12:

Capsula de combustible nuclear. Su composicion esta fijada por la reaccion de menor temperaturaumbral. Se ha de utilizar una mezcla de deuterio y tritio.

Cono de produccion del jet. No hay un criterio inicial claro sobre el material a utilizar, al existir dosfenomenos contrarios. Por una parte serıa conveniente un material pesado que pudiera transportarmas energıa cinetica, pero por otra un material de alto numero atomico producirıa un enfriamientoradiativo del combustible comprimido al entrar en contacto con el.

Cono guıa de la implosion. Segun investigaciones en fast ignition, la presencia de este cono preservala implosion simetrica de la capsula combustible, a pesar de no ser completamente esferica. Esconveniente utilizar un material denso, para que interfiera con el movimiento fluido lo menos posible.

Como se ha comentado en el caso anterior, el codigo arwen presenta actualmente la limitacion demanejar un solo material simultaneamente, con lo que se han hecho pruebas con materiales intermedios.Esto invalida los resultados cuantitativos del metodo pero da una primera idea sobre su viabilidad.Teniendo en cuenta que la produccion de jets es un hecho estudiado, los efectos mas clave en este estudioson:

Sincronizacion de la implosion y la formacion del jet.

Calentamiento por efecto de la colision del combustible comprimido.

Capsula combustible

Cono guıa

Cono del jet

α

β D2

D1

HR

S

L

X

Y

Figura 6.12: Diseno de blanco para fast ignition


Para lograr un calentamiento del combustible que sea al menos similar al de una capsula de deuterioy tritio, es conveniente utilizar materiales de bajo numero atomico. Por esa razon se ha seleccionadoel aluminio (Z = 13) como material componente de todo el sistema. De ese material se tienen datosde ecuacion de estado y atomicos, ya probados satisfactoriamente en otras simulaciones. Asimismo sedispone de opacidades con dependencia energetica, lo que permite realizar calculos en multigrupos. Eneste caso, en el que se han realizado fuertes aproximaciones, no es una condicion necesaria pero a su vezservira para mostrar la capacidad del codigo de realizar semejantes calculos.

Los resultados principales de la simulacion se presentan en las figuras 6.13 y 6.14. El significado yrangos de los graficos viene definido en la tabla 6.5 de la pagina 139:

Las conclusiones extraıbles de este estudio se encuentran publicadas en [129]. De modo resumido seexponen seguidamente:

Se confirma los resultados de Kodama et al [57] respecto a una compresion simetrica de la capsulacombustible mediante la ayuda de un cono guıa. El combustible nuclear alcanza un estado similarde maxima compresion en este caso y en el de compresion totalmente esferica.

Se produce un jet de velocidad cercana a 400 km/s que puede sincronizarse para incidir contra elcombustible en el momento preciso. Se observa flexibilidad en la capacidad de sincronizacion.

La colision de jet contra el combustible produce un apreciable aumento de temperatura, desde 2 keVa 4 keV. Con el uso de diferentes materiales para los diferentes componentes del sistema se esperaque este valor sea ampliamente superado.

Mediante un modelo mas aproximado al real, queda por estudiar si el calentamiento producidoes suficiente para conseguir el encendido de la reaccion de fusion. Asimismo es necesario un masprofundo estudio del posible enfriamiento radiativo con el uso de materiales de mayor densidad (ynumero atomico).

La simulacion llevada a cabo en este estudio ha sido realizada utilizando 5 grupos de energıa, con losrangos (0, 20, 50, 80, 150,∞) eV. Los coeficientes atomicos en multigrupos han sido generados mediantedel programa jimena [83] y con un posterior colapsamiento. Como punto final de este estudio, y a modode demostracion de las capacidades del mismo, se presenta en la figura 6.15 imagenes de la distribucionde intensidades en cada uno de los grupos de energıa ası como la temperatura de radiacion promedio parael instante t = 0,43 ns. Estas imagenes se muestran unicamente como muestra de la capacidad de calculo,y se puede apreciar como los diferentes grupos tienen unas distribuciones de intensidad apreciablementediferentes, en gran medida en funcion de la distribucion de temperatura de radiacion en el sistema.


Figura 6.13: Evolucion del blanco propuesto para ICF (1).


10

2

4

10

-50-100-150-200

Densidad (kg/m3)

Z (µm)

FuelJet

-50-100-150-200

10

3

4

5

10

10

Densidad (kg/m3)

Z (µm)

-50-100-150-200

0

400

Velocidad (km/s)

Z (µm)

-50-100-150-200

10

2

3

10

Temperatura (eV)

Z (µm)

Figura 6.14: Evolucion del blanco propuesto para ICF (2).


Tr , max = 300 eV I(0, 20) eV, max = 6 · 1016 W/m2

I(20, 50) eV, max = 6 · 1016 W/m2 I(50, 80) eV, max = 6 · 1016 W/m2

I(80, 150) eV, max = 1,2 · 1017 W/m2 I(150, ∞) eV, max = 3 · 1019 W/m2

Figura 6.15: Temperatura de radiacion por grupos de energıa.


Variables

Variable espacial: z

Variable temporal: t

Coeficiente de absorcion: κ

Coeficiente de dispersion: σs

Absorcion adimensional: ca = κκ + σs

Dispersion adimensional: cs = σsκ + σs

Energıa del material: e = 14αT 4

Intensidad de radiacion: I(z, t,Ω)

Constante de Stefan–Boltzman: σsb = 5,67032 · 10−8 Wm2K4

Espacio adimensional: x = κ · zTiempo adimensional: τ = σsbκt

α

Temperatura de referencia: TH

Fuente de radiacion: S(x, τ,Ω) = κσsbT4H

π ·H(x + x0) − H(x − x0)

2x0·

(H(τ) − H(τ − τ0))

Funcion de Heaviside: H(x)

Cuadro 6.4: Variables del test de Su–Olson.


N.o Tipo Magnitud Contenido

Figura 6.13

1i) Mapa de colores Densidad Configuracion inicial t = 0 ns enescala logarıtmica con rango de(10, 104) kg/m3. Se incluye la po-sicion de las mallas de simulacionen la representacion.

1d) Mapa de colores Densidad Configuracion a tiempo t =1,5 ns en escala logarıtmica conrango de (10, 104) kg/m3.

2i) Mapa de colores Densidad Ampliacion de la region superiorizquierda a tiempo t = 2,30 ns enescala logarıtmica con rango de(10, 105) kg/m3.

2d) Mapa de colores Velocidad Ampliacion de la region superiorizquierda en en escala lineal conrango de (−300, 300) km/s.

Figura 6.14

1) Grafica 1D Densidad Configuracion a t = 2,3 ns en losinstantes anteriores a la colisionde jet y capsula combustible.

2) Grafica 1D Velocidad Misma situacion anterior.

3) Grafica 1D Densidad Configuracion a t = 2,45 ns du-rante la colision

4) Grafica 1D Temperatura Misma situacion anterior, dondese muestra el aumento de tempe-ratura en la region de colision.

Cuadro 6.5: Descripcion de las graficas de las figuras 6.13 y 6.14


Capıtulo 7

Conclusiones

Como consecuencia de los avances en el desarrollo de maquinas de computacion, la simulacion mediantemetodos numericos se presenta como un campo de apoyo prometedor para la fısica. Estas simulacionesrequieren de codigos de probada fiabilidad y rendimiento para aprovechar al maximo el potencial de loscomputadores.

En este trabajo se han propuesto, desarrollado e implementado unos algoritmos para resolver laecuacion de transporte de radiacion en malla adaptativa. A lo largo de este trabajo se han enunciado ymostrado las ventajas del metodo AMR sobre la resolucion convencional de ecuaciones. El fruto de estetrabajo, en su acoplamiento con el codigo arwen aporta entonces no solo unas nuevas capacidades desimulacion, sino que las aporta de un modo optimizado. Como resultado se tiene un codigo fiable y dealtas prestaciones, tanto por requerimiento de memoria como por tiempo de computacion.

Seguidamente se muestran de modo resumido las principales aportaciones que este trabajo ha repor-tado. Dichos puntos han sido ya comentados a lo largo de la exposicion de esta tesis doctoral.

7.1. Mejoras aportadas

Para un codigo fluidodinamico, la capacidad de calcular la transmision de energıa mediante radiacionle abre campos nuevos de aplicacion. La radiacion toma un papel preponderante en medios de altatemperatura, donde la energıa transportada por la radiacion (en primera aproximacion proporcional aT 4) es comparable e incluso superior que la transportada por los otros medios posibles: la convecciony la conduccion. El principal campo de aplicacion de este trabajo, que ha motivado su desarrollo, esla fusion por confinamiento inercial, que en gran medida responde a la descripcion anterior. Como yase ha puesto de relieve no es el unico campo de aplicacion, siendo la astrofısica un area que muestracierto paralelismo con el anterior (en cuanto a la termodinamica de sus procesos). Por tanto la principale incuestionable mejora aportada por este trabajo es la extension de capacidades de calculo del codigofluidodinamico bidimensional arwen. Dicha extension, tal y como se ha mostrado en el capıtulo deresultados, ha permitido el estudio de nuevos conceptos de blancos de fusion inercial, posibilitando laapertura de nuevas lıneas de investigacion que antes estaban fuera de nuestro alcance.

La metodologıa utilizada en la resolucion de la ecuacion de transporte ha sido escogida teniendo enmente la flexibilidad de operacion y los posteriores desarrollos sobre este mismo codigo. Las principalesideas estudiadas y desarrolladas en este trabajo son las siguientes:

141

142 Capıtulo 7. Conclusiones

Marco de programacion. Se ha estudiado y elegido un marco base de programacion para eldesarrollo del codigo. Por una parte se requiere de un lenguaje de bajo nivel para optimizar lavelocidad de calculo, pero para otras tareas es mas conveniente un lenguaje de mas alto nivelpara mayor simplicidad del codigo resultante. Tras un estudio de las posibilidades existentes se haescogido la programacion en fortran y C++, apoyada por una librerıa de programacion de altonivel orientada a AMR. La librerıa escogida, boxlib [24], presenta las caracterısticas requeridas:simplifica las tareas de programacion, permitiendo la optimizacion en caso de ser necesario.

Por otra parte, la correcta eleccion del marco de programacion, acompanado del adecuado modode realizarla, permite la paralelizacion del codigo de un modo practicamente automatico. Esta ca-pacidad no ha sido presentada en este trabajo por no considerarse en su alcance. Sin embargo lalibrerıa boxlib ha sido ya mejorada por sus creadores para contemplar de un modo encapsulado(por tanto practicamente transparente al usuario) la paralelizacion del codigo resultante. La parale-lizacion de codigos se presenta como una tarea de gran interes que puede multiplicar su capacidad acoste razonable. Su uso tanto en computadores de gran potencia de calculo (usualmente maquinasmultiprocesador), como en uniones mediante red rapida de computadores personales (cluster dePC) aumenta las capacidades de calculo en factores significativos.

Otra ventaja asociada al uso de la librerıa boxlib reside en una sencilla extension de los calculosa un espacio tridimensional. En toda la programacion asociada al manejo de datos para AMR(proyecciones, transmision de informacion entre mallas, etc. . . ) todos los valores dependientes de ladimension (p.e. numero de caras de una celda) son dependientes de una variable de preprocesadorque puede ser seleccionada a tiempo de compilacion (no habiendo ası degradamiento del rendimientode operacion).

La extension de los calculos bajo AMR a tres dimensiones es una opcion de mucho interes, yaque es en ese caso cuando se aprovechan al maximo sus ventajas. En un sistema tridimensional esmas probable que el volumen necesitado de refinamiento sea relativamente menor que en el casobidimensional. La idea de extension de los calculos a tres dimensiones ha sido tenida en cuentadesde el principio, habiendose intentado facilitar la labor futura.

Estructura modular flexible. El codigo realiza unas tareas internas claramente diferenciadas,en funcion del grupo de ecuaciones resuelto. La estructura modular permite por un lado el estudioindependiente de cada una de las partes, y por otro su mejora individual o incluso su sustitucion.

Este trabajo se ha presentado como una primera version de lo que sera un codigo de mejor ren-dimiento. En estas paginas se han implementado las primeras ideas hacia el funcionamiento bajoAMR de un codigo implıcito de transporte de radiacion. De cara a un funcionamiento optimo, taly como se comentara en la seccion de lıneas futuras, se contempla la sustitucion de partes impor-tantes del mismo, mas manteniendo los algoritmos especıficos y originales que han sido aportadosen este trabajo. Por esa razon esas mejoras han sido tenidas en cuenta y en parte identificadas,estructurando la programacion de modo que su implementacion sea lo mas sencilla posible.

Correcto tratamiento del campo de radiacion. Mediante este trabajo, y dentro de los rangosya presentados, se consigue dar un tratamiento adecuado al campo de radiacion presente en lossistemas bajo estudio en ICF y otros campos de interes. El campo de radiacion calculado presentadependencia tanto angular como energetica, aparte de la espacial y temporal. Esta dependenciaexplıcita permite la correcta representacion de campos de radiacion lejos de la isotropıa y delequilibrio termico con el medio. Esas dos condiciones son comunes en sistemas de estudio en ICF,donde la radiacion atraviesa medios opticamente delgados, acoplando energeticamente por tantoregiones distantes con diferentes condiciones termodinamicas.

Acoplamiento implıcito de radiacion y materia. Teniendo en cuenta la realimentacion no

7.2. Limitaciones 143

lineal entre el estado energetico de la materia y de la radiacion, se hace necesario un tratamientoespecıfico para el caso de fuertes variaciones de temperatura. En este trabajo se han implemen-tado tecnicas avanzadas de probada alta tasa de convergencia para tratar esa interaccion mutua.Este es un problema no asociado directamente al metodo AMR, pero que tambien necesita de esetratamiento en este caso.

Calculo preciso de coeficientes. Paralelamente al desarrollo del codigo, y por una necesidadmarcada por este mismo, se han desarrollado herramientas de generacion de coeficientes de la ecua-cion de transporte. Esos coeficientes son el coeficiente de absorcion y la emisividad, dependientesdel material presente en el sistema. La librerıa de generacion y tratamiento de esos datos se pre-senta como una ampliacion de capacidades de la librerıa previa de tratamiento de ecuaciones deestado, desarrollada por el autor de esta tesis. Como resultado de todo este trabajo colateral, se hadesarrollado un sistema consistente de generacion de datos materiales y atomicos, de sencilla imple-mentacion en cualquier codigo fluidodinamico. Como principal ventaja se encuentra la flexibilidadde adquisicion de datos de diversas fuentes (analıticas o tabulares) y la gestion eficiente de datosalmacenados en disco de cara a su recuperacion.

Los tests realizados sobre el codigo han mostrado la correcta resolucion de la ecuacion de transporte(desacoplada de la fluidodinamica), ası como un correcto funcionamiento acoplado con el movimientofluido. Las pruebas realizadas se clasifican en comparaciones con una solucion analıtica y comparacionescon resultados de otro codigo de simulacion. Las primeras tienen el inconveniente de existir solucionesanalıticas solo para problemas unidimensionales de extremada sencillez. Aun ası, se puede comprobarcomo el metodo AMR mejora en rendimiento (tomado como precision para igual numero de celdasresueltas) al de malla simple. En cuanto a la comparacion con otros codigos, presentan el problema dela fiabilidad del codigo de referencia. En este caso se han utilizado resultados producidos por el codigolasnex [133] de probada solvencia y utilizacion en campos tanto civiles como del area militar en losEstados Unidos de America. Por supuesto la contrastacion con experimentos es el metodo mas fiablede comprobacion de funcionamiento de un codigo. Sin embargo la toma de datos directamente de unexperimento presenta mas dificultad e incertidumbres que la salida de datos de un codigo. Por estemotivo se ha decidido la contrastar los resultados de este codigo con los del lasnex anteriormente citado.

7.2. Limitaciones

Tal y como se han detallado en el capıtulo correspondiente, la ampliacion de capacidades de simulacionrealizadas tienen unos lımites, fundamentalmente termodinamicos. Se ha considerado la posibilidad deque la radiacion influya de modo significativo en la evolucion material del sistema, sin embargo, a partirde ciertos regımenes (esencialmente a temperatura suficientemente elevada) la influencia de la radiacioncobra una magnitud no considerada en el trabajo actual. Las principales limitaciones se recogen en estalista:

A muy alta temperatura la radiacion influye significativamente no solo con el intercambio de energıacon el medio, sino tambien con intercambio de cantidad de movimiento. Actualmente se ha des-preciado la presion de radiacion (de caracter tensorial), si bien el codigo obtiene todos los datos apartir de los cuales esta se puede calcular. Es por tanto una mejora simple el introducirla, si biensu consideracion influye tambien en el tratamiento de la parte fluidodinamica.

Frente a variaciones rapidas de temperatura, y especialmente en un regimen de temperatura alta,se dan dos procesos fısicos que no estan tratados con el suficiente detalle. En primer lugar fuertes


variaciones temporales en la intensidad de radiacion implican fuertes variaciones en el contenidoenergetico de dicho campo. Esta variacion invalidarıa la hipotesis de despreciar en la ecuacion detransporte la derivada temporal de la intensidad de radiacion. Por otra parte, una variacion fuerte dela temperatura material produce un cambio en la emisividad del medio. El acoplamiento de materiay radiacion se ha realizado mediante un analisis lineal que tiene un cierto rango de precision. Frentea variaciones muy significativas, la aproximacion quedarıa invalidada.

Hay que resaltar que esta ultima limitacion puede obviarse mediante la reduccion del paso temporalen situaciones que ası lo requieran. De los resultados ya obtenidos se ha observado como esassituaciones ocurren unicamente en los instantes iniciales de la iluminacion por laser de materia frıau otros procesos equivalentes, y que no suelen presentar relevancia en los resultados de interes delos casos.

Una limitacion que ha de tenerse en cuenta, pero que no presenta repercusion importante, es la noconsideracion de fenomenos relativistas en el codigo. Las velocidades obtenidas en los casos bajoestudio quedan muy por debajo de la de la luz, y otras consideraciones han sido ya tratadas en laseccion 2.7 correspondiente al tema. No es una limitacion que imponga restricciones a los estudiosde interes.

7.3. Desarrollos futuros

En toda la concepcion de este trabajo se ha prestado especial interes a los desarrollos futuros demejora o sustitucion de partes del mismo. Se debe hacer hincapie en que el desarrollo de un codigocontiene una parte de fısica y otra de programacion de alta importancia que debe estar adecuadamenteplanteada. Muchas decisiones de especial influencia en el modo de realizar la programacion de este trabajohan sido orientadas a su posterior mejora. De hecho durante la programacion y prueba del codigo se hanidentificado las limitaciones y problemas de rendimiento que estan sujetos a un posterior desarrollo ymejora.

Aparte de las mejoras directas sobre el rendimiento del codigo, existe la posibilidad de ampliar surango de aplicacion a otras areas. Esto puede suponer la sustitucion de gran parte de su contenido, perono se puede despreciar la posibilidad de que la programacion realizada sea utilizada en otros camposcomo el estudio de combustion para ingenierıa termica, o el calculo de tratamientos de radioterapia. Eneste ultimo campo ha sido ya utilizado el codigo base de este trabajo en su version tridimensional [45]con resultados prometedores.

Un punto de mejora en la resolucion puede obtenerse mediante la resolucion de las mallas de un modoparcial en diferentes etapas. Esto rompe el encapsulamiento impuesto al utilizar como nucleo de calculo uncodigo de resolucion en malla simple. Por el contrario esto puede hacer que solo se resuelvan las direccionesde propagacion de las que se disponga de condiciones de contorno. Esta tarea esta ya conceptualmentedefinida, y se espera que mediante su aplicacion la velocidad del codigo se vea aumentada en un factoren torno a cuatro. Esta modificacion es del todo necesaria en el caso de calculos tridimensionales, ya quela razon de velocidad de calculo estarıa en torno a ocho. La dificultad de llevar a cabo esta modificacionestriba en el hecho de que serıa conveniente sustituir el nucleo de calculo de transporte y sustituirlo poruno de desarrollo propio orientado a AMR. Esto obligarıa a reprogramar el metodo DSA de aceleracionde la convergencia, adaptandolo tambien a malla adaptativa.

Tambien esta planteado como desarrollo futuro mejorar la parte de acoplamiento de radiacion conmateria. El considerar la presion de radiacion, ası como una mejor aproximacion lineal de la emisividad

7.3. Desarrollos futuros 145

(con punto de linealizacion variable) y el considerar la derivada temporal de la intensidad de radiacionpermitirıa al codigo calcular con precision sistemas de mayor temperatura, donde la radiacion juega unpapel preponderante, como por ejemplo el combustible de fusion nuclear una vez producida su ignicion.Por supuesto eso implicarıa la consideracion de reacciones nucleares, con lo que ambas tareas irıan unidaspara un buen funcionamiento del calculo de reacciones.

Se pueden plantear desarrollos futuros que tengan como mision primordial el eliminar las limitacionesexpuestas en la seccion anterior. Sin embargo, teniendo en cuenta las condiciones previstas de utilizaciondel codigo, los puntos anteriores reflejan las lıneas mas importantes que quedan abiertas de cara a lacontinuacion de este trabajo.


Apendice A

Analisis de los metodos escalon y

diamante

Tal y como se ha reflejado ya en el capıtulo de numerica aplicada al transporte de radiacion, losmetodos mas simples utilizados en el metodo de ordenadas discretas con diferencias finitas son el escalony el diamante. Dichos metodos han sido ya comentados en el texto, mostrandose en este apendice unbreve estudio analıtico sobre su comportamiento y orden de aproximacion a la solucion real.

A.1. Analisis unidimensional.

La ecuacion de transporte que se tomara como base del analisis es la mas simple, en una dimension yconsiderando unicamente absorciones. No se tendran en cuenta ni las fuentes ni el termino de dispersion,que no aportan variaciones al comportamiento del operador.

µ∂I

∂t+ σ I = 0 (A.1)

Considerando µ > 0, esta ecuacion representa la evolucion de radiacion que viaja hacia valores crecientesde la coordenada espacial x. El analisis se realizara sobre una celda de la discretizacion, definida por elintervalo [xi−1/2, xi+1/2]. La intensidad de radiacion entrante por la frontera izquierda del dominio serepresenta por I−, la saliente por la frontera derecha sera I+, mientras que la promedio de la celda es I0.El primer valor de ellos presenta una mayor importancia en cuanto que determina la propagacion de laradiacion, y un error producido en una celda afecta a la precision de todas las posteriores en el recorridodel rayo.

I0 =1

∆x

∫I(x) dx; ∆x = xi+1/2 − xi−1/2 (A.2)

La anterior ecuacion continua admite una solucion simple si se considera que el coeficiente de absorcion esconstante en el interior de la celda. Definiendo el espesor optico equivalente de la celda como τ = σ∆x/µ

(espesor que atraviesa un rayo), se tiene que:

I(x) = I− · exp(−τ

x − xi−1/2

∆x

)(A.3)

I+ = I− · e−τ (A.4)

I0 = I− · 1 − e−τ

τ(A.5)

147

148 Apendice A. Analisis de los metodos escalon y diamante

Es frente a estos valores como se van a comparar los resultados equivalentes de los diferentes esquemasnumericos. De las anteriores expresiones se puede estudiar el comportamiento para celdas muy transpa-rentes τ → 0 o para celdas de gran opacidad τ → ∞

τ → 0 τ → ∞I+/I− 1 − τ + 1

2τ2 + . . . e−τ

I0/I− 1 − 12τ + 1

6τ2 + . . . 1τ

(A.6)

A.1.1. Metodo escalon

Siendo este un esquema numerico basado en diferencias finitas, la primera tareas a realizar es ladiscretizacion de la ecuacion de transporte bajo analisis. Utilizando las variables anteriormente definidas,e integrando la ecuacion sobre el intervalo, se tiene que:

µI+ − I−

∆x+ σ I0 = 0 (A.7)

La relacion adicional que introduce el metodo del escalon, es que la intensidad de radiacion de salidade la celda es igual a la promedio I+ = I0. Introduciendo esa relacion en la anterior ecuacion, se llega alas expresiones siguientes:

I+ = I0 = I− · 11 + τ

(A.8)

Al igual que en el caso analıtico, se puede realizar el estudio asintotico para valores extremos de la variableτ .

τ → 0 τ → ∞I+/I− 1 − τ + τ2 + . . . 1

τ

I0/I− 1 − τ + τ2 + . . . 1τ

(A.9)

Observandose que para celdas de pequeno espesor optico, el ajuste entre este metodo y el analıtico esde primer orden. Por otra parte, para celdas de gran espesor el flujo de salida disminuye de un mododiferente al exacto.

I− I+

xi−1/2 xi+1/2

xi

Figura A.1: Elementos de una celda unidimensional

A.1. Analisis unidimensional. 149

A.1.2. Metodo del diamante

Este caso presenta una clara analogıa con el anterior, con la salvedad de utilizar una condicion adicionaldiferente para la ecuacion A.7. Dicha condicion es la llamada del diamante:

I− + I+ = 2 · I0 (A.10)

Como ya se apunto en el texto principal, dicha relacion puede inducir la aparicion de intensidades negativasde salida de celda. Siendo eso una solucion irreal desde el punto de vista fısico, se trata de solventarmediante la aplicacion de una correccion ad hoc tal que fija como cero el valor mınimo que puede tenerla intensidad de salida de celda (I+).

Introduciendo la relacion anterior en la ecuacion y operando, se llega a la expresion:

I+ =

I− · 1−τ/2

1+τ/2 si τ < 2

0 si τ > 2(A.11)

I+ =

I− · 1

1+τ/2 si τ < 2

I− · 1τ si τ > 2

(A.12)

(A.13)

τ → 0 τ → ∞I+/I− 1 − τ + 1

2τ2 + . . . 0

I0/I− 1 − 12τ + 1

4τ2 + . . . 1τ

(A.14)

En este caso se observa como el desarrollo para τ → 0 de la intensidad a la salida de la celdacorresponde con el exacto hasta el segundo orden de aproximacion. Asimismo, para valores lımite de altoespesor optico, la aproximacion de valor nulo se acerca mas al valor real que el correspondiente al metodoescalon.

Como resumen de los anteriores calculos, en la figura 3.6 se presenta una comparacion grafica de estosresultados, en la que se aprecia los diferentes comportamientos de cada uno de los metodos para diferentesespesores opticos.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5

Flu

jo r

elat

ivo

Opacidad de celda

Flujo medio en celda

Valor exactoMetodo Escalon

Metodo diamante

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

Flu

jo r

elat

ivo

Opacidad de celda

Flujo en cara saliente

Valor exactoMetodo Escalon

Metodo diamante

Figura A.2: Comparacion de los metodos escalon y diamante

150 Apendice A. Analisis de los metodos escalon y diamante

Apendice B

Interpolacion para el calculo de

emisividades

B.1. Modelo unidimensional

Para calculos de transporte bajo condiciones LTE, la emisividad de radiacion ε es dependiente uni-camente de las condiciones termodinamicas locales (ρ, Te), donde Te es la temperatura electronica (enadelante y por simplicidad se omitira el subındice). Para los calculos de simulacion numerica es necesariocalcular promedios en cada una de las celdas componente de una malla. Para mayor simplicidad en lassiguientes expresiones se utilizara un modelo unidimensional:

εi =1

∆xi

∫i

ε(x) dx =1

∆xi

∫i

ε (ρ(x), T (x)) dx (B.1)

donde se ha explicitado que la dependencia de la emisividad con la posicion espacial viene directamentecondicionada por la dependencia de las variables ρ y T con esta. Normalmente durante la simulacionnumerica con esquemas de diferencias finitas no se conocen los perfiles espaciales de ninguna de lasvariables, sino simplemente sus valores medios en celda. La aproximacion realizada es:

εi ≈ ε(ρi, Ti) = ε

(1

∆xi

∫i

ρ(x) dx,1

∆xi

∫i

T (x) dx

)(B.2)

Esta aproximacion equivale a suponer que el perfil espacial de las variables termodinamicas es plano.Dependiendo de las propiedades de la funcion ε(ρ, T ), dicha aproximacion puede ser mas o menos buena.En el caso de que fuera una funcion lineal en sus argumentos, serıa una aproximacion exacta. Sin embargo,en el caso general la emisividad de radiacion dista mucho de la linealidad, con lo que los resultados de laaproximacion pueden resultar de pobre calidad. En el caso de condiciones de LTE y un cuerpo negro, setiene que la emisividad tiene una expresion:

ε(ρ, T ) = κp(ρ, T ) · B(T ) (B.3)

donde κp es la opacidad de Planck y B(T ) es la funcion planckiano integrada en todo el espectro.Consultando la bibliografıa [84] se pueden obtener expresiones simples aproximadas para la dependenciade κp con la densidad y temperatura. Dichas expresiones tienen validez en un amplio rango de estadostermodinamicos, y son de la forma:

κp(ρ, T ) = a · ρb · T c (B.4)

151

152 Apendice B. Interpolacion para el calculo de emisividades

donde las constantes a, b y c pueden encontrarse tabuladas para diferentes materiales. Tomando el valordel planckiano en todo el espectro se tendrıa esta expresion para la emisividad:

ε(ρ, T ) = a′ · ρb · T c+4 (B.5)

donde a′ = 4aσs (σs = 5,67 · 10−8 W/(m2K4)).

El modelo que se ha introducido en este trabajo consiste en suponer un perfil no constante para lasvariables ρ y T , pero conservando sus valores promedio ρi, Ti. Dicho perfil tiene que poder dar cuenta degrandes saltos en celdas consecutivas, como ocurre a traves de frentes de ablacion en casos de iluminacionpor laser. Un perfil lineal no puede recoger bien ese tipo de variaciones (de ordenes de magnitud entreceldas contiguas) con lo que ha formulado dicho perfil lineal a los logaritmos de las variables. Tanto lapresion como la temperatura toman valores positivos ya que en el regimen de trabajo (alta temperatura)no hay presiones negativas tıpicas de solidos frıos. Este esquema es pues llamado exponencial ya queequivale a suponer un perfil espacial exponencial en las variables termodinamicas. Dentro de una celda,se tiene que:

log ρ(x) = log ρ0 + ρx · x (B.6)

log T (x) = log T 0 + T x · x (B.7)

donde los parametros libres (ρ0, ρx, . . .) dependen de la celda en cuestion. Para cada variable dependientey celda, se tienen dos parametros libres que es necesario fijar mediante las correspondientes condiciones.Estas seran, para cada una de las celdas:

Conservacion del valor medio en celda.

Condicion sobre la derivada espacial.

Si para una celda dada, se toma el origen de coordenadas local en su centro, la primera de estascondiciones se puede expresar como:

ρi =1

∆xi

∫ ∆xi/2

−∆xi/2

ρi(x) dx =ρ0

i

∆xiρxi

(e

ρxi∆xi2 − e

−ρxi∆xi2

)= ρ0

i · F(

ρxi ∆xi

2

)(B.8)

donde se ha utilizado la funcion F (x) = sinh(x)/x, definida y continua en todo el dominio real mediante laextension F (0) = 1. Del mismo modo se obtiene una expresion analoga para la temperatura. El siguientepaso a realizar es, utilizando los perfiles aproximados y la expresion B.5, calcular el valor medio en celda:

εi ≈ 1∆xi

∫ ∆xi/2

−∆xi/2

ε(ρ(x), T (x)) dx = a(ρ0i )

b(T 0i )c+4F

((bρx

i + (c + 4)T xi )∆xi

2

)

= ε0i ·

F((bρx

i + (c + 4)T xi )∆xi

2

)F(ρx

i∆xi

2

)bF(T x

i∆xi

2

)c+4(B.9)

donde ε0i se define como el valor tradicionalmente calculado, mediante perfiles constantes dentro de

cada celda. Se puede observar claramente en esta ultima expresion, que diferencias tiene respecto a latradicional. En la figura B.1 se puede apreciar los valores que toma el recien definido factor, en funcionde los valores (ρx

i ∆xi/2) y (T xi ∆xi/2).

En las expresiones anteriores unicamente se ha impuesto la condicion de conservacion del valor medio.En cuando a otra condicion sobre la pendiente, para poder obtener el valor de ρx

i y T xi . Dado que

la aproximacion utilizada es lineal para los logaritmos de las variables, pueden utilizarse definicionesestandar para aproximar la derivada.

ρxi =

log ρi+1 − log ρi−1

∆xi−12 + ∆xi + ∆xi+1

2

(B.10)

B.2. Extension a dos dimensiones 153

20 10 5 2 1

0.5

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Factor por interpolacion (b = 0,255, c = −1,397)

ρx ∆x2

T x ∆x2

Figura B.1: Factor de correccion por la interpolacion exponencial para el oro.

en el caso de que la malla sea homogenea (∆xi = ∆x), como se da en este trabajo, se obtiene unaexpresion mas simplificada:

ρxi

∆x

2=

14

log(

ρi+1

ρi−1

)≈ 0,576 log10

(ρi+1

ρi−1

)(B.11)

existiendo una expresion equivalente para la temperatura. Ası, para saltos de densidad o temperatura de5 o 6 ordenes de magnitud (que pueden darse a traves de un frente de absorcion de laser), se puede llegara los rangos extremos de la figura B.1, con los consiguientes valores del factor, que superan el valor de 20.La influencia que este factor tiene sobre todo el campo de radiacion es claramente grande. La emisividades la fuente de la radiacion presente en el sistema, y todo el campo de radiacion es proporcional a ella. Unadesviacion en emisividad de un orden de magnitud en las zonas de mas alta emision, puede desvirtuarpor completo el campo de radiacion, y por tanto la transmision de energıa.

B.2. Extension a dos dimensiones

En la seccion anterior se han realizado todos los desarrollos para una unica dimension. La extensiona dos dimensiones en coordenadas cartesianas es directa. Observando la expresion B.4 ampliada para dosvariables independientes:

ρ(x, y) = ρ0 · eρxx · eρyy (B.12)

se aprecia que es de variables separadas, con lo que las integrales de los promedios pueden separarse enuna componente en la variable x multiplicado por otra componente en y. Asimismo, la integral de areasobre la superficie de la celda es, para el caso de la densidad:

ρi,j =1

∆xi∆yj

∫ρ(x, y) dx dy (B.13)

154 Apendice B. Interpolacion para el calculo de emisividades

Operando se llega a la siguiente expresion, igualmente valida para la temperatura:

ρi = ρ0i · F

(ρx

i ∆xi

2

)· F(

ρyi ∆yi

2

)(B.14)

Siguiendo con el mismo razonamiento de la seccion anterior, se llega finalmente a la expresion de laemisividad.

εi = ε0i

F((bρx

i + (c + 4)T xi )∆xi

2

)F(ρx

i∆xi

2

)bF(T x

i∆xi

2

)c+4

F((bρy

i + (c + 4)T yi )∆yi

2

)F(ρy

i∆yi

2

)b

F(T y

i∆yi

2

)c+4(B.15)

Se observa como el factor anteriormente representado en la figura B.1 actua en dos factores. Bajo deter-minadas circunstancias sus efectos (el del eje x y el del y) podrıan amplificarse o cancelarse, dependiendode la orientacion de los gradientes.

B.3. Coordenadas cilındricas

El planteamiento a realizar en el caso de coordenadas cilındricas es totalmente analogo a los anteriores,pero la integral de area de la expresion B.13 varıa. Expresado en coordenadas r-z toma la siguiente forma:

ρi,j =1

πrmi ∆ri∆zj

∫2πrρ(r, z) dr dz (B.16)

donde rmi = (ri−1/2 + ri+1/2)/2 representa el radio medio de la celda. Tomando la expresion B.14 e

integrandola de ese modo, se obtiene la siguiente expresion para el valor medio:

ρi,j = ρ0 · G(

ρri,jr

mi ,

ρri,j∆ri

2

)· F(

ρzi,j∆zj

2

)(B.17)

donde se introduce la funcion G(x, y) definida segun:

G(x, y) =1x

cosh(y) +x − 1

xF (y) (B.18)

Se observa como para valores altos del radio medio (rmi → ∞), el comportamiento de la expresion

tiende al de coordenadas cartesianas.lım

x→∞G(x, y) = F (y) (B.19)

Seguidamente se procede al calculo de la emisividad promedio, encontrando una expresion analoga alas anteriores. Se omitiran los subındices (i, j) de las variables independientes para mayor claridad:

εi,j = ε0i,j

G((bρr + (c + 4)T r)rm, (bρr + (c + 4)T r)∆r

2

)G(ρrrm, ρr ∆r

2

)bG(T rrm, T r ∆r

2

)c+4

F((bρz + (c + 4)T z)∆z

2

)F(ρz ∆z

2

)bF(T z ∆z

2

)c+4(B.20)

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Curriculum vitæ

D. Francisco Ogando Serrano nace en Madrid el 6 de junio de 1972. En 1990 ingresa en la EscuelaTecnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politecnica de Madrid (UPM), finalizandoen 1996 con el mejor expediente academico de la especialidad de Tecnicas Energeticas. Por esas califica-ciones academicas le es otorgado en 1997 el tercer Premio Nacional de Terminacion de Estudios en la ramade Ingenierıa Superior Industrial. Realiza el proyecto de fin de carrera en el Departamento de IngenierıaNuclear bajo la direccion del profesor titular D. Pedro Velarde Mayol. El proyecto versa sobre el estudioe implementacion de ecuaciones de estado en codigos fluidodinamicos y es calificado con matrıcula dehonor en su presentacion. Posteriormente el proyecto es galardonado con el premio de la Fundacion parael Fomento de la Innovacion Industrial.

En el ano 1996 comienza estudios de doctorado en el citado Departamento de Ingenierıa Nuclear conuna beca de la UPM, habiendo un ano de inactividad por prestacion del servicio militar. En 1998 realizauna estancia de investigacion de dos meses en el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley orientada alaprendizaje de metodos numericos para el desarrollo de la tesis doctoral. El tema de tesis se define comoel desarrollo e incorporacion de modelos de transporte de radiacion en malla adaptativa.

En abril de 1999 se incorpora en la plantilla del Departamento de Ingenierıa Energetica de la Univer-sidad Nacional de Educacion a Distancia (UNED), en la asignatura de Termodinamica hasta 2002 y enlas asignaturas de Radioisotopos e Instrumentacion Nuclear desde ese ano. En 2002 dirige un proyectode investigacion en colaboracion con una empresa privada sobre metodos de simulacion en tratamientosde radioterapia.

En el momento de presentacion de la tesis doctoral, ha sido coautor de 18 presentaciones en congresosinternacionales, de 4 publicaciones en revistas internacionales del JCR (referidas en la parte final deeste curriculum). Asimismo ha sido coautor de 1 libro sobre Ingenierıa Nuclear con fines didacticos yparticipante en cuatro proyectos de investigacion con financiacion publica y uno privada.

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G. Velarde, J. M. Perlado, E. Alonso, M. Alonso, E. Domınguez, J. G. Rubiano, J. M. Gil, J.Gomez del Rio, D. Lodi, L. Malerba, J. Marian, P. Martel, J. M. Martınez-Val, E. Mınguez, M.

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Otras publicaciones

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Participacion en proyectos

Observation of ionic correlation effects on opacity and emissivity of hot ultra-dense low Z plasmas.Instalacion experimental: Physique Atomique dans les Plasmas Denses (PAPD) - LULI (EcolePolitechnique, Parıs, Francia).Investigador principal: P. Martel (ULPGC).EU Training and Mobility for Research Programme, 1999

Desarrollo de un sistema de codigos bidimensionales para simular numericamente procesos fısicosde la fusion nuclear por confinamiento inercial en medios con alta densidad de radiacion y encondiciones de ignicion.Investigador principal: G. Velarde (UPM).CICYT, 1997-2000.

Programa de calculo de dosis y planificacion en tratamientos de radioterapia.Investigador principal: F. Ogando (UNED).Bioterra S.L., 2002-2003

Paralelizacion y perfeccionamiento de algoritmos del codigo bidimensional arwen para la simula-cion de blancos de fusion inercial, con aplicacion a experimentos en curso.Investigador principal: P. Velarde (UPM).Ref: FTN2001-3885, 2002-2004

Estudios de blancos avanzados y alternativos en fusion inercial. Investigador principal: J.M. Martınez-Val (UPM).Ref: FTN2001-2699, 2002-2004

Informacion adicional

Informacion adicional sobre el autor de esta tesis doctoral puede ser encontrada en la siguiente direc-cion web:

http://www-iener.uned.es/∼ogando

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Documents

ogando/papers/tesisTexto.pdf · 2012-02-03 · Tribunal nombrado por el Magfco. y Excmo.Sr. Rector de la Universidad Polit´ecnica de Madrid, el d´ıa 24 de marzo de 2004. Presidente