Embed Size (px)
Citation preview
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΒ΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση
22-0168-02.indb 1 12/12/2013 2:28:08 μμ
ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ:
Αδαμόπουλος Λεωνίδας ΣύμβουλοςΠαιδαγωγικούΙνστιτούτουΒισκαδουράκης Βασίλειος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΓαβαλάς Δημήτριος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΠολύζος Γεώργιος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΣβέρκος Ανδρέας ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσης
ΙστορικάΣημειώματα: ΘωμαΐδηςΙωάννης ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσης
ΚΡΙΤΕΣ:ΜακρήςΚωνσταντίνος ΣχολικόςΣύμβουλοςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΤσικαλουδάκηςΓεώργιος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΦελούρηςΑνάργυρος ΕπίκουροςΚαθηγητήςΕ.Μ.Π.
ΓλωσσικήΕπιμέλεια: ΜπουσούνηΛία ΚαθηγήτριαΒ/θμιαςΕκπαίδευσης
Δακτυλογράφηση: ΜπολιώτηΠόπηΣχήματα: ΜπούτσικαςΜιχάλης
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ∆ΟΣΗΣ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ∆ΟΣΗΣΗ επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργή-θηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ».
Οι αλλαγές που ενσωματώθηκαν στην παρούσα επανέκδοση έγιναν με βάση τις διορθώσεις του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.
Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
001-126.indd 2 21/2/2014 10:48:57 πµ
ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΒΙΣΚΑΔΟΥΡΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΑΒΑΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΟΛΥΖΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΒ΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ KAI ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ
ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»
Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
001-126.indd 3 21/2/2014 10:49:19 πµ
22-0168-02.indb 4 12/12/2013 2:28:08 μμ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
ΤοβιβλίοαυτόπεριλαμβάνειτηνύλητωνΜαθηματικών,πουπροβλέπεταιαπότοπρόγραμμασπουδώντηςΘετικήςΚατεύθυνσηςτηςΒ΄τάξηςτουΕνιαίουΛυκείου,τουοποίουηεφαρμογήαρχίζειαπότοσχολικόέτος1998-1999.Κατάτησυγγραφήτουκαταβλήθηκεπροσπάθεια,ώστετοπεριεχόμενότουναανταποκρίνεταιστιςδυνατότητεςτωνμαθητών,γιατουςοποίουςπροορίζεται,καιναείναιδυνατήηολοκλήρωσητηςδιδασκαλίαςτουστοχρόνο,πουπροβλέπεταιαπότοωρολόγιοπρόγραμμα.Τοβιβλίοαποτελείταιαπότέσσερακεφάλαια.●Τοπρώτοκεφάλαιοαποτελείμιαεισαγωγήστο Διανυσματικό Λογισμό καιστηνΑναλυτική Γεωμετρία.ΤαδιανύσματαέχουνιδιαίτερησημασίαόχιμόνογιαταΜαθηματικάαλλάκαιγιαπολλέςάλλεςεπιστήμες,αφούπροσφέρουντηδυνατό-τηταμαθηματικοποίησηςμεγεθών,ταοποίαδενορίζονταιμόνομετηναριθμητικήτιμήτους.Εξάλλου,ηαμφιμονοσήμαντηαντιστοιχίαενόςσημείουτουεπιπέδουμεέναδιατεταγμένοζεύγοςπραγματικώναριθμώνοδηγείστην“αλγεβροποίηση”τηςΓεωμετρίας,δηλαδήστημελέτητωνγεωμετρικώνσχημάτωνμεαλγεβρικέςμεθόδους.●Στοδεύτεροκεφάλαιο,αφούδοθείοορισμόςτηςεξίσωσηςμιαςγραμμής,με-λετώνταιοιιδιότητεςτηςευθείας.●ΣτοτρίτοκεφάλαιοσυνεχίζεταιηύλητηςΑναλυτικήςΓεωμετρίαςμετησπουδήτωνκωνικών τομών,οιοποίεςγιαπρώτηφοράμελετήθηκαναπότουςΑρχαίουςΈλληνες.Σήμερατοενδιαφέρονγιατιςκωνικέςτομέςείναιαυξημένοεξαιτίαςτουμεγάλουαριθμούτωνθεωρητικώνκαιπρακτικώνεφαρμογώντους.●ΤοτέταρτοκεφάλαιοαποτελείμίαεισαγωγήστηΘεωρία Αριθμών,στηνανάπτυ-ξητηςοποίαςμεγάληείναιησυμβολήτωνΑρχαίωνΕλλήνων.Κύριοςστόχοςτηςδιδασκαλίαςτηςενότηταςαυτήςείναιηάσκησητωνμαθητώνστηναποδεικτικήδιαδικασία.Ταοποιαδήποτεσχόλια,παρατηρήσειςήκρίσειςγιατοβιβλίο,απόσυναδέλφους,απόμαθητέςκαιαπόκάθεπολίτηπουενδιαφέρεταιγιαταζητήματατηςπαιδείας,θαείναιπολύευπρόσδεκτααπότησυγγραφικήομάδα.Οιπαρατηρήσειςνααπο-στέλλονταιστο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 396, 153 10 Αγία Παρασκευή
Μάρτιος1998.
22-0168-02.indb 5 12/12/2013 2:28:08 μμ
22-0168-02.indb 6 12/12/2013 2:28:08 μμ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΣελίδαΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διανύσματα 1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 111.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 161.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 211.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 291.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο
2.1 Εξίσωση Ευθείας 572.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 652.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές
3.1 Ο Κύκλος 813.2 Η Παραβολή 893.3 Η Έλλειψη 1003.4 Η Υπερβολή 1133.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών
4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 1354.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 1404.3 Διαιρετότητα 1454.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 1504.5 Πρώτοι Αριθμοί 1614.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 1704.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 185
22-0168-02.indb 7 12/12/2013 2:28:08 μμ
22-0168-02.indb 8 12/12/2013 2:28:08 μμ
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Εισαγωγή
Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκεμέσααπότηστενήαλληλεπίδρασηΜαθηματικώνκαιΦυσικής.Ο“κανόναςτουπαραλληλόγραμμου”,σύμφωναμε τονοποίο τομέτροκαιηκατεύθυνσηδύοδυνάμεωνπουασκούνταισεένασώμαεκφράζονταιαπότηδιαγώνιο τουπα-ραλληλόγραμμου που σχηματίζουν, ήταν γνωστός με διάφορες μορφές στουςΑρχαίουςΈλληνεςεπιστήμονες.ΟΉρωνοΑλεξανδρεύς,γιαπαράδειγμα,στοέργοτου“Μηχανικά”αποδεικνύειμεχρήσηαναλογιώντηνακόλουθηγεωμετρι-κήπρόταση:ΑνένασημείοΣκινείταιμεομαλήκίνησηκατάμήκοςμιαςευθείαςΑΒ, ενώσυγχρόνωςηΑΒκινείταιπαράλληλαπροςτονεαυτότηςμετοάκροΑναδιαγράφειμιαευθείαΑΓ,τότεηπραγματικήτροχιάτουΣ(η“συνι-σταμένηκίνηση”)θαείναιηδιαγώνιοςΑΔ τουπαραλληλόγραμμουΑΒΓΔ.Αυτόςο“κανόνας”χρησιμοποιήθηκεπολλούςαιώνες για το γεωμετρικό προσδιορισμό τηςσυνισταμένης,χωρίςόμωςναθεωρείταιένανέοείδοςπρόσθεσηςευθυγράμμωντμημάτων,διαφορετικόαπόεκείνοπουχρησιμοποιείταιστηνΕυκλείδειαΓεω-μετρία.Γιαναγίνειαυτό,χρειάστηκεαπότημιαμεριάηαποδοχήκαισυστημα-τικήχρήσητωναρνητικώναριθμώνσταΜαθηματικάκαιαπότηνάλληημελέτηφυσικώνποσοτήτωνόπωςηταχύτητα,ηδύναμη,ηορμήκαιηεπιτάχυνση,πουχαρακτηρίζονταιτόσοαπότομέτροόσοκαιαπότηδιεύθυνσήτους.Αυτέςοιεξελίξειςέφερανστοπροσκήνιοτιςέννοιεςτηςπροσανατολισμένηςκίνησηςκαιτουπροσανατολισμένουευθύγραμμουτμήματος,τιςπρώτες ιδέεςτωνοποίωνσυναντάμεσεέργαεπιστημόνωντου17ουαιώναόπωςοιJ.Wallis,I.NewtonκαιG.W.Leibniz.Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμματμήματαάρχισεστατέλητου18ουαιώνα,γιαναδοθείμιαγεωμετρικήερμη-νείαστουςαρνητικούςαριθμούς,αλλάκαιγιαναβρεθείέναςτρόποςαναλυτικήςέκφρασηςτουμήκουςκαιτηςδιεύθυνσηςτωνευθύγραμμωντμημάτων.Πρωτο-ποριακόυπήρξεπροςαυτήτηνκατεύθυνσητοέργοτωνC.Wessel(1799)καιR.
22-0168-02.indb 9 12/12/2013 2:28:08 μμ
10
Argand(1806).Ξεκινώνταςαπότηναπλήπερίπτωσητωνπροσανατολισμένωντμημάτωνπουβρίσκονταιστηνίδιαευθεία,προχώρησανστονορισμότωνπρά-ξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Συγκεκριμένα, οι ορισμοί τουWesselήτανοιεξής:
Το άθροισμα διαδοχικών προσανατολισμέ-νων τμημάτων είναι το τμήμα που ενώνει την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευ-ταίου.
Το γινόμενο δύο προσανατολισμένων τμη-μάτων που σχηματίζουν γωνίες φ και ω αντιστοίχως με ένα μοναδιαίο τμήμα, είναι το τμήμα που έχει μήκος το γινόμενο των μηκών των δύο τμημάτων και σχηματίζει γωνία ϕ ω+ με το μοναδιαίο τμήμα.
ΣτιςεργασίεςτωνWesselκαιArgand(καιορισμένεςάλλεςπουδημοσιεύτηκανεκείνητηνεποχή)υπάρχουνοιβασικέςιδέεςπουσυγκροτούνσήμερατοΔια-νυσματικόΛογισμότουεπιπέδου.Ηουσιαστικήανάπτυξητουκλάδουαρχίζειόμωςμερικέςδεκαετίεςαργότερα,ότανεπιχειρείταιηγενίκευσηαυτώντωνιδε-ώνστοντρισδιάστατοχώροκαιηθεμελίωσημιαςγενικήςμαθηματικήςθεωρί-ας.ΚαθοριστικόυπήρξεπροςαυτήντηνκατεύθυνσητουέργοτουW.Hamilton(1843)καιτουH.Grassmann(1844).ΟW.Hamiltonχρησιμοποίησετονόροδιάνυσμα(vector).Οόροςvectorπροέρχεταικατάμίαεκδοχήαπότολατινικόρήμα“vehere”πουσημαίνειμεταφέρω.ΟH.Grassmannχρησιμοποίησετουςόρουςεσωτερικόκαι εξωτερικό γινόμενο. ΗπαραπέραεξέλιξητουΔιανυσματικούΛογισμούεπηρεάστηκεαποφασιστικάαπότιςεξελίξειςστηΦυσικήκατάτοδεύτερομισότου19ουαιώνα.ΗχρήσητηςθεωρίαςτουHamiltonαπότονιδρυτήτηςηλεκτρομαγνητικήςθεωρίαςJ.C.Maxwell(1873)οδήγησεσεορισμένεςτροποποιήσεις,μεβάσητιςοποίεςοιφυ-σικοίJ.W.GibbsκαιO.Heavisideδημιούργησανστιςαρχέςτηςδεκαετίαςτου1880 τησύγχρονηθεωρία τουΔιανυσματικούΛογισμού (στοιχεία τηςοποίαςπαρουσιάζονταισ’αυτότοκεφάλαιο).Τέλοςτο1888,οG.Peano,μεβάσητηθεωρία τουGrassmann θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικούχώρου.
22-0168-02.indb 10 12/12/2013 2:28:08 μμ
11
1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
Ορισμός του Διανύσματος
Υπάρχουν μεγέθη, όπως είναι η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασίακτλ.,ταοποίαπροσδιορίζονταιαπότομέτροτουςκαιαπότηναντίστοιχημονά-δαμέτρησης.Ταμεγέθηαυτάλέγονταιμονόμετραήβαθμωτά.Υπάρχουνόμωςκαιμεγέθη,όπωςείναιηδύναμη,ηταχύτητα,ηεπιτάχυνση,ημετατόπιση,ημαγνητικήεπαγωγήκτλ.,πουγιαναταπροσδιορίσουμε,εκτόςαπότομέτροτουςκαιτημονάδαμέτρησης,χρειαζόμαστετηδιεύθυνσηκαιτηφοράτους.Τέτοιαμεγέθηλέγονταιδιανυσματικάμεγέθηήαπλώςδιανύσματα.
● Στη Γεωμετρία τοδιάνυσμα ορίζεται ως έναπροσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδήωςέναευθύγραμμοτμήματουοποίουταάκραθε-ωρούνται διατεταγμένα.Τοπρώτοάκρολέγεταιαρχήήσημείο εφαρμογήςτουδιανύσματος,ενώτοδεύτερολέγεταιπέραςτουδιανύσματος.Τοδι-άνυσμαμεαρχήτοΑ καιπέραςτοΒ συμβολίζεταιμε AB� ���
καιπαριστάνεταιμεέναβέλοςπουξεκινάειαπότοΑκαικαταλήγειστο Β.Ανηαρχήκαιτοπέραςενόςδιανύσματοςσυμπίπτουν,τότετοδιάνυσμαλέγε-ταιμηδενικό διάνυσμα.Έτσι,γιαπαράδειγμα,τοδιάνυσμα AA
� ���είναιμηδενικό
διάνυσμα.Γιατοσυμβολισμότωνδιανυσμάτωνχρησιμοποιούμεπολλέςφορέςταμικράγράμματατουελληνικούήτουλατινικούαλφάβητουεπιγραμμισμέναμεβέλος. γιαπαράδειγμα,
α β, ,..., , ,...u v ●Ηαπόστασητωνάκρωνενόςδιανύσματος AB
� ���,δηλαδήτομήκοςτουευθύ-
γραμμουτμήματοςΑΒ,λέγεταιμέτροήμήκοςτουδιανύσματος AB� ���
καισυμβο-λίζεταιμε | |AB
� ���.Αντοδιάνυσμα AB
� ���έχειμέτρο1,
τότελέγεταιμοναδιαίοδιάνυσμα.
●Ηευθείαπάνωστηνοποίαβρίσκεταιέναμημη-δενικόδιάνυσμα AB
� ���λέγεταιφορέαςτου AB
� ���.
22-0168-02.indb 11 12/12/2013 2:28:08 μμ
12
Ωςφορέαενόςμηδενικούδιανύσματος AA� ���
μπο-ρούμεναθεωρούμεοποιαδήποτεαπότιςευθείεςπουδιέρχονταιαπότοΑ.
Ανοφορέαςενόςδιανύσματος AB� ���
είναιπαράλληλοςήσυμπίπτειμεμιαευθείαζ,τότελέμεότιτο AB
� ���είναιπαράλληλοπροςτηζκαιγράφουμε AB
� ���/ /ζ .
●Δύομημηδενικάδιανύσματα AB� ���
καιΓ∆� ���
,πουέχουντονίδιοφορέαήπαράλλη-λουςφορείς,λέγονται παράλληλα ή συγ-γραμμικά διανύσματα. Στην περίπτωσηαυτήλέμεότιτα AB
� ���και Γ∆
� ���έχουν ίδια
διεύθυνσηκαιγράφουμε AB� ��� � ���
/ /Γ∆ .
Τασυγγραμμικάδιανύσματαδιακρίνονταισεομόρροπακαιαντίρροπα.Συγκε-κριμένα:
– Δύομημηδενικάδιανύσματα AB� ���
καιΓ∆� ���
λέγονταιομόρροπα:α) όταν έχουν παράλληλους φορείς καιβρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδοως προςτηνευθείαΑΓπουενώνειτιςαρχέςτουςήβ)ότανέχουντονίδιοφορέακαιμίααπότιςημιευθείεςΑΒκαιΓΔπεριέχειτηνάλλη.Στιςπεριπτώσειςαυτέςλέμεότιτα AB
� ���καιΓ∆
� ���έχουντηνίδια κατεύθυνση(ίδια
διεύθυνσηκαιίδιαφορά)καιγράφουμεΑΑΒΒ ΓΓ∆∆� ���� � ���
↑↑ .
22-0168-02.indb 12 12/12/2013 2:28:08 μμ
13
– Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB� ���
και Γ∆� ���
λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμι-κά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα AB
� ��� και Γ∆
� ���
έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε ΑΑΒΒ ΓΓ∆∆
� ��� � ���↑↑↓↓ .
Ίσα Διανύσματα
Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέ-τρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB� ���
και Γ∆� ���
είναι ίσα, γράφουμε AB� ��� � ���
= Γ∆ . Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μετα-ξύ τους και συμβολίζονται με
0 .
Εύκολα αποδεικνύεται ότι:
● Αν AB� ��� � ���
= Γ∆ , τότε AΓ Β∆� ��� � ���
= , ∆ ΓΑB� ��� � ���
= και BΑ ∆Γ� ��� � ���
= .
● Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε AM MB� ���� � ���
= και αντιστρόφως.
Αντίθετα Διανύσματα
Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB
� ��� και Γ∆
� ��� είναι αντίθετα, γρά-
φουμε
001-126.indd 13 13/12/2013 10:04:46 πμ
14
AB� ��� � ���
= −Γ∆ ήΓ∆� ��� � ���
= −AB .Είναιφανερόότι
AB AB� ��� � ��� � ��� � ���
= − ⇔ =Γ∆ ∆Γ
Ειδικότερα,έχουμεΒΒΑΑ ΑΑΒΒ� ��� � ����
= − .
Γωνία δύο Διανυσμάτων
Έστωδύομημηδενικάδιανύσματα α και
β .ΜεαρχήένασημείοΟπαίρνουμεταδιανύσματαOA
� ��� �=α καιOB
� ��� �= β .
Τηνκυρτήγωνία ˆΑΟΒ ,πουορίζουνοιημιευθείες ΟΑκαιΟΒ,τηνονομάζουμε
γωνία των διανυσμάτων �α και �β καιτησυμβολίζουμεμε ( , )α β
∧ �� ή ( , )β α∧� � ή
ακόμα,ανδενπροκαλείταισύγχυση,μεέναμικρόγράμμα,γιαπαράδειγμα θ.Εύκολααποδεικνύεταιότιηγωνίατων αα και
ββ είναιανεξάρτητηαπότηνεπι-λογήτουσημείουΟ.Είναιφανερόεπίσηςότι ≤ ≤o o0 θ 180 ήσεακτίνια0 ≤≤ ≤≤θθ ππ καιειδικότερα:
●θ = 0 ,αν
α β↑↑ .
●θ π= ,αν
α β↑↓ .
22-0168-02.indb 14 12/12/2013 2:28:08 μμ
15
Ανθ π=
2,τότελέμεότιταδιανύσματα α και
β
είναιορθογώνιαήκάθετακαιγράφουμε
αα ββ⊥⊥ .
Ανένααπόταδιανύσματα α ,
β είναιτομηδενικόδιάνυσμα,τότεωςγωνίατων
α και
β μπορούμεναθεωρήσουμεοποιαδήποτεγωνίαθ με 0 ≤ ≤θ π .Έτσι,μπορούμεναθεωρήσουμεότιτομηδενικόδιάνυσμα,
0 ,είναιομόρροποήαντίρροποήακόμηκαικάθετοσεκάθεάλλοδιάνυσμα.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Με αρχή το Μ γρά-φουμε τα διανύσματα ΜΜ∆∆ ΓΓΒΒ
� ���� � ���= και ΜΜΕΕ ΒΒΑΑ
� ���� � ���= . Να αποδειχτεί ότι το Α είναι
το μέσο του ΔΕ.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΑρκείναδείξουμεότιΔA AE= .Πράγματι,επειδήΜ∆ ΓΒ� ���� � ���
= ,είναι
ΜΓ ∆Β� ���� � ���
= (1)
Όμωςτο ΜείναιμέσοτουΑΓ.Άρα,
ΜΓ ΑΜ� ���� � ����
= (2)
Επομένως,λόγωτων(1)και(2),έχουμε ∆Β ΑΜ� ��� � ����
= ,οπότε:
∆Α ΒΜ� ��� � ����
= (3)
ΕπειδήεπιπλέονΜΕ ΒΑ� ���� � ���
= ,έχουμε
ΑΕ ΒΜ� ��� � ����
= (4)
Έτσι,απότιςσχέσεις(3)και(4)έχουμε ∆Α ΑΕ� ��� � ���
= .■
22-0168-02.indb 15 12/12/2013 2:28:09 μμ
16
1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Πρόσθεση Διανυσμάτων
Έστωδύοδιανύσματα a και
β .Μεαρχήένασημείο ΟπαίρνουμεδιάνυσμαOA� ��� �
=α καιστησυνέχειαμεαρχήτοΑπαίρνουμεδιάνυσμα AM� ���� �
= β .Τοδιά-νυσμαOM
� ����λέγεταιάθροισμα ή συνισταμένητωνδιανυσμάτων α και
β καισυμβολίζεταιμε
α β+ .Θααποδείξουμεότιτοάθροισματωνδιανυσμάτων α και
β είναιανεξάρτητοτηςεπιλογήςτουσημείουΟ.Πράγματι,αν ′O είναιέναάλλοσημείοκαιπάρουμεταδιανύσματα ′ ′ =O A
� ���� �α και ′ ′ =A M
� ����� �β ,επειδήOA O A
� ��� � ���� �= ′ ′ = α καιAM A
� ���� � ����� �= 'M' = β ,
έχουμε OO AA′ = ′� ���� � ���
και AA' = MM'� ���� � �����
.Επομένως, OO MM′ = ′� ���� � �����
,πουσυνεπάγεταιότικαιOM O M� ���� � �����
= ′ ′.
Τοάθροισμαδύοδιανυσμάτωνβρίσκεταικαιμετολεγόμενοκανόνα του παραλλη-λόγραμμου.Δηλαδή,ανμεαρχήέναση-μείοΟ πάρουμε τα διανύσματα OA
� ��� �=α
καιOB� ��� �
= β ,τότετοάθροισμα
α β+ ορί-ζεταιαπότηδιαγώνιοΟΜτουπαραλλη-λόγραμμουπουέχειπροσκείμενεςπλευ-ρέςτιςΟΑκαιΟΒ.
22-0168-02.indb 16 12/12/2013 2:28:09 μμ
17
Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων
Γιατηνπρόσθεσητωνδιανυσμάτωνισχύουνοιγνωστέςιδιότητεςτηςπρόσθεσηςπραγματικώναριθμών.Δηλαδή,αν
α β γ, , είναιτρίαδιανύσματα,τότε:
(1)
a + = +β β α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)(2) ( ) ( )
α β γ α β γ+ + = + + (Προσεταιριστική ιδιότητα)(3)
α α+ =0
(4)
α α+ − =( ) 0 .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
●Απότοπροηγούμενοσχήμαέχουμε:� � � ��� � ���� � ����α β+ = + =OA AM OM
και� � � ��� � ���� � ����β α+ = + =OB BM OM .
Επομένως,
α β β α+ = + .
●Απότοδιπλανόσχήμαέχουμε:
( ) ( )� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����α β γ+ + = + + = + =OA AB B OB B OΓ Γ Γ και� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����α β γ+ + = + + = + =( ) ( ) .OA AB B OA A OΓ Γ Γ
Επομένως, ( ) ( )
α β γ α β γ+ + = + + .
●Οιιδιότητες(3)και(4)είναιπροφανείς.■
Ηπροσεταιριστικήιδιότηταμαςεπιτρέπεινασυμβολίζουμεκαθένααπόταίσααθροίσματα
α β γ+( ) + και
α β γ+ +( ) με
α β γ+ + ,τοοποίοθαλέμεάθροισματωντριώνδιανυσμάτων
α β, και γ .Τοάθροισμαπερισσότερωνδιανυσμάτων
α α α αν1 2 3, , ,..., ,ν ≥ 3 ορίζεταιεπαγωγικάωςεξής:
α α α α α α α α αν ν ν1 2 3 1 2 3 1+ + + + = + + + + +−... ( ... ) .
22-0168-02.indb 17 12/12/2013 2:28:09 μμ
18
Γιαπαράδειγμα,
α α α α α α α α1 2 3 4 1 2 3 4+ + + = + + +( )
Δηλαδή,γιαναπροσθέσουμενδιανύσματα
α α α αν1 2 3, , ,..., ,τακαθιστούμεδια-δοχικά,οπότετοάθροισμάτουςθαείναιτοδιάνυσμαπουέχειωςαρχήτηναρχήτουπρώτουκαιωςπέραςτοπέραςτουτελευταίου.Επειδήμάλισταισχύουνηαντιμεταθετικήκαιηπροσεταιριστικήιδιότητατηςπρόσθεσης,τοάθροισμαδεμεταβάλλεταιαναλλάξειησειράτωνπροσθετέωνήανμερικοίαπόαυτούςαντι-κατασταθούνμετοάθροισμάτους.
Αφαίρεση Διανυσμάτων
Ηδιαφορά
α β− τουδιανύσματος
β απότοδιάνυσμα α ορίζεταιωςάθροισματωνδιανυσμάτων α και −
β .Δηλαδή
αα ββ αα ββ−− == ++ −−( )
Σύμφωναμεταπαραπάνω,ανέχουμεδύοδιανύσματα α και
β ,τότευπάρχειμοναδικόδιάνυσμα x,τέτοιο,ώστε
β α+ =x .Πράγματι,
β α β β β α α β α β+ = ⇔ − + + = − + ⇔ + = + − ⇔ = −x x x x( ) ( ) ( ) ( )0 .
22-0168-02.indb 18 12/12/2013 2:28:09 μμ
19
Διάνυσμα Θέσεως Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ� ����
, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτί-νων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο ανα-φοράς στο χώρο.
Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ� ���
έχουμε OA AB OB� ��� � ��� � ���
+ = και επομένως
AB OB OA= −
Δηλαδή:
“Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής”.
Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων
Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το άθροι-σμα των διανυσμάτων α και
β . Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε όμως ότι
| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( )OA AB OB OA AB− ≤ ≤ +
και επομένως
| | | | | | | | | |� � � � � �α β α β α β− ≤ + ≤ +
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ να αποδειχτεί ότι AB
� ��� � ��� � ��� � ����++ == ++∆∆ΓΓ ∆∆ΒΒ ΑΑΓΓ .
001-126.indd 19 12/12/2013 3:14:01 μμ
20
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΑνΟείναιένασημείοαναφοράς,τότεέχουμε:
AB OB OA O O OB O O� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � ��� � ��� � ���
+ = − + − = − +∆Γ Γ ∆ ∆ ΓΓ ∆ Γ� ���� � ��� � ��� � ���
− = +OA B A .
2. Να αποδειχτεί ότι |
αα ββ γγ αα ββ γγ+ + | ≤ | | + | | + | |.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έχουμε | | (
α β γ α β γ α β γ α β γ+ + |= + ) + |≤| + | + | |≤| | + | | + | | .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Οιδυνάμεις
F F F1 2 5, , ..., ασκούνταιστοσώμαΣ.Ποιαδύναμηχρειάζε-ται,ώστεναμηναφήσειτοσώμαΣναμετακινηθείαπότηθέσητου;
2. ΔίνεταιένατετράπλευροΑΒΓΔ καιέστω
α β γ, , και
δ τααντίστοιχαδιανύσματαθέσεωςωςπρος ένασημείοαναφοράςΟ.Τιμπορείτε ναπείτεγιατοτετράπλευροΑΒΓΔαν:(i)
α γ β δ+ = + (ii) |
α γ β δ− |=| − |
(iii)
α γ β δ+ = + και |
α γ β δ− |=| − |
3. Ναεκφράσετετοδιάνυσμα x σεκαθένααπόταπαρακάτωσχήματαωςσυνάρτησητωνάλλωνδιανυσμάτωνπουδίνονται:
22-0168-02.indb 20 12/12/2013 2:28:09 μμ
21
4. ΑνγιαδύοτρίγωναΑΒΓκαιΑΔΕ ισχύειΑΒ ΑΓ Α∆ ΑΕ� ��� � ���� � ��� � ���
+ = + ,ναδείξετεότιτοτετράπλευροΒΔΓΕείναιπαραλληλόγραμμο.
5. ΔίνονταιτέσσερασημείαΑ,Β,Γ,ΔκαιέστωΟ,τομέσοτουτμήματοςΑΓ.ΝααποδείξετεότιΟΒ Ο∆ ΑΒ ∆Γ
� ��� � ��� � ��� � ���+ = − .
6. ΔίνεταικανονικόεξάγωνοΑΒΓΔΕΖ.ΑνΑΒ� ��� �
=α και BΓ� ��� �
= β ,ναεκφρά-σετετοδιάνυσμαΓ∆
� ���ωςσυνάρτησητων α και
β .
7. ΓιαένατυχαίοεξάγωνοP1P2P3P4P5P6νααποδείξετεότι
PP P P P P P P P P P P1 3 2 4 3 5 4 6 5 1 6 2 0 → → → → → →
+ + + + + =
1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα
Έστωλέναςπραγματικόςαριθμόςμε λ ≠ 0 και α έναμημηδενικόδιάνυσμα.Ονομάζουμεγινόμενο του λ με το αα καιτοσυμβολίζουμεμε λ α⋅
ή λα έναδιάνυσματοοποίο:
●είναιομόρροποτου α ,αν λ > 0 καιαντίρροποτου α ,αν λ < 0 και●έχειμέτρο | || |λ α
.
Ανείναι λ = 0 ή
α = 0,τότεορίζουμεως λ α⋅
τομηδενικόδιάνυσμα
0.
22-0168-02.indb 21 12/12/2013 2:28:09 μμ
22
Γιαπαράδειγμα,αντοδιάνυσμα α τουδιπλα-νού σχήματος έχει μέτρο 2, τότε το διάνυσμα3 α είναι ομόρροπο με το α και έχει μέτρο| | |3 3
α α= |= 3⋅ 2 = 6,ενώτοδιάνυσμα −3 α είναιαντίρροπομετο α ,αλλάέχεικαιαυτόμέτροίσομε | | | | |− = − |= 3⋅ 2 = 63 3
α α .
Τογινόμενο1λα⋅τοσυμβολίζουμεκαιμε
αλ.
Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα
Γιατογινόμενοπραγματικούαριθμούμεδιάνυσμαισχύουνοιεπόμενεςιδιότη-τες:
(1) λ α β λα λβ( )
+ = + (2) ( )λ µ α λα µα+ = +
(3) λ µα λµ α( ) ( )
=
ΑΠΟΔΕΙΞΗ*
(1)Υποθέτουμεότιταδιανύσματα α και
β είναιμημηδενικάκαιότιλ ≠ 0 .ΠαίρνουμεένασημείοΟκαισχεδιάζουμεταδιανύσμα-
τα OA� ��� �
=α , AB� ��� �
= β . Τότε είναι OB� ��� � �
= +α β .
Σχεδιάζουμεεπιπλέονταδιανύσματα
OA′ =� ��� �
λα καιOB′ = +� ���� � �
λ α β( ).Επειδή
( )( )
( )( )
| |ΟΑΟΑ
ΟΒΟΒ
′=
′= λ ,
τατρίγωναΟΑΒ καιΟΑ Β′ ′ είναιόμοιακαιεπομένωςηπλευρά ′ ′Α Β είναιπα-ράλληλημετηνΑΒκαιισχύει
( )( )
| |′ ′
=Α ΒΑΒ
λ .
22-0168-02.indb 22 12/12/2013 2:28:10 μμ
23
Αυτό σημαίνει ότι ′ ′ = ⋅ =A B AB� ���� � ��� �
λ λβ .Επομένως,επειδήOB OA A B′ = ′ + ′ ′
� ���� � ��� � ����,έχου-
μελ α β λα λβ( )
+ = + .Ηιδιότηταισχύειπροφανώςκαιότανένατουλάχιστοναπόταδιανύσματα α και
β είναιτομηδενικόήότανοαριθμόςλ είναιμηδέν.
Η απόδειξη των ιδιοτήτων (2) και (3)αφήνεταιωςάσκηση.■
Ωςσυνέπειατουορισμούτουγινομένουαριθμούμεδιάνυσμακαιτωνπαραπά-νωιδιοτήτωνέχουμε:
(i) λα λ� �= ⇔ =0 0 ή �
�α = 0
(ii) ( ) ( ) ( )− = − = −λα λ α λα� � �
(iii) λ α β λα λβ( )� � � �− = −
(iv) ( )λ µ α λα µα− = −� � �
(v) Αν λα λβ� �= και λ ≠ 0, τότε �
�α β=
(vi) Αν λα µα� �= και �
�α ≠ 0, τότε λ µ= .
Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων
Αςθεωρήσουμεδύοδιανύσματα α και
β .Απόταδιανύσματααυτά“παράγο-νται”,γιαπαράδειγμα,ταδιανύσματα
γ α β= +3 5 ,
δ α β= − +2 3 κτλ.Καθένααπό ταδιανύσματααυτάλέγεται γραμμικόςσυνδυασμός των α και
β .Γενικά,ονομάζεταιγραμμικός συνδυασμόςδύοδιανυσμάτων α και
β κάθεδιάνυσματηςμορφής v κα λβ= +
�� � ,όπουκ λ, ∈R.Ανάλογαορίζεταικαιο γραμμικόςσυνδυασμός τριώνήπερισσότερωνδιανυ-σμάτων.Έτσι,γιαπαράδειγμα,τοδιάνυσμα � �
= − +3 2 5v α β γ�� είναιέναςγραμμι-
κόςσυνδυασμόςτων
α β, και
γ .
22-0168-02.indb 23 12/12/2013 2:28:10 μμ
24
Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων
Όπωςείδαμε,ανδύοδιανύσματα α και
β ,όπου
β ≠ 0 ,συνδέονταιμετησχέση
α λβ= , τότε ταδιανύσματααυτά είναιπαράλληλα. Ισχύει όμωςκαι τοαντί-στροφο.Δηλαδή,ανταδιανύσματα α και
β είναιπαράλληλακαι
β ≠ 0 ,τότευπάρχει μοναδικός αριθμός λ τέτοιος ώστε
α λ β= ⋅ . Πράγματι, αν θέσουμε
καβ
=| || |
,τότε | | | |
α κ β= .Συνεπώς:
●Αν
α β↑↑ ,τότε
α κβ= .
●Αν
α β↑↓ ,τότε
α κβ= − .
●Αν
α = 0,τότε
α β= ⋅0 .
Σεκάθελοιπόνπερίπτωσηυπάρχειλκαιμάλισταμοναδικός(ιδιότηταiv),τέ-τοιος,ώστε
α λ β= ⋅ .Επομένως:
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν
α β, είναιδύοδιανύσματα,με
β ≠ 0 ,τότε
α β/ / ⇔
α λβ= ,λ ∈R.
Γιαπαράδειγμα,στοπαρακάτωσχήμαανΔ καιΕείναιταμέσατωνπλευρώνΑΒ καιΑΓτουτριγώνουΑΒΓ,έχουμε:
B BA A A A A AE EΓ Γ ∆ Ε ∆ ∆� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� �
= + = + = + =2 2 2 2( )����.
Αφούλοιπόν B EΓ ∆� ��� � ���
= 2 ,συμπεραίνουμεότι
∆Ε ΒΓ/ / και | | | |B EΓ ∆� ��� � ���
= 2 , που σημαίνει
ότι ∆Ε ΒΓ=12
.Ξαναβρίσκουμεδηλαδήτη
γνωστήμαςαπό τηνΕυκλείδειαΓεωμετρία
σχέση∆Ε ΒΓ= / /
2.
Α
ΕΔ
ΓΒ
22-0168-02.indb 24 12/12/2013 2:28:10 μμ
25
Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος
Αςπάρουμεέναδιάνυσμα AB� ���
καιένασημείοαναφοράςΟ.Επειδή AM MB
� ���� � ���= ,έχουμε
OM OA OB OM� ���� � ��� � ��� � ����
− = − ,
οπότε
2OM OA OB� ���� � ��� � ���
= +
καιάρα
OM OA OB� ���� � ��� � ���=
+2
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1* Να αποδειχτεί ότι:
(i) Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν και μόνο αν ισχύει GA+GΒ+GΓ = 0
���� ���� ���� � και
(ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε για οποιοδή-
ποτε σημείο Ο ισχύει ( ).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
(i)ΓνωρίζουμεαπότηνΕυκλείδειαΓεωμετρίαότιανGείναιτοκέντροβάρουςτουτριγώνουΑΒΓ,τότε Α ∆G G= 2 ,όπουΑΔηδιάμεσοςτουτριγώνου.Επομέ-νως,ισχύει AG G
� ��� � ���= 2 ∆ ,οπότεέχουμε
GA GB G GA G GA AG GG� ��� � ��� � ���� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���
+ + = + = + = =Γ ∆2��0.
Αντιστρόφως, αν για ένα σημείοG ισχύει GA GB G� ��� � ��� � ���� �
+ + =Γ 0 , τότε θα έχουμεGA G� ��� � ��� �
+ =2 0∆ ,όπουΔτομέσοντηςΒΓ,οπότεθαισχύει AG G� ��� � ���
= 2 ∆ .Έτσι,τοση-μείοGανήκειστηδιάμεσοΑΔκαιισχύειΑ ∆G G= 2 .Άρα,τοGείναιτοκέντροβάρουςτουτριγώνουΑΒΓ.(ii)ΑπότησχέσηGA GB G
� ��� � ��� � ���� �+ + =Γ 0έχουμε:OA OG OB OG O OG
� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � ��� �− + − + − =Γ 0.Άρα
22-0168-02.indb 25 12/12/2013 2:28:10 μμ
26
2. Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω
α β γ δ, , , ταδιανύσματαθέσεωςτωνκορυφώνΑ,Β,Γ,Δ,αντιστοίχως,ενόςτετρά-πλευρουΑΒΓΔωςπρος ένασημείοαναφο-ράςΟ.
ΤαδιανύσματαθέσεωςτωνμέσωνΗτηςΒΓ
και Θ της ΑΔ είναι 12
( )
β γ+ και 12
( )
α δ+
αντιστοίχωςκαιτοδιάνυσμαθέσεωςτουμέ-σουGτουΗΘείναιτο
12
12
12
14
( ) ( ) ( )
β γ α δ α β γ δ+ + +
= + + + .
Ομοίωςβρίσκουμεότιτοδιάνυσμαθέσεως
τωνμέσωντωντμημάτωνΕΖκαιΙΚ είναιτο 14
( )
α β γ δ+ + + .Άρατατμήματα
ΗΘ,ΕΖκαιΙΚδιέρχονταιαπότοίδιοσημείοκαιδιχοτομούνταιαπόαυτό.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑΣ
1.Αν α είναιέναδιάνυσμα,τιμπορείτεναπείτεγιατομέτροκαιτηνκατεύ-
θυνσητουδιανύσματος
αα
α01
= ⋅| |
;
2.Ναβρείτετοδιάνυσμα x σεκαθεμιάαπότιςπεριπτώσεις:
(i) 12
13
( ) ( )
x x+ = +α β (ii)
x x+ + = − −3 4 3( ) ( )α β α β .
3.Ανστοδιπλανόσχήμαείναι ( ) ( )ΒΜ ΜΓ= 2 ,
νααποδείξετεότι
x = +13
2( )β γ .
22-0168-02.indb 26 12/12/2013 2:28:11 μμ
27
4. Στοδιπλανόσχήμαέχουμε:
∆Ε = 2EB,ΑΒ� ��� �
=α , ∆Γ� ��� �
= 2α και ∆Α� ��� �
= β .(i)Να εκφράσετε συναρτήσει των α και
β
ταδιανύσματα∆Β� ���
,ΕΒ� ���
,ΓΒ� ���
,ΑΕ� ���
καιΕΓ� ���
.
(ii)Απότιςεκφράσειςτων ΑΕ� ���
και ΕΓ� ���
ποιοσυμπέρασμαπροκύπτειγιατασημεία Α,Ε καιΓ ;
5. ΣτοπαρακάτωσχήμανααποδείξετεότιτασημείαΑ Γ, καιΕ είναισυνευθειακά.
6. ΑνΑΚ ΒΚ Β ΒΛ ΑΜ� ���� � ���� � ��� � ��� � ����
+ − = +3 2 3A ,νααποδείξετεότιτασημείαΚ,ΛκαιΜ είναισυνευθειακά.
7. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότιΑ∆ ΒΕ ΓΖ� ��� � ��� � ��� �
+ + = 0 .
8. ΑνΚ,Λ,ΜείναιταμέσατωνπλευρώνΒΓ,ΓΑ,ΑΒ,αντιστοίχως,τριγώνουΑΒΓ,νααποδείξετεότιγιαοποιοδήποτεσημείο Οισχύει:ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΚ ΟΛ ΟΜ� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����
+ + = + + .
9. ΑνΜκαιΝ είναιταμέσατωνδιαγωνίωνΑΓκαιΒΔ,αντιστοίχως,ενόςτετραπλεύρουΑΒΓΔ,νααποδείξετεότι AΒ Α∆ ΓΒ Γ∆ ΜΝ
� ��� � ��� � ��� � ��� � ����+ + + = 4 .
10. ΔίνεταιτομημηδενικόδιάνυσμαAΒ� ���
καισημείο ΓτέτοιοώστεναισχύειΑΓ Β� ���� � ���
= λA καιΒΓ Β� ��� � ���
= µA .Νααποδείξετεότι λ µ− =1.
11. ΔίνεταιτρίγωνοΑΒΓ.Αν A AB A∆ Γ� ��� � ��� � ���
= +κ λ καιΑΕ ΑΒ Γ� ��� � ��� � ���
= +λ κ A .νααπο-δείξετεότι ∆Ε ΒΓ
� ��� � ���/ / .
22-0168-02.indb 27 12/12/2013 2:28:11 μμ
28
Β΄ ΟΜΑΔΑΣ
1. Στο διπλανό σχήμα είναι A AB∆� ��� � ���
=13
και
AE A� ��� � ���
= −13
Γ .ΑνGείναιτοκέντροβάρους
του τριγώνουΑΒΓ, να αποδείξετε ότι τοτετράπλευρο ΑGΔΕ είναι παραλληλό-γραμμο.
2. ΘεωρούμεέναπαραλληλόγραμμοΑΒΓΔκαιδύοσημείαΕκαιΖ τέτοια,ώστεAE A
� ��� � ���= κ ∆ και AZ AB
� ��� � ���= λ ,όπουλ κ
κ=
−1,μεκ ≠ 1.Νααποδείξετεότι
τασημείαΕ, ΓκαιΖείναισυνευθειακά.
3. Νααποδείξετεότιανισχύουνδύοαπότιςσχέσεις xKA yKB zK� ��� � ��� � ���� �
+ + =Γ 0,x A y B zΛ Λ ΛΓ� ��� � ��� � ��� �
+ + = 0 , x y z+ + = 0 ,τότεθαισχύεικαιητρίτη(τοσημείοΚ είναιδιαφορετικόαπότοΛ).
4.Αν
α β, και r είναιοιδιανυσματικέςακτίνεςτωνσημείωνΑ,ΒκαιΜ αντι-
στοίχωςκαι ΜΑΜΒ
=κλ,νααποδείξετεότιαντοΜείναιεσωτερικότουΑΒ,
τότε
r = ++
λα κβλ κ
,ενώαντοΜείναιεξωτερικότουΑΒ,τότε
r = −−
λα κβλ κ
.
5.ΔίνεταιπαραλληλόγραμμοΑΒΓΔ.ΝαβρείτεσημείοΜτέτοιο,ώστεναισχύειMA MB M M� ��� � ��� � ���� � ����
+ + =Γ ∆
6.ΔίνεταιτετράπλευροΑΒΓΔκαιέστωΜκαιΝταμέσατωνδιαγωνίωντουΑΓκαιΒΔ αντιστοίχως.Νααποδείξετεότιαν4MN A B
� ���� � ��� � ���= −∆ Γ ,τότετοτε-
τράπλευροαυτόείναιπαραλληλόγραμμο.
22-0168-02.indb 28 12/12/2013 2:28:11 μμ
29
7.ΑνGκαι ′G είναιταβαρύκεντραδύοτριγώνωνΑΒΓκαι ′ ′ ′Α Β Γ ,νααπο-δείξετεότι AA BB GG′ + ′ + ′ = ′
� ��� � ��� � ���� � ����ΓΓ 3 .
8.ΔίνονταιτασημείαΑ, ΒκαιΓ.ΝααποδείξετεότιγιαοποιοδήποτεσημείοΜτοδιάνυσμα 3 5 2MA MB M
� ��� � ��� � ����− + Γ είναισταθερό.
9. ΣτοδιπλανόσχήματοΑΒΓΔ είναιτραπέζιομε( ) ( )AB = 2 Γ∆ ,τοΚΑΛΒπαραλληλόγραμμοκαιτοΙμέσοτουΓΔ.Νααποδείξετεότι:
(i) K KA� ���� � ���
= −12
και K KB∆� ��� � ���
= −12
(ii)τασημείαΙ,Κ,Λείναισυνευθειακά.
1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Άξονας
Πάνωσεμιαευθείαx′xεπιλέγουμεδύοσημείαΟκαιΙ,έτσιώστετοδιάνυσμα
OI� ��
ναέχειμέτρο1καιναβρίσκεταιστηνημιευθείαΟx.Λέμετότεότιέχουμε
ένανάξοναμε αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το OI = i� ��� �
καιτονσυμβολί-ζουμεμεx′x.ΗημιευθείαΟxλέγεταιθετικός ημιάξονας Οx, ενώηΟx′λέγεταιαρνητικός ημιάξονας Οx′.
Αν,τώρα,πάνωστονάξοναx′xπάρουμεένασημείοΜ,επειδήOM i� ���� �
/ / ,θαυπάρ-
χειακριβώς έναςπραγματικόςαριθμόςx τέτοιοςώστε OM x� ���� �
= ⋅ι .Τοναριθμό
22-0168-02.indb 29 12/12/2013 2:28:11 μμ
