1

応用数学Ⅱ （５）

1. 非斉次形の解法

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

2

2

2( ) (1)

d y dyA By F t

dt dt 　　　　

解法（1） の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

一般に，2階定係数微分方程式は，

A，B：定数， F(t)：任意の連続関数

( ) 0F t

2

20 (1) '

d y dyA By

dt dt 　　　　

定数変化法

① 斉次形方程式の一般解を求める

3

の場合： 斉次（同次）形の微分方程式の解

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

( ) 0F t 2

20 (1) '

d y dyA By

dt dt 　　　　

2 0A B 特性方程式

（１） が実根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

一般解

2 21 14 4

2 21 2

A A B t A A B t

y C e C e

①

1 2C C，

：積分定数（未知数）

（２） が虚根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

2 22 21 2cos 4 sin 4

2 2

A At tt t

y C e B A C e B A

②

（３） が重根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

1 2

1 2

t ty C e C te

③

4

2

2( ) (1)

d y dyA By F t

dt dt 　　　　

解法（1） の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

一般に，2階定係数微分方程式は，

A，B：定数， F(t)：任意の連続関数

( ) 0F t

① 斉次形方程式の一般解をまとめて次のように表す

1 1 2 2y C y t C y t (2) 　　　

主要解 と呼ぶことがある

② 定数変化法を用いる

1 1 2 2y t y t t y t (3) 　　　

ここで，(3)を微分すると

1 1 2 21 1 2 2

dy d dy d dyy y (3) '

dt dt dt dt dt

　　　

5

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

② となるが， を解くためには

であると都合がよい → 連立して用いるので後程検証する！

さらに(4)が成り立てば，(3)’と(4)から

仮定

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

1 2,

1 21 2

d dy y 0 (4)

dt dt

　　　

1 21 2

dy dy dy(5)

dt dt dt 　　　

も成立するので，(5)を微分すると 2 2 2

1 1 1 2 2 21 22 2 2

d y d dy d y d dy d y(6)

dt dt dt dt dt dt dt

　　　

式(1)に式(3)，(5)，(6)を代入すると，

6

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

②

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

式(1)に式(3)，(5)，(6)を代入すると，

2

2( ) (1)

d y dyA By F t

dt dt 　　　　

1 1 2 2y t y t t y t (3) 　　　

1 21 2

dy dy dy(5)

dt dt dt 　　　

2 2 2

1 1 1 2 2 21 22 2 2

d y d dy d y d dy d y(6)

dt dt dt dt dt dt dt

　　　

2 2

1 1 1 2 2 21 22 2

d dy d y d dy d y

dt dt dt dt dt dt

1 21 2 1 1 2 2

dy dyA B y y F t

dt dt

7

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

②

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

この式を1，2について整理すると，

2 2

1 1 2 21 1 2 22 2

d y dy d y dyA By A By

dt dt dt dt

1 1 2 2d dy d dyF t

dt dt dt dt

｛｝内は が斉次式の解であることから(1)’より0となる 1 2y , y

1 1 2 2d dy d dyF t (7)

dt dt dt dt

　　　　

先に仮定した式(4)とともに，式(7)で連立方程式が得られる

ただし，

は既知関数 1 2y , y

1 21 2

1 1 2 2

d dy y 0

dt dt

dy d dy dF t

dt dt dt dt

8

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

③

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

を解く 1 2t , t

1 21 2

1 21 2

d dy y 0 (a)

dt dt

d dy y F t (b)

dt dt

　　　　　　

　　　　

ただし，

1 21 2

dy dyy , y

dt dt

2 2(a) y (b) y より

11 2 1 2 2

dy y y y F t y

dt

21

1 2 1 2

y tdF t (8) '

dt y t y t y t y t

　　　

積分して

9

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

③

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

を解く 1 2t , t

2

1

1 2 1 2

y tt F t dt

y t y t y t y t

t2

1

1 2 1 2

yF d D (8)

y y y y

　　　

同様に 1 1(a) y (b) y より

21 2 1 2 1

dy y y y F t y

dt

1

2

1 2 1 2

y tt F t dt

y t y t y t y t

t1

2

1 2 1 2

yF d D (9)

y y y y

　　　

12

1 2 1 2

y tdF t (9) '

dt y t y t y t y t

　→

10

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

④

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

式(3)に式(8)，(9)を代入すると，

t2

1

1 2 1 2

t1

2

1 2 1 2

1 1 2 2

yy F d y t

y y y y

yF d y t

y y y y

D y t D y t

特解

余関数（斉次解）

一般解

11

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

④

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

なお，仮定の妥当性を証明する

仮定 1 21 2

d dy y 0 (4)

dt dt

　　　

21

1 2 1 2

y tdF t (8) '

dt y t y t y t y t

　　　

12

1 2 1 2

y tdF t (9) '

dt y t y t y t y t

　　　

式(4)に式(8)’，(9)’を代入すると，左辺＝0となることがわかる よって仮定は証明された

12

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

⑤

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

1 2 ， 2 4 0A B

一般解

1 2

2 2

1 2

1 14 4

2 21 2

t t

A A B t A A B t

y C e C e

C e C e

1 2C C，

：積分定数（未知数）

が実根の場合（ ）

1 1

2 2

t t

1 1 1

t t

2 2 2

2

12

y e , y e

y e , y e

1A A 4B

2

より

1 2 1 2t t

1 2 1 2 2 1y y y y e e

1 2 t

2 1 e

2 AtA 4B e

となるため

式（10）は

2

2

1A A 4B

12t A A 4B t2

2 A

ey F d e

A 4B e

（次スライドに続く）

13

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

⑤

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

1 2 ， 2 4 0A B が実根の場合（ ）

2

2

1A A 4B

12t A A 4B t2

2 A

ey F d e

A 4B e

2

2

1A A 4B

12t A A 4B t2

2 A

eF d e

A 4B e

2 21 1A A 4B t A A 4B t

2 21 2D e D e

14

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

⑤

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

1 2 ， 2 4 0A B が実根の場合（ ）

原方程式(1)の一般解の一般表現

2 21 1t A A 4B A A 4B t

2 2

2

1y e F d e

A 4B

2 21 1t A A 4B A A 4B t

2 2

2

1e F d e

A 4B

2 21 1A A 4B t A A 4B t

2 21 2D e D e (11)

　　　

これは、原方程式(1)の一般解の一般表現であり，判別式の正負にかかわらず成り立つ。 しかし，判別式が負の場合の具体的な値を求めるためには，sin，cosによる表示に変換する必要がある。

15

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑥ が虚根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

一般解 1 2

1 2

2 22 21 2cos 4 sin 4

2 2

t t

A At t

y C e C e

t tD e B A D e B A

1 2D D， ：積分定数（未知数）

At

221

At

222

1y e cos 4B A t

2

1y e sin 4B A t

2

A A

t t2 2 22 2

1

A At t

2 2 22 22

A 1 1 1y e cos 4B A t 4B A e sin 4B A t

2 2 2 2

A 1 1 1y e sin 4B A t 4B A e cos 4B A t

2 2 2 2

16

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑤ が虚根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

2 At

1 2 1 2

1y , y y y 4B A e

2

A

22A

t t22

2 A

1e sin 4B A

12y F d e cos 4B A t

1 24B A e

2

A

22A

t t22

2 A

1e cos 4B A

12F d e sin 4B A t

1 24B A e

2

A At t

2 22 21 2

1 1D e cos 4B A t D e sin 4B A t

2 2

したがって

17

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑤ が虚根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

A A

t t2 22 2

2

2 1 1y e sin 4B A F d e cos 4B A t

2 24B A

A A

t t2 22 2

2

2 1 1e cos 4B A F d e sin 4B A t

2 24B A

A At t

2 22 21 2

1 1D e cos 4B A t D e sin 4B A t (12)

2 2

　　　

18

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑥ が重根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

一般解 1 2

1 2

t ty C e C te

1 2C C， ：積分定数（未知数）

A At t

2 21 1

A A At t t

2 2 22 2

Ay e , y e

2

Ay t e , y e t e

2

At

2A

1 t e2

At At

1 2 1 2

A Ay y y y 1 t e te

2 2

Ate

19

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑥ が重根の場合（ ） 1 2 ， 2 4 0A B

AA2t t2

A

ey F d e

e

AA2t t2

A

eF d t e

e

A At t

2 21 2D e D t e

A A A A

t tt t2 2 2 2e F d e e F d t e

A A

t t2 2

1 2D e D t e (13)

　　　

20

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

F t K⑦ （一定値）の場合の特解

式(11)の特解部分を計算すると，

2 21 1t A A 4B A A 4Bt

2 2

2

1e Kd e

A 4B

2 21 1t A A 4B A A 4B t

2 2

2

1y e F d e

A 4B

2 21 1t A A 4B A A 4B t

2 2

2

1e F d e

A 4B

2 21 1A A 4B t A A 4B t

2 21 2D e D e (11)

　　　

2 21 1t A A 4B A A 4Bt

2 2

2

1e Kd e

A 4B

特解

21

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

F t K⑦ （一定値）の場合の特解

式(11)の特解部分を計算すると，

2 21 1t A A 4B A A 4Bt

2 2

2

1e Kd e

A 4B

2 21 1t A A 4B A A 4Bt

2 2

2

1e Kd e

A 4B

2 21 1A A 4Bt A A 4Bt

2 2

22

K 1e e

1A 4B A A 4B2

2 21 1A A 4Bt A A 4Bt

2 2

2

1e e

1A A 4B

2

22

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

F t K⑦ （一定値）の場合の特解

2 2 2

K 2 2

A 4B A A 4B A A 4B

特解

2 2

2 22

2K A A 4B A A 4B

A A 4BA 4B

2

2

2K 2 A 4B K

4B BA 4B

となって，特解は常に にて表される K

B

Point 2

2

d y dyA By K

dt dt

1 1 2 2

Ky D y D y (14)

B 　　　

という非斉次方程式の一般解は， (定数)

23

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑧ のように がいくつかの関数の和によって

与えられる場合の解 1 2F t F t F t F t

式(10)から

t

21 2 1

1 2 1 2

yy F F d y t

y y y y

t

11 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

yF F d y t D y t D y t

y y y y

t t

2 21 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

y yF d y t F d y t

y y y y y y y y

t t

1 11 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

y yF d y t F d y t

y y y y y y y y

1 1 2 2D y t D y t 1=Y t 2=Y t

24

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

④

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

式(3)に式(8)，(9)を代入すると，

t2

1

1 2 1 2

t1

2

1 2 1 2

1 1 2 2

yy F d y t

y y y y

yF d y t

y y y y

D y t D y t

特解

余関数（斉次解）

一般解

（再掲スライド）

25

解法（1）

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

の場合： 非斉次（同次）形の微分方程式 ( ) 0F t

⑧ のように がいくつかの関数の和によって

与えられる場合の解 1 2F t F t F t F t

1 2 1 1 2 2y Y t Y t D y t D y t (15) 　　　

1Y t

2

12

d y dyA By F t

dt dt 2Y t

2

22

d y dyA By F t

dt dt

式(10)と比較すると，式形から明らかなように は

の特解であり，同様に は

の特解である

Point 非斉次項が異なる関数の和で与えられている線形微分方程式の特解は

各関数を非斉次項とする微分方程式の特解の和を求めることによって得られる

これは線形方程式の大きな特徴であり，高階の場合にも成立する e.g. 複雑な外力が働く問題を扱う場合

外力をいくつかの単純な関数の和で表現し，それぞれに対する応答を求めて和を取れば解に至る

⇒ 線形重ね合わせ

26 26

例題１ 平成１８年度期末試験問題

次の微分方程式を括弧内の初期条件のもとで解きなさい。（5点）

解法

①斉次解を求める。

斉次方程式：

したがって，斉次解は

2

22 15 ( (0) 0, (0) 0)xd y dy

y e y ydx dx

　　

2

22 15 0

d y dyy

dx dx

特性方程式を得るため，

とおいて原式に代入：

特性方程式：

xy e

2 2 15 0

1 23, 5

特性方程式は２実根をもつ。

3 5

1 2

x xy C e C e

27 27

解法

②ここで， の一般解は：

となることを考慮すると

2

2

d y dyA By F x

dx dx

2 2

2 2

2 2

1 14 4

2 2

2

1 14 4

2 2

2

1 14 4

2 21 2

1( )

4

1( )

4

x A A B t A A B x

x A A B t A A B x

A A B x A A B x

y e F t dt eA B

e F t dt eA B

C e C e

1 12 4 60 2 4 60

2 2

1 12 4 60 2 4 60

2 2

1 12 4 60 2 4 60

2 21 2

1( )

4 60

1( )

4 60

x t x

x t x

x x

y e F t dt e

e F t dt e

C e C e

28 28

解法

②整理すると一般解は

3 5

1 2

1

12

x x xy e C e C e

③初期条件を考慮すると

したがって，

1 2

1 1,

16 48C C

3 51 1 1

12 16 48

x x xy e e e

29 29

解法

①斉次解を求める。

斉次方程式：

例題２ 平成１８年度期末試験問題 2

26 9 18 ( (0) 0, (0) 1)

d y dyy y y

dx dx 　　

2

26 9 0

d y dyy

dx dx

xy e特性方程式を得るため， とおいて原式に代入： 2 6 9 0

1 2 3 3 3

1 2

x xy C e C x e 重根の斉次解は

②問題の非斉次方程式の一般解・特解が以下のように表されることを考慮して

ａ） 非斉次方程式の一般解＝特解＋余関数（斉次方程式の一般解）

ｂ） 微分方程式 においてB，Kが定数の場合，

は特解となる。 K

yB

2

2( .)

d y dyA By K const

dx dx

30 30

解法

ｂ）より，特解： 余関数： ② 2y

例題２ 平成１８年度期末試験問題 2

26 9 18 ( (0) 0, (0) 1)

d y dyy y y

dx dx 　　

3 3

1 2

x xy C e C x e

したがって，原式の一般解は

初期条件を考慮すると，

このため､原式の解は

3 3

1 22 x xy C e C x e

1 22, 7C C

3 32 2 7x xy e xe