Übertragung digitaler Signale - ei.ruhr-uni-bochum.de · Lehrstuhl fur digitale Kommunikationssysteme Ubung in " Ubertragung digitaler Signale\ 01.04.2019 Literatur [Blah90]R. E

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Lehrstuhl fur digitale KommunikationssystemeUbung in

”Ubertragung digitaler Signale“ 01.04.2019

Literatur

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1 / 15 Fortsetzung der Ubung. . .



Einige elementare Funktionen

• Sprung-Funktion

u(ξ) =

1 fur ξ > 00 fur ξ < 0

u(ξ)

1

ξ

• Signum-Funktion

sgn(ξ) =

1 fur ξ > 0−1 fur ξ < 0

sgn(ξ)

1

−1

ξ

• Rechteck-Funktion

rect(ξ) =

1 fur |ξ| < 10 fur |ξ| > 1

rect(ξ)

−1 1

1

ξ

• Dreieck-Funktion

∆(ξ) =

1− |ξ| fur |ξ| ≤ 1

0 fur |ξ| > 1

−1 1

1

∆(ξ)

ξ

• si-Funktion

si(ξ) =

1 fur ξ = 0

sin(ξ)/ξ fur ξ 6= 0

si(νπ) = 0 fur ν ∈ Z\0

∼ 1

ξ

∼ −1

ξ∼ 1

ξ

∼ −1

ξ

−4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π

1

si(ξ)

ξ




Fourier-Reihe

x(t) =∞∑

ν=−∞

Xν ejνΩt mit Xν =1

T

∫ T

0

x(t)e−jνΩtdt

Fourier-Transformation

X(jω) := F x(t) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt bzw. x(t) = F−1 X(jω) =

1

2π

∫ ∞

−∞X(jω)ejωtdω

Symbolik: x(t) −−•X(jω) bzw. X(jω) •−−x(t)

Einige Eigenschaften der Fourier-Transformation

Konjugiert komplexeZeitfunktion

x∗(t) −−•X∗(−jω)

Zeitverschiebung x(t− t0) −−• e−jωt0X(jω) mit t0 ∈ RFrequenzverschiebung x(t)ejω0t −−•X(jω − jω0) mit ω0 ∈ R

Zeitdehnung/-pressung x(αt) −−• 1

|α|X(

jω

α

)mit α ∈ R\0

Zeitdifferentiationdx(t)

dt−−• jωX(jω)

Zeitintegration

∫ t

−∞x(τ)dτ −−• X(jω)

jω+ πX(0)δ(ω) fur X(0) <∞

Frequenzdifferentiation tx(t) −−• jdX(jω)

dω

Frequenzintegration jx(t)

t+ πx(0)δ(t) −−•

∫ ω

−∞X(jv)dv fur x(0) <∞

Faltung imZeitbereich

x(t) ∗ y(t) :=

∫ ∞

−∞x(τ)y(t− τ)dτ −−•X(jω)Y (jω)

Faltung imFrequenzbereich

x(t)y(t) −−• 1

2πX(jω) ∗ Y (jω) :=

1

2π

∫ ∞

−∞X(jv)X(jω − jv)dv

Parseval’sche Gleichung

∫ ∞

−∞x(t)y∗(t)dt =

1

2π

∫ ∞

−∞X(jω)Y ∗(jω)dω

• Periodisch fortgesetzte δ-Funktion

1

T

∞∑

ν=−∞

ejνΩt =∞∑

ν=−∞

δ(t+ νT ) −−•∞∑

ν=−∞

ejνωT = Ω

∞∑

ν=−∞

δ(ω + νΩ) mit ΩT = 2π

• Poisson’sche Summenformel

T

∞∑

ν=−∞

x(νT ) =∞∑

ν=−∞

X(jνΩ) mit ΩT = 2π




• Zeitdiskrete Fourier-Transformation

X(jω) = T∞∑

ν=−∞

x(tν)e−jωtν mit x(tν) =1

2π

∫ Ω/2

−Ω/2X(jω)ejωtνdω

• Hilbert-Transformierte

Hx(t) =1

π

∫ ∞

−∞

x(τ)

t− τ dτ =1

πt∗ x(t) −−•−j sgn(ω)X(jω)

Einige Fourier-Transformierte im Uberblick

• Gauß-Funktion

e−αt2/2 −−•

√2π

αe−ω

2/[2α] mit Reα > 0

• Rechteck-Funktion

rect

(t

T

)−−• 2T si(ωT ) bzw.

Ω

πsi(Ωt) −−• rect

(ωΩ

)mit T,Ω > 0

• Dreieck-Funktion

∆

(t

T

)−−•T si2

(ωT

2

)bzw.

Ω

πsi2(Ωt) −−•∆

( ω

2Ω

)mit T,Ω > 0

• Delta-Funktion

δ(t) −−• 1 bzw. 1 −−• 2πδ(ω)

• Signum-Funktion

sgn(t) −−•[

2

jω

]bzw.

[j

πt

]−−• sgn(ω)

• Sprung-Funktion

u(t) −−•πδ(ω) +

[1

jω

]bzw. δ(t) +

[j

πt

]−−• 2u(ω)

• Sinusformige Funktionen

cos(ω0t) −−•πδ(ω − ω0) + πδ(ω + ω0)

sin(ω0t) −−•−jπδ(ω − ω0) + jπδ(ω + ω0)

• Exponentialfunktionen

1

2e−α|t| −−• α

α2 + ω2mit Reα > 0

u(t)1

n!tne−αt −−• 1

[α + jω]n+1 mit Reα > 0 , n ∈ N




Aufgabe 1

Gegeben ist ein mit idealen Dioden aufgebauter Ringmodulator mit den reellen Signalen x(t)und y(t). An die Mittelabgriffe der idealen Ubertrager ist eine resistive Wechselspannungsquellemit Innenwiderstand R > 0 angeschaltet. Ihre Urspannung lautet

e(t) = e cos(ω0t) ,

wobei die Amplitude e und die Kreisfrequenz ω0 positiv sind.

1:11 :1

x(t)

Re(t)

y(t)

Im Folgenden wird |x(t)| e angenommen, so dass man den Einfluss des Signals x(t) auf dasSchaltverhalten des Bruckengleichrichters vernachlassigen darf.

1.1 Bestimmen Sie y(t) in Abhangigkeit von x(t) und ω0.

1.2 Geben Sie die Fourier-Reihe des Signals s(t) = sgn(cos(ω0t)) an.

1.3 Nutzen Sie das Ergebnis des Aufgabenpunktes 1.2 zur Berechnung der Fourier-Transfor-mierten Y (jω) = Fy(t).

Im weiteren Verlauf wird x(t) als tiefpass-bandbegrenzt angenommen:

x(t) −−•X(jω) mit X(jω) = 0 fur |ω| > ωx mit ωx < ω0 .

1.4 Stellen Sie die Verlaufe von X(jω) und Y (jω) fur |ω| < 4ω0 symbolisch dar.

Das Signal y(t) wird nun mit einem idealen Bandpass der Mittenfrequenz ω0 und Bandbreite 2ωxgefiltert.

1.5 Wie lautet das Ausgangssignal z(t) des Bandpasses in Abhangigkeit von x(t)?




Aufgabe 2

Ein Sender erzeugt mittels einer linearen Modulation das Sendesignal

x0(t) = Rex(t)ejω0t

mit x(t) =Mξλ = x

∞∑

λ=−∞

ξλ q(t− λT ) und q(t) = rect

(2t

T

),

wobei das zugeordnete aquivalente Tiefpass-Signal x(t) durch einen noch zu untersuchendenOperatorM ausgedruckt worden ist. Die Konstanten ω0, T sowie x sind positiv und ξλ bezeichnetdie Sendesymbole.

2.1 Zeigen Sie die Linearitat des eingefuhrten Operators M.

2.2 Welche Eigenschaft hat das aquivalente Tiefpass-Signal x(t), wenn ξλ = ξ∗λ gilt?

Am Empfanger wird das Signal

y0(t) = Rey(t)ejω0t

mit y(t) =Mηλ = x

∞∑

λ=−∞

ηλ q(t− λT )

empfangen. Fur die Symbole ηλ = αejϑξλ gilt α > 0 und ϑ ∈ R.

2.3 In welchem Zusammenhang stehen die Inphase- und Quadratur-Komponenten der aquiva-lenten Tiefpass-Signale x(t) und y(t)?

2.4 Diskutieren Sie den vorangegangenen Aufgabenpunkt unter der Annahme eines amplitude-numgetasteten Signals x(t) fur ϑ ∈ 0, π,±π/2.

Im Bild sind Signalraumdiagramme verschiedener linearer Modulationsverfahren dargestellt.

Q Q Q

I I I

0

0

1

1

11

−1 1 00

01

10

a) b) c)

1 1

Fur alle folgende Aufgabenpunkte gilt ω0 = 3π/T .

2.5 Zeichnen Sie fur die Signalraumdiagramme a) und b), in denen Daten 10010 bzw. 10100gesendet werden, die zugehorigen Sendesignale.

Fur die zu sendenden Daten des Aufgabenpunktes 2.5 wird nun das Signalraumdiagramm c)eingesetzt, wozu je zwei Bits gruppiert werden: 1100011000.

2.6 Zeichnen Sie fur das Signalraumdiagramm c) das Sendesignal. Beachten Sie die Losung desAufgabenpunktes 2.5.




Aufgabe 3

Betrachtet wird das aquivalente Tiefpass-Signal

x(t) = x

∞∑

λ=−∞

ξλ q(t− λT )

eines L-wertigen linearen Modulationsverfahrens. Hierbei ist x eine positive Konstante, q(t)bezeichnet den reellen Sendeimpuls, T > 0 ist die Symboldauer und die Sendesymbole ξµ gehorenzum Sendealphabet

A = Ξ1, Ξ2, . . . , ΞL mit L = 2l , l ∈ N .

Fur eine stochastische Modellbildung ist jedem Zeichen Ξ` die Auftrittswahrscheinlichkeit P`zugeordnet, womit die mittlere Leistung der gesendeten Symbole wie folgt gegeben ist:

Pξ = ϕξξ(0) = E|ξλ|2

=

L∑

`=1

P` |Ξ`|2 .

3.1 Ausgehend von A wird ein weiteres Sendealphabet

A′ = Ξ ′1, Ξ ′2, . . . , Ξ ′L mit Ξ ′` = Ξ` −M fur ` = 1, . . . , L

betrachtet. Bestimmen Sie die Konstante M so, dass die mittlere Leistung der gesendetenSymbole Ξ ′` minimiert wird.

Es werden nun die aufgelisteten linearen Modulationsverfahren betrachtet:

• L-PSK: Ξ` = ej`2π/L fur ` = 0, . . . , L− 1 .

• L-ASK: Ξ` ∈ ±1,±3, . . . ,±[L− 1] .

• L2-QAM: Ξκ,` = Ξ ′κ + jΞ ′′` mit Ξ ′κ, Ξ′′` ∈ ±1,±3, . . . ,±[L− 1].

3.2 Zeichnen Sie die zugehorigen Signalraumdiagramme fur eine 8-PSK, 8-ASK und 16-QAM.

Im weiteren Verlauf sind bei jedem Sendealphabet die Wahrscheinlichkeiten fur das Auftretender Sendezeichen gleich.

3.3 Bestimmen Sie den Mittelwert der gesendeten Symbole.

3.4 Welche mittlere Leistung haben die gesendeten Symbole?

7 / 15 Fortsetzung der Aufgabe 3 . . .



Fur die Modulation werden nun folgende Sendeimpulse eingesetzt, wobei ΩT = 2π gilt:

• Rechteck-Impuls

q(t) = rect(2t/T )

• Cosinus-Impuls

q(t) = rect(t/T ) cos2(Ωt/4)

• Cosinus-Rolloff-Impuls

q(t) −−• Q(jω) = T

1 fur 2|ω|/Ω ≤ 1− rcos2

([r − 1 +

2|ω|Ω

]π

4r

)fur 1− r ≤ 2|ω|/Ω ≤ 1 + r

0 fur 1 + r ≤ 2|ω|/Ω

3.5 Bestimmen Sie die Energien der einzelnen Impulse.

3.6 Welche mittleren Leistungen benotigen die aufgelisteten Modulationsverfahren in Kombi-nation mit diesen Impulsen?

Nun bezeichnen FB die Bitrate und fg die Grenzfrequenz des Sendeimpulses.

3.7 Welche spektrale Effizienz

Γs =FB

2fg

haben die verschiedenen Modulationsverfahren in Kombination mit einem Cosinus-Rolloff-Sendeimpuls?

Hinweise

1. Endliche geometrische Reihe

n∑

ν=0

zν =zn+1 − 1

z − 1

2. Summe der Quadrate ungerader Zahlen

n∑

ν=1

[2ν − 1]2 =n[4n2 − 1]

3




Aufgabe 4

An einem Empfanger wird das Signal x0(t) einer binaren Phasenumtastung storungsfrei emp-fangen:

y0(t) = x0(t) = Rex(t)ejω0t

mit

x(t) = x∞∑

λ=−∞

ξλ rect

(t− λTT/2

)und ξλ ∈ −1,+1 .

Hierbei sind die Amplitude x, die Symboldauer T positive Konstanten und die Tragerkreisfre-quenz ω0 ist sehr viel großer als 2π/T . Am Empfanger wird dieses Signal in der dargestelltenAnordnung genutzt, um mit einem spannungsgesteuerten Oszillator (SGO) eine zur Trager-schwingung des Senders nahezu synchrone Schwingung zu erzeugen.

y0(t)

yI(t) yI(t)h2(t)

h2(t)

cos(ω0t+ ϑ(t))

y1(t)

h3(t)y3(t) x3(t)

SGO

h1(t)

yQ(t)yQ(t)

yI(t)

Dabei entsteht eine Phasenabweichung ϑ(t), die sich zeitlich langsam andert: |•ϑ(t)| 1/T .

4.1 Bestimmen Sie das Ausgangssignal des Hilbert-Transformators, welcher durch

h1(t) −−• H1(jω) = −j sgn(ω) mit H1(0) = 0

definiert ist.

4.2 Geben Sie fur diesen Fall eine technisch einfachere Alternative fur den Hilbert-Transfor-mator an.

4.3 Wie lauten die Signale yI(t) und yQ(t) in Abhangigkeit von x(t)?




Losen Sie die weiteren Aufgabenpunkte unter den Vorgaben

h2(t) −−• H2(jω) = rect

(ω

ω2

)

und h3(t) −−• H3(jω) = rect

(ω

ω3

).

Fur die Grenzkreisfrequenz ω2 gilt

ωx +•ϑ(t) < ω2 und ω2 < ω0 − ωx −

•ϑ(t) ,

wobei ωx die Grenzkreisfrequenz des Sendesignals x0(t) ist, die als sehr viel kleiner als die Trager-kreisfrequenz ω0 anzunehmen ist. Fur die Grenzkreisfrequenz ω3 des moglichst schmalbandigenSchleifenfilters gilt

2|•ϑ(t)| < ω3 .

4.4 Wie lauten die Signale yI(t) und yQ(t) in Abhangigkeit von x(t)?

4.5 Bestimmen Sie das Eingangssignal x3(t) des Schleifenfilters.

4.6 Geben Sie eine Naherung fur das Ausgangssignal y3(t) des Schleifenfilters bei betragsmaßigkleinen Phasenabweichungen an.




Aufgabe 5

Im aquivalenten Basisband wird der ungestorte Empfang eines Signals mit einem signalange-passten Filter betrachtet:

y(t) = x∞∑

λ=−∞

ξλs(t− λT ) .

Hierbei sind x und die Symboldauer T positive Konstanten und s(t) ist die Impulsantwort deraus Impulsform- und Empfangsfilter bestehenden Kaskade:

s(t) = s∗(t) = s(−t) .

Fur eine Ruckgewinnung der gesendeten reellen Symbole ξλ wird das Signal y(t) mit der Ab-tastrate F = 1/T abgetastet. Dazu benotigt man am Empfanger den Symboltakt, der mit derdargestellten Anordnung gewonnen werden soll.

y(t) h(t)z(t)

z(t)

Die Anordnung besteht aus einem Schwellwertschalter, dem ein Bandpass mit der Bandbreite Bund der Mittenfrequenz ωm vorgeschaltet ist:

h(t) −−• H(jω) = rect

(ω + ωm

πB

)+ rect

(ω − ωm

πB

).

Aus dem entstehenden Signal z(t) generiert der Schwellwertschalter das wertdiskrete Signal

z(t) =

sgn(z(t)) fur |z(t)| > z

0 fur |z(t)| < z,

welches fur eine Ansteuerung des Abtasters genutzt werden kann. Fur eine Untersuchung derAnordnung werden die gesendeten Symbole durch einen im weiteren Sinne stationaren diskretenstochastischen Prozess ξλ modelliert, womit sich anstelle der Signale y(t), z(t) und z(t) diestochastischen Prozesse y(t), z(t) bzw. z(t) ergeben.

5.1 Berechnen Sie den Mittelwert des stochastischen Prozesses y(t).

5.2 Unter welcher Bedingung ergibt sich fur den stochastischen Prozess z(t) im Mittel einesinusformige Schwingung der Periode T? Wie sind dazu die Mittenfrequenz und Bandbreitedes Bandpasses zu wahlen?

5.3 Zeichnen Sie die Kennlinie des Schwellwertschalters.

5.4 Wie ist der Schwellwert z zu wahlen, damit die Dauer von z(t) = 0 und von z(t) 6= 0 imMittel gleich ist?

5.5 Diskutieren Sie die Erzeugung des Symboltakts, wenn fur die Impulsantwort der Kaskade

s(t) = ∆ (t/T )

gilt.




Von nun an ist der stochastische Prozess ξλ mittelwertfrei und unkorreliert. Zur Erzeugung desSymboltakts wird der bisherigen Anordnung ein Quadrierer vorgeschaltet.

[•]2

h(t)y(t)z(t)

z(t)

5.6 Bestimmen Sie einen moglichst einfachen Ausdruck fur den Erwartungswert E

[y(t)]2

.

Als Sendeimpuls wird nun ein Wurzel-Cosinus-Rolloff-Impuls verwendet, sodass die Impulsant-wort aus der Kaskade von Impulsform- und Empfangsfilter durch

s(t) −−• S(jω) = T

1 fur 2|ω|/Ω ≤ 1− rcos2

([r − 1 +

2|ω|Ω

]π

4r

)fur 1− r ≤ 2|ω|/Ω ≤ 1 + r

0 fur 1 + r ≤ 2|ω|/Ω

mit ΩT = 2π und 0 ≤ r ≤ 1 gegeben ist.

5.7 Erlautern Sie, unter welchen Bedingungen sich am Ausgang des Bandpasses im Mittel einesinusformige Schwingung mit der Periode T erzeugen lasst.

Hinweis

S1(jΩ) =

∫ ∞

−∞S(jv)S(jΩ − jv) dv =

rT

8




Aufgabe 6

Die Ubertragung eines linear modulierten Signals uber einen Kanal mit additivem Rauschenwird im aquivalenten Basisband betrachtet.

PAMξ(t)

x∞∑

λ=−∞δ(t− λT )

q(t)x(t)

w(t)

y(t) y(t)q(−t)

T

y′(t)η(t)

Beim Modulationsverfahren handelt es sich um eine quaternare Amplitudenumtastung mit demabgebildeten Signalraumdiagramm.

00 01 11 10

−3 −1 1 3Des Weiteren sind x und T positive Konstanten, ξ(t) ist das Eingangssignal mit den Sendesym-bolen ξλ als Abtastwerten zu den Zeitpunkten λT und q(t) = rect(2t/T ) ist der Sendeimpuls.Zunachst wird ein ungestorter Empfang betrachtet, d. h. ein Empfang, fur den y(t) = x(t) gilt.

6.1 Bestimmen Sie die Impulsantwort s(t) des Systems, das sich aus der Kaskade des Impuls-formfilters und des Empfangsfilters mit den Impulsantworten q(t) bzw. q(−t)/T ergibt.

6.2 Untersuchen Sie die Impulsantwort s(t) auf Einhaltung der 1. und 2. Nyquist-Bedingung.

6.3 Skizzieren Sie die Signale x(t) und y(t) fur den Fall, dass die Daten 11000110001110 gesendetwerden. Markieren Sie die Abtastwerte y(µT ).

Die vom Kanal verursachte Storung wird durch additives weißes Rauschen w(t) mit der Rausch-leistungsdichte W0 stochastisch modelliert. An die Stelle des Sendesignals x(t) tritt nun derstochastische Prozess x(t), wobei alle Zeichen des Sendealphabets gleichwahrscheinlich auftre-ten.

6.4 Welche mittlere Leistung wird durch das Rauschen am Ausgang des signalangepassten Fil-ters bzw. am Eingang des Entscheiders verursacht?

6.5 Wie groß ist das Signal-Gerausch-Verhaltnis am Eingang des Entscheiders?

Nun wird das folgende Signalraumdiagramm verwendet.

00 01 10 11

−3 −1 1 3

6.6 Worin besteht der Nachteil, wenn dieses Signalraumdiagramm genutzt wird?




Aufgabe 7

Es wird eine Ubertragung im aquivalenten Basisband betrachtet, wobei der dargestellte Senderverwendet wird.

ξ(t)

j

Tξ′(t)

x∞∑λ=0

δ(t− λT )

q′(t) x(t)

Das Eingangssignal ξ(t) des Senders beinhaltet zu den Abtastzeitpunkten λT die Sendesymbo-le ξλ ∈ ±1, wobei T > 0 die Symboldauer bezeichnet. Durch eine Codierung entsteht aus demSignal ξ(t) das codierte Signal ξ′(t), mit dem das aquivalente Tiefpass-Signal

x(t) = x

∞∑

λ=0

ξ′λq′(t− λT )

erzeugt wird, welches die codierten Sendesymbole ξ′λ in sich birgt. Die Große x ist eine positiveKonstante und q′(t) ist ein cosinusformiger Impuls der Dauer 2T :

q′(t) = rect(t/T ) cos(Ωt/4) mit ΩT = 2π .

Die Verzogerung wird zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Wert ξ′0 = 1 initialisiert.

7.1 Leiten Sie aus dem Signalflussgraphen eine Differenzengleichung fur ξ′λ ab.

7.2 Bestimmen Sie den Betrag der Symbole ξ′λ und leiten Sie eine Regel fur den Real- und denImaginarteil dieser Symbole ab.

Nun werden die in der Tabelle aufgefuhrten Symbole gesendet.

λ

ξλ

0 1 2 3 4 5 6

−1−1−1 1111

7.3 Bestimmen Sie Φλ = arcξ′λ in Abhangigkeit von ξλ und berechnen Sie die konkreten Wertefur die angegebene Symbolfolge.

7.4 Wie lauten die Inphase- und Quadratur-Komponente xI(t) bzw. xQ(t) des aquivalentenTiefpass-Signals x(t)? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

7.5 Skizzieren Sie die zeitlichen Verlaufe von xI(t) und xQ(t) und markieren Sie die Werte zuden Zeitpunkten λT .




Das gesendete aquivalente Tiefpass-Signal x(t) wird mit dem dargestellten Empfanger storungs-frei empfangen. Zu den Abtastzeitpunkten µT gilt

η′(µT ) =1

xy(µT ) = η′µ ,

d. h., der Empfanger ist perfekt auf den Symboltakt des Senders synchronisiert.

PAMy(t) = x(t)

1

x η′(t)y′(t)Decodierer η(t)

7.6 Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen den empfangenen und den gesendeten Sym-bolen η′µ bzw. ξ′λ.

Das Ziel ist die Entwicklung eines Decodierers fur die Sendesymbole, sodass man nach derDecodierung die Symbole ξµ erhalt.

7.7 Leiten Sie eine Differenzengleichung fur den Decodierer her und geben Sie den zugehorigenSignalflussgraphen an.

7.8 Welche Werte erhalten Sie fur η′µ bzw. ηµ, wenn die oben in der Tabelle aufgefuhrten Symbolegesendet werden?

15 / 15 Ende der Ubung

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