Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Bohuslav HostinskýRiemannova theorie o počtu prvočísel v daných mezích. [III.]

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 39 (1910), No. 3, 245--255

Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122994

Terms of use:© Union of Czech Mathematicians and Physicists, 1910

Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic providesaccess to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of thisdocument must contain these Terms of use.

This paper has been digitized, optimized for electronic delivery andstamped with digital signature within the project DML-CZ: The CzechDigital Mathematics Library http://project.dml.cz

245

Riemannova theorie o počtu prvočísel v daných mezích.

Napsal Bohuslav Hostinský. (Pokračování.)

15. Z rovnice (25), kterou možno psáti také takto:

ř W = K0)zr(i--Í)(i + 4 ) (a . . kořeny rovnice | (t) = O, jichž r. č. jest kladná), plyne, že log £(t) má logarithmické body jednak ve všech a, jednak ve všech —a. Rozřízneme-li rovinu t čarou Y, jež spojujíc všecky body a probíhá do nekonečna uvnitř pruhu omezeného přímkami vedenými rovnoběžně k reální ose po obou stranách

ve vzdálenosti = ------ (viz odst. 10.), a čarou / , jež spojujíc

všechny body — a jest ku y symmetrická vzhledem ku středu t = O, můžeme v rozřezané rovině definovati:

t

log í (O = log £ (0) + f£& dt; (26)

integrační čára nesmí překročiti y ani / a log £ (0) budiž reální (cf. odst 9. na konci).

Definujeme-li dále za těchže supposicí

-'('*T)=/ff.. <"> obdržíme z rovnice

H*)~ a\t-«^t+af

jež vyplývá přímo z (25), integrací v mezích O . . . t

log f (i) = log Í (0) + 2 \lo9 (í - -L ] + log (l + ~ j l (26a)

a pro t = - |-

(26b;

246

logšU-\=-log2 = logt(0)

+t'h( 1"i)+ %( 1 + i) l-Že jest nutno položiti — cf. rov. (11) — právě

log Ě (-£)=-log 2

následuje snadno z poznámky na konci odst. 9.; integrál na

pravé straně rovnice (26) může býti pro ř - n — vzat podél

imaginární osy a má reální hodnotu,

%s(4) musí býti tedy reální.

V rovině proměnné s, která souvisí s t rovnicí

1 i s = — + ti7t = -^- — is, (6)

definujme

M 1 " ! ^ ) " / — r r T + sS- ' <28> ~č\+a%' L s ~ o +M ""

L 2 -J

na pravé straně jest druhý člen roven přímočarému integrálu

/ — T V T = - ' - 3 T T < 2 8 »> o * — Y + *% -

a v prvním členu jest voliti integrační čáru v rovině s tak, aby neprotíaala žádný z řezů, jež jsou obrazy řezů y a / vedených v rovině t určené transformací (6). Označíme-li tyto obrazy týmiž symboly y a / jako originály, spojuje v rovině s čára y všechny komplexní nullové body funkce £(s), jichž imaginární část jest kladná, a čára / všechny n. b. téže funkce s imag. částí negativní.

V rovině s opatřené řezy y a / jest levá strana rovnice (28) za uvedeného předpokladu o integrační čáře jednoznačnou

247

funkcí s. Je-li s = O, může se na pravé straně v (28) integro­vati podél reálné osy; poněvadž logarithmus na pravé straně v téže rovnici jest definován přímočarým integrálem (28a); jest

lim logíl — -1—- ) = 0. (29) v -±mJ

Z rovnic (6), (27) a (28) plyne dále, že

' u i S -f- ta -'-2 í

— log li —-^ ) — log \ _L 4- aiJ

, ., 2cci •+• 1 2 ± m

a tedy dle (26a)

_ hog (l - ±-\ log + (l + -Í-Yl _ ^ | (0 _ log |(0)

% (i - i—S"") + l o g i1 ~ T1—) \ y + ai / v _ a j /

_ | % _ | ^ i + ^_2^j Pro č = —, 5 = O obdržíme vzhledem k (26b) a (29)

- log 2 - l o 9 m = - 2 (ío, - ^ j - + fe, ^ ) .

Odečtouce obě poslední rovnice obdržíme

logS(t) = 2\lo9íl-T^—)

+ log (l - — S Y] - log 2. (26c) \ ___ ai / J

2 -Kl

V této rovnici jest dle odvození log £ (čj definován dle (26), logarithmy na právo dle (28) a log 2 je reální; součet se vzta-

248

huje na ty kořeny rovnice %(t) = 0, jejichž reální část jest kladná. —

Logarithmus funkce £(s) má vzhledem k rovnici (9)

C-D- f^ f ) <»-1>r(T+1) rozvětvovací body

a) v komplexních nullových bodech — + ai funkce Z

£(8), ježto 5 = -á-- + tí,

b) v bodě $ = 1,

c) v pólech W--J- + l j , t. j . vbodechs= —2 ; —4,-—6.. .

Abychom mohli Z0# £ (5) jednoznačně definovati, připojme v rovině 5 k řezům y a / řez # vedený podél přímky ó spoju­jící bod s = 1 s tím komplexním nullovým bodem — + a

z funkce £(s), jehož maginární část jest nejmenší (a ovšem kladná, ježto reální část a jest kladná), a řez e vedený podél reální osy od bodu s = — 2 počínaje na levo do nekonečna. V rovině

V (s) s rozříznuté třemi řezy: d + y, yř a e jest ^rr^ všude spojitá b \S)

funkce; budiž

log £ (s) = f ^ r } ds -log 2 + ni. (30) o

Integrál nesmí překročiti žádný řez; log 2 budiž reální. Tato definice přechází pro s = 0 v

log £ (0) = — řo# 2 + íri, což se shoduje s rovnicí (12). *

log !(<) J e s t dle (26) reální pro ryze maginární hodnoty ty

t. j . pro reální hodnoty s; v rozřezané rovině s budtež také logarithmy

log(s-l) a logr(±- + l\

249

reální pro $ reální a větší než 1. Za těchto supposic lze psáti (log a reální) na základě rovnice (9):

log g(s) = log %Џ)-\- -ү log n

- log (s - 1) - log гí-ү + Л fЗOй)

Důkaz: Pravá strana jest reální, když jest s reální a větší než 1. Blíží-li se s od takové hodnoty k s = 0 podél reální osy, zůstávají první, druhý a čtvrtý člen na právo reálními a blíží se k hodnotám — log % 0 a — log T (1) = 0. Třetí člen vyžaduje, aby se s při tom přechodu vyhnulo bodu 5 = 1 : to se však může státi jenom pod reální osou, neboť nad reální osou vybíhá z bodu s = 1 řez d + y. Amplituda binomu (s — 1), jež se původně rovnala nulle, přejde v — ni, tedy jest

logC(0) = — log2 + 7ii,

kterážto rovnice dokazuje totožnost obou definic (30) a (30a) pro logt(s).

Ze známé formule

г s

(— + 1) = lim —; 12 ' - C H Ч - т l - C + ś ) (1 + T)(' + T ) - ( > + Í

plyne rovnice

--»i-(-V+i)= f» [-Ť%» +±<°°{1+£;j\ • Nahradíme-li v (30a) na pravé straně poslední člen touto

limitou a první člen řadou (26c), obdržíme l°y £ ($) l°(J n log 2 log (s — 1)

+ ?[f-'(l-T-T)+T-*( l-T--)} N poslední řadě jest nutno seřaditi členy dle rostoucí reální části kořenů a.

250

Integrallogarithmus.

16. Pro hodnoty proměnné x reální a větší než 1 jest de­finován integrallogarithmus x rovnicí

\—h fi.ii Í* fi/ii \

h>0. ioa v r

i+h

Zavede-li se místo y nová integrační proměnná z rovnicí y = eř nebo y = x*,

obdržíme d log x

Li{x) = uJf*y-+ f**-\ ;,=oV l°9y \A l°ffyJ

nebo ««=й(/"V^' > 0

U{z) = l t o { f ^ + f*ІL).>Ъ

(32)

(33)

logarithmy jsou vesměs reální. Že limity naznačené na pravých stranách rovnic (32) a

(33) skutečně existují, plyne z této úvahy: V závorce na pravé straně rovnice (32) jest za integračním

6Z

znamením funkce —, jež má v bodě z = O pól s residuem = 1. Budiž A čára v rovině z složená z těchto tří částí: z úseku

reální osy od — oo do — <?, z půlkruhu, jenž maje střed v z = O spojuje body d a — d, a z úseku reální osy od — ó do log x.

Pro lim d = O obdržíme

f — — = IA (X) + *n. A

Na právo jest voliti horní neb dolní znamení dle toho, probíhá-li zmíněný půlkruh nad reální osou aneb pod ní; Li (x) jest li­mita naznačená na pravé straně v (32). Limita ta existuje, po­něvadž integrál podél A vzatý má konečnou hodnotu.

Píšeme-li ex místo x, máme

Li {e«) = fl-p- + яц (34)

251

vyhýbá-li se integrační čára A'*) bodu z = O nad (pod) reální osou, jest vzíti na právo horní (dolní) znamení.

Dle odvození platí formule (34) pro reální x > 0. Ale její platnost lze snadno rozšířiti pro libovolné komplexní hodnoty x. Pro komplexní x stanovme v integrálu (34) integrační čáru B4

takto. _B' budiž úsek přímky vedené rovnoběžně s reální osou

z — co do a;; je-li imaginární část x kladná, jest vzíti v (34) horní znamení, je-li záporná, dolní. Analytická funkce Li(ex) proměnné x vzorcem (34) definovaná má tyto vlastnosti:

a) pro reální x = x0 > 0 shoduje se s integrallogarithmem v původní definici, neboť lze integrační čáru B' převésti spo­jitou deformací v čáru A', aniž by se hodnota integrálu změ­nila, blíží-li se x k nějaké reální hodnotě x0 > 0. Půlkruh kolem bodu z = O jest nad reální osou neb pod ní dle toho, blíží-li se x k x0 hodnotami, jichž imaginární část jest kladná neb záporná.

6) jest spojitá pro všecky konečné hodnoty x, vyjímaje , reální hodnoty záporné. Neboť blíží-li se x k reální záporné hodnotě x', konverguje Li (ex) k

I TIÍ nebo k f- 711

(integrál přímočarý) dle toho. děje-li se ten přechod skrze hod­noty x} jejichž reální část jest kladná neb záporná. (Riemann 61, Mangoldt 41) **).

Právě tak jako byl vzorec (34) odvozen z (32), odvodí se z (33) pro reálná x větší než 1

Li(x) = J^^Ěl + uL (35) X

Integrační čára může se vyhnouti pólu (i = O bud nad reální

*) A' obdržíme, připojíme-li k A úsek reální osy od z = log x do * - = AT.

**) Definice integrallogarithrnu Li(ex) pro x < O nejsou u všech autorů souhlasné. Viz na př. (JJ) a (52).

252

osou neb pod ní; dle toho se volí na právo bud horní neb dolní znamení.

17. Mangoldt (43) naznačil, jak se dá jednoduše dokázati věta:

lim Li (x) . ------- = 1. (36) x

log % _

Důkaz: Položíme-li 1-7. 2

Li(2) = C=lim( f^- + Í^-X h>0,

jest

^=c+fw-.=o+[wi]'+f^i aneb

X

Li^ = c, + v9-i+fi$i' kde konstanta C jest určena rovnicí

2 C = G

log 2 Patrně jest

Г_ăx J loď1'

đx X log1 g log* 2'

a tedy dle poslední rovnice pro Li(x):

* \%2f/ % 2 » ( i ^ x—2log logx) + log*x log'1 2* Z toho následuje, že

Zim iť í * \ • — = O-a oo yog2xJ x

Poněvadž lze pro každé x > 1 psáti

Wx) + J hgx log% x

253

a tedy, je-li log x > 1,

Li (x) < Li (i^-xJ + *yl — |^«~ j loJ^—2ToJUfx7

Li (x) > Li(j~^ + xy 1 - f^-xJ • j - j ^ ,

obdržíme ihned rovnici (36).

Riemannova formule. 18. Budiž F (x) počet prvočísel menších než x. Položí-

me-li (prozatím supponujeme, že x není celé číslo)

f{x) = Fx + ±F^)+\-F(£) + ..S), (37)

platí dle Riemanna tato rovnice: a-I-i co

f(x) = ±fx'!2lASAdS, a > l (38). a—i oo

Integrační čarou jest přímka rovnoběžná s imaginární osou a procházející reálním bodem s = a.

Rieinann odvodil (38) inversí rovnice

- ! - = / / « - — ' ^ (38a)

která se jednoduše dokáže z Eulerovy rovnice (1). Tato in­verse, kterou provedl Riemann Fourierovými integrály, uvádí se od pozdějších autorů v nejrůznějších formách. Uvádím níže přesnou formulaci a důkaz rovnice (38). který podal Landau (36 p. 741—742).

Předesílám důkaz Cauchyovy věty (39) a odůvodnění jiné definice (37a) funkce / (x) definované původně rovnicí (37).

Pro každé reální číslo a větší než 1 a pro reální y jest

a+Ti

a— Ti *) Řada na právo má jen konečný počet členů, ježto 1 se za prvo­číslo nepovažuje.

2B4

dle toho, je-li y > 1 neb y = 1.

Tuto větu, kterou znal již Cauchy, lze odvoditi různými způsoby. Můžeme na př. vycházeti z Laplaceova integrálu

•i lim r a ~os uv + u sinuv -va _ n _ A

T I T H — o du = 2ne a > 0, v > 0. I-°°J ar -f- a 2

—r Kladouce

£? — a •= iu

obdržíme

/„* cfo . C e V . va Ca cos uv + u sin uv -

e — — Í / - r— au — %e / -;—;—5 au z J a-\-iu J a* 4- u2

a—iT — T l —T '

, va Pu cos uv — a sin uv _ + e.J ír+1? dM-Poslední integrál jest roven nulle. Pro

t з =y obdržíme z Laplaceova vzorce

lim ' T_=эo

a+г7

1 Гyřdz 2ni J z

a—гl

1,У

Je-li t; = 0, máme jednoduše a+iT T

rdz . r adu CM. . T JT=tJa*+-iš-=MarCt9^>

a—U —1 »

tedy a+i7

цm 1 fđ^ _JL^ * = - 2яi -У. * — 2 '

Na místo definice (7) funkce f (x) lze zavésti definici

jinou, úplně equivalentní. Budiž bM=—, je-li index n w-tou

mocninou nějakého prvočísla, a ln = 0 pro všecka n nehovící této podmínce; předpokládejme dále, že x není celé číslo.

255

označujíce symbolem [x] největší celé číslo v x obsažené. Pak jest

w / (x) = 2 ln (37a)

n = l

Neboť v řadě na právo jest každý člen, jehož index n jest prvočíslo, roven 1; součet těchto členů dává F (x). Každý člen, jehož index n jest roven m-té mocnině nějakého prvočísla, rovná

1 1 1 * se — : součet těch členů dává — F Cxm). Cleny, jichž indexy nejsou mocniny prvočísel, rovnají se nulle, takže definice (37) a (37a) souhlasí.

Příspěvek k plochám rotačním 2. stupně. Fr. Kadeřávek, assistent české techniky.

V pojednání „O specielním kvadratickém komplexu te-traedálním" *) ukázal p. vládní rada, prof. V. Jarolímek, analy­tickým způsobem, že komplex uvažovaný obsahuje nepřímkové plochy druhého stupně, béřeme-li v úvahu též jeho přímky ima­ginárně a že možno nepřímkové plochy 2. stupně vytvářeti ob­dobným způsobem přímkami imaginárnými jako plochy sborcené přímkami reálnými. I možno příkladem vytvořiti rotační plochy nepřímkové 2. stupně otáčením jisté dvojiny přímek imaginárných kol reálné osy. K synthetickému důkazu odvodíme si předem následní větu: „Jsou-li dány přímky Or a A' J_ -B' (obr. 1.) a vedeme-li přímku P' J_ O', na kterouž naneseme od průsečíku s O' do bodu /' střední geom. úměrnou úseček vytčených na P' přímkami 0'} A' a O', B'} vyplní bod l'} posunujeme-li přímku P' rovnoběžně, kružnici trojúhelníku 0'A'B' opsanou; O' jest pro ni průměrem.

Označme průsečíky přímky P' ± O' s přímkami 0'} A'} B s kružnicí V trojúhelníku 0'A'Br = 1'2'3' opsanou písmenami o'} a', V a P; pak 3'o'i' c o a'o'V, i platí úměra 3 V : V&

*) Věstník král. české společnosti nauk v Praze, 1906.