Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-1

Mechanic

9.1 소개

- 하중을

- 처짐의

- 부정정

9.2 처짐

- 처짐(d

cs of Materials

개

을 받는 보의

허용한계 확

구조물의 해

짐곡선의 미

eflection) v

s, 7th ed., Jame

변형 처짐

확인

해석에 필수적

미분방정식

는 y 방향으

es M. Gere &

제 9

짐곡선 (defle

적임

으로의 변위

Barry J. Goo

장 보의

ection curve

dno

처짐

)

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-2

Mechanic

회전각

곡률반지

cs of Materials

: 축과 처짐

지름 : 곡률

s, 7th ed., Jame

짐곡선의 접선

률중심 O에서

es M. Gere &

선이 이루는

서 곡선까지의

Barry J. Goo

각; 반시계

의 거리

dno

방향이 양 (경

경사각/처짐각

제 9 장

Pa

각으로도 불림

보의 처짐

age 09-3

림)

Mechanic

곡률은

처짐곡선

tandvdx

같은 방법

회전각이

1

한편 회전

Note:

1

선형 탄성

cs of Materials

1 dds

선의 기울기는

n , arc

법으로 cos

이 작은 경우,

ddx

전각이 작으면

는 라디안으

2

2

d vdx

성재료, Hook

s, 7th ed., Jame

; 곡률의 부

는 처짐곡선의

ctan dvdx

, sindxds

ds dx

면 tan

으로 측정됨

ke 의 법칙을

es M. Gere &

부호는 다음 그

의 1 차도함수

dvds

dvdx

을 따르는 재료

Barry J. Goo

그림의 규약을

수

2

2

d d vdx dx

료

dno

을 따름.

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-4

Mechanic

1

여기서 부

dVdx

불균

이 경우는

2

2xd vEIdx

따라서,

xd EIdx

2

2

d EIdx

cs of Materials

MEI

2ddx

부호규약을 고

, dMq Vdx

일 단면보

는 EI 가 x

v M

2

2xd v Vdx

2

2xd v dVIdx dx

s, 7th ed., Jame

2

2

v Mx EI

; 처

고려한 평형식

V

의 함수이므

V qdx

es M. Gere &

처짐곡선의 기

식은,

로

Barry J. Goo

기본 미분방정

dno

정식

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-5

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-6

균일 단면보

이 경우는 EI 가 상수이므로,

2 3 4

2 3 4, , d v d v d vEI M EI V EI qdx dx dx

, , ''''EIv M EIv V EIv q (굽힘모멘트방정식, 전단력방정식, 하중방정식)

곡률에 대한 엄밀 식 (회전각, 처짐값이 클 경우)

1 (arctan )d d v dxds dx ds

한편 2 2 2ds dx dv

2 2 1/ 2[ ]ds dx dv

1/ 222 1/ 21 [1 ( ) ]ds dv v

dx dx

또한 2

(arctan )1 ( )

d v vdx v

그러므로 2 3/ 2

1[1 ( ) ]

vv

Mechanic

9.3 굽힘

EIv

적분을 통

cs of Materials

힘 모멘트 방

, M EIv

통해 처짐, 회

단순지지

s, 7th ed., Jame

방정식의 적

, ''''V EIv

회전각 산정

지점

es M. Gere &

적분에 의한

q

적분상수

Barry J. Goo

한 처짐 계산

수는 경계조건

고정단

dno

산

건으로부터 결

결정

제 9 장

Pa

연속조건

보의 처짐

age 09-7

Mechanic

예제

문제

- 단순보

- 중앙점

- 지지 지

풀이

모멘트

cs of Materials

9-1

보 AB 의 처짐

에서의 최대

지점에서의 회

트를 구하기 위

s, 7th ed., Jame

짐곡선의 방정

대처짐 max

회전각 , A

위한 자유물체

es M. Gere &

정식

B 구하기

체도

Barry J. Goo

dno

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-8

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-9

2

( )2 2 2 2

qL x qLx qxEIv M x qx

2 3

14 6qLx qxEIv C , 중앙점에서 처짐각은 0 (대칭조건) 0

2Lv

3

1 24qLC

2 3 3

4 6 24qLx qx qLEIv

3 4 3

212 24 24qLx qx qL xEIv C , 좌측 지지점에서 처짐이 0 0 0v 2 0C

3 2 3( 2 )24

qxv L Lx xEI

4

max5

2 384L qLv

EI

3

(0) ( )24A BqLv v L

EI

Mechanic

예제

문제

- 처짐곡

- 자유단

풀이

모멘트

cs of Materials

9-2

곡선의 방정식

단의 처짐 B

트를 구하기 위

s, 7th ed., Jame

식

, 회전각 B

위한 자유물체

es M. Gere &

B

체도

Barry J. Goo

dno

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-10

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-11

2 2

2 2qL qxEIv M qLx

2 2 3

12 2 6qL x qLx qxEIv C , 고정단에서 처짐각은 0 0 0v 1 0C

2 2 3

2 2 6qL x qLx qxEIv

2 2 3 4

24 6 24qL x qLx qxEIv C , 고정단에서 처짐은 0 0 0v 2 0C

22 2(6 4 )

24qxv L Lx x

EI

3

( )6BqLv LEI

4

( )8BqLv LEI

Mechanic

예제

문제

- 단순보

- 지지 지

- 최대 처

cs of Materials

9-3

보 AB 의 처짐

지점에서의 회

처짐 max , 보

s, 7th ed., Jame

짐곡선의 방정

회전각 , A

보의 중앙점

es M. Gere &

정식

B 구하기

C 에서 처짐

Barry J. Goo

짐 C 구하기

dno

기

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-12

Mechanic

풀이

EIv

EIv

cs of Materials

PbxML

PbxML

s, 7th ed., Jame

( ) P x a

es M. Gere &

하중

하중

(0

(a

Barry J. Goo

중 좌측면 (FB

중 우측면 (FB

)

)

x a

x L

dno

BD)

BD)

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-13

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-14

2

1

2 2

2

(0 )2

( ) ( ) 2 2

PbxEIv C x aL

Pbx P x aEIv C a x LL

3

1 3

3 3

2 4

(0 )6

( ) ( ) 6 6

PbxEIv C x C x aL

Pbx P x aEIv C x C a x LL

B.C. (1) ( ) ( )a a (2) ( ) ( )v a v a (3) (0) 0v (4) ( ) 0v L

(1)

2 2

1 22 2Pba PbaC C

L L 1 2C C

(2)

3 3

1 3 2 4 =6 6

PbA PbaC a C C a CL L

1 2C C 이므로 3 4C C

(3) 3 40C C

(4)

2 2

1 2( )

6Pb L bC C

L

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-15

2 2 2

32 2 2

( ) (0 )6

( )( ) ( ) 6 6

Pbxv L b x x aLEIPbx P x av L b x a x LLEI EI

2 2 2

22 2 2

( 3 ) (0 )6

( )( 3 ) ( ) 6 2

Pbv L b x x aLEIPb P x av L b x a x LLEI EI

2 2( ) ( )(0)6 6A

Pb L b Pab L bvLEI LEI

2 2(2 3 ) ( )( )6 6B

Pb L bL b Pab L av LLEI LEI

A 를 b 에 대해 미분하여 / 3b L 에서 최대값 2

max

327A

PLEI

이 됨.

하중이 중앙점 우측에 작용한다는 가정하에 처짐각이 0 이 되는 점에서 max 가 구해짐

Mechanic

즉 처짐각

따라서

cs of Materials

각이 0 이 되

max xv

s, 7th ed., Jame

되는 위치는

1

2(9x x

Pb L

es M. Gere &

2

1 3L bx

2 2 3/ 2)3

bLEI

Barry J. Goo

2b (a

( )a b

dno

)b

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-16

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-17

참고: max 의 값은 b 의 위치에 따라 변하며 max 의 최대값은 / 2b L 일 때 3

max max 48PL

EI

중앙점의 처짐

2 2(3 4 )2 48CL Pb L bv

EI

( )a b

특별한 경우: 보의 중앙점에 하중이 작용하는 경우 ( / 2)a b L

2 2( 4 )16

Pv L xEI

02Lx

2 2(3 4 )48

Pxv L xEI

02Lx

2

16A BPL

EI

3

max 48CPL

EI

Mechanic

9.4 전단

예제

문제

- 4 계 미

- 자유단

풀이

''''EIv

EIv

(V L

EIv

(M L

2EIv

cs of Materials

단력과 하중

9-4

미분방정식을

단의 처짐 B

0 (q LqL

20 ( )2q L xL

) 0L C

0 ( )6q L xL

) 0L C

40 ( )24q L x

L

s, 7th ed., Jame

중 방정식의

이용한 처짐

, 회전각 B

)L xL

1C V

1 0C

32C M

2 0C

43C

es M. Gere &

적분에 의

짐곡선의 방정

B

Barry J. Goo

의한 처짐 계

정식

dno

계산

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-18

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-19

503 4( )

120qEIv L x C x C

L

(0) 0 (0) 0v v

3 30 0

3 4 24 120

q L q LC C

3 2 2 30 (4 6 4 )24

q xv L L x Lx xLEI

23 2 2 30 (10 10 5 )

120q xv L L x Lx x

LEI

30( )

24Bq Lv L

EI

40( )

30Bq Lv L

EI

Mechanic

예제

문제

- 3 계 미

- 돌출부

풀이

EIv

EIv

cs of Materials

9-5

미분방정식을

부 끝단의 처짐

2

PV

V P

s, 7th ed., Jame

이용한 처짐

짐 C

0

x

L x

es M. Gere &

짐곡선의 방정

3 2

L

Lx

Barry J. Goo

정식

dno

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-20

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-21

1

2

02

3 2

PxEIv M C x L

LEIv M Px C L x

(0) 0AM EIv , 3 02CLM EIv

1 0C , 23

2PLC

02(3 2 ) 3

2 2

PxEIv M x L

P L x LEIv M L x

2

3

4

04

(3 ) 3 2 2

PxEIv C x L

Px L x LEIv C L x

B 점에서 회전각은 연속 '( ) '( )v L v L

22

3 44PL C PL C

2

4 33

4PLC C (k)

제 9 장 보의 처짐

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-22

3

3 5

2

4 6

012

(9 2 ) 3 12 2

PxEIv C x C x L

Px L x LEIv C x C L x

(0) 0A v , ( ) 0B v L 5 0C ,

2

3 12PLC , (k)식에의해

2

45

6PLC

( ) 0B v L 을 BC 구간의 식에 대입하면

3

6 4PLC

2 2

3 2 2 3

( ) 012

3(3 10 9 2 ) 12 2

Pxv L x x LEIP Lv L L x Lx x L xEI

332 8CL PLv

EI