Богданова О.ВНаучный руководитель:

К.ф.м.н. Вильчевская Е.Н.

Моделирование упругого стержня на примере позвоночника

Актуальность задачи

Позвоночник обеспечивает обеспечивает нормальную и слаженную работу опорно-двигательного аппарата

Нарушение структуры позвоночника приводит к различным заболеваниям Экстремальные нагрузки в сложных экспедициях: вес рюкзака может достигать 40-

45 кг, а переходы длиться по 10 часов.

2

Цели

Смоделировать нагрузки на стержень

Рассчитать численно силы, действующие на позвоночник

Составить формулы для векторов деформации и изгиба позвоночника

Выявить зависимость деформаций и изгиба позвоночника в зависимости от управляющих параметров

3

Постановка задачи

Позвоночник человека моделируется гибким стержнем

Упрощения модели: Линейная теория стержней Изначально прямой стержень Не учитывается поперечный сдвиг Ребра и таз – перпендикулярные к позвоночнику

прямые жесткие стержни Ребра и таз крепятся к стержню жесткой заделкой Мышцы – линейные упругие пружины

4

Мышцы

Ребра

Таз

Заделка

Постановка задачи

Нагрузки: Нагрузка от лямок передается по абсолютно упругим пружинам – мышцам

в виде распределенной нагрузки на позвоночник Точечные силы и моменты от сил, действующих на ребра и на таз Распределенная сила, действующая в позвоночнике в результате давления

рюкзака на позвоночник

Найти распределение внешних нагрузок для минимизации деформации позвоночника.

5

Нагрузка на плечи и таз

Распределенная нагрузка на позвоночник, ребра и таз

Уравнения статики

6

пf

mf

if

N

im

Распределенная нагрузка по позвоночнику

Распределенная нагрузка от мышц

Локальные силы от ребер и таза

Локальные моменты

Усилие в позвоночнике

Момент в позвоночнике

Орт по оси у – вдоль позвоночника пf

if

im

mf

' ( ) ( ) ( )

' ( )

in m i

i i

N f s f s f s

M j N m s

M

j

Векторы деформации и внутренняя энергия

Вектор растяжения-поперечного сдвига

Вектор изгиба-кручения

7

0

1 1

2 2u e A e k C k Внутренняя энергия

1 2 3

1 2 3

A A ii A j j A kk

C C ii C j j C kk

2

1 3,

A j j

C ii C kk

Растяжение

Изгиб

0

0

uN

e

uM

k

Усилие в стержне

Момент в стержне

Соотношения Коши-Грина

𝑒 = 𝑈′ + 𝑗 × Ѱ

𝑘 = Ѱ′

Вектор деформации

Вектор изгиба

U

Силы, действующие на рюкзак

Силы лямок

Силы поясника

Распределенная нагрузка на всю спину

β – угол наклона поясника к спинке рюкзака α – угол наклона человека μ – расстояние от центра масс рюкзака до начала координат системы

8

1cos cot ( sin cos )лF mg mg tmg

h

( sin cos ) / sinпF mg tmg h

1 sin cost

N mg mgh h

Графики зависимости сил от управляющих параметров

9

-50

0

50

100

150

200

-10 10 30 50 70 90 110

Высота ц.м. рюкзака, см

Сила пояса Реакция опоры Сила лямок

-50

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30

Масса рюкзака, кг

Сила пояса Сила реакции опоры Сила лямок

-50

0

50

100

150

200

20 25 30 35 40 45 50

Угол поясника β, гр

Сила пояса Реакция опоры Сила лямок

Постоянные параметры:• Рост человека: 165 см• Вес человека: 61 кг• Высота рюкзака: 100 см• Ширина рюкзака: 45 см• Длина рюкзака: 17,5 см• Вес рюкзака: 20 кг• Центр масс рюкзака: 1/3hрюкзака• Угол наклона человека: ~19.5

Силы, действующие на позвоночник

Распределенная нагрузка от мышц

Точечные силы и моменты для таза

Точечные силы и моменты для ребер

10

.

0

лямокпозв отмышц a

F sF k s

sds

oxт таза

охт пояса таза

R N

М F d

2

oyт пояса

тазаоут таза

R F

dМ N

2

oxp ребра

ребра

oyp ребра

R N

dM N

Распределенная нагрузка от мышц

Нагрузка на кости

Результаты

11

Граничные условия:

В плечах: 𝑀 = 0, 𝑁 = 𝑁0 Внизу:заделка (перемещения 0)

Конечные формулы:

Ѱ𝑧 =𝑁позв𝐶𝑧

𝑠3

6+𝑠2

2− 𝑠𝑖𝑠 (𝑁таза − 𝐹пояса +𝑁ребра𝑖

) ∗ 𝐻(𝑠 − 𝑠𝑖)

𝑈𝑥 = −𝑁позв𝐶𝑧

𝑠4

24−𝑠3

6− 𝑠𝑖𝑠2

2 (𝑁таза−𝐹пояса +𝑁ребра𝑖

) ∗ 𝐻(𝑠 − 𝑠𝑖)

𝑈𝑦 =2𝐹лямок𝐴𝑦𝑎2

𝑠3

6−𝑁0𝐴𝑦𝑠 +𝐹пояса𝐴𝑦𝐻(𝑠 − 𝑠𝑖)

Изгиб позвоночника

Деформации по х

Деформации по у

Графики

12

0

-10000

-20000

-30000

-40000

-50000

0

-500

-1000

-1500

-2000

4000

3000

2000

1000

0

Ux, 10-11 м Uy, 10-11 м Ψ

Здесь: mрюкз = 20 кг

hпозв = 56 см

0 10 20 30 40 500 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

Деформации и изгиб максимальны в тазу

Графики

Фиксированные параметры:

13

1. . . *3 рюкзакац м р h

const

-1600

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 5 10 15 20 25 30

Масса рюкзака, кг

Ux 10-11 м

-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 10 20 30

Масса рюкзака, кг

Uу 10-11 м

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30

Масса рюкзака, кг

Ψz

Графики

14

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

0 50 100

Ц.м. рюкзака, см

Ux 10-11 м

-400

-300

-200

-100

0

0 20 40 60 80 100

Ц.м. рюкзака, см

Uу 10-11 м

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150

Ц.м. рюкзака, см

Ψz

20рюкзакаm кг

const

-270

-260

-250

-240

-230

-220

-210

-200

40 60 80 100

Угол β, гр

Ux 10-11 м

-2050

-2040

-2030

-2020

-2010

-2000

40 60 80 100

Угол β, гр

Uу 10-11 м

280

281

282

283

284

285

50 60 70 80 90

Угол β, гр

Ψz

Фиксированные параметры:

20

1. . . *3

рюкзака

рюкзака

m кг

ц м р h

Численное решение в Ansys

Механические свойства костной ткани зависят от многих факторов:

возраста, заболевания, индивидуальных условий роста.

В норме

● плотность костной ткани 2400 кг/м3,

● модуль Юнга Е = 1010 Па.

15

Максимальная деформация

7,6*10-4 мм

Максимальное напряжение

0,5 МПа

Выводы

На основе линейной теории стержней разработана модель по определению нагрузок со стороны рюкзака.

Получена зависимость изгиба и деформаций стержня от управляющих параметров

Обнаружено, что: Деформации позвоночника U будут уменьшаться с увеличением

угла поясника β Уменьшить изгиб позвоночника Ψ мы можем расположив центр

масс как можно ближе к тазу

16

Ссылки

«Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней» П.А. Жилин, 2007 г «Медицинская и биологическая физика. Курс лекций с задачами: учеб. Пособие»

В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов, 2008 г Journal of Biomechanics 33 (2000) 881-888 «Хирургия позвоночника» 2/2006 © А.И. Продан и др.

17