Методические рекомендации студентам по курсовой работе в

дисциплине «Методы исследования нелинейных задач»

Описание задания. Нахождение приближенного решения дифференциального уравнения

при помощи асимптотических методов (метод многих масштабов или метод Пуанкаре-

Линштедта).

Целью курсовой работы является демонстрация эффективности асимптотических методов

при исследовании нелинейных задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

Каждый из студентов получает задачу, относящуюся к одному из двух типов.

Тип 1. Исследование малоамплитудных колебаний, описывающихся нелинейным

обыкновенным уравнением второго порядка (или системой двух уравнений первого

порядка) при помощи метода Пуанкаре-Линштедта.

Тип 2. Исследование решений начальной задачи для нелинейного обыкновенного

уравнения второго порядка с малым параметром при помощи метода многих масштабов.

Прототипом задачи первого типа является задача о малых колебаниях маятника;

прототипом задачи второго типа является уравнение Ван дер Поля с малым параметром

при неконсервативном члене. Оба эти примера соответствуют классическим нелинейным

моделям, физический смысл которых обсуждается на занятиях. Таким образом, студенты

получают представление о практической применимости изучаемых методов.

Выполнение задания состоит из двух этапов. На первом этапе студент должен получить

приближенное аналитическое решение данного дифференциального уравнения, используя

изученные асимптотические методы. На втором этапе работы в среде MatLab строится

численное решение данного уравнения и приближенное решение уравнения сравнивается

с численным. Сравнение производится при различных значениях малого параметра, что

позволяет установить границы применимости полученного приближенного решения.

Предлагаемые задания ранжируются по уровню сложности. Имеются задания двух

уровней сложности, причем выбор степени трудности задания предоставляется самому

студенту. За правильное решение более сложного задания обучающимся начисляются

дополнительные баллы при защите задания, см. п.6. Также, по согласованию с

преподавателем, допускается ситуация, когда студент сам предлагает для исследования

задачу подобного типа, интересную для него самого.

Работа над заданием завершается защитой полученных результатов. Защита проводится

очно, в компьютерном классе или на персональном компьютере преподавателя или

студента. Преподаватель задает вопросы по выполненному заданию, а также просит в его

присутствии провести расчет, используя написанные студентом скрипты, для близких

задач: других значений малого параметра, при «отключении» тех или иных слагаемых в

асимптотическом разложении и т.д. Несмотря на официально объявленный срок

окончания защит (18-я неделя), не рекомендуется оставлять защиту на последние дни –

обнаруженные ошибки могут потребовать времени на исправление. Рекомендуется

выслать готовую работу преподавателю на почту, что не отменяет того защита работы

обязательно происходит очно.

Требования к оформлению работы.

1. Правила оформления работы достаточно свободные. Можно написать текст от руки,

можно набрать на компьютере, в Word или LaTeX. Однако в любом случае работа

содержит компьютерную часть, поэтому необходимо приложить результаты расчетов,

вставив их либо в файл работы, либо представив отдельно в виде распечаток. Можно

использовать любые программы аналитических и численных вычислений, а также любые

пригодные численные методы (метод стрельбы, метод сеток и т.д). Формулы должны

сопровождаться текстом, поясняющим их вывод, а графики должны быть подписаны и

прокомментированы.

2. Во всех случаях речь идет об автономных уравнениях второго порядка или о системе

двух автономных уравнений первого порядка. Фазовый портрет системы не обязателен,

но, думаю, в большинстве случаев очень уместен.

3. Требуется, чтобы полученные асимптотические представления решений содержали

один или два члена соответствующего асимптотического разложения. Нахождение более

точных асимптотических разложений, содержащих три и более члена, приветствуется (и

оценивается дополнительными баллами при защите работы), хотя и не обязательно.

График выполнения задания

Нед

еля

вы

дач

и/с

дач

и Этапы

выполнения

задания

Методическая

поддержка этапов

задания

Взаимодействие

преподавателя со студентом

Трудоемкость

(количество

часов на

выполнение

задания)

ауд./СРС

8 Выдача

задания

Методические

указания

студентам;

литература

Преподаватель выдает

задание, разъясняет его цель

и отвечает на уточняющие

вопросы студентов.

0.5/0

8-13 Выполнение

аналитической

части задания

Методические

указания

студентам,

использование

материалов

занятий,

предлагаемой

литературы

1. Студенты выполняют

необходимые выкладки,

используя материалы

занятий и образцы работ

приведенные в

«Методических указаниях»,

привлекая при

необходимости программы

аналитических вычислений.

2. Преподаватель на

консультациях и занятиях

2/4

отвечает на вопросы,

появляющиеся у студентов в

ходе выполнения задания,

проводит разъяснения

наиболее трудных и важных

этапов.

3. Преподаватель проводит

собеседование/ опрос с

целью выяснить готовность

теоретической части.

13-16

Выполнение

численного

исследования

задачи

Методические

указания

студентам,

использование

материалов

занятий,

предлагаемой

литературы

1. Студенты пишут

необходимые скрипты,

используя материалы занятий

и образцы работ приведенные

в «Методических указаниях».

2. Преподаватель на

консультациях и занятиях

отвечает на вопросы,

появляющиеся у студентов в

ходе выполнения задания,

1.25/6

16-18 Защита

задания

Студенты представляют

работу преподавателю.

Преподаватель проверяет

корректность работы.

0.25/0

Формирование вариантов задания.

Примерный список вариантов задания приведен в Приложении 1. Студенты указывают

уровень сложности задания и вытягивают по жребию свой вариант.

Структура и график контрольных мероприятий

Методика оценивания.

КМ-1. Цель мероприятия – стимулировать активность студентов при выполнении

курсовой работы. Преподаватель в ходе собеседования просматривает и, при

необходимости, корректирует полученные асимптотические формулы. В накопительную

систему при этом проставляется оценка от 0 до 10 баллов.

Код Тип Макс. Мин. Неделя

КМ-1

Получение асимптотических

формул 10 0 12-13

КМ-2 Защита задания 90 50 16-18

Сумма 100 50

КМ-2. Цель мероприятия – окончательная оценка работы. Основными критериями

является (а) владение материалом и (б) количество попыток сдачи работы. Максимальный

балл (90 баллов) выставляется за грамотно выполненную работу, автор/авторы которой с

первого раза демонстрируют уверенное владение материалом. При наличии ошибок в

аналитическом или численном решении или слабом владении материалом, автору/авторам

предлагается поправить работу, при этом происходит потеря от 0 до 10% от

максимального балла (в частности, этот процент корректриуется в зависимости от

трудности задачи). Дальнейшие безуспешные попытки сдать работу приводят,

соответственно, к потере от 10 до 20% от максимального балла, от 20 до 30%

максимального балла и т.д. Если работа защищена с пятой или более попыток, в

накопительную систему проставляется минимальная оценка в 50 баллов.

Для выяснения личного вклада участника при защите работы двух авторов, вопросы

задаются по очереди каждому из участников. Финальная оценка по сумме двух

контрольных мероприятий выставляется традиционным образом: 86-100 баллов –

«пятерка», 70-85 баллов – «четверка», 50-69 баллов – «тройка».

Методическое обеспечение задания

Основная литература

1. А.М. Ильин, А.Р. Данилин. Асимптотические методы в анализе [Электронный ресурс].

Москва, Физматлит, 2009. – 248с.

2. Г.Л. Алфимов. Методы исследования нелинейных задач. Лабораторный практикум

(учебное пособие) - Изд-во МИЭТ, 2016, - 48с.

3. Г.Л. Алфимов. Введение в асимптотический анализ (учебное пособие). Институт

компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2017- 192 с.

Дополнительная литература

1. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. Физматлит, 2005

(имеется открытый доступ с сайта http://www.sgtnd.narod.ru/pabl/rus/neko.htm )

Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

1. ОРОКС – http://orioks.miet.ru/oroks-miet/srs.shtml

2. ЭБС издательства Лань - http://e.lanbook.com/

3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU - http://elibrary.ru/

4. Википедия – свободная энциклопедия – http://ru.wikipedia.org

Разработчик:

Профессор кафедры ВМ-1, д.ф.-м.н. __________________ /Алфимов Г.Л./

Приложение 1. Варианты задания. Полный комплект заданий хранится на

кафедре и ежегодно корректируется.

Задания типа 1. Задачи, помеченные звездочками, являются более трудными.

Задания типа 2. Задачи, помеченные звездочками, являются более трудными.

Приложение 2. Пример выполненной работы и вопросы к ней.

Задание: Для заданного уравнения исследовать методом многих масштабов решение с

начальными данными u(0)=1, u ̇(0)=0. Провести соответствующий численный счёт при

нескольких малых значениях ε, сравнить полученное асимптотическое решение с

численным решением.

Расчётная часть

Дано: �̈� + 𝑢 + 𝜀(�̇�3 + 𝑢3) = 0, 𝜀 ≪ 1 (1)

Н.У.: 𝑢(0) = 1

�̇�(0) = 0

Будем искать решение уравнения (1) в виде:

𝑢(𝑡) = 𝑢0(𝑡) + 𝜀𝑢1(𝑡) + ⋯ (2)

Используем метод многих масштабов, введя набор независимых переменных

(ограничимся двумя временными шкалами):

𝜏0 = 𝑡

𝜏1 = 𝜀𝑡 .

Считая, что u(t) зависит от них одновременно:

𝑢(𝑡) = 𝑢(𝜏0, 𝜏1) ,

получаем (2):

𝑢(𝑡) = 𝑢0(𝜏0, 𝜏1) + 𝜀𝑢1(𝜏0, 𝜏1) + 𝑜(𝜀) .

Используя следующие соотношения:

�̇� =𝜕𝑢0𝜕𝜏0

+ 𝜀 (𝜕𝑢0𝜕𝜏1

+𝜕𝑢1𝜕𝜏0

) + 𝑜(𝜀)

�̈� =𝜕𝑢0

2

𝜕𝜏02+ 𝜀 (

𝜕2𝑢1

𝜕𝜏02+ 2

𝜕2𝑢0

𝜕𝜏0𝜕𝜏1) + 𝑜(𝜀) ,

и подставляя их в (1), получим:

𝜕𝑢02

𝜕𝜏02+ 𝜀 (

𝜕2𝑢1

𝜕𝜏02+ 2

𝜕2𝑢0

𝜕𝜏0𝜕𝜏1) +

+𝜀 ((𝜕𝑢0

𝜕𝜏0+ 𝜀 (

𝜕𝑢0

𝜕𝜏1+𝜕𝑢1

𝜕𝜏0))

3

+ (𝑢0 + 𝜀𝑢1)3) + (𝑢0 + 𝜀𝑢1) = 0 (3)

Сгруппируем слагаемые в (3) по ε0 и ε1:

𝜕𝑢0

2

𝜕𝜏02+ 𝜀 (

𝜕2𝑢1

𝜕𝜏02+ 2

𝜕2𝑢0

𝜕𝜏0𝜕𝜏1+ 𝑢1 + (

𝜕𝑢0

𝜕𝜏0)3

+ 𝑢03) + 𝑢0 = 0

Выпишем слагаемые при ε0:

𝜀0: 𝜕𝑢0

2

𝜕𝜏02+ 𝑢0 = 0 (4)

Запишем решение полученного уравнения гармонического осциллятора в виде:

𝑢0(𝜏0, 𝜏1) = 𝐴(𝜏1)cos(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) (5),

гдеА, 𝜑 –функции «медленного времени» 𝜏1,

{𝜏0 = 𝑡𝜏1 = 𝜀𝑡

.

Выпишем слагаемые при ε1:

𝜀1: 𝜕2𝑢1

𝜕𝜏02+ 2

𝜕2𝑢0

𝜕𝜏0𝜕𝜏1+ 𝑢1 + (

𝜕𝑢0

𝜕𝜏0)3

+ 𝑢03

𝜕2𝑢1𝜕𝜏02

+ 𝑢1 = −(2𝜕2𝑢0𝜕𝜏0𝜕𝜏1

+ (𝜕𝑢0𝜕𝜏0

)3

+ 𝑢03)

Т.к. 𝜕𝑢0

𝜕𝜏0=−𝐴(𝜏1)sin(𝜏0 +𝜑(𝜏1)), то

𝜕2𝑢0𝜕𝜏0𝜕𝜏1

= −𝐴′(𝜏1) sin(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) − 𝜑′(𝜏1)𝐴(𝜏1)cos(𝜏0 + 𝜑(𝜏1))

Подставляя производные функции 𝑢0 в (6), получим следующее уравнение:

𝜕2𝑢1𝜕𝜏02

+ 𝑢1 = (𝐴(𝜏1) sin(𝜏0 +𝜑(𝜏1)))3− 𝑢0

3 +

+2𝐴′(𝜏1) sin(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) + 2𝜑′(𝜏1)𝐴(𝜏1)cos(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) (7)

Упростим 𝑠𝑖𝑛3(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)), 𝜃=𝜏0 + 𝜑(𝜏1):

𝑠𝑖𝑛3(𝜃) = 1−𝑐𝑜𝑠2𝜃

2𝑠𝑖𝑛𝜃 =

1

2(𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃) =

1

2(𝑠𝑖𝑛𝜃 −

1

2(𝑠𝑖𝑛3𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃))

𝑠𝑖𝑛3(𝜃) =1

2𝑠𝑖𝑛𝜃 −

1

4𝑠𝑖𝑛3𝜃 +

1

4𝑠𝑖𝑛𝜃 =

3

4𝑠𝑖𝑛𝜃 −

1

4𝑠𝑖𝑛3𝜃

Тогда (7):

𝜕2𝑢1𝜕𝜏0

2+ 𝑢1 = 𝐴

3(𝜏1)3

4sin(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) −𝐴

3(𝜏1)1

4𝑠𝑖𝑛3(𝜏0 + 𝜑(𝜏1))

−𝑢03 + 2𝐴′(𝜏1) sin(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) + 2𝜑′(𝜏1)𝐴(𝜏1)cos(𝜏0 + 𝜑(𝜏1))

Для того чтобы резонанса не происходило, необходимо избавиться от членов sin(𝜏0 +

𝜑(𝜏1)) и 𝑐𝑜𝑠(𝜏0 + 𝜑(𝜏1)) (той же частоты, что и гармонический осциллятор).

Тогда получим следующую систему:

{3

4𝐴3(𝜏1) + 2𝐴

′(𝜏1) = 0

𝜑′(𝜏1) = 0.

Решим её:

• 𝝋′(𝝉𝟏) = 𝟎

𝜑(𝜏1) = 𝜑0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (8)

• 𝟑

𝟒𝑨𝟑(𝝉𝟏) + 𝟐𝑨

′(𝝉𝟏) = 𝟎

3

4𝐴3 + 2

𝑑𝐴

𝑑𝜏1= 0

𝑑𝐴

𝑑𝜏1= −

3

8𝐴3

𝑑𝐴

𝐴3= −

3

8𝑑𝜏1

−1

2𝐴2= −

3

8𝜏1 + 𝐴0

𝐴2 =1

34 𝜏1 + 𝐴0

𝐴(𝜏1) = √1

3

4𝜏1+𝐴0

(9)

𝑢(𝜏0, 𝜏1) = √1

34 𝜏1 + 𝐴0

cos(𝜏0 + 𝜑(𝜏1))

Далее найдём 𝐴0 и 𝜑0:

Из Н.У. 𝑢(0) = 1, �̇�(0) = 0: ∀𝜀 ≪ 1

1 = 𝑢(0) = 𝑢0(0,0) + 𝜀𝑢1(0,0) + 𝑜(𝜀)

𝑢0(0,0) = 1

𝑢1(0,0) = 0

0 = �̇�(0) =𝜕𝑢0(0,0)

𝜕𝜏0+ 𝜀(

𝜕𝑢0(0,0)

𝜕𝜏1+𝜕𝑢1(0,0)

𝜕𝜏0) + 𝑜(𝜀)

𝜕𝑢0(0,0)

𝜕𝜏0= 0

𝜕𝑢0(0,0)

𝜕𝜏1+𝜕𝑢1(0,0)

𝜕𝜏0= 0

Решая систему:

{

𝑢(0) = √1

𝐴0cos(𝜑0) = 1

�̇�(0) = −√1

𝐴0sin(𝜑0) = 0

Получим (8) и (9): 𝐴0 = 1, 𝜑0 = 0

Окончательное решение:

𝑢(𝑡) = √1

34 𝜀𝑡 + 1

cos 𝑡

Построение в Matlab

Построим графики численного и аналитического решения.

�̈� + 𝑢 + 𝜀(�̇�3 + 𝑢3) = 0

𝑢(0) = 1

�̇�(0) = 0

{�̇� = 𝑣

�̇� = −𝑓(𝑢) = −(𝑢 + 𝜀(�̇�2 + 𝑢3)�̇�)

function f=fun(t,y)

eps = 0.1;

f= [y(2); - y(1) - eps*(y(2)^2+y(1)^3)*y(2)]; % u' = v; v' = -(u+eps*((u')^2+u^3)u')

end

ε=0.1

[t, y]=ode45('fun', [0 50], [1 0]);

plot(t, y(:,1), 'r-');

grid on, hold on, eps=0.1;

u=1./sqrt(3/4*eps*t + 1).*cos(t);

plot(t,u);

xlabel t, ylabel u

title('Численное и аналитическое решения для eps=0.1 ');

legend('Численное','Аналитическое');

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Численное решение для eps=0.1

t

u

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u

Аналитическое решение для eps=0.1

На большем промежутке по t:

При малом ε графики решений совпадают.

Исследуем при больших ε.

ε=0.3

[t, y]=ode45('fun', [0 50], [1 0]);

plot(t, y(:,1), 'r-');

grid on, hold on, eps=0.3;

u=1./sqrt(3/4*eps*t + 1).*cos(t);

plot(t,u);

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

U

Численное и аналитическое решения для eps=0.1

Численное

Аналитическое

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u

Численное и аналитическое решения для eps=0.1

Численное

Аналитическое

xlabel t, ylabel u

title('Численное и аналитическое решения для eps=0.3');

legend('Численное','Аналитическое');

ε=0.5

[t, y]=ode45('fun', [0 50], [1 0]);

plot(t, y(:,1), 'r-');

grid on, hold on, eps=0.5;

u=1./sqrt(3/4*eps*t + 1).*cos(t);

plot(t,u);

xlabel t, ylabel u

title('Численное и аналитическое решения для eps=0.5');

legend('Численное','Аналитическое');

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u

Численное и аналитическое решения для eps=0.3

Численное

Аналитическое

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u

Численное и аналитическое решения для eps=0.5

Численное

Аналитическое

ε=0.7

[t, y]=ode45('fun', [0 50], [1 0]);

plot(t, y(:,1), 'r-');

grid on, hold on, eps=0.7;

u=1./sqrt(3/4*eps*t + 1).*cos(t);

plot(t,u);

xlabel t, ylabel u

title('Численное и аналитическое решения для eps=0.7');

legend('Численное','Аналитическое');

Вывод: с увеличением ε приближение работает хуже, точность асимптотического

решения уменьшается.

Типичные контрольные вопросы:

0. Просьба запустить скрипт и убедиться что он работает. Провести расчет для ε=1.

1. Как выглядело бы асимптотическое решение, если не исключать секулярные члены?

2. Имеется ли асимптотическое значение огибающей полученных решений?

Соответствует ли численное счет этому асимптотическому значению?

3. Что изменилось бы в структуре решения, если бы нелинейный консервативный член

был бы опущен и рассматривалось уравнение 𝑢′′ + 𝑢 + 𝜀 (𝑢′)3 = 0, 𝜀 ≪ 1 ?

4. Как можно было бы попытаться описать сдвиг асимптотического решения

относительно численного, который имеет место на последнем графике? Какому члену в

следующем порядке асимптотического разложения он мог бы соответствовать?

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u

Численное и аналитическое решения для eps=0.7

Численное

Аналитическое