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15/11/13 O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX
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O Teorema da Incompletude de Gödel: A DescobertaMatemática Nº 1 do Século XX
Em 1931, Kurt Gödel desferiu um golpe devastador nos matemáticos de sua época
Em 1931, o jovem matemático Kurt Gödel fez uma descoberta-marco, tão poderosa quanto qualquer coisaque Albert Einstein desenvolveu.
A descoberta de Gödel não se aplica somente à matemática, mas literalmente a todos os ramos da ciência,
lógica e conhecimento humano. Ela tem verdadeiramente implicações que abalam a Terra.
Estranhamente, poucas pessoas sabem qualquer coisa sobre ela.
Permita-me contar-lhe a história.
Os matemáticos adoram provas. Eles estavam furiosos e chateados por séculos, porque eles eram incapazes
de PROVAR algumas das coisas que eles sabiam que era verdade.
Por exemplo: se você estudou geometria no colégio, você fez os exercícios onde você prova todos os tipos
de coisas sobre os triângulos, baseado em uma lista de teoremas.
Aquele livro de geometria do colégio é feito sobre os cinco postulados de Euclides. Todos sabem que os
postulados são verdadeiros, mas em 2500 anos ninguém imaginou um meio de prová-los.
Sim, parece sim perfeitamente razoável que uma linha possa ser estendida infinitamente em ambas as
direções, mas ninguém tem sido capaz de PROVAR isso. Nós só podemos demonstrar que eles são um
conjunto de 5 suposições razoáveis e de fato necessárias.
Grandes gênios matemáticos estavam frustrados por mais de 2000 anos porque eles não podiam provar
todos os seus teoremas. Havia muitas coisas que eram “obviamente” verdade, mas ninguém conseguia
imaginar um meio de prová-los.
No início dos anos 1900, entretanto, um tremendo senso de otimismo começou a crescer nos círculos
matemáticos. Os matemáticos mais brilhantes do mundo (como Bertrand Russell, David Hilbert e Ludwig
Wittgenstein) estavam convencidos que estavam rapidamente se aproximando de uma síntese final.
Uma “Teoria de Tudo” unificada, que finalmente amarraria todos os pontos soltos. A matemática seria
completa, à prova de balas, hermética, triunfante.
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Expresso em Linguagem Formal:
O teorema de Gödel diz: “Qualquer
teoria efetivamente gerada capaz deexpressar aritmética elementar não
pode ser tanto consistente quantocompleta. Em particular, para
qualquer teoria formal consistente eefetivamente gerada que prova certas
verdades aritméticas básicas, existeuma afirmação aritmética que é
verdadeira, mas que não pode serprovada em teoria.”
A Tese de Church-Turing diz que umsistema físico pode expressar
aritmética elementar assim como umhumano pode, e que a aritmética de
uma Máquina de Turing (umcomputador) não pode ser provado
dentro do sistema e é igualmentesujeito à incompletude.
Qualquer sistema físico sujeito a
medição é capaz de expressararitmética elementar. (Em outras
palavras, crianças podem fazermatemática contando em seus dedos,uma água fluindo para um balde faz
integração e sistemas físicos sempredão a resposta certa.)
Portanto, o Universo é capaz de
expressar aritmética elementar e,tanto como a própria matemática e
uma máquina de Turing, é incompleto.
Em 1931, este jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, publicou um artigo que de uma vez por todasPROVOU que uma única Teoria de Tudo é realmente impossível.
A descoberta de Gödel foi chamada de “O Teorema da Incompletude”.
Se você me der alguns minutos, eu lhe explicarei o que ele diz, como Gödel o descobriu e o que ele significa– em português simples e direto que qualquer um pode entender.
O Teorema da Incompletude de Gödel diz:
“Qualquer coisa em que você pode desenhar um círculo ao redor não pode ser explicada por simesma sem se referir a algo fora do círculo – algo que você tem que assumir mas não pode
provar.”
Você pode desenhar um círculo ao redor de todos os conceitos no
seu livro de geometria do colégio. Mas eles são todos feitos sobre
os 5 postulados de Euclides que claramente são verdade mas quenão podem ser provados. Esses 5 postulados estão fora do livro,fora do círculo.
Você pode desenhar um círculo ao redor de uma bicicleta, mas aexistência dessa bicicleta depende de uma fábrica que está fora docírculo. A bicicleta não pode explicar a si mesma.
Gödel provou que há SEMPRE mais coisas que são
verdadeiras do que você pode provar. Qualquer sistema delógica ou números que os matemáticos possam trazer sempre se
baseará em pelo menos umas poucas suposições que não podemser provadas.
O Teorema da Incompletude de Gödel não se aplica somente à
matemática, mas a tudo que está sujeito às leis da lógica. Aincompletude é verdade na matemática, e é igualmente verdade na
ciência, na linguagem ou na filosofia.
E, se o Universo é matemático e lógico, a Incompletude também seaplica ao Universo.
Gödel criou sua prova começando com o “Paradoxo do
Mentiroso” — que é a afirmação:
“Eu estou mentindo.”
“Eu estou mentindo” é autocontraditória, já que, se é verdade, eunão sou um mentiroso, e, se é falsa, eu sou um mentiroso, então éverdade.
Então Gödel, em um dos movimentos mais engenhosos da históriada matemática, converteu o Paradoxo do Mentiroso em umafórmula matemática. Ele provou que qualquer afirmação requer um
observador externo.
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Silogismo:
1. Todos os sistemas computacionaisnão-triviais são incompletos.
2. O Universo é um sistema
computacional não-trivial.
3. Portanto, o Universo é incompleto.
Nenhuma afirmação sozinha pode completamente provar a simesma como verdadeira.
O seu Teorema da Incompletude foi um golpe devastador no
“positivismo” da época. Gödel provou o seu teorema preto nobranco, e ninguém podia discutir com a sua lógica.
Ainda assim, alguns de seus amigos matemáticos foram para o
túmulo negando, acreditando que de alguma forma ou outra Gödeldeveria certamente estar errado.
Ele não estava errado. Era mesmo verdade. Existem mais coisas que são verdade do que você pode provar.
Uma “teoria de tudo” – seja na matemática, na física ou na filosofia – nunca será encontrada. Porque é
impossível.
OK, o que isso então realmente significa? Por que isso é superimportante, e não apenas um factoide geek?
Isso é o que significa:
Fé e Razão não são inimigas. Na verdade, o exato oposto é verdade! Uma é absolutamentenecessária para que a outra exista. Todo o raciocínio ao final leva de volta à fé em algo que você não
pode provar.Todos os sistemas fechados dependem de algo fora do sistema.
Você pode sempre desenhar um círculo maior, mas existirá sempre algo fora do círculo.O raciocínio de um círculo maior para um menor é “raciocínio dedutivo.”
Exemplo de um raciocínio dedutivo:
1. Todos os homens são mortais2. Sócrates é um homem3. Portanto, Sócrates é mortal
O raciocínio de um círculo menor para um maior é “raciocínio indutivo.”
Exemplos de raciocínio indutivo:
1. Todos os homens que conheço são mortais
2. Portanto, todos os homens são mortais
1. Quando eu largo objetos, eles caem
2. Portanto, há uma lei da gravidade que governa objetos de caem
Note que quando você se move do círculo menor para o maior, você tem que fazer suposições que nãopode provar 100%.
Por exemplo: você não pode PROVAR que a gravidade sempre será consistente todas as vezes. Você só
pode observar que ela é consistentemente verdadeira toda vez. Você não pode provar que o Universo éracional. Você só pode observar que fórmulas matemáticas como E = mc² parecem sim descrever
perfeitamente o que o Universo faz.
Praticamente todas as leis científicas estão baseadas no raciocínio indutivo. Estas leis apoiam-se em umaafirmação de que o Universo é lógico e baseado em leis fixas que podem ser descobertas.
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Você não pode PROVAR isto. (Você não pode provar que o sol virá amanhã de manhã também.) Você
literalmente tem que usar a fé. Na verdade, a maioria das pessoas não sabem que além do círculo da ciênciaexiste um círculo da filosofia. A ciência está baseada em suposições filosóficas que você não pode provar
cientificamente. Realmente, o método científico não pode provar, só pode inferir.
(A ciência originalmente surgiu da ideia de que Deus fez um Universo ordenado que observa leis fixas e quepodem ser descobertas.)
Agora por favor considere o que acontece quando desenhamos o maior círculo possível – ao redorde todo o Universo. (Se existem múltiplos universos, nós estamos desenhando um círculo ao redor deles
todos também.):
Tem que existir algo fora desse círculo. Algo que nós temos que assumir mas não podemosprovar.
O Universo como nós conhecemos é finito – matéria finita, energia finita, espaço finito e 13,7
bilhões de anos de idade.
O Universo é matemático. Qualquer sistema físico sujeito a medição executa a aritmética. (Vocênão precisa conhecer matemática para fazer uma adição – você pode usar um ábaco em vez disso e
ele lhe dará a resposta certa todas as vezes.)
O Universo (toda a matéria, energia, espaço e tempo) não pode explicar a si mesmo.
O que quer que esteja fora do maior círculo não tem limites. Por definição, não é possíveldesenhar um círculo ao redor dele.
Se desenharmos um círculo ao redor de toda a matéria, energia, espaço e tempo e aplicar o teorema
de Gödel, então saberemos que o que está fora desse círculo não é matéria, não é energia, não éespaço e não é tempo. É imaterial.
O que quer que esteja fora do maior círculo não é um sistema – i.e. não é um conjunto de
partes. De outra forma poderíamos desenhar um círculo ao redor delas. A coisa fora do maior círculo
é indivisível.O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada, porque você sempre
pode desenhar um círculo ao redor de um efeito.
Nós podemos aplicar o mesmo raciocínio indutivo à origem da informação:
Na história do Universo, nós também podemos ver a introdução da informação, cerca de 3,5
bilhões de anos atrás. Ela veio na forma do código genético, que é simbólico e imaterial.
A informação teve que vir de fora, já que a informação não é conhecida por ser uma propriedadeinerente da matéria, energia, espaço ou tempo.
Todos os códigos cuja origem conhecemos são projetados por seres conscientes.
Portanto, o que quer que esteja fora do círculo maior é um ser consciente.
Em outras palavras, quando adicionamos a informação à equação, concluímos que a coisa fora do maior
círculo não só é infinita e imaterial, como também é consciente.
Não é interessante como todas estas coisas soam suspeitamente similar a como os teólogos têm descrito
Deus por milhares de anos?
Então é dificilmente surpreendente que entre 80 e 90% das pessoas do mundo acreditam em algum conceitode Deus. Sim, é intuitivo para a maioria do pessoal. Mas o teorema de Gödel indica que é também
supremamente lógico. De fato, é a única posição que alguém pode tomar e ficar nos domínios da razão e da
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lógica.
A pessoa que orgulhosamente proclama: “Você é um homem da fé, mas eu sou um homem da ciência” não
entende as raízes da ciência e a natureza do conhecimento!
Interessantemente à parte…
Se você visitar o maior website ateu do mundo, Infidels, na página inicial você encontrará a seguinte
declaração:
“O Naturalismo é a hipótese que o mundo natural é um sistema fechado, o que significa que nada
que não seja parte do mundo natural o afeta.”
Se você conhece o teorema de Gödel, você sabe que todos os sistemas lógicos devem contar com algo fora
do sistema. Então, de acordo com o Teorema da Incompletude de Gödel, o Infidels não pode estar correto.
Se o Universo é lógico, ele tem uma causa externa.
Assim, o ateísmo viola as leis a razão e da lógica.
O Teorema da Incompletude de Gödel prova definitivamente que a ciência não pode jamais
preencher suas próprias lacunas. Nós não temos escolha a não ser procurar fora da ciência porrespostas.
A Incompletude do Universo não é a prova que Deus existe. Mas… É a prova de, para se construir um
modelo racional e científico do Universo, a crença em Deus não é somente 100% lógica… ela é necessária.
Os 5 postulados de Euclides não podem ser formalmente provados e Deus também não pode ser
formalmente provado. Mas… assim como você não pode construir um sistema coerente de geometria sem
os 5 postulados de Euclides, você também não pode construir uma descrição coerente do Universo sem umaPrimeira Causa e uma Fonte de ordem.
Assim, fé e ciência não são inimigas, mas aliadas. Tem sido verdade por centenas de anos, mas em 1931este jovem magricelo matemático austríaco chamado Kurt Gödel provou.
Em nenhuma época na história da humanidade a fé em Deus tem sido mais razoável, mais lógica ou mais
amplamente apoiada pela ciência e pela matemática.
Perry Marshall (traduzido para o português por Mateus Scherer Cardoso)
“Sem matemática nós não podemos penetrar profundamente na filosofia.Sem filosofia nós não podemos penetrar profundamente na matemática.
Sem ambas nós não podemos penetrar profundamente em nada.”
Leibniz
“A matemática é a linguagem pela qual Deus escreveu o Universo”
Galileu
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Leitura adicional:
“Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel” (em inglês) por Rebecca Goldstein – biografia
fantástica e uma grande leitura
Uma coleção de citações e notas sobre a prova de Gödel’s da Miskatonic University Press (em inglês)
A descrição formal do Teorema da Incompletude de Gödel’s na Wikipédia (em inglês)
Ciência vs. Fé na CoffeehouseTheology.com (em inglês)
Teoria da Informação: “If you can read this, I can prove God exists” (em inglês)
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« The “God of the Gaps” Paradox
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One Comment
Kurt Gödel e o Teorema da Incompletude: A descoberta Matemática Nº 1 do Século XX e suas relações
com fé e razão - Blog do Yuri says:
June 11, 2012 at 3:37 pm
[...] artigo de Perry Marshall (traduzido ao português por Mateus Scherer Cardoso) me causou um
deslumbramento tão grande que decidi publicá-lo aqui por inteiro. Eu o encontrei [...]
Log in to ReplyComment Page 1 of 1 1
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dave12350 { Looking at the Big Picture, and from a slightly different angle... Perry,you must be on to something big... because... } – Oct 04, 5:09 PM
A New Theory of Evolution (338)
Richard Morgan { radomir : Thank you for that excellent and very well-writtenpaper. http://www.evol utionisprogramm ing.com/ } – Nov 11, 4:58 PM
radomir { Hi Perry, I run into your writing by looking for the reviews ofProf.Shapiro's new book on the web. I... } – Nov 10, 4:10 PM
"Sitting on the Fence" (33)
iwtk { If everything in nature obeys the laws of physics (and I believe it does), howare you making a difference... } – Oct 15, 2:29 AM
James Shapiro Video: Evolution in the 21st Century (5)
kenkoskinen { It was a good presentation but I say little explicit about the howmechanics has given ways to informatics was... } – Oct 04, 11:39 AM
The Iron Curtain of 2010 (108)
Johan { ?Hi Perry, I agree with you , biology reached another Iron Curtain. Theprevious one was before the mid 19TH... } – Apr 25, 11:34 AM
15/11/13 O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX
www.cosmicfingerprints.com/o-teorema-da-incompletude-de-godel-a-descoberta-matematica-nº-1-do-seculo-xx/ 12/13
Johan { ?Cobalt says ?The same old argument. It?s like pointing to a top of the
range racing car and asking how... } – Apr 25, 8:12 AM
GMEstes1 { The book is interesting,I'm in chapter 2 now. I almost put the bookdown after page 27 because it implies... } – Jan 08, 10:25 AM
What Craig Venter's Synthetic Cell Says About the Origins Debate (19)
Johan { Hi Perry and Patrik. Patrik said :"Furthermore, the host cell not only
accepted useless synthetic chromosome. It also threw away... } – Apr 10, 8:09 PM
Johan { ?IS THE CRRAIG VENTER INSTITUTES?S SYNTHETIC CELLREALLY A SYNTHETIC CELL? ...or was it a synthetic chromosome? The scientists
at... } – Apr 10, 8:18 AMThe New Atheism, Genesis 2 & Symbiogenesis (10)
Carbon-based Machine { I've been a member here for I while, and I'm intrigued by
Perry Marshall's intelligent design theory. I'm a science... } – Feb 24, 11:07 PMThe most famous, passionately argued, longest-running debate (240)
kevinmsm22 { Hello Perry, I have been reading your blogs for perhaps a year now,
and was at first thoroughly convinced in... } – Jan 26, 8:01 PMThe Purpose of the Appendix: New Research (1)
BALIYU { ALL YOU, WESTERNERS ARE JUST WASTING YOUR TIME,I`M FROM NIGERIA I`VE SEEN BLACK MAGIC AT WORK.........HO W CANYOU EXPLAIN... } – Jan 19, 3:02 AM
New Scientific Evidence for the Existence of God (274)
GMEstes1 { Recent finding in Israel have uncovered a tomb with the remains of
Jesus of Mary and Joseph. I find this... } – Dec 26, 11:23 AM
karri { Jesus just exhumed himself of his future karma while in the body and soulfullysought his father on the cross,... } – Dec 13, 4:54 AM
Talking Purpose interview with Michelle Vandepas (2)
Michelle Vandepas { Perry I loved having you on the show and the opportunity toask questions. I've been thinking and wondering about... } – Jul 01, 5:39 PM
Why the Big Bang was the most precisely planned event in all of history (312)
pankaj66866 { Not Neccessarily ?. First of all its highly unlikely for a multivere toexist but that does not mean that... } – Apr 28, 11:48 AM
Carbon-based Machine { Present-day atheists are often times postulating that aquantum fluctuation created our universe. Well, the problem with that is that... } – Apr
27, 8:09 PMOrigin of life debate, the English Way (35)
kimkab { I would like to say if you believe that nature is an expression of infinite
super intelligent being of whom... } – Apr 18, 9:10 AM
Imer { Hey Perry, I listen to the debate and it kinda had a taste of stalemate but you
15/11/13 O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX
www.cosmicfingerprints.com/o-teorema-da-incompletude-de-godel-a-descoberta-matematica-nº-1-do-seculo-xx/ 13/13
with more pieces... } – Mar 19, 1:09 PM
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