O procedimento informático de interpretação global no esboço

Educ. Matem. Pesq., So Paulo, v.12, n.3, pp.529-547, 2010

O procedimento informtico de interpretao global no esboo

de curvas no ensino universitrio1

The informatics conversion procedure of global interpretation

of curve sketching in higher education

_______________________________

MERICLES THADEU MORETTI2

LEARCINO DOS SANTOS LUIZ3

Resumo:

Duval assinala a importncia, para a aprendizagem matemtica no esboo de curvas, o

procedimento que promove a interpretao global de propriedades figurais. Assinala

ainda que a converso entre as formas grfica e simblica da funo deve ser efetuada

nos dois sentidos. Para a maioria das funes que so tratadas no ensino universitrio,

a converso nos dois sentidos se torna impraticvel. Para essas funes, discutiremos

neste trabalho um procedimento informtico de converso que se aproxima daquele

preconizado por Duval.

Palavras chave: Esboo de curvas; Registros de representao semitica;

Procedimento informtico de converso; Interpretao de curvas. Ensino universitrio.

Abstract

Duval points out the relevance, for mathematical learning of curve sketching, of the

procedure that promotes global interpretation of figure properties. He also points out

that the conversion between graphical and symbolic forms of functions must be made in

both directions. For most functions that are treated in higher education, the conversion

in two directions turns to be impractical. For those functions we discuss an informatics

conversion procedure that approaches the one proposed by Duval.

Keywords: Curve sketching. Registers of semiotic representation; Interpretation of

curves; Higher education.

Introduo

A interpretao de curva uma atividade importante em matemtica na compreenso de

fenmenos. Essa curva pode ser resultante de algum problema de otimizao, por

exemplo, como veremos mais adiante.

Alm da forma lingustica e numrica (tabela de pontos) das funes de uma varivel

real, interessa-nos neste trabalho ainda as formas nos seguintes registros:

- de representao simblica:

1 Parte deste artigo so reflexes da dissertao de mestrado de Luiz (2010).

2 PPGECT/MTM/UFSC - Apoio Capes e CNPq. Email: [email protected]

3 Bolsista da Capes no perodo de realizao do mestrado no PPGECT.

email: [email protected]

530 Educ. Matem. Pesq., So Paulo, v.12, n.3, pp.529-547, 2010

BA:y

y = y(x)

sendo A e B subconjuntos dos reais e y(x) a expresso analtica da funo y;

- de representao grfica que a funo representada por uma curva no plano

cartesiano (ou em outro sistema de coordenadas).

A passagem de uma funo na forma de representao simblica para a representao

grfica exige a operao de converso. Duval (1988B) faz referncia aos tipos distintos

de procedimentos nas converses entre representaes de uma mesma funo. Um

deles, que o que nos interessa aqui, o procedimento de interpretao global das

propriedades figurais, em que o conjunto traado/eixo forma uma imagem que

representa um objeto descrito por uma expresso analtica que permite que se

identifiquem as modificaes possveis conjuntamente na imagem e na expresso

analtica. Como diz Duval (1988B, p. 237), "neste tipo de tratamento no estamos em

presena da associao um ponto um par de nmeros, mas na associao varivel

visual da representao unidade significativa da escrita algbrica.

Outro procedimento que Duval no faz referncia especificamente o procedimento

informtico em que a forma grfica da funo obtida com o uso de programas

computacionais que cada vez mais se tornam presentes nos meios educacionais. Em

alguns pases, como por exemplo, em Portugal, o uso da calculadora grfica

obrigatrio, No tema funes`, presente ao longo de trs anos do ensino secundrio, o

programa [de matemtica] refere que os alunos devem abordar as diferentes

representaes de uma funo: a verbal, a numrica, a algbrica e a grfica.

(ROMANO e PONTE, 2008, p. 183).

O modo de efetuar o grfico por programas informticos em geral tambm o

procedimento por pontos. Diferentemente da quantidade de pontos calculados do modo

manual, neste caso, muitos pontos so obtidos, localizados no plano e unidos para

formar a curva. O que o usurio v simplesmente, quando no h problemas em

situaes limites no clculo dos pontos, o traado da curva. As vantagens neste modo

de converso so diversas como, por exemplo, a importncia da rapidez na visualizao

da curva, a rapidez tambm nos casos de mudanas de escalas, de parmetros. Enfim,

essa rapidez com que a curva pode ser mostrada traz enormes vantagens permitindo

tcnicas de ensino com uso das novas tecnologias.

Educ. Matem. Pesq., So Paulo, v.12, n.3 pp.529-547, 2010 531

O que discutiremos neste artigo o procedimento de interpretao global das

propriedades figurais aliado ao procedimento automtico informtico. Chamaremos este

procedimento de informtico de interpretao global.

1. O procedimento informtico de interpretao global

Em Moretti, Ferraz e Ferreira (2008, p.110) um esquema ilustra o trnsito entre funo

(ou equao) nas representaes simblica e grfica. A este esquema, acrescentamos o

caminho informtico conforme mostramos na Figura 1 a seguir.

FIGURA 1 Esquema do procedimento informtico de interpretao global

A converso no sentido 14, associada simultaneamente converso no sentido 41,

pode ocorrer para grupos muito restritos de funes, entre os quais, so exemplos as

retas em Duval (1988B), as parbolas em Moretti (2003) e diversas outras curvas que

aparecem no ensino mdio em Silva (2008).

Duval (1988A, 1988B, 1995, 1996, 2003) preconiza como fundamental para a

aprendizagem matemtica o uso de ao menos dois registros e que a converso entre

registros precisa seguir uma mo dupla, isto para qualquer que seja a atividade em

matemtica. Esta autor quando faz este tipo de advertncia preocupa-se com a

aprendizagem no ensino bsico e apresenta em Duval (1988B, p.240) o seguinte quadro


para o caso da converso entre as representaes grficas e simblicas da funo

linear/afim:

Tabela 1: Relao entre as unidades simblicas e visuais da funo linear/afim.

Variveis visuais

Valores

Unidades simblicas correspondentes

Sentido da inclinao

ascendente

descendente

coeficiente > 0 ausncia do smbolo -

coeficiente < 0 presena do smbolo -

ngulo com os eixos

partio simtrica

ngulo menor (45o)

ngulo maior (45o)

coef. var. = 1 no tem coef. escrito

coef. var. < 1

coef. var. > 1

Posio sobre o eixo

corta acima

corta abaixo

corta na origem

acrescenta-se uma constante sinal +

subtrai-se uma constante sinal -

no tem correo aditiva Fonte: Duval (1988B, p.240)

Na Tabela 1 podemos perceber a relao entre as modificaes nas expresses

algbricas e as modificaes na figura e vice-versa. Para a funo y = ax + b, o

coeficiente independente b responsvel pela posio da reta no eixo das ordenadas (4a

linha da tabela), o coeficiente angular a responsvel pelo ngulo que a reta forma com

os eixos (2a e 3

a linhas da tabela).

fcil deduzir que mudanas nesses coeficientes so responsveis por mudanas da reta

no plano cartesiano. Deste modo, a forma da expresso da funo linear/afim (valores

dos coeficientes a e b) importante por conta da relao j destacada que h entre os

valores dos coeficientes e a posio da reta no plano cartesiano e vice-versa. No se

pode dizer o mesmo, para o caso, por exemplo, da funo polinomial de segundo grau, o

estudo das relaes entre os coeficientes e as posies das parbolas no plano cartesiano

invivel por conta das combinaes possveis. Para o estudo dessas curvas, Moretti

(2003) preferiu outra via, a translao tendo por base parbolas com vrtice na origem

do plano cartesiano.

No ensino universitrio a possibilidade de procedimento de converso que permite

acompanhar modificaes simultneas entre os registros de representao simblica e

grfica praticamente inexistente dada a variedade e complexidade das funes que so

estudadas. Por conta disto, a converso direta no sentido da representao grfica para a

representao simblica no tem tanta importncia e ser necessrio, ento buscar outro

caminho.

A converso que mais se ajusta para este caso o sentido de 14 no modo informtico.

A volta se d levando em conta as unidades bsicas grficas e as respectivas unidades


bsicas simblicas, ou seja, as direes 4321 (ver Figura 1). Neste nvel de

ensino a importncia da funo em sua forma simblica se d pelo fato de que a partir

dela que elementos do clculo (limite, assntota, derivada, valor da funo em um ponto,

domnio, etc) podem ser implementados (tratamentos na direo 21). A funo em

sua forma grfica permite visualizar as unidades bsicas grficas que podem ser

relacionadas s unidades bsicas simblicas. Assim, para o exemplo a seguir, a unidade

bsica grfica (Tabela 13 do Anexo) destacada de alguma funo em sua forma grfica

permite que se suspeite que tal funo y possua um mnimo na vizinhana de 0x (43).

FIGURA 2 Unidade bsica grfica de um mnimo.

Tal suspeita deve ser confirmada pelos tratamentos do clculo na funo em sua forma

simblica, ou seja, verificar, por exemplo, que 0y 'x ) 0 e 0y''(x ) 0 e com isso os

percursos 14 e 4321 se podem ser completados para esta unidade bsica

grfica. Do mesmo modo que fizemos para esta unidade grfica bsica, podemos faz-

lo, por exemplo, para a unidade grfica seguinte (Tabela 7 do Anexo):

FIGURA 3 Unidade bsica grfica de uma assntota vertical.

Uma vez que praticamente no temos a possibilidade de fazer a relao direta entre a

representao grfica e simblica da funo, estudamos ento a relao entre as

representaes bsicas grficas e bsicas simblicas. Este modo de proceder permite

que nos mantenhamos o mais prximo possvel da perspectiva preconizada por Duval

de interpretao global de propriedades figurais: a interpretao global ter por base as

unidades bsicas grficas significativas da curva. Em Moretti, Ferraz e Ferreira (2008)

h um levantamento diversas unidades bsicas grficas, bsicas lingusticas e bsicas

simblicas associadas que aparecem no clculo e que as reproduzimos com algumas

modificaes que as tornam mais claras no Anexo deste texto.


O procedimento informtico de interpretao global parte da converso no sentido

direto 14 por meio de ajuda de algum programa de esboo de curva. Neste trabalho

utilizamos o DERIVE4 em sua verso 6 que alm de esboar curvas e superfcies,

tambm permite o calculo simblico, de grande utilidade para determinar as unidades

bsicas simblicas associadas s unidades bsicas grficas.

Descreveremos a seguir parte da atividade tratada em Luiz (2010) com 62 alunos em

duas turmas de engenharia em 2009 na UFSC que a desenvolvem em duplas na

disciplina de Clculo A5 (para maiores detalhes ver Luiz (2010)).

Uma lata cilndrica fechada deve conter 1 litro (1000cm3) de lquido. Como

poderamos escolher a altura e o raio para minimizar a quantidade de material

usado na confeco da lata?

2

cV r h

2

cA r

a) Encontre uma funo que represente o problema proposto;

b) Crie o grfico da funo do item (a) utilizando o DERIVE, ajuste suas escalas

para visualizao adequada da curva e copie o esboo dessa curva no espao

abaixo.

Ainda na mesma questo, uma tabela fora fornecida para que os alunos pudessem

identificar as unidades bsicas grficas e associ-las s unidades bsicas simblicas.

Para o item (a), os alunos chegaram sem muita dificuldade expresso seguinte da

funo 2A(r) 2 r 2000 r .

4 Derive um sistema de lgebra computacional, desenvolvido como um sucessora muMATH pelo Soft Warehouse em Honolulu. Agora propriedade da Texas Instruments. Uma verso

free trial deste software pode ser obtida no stio da Texas Instruments. 5 Nesta disciplina so tratados os seguintes assuntos: Funo de uma varivel real. Limite e

continuidade. Derivada. Aplicaes da derivada. Integral e aplicaes. A atividade ocorreu

dentro do captulo de aplicaes da derivada (esboo de curvas e problemas de otimizao).


A primeira tentativa de visualizao da curva A(r) com o DERIVE causou um pouco de

perplexidade nos alunos uma vez que nada aparecia no sistema de eixos desenhado no

monitor dos computadores que eles estavam usando em duplas na sala de aula. Foi

preciso fazer reajustes nas escalas6 e depois de algum tempo muitas duplas de alunos

chegaram ao grfico a seguir:

FIGURA 4. Esboo da curva2A(r) 2 r 2000 r no DERIVE 6.

Das 31 duplas que realizaram a atividade apenas 3 no conseguiram completar a tabela

de unidades bsicas adequadamente: uma no identificou o ponto de mnimo presente

no grfico e outras duas localizaram uma assntota horizontal.

Neste exerccio podemos destacar inicialmente um mnimo relativo aproximadamente

em r = 5,4 e uma assntota vertical em r = 0 (o DERIVE fornece as coordenadas do

cursor no plano da curva desenhada e por isso possvel obter um valor aproximado do

ponto que se quer). A sequncia de clculo efetuada no DERIVE a seguir confirma a

6 Aparentemente o DERIVE utiliza a escala 1:1 quando o mdulo de traado de curva acionado pela

primeira vez. Se a escala modificada e o traado de uma nova curva solicitado, o DERIVE utiliza a

escala que est na memria, a mesma que foi utilizada para traar uma curva anterior. Em cada vez que o

programa carregado a escala utilizada 1:1. Modificaes de escala no DERIVE podem ser feitas sem

dificuldades.


existncia deste mnimo no ponto (5,4; 553,6) e uma reta assinttica em r = 0. Uma vez

obtido r, a altura h calculada pela relao 2h 1000 ( r ) .

FIGURA 5: Sequncia de clculo efetuada no DERIVE

Temos na Figura 5 a sequncia seguinte:

- em #1 a expresso da funo A(r);

- em #3 a expresso da derivada de A(r);

- em #5 a derivada de A(r) tem uma raiz real r = 5,4;

- em #7 a expresso da derivada de segunda ordem de A(r);

- em #9 valor obtido quando r = 5,4 substitudo na expresso da derivada de

segunda ordem de A(r). o teste para verificar a natureza do ponto cuja

abscissa r = 5,4;

- em #10 e #11confirmamos que A(r) possui uma assntota vertical em r = 0.

Observamos uma grande atividade intelectual durante o desenrolar da atividade e as

discusses nas duplas mostraram-se muito animadas e positivas. Percebemos tambm


que alguns alunos que demonstravam mais dificuldades conseguiam com as discusses

progredir na atividade e procurar compreender os conceitos trabalhados.

Para se ter uma ideia de que os alunos acharam sobre as atividades desenvolvidas, Luiz

(2010, p.112) solicitou que eles citassem pontos positivos e negativos da atividade

proposta.

Em geral as respostas a esta solicitao foram bastante positivas. Duas frases do uma

ideia do que os alunos achavam:

Muito mais prtico e til, pois torna a aula mais rpida e mais prtica,

pois os alunos vem o que esto calculando no grfico. Isso facilita muito

na aprendizagem j que uma matria um pouco abstrata. Alm de que

uma tecnologia muito usada em todo o mundo e nos prepara para o futuro

profissional onde iremos usar softwares.

O uso do software bom, pois possvel realizar os clculos com

facilidade e ver como eles so representados nos grficos ajudando assim

a aprender melhor.

Em relao aos pontos negativos, o mais importante deles, levantado por vrios alunos,

surpreendente e pode ser resumido na frase a seguir de um deles:

Por um lado muito bom pela facilidade e economia de tempo com os

clculos muito complicados, mas tambm pode ser prejudicial em

matrias futuras se os professores no liberarem o uso.

Uma questo importante j apontada por Artigue (1991) o fato de que em uma aula

tradicional de Clculo, aspectos conceituais so reduzidos aos algoritmos que, por

excesso de algebrizao, escondem as ideias essenciais do Clculo. Isso foi apontado

por 35 alunos que consideram desnecessrio o tempo gasto com a resoluo de

exerccios demasiadamente longos e difceis.

Outras caractersticas da atividade tais como a possibilidade de discusso e trocas de

ideias, a aplicabilidade prtica dos problemas e a diminuio do estresse causado pelas

avaliaes de matemtica, foram tambm pontos positivos relatados por muitos alunos.

O uso do DERIVE deixou o aluno mais livre para a tarefa mais importante que a

interpretao e com isso responder questo proposta na atividade: para minimizar a

quantidade de material usado na confeco da lata devemos escolher r = 5,4cm e h =

10,8 cm.


Os valores de r e h sugerem que h = 2r, o que pode levar a uma nova indagao se de

fato esta relao exata. Com os clculos exatos no DERIVE o aluno pode concluir que

de fato h = 2r. Aqui ainda uma questo subsiste uma vez que a lata com que os clculos

foram efetuados deveria conter 1 litro de lquido: a relao entre h e r se mantm para

um volume V qualquer da lata? Essas e outras questes podem surgir a medida que as

atividades vo sendo desenvolvidas e com a ajuda de um programa computacional desta

natureza elas podem ser respondidas sem que para isto os clculos sejam penosos e

desestimulantes.

O caminho escolhido para o esboo desta curva foi o de obt-la no plano cartesiano

diretamente com o DERIVE: sentido 14. Em seguida, a partir da observao das

unidades bsicas grficas (43), as unidades bsicas simblicas correspondentes foram

obtidas por meio dos tratamentos de clculo efetuados no prprio DERIVE (321).

Deste modo o procedimento (4321) se completa.

A facilidade com que estes trnsitos podem ser efetuados com a ajuda deste programa,

propicia ao aluno mais tempo para que ele possa refletir no que de fato tem importncia:

reconhecer as unidades bsicas grficas e poder confirm-las associando-as s unidades

bsicas simblicas e com isso poder interpretar e responder de forma correta s questes

propostas.

Concluses

No ensino superior a converso da funo da representao simblica para a grfica

devido a maior complexidade das funes passa a ser efetuada por programas

computacionais. Esta tendncia assinalada por Machn (2008, p.51) referindo-se s

instituies europias quando diz que ... nos ltimos anos tem havido um

reconhecimento, por parte das instituies, da importncia e necessidade de integrar

diferentes ferramentas tecnolgicas aos estudos universitrios.

No Brasil observamos uma resistncia dos professores no uso da informtica, isso

mesmo no ensino superior, enquanto que em muitos pases h anos utilizam a

calculadora no ensino fundamental e a calculadora grfica no ensino mdio.

A frase apontada anteriormente no trabalho de Luiz (2010, p.112) como um dos

aspectos negativos no uso de tecnologias em aula de clculo do ensino universitrio

mostra bem em que p estamos no Brasil em relao ao uso da informtica: Por um

lado muito bom pela facilidade e economia de tempo com os clculos muito


complicados, mas tambm pode ser prejudicial em matrias futuras se os

professores no liberarem o uso. Enquanto isso:

- os PCN para o Ensino Fundamental do 1o e 2

o ciclos (Brasil, 1997, p. 46-48) e

3o e 4

o ciclos (Brasil, 1998, p. 43-46) recomendam o recurso s novas

tecnologias de comunicao no processo de ensino e aprendizagem de

matemtica j para este nvel de ensino;

- os Princpios e Normas para a Matemtica Escolar que um documento

elaborado por uma organizao mundial a National Council of Teachers of

Mathematics NCTM empenhada na melhoria da aprendizagem matemtica escolar para os 12 primeiros anos de escolaridade descrevem, como um dos seis

princpios para uma educao matemtica de elevada qualidade, o princpio

da tecnologia (NCTM, 2008, p. 11, 26-29): a tecnologia melhora a

aprendizagem; a tecnologia apia um ensino eficaz e; a tecnologia influencia a

matemtica que ensinada.

Neste texto apresentamos uma possibilidade de trnsito entre as representaes

simblicas e grficas de funes de modo que a interpretao global possa ser mantida.

Para isto, o uso de elementos do clculo imprescindvel, so esses elementos que iro

dar s formas bsicas da curva, formas essas que denominamos unidades bsicas

grficas. A interpretao de curvas para o ensino superior passa necessariamente pelo

estudo dessas unidades bsicas grficas que compem a curva. No exemplo tratado

anteriormente a curva 2A(r) 2 r 2000 r , para r > 0, uma composio das formas

bsicas grficas: um mnimo relativo no ponto (5,4; 553,6) e a assntota horizontal r = 0.

Como sabemos que h um mnimo ou assntota? A relao com as unidades bsicas

simblicas com os tratamentos do clculo que iro dar a resposta a esta questo. O

grfico e os tratamentos de clculo podem ser facilmente feitos em um programa

computacional e com isso deixar o aluno com mais tempo livre para a tarefa mais

importante que a interpretao e com isso responder com mais segurana a questo

proposta na atividade.

Os processos que desenvolvemos em Moretti, Ferraz e Ferreira (2008) e Luiz (2010),

completados neste texto, tratam dessas unidades bsicas, ora percebidas globalmente na

curva, ora destacadas e relacionadas com as unidades bsicas simblicas. este o

caminho que propomos para o ensino universitrio com a ajuda de algum programa que

possibilite desenvoltura neste trnsito.

Duval (1988B) props converses diretas nos dois sentidos (14 e 41) entre as

representaes simblicas e grficas de funes para que o procedimento de

interpretao global possa ser alcanado. Para a maioria das curvas que ocorrem no


nvel universitrio, a converso no sentido da representao simblica para

representao grfica (14) possvel ainda que com grande dificuldade caso nenhum

programa computacional utilizado; j a converso no sentido inverso, o sentido da

representao grfica para a simblica (41) impraticvel para muitas delas.

Propomos para esses tipos de curvas, para que a interpretao global possa ser ainda

alcanada, o procedimento informtico de interpretao global representado no esquema

da Figura 1, ou seja, as operaes representadas por 14 e 4321:

14: converso direta da representao simblica (1) para a grfica (4) da funo por meio informtico;

43: tratamentos na curva (visuais inicialmente) em sua representao grfica (4) para reconhecer e destacar as unidades bsicas grficas (3);

21: tratamentos de clculo na funo em sua forma simblica (1) para determinar as unidades bsicas simblicas (2) relacionadas s unidades bsicas

grficas (3);

32: converso que confirma as correspondncias entre as unidades bsicas grficas (3) e as unidades bsicas simblicas (2).

Assim, as converses diretas nos sentidos 14 e 41 propostas por Duval (1988B) se

realizam desta forma: 14 e 4321.

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ANEXO - UNIDADES BSICAS GRFICA, LINGUSTICA E SIMBLICA

Variao e concavidade

Tabela 1

Unidade bsica grfica Unidade bsica lingstica Unidade bsica simblica

t uma tangente.

Funo crescente.

Concavidade negativa.

t: y = ax + b, a > 0

y(x) > 0

y(x) < 0

Tabela 2


t uma tangente.

Funo crescente.

Concavidade positiva.

t: y = ax + b, a > 0

y(x) > 0

y(x) > 0

Tabela 3


t uma tangente.

Funo decrescente.

Concavidade negativa.

t: y = ax + b, a < 0

y(x) < 0

y(x) < 0

Tabela 4


t uma tangente.

Funo decrescente.

Concavidade positiva.

t: y = ax + b, a < 0

y(x) < 0

y(x) > 0


Retas assintticas

Tabela 5


Assntota vertical.

)(lim xy

ax

x = a

Tabela 6


Assntota vertical.

)(lim xyax

x = a

Tabela 7


Assntota vertical.

)(lim xy

ax

x = a

Tabela 8


Assntota vertical.

)(lim xy

ax

x = a


Tabela 9


Assntota horizontal.

bxyx )(lim

y = b

Tabela 10



bxyx )(lim

y = b

Tabela 11



bxyx )(lim

y = b

Tabela 12


Assntota horizontal

bxyx )(lim

y = b


Determinao de pontos importantes: extremos relativos

Tabela 13


Mnimo relativo 0x .

Derivada primeira de y

muda de sinal negativo

para positivo na

vizinhana de 0x ; ou

efetuar o teste da derivada

2a ou de ordem superior.

)( ,0)(

)( ,0)(

0)(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

0y (x ) 0 ;

(n 1) (n)

0 0y (x ) 0 e y (x ) 0 ,

n > 2, par.

Tabela 14


Mximo relativo 0x .


muda de sinal positivo

para negativo na

vizinhana de 0x ; ou

efetuar o teste da derivada

2a ou de ordem superior.

)( ,0)(

)( ,0)(

0)(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

ou 0y (x ) 0 .

(n 1) (n)

0 0y (x ) 0 e y (x ) 0 ,

n > 2, par.

Tabela 15


Mnimo relativo 0x .


muda de sinal negativo

para positivo na vizinhana

de 0x e no existe em 0x .

0

0

0

y (x )

y (x) 0, x V (x )

y (x) 0, x V (x )

Tabela 16


Mximo relativo 0x .


muda de sinal positivo para

negativo na vizinhana de

0x e no existe em 0x .

0

0

0

y (x )

y (x) 0, x V (x )

y (x) 0, x V (x )


Determinao de pontos importantes: pontos de inflexo

Tabela 17


Ponto de inflexo 0x .

Derivada primeira de y no

muda de sinal na

vizinhana de 0x . Derivada

segunda de y muda de sinal

negativo para positivo na

vizinhana de 0x .

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

0)x(y

0

0

0

0

Tabela 18




muda de sinal na

vizinhana de 0x .

Derivada segunda de y


negativo na vizinhana de

0x .

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

0)x(y

0

0

0

0

Tabela 19




muda de sinal na



positivo para negativo na

vizinhana de 0x .

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

0)x(y

0

0

0

0

Tabela 20


Ponto de inflexo em 0x .


muda de sinal na



negativo para positivo na

vizinhana de 0x .

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

)x(Vx ,0)x(y

0)x(y

0

0

0

0


Tabela 21


Ponto de inflexo em 0x .

Derivada no existe em 0x ,

pois a tangente em 0x

vertical. y contnua em

0x . Derivada segunda de y

no existe em 0x , mas


negativo na vizinhana

deste ponto.

)( 0xy

limx x 00

y y(x )

0

0

0

y (x )

y (x) 0, x V (x )

y (x) 0, x V (x )

Determinao de pontos importantes: continuidade

Tabela 22


Limites laterais em 0x so

iguais.

Descontnua em 0x .

)( 0xy

)( 0limlim

00

xyyyxxxx

Tabela 23



diferentes.

Descontnua em 0x .

)( 0xy

yyxxxx

limlim

00

)( 0xy

Tabela 24



iguais.

0x no pertence ao

domnio de y.

yyxxxx

limlim

00

)( 0xy

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O procedimento informático de interpretação global no esboço