PAPERMETODE NUMERIKMETODE EULER, METODE HEUN DAN METODE RUNGE-KUTTA

Disusun oleh:Kelompok 41. Adnan Widya Iswara(M0513003)2. Bara Okta Pratista J.(M0513012)3. Moechammad Alvan P. U.(M0513032)4. Shofwah Dinillah(M0513043)

JURUSAN INFORMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2015A. Dasar TeoriPersamaan differensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variable terkait) adalah fungsi dari variable bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana, fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks namun secara umum dapat juga berupa fungsi vector maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan differensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variable terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. Contoh sederhana dari persamaan differensial biasa adalah hokum gerak kedua Newton. Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara analitik, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial biasa ini menjadi sulit diselesaikan. Pada kondisi ini, terdapat beberapa metode yang disarankan untuk digunakan, diantaranya adalah metode euler, metode heun dan metode Runge-Kutta.

B. Definisi dan Rumus Umuma) Metode EulerMetode Euler merupakan metode yang menghitung penyelesaian persamaan differensial melalui taksiran langsung dari slope yang kemudian diberi turunan pertama. Rumus umum yang digunakan oleh metode Euler adalah . b) Metode HeunMetode Heun merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematika yang memiliki masalah nilai awal. Masalah nilai awal merupakan masalah penyelesaian suatu persamaan differensial dengan syarat awal yang telah diketahui. Misalkan diberikan persamaan differensial orde satu, yaitu: dengan penyelesaian adalah . Metode Heun merupakan salah satu metode satu langkah di dalam metode numerik. Hal ini dikarenakan untuk menaksir nilai dibutuhkan sebuah taksiran nilai sebelumnya yaitu Metode Heun merupakan suatu modifikasi dari metode Euler dengan memperkirakan kemiringan . Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah yang digunakan untuk menghitung nilai dengan ekstrapolasi linier sehingga menghasilkan rumus perhitungan . Metode Heun dapat digambarkan sebagai berikut ini:Figure 1-Metode Heun

c) Metode Runge-KuttaRumus umum dari metode Runge-Kutta adalah dengan nilai dari adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum =.Metode ini merupakan suatu alternative lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode Runge-Kutta ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi pada suatu titik terpilih dalam setiap selang langkah. Dengan inti metode yang demikian, metode Runge-Kutta merupakan suatu metode yang popular dan banyak digunakan dalam praktek penyelesaian persamaan differensial biasa.

C. Contoh Soal dan Penyelesaian I. Soal Metode Euler1. Diketahui persamaan dan nilai . Gunakan metode Euler untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya 5! (Adnan Widya I. / M0513003)Jawab :Dalam persamaan tersebut, nilai dan penerapan metode Euler pada persamaan tersebut menjadi dan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: Jadi, nilai 2. Jika diketahui solusi sejati persamaan pada nomor 1 adalah , maka carilah galat eksaknya!(Bara Okta P.J / M0513012)Jawab :Nilai solusi sejati dari persamaan nomor 1 adalah sedangkan nilai solusi pada metode Euler adalah . Maka galatnya adalah .3. Diketahui persamaan dan nilai . Gunakan metode Euler untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya 5! (Moh. Alvan P. U. / M0513032)Jawab :Dalam persamaan tersebut, nilai dan penerapan metode Euler pada persamaan tersebut menjadi dan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: Jadi, nilai 4. Jika diketahui solusi sejati persamaan pada nomor 1 adalah , maka carilah galat eksaknya!(Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab :Nilai solusi sejati dari persamaan nomor 1 adalah sedangkan nilai solusi pada metode Euler adalah . Maka galatnya adalah .II. Soal Metode Heun1. Selesaikan persamaan differensial dengan interval sampai dengan ketetuan pada saat nilai, dan hitung galatnya! (Adnan Widya I. / M0513003)Jawab :

Tabel hasil perhitungannya adalah sebagai berikut ini:Tabel 1-Tabel hasil perhitungan dengan menggunakan metode Heun

2. Buktikan bahwa nilai galat pada metode Heun adalah !(Bara Okta Pratistas J. /M0513012)Jawab :Pada Metode Heun, nilai eksak dapat dirumuskan dalam bentuk sedangkan nilai hampirannya dinyatakan dalam dengan menggunakan patokan keduanya, maka perhitungan galat menjadi sebagai berikut ini:Galat = = - )= = === (terbukti)3. Diketahui persamaan dan nilai . Gunakan metode Heun untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya 5! (Moh. Alvan P. U. / M0513032)Jawab : . Jadi, nilai .4. Selesaikan persamaan dengan menghitung nilai bila diketahui nilai dari !(Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab : Jadi, nilai

III. Soal Metode Runge-Kutta1. Selesaikan masalah nilai awal pada [0,3] dengan nilai dan lebar langkah !(Adnan Widya I. / M0513003)Jawab :Tabel 2-Tabel hasil perhitungan denagn menggunakan metode Runge-Kutta Orde 2

Dengan menggunakan rumus iterasi pada Runge-Kutta Orde 2, sebagai berikut

Maka penyelesaiannya adalah .2. Jika diketahui persamaan differensial biasa adalah dengan nilai , maka tentukan nilai dari dengan metode Runge-Kutta orde tiga dan gunakan ukuran langkah ! (Bara Okta P.J./M0513012)Jawab : Jadi, nilai dari .3. Diketahui persamaan differensial hitunglah nilai dari dengan menggunakan metode Runge-Kutta Orde Empat!(Moh. Alvan P.U. / M0513032)Jawab :Persamaan tersebut kita dapat mengubahnya ke dalam bentuk , sehingga nilai dari . Dalam perhitungan dengan metode Runge-Kutta orde empat, maka nilai dari masing-masing k adalah: Sehingga akan diperoleh nilai dari 4. Selesaikan persamaan differensial dengan menggunakan metode Runge-Kutta Orde 2!(Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab :Fungsi persamaan differensial dapat diubah menjadi bentuk dan dengan nilai pendekatan awal (0,0) diperoleh table perhitungan sebagai berikut: Tabel 2-Hasil perhitungan dengan menggunakan Runge-Kutta

REFERENSI

___.ttp://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode%20Numerik/BAb-%2008%20Solusi%20Persamaan%20Diferensial%20Biasa.pdf. Diakses tanggal 14 April 2015 pukul 09.22 WIB.___. http://jurnal.untan.ac.id/index.php/jbmstr/article/view/5178/5322. Diakses tanggal 13 April 2015 pukul 08.00 WIB.___. http://personal.fmipa.itb.ac.id/novriana/files/2014/02/Penyelesaian-Persamaan-diferensial-biasa-v2013.pdf. Diakses tanggal 14 April 2014 pukul 08.25 WIB.___. http://www.unsri.ac.id/upload/arsip/runge_kutta_new.pdf. Diakses tanggal 13 April 2015 pukul 09.24 WIB.___. http://xa.yimg.com/kq/groups/23042333/1023943147/name/HEUN.ppt. Diakses tanggal 13 April 2015 pukul 10.00 WIB.___. https://yess24.files.wordpress.com/2010/05/6-persamaan-diferensial1.ppt. Diakses tanggal 14 April 2015 pukul 09.00 WIB.

9