NUMBER THEORY (PART 1)ง30301 คณิ�ตศาสตร์ดิ�สคร์�ต

จำ��นวนเต็�มกั�บกั�รห�รลงต็�ว

Q: Which of the following is true?

1. 77 | 72. 7 | 773. 24 | 244. 0 | 245. 24 | 0

A: 1. 77 | 7: false because bigger

number can’t divide smaller positive number

2. 7 | 77: true because 77 = 7 · 11

3. 24 | 24: true because 24 = 24 · 1

4. 0 | 24: false, only 0 is divisible by 0

5. 24 | 0: true, 0 is divisible by every number (0 = 24 · 0)

จำ��นวนเฉพ�ะ (Prime Numbers)

111551

791001

Programming

จำงเขี�ยนโปรแกัรมต็รวจำสอบว��จำ��นวนเต็�มบวกั N เป�นจำ��นวนเฉพ�ะหร�อไม�

ต็�วอย��งInput N: 13It is a prime number.Input N: 12It is NOT a prime number.

ทฤษฎี�บทหล�กัม%ลขีองเลขีคณิ(ต็

การ์พิ�จาร์ณิาจ�านวนเต�มบวกที่��ม�ค�ามากๆ ว�าเป็�นจ�านวนเฉพิาะหร์!อไม� ?

จะไดิ$ว�าถ้$า n ไม�ม�ต&วหาร์ที่��เป็�นจ�านวนเฉพิาะ p ซึ่(�ง

แล้$วจะไดิ$ว�า n จะเป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ

np

693 เป็�นจ�านวนเฉพิาะหร์!อไม�จ�านวนเฉพิาะที่��น$อยกว�าหร์!อเที่�าก&บ ค!อ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 แล้ะ 23 เน!�องจาก 3 หาร์ 693 ล้งต&ว ดิ&งน&,น 693 เป�นจำ��นวนประกัอบ

ต็�วอย��ง 103 เป็�นจ�านวนเฉพิาะหร์!อไม�

จ�านวนเฉพิาะที่��น$อยกว�าหร์!อเที่�าก&บ ค!อ 2, 3, 5 แล้ะ 7 เน!�องจาก 2, 3, 5 แล้ะ 7 หาร์ 103 ไม�ล้งต&ว ดิ&งน&,น 103 เป�นจำ��นวนเฉพ�ะ

103

693

ที่�าแบบฝึ.กห&ดิข้$อ 3 แล้ะ 4

ส0�มผู้2$โชคดิ�ตอบแบบฝึ.กห&ดิ 8 คน

จำงห�ต็�วประกัอบท�)เป�นจำ��นวนเฉพ�ะขีอง 77077 ม�ท�*งหมด

จำงห�ต็�วประกัอบท�)เป�นจำ��นวนเฉพ�ะขีอง 77077 ม�ท�*งหมด

จำงห�ต็�วประกัอบท�)เป�นจำ��นวนเฉพ�ะขีอง 77077 ม�ท�*งหมด

ด�งน�*นจำะได,77077 = 77 11 11 13 = 72 112 13

ที่�าแบบฝึ.กห&ดิข้$อ 7 ส0�มผู้2$โชคดิ�ตอบแบบฝึ.กห&ดิ 4 คน

ขี�*นต็อนว(ธี�กั�รห�ร

เร์�ยก a ว�า ต็�วต็�*ง เร์�ยก b ว�า ต็�วห�ร เร์�ยก q ว�า ผลห�ร เร์�ยก r ว�า เศษท�)เหล�อจำ�กักั�รห�ร a ด,วย b

ต็�วอย��ง จำงห�เศษ r จำ�กักั�รห�ร หาร์ 400 ดิ$วย 120

เน!�องจาก 400 = 120(3)+40 ดิ&งน&,น r = 40 หาร์ 140 ดิ$วย -72

เน!�องจาก 140 = -72(-1) + 68 ดิ&งน&,น r = 68 หาร์ 5 ดิ$วย 7

เน!�องจาก 5 = 7(0) + 5 ดิ&งน&,น r = 5 ท��แบบฝึ1กัห�ดขี,อ 5 ส2�มผ%,โชคด�ต็อบค��ถ�ม 4 คน

a = bq + r

ต็�วห�รร�วมม�กั The greatest common divisor (GCD)

(3, 9) = (10, 15) = (-8, 16) = (6, 15) =

(-6, 15) = (-7, 0) = (17, 13) = (42, 56) =

3583

37114

ขี,อส�งเกัต็

บทน(ย�ม 4.5

ให, a และ b เป�นจำ��นวนเต็�มท�)ไม�เป�นศ%นย6พร,อมกั�นจำะกัล��วว�� a และ b เป�นจำ��นวนเฉพ�ะส�มพ�ทธี6 กั�ต็�อเม�)อ (a, b) = 1

(28, 5) (17,

28) (8, 56) (13,

65)

เป็�นจ�านวนเฉพิาะส&มพิ&ที่ธ์เป็�นจ�านวนเฉพิาะส&มพิ&ที่ธ์ไม�เป็�นจ�านวนเฉพิาะ

ส&มพิ&ที่ธ์ไม�เป็�นจ�านวนเฉพิาะ

ส&มพิ&ที่ธ์

บทน(ย�ม 4.6

จำะกัล��วว��จำ��นวนเต็�ม a1, a2, …, an เป�นจำ��นวนเฉพ�ะส�มพ�ทธี6เป�นค%� กั�ต็�อเม�)อ (ai, aj) = 1 โดยท�)

จำงพ(จำ�รณิ�ว��จำ��นวนท�)กั��หนดให,ในแต็�ละขี,อต็�อไปน�*เป�นจำ��นวนส�มพ�ทธี6เป�นค%�หร�อไม� 17, 35, 64 3, 5, 11 38, 43, 99 19, 29, 39, 49

nji 1

ว(ธี�ห� ห.ร.ม. โดยใช,ร%ปแบบบ�ญญ�ต็( ให, a และ b เป�นจำ��นวนเต็�มท�)ไม�เป�นศ%นย6และ

เขี�ยนอย%�ในร%ปแบบบ�ญญ�ต็( จำะได,ว��

ต็�วค%ณิร�วมน,อยThe least common multiple (LCM)

[3, 6] = [15, 20] = [8, 4] =

[6, 10] = [12, 10] = [11, 5] =

ว(ธี�ห� ค.ร.น. โดยใช,ร%ปแบบบ�ญญ�ต็( ให, a และ b เป�นจำ��นวนบวกัและเขี�ยนอย%�ในร%ปแบบบ�ญญ�ต็( จำะได,ว��

พ(จำ�รณิ� (24, 36) = 12 และ [24, 36] = 72

จำะส�งเกัต็ว�� 2436 = 8641272 = 864

น�)นค�อ (24, 36)[24, 36] = 2436 = 864ทฤษฎี�บท 4.8 ให, a และ b เป�นจำ��นวนเต็�มบวกั จำะได,ว��

ab = (a, b)[a, b]

ที่�าแบบฝึ.กห&ดิบที่ที่�� 4 ข้$อ 21

ส0�มผู้2$โชคดิ�ตอบแบบฝึ.กห&ดิ 4 คน

Programming

(ch4_1.cpp)เข้�ยนโป็ร์แกร์มแสดิงต&วป็ร์ะกอบที่��เป็�นจ�านวนเฉพิาะข้องเล้ข้จ�านวนเต�มบวก N

(ch4_2.cpp) เข้�ยนโป็ร์แกร์มร์&บเล้ข้จ�านวนเต�ม 3 ต&วแล้$วตร์วจสอบว�าเป็�นจ�านวนเฉพิาะส&มพิ&ที่ธ์ก&นเป็�นค2� (pairwise relatively prime)หร์!อไม�